Không gian phân thớ và một vài tính chất

MỤC LỤC Trang phụ bìa 1 Lời cảm dn 2 Mục lục 3 Danh sách hình 4 Mở đầu 5 0,1 Tính cấp thiết, mục tiêu của đề tài 5 0,1,1 Tính cấp thiết 5 0,1,2 Mục tiêu của đề tài 5 0,2 Tổng quan tài liệu nghiên cứu 5 0,3 Cách tiếp cận, phương pháp nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu, nội dung nghiên cứu 6 0,3,1 Các tiếp cận, phương pháp nghiên cứu 6 0,3,2 Phạm vi và nội dung nghiên cứu 7 Chương 1 : Kiến thức chuẩn bị 8 o ã 1.1 Không gian tôpô và T2- không gian 8 1.2 Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô 10 1.3 Lý thuyết phạm trù 12 1.4 Đa tạp khả vi 14 1.5 cw-phứe 18 Chương 2 : Không gian phân thớ và môt vài tính chất 20 2.1 Khái niệm không gian phân thớ (phân thớ) và một số ví dụ 20 2.2 Nhát cắt của phân thớ 23 2.3 Cấu xạ của phân thớ 24 2.4 Tích phân thớ và thớ tích 26 2.5 Sự hạn chế (thu hẹp) của phân thớ, phân thớ cảm sinh , , 29 2.6 Tính chất địa phương của phân thớ 35 2.7 Sự mở rộng của nhát cắt 38 Kết luận 39 Tài liêu tham khảo 40 MỞ ĐẦU 0.1 TÍNH CẤP THIẾT, MỤC TIÊU CỦA ĐE tài 0.1.1 Tính cấp thiết Phân thớ vectơ là công cụ quan trọng trong nghiên cứu hình họe-tôpô, Để bước vào nghiên cứu Hình học thì bắt buộc nhà nghiên cứu phải nắm vững những khái niệm và tính chất của không gian phân thớ và phân thớ vectơ, Khái niệm không gian phân thớ lần đầu tiên xuất hiện khoảng những năm 1922 - 1925 trong các công trình của E.Cartan về lí thuyết liên thông [2], Những định nghĩa và kết quả đầu tiên về phân thớ được H,Whitney, H.Hopf và E.Stiefel nghiên cứu trong các công trình của mình trong khoảng 1935 - 1940 [2], Kể từ đó lí thuyết không gian phân thớ trở thành một trong những đối tượng nghiên cứu quan trọng của tôpô đại số, và là một công cụ quan trọng trong nghiên cứu hình học vi phân, Để tập nghiên cứu và bổ sung các kiến thức ban đầu về chuyên ngành hình học tôi đã chọn nghiên cứu đề tài: Không gian phân thớ và một vài tính chất. 0.1.2 Mục tiêu của để tài + Đề tài trình bày các khái niệm ban đầu về không gian phân thớ, nêu một số ví dụ về không gian phân thớ, + Trình bày cách chứng minh một số tính chất của không gian phân thớ, 0.2 TổNG QUAN TÀI LIỆU NGHIÊN cứu Khái niệm không gian phân thớ lần đầu tiên xuất hiện khoảng những năm 1922 - 1925 trong các công trình của E.Cartan về lí thuyết liên thông [2], Những định nghĩa và kết quả đầu tiên về phân thớ được H,Whitney, H.Hopf và E.Stiefel nghiên cứu trong các công trình của mình trong khoảng 1935 - 1940 [2], Kể từ đó lí thuyết không gian phân thớ trở thành một trong những đối tượng nghiên cứu quan trọng của tôpô đại số, và là một công cụ quan trọng trong nghiên cứu hình học vi phân, Năm 1950, Steenrod đã hệ thống lại các nghiên cứu về phân thớ trong giai đoạn đó [4], Năm 1955, Milnor đưa ra cấu trúc chung của phân thớ cho một nhóm tôpô bất kì [4], Từ 1950-1955, Hirzebrueh đã làm sáng tỏ khái niệm lớp đặc trưng của phân thớ và sử dụng nó để chứng minh định lí Riemann-Roeh cho đại số đa tạp [4], Vấn đề đó đã được xuất bản trong cuốn Ergebnisse Monograph của ông ta, Những năm đầu thập kỷ 1960 Grothendieek, Atiyah và Hirzebrueh đã phát triển K -lý thuyết, một lý thuyết đối đồng điều tổng quát được xác định bởi các lớp ổn định của phân thớ vectơ, Định lí tuần hoàn Bott đã được chứng minh như một định lí trong K - lý thuyết và Adams đã giải quyết vấn đề trường vectơ trên quả cầu bằng cách sử dụng K -lý thuyết [4], 0.3 CÁCH TIẾP CẬN, PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨƯ, PHẠM VI NGHIÊN CỨƯ, NỘI DUNG NGHIÊN CỨƯ 0.3.1 Các tiếp cân, phương pháp nghiên cứu + Sưu tầm tài liệu trong và ngoài nước có liên quan đến đề tài ở các thư viện, mua sách báo ở các nhà xuất bản, các tạp chí trên internet,,, + Nghiên cứu tài liệu, tìm cách trình bày các chứng minh khác các tính chất đã có hoặc chưa thấy chứng minh ở đâu, + Sử dụng các phương pháp nghiên cứu toán học, phương pháp nghiên cứu lý thuyết. 0.3.2 Pham vi và nôi dung nghiên cứu + Trình bày các khái niệm của không gian phân thớ (đề tài chỉ xét phân thớ tổng quát) và một số tính chất của không gian phân thớ, + Trình bày chứng minh khác các tính chất của không gian phân thớ.

pdf44 trang | Chia sẻ: lvcdongnoi | Ngày: 26/01/2013 | Lượt xem: 1858 | Lượt tải: 5download
Bạn đang xem nội dung tài liệu Không gian phân thớ và một vài tính chất, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Tr­êng ®¹i häc T©y Nguyªn Khoa Khoa häc tù nhiªn vµ c«ng nghÖ Bé m«n To¸n Lª Ngäc S¬n Kh«ng gian ph©n thí vµ Mét vµi tÝnh chÊt Ngµnh: S­ ph¹m To¸n BMT - 2011 Tr­êng ®¹i häc T©y Nguyªn Khoa Khoa häc tù nhiªn vµ c«ng nghÖ Bé m«n To¸n Lª Ngäc S¬n Khãa luËn tèt nghiÖp Kh«ng gian ph©n thí vµ Mét vµi tÝnh chÊt GVDH: Ts. Ng« §×nh Quèc BMT - 2011 Lêi c¶m ¬n §Ó hoµn thµnh luËn v¨n tèt nghiÖp nµy, t«i ®· nhËn ®­îc rÊt nhiÒu sù quan t©m tõ thÇy c«, gia ®×nh còng nh­ b¹n bÌ. Víi t×nh c¶m ch©n thµnh vµ lßng biÕt ¬n s©u s¾c t«i xin c¶m ¬n TS. Ng« §×nh Quèc, ng­êi ®· dµnh rÊt nhiÒu thêi gian quý b¸u vµ t©m huyÕt ®Ó gióp ®ì t«i trong qu¸ tr×nh lµm luËn v¨n. T«i xin c¶m ¬n toµn thÓ thÇy c« gi¸o tr­êng §¹i häc T©y Nguyªn - nh÷ng ng­êi b¹n ®­êng trªn hµnh tr×nh ®i t×m tri thøc, nh÷ng ng­êi ®· nhiÖt t×nh d¹y dç vµ truyÒn ®¹t cho t«i nh÷ng kiÕn thøc quý b¸u trong suèt qu¸ tr×nh häc tËp t¹i tr­êng. Xin c¶m ¬n tËp thÓ líp S­ ph¹m To¸n K2007 ®· t¹o mäi ®iÒu kiÖn tèt nhÊt cho t«i trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ hoµn thµnh luËn v¨n nµy. Cuèi cïng t«i xin c¶m ¬n bè mÑ vµ c¸c em t«i ®· lu«n ®éng viªn, gióp ®ì t«i trong nh÷ng n¨m th¸ng häc ®¹i häc còng nh­ trong qu¸ tr×nh t«i thùc hiÖn luËn v¨n nµy. T¸c gi¶ 2 Môc lôc Trang phô b×a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lêi c¶m ¬n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Môc lôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Danh s¸ch h×nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Më ®Çu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0.1 TÝnh cÊp thiÕt, môc tiªu cña ®Ò tµi . . . . . . . . . . . . . 