Luận án tiến sĩ Vật lí Nghiên cứu ảnh hưởng của sự giam giữ phonon lên một số hiệu ứng cộng hưởng do tương tác của electron - Phonon trong giếng lượng tử

(−1)m/2Lz + 1 2 [ Lz (2 +m)pi 2 sin( (2 +m)pi 2 ) + Lz (2−m)pi2 sin( (2−m)pi 2 )] } , m = 2, 4, 6, · · · . Khi m ̸= 2, ta có Gm−11 = 1 Lz { Lz mpi 2 sin( mpi 2 )− (−1)m/2Lz + 1 2 [ Lz (2 +m)pi 2 sin( (2 +m)pi 2 ) P.6 + Lz (2−m)pi2 sin( (2−m)pi 2 )] } = −(−1)m/2. (P.14) Khi m = 2, ta có Gm−11 = 2 Lz ∫ Lz/2 −Lz/2 sin2( piz Lz + pi 2 )[cos( mpiz Lz )− (−1)m/2]dz = 2 Lz ∫ Lz/2 −Lz/2 cos2( piz Lz )[cos( 2piz Lz ) + 1]dz = 1 Lz ∫ Lz/2 −Lz/2 [1 + cos( 2piz Lz )][cos( 2piz Lz ) + 1]dz = 1 Lz ∫ Lz/2 −Lz/2 [ cos( 2piz Lz ) + 1 + cos2( 2piz Lz ) + cos( 2piz Lz ) ] dz = 1 Lz ∫ Lz/2 −Lz/2 [ cos( 2piz Lz ) + 1 + 1 2 [1 + cos( 4piz Lz )] + cos( 2piz Lz ) ] dz = 1 Lz { Lz 2pi sin( 2piz Lz ) + z + 1 2 [z + Lz 4pi sin( 4piz Lz )] + Lz 2pi sin( 2piz Lz ) }∣∣∣∣Lz/2 −Lz/2 = 1 Lz { Lz 2pi 2 sin(pi) + ( Lz 2 − −Lz 2 ) + 1 2 [( Lz 2 − −Lz 2 ) + Lz 4pi 2 sin(2pi)] + Lz 2pi 2 sin(pi) } = 3 2 , (P.15) kết hợp (P.14) và (P.15), ta thu được Gm−11 = 3 2 δm,2 − (−1)m/2(1− δm,2), m = 2, 4, 6, · · · . (P.16) Thay (1.4) và (1.33) vào (P.12) và xét dịch chuyển giữu hai mức liên vùng con thấp nhất (nα = 1, nη = 2), ta được Gm+12 = 2 Lz ∫ Lz/2 −Lz/2 sin( piz Lz + pi 2 )[sin( µmpiz Lz ) + cm Lz z] sin( 2piz Lz + pi)dz = 2 Lz ∫ Lz/2 −Lz/2 cos( piz Lz )[sin( µmpiz Lz ) + cm Lz z][− sin(2piz Lz )]dz = − 2 Lz ∫ Lz/2 −Lz/2 cos( piz Lz )[sin( µmpiz Lz ) + cm Lz z] sin( 2piz Lz )dz = − 2 Lz ∫ Lz/2 −Lz/2 { cos( piz Lz ) sin( µmpiz Lz ) sin( 2piz Lz ) + cos( piz Lz ) cm Lz z sin( 2piz Lz ) } dz = − 2 Lz ∫ Lz/2 −Lz/2 { cos( piz Lz ) {− 1 2 [ cos( (µm + 2)piz Lz )− cos((µm − 2)piz Lz ) ]} + cm Lz z {1 2 [ sin( 3piz Lz ) + sin( piz Lz ) ]}} dz = 1 Lz ∫ Lz/2 −Lz/2 { cos( piz Lz ) cos( (µm + 2)piz Lz )− cos(piz Lz ) cos( (µm − 2)piz Lz ) P.7 −cm Lz z sin( 3piz Lz )− cm Lz z sin( piz Lz ) } dz = 1 Lz ∫ Lz/2 −Lz/2 { 1 2 [ cos( (µm + 3)piz Lz ) + cos( (µm + 1)piz Lz ) ] −1 2 [ cos( (µm − 1)piz Lz ) + cos( (µm − 3)piz Lz ) ]− cm Lz z sin( 3piz Lz )− cm Lz z sin( piz Lz ) } dz = 1 Lz { Lz 2(µm + 3)pi sin( (µm + 3)piz Lz ) + Lz 2(µm + 1)pi sin( (µm + 1)piz Lz ) − Lz 2(µm − 1)pi sin( (µm − 1)piz Lz )− Lz 2(µm − 3)pi sin( (µm − 3)piz Lz ) }∣∣∣∣Lz/2 −Lz/2 − I1− I2 = 1 (µm + 3)pi sin( (µm + 3)pi 2 ) + 1 (µm + 1)pi sin( (µm + 1)pi 2 ) − 1 (µm − 1)pi sin( (µm − 1)pi 2 )− 1 (µm − 3)pi sin( (µm − 3)pi 2 )− I1− I2 = 1 (µm + 3)pi sin( 3pi 2 + µmpi 2 ) + 1 (µm + 1)pi sin( pi 2 + µmpi 2 ) − 1 (µm − 1)pi sin( −pi 2 + µmpi 2 )− 1 (µm − 3)pi sin( −3pi 2 + µmpi 2 )− I1− I2 = − 1 (µm + 3)pi cos( µmpi 2 ) + 1 (µm + 1)pi cos( µmpi 2 ) + 1 (µm − 1)pi cos( µmpi 2 )− 1 (µm − 3)pi cos( µmpi 2 )− I1− I2 = 2µm pi cos( µmpi 2 ) [ 1 µ2m − 1 − 1 µ2m − 9 ] − I1(P.17)− I2(P.17), (P.17) trong đó I1(P.17) = 1 Lz ∫ Lz/2 −Lz/2 cm Lz z sin( 3piz Lz )dz = − 1 Lz cm Lz Lz 3pi ∫ Lz/2 −Lz/2 zd ( cos( 3piz Lz ) ) dz = − cm 3piLz ∫ Lz/2 −Lz/2 zd ( cos( 3piz Lz ) ) dz = − cm 3piLz [ z cos( 3piz Lz ) ∣∣Lz/2 −Lz/2 − ∫ Lz/2 −Lz/2 cos( 3piz Lz )dz ] = − cm 3piLz [ z cos( 3piz Lz ) ∣∣Lz/2 −Lz/2 − Lz 3pi sin( 3piz Lz ) ∣∣Lz/2 −Lz/2 ] = − cm 3piLz [ 2 Lz 2 cos( 3pi 2 )− Lz 3pi 2 sin( 3pi 2 ) ] = −2cm 9pi2 , (P.18) I2(P.17) = 1 Lz ∫ Lz/2 −Lz/2 cm Lz z sin( piz Lz )dz = − 1 Lz cm Lz Lz pi ∫ Lz/2 −Lz/2 zd ( cos( piz Lz ) ) dz P.8 = − cm piLz ∫ Lz/2 −Lz/2 zd ( cos( piz Lz ) ) dz = − cm piLz [ z cos( piz Lz ) ∣∣Lz/2 −Lz/2 − ∫ Lz/2 −Lz/2 cos( piz Lz )dz ] = − cm piLz [ z cos( piz Lz ) ∣∣Lz/2 −Lz/2 − Lz pi sin( piz Lz ) ∣∣Lz/2 −Lz/2 ] = − cm piLz [ 2 Lz 2 cos( pi 2 )− Lz pi 2 sin( pi 2 ) ] = 2cm pi2 , (P.19) thay (P.18) và (P.19) vào (P.17), ta thu được Gm+12 = − 16cm 9pi2 + 2µm pi cos( µmpi 2 ) [ 1 µ2m − 1 − 1 µ2m − 9 ] = −16cm 9pi2 + 2µm pi [− cm µmpi ] [ 1 µ2m − 1 − 1 µ2m − 9 ] = −16cm 9pi2 − 2cm pi2 [ 1 µ2m − 1 − 1 µ2m − 9 ] = −2cm pi2 { 8 9 + [ 1 µ2m − 1 − 1 µ2m − 9 ]} , m = 3, 5, 7, · · · . (P.20) Thay (1.4) và (1.34) vào (P.12) và xét dịch chuyển giữu hai mức liên vùng con thấp nhất (nα = 1, nη = 2), ta được Gm−12 = 2 Lz ∫ Lz/2 −Lz/2 sin( piz Lz + pi 2 )[cos( mpi Lz z)− (−1)m/2] sin(2piz Lz + pi)dz = 2 Lz ∫ Lz/2 −Lz/2 cos( piz Lz )[cos( mpi Lz z)− (−1)m/2][− sin(2piz Lz )]dz = − 2 Lz ∫ Lz/2 −Lz/2 cos( piz Lz )[cos( mpi Lz z)− (−1)m/2] sin(2piz Lz )dz = − 2 Lz ∫ Lz/2 −Lz/2 [ cos( piz Lz ) cos( mpi Lz z) sin( 2piz Lz ) − cos(piz Lz )(−1)m/2 sin(2piz Lz ) ] dz = I1(P.21)− I2(P.21), (P.21) trong đó I1(P.21) = − 2 Lz ∫ Lz/2 −Lz/2 cos( piz Lz ) cos( mpi Lz z) sin( 2piz Lz )dz = − 1 Lz ∫ Lz/2 −Lz/2 cos( piz Lz ) [ sin( (2 +m)piz Lz ) + sin( (2−m)piz Lz ) ] dz = − 1 Lz ∫ Lz/2 −Lz/2 [ cos( piz Lz ) sin( (2 +m)piz Lz ) + cos( piz Lz ) sin( (2−m)piz Lz ) ] dz P.9 = − 1 Lz ∫ Lz/2 −Lz/2 { 1 2 [ sin( (3 +m)piz Lz ) + sin( (1 +m)piz Lz ) ] + 1 2 [ sin( (3−m)piz Lz ) + sin( (1−m)piz Lz ) ]} dz = 0, (P.22) vì hàm dưới dấu tích phân của I1(P.21) là hàm lẻ nên kết quả tích phân cho bằng không và không phụ thuộc vào giá trị của m. I2(P.21) = − 2 Lz ∫ Lz/2 −Lz/2 cos( piz Lz )(−1)m/2 sin(2piz Lz )dz = − 2 Lz (−1)m/2 ∫ Lz/2 −Lz/2 cos( piz Lz ) sin( 2piz Lz )dz = − 1 Lz (−1)m/2 ∫ Lz/2 −Lz/2 [ sin( 3piz Lz ) + sin( piz Lz ) ] dz = 0, (P.23) thay (P.22) và (P.23) vào (P.21), ta thu được Gm−12 = 0, m = 2, 4, 6, · · · . (P.24) Từ kết quả trên, cho thấy rằng chỉ có các mode chẵn mới cho đóng góp trong sự dịch chuyển nội vùng con và cac mode lẻ mới cho đóng góp trong sự dịch chuyển liên vùng con. Phụ lục 4 Biểu thức của Gmφnαnη ở phương trình (1.32) có dạng Gmφnαnη = ∫ ∞ −∞ ϕ∗nη(z)umφ(z)ϕnα(z)dz. (P.25) Để thuận tiện trong việc kí hiệu, ta đặt nα ≡ n và nη ≡ n′. Thay (1.11) và (1.33) vào (P.25), ta được Gm+nn′ = 1 az √ pin!n′!2n+n′ ∫ ∞ −∞ exp(−z 2 a2z )Hn( z