Cơ sở logic toán của các phép chứng minh toán học cơ bản và áp dụng chứng minh các bài toán phổ thông

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ CHỨNG MINH TOÁN HỌC. 1.1. Vị từ n ngôi. Giả sử M , B ={0,1} *Vị từ n ngôi xác định trên M là ánh xạ f: Mn B sao cho a = (a1,a2, .,an)Mn f(a) có giá trị bằng 1 thì f(a) là mệnh đề đúng; f(a) có giá trị bằng 0 thì f(a) là mệnh đề sai. Kí hiệu: f(x1,x2, .,xn) Vị từ n ngôi xác định trên M cho ta một quan hệ n ngôi trên M. * Ví dụ: f(x1,x2, .,xn) = “, xiR” là một vị từ n ngôi trên R. * Vị từ thừa nhận được trên tập M: Cho f(x1,x2, .,xn) xác định trên M, ta gọi: Df ={a = (a1,a2, .,an)Mn | f(a) = 1} Df = thì ta nói f không thừa nhận được trên M. Df thì ta nói f là vị từ n ngôi thừa nhận được trên M. Df = Mn Khi đó vị từ f(x1,x2, .,xn) là hằng đúng trên M. f gọi là một luật logic trên M. * Hai vị từ f(x1,x2, .,xn) và g(x1,x2, .,xn) xác định trên cùng tập M gọi là tương đương công thức. Kí hiệu: f(x1,x2, .,xn) g(x1,x2, .,xn) nếu và chỉ nếu chúng cùng nhận một giá trị như nhau với mọi a = (a1,a2, .,an) Mn Tức là: f | a = g | a a Mn * Ví dụ: Các vị từ “ x2 + y20” và “(x + y)20” là tương đương trên R.

doc49 trang | Chia sẻ: lvcdongnoi | Ngày: 26/01/2013 | Lượt xem: 1706 | Lượt tải: 2download
Bạn đang xem nội dung tài liệu Cơ sở logic toán của các phép chứng minh toán học cơ bản và áp dụng chứng minh các bài toán phổ thông, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
PAGE  PAGE 43 ®¹i häc Th¸i Nguyªn tr­êng ®¹i häc s­ ph¹m khoa to¸n trÇn thÞ thu lan C¬ së logic to¸n cña c¸c phÐp chøng minh to¸n häc c¬ b¶n vµ ¸p dông chøng minh c¸c bµi to¸n phæ th«ng Chuyªn ngµnh: §¹i sè luËn v¨n t«t nghiÖp ®¹i häc Ng­êi h­íng dÉn khoa häc Th. s. N«ng §×nh Tu©n Th¸i Nguyªn – 2007 Ch­¬ng 1: C¬ së chøng minh to¸n häc. 1.1. VÞ tõ n ng«i. Gi¶ sö M  , B ={0,1} *VÞ tõ n ng«i x¸c ®Þnh trªn M lµ ¸nh x¹ f: Mn B sao cho a = (a1,a2,...,an)Mn f(a) cã gi¸ trÞ b»ng 1 th× f(a) lµ mÖnh ®Ò ®óng; f(a) cã gi¸ trÞ b»ng 0 th× f(a) lµ mÖnh ®Ò sai. KÝ hiÖu: f(x1,x2,...,xn) VÞ tõ n ng«i x¸c ®Þnh trªn M cho ta mét quan hÖ n ng«i trªn M. * VÝ dô: f(x1,x2,...,xn) = “, xiR” lµ mét vÞ tõ n ng«i trªn R. * VÞ tõ thõa nhËn ®­îc trªn tËp M: Cho f(x1,x2,...,xn) x¸c ®Þnh trªn M, ta gäi: Df ={a = (a1,a2,...,an)Mn | f(a) = 1} Df =  th× ta nãi f kh«ng thõa nhËn ®­îc trªn M. Df   th× ta nãi f lµ vÞ tõ n ng«i thõa nhËn ®­îc trªn M. Df = Mn Khi ®ã vÞ tõ f(x1,x2,...,xn) lµ h»ng ®óng trªn M. f gäi lµ mét luËt logic trªn M. * Hai vÞ tõ f(x1,x2,...,xn) vµ g(x1,x2,...,xn) x¸c ®Þnh trªn cïng tËp M gäi lµ t­¬ng ®­¬ng c«ng thøc. KÝ hiÖu: f(x1,x2,...,xn)  g(x1,x2,...,xn) nÕu vµ chØ nÕu chóng cïng nhËn mét gi¸ trÞ nh­ nhau víi mäi a = (a1,a2,...,an) Mn.. Tøc lµ: f | a = g | a  a  Mn.. * VÝ dô: C¸c vÞ tõ “ x2 + y20” vµ “(x + y)20” lµ t­¬ng ®­¬ng trªn R. 1.2.C«ng thøc trong logic vÞ tõ. Gi¶ sö x,y,z,…,x1,y1,z1,.., lµ kÝ hiÖu cña c¸c biÕn ®èi t­îng f, g, h,…, lµ kÝ hiÖu cña c¸c vÞ tõ. C¸c kÝ hiÖu cña vÞ tõ cßn gäi lµ c¸c biÕn vÞ tõ. 1.2.1.C¸c c«ng thøc cña logic vÞ tõ ®­îc ®Þnh nghÜa nh­ sau. C¸c biÕn mÖnh ®Ò, c¸c h»ng lµ nh÷ng c«ng thøc. NÕu f lµ mét biÕn vÞ tõ n ng«i vµ x1,…,xn lµ c¸c biÕn ®èi t­îng th× f(x1,x2,...,xn) lµ mét c«ng thøc. NÕu f, g lµ nh÷ng c«ng thøc th× ,f  g, f  g, f  g, fg lµ nh÷ng c«ng thøc. NÕu f lµ mét c«ng thøc chøa biÕn tù do x th×  xf,  xf lµ nh÷ng c«ng thøc. f gäi lµ miÒn t¸c dông cña c¸c l­îng tõ  vµ . ChØ nh÷ng biÓu thøc ®­îc x¸c ®Þnh theo (i), (ii), (iii) vµ (iv) lµ nh÷ng c«ng thøc. * VÝ dô: (  y(x f(x)  g(y))  h) lµ mét c«ng thøc. MiÒn t¸c dông cña l­îng tõ  theo biÕn x lµ f(x), cßn miÒn t¸c dông cña l­îng tõ  theo biÕn y lµ x f(x)  g(y). 