Idean nguyên tố đối liên kết và Đồng điều địa phương

Iđêan nguyên tố đối liên kết với môđun đồng điều địa phương. Chương này nghiên cứu các tính chất của iđêan nguyên tố đối liên kết và sự hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố đối liên kết với môđun đồng điều địa phương H (M ). Phần đầu tiên của chương này dành cho việc nghiên cứu các tính chất của iđêan nguyên tố đối liên kết trên phạm trù các môđun, cụ thể như xây dựng mối liên hệ giữa các iđêan nguyên tố đối liên kết với các iđêan nguyên tố liên kết

pdf58 trang | Chia sẻ: lvcdongnoi | Ngày: 26/01/2013 | Lượt xem: 2294 | Lượt tải: 2download
Bạn đang xem nội dung tài liệu Idean nguyên tố đối liên kết và Đồng điều địa phương, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
g tôi trong quá trình học tập của mình. Và đặc biệt xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Tiến sĩ Trần Tuấn Nam, người đã ra đề tài và tận tâm hướng dẫn tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn này. Chương 1 KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Iđêan nguyên tố liên kết và đối ngẫu Matlis Iđêan nguyên tố liên kết Cho M là một R−môđun. Một iđêan nguyên tố p của R được gọi là nguyên tố liên kết với M nếu thỏa mãn một trong hai điều kiện tương đương sau: (i) Tồn tại một phần tử x ∈M sao cho Ann(x) = p; (ii) M chứa một môđun con đẳng cấu với R/ p. Tập các nguyên tố liên kết với M được kí hiệu là AssR(M) hoặc Ass(M). Bổ đề 1.1.1. (xem [14, 7.B]) Cho p là phần tử tối đại của tập các iđêan {Ann(x)|x ∈M,x 6= 0}. Khi đó p ∈ Ass(M). Bổ đề 1.1.2. (xem [14, 7.B]) Ass(M) = ∅ ⇔M = 0. 1 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 2 Cho M là một R−môđun. Support của M , kí hiệu Supp(M), là tập các iđêan nguyên tố p của R sao cho Mp 6= 0 (Mp là địa phương hóa của M tại p). Bổ đề 1.1.3. (xem [2, §3]) Cho dãy khớp ngắn 0 −→M ′ −→M −→M” −→ 0 Khi đó Supp(M) = Supp(M ′) ∪ Supp(M”). Bổ đề 1.1.4. (xem [14, 7.D]) Cho R là một vành Noether và M là một R−môđun. Khi đó Ass(M) ⊆ Supp(M), và bất kỳ phần tử nhỏ nhất của Supp(M) đều nằm trong Ass(M). Bổ đề 1.1.5. (xem [14, 7.F]) Cho một dãy khớp ngắn các R−môđun 0 −→M ′ −→M −→M” −→ 0. Khi đó Ass(M) ⊆ Ass(M ′) ∪ Ass(M”). Bổ đề 1.1.6. (xem [14, 7.G]) Cho R là một vành Noether và M là một R−môđun hữu hạn thì Ass(M) cũng là một tập hữu hạn. Cho f : R −→ R′ là một đồng cấu của các vành, với mỗi p ∈ Spec(R′) ta có f−1(p) ∈ Spec(R). Do đó, ta có thể xác định được một ánh xạ f ∗ : Spec(R′) −→ Spec(R) liên tục. Điều này dẫn đến các bổ đề sau CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 3 Bổ đề 1.1.7. (xem [14, 9.A]) Cho φ : R −→ R′ là một đồng cấu các vành Noether và M là một R′−môđun. Chúng ta có thể xem M như một R−môđun theo nghĩa của φ. Khi đó AssR(M) = φ ∗(AssR′(M)). Bổ đề 1.1.8. (xem [14, 9.B]) Cho φ : R −→ R′ là một đồng cấu các vành Noether, E là một R−môđun và F là một R′−môđun. Giả sử F là một R−môđun phẳng. Khi đó: (i) Với bất kỳ iđêan nguyên tố p của R, φ∗(AssR′(F/ pF )) = AssR(F/ pF ) =  {p} nếu F/ pF 6= 0∅ nếu F/ pF = 0. (ii) AssR′(E ⊗R F ) = ⋃ p∈Ass(E) AssR′(F/ pF ). Đối ngẫu Matlis Định nghĩa 1.1.9. Cho M là một R-môđun. Đối ngẫu Matlis của M là môđun D(M) = HomR(M ;E(R/m)) trong đó E(R/m) là bao nội xạ của R/m và m ∈Max(R). Bổ đề 1.1.10. (xem [24, 3.4.2]) Với mọi môđun M ta có Ann(D(M)) = Ann(M) CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 4 Bổ đề 1.1.11. (xem [2, §2]) D(M ⊗N) ∼= Hom(M,D(N)) 1.2 Môđun compăc tuyến tính và đồng điều địa phương Giới hạn thuận Định nghĩa 1.2.1. Một tập hợp V với quan hệ thứ tự bộ phận ≤ được gọi là một tập định hướng nếu với bất kỳ t, s ∈ V tồn tại r ∈ V sao cho t ≤ r và s ≤ r. Một họ {Mt, frt} gồm các R-môđun Mt với t ∈ V và các đồng cấu frt : Mr → Mt với mọi r ≤ t được gọi là hệ thuận trên V nếu thỏa mãn các điều kiện sau: ftt = idMt và fstfrs = frt với r ≤ s ≤ t. Cho hai hệ thuận các R−môđun {Mt, frt} và {M ′t, f ′rt} (trên cùng một tập định hướng V). Đồng cấu của các hệ thuận ϕ : {Mt, frt} −→ {M ′t, f ′rt} là một họ gồm các đồng cấu {ϕt : Mt →M ′t} thỏa mãn f ′rtϕr = ϕtfrt với r ≤ t. Giới hạn thuận của hệ thuận {Mt, frt} được định nghĩa như sau: Trên một hợp rời nhau ∐ t Mt của các Mt, ta định nghĩa một quan hệ tương CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 5 đương ≡ như sau x ≡ y ⇔  x ∈Mr, y ∈Mt,∃s,r ≤ s, t ≤ s và frs(x) = fts(y) Môđun thương (∐ t Mt ) /≡ là giới hạn thuận của {Mt, frt} và được ký hiệu là lim−→ t Mt. Bổ đề 1.2.2. (xem [15, Appendix A, theorem A.1]) Cho N là một R−môđun, và cho F = {Mt; frt} là một hệ thuận các R−môđun. Khi đó lim−→ t (Mt ⊗R N) = (lim−→ t Mt)⊗R N. Bổ đề 1.2.3. (xem [15, Appendix A, theorem A.2]) Giả sử ta có ba hệ thuận các R−môđun được đánh thứ tự trên cùng một tập định hướng V , F ′ = {M ′t; f ′rt}, F = {Mt; frt} và F” = {M ”t ; f ”rt} và các ánh xạ {ϕt} : F ′ → F và {ψt} : F → F” sao cho với mỗi t thì M ′t ϕt−→Mt ψt−→M ”t là một dãy khớp thì dãy các giới hạn thuận lim−→ t M ′t ϕ∞−→ lim−→ t Mt ψ∞−→ lim−→ t M ”t cũng là một dãy khớp. Giới hạn ngược Định nghĩa 1.2.4. Một họ {Mt, frt} gồm các R-môđun Mt với t ∈ V và các đồng cấu frt : Mr → Mt với mọi t ≤ r được gọi là hệ ngược trên V CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 6 nếu thỏa mãn các điều kiện sau: ftt = idMt và fstfrs = frt với t ≤ s ≤ r. Khi các đồng cấu frt đã được ngầm hiểu, ta có thể ký hiệu gọn hệ ngược ở trên là {Mt}. Cho hai hệ ngược các R−môđun {Mt, frt} và {M ′t, f ′rt} (trên cùng một tập định hướng V). Đồng cấu của các hệ ngược ϕ : {Mt, frt} −→ {M ′t, f ′rt} là một họ gồm các đồng cấu {ϕt : Mt →M ′t} thỏa mãn f ′rtϕr = ϕtfrt với t ≤ r. Giới hạn ngược của hệ ngược {Mt, frt} được định nghĩa như sau: Tập con của tích trực tiếp ∏ t Mt gồm tất cả các phần tử (xt) thỏa mãn frt(xr) = xt với mọi r, t ∈ V, t ≤ r lập thành một R-môđun. Ta gọi môđun này là giới hạn ngược của {Mt, frt} và kí hiệu là lim←− t Mt. Phép lấy giới hạn ngược nói chung không phải là hàm tử khớp, nó chỉ là hàm tử khớp trái. Một hệ ngược {Mt, frt} của các R−môđun được gọi là thỏa mãn tiêu chuẩn Mittag-Leffler (ML) nếu với mỗi t, tồn tại t0 > t sao cho nếu r, r′ > t0, thì frt(Mr) = fr′t(Mr′). Chúng ta có tiêu chuẩn sau đây về tính khớp của giới hạn ngược: Bổ đề 1.2.5. (xem [7, 2.2]) Cho dãy khớp ngắn các hệ ngược của các R−môđun 0 −→ {Mt} −→ {Nt} −→ {Pt} −→ 0. CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 7 (i) Nếu {Nt} thỏa mãn tiêu chuẩn ML, thì {Pt} cũng thỏa ML. (ii) Nếu {Mt} thỏa mãn tiêu chuẩn ML, thì dãy sau đây khớp 0 −→ lim←− t Mt −→ lim←− t Nt −→ lim←− t Pt −→ 0. Cho F là một hàm tử hiệp biến cộng tính trên phạm trù các R−môđun. Hàm tử dẫn xuất trái thứ i LiF của F được xác định như sau: với mỗi môđun M , LiF (M) là môđun đồng điều thứ i của phức F (P∗), trong đó P∗ là giải thức xạ ảnh của M . Nếu F là hàm tử khớp phải, thì LiF = F . Cho I là một iđêan của R. Họ toàn cấu chính tắc M/I t+1M →M/I tM, t ∈ N cảm sinh ra một hệ ngược các R−môđun {M/I tM}. Đầy đủ I−adic của M là môđun ΛI(M) = lim←− t M/I tM . Khi đó hàm tử làm đầy I−adic ΛI là hiệp biến, cộng tính trên phạm trù các R−môđun. Để ý rằng M/I tM ∼= R/I t ⊗RM. Vì hàm tử tenxơ ⊗ không khớp trái và hàm tử giới hạn ngược lim←− t không khớp phải, nên hàm tử làm đầy I−adic không khớp trái cũng không khớp phải. Gọi LIi là hàm tử dẫn xuất trái thứ i của ΛI , Khi đó L I i cũng là hàm tử hiệp biến, cộng tính. Đặc biết LI0 là hàm tử khớp phải, nhưng nói chung LI0 6= ΛI , vì hàm tử ΛI không khớp phải. Cho dãy khớp ngắn 0 −→ N f−→ F g−→M −→ 0 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 8 với F là môđun tự do. Ta có dãy khớp sau bằng cách nhân tenxơ với R−môđun R/I t N/I tN ft−→ F/I tF gt−→M/I tM −→ 0 Lấy giới hạn ngược ta thu được dãy sau ΛI(N) ΛI(f)−→ ΛI(F ) ΛI(g)−→ ΛI(M) −→ 0. Dãy này thỏa mãn điều kiện ImΛI(f) ⊆ kerΛI(g), nhưng không nhất thiết là khớp. Để ý rằng kergt = Imft ∼= f(N)/(f(N) ∩ I tF ), tức là hệ ngược {kergt} thỏa điều kiện ML vì các đồng cấu cảm sinh là toàn cấu. Theo bổ đề 1.2.5(ii), ΛI(g) là toàn cấu. Vì thế LI0(M) ∼= ΛI(F )/ImΛI(f) và ΛI(M) ∼= ΛI(F )/kerΛI(g). Như vậy ta có toàn cấu tự nhiên ϕM : L I 0(M)→ ΛI(M). ϕM nói chung không phải là đẳng cấu. Bổ đề 1.2.6. (xem [7, 2.3]) Cho M là một R−môđun và I là một iđêan của R. Giả sử rằng hệ {I tM} là dừng, nghĩa là, tồn tại một số nguyên dương n sao cho I tM = InM với mọi t > n. Khi đó toàn cấu tự nhiên ϕM : L I 0(M) −→ ΛI(M) là một đẳng cấu. CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 9 Bổ đề 1.2.7. (xem [7, 2.4]) Nếu M là R−môđun Artin, thì toàn cấu tự nhiên ϕM : L I 0(M) −→ ΛI(M) là một đẳng cấu. Bổ đề 1.2.8. (xem [7, 2.5]) Cho M là R−môđun. Khi đó các điều kiện sau đây là tương đương: (i) IM = M. (ii) LI0(M) = 0. (iii) ΛI(M) = 0. Môđun compăc tuyến tính Định nghĩa 1.2.9. Cho M là một R-môđun. M được gọi là tôpô tuyến tính nếu M có một cơ sở M các lân cận của phần tử 0 bao gồm các môđun con. M được gọi là Hausdorff nếu giao của tất cả các lân cận của phần tử 0 bằng 0. Một R-môđun tôpô tuyến tính Hausdorff M được gọi là compăc tuyến tính nếu F là một họ các phủ đóng (nghĩa là các phủ của các môđun con đóng) trong M mà có tính giao hữu hạn, thì các phủ trong F có giao khác 0. Rõ ràng R-môđun Artin là compăc tuyến tính và rời rạc. Nếu (R,m) là một vành đầy đủ thì R-môđun hữu hạn cũng compăc tuyến tính và rời rạc. CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 10 Chú ý 1.2.10. (xem [5, 2.2]) Cho M là một R−môđun. NếuM là một họ các môđun con của M mà thỏa các điều kiện sau: (i) Với mọi N1, N2 ∈M thì có một N3 ∈M sao cho N3 ⊆ N1 ⋂ N2. (ii) Với mỗi phần tử x ∈ M và N ∈ M thì có một lân cận U của phần tử 0 của R sao cho Ux ⊆ N , thìM là một cơ sở của một tôpô tuyến tính trên M . Bổ đề 1.2.11. (xem [5, 2.3]) (i) Cho M là một R−môđun tôpô tuyến tính Hausdorff và N là R−môđun con đóng của M . Khi đó M là compăc tuyến tính nếu và chỉ nếu N và M/N là compăc tuyến tính. (ii) Cho f : M → N là đồng cấu liên tục của các R−môđun tôpô tuyến tính Hausdorff. Nếu M là compăc tuyến tính, thì f(M) là compăc tuyến tính và f là ánh xạ đóng. (iii) Nếu {Mi}i∈I là một họ các R−môđun compăc tuyến tính. thì ∏ i∈I Mi cũng là compăc tuyến tính với tôpô tích. (iv) Giới hạn ngược của một hệ ngược các R−môđun compăc tuyến tính và các đồng cấu liên tục cũng là compăc tuyến tính. Bổ đề 1.2.12. (xem [6, 2.2]) Cho M là một R−môđun compăc tuyến tính. Chúng ta có (i) M ∼= lim←− U∈M M/U trong đó M là cơ sở lân cận của phần tử 0 gồm các môđun con. CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 11 (ii) Nếu N là một môđun con đóng của M và {Pi} là một họ các môđun con đóng của M sao cho với mỗi cặp Pi, Pj có một Pk ⊆ Pi ∩ Pj, thì⋂ i (N + Pi) = N + ⋂ i Pi. Bổ đề 1.2.13. (xem [5, 2.4]) Cho {Mt} là một hệ ngược các môđun compăc tuyến tính với các đồng cấu liên tục. Nếu 0 −→ {Mt} −→ {Nt} −→ {Pt} −→ 0 là dãy khớp ngắn các hệ ngược của các R−môđun thì dãy các giới hạn ngược 0 −→ lim←− t Mt −→ lim←− t Nt −→ lim←− t Pt −→ 0 là khớp. Cho M là một R−môđun compăc tuyến tính và F là một R−môđun tự do với một cơ sở {ei}i∈I . Chúng ta có thể định nghĩa tôpô trên HomR(F,M) như một tôpô tích thông qua đẳng cấu HomR(F,M) ∼= MJ , trong đó MJ = ∏ i∈J Mi với Mi = M với mọi i ∈ J . Khi đó HomR(F,M) là một R−môđun compăc tuyến tính theo 1.2.11(iii). Hơn nữa, nếu h : F −→ F ′ là một đồng cấu của các môđun tự do thì nó cảm sinh đồng cấu liên tục h∗ : HomR(F ′,M) −→ HomR(F,M). Cho F• : . . . −→ Fi −→ . . . −→ F1 −→ F0 −→ N −→ 0. CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 12 là một phép giải tự do của một R−môđun N . Khi đó ExtiR(N,M) là một R−môđun tôpô tuyến tính với tôpô thương của Hom(Fi,M). Tôpô này trên ExtiR(N,M) được gọi là tôpô cảm sinh bởi phép giải tự do F• của N . Bổ đề 1.2.14. (xem [5, 2.5]) Nếu M là một R−môđun compăc tuyến tính và N là một R−môđun. Khi đó với mọi i > 0, ExtiR(N ;M) cũng là R−môđun compăc tuyến tính với tôpô cảm sinh bởi một phép giải tự do của N và tôpô này độc lập với các phép giải tự do của N . Hơn nữa, nếu f : N −→ N ′ là một đồng cấu của các R−môđun, thì đồng cấu cảm sinh ExtiR(N ′;M) −→ ExtiR(N ;M) là liên tục. Cho N là một R−môđun hữu hạn sinh và F• : . . . −→ Fi −→ . . . −→ F1 −→ F0 −→ N −→ 0. là một phép giải tự do của N với các môđum tự do hữu hạn sinh. Như trên, chúng ta có thể định nghĩa đối với một môđun compăc tuyến tính M một tôpô trên TorRi (N,M) được cảm sinh từ tôpô tích của Fi ⊗RM . Bổ đề 1.2.15. (xem [5, 2.6]) Cho N là một R−môđun hữu hạn sinh và M là một R−môđun compăc tuyến tính. Khi đó TorRi (N ;M) là một R−môđun compăc tuyến tính với một tôpô được sinh bởi một phép giải tự do của N (bao gồm tất cả các môđun tự do hữu hạn sinh) và tôpô này độc lập với các phép giải tự do của N . Hơn nữa, nếu f : N −→ N ′ là CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 