Luận văn Cực, đối cực và ứng dụng trong dạy hình học phổ thông

ho 4 đường thẳng , , ,U V W Z thuộc một chùm trong đó , ,U V W đôi một phân biệt. Nếu d là đường thẳng cắt 4 đường thẳng đó lần lượt tại , , ,A B C D (không cắt giá của chùm) thì tỉ số kép của 4 điểm đó không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng d . Tỉ số kép nói trên được gọi là tỉ số kép của chùm 4 đường thẳng, kí hiệu  , , ,U V W Z . Chúng minh. Thật vậy, ta chọn một mục tiêu xạ ảnh nào đó, và giả sử đối với mục tiêu đó, các đường thẳng đó có ma trận cột là    ,U V và             1 1 2 2 W ;p U q V Z p U q V      còn các điểm , , ,A B C D có ma trận tọa độ cột tương ứng là        , , ,A B C D . Điểm ,A U B V  nên ta có        0, 0 t t U A V B  , ngoài ra điểm ,A B là phân biệt nên ta cũng có        0, 0 t t U B V A  . Điểm C nằm trên đường thẳng AB nên phải có      1 1 ,C k A l B  mặt khác C cũng nằm trên W nên    W 0 t C  hay          1 1 1 1 0.p U q V k A l B   Điều này suy ra                1 1 1 1 1 1 1 1 0 t t t t p k U A q l V B p l U B q k V A    , hay        1 1 1 1 0 t t p l U B q k V A  . Từ kết quả này ta có thể lấy số        1 1 1 1, t t k p U B l q V A   . 12 Tương tự như vậy ta có      2 2D k A l B  với:        2 2 2 2, t t k p U B l q V A   . Từ đó ta suy ra                 2 12 1 2 1 2 1 2 12 1 , , , : : : t t t t p U B p U Bk k p p A B C D l l q qq V A q V A         . Vậy tỉ số kép nói trên không phụ thuộc d . Định lý được chứng minh. Chú ý: Từ cách chứng minh định lí trên ta suy ra cách tìm tỉ số kép của chùm 4 đường thẳng khi biết tọa độ của chúng đối với một mục tiêu nào đó như sau: nếu các đường thẳng , , ,U V W Z có ma trận cột tọa độ lần lượt là                1 1 2 2, , W ,U V p U q V Z p U q V    thì 2 1 2 1 , , , : . p p U V W Z q q     Định nghĩa 1.2.6 (Chùm 4 đường thẳng điều hòa). Bốn đường thẳng , , ,U V W Z của một chùm được gọi là chùm 4 đường thẳng điều hòa nếu  , , , 1U V W Z   . Khi đó ta còn nói cặp đường thẳng ,U V chia điều hòa cặp đường thẳng ,W Z . Định nghĩa 1.2.7 (Hình bốn cạnh toàn phần). Trong mặt phẳng xạ ảnh  2P R hình gồm bốn đường thẳng trong đó không có 3 đường thẳng nào đồng quy được gọi là hình bốn cạnh toàn phần; mỗi đường thẳng đó gọi là một cạnh; giao điểm của 2 cạnh được gọi là một đỉnh; hai đỉnh không nằm trên cùng một cạnh gọi là hai đỉnh đối diện; đường thẳng nối 2 đỉnh đối diện được gọi là đường chéo; giao của hai đường chéo gọi là điểm chéo. Thang Long University Library 13 Định lí 1.2.8 (Định lý hình bốn cạnh toàn phần). Trong hình bốn cạnh toàn phần, hai đường chéo đi qua một điểm chéo nào đó chia điều hòa hai đường thẳng nối hai điểm chéo đó với hai đỉnh nằm trên đường chéo thứ ba. Chứng minh. (hình vẽ) Giả sử , , ,a b c d là bốn cạnh của hình bốn cạnh toàn phần. Các đỉnh của nó là : , , , , , .P a b Q c d R a d S b c U a c V b d            Các điểm chéo là: , , .I PQ RS J RS UV K UV PQ      Như vậy ta cần chứng minh cặp đường thẳng ,IJ IK chia điều hòa cặp đường thẳng ,IU IV . Tức là  , , , 1.J K U V   Xét hình bốn đỉnh toàn phần PQRS thì kết quả trên là hiển nhiên. 