Luận văn Các điểm xoắn hữu tỷ của đường cong elliptic trên trường hữu tỷ

Ví dụ 2.4.1.14 Xét đường cong elliptic (�): �2 = �3 − 58347� + 3954150 trên trường ℚ. Ta sẽ sử dụng thuật toán Doud để tìm cấu trúc nhóm xoắn của �. Biệt thức của � là 4�3 + 27�2 = −372386507784192. Biệt thức này thực tế có thể phân tích thành −218. 317. 11 và ta thấy rằng sử dụng phương pháp Nagell – Lutz trong trường hợp này sẽ rất hạn chế. Bây giờ ta sử dụng phương pháp giản lược mod � để tìm chặn trên thích hợp cho bậc của nhóm xoắn. Cho � = 5, nhận được #�(�5) = 10 (chẳng hạn dùng thuật toán Schoof). Cho � = 7, nhận được #�(�7) = 10. Kết luận #�(ℚ)tor|10. Dùng thuật toán AGM (xem Phụ lục B), nhận được

pdf82 trang | Chia sẻ: phamthachthat | Ngày: 14/08/2017 | Lượt xem: 546 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Luận văn Các điểm xoắn hữu tỷ của đường cong elliptic trên trường hữu tỷ, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
u tỷ trong các cặp đôi (x,y) nào. Tuy nhiên trong thực tế bài toán không đơn giản như vậy. Chỉ riêng nhóm con xoắn của nhóm các điểm hữu tỷ dù đã được mô tả triệt để về cấu trúc tổng quát nhờ định lý Mazur nhưng với các bài toán cụ thể thì phải xử lý chi tiết hơn nhờ vào các kết quả nghiên cứu và công cụ của Lý thuyết nhóm. Nội dung đó chỉ được minh họa qua một số thí dụ ở phần sau, không đi sâu vào chi tiết kỹ thuật. 2.2.4 Hạng đại số và hai bài toán cơ bản Từ định lý Mordell – Weil và định lý về cấu trúc các nhóm abel hữu hạn sinh, ta suy ra là 𝐸(ℚ) = ℤ𝑟⨁𝐸(ℚ)tor. Trong đó, 𝑟 ∈ ℤ≥0 được gọi là hạng đại số của 𝐸. Hai bài toán cơ bản trong lý thuyết đường cong elliptic là 1. Xác định nhóm con xoắn 𝐸(ℚ)tor. 2. Xác định hạng đại số của 𝐸. Việc xác định nhóm con xoắn 𝐸(ℚ)tor sẽ được bàn chi tiết ở các phần sau. Đây cũng là nội dung làm việc chính của đề tài này. Trong mục này, ta sẽ tập trung bàn về hạng đại số của đường cong elliptic. Để tính được hạng đại số, ta thường phải biết tất cả các điểm hữu tỷ trên ℚ. Do đó, hạng đại số của 𝐸 thường rất khó tính. Tuy nhiên, ta sẽ xem xét cách tính hạng đại số của đường cong elliptic 𝐸: 𝑦2 = 𝑥3 − 4𝑥. Kết quả này sẽ được sử dụng trong phần sau để chứng minh hai đường cong elliptic trên một trường không đóng đại số với cùng một j – bất biến có thể không đẳng cấu với nhau. Trước hết, ta sẽ tính tất cả các điểm hữu tỷ trên 𝐸:𝑦2 = 𝑥3 − 4𝑥. Để làm được như vậy, ta cần định lý sau Định lý 2.2.4.1 Cho 𝐸: 𝑦2 = (𝑥 − 𝑒1)(𝑥 − 𝑒2)(𝑥 − 𝑒3), với 𝑒1, 𝑒2, 𝑒3 ∈ ℤ. Khi đó ánh xạ 𝜙:𝐸(ℚ) ⟶ (ℚ/(ℚ×)2)⨁(ℚ/(ℚ×)2)⨁(ℚ/(ℚ×)2) định nghĩa bởi (𝑥, 𝑦) ⟼ (𝑥 − 𝑒1,𝑥 − 𝑒2, 𝑥 − 𝑒3), 𝑦 ≠ 0 𝒪 ⟼ (1,1,1), (𝑒1, 0) ⟼ �(𝑒1 − 𝑒2)(𝑒1 − 𝑒3), 𝑒1 − 𝑒2, 𝑒1 − 𝑒3�, (𝑒2, 0) ⟼ (𝑒2 − 𝑒1, (𝑒2 − 𝑒1)(𝑒2 − 𝑒3), 𝑒2 − 𝑒3), (𝑒3, 0) ⟼ �𝑒3 − 𝑒1, 𝑒3 − 𝑒2, (𝑒3 − 𝑒1)(𝑒3 − 𝑒2)� là một đồng cấu. Kernel của phép đồng cấu này là 2𝐸(ℚ). Ta sẽ sử dụng định lý trên để chứng minh mệnh đề sau Mệnh đề 2.2.4.2 Cho 𝐸: 𝑦2 = 𝑥3 − 4𝑥 trên ℚ. Khi đó, 𝐸(ℚ) = {𝒪, (0,0), (2,0), (−2,0)}. Chứng minh Chú ý là 𝐸: 𝑦2 = 𝑥3 − 4𝑥 = 𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 + 2). Đặt 𝑥 = 𝑎𝑢2, 𝑥 − 2 = 𝑏𝑣2, 𝑥 + 2 = 𝑐𝑤2 với 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ là các số bình phương tự do (không chứa ước số bậc 2) và 𝑢, 𝑣,𝑤 ∈ ℚ. Khi đó 𝑦2 = 𝑎𝑏𝑐(𝑢𝑣𝑤)2. Suy ra 𝑎𝑏𝑐 ∈ ℤ2. Ta sẽ chứng minh 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ {±1, ±2}. Giả sử 𝑝|𝑎 với 𝑝 là một số nguyên tố lẻ. Vì 𝑎 là số nguyên bình phương tự do, 𝑝2 ∤ 𝑎. Gọi 𝑘 là số mũ cao nhất của 𝑝 sao cho 𝑝𝑘|𝑥 thì ta có 𝑘 lẻ vì 𝑥 = 𝑎𝑢2. Nếu 𝑘 < 0 thì 𝑘 cũng là số mũ cao nhất chia hết mẫu số của 𝑥 ± 2. Suy ra 𝑦2 chia hết đúng cho 𝑝3𝑘 . Nhưng điều này vô lý vì 3𝑘 là số lẻ. Nếu 𝑘 > 0 thì 𝑝|𝑥. Do đó, 𝑝 ∤ (𝑥 ± 2). Suy ra 𝑘 cũng là số mũ cao nhất sao cho 𝑝𝑘|𝑦2. Nhưng điều này vô lý vì 𝑘 lẻ. Vậy 𝑎 không chia hết cho số nguyên tố 𝑝 lẻ nào. Tương tự cho 𝑏, 𝑐. Tiếp theo, chú ý là 𝑥 + 2 > 𝑥 > 𝑥 − 2 và 𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 + 2) = 𝑦2 ≥ 0. Do đó, 𝑥 + 2 ≥ 0. Từ đó suy ra 𝑐 > 0. Vì 𝑎𝑏𝑐 ≥ 0, ta suy ra 𝑎, 𝑏 cùng dấu. Vì 𝑎𝑏𝑐 là số chính phương, ta chỉ cần xét các trường hợp (𝑎, 𝑏, 𝑐) ∈{(−1,−1,1), (1,1,1), (−1,−2,2), (1,2,2), (−2,−1,2), (2,1,2), (−2,−2,1), (2,2,1)}. Ta sẽ chứng minh rằng các trường hợp (−1,−1,1), (1,2,2), (2,1,2), (−2,−2,1) không thể xảy ra. Định nghĩa 𝜙:𝐸(ℚ) ⟶ (ℚ/(ℚ×)2)⨁(ℚ/(ℚ×)2)⨁(ℚ/(ℚ×)2): (𝑥,𝑦) ⟼ (𝑎, 𝑏, 𝑐). Khi đó, theo Định lý 2.2.4.1, 𝜙 là một đồng cấu nhóm và 𝜙(𝒪) = (1,1,1),𝜙(0,0) = (−1,−2,2),𝜙(−2,0) = (−2,−1,2),𝜙(2,0) = (2,2,1). Giả sử (𝑎, 𝑏, 𝑐) = (−1,−1,1). Khi đó tồn tại một điểm 𝑃 ∈ 𝐸(ℚ) sao cho 𝜙(𝑃) =(−1,−1,1). Bây giờ ta tính 𝜙�𝑃 + (0,0)� = 𝜙(𝑃)𝜙(0,0) = (−1,−1,1)(−1,−2,2) = (1,2,2). Nhưng ta đã chỉ ra trước đó là không có điểm nào của 𝐸 tương ứng với điểm (1,2,2). Vậy, trường hợp này không xảy ra. Tương tự, ta loại (1,2,2), (2,1,2), (−2,−2,1). Vậy còn lại 4 trường hợp là (1,1,1), (−1,−2,2), (2,2,1), (−2,−1,2) tương ứng với 4 điểm 𝒪, (0,0), (2,0), (−2,0) trên đường cong elliptic 𝐸. Suy ra 𝐸(ℚ)/2𝐸(ℚ) = {𝒪, (0,0), (2,0), (−2,0)}. Sử dụng định lý Nagell – Lutz, ta tính được 𝐸(ℚ)tor = 𝐸(ℚ)[2] = {𝒪, (0,0), (2,0), (−2,0)}. Vậy, 𝐸(ℚ) = {𝒪, (0,0), (2,0), (−2,0)}. ∎ Ta rút ra từ mệnh đề trên một hệ quả quan trọng sau Hệ quả 2.2.4.3 Hạng đại số của 𝐸: 𝑦2 = 𝑥3 − 4𝑥 trên ℚ bằng 0. Chứng minh Sử dụng thuật toán Nagell – Lutz, ta tính được 𝐸(ℚ)tor = 𝐸(ℚ) ={𝒪, (0,0), (2,0), (−2,0)}. Theo định lý Mordell – Weil, 𝐸(ℚ) = ℤ𝑟⨁𝐸(ℚ)tor. Vậy, 𝑟 = 0. ∎ Nhắc lại là hai đường cong elliptic trên trường đại số đóng 𝕂 với cùng một j – bất biến sẽ đẳng cấu với nhau. Tuy nhiên, nếu 𝕂 ≠ 𝕂� , điều đó có thể không đúng nữa. Trên trường ℚ, ta có ví dụ minh họa cụ thể như sau Ví dụ 2.2.4.4 Xét hai đường cong elliptic 𝐸: 𝑦2 = 𝑥3 − 4𝑥 và 𝐸′:𝑦2 = 𝑥3 − 25𝑥 trên ℚ. Dễ thấy, 𝑗(𝐸) = 𝑗(𝐸′) = 1728. Theo Mệnh đề 2.2.4.2, #𝐸(ℚ) = 4 < ∞. Bằng cách kiểm tra trực tiếp, ta có điểm (4,−6) ∈ 𝐸′(ℚ) có bậc vô hạn. Vậy, #𝐸′(ℚ) = ∞. Suy ra 𝐸 ≇ 𝐸′. Ví dụ trên cho thấy điều kiện 𝜇 ∈ 𝕂�\{0} trong Định lý 2.1.3.2 là cần thiết và do đó, hai đường cong elliptic trên một trường không đóng đại số với cùng một j – bất biến có thể không đẳng cấu với nhau. 2.3 Mô tả chung về luật nhóm và các j – bất biến của một số họ đường cong 2.3.1 Luật nhóm và một số phương pháp xác định điểm bội Một phát hiện thú vị khởi nguồn các nghiên cứu về đường cong elliptic là ta có thể đặt ra một phép toán trên tập hợp các điểm 𝐸(ℚ) của một đường cong elliptic 𝐸 mà thông qua đó, 𝐸(ℚ) có cấu trúc của một nhóm aben. Cụ thể như sau : Cho 𝐸:𝑦2 = 𝑥3 + 𝐴𝑥 + 𝐵 là đường cong elliptic trên trường ℚ. Giả sử 𝑃 = (𝑥1, 𝑦1) và 𝑄 = (𝑥2, 𝑦2) là 2 điểm trên 𝐸. Ta vẽ đường thẳng 𝐿 qua 𝑃,𝑄 cắt 𝐸 tại một điểm duy nhất 𝑅. Đối xứng điểm đó qua trục 𝑂𝑥, ta nhận được điểm 𝑅′ = (𝑥3,𝑦3) ∈ 𝐸(ℚ). Và ta định nghĩa 𝑃 + 𝑄 = 𝑅′. Chú ý là nếu 𝑃 = 𝑄 thì ta sẽ sử dụng tiếp tuyến tại 𝑃 của 𝐸. Hình 2.2: Luật nhóm. Bây giờ ta sẽ biểu diễn quy tắc trên bằng phương pháp đại số. Khi 𝑃 ≠ 𝑄 và không có điểm nào là điểm ở vô tận 𝒪, ta vẽ đường thẳng 𝐿 qua 𝑃,𝑄. Hệ số góc của đường thẳng đó là 𝑚 = 𝑦2 − 𝑦1 𝑥2 − 𝑥1 . Giả sử rằng 𝑥1 ≠ 𝑥2 để 𝐿 không phải là đường thẳng đứng (song song với 𝑂𝑦). Khi đó, phương trình của 𝐿 là 𝑦 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) + 𝑦1. Để tìm giao điểm của 𝐿 với 𝐸, thay phương trình trên vào phương trình của 𝐸, nhận được (𝑚(𝑥 − 𝑥1) + 𝑦1)2 = 𝑥3 + 𝐴𝑥 + 𝐵 ⇒ 0 = 𝑥3 − 𝑚2𝑥2 + ⋯ Do đó, 3 nghiệm của phương trình bậc 3 này sẽ tương ứng với 3 giao điểm của 𝐿 với 𝐸. Hai nghiệm đã biết là 𝑥1, 𝑥2. Như vậy, giao điểm thứ 3 sẽ là � 𝑥0 = 𝑚2 − 𝑥1 − 𝑥2 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) + 𝑦1. Vậy, 𝑅 = (𝑥0, 𝑦0). Đối xứng 𝑅 qua trục 𝑂𝑥, ta nhận được 𝑃 + 𝑄. Tức là, � 𝑥3 = 𝑚2 − 𝑥1 − 𝑥2 𝑦3 = 𝑚(𝑥1 − 𝑥3) − 𝑦1. Nếu 𝑥1 = 𝑥2 nhưng 𝑦1 ≠ 𝑦2 thì 𝐿 là đường thẳng đứng qua 𝑃,𝑄. Ta định nghĩa 𝐿 ∩ 𝐸 = 𝒪. Và đối xứng 𝒪 qua 𝑂𝑥 ta vẫn nhận được 𝒪. Vậy, trong trường hợp này, ta có 𝑃 + 𝑄 = 𝒪. Khi 𝑃 = 𝑄, ta dựng tiếp tuyến 𝐿 tại điểm 𝑃 = (𝑥1,𝑦1) = (𝑥2,𝑦2) của 𝐸. Sử dụng đạo hàm gián tiếp (implicit differentiation) cho hệ số góc của 𝐿 là 𝑚 = 3𝑥12 + 𝐴2𝑦1 . Nếu 𝑦1 = 0 thì 𝐿 là đường thẳng đứng và ta định nghĩa 𝑃 + 𝑄 = 𝒪 giống như trước. Do đó, giả sử 𝑦1 ≠ 0. Phương trình của 𝐿 sẽ là 𝑦 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) + 𝑦1. Thực hiện lại quá trình giống như trường hợp 𝑃 ≠ 𝑄, ta nhận được � 𝑥3 = 𝑚2 − 2𝑥1 𝑦3 = 𝑚(𝑥1 − 𝑥3) − 𝑦1. Và trường hợp cuối cùng là 𝑄 = 𝒪. Đường thẳng 𝐿 qua 𝑃,𝑄 khi này sẽ là đường thẳng đứng cắt 𝐸 tại điểm 𝑃′. Đối xứng điểm này qua 𝑂𝑥, ta nhận được 𝑃. Và do đó, 𝑃 + 𝑄 = 𝑃 + 𝒪 = 𝑃. Ta tóm tắt lại toàn bộ quá trình trên trong định lý sau, gọi là luật nhóm trên đường cong elliptic: Hình 2.3: Đối của một điểm trên E. Định lý 2.3.1.1 Cho (𝐸): 𝑦2 = 𝑥3 + 𝐴𝑥 + 𝐵 trên trường ℚ. Cho 𝑃 = (𝑥1,𝑦1) và 𝑄 = (𝑥2,𝑦2) là hai điểm trên 𝐸 với 𝑃,𝑄 ≠ 𝒪. Đặt 𝑃 + 𝑄 = (𝑥3, 𝑦3). Khi đó, 1. Nếu 𝑥1 ≠ 𝑥2 thì 𝑥3 = 𝑚2 − 𝑥1 − 𝑥2, 𝑦3 = 𝑚(𝑥1 − 𝑥3) − 𝑦1, 𝑚 = 𝑦2 − 𝑦1𝑥2 − 𝑥1. 2. Nếu 𝑥1 = 𝑥2 và 𝑦1 ≠ 𝑦2 thì 𝑃 + 𝑄 = 𝒪. 3. Nếu 𝑃 = 𝑄 và 𝑦1 ≠ 0 thì 𝑥3 = 𝑚2 − 2𝑥1, 𝑦3 = 𝑚(𝑥1 − 𝑥3) − 𝑦1, 𝑚 = 3𝑥12 + 𝐴2𝑦1 . 4. Nếu 𝑃 = 𝑄 và 𝑦1 = 0 thì 𝑃 + 𝑄 = 𝒪. Hơn nữa, 𝑃 + 𝒪 = 𝑃 với mọi 𝑃 trên 𝐸. Định lý 2.3.1.2 Quy tắc cộng điểm nêu trên thỏa: 1. 𝑃 + 𝑄 = 𝑄 + 𝑃 với mọi 𝑃,𝑄 ∈ 𝐸(ℚ). 2. 𝑃 + 𝒪 = 𝑃 với mọi 𝑃 ∈ 𝐸(ℚ). 3. Tồn tại điểm 𝑃′ = −𝑃 ∈ 𝐸(ℚ) sao cho 𝑃 + 𝑃′ = 𝒪 với mọi 𝑃 ∈ 𝐸(ℚ). 4. (𝑃 + 𝑄) + 𝑇 = 𝑃 + (𝑄 + 𝑇) với mọi 𝑃,𝑄,𝑇 ∈ 𝐸(ℚ). Định lý trên nói rằng (𝐸, +) thực sự là một nhóm abel với 𝒪 là điểm đơn vị. Ví dụ 2.3.1.3 Cho (𝐸):𝑦2 = 𝑥3 + 17 là đường cong elliptic trên ℚ và 𝑃 =(−1,4),𝑄 = (2,5) là 2 điểm trên 𝐸. Ta sẽ sử dụng các công thức trên để tính 𝑃 + 𝑄 và 2𝑃. Tính 𝑃 + 𝑄: Hệ số góc 𝑚 của 𝐿 bằng 𝑚 = 4 − 5 −1 − 2 = 13. Đường thẳng 𝐿 có phương trình 𝑦 = 13 𝑥 + 133 . Giao điểm thứ 3 của 𝐿 với 𝐸 là ⎩ ⎨ ⎧ 𝑥3 = �13�2 + 1 − 2 = − 89 𝑦3 = 13 �−1 + 89� − 4 = 10927 . Suy ra 𝑃 + 𝑄 = �− 8 9 , 109 27 �. Tính 2𝑃: Hệ số góc 𝑚 của 𝐿 bằng 𝑚 = 3(−1)2 + 02 × 4 = 38. Đường thẳng 𝐿 có phương trình 𝑦 = 38 𝑥 − 298 . Giao điểm thứ 3 của 𝐿 với 𝐸 là ⎩ ⎨ ⎧ 𝑥3 = �38�2 + 2 = 13764 𝑦3 = 38 �−1 − 13764 � − 4 = − 1413504 . Suy ra 2𝑃 = �137 64 ,−1413 504 �. Tiếp theo, ta sẽ xem xét một số đa thức đặc trưng thỏa mãn bởi tọa độ của các điểm có bậc hữu hạn. Những đa thức như vậy được gọi là đa thức chia. Đặt 𝜓0 = 0 𝜓1 = 1 𝜓2 = 2𝑦 𝜓3 = 3𝑥4 + 6𝐴𝑥2 + 12𝐵𝑥 − 𝐴2 𝜓4 = 4𝑦(𝑥6 + 5𝐴𝑥4 + 20𝐵𝑥3 − 5𝐴2𝑥2 − 4𝐴𝐵𝑥 − 8𝐵2 − 𝐴3) ⋮ 𝜓2𝑚 = (2𝑦)−1𝜓𝑚(𝜓𝑚+2𝜓𝑚−12 − 𝜓𝑚−2𝜓𝑚+12 ), 𝑚 ≥ 3 𝜓2𝑚+1 = 𝜓𝑚+2𝜓𝑚3 − 𝜓𝑚−1𝜓𝑚+13 , 𝑚 ≥ 2 Định lý 2.3.1.4 Cho 𝑃 = (𝑥,𝑦) là một điểm trên đường cong elliptic (𝐸):𝑦2 = 𝑥3 + 𝐴𝑥 + 𝐵 trên trường 𝕂, với char(𝕂) ≠ 2,3. Cho 𝑛 là một số nguyên dương. Khi đó, 𝑛𝑃 = �𝜙𝑛(𝑥) 𝜓𝑛2(𝑥) ,𝜔𝑛(𝑥,𝑦)𝜓𝑛3(𝑥) �. Trong đó, 𝜙𝑛 = 𝑥𝜓𝑛2 − 𝜓𝑛+1𝜓𝑛−1, 𝜔𝑛 = (4𝑦)−1(𝜓𝑛+2𝜓𝑛−12 − 𝜓𝑛−2𝜓𝑛+12 ). Hệ quả 2.3.1.5 Nếu 𝑃 = (𝑥,𝑦) là một điểm bậc 𝑛 trên 𝐸 thì 𝜓𝑛(𝑥, 𝑦) = 0. Định lý 2.3.1.6 Cho 𝑛 ∈ ℕ bất kỳ, đa thức 𝜓𝑛 có thể viết lại dưới dạng 𝜓𝑛 = �𝑦 �𝑛𝑥𝑛2−42 + ⋯� , nếu 𝑛 chẵn 𝑛𝑥 𝑛2−1 2 + ⋯ , nếu 𝑛 lẻ . Hệ quả 2.3.1.7 Cho 𝑛 là một số nguyên dương. Khi đó, 𝐸 có tối đa 𝑛 2+2 2 điểm bậc 𝑛 nếu 𝑛 chẵn, và tối đa 𝑛 2−1 2 nếu 𝑛 lẻ. Sử dụng các định lý và hệ quả trên, ta có thể tìm ra các điểm của 𝐸 với bậc 𝑛 cho trước bất kỳ. Tuy nhiên, quy trình trên phụ thuộc vào việc tìm nghiệm nguyên của một phương trình đa thức, và do đó có thể tốn khá nhiều thời gian. Các phương pháp tốt hơn để tìm điểm có bậc hữu hạn cho trước (thực chất là điểm xoắn) sẽ được bàn đến ở các phần sau. Ta kết thúc phần này với thuật toán Schoof, một thuật toán rất phổ biến được sử dụng trong các phần mềm toán học hiện nay để tính số các điểm nằm trên một đường cong elliptic trên trường hữu hạn 𝔽𝑞. Thuật toán này đặc biệt hữu hiệu khi 𝑞 là số nguyên tố rất lớn. Thuật toán Schoof Giả sử 𝐸 là đường cong elliptic ở dạng 𝑦2 = 𝑥3 + 𝐴𝑥 + 𝐵 trên trường 𝔽𝑞. Theo định lý Hasse (Định lý 1.4.1), #𝐸(𝔽𝑞) = 𝑞 + 1 − 𝑎, với |𝑎| ≤ 2�𝑞. Do đó, để tính #𝐸(𝔽𝑞), ta sẽ xác định cụ thể 𝑎. Trong phần sau đây, 𝜓𝑛 sẽ là đa thức chia được giới thiệu trước đó. 1. Chọn một tập hợp các số nguyên tố 𝑆 = {2,3,5,7,11, , 𝐿}, với 𝑝 ∉ 𝑆 sao cho �𝑙 > 4�𝑞 𝑙∈𝑆 2. Nếu 𝑙 ≠ 2, ta có 𝑎 ≡ 0 (mod 2) nếu và chỉ nếu 𝑔𝑐𝑑(𝑥𝑞 − 𝑥, 𝑥3 + 𝑎𝑥 + 𝑏) ≠1. 