5 0.1.1 TÝnh cÊp thiÕt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0.1.2 Môc tiªu cña ®Ò tµi . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0.2 Tæng quan tµi liÖu nghiªn cøu . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0.3 C¸ch tiÕp cËn, ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu, ph¹m vi nghiªn cøu, néi dung nghiªn cøu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0.3.1 C¸c tiÕp cËn, ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu . . . . . . . 6 0.3.2 Ph¹m vi vµ néi dung nghiªn cøu . . . . . . . . . . 7 Ch­¬ng 1 : KiÕn thøc chuÈn bÞ 8 1.1 Kh«ng gian t«p« vµ T2− kh«ng gian . . . . . . . . . . . . 8 1.2 ¸nh x¹ liªn tôc trªn kh«ng gian t«p« . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Lý thuyÕt ph¹m trï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 §a t¹p kh¶ vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5 CW-phøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ch­¬ng 2 : Kh«ng gian ph©n thí vµ mét vµi tÝnh chÊt 20 2.1 Kh¸i niÖm kh«ng gian ph©n thí (ph©n thí) vµ mét sè vÝ dô 20 2.2 Nh¸t c¾t cña ph©n thí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 CÊu x¹ cña ph©n thí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4 TÝch ph©n thí vµ thí tÝch . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.5 Sù h¹n chÕ (thu hÑp) cña ph©n thí, ph©n thí c¶m sinh . . 29 2.6 TÝnh chÊt ®Þa ph­¬ng cña ph©n thí . . . . . . . . . . . . . 35 2.7 Sù më réng cña nh¸t c¾t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 KÕt luËn 39 Tµi liÖu tham kh¶o 40 3 Danh s¸ch h×nh 1.1 H×nh 1: B¶n ®å . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2 H×nh 2: Elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3 H×nh 3: B¶n ®å phï hîp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4 H×nh 4: Elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1 H×nh 5: Ph©n thí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 H×nh 6: D¶i Mobius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 H×nh 7: Ph©n thí tiÕp xóc, ph©n thí chuÈn t¾c . . . . . . . 22 2.4 H×nh 8: Nh¸t c¾t ph©n thí . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4 Më ®Çu 0.1 TÝnh cÊp thiÕt, môc tiªu cña ®Ò tµi 0.1.1 TÝnh cÊp thiÕt Ph©n thí vect¬ lµ c«ng cô quan träng trong nghiªn cøu h×nh häc-t«p«. §Ó b­íc vµo nghiªn cøu H×nh häc th× b¾t buéc nhµ nghiªn cøu ph¶i n¾m v÷ng nh÷ng kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt cña kh«ng gian ph©n thí vµ ph©n thí vect¬. Kh¸i niÖm kh«ng gian ph©n thí lÇn ®Çu tiªn xuÊt hiÖn kho¶ng nh÷ng n¨m 1922 - 1925 trong c¸c c«ng tr×nh cña E.Cartan vÒ lÝ thuyÕt liªn th«ng [2]. Nh÷ng ®Þnh nghÜa vµ kÕt qu¶ ®Çu tiªn vÒ ph©n thí ®­îc H.Whitney, H.Hopf vµ E.Stiefel nghiªn cøu trong c¸c c«ng tr×nh cña m×nh trong kho¶ng 1935 - 1940 [2]. KÓ tõ ®ã lÝ thuyÕt kh«ng gian ph©n thí trë thµnh mét trong nh÷ng ®èi t­îng nghiªn cøu quan träng cña t«p« ®¹i sè, vµ lµ mét c«ng cô quan träng trong nghiªn cøu h×nh häc vi ph©n. §Ó tËp nghiªn cøu vµ bæ sung c¸c kiÕn thøc ban ®Çu vÒ chuyªn ngµnh h×nh häc t«i ®· chän nghiªn cøu ®Ò tµi: Kh«ng gian ph©n thí vµ mét vµi tÝnh chÊt. 0.1.2 Môc tiªu cña ®Ò tµi + §Ò tµi tr×nh bµy c¸c kh¸i niÖm ban ®Çu vÒ kh«ng gian ph©n thí, nªu mét sè vÝ dô vÒ kh«ng gian ph©n thí. + Tr×nh bµy c¸ch chøng minh mét sè tÝnh chÊt cña kh«ng gian ph©n thí. 0.2 Tæng quan tµi liÖu nghiªn cøu Kh¸i niÖm kh«ng gian ph©n thí lÇn ®Çu tiªn xuÊt hiÖn kho¶ng nh÷ng n¨m 1922 - 1925 trong c¸c c«ng tr×nh cña E.Cartan vÒ lÝ thuyÕt liªn th«ng [2]. Nh÷ng ®Þnh nghÜa vµ kÕt qu¶ ®Çu tiªn vÒ ph©n thí ®­îc H.Whitney, 5 6H.Hopf vµ E.Stiefel nghiªn cøu trong c¸c c«ng tr×nh cña m×nh trong kho¶ng 1935 - 1940 [2]. KÓ tõ ®ã lÝ thuyÕt kh«ng gian ph©n thí trë thµnh mét trong nh÷ng ®èi t­îng nghiªn cøu quan träng cña t«p« ®¹i sè, vµ lµ mét c«ng cô quan träng trong nghiªn cøu h×nh häc vi ph©n. N¨m 1950, Steenrod ®· hÖ thèng l¹i c¸c nghiªn cøu vÒ ph©n thí trong giai ®o¹n ®ã [4]. N¨m 1955, Milnor ®­a ra cÊu tróc chung cña ph©n thí cho mét nhãm t«p« bÊt k× [4]. Tõ 1950-1955, Hirzebruch ®· lµm s¸ng tá kh¸i niÖm líp ®Æc tr­ng cña ph©n thí vµ sö dông nã ®Ó chøng minh ®Þnh lÝ Riemann-Roch cho ®¹i sè ®a t¹p [4]. VÊn ®Ò ®ã ®· ®­îc xuÊt b¶n trong cuèn Ergebnisse Monograph cña «ng ta. Nh÷ng n¨m ®Çu thËp kû 1960 Grothendieck, Atiyah vµ Hirzebruch ®· ph¸t triÓn K -lý thuyÕt, mét lý thuyÕt ®èi ®ång ®iÒu tæng qu¸t ®­îc x¸c ®Þnh bëi c¸c líp æn ®Þnh cña ph©n thí vect¬. §Þnh lÝ tuÇn hoµn Bott ®· ®­îc chøng minh nh­ mét ®Þnh lÝ trong K - lý thuyÕt vµ Adams ®· gi¶i quyÕt vÊn ®Ò tr­êng vect¬ trªn qu¶ cÇu b»ng c¸ch sö dông K -lý thuyÕt [4]. 0.3 C¸chtiÕpcËn, ph­¬ngph¸pnghiªncøu, ph¹mvinghiªn cøu, néi dung nghiªn cøu 0.3.1 C¸c tiÕp cËn, ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu + S­u tÇm tµi liÖu trong vµ ngoµi n­íc cã liªn quan ®Õn ®Ò tµi ë c¸c th­ viÖn, mua s¸ch b¸o ë c¸c nhµ xuÊt b¶n, c¸c t¹p chÝ trªn internet... + Nghiªn cøu tµi liÖu, t×m c¸ch tr×nh bµy c¸c chøng minh kh¸c c¸c tÝnh chÊt ®· cã hoÆc ch­a thÊy chøng minh ë ®©u. + Sö dông c¸c ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu to¸n häc, ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu lý thuyÕt. 