1.3. Ánh xạ xạ ảnh. Cho các K không gian xạ ảnh  pP, ,V và  'pP', ,V' . 14 1.3.1. Định nghĩa (Ánh xạ xạ ảnh). Một ánh xạ :f P P' được gọi là ánh xạ xạ ảnh nếu có ánh xạ tuyến tính : V V' sao cho nếu véc-tơ xV là đại diện cho điểm XP thì vec-tơ ( )x V' là đại diện cho điểm  f x P' . Nghĩa là, nếu   Xp x  thì     ' f Xp x  . Khi đó ta nói rằng ánh xạ tuyến tính là  là đại diện của ánh xạ xạ ảnh f . 1.3.2. Tính chất của ánh xạ xạ ảnh. Cho ánh xạ xạ ảnh :f P P' , có đại diện là ánh xạ tuyến tính : V V' . Khi đó: a. Ánh xạ tuyến tính  là đơn cấu. Thật vậy, nếu vec-tơ  \ 0xV là đại diện cho điểm XP ,thì vec-tơ  x đại diện cho điểm  Xf nên  \ 0( )x V' . b. Ánh xạ xạ ảnh f là đơn ánh. Thật vậy, giả sử A và B là hai điểm của P mà    f A f B . Khi đó, nếu gọi a và b là các vec-tơ đại diện của A và B thì ( )a và  b cùng đại diện cho một điểm    f A f B nên       , 0a k b kb k     . Vì  đơn cấu nên suy ra a kb , tức là A và B trùng nhau. c. Ánh xạ xạ ảnh bảo tồn tính độc lập và tính phụ thuộc của một hệ điểm (do đơn cấu tuyến tính bảo tồn sự độc lập tuyến tính và sự phụ thuộc tuyến tính của hệ vec-tơ). Từ đó suy ra: Ánh xạ xạ ảnh bảo tồn các khái niệm: mphẳng, số chiều của phẳng, giao và tổng của các phẳng, tỉ số kép của hàng 4 điểm và của chùm bốn siêu phẳng. d. Mỗi đơn cấu tuyến tính : V V' là đại diện cho một ánh xạ xạ ảnh duy nhất :f P P'. Hai đơn cấu tuyến tính : V V' và ' : V V' cùng đại diện cho một ánh xạ xạ ảnh :f P P' khi và chỉ khi có số  \ 0kK sao cho Thang Long University Library 15 'k  . Thật vậy, nếu đã cho đơn cấu tuyến tính : V V' thì ánh xạ xạ ảnh :f P P' được hoàn toàn xác định bởi: Nếu MP có đại diện là véc-tơ Vx thì  f M có đại diện là  x . Nếu :' V V'cũng là đại diện cho ánh xạ xạ ảnh f thì với mọi vec-tơ xV , các vec-tơ  x và  ' x cùng đại diện cho một điểm của P' nên    'xx k x  . Do  và ' đều là đơn cấu tuyến tính nên ta suy ra xk không phụ thuộc vào x . Định nghĩa 1.3.3 (Phép biến đổi xạ ảnh). Ánh xạ xạ ảnh :f P P' là song ánh khi và chỉ khi P và P' có cùng số chiều. Khi đó, f được gọi là đẳng cấu xạ ảnh, hai không gian P và P' được gọi là đẳng cấu. Từ các kết quả về đại số tuyến tính, ta có được các tính chất sau: a) Ánh xạ tuyến tính đại diện cho đẳng cấu xạ ảnh là phép đẳng cấu tuyến tính. b) Một đẳng cấu xạ ảnh :f P P của không gian xạ ảnh P lên chính nó được gọi là phép biến đổi xạ ảnh (hay ngắn gọn là biến đổi xạ ảnh) của P . Tập hợp các biến đổi xạ ảnh của P làm thành một nhóm, nó được gọi là nhóm xạ ảnh của không gian xạ ảnh P . Nhóm xạ ảnh của P đẳng cấu với nhóm thương    / 0GL kId k VV , với V là không gian vec-tơ liên kết với P . c) Nếu trong không gian xạ ảnh 2P cho hai mục tiêu xạ ảnh  0 1 2, , ;S S S E và  ' ' '0 1 2, , ; 'S S S E thì có phép biến đổi xạ ảnh duy nhất f của 2P , biến các điểm iS thành các điểm  ' 0,1,2iS i  và biến E thành 'E . d) Mỗi tập con H của 2P được gọi là một hình. Hình H được gọi là tương đương xạ ảnh với hình 'H nếu có một phép biến đổi xạ ảnh f biến H thành 16 'H . Quan hệ tương đương xạ ảnh của các hình là một quan hệ tương đương. Một tính chất của hình H được gọi là tính chất xạ ảnh (hay bất biến xạ ảnh) nếu mọi hình 'H tương đương với H đều có tính chất đó. Như vậy, hai hình tương đương xạ ảnh đều có các tính chất xạ ảnh giống nhau. Dưới đây là định lý cơ bản của phép biến đổi xạ ảnh trong 2P . Định lí 1.3.4. Nếu :f 2 2P P là song ánh bảo tồn sự thẳng hàng của ba điểm và bảo tồn tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng thì f là phép biến đổi xạ ảnh trong 2P . 1.4. Siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh  2P R . 1.4.1. Định nghĩa. Xét phương trình bậc hai thuần nhất của 3 biến 0 1 2, ,x x x trên trường số thực R , tức là phương trình có dạng 2 ij , 0 0i j i j a x x   , (1) trong đó ,ij ji ija a a R và có ít nhất một 0ija  . Ta kí hiệu ma trận   , , 0,1,2ijA a i j  thì A là một ma trận vuông đối xứng cấp 3 có hạng ít nhất bằng 1. Ta lại kí hiệu x là ma trận 1 cột 3 dòng: 0 1 2 x x x x            . Khi đó phương trình (1) có thể viết dưới dạng là 0tx Ax  , (2) trong đó tx là ma trận chuyển vị của ma trận x , còn 0 là kí hiệu cho ma trận gồm 1 dòng 1 cột gồm 1 số 0. Thang Long University Library 17 Ma trận A được gọi là ma trận của siêu mặt bậc hai  S đối với mục tiêu đã cho. Nếu det 0A  tức ma trận A không suy biến thì siêu mặt bậc hai  S được gọi là không suy biến. Ngược lại, nếu det 0A  thì siêu mặt bậc hai  S được gọi là suy biến. Ta thường gọi siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh  2P R là đường bậc hai. Hai đường bậc hai  S và  'S với các ma trận A và 'A tương ứng được xem là trùng nhau khi và chỉ khi có số thực 0k  sao cho 'A kA . Khái niệm đường bậc hai là một khái niệm xạ ảnh. 1.4.2. Giao của đường bậc hai với đường thẳng. Trong không gian xạ ảnh  2P R cho đường bậc hai  S và đường thẳng Q . Ta chọn mục tiêu xạ ảnh  0 1 2, , ;S S S E sao cho 2 điểm 0 1,S S nằm trên Q . Khi đó phương trình Q là 2 0x  . (1) Giả sử khi đó phương trình của  S là 2 ij , 0 0i j i j a x x   . (2) Giao của Q và  S là tập hợp  'S gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình (1) và (2), tức là 2 2 ij , 0 0 0i j i j x a x x        - Nếu các , , 0,1ija i j  đều bằng 0 thì mọi điểm thuộc Q đều thuộc  S . Vậy :  Q S hay  'S Q . 18 - Nếu các số đó không đồng thời bằng 0 thì  'S là một siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh 1 chiều Q . Như vậy giao đó hoặc là một điểm hoặc là hai điểm phân biệt. 1.4.3. Dạng chuẩn tắc của siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh thực Trong  2P R đối với mục tiêu đã chọn, cho siêu mặt  S có phương trình 0tx Ax  . Ta xem tx Ax như là một dạng toàn phương trong không gian véc-tơ 3R . Khi đó ta có thể tìm được phép biến đổi tuyến tính 'x Bx sao cho dạng toàn phương ấy trở thành dạng chính tắc. Ta lại xem phép biến đổi tuyến tính đó như là phép biến đổi mục tiêu xạ ảnh của 2P , và như ta đi đến định lý sau. Định lý 1.4.4. Với mỗi siêu mặt bậc hai  S trong không gian xạ ảnh thực  2P R , luôn tìm được một mục tiêu xạ ảnh sao cho đối với nó phương trình của  S có dạng chuẩn tắc 2 2 2 2 2 0 1 1 1... ... 