Đề tài Các mức độ nhận thức theo bloom trong chủ đề “hàm số lượng giác và phương trình lượng giác”

+ Chuyển đổi một phương trình đại số sang phương trình lượng giác nhờ có các điều kịên thích hợp; + Sử dụng được một số bất đẳng thức quen thuộc trong khi giải các bài toán lượng giác, ví dụ như bất đẳng thức côsi, bunhiacopxki; + Ngoài các phương pháp cơ bản đã đươc giới thiệu trong sách giáo khoa, phát hiện thêm một số phương pháp mới để giải phương trình lượng giác như biến đổi phương trình thành tổng của các số hạng không âm, phương pháp đánh giá ; + Từ cách giải phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx mở rộng ra phương trình thuần nhất bậc ba đối với sin và cos, từ đó mở rộng ra phương trình thuần nhất bậc n đối với sinx và cosx;

pdf17 trang | Chia sẻ: lylyngoc | Ngày: 02/12/2013 | Lượt xem: 2621 | Lượt tải: 4download
Bạn đang xem nội dung tài liệu Đề tài Các mức độ nhận thức theo bloom trong chủ đề “hàm số lượng giác và phương trình lượng giác”, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
0 ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN ……………….. BÀI TẬP NHÓM HỌC PHẦN: ĐÁNH GIÁ TRONG DẠY HỌC TOÁN Đề tài: CÁC MỨC ĐỘ NHẬN THỨC THEO BLOOM TRONG CHỦ ĐỀ “HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC” Giáo viên hướng dẫn: Nguyễn Đăng Minh Phúc Nhóm thực hiện: Nhóm 4 Các thành viên: Nguyễn Văn Hiền Nguyễn Thị Lý Nguyễn Thị Hoa Nguyễn Thị Tiểu Mơ Huế, 11/20 1 I. MỞ ĐẦU Cũng như các môn học khác ở THPT môn Toán cũng có các mục đích như là cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản một cách có hệ thống; rèn luyện, phát triển các thao tác tư duy, từ đó nâng cao các năng lực tư duy, khả năng sáng tạo khi giải toán.Giúp học sinh hiểu được ý nghĩa, ứng dụng của các kiến thức toán học vào đời sống, vào việc phục vụ các môn học khác. Phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh. Bồi dưỡng phương pháp tự học. Rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui và hứng thú học tập cho học sinh. Chủ đề “Phương trình lượng giác và hàm số lượng giác” là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán THPT. Chủ đề này giới thiệu một số hàm số lượng giác, phương trình lượng giác cơ bản và cac dạng phương trình lượng giác thường gặp. Mục đích của chủ đề này là giúp học sinh nắm được tính chất tuần hoàn các hàm số lượng giác, sử dụng đường tròn lượng giác để tìm nghiệm của các phưong trình lượng giác cơ bản, rèn luyện kỹ năng biến đổi lượng giác và kỹ năng giải các dạng phương trình lượng giác được quy định trong chương trình. Nhiều hiện tượng tuần hoàn đơn giản trong thực tế được mô tả bởi hàm số lượng giác, do đó hàm số lượng giác có nhiều ứng dụng quan trọng trong các ngành khoa học liên quan và trong các ngành sản xuất. Vì vậy các kiến thức lượng giác mà học sinh được trang bị ở trường THPT sẽ giúp học sinh hiểu và giải quyết tốt các bài toán đề xuất từ thực tiễn. Cuối cùng, việc học tập chủ đề lượng giác ở trường THPT còn nhằm mục đích chuẩn bị cho học sinh sau khi ra trường có cơ sở để học toán học cao cấp và kỹ thuật sản xuất ở các trường chuyên nghiệp 2 Để đạt được những mục đích đó thì mục tiêu trong đánh giá giáo dục Toán nói chung và trong chủ đề Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác nói riêng phải đáp ứng và phản ánh đúng mức độ nhận thức của học sinh. Để từ quá trình đánh giá đưa ra những quy định giúp nâng cao chất lượng học tập môn Toán và đề ra những phương pháp dạy phù hợp, đạt hiệu quả cao. Dựa trên những yêu cầu chung của môn học cũng như yêu cầu cụ thể đối với chủ đề này, sau khi học xong chương này học sinh cần đạt được các mức độ nhận thức: nhận biết; thông hiểu; vận dụng; những khả năng bậc cao. II. NỘI DUNG A. Nhận biết 1. Kiến thức và thông tin Khả năng để gọi ra được những định nghĩa, ký hiệu, khái niệm và lý thuyết. Trong phạm trù này học sinh được đòi hỏi chỉ gọi ra được định nghĩa của một sự kiện và chưa cần phải hiểu. Một chú ý quan trọng là kiến thức chỉ khả năng lặp lại chứ không phải để sử dụng. Những câu hỏi kiểm tra các mục tiêu ở phần này sẽ được đặt ra một cách chính xác với cách mà các kiến thức được học. Cuối giai đoạn này học sinh có khả năng để: + Nhận biết, phát biểu được hàm số sinx,y  osx,y c tan x,y  cotxy  ; + Biết được tính tuần hoàn, chu kì của các hàm số lượng giác; + Biết được tính chẵn lẻ của một hàm số lượng giác, dạng đồ thị của các hàm số lượng giác; + Định nghĩa được phương trình lượng giác cơ bản; + Nhận ra phương trình bậc nhất và bậc hai đối với một hàm số lượng giác, phương trình đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác, phương trình dạng asinx cosb x c  3 + Nhận biết tập giá trị của các hàm số lượng giác sinx,y  osx,y c tan x,y  cotxy  ; + Nắm được điều kiện của a để các phương trình sinx a và cosx a có nghiệm; 2. Những kỹ thuật và kỹ năng Sử dụng trực tiếp việc tính toán và khả năng thao tác trên các biểu diễn ký hiệu, các lời giải. Mục tiêu này bao gồm việc sử dụng các thuật toán như các kỹ năng thao tác và khả năng thực hiện trực tiếp các phép tính, những đơn giản hóa và các lời giải tương tự với các ví dụ học sinh đã gặp trong lớp, mặc dù có khác nhau về chi tiết. Câu hỏi có thể không đồi hỏi phải đưa ra quyết định là làm thế nào để tiếp cận bài toán, chỉ cần dùng kỹ thuật đã được học, hoặc có thể là một quy tắc phải được nhắc lại và áp dụng thẳng kỹ thuật đã được học. Cuối phần này học sinh phải có khả năng để: + Biết dạng đồ thị của các hàm số lượng giác; + Biết cách vẽ đồ thị của hàm số lượng giác cơ bản; + Biết sử dụng đồ thị để xác định các điểm tại đó hàm số lượng giác nhận giá trị âm, giá trị dương và các giá tri đặc biệt; + Biểu diễn công thức nghiệm dưới dạng radian sang độ; + Tìm tập xác định của phương trình lượng giác; + Biết cách giải phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác; + Biết cách giải phương trình dạng asin cosx b x c  . 3. Một số ví dụ: Ví dụ 1: Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ: A. os2y c x B. sin( ) 2 y x    4 C. tan5y x D. sinx cosy x  Đáp án C. Ở đây học sinh cần nhớ lại tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác. Ví dụ 2 : Tập xác định của hàm số tan2y x là: A. 2 x k    B. 4 2 x k     C. 4 x k    D. 4 x k     , k Z Đáp án B. Ở đây học sinh cần nhớ lại định nghĩa hàm số t anxy  và tập xác định của nó. Ví dụ 3: Giải phương trình sinx cos 1x  (1) Để làm câu này, trước hết học sinh cần nhận ra được phương trình này có dạng asin cosx b x c  và áp dụng các thuật toán đã học để giải. 1 1 1 (1) sinx cos 2 2 2 2 ox