Đề tài Ứng dụng phương pháp tọa độ giải một số bài toán hình học không gian về góc và khoảng cách

Trong bài tiểu luận này tôi tập trung vào việc đưa ra cách đặt hệ trục tọa độ để giải các bài toán hình học không gian về góc và khoảng cách với một số hình chúng ta thường gặp khi giải các bài tập dạng này. Đây là phần quan trọng nhất để giải thành công một bài toán hình học bằng phương pháp tọa độ trong không gian. Nói chung với một hình nào đó tất nhiên có thể có nhiều cách đặt hệ trục tọa độ khác nhau và còn phụ thuộc vào yêu cầu của đề bài sao cho phù hợp, tuy nhiên những cách tôi đưa ra là những cách thông dụng nhất.

docx34 trang | Chia sẻ: lylyngoc | Ngày: 03/12/2013 | Lượt xem: 7128 | Lượt tải: 33download
Bạn đang xem nội dung tài liệu Đề tài Ứng dụng phương pháp tọa độ giải một số bài toán hình học không gian về góc và khoảng cách, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC GIÁO DỤC BÀI TẬP NHÓM MÔN LÍ LUẬN DẠY HỌC Đề tài: Ứng dụng phương pháp tọa độ giải một số bài toán hình học không gian về góc và khoảng cách Giáo viên hướng dẫn: T.S Nguyễn Chí Thành Môn học: Hình học cơ sở Người thực hiện: Phạm Thị Hải Yến Sinh viên lớp: K54 A1S Email: yenpth@hus.edu.vn Hà nội, ngày 23 tháng 5 năm 2012 LỜI NÓI ĐẦU Hình học không gian là một bộ phận quan trọng của chương trình toán trung học phổ thông hiện nay. Các bài toán hình học không gian khá phức tạp và đòi hỏi người học phải có tư duy tốt. Bên cạnh đó, một số bài toán về tính số đo góc, góc nhị diện hay khoảng cách giữa hai đường thẳng trong không gian nếu giải theo phương pháp thông thường khá phức tạp và tốn nhiều thời gian nhưng nếu giải theo phương pháp đặt hệ trục tọa độ thì sẽ đơn giản hơn nhiều. Bản thân tôi nhận thấy hiện nay rất nhiều công cụ hỗ trợ cho việc tính toán với tốc độ rất nhanh và chính xác vì thế việc giải quyết bài toán hình học thông qua đại số giúp cho con người có thể tiết kiệm được khá nhiều thời gian, và có ý nghĩa về mặt thực tế. Tất nhiên phương pháp này chỉ tối ưu với một lớp bài toán nào đó chứ không phải lúc nào nó cũng tỏ ra hiệu quả. Vì vậy khi nghiên cứu đề tài này, tôi chủ yếu tập trung vào các vấn đề sau: Dấu hiệu nhận biết và các bước giải một bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ. Đưa ra một số cách đặt hệ trục tọa độ với một số hình đặc biệt. Nêu một số bài tập hình học giải bằng phương pháp tọa độ trong không gian về góc và khoảng cách. Trình bày một số bài tập hình học được giải theo hai phương pháp, phương pháp tọa độ và phương pháp tổng hợp. Điều này giúp cho chúng ta có thể trở lên linh hoạt trong việc lựa chọn phương pháp giải sao cho phù hợp với từng bài toán. Nói chung phương pháp tọa độ trong không gian là một phương pháp không quá khó để sử dụng tuy nhiên nó vẫn còn gây lúng túng với khá nhiều người. Nên trong đề tài này tôi hi vọng sẽ cung cấp thêm cho mọi người một số kiến thức để giải các bài toán hình học không gian về góc và khoảng cách bằng phương pháp tọa độ. MỤC LỤC ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Tóm tắt lí thuyết Các công thức liên quan đến tọa độ Phép toán tuyến tính: k.u+lv=(k.xu+lxv;k.yu+l.yv;k.zu+l.zv) Tích vô hướng: uv=xuxv+yuyv+zuzv Tích có hướng: Các công thức về góc Góc giữa hai véc tơ: cosu,v= u. vu.v Góc giữa hai đường thẳng: cos∆1;∆2= u. vu.v Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: sin∆,∝=u∆.n∝u∆n∝ Góc giữa hai mặt phẳng: cosα;β= nα . nβnα.nβ Các công thức về khoảng cách Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: Dấu hiệu nhận biết và các bước giải một bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ Những bài toán hình học không gian ở phần giả thiết có những dạng sau thì nên dùng phương pháp tọa độ để giải Hình đã cho có một đỉnh là tam diện vuông . Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy và đáy là các tam giác vuông , tam giác đều, hình vuông, hình chữ nhật… Hình lập phương, hình chữ nhật Hình đã cho có một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, trong mặt phẳng đó có những đa giác đặc biệt: tam giác vuông , tam giác đều, hình thoi. Một vài hình chưa có sẵn tam diện vuông nhưng có thể tạo được tam diện vuông chẳng hạn: hai đường thẳng chéo nhau mà vuông góc, hoặc hay mặt phẳng vuông góc. Ngoài ra, với một số bài toán mà giả thiết không cho những hình quen thuộc như đã nêu ở trên thì ta có thể dựa vào tính chất song song ,vuông góc của các đoạn thẳng hay đường thẳng tham gia trong hình vẽ để thiết lập hệ trục tọa độ. Các bước giải một bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ thích hợp. Bước 2: Tìm tọa độ các điểm có liên quan đến yêu cầu bài toán. Bước 3: Giải bài toán bằng kiến thức tọa độ. Bước 4: Chuyển các kết quả từ ngôn ngữ tọa độ sang ngôn ngữ hình học thông thường. Ví dụ về một vài cách chuyển từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ tọa độ: 3 điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng tương đương với tọa độ một điểm thỏa mãn phương trình đường thẳng đi qua hai điểm kia hoặc AB=kAC. 4 điểm A, B, C, D phân biệt đồng phẳng tương đương hoặc tọa độ của một điểm thỏa mãn phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm kia. 3 đường thẳng (có phương trình dạng chính tắc) đồng quy tương đương hệ phương trình bao gồm 3 phương trình của 3 đường thẳng trên có nghiệm duy nhất hoặc giao điểm của 3 đường thẳng này nằm trên đường thẳng kia. Trình bày một số cách đặt hệ trục tọa độ với một số hình thường gặp Để giải được một số bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ sao cho thích hợp. Dưới đây là một số lưu ý khi đặt hệ trục tọa độ: Vẽ hình theo yêu cầu bài toán, sau đó tìm một quan hệ vuông góc ở mặt đáy (tức là xác định hai đường thẳng cố định ở mặt đáy vuông góc với nhau). Nơi giao nhau của hai đường vuông góc đó chính là nơi ta đặt gốc tọa và đồng thời hai trục kia cũng là hai trục tung và trục hoành. Từ gốc tọa độ ta dựng vuông góc với mặt đáy thì ta được trục Oz nằm trên đường vuông góc đó là ta đã hoàn thành xong việc thiết lập hệ trục tọa độ. Nhìn vào hình vẽ và giả thiết của bài toán ta tìm tọa độ các điểm liên quan đến yêu cầu bài toán, ta cần chú ý đến các quan hệ cùng phương, đồng phẳng, vuông góc để tìm tọa độ các điểm đó. Sau đây là một số cách đặt hệ trục tọa độ với một số hình đặc biệt mà ta thường sử dụng Hình lập phương, hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ (có số đo cạnh là các a, b, h) Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ: Khi đó ta có: A 0 ;0; 0 Ba; 0; 0 Ca; b; 0 D(0;b ; 0) A’0; 0; hB’a; 0; b C’(a; b; h) D’(0;b; h ) Hình 1 Hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi ABCD (AB =a; A=∝) Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ khi đó ta có: Hình 2 Hình chóp tứ giác đều S.ABCD(cạnh đáy bằng a, chiều cao h) Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ khi đó ta có: Hình 3 Hình chóp tam giác đều S.ABC(cạnh đáy bằng a, chiều cao h) Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ khi đó ta có: Hình 4 Hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và SA ⊥ (ABCD); (AB = a; AD = b) Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ khi đó ta có: Hình 5 Hình chóp S.ABC có ABCD là hình thoi và SA ⊥(ABCD) chóp S.ABC có ABCD là hình thoi và SA ⊥(ABCD) (cạnh đáy bằng a;A=∝) Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ khi đó ta có: Hình 6 Hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và ∆ ABC vuông tại A (AB = a; AC = b) Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó ta có: Hình 7 Hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC); và ∆ABC vuông tại B (cạnh AB = a; cạnh BC = b) Chọn trục tọa độ như hình vẽ: Ta có: Hình 8 Hình chóp S.ABC có (SAB) ⊥ (ABC), ∆ SAB cân tại S và ∆ ABC vuông tại C (có CA = a; CB = b; chiều cao h) Ta chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ: Chọn điểm C làm gốc tọa độ Hình 9 Với hình chóp S.ABC có (SAB) ⊥ (ABC), ∆SAB cân tại S, ∆ABC vuông tại A(cạnh AB = a; AC = b; chiều cao h) Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó ta có: Hình 10 Hình chóp S.ABC có (SAB) ⊥ (ABC) và ∆ABC vuông cân tại C ∆SAB cân tại S (AC = BC = a) Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ: Khi đó ta có: Hình 11 Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’D’ (đáy là tam giác vuông tại A có cạnh AB = a; AC = b cạnh AA’= h) Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Ta có: A(0;0;0), B(a;0;0), C(0;b;0) A’(0;0;a), B’(a;0;h), C’(0;b;h) Hình 12 Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ (đáy ABC là tam giác đều; và AA’=h) Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó ta có: Hình 13 Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ (đáy ABCD là hình thang cân); AA’ = h, AB = a, AD = b; A=∝ Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có: Casin∝;b-acos∝;0 D(0;b;0) C'asin∝;b-acos∝;h D'(0;b;h) Hình 14 Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ (đáy ABC là tam giác cân tại đỉnh A) AA’= h; AB = AC = a; A=∝ Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó ta có: Hình 15 Một số bài toán hình học không gian giải bằng phương pháp tọa độ về góc và khoảng cách. Một số ví dụ về giải các bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ. Bài toán 1 (Sách giải bài tập hình học 11_NXB Hà Nội) Tứ diện S.ABC có cạnh SA vuông góc với đáy và ∆ABC vuông tại C. Độ dài của các cạnh là SA = 4; AC = 3; BC = 1. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, H đối xứng với C qua M. Tính cosin góc giữa (HSB) và (SBC). Bài giải Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có: A0;0;0; B1;3;0; C0;3;0; S0;0;4; H1; 0 ;0 Mặt phẳng (P) qua H vuông góc với SB tại I và cắt đường thẳng SC tại K, dễ thấy: Hình 16 Vậy phương trình tham số của SB là: Và phương trình tham số của SC là: Vậy ta có : Nên Vậy cosθ = 0.14552. Bài toán 2 (SGK hình học lớp 12_ NXB Giáo Dục) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Chứng minh rằng đường chéo A’C ⊥ (AB’D’) Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo A’C và mặt phẳng(AB’D’) là trọng tâm của tam giác AB’D’ Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng (DA’C) và (C’BD) Tìm cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (DA’C) và mặt phẳng (ABB’A’) Bài giải Chọn hệ trục toạ Đề các vuông góc Oxyz như hình vẽ: A(0;0;0) A’(0;0;a) B(a;0;0); B’(a;0;a); C(a;a;0) C’(a;a;0); D(0;a;0);D’(0;a;a) Chứng minh đường chéo A’C ⊥ (AB’D'). Ta có: n2= C'B,C'D = (a2;a2;-a2) Hình 17 Chứng minh G là trọng tâm của tam giác AB’D’ Phương trình tham số của đường thẳng A’C là Phương trình tổng quát của mặt phẳng (AB’D’) là: x+y-z=0 Gọi =A’C∩(AB’D’) . Tọa độ giao điểm G là nghiệm của hệ phương trình: Trong đó véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (AB’D’) là n1=AB';AD'=-a2;a2;a2. Mặt khác: So sánh kết quả (1) và (2) ta thấy giao điểm G của đường chéo A’C và mặt phẳng (AB’D’) chính là trọng tâm của tam giác AB’D’ Tính d((AB’D’),(C’BD)) Phương trình tổng quát của mặt phẳng (C’BD): x+y-z-a=0. Trong đó véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (C’BD) là: Ta có: d. Tìm cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (DA’C) và (ABB’A’) Ta có: Oy⊥(ABB’A’) ⟹véc tơ pháp tuyến của (ABB’A’)là j =(0;1;0) Véc tơ pháp tuyến của (DA’C): Véc tơ pháp tuyến của (ABB’A’) là j =(0;1;0) Véc tơ pháp tuyến của (DA’C): n3 =(0;1;-1) Vậy Bài tập 3 ( Sách phương pháp giải toán hình học giải tích trong không gian_NXB Hà Nội) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC vuông cân tại đỉnh A, BC = 2a. Biết góc giữa hai mặt phẳng (AB’C) và (BB’C) có số đo bằng ∝. Chứng minh rằng: Bài giải Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, Vì BC = 2a và tam giác ABC vuông cân tại A nên ta có: A0,0,0, B(a2,0,0), C0,a2,0 Giả sử AA’=h, suy ra A'0,0,h, B’(a2,0,h),C’0,a2,h Gọi n1, n2 theo thứ tự là véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (AB’C) và (BB’C), ta có: Ta có: Hình 18 Bài toán 4 (Phương pháp giải toán hình học giải tích trong không gian_NXB Hà Nội) Cho hình tứ diện OABC có các tam giác OAB, OBC, OCA đều là các tam giác vuông tại đỉnh O. Gọi lần lượt là các góc hợp bởi (OBC),(OCA),(OAB) với (ABC). Chứng minh rằng Bài giải Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, khi đó ta có: O0;0;0; Aa;0;0 B0;b;0, C0;0;c Vậy AB=-a;b;0,AC=-a;0;c ⟹là pháp tuyến của (ABC) vì Ox ⊥ (OBC) nên chính là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (OBC) là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng(OAC). là véc tơ pháp tuyến của (OAB) Sử dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng: Hình 19 Khi đó ta có: Do đó: Bài toán 5 (Phương pháp giải toán hình học giải tích rong không gian_NXB Hà Nội) Hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh bằng a, góc A bằng 60o ,B’O vuông góc với đáy ABCD ,cho BB’ =a. Tính góc giữa cạnh bên và đáy. Tính khoảng cách từ B, B’ đến măt phẳng (ACD’) Bài giải Chọn hệ trục tọa dộ Oxyz với A, C∊Ax; B, D ∊ Ay và A’∊ Az khi đó ta có: Tính góc giữa cạnh bên và đáy Gọi α là góc giữa cạnh bên và đáy, ta có: ∝=B'BO = ⟹α =60o Ta lại có: Hình 20 Tính khoảng cách giữa B, B’ đến mặt phẳng (ACD’) Phương trình mặt phẳng (ACD’) được cho bởi : Vậy phương trình mặt phẳng (ACD’) là: Khi đó khoảng cách từ B, B’ đến mặt phẳng (ACD’) là : Một số bài toán hình học không gian được giải theo hai cách. Bài toán 1: (Giải toán hình học 11_NXB Giáo Dục) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ABC=600. Cạnh bên SA = a vuông góc với đáy và SA = a3. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB. Tính số đo của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBD). Bài giải Phương pháp tổng hợp Phương pháp tọa độ Hình 21 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD Ta có SA ⊥ (ABCD)⟹ SA ⊥ BD. Mà BD⊥AC (tính chất hình thoi), suy ra BD ⊥ (SAC). Kẻ OH ⊥ SC (H ϵ SC), suy ra OH là đoạn vuông góc chung của SC và BD. Tam giác ABC đều ⟹ AC = a ∆SAC vuông tại A, nên tanSCA=SAAC=3⟹SCA=60O ∆OHC vuông tại H, nên ta có OH=OC.sinSCA=a2.sin60o=a34 Vậy Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD Gọi E là trung điểm của cạnh CD, vì ACD là tam giác đều nên AE ⊥ CD, do đó SE ⊥ CD (định lí ba đường vuông góc) Vậy CD ⊥ (SAE)⟹(SAE) ⊥ (SCD). Kẻ AK ⊥ SE, K ∈SE ⟹AK ⊥ (SDC). Do đó d(A, (SCD)) = AK. Mà AB// (SCD) nên d(SC, AB) = AK. ∆SAE vuông tại A có Và AK ⊥ SE, ta có: vậy c. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBD) Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBD) Hình 22 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, gốc tọa độ O là giao điểm của hai đường chéo. Khi đó ta có tọa độ các điểm như sau: Từ đó ta có : Vậy b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD Ta có Vậy c. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBD). Ta có Ta dựng OF ⊥ AB (F∈AB), Vì (SAB) ⊥(ABCD) nên OF ⊥ (SAB). Kẻ FI ⊥ SB (I∈SB)⟹OI ⊥ SB (định lí ba đường vuông góc). Do đó OIF là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). ∆OBF vuông tại F có BOF=30o, nên ta có: Và . ∆SAB vuông tại A, nên tanSBA=SAAB=3⟹SBA=60O ∆BIF vuông tại I, do đó IF = BF.sinSBA Nên ∆OIF vuông tại F, suy ra Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBD) là Vậy ta chọn là véc tơ pháp tuyến của (SAB) Ta lại có Vậy ta chọn là véc tơ pháp tuyến của (SBD) Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBD) khi đó ta có: Bài toán 2 (Giải toán hình học 11_NXB Giáo Dục) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB = a, ABC=60O, cạnh bên AA’ = a2. Tính số đo góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC). Bài giải Phương pháp tổng hợp Phương pháp tọa độ Hình 23 Tính số đo góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC). Ta có ∆ABC vuông tại A ABC=60O,AB = a nên ta tính được BC = 2a; AC = a3. Dựng AI vuông góc BC tại I, AH vuông góc với A’I tại H. Ta sẽ chứng minh HAA' là góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) Thật vậy: Dễ thấy AA’⊥(ABC) (1); ta sẽ chứng minh AH ⊥ (A’BC). Ta có: BC ⊥ AI; BC ⊥ AA’ nên BC ⊥(AA’I) ⟹BC ⊥ AH, đồng thời AH ⊥ A’I nên AH⊥ (A’BC) (2) Từ (1) và (2)⟹ HAA' là góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC). Trong tam giác vuông ABC có AI là đường cao nên ta áp dụng hệ thức lương trong tam giác vuông ta có: Ta lại có: trong tam giác vuông A’AI có AH là đường cao. Ta áp dụng công thức: Vậy Hình 24 Tính số đo góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC). Ta có ∆ABC vuông tại A, ABC=60O,AB = a nên ta tính được BC = 2a; AC = a3. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có: Suy ra: Ta có: Vậy ta chọn là pháp tuyến của mặt phẳng (A’BC). Véc tơ pháp tuyến của (ABC) là: Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A’BC). Ta có : Vậy Bài toán 3 (Giải toán hình học 11_NXB Giáo Dục) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N là hai điểm nằm trên hai cạnh B’C’ và CD sao cho . Chứng minh AM ⊥ BN, tính khoảng cách giữa AM và BN. Bài giải Phương pháp tổng hợp Phương pháp tọa độ Hình 25 Dựng ME//CC’(E thuộc BC). Nối AE Hai tam giác vuông ABE và BCN bằng nhau (c.c.c) nên EAB=NBC suy ra AE⊥BN (1) Mặt khác: vì ME//CC’ nên ME⊥(ABCD)⟹ME⊥BN (2) Từ (1) và (2)⟹BN⊥(AEM) ⟹BN ⊥ AM(đpcm). Gọi I là giao điểm của AE và BN trong (AME) dựng IH vuông góc với AM tại H. Khi đó độ dài đoạn thẳng IH chính là khoảng cách giữa hai đoạn thẳng AM và BN. Trong tam giác vuông ABE. Ta có: Dễ thấy ∆AIH ∾ ∆AME nên Hình 26 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ(O≡A’) Đặt AA’=a, ta có: Ta có: Vậy Bài tập 4 (Trích đề thi tuyển sinh đại học và cao đẳng khối D năm 2002) Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC); AC=AD=4cm;AB=3cm; BC=5cm . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) Bài giải Hình 27 Ta thấy ∆ABC có: AB2+AC2=BC2 Nên ∆ABC vuông góc tại A. Từ A kẻ AI ⊥ BC tại I, nối D với I, kẻ AH ⊥ DI, Ta sẽ chứng minh AH⊥(BDC). Ta có: BC ⊥ AI và BC ⊥ AD ⟹BC ⊥ (AID); Vậy AH ⊥ BC, và AH ⊥ DI (theo cách dựng) ⟹AH ⊥ (BCD). Trong tam giác vuông ABC, đường cao AI ta có: Trong tam giác vuông ADI, chiều cao AH. Ta có: Vậy Hình 28 Nhận xét : Ta thấy ∆ABC có: AB2+AC2=BC2 Nên ∆ABC vuông góc tại A. Vậy ta chọn hệ trục tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz như sau: O ≡A0;0;0; B3;0;0; C0;4;0; D(0;0;4) Ta sẽ tính AH = d (A;(BCD)) Phương trình tổng quát của mặt phẳng (BCD) như sau: Áp dụng công thức tính khoảng cách ta có: Ưu và nhược điểm của phương pháp giải các bài toán hình học bằng phương pháp tọa độ trong không gian về góc và khoảng cách Ưu điểm của phương pháp giải các bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ về góc và khoảng cách Phương pháp tọa độ trong không gian giúp cho học sinh giải một số bài toán về góc và khoảng cách trong không gian đơn giản và thận lợi hơn rất nhiều khi dùng phương pháp tổng hợp. Lượng kiến thức và kĩ năng để giúp học sinh có thể giải các bài toán hình học thông qua phương pháp này không nhiều chủ yếu là các kiến thức về tọa độ véc tơ trong không gian, phương trình đường thẳng, mặt phẳng, mối quan hệ giữa chúng. Phương pháp này không quá khó nên đối với các em học sinh trung bình yếu việc sử dụng phương pháp này đơn giản hơn nhiều so với phương pháp tổng hợp chủ yếu là dạy các em cách đặt hệ trục tọa độ sao cho phù hợp. Nhược điểm của phương pháp giải các bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ về góc và khoảng cách Không phải tất cả các bài toán về hình học không gian đều có thể sử dụng phương pháp này để giải, chỉ với những hình đặc biệt có những cạnh có quan hệ vuông góc với nhau thì ta mới nên sử dụng phương pháp này vì nếu không việc tính tọa độ các điểm rất khó khăn. Sử dụng phương pháp này đòi hỏi phải có kĩ năng tính toán khá tốt, và phải nhớ được các công thức về phương trình của đường thẳng và mặt phẳng, các công thức về khoảng cách. Các công thức này khá giống nhau nên đôi khi dễ gây nên sự nhầm lẫn. KẾT LUẬN Trong bài tiểu luận này tôi tập trung vào việc đưa ra cách đặt hệ trục tọa độ để giải các bài toán hình học không gian về góc và khoảng cách với một số hình chúng ta thường gặp khi giải các bài tập dạng này. Đây là phần quan trọng nhất để giải thành công một bài toán hình học bằng phương pháp tọa độ trong không gian. Nói chung với một hình nào đó tất nhiên có thể có nhiều cách đặt hệ trục tọa độ khác nhau và còn phụ thuộc vào yêu cầu của đề bài sao cho phù hợp, tuy nhiên những cách tôi đưa ra là những cách thông dụng nhất. Bên cạnh đó, tôi trình bày hệ thống lí thuyết cần biết để học sinh có thể giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ và đưa ra một số bài tập giải bằng phương pháp tọa độ trong không gian về góc và khoảng cách. Đối với hình chóp tôi trình bày 2 bài tập, và 3 bài tập đối với hình lăng trụ. Các hình với nhiều đặc điểm khác nhau như tứ diện có cạnh bên vuông góc với đáy nhưng không tạo thành tam diện vuông hay hình lăng trụ xiên. Các bài tập tôi trình bày chủ yếu là các bài tập định lượng như tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng hay giữa hai đường thẳng chéo nhau, tính góc giữa hai mặt phẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng và trình bày một số bài tập chứng minh có liên quan đến góc và khoảng cách. Trong phần cuối của tiểu luận tôi trình bày 3 bài toán hình học không gian được giải theo hai phương pháp, phương pháp tọa độ và phương pháp tổng hợp. Từ đó có so sánh đánh giá nhận xét ưu và nhược điểm của phương pháp tọa độ trong không gian để với mỗi bài toán ta tìm được phương pháp giải tối ưu nhất. Phương pháp tọa độ trong không gian là một phương pháp hay. Ta không chỉ thấy tính ưu việt của nó trong việc giải các bài toán về góc và khoảng cách mà còn rất nhiều bài toán hình học không gian khác nếu sử dụng phương pháp này để giải cũng khá hiệu quả như các bài toán về điểm và quĩ tích, các bài toán cực trị trong hình học không gian. Tài liệu tham khảo Văn Như Cương chủ biên, SGK hình học lớp 12, NXB Giáo Dục_2000 Lê Hồng Đức, Nguyễn Đức Trí, phương pháp giải toán hình học giải tích trong không gian, NXB Hà Nội_2007. Trương Ngọc Dũng, Giải toán hình học lớp 11, NXB Giáo Dục_2008 Lê Hồng Đức –nhóm Cự Môn, Giải bài tập hình học 11, NXB Hà Nội.

Các file đính kèm theo tài liệu này:

  • docxhinh_hoc_co_so_hai_yen_5349.docx