1.2.2.Gi¸ trÞ cña c«ng thøc vÞ tõ. B¶ng gi¸ trÞ c«ng thøc cña lµ: f | a| a0110 B¶ng gi¸ trÞ c«ng thøc cña f  g lµ: f | ag | af  g | a000010100111 B¶ng gi¸ trÞ c«ng thøc cña f  g lµ: f | ag | af  g | a000011101111 B¶ng gi¸ trÞ c«ng thøc cña f g lµ: f | ag | af  g | a001011100111 B¶ng gi¸ trÞ c«ng thøc cña f g lµ: f | ag | af g | a001010100111 1.2.3.C«ng thøc h»ng ®óng, h»ng sai. Gi¶ sö f = f(x1,x2,…,xn) lµ c«ng thøc mÖnh ®Ò phô thuéc n biÕn. NÕu  a = (a1,a2,…,an)  Mn mµ f | a = 1 th× ta nãi f lµ mét c«ng thøc h»ng ®óng. KÝ hiÖu: |= f. NÕu  a = ( a1,a2,…,an)  Mn mµ f | a = 0 th× ta nãi f lµ mét c«ng thøc h»ng sai. 1.2.4. C¸c l­îng tõ. 1.2.4.1. §Æt l­îng tõ phæ biÕn tr­íc vÞ tõ n ng«i. Gi¶ sö f(x1,x2,...,xn) lµ vÞ tõ n ng«i trªn M. NÕu ta ®Æt l­îng tõ phæ biÕn tr­íc biÕn x1 ta ®­îc mét vÞ tõ n – 1 ng«i trªn M. KÝ hiÖu: x1 f(x1,x2,...,xn). (a2,...,an)Mn – 1 ta cã x1 f(x1,a2,...,an) lµ mÖnh ®Ò. nÕu  a1M: f(a1,a2,...,an) = 1 nÕu  a1M: f(a1,a2,...,an) = 0 x1 f(x1,a2,...,an) = BiÕn x1 gäi lµ biÕn r»ng buéc, c¸c biÕn cßn l¹i gäi lµ biÕn tù do. * Cho 1i n ,xi f(x1,x2,...,xn) lµ mét vÞ tõ n – 1 ng«i trªn M cña c¸c biÕn x1, x2,..., xi-1, xi+1,..., xn.  (a1,a2,...,ai-1, ai+1,...,an)Mn – 1 ta cã f(a1,a2,...,ai-1, xi,ai+1,...,an) lµ vÞ tõ mét ng«i trªn M. xi f(a1,a2,...,ai-1 ,xi,ai+1,...,an) lµ mÖnh ®Ò. nÕu  aiM: f(a1,a2,...,ai,...,an) = 1 nÕu  aiM: f(a1,a2,...,ai,...,an) = 0 xi f(a1,a2,...,ai-1 ,xi,ai+1,...,an) = * Cho 1k n x1x2...xk f(x1,x2,...,xn) lµ vÞ tõ n – k ng«i trªn M. nÕu  (a1,a2,...,ak) Mk: f(a1,...,an) = 1 nÕu  (a1,a2,...,ak) Mk: f(a1,...,an) = 0  (ak+1,...,an)Mn – kta cã x1x2...xk f(x1,x2,...,xk,ak+1,...,an) lµ mÖnh ®Ò. x1x2...xk f(x1,x2,...,xk,ak+1,...,an) = 1.2.4.2. §Æt l­îng tõ tån t¹i tr­íc vÞ tõ n ng«i. Cho f = f(x1,x2,...,xn) x¸c ®Þnh trªn M. §Æt l­îng tõ tån t¹i tr­íc biÕn xi cña vÞ tõ f ta cã mét vÞ tõ ( n – 1) ng«i x¸c ®Þnh trªn M. KÝ hiÖu:  xi f(x1,x2,...,xn). Víi mäi bé (a1,a2,...,ai-1 ,ai+1,...,an)Mn – 1, ta cã f(a1,a2,...,ai-1, xi, ai+1,...,an) lµ vÞ tõ mét ng«i trªn M. xi f(a1,a2,...,ai-1 ,xi,ai+1,...,an) lµ mÖnh ®Ò. nÕu  aiM: f(a1,...,an) = 1 nÕu  aiM: f(a1,...,an) = 0 xi f(a1,a2,...,ai-1 ,xi,ai+1,...,an) = * Cho 1k n x1x2... xk f(x1,x2,...,xn) lµ vÞ tõ n – k ng«i trªn M.  (ak+1,...,an)Mn – kta cã x1x2... xk f(x1,x2,...,xk,ak+1,...,an) lµ mÖnh ®Ò. nÕu  (a1,a2,...,ak) Mk: f(a1,...,an) = 1 nÕu  (a1,a2,...,ak) Mk: f(a1,...,an) = 0 x1x2... xk f(x1,x2,...,xk,ak+1,...,an) = 1.2.4.3. TËp hçn hîp c¸c l­îng tõ tån t¹i vµ phæ biÕn tr­íc vÞ tõ n ng«i. Gi¶ sö = {,} k = 1,...,n. Khi ®ã: f(x1,x2,...,xn) (1) lµ vÞ tõ n – k ng«i trªn M. Víi mäi bé (ak+1,...,an) th× f(x1,x2,...,xk,ak+1,...,an) lµ mét mÖnh ®Ò. Trong vÞ tõ (1) thø tù c¸c l­îng tõ lµ x¸c ®Þnh. NÕu thay ®æi thø tù c¸c l­îng tõ sÏ cho ta mét l­îng tõ míi. NÕu = , {,} th× thay ®æi vÞ trÝ gi÷a c¸c l­îng tõ th× néi dung vÞ tõ ®ã kh«ng thay ®æi. 1.2.5.C«ng thøc t­¬ng ®­¬ng. Gi¶ sö f = f(x1,x2,…,xn), g = g(x1,x2,…,xn) lµ c«ng thøc mÖnh ®Ò phô thuéc n biÕn. Ta nãi f t­¬ng ®­¬ng víi g nÕu  a = ( a1,a2,…,an)  Mn mµ f | a = g | a. KÝ hiÖu: f  g. *C¸c t­¬ng ®­¬ng c«ng thøc: LuËt nuèt: f 1 1; f  0  0. LuËt ®ång nhÊt: f  1 f; f  0  f. LuËt luü linh: f  f  f; f  f  f. LuËt giao ho¸n: f  g  g  f; f  g  g  f. LuËt kÕt hîp: f  (g  h )  (f  g)  h; (f  g)  h  f  (g  h). LuËt ph©n phèi: f  (g  h )  (f  g)  (f  h); f  (g  h)  (f  g)  (f  h). LuËt ®ªmoocg¨ng: ; LuËt t­¬ng ®­¬ng: fg  (f  g)  (g  f) LuËt phñ ®Þnh kÐp: 10) LuËt m©u thuÉn: f   0 11)LuËt bµi chung: f  1 12) LuËt kÐo theo: f  g  1.3. HÖ qu¶ c«ng thøc vµ t­¬ng ®­¬ng c«ng thøc trªn M. 1.3.1. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö f , g lµ c¸c vÞ tõ n ng«i x¸c ®Þnh trªn M. Khi ®ã: * f ®­îc gäi lµ t­¬ng ®­¬ng c«ng thøc víi g trªn M nÕu vµ chØ nÕu  aMn ta cã: f | a = g | a, hay f | a g | a = 1. KÝ hiÖu: f | a  g | a * g ®­îc gäi lµ hÖ qu¶ c«ng thøc cña f trªn M nÕu vµ chØ nÕu:  aMn ta cã: f  g | a = 1. KÝ hiÖu: f  g * VÝ dô: Cho f(x) = “”; g(x) = “ x + 3 = (x – 1)2 ” h(x) = “ x+30; x - 10; x + 3 = (x – 1)2 ” lµ c¸c vÞ tõ x¸c ®Þnh trªn R. Ta cã: f(x)  g(x) vµ f(x)  h(x) trªn R. *C¸ch ®Þnh nghÜa kh¸c: Gi¶ sö f lµ mét c«ng thøc. f = f(x1,x2,...,xn); g = g(x1,x2,...,xn). Ta nãi g lµ hÖ qu¶ cña c«ng thøc f . KÝ hiÖu: f  g. NÕu  a Mn th× f | a = 1  g | a = 1. 1.3.2. C¸c hÖ qu¶ logic. Ta quy ­íc: 0 lµ c«ng thøc h»ng sai; 1 lµ c«ng thøc h»ng ®óng. 0  f . c«ng thøc f. f  1. H»ng ®óng lµ hÖ qu¶ cña mäi c«ng thøc.   fi , i = 1,...,n. Trong ®ã  = {f1, f2,..., fn} lµ tËp hîp n c«ng thøc.  = {f1, f2,..., fn}; f, g bÊt k×. NÕu   f th× {, g} f. f lµ hÖ qu¶ cña  th× f lµ hÖ qu¶ cña mäi hÖ qu¶ c«ng thøc chøa . , f, g bÊt k×. NÕu   f th×  (g  f).   f khi vµ chØ khi f1  (f2  (... (fn  f))) lµ h»ng ®óng. (  f tøc lµ: f1 f2 ...  fn  f lµ h»ng ®óng).  = {f1, f2,..., fn}; g bÊt k×. NÕu ,  0 th×   g. 1.4. L­îc ®å chøng minh c«ng thøc. Gi¶ sö f lµ mét c«ng thøc,  = {f1, f2,..., fn} lµ d·y c¸c c«ng thøc sao cho víi mäi c«ng thøc fi (i  2)®Òu ®­îc suy ra tõ c«ng thøc ®øng tr­íc theo mét quy t¾c nµo ®ã vµ f ®­îc suy ra tõ fn th× ta nãi  lµ l­îc ®å chøng minh c«ng thøc f. f1  f2 f2  f3 ... fn-1 fn fn  f th× {f1, f2,..., fn} lµ l­îc ®å chøng minh c«ng thøc f. * VÝ dô: Ta cã c«ng thøc f  g .Ta gi¶ thiÕt f ®óng cÇn chøng minh g ®óng. Ta ph¶i chØ ra {f1, f2,..., fn} sao cho f  f1, f1 f2,... , fn  g lµ c¸c c«ng thøc h»ng ®óng th× f  g. 1.5. Mét sè luËt logic sö dông trong chøng minh c«ng thøc. Ta kÝ hiÖu: thay cho f  g lµ h»ng ®óng. VËy f  g viÕt lµ: ( f lµ gi¶ thiÕt, g lµ kÕt luËn). 1) 2) ; 3) , 4) , 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) * VÝ dô: Chøng minh: a2 + b2 + c2  ab + bc + ca,  a, b, c  R. Gi¶i: Ta cã: f = “ a, b, c  R”, g = “a2 + b2 + c2  ab + bc + ca” f g lµ bµi to¸n ®Æt ra. §Æt f1 = “ (a – b)2  0;  a, b  R ” f2 = “ a2 + b2  2ab ” f3 =“ b2 + c2  2bc ” f4 = “ a2 + c2  2ca ” g = f5 = “ a2 + b2 + c2  ab + bc + ca ” Ta cã: f1 f2  f3  f5. VËy f g hay a2 + b2 + c2  ab + bc + ca,  a, b, c  R. Ch­¬ng 2:VËn dông c«ng thøc vµo chøng minh to¸n häc 2.1. §Þnh lý to¸n häc. 2.1.1. §Þnh nghÜa. * §Þnh lý to¸n häc lµ mét vÞ tõ h»ng ®óng trªn mét tËp M víi M lµ mét tËp hîp c¸c ®èi t­îng nghiªn cøu cña to¸n häc. §Þnh lý to¸n häc th­êng ®­îc biÓu diÔn d­íi d¹ng mét mÖnh ®Ò kÐo theo hoÆc mét mÖnh ®Ò t­¬ng ®­¬ng. * Chøng minh ®Þnh lý to¸n häc lµ chøng minh mét c«ng thøc mÖnh ®Ò. Do ®ã xuÊt ph¸t tõ mét tiÒn ®Ò (gi¶ thiÕt A) ®óng vµ c¸c c¨n cø suy luËn (c¸c kiÕn thøc ®· cã, c¸c quy t¾c suy luËn logic) còng ph¶i ®óng.Khi ®ã kÕt luËn B suy ra ®­îc sÏ ch¾c ch¾n ®óng. Ta cã: A A1, A1 A2,..., An  B th× A  B. * C¸c d¹ng kh¸c nhau cña ®Þnh lý: a. §Þnh lý cÇn: A  B. b. §Þnh lý cÇn vµ ®ñ: A  B hay (A  B)  (B  A). c. C¸c mÖnh ®Ò t­¬ng ®­¬ng: A1 A2…  An. 2.1.2. C¸c ph­¬ng ph¸p chøng minh ®Þnh lý to¸n häc. 2.1.2.1. Chøng minh trùc tiÕp. Mäi ®Þnh lý ®Òu cã d¹ng A  B hay A  B. Chøng minh trùc tiÕp lµ xuÊt ph¸t tõ gi¶ thiÕt A dùa vµo c¸c quy t¾c suy luËn ta kh¼ng ®Þnh B ®óng. Hay ta t×m c¸c mÖnh ®Ò: A1, A2,…, An sao cho A  A1, A1 A2,..., An  B th× A  B. Khi ®ã: (A1, A2,…, An) lµ l­îc ®å chøng minh A  B. * VÝ dô: Chøng minh n kh«ng chia hÕt cho 3 th× n2 kh«ng chia hÕt cho 3 (n  Z). Gi¶i §Æt A = “ n kh«ng chia hÕt cho 3 ”; B = “ n = 3k  1 ” C = “ n2 = 9k2  6k + 1 ” ; H = “ n2 = 3(3k2  2k) + 1 ” E = “ n2 kh«ng chia hÕt cho 3 ”. DÔ thÊy: A  B, B  C, C  H, H  E lµ ®óng. VËy A  E tøc lµ n kh«ng chia hÕt cho 3 th× n2 kh«ng chia hÕt cho 3 (n  Z). *D¹ng chøng minh trùc tiÕp th­êng gÆp: a.Ph­¬ng ph¸p suy luËn liªn