Luận án Dạy học chủ đề giới hạn cho học sinh ở trường trung học phổ thông theo hướng phát triển tư duy bậc cao

(a;b). + Hàm số có nhưng không liên tục trên thì không thể suy ra phương trình có ít nhất một nghiệm trong (a;b). + Hàm số liên tục và đơn điệu trên và thì phương trình không có nghiệm trong (a;b). + Hàm số liên tục và đơn điệu trên và thì phương trình có đúng một nghiệm trong (a;b). Hoạt động 3: Xác nhận kiến thức GV yêu cầu HS chứng minh các phát biểu. Các mệnh đề đúng ở trên có thể vận dụng vào việc giải phương trình, biện luận phương trình. Đây chính là một ứng dụng rất lớn của các hàm số có tính chất liên tục. Dụng ý tình huống: Như vậy, qua việc sử dụng hợp lý các bài tập “câm” trong các tiết học sẽ có tác dụng tích cực hóa hoạt động học tập của HS. Việc yêu cầu biết đọc đồ thị không chỉ khiến cho HS cảm thấy hứng thú, kích thích thị giác của HS, rèn luyện cách suy nghĩ liên tưởng, từ đó HS biết nêu câu hỏi tức là biết đề xuất giả thuyết, tìm kiếm thông tin bổ sung; Giải thích, so sánh và suy luận; biết tự đánh giá và điều chỉnh ý kiến của bản thân. Bên cạnh đó, tình huống này còn thúc đẩy hoạt động ngôn ngữ cho HS thông qua việc phát biểu, tranh luận, bảo vệ ý kiến và biết mở rộng vấn đề. Dạng THDH này rất thuận lợi cho phát triển sự sáng tạo, khả năng và thói quen nìn nhận vấn đề có yếu tố phê phán, từ đó giúp TDBc của HS phát triển. ĐÁNH GIÁ GIỜ DẠY Bảng thống kê phiếu đánh giá về THDH (tổng số có 10 ý kiến) STT Tên các THDH Ý Tưởng Khả thi Rất tốt Tốt Khá tốt Không tốt Có tính Khả thi Không Khả thi 1 Tình huống 14 8 2 8 2 2 Tình huống 15 7 3 6 4 3 Tình huống 16 6 4 6 4 Kết quả thống kê về số HS kiến tạo được khái niệm hàm số liên tục tại một điểm STT Lớp thực nghiệm Tổng số HS Số HS kiến tạo được kiến thức 1 Lớp 11A1, THPT Chu Văn An 48 29/48 GIÁO AN 9. ÔN TẬP CHƯƠNG IV LUYỆN TẬP GIỚI HẠN DÃY SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ I. THIẾT KẾ KẾ HOẠCH DẠY HỌC 1. Xác định kiến thức trọng tâm + Kiến thức về giới hàm số, giới hạn dãy số thông qua các ví dụ bài tập cụ thể; + Rèn luyện kĩ năng giải bài tập về giới hạn dãy số - giới hạn hàm số 2. Mục tiêu bài học 2.1. Kiến thức + HS ôn tâp lại, khắc sâu, hệ thống hóa kiến thức đã biết về giới hạn + HS biết mở rộng, tìm hiểu sâu sắc hơn về chủ đề giới hạn 2.2. Kỹ năng, thái độ và cơ hội rèn luyện thành tố tư duy bậc cao + HS vận dụng thành thạo định nghĩa, tính chất, định lí đã biết để tính giới hạn dãy số, giới hạn hàm số. + HS thành thạo việc chứng minh phương trình có nghiệm trên một khoảng + Phát triển các thành tố TDBC 3. Lựa chọn phương pháp, kỹ thuật dạy và phương tiện dạy học + Dạy học hợp tác. + Hoạt động nhóm (mỗi nhóm có 6 – 8 học sinh) + Bài tập tình huống + Máy chiếu đa năng, giấy A3 và A0, bút viết bảng. 4. Xây dựng các tình huống dạy học Xây dựng 3 tình huống 17, 18 và 19 nhằm luyện tập cho HS các dạng bài tập có nhiều cách giải và dạng bài tập tìm sai lầm trong lời giải để HS phát huy tính chủ động trong học tập thông qua việc nắm vững kiến thức để phân tích, phản biện và sáng tạo trong giải quyết các vấn đề. Tình huống Các biểu hiện Tình huống 17 P13, M14 , M24 , E4 Tình huống 18 H4, M14 M24, E4 Tình huống 19 P14, M14, M24, E4 II. TỔ CHỨC THỰC HIỆN KẾ HOẠCH DẠY HỌC Tình huống 17: Luyện tập về giới hạn thông qua bài tập nhiều cách giải 1. Tổ chức cho học sinh tiếp cận với tình huống học tập Hoạt động 1 (7 phút) - Chia HS thành các nhóm, mỗi nhóm 6 học sinh - Các nhóm nhận phiếu học tập và giấy A0, bút dạ PHIẾU HỌC TẬP 9.17.1 Cho dãy số xác định bởi công thức truy hồi: Tìm giới hạn của dãy số (nếu có) bằng nhiều cách. - Các nhóm sử dụng kỹ thuật khăn trải bàn để chia việc cho các thành viên nhóm để làm bằng nhiều cách giải và trình bày trong bảng phụ A0. Hoạt động 2 (10 phút) - Các nhóm treo/dán kết quả hoạt động nhóm lên bảng, các nhóm nhận xét chéo về kết quả hoạt động nhóm, - Các nhóm tranh luận bảo vệ quan điểm đúng/sai cho nhau - Các nhóm thực hiện tự đánh giá và đánh giá đồng đẳng kết quả hoạt động nhóm. - GV cùng cả lớp thống nhất kết quả hoạt động từng nhóm và đánh giá lời giải hay, tối ưu. 2. Kết quả mong đợi từ học sinh Cách 1 (Dựa vào quy luật để tìm số hạng tổng quát sau đó tính giới hạn ) Ta tìm một vài số hạng đầu tiên của dãy, qua đó tìm quy luật. Dự đoán: (1) Ta chứng minh dự đoán trên bằng phương pháp quy nạp: Với ta có (đúng) Giả sử đẳng thức (1) đúng với , nghĩa là . Khi đó: , Nghĩa là đẳng thức (1) cũng đúng với Vậy . Từ đó ta có . Cách 2: Ta có thể biến đổi trực tiếp để suy ra số hạng tổng quát Ta có: Suy ra: .Từ đó ta có Cách 3 (Sử dụng định lý về sự tồn tại giới hạn) Ta chứng minh dãy là dãy giảm và bị chặn dưới. Ta có: , quy nạp ta được Từ giả thiết ta có (*) với Vậy dãy là dãy giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên dãy đã cho tồn tại giới hạn hữu hạn. Đặt .Suy ra . Vậy . Cách 4 (Sử dụng giới hạn kẹp) Từ biểu thức (*) trong cách 3 ta thấy rằng: với Từ đó suy ra: Mà nên . 3. Xác nhận kiến thức Đối với bài toán tìm giới hạn dãy cho dưới dạng công thức truy hồi thì thông thường HS chỉ làm theo một trong hai cách (Cách 1 và Cách 3), tuy nhiên, nếu tìm được cách 2 suy ra từ cách 1 và cách 4 suy ra từ cách 3 thì đó mới là tính độc đáo của tư duy: khả năng tìm ra giải pháp lạ khi biết những giải pháp khác. 4. Vận dụng kiến thức vào thực tiễn/chuyển tiếp vào tình huống mới * Hoạt động của giáo viên Giáo viên phát phiếu học tập/chiếu nội dung phiếu học tập số 9.17.2 PHIẾU HỌC TẬP 9.17.2 Cho dãy số xác định bởi công thức truy hồi: Dãy có giới hạn hữu hạn hay không khi . Nếu có tìm giới hạn đó bằng nhiều cách? Yêu cầu: từng học sinh hoàn thành nội dung yêu cầu của phiếu 9.17.2 * Kết quả mong đợi từ học sinh Cách 1: (Dựa vào quy luật để tìm số hạng tổng quát sau đó tính giới hạn ) Có: Từ đó ta dự đoán: Ta dễ dàng chứng minh dự đoán trên bằng quy nạp. Suy ra Cách 2: (Sử dụng định lý về sự tồn tại giới hạn) Chứng minh dãy là dãy giảm và bị chặn dưới. Bằng quy nạp ta chứng minh với hay dãy bị chặn dưới bởi 0. Ta lại có: , tức là dãy giảm. Vậy dãy là dãy giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên dãy đã cho tồn tại giới hạn hữu hạn. Đặt . Suy ra . Vì với nên không thỏa mãn. Vậy . Cách 3: (Sử dụng cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát) Ta có , bằng quy nạp ta chứng minh với . Từ giả thiết suy ra: Đặt với (*) Đặt thì (*) trở thành với Như vậy là một cấp số nhân có công bội bằng 2 và , nên suy ra: Vậy dãy có nên Cách 4: Đặt . Ta có là hàm số liên tục trên và Nếu tồn tại thì do tính liên tục của hàm số nên ta có nên suy ra hay là nghiệm của phương trình: Ta có , bằng quy nạp ta chứng minh được với nên không thỏa mãn. Ta chứng minh là giới hạn của dãy . Thật vậy: do với mà nên suy ra . Cách 5: (Sử dụng định lý Lagrange) Ta có , bằng quy nạp ta chứng minh với . Xét hàm số . Ta có là hàm số liên tục trên và Có: với Xét phương trình trên ta có: Theo định lý Lagrange luôn tồn tại số thực nằm giữa 0 và sao cho: . Mà nên suy ra . 