13 một đồng cấu của các R−môđun hữu hạn sinh, thì đồng cấu cảm sinh TorRi (N ;M) −→ TorRi (N ′;M) là liên tục. Bổ đề 1.2.16. (xem [5, 2.7]) Cho N là một R−môđun hữu hạn sinh và {Mt} là một hệ ngược của các R−môđun compăc tuyến tính với các đồng cấu liên tục. Khi đó với mọi i > 0, {TorRi (N ;Mt)} tạo thành một hệ ngược các môđun compăc tuyến tính với các đồng cấu liên tục. Hơn nữa, ta có TorRi (N ; lim←− t Mt) ∼= lim←− t TorRi (N ;Mt) Định nghĩa 1.2.17. Một R−môđun tôpô tuyến tính Hausdorff M được gọi là nửa rời rạc nếu mọi môđun con của M đều đóng. Do đó một R−môđun rời rạc là nửa rời rạc. Lớp các R−môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc chứa tất cả các môđun Artin. Hơn nữa, nó còn chứa tất cả các môđun hữu hạn trong trường hợp R là vành địa phương đầy đủ. Kí hiệu L(M) là tổng của tất cả các môđun con Artin của M , chúng ta có tính chất sau của các môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc. Bổ đề 1.2.18. (xem [5, 2.8]) Cho M là R−môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc. Khi đó L(M) là một môđun Artin CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 14 Đồng điều địa phương Với mỗi R-môđun M, môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M theo I, ký hiệu H iI(M), được xác định theo công thức H iI(M) = lim−→ t ExtiR(R/I t;M). Từ đây ta đưa ra một định nghĩa về đồng điều địa phương như một đối ngẫu với định nghĩa đối đồng điều địa phương. Định nghĩa 1.2.19. Cho I là một iđêan của R, môđun đồng điều địa phương thứ i của một R−môđun M theo I, ký hiệu HIi (M), được xác định theo công thức HIi (M) = lim←− t TorRi (R/I t,M). Kí hiệu ΛI(M) = lim←− t M/I tM là một đầy đủ I−adic của M , khi đó HI0 (M) ∼= ΛI(M). Chú ý 1.2.20. (xem [5, 3.1]) (i) Khi I tTorRi (R/I t,M) = 0 thì TorRi (M/I tM,N) có một cấu trúc tự nhiên như một môđun trên vành R/I t với mọi t > 0. Khi đó HIi (M) = Tor R i (R/I t,M) có một cấu trúc tự nhiên như một môđun trên vành ΛI(M) = lim←− t R/I t. (ii) Nếu M là một R−môđun hữu hạn sinh thì HIi (M) = 0,∀i > 0. CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 15 Bổ đề 1.2.21. (xem [7, 3.3]) Cho M là một R-môđun. Các khẳng định sau là đúng (i) Với mọi i > 0, môđun đồng điều địa phương HIi (M) là I−tách, nghĩa là: ⋂ s>0 IsHIi (M) = 0 (ii) Giả sử (R,m) là một vành địa phương. Khi đó với mọi i ≥ 0, HIi (D(M)) ∼= D(H iI(M)), trong đó D(M) = HomR(M,E) là môđun đối ngẫu Matlis của M và E = E(R/m) là bao nội xạ của trường đồng dư R/m. Sau đây là một số tính chất của môđun đồng điều địa phương đối với các môđun compăc tuyến tính. Bổ đề 1.2.22. (xem [5, 3.3]) Nếu M là R−môđun compăc tuyến tính, thì HIi (M) cũng là R−môđun compăc tuyến tính với mọi i > 0. Bổ đề 1.2.23. (xem [5, 3.4]) Nếu {Ms} là hệ ngược các môđun compăc tuyến tính với các đồng cấu liên tục, thì HIi (lim←− s Ms) ∼= lim←− s HIi (Ms) Bổ đề 1.2.24. (xem [5, 3.5]) Cho M là R−môđun compăc tuyến tính. Khi đó LIi (M) ∼= HIi (M),∀i ≥ 0. CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 16 Bổ đề 1.2.25. (xem [5, 3.6]) Cho 0→M ′ →M →M”→ 0 là dãy khớp các môđun compăc tuyến tính. Khi đó ta có dãy khớp dài các môđun đồng điều địa phương · · · −→ HIi+1(M”) −→ HIi (M ′) −→ HIi (M) −→ HIi (M”) −→ · · · −→ HI1 (M”) −→ HI0 (M ′) −→ HI0 (M) −→ HI0 (M”) −→ 0 Bổ đề 1.2.26. (xem [5, 3.7]) Cho M là R−môđun compăc tuyến tính. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương: (i) M là I−tách, nghĩa là ⋂ t>0 I tM = 0 (ii) M là đầy đủ theo tôpô I−adic, nghĩa là ΛI(M) ∼= M (iii) HIi (M) ∼=  M nếu i = 00 nếu i > 0 Bổ đề 1.2.27. (xem [5, 3.8]) Cho M là R−môđun compăc tuyến tính. Khi đó với mọi j > 0 HIi (H I j (M)) ∼=  HIj (M) , i = 00 , i > 0 Bổ đề 1.2.28. (xem [5, 3.9]) Cho M là một R−môđun compăc tuyến tính. Khi đó: HIi (⋂ t>0 I tM ) ∼=  0, i = 0HIi (M), i > 0 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 17 Bổ đề 1.2.29. (xem [5, 3.10]) Cho (R,m) là một vành Noether địa phương và M là một R−môđun hữu hạn sinh. Khi đó M là R−môđun compăc tuyến tính khi và chỉ khi M là đầy đủ trong tôpô m−adic. Bổ đề 1.2.30. (xem [5, 4.1]) Cho M là R−môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc. Khi đó, HI0 (M) = 0 khi và chỉ khi có một phần tử x ∈ I sao cho xM = M . Kí hiệu L(M) là tổng của tất cả các môđun con Artin của M, khi đó ta có bổ đề sau Bổ đề 1.2.31. (xem [5, 4.5]) Cho M là R−môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc. Khi đó HIi (M) ∼= HIi (L(M)),∀i > 0 và dãy sau đây khớp 0 −→ HI0 (L(M)) −→ HI0 (M) −→ HI0 (M/L(M)) −→ 0. Bổ đề 1.2.32. (xem [5, 4.13]) Cho (R,m) là một vành Noether địa phương và M là một môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc khác không. Khi đó Hmi (M) = 0 với mọi i ≥ 0 khi và chỉ khi tồn tại một phần tử x ∈ m sao cho xM = M và 0 :M x = 0. Cho f : R −→ R′ là một đồng cấu của các vành Noether và M là một R′−môđun. Khi đó M có thể xem như một R−môđun theo f , nên HIi (M) có một cấu trúc tự nhiên như một ΛI(M)−môđun. Từ đây ta có bổ đề sau CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 18 Bổ đề 1.2.33. (xem [7, 3.7]) Cho f : R −→ R′ là một đồng cấu của các vành Noether và M là một R′−môđun. Khi đó ta có đẳng cấu của các ΛI(R)−môđun HIi (M) ∼= HIR′i (M),∀i ≥ 0. Bổ đề 1.2.34. (xem [7, 4.6]) Cho (R,m) là một vành địa phương và M là một R−môđun Artin. khi đó Hmi (M) là một Rˆ−môđun với mọi i ≥ 0. Bổ đề 1.2.35. (xem [7, 4.7]) Cho M là một R-môđun Artin và s là một số nguyên dương. Khi đó các khẳng định sau là tương đương (i) HIi (M) là Artin với mọi i < s. (ii) I ⊆ Rad(AnnR(HIi (M))) với mọi i < s. Chương 2 IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 2.1 Iđêan nguyên tố đối liên kết Định nghĩa 2.1.1. Một R−môđun L được gọi là cocyclic nếu L là một môđun con của E(R/m) với m ∈ Max(R). Cho M là một R−môđun. Một iđêan nguyên tố p của R được gọi là nguyên tố đối liên kết với M nếu có một ảnh đồng cấu cocyclic L của M sao cho p = AnnR(L). Tập các iđêan nguyên tố đối liên kết với M được kí hiệu là CoassR(M) hoặc Coass(M). M được gọi là p−đối nguyên sơ nếu CoassR(M) = {p}. Bổ đề 2.1.2. (i) Nếu M là một môđun cocyclic thì bất kỳ môđun con của M cũng là cocyclic. (ii) Nếu M là một R−môđun Artin thì M có thể nhúng được vào trong một tổng trực tiếp hữu hạn của các môđun con cocyclic của M . 