70.3.2 Ph¹m vi vµ néi dung nghiªn cøu + Tr×nh bµy c¸c kh¸i niÖm cña kh«ng gian ph©n thí (®Ò tµi chØ xÐt ph©n thí tæng qu¸t) vµ mét sè tÝnh chÊt cña kh«ng gian ph©n thí. + Tr×nh bµy chøng minh kh¸c c¸c tÝnh chÊt cña kh«ng gian ph©n thí. Ch­¬ng 1 KiÕn thøc chuÈn bÞ 1.1 Kh«ng gian t«p« vµ T2− kh«ng gian §Þnh nghÜa 1.1. ([1]-Tr.56) Cho tËp hîp X . Hä T c¸c tËp con cña X ®­îc gäi lµ mét t«p« nÕu tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: (T1) ∅, X ∈ T (T2) NÕu Gα ∈ T , α ∈ I th× ⋃ α∈I Gα ∈ T (T3) NÕu G1, G2 ∈ T th× G1 ∩G2 ∈ T Khi ®ã cÆp (X, T ) ®­îc gäi lµ mét kh«ng gian t«p«. C¸c tËp hîp thuéc T ®­îc gäi lµ c¸c tËp më trong X ®èi víi t«p« T , hay T -më. VÝ dô 1.1. ([1]-Tr.56,57) 1. Gi¶ sö X lµ mét tËp tïy ý, T = {X,∅}. Khi ®ã T lµ mét t«p« trªn X , vµ nã ®­îc gäi lµ t«p« th« trªn X , (X, T ) ®­îc gäi lµ kh«ng gian t«p« th«. 2. Gi¶ sö X = R. KÝ hiÖu T = {⋃ i∈I (ai, bi)|ai, bi ∈ R, ai ≤ bi } Khi ®ã T lµ mét t«p« trªn X , vµ ®­îc gäi lµ t«p« th«ng th­êng (hay t«p« tù nhiªn) trªn X . 3. Cho X lµ mét tËp bÊt k×. KÝ hiÖu: T = P(X)(tËp tÊt c¶ c¸c tËp con cña X). Khi ®ã T lµ mét t«p« trªn X vµ (X, T ) ®­îc gäi lµ kh«ng gian t«p« rêi r¹c. 8 9§Þnh nghÜa 1.2. ([1]-Tr.57) Cho kh«ng gian t«p« (X, T ), A ⊂ X . TËp con U cña kh«ng gian t«p« X ®­îc gäi lµ mét l©n cËn cña tËp A nÕu trong U cã mét tËp con më chøa A. Ta hiÓu mét l©n cËn cña phÇn tö x ∈ X lµ l©n cËn cña tËp con {x} §Þnh nghÜa 1.3. ([1]-Tr.57) TËp con A cña kh«ng gian t«p« X ®­îc gäi lµ tËp ®ãng nÕu phÇn bï cña A trong X lµ tËp më. VÝ dô 1.2. ([1]-Tr.57,58) 1. XÐt kh«ng gian t«p« th« X . Khi ®ã ta cã tËp X vµ ∅ ®ång thêi võa lµ tËp ®ãng, võa lµ tËp më. 2. XÐt R víi t«p« tù nhiªn th× mçi kho¶ng (a, b) = {x : a < x < b} lµ mét tËp më, mçi ®o¹n [a, b] = {x : a ≤ x ≤ b} lµ mét tËp ®ãng. §Þnh nghÜa 1.4. ([1]-Tr.98) Cho (X, T ) lµ mét kh«ng gian t«p«, Y ⊂ X . Khi ®ã hä U = {U ⊂ Y : U = Y ∩ V, V ∈ T } lµ mét t«p« trªn Y . T«p« U ®­îc gäi lµ t«p« c¶m sinh bëi t«p« T trªn Y . Kh«ng gian (Y,U) ®­îc gäi lµ kh«ng gian con cña kh«ng kh«ng gian t«p« (X, T ). §Þnh nghÜa 1.5. ([1]-Tr.91) Kh«ng gian t«p« X ®­îc gäi lµ T2−kh«ng gian (hay kh«ng gian Hausdorff) nÕu víi mäi x, y ∈ X mµ x 6= y tån t¹i c¸c l©n cËn Ux cña x vµ Vy cña y sao cho Ux ∩ Vy = ∅. VÝ dô 1.3. 1. Mäi kh«ng gian metric ®Òu lµ kh«ng gian Hausdorff. ThËt vËy, gi¶ sö X lµ mét kh«ng gian metric bÊt k× vµ a, b ∈ X, a 6= b. Khi ®ã ta cã d(a, b) =  > 0. XÐt c¸c h×nh cÇu më G = S(a, 3), H = S(b,  3). Ta cÇn chøng minh G ∩H = ∅. ThËt vËy, nÕu tån t¹i p ∈ G ∩H th× ta cã d(a, p) < 3 vµ d(b, p) < 3 . 10 MÆt kh¸c ta cã d(a, b) ≤ d(a, p) + d(b, p) Suy ra  ≤  3 +  3 = 2 3 ( V« lÝ ) VËy X lµ kh«ng gian Hausdorff. 2. ([1]-Tr.92) Kh«ng gian t«p« rêi r¹c lµ kh«ng gian Hausdorff. 1.2 ¸nh x¹ liªn tôc trªn kh«ng gian t«p« §Þnh nghÜa 1.6. ([1]-Tr.79) Cho (X, T ), (Y,U) lµ hai kh«ng gian t«p«. Mét ¸nh x¹ f : (X, T ) −→ (Y,U) ®­îc gäi lµ liªn tôc t¹i ®iÓm x0 ∈ X nÕu víi mçi l©n cËn W cña f(x0) tån t¹i l©n cËn V cña x0 sao cho f(V ) ⊂ W . NÕu f liªn tôc víi mäi x ∈ X th× f ®­îc gäi lµ liªn tôc trªn X. §Þnh lÝ 1.1. ([1]-Tr.80) Cho X, Y lµ hai kh«ng gian t«p«, f : X −→ Y . Khi ®ã ¸nh x¹ f liªn tôc t¹i x ∈ X khi vµ chØ khi víi mçi l©n cËn W cña f(x) th× f−1(W ) lµ l©n cËn cña x. Chøng minh. ([1]-Tr.80) Gi¶ sö f : X −→ Y liªn tôc t¹i x ∈ X vµ W lµ mét l©n cËn cña f(x). Khi ®ã do f liªn tôc t¹i x nªn tån t¹i l©n cËn V cña x sao cho f(V ) ⊂ W , suy ra V ⊂ f−1(W ), do ®ã f−1(W ) lµ mét l©n cËn cña x. Ng­îc l¹i, gi¶ sö W lµ mét l©n cËn cña f(x). Theo gi¶ thiÕt f−1(W ) lµ mét l©n cËn cña x. §Æt V = f−1(W ). Khi ®ã V lµ mét l©n cËn cña x vµ f(V ) ⊂ W nªn f liªn tôc t¹i x. §Þnh lÝ 1.2. ([1]-Tr.80) Cho (X, T ), (Y,U) lµ hai kh«ng gian t«p« vµ ¸nh x¹ f : X −→ Y . Khi ®ã c¸c mÖnh ®Ò sau lµ t­¬ng ®­¬ng: (a) f lµ ¸nh x¹ liªn tôc; 11 (b) NghÞch ¶nh cña mçi tËp më lµ tËp më; (c) NghÞch ¶nh cña mçi tËp ®ãng lµ tËp ®ãng; (d) ∀A ∈ X ⇒ f(A) ⊂ f(A); (e) ∀B ∈ Y ⇒ f−1(B0) ⊂ (f−1(B))0. Chøng minh. ([1]-Tr.81) (a)⇒ (b) Gi¶ sö G lµ mét tËp më trong Y , G 6= ∅. Víi mçi x ∈ f−1(G) ta cã f(x) ∈ G, do f liªn tôc nªn tån t¹i l©n cËn V cña x sao cho f(V ) ⊂ G ⇒ x ∈ V ⊂ f−1(G), do ®ã f−1(G) lµ mét l©n cËn cña x ⇒ f−1(G) lµ l©n cËn cña mäi ®iÓm thuéc nã nªn f−1(G) lµ tËp më. (b)⇒ (c) XÐt F lµ mét tËp ®ãng trong Y . Ta cã Y \F lµ tËp më, theo (b) ta cã f−1(Y \F ) = X\f−1(F ) lµ tËp më. Do ®ã f−1(F ) lµ tËp ®ãng. (c)⇒ (d) Víi mäi A ∈ X , theo (c) ta cã f−1(f(A)) lµ tËp ®ãng. MÆt kh¸c do f(A) ⊂ f(A) nªn A ⊂ f−1(f(A)). Do ®ã f(A) ⊂ f(A). (d)⇒ (e) Víi mäi B ∈ Y , theo (d) ta cã f(f−1(B)) ⊂ f(f−1(B)) ⊂ B Suy ra f−1(B) ⊂ f−1(B). Do ®ã ∀B ∈ Y ta cã: X\f−1(B) = f−1(Y \B) ⊂ f−1(Y \B) Suy ra f−1(B0) = X\f−1(Y \B) ⊂ X\X\f−1(B) = (f−1(B))0 (e)⇒ (a) Víi mçi x ∈ X , gäi W lµ l©n cËn më cña f(x). Theo gi¶ thiÕt ta cã: x ∈ f−1(W ) = f−1(W 0) ⊂ (f−1(W ))0 12 §Æt V = (f−1(W ))0, ta cã V lµ mét l©n cËn cña x vµ f(V ) ⊂ W . Do ®ã f liªn tôc tai x, suy ra f liªn tôc trªn X . §Þnh lÝ 1.3. ([1]-Tr.82) Cho (X, TX), (Y, TY ), (Z, TZ) lµ c¸c kh«ng gian t«p«, f : X −→ Y, g : Y −→ Z lµ c¸c ¸nh x¹ liªn tôc. Khi ®ã g◦f : X −→ Z lµ ¸nh x¹ liªn tôc. Chøng minh. ([1]-Tr.82) Víi mäi G ∈ TZ . Do g liªn tôc nªn g−1(G) ∈ TY . Do f liªn tôc nªn f−1(g−1(G)) ∈ TX . Cho nªn g◦f liªn tôc. §Þnh nghÜa 1.7. ([1]-Tr.83) Cho X, Y lµ hai kh«ng gian t«p«. ¸nh x¹ f : X −→ Y ®­îc gäi lµ mét phÐp ®ång ph«i nÕu f lµ mét song ¸nh, f liªn tôc vµ f−1 liªn tôc. Khi ®ã hai kh«ng gian X vµ Y ®­îc gäi lµ ®ång ph«i víi nhau hay lµ t­¬ng ®­¬ng t«p«. §Þnh nghÜa 1.8. ([1]-Tr.82) Cho X, Y lµ hai kh«ng gian t«p«, f : X −→ Y . Khi ®ã, f ®­îc gäi lµ ¸nh x¹ më (®ãng) nÕu víi mäi tËp A më (®ãng) trong X th× f(A) më (®ãng) trong Y . 