5. Đánh giá và điều chỉnh Cũng giống như bài toán trên, ở bài toán này, HS thường sẽ chỉ sử dụng cách 1 hoặc cách 2 để giải (theo như các bài tập mẫu), GV nên yêu cầu và giúp đỡ HS tìm thêm các cách khác. Trong 5 cách giải trên, mỗi một cách có ưu điểm riêng, với hai cách đầu, hầu hết HS có thể làm được, còn 3 cách sau các em không dễ gì nhận ra được. Tuy nhiên, cách 3 ta có thể sử dụng cho lớp bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy dựa vào cấp số nhân mà lúc đó cách 1 và cách 2 không phát huy được tác dụng. Cũng như vậy, cách 4 và cách 5 có thể sử dụng. Tình huống 18: Tìm giới hạn của hàm số bằng nhiều cách 1. Tổ chức cho học sinh tiếp cận với tình huống học tập Sử dụng phiếu học tập để mỗi HS làm việc cá nhân sau 7 phút sẽ nộp lại cho GV và chọn các cách giải khác nhau để HS lên bảng trình bày. PHIẾU HỌC TẬP 9.18.1 Tính giới hạn sau bằng nhiều cách: 2. Hướng dẫn học sinh giải quyết tình huống học tập - Giáo viên yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức đã học vào giải bài tập - Trong quá trình học sinh làm si bài tập, giáo viên quan sát, đánh giá và giúp đỡ, gợi ý cho học sinh những vấn đề còn đáng bị vướng mắc. - Kết quả mong đợi từ học sinh Cách 1 (Nhân lượng liên hợp, khử dạng vô định) Cách 2 (Sử dụng .) Khi x đủ gần 0 thì nên Ta có: Cách 3: Đặt , khi Ta có: Cách 4: Đặt . Khi đó và Nên: Cách 5 (Sử dụng định nghĩa về đạo hàm) Đặt Khi đó: mà Vậy 3. Xác nhận kiến thức Đây là một bài toán tính giới hạn hàm số dạng đơn giản, thông thường HS khi gặp là giải luôn bằng cách 1 và dừng lại. Tuy nhiên, để phát huy tối đa sự sáng tạo của HS, GV nên yêu cầu HS giải bằng nhiều cách. Như vậy, việc tìm ra nhiều lời giải của cùng một bài toán sẽ cho chúng ta thấy rằng: khi giải xong một bài toán, đừng thỏa mãn ngay với lời giải của mình mà hãy xem xét bài toán dưới nhiều khía cạnh khác nhau để tìm thêm những lời giải khác. Qua đó, giúp các em rèn luyện tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo trong học toán nói riêng, học tập và làm việc nói chung. Tình huống 19: Luyện tập giới hạn hàm số thông qua bài tập tìm sai lầm trong lời giải 1. Khởi động tạo động cơ học tập cho học sinh (2 phút) Chia HS trong lớp thành các nhóm, mỗi nhóm 6 HS. Cho mỗi nhóm nhận phiếu học tập và các nhóm tiến hành bầu trưởng nhóm, thống nhất cách làm việc. 2. Tổ chức cho học sinh tiếp cận với tình huống học tập Giáo viên chiếu/phát phiếu học tập số 9.19.1 cho học sinh và yêu cầu thực hiện các yêu cầu trong phiếu học tập (thời gian: 7 phút). PHIẾU HỌC TẬP 9.19.1 Tìm sai lầm trong các lời giải sau: a) Tính giới hạn: Lời giải: Khi thì còn và nên b) Tính giới hạn: Lời giải: Khi thì còn nên 3. Hướng dẫn học sinh giải quyết tình huống học tập 3.1. Dự kiến lời giải của học sinh Đúng Sai. Lí do: Đối với câu này ta không kết luận được ngay giống câu a) vì hàm số chỉ xác định khi . Như vậy thì không tồn tại giới hạn khi . Để giải được câu b) ta tách riêng 2 trường hợp. Cụ thể như sau: không tồn tại (do hàm số không xác định với mọi ) . Vậy không tồn tại giới hạn . 3.2. Báo cáo kết quả hoạt động nhóm (10 phút) Sau thời gian 7 phút, các nhóm dán kết quả hoạt động của nhóm mình lên bảng và cho các nhóm nhận xét chéo về các câu trả lời của nhóm bạn, tranh luận bảo vệ quan điểm đúng hay sai của nhau. 4. Xác nhận kiến thức Sau khi học sinh báo cáo kết quả hoạt động nhóm, GV sẽ cùng cả lớp đưa ra kết luận về các lời giải và đánh giá lời giải hay, tối ưu. 5. Vận dụng kiến thức vào thực tiễn/chuyển tiếp vào tình huống mới Giáo viên chiếu nội dung phiếu học tập 9.19.2 với 4 bài tập mới cùng dạng, yêu cầu các nhóm học sinh giải nhanh các bài tập trong 7 phút. PHIẾU HỌC TẬP 9.19.2 Ví dụ 1 : Tìm sai lầm (nếu có) trong lời giải sau: Tính . Lời giải: = = 0+0+... +0=0 Ví dụ 2: Tìm sai lầm (nếu có) trong lời giải sau: Tính Lời giải: Không tồn tại Giới hạn vì dãy số đang xét có: u1 = 1, u2 = , u3 = ,... không tăng cũng không giảm. Ví dụ 3: Tìm sai lầm (nếu có) trong lời giải sau: Tính Lời giải Có học sinh lập luận: Ta có và . Vậy theo định lí về giới hạn của tổng hai hàm số thì: = 0. Ví dụ 4: Dự đoán sai lầm mà HS thường mắc phải khi tìm lời giải cho bài toán: Tính * Dự kiến kết quả từ học sinh Ví dụ 1 : Tìm sai lầm (nếu có) trong lời giải sau: Tính . Lời giải: = = 0+0+... +0=0 Học sinh: Các định lý về phép toán Giới hạn chỉ phát biểu cho hữu hạn số hạng. Trong lời giải trên đã áp dụng cho giới hạn của tổng vô hạn các số hạng nên đã dẫn đến sai lầm. Lời giải đúng là: Ta có: 1 + 2 + . + n = Do đó: = = = = Ví dụ 2: Tìm sai lầm (nếu có) trong lời giải sau: Tính Lời giải: Không tồn tại Giới hạn vì dãy số đang xét có: u1 = 1, u2 = , u3 = ,... không tăng cũng không giảm. HS: Lời giải đưa ra không đúng, vì định lý về dãy đơn điệu bị chặn thì có giới hạn chỉ là nêu lên điều kiện đủ mà không phải là điều kiện cần để dãy số có giới hạn. Ví dụ 3 : Tìm sai lầm (nếu có) trong lời giải sau: Tính Lời giải : Có học sinh lập luận: Ta có và . Vậy theo định lí về giới hạn của tổng hai hàm số thì: = 0. Nhận xét của học sinh: Thực ra những hàm số f(x) = không có giới hạn tại x = 1 bởi lẽ biểu thức chỉ có nghĩa duy nhất tại điểm x = 1 nên tập xác định của f(x) là K=. Do đó không thể định nghĩa được, vì không thể lấy bất kì dãy nào với , mà dần tới 1 được. Ví dụ 4: Dự đoán sai lầm mà HS thường mắc phải khi tìm lời giải cho bài toán: Tính HS: Dự đoán khi làm bài, các HS thường mắc phải sai lầm khi đưa biểu thức ra khỏi căn thức bậc hai hoặc đưa vào căn thức bậc hai không