19 CHƯƠNG 2. IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 20 Chứng minh. (i) Hiển nhiên. (ii) Vì M là Artin nên ta có E(M) = n⊕ i=1 E(R/mi) trong đó mi ∈Max(R) với 1 6 i 6 n. Chúng ta có các dãy khớp 0 −→M −→ E(M) và E(M) ϕi−→ E(R/mi) −→ 0 với mỗi 1 6 i 6 n. Dẫn đến ta có dãy khớp 0 −→M −→ n⊕ i=1 ϕi(M) và M −→ ϕi(M) −→ 0. Vì ϕi(M) ⊆ E(R/mi) là cocyclic nên ta được điều cần chứng minh. Bổ đề 2.1.3. Cho K là một môđun Artin với Ann(K) = p. Khi đó, tồn tại một ảnh đồng cấu cocyclic L của K sao cho Ann(L) = p. Chứng minh. Vì K là Artin nên tồn tại các môđun đơn S1, S2, . . . , Sn sao cho K ⊆ E(S1)⊕ E(S2)⊕ · · · ⊕ E(Sn). Chúng ta cần tìm một ảnh đồng cấu L của K và m ∈ Max(R) sao cho L ⊆ E(A/m) và Ann(L) = p. Chúng ta chứng minh điều này bằng qui CHƯƠNG 2. IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 21 nạp theo n. Nếu n = 1, đặt L = K và m = Ann(S1). Nếu n > 1, đặt G = E(Sn) và E = E(S1) ⊕ · · · ⊕ E(Sn−1). Dẫn đến ta có một sơ đồ giao hoán G δ ↗ ↑ K −→ E ⊕G ε↘ ↓ E trong đó các ánh xạ thẳng đứng là các phép chiếu và ánh xạ ngang là các phép nhúng. Điều này cho ta một dãy khớp 0 −→ K −→ Imδ ⊕ Imε nên Ann(K) = Ann(Imδ) ∩ Ann(Imε). Vì p = Ann(K) nên ta có hoặc là p = Ann(Imδ) hoặc p = Ann(Imε). Nếu Ann(Imδ) = p thì ta đặt L = K/Kerδ và m = Ann(Sn). Nếu Ann(Imε) = p thì ta dùng giả thiết quy nạp. Bổ đề 2.1.4. Cho M là một R−môđun. Khi đó p ∈ Coass(M) nếu và chỉ nếu tồn tại một ảnh đồng cấu Artin K của M sao cho p = Ann(K). Chứng minh. (⇒) là hiển nhiên. CHƯƠNG 2. IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 22 (⇐) K là Artin mà p = Ann(K) nên tồn tại một ảnh đồng cấu cocyclic L sao cho p = Ann(L) (theo 2.1.3). Vì K là ảnh đồng cấu của M nên L cũng là một ảnh đồng cấu của M mà Ann(L) = p, dẫn đến p ∈ Coass(M). Bổ đề 2.1.5. Cho M là một R−môđun. Các khẳng định sau là tương đương (i) p ∈ CoassR(M). (ii) Tồn tại m ∈Max(R) ∩ V (p) sao cho p ∈ AssR(D(M)). Chứng minh. (i) ⇒ (ii). Nếu p ∈ Coass(M) thì tồn tại một ảnh đồng cấu cocyclic L của M sao cho Ann(L) = p. Cho ϕ : M → L là một toàn cấu. Dẫn đến Ann(ϕ) = p. Vì L ⊆ E(R/m) với m ∈ Max(R) nên ϕ ∈ Hom(M,E(R/m)) = D(M). Do đó, ta có ϕ ∈ Ass(D(M)) với cùng m ∈Max(R). (ii) ⇒ (i). Nếu p ∈ Ass(D(M)) thì tồn tại ϕ ∈ D(M) sao cho p = Ann(ϕ). Đặt L = ϕ(M) ⊆ E(R/m). Dẫn đến L là cocyclic và Ann(L) = Ann(ϕ) = p. Do đó, p ∈ Coass(M). Bổ đề 2.1.6. Cho M là một R−môđun. Nếu p ∈ Ass(M) thì p ∈ Coass(D(M)) với mọi m ∈Max(R) ∩ V (p). Chứng minh. Cho p ∈ Ass(M), tồn tại một môđun con của M đẳng cấu CHƯƠNG 2. IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 23 với R/ p. Dẫn đến ta có dãy khớp 0 −→ R/ p −→M cảm sinh dãy khớp D(M) −→ D(R/ p) −→ 0 với m ∈Max(R)∩V (p). Vì Ann(D(R/ p)) = p nên p ∈ Coass(D(R/ p)). Dẫn đến p ∈ Coass(D(M)). Bổ đề 2.1.7. Cho M là một R−môđun. Khi đó Coass(M) 6= ∅ nếu M 6= 0. Chứng minh. Giả sử M 6= 0. Khi đó D(M) 6= 0 với m ∈Max(R). Do đó Ass(D(M)) 6= ∅. Dẫn đến Coass(M) 6= ∅ theo 2.1.5 Bổ đề 2.1.8. Cho một dãy khớp ngắn các R−môđun 0 −→M ′ −→M −→M” −→ 0. (2.1) Khi đó CoassR(M”) ⊆ CoassR(M) ⊆ CoassR(M ′) ∪ CoassR(M”). Chứng minh. Nếu p ∈ CoassR(M”) thì theo 2.1.5 tồn tại m ∈Max(A)∩ V (p) sao cho p ∈ Ass(D(M”)). Từ dãy khớp 2.1, do tính chất nội xạ của E(R/m) ta có dãy khớp ngắn cảm sinh 0 −→ D(M”) −→ D(M) −→ D(M ′) −→ 0 (2.2) Do đó, p ∈ AssR(D(M)). Dẫn đến p ∈ CoassR(M) theo 2.1.5. Nếu p ∈ CoassR(M) thì tồn tại m ∈ Max(A) ∩ V (p) sao cho CHƯƠNG 2. IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 24 p ∈ AssR(D(M)) theo 2.1.5. Xét dãy khớp 2.2, theo 1.1.5 ta có p ∈ AssR(D(M”)) hoặc p ∈ Ass(D(M ′)), và do đó p ∈ CoassR(M”) hoặc p ∈ CoassR(M ′) theo 2.1.5. Bổ đề 2.1.9. Với các R−môđun M1, . . . ,Mn ta có Coass(M1 ⊕ · · · ⊕Mn) = Coass(M1) ∪ · · · ∪ Coass(Mn). Chứng minh. (⊆) Cho p ∈ Coass(M1 ⊕ · · · ⊕Mn). Khi đó tồn tại một dãy khớp M1 ⊕ · · · ⊕Mn µ−→ L −→ 0 trong đó L là cocyclic và Ann(L) = p. Hơn nữa L = µ(M1) + . . .+ µ(Mn) nên ta có Ann(µ(Mi)) = p với i nào đó và dẫn đến p ∈ Coass(Mi). (⊇) Rõ ràng Mi là một ảnh đồng cấu của M1 ⊕ · · · ⊕Mn với mọi i. Bổ đề 2.1.10. Với mọi R−môđun M ta có⋃ p∈Coass(M) p = {x ∈ R| xM 6= M}. Chứng minh. Nếu a ∈ ⋃ p∈Coass(M) p thì tồn tại p ∈ Coass(M) sao cho a ∈ p. Vì p ∈ Coass(M) nên ta có ảnh đồng cấu M/N của M sao cho p = Ann(M/N). Dẫn đến aM ⊆ N 6= M , và do đó a ∈ {x ∈ R| xM 6= M}. Ngược lại, cho a ∈ {x ∈ R| xM 6= M}. Vì M/aM 6= 0 nên ta có CHƯƠNG 2. IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 25 Coass(M/aM) 6= ∅ theo 2.1.7. Cho p ∈ Coass(M/aM). Khi đó, a ∈ p và p ∈ Coass(M) theo 2.1.8. Do đó, a ∈ ⋃ p∈Coass(M) p . Một R−môđun M 6= 0 được gọi là môđun thứ cấp nếu với mỗi a ∈ R hoặc aM = M hoặc aM = 0. Khi đó p = √ Ann(M) là một iđêan nguyên tố và M được gọi là p−thứ cấp. Chúng ta nói rằng M có một biểu diễn thứ cấp nếu có một số hữu hạn các môđun con thứ cấp M1,M2, · · · ,Mn sao cho M = M1 + M2 + . . . + Mn. Giả sử rằng các iđêan nguyên tố pi = √ Ann(Mi), i = 1, 2, · · · , n, là rời nhau và bằng việc bỏ các số hạng thừa, thì biểu diễn đó là nhỏ nhất. Khi đó tập các iđêan nguyên tố {p1, · · · , pn} không phụ thuộc vào biểu diễn và nó được gọi là tập các iđêan nguyên tố dính và được ký hiệu là Att(M). Bổ đề 2.1.11. Nếu M có một biểu diễn thứ cấp, thì Att(M) = Coass(M) Chứng minh. Cho p ∈ Coass(M). Tồn tại một ảnh đồng cấu Artin L của M sao cho Ann(L) = p. Dẫn đến p ∈ Att(M) theo [11, 2.2]. Ngược lại, giả sử M là một R−môđun p−thứ cấp, nói cách khác Att(M) = {p}. Vì Coass(M) 6= ∅ và Coass(M) ⊆ Att(M), nên ta có Coass(M) = {p}. Cho M có một biểu diễn thứ cấp và p ∈ Att(M). Khi đó tồn tại ảnh đồng cấu p−thứ cấp L của M theo [11, 2.2]. Do đó Coass(L) = {p}. Dẫn đến, p ∈ Coass(M). Bổ đề 2.1.12. Nếu M là một R−môđun Artin thì Coass(M) ⊇ Ass(R/Ann(M)). CHƯƠNG 2. IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 26 Chứng minh. Theo [11, 5.2] thì M có một biểu diễn thứ cấp, do đó Coass(M) = Att(M) theo 2.1.11. Khi đó từ [11, 2.3] và ta có điều cần chứng minh. Bổ đề 2.1.13. Cho M là một R−môđun. Khi đó p ∈ Coass(M) nếu và chỉ nếu tồn tại một ảnh đồng cấu bất khả tổng L của M sao cho p = {x ∈ R| xM 6= M}. Chứng minh. Cho p ∈ Coass(M). Tồn tại một ảnh đồng cấu cocylic L của M sao cho Ann(L) = p. Có các môđun con bất khả tổng S1, . . . , St của L sao cho L = t∑ i=1 Si, theo [11, 5.2]. Vì Ann(L) = p nên ta có Ann(Si) = p với i nào đó. Cho K = ∑ j 6=i Sj. Vì Si là Artin và bất khả tổng nên ta có Si là thứ cấp theo [11, 5.1] và do đó Si là p−thứ cấp. Vì L/K là một ảnh đồng cấu bất khả tổng của Si nên ta có L/K cũng