Luận án Một số hệ phương trình cặp trong cơ học chất lỏng

) suy ra mfm * f trong L2(0; T ;L2( )). Do â,Z mfm
w * Z f
w trong L2(0; T ): Tø (4.34), ta câ h!e Nm; wiH1( );H10( ) * h!e N; wiH1( );H10( ) trong L2(0; T ): Sû döng (4.36), ta ÷ñcZ (mumum)
rw * Z (uu)
rw trong 8<:L2(0; T ); N = 2;L4=3(0; T ); N = 3: 93 Nâi c¡ch kh¡c, hr
(mumum); wiH1( );H10( ) * hr
(uu); wiH1( );H10( ) trong 8<:L2(0; T ); N = 2;L4=3(0; T ); N = 3: Cuèi còng, tø (4.34), ta suy ra h
um; wiV 01 ;V1 * h
u;wiV 01 ;V1 trong L2(0; T ): V¼ nhúng hëi tö n y ·u thäa m¢n trong D0(0; T ), ta l§y giîi h¤n (4.37) khi m!1 v  thu ÷ñc @(u) @t +r
(uu) 
u f !e N; w  H1( );H10( ) = 0 trong D0(0; T ) (4.39) vîi måi w 2 V m0 . Bði V1 trò mªt trong V1 n¶n (4.39) công óng vîi måi w 2 V1. M°t kh¡c, S := @(u) @t +r
(uu) 
u f !e N 2W1;1(0; T ;H1( )) v¼ u 2 L1(0; T ;L2( ))) @(u) @t 2W1;1(0; T ;L2( )); uu 2 8<:L2(0; T ;L2( )); N = 2L4=3(0; T ;L2( )); N = 3 ) r
(uu) 2 8<:L2(0; T ;H1( )2);L4=3(0; T ;H1( )3); u 2 L2(0; T; V1))
u 2 L2(0; T ;V 01); f 2 L2(0; T ;L2( )) ,!W1;1(0; T ;H1( )): Hay ta câ thº vi¸t S 2 H1( ;W1;1(0; T ))N : Tø Bê · 1.7 vîi E = W1;1(0; T ); r = 1 v  p = +1, ta suy ra tçn t¤i mët h m suy rëng p 2 L2( ;W1;1(0; T )) = W1;1(0; T ;L2( )) sao cho S = rp, tùc l  @(u) @t 
u+r
(uu) +rp = !e N + f trong W1;1(0; T ;H1( )): 94 Lªp luªn t÷ìng tü, ta công câ @() @t 
 +r
(u) = g trong W1;1(0; T ;H1( )): i·u n y ch¿ ra r¬ng (4.3) ÷ñc thäa m¢n. Chóng ta công câ thº ti¸n qua giîi h¤n (4.7) khi m ! 1. Thªt vªy, theo nhúng t½nh ch§t hëi tö trong (4.33) suy ra m !  trong D0(Q) k²o theo @t m ! @t trong D0(Q): Hìn núa, tø (4.35) v  1 = u, ta suy ra r
(mum)! r
(u) trong D0(Q): Do vªy, @t+r
(u) = 0 trong D0(Q): V¼  2 L1(Q) v  u 2 L1(0; T ;L2( )) \ L2(0; T ;L6( )), ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng n y thäa m¢n trong W1;1(0; T ;L1( )) +  L1 0; T ;H1( )
\ L20; T ;W1;6( )
: B÷îc 4: Nhúng i·u ki»n ban ¦u. Tø (4.33), ta câ m(:; 0) ! (:; 0) trong W1;1( ). Do â, nhúng i·u ki»n ban ¦u cõa m v  (4.5) d¨n ¸n (0) = 0. º chùng minh c¡c i·u ki»n ban ¦u cán l¤i trong (4.4), ta cè ành (v; ') trong V v  x²t d¢y f(vm; 'm)g 2 V m  m sao cho (vm; 'm)! (v; ') trong V . Khi âZ mum
vmdx;Z mm'mdx bà ch°n trong L1(0; T ): (4.40) Ta câ jfmjL2 ! jf jL2 trong L2(0; T ). Khi â, tçn t¤i mët d¢y con (v¨n k½ hi»u ch¿ sè m) v  mët h m K 2 L2(0; T ) sao cho jfmjL2  K h¦u kh­p (0; T ). 95 V¼ kvmk1 bà ch°n ·u, tø (4.10) ta suy raZ @(mum) @t
vmdx  = Z d dt mum
vmdx = Z  mumum
rvm ((um; vm)) + !e Nm
vm + mfm
vm  dx  C  jmumumjL2 + kumk1 + jmj+ jmfmjL2  kvmk1  C(K + Cm); (4.41) trong â Cm = jmumumjL2 + kumk1 + jmj+ jmfmjL2 bà ch°n ·u trong L2(0; T ) n¸u N = 2 v  trong L4=3(0; T ) n¸u N = 3. Tø (4.40), (4.41) v  Bê · 1.5, ta th§y r¬ng d¢y R mum
vmdx thuëc mët tªp compact C0([0; T ]). M°t kh¡c, ta câZ mum
vmdx * Z u
vdx trong L1(0; T ): Do â, Z mum
vmdx! Z u
vdx trong C0([0; T ]): T÷ìng tü, ta công câZ mm'mdx! Z 'dx trong C0([0; T ]): °c bi»t, t¤i t = 0 ta thu ÷ñcZ mum
vmdx  (0)! Z u
vdx  (0); Z mm'mdx  (0)! Z 'dx  (0): M°t kh¡c, ta công câZ m(0)um(0)
vmdx = Z m0 u m 0
vmdx! Z 0u0
vdx;Z m(0)m(0)'mdx = Z m0  m 0 ' mdx! Z 00'dx: Nh÷ vªy ta ¢ chùng minh ÷ñc c¡c i·u ki»n ban ¦u trong (4.4). 96 Cuèi còng, ta l§y giîi h¤n (4.19) khi m!1 v  tø (4.33), ta thu ÷ñc inf 0    sup 0 h¦u kh­p Q: M°t kh¡c, tø t½nh trìn cõa ; z v  z, v  lªp luªn t÷ìng tü nh÷ trong (4.24), ta thu ÷ñc z 2 N1=4;2(0; T ;W1;3( )W1;3( )): ành l½ ÷ñc chùng minh. 4.3. SÜ DUY NH‡T C I—U KI›N CÕA NGHI›M Y˜U Kh¡c vîi b i to¡n B²nard vîi mªt ë h¬ng ð Ch÷ìng 2, sü duy nh§t nghi»m cõa b i to¡n Boussinesq (4.1) công nh÷ èi vîi h» Navier-Stokes vîi mªt ë thay êi l  mët c¥u häi phùc t¤p, thªm ch½ trong tr÷íng hñp 2 chi·u (xem [11, 32]). Trong ph¦n n y, chóng tæi s³ chùng minh r¬ng nghi»m y¸u l  duy nh§t n¸u nâ õ trìn. Vi»c kiºm tra sü tçn t¤i cõa nghi»m trìn trong mët kho£ng thíi gian x¡c ành l  khæng khâ - ch¯ng h¤n n¸u 0 khæng tri»t ti¶u - v  tø ¥y ta k¸t luªn r¬ng måi nghi»m y¸u b¬ng vîi nghi»m trìn trong kho£ng thíi gian â. Chóng ta x²t nghi»m y¸u to n cöc (; z) ÷ñc cho trong ành l½ 4.1. Gi£ sû b i to¡n (4.3)-(4.4) tçn t¤i nghi»m (; z) thäa m¢n r 2 L2(0; T ;L3( ));  2 C0(Q); rz 2 L2(0; T ;L1( ) L1( )); z 2 C0(Q)N  C0(Q); zt 2 L2(0; T ;L3( ) L3( )): (4.42) Khi â ta câ k¸t qu£ sau v· sü duy nh§t nghi»m. ành l½ 4.2. Gi£ sû r¬ng (f; g) 2 L20; T ;L3( ) L3( )
v   1 p ; (4.43) trong â ; ;  l  c¡c h» sè trong (4.1) v  1 > 0 l  gi¡ trà ri¶ng ¦u ti¶n cõa
tr¶n vîi i·u ki»n bi¶n Dirichlet thu¦n nh§t. Gåi (; z) l  nghi»m cõa b i to¡n (4.1) thäa m¢n (4.42). Khi â (; z)  (; z) h¦u kh­p Q. 97 Chùng minh. Tr÷îc h¸t, vîi h¦u kh­p t 2 (0; T ), ta câZ jzj2 + 2 Z t 0 Z jruj2 + 2 Z t 0 Z jrj2 2 Z t 0 Z !e N
u  Z 0jz0j2 + 2 Z t 0 Z (f; g)
z: (4.44) Ti¸p theo, tø t½nh trìn cõa z v  (4.3) ta câ ¯ng thùc sauZ z
z +  Z t 0 Z ru
ru+  Z t 0 Z r
r Z t 0 Z !e N
u = Z 0z0
z(0) + Z t 0 Z   (uu; u)
rz + z
zt  + Z t 0 Z (f; g)
z: (4.45) V¼ (; z) l  nghi»m cõa (4.3)-(4.4) n¶n8>>>: ut 
u+ (u
r)u+rp !e N = ( ) ut + (u
r)u
+ (u u)
r
u+ f; t 
 + u
r = ( )(t + u
r) + (u u)
r + g: (4.46) Nh¥n t÷ìng ùng ph÷ìng tr¼nh thù nh§t v  thù hai cõa (4.46) vîi u v  , sau â l§y t½ch ph¥n tr¶n  (0; t), v  cëng c¡c k¸t qu£ vîi nhau ta thu ÷ñcZ t 0 Z z
zt +  Z t 0 Z ru
ru+  Z t 0 Z r
r + Z t 0 Z (uu; u)
rz = Z t 0 Z !e N
u+ Z t 0 Z ( )  zt
z + (u
r)u
u+ (u
r)  + Z t 0 Z  h (u u)
r
u
u+ (u u)
r
i+ Z t 0 Z (f; g)
z: (4.47) K¸t hñp (4.45) v  (4.47), vîi h¦u kh­p t 2 (0; T ), ta câZ z