1.3 Lý thuyÕt ph¹m trï §Þnh nghÜa 1.9. ([5]-Tr.8,9) Mét ph¹m trï C ®­îc cho bëi: (I) Mét líp c¸c ®èi t­îng cña C kÝ hiÖu Ob(C). Mçi phÇn tö cña Ob(C) lµ mét vËt cña C. (II) Hai vËt A,B ∈ Ob(C) lu«n x¸c ®Þnh ®­îc mét tËp hîp MorC(A,B) ®­îc gäi lµ c¸c cÊu x¹ tõ A vµo B tháa m·n: nÕu (A,B), (C,D) lµ c¸c cÆp vËt cña C mµ (A,B) 6= (C,D) th×: MorC(A,B) ∩MorC(C,D) = ∅ 13 (III) Víi mçi bé ba (A,B,C) ∈ Ob(C) lu«n x¸c ®Þnh ®­îc mét ¸nh x¹: MorC(B,C)×MorC(A,B) −→MorC(A,C) (β, α) 7−→ βα ®­îc gäi lµ phÐp nh©n cÊu x¹, tháa m·n c¸c tÝnh chÊt sau: (i) ∀α ∈MorC(A,B), β ∈MorC(B,C), γ ∈MorC(C,D) ta cã: γ(βα) = (γβ)α (ii) ∀A ∈ Ob(C),∃IdA ∈MorC(A,A) sao cho ∀f ∈MorC(A,B), g ∈MorC(C,A) ta cã: (f)IdA = f, IdA(g) = g Ta kÝ hiÖu Mor(C) = ⋃ A,B∈Ob(C) MorC(A,B) VÝ dô 1.4. ([5]-Tr.9,10) 1. Ph¹m trï tËp hîp, kÝ hiÖu Set, bao gåm: mçi vËt lµ mét tËp hîp, mçi cÊu x¹ lµ mét ¸nh x¹, phÐp nh©n c¸c cÊu x¹ lµ phÐp hîp thµnh c¸c ¸nh x¹. 2. Ph¹m trï kh«ng gian t«p«, kÝ hiÖu Top bao gåm: mçi vËt lµ mét kh«ng gian t«p«, mçi cÊu x¹ lµ mét ¸nh x¹ liªn tôc, phÐp nh©n c¸c cÊu x¹ lµ phÐp hîp thµnh c¸c ¸nh x¹. 3. Ph¹m trï kh«ng gian Vect¬, kÝ hiÖu Vect bao gåm: mçi vËt lµ mét kh«ng gian vect¬, mçi cÊu x¹ lµ mét ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh, phÐp nh©n c¸c cÊu x¹ lµ phÐp hîp thµnh c¸c ¸nh x¹. 4. Ph¹m trï tËp hîp víi ®iÓm c¬ së bao gåm: mçi vËt lµ mét cÆp (A, x0), x0 ∈ A, mét cÊu x¹ gi÷a hai vËt (A, x0) vµ (B, y0) lµ mét ¸nh x¹ f : A −→ B 14 tháa m·n f(x0) = y0, phÐp nh©n c¸c cÊu x¹ lµ phÐp hîp thµnh c¸c ¸nh x¹. 1.4 §a t¹p kh¶ vi §Þnh nghÜa 1.10. ([7]-Tr.6)(§a t¹p t«p«) Mét kh«ng gian t«p« (X, T ) ®­îc gäi lµ mét ®a t¹p t«p« n chiÒu nÕu X lµ Hausdorff, tháa m·n tiªn ®Ò ®Õm ®­îc thø hai vµ ®ång ph«i ®Þa ph­¬ng víi Rn. §Þnh nghÜa 1.11. ([7]-Tr.7) Cho M lµ mét ®a t¹p t«p« n chiÒu. Mét b¶n ®å ®Þa ph­¬ng (hoÆc hÖ täa ®é ®Þa ph­¬ng) cña M lµ mét cÆp (U, φ) víi U lµ mét tËp më kh¸c rçng trong M , φ lµ mét ®ång ph«i tõ U tíi tËp më φ(U) trong Rn. H×nh 1.1: B¶n ®å VÝ dô 1.5. XÐt elip (E) : x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) §Æt U = {A(x, y) ∈ (E)|y > 0}, U = (−a, a). XÐt ¸nh x¹: ϕ : U −→ U A(x, y) 7−→ x Khi ®ã ta cã (U,ϕ) lµ mét b¶n ®å cña (E). ThËt vËy, ta cã 15 H×nh 1.2: Elip (+) Râ rµng U më trong (E) vµ U më trong R (+) ϕ lµ ®ång ph«i ϕ lµ ®¬n ¸nh: Víi mäi A(x1, y1), B(x2, y2) ∈ U mµ ϕ(A) = ϕ(B), ta cã x1 = x2 ⇒ y1 = b a √ a2 − x21 = b a √ a2 − x22 = y2 ⇒ A ≡ B ϕ lµ toµn ¸nh: Víi mäi t ∈ U , xÐt A(t, b a √ a2 − t2) ∈ U . Ta cã ϕ(A) = t ϕ, ϕ−1 liªn tôc: Ta cã ϕ lµ phÐp chiÕu lªn thµnh phÇn thø nhÊt nªn liªn tôc. Ngoµi ra ϕ−1 : t 7−→ (t, b a √ a2 − t2) liªn tôc. VËy (U,ϕ) lµ mét b¶n ®å cña (E). §Þnh nghÜa 1.12. ([7]-Tr.7) Hai b¶n ®å (U, φ), (V, ψ) ®­îc gäi lµ Ck−phï hîp, k ∈ (N\{0})∪{∞}, nÕu U∩V = ∅ hoÆc φ◦ψ−1 := ψ(U∩V ) −→ Rn vµ ψ◦φ−1 := φ(U ∩ V ) −→ Rn thuéc líp Ck. 16 H×nh 1.3: B¶n ®å phï hîp VÝ dô 1.6. XÐt elip (E) : x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) H×nh 1.4: Elip §Æt U1 = {A(x, y) ∈ (E)|y > 0}, U 1 = (−a, a). XÐt ¸nh x¹ ϕ1 : U1 −→ U 1 A(x, y) 7−→ x 17 §Æt U2 = {A(x, y) ∈ (E)|x > 0}, U 2 = (−b, b). XÐt ¸nh x¹ ϕ2 : U2 −→ U 2 A(x, y) 7−→ y Chøng minh t­¬ng tù vÝ dô 1.5 ta cã (U1, ϕ1) vµ (U2, ϕ2) lµ c¸c b¶n ®å cña (E). §Æt W = U1 ∩ U2 = {A(x, y)|x > 0, y > 0},W1 = ϕ1(W ) = (0, a),W2 = ϕ2(W ) = (0, b). XÐt ¸nh x¹: f : W1 −→ W2 x 7−→ f(x) = ϕ2 ◦ ϕ1(x) = b a √ a2 − x2 Râ rµng f lµ vi ph«i. Do ®ã ta cã (U1, ϕ1) vµ (U2, ϕ2) phï hîp. §Þnh nghÜa 1.13. ([7]-Tr.7) (Atlas trªn mét ®a t¹p) Cho M lµ mét ®a t¹p t«p« n chiÒu. Mét Atlas kh¶ vi cÊp k ∈ (N\{0})∪{∞} trªn M lµ mét líp c¸c b¶n ®å A = {(Ui, φi)}i∈I tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: (i) A lµ mét phñ cña M , tøc lµ M = ⋃i∈I Ui. (ii) Hai b¶n ®å bÊt k× cña A lµ Ck−phï hîp. §Þnh nghÜa 1.14. ([7]-Tr.7) Cho M lµ mét ®a t¹p n chiÒu, mét cÊu tróc kh¶ vi cÊp k ∈ (N\{0}) ∪ {∞} trªn M lµ mét Atlas cùc ®¹i trªn M . Mét ®a t¹p t«p« ®­îc trang bÞ mét cÊu tróc kh¶ vi cÊp k ∈ (N\{0})∪{∞} ®­îc gäi lµ mét ®a t¹p kh¶ vi cÊp k. VÝ dô 1.7. Ta cã (E) : x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) lµ mét ®a t¹p kh¶ vi. ThËt vËy, ®Æt: 18 (1) U1 = {(x, y) ∈ (E)|y > 0}, U 1 = (−a, a). ϕ1 : U1 −→ U 1 (x, y) 7−→ x (2) U2 = {(x, y) ∈ (E)|x > 0}, U 2 = (−b, b). ϕ2 : U2 −→ U 2 (x, y) 7−→ y (3) U3 = {(x, y) ∈ (E)|y < 0}, U 3 = (−a, a). ϕ3 : U3 −→ U 3 (x, y) 7−→ x (4) U4 = {(x, y) ∈ (E)|x < 0}, U 4 = (−b, b). ϕ4 : U4 −→ U 4 (x, y) 7−→ y Khi ®ã ta cã {Uα, ϕα}4α=1 lµ mét cÊu tróc kh¶ vi cña (E). Do ®ã (E) lµ mét ®a t¹p kh¶ vi. 1.5 CW-phøc §Þnh nghÜa 1.15. ([3]-Tr.113) Mét khoang phøc X lµ mét kh«ng gian Hausdorff, lµ hîp c¸c kh«ng gian con rêi nhau eα(α ∈ A) (®­îc gäi lµ c¸c khoang) vµ tháa m·n: (a) Víi mçi khoang lu«n cã mét sè nguyªn n ≥ 0 gäi lµ chiÒu cña nã. NÕu eα cã chiÒu n ta kÝ hiÖu lµ e n α. Ta kÝ hiÖu X n lµ tËp hîp cña tÊt c¶ c¸c khoang ekα víi k ≤ n ®­îc gäi lµ n−s­ên. 19 (b) NÕu enα lµ n−khoang, th× tån t¹i mét ¸nh x¹ ®Æc tr­ng: χα : (B n, Sn−1) −→ (X,Xn−1) tháa m·n χ|Bn\Sn−1 lµ mét ®ång ph«i tõ Bn\Sn−1 ®Õn enα. §Þnh nghÜa 1.16. ([3]-Tr.115) Cho X lµ mét khoang phøc. X ®­îc gäi lµ mét CW− phøc nÕu tháa m·n: (i) (TÝnh ®ãng h÷u h¹n) Víi mçi khoang enα th× K(e n α) lµ mét phøc con h÷u h¹n. Trong ®ã K(enα) lµ giao tÊt c¶ c¸c phøc con chøa e n α. (ii) (T«p« yÕu) Víi mçi tËp con F ⊂ X , F lµ tËp ®ãng nÕu F ∩ enα lµ compact víi mçi khoang enα. §Þnh nghÜa 1.17. ([3]-Tr.115) Mét cÆp (X,A) ®­îc gäi lµ mét quan hÖ CW−phøc nÕu X lµ mét kh«ng gian Hausdorff vµ X\A lµ hîp c¸c kh«ng gian con rêi nhau eα(α ∈ A) (®­îc gäi lµ c¸c khoang) tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn trong §Þnh nghÜa 1.15 . Ch­¬ng 2 Kh«ng gian ph©n thí vµ mét vµi tÝnh chÊt 2.1 Kh¸i niÖm kh«ng gian ph©n thí (ph©n thí) vµ mét sè vÝ dô §Þnh nghÜa 2.1. ([6]- Tr.3) Mét ph©n thí bao gåm: (i) Mét kh«ng gian t«p« E gäi lµ kh«ng gian toµn phÇn (ii) Mét kh«ng gian t«p« B gäi lµ kh«ng gian c¬ së (iii) Mét ¸nh x¹ liªn tôc p : E −→ B gäi lµ phÐp chiÕu ph©n thí (iv) Mét kh«ng gian F gäi lµ thí Tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: (1) p−1(b) ®ång ph«i víi F víi mäi b ∈ B (2) Víi mçi b ∈ B tån t¹i mét l©n cËn Ub cña b, vµ mét phÐp ®ång ph«i φ : Ub × F −→ p−1(Ub) sao cho p(φ(b′, x)) = b′. H×nh 2.1: Ph©n thí 20 21 Ta th­êng kÝ hiÖu ph©n thí bëi ξ = (E, p,B), η = (E, p,B), λ = (E, p,B),. . . Khi ®ã ξ(E) ®­îc gäi lµ kh«ng gian toµn phÇn cña ξ, ξ(B) ®­îc gäi lµ kh«ng gian c¬ së cña ξ. Víi mçi b ∈ B kh«ng gian p−1(b) ®­îc gäi lµ thí trªn b. VÝ dô 2.1. ([4]- Tr.11) Víi E = B × F vµ p : E −→ B x¸c ®Þnh bëi p(b, x) = b. Khi ®ã ta cã (E, p,B) lµ mét ph©n thí vµ ®­îc gäi lµ ph©n thí tÝch. ThËt vËy, do p lµ phÐp chiÕu lªn thµnh phÇn thø nhÊt nªn liªn tôc. Víi mçi b ∈ B chän Ub = B vµ ¸nh x¹ φ = Id : B × F −→ B × F (b, x) 7−→ (b, x) Ta cã φ lµ phÐp ®ång ph«i vµ p(φ(b, x)) = p(b, x) = b. VÝ dô 2.2. (D¶i Mobius) Mét vÝ dô ®¬n gi¶n cña kh«ng gian ph©n thí lµ d¶i Mobius. Nã ®­îc x©y dùng b»ng c¸ch xo¾n mét ®Çu cña 1 m¶nh giÊy sau ®ã d¸n 2 ®Çu l¹i víi nhau. Khi ®ã ta mét kh«ng gian ph©n thí víi c¸c thí lµ c¸c ®o¹n th¼ng, kh«ng gian c¬ së cña c¸c ®o¹n th¼ng lµ mét ®­êng trßn. PhÐp chiÕu ph©n thí pi biÕn tÊt c¶ c¸c ®iÓm trªn mét thí thµnh mét ®iÓm trªn ®­êng trßn H×nh 2.2: D¶i Mobius 22 VÝ dô 2.3. (Ph©n thí tiÕp xóc) Cho B lµ ®a t¹p n−chiÒu. Víi mçi b ∈ B ®Æt: Tb(B) = {−→y ∈ Rn| −→y tiÕp xóc víi B t¹i b } vµ X = ⋃{Tb(B)|b ∈ B} XÐt ¸nh x¹: p : X −→ B Tb(B) 7−→ b Khi ®ã ta cã (X, p,B) lµ mét ph©n thí (gäi lµ ph©n thí tiÕp xóc cña B). H×nh 2.3: Ph©n thí tiÕp xóc, ph©n thí chuÈn t¾c VÝ dô 2.4. (Ph©n thí chuÈn t¾c) XÐt h×nh cÇu ®¬n vÞ Sn, víi mçi y ∈ Rn+1 ta xem y ≡ −→Oy. Víi mçi b ∈ Sn, ®Æt: Mb = {x ∈ Rn+1|x = kb, k ∈ R} §Æt M = ⋃{Mb|b ∈ Sn}. XÐt ¸nh x¹: q : M −→ Sn Mb 7−→ b Khi ®ã (M, q, Sn) lµ mét ph©n thí trªn Sn (gäi lµ ph©n thí chuÈn t¾c cña Sn). 23 §Þnh nghÜa 2.2. ([4]- Tr.11) (E ′, p′, B′) ®­îc gäi lµ mét ph©n thí con cña (E, p,B) nÕu E ′ lµ kh«ng gian con cña E, B′ lµ kh«ng gian con cña B vµ p′ = p|E′ : E ′ −→ B′ 2.2 Nh¸t c¾t cña ph©n thí §Þnh nghÜa 2.3. ([4]- Tr.12) Cho ξ = (E, p,B) lµ mét ph©n thí, s : B −→ E lµ mét ¸nh x¹ liªn tôc tháa m·n p◦s = 1B. Khi ®ã s ®­îc gäi lµ mét nh¸t c¾t cña ph©n thí ξ. Nãi c¸ch kh¸c mét nh¸t c¾t lµ mét ¸nh x¹ s : B −→ E tháa m·n s(b) ∈ p−1(b) víi mçi b ∈ B. H×nh 2.4: Nh¸t c¾t ph©n thí Tõ ®Þnh nghÜa nh¸t c¾t ta thÊy nÕu (E ′, p′, B′) lµ ph©n thí con cña (E, p,B), s lµ mét nh¸t c¾t cña (E, p,B) th× s lµ nh¸t c¾t cña (E ′, p′, B′) nÕu vµ chØ nÕu s(b) ∈ E ′,∀b ∈ B′. MÖnh ®Ò 2.1. ([4]- Tr.12) Mäi nh¸t c¾t cña ph©n thí tÝch (B×F, p,B) cã d¹ng s(b) = (b, f(b)) víi f : B −→ F lµ ¸nh x¹ duy nhÊt ®­îc x¸c ®Þnh bëi s. 24 Chøng minh. ([4]- Tr.12) Do s lµ nh¸t c¾t cña γ nªn ta cã: p◦s(b) = b⇔ p(u, f) = b⇒ u ≡ b, ∀b ∈ B Ta cã f lµ ¶nh cña b qua mét ¸nh x¹ g : B −→ F nªn f = g(b). 2.3 CÊu x¹ cña ph©n thí §Þnh nghÜa 2.4. ([4]- Tr.14) Cho (E, p,B) vµ (E ′, p′, B′) lµ hai ph©n thí. Mét cÊu x¹ cña hai ph©n thí (E, p,B) vµ (E ′, p′, B′), kÝ hiÖu (u, f) : (E, p,B) −→ (E ′, p′, B′), lµ mét cÆp ¸nh x¹ liªn tôc u : E −→ E ′, f : B −→ B′ tháa m·n p′u = fp, hay tháa m·n s¬ ®å sau giao ho¸n: E u // p  E ′ p′  B f // B′ Tõ ®Þnh nghÜa ta cã (u, f) lµ mét cÊu x¹ cña hai ph©n thí (E, p,B) vµ (E ′, p′, B′) th× u(p−1(b)) ⊂ (p′)−1(f(b)). Do ®ã thí trªn b qua u trë thµnh thí trªn f(b). Khi p lµ toµn ¸nh th× f hoµn toµn x¸c ®Þnh bëi u. VËy cÊu x¹ ph©n thí cã thÓ nãi ®ã lµ mét ¸nh x¹ b¶o toµn thí. §Þnh nghÜa 2.5. ([4]- Tr.14) Cho (E, p,B) vµ (E ′, p′, B) lµ hai ph©n thí trªn B. Mét cÊu x¹ ph©n thí trªn B (hay B-cÊu x¹) u : (E, p,B) −→ (E ′, p′, B) lµ mét ¸nh x¹ liªn tôc u : E −→ E ′ tháa m·n p = p′u, hay s¬ ®å sau giao ho¸n: E u // p 2 22 22 22 22 22 22 E ′ p′ ~~ ~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ B 25 VÝ dô 2.5. ([4]- Tr.15) 1. Cho (E ′, p′, B′) lµ mét ph©n thí con cña ph©n thí (E, p,B) vµ u : E ′ −→ E, f : B′ −→ B lµ c¸c phÐp nhóng, khi ®ã (u, f) : (E ′, p′, B′) −→ (E, p,B) lµ mét cÊu x¹ ph©n thí. 2. Nh¸t c¾t cña (E, p,B) lµ mét B-cÊu x¹ s : (B, 1, B) −→ (E, p,B). 3. CÆp ¸nh x¹ (1E, 1B) : (E, p,B) −→ (E, p,B) lµ mét B-cÊu x¹. 4. Cho (u, f) : (E, p,B) −→ (E ′, p′, B′) vµ (u′, f ′) : (E ′, p′, B′) −→ (E ′′, p′′, B′′) lµ hai cÊu x¹ ph©n thí. Khi ®ã ta cã (u′u, f ′f) : (E, p,B) −→ (E ′′, p′′, B′′) lµ mét cÊu x¹ ph©n thí vµ ®­îc gäi lµ sù hîp thµnh cña hai cÊu x¹ ph©n thí (u, f) vµ (u′, f ′). E u // p  E ′ u ′ // p′  E ′′ p′′  B f // B′ f ′ // B′′ §Þnh nghÜa 2.6. ([4]- Tr.15) Mét cÊu x¹ ph©n thí (u, f) : (E, p,B) −→ (E ′, p′, B′) ®­îc gäi lµ mét ®¼ng cÊu ph©n thí nÕu vµ chØ nÕu tån t¹i mét cÊu x¹ ph©n thí (u′, f ′) : (E ′, p′, B′) −→ (E, p,B) sao cho uu′ = 1E′, u′u = 1E, ff ′ = 1B′, f ′f = 1B. Hay nãi c¸ch kh¸c u, f lµ c¸c phÐp ®ång ph«i. §Þnh nghÜa 2.7. ([4]- Tr.15) Mét ph©n thí (E, p,B) ®­îc gäi lµ tÇm th­êng víi thí F nÕu (E, p,B) lµ B-®¼ng cÊu víi ph©n thí tÝch (B × F, q, B). §Þnh nghÜa 2.8. ([4]- Tr.15) Ph¹m trï cña c¸c ph©n thí , kÝ hiÖu Bun, bao gåm: mçi vËt lµ mét ph©n thí, mçi cÊu x¹ lµ mét cÊu x¹ cña ph©n thí, phÐp nh©n c¸c cÊu x¹ lµ phÐp hîp thµnh c¸c cÊu x¹ ph©n thí . 