là p−thứ cấp theo [11, 1.1] và dẫn đến Coass(L/K) = {p}. Do đó {x ∈ R|xL/K 6= L/K} = p. Dẫn đến L/K là một ảnh đồng cấu bất khả tổng của M sao cho {x ∈ R|xL/K 6= L/K} = p. Cho L là một ảnh đồng cấu bất khả tổng củaM sao cho {x ∈ R|xM 6= M} = p. Nếu q ∈ Coass(L) thì tồn tại một ảnh đồng cấu cocylic K của L sao cho Ann(K) = q. Vì L là bất khả tổng và {x ∈ R|xM 6= M} = p nên ta có K là một bất khả tổng và {x ∈ R|xM 6= M} = p theo [4, prop. 1]. Do đó p = q. Dẫn đến p ∈ Coass(L) và do đó p ∈ Coass(M) (theo 2.1.8). Bổ đề 2.1.14. Cho M là một R−môđun hữu hạn và E là một R−môđun CHƯƠNG 2. IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 27 nội xạ. Khi đó có một đẳng thức Coass(Hom(M,E)) = {p ∈ Ass(M)| p ⊆ q, q ∈ Ass(E)}. Chứng minh. Theo Toroghy và Sharp [26, 2.1] thì môđun Hom(M,E) có một biểu diễn thứ cấp, đo đó theo 2.1.11 ta có điều cần chứng minh. Bổ đề 2.1.15. Cho M là một R−môđun hữu hạn. Các mệnh đề sau tương đương (i) p ∈ Ass(M) (ii) p ∈ Coass(D(M)) với m ∈Max(R) ∩ V (p). Chứng minh. (i) ⇒ (ii). Với p ∈ Ass(M), theo 2.1.6 ta có p ∈ Coass(D(M)) với m ∈Max(R) ∩ (V p). (ii)⇒ (i). Theo 2.1.14 ta có Coass(D(M)) = {p ∈ Ass(M)| p ⊆ q, q ∈ Ass(E(R/m))}. Do đó, với p ∈ Coass(D(M)) thì p ∈ Ass(M). Bổ đề 2.1.16. Cho M là một R−môđun và F là một R−môđun phẳng. Khi đó Ass(M ⊗ F ) = {p ∈ Ass(M)| p ⊆ q, q ∈ Coass(F )} Đặc biệt Ass(F ) = {p ∈ Ass(R)| p ⊆ q, q ∈ Coass(F )} Chứng minh. Chúng ta chia phần chứng minh thành hai trường hợp (1) Giả sử M là một R−môđun hữu hạn. CHƯƠNG 2. IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 28 Cho p ∈ Ass(M ⊗ F ). Chúng ta có p ∈ Coass(D(M ⊗ F )) với m ∈Mas(R) ∩ V (p) (theo 2.1.6). Vì D(M ⊗ F ) ∼= Hom(M,D(F )) nên ta cũng có p ∈ Coass(Hom(M,D(F ))). Do đó p ∈ Ass(M) và p ⊆ q với q ∈ Ass(D(F )) theo 2.1.14. Dẫn đến p ∈ Ass(M) và p ⊆ q với q ∈ Coass(F ) theo 2.1.5. Bây giờ, ta đặt p ∈ Ass(M) và p ⊆ q với q ∈ Coass(F ). Ta có q ∈ Ass(D(F )) với m ∈ Max(R) ∩ V (p) theo 2.1.5. Dẫn đến p ∈ Coass(Hom(M,D(F ))). Do đó, p ∈ Coass(D(M ⊗ F )). Nên p ∈ Ass(M ⊗ F ) theo 2.1.14 (2). Giả sử M là một R−môđun bất kỳ. Đặt p ∈ Ass(M) sao cho p ⊆ q với q ∈ Coass(F ). Vì dãy 0 −→ A/ p −→M là khớp nên dãy 0 −→ A/ p⊗F −→M ⊗ F cũng khớp. Dẫn đến Ass(A/ p⊗F ) ⊆ Ass(M ⊗ F ). Vì p ∈ Ass(A/ p⊗F ) nên ta có p ∈ Ass(M ⊗ F ). Mặt khác, giả sử p ∈ Ass(M ⊗ F ). Khi đó, tồn tại một môđun con hữu hạn N của M và p ∈ Ass(N ⊗ F ). Dẫn đến, p ∈ Ass(N) và p ⊆ q với q ∈ Coass(F ). Vì Ass(N) ⊆ Ass(M) nên ta có p thuộc tập bên phải. CHƯƠNG 2. IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 29 Bổ đề 2.1.17. Cho M là R−môđun hữu hạn và N là R−môđun bất kỳ. Khi đó Coass(M ⊗N) = Supp(M) ∩ Ass(N). Chứng minh. Sử dụng 2.1.5 và tính chất D(M ⊗N) ∼= Hom(M,D(N)). Bổ đề 2.1.18. Nếu M là một R−môđun Artin thì Coass(M) là hữu hạn. Chứng minh. VìM là Artin nênM có một biểu diễn thứ theo [11, 5.2]. Do đó, Att(M) = Coass(M) theo 2.1.11. Dẫn đến, Coass(M) hữu hạn. Cho M là một R−môđun. Cosupport của M , ký hiệu Cosupp(M), là tập các iđêan nguyên tố p sao cho tồn tại một ảnh đồng cấu cocyclic L của M sao cho p ⊇ Ann(L). Rõ ràng với bất kỳ R−môđun M , Coass(M) ⊆ Cosupp(M). Ta có một số tính chất sau về tập Cosupp. Bổ đề 2.1.19. Nếu M là một R−môđun Artin thì Cosupp(M) = V (Ann(M)). Chứng minh. Vì M là R−môđun Artin nên tồn tại các môđun đơn S1, S2, . . . , Sn sao cho M ⊆ E(S1)⊗ · · · ⊗ E(Sn). CHƯƠNG 2. IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 30 Nếu p ∈ V (Ann(M)) thì p ⊇ n∩ i=1 Ann(E(Si)). Điều này dẫn đến p ⊇ Ann(E(Si)) với 1 ≤ i ≤ n, nên p ∈ Cosupp(M). Dễ dàng thấy rằng Cosupp(M) ⊆ V (Ann(M)). Hệ quả 2.1.20. Nếu M là một R−môđun Artin thì Cosupp(M) = Supp(A/Ann(M)). Chứng minh. Từ 2.1.19 ta có p ∈ Supp(A/Ann(M)) ⇔ p ⊇ Ann(M) ⇔ p ∈ Cosupp(M). Bổ đề 2.1.21. Cho M là một R−môđun. Các khẳng định sau là tương đương (i) p ∈ Cosupp(M) (ii) Tồn tại m ∈Max(R) ∩ V (p) sao cho p ∈ Supp(D(M)). Chứng minh. (i)⇒ (ii). Cho p ∈ Cosupp(M), tồn tại một ảnh đồng cấu cocyclic L của M sao cho p ⊇ Ann(L). Đặt ϕ : M → L là một toàn cấu, ta có Ann(ϕ) = Ann(L) ⊆ p. Vì L là cocyclic nên M ∈ E(R/m), do đó ϕ ∈ D(M). Ta có ϕ ∈ D(M) và p ⊇ Ann(ϕ) nên D(M)p 6= 0. Dẫn đến p ∈ Supp(D(M)) với m ∈Max(R). (ii) ⇒ (i). Cho p ∈ Supp(D(M)), thì D(M)p 6= 0. Khi đó, tồn tại ϕ ∈ D(M) sao cho Ann(ϕ) ⊆ p. Đặt ϕ(M) = L, khi đó L là cocyclic và Ann(L) ⊆ p. Dẫn đến p ∈ Cosupp(M). CHƯƠNG 2. IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 31 Bổ đề 2.1.22. Với bất kỳ R−môđun M , mỗi phần tử nhỏ nhất trong tập Cosupp(M) đều thuộc Coass(M). Chứng minh. Nếu p là một phần tử nhỏ nhất của Cosupp(M) thì tồn tại m ∈Max(R)∩V (p) sao cho p là phần tử nhỏ nhất của Supp(D(M)) theo 2.1.21. Dẫn đến p ∈ Ass(D(M)). Do đó p ∈ Coass(M) theo 2.1.5. Bổ đề 2.1.23. Cho một dãy khớp ngắn các R−môđun và R−đồng cấu 0 −→M ′ −→M −→M” −→ 0. (2.3) Khi đó Cosupp(M) = Cosupp(M ′) ∪ Cosupp(M”) Chứng minh. Nếu p ∈ Cosupp(M) thì tồn tại m ∈ Max(R) ∩ V (p) sao cho p ∈ Supp(D(M)) (theo 2.1.21). Từ dãy khớp 2.3, ta có dãy khớp sau 0 −→ D(M”) −→ D(M) −→ D(M ′) −→ 0. Dẫn đến Supp(D(M)) = Supp(D(M ′)) ∪ Supp(D(M”)) Do đó p ∈ Supp(D(M”)) hoặc p ∈ Supp(D(M ′)), nên p ∈ Cossupp(M ′) hoặc p ∈ Cosupp(M”). Nếu p ∈ Cosupp(M ′) thì tồn tại m ∈ Max(R) ∩ V (p) sao cho p ∈ Supp(D(M ′)). Từ dãy khớp 2.3 ta có dãy khớp ngắn 0→ D(M”)→ D(M)→ D(M ′)→ 0. CHƯƠNG 2. IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 32 Nó dẫn đến p ∈ Supp(D(M)) và do đó p ∈ Cosupp(M). Nếu p ∈ Cosupp(M”), thì chứng minh tương tự. Bổ đề 2.1.24. Cho M là một R−môđun. Nếu p ∈ Supp(M) thì p ∈ Cosupp(D(M)) với mọi m ∈Max(R) ∩ V (p). Chứng minh. Cho p ∈ Supp(M), khi đó tồn tại một phần tử x ∈ M sao cho Ann(x) ⊆ p. Ta có dãy khớp Rx −→ R/ p −→ 0 Cảm sinh dãy khớp 0 −→ D(R/ p) −→ D(Rx) VìAnn(D(R/ p)) = p nênAnn(D(Rx)) ⊆ p, dẫn đến p ∈ Cosupp(D(Rx)). Xét dãy khớp 0 −→ Rx −→M −→M/Rx −→ 0 cảm sinh dãy khớp 0 −→ D(M/Rx) −→ D(M) −→ D(Rx) −→ 0. Do đó p ∈ Cosupp(D(M)). Tương tự 2.1.15 ta có kết quả sau Hệ quả 2.1.25. Cho M là một R−môđun hữu hạn. Các khẳng định sau là tương đương (i) p ∈ Supp(M) (ii) p ∈ Cosupp(D(M)) với m ∈Max(R) ∩ V (p) CHƯƠNG 2. IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 33 Bổ đề 2.1.26. (a) Với mọi R−môđun M ta có Supp(M) ∩Max(R) ⊆ Cosupp(M) ∩Max(R). (b) Với mọi R−môđun M hữu hạn ta có Cosupp(M) ∩Max(R) = Supp(M) ∩Max(R). Đặc biệt (a’) Nếu M là Artin thì Supp(M) ⊆ Cosupp(M) ∩Max(R) (b’) Nếu M là