z + 2 Z t 0 Z  ru
ru+ r
r  = Z 0z 2 0 + Z t 0 Z !e N 
u+ 
u
+ Z t 0 Z (f; g)
z + Z t 0 Z (f; g)
z + Z t 0 Z ( )  zt
z + (u
r)u
u+ (u
r)  + Z t 0 Z  h (u u)
r
u
u+ (u u)
r
i: (4.48) 98 M°t kh¡c, n¸u nh¥n l¦n l÷ñt ph÷ìng tr¼nh thù nh§t v  thù hai cõa (4.46) vîi u v  , sau â l§y t½ch ph¥n tr¶n  (0; t), ta công thu ÷ñcZ jzj2 + 2 Z t 0 Z  jruj2 + jrj2  = Z 0z 2 0 + 2 Z t 0 Z !e N
u + 2 Z t 0 Z ( )  zt
z + (u
r)u
u+ (u
r)  + 2 Z t 0 Z  h (u u)
r
u
u+ (u u)
r
i+ 2 Z t 0 Z (f; g)
z: (4.49) Ta cëng (4.44) vîi (4.49) v  trø i (4.48) d¨n ¸nZ jz zj2 + 2 Z t 0 Z  jr(u u)j2 + jr( )j2   2 Z t 0 Z !e N ( )
(u u) + 2 Z t 0 Z ( )(f; g)
(z z) + 2 Z t 0 Z  h (u u)
r
u
(u u) + (u u)
r
( )i + 2 Z t 0 Z ( )  zt
(z z) + (u
r)u
(u u) + (u
r)( )  : (4.50) Sû döng nhúng gi£ thi¸t cõa z, c¡c b§t ¯ng thùc Holder, Young v  ành l½ nhóng Sobolev (xem, ch¯ng h¤n [33, ành l½ 4.12]), ta ÷îc l÷ñng sè h¤ng thù hai v  thù ba cõa v¸ ph£i trong (4.50) nh÷ sau: tZ 0 Z ( )(f; g)
(z z)   tZ 0 0@Z j j2 1A 12 0@Z j(f; g)j3 1A 13 0@Z jz zj6 1A 16  tZ 0  C"(s) Z j j2dx  ds+ " tZ 0 Z jr(z z)j2; v  Z t 0 Z  h (u u)
r
u
(u u) + (u u)
r
( )i  Z t 0  krz(s)kL1( )L1( ) Z jz zj2dx  ds = Z t 0  C(s) Z jz zj2dx  ds: 99 Mët c¡ch t÷ìng tü, ta công câ Z t 0 Z ( )  zt
(z z) + (u
r)u
(u u) + (u
r)( )   Z t 0  C"(s) Z j j2dx  ds+ " Z t 0 Z jr(z z)j2: Cuèi còng, sû döng c¡c b§t ¯ng thùc Holder v  Cauchy, ta nhªn ÷ñc2 Z t 0 Z !e N ( )
(u u)    Z t 0 Z jr(u u)j+ 2 21 Z t 0 Z jr( )j: Thay nhúng ¡nh gi¡ tr¶n v o v¸ ph£i cõa (4.50), khi â vîi h¦u kh­p t 2 (0; T ) v  vîi måi " > 0, ta câZ jz zj2 + Z t 0 Z  jr(u u)j2 + jr( )j2   Z t 0  C(s) Z jz zj2dx+ C"(s) Z j j2dx  ds+ " Z t 0 Z jr(z z)j2; (4.51) trong â C(s); C"(s) l  c¡c h m o ÷ñc khæng ¥m trong L1(0; T ). Ti¸p theo, chóng ta s³ ÷îc l÷ñng jjL2 . V¼  v   l  nghi»m n¶n tø (4.3) ta câ @ @t ( ) + u
r( ) = (u u)
r: Nh¥n hai v¸ cõa ph÷ìng tr¼nh tr¶n vîi ( ), ta ÷ñc d dt j j2L2 = 2 Z ( )(u u)
rdx vîi måi t 2 [0; T ]. p döng c¡c b§t ¯ng thùc Holder, Cauchy v  Sobolev, ta nhªn ÷ñc j j2L2  Z t 0 Z j j2  1 2 Z jrj3  1 3 Z ju uj6  1 6  Z t 0  A"(s) Z j j2dx  ds+ " Z t 0 Z jr(u u)j2  Z t 0  A"(s) Z j j2dx  ds+ " Z t 0 Z jr(z z)j2; (4.52) vîi A(s) 2 L1(0; T ). 100 Chån " õ nhä, tø (4.51) v  (4.52) ta suy raZ jz zj2 + j j2
+  Z t 0 Z jr(z z)j2  Z t 0  A(s) Z jz zj2 + j j2
dxds; vîi A(s) 2 L1(0; T ) v   < min(; ). p döng b§t ¯ng thùc Gronwall, ta k¸t luªn z = z;  =  h¦u kh­p Q. Nhªn x²t 4.3. B¬ng c¡ch sû döng c¡c ành l½ nhóng Sobolev (xem [33, ành l½ 4.12]), chóng ta câ thº thi¸t lªp nhúng gi£ thi¸t têng qu¡t cho (4.42) bao gçm zt; (f; g) 2 L2(0; T ;Lp( )Lp( ));r 2 L2(0; T ;Lp( )), trong â p = 3 n¸u N = 3 v  p > 2 tòy þ khi N = 2. 4.4. B€I TON I—U KHIšN TÈI ×U Trong möc n y, chóng tæi x²t b i to¡n i·u khiºn tèi ÷u èi vîi h m möc ti¶u cho bði J(h; ; z) = a1 2 Z jz(x; T ) ze(x)j2dx+ a2 2 Z j(x; T ) e(x)j2dx + a01 2 ZZ Q jz(x; t) zdj2dxdt+ a 0 2 2 ZZ Q j(x; t) dj2dxdt+ b 2 ZZ !(0;T ) jhj2dxdt; (4.53) trong â ! l  tªp mð (nhä) kh¡c réng trong ; c¡c sè thüc khæng ¥m a1; a01; a2; a 0 2 vîi ½t nh§t mët sè thüc d÷ìng; h¬ng sè d÷ìng b cho bi¸t chi ph½ cõa i·u khiºn; c¡c tr¤ng th¡i mong muèn ze(x) = (ue(x); e(x)) 2 H, zd = (ud; d) 2 L2(Q)  L2(Q) v  e 2 L1( ), d 2 L1(Q) cho tr÷îc. Khi â h m mªt ë (x; t), tr¤ng th¡i z = (u; ) v  i·u khiºn h = (v; w) thäa m¢n h» Boussinesq 101 sau:8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>: @(u) @t 
u+r
(uu) +rp = !e N + v1!; (x; t) 2 Q; r
u = 0; (x; t) 2 Q; @() @t 
 +r
(u) = w1!; (x; t) 2 Q; @ @t +r
(u) = 0; (x; t) 2 Q; u = 0;  = 0; (x; t) 2P; jt=0 = 0; (u)jt=0 = 0u0; ()jt=0 = 00; x 2 ; (4.54) vîi 0; z0 = (u0; 0) cho tr÷îc. Nhªn x²t 4.4. H m möc ti¶u J trong (4.53) cung c§p cho ta nhúng thæng tin sau: "quÿ ¤o nghi»m g¦n vîi ze; e trong t¤i thíi iºm T", "quÿ ¤o nghi»m g¦n vîi zd; d trong Q". Tø ¥y, chóng tæi x²t tr÷íng hñp 0 2 L1( ); 0   > 0 h¦u kh­p : Khi â, ta câ   (x; t)  j0jL1 h¦u kh­p Q v  nhúng i·u ki»n ban ¦u trong (4.54) ÷ñc vi¸t l¤i nh÷ sau: jt=0 = 0; ujt=0 = u0; jt=0 = 0; x 2 : X²t b i to¡n sau:8>:Cüc tiºu hâa phi¸m h m J(h; ; z);trong â (; z) l  nghi»m cõa (4.54) vîi h 2 Uad: (4.55) Gi£ sû tªp i·u khiºn ch§p nhªn ÷ñc Uad l  tªp kh¡c réng, âng v  lçi. Ch¯ng h¤n, trong tr÷íng hñp ìn gi£n nh§t, ta câ thº l§y Uad = L2(!  (0; T )) L2(!  (0; T )); 102 ho°c Uad = n h = (v; w) 2 L2(!  (0; T )) L2(!  (0; T )) : jhj M o ; trong â M l  h¬ng sè d÷ìng. 4.4.1. Sü tçn t¤i nghi»m tèi ÷u Chóng ta câ k¸t qu£ têng qu¡t sau v· sü tçn t¤i nghi»m tèi ÷u cõa b i to¡n (4.55). ành l½ 4.3. Gi£ sû c¡c i·u ki»n sau ÷ñc thäa m¢n: 1. Tªp Uad  L2(!  (0; T )) L2(!  (0; T )) l  kh¡c réng, lçi v  âng. 2. J l  nûa li¶n töc d÷îi y¸u, tùc l  n¸u (hm; m; zm) l  nghi»m cõa (4.54), hm * h trong L2(!(0; T ))L2(!(0; T )), m *  trong L1(Q) v  zm * z trong L2(0; T ;V ) th¼ lim inf m!1 J(h m; m; zm)  J(h; ; z): 3. Uad bà ch°n ho°c J l  c÷ïng èi vîi h, tùc l  J(hm; m; zm)! +1 khi hm 2 Uad; khmkL2(!(0;T ))L2(!(0;T )) !1. Khi â b i to¡n tèi ÷u (4.55) câ ½t nh§t mët nghi»m. Chùng minh. Tªp c¡c i·u khiºn ch§p nhªn ÷ñc l  tªp kh¡c réng v  bà ch°n trong L2(!  (0; T ))  L2(!  (0; T )). Vîi méi c°p i·u khiºn trong L2(!  (0; T ))L2(! (0; T )), bði ành l½ 4.1, tçn t¤i mët nghi»m cõa h» (4.54). Hìn núa, h m J bà ch°n d÷îi n¶n J(h; ; z)  0. Do â, tçn t¤i infimum cõa J tr¶n tªp c¡c i·u khiºn ch§p nhªn ÷ñc v  c¡c tr¤ng th¡i, hay 0  J = inf (h;;z) J(h; ; z)  1: X²t d¢y bë ba f(hm; m; zm)g sao cho J(hm; m; zm)! J khi m!1. Tø gi£ thi¸t (3) ta suy ra r¬ng fhmg bà ch°n trong L2(!  (0; T ))  L2(!  (0; T )). Khi â, ta gi£ sû hm * h trong L2(!(0; T ))L2(!(0; T )). Theo gi£ thi¸t (1), tªp c¡c i·u khiºn l  lçi v  âng trong L2(! (0; T ))L2(! (0; T )), do â âng y¸u trong L2(!  (0; T )) L2(!  (0; T )), d¨n ¸n h 2 Uad. Theo ành l½ 4.1, ta câ d¢y f(m; zm)g bà ch°n trong L1(Q) L2(0; T ;V ) v  ta gi£ sû r¬ng m *  trong L1(Q) v  zm * z trong L2(0; T ;V ). B¬ng 103 nhúng lªp luªn t÷ìng tü nh÷ B÷îc 3 v  4 trong ành l½ 4.1, ta suy ra bë ba (h; ; z) l  nghi»m cõa h» (4.54). Cuèi còng, ta c¦n ch¿ ra J = J(h; ; z). Thªt vªt, tø gi£ thi¸t (2), ta câ J = lim m!1 J(h m; m; zm)  J(h; ; z): V¼ (h; ; z) l  ch§p nhªn ÷ñc, v  J l  infimum tr¶n tªp c¡c i·u khiºn v  tr¤ng th¡i ch§p nhªn ÷ñc, tø ¥y ta suy ra J = J(h; ; z), ta ÷ñc i·u ph£i chùng minh. 4.4.2. i·u ki»n c¦n tèi ÷u c§p mët Tr÷îc h¸t, chóng tæi chùng minh mët k¸t qu£ v· sü tçn t¤i nghi»m trìn cõa h» tuy¸n t½nh sau:8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>: c  @y @t + (a
r)y + (y
r)a  +   @a @t + (a
r)a  
y !e N'+r = f(x; t); (x; t) 2 Q; r
y = 0; (x; t) 2 Q; c  @' @t + a
r'+ y
rb  +   @b @t + a
rb  
' = g(x; t); (x; t) 2 Q; @ @t + a
r + y
rc = 0; (x; t) 2 Q; y = 0; ' = 0; (x; t) 2P; jt=0 = 0; yjt=0 = 0; 'jt=0 = 0; x 2 ; (4.56) trong â c¡c h m sè a(x; t); b(x; t); v  c(x; t) thäa m¢n rc 2 L2(0; T ;W 1;1( )); c 2 C0(Q); c(x; t)   > 0 trong Q; (ra;rb) 2 L2(0; T ;L1( ) L1( )); (a; b) 2 C0(Q)N  C0(Q); (a; b) 2 L1(0; T ;H2( )H2( )) \ L2(0; T ;H3( )H3( )); (rat;rbt) 2 L2(0; T ;L2( ) L2( )); (at; bt) 2 L2(0; T ;L3( ) L3( )): (4.57) 104 T½nh trìn cõa nghi»m ~z = (y; ') ÷ñc cho trong bê · sau. Bê · 4.4. Gi£ sû (f; g) 2 L2(0; T ;H1( )H1( )) v  c¡c h m sè  = (a; b); c thäa m¢n (4.57). Khi â tçn t¤i c¡c h m ~z(x; t); (x; t) x¡c ành trong Q v  thäa m¢n h» (4.56) sao cho ~z 2 L2(0; T ;H3( )H3( )) v   2 C1(Q): Chùng minh. Bê · ÷ñc chùng minh b¬ng c¡ch sû döng ph÷ìng ph¡p x§p x¿ nûa Galerkin nh÷ trong ành l½ 4.1. Ð ¥y chóng tæi ch¿ tr¼nh b y nhúng n²t ch½nh cõa chùng minh. Gåi wi; i t÷ìng ùng l  c¡c h m ri¶ng cõa to¡n tû Stokes P
v  to¡n tû Laplace
. Vîi t > 0, c¡c h m ym(x; t) = mX j=1 sj(t)w j(x); 'm(x; t) = mX j=1 j(t) j(x); m(x; t) ÷ñc gåi l  nghi»m mx§p x¿ cõa b i to¡n gi¡ trà ban ¦u cho h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>: R c  @ym @t + (a
r)ym + (ym
r)a  wjdx+ R   @a @t + (a
r)a  wjdx +((ym; wj)) R !e N'm
wjdx = R f
wjdx; 1  j  m;R c  @'m @t + a
r'm + ym
rb  jdx+ R   @b @t + a
rb  jdx +(('m; j)) = R g jdx; 1  j  m; (4.58) v  cho ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng @m @t + a
rm + ym
rc = 0; (4.59) vîi c¡c i·u ki»n ban ¦u sj(0) = 0; j(0) = 0;  m(0) = 0: Tr÷îc h¸t, gi£ sû ym ¢ bi¸t, chóng ta suy ra nghi»m cõa (4.59) (xem [29, Bê · 1.3]). º ìn gi£n trong c¡ch tr¼nh b y, ta vi¸t nghi»m cõa (4.58) l  (y; ') thay cho (ym; 'm). Nh¥n ph÷ìng tr¼nh thù nh§t v  thù ba cõa (4.56) l¦n l÷ñt 105 vîi yt v  't, ta ÷ñc kpc~ztk2L2( )L2( ) + min(; ) 2 d dt jr~zj2  Z !e N'
ytdx+ Z (f; g)
~ztdx Z c(ar~z + yr)
~ztdx Z (t + ar)
~ztdx: (4.60) Ti¸p theo, ta công nh¥n l¦n l÷ñt ph÷ìng tr¼nh thù nh§t v  thù ba cõa (4.56) vîi
y v 
' d¨n ¸n min(; )j
~zj2  Z c(~zt + ar~z + yr)

~zdx Z (t + ar)

~zdx Z !e N'

ydx Z (f; g)

~zdx: (4.61) B¥y gií chóng ta s³ ÷îc l÷ñng c¡c sè h¤ng cõa v¸ ph£i trong (4.60) v  (4.61). Bði c¡c gi£ thi¸t trong (4.57), c¡c b§t ¯ng thùc Holder, Cauchy v  Poincar², ta câ Z c(ar~z + yr)
~ztdx   C"jcj2L1 jaj2L1 jr~zj2 + "j~ztj2 + C"jcj2L1 jyj2jrj2L1( )L1( )  C"jr~zj2 + "j~ztj2;  Z (t + ar)
~ztdx   C"jj2L1(jtj2 + jaj2L1 jrj2) + "j~ztj2  C" + "j~ztj2; v  Z !e N'
ytdx+ Z (f; g)
~ztdx   j'jjytj+ k(f; g)kL2( )L2( )j~ztj  C"jr~zj2 + C"k(f; g)k2L2( )L2( ) + "j~ztj2 vîi måi " > 0 õ nhä. T÷ìng tü, ta câ j
~zj2  j~ztj2 + Cjr~zj2 + Ck(f; g)k2L2( )L2( ): Thay c¡c b§t ¯ng thùc tr¶n v o têng cõa (4.60) v  (4.61), vîi h¬ng sè c0 phò hñp, ta thu ÷ñc 1 2 d dt jr~zj2 + c0k p c~ztk2L2( )L2( ) + c0j
~zj2  Cjr~zj2 + Ck(f; g)k2L2( )L2( ): 106 i·u n y suy ra ~z 2 L1(0; T ;V ) \ L2(0; T ;H2( )H2( )) v  ~zt 2 L2(Q): Ti¸p theo, chóng tæi s³ chùng minh ~z 2 L2(0; T ;H3( )H3( )). L§y ¤o h m theo x hai v¸ ph÷ìng tr¼nh thù nh§t v  thù ba cõa (4.56), ta ÷ñc r
y = rc  yt + (a
r)y + (y
r)a  +r  at + (a
r)a  !e Nr'rf + c  ryt +rary + a
y +ryra+ y
a  +   rat + (ra)2 + a
a  ; r
' = rc  't + a
r'+ y
rb  +r  bt + a
rb  rg + c  r't +rar'+ a
'+ryrb+ y
b  +   rbt +rarb+ a
b  : (4.62) Nh¥n t÷ìng ùng ph÷ìng tr¼nh thù nh§t v  thù hai cõa (4.62) vîi ryt v  r't, sau â l§y t½ch ph¥n tr¶n , ta câ ¯ng thùc sau kpcr~ztk2L2( )L2( ) + min(; ) 2 d dt j
~zj2  Z !e Nr'
ryt Z rc(~zt + ar~z + yr)
r~zt Z r(t + ar)
r~zt + Z (rf;rg)
r~zt Z c(rar~z + a
~z +ryr+ y
)
r~zt Z (rt +rar+ a
)
r~zt: (4.63) T÷ìng tü nh÷ trong (4.60), ta câ ÷îc l÷ñng c¡c sè h¤ng trong (4.63) nh÷ sau: Z rc(~zt + ar~z + yr)
r~zt Z (rt +rar+ a
)
r~zt   "jr~ztj2 +C" h jrcj2L1  j~ztj2 + jaj2L1 jr~zj2 + jyj2krk2L1( )L1( )  +jj2L1  jrtj2 + jrj2jrj2L1L1( ) + jaj2L1 j
j2 i  C" + "jr~ztj2; v  Z !e Nr'
ryt + Z (rf;rg)
r~zt Z r(t + ar)
r~zt  C"  jr~zj2 + k(f; g)k2L2( )L2( ) + jrj2L1 jtj2 + jaj2L1 jrj2
+ "jr~ztj2; 107 sè h¤ng cuèi còng l  Z c rar~z + a
~z +ryr+ y


r~zt  jcj2L1 jraj2L1 jr~zj2 + jaj2L1 j
~zj2 + jr~zj2krk2L1( )L1( ) + jyj2L4k
k2L4( )L4( )
+ "jr~ztj2  C" + C"j
~zj2 + "jr~ztj2: Hìn núa, tø (4.62), ta suy ra min(; )jr
~zj2  cr~zt +rar~z + a
~z +ryr+ y

2L2( )L2( ) + kr(t + ar) (rf;rg)k2L2( )L2( ) + j !e Nr'j2L2 + rc~zt + ar~z + yr