chú ý đến điều kiện biểu thức đó phải không âm nên sẽ không xét giới hạn trái, giới hạn phải khi x dần tới 2. Lời giải đúng như sau: HS: Ta có: Với x>2 nên (1) Với x<2 nên (2) Từ (1) và (2) suy ra không tồn tại * Học sinh báo cáo kết quả và xác nhận kiến thức Sau 7 phút giáo viên gọi 1 đến 2 học sinh báo cáo kết quả giải bài tập sau đó GV đưa ra nhận xét chung: - Ở ví dụ 1: Tổng vô hạn các đại lượng có giới hạn 0 chưa chắc đã có giới hạn 0 (tức là các phép toán giới hạn tổng, hiệu, tích, thương chỉ phát biểu và được sử dụng cho hữu hạn các số hạng ). Vì vậy, thường sử dụng phép đánh giá kẹp giữa và phép biến đổi phân tích để tính toán các tổng vô hạn các đại lượng có giới hạn 0. - Ở ví dụ 2: Những số hạng đầu tiên của dãy số không ảnh hưởng tới sự tồn tại giới hạn của dãy số. Chẳng hạn, kể từ số hạng thứ dãy số bắt đầu tiến và bị chặn trên thì dãy số vẫn có giới hạn, còn các số hạng từ (-1) trở về trước không cần quan tâm. Sự quan tâm tới những số hạng đầu tiên của dãy chỉ giúp cho sự phán đoán mà thôi, lời giải đúng như  sau: Vì và = 0 nên = 0. - Ở ví dụ 3: Học sinh đó đã áp dụng định lí nhưng không hiểu rõ phạm vi áp dụng của định lí. - Ở ví dụ 4: Nếu HS không có thói quen xét bài toán trong hai trường hợp thì rất dễ dẫn đến sai lầm. ĐÁNH GIÁ GIỜ DẠY Thống kê kết quả đánh giá tổ chức dạy học theo tình huống từ 10 giáo viên dự giờ STT Tên các tình huống dạy học Ý tưởng Khả thi Rất tốt Tốt Khá tốt Không tốt Có tính Khả thi Không Khả thi 1 17 9 1 9 1 2 18 6 4 5 5 3 19 6 4 5 5 PHỤ LỤC 8 SẢN PHẨM CỦA DỰ ÁN HỌC TẬP CHỦ ĐỀ GIỚI HẠN TÊN DỰ ÁN: “PHƯƠNG PHÁP TÌM CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH CỦA GIỚI HẠN HÀM SỐ” KẾ HOẠCH HOẠT ĐỘNG THỰC HIỆN DỰ ÁN NHÓM THỨ NHẤT I. Mục đích Đưa ra phương pháp tìm các dạng vô định của giới hạn hàm số . II. Yêu cầu -HS hoàn thiện sản phẩm dưới dạng poster hoặc file word, power point -HS đăng kí thời lượng báo cáo và nội dung báo cáo với GV. Trong quá trình báo cáo, HS toàn nhóm tham gia báo cáo hoặc cử đại diện trình bày về sản phẩm dự án, các thành viên khác theo dõi và bổ sung cho bài trình bày hoặc trả lời câu hỏi -Các HS ở nhóm khác lắng nghe, quan sát kết quả học tập của nhóm bạn để đối chiếu viêc học tập của mình, tự phát hiện những điều còn thiếu, kiến thức, cách thu thập thông tin, để tự bổ sung và hoàn thiện dự án của mình. III. Thời gian hoàn thiện 07 ngày (từ ngày 17 tháng 3 năm 2018 đến ngày 24 tháng 3 năm 2018) IV. Tổ chức thực hiện Xây dựng nhóm Nhóm gồm 12 thành viên được chia thành 4 nhóm chức năng. Nhóm trưởng: Nguyễn Quang Tr. Thư ký: Nguyễn Thị Trà M. Quy định làm việc: + Giữa các thành viên liên lạc, trao đổi thông tin trực tiếp, qua Email, Facebook, Zalo. + Giữa các nhóm chức năng: các nhóm trưởng liên lạc trực tiếp. + Các thành viên tích cực hoàn thiện nhiệm vụ được giao đúng thời gian và tích cực thảo luận xác định mục tiêu dự án. Thông tin các thành viên của nhóm 1. Nguyễn Quang Tr. Điện thoại: 0387.199.xxx Email: nguyenqt01@gmail.com Sở trường: Nghiên cứu tài liệu,phân tích và tổng hợp thông tin. Có khả năng mở rộng, tự xây dựng kiến thức dựa trên kiến thức đã có. 2. Nguyễn Thị Trà M. Điện thoại: 0915.015.xxx Email: nguyentram@gmail.com Sở trường: Chữ đẹp, cẩn thận, sáng tạo 3. Nguyễn Ngọc A. Điện thoại: 0978.905.xxx Email: nanguyen@gmail.com Sở trường: Nghiên cứu tài liệu 4. Vương Quốc H. Điện thoại: 0918.977.xxx Email: hqvuong@gmail.com Sở trường: Nghiên cứu tài liệu 5. Trần Thị Lê H. Điện thoại: 0386.953.xxx Email: tranthu@gmail.com Sở trường: Sử dụng máy tính tốt. 6. Trần Thu H. Điện thoại0334.220.xxx Email: hongtruong@gmail.com Sở trường: Khả năng thuyết trình tốt. 7. Trương Thị Hồng H. Điện thoại: 0977.743.xxx Email: hongtruong@gmail.com Sở trường: Nghiên cứu tài liệu,phân tích và tổng hợp thông tin 8. Trần Nhật Q. Điện thoại: 0386.222.xxx Email: trannhatq@gmail.com Sở trường: Chữ đẹp, cẩn thận, sáng tạo 9. Nguyễn Quỳnh A. Điện thoại: 0344.222.xxx Email: qanguyen@gmail.com Sở trường: Sử dụng máy tính 10. Nguyễn Quang Tr. Điện thoại: 0387.199.xxx Email: nguyenqt01@gmail.com Sở trường: Khả năng thuyết trình tốt. Khả năng giao tiếp tiếng anh tốt. 11. Trần Ngọc Q.Điện thoại: 0972.321.xxx Email: tranngoc@gmail.com Sở trường: Chữ đẹp, cẩn thận, sáng tạo 12. Dương Thị Bảo N. Điện thoại: 0973.208.xxx Email: baoduong@gmail.com Sở trường: Vẽ đẹp Thực hiện dự án Chia nhóm thành 4 nhóm chức năng Thời gian: từ 1... đến . tháng .... năm 201... STT Công việc Sản phẩm mong đợi Người thực hiện Thời gian hoàn thành Ghi chú Nhóm 1 - Tìm các tài liệu có liên quan đến các dạng vô định . - Ghi chép mục đích, yêu cầu đối với quá trình thực hiện dự án. - Ghi chép các mục kiến thức cần thiết phục vụ cho việc thực hiện dự án Các kiến thức trong SGK, sách tham khảo có liên quan đến giới hạn dạng vô định . -Hình thành sơ đồ tư duy Quang Tr Trà M. N.A Từ 17 đến 19 tháng 3 năm 2018 Nhóm 2 -Lên thư viện và tìm các tài liệu có liên quan đến giới hạn dạng vô định . - Ghi chép mục đích, yêu cầu đối với quá trình thực hiện dự án. -Ghi chép các mục kiến thức cần thiết phục vụ cho việc thực hiện dự án Các tài liệu tham khảo có liên quan đến giới hạn dạng vô định . -Hình thành sơ đồ tư duy Vương H Lê H Thu H Từ 17 đến 19 tháng 3 năm 2018 Nhóm 3 Gặp, xin ý kiến các thầy cô về cách tìm giới hạn dạng vô định . -bám sát mục đích, yêu cầu của dự án để xin ý kiến các thầy cô. -Ghi chép, tập hợp lại kiến thức Các tài liệu tham khảo có liên quan đến giới hạn dạng vô định . -Hình thành sơ đồ tư duy Huế Quang Q. Anh Từ 17 đến 19 tháng 3 năm 2018 Nhóm 4 -Tập hợp kết quả của các nhóm còn lại. -Rà soát, bổ sung tài liệu -Chuẩn bị viết báo cáo -Chuẩn bị bài thuyết trình -Bản báo cáo -Bài thuyết trình -Sơ đồ tư duy Thảo N Ngọc Q Bảo Ng Từ 17 đến 19 tháng 3 năm 2018 Ngày 2... tháng ... năm 201...: Các nhóm họp, báo cáo tiến trình và kết quả thực hiện dự án và thống nhất biên soạn tài liệu, trình bày. Ngày 2... đến ngày 2.. tháng ... năm 201...: Họp toàn nhóm, hoàn thành dự án. IV.Sản phẩm dự án - Bài thuyết trình PP - Bản kế hoạch thực hiện dự án - Chuyên đề tìm giới hạn dạng TRƯỞNG NHÓM Nguyễn Quang Tr Mẫu số 01/BB-HĐN CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Thái Nguyên, ngày 2 tháng năm 201 BIÊN BẢN LÀM VIỆC