0p p p qx x x x x          (có p dấu  và q dấu +), trong đó 1 3p q   và 0q p  . Mỗi siêu mặt bậc hai có đúng một phương trình chuẩn tắc. Siêu mặt bậc hai  S trong trường hợp đó gọi là siêu mặt bậc hai có chỉ số  ,p q . Ta có định lý phân loại siêu mặt bậc hai như sau. Định lý 1.4.5. Hai siêu mặt bậc hai  1S và  2S trong không gian xạ ảnh thực là tương đương khi và chỉ khi phương trình chuẩn tắc của chúng giống nhau. Như vậy trong  2P R ta có 5 loại đường bậc hai sau đây: 2 2 2 0 1 21) 0x x x   (đường ô van ảo), 2 2 2 0 1 22) 0x x x    (đường ô van, hay đường cô nic), 2 2 0 13) 0x x  (cặp đường thẳng ảo liên hợp), Thang Long University Library 19 2 2 0 14) 0x x   (cặp đường thẳng thực phân biệt) 2 05) 0x  (cặp đường thẳng trùng nhau). 1.5. Điểm liên hợp qua siêu mặt bậc hai trong  2P R Trong  2P R với mục tiêu đã chọn, cho siêu mặt bậc hai  S có phương trình 0tx Ax  , và hai điểm 0 1 2( : : )Y y y y và 0 1 2( : : )Z z z z . Định nghĩa 1.5.1 (Điểm liên hợp). Điểm Y được gọi là liên hợp với điểm Z đối với  S nếu 0ty Az  , trong đó y và z lần lượt là ma trận cột tọa độ của điểm Y và điểm Z . Khi đó ta cũng có 0tz Ay  , nên điểm Z cũng liên hợp với điểm Y đối với  S . Như vậy ta nói hai điểm Y và Z liên hợp với nhau đối với  S . Đặc biệt điểm Y liên hợp với chính nó đối với  S khi và chỉ khi Y nằm trên  S . Định lí 1.5.2. Giả sử hai điểm phân biệt Y và Z liên hợp với nhau đối với siêu mặt bậc hai  S trong không gian xạ ảnh  2P R . Khi đó : - Nếu đường thẳng ,Y Z cắt  S tại hai điểm phân biệt ,M N thì  , , , 1Y Z M N   , - Nếu ,Y Z cắt  S tại một điểm duy nhất thì điểm đó chính là Y hoặc Z . Chứng minh. Giả sử  S có phương trình 0tx Ax  . - Nếu đường thẳng ,Y Z  cắt  S tại hai đúng điểm phân biệt ,M N thì      1 1Y k M l N  và      2 2Z k M l N  . Vì hai điểm ,Y Z liên hợp với nhau đối với  S , nên     0 t Y A Z  , hay        1 1 2 2 0 t t k M l N A k M l N       .  * Chú ý rằng do  ,M N S nên         0 t t M A M N A N  . Do đó từ  * ta suy ra 20     1 2 2 1 0 t k l k l M A N  . Vì ,M N là hai điểm phân biệt của  S nên     0 t M A N  , (vì nếu 0)()( NAM t thì cả đường thẳng MN sẽ nằm trên S ) suy ra 1 2 2 1 0k l k l  . Vậy    , , , , , , 1Y Z M N M N Y Z   . - Nếu đường thẳng ,Y Z  cắt  S tại điểm duy nhất X thì      X k Y l Z  và     0 t X A X  , và do đó            2 22 0 t t t Y A Y k Y A Z kl Z A Z l              . Chú ý rằng     0 t Y A Z  , nên ta được        2 2 0 t t Y A Y k Z A Z l         . Vì phương trình này chỉ có một nghiệm kép duy nhất (sai khác một hằng số nhân khác 0), nên hoặc     0 t Y A Y  hoặc     0 t Z A Z  . Như