3. Với mỗi số nguyên tố lẻ 𝑙 ∈ 𝑆, thực hiện các bước sau: a) Cho 𝑞𝑙 ≡ 𝑞 (mod 𝑙) với |𝑞𝑙| < 𝑙/2. b) Tính hoành độ 𝑥′ của (𝑥′,𝑦′) = ��𝑥𝑞2 ,𝑦𝑞2� + 𝑞𝑙(𝑥,𝑦)� (mod 𝜓𝑙). c) Với 𝑗 = 1,2,3, , (𝑙 − 1)/2, ta làm như sau: i. Tính hoành độ 𝑥𝑗 của �𝑥𝑗 ,𝑦𝑗� = 𝑗(𝑥,𝑦). ii. Nếu �𝑥′ − 𝑥𝑗 𝑞� ≡ 0 (mod 𝜓𝑙), thực hiện bước (iii). Nếu không, thử giá trị tiếp theo của 𝑗. Nếu tất cả các giá trị 1 ≤ 𝑗 ≤ (𝑙 −1)/2 đã được thử, thực hiện bước (d). iii. Tính 𝑦′ và 𝑦𝑗. Nếu (𝑦′ − 𝑦𝑗)/𝑦 ≡ 0 (mod 𝜓𝑙) thì 𝑎 ≡ 𝑗 (mod 𝑙). Nếu không thì 𝑎 ≡ −𝑗 (mod 𝑙). d) Nếu tất cả các giá trị 1 ≤ 𝑗 ≤ (𝑙 − 1)/2 đã được thử và không thành công, ta cho 𝑤2 ≡ 𝑞 (mod 𝑙). Nếu 𝑤 không tồn tại thì 𝑎 ≡ 0 (mod 𝑙). e) Nếu gcd(tử số(𝑥𝑞 − 𝑥𝑤),𝜓𝑙) = 1 thì 𝑎 ≡ 0 (mod 𝑙). Nếu không, tính gcd( tử số( (𝑦𝑞 − 𝑦𝑤) /𝑦),𝜓𝑙). Nếu gcd( tử số(𝑥𝑞 − 𝑥𝑤),𝜓𝑙) ≠ 1 thì 𝑎 ≡ 2𝑤 (mod 𝑙). Nếu không, 𝑎 ≡ −2𝑤 (mod 𝑙). 4. Sử dụng các giá trị đã biết của 𝑎 (mod 𝑙) cho mỗi giá trị 𝑙 ∈ 𝑆 để tính 𝑎 (mod Π𝑙∈𝑆𝑙). Chọn giá trị của 𝑎 thỏa cùng lúc đồng dư thức và |𝑎| ≤ 2�𝑞. Ví dụ 2.3.1.8 Xét đường cong elliptic 𝐸:𝑦2 = 𝑥3 + 2𝑥 + 1 trên trường 𝔽19. Khi đó, #𝐸(𝔽19) = 19 + 1 − 𝑎. Ta sẽ xác định cụ thể 𝑎. Ta sẽ chứng minh rằng 𝑎 ≡ � 1 (mod 2) 2 (mod 3) 3 (mod 5) . Sử dụng định lý thặng dư Trung Quốc, ta suy ra 𝑎 ≡ 23 (mod 30). Vì |𝑎| ≤2√19 < 9, ta có 𝑎 = −7. Ta bắt đầu với 𝑙 = 2. Ta tính được 𝑥19 ≡ 𝑥2 + 13𝑥 + 14 (mod 𝑥3 + 2𝑥 + 1). Sau đó, tính gcd(𝑥19 − 𝑥, 𝑥3 + 2𝑥 + 1) = gcd(𝑥2 + 12𝑥 + 14, 𝑥3 + 2𝑥 + 1) = 1. Theo đó, 𝑥3 + 2𝑥 + 1 không có nghiệm nào trong 𝔽19. Vậy, không tồn tại điểm bậc 2 nào trong 𝐸(𝔽19). Ta suy ra 𝑎 ≡ 1 (mod 2). Tiếp theo, cho 𝑙 = 3. Ta thực hiện các bước trong thuật toán Schoof, bắt đầu với 𝑗 = 1. Ta có 𝑞2 = 361 và 𝑞 ≡ 1(mod 3). Do đó, 𝑞𝑙 = 1. Cho (𝑥,𝑦) ∈ 𝐸(𝔽19)[3], ta phải kiểm tra xem liệu (𝑥361, 𝑦361) + (𝑥,𝑦) = ±(𝑥19, 𝑦19) hay không. Đa thức chia thứ ba là 𝜓3 = 3𝑥4 + 12𝑥2 + 12𝑥 − 4. Ta sẽ tính hoành độ của (𝑥361,𝑦361) + (𝑥,𝑦): � 𝑦361 − 𝑦 𝑥361 − 𝑥 � 2 − 𝑥361 − 𝑥 = (𝑥3 + 2𝑥 + 1)�(𝑥3 + 2𝑥 + 1)180 − 1 𝑥361 − 𝑥 � 2 − 𝑥361 − 𝑥, trong đó, ta đã sử dụng phương trình 𝑦2 = 𝑥3 + 2𝑥 + 1. Ta cần phải giản lược biểu thức trên theo mod 𝜓3. Vì 𝑥 = 8 là một nghiệm của 𝜓3, điểm (8,4) ∈ 𝐸(𝔽19) có bậc 3. Do đó, #𝐸(𝔽19) = 19 + 1 − 𝑎 ≡ 0 (mod 3). Ta suy ra 𝑎 ≡ 2 (mod 3). Đối với 𝑙 = 5, ta thực hiện các bước trong thuật toán Schoof để có 𝑗 = 2. Chú ý là 19 ≡ −1 (mod 5), do đó, 𝑞𝑙 = −1 và 19(𝑥,𝑦) = −(𝑥,𝑦) = (𝑥,−𝑦) ∀(𝑥,𝑦) ∈ 𝐸(𝔽19)[5]. Ta cần phải kiểm tra xem (𝑥361,𝑦361) + (𝑥,−𝑦) = ±2(𝑥19,𝑦19) với mọi (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐸(𝔽19)[5] hay không. Đặt (𝑥′, 𝑦′) = (𝑥361,𝑦361) + (𝑥,−𝑦) và (𝑥′′,𝑦′′) = 2(𝑥19, 𝑦19). Đa thức chia thứ năm là 𝜓5 = 32(𝑥3 + 2𝑥 + 1)2(𝑥6 + 10𝑥4 + 20𝑥3 − 20𝑥2 − 8𝑥 − 16) − 𝜓33 = 5𝑥12 + 10𝑥10 + 17𝑥8 + 5𝑥7 + 𝑥6 + 9𝑥5 + 12𝑥4 + 2𝑥3 + 5𝑥2 + 8𝑥 + 8. Phương trình cho các hoành độ 𝑥′ và 𝑥′′ là 𝑥′ = �𝑦361 − 𝑦 𝑥361 − 𝑥 � 2 − 𝑥361 − 𝑥 và 𝑥′′ = �3𝑥38 + 22𝑦19 �2 − 2𝑥19. Sử dụng phương trình 𝑦2 = 𝑥3 + 2𝑥 + 1, ta có � 𝑦361 − 𝑦 𝑥361 − 𝑥 � 2 − 𝑥361 − 𝑥 ≡ � 3𝑥38 + 22𝑦19 �2 − 2𝑥19 (mod 𝜓5). Do đó, 𝑎 ≡ ±2 (mod 5). Để xác định dấu, ta xem xét các tung độ. Tung độ của (𝑥′, 𝑦′) là 𝑦′ = 𝑦(9𝑥11 + 13𝑥10 + 15𝑥9 + 15𝑥7 + 18𝑥6 + 17𝑥5 + 8𝑥4 + 12𝑥3 + 8𝑥+ 6) (mod 𝜓5). Tung độ của (𝑥′′,𝑦′′) là 𝑦′′ = 𝑦(13𝑥10 + 15𝑥9 + +16𝑥8 + 13𝑥7 + 8𝑥6 + 6𝑥5 + 17𝑥4 + 18𝑥3 + 8𝑥+ 18) (mod 𝜓5). Tính toán trực tiếp có 𝑦′ + 𝑦′′ 𝑦 ≡ 0 (mod 𝜓5). Ta suy ra (𝑥′,𝑦′) ≡ (𝑥′′19,−𝑦′′19) = −2(𝑥𝑞 ,𝑦𝑞) (mod 𝜓5). Theo đó, 𝑎 ≡ −2 (mod 5). Như ta đã chỉ ra trước đó, các thông tin từ 𝑙 = 2,3,5 đủ để ta suy ra 𝑎 = −7. Vậy, #𝐸(𝔽19) = 19 + 1 − (−7) = 27. 2.3.2 Các j – bất biến của các họ 𝒚𝟐 = 𝒙𝟑 − 𝒑𝒙,𝒚𝟐 = 𝒙𝟑 − 𝒑𝟐 (𝒑 nguyên tố) Ta ký hiệu 𝐸1:𝑦2 = 𝑥3 − 𝑝𝑥, 𝐸2: 𝑦2 = 𝑥3 − 𝑝2, với 𝑝 là một số nguyên tố cho trước. Mệnh đề 2.3.2.1 𝑗(𝐸1) = 1728 và 𝑗(𝐸2) = 0. Chứng minh Ta có 𝑗(𝐸1) = 1728 4𝐴34𝐴3 + 27𝐵2 = 1728 4(−𝑝)34(−𝑝)3 + 27(0)2 = 1728, 𝑗(𝐸2) = 1728 4𝐴34𝐴3 + 27𝐵2 = 1728 4(0)34(0)3 + 27(−𝑝2)2 = 0. ∎ 2.4 Mô tả các nhóm con xoắn của một số họ đường cong elliptic Trong phần này ta sẽ giới thiệu ba thuật toán để xác định các điểm xoắn hữu tỷ của các họ đường cong dựa trên cơ sở của định lý Nagel – Lutz (Định lý 2.2.1.5), định lý quy gọn theo số nguyên tố (Hệ quả 2.4.1.9) và kiến thức về đường cong elliptic trên trường số phức. Sau đó, ta sẽ áp dụng các phương pháp này vào việc xác định cấu trúc nhóm xoắn của các họ đường cong elliptic dạng 𝑦2 = 𝑥3 − 𝑝𝑥, 𝑦2 = 𝑥3 − 𝑝2 và 𝑦2 = 𝑥3 + 2𝑥2 − 3𝑥. 2.4.1 Các thuật toán xác định điểm xoắn hữu tỷ Phương pháp Nagell – Lutz Nền tảng của phương pháp này là định lý Nagell – Lutz được xét ở Phần 2.2. Nội dung của phương pháp này như sau : 1. Tính biệt thức 𝐷 = 4𝐴3 + 27𝐵2. 2. Kiểm tra nghiệm của phương trình 𝑥3 + 𝐴𝑥 + 𝐵 = 0. Nếu 𝑥0 là một nghiệm thì (𝑥0, 0) là một điểm xoắn. 3. Tìm tập hợp 𝐿 = {các ước 𝑦 của 𝐷 sao cho 𝑦2|𝐷} = {𝑦1, ,𝑦𝑛}. 4. Với mỗi 𝑦𝑗 ∈ 𝐿, tìm nghiệm nguyên 𝑥 của phương trình 𝑥3 + 𝐴𝑥 + 𝐵 − 𝑦𝑗 2 = 0. Nếu không có giá trị nguyên nào của 𝑥, thay 𝑦𝑗 bằng 𝑦𝑗+1. Nếu đã thử tất cả các giá trị trong 𝑃, kết thúc thuật toán. Nếu tồn tại giá trị 𝑘 ∈{1, ,𝑛} sao cho phương trình trên có nghiệm nguyên 𝑥, thực hiện bước 5. 5. Đặt 𝑃 = (𝑥, 𝑦𝑘). Tính 2𝑃. Nếu 𝑥2𝑃 hoặc 𝑦2𝑃 ∉ ℤ, 𝑃 không phả là điểm xoắn. Quay trở lại bước 4 với 𝑦𝑘+1. Nếu 𝑥2𝑃 ,𝑦2𝑃 ∈ ℤ. Tính 3𝑃 Nếu tồn tại 𝑚 sao cho 𝑚𝑃 = 𝒪, 𝑃 là điểm xoắn. Sau đây ta xem xét một số ví dụ minh họa cho phương pháp này. Ví dụ 2.4.1.1 Xét (𝐸): 𝑦2 = 𝑥3 + 4. Khi đó, 4𝐴3 + 27𝐵2 = 432. Nếu 𝑃 = (𝑥,𝑦) là một điểm xoắn của 𝐸(ℚ) thì theo định lý Nagell – Lutz, 𝑦 = 0 hoặc 𝑦2|432. Vì phương trình 0 = 𝑥3 + 4 không có nghiệm nguyên, ta không có điểm xoắn bậc 2 nào. Trường hợp 𝑦2|432, ta suy ra 𝑦 ∈ {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12}. Trong đó, chỉ có giá trị 𝑦 = ±2 cho giá trị nguyên 𝑥 = 0. Như vậy, các điểm xoắn có thể là (0,2) và (0,−2). Thử lại, thấy 3(0, ±2) = 𝒪. Do đó, 𝐸(ℚ)tor = {𝒪, (0,2), (0,−2)} ≅ ℤ3. Ví dụ 2.4.1.2 Xét (𝐸): 𝑦2 = 𝑥3 + 8. Khi đó, 4𝐴3 + 27𝐵2 = 1728. Như trên, ta xét 2 trường hợp: Nếu 𝑦 = 0, có 𝑥3 + 8 = 0. Suy ra 𝑥 = −2. Điểm (-2,0) có bậc 2. Nếu 𝑦 ≠ 0, thì 𝑦2|1728. Suy ra 𝑦|24. Thử tất cả các trường hợp có thể, nhận được các điểm có tọa độ nguyên là (1, ±3) và (2, ±4). Tuy nhiên, 2(1,3) = (−7 4 ,−13 8 ) và 2(2,4) = (−7 4 , 13 8 ). Do đó, các điểm này không phải là điểm xoắn. Do đó, 𝐸(ℚ)tor = {𝒪, (−2,0)} ≅ ℤ2. Nhận xét 2.4.1.3 Phương pháp trên trước đây được dùng trong các phần mềm toán học (chẳng hạn như PARI, MAGMA) để tính điểm xoắn trên một đường cong elliptic 𝐸(ℚ). Tuy nhiên, phương pháp này đòi hỏi phải phân tích thành nhân tử biệt thức 4𝐴3 + 27𝐵2. Và điều này rõ ràng là một hạn chế khi biệt thức có giá trị rất lớn. Hiện tại, phương pháp này đã được thay thế bởi thuật toán Doud sắp được bàn đến. Thuật toán kết hợp Để có thể hiểu được thuật toán này, trước hết ta sẽ tìm hiểu khái niệm về phép quy gọn theo số nguyên tố và một số tính chất của phép quy gọn này. Cho (𝐸):𝑦2 = 𝑥3 + 𝐴𝑥 + 𝐵 là đường cong elliptic trên ℚ với 𝐴,𝐵 ∈ ℤ và 𝑝 là một số nguyên tố lẻ. Từ 𝐸 ta nhận được một một đường cong elliptic mới (𝐸′):𝑦2 = 𝑥3 + 𝐴′𝑥 + 𝐵′ trên trường 𝔽𝑝 bằng cách giảm 𝐴 và 𝐵 mod 𝑝 (nghĩa là, 𝐴′ = 𝐴 mod 𝑝 và 𝐵′ = 𝐵 mod 𝑝). Và ta nói 𝜌𝑝:𝐸(ℚ) → 𝐸′�𝔽𝑝� ∶ (𝑥,𝑦) ↦ (𝑥 mod 𝑝, 𝑦 mod 𝑝) là một phép quy gọn theo số nguyên tố 𝑝 hay phép quy gọn mod 𝑝. Định nghĩa trên của 𝜌𝑝 có nghĩa vì với mọi điểm (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐸(ℚ), tồn tại các số 𝑎, 𝑏, 𝑐,𝑑 ∈ ℤ sao cho (𝑥,𝑦) = (𝑎/𝑏, 𝑐/𝑑). Từ đó ta định nghĩa (𝑥 mod 𝑝, 𝑦 mod 𝑝)= ��(𝑎 mod 𝑝) ⋅ (𝑏 mod 𝑝)−1, (𝑐 mod 𝑝) ⋅ (𝑑 mod 𝑝)−1�, nếu 𝑝 ∤ 𝑏 và 𝑝 ∤ 𝑑 𝒪, nếu 𝑝|𝑏 hoặc 𝑝|𝑑 . Ví dụ 2.4.1.4 Cho đường cong elliptic (𝐸):𝑦2 = 𝑥3 + 𝑥 + 1 trên ℚ. Ta xét phép quy gọn 𝜌3: Xét điểm 𝑃 = (0,1) ∈ 𝐸(ℚ). Sử dụng phép toán nhóm, ta nhận được 𝑃 = (0,1), 2𝑃 = �14 ,− 98� , 3𝑃 = (72,611), 4𝑃 = �− 287362 , 40879363 �. Theo định nghĩa của 𝜌3, ta có 𝜌3(𝑃) = (0,1), 𝜌3(2𝑃) = (1,0), 𝜌3(3𝑃) = (0,2), 𝜌3(4𝑃) = 𝒪. Định nghĩa 2.4.1.5 Phép quy gọn 𝜌𝑝 được gọi là phép quy gọn tốt nếu 𝐸′ là một đường cong elliptic không kỳ dị. Ngược lại, 𝜌𝑝 được gọi là một phép quy gọn xấu. Định lý 2.4.1.6 Nếu 𝜌𝑝 là một phép quy gọn tốt thì 𝜌𝑝 là một đồng cấu nhóm. Định lý 2.4.1.7 Phép quy gọn 𝜌𝑝 là tốt nếu và chỉ nếu 𝑝 ∤ 4𝐴3 + 27𝐵2. Chứng minh Định thức của 𝐸′ là 4𝐴′3 + 27𝐵′2 = 4𝐴3 + 27𝐵2 mod 𝑝. Do đó, 4𝐴′3 + 27𝐵′2 = 0 ⇔ 𝑝|4𝐴3 + 27𝐵2. ∎ Định lý 2.4.1.8 Cho (𝐸): 𝑦2 = 𝑥3 + 𝐴𝑥 + 𝐵 là đường cong elliptic trên ℚ với 𝐴,𝐵 ∈ ℤ và 𝜌𝑝 là một phép quy gọn tốt. Nếu 𝑃 ∈ 𝐸(ℚ)tor và 𝜌𝑝(𝑃) = 𝒪 thì 𝑃 = 𝒪. Định lý trên căn bản nói rằng ρp|Etor(ℚ) là một đơn ánh, và từ đó, ta có hệ quả sau: Hệ quả 2.4.1.9 Cho 𝜌𝑝:𝐸(ℚ) → 𝐸(𝔽𝑝) là một phép quy gọn tốt mod 𝑝, với 𝑝 là một số nguyên tố lẻ. Khi đó, #𝐸(ℚ)tor𝑐ℎ𝑖𝑎 ℎế𝑡 #𝐸�𝔽𝑝�. Ví dụ 2.4.1.10 Xét đường cong elliptic (𝐸):𝑦2 = 𝑥3 + 8. Ta có 4𝐴3 + 27𝐵2 =1728 = 26. 33. Do đó, để có phép quy gọn tốt, ta sử dụng các số nguyên tố 𝑝 ≠ 2,3. Phép quy gọn mod 5 có 6 điểm, do đó #𝐸(ℚ)tor chia hết 6. Phép quy gọn mod 7 có 12 điểm, do đó #𝐸(ℚ)tor chia hết 6. Như vậy phép quy gọn mod 7 không cho ta thêm thông tin gì mới về 𝐸(ℚ)tor. Ta xét tiếp phép giản quy gọn mod 11. Tuy nhiên, phép quy gọn mod 11 cho ta 12 điểm, và như vậy cũng không có gì mới. Phép quy gọn mod 13 cho ta 16 điểm, suy ra #𝐸(ℚ)tor chia hết 16. Từ đó, #𝐸(ℚ)tor chia hết 2. Và ta lại có |(−2,0)| = 2. Vậy, 𝐸(ℚ)tor = {𝒪, (−2,0)} ≅ ℤ2. Nếu sử dụng định lý Nagell – Lutz trong ví dụ trước, hiệu quả cũng giống như phép quy gọn mod 𝑝 nếu tính về thời gian để tìm cấu trúc nhóm xoắn. Trong ví dụ sau, ta sẽ thấy được hiệu quả hơn hẳn của phép quy gọn mod 𝑝. Ví dụ 2.4.1.11 Cho (𝐸):𝑦2 = 𝑥3 + 18𝑥 + 72. Khi đó, 4𝐴3 + 27𝐵2 = 163296 =25. 36. 7. Định thức này khá lớn nên việc dùng định lý Nagell – Lutz sẽ rất tốn thời gian. Tuy nhiên, nếu sử dụng phép quy gọn mod 5, ta nhận được 5 điểm, và phép quy gọn mod 11 cho ta 8 điểm. Từ đó ta có ngay 𝐸(ℚ)tor tầm thường. Bây giờ ta quay trở lại thuật toán kết hợp. Thuật toán này là sự kết hợp giữa phương pháp Nagell – Lutz và các tính chất của phép quy gọn theo số nguyên tố nhằm khắc phục phần nào hạn chế của phương pháp Nagell – Lutz được nêu ra trong Nhận xét 2.4.1.3. Thuật toán này có nền tảng dựa trên một thực tế thú vị là nếu ta chọn một đường cong elliptic bất kỳ (𝐸):𝑦2 = 𝑥3 + 𝐴𝑥 + 𝐵 với 𝐴,𝐵 ∈ ℤ thì khả năng 𝐸 có nhóm xoắn con tầm thường là rất lớn (xem [10]). 1. Chọn một tập hợp các số nguyên tố 𝑃 = {𝑝1, ,𝑝𝑛}. 2. Đặt 𝐿 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,16} – tập các bậc có thể của nhóm xoắn 𝐸tor(ℚ). 3. Quy gọn mod 𝑝 đường cong elliptic 𝐸 thành đường cong 𝐸′. 4. Nếu 𝐸′ không đơn, tính bậc của nhóm 𝐸′(𝔽𝑝). Gọi bậc đó là ℴ. 5. Xóa các giá trị trong 𝐿 không chia hết ℴ. 6. Nếu 9,10,12,16 vẫn còn trong 𝐿, thực hiện lại bước 4 − 6 cho giá trị nguyên tố tiếp theo. Nếu không, trở lại bước 2. 7. Nếu 9,10,12,16 vẫn còn trong 𝐿 sau khi xét tất cả các giá trị trong 𝑃, sử dụng phương pháp Nagell – Lutz để tính nhóm xoắn. Nhóm Số lần xuất hiện Tần suất Ví dụ ℤ9 1 2.500 × 10−10 𝑦2 = 𝑥3 − 219𝑥 + 1654 ℤ10 0 0 // ℤ12 0 0 // ℤ2⨁ℤ6 0 0 // ℤ2⨁ℤ8 0 0 // Bảng 2.4: Số liệu cho thấy khả năng đường cong elliptic có nhóm xoắn tầm thường là rất lớn. (𝐸): 𝑦2 = 𝑥3 + 𝐴𝑥 + 𝐵, 𝐴,𝐵 ∈ ℤ, 𝐴,𝐵 ∈ (−10000,10000). Ví dụ 2.4.1.12 Xét đường cong elliptic (𝐸):𝑦2 = 𝑥3 + 8. Ta có 4𝐴3 + 27𝐵2 =1728 = 26. 33. Do đó, để có phép quy gọn tốt, ta sử dụng các số nguyên tố 𝑝 ≠ 2,3. Phép quy gọn mod 5 có 6 điểm, do đó #𝐸(ℚ)tor chia hết 6. Phép quy gọn mod 7 có 12 điểm, do đó #𝐸(ℚ)tor chia hết 16. Như vậy phép quy gọn mod 7 không cho ta thêm thông tin gì mới về 𝐸(ℚ)tor. Ta xét tiếp phép quy gọn mod 11. Tuy nhiên, phép quy gọn mod 11 cho ta 12 điểm, và như vậy cũng không có gì mới. Phép quy gọn mod 13 cho ta 16 điểm, suy ra |𝐸(ℚ)tor| chia hết 16. Từ đó, #𝐸(ℚ)tor chia hết 2. Và ta lại có |(−2,0)| = 2. Vậy, 𝐸(ℚ)tor = {𝒪, (−2,0)} ≅ ℤ2. Nếu sử dụng định lý Nagell – Lutz trong ví dụ trước, hiệu quả cũng giống như phép quy gọn mod 𝑝 nếu tính về thời gian để tìm cấu trúc nhóm xoắn. Trong ví dụ sau, ta sẽ thấy được hiệu quả hơn hẳn của phép quy gọn mod 𝑝. Ví dụ 2.4.1.13 Cho (𝐸):𝑦2 = 𝑥3 + 18𝑥 + 72. Khi đó, 4𝐴3 + 27𝐵2 = 163296 =25. 36. 7. Định thức này khá lớn nên việc dùng định lý Nagell – Lutz sẽ rất tốn thời gian. Tuy nhiên, nếu sử dụng phép quy gọn mod 5, ta nhận được 5 điểm, và phép quy gọn mod 11 cho ta 8 điểm. Từ đó ta có ngay 𝐸(ℚ)tor tầm thường. Thuật toán Doud Thuật toán Doud sử dụng sự đẳng cấu giữa một đường cong elliptic trên trường số phức ℂ và cấu trúc nhóm abel trên một vòng xuyến (Định lý 1.6.8) để xác định cấu trúc nhóm xoắn 𝐸(ℚ)tor. Thuật toán này hiện đang được dùng trên các phần mềm toán học để thay thế phương pháp Nagell – Lutz. Trước hết, ta mô tả thuật toán Doud. Nội dung của thuật toán Doud có sử dụng một số kết quả được nêu ra trong Phụ lục B. Giả sử đường cong elliptic 𝐸 : 𝑦2 = 4𝑥3 + 𝐴𝑥 + 𝐵 trên trường ℚ với 𝐴,𝐵 ∈ ℤ. Định lý Nagell – Lutz nói rằng nếu 𝑃 = (𝑥, 𝑦) là một điểm xoắn của 𝐸 thì hoặc 𝑦 = 0 hoặc 𝑦2|4𝐴3 + 27𝐵2. Điều này cho phép ta xác định được cấu trúc của nhóm xoắn, miễn là biệt thức của 𝐸 không quá lớn. Trong phần này, ta sẽ trình bày thuật toán được phát hiện bởi nhà toán học Doud (xem [6]) để tìm cấu trúc nhóm xoắn của 𝐸 mà không phải thông qua việc phân tích biệt thức thành nhân tử. Giả sử 𝑝 là một số nguyên tố lẻ không chia hết biệt thức của 𝐸. Khi đó, ta thực hiện phép quy gọn tốt 𝜌𝑝 trên 𝐸(ℚ). Định lý 2.4.1.8 nói rằng kernel của phép quy gọn giới hạn 𝜌𝑝:𝐸(ℚ)tor → 𝐸(𝔽𝑝) là tầm thường. Do đó, bậc của 𝐸(ℚ)tor chia hết #𝐸(𝔽𝑝). Như vậy, ta nhận được một bội 𝑏 của 𝐸(ℚ)tor. Tiếp đó, ta xét các ước 𝑠 của 𝑏 theo thứ tự giảm dần và tìm một điểm trên 𝐸 có bậc 𝑠 (ở đây ta chỉ cần xem xét các ước của 𝑏 nằm trong 15 giá trị có thể của bậc của nhóm xoắn theo định lý Mazur). Để thuận tiện cho việc sử dụng Định lý B. 2.3 (xem Phụ lục B), ta biến đổi phương trình Weierstrass dạng ngắn thành (𝐸′): (𝑦′)2 = 4𝑥3 + 4𝐴𝑥 + 4𝐵 với 𝑦′ = 2𝑦. Chu kỳ của 𝐸′ sinh bởi 𝜔1 và 𝜔2, với 𝜔2 ∈ ℝ. Các điểm trong miền căn bản tương ứng với tọa độ thực 𝑥,𝑦 qua hàm trong Định lý B. 2.3 nằm trên đường thẳng 𝜔2ℝ và đồng thời trên đường thẳng 1 2 𝜔2 + 𝜔2ℝ khi đa thức 4𝑥3 + 4𝐴𝑥 + 4𝐵 có 3 nghiệm thực. Nhân đôi một điểm trên đường thẳng thứ hai, ta nhận được một điểm trên đường thẳng thứ nhất. Do đó, nếu 𝑠 lẻ, tất cả các điểm xoắn bậc 𝑛 đều xuất phát từ đường thẳng 𝜔2ℝ, và vì vậy nằm trong nhóm con sinh bởi 1 𝑠 𝜔2. Vậy, ℘� 1 𝑠 𝜔2� phải là một số nguyên. Nếu 𝑠 chẵn và 𝑧 ∈ ℂ/(ℤ𝜔1 + ℤ𝜔2) có bậc 𝑠 thì 𝑧 sinh ra cùng một nhóm con của ℂ/(ℤ𝜔1 + ℤ𝜔2) như một trong các số 1𝑠 𝜔2 hay 1𝑠 𝜔2 + 12𝜔1 hay 1𝑠 𝜔2 + 12𝜔1 + 12 𝜔2. Do đó, nếu tồn tại một điểm xoắn bậc 𝑛, thì ít nhất một trong các giá trị của hàm ℘ Weierstrass tại 3 điểm này phải nguyên. Vậy, ta chỉ cần tính: • ℘(1 𝑠 𝜔2) nếu 𝑠 lẻ và 4𝑥3 + 4𝐴𝑥 + 4𝐵 chỉ có một nghiệm thực • 1 𝑠 𝜔2, 1 𝑠 𝜔2 + 12 𝜔1, 1𝑠 𝜔2 + 12 𝜔1 + 12𝜔2 nếu 𝑠 chẵn và 4𝑥3 + 4𝐴𝑥 + 4𝐵 chỉ có 3 nghiệm thực cho mỗi ước 𝑠 của 𝑏, bắt đầu với ước có giá trị lớn nhất. Nếu ta tìm được một giá trị số của 𝑥 rất gần với một số nguyên, ta kiểm tra xem 𝑦2 = 4𝑥3 + 4𝐴𝑥 + 4𝐵 có cho giá trị nguyên 𝑦 hay không. Nếu có, ta tiếp tục kiểm tra xem (𝑥,𝑦) có bậc 𝑠 hay không. Nếu (𝑥,𝑦) có bậc 𝑠 thì ta nhận được nhóm con cyclic lớn nhấn của 𝐸(ℚ)tor. Và vì chỉ có điểm xoắn bậc 2 có thể không cyclic nên ta phải kiểm tra xem có tồn tại hay không một điểm trên 𝐸 có bậc 2 nhưng không nằm trong nhóm con cyclic sinh bởi (𝑥,𝑦). Nếu 𝑠(𝑥,𝑦) ≠ 𝒪, ta tiếp tục với các ước nhỏ hơn của 𝑏, và như vậy ta nhận được tất cả các điểm xoắn hữu tỷ trên 𝐸. Nhắc lại là 𝜔1 và 𝜔2 được tính bằng phương pháp AGM một cách nhanh chóng. Và theo đó là hàm ℘ Weierstrass, dựa vào Định lý B. 2.5 (xem Phụ lục B). Tóm tắt lại, ta có thuật toán Doud như sau: 1. Tính biệt thức 𝐷 = 4𝐴3 + 27𝐵2, chu kỳ 𝜔1,𝜔2 của lát tương ứng với 𝐸 và hàm ℘ Weierstrass. 2. Lập một tập hợp 𝑃 = {𝑝1, , 𝑝𝑛} gồm các số nguyên tố không chia hết 𝐷. 3. Thực hiện các phép giản lược mod 𝑝𝑗. Đặt ℴ𝑗 = #𝐸(𝔽𝑝𝑗). 4. Tính 𝑏 = ƯCLN(ℴ1, ,ℴ𝑛). 5. Đặt 𝐿 = {ước của 𝑏}⋂{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,16} = {𝑙1, , 𝑙𝑘}. Trong đó, 𝑙1 ≥ 𝑙2 ≥ ⋯ ≥ 𝑙𝑘. 6. Đặt 𝑠 = 𝑙1. Nếu 𝑠 lẻ hoặc 4𝑥3 + 𝐴𝑥 + 𝐵 chỉ có một nghiệm thực, tính ℘(1 𝑠 𝜔2). Nếu không, tính ℘�1𝑠 𝜔2� ,℘�1𝑠 𝜔2 + 12𝜔1� ,℘�1𝑠 𝜔2 + 12 𝜔1 + 1 2 𝜔2�. Đây sẽ là giá trị của 𝑥. 7. Nếu một trong các giá trị trên rất gần với một số nguyên, tính giá trị nguyên của 𝑦 trong 𝑦2 = 4𝑥3 + 𝐴𝑥 + 𝐵. Nếu không có giá trị nguyên của 𝑦. Quay lại bước 6 với 𝑠 = 𝑙2, 𝑙3, Nếu có giá trị nguyên của 𝑦, tính 𝑠(𝑥,𝑦). Nếu 𝑠(𝑥,𝑦) ≠ 𝒪, quay lại bước 6 với 𝑠 = 𝑙2, 𝑙3, Nếu 𝑠(𝑥,𝑦) = 𝒪 và 𝑠 lẻ, kết luận 𝐸(ℚ)tor = ℤ𝑠. Nếu 𝑠(𝑥,𝑦) = 𝒪 và 𝑠 chẵn, thực hiện lại bước 6,7 với 𝑠 = 2. Nếu tồn tại điểm xoắn bậc hai (𝑥′,𝑦′) ∉, kết luận 𝐸(ℚ)tor = ℤ2⨁ℤ𝑠. Nếu không, 𝐸(ℚ)tor = ℤ𝑠. Ví dụ 2.4.1.14 Xét đường cong elliptic (𝐸):𝑦2 = 𝑥3 − 58347𝑥 + 3954150 trên trường ℚ. Ta sẽ sử dụng thuật toán Doud để tìm cấu trúc nhóm xoắn của 𝐸. Biệt thức của 𝐸 là 4𝐴3 + 27𝐵2 = −372386507784192. Biệt thức này thực tế có thể phân tích thành −218. 317. 11 và ta thấy rằng sử dụng phương pháp Nagell – Lutz trong trường hợp này sẽ rất hạn chế. Bây giờ ta sử dụng phương pháp giản lược mod 𝑝 để tìm chặn trên thích hợp cho bậc của nhóm xoắn. Cho 𝑝 = 5, nhận được #𝐸(𝔽5) = 10 (chẳng hạn dùng thuật toán Schoof). Cho 𝑝 = 7, nhận được #𝐸(𝔽7) = 10. Kết luận #𝐸(ℚ)tor|10. Dùng thuật toán AGM (xem Phụ lục B), nhận được 𝜔1 = 0.198602 , 𝜔2 = 0.156713 𝑖. Tính ℘� 110𝜔1� = 2539.825532 , ℘� 110𝜔1 + 12𝜔2� = −213.000000 . Như vậy ta tìm được điểm nguyên 𝑃 = (𝑥, 𝑦) = (−213,2592) có bậc 10. Vậy, 𝐸(ℚ)tor ≅ ℤ10. Cụ thể là 𝐸(ℚ)tor = 〈(−213,2592)〉= {𝒪, (−213,2592), (651,−15552), (3,1944), (219,−1296),(75,0), (219,1296), (3,−1944), (641,15552), (−213,−2592)}. 