Noether thì Cosupp(M) = Supp(M) ∩Max(R) Chứng minh. (a) Nếu m ∈ Supp(M) ∩Max(R) thì tồn tại một phần tử x ∈M sao cho Ann(x) ⊆ m. Chúng ta có sơ đồ giao hoán Rx −→ R/m ↓ ↓ M 99K µ E(R/m) trong đó sự tồn tại của µ là do tính nội xạ của E(R/m). Dẫn đến m ⊇ Ann(µ(x)) ⊇ Ann(µ) Do đó m ∈ Supp(D(M)) và dẫn đến m ∈ Cosupp(M). CHƯƠNG 2. IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 34 (b) Nếu m ∈ Cosupp(M) ∩Max(R) thì m ∈ Supp(D(M)) theo 2.1.21. Do đó theo (a) ta có m ∈ Cosupp(D(M)). Vì M hữu hạn nên theo 2.1.25 ta có m ∈ Supp(M). (a’) Nếu p ∈ Supp(M) thì tồn tại một môđun con Noether N của M sao cho p ⊇ Ann(N). Vì N là Noether và Artin nên ta có N có chiều dài hữu hạn. Do đó p ∈Max(R) và dẫn đến Supp(M) ⊆Max(R). (b’) Nếu p ∈ Cosupp(M) thì tồn tại một ảnh đồng cấu Artin L của M sao cho p ⊇ Ann(L). Vì L Noether và Artin nên L có chiều dài hữu hạn. Do đó p ∈Max(R), dẫn đến Cosupp(M) ⊆Max(R). Mệnh đề 2.1.27. Cho một dãy khớp các R−môđun 0 −→ N −→M −→ K −→ 0. Khi đó, nếu K là một R−môđun hữu hạn thì CoassR(M) = CoassR(N) ∪ CoassM(K) Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng N là một môđun con của M , khi đó K ∼= M/N và CoassR(K) = CoassR(M/N). Từ dãy khớp ngắn 0 −→ N −→M −→M/N −→ 0 CHƯƠNG 2. IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 35 theo 2.1.8, ta có CoassR(M) ⊆ CoassR(N) ∪ CoassR(M/N). Bây giờ ta đặt p ∈ CoassR(N), p 6∈ CoassR(M/N). Chúng ta cần phải chứng minh p ∈ CoassR(M). Nếu p là một iđêan tối đại, thì có một ảnh đồng cấu Artin N/B của N sao cho p = Ann(N/B) theo 2.1.4. Do đó N/B có chiều dài hữu hạn (theo [23, 7.30]). Từ dãy khớp ngắn 0 −→ N/B −→M/B −→M/N −→ 0 ta có M/B là hữu hạn. Kết hợp 2.1.22 và 2.1.23 và 2.1.26 ta có CoassR(M/B) = CoassR(N/B) ∪ CoassR(M/N). Do đó, p ∈ CoassR(M/B) nên p ∈ CoassR(M/N). Trong trường hợp p không phải iđêan tối đại, theo 2.1.13 có một ảnh đồng cấu bất khả tổng N/C của N sao cho p = {x ∈ R| x(N/C) 6= N/C} và CoassR(N/C) = {p}. Chúng ta có dãy khớp ngắn sau: 0 −→ N/C −→M/C −→M/N −→ 0 và dẫn đến CoassR(M/C) ⊆ CoassR(N/C)∪CoassR(M/R) = {p}∪CoassR(M/N). Vì p không là iđêan tối đại nên N/C không là môđun hữu hạn, dẫn đến M/C cũng không hữu hạn. Chú ý rằng các nguyên tố đối liên kết của CHƯƠNG 2. IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 36 một môđun hữu hạn đều là các iđêan tối đại. Do đó p ∈ CoassR(M/C) ⊆ CoassR(M). Hệ quả 2.1.28. Cho một dãy khớp các R−môđun 0 −→ N −→M −→ K −→ 0. Khi đó, nếu K là một R−môđun và CoassR(M) là hữu hạn thì CoassR(N) cũng hữu hạn. Chứng minh. Theo 2.1.27, ta có CoassR(M) = CoassR(N) ∪ CoassR(K). Vì CoassR(M) hữu hạn nên CoassR(N) cũng hữu hạn. Mệnh đề 2.1.29. Cho M là một R−môđun compăc tuyến tính I−tách. Nếu có một phần tử x ∈ I sao cho CoassR(M/xM) là hữu hạn thì CoassR(M) hữu hạn. Chứng minh. Cho p ∈ CoassR(M), khi đó tồn tại một R−môđun thương Artin M/N của M sao cho p = Ann(M/N). Vì M/N là Artin nên có một số nguyên dương n sao cho xn(M/N) = xt(M/N),∀t ≥ n. Hơn nữa, ta có ⋂ t>0 xtM = 0 (vì M là I−tách) nên xn(M/N) = ⋂ t>0 xt(M/N) = 0. CHƯƠNG 2. IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 37 Do đó, xnM ⊆ N , nên M/N có thể xem như một R−môđun thương Artin của M/xnM . Dẫn đến, p ∈ CoassR(M/xnM), điều này có nghĩa CoassR(M) ⊆ CoassR(M/xnM). Do đó ta chỉ cần chỉ ra rằng CoassR(M/x nM) là hữu hạn. Thật vậy, từ toàn cấu M/xM .x−→ xM/x2M ta có CoassR(xM/x 2M) ⊆ CoassR(M/xM) là hữu hạn. Dãy khớp ngắn 0 −→ xM/x2M −→M/x2M −→M/xM −→ 0 cho ta CoassR(M/x 2M) ⊆ CoassR(xM/x2M) ∪ CoassR(M/xM). Vì CoassR(xM/x 2M) và CoassR(M/xM) hữu hạn nên CoassR(M/x 2M) là hữu hạn. Chứng minh qui nạp theo n ta có CoassR(M/x nM) là hữu hạn. Chứng minh hoàn tất. Định lý 2.1.30. Cho M là R−môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc. Nếu M có tổng thu gọn: M = ∑ i∈V Mi, trong đó Mi 6⊆ ∑ j 6=i Mj với mọi i ∈ V , thì họ {Mi} là hữu hạn. Chứng minh. Đặt Ni = ∑ i6=j∈V Mj, với mọi i ∈ V . Khi đó, mọi họ con hữu hạn {N1, . . . , Nn} đều thỏa mãn điều kiện Ni+ ⋂ j 6=i Nj = M(i = 1, . . . , n), nói cách khác {Ni} là hệ độc lập theo cách gọi của Zelinsky. Do đó, theo [28, Prop. 5], ta thu được tập chỉ số V hữu hạn. CHƯƠNG 2. IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 38 Một môđun M được gọi là bất khả tổng nếu M không thể phân tích được thành tổng của hai môđun con thực sự của nó. Nếu M là một môđun bất khả tổng, thì M là p−đối nguyên sơ với p = {x ∈ R| xM 6= M} (theo [4]) Cho M là R−môđun và N là môđun con của M . Môđun K được gọi là phần bù củaN trongM nếuK là môđun nhỏ nhất thỏa mãnM = N+K. Nếu M là R−môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc, thì mọi môđun con của M đều có phần bù trong M (xem [29]). Định lý 2.1.31. Nếu M là R−môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc, thì M phân tích được thành tổng hữu hạn của các môđun con bất khả tổng. Chứng minh. Ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử M không phân tích được thành tổng hữu hạn của các môđun con bất khả tổng. Khi đó M có thể phân tích được thành tổng của hai môđun con thật sự M = M1 +M ′ 1, trong đó M ′ 1 là phần bù của M1 và M ′ 1 cũng không phân tích được thành tổng hữu hạn của các môđun con bất khả tổng. Tiếp theo, M ′1 cũng phân tích được thành tổng của hai môđun con thực sự M ′1 = M2 +M ′ 2, trong đó M ′ 2 là phần bù của M2 và M ′ 2 cũng không phân tích được thành tổng hữu hạn của các môđun con bất khả tổng. Khi đó M = M1 +M2 +M ′ 2 và dễ dàng kiểm tra được đây là tổng thu gọn. Tiếp tục quá trình này, ta được tổng thu gọn gồm vô hạn các môđun con của M . Điều này mâu thuẩn với 2.1.30. CHƯƠNG 2. IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 39 Hệ quả 2.1.32. Nếu M là R−môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc, thì tập hợp CoassR(M) hữu hạn. Chứng minh. Theo 2.1.31, môđunM phân tích được thành tổng hữu hạn các môđun con bất khả tổng M = M1 + . . .+Mn. Đặt pi = {x ∈ R| xMi 6= Mi}(i = 1, . . . , n). Bây giờ ta thu được CoassR(M) ⊆ {p1, . . . , pn} (theo [4, 2]). 