sinx sin cos 4 4 2 2 sin( ) 4 2 sin( ) sin 4 4 x c x x x                  2 4 4 2 4 4 x k x k                    k 2 2 2 x k x k          k 5 B. Thông hiểu Đây là khả năng nắm được ý nghĩa của tài liệu như chuyển đổi dữ liệu từ một dạng này sang dạng khác, từ một mức độ trừu tượng này sang một mức độ khác; khả năng giải thích hay suy ra ý nghĩa các dữ liệu; theo đuổi và mở rộng một lập luận và giải các bài toán mà ở đó sự lựa chọn các phép toán là cần thiết. Phạm trù này gồm các câu hỏi để học sinh có thể sử dụng các kiến thức học được mà không cần liên hệ với kiến thức khác, hay nhận ra các kiến thức đó qua những áp dụng của nó. Những câu hỏi này nhằm xác định xem học sinh có nắm được ý nghĩa của kiến thức mà chưa đòi hỏi học sinh phải áp dụng hay phân tích nó. Các hành vi thể hiện việc hiểu có thể chia thành ba loại theo thứ tự sau đây: . chuyển đổi . giải thích . ngoại suy 1.Chuyển đổi Đây là quá trình trí tuệ về sự chuyển đổi ý tưởng trong sự giao tiếp thành các dạng song song. Học sinh được yêu cầu thay đổi từ một dạng ngôn ngữ này sang dạng khác, hay từ dạng ký hiệu sang dạng khác. Cuối giai đoạn này học sinh có khả năng: + Viết hàm số để biểu thị một đồ thị đã cho và ngược lại; + Từ đồ thị của hàm số ban đầu thì có thể chuyển sang đồ thị của hàm số khác, ví dụ như từ đồ thị hàm số y = sinx học sinh suy ra được đồ thị của hàm số sin( ) 2 y x    6 + Biểu diễn một số thực bất kỳ sang giá trị lượng giác của một góc, ví dụ như 1 sin30 2  2. Giải thích Hành động chính trong giải thích là việc xác định và hiểu các ý tưởng chính trong một giao tiếp cũng như hiểu các mối quan hệ của chúng. Nó gắn liền với việc giải thích hay tóm tắt một giao tiếp, ví dụ từ một đồ thị hay bảng các dữ liệu người ta yêu cầu rút ra được những yếu tố hay nhận xét. Những bài toán trong phạm trù này sẽ tương tự với cái mà học sinh đã quen thuộc trước đây, nhưng các em cần hiểu các khái niệm chính yếu để giải bài toán. Một quyết định đưa ra không chỉ là về cái gì mà còn thế nào để làm được. Cuối giai đoạn này học sinh sẽ có khả năng: + Từ đồ thị của một hàm số lượng giác, chỉ ra được chu kỳ của hàm số đó; + Phân biệt khái niệm hàm số sinx, cos , tanx, cotxy y x y y    ; chỉ ra được liên hệ của hàm số t anxy  và cot xy  thông qua hàm số sin xy  và osxy c ; + So sánh các tính chất của các hàm số sin x,y cos , tanxy x y   và cot xy  như tính đồng biến, chẵn lẻ…; + Chỉ ra ứng dụng của các hàm số lượng giác vào các bài toán thực tế, như bài toán khảo sát chuyển động của con lắc đơn, quỹ đạo chuyển động của vệ tinh được phóng lên từ trái đất…; + Biểu diễn nghiệm của một phương trình lượng giác lên đường tròn lượng giác, từ đó làm gọn nghiệm. 7 3. Ngoại suy Mục tiêu này gắn liền với khả năng của học sinh nhằm ngoại suy hay mở rộng những hướng vượt quá các dữ liệu đã cho. Cần phải có sự nhận thức về các giới hạn của dữ liệu cũng như các giới hạn trong phạm vi mà ta có thể mở rộng chúng. Bất kỳ một kết luận nào được rút ra đều có một mức độ xác suất. Phép ngoại suy là một sự mở rộng của việc giải thích mà theo cách đó mỗi khi học sinh giải thích dữ liệu đó thì học sinh được yêu cầu chỉ ra những ứng dụng cụ thể, hệ quả hay những tác động của nó. Cuối giai đoạn này học sinh có thể: + Hiểu được rằng một điểm