vậy hoặc X trùng với Y , hoặc X trùng với Z . Định lí 1.5.3. Trong  2P R cho siêu mặt bậc hai  S và điểm Y . Tập hợp tất cả những điểm liên hợp với Y đối với  S hoặc là một đường thẳng trong  2P R hoặc là toàn bộ  2P R . Chứng minh. Giả sử siêu mặt bậc hai  S có phương trình 2 ij , 0 0i j i j a x x   và 0 1 2( : : )Y y y y . Điểm 0 1 2( : : )X x x x liên hợp với Y đối với siêu mặt bậc hai  S khi và chỉ khi 0ty Ax  , hay 2 ij , 0 i j i j a y x   =0 hay 2 2 ij 0 0 ( ) 0i j j i a y x     . (1) Thang Long University Library 21 - Nếu hệ số của xj trong phương trình (1) không đồng thời bằng 0, hay ma trận ytA có các số hạng không đồng thời bằng 0 thì phương trình (1) cho ta một đường thẳng trong  2P R . Đường thẳng đó có ma trận cột tọa độ là Ay. - Nếu các hệ số đó đều bằng 0 hay ma trận ytA gồm toàn số 0 thì mọi điểm X của  2P R đều có tọa độ thỏa mãn phương trình (1). Định nghĩa 1.5.4 (Cực và đối cực qua siêu mặt bậc hai). Nếu tập hợp các điểm liên hợp đối với điểm Y đối với siêu mặt bậc hai (S) là một đường thẳng thì đường thẳng đó được gọi là đường thẳng đối cực của điểm Y và kí hiệu là Y*. Ngược lại, điểm Y được gọi là điểm đối cực của đường thẳng Y*. Điểm Y được gọi là điểm kì dị của siêu mặt bậc hai (S) nếu Y liên hợp với mọi điểm của  2P R đối với (S). Như vậy điểm kì dị của (S) phải nằm trên (S) vì điểm kì dị liên hợp với chính nó. Hơn nữa chỉ có siêu mặt bậc hai suy biến mới có điểm kì dị. Thật vậy, tọa độ của điểm kì dị là nghiệm của hệ phương trình 2 ij 0 0, 0,1,2i i a x j    . Bởi vậy, nếu (S) có điểm kì dị thì hệ phương trình đó có nghiệm không tầm thường, do đó detA=0, hay (S) suy biến. Định nghĩa 1.5.5 (Tiếp tuyến và tiếp điểm). Nếu điểm Y nằm trên siêu mặt bậc hai  S nhưng không phải là điểm kì dị của  S thì đường thẳng đối cực *Y của Y đối với  S được gọi là đường thẳng tiếp xúc của  S tại Y , hay còn gọi là tiếp tuyến của  S tại Y . Điểm Y nằm trên đường thẳng *Y và điểm Y được gọi là tiếp điểm. Bây giờ, ta chú ý rằng: Nếu siêu mặt bậc hai (S) không suy biến thì mỗi đường thẳng bất kì đều có điểm đối cực duy nhất. Thật vậy, giả sử  S có phương trình 0tx Ax  với det 0A . Với đường thẳng U, điểm X là đối cực 22 của nó khi và chỉ khi (X)tA=(U)t hay A(X)=(U), do đó (X)=A-1(U) được xác định duy nhất. Định nghĩa 1.5.6 (Đường thẳng liên hợp). Hai đường thẳng U và V được gọi là liên hợp với nhau qua siêu mặt bậc hai không suy biến (S) khi hai điểm đối cực của chúng liên hợp với nhau qua (S). Các tính chất : a) Hai đường thẳng liên hợp với nhau qua siêu mặt bậc hai không suy biến (S) khi và chỉ khi đường thẳng này đi qua điểm đối cực của đường thẳng kia. Thật vậy, cho hai đường thẳng U,V có điểm đối cực đối với (S) lần lượt là U* và V*. Khi đó U liên hợp với V qua (S) khi và chỉ khi U* và V* là hai điểm liên hợp qua S. Vì U gồm những điểm liên hợp với U* nên U đi qua V*. Tương tự ta cũng có V đi qua U*. b) Đường thẳng U liên hợp với chính nó qua siêu mặt bậc hai (S) khi