tiÕp: XuÊt ph¸t tõ gi¶ thiÕt ta suy luËn liªn tiÕp ®Õn kÕt luËn ®Ó kh¼ng ®Þnh kÕt luËn ®óng. A  A1  A2 …  An B ®óng th× A B ®óng. * VÝ dô: Cho p lµ sè nguyªn tè. Chøng minh: ,. Gi¶i: = = = Theo gi¶ thiÕt p nguyªn tè, suy ra (p, k) = 1, . Ta cã: (p, 2) = (p, 3) = … = (p, p – 1) = 1  (p, k!) = 1 , Do ®ã: =  N §Æt = A  N  = p. A  ,1 Gi¶i: Gi¶ sö b2 – 4ac lµ mét sè chÝnh ph­¬ng: b2 – 4ac = k2, k  Z+ Ta cã: 4a. = 4a(100a + 10b + c) = 400a2 + 40ab + 4ac = 400a2 + 40ab + b2 – (b2 – 4ac) = (20a + b)2 – k2 = (20a + b + k)(20a + b – k) V× b2 – 4ac = k2 nªn b > k. Do ®ã 20a + b + k > 20a + b – k > 20a V× lµ sè nguyªn nªn (20a + b + k)(20a + b – k) 4a. (*) Do mçi thõa sè cña (*) ®Òu lín h¬n 20a nªn ta cã: = m .n , n, m  N vµ n, m > 1. Suy ra lµ hîp sè ( tr¸i gi¶ thiÕt). VËy b2 – 4ac kh«ng ph¶i lµ mét sè chÝnh ph­¬ng. Bµi to¸n 2: Cho d·y sè : 13, 25, 43,... cã sè h¹ng tæng qu¸t lµ: an = 3(n2 + n) + 7 , víi n  Z+. Chøng minh trong d·y sè ®· cho, kh«ng cã sè h¹ng nµo lµ lËp ph­¬ng cña mét sè tù nhiªn. Gi¶i: Gi¶ sö tån t¹i mét sè tù nhiªn k sao cho víi mét trÞ sè nµo ®ã cña n ta cã: 3(n2 + n) + 7 = k3 (1) víi n  Z+. n(n + 1) ch½n nªn 3(n2 + n) + 7 lÎ, suy ra k lÎ: k = 2t + 1 (t  N) Do ®ã: (1)  3n2 + 3n + 7 = (2t + 1)3  3n2 + 3n + 7 = 8t3 + 12t2 + 6t +1  3n2 + 3n + 6 = 8t3 + 12t2 + 6t (2) Suy ra 8t3 3  t 3  t = 3m (m  N) Thay vµo (2) ta cã: 3n2 + 3n + 6 = 8(3m)3 + 12(3m)2 + 6.3m  n2 + n + 2 = 72m3 + 36m2 + 6m (v« lý v× VT kh«ng chia hÕt cho 3, VP chia hÕt cho 3) suy ra gi¶ sö sai . VËy trong d·y sè ®· cho, kh«ng cã sè h¹ng nµo lµ lËp ph­¬ng cña mét sè tù nhiªn. Bµi to¸n 3: Chøng minh ph­¬ng tr×nh sau kh«ng cã nghiÖm nguyªn: 15x2 – 7y2 = 9 (1) Gi¶i: Gi¶ sö (1) cã nghiÖm nguyªn: x = n; y = m; víi x,y  Z. Do ®ã: 15n2 – 7m2 = 9 (2) (2)  7m2 3  m2 3  m 3  m = 3k (k  Z) Do ®ã ta cã: 15n2 – 7.9k2 = 9  5n2 – 21k2 = 3 (3) (3)  5n2 3  n2 3  n 3  n = 3t (t  Z) Ta cã: 5.9t2 – 21k2 = 3  15t2 – 7k2 = 1 (4)  7k2 + 1 = 15t2  7k2 + 1 5 (5)  k  Z : k2 tËn cïng lµ: 0,1, 4, 5, 6, 9. Suy ra 7k2 tËn cïng lµ: 0, 2, 3, 5, 7, 8. Suy ra (7k2 + 1) tËn cïng lµ 1, 3, 4, 6, 8, 9.( m©u thuÉn víi (5)). VËy gi¶ sö sai hay ph­¬ng tr×nh 15x2 – 7y2 = 9 kh«ng cã nghiÖm nguyªn. Bµi to¸n 4: Chøng minh: n2 +3n + 5 kh«ng chia hÕt cho 121 , n  N. Gi¶i: Gi¶ sö  n  N ®Ó n2 +3n + 5 121  n2 +3n + 5 112 (1)  4(n2 +3n + 5) 112 (2) Tõ (1) suy ra: n2 +3n + 5 11  4n2 + 12n + 20 11  4n2 + 12n + 9 11  (2n + 3)2 11  (2n + 3) 11  (2n + 3)2 121 (3) Tõ (2) vµ (3) suy ra 11 121 ( v« lý). VËy n2 +3n + 5 kh«ng chia hÕt cho 121 , n  N. 3.1.2.C¸c bµi to¸n trong ®¹i sè. * Chøng minh b»ng ph¶n chøng th­êng dïng trong c¸c lo¹i to¸n: - Chøng minh bÊt ®¼ng thøc. - Chøng minh hÖ ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm. - Chøng minh ®a thøc cã tÝnh chÊt H nµo ®ã.(®a thøc lµ bÊt kh¶ quy, ®a thøc nguyªn b¶n...) *C¸c bµi to¸n: Bµi to¸n 1: Cho ba sè d­¬ng a, b, c tho¶ m·n: abc = 1. Chøng minh r»ng : a + b + c 3 . Gi¶i: Gi¶ sö tån t¹i ba sè d­¬ng a, b, c tho¶ m·n: abc = 1vµ a + b + c 0  f(x) = ax2 + (a2 – 3a)x + 1 = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt. Do ®ã: = (a2 – 3a)2 – 4a > 0  a4 – 6a3 + 9a2 – 4a > 0 a(a – 1)2(a – 4) > 0  a > 4  a +b + c > 4 ( m©u thuÉn víi (*)) VËy ta lu«n cã ba sè d­¬ng a, b, c tho¶ m·n: abc = 1 th× a + b + c 3. Bµi to¸n 2: Chøng minh: Ta lu«n cã: a2 + b2 + c 2 ab + bc + ca, a, b, c  R. . Gi¶i: Gi¶ sö tån t¹i ba sè a, b, c  R: a2 + b2 + c 2 . Gi¶i: Gi¶ sö (a) cã nghiÖm lµ (x0, y0) th× (1) Tõ (1) suy ra x0 > 0 , y0 > 0 . ¸p dông B§T Cauchy, ta cã: (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra ( v« lý) VËy gi¶ sö hÖ ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm sai. Do ®ã hÖ ®· cho v« nghiÖm. Bµi to¸n 4: Chøng minh hÖ ph­¬ng