az )Hn′( z az ) [ sin( µmpi Lz z) + cm Lz z ] dz = 1 az √ pin!n′!2n+n′ [ ∫ ∞ −∞ exp(−z 2 a2z )Hn( z az )Hn′( z az ) sin( µmpi Lz z)dz + ∫ ∞ −∞ exp(−z 2 a2z )Hn( z az )Hn′( z az ) cm Lz zdz ] = 1 az √ pin!n′!2n+n′ [ I1(P.26) + I2(P.26) ] , m = 3, 5, 7, · · · , (P.26) trong đó I1(P.26) = ∫ ∞ −∞ exp(−z 2 a2z )Hn( z az )Hn′( z az ) sin( µmpi Lz z)dz, P.10 I2(P.26) = ∫ ∞ −∞ exp(−z 2 a2z )Hn( z az )Hn′( z az ) cm Lz zdz. Khi n và n′ đều lẻ hoặc đều chẵn, ta có: lúc này, hàm dưới dấu tích phân của I1(P.26) và I1(P.26) đều là hàm lẻ, do đó I1(P.26) = I2(P.26) = 0, (P.27) thay (P.27) vào (P.26), ta thu được Gm+nn′ = 0, m = 3, 5, 7, · · · . (P.28) Khi n lẻ và n′ chẵn hoặc ngược lại, ta có: lúc này, hàm dưới dấu tích phân của I1(P.26) là hàm chẵn, do đó I1(P.26) được viết lại như sau I1(P.26) = ∫ ∞ −∞ exp(−z 2 a2z )Hn( z az )Hn′( z az ) sin( µmpi Lz z)dz = 2 ∫ ∞ 0 exp(−z 2 a2z )Hn( z az )Hn′( z az ) sin( µmpi Lz z)dz = 2 ∫ ∞ 0 exp(−z 2 a2z ) sin( µmpi Lz z)Hn( z az )Hn′( z az )dz, (P.29) áp dụng [17]∫ ∞ 0 e−x 2 sin(bx)Hn(x)Hn+2ℓ+1(x)dx = 2 n−1(−1)ℓ√pin!b2ℓ+1e− b 2 4 L2ℓ+1n ( b2 2 ), (P.30) xét sự dịch chuyển giữa hai mức vùng con liên tiếp (n′ = n + 1), khi đó từ biểu thức (P.30) ta suy ra ℓ = 0. Lúc này I1(P.26) ở phương trình (P.29), được viết lại thành I1(P.26) = 2 ∫ ∞ 0 exp(−z 2 a2z ) sin( µmpi Lz z)Hn( z az )Hn′( z az )dz = 2az ∫ ∞ 0 exp(−u2) sin(µmpiaz Lz u)Hn(u)Hn+1(u)du = 2az2 n−1√pin!µmpiaz Lz exp(−µ 2 mpi 2a2z 4L2z )L1n( µ2mpi 2a2z 2L2z ), (P.31) trong đó, ta đã đặt u = z/az. I2(P.26) = ∫ ∞ −∞ exp(−z 2 a2z )Hn( z az )Hn′( z az ) cm Lz zdz = cma 2 z Lz ∫ ∞ −∞ u exp(−u2)Hn(u)Hn+1(u)du, (P.32) áp dụng [17] Hn+1(u) = 2uHn(u)− 2nHn−1(u), ta suy ra uHn(u) = 1 2 Hn+1(u) + nHn−1(u), (P.33) P.11 thay (P.33) vào (P.32), ta được I2(P.26) = cma 2 z Lz ∫ ∞ −∞ exp(−u2) [ 1 2 Hn+1(u) + nHn−1(u) ] Hn+1(u)du = cma 2 z Lz [ 1 2 ∫ ∞ −∞ exp(−u2)Hn+1(u)Hn+1(u)du+n ∫ ∞ −∞ exp(−u2)Hn−1(u)Hn+1(u)du ] = cma 2 z Lz (1 2 I21 + nI22 ) , (P.34) trong đó I21 = ∫ ∞ −∞ exp(−u2)Hn+1(u)Hn+1(u)du, I22 = ∫ ∞ −∞ exp(−u2)Hn−1(u)Hn+1(u)du, áp dụng [17] ∫ ∞ −∞ exp(−u2)Hn(u)Hℓ(u)du = { 0 khi n ̸= ℓ, 2nn! √ pi khi n = ℓ, (P.35) ta được I21 = 2n+1(n+ 1)! √ pi, I22 = 0, (P.36) thay (P.36) vào (P.34), ta được I2(P.26) = cma 2 z 2Lz 2n+1(n+ 1)! √ pi. (P.37) Thay (P.37) và (P.31) vào (P.26), ta thu được Gm+nn′ = √ n!2n−n′ n′! [ µmpiaz Lz exp(−µ 2 mpi 2a2z 4L2z )L1n( µ2mpi 2a2z 2L2z ) + (n+ 1) cmaz Lz ] , m = 3, 5, 7, · · · . (P.38) Chẳng hạn, trong giới hạn lượng tử, xét sự dịch chuyển liên vùng con giữa hai mức thấp nhất (n = 0, n′ = 1), từ phương trình (P.38) ta được Gm+01 = 1√ 2 [ µmpiaz Lz exp(−µ 2 mpi 2a2z 4L2z )L10( µ2mpi 2a2z 2L2z ) + cmaz Lz ] , m = 3, 5, 7, · · · . (P.39) Thay (1.11) và (1.34) vào (P.25), ta được Gm−nn′ = 1 az √ pin!n′!2n+n′ ∫ ∞ −∞ exp(−z 2 a2z )Hn( z az )Hn′( z az ) [ cos( mpi Lz z)− (−1)m/2 ] dz = 1 az √ pin!n′!2n+n′ [ ∫ ∞ −∞ exp(−z 2 a2z )Hn( z az )Hn′( z az ) cos( mpi Lz z)dz P.12 − ∫ ∞ −∞ exp(−z 2 a2z )Hn( z az )Hn′( z az )(−1)m/2dz ] = 1 az √ pin!n′!2n+n′ [ I1(P.40)− I2(P.40)], m = 2, 4, 6, · · · , (P.40) trong đó I1(P.40) = ∫ ∞ −∞ exp(−z 2 a2z )Hn( z az )Hn′( z az ) cos( mpi Lz z)dz, I2(P.40) = ∫ ∞ −∞ exp(−z 2 a2z )Hn( z az )Hn′( z az )(−1)m/2dz. Khi n và n′ đều lẻ hoặc đều chẵn, ta có: lúc này, hàm dưới dấu tích phân của I1(P.40) là hàm chẵn, do đó I1(P.40) được viết lại như sau I1(P.40) = ∫ ∞ −∞ exp(−z 2 a2z )Hn( z az )Hn′( z az ) cos( mpi Lz z)dz = 2 ∫ ∞ 0 exp(−z 2 a2z )Hn( z az )Hn′( z az ) cos( mpi Lz z)dz = 2az ∫ ∞ 0 exp(−u2)Hn(u)Hn′(u) cos(mpiaz Lz u)du = 2az ∫ ∞ 0 exp(−u2) cos(mpiaz Lz u)Hn(u)Hn′(u)du, (P.41) áp dụng [17]∫ ∞ 0 e−x 2 cos(bx)Hn(x)Hn+2ℓ(x)dx = 2 n− 1 2 √ pi 2 n!(−1)ℓb2ℓe− b 2 4 L2ℓn ( b2 2 ), (P.42) xét sự dịch chuyển nội vùng con (n′ = n) (tức là, n và n′ sẽ thỏa mãn điều kiện đều lẻ hoặc đều chẵn ở trên), khi đó từ biểu thức (P.42) ta suy ra ℓ = 0. Lúc này I1(P.40) ở phương trình (P.41), được viết lại thành I1(P.40) = 2az ∫ ∞ 0 exp(−u2) cos(mpiaz Lz u)Hn(u)Hn′(u)du = 2az2 n− 1 2 √ pi 2 n! exp(−m 2pi2a2z 4L2z )L0n( m2pi2a2z 2L2z ). (P.43) I2(P.40) = ∫ ∞ −∞ exp(−z 2 a2z )Hn( z az )Hn′( z az )(−1)m/2dz = (−1)m/2az ∫ ∞ −∞ exp(−u2)Hn(u)Hn′(u)du, (P.44) áp dụng kết quả (P.35), ta được I2(P.40) = (−1)m/2az2nn! √ pi. (P.45) Thay (P.43) và (P.45) vào (P.40), ta thu được Gm−nn′ = √ n!2n−n′ n′! [ exp(−m 2pi2a2z 4L2z )L0n( m2pi2a2z 2L2z )− (−1)m/2 ] , m = 2, 4, 6, · · · . (P.46) P.13 Chẳng hạn, trong giới hạn lượng tử, xét sự dịch chuyển nội vùng con thấp nhất (n = n′ = 0), từ phương trình (P.46) ta được Gm−00 = exp(− m2pi2a2z 4L2z )L0n( m2pi2a2z 2L2z )− (−1)m/2, m = 2, 4, 6, · · · . (P.47) Khi n lẻ và n′ chẵn hoặc ngược lại, ta có: lúc này, hàm dưới dấu tích phân của I1(P.40) và I2(P.40) đều là hàm lẻ, do đó I1(P.40) = I2(P.40) = 0, (P.48) thay (P.48) vào (P.40), ta thu được Gm−nn′ = 0, m = 2, 4, 6, · · · . (P.49) Chẳng hạn, trong giới hạn lượng tử, xét sự dịch chuyển liên vùng con giữa hai mức thấp nhất (n = 0, n′ = 1), ta được Gm−01 = 0, m = 2, 4, 6, · · · . (P.50) Phụ lục 5 Phương trình Liouville cho toán tử A bất kỳ không phụ thuộc tường minh vào thời gian là: i~∂A ∂t = [Heq, A] = LeqA, và thỏa mãn: ∂A(t) ∂t |t=0 = 0 thì eiHeqt/~Ae−iHeqt/~ = eiLeqt/~A. (P.51) Khai triển maclaurin VT của (P.51), ta được: V T = ∞∑ n=0 ∂n ∂tn (eiHeqt/~Ae−iHeqt/~)|t=0 t n n! = ∞∑ i=0 Bi B0 = A(0), B1 = ∂ ∂t (eiHeqt/~Ae−iHeqt/~)|t=0t = ( i ~ Heqe iHeqt/~Ae−iHeqt/~ + eiHeqt/~ ∂A ∂t e−iHeqt/~ + eiHeqt/~A −i ~ Heqe −iHeqt/~)|t=0t = i ~ {eiHeqt/~(HeqA− AHeq)e−iHeqt/~}|t=0t = i ~ {eiHeqt/~[Heq, A]e−iHeqt/~}|t=0t = i ~ [Heq, A]t = i ~ LeqAt, P.14 B2 = ∂2 ∂t2 (eiHeqt/~Ae−iHeqt/~)|t=0 t 2 2! = i ~ ∂ ∂t {eiHeqt/~[Heq, A]e−iHeqt/~}|t=0 t 2 2! = ( i ~ )2{eiHeqt/~(Heq[Heq, A]− [Heq, A]Heq)e−iHeqt/~}|t=0 t 