NHÓM 01 1. Thời gian: từ.14h .giờ đến 17h giờ ngày 21.tháng 3 năm 2018 2. Địa điểm: Phòng học A6 3. Chủ tọa họp nhóm: Nguyễn Quang Tr. Trưởng nhóm 4. Thư ký nhóm: Nguyễn Thị Trà M. 5. Số thành viên có mặt trong nhóm: 12/12 6. Tên thành viên vắng mặt: Không 7. Lý do: Họp chuẩn bị các công việc thực hiện dự án “Tìm giới hạn dạng vô định ” 8. Nội dung công việc Thảo luận, phân công nhệm vụ cho từng thành viên của nhóm trong việc thực hiện nhiệm vụ: Chia thành 4 nhóm chức năng, mỗi nhóm và từng thành viên của nhóm có nhiệm vụ và chức năng riêng Phân công công việc cho từng thành viên như sau: STT Công việc Sản phẩm mong đợi Người thực hiện Thời gian hoàn thành Nhóm 1 - Tìm các tài liệu có liên quan đến giới hạn dạng vô định . - Ghi chép mục đích, yêu cầu đối với quá trình thực hiện dự án. -Ghi chép các mục kiến thức cần thiết phục vụ cho việc thực hiện dự án Các kiến thức trong SGK, sách tham khảo có liên quan đến giới hạn dạng vô định . -Hình thành sơ đồ tư duy Quang Tr Trà M. N.A Từ 17 đến 19 tháng năm 201.. 2. -Lên thư viện và tìm các tài liệu có liên quan đến giới hạn dạng vô định . - Ghi chép mục đích, yêu cầu đối với quá trình thực hiện dự án. -Ghi chép các mục kiến thức cần thiết phục vụ cho việc thực hiện dự án Các tài liệu tham khảo có liên quan đến giới hạn dạng vô định . -Hình thành sơ đồ tư duy Vương H Lê H Thu H Từ 17 đến 19 tháng năm 201.. 3. Gặp, xin ý kiến các thầy cô về cách tìm giới hạn dạng vô định . -bám sát mục đích, yêu cầu của dự án để xin ý kiến các thầy cô. -Ghi chép, tập hợp lại kiến thức Các tài liệu tham khảo có liên quan đến giới hạn dạng vô định . -Hình thành sơ đồ tư duy Huế Quang Q. Anh Từ 17 đến 19 tháng năm 201.. 4. -Tập hợp kết quả của các nhóm còn lại. -Rà soát, bổ sung tài liệu -Chuẩn bị viết báo cáo -Chuẩn bị bài thuyết trình -Bản báo cáo -Bài thuyết trình -Sơ đồ tư duy Thảo N Ngọc Q Bảo Ng Từ 17 đến 19 tháng năm 201.. Thời gian họp nhóm để thống nhất nội dung, viết báo cáo kết quả nhóm: 14h00 ngày 21 tháng năm 201 Địa điểm: Phòng A6 Nội dung đã thống nhất: để tính giới hạn: mà khi Trong sản phẩm của dự án cần làm rõ và trình bày các trường hợp: + là các đa thức? + chứa căn thức cùng bậc? + chứa căn thức không cùng bậc? + là các hàm số lượng giác? Chẳng hạn: Loại 1: là các đa thức thì khử dạng vô định bằng cách phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử với nhân tử chung là . Loại 2: Chứa căn thức cùng bậc thì khử dạng vô định bằng cách nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp tương ứng của biểu thức chứa căn thức để làm xuất hiện các nhân tử nhằm khử các thành phần có giới hạn bằng 0. chú ý rằng có thể nhân liên hợp một hay nhiều lần để khử dạng vô định. Loại 3: Chứa căn thức không cùng bậc ta thêm bớt một lượng nào đó, tách thành nhiều giới hạn rồi nhân liên hợp hoặc đặt ẩn phụ. Loại 4: Khi là các hàm số lượng giác thì cần sử dụng các kết quả giới hạn cơ bản đã biết. GIÁO VIÊN (Ký, ghi rõ họ tên) TRƯỞNG NHÓM (Ký, ghi rõ họ tên) THƯ KÝ (Ký, ghi rõ họ tên) B.BÁO CÁO POWER POINT CỦA NHÓM 1.Khái quát chung 2.Dạng 0/0 SƠ ĐỒ TƯ DUY DẠNG VÔ ĐỊNH , là các đa thức , chứa căn thức cùng bậc , chứacăn thức không cùng bậc Phân tích đa thức thành nhân tử, chứa nhân tử chung Sử dụng phương pháp nhân liên hợp với tử hoặc mẫu; hoặc nhân liên hợp cả tử và mẫu Sử dụng phương pháp thêm bớt số hạng để đưa về các giới hạn đã biết. C.BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH NHÓM 1 Giới hạn dạng vô định là những giới hạn mà ta không thể tìm chúng bằng cách áp dụng trực tiếp các định lý về giới hạn và các giới hạn cơ bản trình bày trong Sách giáo khoa. Do đó muốn tính giới hạn dạng vô định của hàm số, ta phải tìm cách khử các dạng vô định để biến đổi thành dạng xác định của giới hạn. Trong chương trình toán THPT, các dạng vô định thường gặp là : .Đối với giới hạn là một trong những dạng giới hạn thường gặp nhất của bài toán tính giới hạn hàm số. Để tính giới hạn dạng này, phương pháp chung là sử dụng các phép biến đổi (phân tích đa thức thành nhân tử, nhân với biểu thức liên hợp, thêm bớt các số hạng...) để khử các thành phần có giới hạn bằng 0, đưa về tính giới hạn xác định. Chính các thành phần có giới hạn bằng 0 gây nên dạng vô định. Trước tiên cần nhận dạng giới hạn . Dạng được nghiên cứu với các loại cụ thể sau: I. Loại 1: mà , là các đa thức và 1. Phương pháp: Khử dạng vô định bằng cách phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử với nhân tử chung là . Giả sử: và Khi đó: Nếu giới hạn vẫn ở dưới dạng vô định thì ta lặp lại quá trình khử đến khi không còn dạng vô định. Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Bài giải: Ta phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử với nhân tử chung : . Vậy Ví dụ 2: Bài giải: (Vì giới hạn của tử bằng 1, giới hạn cảu mẫu bằng 0). Vậy Ví dụ 3: Bài giải: Ta sẽ phân tích tử và mẫu thành nhân tử với nhân tử chung: bằng cách tách và nhóm như sau: Khi đó: Vậy . Ví dụ 4: . Bài giải: Vậy 3. Kết luận Phương pháp để giải bài tập loại này là phân tích đa thức thành nhân tử với nhân tử chung là Để làm được điều này phải nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, các hằng đẳng thức, công thức phân tích tam thức bậc hai, đa thức bậc ba thành nhân tử: Ngoài các hằng đẳng thức đáng nhớ, ta cũng cần nhớ các hẳng đẳng thức bổ sung là: n là số tự nhiên lẻ. Để cho dễ nhớ, cần lấy các trường hợp cụ thể như: n=2,3,4 và trường hợp đặc biệt: Tùy theo đặc điểm từng bài mà biến đổi một cách linh hoạt để khử dạng vô định. Trong quá trình thực hành, nhiều khi sau các biến đổi đã khử các thành phần có giới hạn bằng 0 ta vẫn gặp giới hạn dạng vô định mới (thường là “ đơn giản” hơn so với giới hạn ban đầu). Tới đây ta tiếp tục quá trình khử đến khi giới hạn cần tìm không còn dạng vô định thì thôi. 4. Bài tập tự luyện II. Loại 2: mà , chứa các căn thức cùng bậc và 1. Phương pháp: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp tương ứng của biểu thức chứa căn thức ( gọi tắt là phương pháp nhân liên hợp hay dùng biểu thức liên hợp ) để trục các nhân tử ra khỏi các căn thức, nhằm khử các thành phần có giới hạn bằng 0. Biểu thức chứa căn thức có thể là tử, mẫu hay cả tử và mẫu của phân thức cần tìm giới hạn. Lưu ý là có thể nhân liên hợp một hay nhiều lần để khử dạng vô định. Các công thức thường được sử dụng khi nhân liên hợp là: Hai công thức này xuất phát từ hai hằng đẳng thức: 2.Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Bài giải: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp tương ứng, ta được: Vậy Ví dụ 2: . Bài giải: Vậy Ví dụ 3: Bài giải: Vậy Kết luận Phương pháp dùng biểu thức liên hợp là phương pháp chủ yếu được sử dụng để tính các giới hạn có chứa căn thức cùng bậc. Có thể xem đây là “ thuật toán” cơ bản cho phép tính được khá nhiều giới hạn của hàm số chứa căn thức, phương hướng rõ ràng, dễ hiểu. Việc xác định biểu thức liên hợp là không quá khó khăn đối với học sinh. Tuy nhiên giáo viên cần rèn luyện kỹ năng xác định và nhân biểu thức liên hợp khi tính giới hạn. Theo cách này, nhiều bài toán tuy giải được nhưng phải qua các phép biến đổi dài dòng với biểu thức cồng kềnh. Nếu dùng cách giải khác như thêm bớt, đổi biến sẽ cho lời giải ngắn gọn hơn. 4. Bài tập tự luyện III. Loại 3: mà chứa các căn thức không cùng bậc và 1. Phương pháp: Sử dụng thuật toán thêm bớt đối với để có thể nhân biểu thức liên hợp. Chẳng hạn như: Ta biến đổi: Tới đây các giới hạn đều tính được bằng cách nhân liên hợp. 2.Áp dụng: Ví dụ 1: Bài giải: Vậy Ví dụ 2: Bài giải: Vậy . 3. Kết luận Phương pháp chung để tính các giới hạn của biểu thức chứa các căn thức không cùng bậc là thêm, bớt một lượng nào đó, tách thành nhiều giới hạn rồi liên hợp. Cần lưu ý là có thể thêm bớt một hằng số (thường chọn là hoặc hay một biểu thức. Việc thêm bớt dựa trên đặc điểm từng bài và phải thật tinh tế. Thuật toán thêm bớt còn được áp dụng hiệu quả đối với các dạng vô định khác. 4. Bài tập tự luyện Ngoài ra trong thực tế ta cũng gặp giới hạn dạng vô định của hàm só lượng giác Phương pháp: Thực hiện các phép biến đổi đại số và lượng giác để sử dụng các kết quả giới hạn cơ bản sau đây: +) +) +) +) Trong quá trình biến đổi, học sinh cần vận dụng linh hoạt các công thức lượng giác, thêm bớt, nhân liên hợp,... Ví dụ 1: Bài giải: Vậy Ví dụ 2: Bài giải: Ví dụ 3: Bài giải: Vậy Ví dụ 4: Bài giải: Theo kết quả bài 14, ta có: Do đó: Trong bài tập này ta sử dụng thuật thêm bớt: Để biến đổi và tính giới hạn đã cho. Có thể nhận thấy thuật thêm bớt đóng vai trò quan trọng trong kỹ năng biến đổi đối với bài tập này. Ví dụ 5: Bài giải: Vậy Để khử dạng vô định đối với hàm số lượng giác, cần nắm vững và vận dụng linh hoạt các phép biến đổi đại số , lượng giác cũng như áp dụng các giới hạn cơ bản. Ở đây chỉ có giới hạn được sử dụng trực tiếp, các kết quả còn lại khi làm bài tập phải chứng minh lại. Để vận dụng giới hạn , cần đưa hàm số cần tính giới hạn về dạng: với bằng cách thêm, bớt, đổi biến hay nhân, chia đồng thời với một lượng thích hợp nào đó. Bài tập tự luyện Tính các giới hạn sau: 1) 2) 3) 4) 5) 6) PHỤ LỤC 9 ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ HỌC TẬP VÀ RÈN LUYỆN TDBC CỦA 4 HỌC SINH ĐƯỢC LỰA CHỌN NGHIÊN CỨU TRƯỜNG HỢP 1. Mẫu đối tượng nghiên cứu trường hợp Với quan điểm lựa chọn đối tượng nghiên cứu trường hợp như đã nêu ở trên, chúng tôi đã chọn ra 4 HS để tiến hành quan sát, thu thập và xử lý thông tin để đưa ra những nhận định về quá trình học Chủ đề Giới hạn theo hướng tổ chức các hoạt động khám phá của mỗi HS. G là HS có năng lực tốt; đặc biệt là năng lực tự học. Em học tốt các môn Toán, Vật lý, Hóa học, Ngữ văn và đặc biệt yêu thích môn Toán, môn Vật lý. Sau khi tự học ở nhà, G nắm bắt khá tốt kiến thức tự học. Theo cô chủ nhiệm, G không nói chuyện trong lớp, không thích tham gia hoạt động Đoàn và các phong trào khác của lớp. Khi trao đổi với thầy dạy Toán của lớp 11A1, thầy cũng cung cấp một số biểu hiện của TDBC thường thấy ở em G trước khi dạy thực nghiệm là: G có các kỹ năng toán học như kỹ năng phân tích hình học, kỹ năng giải toán, kỹ năng tính toán, kỹ năng sử dụng công cụ học tập khá tốt. G có thể diễn đạt bài tập/nhiệm vụ theo các cách khác nhau, biết dự đoán về phương hướng giải quyết nhiệm vụ học tập, có ý thức tìm tòi mở rộng các khái niệm, định lí có liên quan. Thời gian hoàn thành đúng các yêu cầu của GV của G so với các bạn HS khác luôn chiếm ở tốp đầu. G thường hỏi GV thêm các bài toán khó liên quan đến phần tự học ở nhà, các câu hỏi trong đề thi học sinh giỏi, câu hỏi ở mức độ vận dụng cao K là HS nữ, có học lực Khá và đang là Bí thư Chi Đoàn. K học khá môn Toán, Tiếng Anh và đặc biệt có năng khiếu môn Hóa học. Em rất tích cực trong học tập, thích tham gia hoạt động Đoàn và phong trào của lớp. K so với G cũng không thua kém nhiều. Các kỹ năng toán học như kỹ năng phân tích hình học, kỹ năng giải toán, kỹ năng tính toán và sử dụng các công cụ học tập là khá. Năng lực tự học của HS K cũng khá tốt. Tuy nhiên, khi trao đổi với thầy giáo dạy Toán, em K trong khi trình bày lời giải các bài tập còn có những sơ suất cũng như phát biểu các ý kiến đôi khi còn vội vàng, có nhanh nhưng chỉ dừng lại ở một phương án giải quyết vấn đề mà chưa chịu suy nghĩ thêm các phương án khác dù còn thời gian. Thầy dạy toán cũng cung cấp thêm một số biểu hiện của TDBC thường thấy ở K trước khi dạy thực nghiệm là: K cũng hay đề xuất các câu hỏi và có thể phát hiện được vấn đề trong các tình huống cụ thể như phát hiện các sai lầm kiến thức, kỹ năng, tư duy trong lời giải của các bạn, diễn đạt các bài tập/nhiệm vụ theo các cách khác nhau. B là HS có học lực trung bình khá. HS B chưa có ý thức tự giác học tập, chỉ học khi được GV giao nhiệm vụ rõ ràng cần phải hoàn thành. B ít bày tỏ chính kiến trong các trong các giờ học môn Toán, thích tham gia hoạt động Đoàn và phong trào của lớp. Em có năng khiếu về nghệ thuật. Em học khá môn Hóa học, học kém môn Ngữ văn, Tiếng Anh; khả năng ghi nhớ kém. Đối với HS B, chỉ có kỹ năng sử dụng công nghệ thông tin là thành thạo, còn lại các kỹ năng toán học như kỹ năng hình học, kỹ năng tính toán, kỹ năng so sánh chưa được tốt; quá trình tính toán thực hiện các nội dung trong phiếu học tập còn nhầm lẫn. Thường khi GV đặt câu hỏi, em B có thể trả lời được nếu GV gọi nhưng em không chủ động giơ tay xây dựng bài học. Khi tổ chức hoạt động nhóm, B thường quan sát các bạn thực hiện trước rồi mới làm bài của mình. Em cũng thường không tranh luận với các thành viên khác của nhóm