+ rt +rar+ a

2L2( )L2( ) ; (4.64) trong â kr(t + ar) (rf;rg)k2L2( )L2( ) + j !e Nr'j2L2 jrj2L1(jtj2 + jaj2L1 jrj2) + k(rf;rg)k2L2( )L2( ) + Cjr~zj2; v  rc~zt + ar~z + yr
+ rt +rar+ a

2L2( )L2( ) jrcj2L1  j~ztj2 + jaj2L1 jr~zj2 + jyj2krk2L1( )L1( )  +jj2L1  jrtj2 + jrj2jrj2L1( )L1( ) + jaj2L1 j
j2  : Ngo i ra, sè h¤ng cuèi còng trong (4.64) bà ch°n. Thªt vªy, cr~zt+rar~z + a
~z +ryr+ y

2 L2( )L2( )  jcj2L1 jraj2L1 jr~zj2 + jaj2L1 j
~zj2 + jr~zj2krk2L1( )L1( ) + jyj2L4k
k2L4( )L4( )
+ Cjr~ztj2  C + Cj
~zj2 + Cjr~ztj2: L§y (4.63) cëng vîi (4.64), vîi " õ nhä, ta nhªn ÷ñc 1 2 d dt j
~zj2 + c1k p cr~ztk2L2( )L2( ) + c1jr
~zj2  Cj
~zj2 + Ck(rf;rg)k2L2( )L2( ): 108 B§t ¯ng thùc tr¶n suy ra ~z 2 L1(0; T ;H2( )H2( )) \ L2(0; T ;H3( )H3( )) v  ~zt 2 L2(0; T ;V ): Ti¸p theo chóng ta s³ ph¡t biºu v  chùng minh i·u ki»n c¦n tèi ÷u c§p mët. ành l½ 4.4. Gi£ sû Uad  L2(!  (0; T )) L2(!  (0; T )) l  tªp kh¡c réng, âng, lçi v  J ÷ñc cho trong (4.53). Gåi (h; ; z) l  nghi»m tèi ÷u cõa b i to¡n (4.55), gi£ sû (; z) thäa m¢n r 2 L2(0; T ;W 1;1( ));  2 C0(Q); rz 2 L2(0; T ;L1( ) L1( )); z 2 C0(Q)N  C0(Q); z 2 L1(0; T ;H2( )H2( )) \ L2(0; T ;H3( )H3( )); rzt 2 L2(Q) L2(Q); zt 2 L2(0; T ;L1( ) L1( )); (4.65) v  (4.43) thäa m¢n. Khi â, bði ành l½ 4.2, (; z) l  nghi»m y¸u duy nh§t cõa b i to¡n (4.54), v  tçn t¤i duy nh§t nghi»m y¸u (; z), vîi z = (; ), cõa b i to¡n8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:  @ @t 
 +  (u
r) + (
r)u + r r +rq = a01(u ud); (x; t) 2 Q; r
 = 0; (x; t) 2 Q;  @ @t + 
+ u
r + !e N
 = a01( d); (x; t) 2 Q; @ @t u
r +  @u @t + (u
r)u 
 +  @ @t + u
r  = a02(  d); (x; t) 2 Q;  = 0; = 0; (x; t) 2P; jt=T = a2(jt=T e); x 2 ; jt=T = a1 jt=T (u jt=T ue); jt=T = a1 jt=T ( jt=T e); x 2 : (4.66) Hìn núa, ta câ b§t ¯ng thùc sau8>: RR !(0;T ) (bh + z)(h h)dxdt  0 8h 2 Uad; h 2 Uad: (4.67) 109 Nhªn x²t 4.5. B¬ng nhúng lªp luªn t÷ìng tü nh÷ trong chùng minh cõa [40, ành l½ 2], ta chùng minh ÷ñc gi£ thi¸t (4.65) v· t½nh trìn cõa nghi»m trong b i to¡n (4.54) thäa m¢n khi c¡c dú ki»n õ trìn. Cö thº, ta câ kh¯ng ành sau. Gi£ sû (v; w) 2 H1(0; T ;L2( )  L2( )). Khi â vîi måi z0 2 H2 \ V , 0 2 C2( ) thäa m¢n 0 <   0 h¦u kh­p trong v  T > 0 cho tr÷îc. Khi â, tçn t¤i T 0 2 (0; T ] v  nghi»m duy nh§t (; z) thäa m¢n  2 C2(QT 0); z 2 L1(0; T 0;H2( )H2( )) \ L2(0; T ;H3( )H3( )); vîi N = 3. Hìn núa, T 0 = T n¸u N = 2. Ti¸p theo ta s³ chùng minh ành l½ 4.4. Chùng minh. Tr÷îc h¸t, vîi h 2 L2(!  (0; T ))  L2(!  (0; T )) v  c¡c gi£ thi¸t cõa (; z) trong (4.65), ta suy ra (; z) l  nghi»m y¸u duy nh§t cõa b i to¡n (4.54) ùng vîi h = h, tùc l 8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>: @(u) @t 
u +r
(uu) +rp = !e N + v1!; (x; t) 2 Q; r
u = 0; (x; t) 2 Q; @() @t 
 +r
(u) = w1!; (x; t) 2 Q; @ @t +r
(u) = 0; (x; t) 2 Q; u = 0;  = 0; (x; t) 2P; jt=0 = 0; ujt=0 = u0; jt=0 = 0; x 2 : (4.68) °t h = h+h vîi  2 R+ (nhä), h = (h1; h2) 2 L2(0; T ;H1(!)H1(!)) v  h 2 Uad. Gåi (; z) l  tr¤ng th¡i t÷ìng ùng vîi h. Khi â ta câ thº vi¸t (trong â s = (y; '); s = (y; ')) (; z) = (; z) + (; s) + (; s); 110 vîi8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:   @y @t + (u
r)y + (y
r)u  +   @u @t + (u
r)u  
y !e N'+r = h1; (x; t) 2 Q; r
y = 0; (x; t) 2 Q;   @' @t + u
r'+ y
r  +   @ @t + u
r  
' = h2; (x; t) 2 Q; @ @t + u
r + y
r = 0; (x; t) 2 Q; y = 0; ' = 0; (x; t) 2P; jt=0 = 0; yjt=0 = 0; 'jt=0 = 0; x 2 ; (4.69) v 8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:   @y @t + (u
r)y + (y
r)u  +   @u @t + (u
r)u  
y !e N' + U +r = 0; (x; t) 2 Q; r
y = 0; (x; t) 2 Q;   @' @t + u
r' + y
r  +   @ @t + u
r  
'+  = 0; (x; t) 2 Q; @ @t + u
r + y
r + (y + y)
r( + ) = 0; (x; t) 2 Q; y = 0; ' = 0; (x; t) 2 P ; jt=0 = 0; yjt=0 = 0; 'jt=0 = 0; x 2 : (4.70) Ð ¥y ta k½ hi»u U = ( + )  @y @t + @y @t  + (u
r)(y + y) + (y + y)
r
u  +   + ( + )  (y + y)
r
(y + y); v   = ( + )  @' @t + @' @t  + u
r('+ ') + (y + y)
r  +   + ( + )  (y + y)
r('+ ')
: 111 Bði ph²p nhóng H3( ) ,! W 1;1( ) l  li¶n töc, n¶n tø Bê · 4.4, b i to¡n (4.69) câ nghi»m s 2 L2(0; T ;W1;1( )W 1;1( )). Ti¸p theo, chóng ta s³ chùng minh  ! 0 trong L1(0; T ;L2( )); s ! 0 trong L1(0; T ;L2( ) L2( )); khi ! 0+. ¦u ti¶n ta nh¥n ph÷ìng tr¼nh thù bèn cõa (4.68), (4.69), (4.70) vîi 12y
y v  12'', sau â l§y t½ch ph¥n tr¶n ; ta công nh¥n l¦n l÷ñt ph÷ìng tr¼nh thù nh§t, thù ba v  thù bèn cõa (4.70) vîi y, ' v  . Ti¸p ¸n, ta cëng t§t c£ c¡c k¸t qu£ l¤i v  thu ÷ñc ¯ng thùc sau 1 2 d dt Z   + ( + )  s2 + 1 2 d dt Z jj2 + Z (jryj2 + jr'j2) = Z   (y
r)u
y + y
r'  Z s
(zt + urz) Z h ( + )st
s + (y + y)rs
s + (y + y)
r i  Z ( + )  urs
s + yrz
s + (y
r)u
y + y
r'  2 Z ( + )(y + y)rs
s Z y
r + Z !e N'
y: (4.71) Sû döng c¡c b§t ¯ng thùc Holder, Young, ành l½ nhóng Sobolev (ch¯ng h¤n, xem [33, ành l½ 4.12]) v  c¡c gi£ thi¸t trong (4.65), chóng ta ÷îc l÷ñng c¡c sè h¤ng cõa v¸ ph£i trong (4.71) nh÷ sau: Z   (y
r)u
y + y
r'   C(krzkL1( )L1( )) Z s2;  Z s
(zt + urz)  C"(kzt k2L3( )L3( ) + juj2L1krzk2L3( )L3( ))jj2L2 + "ksk2L6( )L6( )  C"jj2L2 + "ksk2; 112 v  Z y
r+ Z !e N'
y  C"jrj2L1 jj2L2 + "jyj2 + 1 2 jyj2 + 2 21 j'j2  C"jj2L2 + ("+ =2)kyk2 + 2 221 k'k2: Tø Bê · 4.4, ta suy ra  2 C1(Q) st 2 L2(0; T ;V ); s 2 L1(0; T ;H2( )H2( )) \ L2(0; T ;W1;1( )W 1;1( )): Sû döng k¸t luªn tr¶n ta ÷îc l÷ñng nhúng sè h¤ng cán l¤i cõa (4.71) nh÷ sau Z (y + y)rs
s =  Z yrs
s +  Z [(y
r)y
y + y
r'
'] 2C"jj2L1 jyj2L3 jrsj2 + "jyj2L6 + C(krskL1( )L1( )) Z s2 2C" + C Z s2 + "ksk2;  Z h ( + )st