2 2! = ( i ~ )2{eiHeqt/~[Heq, [Heq, A]]e−iHeqt/~}|t=0 t 2 2! = ( i ~ )2{eiHeqt/~[Heq, LeqA]e−iHeqt/~}|t=0 t 2 2! = ( i ~ )2{eiHeqt/~Leq[Heq, A]e−iHeqt/~}|t=0 t 2 2! = ( i ~ )2{eiHeqt/~LeqLeqAe−iHeqt/~}|t=0 t 2 2! = ( i ~ )2LeqLeqA t2 2! . Tương tự cho B3, B4, ... V T = A(0) + i ~ LeqAt+ ( i ~ )2LeqLeqA t2 2! + · · · . Khai triển maclaurin VP của (P.51), ta được: V P = ∞∑ n=0 (iLeqt/~)n n! A = A(0) + i ~ LeqAt+ ( i ~ )2LeqLeqA t2 2! + · · · . Như vậy ta có VT = VP. Phụ lục 6 Ta có hệ thức sau đây suy ra từ tính chất hoán vị vòng của vết: TR{A[B,C]} = TR{ABC − ACB} = TR{CAB − CBA} = TR{C[A,B]}. (P.52) Sử dụng kết quả đó, ta có TR{A[B, [C,D]f ]} = TR{D[f [A,B], C]}. (P.53) Thật vậy, V T = TR{A[B, [C,D]f ]} = TR{A[B,CDf ]− A[B,DCf ]}. = TR{CDf [A,B]−DCf [A,B]} = TR{Df [A,B]C −DCf [A,B]} = TR{D[f [A,B], C]} = V P. P.15 Phụ lục 7 Thực hiện tính tích phân sau 〈J (2)k 〉ens = − 1 ~2 lim ∆→0+ ∫ ∞ 0 dt1 ∫ ∞ 0 dt2TR { ρeq[e −iLeqt2/~[e−iLeqt1/~Jk, − i ω1 ∑ ℓ E0ℓe −iω¯1(t−t1)Jℓ],− i ω2 ∑ p E0pe −iω¯2(t−t1−t2)Jp]} = 1 ~2ω1ω2 lim ∆→0+ ∑ ℓ,p ∫ ∞ 0 dt1 ∫ ∞ 0 dt2 × TR { ρeq[e −iLeqt2/~[e−iLeqt1/~Jk, E0ℓe−iω¯1(t−t1)Jℓ], E0pe−iω¯2(t−t1−t2)Jp]} = 1 ~2ω1ω2 lim ∆→0+ ∑ ℓ,p TR { ρeq [ ∫ ∞ 0 dt2e −i(Leq−~ω¯2)t2/~ × [ ∫ ∞ 0 dt1e −i(Leq−~ω¯1−~ω¯2)t1/~Jk, Jℓ ] , Jp ]}E0ℓe−iω¯1tE0pe−iω¯2t = 1 ~2ω1ω2 lim ∆→0+ ∑ ℓ,p TR { ρeq [ ~ −i(Leq − ~ω¯2) × [ ~−i(Leq − ~ω¯1 − ~ω¯2)Jk, Jℓ], Jp]}E0ℓe−iω¯1tE0pe−iω¯2t = 1 ω1ω2 lim ∆→0+ ∑ ℓ,p TR { ρeq [ −i (~ω¯2 − Leq) × [ −i (~ω¯1 + ~ω¯2 − Leq)Jk, Jℓ ] , Jp ]}E0ℓe−iω¯1tE0pe−iω¯2t = −1 ω1ω2 lim ∆→0+ ∑ ℓ,p TR { ρeq [ (~ω¯2 − Leq)−1 × [(~ω¯1 + ~ω¯2 − Leq)−1Jk, Jℓ], Jp]}E0ℓe−iω¯1tE0pe−iω¯2t = −1 ω1ω2 lim ∆→0+ ∑ ℓ,p TR { ρeq [ (~ω¯2 − Leq)−1 × [(~(ω¯1 + ω¯2)− Leq)−1Jk, Jℓ], Jp]}E0ℓe−iω¯1tE0pe−iω¯2t = − 1 ω1ω2 lim ∆→0+ ∑ ℓ,p TR { ρeq [ (~ω¯2 − Leq)−1 [ (~ω¯12 − Leq)−1Jk, Jℓ ] , Jp ]} × Eℓ(ω¯1)Ep(ω¯2). P.16 Phụ lục 8 Từ định nghĩa toán tử chiếu (1.80) và (1.81), ta có các hệ thức sau P 20X = P0P0X = 〈P0X〉αβ 〈a+γ aδ〉αβ a+γ aδ = 〈 〈X〉αβ 〈a+γ aδ〉αβ a + γ aδ 〉 αβ 〈a+γ aδ〉αβ a+γ aδ = 〈X〉αβ 〈a+γ aδ〉αβ a+γ aδ ≡ P0X, Q20 = Q0Q0 = (1− P0)(1− P0) = 1− 2P0 + P 20 = 1− 2P0 + P0 = 1− P0 ≡ Q0, P0Q0 = P0(1− P0) = P0 − P 20 = P0 − P0 ≡ 0, Q0P0 = (1− P0)P0 = P0 − P 20 = P0 − P0 ≡ 0. Ngoài ra, khi X = a+γ aδ, ta có P0a + γ aδ ≡ 〈a+γ aδ〉αβ 〈a+γ aδ〉αβ a+γ aδ = a + γ aδ, Q0a + γ aδ ≡ (1− P0)a+γ aδ = a+γ aδ − P0a+γ aδ = a+γ aδ − a+γ aδ = 0. Phụ lục 9 Với các toán tử sinh và hủy điện tử, ta có giao hoán tử [a+1 a2, a + 3 a4] = a + 1 a4δ2,3 − a+3 a2δ1,4 (P.54) Chứng minh [a+1 a2, a + 3 a4] = a + 1 a2a + 3 a4 − a+3 a4a+1 a2 = a+1 a2a + 3 a4 − a+3 (δ1,4 − a+1 a4)a2 = a+1 a2a + 3 a4 − a+3 a2δ1,4 + a+3 a+1 a4a2 = a+1 a2a + 3 a4 − a+3 a2δ1,4 + a+1 a+3 a2a4 = a+1 a2a + 3 a4 − a+3 a2δ1,4 + a+1 (δ2,3 − a2a+3 )a4 = a+1 a2a + 3 a4 − a+3 a2δ1,4 + a+1 a4δ2,3 − a+1 a2a+3 a4 = a+1 a4δ2,3 − a+3 a2δ1,4 P.17 Phụ lục 10 Lda + γ aδ = [Hd, a + γ aδ] = [He +Hp, a + γ aδ] = [He, a + γ aδ] + [Hp, a + γ aδ] = [He, a + γ aδ] = [ ∑ η a+η aηEη, a + γ aδ] = ∑ η Eη[a + η aη, a + γ aδ] = ∑ η Eη(a + η aδδη,γ − a+γ aηδη,δ) = (Eγ − Eδ)a+γ aδ = Eγ,δa + γ aδ (P.55) Phụ lục 11 Ta tính 〈(~ω¯ − Leq)−1a+γ aδ〉αβ của Λαβ(ω¯). Bằng cách tác dụng P0 +Q0 = 1 về bên phải của toán tử Leq, ta được (~ω¯ − Leq)−1a+γ aδ = (~ω¯ − Leq(P0 +Q0))−1a+γ aδ = ((~ω¯ − LeqQ0)− LeqP0)−1a+γ aδ. (P.56) Sử dụng đẳng thức (AB) [28]: (A−B)−1 = A−1+A−1B(A−B)−1, đối với phương trình (P.56), ta có (~ω¯ − Leq)−1a+γ aδ = a+γ aδ ~ω¯ + Leq〈(~ω¯ − Leq)−1a+γ aδ〉αβ ~ω¯〈a+γ aδ〉αβ a+γ aδ + LeqQ0(~ω¯ − LeqQ0)−1Leq 〈(~ω¯ − Leq)−1a+γ aδ〉αβ ~ω¯〈a+γ aδ〉αβ a+γ aδ = SH1(P.57) + SH2(P.57) + SH3(P.57), (P.57) trong đó ta đã tính đến Q0Lda + γ aδ = 0 hay Q0a + γ aδ = 0. Thay Leq = Ld + Lv vào SH2(P.57) và SH3(P.57) SH2(P.57) = (Ld + Lv)〈(~ω¯ − Leq)−1a+γ aδ〉αβ ~ω¯〈a+γ aδ〉αβ a+γ aδ (P.58) = Ld〈(~ω¯ − Leq)−1a+γ aδ〉αβ ~ω¯〈a+γ aδ〉αβ a+γ aδ + Lv〈(~ω¯ − Leq)−1a+γ aδ〉αβ ~ω¯〈a+γ aδ〉αβ a+γ aδ = Eγδ〈(~ω¯ − Leq)−1a+γ aδ〉αβ ~ω¯〈a+γ aδ〉αβ a+γ aδ + Lv〈(~ω¯ − Leq)−1a+γ aδ〉αβ ~ω¯〈a+γ aδ〉αβ a+γ aδ, P.18 trong đó ta đã sử dụng Lda + γ aδ = Eγδa + γ aδ (Phụ lục 10). SH3(P.57) = LeqQ0(~ω¯ − LeqQ0)−1Ld 〈(~ω¯ − Leq)−1a+γ aδ〉αβ ~ω¯〈a+γ aδ〉αβ a+γ aδ + LeqQ0(~ω¯ − LeqQ0)−1Lv 〈(~ω¯ − Leq)−1a+γ aδ〉αβ ~ω¯〈a+γ aδ〉αβ a+γ aδ = LeqQ0(~ω¯ − LeqQ0)−1Eγδ 〈(~ω¯ − Leq)−1a+γ aδ〉αβ ~ω¯〈a+γ aδ〉αβ a+γ aδ + LeqQ0(~ω¯ − LeqQ0)−1Lv 〈(~ω¯ − Leq)−1a+γ aδ〉αβ ~ω¯〈a+γ aδ〉αβ a+γ aδ = LeqQ0(~ω¯ − LeqQ0)−1Lv 〈(~ω¯ − Leq)−1a+γ aδ〉αβ ~ω¯〈a+γ aδ〉αβ a+γ aδ. (P.59) Thay (P.58) và (P.59) vào (P.57), ta suy ra (~ω¯ − Leq)−1a+γ aδ = a+γ aδ ~ω¯ + Eγδ〈(~ω¯ − Leq)−1a+γ aδ〉αβ ~ω¯〈a+γ aδ〉αβ a+γ aδ + Lv〈(~ω¯ − Leq)−1a+γ aδ〉αβ ~ω¯〈a+γ aδ〉αβ a+γ aδ + LeqQ0(~ω¯ − LeqQ0)−1Lv 〈(~ω¯ − Leq)−1a+γ aδ〉αβ ~ω¯〈a+γ aδ〉αβ a+γ aδ = a+γ aδ ~ω¯ + 〈(~ω¯ − Leq)−1a+γ aδ〉αβ 〈a+γ aδ〉αβ {Eγδa + γ aδ ~ω¯ + Lva + γ aδ ~ω¯ + LeqQ0(~ω¯ − LeqQ0)−1Lva+γ aδ ~ω¯ }. (P.60) Lấy trung bình hai vế (P.60), ta nhận được 〈(~ω¯ − Leq)−1a+γ aδ〉αβ = 〈a+γ aδ〉αβ ~ω¯ + 〈(~ω¯ − Leq)−1a+γ aδ〉αβ ~ω¯ (P.61) ×{Eγδ + 〈Lva + αaβ〉αβ 〈a+γ aδ〉αβ + 〈LeqQ0(~ω¯ − LeqQ0)−1Lva+αaβ〉αβ 〈a+γ aδ〉αβ }. Đặt Ωαβ = 〈Lva+γ aδ〉αβ ~〈a+γ aδ〉αβ , (P.62) Γαβ0 (ω¯) = 〈LeqQ0(~ω¯ − LeqQ0)−1Lva+γ aδ〉αβ ~〈a+γ aδ〉αβ = TR{ρeq[LeqQ0(~ω¯ − LeqQ0)−1Lva+γ aδ, a+αaβ]}/~〈a+γ aδ〉αβ. (P.63) Thay (P.62), (P.63) vào (P.61) và chuyển vế, ta được 〈(~ω¯ − Leq)−1a+γ aδ〉αβ = 〈a+γ aδ〉αβ ~ω¯ − Eγδ − ~Ωαβ − ~Γαβ0 (ω¯) . (P.64) P.19 Phụ lục 12 〈Lva+γ aδ〉αβ = TR{ρeq[Lva+γ aδ, a+γ aδ]} = TR{ρeq[[V, a+γ aδ], a+γ aδ]} = TR{ρeq[[ ∑ η,µ,q⃗ a+η aµ[Cη,µ(q⃗)b + q⃗ + Cη,µ(q⃗)bq⃗], a + γ aδ], a + γ aδ]} = ∑ η,µ,q⃗ TR{ρeq[Cη,µ(q⃗)b+q⃗ + Cη,µ(q⃗)bq⃗][[a+η aµ, a+γ aδ], a+γ aδ]} = ∑ η,µ,q⃗ TR{ρeq[Cη,µ(q⃗)b+q⃗ + Cη,µ(q⃗)bq⃗][a+η aδδµ,γ − a+γ aµδη,δ, a+γ aδ]} = ∑ η,µ,q⃗ TR{ρeq[Cη,µ(q⃗)b+q⃗ + Cη,µ(q⃗)bq⃗][a+η aδ, a+γ aδ]δµ,γ} − ∑ η,µ,q⃗ TR{ρeq[Cη,µ(q⃗)b+q⃗ + Cη,β(q⃗)bq⃗][a+γ aµ, a+γ aδ]δη,δ} = ∑ η,µ,q⃗ TR{ρeq[Cη,µ(q⃗)b+q⃗ + Cη,µ(q⃗)bq⃗][a+η aβδα,δ − a+αaδδβ,η]δµ,γ} − ∑ η,µ,q⃗ TR{ρeq[Cη,µ(q⃗)b+q⃗ + Cη,µ(q⃗)bq⃗][a+γ aβδα,µ − a+αaµδβ,γ]δη,δ} = ∑ η,µ,q⃗ TR{ρeq[Cη,µ(q⃗)b+q⃗ + Cη,µ(q⃗)bq⃗]a+η aβδα,δδµ,γ} − ∑ η,µ,q⃗ TR{ρeq[Cη,µ(q⃗)b+q + Cη,µ(q⃗)bq⃗]a+αaδδβ,ηδµ,γ} − ∑ η,µ,q⃗ TR{ρeq[b+q⃗ + Cη,µ(q⃗)bq⃗]a+γ aβδα,µδη,δ} + ∑ η,µ,q⃗ TR{ρeq[Cη,µ(q⃗)b+q⃗ + Cη,µ(q⃗)bq⃗]a+αaµδβ,γδη,δ} = 0. (P.65) Do khi khai triển biểu thức trên ta được tám số hạng, mỗi số hạng có chứa một toán tử sinh hoặc hủy phonon nên khi lấy trung bình bằng 0. P.20 Phụ lục 13 Sử dụng tính chất hoán vị vòng của vết và tính chất giao hoán của ρeq với Heq, ta có hệ thức: TR { ρeq[LeqQ0X, a + γ aδ] } = TR { ρeq[Leq(1− P0)X, a+γ aδ] } = TR { ρeq[LeqX, a + γ aδ] }− TR {ρeq[LeqP0X, a+γ aδ]} = SH1 + SH2 SH1 = TR { ρeq[LeqX, a + γ aδ] } = TR { ρeq[[Heq, X], a + γ aδ] } = TR { ρeq[HeqX −XHeq, a+γ aδ] } = TR { ρeq[HeqX, a + γ aδ] }− TR {ρeq[XHeq, a+γ aδ]} = TR { ρeq[HeqXa + γ aδ − a+γ aδHeqX] } − TR { ρeq[XHeqa + γ aδ − a+γ aδXHeq] } = TR { ρeqHeqXa + γ aδ }− TR {ρeqa+γ aδHeqX} − TR { ρeqXHeqa + γ aδ } + TR { ρeqa + γ aδXHeq } = SH1.1 + SH1.2 + SH1.3 + SH1.4 SH1.1 = TR { ρeqHeqXa + γ aδ } = TR { HeqρeqXa + γ aδ } = TR { Xa+γ aδHeqρeq } SH1.3 = −TR { ρeqXHeqa + γ aδ } = −TR { XHeqa + γ aδρeq } SH1.4 = TR { ρeqa + γ aδXHeq } = TR { Heqρeqa + γ aδX } = TR { ρeqHeqa + γ aδX } Thay SH1.1, SH1.3, SH1.4 vào SH1, ta được: SH1 = TR { Xa+γ aδHeqρeq }− TR {ρeqa+γ aδHeqX} − TR { XHeqa + γ aδρeq } + TR { ρeqHeqa + γ aδX } = TR { X(a+γ aδHeq −Heqa+γ aδ)ρeq } + TR { ρeq(Heqa + γ aδ − a+γ aδHeq)X } = TR { X[a+γ aδ, Heq]ρeq } + TR { ρeq[Heq, a + γ aδ]X } P.21 = −TR { XLeqa + γ aδρeq } + TR { ρeqLeqa + γ aδX } = −TR { ρeqXLeqa + γ aδ } + TR { ρeqLeqa + γ aδX } = TR { ρeq(Leqa + γ aδX −XLeqa+γ aδ) } = TR { ρeq[Leqa + γ aδ, X] } = TR { ρeq[(Ld + Lν)a + γ aδ, X] } = TR { ρeq[Lda + γ aδ, X] } + TR { ρeqLνa + γ aδ, X] } = Eα,βTR { ρeq[a + γ aδ, X] } + TR { ρeqLνa + γ aδ, X] } Thay Leq = Ld + Lν vào SH2, ta có: SH2 = −TR { ρeq[(Ld + Lν)P0X, a + γ aδ] } = −TR { ρeq[LdP0X, a + γ aδ] }− TR {ρeq[LνP0X, a+γ aδ]} = SH2.1 + SH2.2 SH2.1 = −TR { ρeq[Lda + γ aδ, P0X] } = −Eα,βTR { ρeq[a + γ aδ, P0X] } = Eα,βTR { ρeq[P0X, a + γ aδ] } = Eα,β〈P0X〉γ,δ = Eα,β〈 〈X〉γ,δa+γ aδ 〈a+αaβ〉γ,δ 〉γ,δ = Eα,β 〈X〉γ,δ〈a+γ aδ〉γ,δ 〈a+αaβ〉γ,δ = Eα,β 〈X〉γ,δ〈a+γ aδ〉γ,δ 〈a+δ aγ〉γ,δ = Eα,β〈X〉γ,δ = Eα,βTR { ρeq[X, a + γ aδ] } = −Eα,βTR { ρeq[a + γ aδ, X] } Thay SH2.1 vào SH2, ta có: SH2 = −Eα,βTR { ρeq[a + γ aδ, X] }− TR {ρeq[LνP0X, a+γ aδ]} Thay SH1 và SH2 vào, ta được: TR { ρeq[LeqQ0X, a + γ aδ] } = Eα,βTR { ρeq[a + γ aδ, X] } + TR { ρeq[Lνa + γ aδ, X] } − Eα,βTR { ρeq[a + γ aδ, X] }− TR {ρeq[LνP0X, a+γ aδ]} = TR { ρeq[Lνa + γ aδ, X] }− TR {ρeq[LνP0X, a+γ aδ]} (P.66) Phụ lục 14 Ta tính biểu thức hàm suy giảm Γαβ0 (ω¯) trong (1.89). P.22 Sử dụng tính chất hoán vị vòng của vết và tính chất giao hoán của ρeq với Heq, ta có hệ thức (Phụ lục 13) TR { ρeq[LeqQ0X, a + αaβ] } = TR { ρeq[Lva + αaβ, X] }− TR {ρeq[LvP0X, a+αaβ]} . (P.67) Thay X = (~ω¯ − LeqQ0)−1Lva+γ aδ vào (P.67), ta được TR { ρeq[LeqQ0(~ω¯ − LeqQ0)−1Lva+γ aδ, a+αaβ] } = TR { ρeq[Lva + αaβ, (~ω¯ − LeqQ0)−1Lva+γ aδ] } − TR { ρeq[LvP0(~ω¯ − LeqQ0)−1Lva+γ aδ, a+αaβ] } . (P.68) Thay (P.68) vào (P.63), ta có Γαβ0 (ω¯) = TR { ρeq[Lva + αaβ, (~ω¯ − LeqQ0)−1Lva+γ aδ] } /~〈a+γ aδ〉αβ − TR { ρeq[LvP0(~ω¯ − LeqQ0)−1Lva+γ aδ, a+αaβ] } /~〈a+γ aδ〉αβ = SH1(P.69)− SH2(P.69). (P.69) Toán tử P0 tác dụng lên các toán tử trong SH2(P.69) SH2(P.69) = TR { ρeq[LvP0(~ω¯ − LeqQ0)−1Lva+γ aδ, a+αaβ] } /~〈a+γ aδ〉αβ = TR { ρeq[Lv(~ω¯ − LeqQ0)−1 〈Lva+γ aδ〉αβ 〈a+γ aδ〉αβ a+γ aδ, a + αaβ] } /~〈a+γ aδ〉αβ = 0. (P.70) Thay (P.70) vào (P.69), ta có Γαβ0 (ω¯) = TR { ρeq[Lva + αaβ, (~ω¯ − LeqQ0)−1Lva+γ aδ] } /~〈a+γ aδ〉αβ. (P.71) Thay LeqQ0 = Leq(1 − P0) = Leq − LeqP0 vào (P.71), rồi sau đó áp dụng đẳng thức (AB) [28]: (A+B)−1 = A−1 − A−1B(A+B)−1, ta được Γαβ0 (ω¯) = TR { ρeq[Lva + αaβ, (~ω¯ − Leq + LeqP0)−1Lva+γ aδ] } /~〈a+γ aδ〉αβ = TR { ρeq[Lva + αaβ, (~ω¯ − Leq)−1Lva+γ aδ] } /~〈a+γ aδ〉αβ − TR { ρeq[Lva + αaβ, (~ω¯ − Leq)−1LeqP0(~ω¯ − LeqQ0)−1Lva+γ aδ] } /~〈a+γ aδ〉αβ = SH1(P.72)− SH2(P.72). (P.72) Giả sử tương tác là yếu, khi đó ta có thể lấy gần đúng ρeq ≈ ρd. Thay Leq = Ld+Lv vào SH1(P.72), rồi sau đó áp dụng đẳng thức (AB) SH1(P.72) = TR { ρd[Lva + αaβ, (~ω¯ − Ld − Lv)−1Lva+γ aδ] } /~〈a+γ aδ〉αβ = TR { ρd[Lva + αaβ, (~ω¯ − Ld)−1Lva+γ aδ] } /~〈a+γ aδ〉αβ + TR { ρd[Lva + αaβ, (~ω¯ − Ld)−1Lv(~ω¯ − Leq)−1Lva+γ aδ] } /~〈a+γ aδ〉αβ. (P.73) Xét gần đúng thế tán xạ bậc hai thì L2v ≈ 0, nên (P.73) được viết lại SH1(P.72) = TR { ρd[Lva + αaβ, (~ω¯ − Ld)−1Lva+γ aδ] } /~〈a+γ aδ〉αβ. (P.74) P.23 Toán tử P0 tác dụng lên các toán tử ở bên phải của nó trong SH2(P.72) SH2(P.72) = TR { ρeq[Lva + αaβ, (~ω¯ − Leq)−1LeqP0(~ω¯ − LeqQ0)−1Lva+γ aδ] } /~〈a+γ aδ〉αβ = TR { ρd[Lva + αaβ, (~ω¯ − Leq)−1Leq(~ω¯ − LeqQ0)−1 〈Lva+γ aδ〉αβ 〈a+γ aδ〉αβ a+γ aδ] } /~〈a+γ aδ〉αβ = 0. (P.75) Thay (P.74) và (P.75) vào (P.72), ta được Γαβ0 (ω¯) = TR { ρd[Lva + αaβ, (~ω¯ − Ld)−1Lva+γ aδ] } /~〈a+γ aδ〉αβ. (P.76) Phụ lục 15 〈a+αaβ〉γ,δ = TR { ρd[a + αaβ, a + γ aδ] } = TR { ρd(a + αaδδβ,γ − a+γ aβδα,δ) } = TR { ρda + αaδ } δβ,γ − TR { ρda + γ aβ } δα,δ = fαδα,δδβ,γ − fγδγ,βδα,δ = (fδ − fγ)δα,δδγ,β (P.77) Phụ lục 16 Lva + αaβ = [V, a + αaβ] = [∑ η,µ,q⃗ (bq⃗ + b + −q⃗)Cη,µ(q⃗)a + η aµ, a + αaβ ] = ∑ η,µ,q⃗ Cη,µ(q⃗)(bq⃗ + b + −q⃗)[a + η aµ, a + αaβ] = ∑ η,µ,q⃗ Cη,µ(q⃗)(bq⃗ + b + −q⃗)(a + η aβδµ,α − a+αaµδη,β) = ∑ η,µ,q⃗ Cη,µ(q⃗)(bq⃗ + b + −q⃗)a + η aβδµ,α − ∑ η,µ,q⃗ Cη,µ(q⃗)(bq⃗ + b + −q⃗)a + αaµδη,β = ∑ η,q⃗ Cη,α(q⃗)(bq⃗ + b + −q⃗)a + η aβ − ∑ µ,q⃗ Cβ,µ(q⃗)(bq⃗ + b + −⃗q)a + αaµ = ∑ η,q⃗ Cη,α(q⃗)bq⃗a + η aβ + ∑ η,q⃗ Cη,α(q⃗)b + −q⃗a + η aβ − ∑ µ,q⃗ Cβ,µ(q⃗)bq⃗a + αaµ − ∑ µ,q⃗ Cβ,µ(q⃗)b + −q⃗a + αaµ P.24 ⇒ Lνa+β aα = ∑ η,q⃗ Cη,β(q⃗)bq⃗a + η aα + ∑ η,q⃗ Cη,β(q⃗)b + −q⃗a + η aα − ∑ µ,q⃗ Cα,µ(q⃗)bq⃗a + β aµ − ∑ µ,q⃗ Cα,µ(q⃗)b + −q⃗a + β aµ (P.78) Phụ lục 17 Ldb + −q⃗a + η aα = [Hd, b + −q⃗a + η aα] = [He +Hp, b + −q⃗a + η aα] = [He, b + −q⃗a + η aα] + [Hp, b + −q⃗a + η aα] = ∑ η′ Eη′ [a + η′aη′ , b + −q⃗a + η aα] + ∑ q⃗′ ~ωq′ [(b + q⃗′ bq⃗′ + 1 2 ), b+−q⃗a + η aα] = ∑ η′ Eη′ b + −q⃗[a + η′aη′ , a + η aα] + ∑ q⃗′ ~ωq′ [b + q⃗′ bq⃗′ , b + −q⃗]a + η aα = ∑ η′ Eη′ b + −q⃗[a + η′aαδη,η′ − a+η aη′δη′ ,α] + ∑ q⃗′ ~ωq′ (b + q⃗′ [bq⃗′ , b + −q⃗] + [b + q⃗′ , b + −q⃗]bq⃗′ )a + η aα = ∑ η′ Eη′ b + −q⃗a + η′aαδη,η′ − ∑ η′ Eη′ b + −q⃗a + η aη′δη′ ,α + ∑ q⃗′ ~ωq′ (b + q⃗′ [bq⃗′ , b + −q⃗])a + η aα = Eηb + −q⃗a + η aα − Eαb+−q⃗a+η aα + ~ω−q⃗b+−q⃗a+η aα = (Eη − Eα + ~ω−q⃗)b+−q⃗a+η aα = (Eη,α + ~ω−q⃗)b+−q⃗a + η aα (P.79) Phụ lục 18 Ldbq⃗a + η aα = [Hd, bq⃗a + η aα] = [He +Hp, bq⃗a + η aα] = [He, bq⃗a + η aα] + [Hp, bq⃗a + η aα] = ∑ η′ Eη′ [a + η′aη′ , bq⃗a + η aα] + ∑ q⃗′ ~ωq⃗′ [(b + q⃗′ bq⃗′ + 1 2 ), bq⃗a + η aα] = ∑ η′ Eη′ bq⃗[a + η′aη′ , a + η aα] + ∑ q⃗′ ~ωq⃗′ [b + q⃗′ bq⃗′ , bq⃗]a + η aα P.25 = ∑ η′ Eη′ bq⃗[a + η′aη′ , a + η aα] + ∑ q⃗′ ~ωq⃗′ (b + q⃗′ [bq⃗′ , bq⃗] + [b + q⃗′ , bq⃗]bq⃗′ )a + η aα = ∑ η′ Eη′ bq⃗[a + η′aη′ , a + η aα] + ∑ q⃗′ ~ωq⃗′ (−δq⃗,q⃗′ )bq⃗′a+η aα = ∑ η′ Eη′ bq⃗[a + η′aαδη,η′ − a+η aη′δη′ ,α]− ∑ q⃗′ ~ωq⃗′δq⃗,q⃗′ bq⃗′a + η aα = (Eη − Eα)bq⃗a+η aα − ∑ q⃗′ ~ωq⃗′ bq⃗′δq,q′a + η aα = (Eη,α − ~ωq⃗)bq⃗a+η aα ⇒ Ldbq⃗a+β aµ = (Eβ,µ − ~ωq⃗)bq⃗a+β aµ ⇒ Ldb+−q⃗a+β aµ = (Eβ,µ − ~ω−q⃗)b−q⃗a+β aµ (P.80) Phụ lục 19 SH1(P.83) = ∑ η,q⃗ Cη,β(q⃗)(~ω¯ − Ld)−1bq⃗a+η aα = ∑ η,q Cη,β(q⃗)[ 1 (~ω¯) + Ld ~ω¯(~ω¯ − Ld) ]bqa + η aα = ∑ η,q Cη,β(q⃗)[ 1 (~ω¯) + Eη,α − ~ωq ~ω¯(~ω¯ − Ld) ]bqa + η aα Chuyển vế và rút nhân tử chung, ta được: SH1(P.83) = ∑ η,q Cη,β(q⃗) bqa + η aα ~ω¯ − Eη,α + ~ωq (P.81) Phụ lục 20 Theo Phụ lục 13-17 ta có các hệ thức sau Lva + αaβ = ∑ η,q⃗ Cη,α(q⃗)bq⃗a + η aβ + ∑ η,q⃗ Cη,α(q⃗)b + −q⃗a + η aβ − ∑ µ,q⃗ Cβ,µ(q⃗)bq⃗a + αaµ − ∑ µ,q⃗ Cβ,µ(q⃗)b + −q⃗a + αaµ, (P.82) P.26 Lva + γ aδ = ∑ η,q⃗ Cη,γ(q⃗)bq⃗a + η aδ + ∑ η,q⃗ Cη,γ(q⃗)b + −q⃗a + η aδ − ∑ µ,q⃗ Cδ,µ(q⃗)bq⃗a + γ aµ − ∑ µ,q⃗ Cδ,µ(q⃗)b + −q⃗a + γ aµ, Ldb + −q⃗a + η aδ = (Eη,δ + ~ω−q⃗)b+−q⃗a + η aδ. Ldbq⃗a + η aδ = (Eη,δ − ~ωq⃗)bq⃗a+η aδ, Ldb−q⃗a+γ aµ = (Eγ,µ + ~ωq⃗)bq⃗a+γ aµ, Ldb + q⃗ a + γ aµ = (Eγ,µ − ~ω−q⃗)b+−q⃗a+γ aµ, (~ω¯ − Ld)−1Lva+γ aδ = ∑ η,q⃗ Cη,γ(q⃗)(~ω¯ − Ld)−1bq⃗a+η aδ + ∑ η,q⃗ Cη,γ(q⃗)(~ω¯ − Ld)−1b+−q⃗a+η aδ − ∑ µ,q⃗ Cδ,µ(q⃗)(~ω¯ − Ld)−1bq⃗a+γ aµ − ∑ µ,q⃗ Cδ,µ(q⃗)(~ω¯ − Ld)−1b+−q⃗a+γ aµ = SH1(P.83) + SH2(P.83)− SH3(P.83)− SH4(P.83), (P.83) SH1(P.83) = ∑ η,q⃗ Cη,γ(q⃗) bq⃗a + η aδ ~ω¯ − Eη,δ + ~ωq⃗ , SH2(P.83) = ∑ η,q⃗ Cη,γ(q⃗) b+−q⃗a + η aδ ~ω¯ − Eη,δ − ~ω−q⃗ , SH3(P.83) = ∑ µ,q⃗ Cδ,µ(q⃗) bq⃗a + γ aµ ~ω¯ − Eγ,µ + ~ωq⃗ , SH4(P.83) = ∑ µ,q⃗ Cδ,µ(q⃗) b+−q⃗a + γ aµ ~ω¯ − Eγ,µ − ~ω−q⃗ . Thay các số hạng SH1(P.83), SH2(P.83), SH3(P.83) và SH4(P.83) vào (P.83), ta được (~ω¯ − Ld)−1Lva+γ aδ = ∑ η,q⃗ Cη,γ(q⃗) bq⃗a + η aδ (~ω¯ − Eη,δ + ~ωq⃗) + ∑ η,q⃗ Cη,γ(q⃗) b+−q⃗a + η aδ ~ω¯ − Eη,δ − ~ω−q⃗ − ∑ µ,q⃗ Cδ,µ(q⃗) bq⃗a + γ aµ ~ω¯ − Eγ,µ + ~ωq⃗ − ∑ µ,q⃗ Cδ,µ(q⃗) b+−q⃗a + γ aµ ~ω¯ − Eγ,µ − ~ω−q⃗ = ∑ η,q⃗ Cη,γ(q⃗) bq⃗a + η aδ (~ω¯ − Eη,δ + ~ωq⃗) + ∑ η,q⃗ Cη,γ(q⃗) b+q⃗ a + η aδ ~ω¯ − Eη,δ − ~ωq⃗ − ∑ µ,q⃗ Cδ,µ(q⃗) bq⃗a + γ aµ ~ω¯ − Eγ,µ + ~ωq⃗ − ∑ µ,q⃗ Cδ,µ(q⃗) b+q⃗ a + γ aµ ~ω¯ − Eγ,µ − ~ωq⃗ = ∑ η,q⃗ Cη,γ(q⃗)G (+) η,δ (q⃗)bq⃗a + η aδ + ∑ η,q⃗ Cη,γ(q⃗)G (−) η,δ (q⃗)b + q⃗ a + η aδ − ∑ µ,q⃗ Cδ,µ(q⃗)G (+) γ,µ (q⃗)bq⃗a + γ aµ − ∑ µ,q⃗ Cδ,µ(q⃗)G (−) γ,µ (q⃗)b + q⃗ a + γ aµ, (P.84) P.27 trong đó G (±) α,β(q⃗) = [~ω¯ − Eα,β ± ~ωq⃗]−1. (P.85) Thay (1.91), (P.82), (P.84) vào (1.90), rồi lấy tổng theo γ và δ, ta được (fβ − fα)~Γαβ0 (ω¯) = 16∑ n=1 SHn(P.86), (P.86) trong đó SH1(P.86) = ∑ η,η′ ∑ q⃗,q⃗′ Cη′ ,α(q⃗ ′ )Cη,β(q⃗)G (+) η,α(q⃗)TR{ρd[bq⃗′a+η′aβ, bq⃗a+η aα]} SH2(P.86) = ∑ η,η′ ∑ q⃗,q⃗′ Cη′ ,α(q⃗ ′ )Cη,β(q⃗)G (−) η,α(q⃗)TR{ρd[bq⃗′a+η′aβ, b+q⃗ a+η aα]} SH3(P.86) = − ∑ µ,η′ ∑ q⃗,q⃗′ Cη′ ,α(q⃗ ′ )Cα,µ(q⃗)G (+) β,µ(q⃗)TR{ρd[bq⃗′a+η′aβ, bq⃗a+β aµ]} SH4(P.86) = − ∑ µ,η′ ∑ q⃗,q⃗′ Cη′ ,α(q⃗ ′ )Cα,µ(q⃗)G (−) β,µ(q⃗)TR{ρd[bq⃗′a+η′aβ, b+q⃗ a+β aµ]} SH5(P.86) = ∑ η,η′ ∑ q⃗,q⃗′ Cη′ ,α(q⃗ ′ )Cη,β(q⃗)G (+) η,α(q⃗)TR{ρd[b+q⃗′a+η′aβ, bq⃗a+η aα]} SH6(P.86) = ∑ η,η′ ∑ q⃗,q⃗′ Cη′ ,α(q⃗ ′ )Cη,β(q⃗)G (−) η,α(q⃗)TR{ρd[b+q⃗′a+η′aβ, b+q⃗ a+η aα]} SH7(P.86) = − ∑ µ,η′ ∑ q⃗,q⃗ ′ Cη′ ,α(q⃗ ′ )Cα,µ(q⃗)G (+) β,µ(q⃗)TR{ρd[b+q⃗′a+η′aβ, bq⃗a+β aµ]} SH8(P.86) = − ∑ µ,η′ ∑ q⃗,q⃗′ Cη′ ,α(q⃗ ′ )Cα,µ(q⃗)G (−) β,µ(q⃗)TR{ρd[b+q⃗′a+η′aβ, b+q⃗ a+β aµ]} SH9(P.86) = − ∑ η,µ′ ∑ q⃗,q⃗′ Cβ,µ′ (q⃗ ′ )Cη,β(q⃗)G (+) η,α(q⃗)TR{ρd[bq⃗′a+αaµ′ , bq⃗a+η aα]} SH10(P.86) = − ∑ η,µ′ ∑ q⃗,q⃗′ Cβ,µ′ (q⃗ ′ )Cη,β(q⃗)G (−) η,α(q⃗)TR{ρd[bq⃗′a+αaµ′ , b+q⃗ a+η aα]} SH11(P.86) = ∑ µ,µ′ ∑ q⃗,q⃗′ Cβ,µ′ (q⃗ ′ )Cα,µ(q⃗)G (+) β,µ(q⃗)TR{ρd[bq⃗′a+αaµ′ , bq⃗a+β aµ]} SH12(P.86) = ∑ µ,µ′ ∑ q⃗,q⃗′ Cβ,µ′ (q⃗ ′ )Cα,µ(q⃗)G (−) β,µ(q⃗)TR{ρd[bq⃗′a+αaµ′ , b+q⃗ a+β aµ]} SH13(P.86) = − ∑ η,µ′ ∑ q⃗,q⃗′ Cβ,µ′ (q⃗ ′ )Cη,β(q⃗)G (+) η,α(q⃗)TR{ρd[b+q⃗′a+αaµ′ , bq⃗a+η aα]} SH14(P.86) = − ∑ η,µ′ ∑ q⃗,q⃗′ Cβ,µ′ (q⃗ ′ )Cη,β(q⃗)G (−) η,α(q⃗)TR{ρd[b+q⃗′a+αaµ′ , b+q⃗ a+η aα]} SH15(P.86) = ∑ µ,µ′ ∑ q⃗,q⃗ ′ Cβ,µ′ (q⃗ ′ )Cα,µ(q⃗)G (+) β,µ(q⃗)TR{ρd[b+q⃗′a+αaµ′ , bq⃗a+β aµ]} SH16(P.86) = ∑ µ,µ′ ∑ q⃗,q⃗′ Cβ,µ′ (q⃗ ′ )Cα,µ(q⃗)G (−) β,µ(q⃗)TR{ρd[b+q⃗′a+αaµ′ , b+q⃗ a+β aµ]} P.28 Trong (P.86) có 16 số hạng, trong đó có 8 số hạng chứa hoặc 2 toán tử sinh phonon hoặc 2 toán tử hủy phonon, đó là SH1(P.86), SH3(P.86), SH6(P.86), SH8(P.86), SH9(P.86), SH11(P.86), SH14(P.86), SH16(P.86). Tám số hạng này sẽ cho đóng góp bằng 0 vì trị trung bình của hai toán tử cùng sinh phonon hoặc cùng hủy phonon bằng không. Thật vậy, chẳng hạn từ (P.86) ta chứng minh với SH1(P.86), áp dụng khai triển giao hoán tử, ta có TR{ρd[bq⃗′a+η′aβ, bq⃗a+η aα]} = TR{ρd(bq⃗′ [a+η′aβ, bq⃗a+η aα] + [bq⃗′ , bq⃗a+η aα]a+η′aβ)} = TR{ρdbq⃗′ bq⃗[a+η′aβ, a+η aα]}+ TR{ρd[bq⃗′ , bq⃗]a+η aαa+η′aβ} = TR{ρdbq⃗′ bq⃗}TR{ρd(a+η′aαδβ,η − a+η aβδη′ ,α)} = 0. (P.87) Trong tám số hạng còn lại có bốn số hạng cho đóng góp bằng không đó là SH2(P.86), SH5(P.86), SH12(P.86), SH15(P.86). Thật vậy, ta chứng minh với SH2(P.86) TR{ρd[bq⃗′a+η′aβ, b+q⃗ a+η aα]} = TR{ρd(bq⃗′ [a+η′aβ, b+q⃗ a+η aα] + [bq⃗′ , b+q⃗ a+η aα]a+η′aβ)} = TR{ρdbq⃗′ b+q⃗ [a+η′aβ, a+η aα]}+ TR{ρd[bq⃗′ , b+q⃗ ]a+η aαa+η′aβ} = TR{ρdbq⃗′ b+q⃗ (a+η′aαδβ,η − a+η aβδη′ ,α)}+ TR{ρda+η aαa+η′aβδq⃗′ ,q⃗} = TR{ρdbq⃗′ b+q⃗ a+η′aαδβ,η} − TR{ρdbq⃗′ b+q⃗ a+η aβδη′ ,α}+ TR{ρda+η aαa+η′aβδq⃗′ ,q⃗} = TR{ρdbq⃗′ b+q⃗ }TR{ρda+η′aα}δβ,η − TR{ρdbq⃗′ b+q⃗ }TR{ρda+η aβ}δη′ ,α + TR{ρda+η aαa+η′aβδq⃗′ ,q⃗} = (1 +Nq⃗)δq⃗,q⃗′fη′δβ,ηδη′ ,α − (1 +Nq⃗)δq⃗,q⃗′fηδη′,αδη,β + fηδη,β(1− fαδη′,αδq⃗′ ,q⃗) = 0. Vì η ̸= β nên δη,β = 0 Đối với 4 số hạng còn lại khác 0, ta tính cụ thể cho một số hạng rồi suy ra tương tự cho các số hạng còn lại. Theo Phụ lục 19, ta có SH4(P.86) = − ∑ η′ ,q⃗′ ,µ,q⃗ Cη′ ,α(q⃗ ′ )Cα,µ(q⃗)G (−) β,µ(q⃗)TR{ρd[bq⃗′a+η′aβ, b+q⃗ a+β aµ]} = − ∑ η′ ,q⃗′ ,µ,q⃗ Cη′ ,α(q⃗ ′ )Cα,µ(q⃗)G (−) β,µ(q⃗)TR{ρd(bq⃗′a+η′aβb+q⃗ a+β aµ − b+q⃗ a+β aµbq⃗′a+η′aβ)} = − ∑ η′ ,q⃗′ ,µ,q⃗ Cη′ ,α(q⃗ ′ )Cα,µ(q⃗)G (−) β,µ(q⃗)TR{ρd(bq⃗′ b+q⃗ a+η′aβa+β aµ − b+q⃗ bq⃗′a+β aµa+η′aβ)} P.29 = − ∑ η′ ,q⃗′ ,µ,q⃗ Cη′ ,α(q⃗ ′ )Cα,µ(q⃗)G (−) β,µ(q⃗)[TR{ρdbq⃗′ b+q⃗ a+η′aβa+β aµ} − TR{ρdb+q⃗ bq⃗′a+β aµa+η′aβ}] = − ∑ η′ ,q⃗′ ,µ,q⃗ Cη′ ,α(q⃗ ′ )Cα,µ(q⃗)G (−) β,µ(q⃗)[TR{ρdbq⃗′ b+q⃗ }TR{ρda+η′aβa+β aµ} − TR{ρdb+q⃗ bq⃗′}TR{ρda+β aµa+η′aβ}] = − ∑ η′ ,q⃗′ ,µ,q⃗ Cη′ ,α(q⃗ ′ )Cα,µ(q⃗)G (−) β,µ(q⃗)[(1 +Nq⃗)δq⃗,q⃗′fη′δη′ ,µ(1− fβ)δβ,β −Nq⃗δq⃗,q⃗′fβδβ,β(1− fη′ )δη′ ,µ] = − ∑ η′ ,q⃗′ ,µ,q⃗ Cη′ ,α(q⃗ ′ )Cα,µ(q⃗)G (−) β,µ(q⃗)[(1 +Nq⃗)fη′ (1− fβ) −Nq⃗fβ(1− fη′ )]δq⃗,q⃗′δβ,βδη′ ,µ = − ∑ q⃗,µ Cµ,α(q⃗)Cα,µ(q⃗)G (−) β,µ(q⃗)[(1 +Nq⃗)fµ(1− fβ)−Nq⃗fβ(1− fµ)], Tính tương tự cho SH7(P.86), SH10(P.86) và SH13(P.86), ta được SH7(P.86) = − ∑ η′ ,q⃗′ ,µ,q⃗ Cη′ ,α(q⃗ ′ )Cα,µ(q⃗)G (+) β,µ(q⃗)TR{ρd[b+q⃗′a+η′aβ, bq⃗a+β aµ]} = − ∑ q⃗,µ Cµ,α(q⃗)Cα,µ(q⃗)G (+) β,µ(q⃗)[Nq⃗fµ(1− fβ)− (1 +Nq⃗)fβ(1− fµ)], SH10(P.86) = − ∑ µ′ ,q⃗′ ,η,q⃗ Cβ,µ′ (q⃗ ′ )Cη,β(q⃗)G (−) η,α(q⃗)TR{ρd[bq⃗′a+αaµ′ , b+q⃗ a+η aα]} = − ∑ η,q⃗ Cβ,η(q⃗)Cη,β(q⃗)G (−) η,α(q⃗)[(1 +Nq⃗)fα(1− fη)−Nq⃗fη(1− fα)], SH13(P.86) = − ∑ µ′ ,q⃗′ ,η,q⃗ Cβ,µ′ (q⃗ ′ )Cη,β(q⃗)G (+) η,α(q⃗)TR{ρd[b+q⃗′a+αaµ′ , bq⃗a+η aα]} = − ∑ η,q⃗ Cβ,η(q⃗)Cη,β(q⃗)G (+) η,α(q⃗)[Nq⃗fα(1− fη)− (1 +Nq⃗)fη(1− fα)]. Từ kết quả tính toán được, ta có (fβ − fα)~Γαβ0 (ω¯) =− ∑ q⃗,µ |Cα,µ(q⃗)|2G(−)β,µ(q⃗)[(1 +Nq⃗)fµ(1− fβ)−Nq⃗fβ(1− fµ)] − ∑ q⃗,µ |Cα,µ(q⃗)|2G(+)β,µ(q⃗)[Nq⃗fµ(1− fβ)− (1 +Nq⃗)fβ(1− fµ)] − ∑ η,q⃗ |Cη,β(q⃗)|2G(−)η,α(q⃗)[(1 +Nq⃗)fα(1− fη)−Nq⃗fη(1− fα)] − ∑ η,q⃗ |Cη,β(q⃗)|2G(+)η,α(q⃗)[Nq⃗fα(1− fη)− (1 +Nq⃗)fη(1− fα)]. (P.88) P.30 Thay (P.85) vào (P.88), sau đó nhóm các số hạng lại, ta được Γαβ0 (ω¯) = 1 ~(fβ − fα) × {∑ q⃗,µ |Cα,µ(q⃗)|2[ (1 +Nq⃗)fβ(1− fµ)~ω¯ − Eβ,µ + ~ωq⃗ − Nq⃗fµ(1− fβ) ~ω¯ − Eβ,µ + ~ωq⃗ −(1 +Nq⃗)fµ(1− fβ) ~ω¯ − Eβ,µ − ~ωq⃗ + Nq⃗fβ(1− fµ) ~ω¯ − Eβ,µ − ~ωq⃗ ] + ∑ q⃗,η |Cη,β(q⃗)|2[ (1 +Nq⃗)fη(1− fα)~ω¯ − Eη,α + ~ωq⃗ − Nq⃗fα(1− fη) ~ω¯ − Eη,α + ~ωq⃗ −(1 +Nq⃗)fα(1− fη) ~ω¯ − Eη,α − ~ωq⃗ + Nq⃗fη(1− fα) ~ω¯ − Eη,α − ~ωq⃗ ] } . Phụ lục 21 Chứng minh rằng 〈a+ξ aϵ〉γδαβ = (fβ − fα)δξβδδαδϵγ ~ω¯2 − Eβα − Γαβ0 (ω¯2) − (fβ − fα)δγβδϵαδξδ ~ω¯2 − Eβα − Γαβ0 (ω¯2) . (P.89) Từ định nghĩa trung bình trong bài toán phi tuyến, ta có 〈a+ξ aϵ〉γδαβ = TR{ρeq[(~ω¯2 − Leq)−1[a+ξ aϵ, a+γ aδ], a+αaβ]} = TR{ρeq[(~ω¯2 − Leq)−1a+ξ aδ, a+αaβ]}δϵγ − TR{ρeq[(~ω¯2 − Leq)−1a+γ aϵ, a+αaβ]}δξδ. (P.90) So sánh các số hạng trong (P.90) với (1.66) ta thấy có dạng của biểu thức Λαβ(ω¯), trong đó thay ω¯ bởi ω¯2, ξ(γ) và δ(ϵ) trong số hạng 1(2) lần lượt bởi γ và δ. Trong phần độ dẫn tuyến tính ta đã tìm được biểu thức cuối cùng của Λαβ(ω¯), Γ αβ 0 (ω¯) và 〈a+γ aδ〉αβ ở phương trình (1.88), (1.90) và (1.91) lần lượt như sau Λαβ(ω¯) = 〈a+γ aδ〉αβ ~ω¯ − Eγδ − ~Γαβ0 (ω¯) , (P.91) Γαβ0 (ω¯) = TR { ρd[Lva + αaβ, (~ω¯ − Ld)−1Lva+γ aδ] } /~〈a+γ aδ〉αβ, (P.92) 〈a+γ aδ〉αβ = TR { ρd[a + γ aδ, a + αaβ] } = (fβ − fα)δα,δδγ,β. (P.93) Thay (P.93) vào (P.92), sau đó lấy tổng theo γ và δ, ta được Γαβ0 (ω¯) = TR { ρd[Lva + αaβ, (~ω¯ − Ld)−1Lva+β aα] } /[~(fβ − fα)]. (P.94) Vậy 〈a+ξ aϵ〉γδαβ = 〈a+ξ aδ〉αβδϵγ ~ω¯2 − Eξδ − ~Γαβ0 (ω¯2) − 〈a + γ aϵ〉αβδξδ ~ω¯2 − Eγϵ − ~Γαβ0 (ω¯2) (P.95) P.31 = (fβ − fα)δξβδδαδϵγ ~ω¯2 − Eβα − Γαβ0 (ω¯2) − (fβ − fα)δγβδϵαδξδ ~ω¯2 − Eβα − Γαβ0 (ω¯2) . (P.96) Trong đó ta đã áp dụng kết quả tính trung bình 〈a+γ aδ〉αβ = (fβ − fα)δδαδγβ ở phương trình (1.91) và biểu thức của Γαβ0 (ω¯2) có dạng được cho bởi (1.93). Phụ lục 22 Cần chứng minh rằng TR{ρeq[[LeqX,A], B]} = TR{ρeq[[LeqA,X], B]}+ TR{ρeq[LeqB, [X,A]]}. (P.97) Khai triển các số hạng ở vế phải, ta được V P1 = TR{ρeq[[LeqA,X], B]} = TR{ρeq[[[Heq, A], X], B]} = TR{ρeqHeqAXB − ρeqAHeqXB − ρeqXHeqAB + ρeqXAHeqB − ρeqBHeqAX + ρeqBAHeqX + ρeqBXHeqA− ρeqBXAHeq}, V P2 = TR{ρeq[LeqB, [X,A]]} = TR{ρeq[[Heq, B], [X,A]} = TR{ρeqHeqBXA− ρeqXAHeqB − ρeqHeqBAX + ρeqAXHeqB − ρeqBHeqXA+ ρeqXABHeq + ρeqBHeqAX − ρeqAXBHeq}. Cộng V P1 và V P2, giản ước các số hạng, ta được V P = TR{−ρeqAHeqXB − ρeqXHeqAB + ρeqBAHeqX − ρeqBXAHeq − ρeqHeqBAX + ρeqAXHeqB − ρeqBHeqXA+ ρeqXABHeq}. Sử dụng tính chất hoán vị vòng của vết, [ρeq, Heq] = 0 để biến đổi số hạng thứ năm và tám rồi sắp xếp lại các số hạng, ta được V P = TR{ρeqHeqXAB − ρeqXHeqAB − ρeqAHeqXB + ρeqAXHeqB − ρeqBHeqXA+ ρeqBXHeqA+ ρeqBAHeqX − ρeqBAXHeq} = TR{ρeq[(HeqX −XHeq)A− A(HeqX −XHeq), B]} = TR{ρeq[[[(Heq, X], A], B]} = TR{ρeq[[(LeqX,A], B]} = V T. (P.98) Phụ lục 23 Từ hệ thức giao hoán tử của các toán tử sinh, hủy phonon (b1, b2) và hệ thức giao hoán tử của các toán tử sinh, hủy điện tử (a1, a2, a3, a4) ta tìm được biểu thức khai triển giao hoán tử như sau: [b1a1a2, b2a3a4] = b1[a1a2, b2a3a4] + [b1, b2a3a4]a1a2 = b1b2[a1a2, a3a4] + b1[a1a2, b2]a3a4 + b2[b1, a3a4]a1a2 + [b1, b2]a3a4a1a2 = b1b2[a1a2, a3a4] + [b1, b2]a3a4a1a2 (P.99) P.32 Phụ lục 24 Ta tính giá trị của G11− 3.2, với G11− 3.2 = ∑ q⃗,ℓ ∑ η,ν Cγη(q⃗)Cνγ(ℓ)TR{ρeq[[bq⃗a+β aη, b+−ℓa+ν aα], a+αaβ]}/(~ω¯12 −Eβη + ~ωq⃗). (P.100) Áp dụng biểu thức khai triển trong Phụ lục 9 và 23, ta có [bq⃗a + β aη, b + −ℓa + ν aα] = [bq⃗, b + −ℓ]a + β aηa + ν aα + b + −ℓbq⃗[a + β aη, a + ν aα] = a+β aηa + ν aαδq⃗,−ℓ + b + −ℓbq⃗a + β aαδνη − b+−ℓbq⃗a+ν aηδβα. (P.101) Do xét quá trình chuyển mức giữa các mức α, β, η nên δβα = 0. [[bq⃗a + β aη, b + −ℓa + ν aα], a + αaβ] = a + β aβa + ν aαδηαδq⃗,−ℓ − a+αaηa+ν aαδq⃗,−ℓ + a+β aηa+ν aβδq⃗,−ℓ − a+β aβa+αaαδνβδq⃗,−ℓ + b+−ℓbq⃗a+β aβδνη − b+−ℓbq⃗a+αaαδνη. (P.102) G11− 3.2 = − ∑ q⃗,η Cγη(q⃗)Cηγ(−q⃗) ~ω¯12 − Eβη + ~ωq⃗ [0− fα(1− fη) + fβ(1− fη)− 0 +Nq⃗fβ −Nq⃗fα] = − ∑ q⃗,η Cγη(q⃗)Cηγ(−q⃗) ~ω¯12 − Eβη + ~ωq⃗ × {[(1 +Nq⃗)fβ(1− fη)−Nq⃗fη(1− fβ)]− [(1 +Nq⃗)fα(1− fη)−Nq⃗fη(1− fα)]}, (P.103) trong đó ta đã cộng trừ vào vế phải một lượng. Phụ lục 25 Biểu thức của các hàm suy giảm phi tuyến Để biến đổi các số hạng V1αβ(ω¯12) và V2αβ(ω¯12) trong Γ αβγ 1 (ω¯12) và Γ αβδ 2 (ω¯12) cụ thể hơn, ta thay Q = 1 − P , áp dụng đẳng thức (AB) để khai triển, sau đó thay Leq = Ld + Lv và áp dụng đẳng thức (AB) lần nữa, (~ω¯12 − LeqQ1)−1Lva+ξ aη = (~ω¯12 − Leq)−1Lva+ξ aη − (~ω¯12 − Leq)−1LeqP1(~ω¯12 − LeqQ1)−1Lva+ξ aη = (~ω¯12 − Ld − Lv)−1Lva+ξ aη − 0 = (~ω¯12 − Ld)−1Lva+ξ aη + (~ω¯12 − Ld)−1Lv(~ω¯12 − Leq)−1Lva+ξ aη = (~ω¯12 − Ld)−1Lva+ξ aη, P.33 trong đó ta đã bỏ qua các số hạng vô cùng bé bậc lớn hơn hai của V hay Lv. Thay vào các biểu thức của V1αβ(ω¯12) và V2αβ(ω¯12), ta suy ra Γαβγ1 (ω¯12)(fα − fβ) = TR{ρeq[[(~ω¯12 − Ld)−1Lva+β aγ, Lva+γ aα], a+αaβ]} + TR{ρeq[[(~ω¯12 − Ld)−1Lva+β aγ, a+γ aα], Lva+αaβ]}, = G11(P.104) +G12(P.104), (P.104) Γαβδ2 (ω¯12)(fα − fβ) = TR{ρeq[[(~ω¯12 − Ld)−1Lva+δ aα, Lva+β aδ], a+αaβ]} + TR{ρeq[[(~ω¯12 − Ld)−1Lva+δ aα, a+β aδ], Lva+αaβ]} = G21(P.105) +G22(P.105). (P.105) Tính số hạng G11(P.104): Bầy giờ ta tính các giao hoán tử và trị trung bình trong các số hạng. Sử dụng các biểu thức toán tử trong các Phụ lục 21, 22, 23 như ở phần tuyến tính, ta có các khai triển (~ω¯12 − Ld)−1Lva+β aγ = ∑ η,q⃗ Cηβ(q⃗) bq⃗a + η aγ (~ω¯12 − Eηγ + ~ωq⃗) + ∑ η,q⃗ Cηβ(q⃗) b+−q⃗a + η aγ ~ω¯12 − Eηγ − ~ω−q⃗ − ∑ η,q⃗ Cγη(q⃗) bq⃗a + β aη ~ω¯12 − Eβη + ~ωq⃗ − ∑ η,q⃗ Cγη(q⃗) b+−q⃗a + β aη ~ω¯12 − Eβη − ~ω−q⃗ Lva + γ aα = ∑ ℓ,ν (bℓ + b + −ℓ)(Cνγ(ℓ)a + ν aα − Cαν(ℓ)a+γ aν). (P.106) Thay các biểu thức toán tử này vào biểu thức của G11(P.104) và để viết gọn hơn ta đặt ký hiệu cho các biểu thức ở mẫu số Ma(±) ≡ ~ω¯12 − Eηγ ± ~ωq⃗, Mb(±) ≡ ~ω¯12 − Eβη ± ~ω−q⃗, (P.107) ta có G11(P.104) = ∑ q⃗,ℓ ∑ η,ν Cηβ(q⃗)Cνγ(ℓ)TR{ρeq[[bq⃗a+η aγ, bℓa+ν aα], a+αaβ]}/Ma(+) (G11− 1.1) + ∑ q⃗,ℓ ∑ η,ν Cηβ(q⃗)Cνγ(ℓ)TR{ρeq[[bq⃗a+η aγ, b−ℓa+ν aα], a+αaβ]}/Ma(+) (G11− 1.2) − ∑ q⃗,ℓ ∑ η,ν Cηβ(q⃗)Cαν(ℓ)TR{ρeq[[bq⃗a+η aγ, bℓa+γ aν ], a+αaβ]}/Ma(+) (G11− 1.3) − ∑ q⃗,ℓ ∑ η,ν Cηβ(q⃗)Cαν(ℓ)TR{ρeq[[bq⃗a+η aγ, b−ℓa+γ aν ], a+αaβ]}/Ma(+) (G11− 1.4) +G11− 2.1 +G11− 2.2 +G11− 2.3 +G11− 2.4 − ∑ q⃗,ℓ ∑ η,ν Cγη(q⃗)Cνγ(ℓ)TR{ρeq[[bq⃗a+β aη, bℓa+ν aα], a+αaβ]}/Mb(+) (G11− 3.1) − ∑ q⃗,ℓ ∑ η,ν Cγη(q⃗)Cνγ(ℓ)TR{ρeq[[bq⃗a+β aη, b−ℓa+ν aα], a+αaβ]}/Mb(+) (G11− 3.2) P.34 + ∑ q⃗,ℓ ∑ η,ν Cγη(q⃗)Cαν(ℓ)TR{ρeq[[bq⃗a+β aη, bℓa+γ aν ], a+αaβ]}/Mb(+) (G11− 3.3) + ∑ q⃗,ℓ ∑ η,ν Cγη(q⃗)Cαν(ℓ)TR{ρeq[[bq⃗a+β aη, b−ℓa+γ aν ], a+αaβ]}/Mb(+) (G11− 3.3) +G11− 4.1 +G11− 4.2 +G11− 4.3 +G11− 4.4. Trong đó G11-2.1, G11-2.2, G11-2.3 và G11-2.4 (G11-4.1, G11-4.2, G11-4.3 và G11-4.4) lần lượt bằng G11-1.1, G11-1.2, G11-1.3 và G11-1.4 (G11-3.1, G11-3.2, G11- 3.3 và G11-3.4) nhưng thay bq⃗ bởi b + −q⃗ và Ma(+) (Mb(+)) bởi Ma(−) (Mb(−)). Biểu thức của G11(P.104) có tất cả mười sáu số hạng, trong đó có tám số hạng G11-1.1, G11-1.3, G11-2.2, G11-2.4, G11-3.1, G11-3.3, G11-4.2 và G11-4.4 bằng không. Mỗi số hạng đó chứa hoặc hai toán tử sinh phonon hoặc hai toán tử hủy phonon nên giao hoán tử và lấy trung bình thống kê đều bằng không. Trong tám số hạng còn lại chỉ có hai số hạng cho đóng góp khác không là G11-3.2 và G11-4.1 (Phụ lục 24), G11− 3.2 = − ∑ q⃗,ℓ ∑ η,ν Cγη(q⃗)Cνγ(ℓ)TR{ρeq[[bq⃗a+β aη, b−ℓa+ν aα], a+αaβ]}/Mb(+) = − ∑ q⃗,η Cγη(q⃗)Cηγ(−q⃗)/M4(+){[(1 +Nq⃗)fβ(1− fη −Nq⃗fη(1− fβ)] − [(1 +Nq⃗)fα(1− fη)−Nq⃗fη(1− fα)]}, G11− 4.1 = − ∑ q⃗,ℓ ∑ η,ν Cγη(q⃗)Cνγ(ℓ)TR{ρeq[[b+−q⃗a+β aη, bℓa+ν aα], a+αaβ]}/Mb(−) = − ∑ q⃗,η Cγη(q⃗)Cηγ(−q⃗)/M4(−){[(1 +Nq⃗)fη(1− fα)−Nq⃗fα(1− fη)] − [(1 +Nq⃗)fη(1− fβ)−Nq⃗fβ(1− fη)]}, các số hạng còn lại đều cho đóng góp bằng không (tính toán hoàn toàn tương tự các số hạng khác không). Vậy G11 = − ∑ q⃗,η Cγη(q⃗)Cηγ(−q⃗) × {(1 +Nq⃗)fβ(1− fη)−Nq⃗fη(1− fβ) ~ω¯12 − Eβη + ~ωq⃗ − (1 +Nq⃗)fα(1− fη)−Nq⃗fη(1− fα) ~ω¯12 − Eβη + ~ωq⃗ + (1 +Nq⃗)fη(1− fα)−Nq⃗fα(1− fη) ~ω¯12 − Eβη − ~ωq⃗ − (1 +Nq⃗)fη(1− fβ)−Nq⃗fβ(1− fη) ~ω¯12 − Eβη − ~ωq⃗ } . Tính số hạng G12(P.104): Thay (P.106) vào (P.104), ta được G12(P.104) = TR{ρeq[[(~ω¯12 − Ld)−1Lva+β aγ, a+γ aα], Lva+αaβ]} = TR{ρeq[[ ∑ q⃗,η (Cηβ(q⃗) bq⃗a + η aγ ~ω¯12 − Eηγ + ~ωq⃗ + Cηβ(q⃗) b+−q⃗a + η aγ ~ω¯12 − Eηγ − ~ωq⃗ − Cγη(q⃗) bq⃗a + β aη ~ω¯12 − Eβη + ~ωq⃗ − Cγη(q⃗) b+−q⃗a + β aη ~ω¯12 − Eβη − ~ωq⃗ ), a + γ aα],∑ ℓ,ν (bℓ + b + −ℓ)(Cνα(ℓ)a + ν aβ − Cβν(ℓ)a+αaν)]}. P.35 Khai triển các giao hoán tử ta được 32 số hạng nhưng chỉ có hai số hạng cho đóng góp khác không là SH1.4 = − ∑ q⃗,ℓ ∑ η,ν Cηβ(q⃗)Cβν(ℓ) ~ω¯12 − Eηγ + ~ωq⃗TR{ρeq[bq⃗a + η aα, b + −ℓa + αaν ]} = − ∑ q⃗ ∑ η Cηβ(q⃗)Cβη(−q⃗) ~ω¯12 − Eηγ + ~ωq⃗ [(1 +Nq⃗)fη(1− fα)−Nq⃗fα(1− fη)], SH3.3 = − ∑ q⃗,ℓ ∑ η,ν Cηβ(q⃗)Cβν(ℓ) ~ω¯12 − Eηγ − ~ωq⃗TR{ρeq[b + −q⃗a + η aα, bℓa + αaν ]} = − ∑ q⃗ ∑ η