2.4.2 Các nhóm xoắn của họ 𝒚𝟐 = 𝒙𝟑 − 𝒑𝒙,𝒚𝟐 = 𝒙𝟑 − 𝒑𝟐 (𝒑 nguyên tố) Ta ký hiệu 𝐸1:𝑦2 = 𝑥3 − 𝑝𝑥, 𝐸2: 𝑦2 = 𝑥3 − 𝑝2, với 𝑝 là một số nguyên tố cho trước. Các mệnh đề sau đây mô tả cấu trúc nhóm xoắn của hai họ đường cong 𝐸1 và 𝐸2. Mệnh đề 2.4.2.1 𝐸1(ℚ)tor = {𝒪, (0,0)} ≅ ℤ2. Chứng minh Ta có 𝛥(𝐸1) = 4𝐴3 + 27𝐵2 = −4𝑝3 = −22𝑝3. Theo định lý Nagell – Lutz, ta luôn có 𝑥 ∈ ℤ và 𝑦2|−22𝑝3 hoặc 𝑦 = 0 nếu (𝑥,𝑦) ∈ 𝐸(ℚ). Khi y = 0, ta có 𝑥 = 0. Như vậy, 𝐸1 luôn chứa điểm bậc 2 là (0,0). Ta xét 2 trường hợp sau a) Trường hợp 𝑝 = 3: 𝐸1 có dạng 𝑦2 = 𝑥3 − 3𝑥 và 𝛥(𝐸1) = −2233. Theo định lý Nagell – Lutz, ta có 𝑦2 ∈ {0,1,22, 32, 62}. Khi 𝑦2 = 0, ta có điểm bậc 2 là (0,0) như đã xét ở trên. Khi 𝑦2 ∈ {1,22, 32, 62}, ta không nhận được điểm nào vì các phương trình 𝑥3 − 3𝑥 = 1,4,9,36 không có nghiệm nguyên. Vậy, trong trường hợp này, mệnh đề là đúng. b) Trường hợp 𝑝 ≠ 3: Khi đó, 𝑝 ≡ 1,2 (mod 3). Giả sử 𝑝 ≡ 1 (mod 3). Sử dụng phép quy gọn mod 3, ta nhận được 𝐸1(𝔽3) = 𝑥3 + 2𝑥. Theo Định lý 1.4.2, số các điểm trong 𝐸1(𝔽3) được tính bởi #𝐸1(𝔽3) = 3 + 1 + ��𝑥3 + 2𝑥𝔽3 � = 4 + 0 + 0 + 0 = 4.2𝑥=0 Theo Hệ quả 2.4.1.9, #𝐸1(ℚ)|#𝐸1(𝔽3). Ta suy ra #𝐸1(ℚ) ∈ {1,2,4}. Tuy nhiên 𝐸1(ℚ) luôn có một điểm bậc 2 là (0,0) nên #𝐸1(ℚ) ∈ {2,4}. Bây giờ ta sẽ chứng minh là 𝐸1(ℚ) không có điểm bậc 4. Thật vậy, nếu (x0, y0) ∈E1(ℚ) có bậc 4 thì theo Hệ quả 2.3.1.5, 𝜓4 = 0. Như vậy, 𝜓4(𝑥0,𝑦0) = 4𝑦0(𝑥06 + 5𝐴𝑥04 + 20𝐵𝑥03 − 5𝐴2𝑥02 − 4𝐴𝐵𝑥0 − 8𝐵2 − 𝐴3) = 4𝑦0(𝑥06 − 5𝑝𝑥04 − 5𝑝2𝑥02 + 𝑝3) = 0. Ta biết là phương trình 𝑦 = 0 chỉ cho ta điểm bậc 2, do đó, ta phải có 𝑥0 6 − 5𝑝𝑥04 − 5𝑝2𝑥02 + 𝑝3 = 0. Đặt 𝑡 = 𝑥02/𝑝, phương trình trên có dạng 𝑡3 − 5𝑡2 − 5𝑡 + 1 = 0. Vì phương trình này có một nghiệm ngoại lai 𝑡 = −1 và không có nghiệm hữu tỷ nào khác, ta kết luận 𝐸1(ℚ) không có điểm bậc 4. Vậy mệnh đề là đúng trong trường hợp này. Giả sử p ≡ 2 (mod 3). Sử dụng phép quy gọn mod 3, ta nhận được 𝐸1(𝔽3) = 𝑥3 + 𝑥. Theo Định lý 1.4.2, số các điểm trong E1(𝔽3) được tính bởi #𝐸1(𝔽3) = 3 + 1 + ��𝑥3 + 𝑥𝔽3 � = 4 + 0 − 1 − 1 = 2.2𝑥=0 Và như vậy, trong trường hợp này, ta dễ thấy mệnh đề là đúng. Vậy, ta có mệnh đề cần chứng minh. ∎ Mệnh đề 2.4.2.2 𝐸2(ℚ)tor = {𝒪}. Chứng minh Ta có 𝛥(𝐸2) = 4𝐴3 + 27𝐵2 = 27𝑝4. Xét 2 trường hợp sau a) Trường hợp 𝑝 = 5: 𝐸2:𝑦2 = 𝑥3 − 25. Sử dụng phép quy gọn mod 7, ta nhận được 𝐸2(𝔽7) = 𝑥3 + 3. Theo Định lý 1.4.2, số các điểm trong 𝐸1(𝔽7) được tính bởi #𝐸2(𝔽7) = 7 + 1 + ��𝑥3 + 3𝔽7 � = 13.6𝑥=0 Ta suy ra 𝐸2(ℚ)tor = {𝒪} trong trường hợp này. b) Trường hợp 𝑝 ≠ 5: Sử dụng phép quy gọn mod 5, ta nhận được 𝐸2(𝔽5) = 𝑥3 + 1 hoặc 𝐸2(𝔽5) = 𝑥3 + 4. Dùng Định lý 1.4.2, ta nhận được #𝐸2(𝔽5) =6 trong cả 2 trường hợp này. Ta suy ra #𝐸2(ℚ)tor ∈ {1,2,3,6}. Tuy nhiên, do phương trình 𝜓2(𝑥) = 𝑥3 − 𝑝2 = 0 không có nghiệm nguyên nào, 𝐸2 không có điểm bậc 2. Tiếp theo, phương trình 𝜓3(𝑥) = 3𝑥4 − 12𝑝2𝑥 = 0 có nghiệm nguyên duy nhất là 𝑥 = 0. Nhưng giá trị này của 𝑥 không tương ứng với một giá trị nguyên nào của 𝑦. Vậy, #𝐸2(ℚ)tor = 1. Nói tóm lại, ta luôn có 𝐸2(ℚ)tor = {𝒪}. ∎ 2.4.3 Nhóm con xoắn của họ 𝒚𝟐 = 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 Ta ký hiệu 𝐸3: 𝑦2 = 𝑥3 + 2𝑥2 − 3𝑥. Mệnh đề sau đây mô tả cấu trúc nhóm xoắn của đường cong 𝐸3. Theo Ví dụ 1.3.3, phương trình Weiertrass dạng ngắn của 𝐸3 là 𝐸3′ : 𝑦2 = 𝑥3 − 5616𝑥 + 120960. Biệt thức của 𝐸3′ rất lớn. Do đó, sẽ không khả thi nếu ta sử dụng phương pháp Nagell – Lutz để tính nhóm xoắn của 𝐸3′ , và theo đó là của 𝐸3. Dĩ nhiên, ta có thể dùng thuật toán Doud trong trường hợp này. Nhưng ở đây sẽ rất đơn giản nếu ta sử dụng dạng mạnh hơn của định lý Nagell – Lutz. Ta có mệnh đề sau Mệnh đề 2.4.3.1. 𝐸3(ℚ)tor = {𝒪, (0,0), (1,0), (−3,0), (−1,2), (−1,−2), (3,6), (3,−6)} ≅ ℤ2⨁ℤ4. Chứng minh Trước hết, −4𝑎3𝑐 + 𝑎2𝑏2 + 18𝑎𝑏𝑐 − 4𝑏3 − 27𝑐2 = 144. Ta xét hai trường hợp 𝑦 = 0 và 𝑦2|144. Nếu 𝑦 = 0 thì 𝑥 ∈ {−3,0,1}. Vậy 𝐸3 có 3 điểm bậc 2 là (−3,0), (0,0), (1,0). Nếu 𝑦2|144 thì 𝑦 ∈ {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12}. Thay lần lượt các giá trị này của 𝑦 vào phương trình của 𝐸, ta nhận được các điểm xoắn là (−1,2), (−1,−2), (3,6), (3,−6). Vậy, 𝐸3(ℚ)tor = {𝒪, (0,0), (1,0), (−3,0), (−1,2), (−1,−2), (3,6), (3,−6)}. Để thấy 𝐸3(ℚ)tor ≅ ℤ2⨁ℤ4, chú ý rằng (−3,0), (0,0), (1,0) là 3 điểm bậc 2 và (−1,2) có bậc 4. ∎ 2.4.4 Các tính toán cho Bảng 2.1 Nhắc lại định lý Mazur: Nhóm xoắn 𝐸(ℚ)tor của đường cong elliptic 𝐸 trên trường hữu tỷ ℚ là hữu hạn và chỉ có một trong 15 dạng sau ℤ𝑛 với 1 ≤ 𝑛 ≤ 10 hoặc 𝑛 = 12 , ℤ2⨁ℤ2𝑛 với 1 ≤ 𝑛 ≤ 4. Bảng 2.1 đưa ra 15 đường cong elliptic cụ thể có nhóm xoắn lần lượt tương ứng với 15 trường hợp trên. Trong mục này, ta sẽ đưa ra các tính toán cụ thể cho một số kết quả trong bảng 2.1. • 𝐸: 𝑦2 = 𝑥3 − 2 có 𝐸(ℚ)tor = {𝒪}. Δ(𝐸) = 108 = 2233. Sử dụng phép quy gọn mod 5, 𝐸(𝔽5):𝑦2 = 𝑥3 + 3. Theo Định lý 1.4.2, #𝐸(𝔽5) = 5 + 1 + ��𝑥3 + 3𝔽5 � = 6 − 1 + 1 + 1 + 0 − 1 = 6.4x=0 Sử dụng phép quy gọn mod 7, 𝐸(𝔽5):𝑦2 = 𝑥3 + 5. Theo Định lý 1.4.2, #𝐸(𝔽7) = 7 + 1 + ��𝑥3 + 5𝔽7 � = 8 − 1 − 1 − 1 + 1 − 1 + 1 + 1 = 7.6x=0 Theo Hệ quả 2.4.1.9, 𝐸(ℚ)tor = {𝒪}. • 𝐸: 𝑦2 = 𝑥3 + 8 có 𝐸(ℚ)tor ≅ ℤ2. Δ(𝐸) = 1728 = 2633. Sử dụng phép quy gọn mod 5, 𝐸(𝔽5):𝑦2 = 𝑥3 + 3. Theo Định lý 1.4.2, #𝐸(𝔽5) = 5 + 1 + ��𝑥3 + 3𝔽5 � = 6 − 1 + 1 + 1 + 0 − 1 = 6.4x=0 Sử dụng phép quy gọn mod 19, 𝐸(𝔽19):𝑦2 = 𝑥3 + 8. Theo Định lý 1.4.2, #𝐸(𝔽19) = 19 + 1 + ��𝑥3 + 8𝔽19 � = 28.18x=0 Theo Hệ quả 2.4.1.9, #𝐸(ℚ)tor ∈ {1,2}. Do 𝐸 có điểm bậc 2 là (−2,0). Ta suy ra 𝐸(ℚ)tor ≅ ℤ2. • 𝐸: 𝑦2 = 𝑥3 + 4 có 𝐸(ℚ)tor ≅ ℤ3. Δ(𝐸) = 432 = 2433. Sử dụng phép quy gọn mod 7, 𝐸(𝔽7):𝑦2 = 𝑥3 + 4. Theo Định lý 1.4.2, #𝐸(𝔽7) = 7 + 1 + ��𝑥3 + 4𝔽7 � = 8 + 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 = 3.6x=0 Theo Hệ quả 2.4.1.9, #𝐸(ℚ)tor ∈ {1,3}. Do 𝐸 có điểm bậc 3 là (0,2). Ta suy ra 𝐸(ℚ)tor ≅ ℤ3. • 𝐸: 𝑦2 = 𝑥3 + 4𝑥 có 𝐸(ℚ)tor ≅ ℤ4. Δ(𝐸) = 256 = 28. Sử dụng phép quy gọn mod 3, 𝐸(𝔽3):𝑦2 = 𝑥3 + 𝑥. Theo Định lý 1.4.2, #𝐸(𝔽3) = 3 + 1 + ��𝑥3 + 𝑥𝔽3 � = 4 + 0 − 1 + 1 = 4.2x=0 Theo Hệ quả 2.4.1.9, #𝐸(ℚ)tor ∈ {1,2,4}. Do 𝐸 có điểm bậc 3 là (2,4). Ta suy ra 𝐸(ℚ)tor ≅ ℤ4. • 𝐸: 𝑦2 − 𝑦 = 𝑥3 − 𝑥2 có 𝐸(ℚ)tor ≅ ℤ5. Phương trình Weiertrass dạng ngắn của 𝐸 là 𝐸′: 𝑦2 = 𝑥3 − 432𝑥 + 8208. Δ(𝐸′) = 1496537856 = 2831211. Sử dụng phép quy gọn mod 5, 𝐸(𝔽5):𝑦2 = 𝑥3 + 3𝑥 + 3. Theo Định lý 1.4.2, #𝐸(𝔽5) = 5 + 1 + ��𝑥3 + 3𝑥 + 3𝔽5 � = 6 − 1 − 1 − 1 + 1 + 1 = 5.4x=0 Theo Hệ quả 2.4.1.9, #𝐸(ℚ)tor ∈ {1,5}. Do 𝐸 có điểm bậc 5 là (0,0). Ta suy ra 𝐸(ℚ)tor ≅ ℤ5. • 𝐸: 𝑦2 = 𝑥3 + 1 có 𝐸(ℚ)tor ≅ ℤ6. Δ(𝐸) = 27 = 33. Sử dụng phép quy gọn mod 5, 𝐸(𝔽5):𝑦2 = 𝑥3 + 1. Theo Định lý 1.4.2, #𝐸(𝔽5) = 5 + 1 + ��𝑥3 + 1𝔽5 � = 6 + 1 − 1 + 1 − 1 + 0 = 6.4x=0 Theo Hệ quả 2.4.1.9, #𝐸(ℚ)tor ∈ {1,2,3,6}. Do 𝐸 có điểm bậc 6 