để đưa ra kết quả cuối cùng. Y là HS có học lực trung bình, khả năng học môn Toán kém, không có ý thức tự giác học tập, thậm chí ngay cả khi được GV giao nhiệm vụ rõ ràng cần phải hoàn thành. Y là một HS đặc biệt của lớp. Em thích chơi điện tử và đôi khi còn nói dối bố mẹ và thầy cô để nghỉ học đi chơi điện tử. Chúng tôi đã nhờ GV giúp đỡ em bằng cách hướng dẫn em tự học và ôn bài và nhờ một số bạn HS có học lực khá, giỏi cùng tranh thủ thời gian trong các giờ ra chơi hoặc giờ truy bài đầu giờ để hỗ trợ giải đáp thắc mắc cho Y kịp thời để giúp Y không bị tụt quá xa so với lớp. Năng lực tự học của HS Y ở mức độ kém. Y thường đưa ra các phương án sai cho các câu trả lời hoặc thường lúng túng, sử dụng nhầm lẫn kiến thức. Thời gian hoàn thành đúng các yêu cầu mà GV của Y so với các bạn HS khác mất nhiều thời gian nhất. 2.Phân tích kết quả theo dõi quá trình học tập của 4 HS PHÂN TÍCH KẾT QUẢ BÀI KIỂM TRA ĐẦU VÀO CỦA 4 HS Câu 1: Học sinh G sử dụng phương pháp tách trực tiếp và chỉ ra được giới hạn bằng 0. Học sinh K: Tính 4 số hạng đầu tiên của dãy; Dự đoán công thức tổng quát của dãy số (Có chứng minh công thức dự đoán bằng phương pháp quy nạp); Tính giới hạn bằng 0. Học sinh B: Tính 4 số hạng đầu tiên của dãy; Nhận xét rằng 4 số hạng đầu tiên của dãy. Học sinh Y: Tính 4 số hạng đầu tiên của dãy; Đưa ra nhận xét đây là dãy số giảm; Dự đoán công thức tổng quát của dãy số (Không chứng minh công thức dự đoán bằng phương pháp quy nạp); Tính giới hạn bằng 0. Câu 2: Học sinh G: Biểu thức dãy số thuộc dạng Nên ta có thể dùng liên tiếp các biểu thức với chạy từ để quy về . Học sinh K: Để làm bài toán 1, em có suy nghĩ tìm một công thức chỉ chứa biến biểu diễn được từng số hạng của dãy số. Vì vậy, em tính từng số hạng của dãy số với và tìm quy luật của dãy đó. Từ đó suy ra Học sinh Y: Bước 1. Tìm các giá trị của dãy số; Bước 2. Từ đó tìm ra quy luật của dãy; Bước 3. Tìm giới hạn. Học sinh B: Đầu tiên, tính một số số hạng ta thấy số hạng đầu là 0,5 và đang tiến gần tới 0. Câu 3: Kỹ năng đặt câu hỏi của HS còn yếu kém. Học sinh G: Không đề xuất các câu hỏi mà em đưa ra các gợi ý: Ta có các biểu thức: Ta thấy nhân hai vế của (1), (2) có: Xong lại lấy nhân hai vế (1),(2), (3) rồi đến (n) ta được: Học sinh K: Để gợi ý bạn làm bài, em sẽ gợi ý bạn theo các bước sau: Tính 4 số hạng đầu tiên của dãy Tìm quy luật của 4 số hạng theo là : Từ công thức trên tính được : Học sinh Y: Đầu tiên ta phải tìm các giá trị của dãy số. Từ đó đưa ra phương pháp có thể thấy từ các giá trị rồi tính giới hạn. HS B: Không đề xuất được các câu hỏi hoặc đưa ra các gợi ý. Câu 4: HS đều vẽ được sơ đồ tổng kết nội dung kiến thức chương 3. Học sinh G Nội dung kiến thức chương 3. Dãy số gồm: +) Sự tăng giảm của dãy số: Dãy số tăng; dãy số giảm và dãy số không đổi. +) Dãy số bị chặn: Dãy số bị chặn trên; dãy số bị chặn dưới và dãy số bị chặn. +) Cách cho dãy số: Cho dãy số bằng công thức số hạng tổng quát; cho dãy số bằng hệ thức truy hồi và cho dãy số bằng diễn đạt bằng lời. +) Cấp số cộng: Định nghĩa: Tính chất: Công thức số hạng tổng quát: Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng: +) Cấp số nhân: Định nghĩa: Tính chất: Công thức số hạng tổng quát: Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân: Học sinh K: Chương 3. Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân gồm các nội dung kiến thức sau: +) Phương pháp quy nạp toán học. +) Dãy số: Định nghĩa; cách cho một dãy số; dãy số tăng, dãy số giảm; dãy số bị chặn. +) Cấp số cộng: Định nghĩa: Tính chất: Công thức số hạng tổng quát: Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng: +) Cấp số nhân Định nghĩa: Tính chất: Công thức số hạng tổng quát: Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân: Học sinh Y: Chương 3. Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân gồm các nội dung kiến thức sau: +) Phương pháp quy nạp toán học. +) Dãy số: Định nghĩa; cách cho một dãy số; dãy số tăng, dãy số giảm; dãy số bị chặn. +) Cấp số cộng: +) Cấp số nhân: Học sinh B: Chương 3. Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân gồm các nội dung kiến thức sau: +) Dãy số: Định nghĩa; cách cho một dãy số; dãy số tăng, dãy số giảm; dãy số bị chặn. +) Cấp số cộng: Định nghĩa; tính chất; công thức số hạng tổng quát và tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng. +) Cấp số nhân: Định nghĩa; tính chất; công thức số hạng tổng quát và tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân. Câu 5: HS G: Giải được lại bài toán bằng cách sử dụng giới hạn kẹp giữa; Chỉ ra sai lầm: Sai lầm của bài toán là ở bước tách tổng vô hạn các dãy số. HS K: Giải lại được bài toán bằng cách sử dụng giới hạn kẹp giữa; Chỉ ra sai lầm: Lời giải sai ở chỗ có tổng vô hạn số hạng nên không thể áp dụng tính chất lim một tổng bằng tổng các lim HS Y: Giải lại được bài toán bằng cách sử dụng giới hạn kẹp giữa; Chỉ ra sai lầm: Khi thì tổng tiến đến tạo dãy vô hạnkhông tách được giới hạn của tổng thành tổng các giới hạn được. HS B: Giải lại được bài toán bằng cách sử dụng giới hạn kẹp giữa; Chỉ ra sai lầm: Sai ở chỗ tách tổng ra PHÂN TÍCH KẾT QUẢ BÀI KIỂM TRA GIỮA ĐỢT CỦA 4 HS Câu 1: Học sinh G Cách 1: Em viết: Giải thích: Vì Cách 2: Đặt . Khi thì . Khi đó: Cách 3: Em đánh giá theo định lí về giới hạn kẹp giữa: Ta có: Vì nên Học sinh K Ta có: C1: C2: Vì và nên . Do đó: B Học sinh Y C1: C2: Mà và nên . Do đó: Câu 2 Học sinh G C1: Khử dạng vô định C2: Chuyển về giới hạn hàm số tại một điểm C3: Dùng định nghĩa Học sinh K C1: Đây là dạng giới hạn nên em trục căn thức để làm mất dạng . C2: Sử dụng định lí về giới hạn bằng 0 của dãy số: mà thì Học sinh B Ta trục căn thức rồi rút gọn tử vì biểu thức đầu có căn dạng Học sinh Y C1: là giới hạn có dạng vô định suy ra khử vô định bằng cách nhân liên hợp sau đó tính giới hạn. C2: Nhân liên hợp khử vô định sau đó dùng định nghĩa để tính giới hạn 0. Câu 3 : Học sinh G Câu hỏi: Dạng vô định nào? Cách nào để khử dạng này? Ta có thể chuyển về giới hạn tại một điểm như thế nào? Tính thử thấy nó giảm như thế nào? Học sinh K Câu hỏi gợi ý: C1: Xem lại sách giáo khoa về các dạng giới hạn thường gặp. Khi bạn xác định được dạng thì có các cách nào để giải dạng này? C2: Dự đoán kết quả bài toán bằng 0. Xem lại