tr×nh (b) v« nghiÖm víi a  0 vµ (b – 1)2 – 4ac . Gi¶i: Do a  0 nªn ta cã thÓ gi¶ thiÕt a > 0. Gi¶ sö (b) cã nghiÖm lµ (x0, y0, z0) th× Suy ra: [] + [] + [] = 0 (1) §Æt f(t) = at2 + (b – 1)t + c th× tõ (1) ta cã: f(x0) + f(y0) + f(z0) = 0 (2) Do a > 0 vµ (b – 1)2 – 4ac 0 ( t)  f(x0) > 0 ; f(y0) > 0 ; f(z0) > 0 ( m©u thuÉn víi (2)). VËy gi¶ sö sai hay hÖ ®· cho v« nghiÖm. Bµi to¸n 5: Gi¶ sö f(x) = a0 + a1x + ... + anxn  Z [x] ( an  0, n  1). Chøng minh nÕu tån t¹i p nguyªn tè tho¶ m·n : i) an kh«ng chia hÕt cho p. ii) ai chia hÕt cho p ( i Gi¶i: Gi¶ sö f(x) kh¶ quy trªn Q th× f(x) còng kh¶ quy trªn Z. Khi ®ã tån t¹i h(x) = b0 + b1x + ... + brxr ; g(x) = c0 + c1x + ... + csxs  Z [x] sao cho f(x) = h(x).g(x). VËy n = r + s vµ a0 = b0c0 a1 = b1c1 ... ak = ... an = brcs V× a0 = b0c0 p vµ a0 = b0c0 kh«ng chia hÕt cho p2 suy ra b0, c0 kh«ng ®ång thêi chia hÕt cho p. Ta gi¶ sö b0 p vµ c0 kh«ng chia hÕt cho p. (1) V× an = brcs kh«ng chia hÕt cho p nªn kh«ng ph¶i mäi hÖ sè b0, b1, ..., br ®Òu chia hÕt cho p. Gi¶ sö bk lµ hÖ sè ®Çu tiªn kh«ng chia hÕt cho p tøc lµ b0, b1, ..., bk-1 ®Òu chia hÕt cho p; bk kh«ng chia hÕt cho p. XÐt ak = b0ck + b1ck-1 + ... + bk-1c1 + bkc0, v× k  r Gi¶i: f(x) = a0 + a1x + ... + anxn ; g(x) = b0 + b1x + ... + bmxm f(x)g(x) = c0 + c1x + ... + cn+mxn+m Gi¶ sö f(x)g(x) kh«ng nguyªn b¶n. Ta cã: (c0, c1, ..., cn+m) = d > 1 suy ra tån t¹i p nguyªn tè p | d. Khi ®ã p | ci  i = 1, ..., n + m. V× f(x), g(x) nguyªn b¶n. Do ®ã (a0, a1, ..., an) = 1; (b0, b1, ..., bn) = 1; Suy ra kh«ng ph¶i mäi ai(i = 1, ..., n), mäi bj(j = 1, ..., m) ®Òu chia hÕt cho p. Gi¶ sö ak lµ hÖ sè ®Çu tiªn cña f(x) kh«ng chia hÕt cho p, tøc lµ a0, a1, ..., ak-1 ®Òu chia hÕt cho p; ak kh«ng chia hÕt cho p, vµ bs lµ hÖ sè ®Çu tiªn cña g(x) kh«ng chia hÕt cho p. XÐt ck+s = = = a0bk+s + a1bk+s-1+ ... + ak-1bs+1 + akbs + ak+1bs-1 + ... + ak+sb0 V× b0, b1, ..., bs-1, a0, a1, ..., ak-1, vµ ck+s p. Do ®ã: akbs p suy ra akp hoÆc bs p (v« lý v× ak kh«ng chia hÕt cho p, bs kh«ng chia hÕt cho p). VËy f(x), g(x) nguyªn b¶n. 3.1.3.C¸c bµi to¸n trong h×nh häc. ( Th­êng dïng ®Ó chøng minh c¸c ®Þnh lý to¸n häc). Bµi to¸n 1: Cho ba mÆt ph¼ng c¾t nhau tõng ®«i mét vµ kh«ng cã ®iÓm chung cho c¶ ba mÆt ph¼ng. Chøng minh: C¸c giao tuyÕn cña chóng lµ c¸c ®­êng th¼ng song song. Gi¶i:    Gi¶ sö: = a = b = c Gi¶ sö a, b c¾t nhau t¹i O. Suy ra O  a  O  vµ O  . O  b  O  vµ O  . Suy ra O lµ ®iÓm chung cña ba mÆt ph¼ng ( tr¸i gi¶ thiÕt) VËy a // b (1) Chøng minh t­¬ng tù ta cã b // c (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra a // b // c. VËy c¸c giao tuyÕn cña chóng lµ c¸c ®­êng th¼ng song song. Bµi to¸n 2: Cho mÆt ph¼ng (P),(Q) ph©n biÖt . (P) // (R), (Q) // (R). Chøng minh: (P) // (Q). Gi¶i: Gi¶ sö (P),(Q) c¾t nhau theo mét giao tuyÕn lµ a’ th× tõ ®iÓm A trªn a’ ta l¹i cã hai mÆt ph¼ng (P),(Q) cïng song song víi mÆt ph¼ng. (*) A a’ Q P R MÆt kh¸c,theo ®Þnh lý vÒ hai mÆt ph¼ng song song: Qua mét ®iÓm A bÊt kú cho tr­íc kh«ng n»m trªn mÆt ph¼ng (P) cho tr­íc, tån t¹i duy nhÊt mét mÆt ph¼ng (Q) song song víi mÆt ph¼ng (P). Suy ra (*) m©u thuÉn víi ®Þnh lý trªn. VËy gi¶ sö sai hay (P) // (Q). Bµi to¸n 3: Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y lµ h×nh vu«ng, SB(ABCD). LÊy trªn SA mét ®iÓm M. Gi¶ sö SD giao víi (BCM) t¹i N. Chøng minh: 6 ®iÓm A, B, C, D, M, N kh«ng thÓ cïng n»m trªn mét mÆt cÇu. Gi¶i: Do BC // AD  BC // (SAD)  (MBC) (SAD) = MN Trong ®ã N thuéc SD; vµ MN // BC tøc lµ MN // AD. Ta cã: AD AB ( gi¶ thiÕt) vµ SB AD ( do SB(ABCD)) suy ra AD (SAB)  AD SA  MADN lµ h×nh thang vu«ng ( víi c¹nh ®¸y AD > MN). Do MADN lµ h×nh thang vu«ng thùc sù. Suy ra MADN kh«ng thÓ néi tiÕp trong h×nh trßn. (1) Gi¶ thiÕt ph¶n chøng: 6 ®iÓm