trên đường tròn lượng giác có thể biểu diễn cho một họ các góc lượng giác, từ đó làm gọn nghiệm thu được của phương trình lượng giác; + Hiểu được tập xác định của một phương trình lượng giác, nếu mở rộng phạm vi lấy nghiệm thì phải lưu ý trừ ra những điểm mà tại đó hàm số không xác định; + Biết được khoảng đồng biến, nghịch biến của một hàm số lượng giác từ đó suy ra được tất cả các khoảng đồng biến nghịch biến khác (do tính tuần của hàm số lượng giác); + Biết nghiệm tổng quát của một phương trình lượng giác thì có thể chỉ ra được tất cả các nghiệm của nó thuộc vào một khoảng nào đó. 4. Một số ví dụ Ví dụ1: Trong khoảng  2 ;4  , phương trình sin3 0 cos 1 x x   có bao nhiêu nghiệm? A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 Đáp án D. 8 Ở đây, khi giải phương trình học sinh cần chú ý đặt điều kiện xác định. Sau đó tìm các nghiệm trên đoạn  2 ;4  . Học sinh thường mắc sai lầm do quên đặt điều kiện xác định. Ví dụ 2: Đồ thị bên là đồ thị của hàm số A. 2cosy x  B. cos 1y x   C. cos( ) 1y x     D. cos( ) 1 2 y x     Đáp án B. Thay 0x  vào các phương án đã cho ta loại được phương án C và D. Dựa vào miền giá trị của hàm số cosy x ta loại được phương án A. Ví dụ 3: Giải phương trình sau:  sin os2 1c x  (1) Bài giải: (1) os2 2 2 c x k     , k 1 os2 2 2 c x k   , k (2) Mặt khác ta có: 1 os2 1c x   .Vậy để (2) có nghiệm thì 1 1 2 1 2 k    . Khi đó (2) trở thành 1 os2 2 c x  2 2 3 2 2 3 x k x k               , k 2 -2 -10 -5 5 10 9 6 6 x k x k               , k Vậy phương trình đã cho có hai họ nghiệm trên. Để giải được bài này thì học sinh phải nhận dạng được phương trình trên và phải biết miền giá trị của hàm số cosy x để từ đó tìm được giá trị của k. C. Vận dụng 1. Phạm trù này chỉ việc sử dụng các ý tưởng, quy tắc, hay phương pháp chung vào những tình huống mới. Cá câu hỏi yêu cầu học sinh phải áp dụng các khái niệm quen thuộc vào các tình huống không quen thuộc, có nghĩa là phải áp dụng kiến thức và việc hiểu các kỹ năng vào các tình huống mới hoặc những tình huống được trình bày theo một dạng mới. Phương pháp của lời giải là không có gợi ý trong câu hỏi, và khả năng tìm kiếm lời giải mới chứ không phải tái tạo lại lời giải ở lớp. Điều quan trọng là những tình huống được trình bày cho học sinh là khác với những gì các em được học một cách có nguồn gốc, về ý nghĩa của những trừu tượng mà các em được yêu cầu để áp dụng, để đảm bảo rằng bài toán không thể giải được nếu chỉ áp dụng các phương pháp thường gặp. Phạm trù này là cần thiết vì việc hiểu một khái niệm trừu tượng không đảm bảo rằng học sinh sẽ có khả năng nhận ra sự phù hợp và áp dụng nó một cách đúng đắn vào những tình huống thực tiễn. Khả năng áp dụng các khái niệm này và quy tắc đòi hỏi cho một bài toán mới lúc đầu trông có vẻ không quen thuộc cho đến khi các yếu tố được cấu trúc lại theo một hoàn cảnh quen thuộc, điều đó là cực kỳ quan trọng trong các khóa học về toán bởi vì tất cả những gì học sinh được học đều có dự định để áp dụng vào trong các tình huống có vấn đề toán thực tế . 