và chỉ khi U tiếp xúc với (S) tại điểm U* là điểm đối cực của U. c) Cho hai đường thẳng phân biệt U,V liên hợp với nhau qua siêu mặt bậc hai không suy biến (S). Nếu qua U V có hai đường thẳng phân biệt P và Q cùng tiếp xúc với (S) thì  , , , 1U V P Q   . Thật vậy, gọi các điểm đối cực của các đường thẳng , , ,U V P Q lần lượt là * * * *, , ,U V P Q ta có                * 1 * 1 * 1 * 1, , ,U A U V A V P A P Q A Q       . Vì các đường thẳng , , ,U V P Q cùng thuộc một chùm (có giá là U V ) nên:            1 1 2 2,P k U l V Q k U l V    . Từ đó :            * 1 1 1 * *1 1 1 1P A P k A U l A V k U l V       ,            * 1 1 1 * *2 2 2 2Q A Q k A U l A V k U l V       . Thang Long University Library 23 Vậy bốn điểm * * * *, , ,U V P Q thẳng hàng. Nhưng hai điểm * *,U V liên hợp với nhau đối với  S còn * *,P Q là các giao điểm của * *U V với  S nên * * * *, , , 1U V P Q     , do đó  , , , 1U V P Q   . 1.6. Nguyên tắc đối ngẫu Ta định nghĩa về phép đối xạ trong 2P như sau: Kí hiệu 2 là tập hợp tất cả các điểm, đường thẳng (0 – phẳng và 1 – phẳng trong 2P ). Ta chọn trong 2P một mục tiêu xạ ảnh nào đó và xác định ánh xạ 2 2:   như sau: nếu A là một điểm thì  A là một đường thẳng có tọa độ giống như tọa độ của A , cụ thể là  0 1 2: :A a a a thì    0 1 2: :A a a a  ; nếu U là một đường thẳng nào đó thì     X U U X    là một điểm. Hai cái phẳng U và V trong mặt phẳng xạ ảnh 2P gọi là có quan hệ liên thuộc nếu một trong hai phẳng đó chứa phẳng kia. Tức là U V hoặc V U . Khi đó ta nói U thuộc V , hoặc V thuộc U . Chẳng hạn, nếu điểm A nằm trên đường thẳng a thì ta nói: “điểm A thuộc đường thẳng a ”, hoặc nói: “đường thẳng a thuộc điểm A”. Như vậy, từ “ thuộc” đồng nghĩa với một trong các từ “nằm trên”, “đi qua”, “chứa”, “chứa trong”. Với cách hiểu như vậy, ta có thể nói rằng: Phép đối xạ giữ nguyên quan hệ liên thuộc giữa các phẳng, có nghĩa là nếu U thuộc V thì  U thuộc  V . Định nghĩa 1.6.1 (Mệnh đề đối ngẫu). Giả sử M là một mệnh đề nào đó trong mặt phẳng xạ ảnh 2P nói về các phẳng và các quan hệ liên thuộc giữa chúng. Nếu trong mệnh đề đó các từ “0 – phẳng” được thay bằng các từ “1– phẳng” và ngược lại, các từ khác giữ nguyên thì được mệnh đề mới *M gọi là mệnh đề đối ngẫu. 24 Từ tính chất của phép đối xạ, ta có kết quả sau đây gọi là nguyên tắc đối ngẫu. Định lý 1.6.2 (Nguyên tắc đối ngẫu). Trong mặt phẳng xạ ảnh cặp mệnh đề đối ngẫu với nhau hoặc cùng đúng, hoặc cùng sai. Ví dụ. Ta xét mệnh đề sau trong 2P : “ Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước” . Ta phát biểu lại dưới dạng: “ Có một và chỉ một 1 – phẳng thuộc hai 0 – phẳng phân biệt cho trước”. Khi đó, mệnh đề đối ngẫu của nó sẽ là: “Có một và chỉ một 0 – phẳng thuộc hai 1 – phẳng phân biệt cho trước”, hay phát biểu cách khác : “ Hai đường thẳng phân biệt luôn cắt nhau tại một điểm duy nhất”. Cặp mệnh đề đối ngẫu trên đây đều đúng. 1.7. Các định lý cổ điển của hình học xạ ảnh Định nghĩa 1.7.1 (Hình sáu