2.2 Iđêan nguyên tố đối liên kết với môđun đồng điều địa phương Mệnh đề 2.2.1. Cho M là R−môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc, i là một số nguyên không âm. Nếu HIj (M) là R−môđun Artin với mọi 0 6= j < i và có một R−môđun con N của HIi (M) sao cho HIi (M)/N là một R−môđun Artin, khi đó tập Coass(N) là hữu hạn. Chứng minh. Chúng ta chứng minh bằng qui nạp theo i. Khi i = 0, toàn cấu chính tắc của các R-môđun compăc tuyến tính M −→M/I tM, ∀t > 0 cảm sinh toàn cấu liên tục M −→ ΛI(M), dẫn đến ΛI(M) là một R−môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc và khi đó tập Coass(N) là hữu hạn. CHƯƠNG 2. IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 40 Cho i > 0, từ 1.2.28 và 1.2.30, chúng ta có thể giả sử rằng có một phần tử y ∈ I, yM = M . Khi HIi (M)/N là một R−môđun Artin, có một số nguyên dương n sao cho yn(HIi (M)/N) = ⋂ t>0 yt(HIi (M)/N) ∼= (⋂ t>0 (ytHIi (M) +N) ) /N. Hơn nữa, từ 1.2.12 và 1.2.21 ta có:⋂ t>0 (ytHIi (M) +N) ∼= ⋂ t>0 ytHIi (M) +N = N. Dẫn đến yn(HIi (M)/N) = 0 và khi đó y n(HIi (M)) ⊆ N . Đặt yn = x, dãy khớp ngắn 0 −→ 0 :M x −→M x−→M −→ 0 cảm sinh dãy khớp HIj (M) x−→ HIj (M) δ−→ HIj−1(0 :M x) γ−→ HIj−1(M). Vì HIj (M) là một R−môđun Artin với mọi 0 6= j < i, nên HIj (0 :M x) cũng là một R-môđun Artin với mọi 0 6= j < i − 1. Hơn nữa, chúng ta có dãy khớp HIi (M)/N δ−→ HIi−1(0 :M x)/δ(N) γ−→ HIi−1(M), trong đó các đồng cấu δ, γ được cảm sinh từ các đồng cấu δ và γ. Nếu i = 1, chúng ta có δ(N) ⊆ ΛI(0 :M x) là R−môđun compăc tuyến tính, khi đó tập Coassδ(N) là hữu hạn. Trong trường hợp i > 1, vì HIi (M)/N và HIi−1(M) là R-môđun Artin nên H I i−1(0 :M x)/δ(N) cũng là R-môđun CHƯƠNG 2. IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 41 Artin. Do đó tập Coass(δ(N)) là hữu hạn theo giả thiết qui nạp. Dẫn đến chứng minh hoàn tất nếu ta có thể chỉ ra rằng Coass(N) ⊆ Coass(δ(N)) ∪ Coass(HIi (M)/N). Cho p ∈ Coass(N)/Coass(δ(N)), ta phải chứng minh p ∈ Coass(HIi (M)/N). Dĩ nhiên ta có thể viết p = Ann(N/K) với N/K là môđun thương Artin nào đó. Ta có một dãy khớp ngắn 0 −→ (xHIi (M) +K)/K −→ N/K ϕ−→ δ(N)/δ(K) −→ 0 trong đó ϕ được định nghĩa bởi ϕ(u+K) = δ(u) + δ(K),∀u+K ∈ N/K. Chú ý rằng Coass(δ(N)/δ(K)) ⊆ Coass(δ(N)) và Coass(N/K) ⊆ Coass((xHIi (M) +K)/K) ∪ Coass(δ(N)/δ(K)). Bởi p ∈ Coass(N/K) và p 6∈ Coass(δ(N)) nên p ∈ Coass((xHIi (M) +K)/K). Khi đó, p = Ann((xHIi (M) + K)/L), với (xH I i (M) + K)/L là một R−môđun Artin và K ⊆ L. Theo 1.2.12 và 1.2.21 ta có⋂ t>0 xt((xHIi (M) +K)/L) ∼= (⋂ t>0 (xtHIi (M) + L) ) /L ∼= (⋂ t>0 xtHIi (M) + L ) /L = 0 CHƯƠNG 2. IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 42 Vì (xHIi (M) + K)/L là Artin, nên có một số nguyên dương n sao cho xn((xHIi (M) +K)/L) = 0. Do đó, x n ∈ p, dẫn đến x ∈ p và chúng ta có xN ⊆ K. Nên ta có một đẳng cấu HIi (M)/N x−→ (xHIi (M) +K)/L. Điều này dẫn đến Coass((xHIi (M) +K)/L) ⊆ Coass(HIi (M)/N). Do đó, p ∈ Coass(HIi (M)/N) và chứng minh hoàn tất. Mệnh đề 2.2.2. Cho M là một R−môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc và i là một số nguyên không âm. Nếu HIj (M) là một môđun Artin với mọi 0 6= j < i, thì tập Coass(HIi (M)) hữu hạn. Chứng minh. Áp dụng 2.2.1 trong đó N được thay bằng HIi (M). Định lý 2.2.3. Cho M là một R−môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc và i là một số nguyên không âm. Tập các nguyên tố đối liên kết với R−môđun đồng điều địa phương HIi (M) hữu hạn khi R-môđun HIj (M) hữu hạn với mọi j < i Chứng minh. Ta chứng minh bằng qui nạp theo i Khi i = 0, ta có HI0 (M) ∼= ΛI(M). Với mọi số nguyên dương t, toàn cấu M −→M/I tM CHƯƠNG 2. IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 43 sẽ cảm sinh một toàn cấu M −→ ΛI(M). Khi đó CoassR(ΛI(M)) ⊆ CoassR(M). Mà M là R−môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc nên theo 2.1.32 ta có Coass(M) là hữu hạn. Dẫn đến, Coass(HI0 (M)) = Coass(ΛI(M)) cũng hữu hạn. Khi i > 0, kết hợp 1.2.28 và 1.2.30 ta giả sử rằng có một phần tử x ∈ I sao cho xM = M . Khi đó, ta có dãy khớp ngắn các môđun compăc tuyến tính 0 −→ 0 :M x −→M x−→M −→ 0 cảm sinh một dãy khớp dài các môđun đồng điều địa phương · · ·HIi (M) x−→ HIi (M) δ−→ HIi−1(0 :M x) α−→ HIi−1(M) Nếu 0 :M x = 0 thì theo 1.2.21 ta có HIi (M) = xH I i (M) = ⋂ t>0 xtHIi (M) = 0,∀i ≥ 0. Bây giờ ta giả sử rằng 0 :M x 6= 0. Vì R−môđun HIj (M) là hữu hạn với mọi j < i, nên R-môđun HIj (0 :M x) cũng hữu hạn với mọi j < i − 1. Khi đó theo giả thiết qui nạp ta có CoassR(H I i−1(0 :M x)) là hữu hạn. CHƯƠNG 2. IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 44 Mặt khác, HIi−1(0 :M x)/Imδ = H I i−1(0 :M x)/Kerα ∼= Imα ⊆ HIi−1(M). Mà HIi−1(M) hữu hạn nên H I i−1(0 :M x)/Imδ cũng hữu hạn. Xét dãy khớp ngắn 0 −→ Imδ −→ HIi−1(0 :M x) −→ HIi−1(0 :M x)/Imδ −→ 0 ta có Coass(Imδ) hữu hạn theo 2.1.28. Hơn nữa Imδ ∼= HIi (M)/kerδ = HIi (M)/Imx = HIi (M)/xHIi (M), nên Coass(HIi (M)/xH I i (M)) hữu hạn. Vậy Coass(H I i (M)) hữu hạn theo 2.1.29. Định lý 2.2.4. Cho M là một R−môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc và i là một số nguyên không âm. Tập các nguyên tố đối liên kết với R−môđun đồng điều địa phương HIi (M) hữu hạn khi I ⊆ Rad(AnnR(HIj (M))),∀j < i. Chứng minh. Ta chứng minh bằng qui nạp theo i Trường hợp i = 0 được chứng minh tương tự như trong 2.2.3. Cho i > 0. Kí hiệu L(M) là tổng của tất cả các môđun con Artin trong M , thì L(M) cũng là Artin theo 1.2.18. Từ 1.2.31 ta có đẳng cấu HIj (M) ∼= HIj (L(M)),∀j > 0 CHƯƠNG 2. IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 45 và dãy khớp ngắn 0 −→ HI0 (L(M)) −→ HI0 (M) −→ HI0 (M/L(M)) −→ 0. Khi đó, I ⊆ Rad(AnnR(HIj (L(M)))),∀j < i. Áp dụng kết quả 1.2.35 ta có HIj (L(M)) là Artin với mọi j < i. Khi đó theo 2.2.2 thì Coass(HIi (L(M))) hữu hạn, dẫn đến Coass(H I i (M)) cũng hữu hạn. Sử dụng đối ngẫu Matlis, ta có được một số kết quả hữu hạn của các nguyên tố liên kết với môđun đối đồng điều địa phương như sau Hệ quả 2.2.5. Cho (R,m) là một vành địa phương đầy đủ với tôpô m−adic và M là một R−môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc. Cho i là một số nguyên không âm. Tập các nguyên tố liên kết với môđun đối đồng điều địa phương H iI(M) là hữu hạn khi môđun H j I (M) là Artin với mọi j < i Chứng minh. Theo 1.2.21 ta có đẳng cấu sau: D(HjI (M)) ∼= HIj (D(M)). Vì HjI (M) là Artin với mọi j < i nên H I j (D(M)) hữu hạn với mọi j < i (theo [24, 3.4.12]). Hơn nữa, M là R−môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc, nên D(M) cũng là một R−môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc (theo [12, 5.8,9.13]). Khi đó tập Coass(HIi (D(M)))) hữu hạn theo 2.2.3, dẫn đến Coass(D(H iI(M))) cũng vậy. Do đó, tập Ass(H i I(M)) hữu hạn. CHƯƠNG 2. IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 46 Hệ quả 2.2.6. Cho (R,m) là một vành địa phương đầy đủ với tôpô m−adic