10 Cuối giai đoạn này học sinh có thể: + Có khả năng phát biểu lại các công thức lượng giác theo ngôn ngữ của riêng mình và có khả năng tái tạo lại các công thức đó khi cần thiết; + Áp dụng các quy tắc lượng giác để đơn giản hóa các phương trình lượng giác; + Chọn phương pháp biến đổi lượng giác thích hợp để giải một bài toán; + Từ tập giá trị của các hàm số sin x,y cos , tanxy x y   và cot xy  có thể đánh giá để giải các bài toán về lượng giác như giải phương trình, bất phương trình, bài toán tìm min, max của một hàm số…; + Áp dụng các kiến thức về lượng giác để giải các bài toán thực tế, ví dụ như khảo sát các chuyển động có tính tuần hoàn trong thực tế. 2. Một số ví dụ Ví dụ 1: Giải phương trình sin( 2 )cot3 sin( 2 ) 2 os5 0 2 x x x c x       (1) Để giải được phương trình này học sinh cần xác định được điều kiện xác định của hàm số qua từng phép biến đổi. Biết giá trị lượng giác của các góc đặc biệt. Chọn được các công thức biến đổi lượng giác thích hợp. ĐKXĐ sin3 0x  os3 (1) os2 . sin 2 2 os5 0 sin3 os2 os3 sin 2 sin3 2 os5 sin3 0 os5 (1 2 sin3 ) 0 c x c x x c x x c xc x x x c x x c x x            os5 0 2 sin3 2 c x x      5 2 3 2 4 3 2 4 x k x k x k                      , k 11 10 5 2 12 3 3 2 12 3 x k x k x k                    , k Ví dụ 2: Cho phương trình sinx ( 1)cos cos m m m x x    (2). Tìm các giá trị của m sao cho phương trình đã cho có nghiệm. Bài này có nhiều cách biển đổi, chẳng hạn nhân hai vế với cosx rồi đem về phương trình dạng asin cosx b x c  rồi tìm điều kiện của m, hay chia cả hai vế của phương trình với cosx, đem phương trình đã cho về dạng phương trình bậc hai đối với tanx. Sau đây trình bày cách giải thứ hai vì nó tương đối ngắn gọn và ít bị nhầm lẫn. ĐKXĐ : cos 0x  . Với điều kiện đó chia hai vế của phương trình (2) cho cosx, ta được: 2 2 t anx 1 (1 tan ) tan t anx 1 0 m m m x m x m         Đặt t anx t , ta được phương trình: 2 1 0mt mt  (*) Do phương trình t anx t có nghiệm với mọi t nên phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm. 2 4 0 0 4 m m m m          12 D. Những khả năng bậc cao 1. Đây là một phạm trù rất rộng và bao gồm các phạm trù con: phân tích, tổng hợp và đánh giá. Phân tích: là một bước khởi đầu của những quy tắc giải quyết vấn đề hay đưa ra những phán xét dựa trên kết quả của lời giải, việc phân tích bài toán thường rất quan trọng. Việc này thường có các dạng: + Chia nhỏ thông tin thành những thành phần phù hợp và tổ chức lại chúng + Phân biệt các sự kiện từ giả thiết và khẳng định giả thiết nào có thể phải tao nên để chứng minh quy tắc nào đó. Tổng hợp: Sau khi phân tích một bài toán, sắp xếp các yếu tố hoặc các phần lại với nhau để có một công thức hay quy luật mà trước đó chưa thấy rõ ràng. Khả năng này, nếu nó đưa đến sự sáng tạo và tính độc đáo cho một bộ phận học sinh một cách rõ ràng nhất, được gọi là sự tổng hợp. Đánh giá: sau khi phân tích một vấn đề, học sinh có thể được yêu cầu đưa ra một đánh giá như là kết quả của việc phân tích thông tin. Khả năng xác định những tiêu chuẩn và giá trị cho một ý tưởng hay một sản phẩm và rồi đưa ra một phán xét xác đáng được gọi là đánh giá. Cuối giai đoạn này học sinh có thể: + Phát hiện sai lầm trong lập luận của mình, ví dụ như sai lầm khi dùng bất đẳng thức côsi để giải bài toán tìm min, max của một hàm số; + Sáng tạo trong việc sử dụng các công thức lượng giác để đơn giản hóa các biểu thức lượng giác, từ đó có được lời giải hay; + Chuyển đổi một phương trình lượng giác sang phương trình đại