26 Víi mçi kh«ng gian B, ta kÝ hiÖu BunB lµ ph¹m trï c¸c ph©n thí trªn B vµ c¸c B−cÊu x¹. 2.4 TÝch ph©n thí vµ thí tÝch §Þnh nghÜa 2.9. ([4]- Tr.15) TÝch cña hai ph©n thí (E, p,B) vµ (E ′, p′, B′) lµ mét ph©n thí (E × E ′, p× p′, B ×B′). Tõ ®Þnh nghÜa trªn chóng ta cã thÓ dÔ dµng m« t¶ phÐp to¸n tÝch hai ph©n thí nh­ lµ mét hµm tö Bun×Bun −→ Bun. §Þnh nghÜa 2.10. ([4]- Tr.16) Thí tÝch cña hai ph©n thí ξ1 = (E1, p1, B) vµ ξ2 = (E2, p2, B) trªn B, kÝ hiÖu ξ1⊕ ξ2, lµ ph©n thí (E1⊕E2, q, B) víi E1⊕E2 lµ kh«ng gian con cña E1×E2 gåm tÊt c¶ c¸c cÆp (x, x′) ∈ E1×E2 tháa m·n p1(x) = p2(x ′) vµ q(x, x′) = p1(x) = p2(x′). Thí tÝch cßn ®­îc gäi lµ tæng Whitney. Thí q−1(b) cña (E1⊕E2, q, B) trªn b ∈ B lµ p−11 (b)× p−12 (b) ⊂ E1 × E2. MÖnh ®Ò 2.2. ([4]- Tr.16) Gi¶ sö u1 : (E1, p1, B) −→ (E ′1, p′1, B) vµ u2 : (E2, p2, B) −→ (E ′2, p′2, B) lµ hai B−cÊu x¹. Khi ®ã ta cã: u1 ⊕ u2 : (E1 ⊕ E2, q, B) −→ (E ′1 ⊕ E2, q′, B) x¸c ®Þnh bëi (u1 ⊕ u2)(x1, x2) = (u1(x1), u2(x2)) lµ mét B− cÊu x¹. Chøng minh. Do u1 : (E1, p1, B) −→ (E ′1, p′1, B) lµ B−cÊu x¹ nªn ta cã u1 liªn tôc vµ p ′ 1u1(x1) = p1(x1),∀x1 ∈ E1 hay s¬ ®å sau giao ho¸n: E1 u1 // p1 @ @@ @@ @@ @ E ′1 p′1~~ ~ ~~ ~~ ~ B Do u2 : (E2, p2, B) −→ (E ′2, p′2, B) lµ B−cÊu x¹ nªn ta cã u2 liªn tôc vµ 27 p′2u2(x2) = p2(x2),∀x2 ∈ E2 hay s¬ ®å sau giao ho¸n: E2 u2 // p2 @ @@ @@ @@ @ E ′2 p′2~~ ~ ~~ ~~ ~ B §Æt v = u1 ⊕ u2, do u1, u2 liªn tôc nªn v liªn tôc. Ta cÇn chøng minh s¬ ®å sau giao ho¸n: E1 ⊕ E2 v // q $$I II II II II I E ′1 ⊕ E ′2 q′zzuuu uuu uuu u B ThËt vËy ∀(x1, x2) ∈ E1 ⊕ E2. Ta cã: q(x1, x2) = p1(x1) = p2(x2) MÆt kh¸c ta cã: q′(v(x1, x2)) = q′(u1(x1), u2(x2)) = p′1u1(x1) = p ′ 2u2(x2) Theo gi¶ thiÕt ta cã: p′1u1(x1) = p1(x1) p′2u2(x2) = p2(x2) Do ®ã ta cã q′v = q. HÖ qu¶ 2.1. NÕu u1 vµ u2 lµ c¸c B−®¼ng cÊu th× u1⊕ u2 lµ mét B−®¼ng cÊu. Chøng minh. Ta cã do u1, u2 lµ c¸c phÐp ®ång ph«i nªn u1 ⊕ u2 lµ phÐp ®ång ph«i, kÕt hîp víi MÖnh ®Ò 2.2 ta cã ®pcm. MÖnh ®Ò 2.3. ([4]- Tr.16) NÕu (E1, p1, B) lµ ph©n thí tÇm th­êng víi thí F1, (E2, p2, B) lµ ph©n thí tÇm th­êng víi thí F2 th× (E1, p1, B)⊕(E2, p2, B) 28 lµ ph©n thí tÇm th­êng víi thí F1 × F2. Chøng minh. Do (E1, p1, B) lµ mét ph©n thí tÇm th­êng víi thí F1 nªn tån t¹i phÐp ®ång ph«i u1 : E1 −→ B × F1 tháa m·n s¬ ®å sau giao ho¸n: E1 u1 // p1 A AA AA AA A B × F1 q1 zzvv vv vv vv v B Víi q1 : (b1, x) 7−→ b1 Ta cã ∀x1 ∈ E1 ⇒ u1(x1) = (p1(x1), f1(x1)) víi f1 : E1 −→ F1 lµ ¸nh x¹ x¸c ®Þnh duy nhÊt bëi u1. Do u1 lµ phÐp ®ång ph«i nªn ta cã p1, f1 lµ c¸c phÐp ®ång ph«i. T­¬ng tù ta cã tån t¹i phÐp ®ång ph«i u2 : E2 −→ B × F2 tháa m·n s¬ ®å sau giao ho¸n: E2 u2 // p2 A AA AA AA A B × F2 q2 zzvv vv vv vv v B Víi q2 : (b2, x) 7−→ b2 Ta cã ∀x2 ∈ E2 ⇒ u2(x2) = (p2(x2), f2(x2)) víi f2 : E2 −→ F2 lµ ¸nh x¹ x¸c ®Þnh duy nhÊt bëi u2. Do u2 lµ phÐp ®ång ph«i nªn ta cã p2, f2 lµ c¸c phÐp ®ång ph«i. Ta cÇn chøng minh tån t¹i phÐp ®ång ph«i v : E1 ⊕E2 −→ B × F1 × F2 tháa m·n s¬ ®å sau giao ho¸n: E1 ⊕ E2 v // q $$II III III II B × F1 × F2 q′xxqqq qqq qqq qqq B Ta cã: ∀(x1, x2) ∈ E1 ⊕ E2 ⇒ q(x1, x2) = p1(x1) = p2(x2) XÐt v x¸c ®Þnh nh­ sau:∀(x1, x2) ∈ E1 ⊕ E2: v(x1, x2) = (p1(x1), f1(x1), f2(x2)) = (p2(x2), f1(x1), f2(x2)) 29 Khi ®ã ta cã v lµ phÐp ®ång ph«i. MÆt kh¸c ta cã: q′v(x1, x2) = p1(x1) = p2(x2) = q(x1, x2) Do ®ã MÖnh ®Ò ®­îc chøng minh. MÖnh ®Ò 2.4. ([4]- Tr.16) Nh¸t c¾t cña thí tÝch (E1 ⊕ E2, q, B) lu«n cã d¹ng s(b) = (s1(b), s2(b)) víi s1 lµ mét nh¸t c¾t cña (E1, p1, B) vµ s2 lµ mét nh¸t c¾t cña (E2, p2, B) x¸c ®Þnh duy nhÊt bíi s. Chøng minh. ([4]- Tr.16) Gi¶ sö s : B −→ E1 ⊕ E2 lµ mét nh¸t c¾t , vµ s(b) = (s1(b), s2(b)). Do s lµ tiÕt diÖn ngang nªn ta cã b = qs(b) = p1s1(b) = p2s2(b), ∀b ∈ B Do ®ã s1, s2 lµ c¸c nh¸t c¾t x¸c ®Þnh duy nhÊt bëi s. 2.5 Sù h¹n chÕ (thu hÑp) cña ph©n thí, ph©n thí c¶m sinh §Þnh nghÜa 2.11. ([4]- Tr.17) Cho ph©n thí ξ = (E, p,B), A lµ mét kh«ng gian con cña B. Khi ®ã sù h¹n chÕ cña ξ trªn A, kÝ hiÖu ξ|A, lµ ph©n thí (E ′, p′, A) trong ®ã E ′ = p−1(A) vµ p|E ′ = p′. VÝ dô 2.6. ([4]- Tr.17,18) Cho ξ = (B × F, p,B) lµ mét ph©n thí tÝch trªn B víi thí F vµ A lµ mét tËp con cña B. Khi ®ã ξ|A = (A×F, p, A) lµ mét thí tÝch trªn A víi thí F . Sù thu hÑp cña ph©n thí tháa m·n tÝnh chÊt b¾c cÇu. NÕu A1 ⊂ A ⊂ B vµ ξ lµ mét ph©n thí trªn B, th× ta cã ξ|A1 = (ξ|A)|A1 vµ ξ|B = ξ. NÕu u : ξ −→ η lµ B−cÊu x¹ vµ A ⊂ B. Khi ®ã: uA = u|(E(ξ|A)) : ξ|A −→ η|A 30 lµ mét A−cÊu x¹. NÕu v : η −→ ξ lµ mét B−cÊu x¹ thø hai, ta cã (vu)A = vAuA vµ (1ξ)A = 1ξ|A. Do ®ã, c¸c hµm ξ 7−→ ξ|A vµ u 7−→ uA ®­îc x¸c ®Þnh nh­ c¸c hµm tö BunB −→ BunA. §Þnh nghÜa 2.12. ([4]- Tr.18) Cho ph©n thí ξ = (E, p,B), f : B1 −→ B lµ mét ¸nh x¹ liªn tôc. Ph©n thí c¶m sinh cña ξ qua ¸nh x¹ f , kÝ hiÖu f ∗(ξ), lµ mét ph©n thí cã kh«ng gian c¬ së lµ B1, kh«ng gian tæng E1 lµ mét kh«ng gian con cña kh«ng gian bao gåm c¸c cÆp (b1, x) ∈ B1×E víi f(b1) = p(x), vµ phÐp chiÕu p1 : (b1, x) 7→ b1. VÝ dô 2.7. 1. Cho ξ lµ mét ph©n thí trªn B vµ A lµ mét kh«ng gian con cña B víi phÐp nhóng j : A −→ B. Khi ®ã ξ|A = (E(ξ|A), p, A) vµ j∗(ξ) = (E(j∗(ξ)), p′, A) lµ A−®¼ng cÊu. ThËt vËy ta xÐt u : E(ξ|A) −→ E(j∗(ξ)) x 7−→ u(x) = (p(x), x) Ta cã p′u(x) = p′(p(x), x) = p(x)⇒ u lµ A−cÊu x¹ MÆt kh¸c xÐt: u′ : E(j∗(ξ)) −→ E(ξ|A) (p(x), x) 7−→ u′(p(x), x)) = x Ta cã u′ lµ A−cÊu x¹, vµ uu′ = 1E(j∗(ξ)), u′u = 1E(ξ|A) Do ®ã u lµ A−®¼ng cÊu. Hay ξ|A vµ j∗(ξ) lµ A−®¼ng cÊu. 2. Cho f ∗(ξ) lµ ph©n thí c¶m sinh cña ξ = (E, p,B) d­íi ¸nh x¹ f : B1 −→ B, vµ fξ : E(f ∗(ξ)) −→ E(ξ) x¸c ®Þnh bëi fξ(b1, x) = x. Khi ®ã fξ cïng víi f x¸c ®Þnh mét cÊu x¹ (fξ, f) : f ∗(ξ) −→ ξ, nã ®­îc gäi lµ cÊu x¹ chuÈn t¾c cña ph©n thí c¶m sinh. 31 ThËt vËy E(f ∗(ξ)) p1 // fξ  B1 f  E p // B ∀(b1, x) ∈ E(f ∗(ξ))⇒ pfξ(b1, x) = p(x) = f(b1) = fp1(b1, x) MÖnh ®Ò 2.5. ([4]- Tr.18) Cho ξ = (E, p,B), vµ (fξ, f) : f ∗(ξ) −→ ξ lµ cÊu x¹ chuÈn t¾c cña ph©n thí ξ d­íi ¸nh x¹ f : B1 −→ B. Khi ®ã víi mçi b1 ∈ B1 th× h¹n chÕ fξ : p−11 (b1) −→ p−1(f(b1)) lµ mét phÐp ®ång ph«i. H¬n n÷a nÕu η lµ mét ph©n thí bÊt k× trªn B1, vµ (v, f) : η −→ ξ lµ mét cÊu x¹ ph©n thí bÊt k×, khi ®ã tån t¹i mét B1−cÊu x¹ w : η −→ f ∗(ξ) tháa m·n fξw = v. CÊu x¹ w lµ duy nhÊt theo mèi quan hÖ trªn. Chøng minh. ([4]- Tr.18) Gi¶ sö f ∗(ξ) = (E1, p1, B1), trong ®ã E1 lµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c cÆp (b1, x) ∈ B1 × E víi f(b1) = p(x), p1 : (b1, x) 7→ b1. Víi mçi b1 ∈ B1 thí p−11 (b1) ⊂ b1 ×E lµ kh«ng gian con bao gåm tÊt c¶ c¸c cÆp (b1, x) ∈ b1 × E víi p(x) = f(b1)⇔ x ∈ p−1(f(b1)). fξ : p −1 1 (b1) −→ p−1(f(b1)) ®­îc viÕt l¹i nh­ sau: fξ : b1 × p−1(f(b1)) −→ p−1(f(b1)) (b1, x) 7−→ x §©y râ rµng lµ phÐp ®ång ph«i. B©y giê xÐt η = (E2, p2, B1), vµ (v, f) : η −→ ξ lµ mét cÊu x¹ ph©n thí bÊt k×, suy ra pv = fp2. 32 XÐt ¸nh x¹ w x¸c ®Þnh nh­ sau: w : E2 −→ E1 y 7−→ w(y) = (p2(y), v(y)) Khi ®ã ta cã p1w(y) = p2(y) nªn w lµ mét B1−cÊu x¹. MÆt kh¸c ta cã fξw(y) = fξ(p2(y), v(y)) = v(y)⇒ fξw = v, vµ theo c¸ch ®Þnh nghÜa w ta cã w lµ duy nhÊt theo tÝnh chÊt trªn. §Þnh nghÜa 2.13. ([4]- Tr.18) Cho u : ξ −→ η lµ mét B−cÊu x¹ vµ f : B1 −→ B lµ mét ¸nh x¹ liªn tôc, khi ®ã ®Þnh nghÜa B1−cÊu x¹ f ∗(u) nh­ sau: f ∗(u) : f ∗(ξ) −→ f ∗(η) (b1, x) 7−→ (b1, u(x)) Tõ ®Þnh nghÜa trªn ta cã f ∗(1ξ) = 1f∗(ξ) vµ nÕu v : η −→ ξ lµ mét B−cÊu x¹ thø 2 th× f ∗(uv)(b1, x) = (b1, vu(x)) = f ∗(v)f ∗(u)(b1, x). Do ®ã ta cã mÖnh ®Ò sau: MÖnh ®Ò 2.6. ([4]- Tr.19) Víi mçi ¸nh x¹ f : B1 −→ B, hä c¸c hµm f ∗ : BunB −→ BunB1 lµ mét hµm tö. H¬n n÷a, víi mçi B−cÊu x¹ u : ξ −→ η th× s¬ ®å sau giao ho¸n. 33 Chøng minh. Ta chØ cÇn chøng minh ufξ = fηf ∗(u). ThËt vËy,∀(b1, x) ∈ E(f ∗(ξ)), ta cã: ufξ(b1, x) = u(x) = fη(b1, u(x)) = fηf ∗(u)(b1, x) Do ®ã ta cã: ufξ = fηf ∗(u) MÖnh ®Ò 2.7. ([4]- Tr.19) Cho g : B2 −→ B1 vµ f : B1 −→ B lµ 2 ¸nh x¹ liªn tôc, vµ ξ lµ mét ph©n thí trªn B. Khi ®ã 1∗(ξ) vµ ξ lµ B−®¼ng cÊu, g∗(f ∗(ξ)) vµ (fg)∗(ξ) lµ B2−®¼ng cÊu. Chøng minh. Ta cã 1∗(ξ) = (E ′, p′, B), trong ®ã E ′ = {(p(x), x) ∈ B×E} vµ p′ lµ phÐp chiÕu lªn thµnh phÇn thø nhÊt. XÐt ¸nh x¹: u : E −→ E ′ x 7−→ (p(x), x) Ta cã: ∀x ∈ E : p′(u(x)) = p′(p(x), x) = p(x) ⇒ p′u = p. MÆt kh¸c u lµ phÐp ®ång ph«i nªn 1∗(ξ) vµ ξ lµ B−®¼ng cÊu. B©y giê ta chøng minh g∗(f ∗(ξ)) vµ (fg)∗(ξ) lµ B2−®¼ng cÊu. Ta cã: +) f ∗(ξ) = (E1, p1, B1) trong ®ã: (b1, x) ∈ E1 ⊂ B1 × E ⇔ f(b1) = p(x) vµ p1 lµ phÐp chiÕu lªn phÇn tö ®Çu tiªn. +) g∗(f ∗(ξ)) = (E2, p2, B2) trong ®ã: (b2, b1, x) ∈ E2 ⊂ B2 ×B1 × E ⇔ g(b2) = p1(b1, x) = b1 vµ p2 lµ phÐp chiÕu lªn phÇn tö ®Çu tiªn. 34 +) (fg)∗(ξ) = (E3, p3, B2) trong ®ã: (b2, x) ∈ E3 ⊂ B2 × E ⇔ fg(b2) = p(x) vµ p3 lµ phÐp chiÕu lªn phÇn tö ®Çu tiªn. XÐt ¸nh x¹: v : E3 −→ E2 (b2, x) 7−→ (b2, (g(b2), x)) Khi ®ã v lµ phÐp ®ång ph«i. MÆt kh¸c ∀(b2, x) ∈ E3 ta cã: p2(v(b2, x)) = p2(b2, g(b2), x) = b2 = p3(b2, x)⇒ p2v = p3 Do ®ã ta cã g∗(f ∗(ξ)) vµ (fg)∗(ξ) lµ B2−®¼ng cÊu. HÖ qu¶ 2.2. ([4]- Tr.19) Cho f : (B1, A1) −→ (B,A) lµ mét ¸nh x¹ cÆp, ®Æt g = f |A1 : A1 −→ A, vµ ξ = (E, p,B) lµ mét ph©n thí trªn B. Khi ®ã g∗(ξ|A) vµ f ∗(ξ)|A1 lµ A1−®¼ng cÊu. Chøng minh. ([4]- Tr.19) Ta cã MÖnh ®Ò hiÓn nhiªn ®óng v× g∗(ξ|A) = f ∗(ξ)|A1 = (A1×K, p1, A1) trong ®ã K ⊂ E thâa m·n (a1, x) ∈ A1×K ⇔ f(a1) = p(x), vµ p1 lµ phÐp chiÕu lªn phÇn tö ®Çu tiªn. MÖnh ®Ò 2.8. ([4]- Tr.19)([4]) Cho ph©n thí ξ = (E, p,B), f : B1 −→ B lµ mét ¸nh x¹, vµ f ∗(ξ) = (E1, p1, B1) lµ ph©n thí c¶m sinh cña ξ d­íi f . Khi ®ã nÕu p lµ ¸nh x¹ më th× p1 lµ ¸nh x¹ më. Chøng minh. ([4]- Tr.19,20) Cho W lµ mét l©n cËn më cña (b1, x) ∈ E1, E1 ⊂ B1 × E. Ta cÇn t×m mét l©n cËn më V cña b1 = p1(b1, x) víi V ⊂ p1(W ). Tõ ®Þnh nghÜa cña t«p« cña E1 (t«p« tÝch) th× tån t¹i mét l©n cËn më V1 cña b1 ∈ B1 vµ l©n c©n më U cña x ∈ E sao cho (V1 × U) ⊂ W . 35 §Æt V = V1 ∩ f−1(p(U)) ⇒ V më do p më vµ f liªn tôc. Khi ®ã víi mçi b1 ∈ V tån t¹i x ∈ U víi p(x) = f(b1), do ®ã, (b1, x) ∈ W vµ b1 = p1(b1, x) ∈ V . Cho nªn V ⊂ p1(W ). MÖnh ®Ò 2.9. ([4]- Tr.20) Cho ξ = (E, p,B) lµ mét ph©n thí, vµ ¸nh x¹ f : B1 −→ B, (fξ, f) : f ∗(ξ) −→ ξ lµ cÊu x¹ chuÈn t¾c cña ξ. NÕu s lµ mét nh¸t c¾t cña ξ th× ta cã σ : B1 −→ E(f ∗(ξ)) x¸c ®Þnh bëi σ(b1) = (b1, sf(b1)) lµ mét nh¸t c¾t tháa m·n fξσ = sf . Chøng minh. ([4]- Tr.20) Ta cã p1s(b1) = p1(b1, sf(b1)) = b1 vµ f(b1) = psf(b1). Do ®ã σ lµ mét nh¸t c¾t cña f ∗(ξ). MÆt kh¸c ta cã: fξσ(b1) = fξ(b1, sf(b1)) = sf(b1) 2.6 TÝnh chÊt ®Þa ph­¬ng cña ph©n thí §Þnh nghÜa 2.14. ([4]- Tr.20) Hai ph©n thí ξ vµ η trªn B lµ ®¼ng cÊu ®Þa ph­¬ng nÕu víi mçi b ∈ B th× tån t¹i mét l©n cËn më U cña b sao cho ξ|U vµ η|U lµ U−®¼ng cÊu. Tõ ®Þnh nghÜa trªn ta thÊy hai ph©n thí trªn B ®¼ng cÊu víi nhau th× ®¼ng cÊu ®Þa ph­¬ng. §Þnh nghÜa 2.15. ([4]- Tr.20) Mét ph©n thí ξ trªn B lµ tÇm th­êng ®Þa ph­¬ng víi thí F nÕu ξ lµ ®¼ng cÊu ®Þa ph­¬ng víi ph©n thí tÝch (B × F, p,B). MÖnh ®Ò 2.10. ([4]- Tr.20) Quan hÖ ®¼ng cÊu ®Þa ph­¬ng lµ quan hÖ t­¬ng ®­¬ng trªn líp c¸c ph©n thí trªn B. Chøng minh. Cho ξ, η, γ lµ c¸c ph©n thí trªn B. Ta chØ cÇn chøng minh tÝnh chÊt b¾c cÇu. ThËt vËy, gi¶ sö U vµ V lµ hai l©n cËn më cña b ∈ B sao 36 cho ξ|U vµ η|U lµ U−®¼ng cÊu vµ η|V vµ γ|V lµ V−®¼ng cÊu. XÐt c¸c phÐp nhóng: j1 : U ∩ V −→ U j2 : U ∩ V −→ V Theo VÝ dô 2.7 ta cã c¸c (U ∩ V )−®¼ng cÊu sau: ξ|(U ∩ V ) ∼= j∗1(ξ|U) η|(U ∩ V ) ∼= j∗1(η|U) η|(U ∩ V ) ∼= j∗2(η|V ) γ|(U ∩ V ) ∼= j∗2(η|V ) MÆt kh¸c do ξ|U vµ η|U lµ U−®¼ng cÊu nªn tån t¹i U−®¼ng cÊu u : ξ|U −→ η|U XÐt ¸nh x¹: u′ : E(j∗1(ξ|U)) −→ E(j∗1(η|U)) (x, x′) 7−→ (x, u(x′)) Khi ®ã ta cã u′ lµ mét (U ∩ V )−®¼ng cÊu. Do ®ã j∗1(ξ|U) vµ j∗1(η|U) lµ (U ∩ V )−®¼ng cÊu. T­¬ng tù ta chøng minh ®­îc j∗2(η|V ) vµ j∗2(η|V ) lµ (U ∩ V )−®¼ng cÊu. Do ®ã ta cã ξ|(U ∩ V ), η|(U ∩ V ), γ|(U ∩ V ) lµ (U ∩ V )−®¼ng cÊu. HÖ qu¶ 2.3. ([4]- Tr.20) NÕu ξ lµ ®¼ng cÊu ®Þa ph­¬ng víi mét ph©n thí tÇm th­êng ®Þa ph­¬ng th× ξ lµ tÇm th­êng ®Þa ph­¬ng. TÝnh chÊt ®Þa ph­¬ng cña ph©n thí lµ mét tÝnh chÊt bÊt biÕn gi÷a c¸c ph©n thí ®¼ng cÊu ®Þa ph­¬ng. 37 MÖnh ®Ò 2.11. ([4]- Tr.20) Cho ξ vµ η lµ hai ph©n thí trªn B, vµ f : B1 −→ B lµ mét ¸nh x¹ liªn tôc. NÕu ξ vµ η lµ ®¼ng cÊu ®Þa ph­¬ng th× f ∗(ξ) vµ f ∗(η) lµ ®¼ng cÊu ®Þa ph­¬ng trªn B1. Chøng minh. ([4]- Tr.21) Theo MÖnh ®Ò 2.2 ta cã f ∗(ξ|U) ∼= f ∗(ξ)|f−1(U) víi mçi tËp më U ⊂ B. NÕu ξ|U vµ η|U lµ U−®¼ng cÊu ta cã f ∗(ξ)|f−1(U) vµ f ∗(η)|f−1(U) lµ f−1(U)−®¼ng cÊu. HÖ qu¶ 2.4. ([4]- Tr.21) Cho ξ vµ η lµ hai ph©n thí ®¼ng cÊu ®Þa ph­¬ng trªn B, A ⊂ B. Khi ®ã ξ|A vµ η|A lµ ®¼ng cÊu ®Þa ph­¬ng. Chøng minh. XÐt ¸nh x¹ nhóng j : A −→ B. Theo MÖnh ®Ò 2.11 ta cã j∗(ξ) vµ j∗(η) ®¼ng cÊu ®Þa ph­¬ng trªn A. MÆt kh¸c theo VÝ dô 2.7 ta cã: j∗(ξ) ∼= ξ|A j∗(η) ∼= η|A Do ®ã ra cã ξ|A vµ η|A lµ ®¼ng cÊu ®Þa ph­¬ng HÖ qu¶ 2.5. ([4]- Tr.21) Cho ξ lµ mét ph©n thí tÇm th­êng ®Þa ph­¬ng trªn B víi thí F , f : B1 −→ B lµ mét ¸nh x¹, A ⊂ B. Khi ®ã f ∗(ξ) vµ ξ|A lµ tÇm th­êng ®Þa ph­¬ng víi thí F . Chøng minh. Gi¶ sö ξ = (E, p,B). §Æt η = (B × F, q, B), γ = (B1 × F, q1, B1) lµ c¸c ph©n thí tÝch. Theo gi¶ thiÕt ta cã ξ vµ η ®¼ng cÊu ®Þa ph­¬ng. Do ®ã theo MÖnh ®Ò 2.11 ta cã f ∗(ξ) vµ f ∗(η) lµ ®¼ng cÊu ®Þa ph­¬ng. MÆt kh¸c ta cã f ∗(η) = (B1 × B × F, q′, B1), trong ®ã mäi phÇn tö cña E(f ∗(η)) ®Òu cã d¹ng (b1, f(b1), x). 38 XÐt ¸nh x¹: u : E(f ∗(η)) −→ B1 × F (b1, (f(b1), x)) 7−→ (b1, x) Ta cã u lµ phÐp ®ång ph«i vµ do q1u = q ′ nªn f ∗(η) vµ γ lµ B1−®¼ng cÊu. Suy ra f ∗(η) tÇm th­êng ®Þa ph­¬ng. Do ®ã f ∗(ξ) tÇm th­êng ®Þa ph­¬ng. B©y giê ta sÏ chøng minh ξ|A lµ tÇm th­êng ®Þa ph­¬ng víi thí F . ThËt vËy theo HÖ qu¶ 2.4 ta cã ξ|A vµ η|A lµ ®¼ng cÊu ®Þa ph­¬ng. MÆt kh¸c ta cã η|A = (A × F, q, A), suy ra ξ|A ®¼ng cÊu ®Þa ph­¬ng víi thí tÝch (A× F, q, A). Cho nªn ξ|A lµ tÇm th­êng ®Þa ph­¬ng víi thí F . 2.7 Sù më réng cña nh¸t c¾t §Þnh lÝ 2.1. ([4]- Tr.21) Cho ξ = (E, p,B) lµ mét ph©n thí tÇm th­êng víi thí F , vµ (B,A) lµ mét quan hÖ CW− phøc. Khi ®ã tÊt c¶ c¸c nh¸t c¾t s cña ξ|A cã thÓ kÐo dµi (th¸c triÓn) ®Õn mét nh¸t c¾t s∗ cña ξ theo mét trong c¸c gi¶ thiÕt sau: (H1) Kh«ng gian F lµ (m− 1)− liªn th«ng víi mçi m ≤ dimB. (H2) Cã mét quan hÖ CW− phøc (Y,X) tháa m·n B = Y × I vµ A = (X × I) ∩ (Y×)), víi I = [0, 1]. Chøng minh. ([4]- Tr.21,22) Tr­íc tiªn ta chøng minh ®Þnh lÝ víi gi¶ thiÕt (H1). Gi¶ sö ®Þnh lÝ ®óng víi mäi B mµ dimB < n. NÕu n = 0 ta cã A = B nªn ®Þnh lÝ hiÓn nhiªn ®óng. Víi n 6= 0, tõ gi¶ thiÕt quy n¹p ta cã mét nh¸t c¾t s′ cña ξ|Bn−1 tháa m·n s′|A = s. Gi¶ sö C lµ mét n− khoang cña B víi ¸nh x¹ g¸n uc : In −→ B. Ph©n thí u∗c(ξ) trªn I n lµ tÇm th­êng ®Þa ph­¬ng.Do In lµ compact, nªn ta cã thÓ chia In thµnh c¸c h×nh khèi K cã ®é dµi 1/k tháa m·n u∗c(ξ)|K lµ tÇm th­êng. Theo MÖnh ®Ò 2.9 ta cã tõ nh¸t c¾t s′ ta x¸c ®Þnh ®­îc mét 39 nh¸t c¾t σ′ cña u∗c(ξ)|∂In. ¸p dông c¸c gi¶ thiÕt quy n¹p víi σ′, ta cã thÓ gi¶ sö r»ng σ′ ®­îc x¸c ®Þnh trªn (n− 1)− s­ên cña In, nh¸t c¾t σ′ b©y giê ®­îc x¸c ®Þnh trªn ∂K cho bëi mét ¸nh x¹ ∂K −→ F . Sö dông ®ång cÊu tù nhiªn u∗c −→ ξ trªn uc vµ theo MÖnh ®Ò 2.9 ta cã mét nh¸t c¾t sc cña ξ|(C ∩Bn−1) = s′|(C ∩Bn−1). Do ®ã ta x¸c ®Þnh ®­îc mét nh¸t c¾t s∗ cña ξ theo yªu cÇu s∗|Bn−1 = s′ vµ s∗|C = sc, vµ theo tÝnh chÊt cña t«p« yÕu th× s∗ liªn tôc. NÕu dimB = ∞, th× F lµ mét n−liªn th«ng víi mçi n, khi ®ã ta x©y dùng c¸c nh¸t c¾t sn cña ξ|Bn tháa m·n Sn|Bn−1 = Sn−1 vµ s−1 = s, tõ ®ã ta x¸c ®Þnh ®­îc mét nh¸t c¾t cña ξ tháa m·n s∗|Bn = sn. Tr­êng hîp chøng minh ®Þnh lÝ víi gi¶ thiÕt (H2) ta lµm t­¬ng tù kÕt luËn LuËn v¨n ®· tr×nh bµy v¾n t¾t mét sè kh¸i niÖm c¬ së ®Ó ph¸t biÓu vµ chøng minh c¸c néi dung chÝnh ®ã lµ: 1. Tr×nh bµy kh¸i niÖm kh«ng gian t«p«, ¸nh x¹ liªn tôc trªn kh«ng gian t«p«, vµ chØ ra mét sè vÝ dô cã gi¶i thÝch t­êng minh. 2. Tr×nh bµy v¾n t¾t kh¸i niÖm ph¹m trï, CW-phøc. 3. Tr×nh bµy ®Þnh nghÜa ®a t¹p kh¶ vi chØ ra mét sè vÝ dô cô thÓ ®Ó minh häa. 4. Néi dung chÝnh cña luËn v¨n tr×nh bµy kh¸i niÖm kh«ng gian ph©n thí, vµ c¸c tÝnh chÊt cña nã. T«i ®· tr×nh bµy cô thÓ mét sè vÝ dô nh­ VÝ dô 2.3, VÝ dô 2.4. Ngoµi ra, t«i cßn tr×nh bµy chi tiÕt chøng minh c¸c tÝnh chÊt nh­: MÖnh ®Ò 2.2, MÖnh ®Ò 2.3, MÖnh ®Ò 2.6, MÖnh ®Ò 2.7, MÖnh ®Ò 2.10, HÖ qu¶ 2.4, HÖ qu¶ 2.5. H­íng tiÕp tôc chóng t«i sÏ tr×nh bµy c¸c tÝnh chÊt cña kh«ng gian ph©n thí cña h×nh cÇu trªn kh«ng gian x¹ ¶nh. V× thêi gian vµ n¨ng lùc b¶n th©n cã h¹n nªn mÆc dï ®· rÊt cè g¾ng nh­ng kh«ng thÓ tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt rÊt mong nhËn ®­îc sù gãp ý cña quý thÇy c« vµ c¸c b¹n. 40 Tµi liÖu tham kh¶o [1] N«ng Quèc Chinh. (2003), T«p« ®¹i c­¬ng, NXB §H S­ ph¹m Hµ Néi. [2] Khu Quèc Anh, NguyÔn Do·n TuÊn. (2011), Lý thuyÕt liªn th«ng vµ h×nh häc Riemann, NXB §H S­ ph¹m. [3] Brayton Gray. (1975), An Introduction to Algebraic Topolopy, Academic Press. [4] Dale Husemoller. (1993), Fibre Bundles (Third Edition), Springer Ver- lag. [5] Joseph J. Rotman.(2009), An Introduction to Homological Algebra (Sec- ond Edition), Springer Verlag. [6] Norman Steenrod.(1951), The topology of fibre bundles, Princeion Uni- versity. [7] Valter Moretti.(2003), Notes on Tensor Analysis in Differentiable Man- ifolds with applications to Relativistic Theories, University of Trento. 41

Các file đính kèm theo tài liệu này:

  • pdfKhông gian phân thớ và một vài tính chất.pdf