s + (y + y)
r i  2C"j + j2L2kstk2L3( )L3( ) + "jyj2L6 + 2jyj2jrj2L1 + Cjj2L2 + 2C"jrj2L1 jj2L2 + "jyj2  2C" + 2C"jj2L2 + "ksk2; v    Z ( + )  urs
s + yrz
s + (y
r)u
y + y
r'   2C"j + j2L2 juj2L1 jrsj2L3( )L3( ) + "ksk2L6( )L6( ) + C(krzkL1( )L1( )) Z ( + )s 2  2C" + 2C"jj2L2 + C Z ( + )s 2  + "ksk2: 113 Sè h¤ng cuèi còng trong (4.71) ÷ñc ÷îc l÷ñng nh÷ sau2 Z ( + )(y + y)rs
s  2 Z ( + )yrs
s + 2 Z ( + )  (y
r)y
y + y
r''   4C"j + j2L2 jyj2L6 jrsj2L6( )L6( ) + "ksk2L6( )L6( ) + C(krskL1( )L1( )) Z ( + )s 2  4C" + 4C"jj2L2 + C Z ( + )s 2  + "ksk2: Tø nhúng b§t ¯ng thùc tr¶n v  vîi " õ nhä, ta suy ra d dt Z   + ( + )  s2 + d dt Z jj2 +  Z jrsj2  C Z   + ( + )  s2 + [C" 2(2 + 1) + C"] Z 2 +  2C"( 2 + 1): p döng b§t ¯ng thùc Gronwall, ta nhªn ÷ñcZ   + ( + )  s2 + jj2
 4 + 2 4 + 2 + 1 expfC"(4 + 2 + 1)tg  4 + 2 4 + 2 + 1 : Do vªy,  ! 0 trong L1(0; T ;L2( )); s ! 0 trong L1(0; T ;L2( ) L2( )); khi ! 0+. Theo gi£ thi¸t, ta câ J(h; ; z) J(h; ; z)  0. M°t kh¡c, J(h; ; z) J(h; ; z) =  0B@a1 Z (z ze)(s+ s) + a2 Z ( e)( + ) + b ZZ !(0;T ) h
h 1CA +  0@a01 ZZ Q (z zd)(s+ s) + a02 ZZ Q ( d)( + ) + Z 1A  0; (4.72) 114 trong â Z = 2 Z  a1(s+ s) 2 + a2( + ) 2  dx + ZZ Q  a01(s+ s) 2 + a02( + ) 2  dxdt+ b ZZ !(0;T ) jhj2dxdt  ; v  rã r ng Z ! 0 khi ! 0+. Chia hai v¸ cõa (4.72) cho  v  l§y giîi h¤n khi ! 0+, ta câ a1 Z (z ze)sdx+ a2 Z ( e)dx +a01 ZZ Q (z zd)sdxdt+ a02 ZZ Q ( d)dxdt+ b ZZ !(0;T ) h:hdxdt  0: (4.73) Chóng tæi x²t h» tuy¸n t½nh (4.66), ¥y l  h» li¶n hñp cõa (4.69). Lªp luªn t÷ìng tü nh÷ trong ành l½ 4.1 v  ành l½ 4.2, ta suy ra b i to¡n (4.66) câ duy nh§t mët nghi»m y¸u (; z) thäa m¢n  2 L1(Q); z 2 L1(0; T ;H) \ L2(0; T ;V ): Hìn núa, sû döng t½ch ph¥n tøng ph¦n, ta câ thº kiºm tra ÷ñc a1 Z (z ze)sdx+ a2 Z ( e)dx +a01 ZZ Q (z zd)sdxdt+ a02 ZZ Q ( d)dxdt = ZZ !(0;T ) z
hdxdt: ¯ng thùc tr¶n còng vîi (4.73) cho ta b§t ¯ng thùcZZ !(0;T ) (bh + z)
hdxdt  0: B§t ¯ng thùc tr¶n óng vîi måi h câ d¤ng h = 1 (hh) vîi h 2 Uad, tø ¥y ta suy ra (4.67). Chùng minh ÷ñc ho n th nh. 115 4.5. B€I TON THÍI GIAN TÈI ×U Trong möc n y, chóng tæi x²t b i to¡n tèi ÷u trong â thíi gian c¦n thi¸t º g¦n vîi tr¤ng th¡i mong muèn âng vai trá quan trång. Cö thº, x²t h m möc ti¶u I(h; ; z) = 1 2 T (h; z; ze; )2 + b 2 ZZ !(0;T ) jhj2dxdt; ð â ze = (ue; e) 2 H,  > 0 v  T (h; z; ze; ) := inffT > 0 : ju(:; T ) uej  ; j(:; T ) ej  g: Chóng tæi s³ chùng minh sü tçn t¤i cõa nghi»m tèi ÷u, sau â d¨n ¸n h» tèi ÷u t÷ìng ùng. 4.5.1. Sü tçn t¤i nghi»m tèi ÷u X²t tªp lçi âng Uad  L2(! (0; T0))L2(! (0; T0)) vîi T0 > 0 cè ành v  E0 = f(h; ; z) : h 2 Uad; (; z) l  nghi»m cõa (4.54) trong  (0; T0)g: Khi â E0  L2(!  (0; T0))  L2(!  (0; T0))  E0, ð â E0 l  khæng gian nghi»m cõa b i to¡n (4.54) trong  (0; T0), tùc l  c°p (; z) thäa m¢n8>: 2 L 1(  (0; T0)); z 2 L1(0; T0;H) \ L2(0; T0;V ): Chóng ta x²t b i to¡n thíi gian tèi ÷u sau8>: T¼m (h; ; z) 2 E0 sao cho I(h; ; z) = min (h;;z)2E0 I(h; ; z): (4.74) Tr÷îc h¸t º chùng minh sü tçn t¤i nghi»m tèi ÷u, chóng ta c¦n bê · sau. 116 Bê · 4.5. °t T n := T (hn; zn; ze; ); T  := T (h; z; ze; ); v  gi£ sû eT = lim n!+1T  n < T : Khi â z(:; eT ) ze; ~z
  p2k~zk; 8~z 2 V: (4.75) Chùng minh. X²t zn l  mët d¢y trong E0, bði ành l½ 4.1, ta câ zn 2 L1(0; T0;H) \ L2(0; T0;V ); znt 2 L(0; T0;V 0); ( = 2 n¸u N = 2 v   = 4=3 n¸u N = 3): Ta vi¸tz(:; eT ) ze; ~z
  z(:; eT ) z(:; T n); ~z
 + z(:; T n) zn(:; T n); ~z
+ zn(:; T n) ze; ~z
: Chó þ r¬ng zn * z trong L1(0; T ;H) v  znt * zt trong L (0; T ;V 0), ta suy ra zn ! z trong C0([0; T ];V 0). Do â, vîi måi ~z 2 V , ta câz(:; T n) zn(:; T n); ~z
  Ckz(:; T n) zn(:; T n)kk~zk  kzn zkC0([0;T0];V 0)k~zk ! 0: (4.76) Hìn núa, v¼ T n ! eT v  z 2 C0w([0; T0];H) d¨n ¸n z(:; T n) * z(:; eT ) trong H, do vªy z(:; eT ) z(:; T n); ~z
! 0: (4.77) Cuèi còng, tø ành ngh¾a cõa T n , ta ÷ñczn(:; T n) ze; ~z
  jzn(:; T n) zejjzj  p2jzj: (4.78) Tø (4.76)-(4.78) ta suy ra (4.75). B¥y gií chóng tæi s³ ch¿ ra b i to¡n (4.74) câ nghi»m. ành l½ 4.5. Gi£ sû tªp hñp c¡c bë ba (h; ; z) chùa trong E0 sao cho I(h; ; z) < +1 l  kh¡c réng. Khi â, b i to¡n (4.74) tçn t¤i ½t nh§t mët nghi»m. 117 Chùng minh. Tªp Uad âng y¸u trong L2(! (0; T0))L2(! (0; T0)) v  I l  c÷ïng. Nh÷ vªy, ta ch¿ c¦n chùng minh I l  nûa li¶n töc d÷îi y¸u trong chu©n E0. X²t d¢y f(hn; n; zn)g  E0 sao cho hn * h trong L2(!(0; T0))L2(! (0; T0)) v  (n; zn) * (; z) trong E0. Khi â l°p l¤i chùng minh trong ành l½ 4.1 ta suy ra (; z) l  nghi»m cõa (4.54) trong  (0; T0) vîi h = h. Hìn núa, ta câ lim inf n!+1 ZZ !(0;T0) jhnj2dxdt  ZZ !(0;T0) jhj2dxdt: M°t kh¡c, n¸u T n := T (hn; zn; ze; ) v  T  := T (h; z; ze; ) th¼ lim inf n!+1 T  n  T : Thªt vªy, n¸u kh¯ng ành tr¶n l  sai, khi â ta câ thº gi£ sû T n ! eT v  thäa m¢n eT = lim n!+1T  n < T : (4.79) M°t kh¡c, v¼ eT p2, i·u n y tr¡i vîi k¸t luªn cõa Bê · 4.5. Do â lim inf n!+1 T  n  T : ¥y l  i·u c¦n chùng minh. 4.5.2. i·u ki»n c¦n tèi ÷u c§p mët Chóng tæi x²t h m möc ti¶u  cho bði8>>>: (T; h) = T 2 2 + b 2 ZZ (0;T0) jhj2dxdt; 8(T; h) 2 [0; T0] L2(!  (0; T0)) L2(!  (0; T0)): Khi â, b i to¡n (4.74) ÷ñc vi¸t l¤i nh÷ sau8>>>>>>>>>>>>>>>: Cüc tiºu hâa phi¸m h m (T; h); trong â T 2 [0; T0]; (h; ; z) 2 E0; ju(:; T ) uej  ; j(:; T ) ej  : 118 Bði l½ do hiºn nhi¶n, ta công câ thº vi¸t l¤i b i to¡n tr¶n d÷îi d¤ng sau8>>>>>>>>>>>>>>>: Cüc tiºu hâa phi¸m h m (T; h); trong â T 2 [0; T0]; (h; ; z) 2 E0; ju(:; T ) uej = j(:; T ) ej = : (4.80) º thuªn ti»n cho vi»c x²t b i to¡n (4.80), chóng tæi x²t mæ h¼nh ìn gi£n hìn nh÷ sau: 8>>>>>>>>>>>>>>>: @ @t 