là (2,3). Ta suy ra 𝐸(ℚ)tor ≅ ℤ6. • 𝐸: 𝑦2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 = 𝑥3 − 𝑥2 − 3𝑥 + 3 có 𝐸(ℚ)tor ≅ ℤ7. Phương trình Weiertrass dạng ngắn của 𝐸 là 𝐸′: 𝑦2 = 𝑥3 − 3483𝑥 +121014. Δ(𝐸′) = 226385362944 = 21531213. Sử dụng phép quy gọn mod 5, 𝐸(𝔽5):𝑦2 = 𝑥3 + 2𝑥 + 4. Theo Định lý 1.4.2, #𝐸(𝔽5) = 5 + 1 + ��𝑥3 + 2𝑥 + 4𝔽5 � = 6 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 = 7.4x=0 Theo Hệ quả 2.4.1.9, #𝐸(ℚ)tor ∈ {1,7}. Do 𝐸 có điểm bậc 7 là (1,0). Ta suy ra 𝐸(ℚ)tor ≅ ℤ7. • 𝐸: 𝑦2 = 𝑥3 − 4𝑥 có 𝐸(ℚ)tor ≅ ℤ2⨁ℤ2. Δ(𝐸) = −256 = −28. Sử dụng phép quy gọn mod 5, 𝐸(𝔽5):𝑦2 = 𝑥3 + 𝑥. Theo Định lý 1.4.2, #𝐸(𝔽5) = 5 + 1 + ��𝑥3 + 𝑥𝔽5 � = 6 + 0 − 1 + 0 + 0 − 1 = 4.4x=0 Theo Hệ quả 2.4.1.9, #𝐸(ℚ)tor ∈ {1,2,4}. Do 𝐸 có 2 điểm bậc 2 là (0,0) và (2,0). Ta suy ra 𝐸(ℚ)tor ≅ ℤ2⨁ℤ2. • 𝐸: 𝑦2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 = 𝑥3 + 𝑥2 − 5𝑥 + 2 có 𝐸(ℚ)tor ≅ ℤ2⨁ℤ4. Phương trình Weiertrass dạng ngắn của 𝐸 là 𝐸′: 𝑦2 = 𝑥3 − 6507𝑥 +199206. Δ(𝐸′) = −30611001600 = −2831452. Sử dụng phép quy gọn mod 7, 𝐸(𝔽7):𝑦2 = 𝑥3 + 3𝑥. Theo Định lý 1.4.2, #𝐸(𝔽7) = 7 + 1 + ��𝑥3 + 3𝑥𝔽7 � = 8 + 0 + 1 + 0 + 1 − 1 + 0 − 1 = 8.6x=0 Theo Hệ quả 2.4.1.9, #𝐸(ℚ)tor ∈ {1,2,4,8}. Do 𝐸 có 1 điểm bậc 2 là (−3,1) và 1 điểm bậc 4 là (2,1). Ta suy ra 𝐸(ℚ)tor ≅ ℤ2⨁ℤ4. KẾT LUẬN Trong đề tài này, ta đã tập trung tìm hiểu về các đường cong elliptic trên trường hữu tỷ ℚ cùng với các j – bất biến và cấu trúc nhóm xoắn của chúng. Định lý cơ bản về j – bất biến của đường cong elliptic là: Hai đường cong elliptic trên một trường đóng đại số đẳng cấu với nhau nếu và chỉ nếu chúng có cùng một j – bất biến. Việc xác định cấu trúc nhóm xoắn là một trong hai bài toán cơ bản trong việc nghiên cứu đường cong elliptic. Khi đường cong elliptic được định nghĩa trên trường hữu tỷ thì cấu trúc nhóm xoắn của nó được xác định hoàn toàn dựa trên định lý Mazur. Để tính toán cụ thể các điểm xoắn, ta sử dụng định lý Nagell – Lutz. Và dựa vào hai định lý trên, ta đưa ra ba thuật toán để tính nhóm xoắn của một đường cong elliptic cụ thể: phương pháp Nagell – Lutz, thuật toán kết hợp, thuật toán Doud. Và cuối cùng, để minh họa cho phần lý thuyết được nêu ra ở trên, ta đã đưa ra các tính toán liên quan đến các j – bất biến và cấu trúc nhóm xoắn của các (họ) đường cong 𝑦2 = 𝑥3 − 𝑝𝑥,𝑦2 = 𝑥3 − 𝑝2, 𝑦2 = 𝑥3 + 2𝑥2 − 3𝑥. Phụ lục A BẢNG TÍNH TOÁN Trong phần này, ta đưa ra các bảng tính toán cụ thể bao gồm các bước biến đổi từ một đường cong elliptic được định nghĩa bởi phương trình Weierstrass dạng dài về phương trình Weierstrass dạng ngắn và cách tính ký hiệu Legendre. Để thuận tiện, ta sẽ sử dụng lại ví dụ cuối của mục 2.4.4. 𝐸: 𝑦2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 = 𝑥3 + 𝑥2 − 5𝑥 + 2 có 𝐸(ℚ)tor ≅ ℤ2⨁ℤ4. Phương trình Weiertrass dạng ngắn của 𝐸 là 𝐸′: 𝑦2 = 𝑥3 − 6507𝑥 + 199206. Δ(𝐸′) = −30611001600 = −2831452. Sử dụng phép quy gọn mod 7, 𝐸(𝔽7):𝑦2 = 𝑥3 + 3𝑥. Theo Định lý 1.4.2, #𝐸(𝔽7) = 7 + 1 + ��𝑥3 + 3𝑥𝔽7 � = 8 + 0 + 1 + 0 + 1 − 1 + 0 − 1 = 8.6x=0 Theo Hệ quả 2.4.1.9, #𝐸(ℚ)tor ∈ {1,2,4,8}. Do 𝐸 có 1 điểm bậc 2 là (−3,1) và 1 điểm bậc 4 là (2,1). Ta suy ra 𝐸(ℚ)tor ≅ ℤ2⨁ℤ4. 𝐸: 𝑦2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 = 𝑥3 + 𝑥2 − 5𝑥 + 2. 𝑎1 = 1, 𝑎3 = 1, 𝑎2 = 1, 𝑎4 = −5, 𝑎6 = 2. 𝑏2 = 𝑎12 + 4𝑎2 = 12 + 4.1 = 5, 𝑏4 = 2𝑎4 + 𝑎1𝑎3 = 2(−5) + 1.1 = −9, 𝑏6 = 𝑎32 + 4𝑎6 = 12 + 4.2 = 9, 𝑐4 = 𝑏22 − 24𝑏4 = 52 − 24(−9) = 241, 𝑐6 = −𝑏23 + 36𝑏2𝑏4 − 216𝑏6 = −53 + 36.5. (−9) − 216.9 = −3689. 𝐴 = −27𝑐4 = −27.241 = −6507, 𝐵 = −54𝑐6 = −54. (−3689) = 199206. 𝐸′: 𝑦2 = 𝑥3 − 6507𝑥 + 199206. Bảng A1: Bảng biến đổi từ phương trình Weierstrass dạng dài về phương trình Weierstrass dạng ngắn 𝑥 𝑥3 + 3𝑥 Tính chất thặng dư � 𝑥3 + 3𝑥 𝔽7 � 0 0 0 ≡ 0 (mod 7) 0 1 4 4 ≡ 22 (mod 7) 1 2 14 14 ≡ 0 (mod 7) 0 3 36 36 ≡ 12 (mod 7) 1 4 76 76 ≡ 6 ≢ 𝑎2 (mod 7) ∀𝑎 ∈ ℤ −1 5 140 140 ≡ 0 (mod 7) 0 6 234 234 ≡ 3 ≢ 𝑎2 (mod 7) ∀𝑎 ∈ ℤ −1 �� 𝑥3 + 3𝑥 𝔽7 � = 0 + 1 + 0 + 1 − 1 + 0 − 1 = 0.6 x=0 Bảng A2: Giá trị Legendre Phụ lục B CHU KỲ 𝝎𝟏 VÀ 𝝎𝟐, THUẬT TOÁN AM – GM Giả sử 𝐸 là đường cong elliptic trên ℂ. Từ Định lý 1.6.8, ta biết rằng 𝐸 tương ứng với một dàn 𝐿 = ℤ𝜔1 + ℤ𝜔2 qua các hàm chu kỳ đôi ℘ và ℘′. Câu hỏi đặt ra là : Làm sao để xác định được chu kỳ 𝜔1 và 𝜔2 của 𝐿? Đây đồng thời cũng là yếu tố quan trọng nhất trong việc triển khai thuật toán Doud được trình bày trong Mục 2.4.1. Câu trả lời cho một trường hợp cụ thể được trình bày dưới đây, thông qua 2 bước : 1. Biểu diễn 𝜔1 và 𝜔2 dưới dạng tích phân elliptic. 2. Dùng phương pháp trung bình số học – hình học (AGM) để tính tích phân elliptic. B.1 Biểu diễn 𝝎𝟏 và 𝝎𝟐 dưới dạng tích phân elliptic Trong mục này, ta sẽ tìm cách xác định chu kỳ 𝜔1 và 𝜔2 của đường cong elliptic trên ℝ (𝐸): 𝑦2 = 4𝑥3 − 𝑔2𝑥 − 𝑔3 = 4(𝑥 − 𝑒1)(𝑥 − 𝑒2)(𝑥 − 𝑒3), với 𝑒1 < 𝑒2 < 𝑒3. Chẳng hạn như (𝐸): 𝑦2 = 𝑥3 − 𝑥. Ta giả sử 𝜔1 ∈ 𝑖ℝ với ℑ𝔪(𝜔1) > 0 và 𝜔2 ∈ ℝ+. Hàm ℘ Weierstrass và đạo hàm ℘′ biến ℂ/𝐿 thành 𝐸 thông qua (𝑥, 𝑦) = �℘(𝑧),℘′(𝑧)�. Khi 𝑧 đi từ 0 đến 𝜔2/2, hàm ℘(𝑧) nhận giá trị thực bắt đầu với 𝑥 = ∞. Ta nhận được điểm có bậc 2 đầu tiên khi 𝑧 = 𝜔2/2. Giống như hình B1, đồ thị của 𝐸 gồm 2 phần. Phần nối với ∞ chứa điểm bậc 2 là (𝑒3, 0). Như vậy, ℘(𝑧) phải đi từ ∞ tới 𝑒3 khi 𝑧 đi từ 0 đến 𝜔2/2. Hình B1: Đồ thị hàm y^2=x^3-x. Trong khai triển Laurent của ℘′(𝑧), số hạng đầu tiên là −2/𝑧3. Do đó, 𝑦 = ℘′(𝑧) < 0 khi 𝑧 rất gần với 0. Như vậy, ℘′(𝑧) < 0 khi 0 < 𝑧 < 𝜔2/2. Xét tích phân � 𝑑𝑥 �4(𝑥 − 𝑒1)(𝑥 − 𝑒2)(𝑥 − 𝑒3)∞𝑒3 . Thay 𝑥 = ℘(𝑧), mẫu số của tích phân trở thành ��℘′(𝑧)�2 = −℘′(𝑧) và cận trên, dưới lần lượt là 0,𝜔2/2. Tích phân trên trở thành � 𝑑𝑧 𝜔2/2 0 = 𝜔22 . Do đó, 𝜔2 = � 𝑑𝑥 �(𝑥 − 𝑒1)(𝑥 − 𝑒2)(𝑥 − 𝑒3)∞𝑒3 . Phép thế 𝑥 ⟼ �𝑒3 − �(𝑒3 − 𝑒1)(𝑒3 − 𝑒2)�𝑡 + �𝑒3 + �(𝑒3 − 𝑒1)(𝑒3 − 𝑒2)� 𝑡 + 1 đưa tích phân trên về dạng 𝜔2 = 2 �𝑒3 − 𝑒1 + �𝑒3 − 𝑒2 � 𝑑𝑡�(1 − 𝑡2)(1 − 𝑘2𝑡2) ,1−1 trong đó, 𝑘 = �𝑒3 − 𝑒1 − �𝑒3 − 𝑒2 �𝑒3 − 𝑒1 + �𝑒3 − 𝑒2. Chú ý là hàm dưới dấu tích phân vừa nhận được là chẵn. Nên ta có 𝜔2 = 4 �𝑒3 − 𝑒1 + �𝑒3 − 𝑒2 � 𝑑𝑡�(1 − 𝑡2)(1 − 𝑘2𝑡2) .10 Đây được gọi là tích phân elliptic và thường được ký hiệu là 𝐾(𝑘) = � 𝑑𝑡 �(1 − 