các định lí về giới hạn 0. Học sinh B Khai triển biểu thức dưới dạng phân số Xét mẫu số Học sinh Y Dùng máy tính thử tính ra nên suy ra . Câu 4 Học sinh Nguyễn Quang Trung  Định lí về giới hạn hữu hạn dương lớn tùy ý âm nhỏ tùy ý Giới hạn 0 Giới hạn của dãy số Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Học sinh K Chương IV. Giới hạn: Giới hạn dãy số 1.1. Giới hạn 0: nhỏ tùy ý, 1.2. Giới hạn hữu hạn: 1.3. Giới hạn vô cực: +) lớn tùy ý cho trước +) nhỏ tùy ý cho trước Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn của dãy số. Cho và c là hằng số ta có: +) +) +) +) +) Học sinh B Giới hạn dãy số gồm các nội dung sau : Giới hạn 0 : 1.1. Định nghĩa: nhỏ tùy ý, 1.2. Định lí: +) +) Giới hạn hữu hạn: 2.1. Định nghĩa: 2.2. Định lí: Cho và c là hằng số ta có: +) +) +) +) +) Học sinh Y Giới hạn của dãy số gồm các nội dung sau: Dãy số có giới hạn 0 : hoặc Dãy số có giới hạn hữu hạn : hoặc Dãy số có giới hạn vô cực : 3.1. Dãy số có giới hạn  : hoặc 3.2. Dãy số có giới hạn  : hoặc Câu 5 Học sinh G (1), (2) sai do không biết số số lượng 1 là chẵn hay lẻ. Học sinh K Lời giải sai ở chỗ vì có vô hạn số 1 nên không thể nhóm các số hạng theo nhóm nhý vậy. Học sinh B Lời giải sai ở chỗ có vô hạn chữ số 1 nên không thể nhóm như vậy. Học sinh Y: Ta thấy: Nếu có (2n) số hạng thì kết thúc bằng -1 Nếu có (2n+1) số hạng thì kết thúc bằng 1 đoạn (1) lấy chẵn; đoạn (2) lấy lẻ số lượng số hạng không bằng nên Cách giải sai PHÂN TÍCH KẾT QUẢ BÀI KIỂM TRA ĐẦU RA CỦA 4 HS Câu 1 Học sinh G Bài toán 1: - Giải được bài toán - Câu hỏi: + liên tưởng tới gì? + Dùng phương pháp nào để khử căn nào? Bài toán 2: - Giải được bài toán - Câu hỏi: + Định nghĩa hàm số liên tục như thế nào? + Tính các giá trị lim như thế nào? Học sinh K Bài toán 1: - Giải được bài toán - Không đề xuất các câu hỏi, K gợi ý bạn biến đổi về biểu thức lượng giác rồi tìm ra quy luật Bài toán 2: - Giải được bài toán - Câu hỏi: + Định nghĩa hàm số liên tục như thế nào? + Tính các giá trị lim như thế nào? Học sinh B Bài toán 1: - Giải được bài toán - Không đề xuất câu hỏi Bài toán 2: - Giải được bài toán - Không đề xuất câu hỏi Học sinhY Bài toán 1: - Không giải bài toán - Câu hỏi gợi ý: + Tách ra tính giới hạn + + ? Bài toán 2: - Không giải bài toán - Câu hỏi: + Hàm số liên tục tại điểm như thế nào? + So sánh Câu 2 Học sinh G - Học dễ quên - Khó biến đổi - Khó xác định dạng vô định Học sinh K - Kiến thức về giới hạn rất trừu tượng, đòi hỏi phải cố gắng nhiều trong quá trình học để hiểu cặn kẽ. - Có nhiều dạng bài nên có thể gây nhầm lẫn Học sinh B - Kiến thức về giới hạn rất trừu tượng, đòi hỏi phải cố gắng nhiều trong quá trình học để hiểu cặn kẽ. - Có nhiều dạng bài nên có thể gây nhầm lẫn Học sinh Y - Một số dạng bài tập lạ - Khó khăn khi gặp câu hỏi lí thuyết Câu 3 : Học sinh G Phương pháp tìm giới hạn các dạng vô định thường gặp: +) Dạng và . Thường sử dụng một số phương pháp như: phân tích thành nhân tử rồi rút gọn; nhân liên hợp; đặt ẩn phụ; chia cả tử và mẫu cho với là bậc cao nhất của biểu thức trên tử và biểu thức dưới mẫu. +) Dạng và . Thường sử dụng các phép biến đổi như: nhân liên hợp; quy đồng phân số để đưa về các dạng và . Học sinh K Phương pháp tìm giới hạn các dạng vô định thường gặp: +) Dạng : Tính trong đó và . Cách khử dạng vô định này là: phân tích đa thức thành nhân tử; nhân liên hợp. +) Dạng : Tính trong đó và . Cách khử dạng vô định này là: chia cả tử và mẫu cho với là bậc cao nhất của biểu thức trên tử và biểu thức dưới mẫu. +) Dạng và . Thường sử dụng các phép biến đổi để đưa về các dạng và Học sinh B +) Dạng và : Tính trong đó và có nghiệm . Cách khử dạng vô định này là: phân tích đa thức thành nhân tử; nhân liên hợp. +) Dạng : tức là và . tức là và . +) Dạng : . Sử dụng phương pháp nhân liên hợp. Học sinh Y +) Dạng và . +) Dạng ví dụ: +) Dạng ví dụ: PHÂN TÍCH MỘT SỐ PHIẾU HỌC TẬP CỦA 4 HS Các tiết học Chủ đề Giới hạn được thiết kế theo định hướng tổ chức các hoạt động khám phá, chúng tôi xây dựng nội dung các phiếu học tập để tổ chức các hoạt động khám phá, tìm tòi tri thức. Chúng tôi đã tiến hành theo dõi quá trình học tập của 4 HS lựa chọn nghiên cứu trường hợp thông qua kết quả bài làm của các em trên phiếu học tập trong thời gian TNSP. Sau đây là kết quả theo dõi một số phiếu: Phiếu học tập số 1 Nội dung phiếu học tập số 1 nhằm giúp HS bước đầu hình thành khái niệm "Dãy số có giới hạn 0". Hình thức tổ chức: Cá nhân mỗi HS thực hiện các nội dung trong phiếu học tập trên khổ giấy A3 Bảng 3.11. So sánh mức độ hoàn thành nhiệm vụ học tập của 4 học sinh Họ và tên học sinh Yêu cầu/Nhiệm vụ 1 2 3 1. G Nhận xét diện tích hình vuông sau bằng một nửa diện tích hình vuông trước. Có vô số hình vuông diện tích nhỏ tùy ý. Dựa vào hình vẽ chỉ ra dãy giá trị diện tích giảm dần. 2. K Nhận xét diện tích hình vuông sau bằng một nửa diện tích hình vuông trước. Có hữu hạn hình vuông diện tích nhỏ tùy ý. Xây dựng công thức, chỉ ra dãy giá trị diện tích giảm dần. 3. B Nhận xét diện tích hình vuông sau bằng một nửa. diện tích hình vuông trước. Không trả lời. Không đưa ra đáp án. 4. Y Nhận xét diện tích hình vuông sau bằng 1/4 diện tích hình vuông trước. Không trả lời. Xây dựng công thức sai. Chỉ ra dãy giá trị diện tích giảm dần. Nhận xét: Theo sự quan sát của chúng tôi, G hoàn thành nội dung trong phiếu học tập trong một thời gian khá ngắn. Đối với yêu cầu đầu tiên, em đưa ra nhận xét dựa vào hình vẽ và dựa vào công thức. Cách giải thích dựa vào hình vẽ của em rất độc đáo. Đối với yêu cầu số 2, G đưa ra đáp án "Có vô số hình vuông có diện tích nhỏ tùy ý" và đưa ra lập luận chặt chẽ giải thích nhận định này. Đối với yêu cầu số 3, G ngoài việc chỉ ra dãy giá trị diện tích hình vuông giảm dần còn nói rõ thêm đặc điểm: dãy giá trị diện tích giảm dần, gần giá trị 0 nhưng không bao giờ bằng 0. Thời gian cần thiết hoàn thành các nội dung trong phiếu học tập của K nhiều hơn G là 2 phút. Chúng tôi nhận thấy rõ sự lúng túng khi quan sát K giải quyết yêu cầu số 2 trong phiếu học tập. K đưa ra đáp án "Có hữu hạn hình vuông có diện tích nhỏ tùy ý" và không giải thích thêm tại sao lại đưa ra đáp án này. Đối với yêu cầu số 1, K xây dựng công thức tính diện tích mỗi hình vuông và nhìn vào các công thức đó để đưa