 = ; (x; t) 2 Q; r
 = 0; (x; t) 2 Q;  = 0; (x; t) 2P; jt=0 = 0; x 2 : (4.81) Gåi (T ; ) l  nghi»m cõa b i to¡n8>>>>>>>>>>>>>>>>>: Cüc tiºu hâa phi¸m h m (T; ) = T 2 2 + b 2 ZZ !(0;T ) jj2dxdt; trong â T 2 [0; T0]; (; ) l  nghi»m cõa (4.81); j(:; T ) ej = ; (4.82) v  gi£ sû T  2 [0; T0],  2 int Uad chó þ r¬ng trong tr÷íng hñp n y th¼ Uad  L2(!  (0; T ))
. Gåi  l  tr¤ng th¡i ùng vîi  v  gi£ sû 9 > 0 sao cho t 7! (:; t) thuëc lîp C1 trong [T  ; T ]: Chóng ta s³ t¼m (T ; ) l m cüc tiºu phi¸m h m  vîi c¡c i·u ki»n E(; ) := (t 
 ; (:; 0) 0) = (0; 0); V (T; ) := 1 2 j(:; T ) ej2  2 2 = 0: 119 B¬ng c¡ch sû döng ành l½ Lagrange, khi â tçn t¤i c¡c nh¥n tû 0;  2 R, c¡c h m ( (x; t); (x)) (khæng çng thíi b¬ng 0) v  0 = 0h0(T ; ); (S;m)i h( ; ); E0(; )(m; y)i+ hV 0(T ; ); (S; y)i = 0 0B@T S + b ZZ !(0;T) mdxdt 1CA ZZ (0;T) (yt 
y m)dxdt (; y(:; 0)) +  h S (:; T ) e; t (:; T )
+ (:; T ) e; y(:; T )
i vîi måi S;m v  y. N¸u ta chån S = 1; y = m = 0 th¼ 0T  +  (:; T ) e; t (:; T )
= 0: (4.83) Tr÷íng hñp S = m = 0, vîi måi y, ta câZZ (0;T) (yt 
y)dxdt+ (; y(:; 0))  (:; T ) e; y(:; T )
= 0; i·u n y d¨n ¸n b i to¡n8>>>>>>>: t 
= 0 trong  (0; T ); = 0 tr¶n @  (0; T ); (x; T ) =  (x; T ) e(x)
trong ; (4.84) v  (x) = (x; 0) trong : (4.85) Cuèi còng, n¸u chån S = 0, vîi måi y v  m th¼ + 0b  = 0 trong !  (0; T ): (4.86) Tø (4.83), (4.85) v  (4.86) suy ra  6= 0. Thªt vªy, n¸u  = 0 th¼ 0 = 0;  0 v   = 0, i·u n y l  væ l½. Hìn núa, h m sè t 7! 12 j(:; t) ej2 l  khæng t«ng t¤i t = T  n¶n (:; T ) e; t (:; T )
 0. Tø (4.83) ta suy ra 0 6= 0. Khæng m§t t½nh 120 têng qu¡t, ta câ thº gi£ sû 0 = 1, khi â (4.86) v  (4.83) trð th nh + b = 0 trong !  (0; T ) v  T  = (:; T ) e; t (:; T )
: B¬ng c¡ch lªp luªn t÷ìng tü nh÷ b i to¡n (4.82), ta nhªn ÷ñc k¸t qu£ quan trång sau. ành l½ 4.6. Gi£ sû nhúng i·u ki»n trong ành l½ 4.4 thäa m¢n v  (T ; h) l  nghi»m cõa (4.80) ùng vîi tr¤ng th¡i (; z). Ta gi£ sû r¬ng 0 < T  < T0; 9 > 0 sao cho t 7! z(:; t) thuëc lîp C1 trong [T  ; T ]; (4.87) v  u(:; T ) ue; ut (:; T )
< 0; (:; T ) e; t (:; T )
< 0; (4.88) k½ hi»u E l  khæng gian n«ng l÷ñng ùng vîi T . Ta công gi£ sû (; z) l  nghi»m cõa (4.65) v  (4.43) thäa m¢n, d¨n ¸n (; z) l  nghi»m y¸u duy nh§t cõa (4.54) (ành l½ 4.2) ùng vîi T = T  v  h = h. Khi â, tçn t¤i 1; 2 2 R v  nghi»m y¸u (; z) 2 E, trong â z = (; ), cõa b i to¡n sau8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:  @ @t 
 +  (u
r) + (
r)u + r r +rq = 0; (x; t) 2  (0; T ); r
 = 0; (x; t) 2  (0; T );  @ @t + 
+ u
r + !e N
 = 0; (x; t) 2  (0; T ); @ @t u
r +  @u @t + (u
r)u 
 +  @ @t + u
r  = 0; (x; t) 2  (0; T );  = 0; = 0; (x; t) 2 @  (0; T ); jt=T = 0; x 2 ; jt=T = 1 jt=T (u jt=T ue); jt=T = 2 jt=T ( jt=T e); x 2 : (4.89) 121 Hìn núa, ta câ b§t ¯ng thùc sau8>: RR !(0;T) (bh + z)(h h)dxdt  0 8h 2 Uad; h 2 Uad; vîi thíi gian tèi ÷u T  = P[0;T0]  1 u(:; T ) ue; ut (:; T )
2(:; T ) e; t (:; T )
; (4.90) v  ju(:; T ) uej = j(:; T ) ej =  thäa m¢n. Ð ¥y P[0;T0] : R+ ! [0; T0] l  ph²p chi¸u trüc giao. Nhªn x²t 4.6. Chóng tæi gi£i th½ch v· gi£ thi¸t (4.88). Gi£ sû T 2 (0; T0), h 2 int Uad v  (4.87) thäa m¢n th¼ rã r ng (:; T )e; t (:; T )
 0. N¸u ta câ (:; T ) e; t (:; T )
= 0 th¼ tø (4.83) v  (4.86) ch¿ ra r¬ng 0 = 0 v  = 0 trong !  (0; T ): V¼ nghi»m cõa h» (4.84) thäa m¢n t½nh ch§t th¡c triºn duy nh§t (xem trong [18]) n¶n tø (4.85), ta câ  = 0. Chó þ r¬ng ½t nh§t mët nh¥n tû  ph£i kh¡c 0 n¶n tø ph÷ìng tr¼nh cuèi còng trong (4.84) ta suy ra (x; T ) = e(x) trong : i·u n y l  væ l½ v  ta k¸t luªn (:; T ) e; t (:; T )
< 0. Chùng minh. Vîi S 2 R, h = (h1; h2) 2 L2(0; T ;H1(!) H1(!)) v  h 2 Uad,  2 R+ (nhä), ta °t T := T  + S 2 [0; T0]; h := h + h 2 Uad: (4.91) Gåi (; z) l  tr¤ng th¡i ùng vîi i·u khiºn h v  gi£ sû r¬ng ju(:; T ) uej = j(:; T ) ej = : Theo gi£ thi¸t v  (4.91), ta câ (T; h) (T ; h) =  T S + b ZZ !(0;T0) h:hdxdt ! + 2 2 S2 + b ZZ !(0;T0) jhj2dxdt !  0: 122 Hìn núa, 2 S2 + b ZZ !(0;T0) jhj2dxdt ! ! 0 khi ! 0+: Chia hai v¸ b§t ¯ng thùc tr¶n cho  v  l§y giîi h¤n khi  ! 0+, ta nhªn ÷ñc T S + b ZZ !(0;T0) h:hdxdt  0: (4.92) Theo chùng minh trong ành l½ 4.4, ta câ thº vi¸t (; z) = (; z) + (; s) + (; s); trong â s = (y; '), s = (y; ') vîi (; s) v  (; s) t÷ìng ùng l  nghi»m cõa c¡c b i to¡n tuy¸n t½nh (4.69) v  (4.70). Lªp luªn t÷ìng tü nh÷ trong ành l½ 4.4, ta câ (; s); (; s) 2 E0 v   ! 0 trong L1(0; T0;L2( )); s ! 0 trong L1(0; T0;L2( ) L2( )); khi ! 0+. Hìn núa 0 = ju(:; T ) uej2 2 = j u(:; T ) u(:; T )
+ u(:; T ) ue
j2 2 = ju(:; T ) u(:; T )j2 + 2  u(:; T ) u(:; T ); u(:; T ) ue  : Tø u(:; T ) u(:; T ) = y(:; T ) + ut (:; T )S + O() trong H1; trong â O()! 0, cho ! 0 ta suy ra u(:; T ) ue; ut (:; T )
S = u(:; T ) ue; y(:; T )
: T÷ìng tü, ta câ (:; T ) e; t (:; T )
S = (:; T ) e; '(:; T )
: Gåi 1; 2 2 R sao cho 1 u(:; T ) ue; ut (:; T )
2(:; T ) e; t (:; T )
= T ; (4.93) 123 v  (; z) l  nghi»m cõa h» tuy¸n t½nh li¶n hñp (4.89). Hìn núa, ta câ T S = 1S u(:; T ) ue; ut (:; T )
2S(:; T ) e; t (:; T )
=  1  u(:; T ) ue  ; y(:; T )  +  2  (:; T ) e  ; '(:; T )  = (:; T )(:; T ); y(:; T )
+ (:; T )(:; T ); '(:; T )
: Sû döng t½ch ph¥n tøng ph¦n, ta kiºm tra ÷ñc T S = ZZ !(0;T0) z
hdxdt: Tø (4.92), ta câ b§t ¯ng thùcZZ !(0;T0) (z + bh)