Cηβ(q⃗)Cβη(−q⃗) ~ω¯12 − Eηγ − ~ωq⃗ [(1 +Nq⃗)fα(1− fη)−Nq⃗fη(1− fα)]. Vậy G12 = − ∑ q⃗ ∑ η Cηβ(q⃗)Cβη(−q⃗){(1 +Nq⃗)fα(1− fη)−Nq⃗fη(1− fα)~ω¯12 − Eηγ − ~ωq⃗ − (1 +Nq⃗)fη(1− fα)−Nq⃗fα(1− fη) ~ω¯12 − Eηγ + ~ωq⃗ }. Hàm suy giảm phi tuyến bậc một nhận được bằng cách thay các biểu thức của G11 và G12 vào (P.104), Γαβγ1 (ω¯12) = ∑ q⃗ ∑ η Cγη(q⃗)Cηγ(−q⃗) fβ − fα × { (1 +Nq⃗)fβ(1− fη)−Nq⃗fη(1− fβ) ~ω¯12 − Eβη + ~ωq⃗ − (1 +Nq⃗)fα(1− fη)−Nq⃗fη(1− fα) ~ω¯12 − Eβη + ~ωq⃗ + (1 +Nq⃗)fη(1− fα)−Nq⃗fα(1− fη) ~ω¯12 − Eβη − ~ωq⃗ − (1 +Nq⃗)fη(1− fβ)−Nq⃗fβ(1− fη) ~ω¯12 − Eβη − ~ωq⃗ } − ∑ q⃗ ∑ η Cηβ(q⃗)Cβη(−q⃗) fβ − fα × { (1 +Nq⃗)fα(1− fη)−Nq⃗fη(1− fα) ~ω¯12 − Eηγ − ~ωq⃗ − (1 +Nq⃗)fη(1− fα)−Nq⃗fα(1− fη) ~ω¯12 − Eηγ + ~ωq⃗ } . (P.108) Biểu thức (P.108) là biểu thức của một hàm suy giảm phi tuyến Γαβγ1 (ω¯12) suy ra từ biểu thức (P.104). Hàm suy giảm Γαβδ2 (ω¯12) cho bởi (P.105) cũng có dạng tương tự như (P.104). Do đó, ta có thể áp dụng quá trình tính toán tương tự như đối với Γαβγ1 (ω¯12) để lần lượt tìm các biểu thức của G21 và G22 rồi thay vào (P.105), ta nhận được Γαβδ2 (ω¯12) = ∑ q⃗ ∑ η Cηδ(q⃗)Cδη(−q⃗) fβ − fα × { (1 +Nq⃗)fη(1− fβ)−Nq⃗fβ(1− fη) ~ω¯12 − Eηα + ~ωq⃗ − (1 +Nq⃗)fη(1− fα)−Nq⃗fα(1− fη) ~ω¯12 − Eηα + ~ωq⃗ P.36 + (1 +Nq⃗)fα(1− fη)−Nq⃗fη(1− fα) ~ω¯12 − Eηα − ~ωq⃗ − (1 +Nq⃗)fβ(1− fη)−Nq⃗fη(1− fβ) ~ω¯12 − Eηα − ~ωq⃗ } + ∑ q⃗ ∑ η Cαη(q⃗)Cηα(−q⃗) fβ − fα × { (1 +Nq⃗)fη(1− fβ)−Nq⃗fβ(1− fη) ~ω¯12 − Eδη − ~ωq⃗ − (1 +Nq⃗)fβ(1− fη)−Nq⃗fη(1− fβ) ~ω¯12 − Eδη + ~ωq⃗ } . Phụ lục 26 Yếu tố ma trận jαβz trong giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn jαβz = 〈α|jz|β〉 = 2 V0 〈eik⃗α⊥r⃗⊥ sin(nαpi Lz z + nαpi 2 )|ie~ m∗ ∂ ∂z |eik⃗β⊥r⃗⊥ sin(nβpi Lz z + nβpi 2 )〉 (P.109) = 2 V0 ie~ m∗ ∫ ∞ −∞ dr⃗⊥ei(k⃗ β ⊥−k⃗α⊥)r⃗⊥ ∫ Lz/2 −Lz/2 dz sin( nαpi Lz z + nαpi 2 ) cos( nβpi Lz z + nβpi 2 ) nβpi Lz = 2 V0 ie~ m∗ 2piδkβ⊥,kα⊥ ∫ Lz/2 −Lz/2 dz sin( nαpi Lz z + nαpi 2 ) cos( nβpi Lz z + nβpi 2 ) nβpi Lz = 4pi2nβie~ m∗LzV0 δkβ⊥,kα⊥ × I, (P.110) trong đó I = ∫ Lz/2 −Lz/2 dz sin( nαpi Lz z + nαpi 2 ) cos( nβpi Lz z + nβpi 2 ). Khi nα ̸= nβ I = 1 2 ∫ Lz/2 −Lz/2 dz { sin [(nα + nβ)pi Lz z + (nα + nβ)pi 2 ] + sin [(nα − nβ)pi Lz z + (nα − nβ)pi 2 ]} = 1 2 { − Lz (nα + nβ)pi cos [(nα + nβ)pi Lz z + (nα + nβ)pi 2 ]|Lz/2−Lz/2 − Lz (nα − nβ)pi cos [(nα − nβ)pi Lz z + (nα − nβ)pi 2 ]|Lz/2−Lz/2} = 1 2 { − Lz (nα + nβ)pi cos(nα + nβ)pi + Lz (nα + nβ)pi cos 0 − Lz (nα − nβ)pi cos(nα − nβ)pi + Lz (nα − nβ)pi cos 0 } = 1 2 { − Lz (nα + nβ)pi (−1)nα+nβ + Lz (nα + nβ)pi − Lz (nα − nβ)pi (−1) nα−nβ + Lz (nα − nβ)pi } = Lz 2pi [1− (−1)nα+nβ nα + nβ + 1− (−1)nα−nβ nα − nβ ] . (P.111) P.37 Khi nα = nβ I = ∫ Lz/2 −Lz/2 dz sin( nαpi Lz z + nαpi 2 ) cos( nβpi Lz z + nβpi 2 ) = 1 2 ∫ Lz/2 −Lz/2 dz sin( 2nαpi Lz z + nαpi) = 1 2 [− Lz 2nαpi cos( 2nαpi Lz z + nαpi)|Lz/2−Lz/2 ] = − Lz 4nαpi (cos 2nαpi − cos 0) = 0. (P.112) Kết hợp (P.110), (P.111) và (P.112) ta được jαβz = i 2pie~nβ m∗V0 [1− (−1)nα+nβ nα + nβ + 1− (−1)nα−nβ nα − nβ ] δkβ⊥,kα⊥ , nβ ̸= nα 0, nβ = nα. (P.113) Phụ lục 27 Yếu tố ma trận jαβz trong giếng lượng tử thế parabol jαβz = 〈α|jz|β〉 = 〈kα⊥, nα| ie~ m ∂ ∂z |kβ⊥, nβ〉 = ie~ m 〈kα⊥|kβ⊥〉〈nα| ∂ ∂z |nβ〉 = ie~ m δkα⊥,k β ⊥ 〈nα| ∂ ∂z |nβ〉, (P.114) bây giờ ta tính ∂ ∂z |nβ〉 = ∂ ∂z [( 1 2nβnβ! √ piaz )1/2 exp(− z 2 2a2z )Hnβ( z az ) ] = ( 1 2nβnβ! √ piaz )1/2[− z a2z exp(− z 2 2a2z )Hnβ( z az ) + exp(− z 2 2a2z ) ∂ ∂z Hnβ( z az ) ] = ( 1 2nβnβ! √ piaz )1/2[− z a2z exp(− z 2 2a2z )Hnβ( z az ) + exp(− z 2 2a2z )H ′nβ( z az ) 1 az ] , (P.115) đặt u = z az ⇒ z = uaz, khi đó (P.115) được viết lại ∂ ∂z |nβ〉 = ( 1 2nβnβ! √ piaz )1/2[− 1 az exp(−u 2 2 )uHnβ(u) + exp(− u2 2 )H ′nβ(u) 1 az ] = ( 1 2nβnβ! √ piaz )1/2 1 az exp(−u 2 2 ) [− uHnβ(u) +H ′nβ(u)], (P.116) áp dụng [17] Hn+1(u) = 2uHn(u)− 2nHn−1(u)⇒ uHn(u) = 1 2 Hn+1(u) + nHn−1(u), H ′n(u) = 2nHn−1(u), P.38 lúc này (P.116) được viết lại ∂ ∂z |nβ〉 = ( 1 2nβnβ! √ piaz )1/2 1 az exp(−u 2 2 ) [− 1 2 Hnβ+1(u) + nβHnβ−1(u) ] = ( 1 2nβnβ! √ piaz )1/2 1 az exp(−u 2 2 )nβHnβ−1(u) − ( 1 2nβnβ! √ piaz )1/2 1 az exp(−u 2 2 ) 1 2 Hnβ+1(u) = ( 1 22nβ−1nβ(nβ−1)! √ piaz )1/2 nβ 1 az exp(−u 2 2 )Hnβ−1(u) − ( 1 2−12nβ+1(nβ + 1)−1(nβ + 1)! √ piaz )1/2 1 2az exp(−u 2 2 )Hnβ+1(u) = √ nβ 2 1 az ( 1 2nβ−1(nβ−1)! √ piaz )1/2 exp(−u 2 2 )Hnβ−1(u) − √ nβ + 1 2 1 az ( 1 2nβ+1(nβ + 1)! √ piaz )1/2 exp(−u 2 2 )Hnβ+1(u) = √ nβ 2 1 az |nβ − 1〉 − √ nβ + 1 2 1 az |nβ + 1〉, (P.117) thay (P.117) vào (P.114), ta thu được jαβz = ie~ m δkα⊥,k β ⊥ 〈nα| ∂ ∂z |nβ〉 = ie~ m δkα⊥,k β ⊥ 〈nα| √ nβ 2 1 az |nβ − 1〉 − √ nβ + 1 2 1 az |nβ + 1〉 = ie~ m δkα⊥,k β ⊥ (√ nβ 2 1 az 〈nα|nβ − 1〉 − √ nβ + 1 2 1 az 〈nα|nβ + 1〉 ) = ie~ maz δkα⊥,k β ⊥ (√ nβ 2 δnα,nβ−1 − √ nβ + 1 2 δnα,nβ+1 ) . (P.118) Phụ lục 28 Phần thực của tenxơ độ dẫn σzz(ω) = i ω lim ∆→0+ ∑ α,β |jαβz |2 fβ − fα ~ω¯ − Eβα − ~Γαβ0 (ω¯) , (P.119) trong đó Γαβ0 (ω¯) = A αβ 0 (ω) + iB αβ 0 (ω). (P.120) Thay (P.120) vào (P.119), ta được σzz(ω) = i ω lim ∆→0+ ∑ α,β |jαβz |2 fβ − fα ~ω¯ − Eβα − ~[Aαβ0 (ω) + iBαβ0 (ω)] = i ω lim ∆→0+ ∑ α,β |jαβz |2 fβ − fα ~ω − Eβα − ~Aαβ0 (ω)− i~[Bαβ0 (ω) + ∆] . (P.121) P.39 Sử dụng điều kiện gần đúng Lorentz [24], ta bỏ qua đại lượng Aαβ0 (ω), khi đó (P.121) được viết lại như sau σzz(ω) = i ω ∑ α,β |jαβz |2 fβ − fα ~ω − Eβα − i~Bαβ0 (ω) . (P.122) Nhân tử và mẫu số của (P.122) với lượng liên hợp phức ~ω−Eβα+ i~Bαβ0 (ω), ta được σzz(ω) = i ω ∑ α,β |jαβz |2 (fβ − fα)[~ω − Eβα + i~Bαβ0 (ω)] (~ω − Eβα)2 + [~Bαβ0 (ω)]2 = 1 ω ∑ α,β |jαβz |2 [ i(fβ − fα)(~ω − Eβα) (~ω − Eβα)2 + [~Bαβ0 (ω)]2 − (fβ − fα)~B αβ 0 (ω) (~ω − Eβα)2 + [~Bαβ0 (ω)]2 ] = 1 ω ∑ α,β |jαβz |2 [ (fα − fβ)~Bαβ0 (ω) (~ω − Eβα)2 + [~Bαβ0 (ω)]2 + i(fβ − fα)(~ω − Eβα) (~ω − Eβα)2 + [~Bαβ0 (ω)]2 ] , suy ra Re[σzz(ω)] = 1 ω ∑ α,β |jαβz |2 (fα − fβ)~Bαβ0 (ω) [~ω − (Eβ − Eα)]2 + [~Bαβ0 (ω)]2 . (P.123) P.40