số bằng một số cách như: đặt tant x 1 cotx t   ; 2 2 sin 2 1 t x t   ; 2 2 1 os2 1 t c x t    hoặc sinx cost a b x  , 2 2t a b  13 + Chuyển đổi một phương trình đại số sang phương trình lượng giác nhờ có các điều kịên thích hợp; + Sử dụng được một số bất đẳng thức quen thuộc trong khi giải các bài toán lượng giác, ví dụ như bất đẳng thức côsi, bunhiacopxki; + Ngoài các phương pháp cơ bản đã đươc giới thiệu trong sách giáo khoa, phát hiện thêm một số phương pháp mới để giải phương trình lượng giác như biến đổi phương trình thành tổng của các số hạng không âm, phương pháp đánh giá…; + Từ cách giải phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx mở rộng ra phương trình thuần nhất bậc ba đối với sin và cos, từ đó mở rộng ra phương trình thuần nhất bậc n đối với sinx và cosx; + Đánh giá sáng tạo để giải một bài toán lượng giác, không nhất thiết phải rập khuôn theo một quy tắc giải đã có. 2. Một số ví dụ Ví dụ 1: Trong các nghiệm của hệ 2 2 2 2 9 16 12 x y z t xt yz           Tìm nghiệm sao cho tổng x + z đạt giá trị lớn nhất. Lời giải: Từ hai phương trình đầu của hệ, vì có tổng các bình phương làm cho ta nghĩ đến việc chuẩn hóa đưa bài toán về xét các biến trên đoạn [0 ; 1] ; [-1 ; 1]. Hệ đã cho tương đương với hệ 14 2 2 2 2 1 3 3 1 4 4 . . 1 3 4 3 4 x y z t x t y z                                Từ đó ta có : 1 3 x  ; 1 3 y  ; 1 4 z  ; 1 4 t  . Đặt sin 3 x  ; os 3 y c  ; sin 4 z  ; os 4 t c  Thay vào bất phương trình thứ ba của hệ ta có sin  .cos  + cos  .sin   1 hay sin(  +  )  1. Từ đó suy ra sin(  +  ) =1   +  = 2 2 k   , k . Mặt khác x + z =3sin  + 4sin  = 3sin  + sin 2 2 k         , k . = 3sin  + 4cos  2 23 4  sin (  +  )  5. Vậy x + z đạt giá trị lớn nhất bằng 5 khi tan  =3 4 , khi đó 4 os 5 c    3 sin 5    . Từ đó ta nhận được   9 12 16 12 ; ; ; ; ; ; 5 5 5 5 x y z t        hoặc   9 12 16 12 ; ; ; ; ; ; 5 5 5 5 x y z t           Ví dụ 2: Giải phương trình: 2 3 21sin sin sinx.sin 3 4 x x x  15 Bài giải: Biến đổi phương trình về dạng : 2 2 2 2 2 4 4 2 4sin 4sinx.sin 3 sin 3 0 4sin 4sinx.sin 3 sin 3 sin 3 sin 3 0 x x x x x x x x            2 2 2 22sinx sin 3 sin 3 (1 sin 3 )x x x    = 0   2 2 2 2sin sin 3 0 1 sin 3 sin 3 0 x x x x        2 2 2 1 sin sin 3 2 sin 3 1 sin 3 0 x x x x          2 2 sin 3 1 1 sinx 2 sin 3 0 sinx 0 x x              2 3 3 3sinx 4sin 1 1 sinx 2 3sinx 4sin 0 sinx 0 x x             1 sinx 2 sinx 0     2 6 5 2 6 x k x k x k                  , k Vậy phương trình đã cho có 3 họ nghiệm như trên. Để giải được bài này học sinh phải biết thêm bớt vào vế phải của phương trình một lượng là 4sin 3x để xuất hiện hằng đẳng thức. Biết đánh giá tổng của hai biểu thức không âm bằng không khi và chỉ khi hai biểu thức đều bằng không. Ngoài ra phải biết cách giải được phương trình lượng giác cơ bản. 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Đại số và giải tích nâng cao và cơ bản 11, NXB GD . 2. Sách giáo viên nâng cao và cơ bản 11, NXB GD. 3. Giải toán lượng giác nâng cao 11, Lê Hữu Trí – Lê Hồng Đức, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. 4. đánh giá trong dạy học toán, Nguyễn Đăng Minh Phúc, Đại Học Sư Phạm Huế.

Các file đính kèm theo tài liệu này:

  • pdf4a_n4_ham_so_luong_giac_phuong_trinh_luong_giac_4647.pdf
Luận văn liên quan