𝑡2)(1 − 𝑘2𝑡2) .10 Vậy, 𝜔2 = 4 �𝑒3 − 𝑒1 + �𝑒3 − 𝑒2 𝐾(𝑘). Bây giờ ta tiếp tục tìm biểu thức tương tự cho 𝜔1. Khi 𝑧 đi theo đường thẳng đứng từ 𝜔2/2 tới 𝜔2/2 + 𝜔1/2, hàm ℘(𝑧) nhận giá trị thực từ 𝑒3 tới 𝑒2, và đạo hàm ℘′(𝑧) chỉ nhận giá trị thuần ảo. Lý luận tương tự, ta có 𝜔1 = 2𝑖 �𝑒3 − 𝑒1 + �𝑒3 − 𝑒2 � 𝑑𝑡�(𝑡2 − 1)(1 − 𝑘2𝑡2) .1/𝑘1 Đặt 𝑘′ = √1 − 𝑘2 và sử dụng phép thế 𝑡 ⟼ (1 − 𝑘′2𝑢2)−12, tích phân trên trở thành � 𝑑𝑡 �(1 − 𝑡2)(1 − 𝑘2𝑡2) = 𝐾(𝑘′) = 𝐾 ��1 − 𝑘2� .10 Do đó, 𝜔1 = 2𝑖 �𝑒3 − 𝑒1 + �𝑒3 − 𝑒2 𝐾 ��1 − 𝑘2�. Như vậy, 𝜔1 và 𝜔2 đều biểu diễn được dưới dạng tích phân elliptic. Trong mục tiếp theo, ta sẽ đưa ra phương pháp tính xấp xỉ tích phân elliptic (với độ chính xác rất cao), và như vậy tính được 𝜔1 và 𝜔2. B.2. Trung bình số học – hình học (AGM) Để tính xấp xỉ tích phân elliptic, ta dùng phương pháp trung bình số học - hình học như sau : Giả sử 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ. Đặt 𝑎0 = 𝑎, 𝑏0 = 𝑏 𝑎𝑛 = 12 (𝑎𝑛−1 + 𝑏𝑛−1) 𝑏𝑛 = �𝑎𝑛−1𝑏𝑛−1 Khi đó, ta có Định lý B.2.1 Các dãy số (𝑎𝑛) và (𝑏𝑛) hội tụ và 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞ 𝑏𝑛. Chứng minh Không mất tính tổng quát, giả sử 𝑎 ≥ 𝑏. Nhận thấy 𝑎𝑛 − 𝑏𝑛 = 12 ��𝑎𝑛−1 − �𝑏𝑛−1�2 ≥ 0. (B2) Suy ra 𝑎𝑛 ≥ 𝑏𝑛 ∀𝑛. Do đó, 𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1 = 12 (𝑏𝑛−1 − 𝑎𝑛−1) ≤ 0 ⇒ 𝑎𝑛 ≤ 𝑎𝑛−1 ∀𝑛. Vậy, (𝑎𝑛) là dãy giảm. Tương tự có (𝑏𝑛) là dãy tăng. Tóm lại, 𝑏 ≤ 𝑏𝑛−1 ≤ 𝑏𝑛 ≤ 𝑎𝑛 ≤ 𝑎𝑛−1 ≤ 𝑎. Vậy, (𝑎𝑛) và (𝑏𝑛) hội tụ. Lấy giới hạn trong (B2), suy ra lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = lim𝑛→∞ 𝑏𝑛. ∎ Đặt 𝑀(𝑎, 𝑏) = lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = lim𝑛→∞ 𝑏𝑛. Định lý B.2.2 Cho 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ+. Đặt 𝐼(𝑎, 𝑏) = � 𝑑𝜃 �𝑎2 𝑐𝑜𝑠2(𝜃) + 𝑏2 𝑠𝑖𝑛2(𝜃) .𝜋20 Khi đó, 𝐼 � 𝑎 + 𝑏2 ,√𝑎𝑏� = 𝐼(𝑎, 𝑏). Hơn nữa, 𝐼(𝑎, 𝑏) = 𝜋/2 𝑀(𝑎, 𝑏). Định lý B.2.3 Cho 𝐸 là đường cong elliptic được định nghĩa bởi 𝑦2 = 4𝑥3 − 𝑔2𝑥 − 𝑔3 = 4(𝑥 − 𝑒1)(𝑥 − 𝑒2)(𝑥 − 𝑒3), với 𝑒1, 𝑒2, 𝑒3 ∈ ℝ thỏa 𝑒1 < 𝑒2 < 𝑒3. Giả sử 𝐿 = ℤ𝜔1 + ℤ𝜔2 là một dàn tương ứng với 𝐸. Khi đó, 𝜔1 = 𝜋𝑖 𝑀(�𝑒3 − 𝑒1,�𝑒2 − 𝑒1) 𝜔2 = 𝜋 𝑀(�𝑒3 − 𝑒1,�𝑒2 − 𝑒1). Ví dụ B.2.4 Xét đường cong elliptic (𝐸): 𝑦2 = 4𝑥3 − 4𝑥 = 4𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 + 1). Khi đó, 𝑒1 = −1, 𝑒2 = 0, 𝑒3 = 1. Theo định lý B. 2.3, ta có 𝜔1 = 𝜋𝑖 𝑀�√2, 1� = 𝑖2.62205755429211981046483959 𝜔2 = 𝜋 𝑀�√2, 1� = 2.62205755429211981046483959 Sau khi đã xác định được 𝜔1 và 𝜔2, ta có thể dễ dàng tính được giá trị hàm ℘ Weierstrass thông qua định lý sau: Định lý B.2.5 Cho 𝑧 ∈ ℂ và 𝑢 = 𝑒2𝜋𝑖𝑧/𝜔2 . Đặt 𝜏 = 𝜔1/𝜔2 với điều kiện 𝜏 ∈ ℋ và 𝑞 = 𝑒2𝜋𝑖𝜏. Khi đó, ℘(𝑧) = �2𝜋𝑖 𝜔2 � 2 � 112 + 𝑢(1 − 𝑢)2 + �𝑞𝑛 � 𝑢(1 − 𝑞𝑛𝑢)2 + 𝑢(𝑞𝑛 − 𝑢)2 − 2(1 − 𝑞𝑛)2�∞ 𝑛=1 �. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A. Dujella. Elliptic Equations. Winter School on Explicit Methods in Number Theory, Debrecen, 2009. [2] A. Knap. Elliptic Curves. Princeton University Press, 1992. [3] B. Mazur. Arithmetic on Curves. American Mathematical Society, 14 (1986), 207 – 259. [4] B. Peter. Elliptic Curves over ℚ. DIAMANT Summer School on Elliptic and Hyperelliptic Curve Cryptograhphy, Technische Universiteit Eindhoven, 2008. [5] J.E. Cremona. Algorithm for Modular Elliptic Curves. Cambridge University Press, 1992. [6] D. Doud. A procedure to Calculate Torsion of Elliptic Curves over ℚ. Manuscripa Mathematica, 95 (1998), 463-469. [7] D. Husemoller. Elliptic Curves. Springer Verlag, 2000. [8] D.S. Kubert. Universal Bounds on The Torsion of Elliptic Curves. London Math, 33, no.2 (1976), 193-237. [9] E. Freitag và R. Busam. Complex Analysis. Springer Verlag, 2005. [10] E.G. Jiménez và J.M.Tornero. On the ubiquity of trivial torsion on elliptic curves. Archiv der Mathematik, 2010. [11] J.H. Silverman. An Introduction to the Theory of Elliptic Curves. Summer School on Computational Number Theory and Cryptography, University of Wyoming, 2006. [12] J.H. Silverman. The Arithmetic of Elliptic Curves. Springer Verlag, 1986. [13] J.H. Silverman và J. Tate. Rational Points on Elliptic Curves, Springer Verlag, 1992. [14] J.S. Miller. Elliptic Curves. Notes for Math 679, University of Michigan, 1996. [15] L.C. Washington. Elliptic Curves – Number Theory and Cryptography. Taylor & Francis Group, 2008. [16] M.C. Woodbury. Finite Groups on Elliptic Curves. Tài liệu online, 2003. [17] S. Kleinerman. On the torsion points of elliptic curves & Modular abelian varieties. Luận văn Thạc Sĩ, 2004. [18] S. Schmitt và H.G. Zimmer. Elliptic Curves – A Computational Approach. Walter de Gruyter, 2003. A AGM, 68 B Bao đóng xạ ảnh, 14 Biệt thức, 17 C Chiều, 10,16 Chu kỳ, 68 Chuỗi Eisenstein, 22 D, Đ Dàn, 21 Đa tạp affine, 9, 15 Đa tạp xạ ảnh, 11,15 Đa thức chia, 41 Đa thức thuần nhất, 11,13 Đẳng cấu, 28 Điểm bội, 36 Điểm ở vô tận, 15,16 Điểm xoắn, 32 Định lý Hasse, 18 Định lý Mazur, 29 Định lý Mordell, 29 Định lý Nagell – Lutz, 31 Đồng cấu, 33 Đường cong affine, 26 Đường cong elliptic, 26 Đường cong xạ ảnh, 16 H Hai bài toán cơ bản, 32 Hàm chu kỳ đôi, 23 Hàm Weierstrass, 22 Hạng đại số, 32 Hữu hạn sinh, 7, 8 I Idean nguyên tố, 10, 13 Idean thuần nhất, 13,14 J j – bất biến, 27, 35, 46 K Không có xoắn, 7 Không gian affine, 9 Không gian xạ ảnh, 11 Không kỳ dị, 10,16, 18, 24 Kỳ dị, 18 Ký hiệu Legendre, 19 L Luật nhóm, 36, 38 M Miền cơ bản, 21 BẢNG TRA CỨU CÁC THUẬT NGỮ N Nghịch thuần nhất hóa, 14 Nhóm aben Hữu hạn sinh, 7, 8 Tự do, 7 Nhóm con xoắn, 7, 47, 59 Nhóm xoắn, 32, 57 P Phép quy gọn, 49 Phép quy gọn tốt, 50 Phép quy gọn xấu, 50 Phương pháp Nagell – Lutz, 47 Phương trình Weiertrass, 16 Phương trình Weierstrass dạng dài, 27 Phương trình Weiertrass dạng ngắn, 17, 27 Q Quan hệ tương đương, 11 Quy tắc cộng điểm, 39 S Siêu phẳng, 12, 13 Song ánh tự nhiên, 13 Song hữu tỷ, 27 T Thuần nhất hóa, 14 Thuật toán Doud, 53, 55 Thuật toán kết hợp, 49 Thuật toán Schoof, 18, 20, 42 Tích phân elliptic, 68 Tổng trực tiếp, 7 Trung bình số học - hình học, 68, 72 V Vòng xuyến,

Các file đính kèm theo tài liệu này:

  • pdftvefile_2012_08_21_4496879489_8516.pdf
Luận văn liên quan