hdxdt  0: M°t kh¡c, v¼ T  2 (0; T0) v  1; 2 cho trong (4.93) n¶n ta câ (4.90). ành l½ ÷ñc chùng minh. Chó þ cuèi ch÷ìng. Tø c¡c k¸t qu£ trong ch÷ìng n y, trong tr÷íng hñp nhi»t ë   0, ta thu l¤i ÷ñc c¡c k¸t qu£ t÷ìng ùng v· sü tçn t¤i, t½nh duy nh§t câ i·u ki»n cõa nghi»m y¸u, b i to¡n i·u khiºn tèi ÷u v  b i to¡n thíi gian tèi ÷u cõa h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes vîi mªt ë thay êi trong [11]. K˜T LUŠN CH×ÌNG 4 Trong ch÷ìng n y, chóng tæi nghi¶n cùu h» Boussinesq câ mªt ë thay êi trong mi·n bà ch°n hai ho°c ba chi·u. C¡c k¸t qu£ ¤t ÷ñc bao gçm: 1) Chùng minh ÷ñc sü tçn t¤i v  t½nh duy nh§t câ i·u ki»n cõa nghi»m y¸u (ành l½ 4.1, ành l½ 4.2). 2) Chùng minh ÷ñc sü tçn t¤i nghi»m v  thi¸t lªp ÷ñc i·u ki»n c¦n tèi ÷u c§p mët cõa b i to¡n i·u khiºn tèi ÷u v  b i to¡n thíi gian tèi ÷u (c¡c ành l½ 4.3-4.6). 124 K˜T LUŠN 1. K˜T QUƒ „T ×ÑC Trong luªn ¡n n y, chóng tæi nghi¶n cùu mët sè h» ph÷ìng tr¼nh c°p khæng ætænæm trong cì håc ch§t läng, bao gçm h» B²nard, h» MHD hai chi·u v  h» Boussinesq hai ho°c ba chi·u vîi mªt ë (khèi l÷ñng) thay êi. C¡c k¸t qu£ ¤t ÷ñc bao gçm: 1) èi vîi h» B²nard v  h» MHD hai chi·u trong mi·n thäa m¢n b§t ¯ng thùc Poincar²: Chùng minh ÷ñc sü tçn t¤i duy nh§t nghi»m y¸u, sü tçn t¤i v  ¡nh gi¡ ÷ñc sè chi·u fractal cõa tªp hót lòi. 2) èi vîi h» Boussinesq câ mªt ë thay êi trong mi·n bà ch°n: Chùng minh ÷ñc sü tçn t¤i v  t½nh duy nh§t câ i·u ki»n cõa nghi»m y¸u, chùng minh ÷ñc sü tçn t¤i nghi»m tèi ÷u v  thi¸t lªp ÷ñc i·u ki»n c¦n tèi ÷u c§p mët cho b i to¡n i·u khiºn tèi ÷u vîi phi¸m h m möc ti¶u d¤ng to n ph÷ìng v  b i to¡n thíi gian tèi ÷u. 2. KI˜N NGHÀ MËT SÈ V‡N — NGHI–N CÙU TI˜P THEO B¶n c¤nh c¡c k¸t qu£ ¢ ¤t ÷ñc trong luªn ¡n, mët sè v§n · mð li¶n quan c¦n ÷ñc ti¸p töc nghi¶n cùu:  Nghi¶n cùu t½nh trìn cõa tªp hót lòi cõa h» B²nard v  h» MHD nhªn ÷ñc trong luªn ¡n.  Nghi¶n cùu t½nh ên ành v  b i to¡n ên ành hâa nghi»m døng cõa c¡c h» B²nard v  h» MHD. 125  Nghi¶n cùu t½nh ch½nh qui nghi»m cõa h» Boussinesq vîi mªt ë thay êi.  Nghi¶n cùu b i to¡n i·u khiºn ÷ñc èi vîi h» Boussinesq vîi mªt ë thay êi. 126 T i li»u tham kh£o [1] A. Carvalho, J.A. Langa and J.C. Robinson (2013) Attractors for Infinite- Dimensional Non-Autonomous Dynamical Systems. Appl. Math. Sci., 182. Berlin: Springer, 409 p. 1 [2] A.V. Fursikov (2000) Optimal Control of Distributed Systems. Theory and Applications. Amer. Math. Soc. [3] B. Guo and X. Du (2005) The exponential attractor for the equations of thermohydraulics. Acta Math. Sci., Ser. B, Engl. Ed., 25, 317-325. [4] C. Bardos and B. Nicolaenko (2002) Navier-Stokes equations and dynam- ical systems. Handbook of dynamical systems, Vol. 2, 503-597, NorthHol- land, Amsterdam. [5] C. Cao and J. Wu (2010) Two regularity criteria for the 3D MHD equa- tions. J. Differ. Equations, 248, 2263-2274. [6] C. Foias, O. Manley and R. Temam (1987) Attractors for the B²nard prob- lem: existence and physical bounds on their fractal dimension. Nonlinear Anal., 11, 939-967. [7] C.G. Gal and M. Grasselli (2010) Asymptotic behavior of a Cahn- Hilliard-Navier-Stokes system in 2D. Ann. Inst. Henri Poincar², Anal. Non Lin²aire, 27, 401-436. 1Vi»c tr¼nh b y c¡c t i li»u tham kh£o ð ¥y, v· thù tü v  h¼nh thùc, l  theo qui ành cõa cì sð  o t¤o. 127 [8] C.G. Gal and M. Grasselli (2010) Longtime behavior for a model of homo- geneous incompressible two-phase flows. Discrete Contin. Dyn. Syst., 28 (1), 1-39. [9] C.T. Anh and D.T. Son (2014) Finite-dimensional pullback attractors for non-autonomous Newton-Boussinesq equations in some two-dimensional unbounded domains. Bull. Pol. Acad. Sci. Math., 62, 265-289. [10] C. Zhao and K. Li (2004) On existence, uniqueness and Lr-exponential stability for stationary solutions to the MHD equations in three dimen- sional domains. ANZIAM J., 46, 95-109. [11] E. Fern¡ndez-Cara (2012) Motivation, analysis and control of the variable density Navier-Stokes equations. Dis. Cont. Dyn. Sys. Series S, 5, 1021- 1090. [12] E. Hopf (1955) On nonlinear partial differential equations. Lectures series of the symposium on PDE, Berkeley, 1-29. [13] G. Duvaut and J.-L. Lions (1972) Les In²quations en M²canique et Physique. Dunod, Paris. [14] G. Fucci, B. Wang and P. Singh (2009) Asymptotic behavior of the Newton-Boussinesq equation in a two-dimensional channel. Nonlinear Anal., 70, 2000-2013. [15] G.P. Galdi (2012) Navier-Stokes equations: a mathematical analysis. Mathematics of complexity and dynamical systems. Vols. 1-3, 1009-1042, Springer, New York. [16] J.A. Langa, G. Lukaszewicz and J. Real (2007) Finite fractal dimension of pullback attractors for non-autonomous 2D Navier-Stokes equations in some unbounded domains. Nonlinear Anal., 66, 735-749. 128 [17] J.C. Robinson (2001) Infinite-Dimensional Dynamical Systems. Cam- bridge University Press, Cambridge. [18] J.C. Saut and B. Scheurer (1987) Unique continuation for some evolution equations. J. Differential Equations, 66, 118-139. [19] J.L. Lions (1969) Quelques M²thodes de R²solution des Probl±mes aux Limites non Lin²aires. Paris: Dunod, Gauthier-Villars. [20] J.M. Ball (2004) Global attractor for damped semilinear wave equations. Discrete Contin. Dyn. Syst., 10, 31-52. [21] J.M. Coron (2007) Control and Nonlinearity. Mathematical Surveys and Monographs, 136. American Mathematical Society, Providence, RI. [22] J.M. Ghidaglia, M. Marion and R. Temam (1988) Generalization of the Sobolev-Lieb-Thirring inequalities and applications to the dimension of attractors. Diff. Int. Equa., 1, 1-21. [23] J. Simon (1990) Nonhomogeneous viscous incompressible fluids: existence of velocity, density, and pressure. SIAM J. Math. Anal., 21, 1093-1117. [24] M. Cabral, R. Rosa and R. Temam (2004) Existence and dimension of the attractor for the B²nard problem on channel-like domains. Disc. Cont. Dyna. Syst., 10, 89-116. [25] M.E. Schonbek, T.P. Schonbek and E. Suli (1996) Large-time behavior of solutions to the magneto-hydrodynamics equations. Math. Ann., 304, 717-756. [26] M. Grasselli and H. Wu (2011) Finite dimensional global attractor for a system modeling the 2D nematic liquid crystal flow. Z. Angew. Math. Phys., 62, 979-992. 