A, B, C, D, M, N cïng n»m trªn mét mÆt cÇu (S). Khi ®ã: (S) ph¶i c¾t (SAD) theo giao tuyÕn lµ ®­êng trßn (C1) nµo ®ã. V× A, M, N, D ®ång thêi n»m trªn (S) vµ trªn (SAD). Suy ra A, M, N, D  (C1). §iÒu ®ã nghÜa lµ: AMND lµ tø gi¸c néi tiÕp trong ®­êng trßn (C1). (m©u thuÉn víi (1))  gi¶ thiÕt ph¶n chøng sai. VËy 6 ®iÓm A, B, C, D, M, N kh«ng thÓ cïng n»m trªn mét mÆt cÇu. Bµi to¸n 4: Cho ®­êng th¼ng a kh«ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (P). Chøng minh: cã mét vµ chØ mét mÆt ph¼ng (Q) ®i qua a vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (P). Gi¶i: Tõ ®iÓm O n»m trªn a ta kÎ ®­êng th¼ng b (P). Hai ®­êng th¼ng ph©n biÖt a, b c¾t nhau t¹i O, t¹o nªn (Q) (P). a P Q b O Gi¶ sö cã hai mÆt ph¼ng ®i qua a vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (P) lµ (Q) vµ (Q’) Suy ra (Q’) ®i qua a vµ (Q’) (P). Theo ®Þnh lý: “ Hai mÆt ph¼ng c¾t nhau vµ cïng vu«ng gãc víi mét mÆt ph¼ng thø ba th× giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng ®ã cïng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng thø ba”. Suy ra: a = (Q) (Q’) ; a (P) ( tr¸i gi¶ thiÕt: “ a kh«ng vu«ng gãc (P)”). VËy . 3.2.C¸c bµi to¸n chøng minh trùc tiÕp. 3.2.1.C¸c bµi to¸n trong sè häc. (C¸c bµi to¸n chøng minh chia hÕt, chøng minh ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm, chøng minh mét sè, mét biÓu thøc cã tÝnh chÊt H (lµ sè chÝnh ph­¬ng, sè nguyªn tè, ...)). Bµi to¸n 1: Cho c¸c sè A = ; B = ; C = . Chøng minh: A +B + C + 8 lµ mét sè chÝnh ph­¬ng. Gi¶i: Ta cã: A = =  A = B = =  B = C = = 6. Do ®ã: A +B + C + 8 = = = 62 VËy A +B + C + 8 lµ mét sè chÝnh ph­¬ng. Bµi to¸n 2: Chøng minh: a) (m5 – m) 30,  m  Z. b) NÕu ab (mod pn) víi p, n  Z+ vµ p, n > 1 th× ta cã: ap bp (mod pn +1). Gi¶i: a) Ta cã: m5 – m = m5 + 5 m3 –5m3 – 5m + 4m = m5–5m3 + 4m + 5m (m +1)(m – 1) = m(m4–5m2 + 4) + 30.k (k  Z) = m(m2– 1)(m2- 4) + 30.k =m(m – 2)(m – 1)(m + 1)( m + 2) + 30.k = 30.t + 30.k (t, k  Z) VËy (m5 – m) 30,  m  Z. b) Ta cã: ab (mod pn)  a – b 0 (mod pn)  a = b + pnt (t  Z). Do ®ã ap = (b + pnt)p = bp + bp-1pnt + ... + b(pnt)p-1 + (pnt)p  ap - bp = bp-1pnt + ... + b(pnt)p-1 + (pnt)p Ta cã: = 1  bp-1pnt pn+1 bp-k(pnt)k = bp-k(pnt)k pn+1  ap - bp pn+1  ap - bp 0 (mod pn+1)  ap bp (mod pn+1). Bµi to¸n 3: Chøng minh trong 8 sè tù nhiªn mçi sè cã 3 ch÷ sè bao giê còng chän ®­îc 2 sè mµ khi viÕt liÒn nhau ta ®­îc mét sè cã 6 ch÷ sè vµ chia hÕt cho 7. Gi¶i: LÊy 8 sè ®· cho chia cho 7 th× 2 sè cã cïng sè d­, gi¶ sö lµ vµ chia cho 7 cã d­ lµ r. Khi ®ã: = 1000 + = 1000(7k + r) + 7t + r = 7(1000k + 1 + 143r ) 7 (®pcm) Bµi to¸n 4: Chøng minh ph­¬ng tr×nh sau cã ®óng hai nghiÖm. T×m hai nghiÖm ®ã. Gi¶i: XÐt c¸c kh¶ n¨ng sau: NÕu x1 = 1998 vµ x2 = 1999, th× x1 vµ x2 tho¶ m·n ph­¬ng tr×nh ®· cho. NÕu x 1   VT > 1   x 1999    VT > 1   x > 1999 kh«ng lµ nghiÖm. 4. XÐt 1998 0 th× . Gi¶i: a) (a + b + c)2  3(a2 + b2 + c2) (1)  a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac  3a2 + 3b2 + 3c2  2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc -2ac  0  (a- b)2 + (b – c)2 + (c – a)2  0 (2) BÊt ®¼ng thøc (2) lu«n ®óng nªn bÊt ®¼ng (1) ®óng. b) Tõ vµ b, d > 0 , suy ra ad 0. Ta cã: VËy . Bµi to¸n 2: Chøng minh:  A, B ta cã: sin2(A + B) = sin2A + sin2B + 2sin Asin B cos(A +B). Gi¶i: sin2(A + B) = (sin Acos B + sin B cos A)2 = sin2A cos2B + sin2B cos2A + 2sin A cos Asin B cosB = sin2A (1 - sin2B) + sin2B (1- sin2A) + 2sin A cos Asin B cosB = sin2A + sin2B - 2sin2A sin2B + 2sin A cos Asin B cosB = sin2A + sin2B + 2sinA sinB (cos AcosB - sin Asin B) = sin2A + sin2B + 2sin Asin B cos(A +B). Bµi to¸n 3: Chøng minh nÕu m lµ mét sè tù nhiªn ch½n vµ a lµ mét sè lín h¬n 3 th× ph­¬ng tr×nh: (n + 1)xn + 2 – 3(n + 2)xn +1 + an + 