và M là một R−môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc. Cho i là một số nguyên không âm. Tập các nguyên tố liên kết với môđun đối đồng điều địa phương H iI(M) là hữu hạn khi I ⊆ Rad(AnnR(HjI (M))),∀j < i. Chứng minh. Theo 1.2.21 ta có đẳng cấu sau: D(HjI (M)) ∼= HIj (D(M)). Chúng ta có AnnR(H I j (D(M))) = AnnR(D(H j I (M))) = AnnR(H j I (M)). Khi đó I ⊆ Rad(AnnR(HIj (D(M)))),∀j < i. Hơn nữa D(M) là R-môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc nên ta có CoassR(H I i (D(M))) là hữu hạn, hay CoassR(D(H i I(M))) hữu hạn. Dẫn đến AssR(H i I(M)) ⊆ CoassR(D(H iI(M))) hữu hạn. Hệ quả 2.2.7. Cho M là một R−môđun hữu hạn trên một vành địa phương (R,m) và i là một số nguyên không âm. Tập các nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điệu địa phương H iI(M) là hữu hạn khi môđun HjI (M) là Artin với mọi j<i. Chứng minh. Theo [3, 4.3.2] chúng ta có đẳng cấu của các Rˆ-môđun H iI(M)⊗R Rˆ ∼= H iIRˆ(M ⊗R Rˆ), CHƯƠNG 2. IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 47 với M ⊗R Rˆ là một Rˆ-môđun hữu hạn sinh. Đặt f : R→ Rˆ là một đồng cấu tự nhiên của các vành. Khi đó chúng ta có một ánh xạ cảm sinh f ∗ : Spec(Rˆ)→ Spec(R). Từ 1.1.8 cho ta AssR(H i I(M)) = f ∗(AssRˆ(H i IRˆ (M ⊗R Rˆ))). Do đó, thay M bởi M ⊗R Rˆ, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng (R,m) là một vành địa phương đầy đủ. Khi đó M là compăc tuyến tính nửa rời rạc nên theo 2.2.6 ta có điều cần chứng minh. Hệ quả 2.2.8. Cho M là một R−môđun hữu hạn trên một vành địa phương (R,m) và i là một số nguyên không âm. Tập các nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điệu địa phương H iI(M) là hữu hạn khi môđun HjI (M) là hữu hạn với mọi j<i. Chứng minh. Tương tự trên ta có thể thay M bởi M ⊗R Rˆ và không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng (R,m) là một vành địa phương đầy đủ. Khi đó M là compăc tuyến tính. Tuy nhiên với giả thiết HjI (M) là hữu hạn, theo [8, theorem], với mọi j < i thì I ⊆ Rad(AnnR(HjI (M))),∀j < i. Khi đó theo 2.2.6 ta có điều cần chứng minh. KẾT LUẬN Luận văn này đã nghiên cứu tính chất của tập các iđêan nguyên tố đối liên kết và môđun đồng điều địa phương và đã thu được một số kết quả như sau: 1. Chứng minh được tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố đối liên kết với môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc (Bổ đề 2.1.32) 2. Đưa ra các điều kiện để tập các iđêan nguyên tố đối liên kết với môđun đồng điều địa phương HIi (M) của môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc M là hữu hạn (định lí 2.2.3 và định lí 2.2.4). 3. Bằng đối ngẫu Matlis, luận văn đã mở rộng được một số kết quả hữu hạn cho tập các iđêan nguyên tố liên kết với môđun đối đồng điều địa phương H iI(M) (hệ quả 2.2.5, 2.2.6, và hệ quả 2.2.8). 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Anh 1. L. Alonso Tarrio, A. Jeremias Lopez and J. Lipman, Local homology and cohomology on schemes, Ann. Scient. Ec.Norm. Serie 1 (1997), 1-39. 2. M. F. Atiyah and I. G. Macdonald, "Introduction to Commutative Algebra," Addison Wesley (1969). 3. M. P. Brodmann and R. Y. Sharp, "Local Cohomology: an algebraic introduction with geometric applications," Cambridge University Press (1998). 4. L. Chambless, Coprimary decomposition, N-dimension and divisibility: application to Artinian modules, Comm. Algebra, 9(11)(1981), 1131- 1146. 5. N. T. Cuong and T. T. Nam, A Local homology theory for linearly compact modules, J. Algebra 319(2008), 4712- 4737. 6. N. T. Cuong and T. T. Nam, it On the co-localization, co-support and co- associated primes of local homology modules, Vietnam J. Math. 29 (2001), no.:4, 359-368. 7. N. T. Cuong and T. T. Nam, "The I-adic completion and local homology for artinian modules", Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 131 (2001), no. 1, 61-72. 8. G. Faltings, " die Annulatoren localer Kohomologiegruppen," Arch. Math. 30(5) (1978), 473-476. berU&& 49 9. J. P. C. Greenlees and J. P. May, Derived functors of I -adic completion and local Homology, J. Algebra 149 (1992), 438-453. 10. A. Grothendieck, "Local Cohomology," Lecture Note in Math., No. 20, Springer-Verlag, Berlin-Tokyo-New York (1967). 11. I. G. Macdonald, Secondary representation of modules over a commutative ring, Symp. Math.XI (1973) 23-43. 12. I. G. Macdonald, Duality over complete local rings, Topology 1 (1962), 213-235. 13. E. Matlis, The Kosul complex and duality, Comm. Algebra 1(2) (1974), 87-144. 14. H. Matsumura, Commutative Algebra, Second Edition, Benjamin, Reading, 1980. 15. H. Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge University Press, 1986. 16. T. T. Nam, A finiteness result for co-associated and associated primes of generalized local homology and cohomology modules, Communications in Algebra 2008 (To appear). 17. T. T. Nam, Co-support and Coartinian Modules, Algebra Colloquium 15:1 (2008), 83-96. 18. T. T. Nam, Ideal Co-transforms of linearly compact modules, East-West J. Math. 6 (2004), no. 2, 173-183. 19. T. T. Nam, Left derived functors of the generalized I-adic completion and generalized local homology, Communications in Algebra 2008 (To appear). 50 20. T. T. Nam, Local homology for linearly compact modules, Vietnam J. Math. 28 (2000), no. 1, 87-91 (with N.T.Cuong). 21. T. T. Nam, On the finiteness of co-associated primes of local homology modules, J. Math. Kyoto U. Vol. 8, No. 3 (2008) (To appear). 22. T. T. Nam, The finiteness of associated primes of local homology modules, Kodai Math. J. 29 (2006), no. 3, 383--390. 23. R. Y. Sharp, Steps in commutative algebra, Cambridge University Press (1990). 24. J. Strooker, Homological questions in local algebra, Cambridge University Press (1990). 25. Z. Tang, Local homology theory for artinian modules, Comm. Algebra (5), 22 (1994), 1675-1684. 26. H. A. Toroghy and R. Y. Sharp, Asymptotic behaviour of ideans relative to ibjective modules over commutative Notherian rings, Proc. Edinburgh Math. Soc. 34 (1991), 155-160. 27. S. Yassemi, Coassociated primes, Comm. Algebra, 23(4)(1995), 1473- 1498. 28. D. Zelinsky, Linearly compact modules and rings, Amer. Math. (75)(1953), 79-90. 29. , Moduln, die in jeder Erweiterung ein Komplement haben, Math. Scan. (35)(1974), 267-287. schingeroZ && 51

Các file đính kèm theo tài liệu này:

  • pdfIdean nguyên tố đối liên kết và Đồng điều địa phương.pdf