129 [27] M. Holst, E. Lunasin and G. Tsogtgerel (2010) Analysis of a general family of regularized Navier-Stokes and MHD models. J. Nonlinear Sci., 20, 523- 567. [28] M. Sermange and R. Temam (1983) Some mathematical questions related to the MHD equations. Commun. Pure Appl. Math., 36, 635-664. [29] O.A. Ladyzhenskaya and V.A. Solonnikov (1978) Unique solvability of an initial and boundary value problem for viscous incompressible non- homogeneous fluids. J. Sov. Math., 9, 697-749. [30] O. Manley, M. Marion and R. Temam (1993) Equations for combustion in the presence of complex chemistry. Indiana Univ. Math. J., 42 , 941-967. [31] P. Constantin and C. Foias (1988) Navier-Stokes Equations. Chicago Lec- tures in Mathematics, University of Chicago Press, Chicago. [32] P.-L. Lions (1996)Mathematical Topics in Fluid Mechanics. Vol I: Incom- pressible Models. Oxford University Press, New York. [33] R.A. Adams and J.F. Founier (2003) Sobolev Spaces. 2nd edition, Elsevier. [34] R. Agapito and M. Schonbek (2007) Non-uniform decay of MHD equations with and without magnetic diffusion. Commun. Partial Differ. Equations, 32, 1791-1812. [35] R. Brown, P. Perry and Z. Shen (2000) On the dimension of the attractor for the non-homogeneous Navier-Stokes equations in nonsmooth domains. Indiana Univ. Math. J., 49, 81-112. [36] R. Danchin (2003) Density-dependent incompressible fluids in critical spaces. Proc. Roy. Soc. Edinburgh, 133, 1311-1334. 130 [37] R. Danchin (2003) Navier-Stokes equations with variable density. Hyper- bolic Problems and Related Topics, International Press, Graduate Series in Analysis, 121-135. [38] R. DiPerna and P.-L. Lions (1989) Ordinary differential equations, trans- port theory and Sobolev spaces. Invent. Math., 98, 511-547. [39] R. Rosa (1998) The global attractor for the 2D Navier-Stokes flow on some unbounded domains. Nonlinear Anal., 32, 71-85. [40] R. Salvi (1991) The equations of viscous incompressible nonhomogeneous fluid: on the existence and regularity. J. Australian Math. Soc. Series B, 33, 94-110. [41] R. Temam (1979) Navier-Stokes Equations: Theory and Numerical Anal- ysis. 2nd edition, Amsterdam: North-Holland. [42] R. Temam (1995) Navier-Stokes Equations and Nonlinear Functional Analysis. 2nd edition, Philadelphia. [43] R. Temam (1997) Infinite Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics. 2nd edition, Springer-Verlag, New York. [44] R. Temam (2000) Some developments on Navier-Stokes equations in the second half of the 20th century. Development of Mathematics 1950-2000, Birkhauser, Basel, 1049-1106. [45] R. Temam and X. Wang (1995) Asymptotic analysis of the linearized Navier-Stokes equations in the 2D channel. Diff. Int. Equ., 8, 1591-1618. [46] S.A. Antontsev and A.V. Kazhikov (1973) Mathematical Study of Flows of Nonhomogeneous Fluids. Lectures at the University of Novosibirsk, Novosibirsk, USSR. 131 [47] S. Bosia (2012) Well-posedness and long term behavior of a simplified Ericksen-Leslie non-autonomous system for nematic liquid crystal flows. Comm. Pure Appl. Anal., 11, 407-441. [48] S. Chen (1982) Symmetry analysis of convection on patterns. Comm. Theor. Phys., 1, 413-426. [49] S. Gala (2012) A new regularity criterion for the 3D MHD equations in R3. Comm. Pure Appl. Anal., 11, 1353-1360. [50] S.S. Dragomir (2003) Some Gronwall Type Inequalities and Applications. Nova Science Publishers, New York. [51] T. Caraballo, G. Lukaszewicz and J. Real (2006) Pullback attractors for asymptotically compact non-autonomous dynamical systems. Nonlinear Anal., 64, 484-498. [52] T.G. Cowling (1957) Magnetohydrodynamics. Interscience Tracts Phys. Astronom., 4, Interscience, New York. [53] V.V. Chepyzhov and M.I. Vishik (1994) Attractors for non-autonomous dynamical systems and their dimension. J. Math. Pures Appl., 73, 279- 333. [54] X. Jia and Y. Zhou (2012) Regularity criteria for the 3D MHD equations via partial derivatives. Kinetic and Related Models, 5, 505-516. [55] X.L. Song and Y.R. Hou (2012) Pullback D-attractors for the non- autonomous Newton-Boussinesq equation in two-dimensional bounded do- main. Discrete Contin. Dyn. Syst., 32, 991-1009. 132 DANH MÖC CC CÆNG TRœNH ‚ CÆNG BÈ CÕA LUŠN N 1. C.T. Anh and D.T. Son (2013), Pullback attractors for non-autonomous 2D B²nard problem in some unbounded domains, Mathematical Methods in the Applied Sciences 36, 1664-1684. (ISI) 2. C.T. Anh and D.T. Son (2015), Pullback attractors for non-autonomous 2D MHD equations in some unbounded domains, Annales Polonici Math- ematici 113, 129-154. (ISI) DANH MÖC CC CÆNG TRœNH KHOA HÅC CÕA TC GIƒ LI–N QUAN ˜N LUŠN N 3. C.T. Anh and D.T. Son, On the weak solutions to the variable density Boussinesq system, submitted (2015). 4. C.T. Anh and D.T. Son, Optimal control problems of the variable density Boussinesq system, submitted (2015).