2 = 0 v« nghiÖm. Gi¶i: §Æt f(x) = (n + 1)xn + 2 – 3(n + 2)xn +1 + an + 2 ta cã: f’(x) = (n +2)(n + 1)xn + 1 – 3(n +1)(n + 2)xn = (n +1)(n + 2)xn (x – 3) f’(x) = 0  Do n ch½n nªn f’(x) chØ ®æi dÊu qua x = 3. Suy ra min f(x) = f(3) = an + 2 – 3n +2 > 0 ( do a > 0). VËy ph­¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm. Bµi to¸n 4: Cho ph­¬ng tr×nh: f(x) = x3 – 3x2 + (2m – 2 )x + m – 3 = 0. T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh nãi trªn cã ba nghiÖm ph©n biÖt x1, x2, x3tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x1 Gi¶i: §iÒu kiÖn cÇn: Gi¶ sö f(x) = 0 cã ba nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn bµi to¸n.Khi ®ã dÔ thÊy: f(x) = (x - x1)(x- x2)(x- x3). V× x1 0  - m – 5 > 0  m 0 ( do m 0 sao cho f(b) > 0. Ta cã: f(a) 0, f(0) 0 víi a Gi¶i: V× G lµ träng t©m tam gi¸c ABC nªn: SABG = SBCG = SCAG Suy ra VSABG = VSBCG = VSCAG =V  VSABG = 3V. Ta cã:  T­¬ng tù ta cã: Mµ VSA’B’G’ + VSB’C’G’ + VSA’C’G’ = VSA’B’C’ nªn ta cã:  Bµi to¸n 2: a) Cho tø gi¸c ABCD.Chøng minh: AB2 – BC2 + CD2 – DA2 = 2. b) Cho tam gi¸c ABC ®Òu, M lµ ®iÓm n»m miÒn trong tam gi¸c ABC. C¸c ®iÓm D, E, F lµ h×nh chiÕu cu¶ ®iÓm M trªn BC, CA, AB. Chøng minh: (G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC). Gi¶i: a) Ta cã: AB2 – BC2 + CD2 – DA2 = = = = = = == = =2. b) Qua M kÎ c¸c ®­êng th¼ng song song víi c¸c c¹nh cña tam gi¸c ABC. Gi¶ sö lµ: KH; PL; NQ nh­ h×nh vÏ. Suy ra: MKQ; LMH; NMP ®Òu. Ta cã: = = = = . VËy 3.3. C¸c bµi to¸n chøng minh b»ng quy n¹p. 3.3.1. C¸c bµi to¸n trong sè häc vµ ®¹i sè. *Chøng minh b»ng quy n¹p th­êng dïng trong c¸c lo¹i to¸n: - Bµi to¸n vÒ d·y (®¼ng thøc tÝnh tæng, tÝnh tæng) mµ c«ng thøc chøa biÕn tù nhiªn. - Chøng minh ®¼ng thøc, bÊt ®¼ng thøc phô thuéc vµo sè nguyªn d­¬ng n. - Chøng minh tÝnh chia hÕt hoÆc kh«ng chia hÕt phô thuéc vµo sè nguyªn d­¬ng n. - TÝnh tÝch ph©n cña c¸c ®a thøc cã bËc n. - T×m ®¹o hµm cña hµm sè cho tr­íc. 3.3.1.1. Sö dông nguyªn lý chøng minh quy n¹p to¸n häc thø nhÊt. Bµi to¸n 1: Chøng minh r»ng: (1)  n  Z+ Gi¶i: Khi n = 1, ta cã: (®óng) Do ®ã ®¼ng thøc (1) ®óng víi n = 1 Gi¶ sö ®¼ng thøc (1) ®óng víi n = k, k  Z+, nghÜa lµ ta cã: (2) Ta chøng minh (1) ®óng khi n = k + 1 nghÜa lµ ta chøng minh: (3) Céng vµo hai vÕ cña (2) ta cã: = = (3) ®· ®­îc chøng minh. VËy: ,  n  Z+ Bµi to¸n 2: Chøng minh tõ 2n +1 – 1 sè nguyªn bÊt kú cã thÓ t×m ®­îc 2n mµ tæng cña chóng chia hÕt cho 2n. Gi¶i: a) Víi n = 1, ta cã: 22  (1) ®óng. Gi¶ sö (1) ®óng víi n = k, tøc lµ ta cã: (k +1)(k + 2)...(k +k) 2k ,  k  1 Ta ph¶i chøng minh (1) ®óng víi n = k + 1. Tøc lµ: (k +2)(k + 3)...(2k +2) 2k +1 ThËt vËy: A = (k +2)(k + 3)...2k(2k +2) = (k +1)(k + 2)...(k +k).2 Theo gi¶ thiÕt quy n¹p: (k +1)(k + 2)...(k +k) 2k Suy ra: A 2k +1 . Hay (k +2)(k + 3)...(2k +2) 2k + 1.  (1) ®óng víi n = k + 1. VËy (n +1)(n + 2)...(n +n) 2n ,  n  1 b) Víi n = 1: 31  13  (2) Gi¶ sö (2) ®óng víi n = k, tøc lµ ta cã: 3k  k3,  k  Z+ Ta ph¶i chøng minh (2) ®óng víi n = k + 1, tøc lµ 3k + 1  (k +1)3 (*) Ta cã: (2)  3k + 1  3k3 = k3 + 3k2 + 3k + (k – 3)k2 +(k2 – 3)k  3k + 1  k3 + 3k2 + 3k + 1 = (k +1)3 ( v× (k – 3)k2 > 1,(k2 – 3)k > 1)  (*) ®­îc chøng minh. VËy 3n  n3,  n  Z+ 3.3.1.1. Sö dông nguyªn lý chøng minh quy n¹p to¸n häc thø hai. Bµi to¸n 1: Chøng minh r»ng sè nguyªn tè thø n nhá h¬n Gi¶i: Gäi pn lµ sè nguyªn tè thø n, n  Z+ . Ta chøng minh r»ng: pn pk Gäi d lµ mét ­íc sè nguyªn tè cña A  d  A. NÕu d  pk th× d | p1 p2 p3... pk Do ®ã d |1, v« lý. Ta suy ra : d |pk  d > pk+1. Ta cã: pk+1  d  A = p1 p2 p3... pk + 1  pk+1 Gi¶i: Khi n = 0, ta cã: u 1 Gi¶i: Khi n = 1: víi ®a gi¸c cã 3 c¹nh ta lu«n cã mét tam gi¸c. VËy bµi to¸n ®óng víi n = 1. Gi¶ sö bµi to¸n ®óng khi n = k ( k  N) vµ k  