ra nhận xét. Ở yêu cầu số 3, K cũng chỉ ra dãy giá trị diện tích hình vuông giảm dần thông qua công thức em xây dựng ở yêu cầu số 1. B chưa thật sự tích cực thực hiện các yêu cầu của phiếu học tập. Em dành phần lớn thời gian vào việc vẽ hình cho yêu cầu đầu tiên. B cũng đưa ra nhận xét diện tích mỗi hình vuông sau bằng một nửa diện tích hình vuông trước. Tuy nhiên, đối với yêu cầu số 2 và số 3, B không đưa ra được đáp án của mình. Ngay từ yêu cầu số 1, Y đã gặp lúng túng trong việc vẽ hình. Do vẽ hình không đúng, Y đã nhận định sai về đặc điểm dãy các giá trị diện tích hình vuông và hiển nhiên, khi dựa vào công thức để hoàn thành yêu cầu số 3 của Y cũng không chính xác. Phiếu học tập số 2 Chúng tôi xây dựng phiếu học tập số 2 nhằm giúp HS hình thành khái niệm: "Dãy số có giới hạn 0". Hình thức tổ chức hoạt động: Hoạt động nhóm Họ và tên học sinh Yêu cầu/Nhiệm vụ 1 2 3 4 5 1.G Hoàn thành tốt Nhận xét đúng Nhận xét đúng. Giải thích đúng Giá trị các số hạng gần bằng 0 Ghi lại định nghĩa trong SGK 2. K Hoàn thành tốt Nhận xét đúng Nhận xét đúng. Giải thích đúng Là dãy giảm, giá trị các số hạng gần bằng 0 Ghi lại định nghĩa giống SGK 3. B Hoàn thành tốt Nhận xét sai Nhận xét đúng. Không giải thích Các điểm biểu diễn số hạng rất gần với điểm biểu diễn số 0 trên trục số Không nêu ý kiến bản thân 4. Y Hoàn thành tốt Nhận xét đúng Nhận xét đúng. Không giải thích Dãy giảm Ghi lại định nghĩa trong sách giáo khoa Nhận xét: Chúng tôi tổ chức hoạt động nhóm theo hình thức mới. Hoạt động nhóm theo hình thức này yêu cầu tất cả các thành viên trong nhóm đều phải thực hiện các yêu cầu trong phiếu học tập. Phiếu học tập số 3 Chúng tôi xây dựng nội dung phiếu bài tập nhằm hai mục tiêu vừa kiểm tra lại nội dung kiến thức bài cũ, vừa giúp cho HS thấy mối quan hệ mật thiết giữa toán học và thực tiễn. Hình thức tổ chức hoạt động: Hoạt động cá nhân. Họ và tên học sinh Yêu cầu số 1 Yêu cầu số 2 Yêu cầu số 3 1. G Xây dựng được công thức số hạng tổng quát. của dãy số Tìm được số năm chất phóng xạ. không còn ảnh hưởng với con người. Chỉ ra được dãy số có giới hạn 0. 2. K Xây dựng được công thức số hạng tổng quát của dãy số. Làm sai. Chỉ ra được dãy số có giới hạn 0. 3. B Xây dựng được công thức số hạng tổng quát của dãy số. Không làm được Chỉ ra được dãy số có giới hạn 0. 4. Y Xây dựng được công thức số hạng tổng quát của dãy số. Không làm được. Chỉ ra được dãy số có giới hạn 0. Nhận xét: Theo sự quan sát của chúng tôi, vẫn tiếp tục phát huy thế mạnh của mình, em G hoàn thành nội dung trong phiếu học tập trong một thời gian khá ngắn. Chúng tôi thấy rất nhanh chóng, em đưa ra công thức tổng quát của dãy số trong yêu cầu đầu tiên. Đối với yêu cầu số 2, G đưa ra đáp án chính xác về số năm chất phóng xạ không còn ảnh hưởng đến con người. Đối với yêu cầu số 3, G chỉ ra dãy có giới hạn 0 thông qua việc xây dựng công thức số hạng tổng quát của dãy. Bên cạnh đó, khi được hỏi thêm, G còn phân biệt được sự khác nhau giữa năng lượng hạt nhân và vũ khí hạt nhân; ứng dụng của năng lượng hạt nhân trong công nghiệp, nông nghiệp và y học. Điều này cho thấy khả năng tự học, tự tìm tòi kiến thức và sự am thích tìm hiểu kiến thức khoa học trong cuộc sống có liên quan đến nội dung kiến thức bài học của G. Thời gian cần thiết hoàn thành các nội dung trong phiếu học tập của K nhiều hơn G. K không hoàn thành được yêu cầu số 2 trong phiếu học tập. K đưa ra đáp án sai vì không đọc kĩ yêu cầu của bài toán (Bài toán yêu cầu “tìm số năm nhỏ nhất” để chất phóng xạ không còn ảnh hưởng đối với sức khỏe con người). Đối với yêu cầu số 1, K xây dựng được công thức số hạng tổng quát của dãy số rồi từ đó đưa ra dãy có giới hạn 0 ở yêu cầu số 3 của phiếu học tập. Cả Y và B đều chỉ làm được yêu cầu 1 và số 3. Cả hai em đều không làm được yêu cầu số 2. Chúng tôi nhận thấy rõ sự lúng túng khi Y bắt đầu thực hiện yêu cầu số 2. Chúng tôi để ý, sau khoảng 45 giây, em không tiếp tục suy nghĩ tìm tòi hướng giải mà chuyển sang yêu cầu thứ ba để làm. Sau khi hoàn thiện yêu cầu thứ 3, mặc dù còn nhiều thời gian nhưng em cũng không quay lại suy nghĩ để hoàn thiện phiếu học tập. Điều này một phần cho thấy sự chưa thật sự cố gắng trong học tập của Đức Anh. Đối với Anh Tú, theo sự quan sát của chúng tôi, B khi thực hiện xong yêu cầu 1 trong phiếu học tập, em chuyển sang yêu cầu số 3 mà không làm yêu cầu thứ 2. Kết thúc tiết học, chúng tôi có phòng học học sinh PHÂN TÍCH KẾT QUẢ THỰC HIỆN DHDA CỦA 4 HS Khi GV giới thiệu cho HS là tiết học này sẽ tìm hiểu về một phương pháp học mới mà với phương pháp này các em được phát huy tối đa năng lực chủ động, sáng tạo của mình đó là phương pháp DHDA và cho HS quan sát một số dự án mẫu. Sau khi xem xong các học sinh nói chung và 4 em học sinh G, Ngọc Linh, B và Y đều rất hào hứng, sôi nổi muốn được nghiên cứu với các bạn. Em G đặt câu hỏi: “Làm thế nào để nghĩ ra được dự án? Thiết kế dự án như thế nào?”. Trong quá trình quan sát 4 học sinh G, Ngọc Linh, B và Y chúng tôi nhận thấy sau khi các bạn trình bày dự án của mình, các em đều rất sôi nổi đưa ra các câu chất vấn quanh dự án. Điều này cho thấy, phương pháp DHDA thúc đẩy sự yêu thích môn toán ở các em. Ba ngày đầu của thời gian thực hiện dự án: Các nhóm nhận nhiệm vụ, tiến hành chia tổ hoạt động, bầu chọn nhóm trưởng, tổ trưởng, nhóm trưởng phân công nhiệm vụ đến các tổ, tổ trưởng phân công nhiệm vụ đến từng thành viên trong tổ. G có nhiệm vụ thu thập thông tin từ các nguồn tài liệu khác nhau, K có nhiệm vụ biên soạn tài liệu trình bày những kiến thức về phương pháp t́m các dạng vô định. Y và B cũng rất tích cực hoàn thiện phần công việc được giao. ĐÁNH GIÁ CHUNG VỀ 4 HS Đánh giá chung về kết quả định tính trong nghiên cứu trường hợp: Chúng tôi nhận thấy rõ sự tiến bộ của các học sinh trong quá trình học tập thông qua các hoạt động học tập. Chẳng hạn, đối với học sinh G, thông qua các hoạt động học, kĩ năng hợp tác trong hoạt động nhóm của em được cải thiện rõ rệt; em đã biết phối hợp cùng các thành viên khác trong nhóm để tìm ra đáp án hoặc giảng bài cho bạn. Kĩ năng đặt câu hỏi của Trung cũng có sự tiến bộ rõ rệt. Đối với học sinh Y và B, chúng tôi nhận thấy được sự yêu thích của các em dành cho môn Toán tăng lên đáng kể sau mỗi tiết học.