1: ®a gi¸c (k + 2) c¹nh chia ®­îc thµnh k tam gi¸c. Ta chøng minh bµi to¸n ®óng khi n = k +1. NghÜa lµ: ®a gi¸c (k + 3) c¹nh chia ®­îc thµnh (k + 1) tam gi¸c. Ta nèi hai ®Ønh cßn l¹i cña hai c¹nh cã chung ®Ønh nµo ®ã cña ®a gi¸c (k + 3) c¹nh, ta ®­îc mét ®a gi¸c (k + 2) c¹nh vµ mét tam gi¸c. Theo gi¶ thiÕt quy n¹p, ®a gi¸c (k + 2) c¹nh chia ®­îc thµnh k tam gi¸c. Do ®ã ta ®· chia ®­îc ®a gi¸c (k + 3) c¹nh thµnh (k +1) tam gi¸c. VËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. Bµi to¸n 2: Cho ABC, qua C vÏ n – 1 ®­êng th¼ng CM1, CM2,..., CMn – 1 chia tam gi¸c thµnh n tam gi¸c nhá h¬n ACM1, M1CM2,..., Mn – 1CB. Gäi r1, r2,..., rn vµ l1, l2,..., ln lÇn l­ît lµ b¸n kÝnh c¸c ®­êng trßn néi tiÕp vµ bµng tiÕp cña c¸c tam gi¸c nµy.(TÊt c¶ c¸c ®­êng trßn bµng tiÕp ®Òu n»m trong gãc C cña tam gi¸c). Gäi r, l lÇn l­ît lµ b¸n kÝnh ®­êng trßn néi tiÕp vµ bµng tiÕp (gãc C) cña ABC. Chøng minh r»ng: . Gi¶i: A B C r1 r2 r3 l1 l2 l3 M1 M2 Gäi S lµ diÖn tÝch ABC vµ p lµ nöa chu vi. Khi ®ã ta cã: S = p.r MÆt kh¸c nÕu O lµ t©m ®­êng trßn bµng tiÕp cña ABC (h×nh vÏ) th×: S = SOAC + SOCB - SOAB = b.l + a.l - c.l = (b + a - c).l = (p – c).l Do ®ã: p.r = (p – c).l  (*) Mµ S = p.(p – a) tg= p.(p – b) tg= p.(p – c) tg vµ S = (c«ng thøc Hªr«ng)  tg= = vµ tg= Ta cã: tgtg= Theo (*) suy ra: tgtg= (1) * Chøng minh: Víi n = 1, hiÓn nhiªn : Víi n = 2, ®­êng th¼ng CM chia ABC thµnh 2 tam gi¸c nhá h¬n lµ ACM vµ CMB. Theo c«ng thøc (1) ta cã: tgtg tgtg= tgtg tgtg= tgtg= Gi¶ sö mÖnh ®Ò ®óng víi n ®­êng th¼ng tøc lµ ta cã n + 1 tam gi¸c nhá vµ Ta ph¶i chøng minh bµi to¸n ®óng víi n + 1. ThËt vËy: Qua C vÏ n + 1 ®­êng th¼ng CM1, CM2,..., CMn + 1 chia tam gi¸c thµnh n + 2 tam gi¸c nhá h¬n ACM1, M1CM2,..., Mn + 1CB. XÐt 2 trong c¸c tam gi¸c trªn, ch¼ng h¹n ACM1, M1CM2. Theo chøng minh trªn ta cã: Víi r12, l12 lµ b¸n kÝnh ®­êng trßn néi tiÕp vµ bµng tiÕp (gãc C) cña ACM2. Nh­ng víi n + 1 tam gi¸c ACM2, M2CM3,..., Mn + 1CB, ta cã hÖ thøc: Do ®ã: Suy ra bµi to¸n ®óng víi n + 1. VËy bµi to¸n ®­îc chøng minh. Bµi to¸n 3: Cho n h×nh vu«ng bÊt kú. Chøng minh r»ng: cã thÓ c¾t chóng (b»ng nh¸t c¾t th¼ng) lµm mét sè m¶nh ®a gi¸c ®Ó tõ ®ã cã thÓ ghÐp l¹i thµnh mét h×nh vu«ng míi. Gi¶i: Víi n = 1, hiÓn nhiªn ®óng. Ta chøng minh víi n = 2, bµi to¸n còng ®óng. A1 C1 (h.2) B1 D1 M1 N1 P1 Q1 (b) (a) ThËt vËy: LÇn l­ît gäi ®é dµi c¸c c¹nh cña 2 h×nh vu«ng cho tr­íc ABCD vµ A’B’C’D’ lµ x vµ y (x  y). Trªn c¸c c¹nh cña h×nh vu«ng ABCD (h.2a) ta lÊy c¸c ®o¹n: AM = BN = CP =DQ = C¾t h×nh vu«ng däc theo c¸c ®­êng th¼ng MP vµ NQ. Giao cña MP vµ NQ lµ O. Tõ M, Q kÎ QK BC, ML DC, cã: tam gi¸c vu«ng QKN b»ng tam gi¸c vu«ng MLP. Suy ra QN = MP (*) vµ cã QNML =I , . Mµ:   MP NQ Nèi QM, MN cã: QM = MN  QO = ON (**) QN = QP  OP = OM Tõ (*) vµ (**) suy ra QO = OP = OM = ON  AMOQ; BNOM; CPON; DQOP lµ 4 m¶nh b»ng nhau, O lµ t©m cña h×nh vu«ng MNPQ. Ta cã: MP NQ vµ chia h×nh vu«ng thµnh 4 m¶nh b»ng nhau t¹i t©m O cña nã. GhÐp c¸c m¶nh nµy víi h×nh vu«ng thø 2 nh­ h×nh 2.b, ta ®­îc mét h×nh vu«ng.V× t¹i M1, N1, P1, Q1 c¸c gãc bï nhau; A1, B1, C1, D1 lµ c¸c gãc vu«ng vµ A1B1 = B1C1= C1D1 = D1A1 ( lµ tæng cña 2 c¹nh b»ng nhau). Gi¶ sö bµi to¸n ®­îc chøng minh víi n h×nh vu«ng. Ta ph¶i chøng minh bµi to¸n ®óng víi n + 1 h×nh vu«ng. Ta cã: n + 1 h×nh vu«ng K1, K2,..., Kn, Kn +1. LÊy ra 2 h×nh bÊt kú, ch¼ng h¹n Kn vµ Kn +1. Theo chøng minh trªn ta cã thÓ c¾t mét trong 2 h×nh vu«ng nµy vµ ghÐp c¸c m¶nh víi h×nh vu«ng thø 2 ®Ó cã h×nh vu«ng míi K’. Khi ®ã nhê gi¶ thiÕt quy n¹p ta cã thÓ c¾t n h×nh vu«ng K1, K2,..., Kn, Kn –1,K’ ®Ó t¹o nªn mét h×nh vu«ng míi tõ nh÷ng m¶nh c¾t nµy.

Các file đính kèm theo tài liệu này:

  • doc74261416-Luan-Van-Cua-Tran-Thu-Lan.doc
Luận văn liên quan