đỉnh). Tập hợp gồm 6 điểm phân biệt có thứ tự 1 2 3 4 5 6, , , , ,A A A A A A được gọi là một hình sáu đỉnh. Nó được kí hiệu là 1 2 3 4 5 6A A A A A A . Các điểm iA gọi là các đỉnh của hình sáu đỉnh đó. Các đường thẳng 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 1, , , , ,A A A A A A A A A A A A gọi là các cạnh của hình sáu đỉnh. Các cặp đỉnh 1A và 4A , 2A và 5A , 3A và 6A gọi là các cặp đỉnh đối diện. Các cặp cạnh 1 2A A và 4 5A A , 2 3A A và 5 6A A , 3 4A A và 6 1A A gọi là các cặp cạnh đối diện. Định lý 1.7.2 (Định lý Pascal). Nếu một hình 6 đỉnh có 6 đỉnh nằm trên một đường ôvan (còn gọi là hình sáu đỉnh nội tiếp đường ôvan) thì giao điểm của các cạnh đối diện nằm trên một đường thẳng. Chứng minh. (hình vẽ) Thang Long University Library 25 (Hình 1) Giả sử hình 6 đỉnh 1 2 3 4 5 6A A A A A A nội tiếp đường ôvan (S). Ta kí hiệu: 1 2 4 5P A A A A  , 2 3 5 6Q A A A A  , 3 4 6 1R A A A A  . Từ định lý Stâyne thuận, ta có:    1 2 1 3 1 4 1 6 5 2 5 3 5 4 5 6, , , , , ,A A A A A A A A A A A A A A A A . Tuy nhiên, ta có:    1 2 1 3 1 4 1 6 3 4, , , , , ,A A A A A A A A M A A R ,    5 2 5 3 5 4 5 6 2 3, , , , , ,A A A A A A A A A A N Q . Vì vậy ta có:    3 4 2 3, , , , , ,M A A R A A N Q . Điều đó chứng tỏ rằng, có phép ánh xạ xạ ảnh 3 4 2 3:f A A A A mà        2 3 3 4, , ,f M A f A A f A N f R Q    , hơn thế, f là phép chiếu xuyên tâm vì 3A là điểm tự ứng. Do vậy các đường thẳng 2 4, ,MA A N QR đồng quy. Nói cách khác , ,P Q R thẳng hàng. Chú ý: Các trường hợp đặc biệt của định lý Pascal. Ta có thể định nghĩa hình năm đỉnh, hình bốn đỉnh, hình ba đỉnh tương tự như định nghĩa hình sáu đỉnh. Hãy xét một hình năm đỉnh 1 2 3 4 5A A A A A nội tiếp đường ôvan  S . Ta xem hình năm đỉnh đó như là một trường hợp đặc biệt của hình sáu đỉnh khi hai đỉnh liên tiếp nào đó trùng nhau, chẳng hạn đó 26 là hình sáu đỉnh 1 2 3 4 5 5A A A A A A . Khi đó lập luận trong chứng minh của định lí Pascal vẫn đúng nếu cạnh 5 6A A được thay bằng tiếp tuyến của ôvan tại đỉnh 5A . Vậy ta có kết quả sau đây: Hệ quả 1.7.3. Nếu hình năm đỉnh 1 2 3 4 5A A A A A nội tiếp đường ôvan  S thì ba giao điểm của : cạnh 1 2A A với cạnh 4 5A A , cạnh 2 3A A với tiếp tuyến của  S tại 5A , cạnh 3 4A A với cạnh 5 1A A thẳng hàng. (Hình 2) Đối với hình bốn đỉnh ABCD nội tiếp ôvan (S), nếu ta xem nó là trường hợp đặc biệt của hình sáu đỉnh AABBCD thì sẽ có ba điểm sau đây thẳng hàng: giao điểm của tiếp tuyến tại A với cạnh BC, giao điểm hai cạnh AB và CD, giao điểm của tiếp tuyến tại B với cạnh AD. (Hình 3) Cũng với hình bốn đỉnh ABCD nói trên, nếu ta xem nó là trường hợp đặc biệt của hình sáu đỉnh AABCCD hoặc ABBCDD thì sẽ được kết quả sau: Thang Long University Library 27 Hệ quả 1.7.4. Nếu một hình bốn đỉnh ABCD nội tiếp một đường ôvan thì giao điểm các cặp cạnh đối diện và giao điểm các cặp cạnh đối diện và giao điểm các tiếp tuyến tại các cặp đỉnh đối diện là bốn điểm thẳng hàng (Các cặp cạnh đối diện là : AB và CD, AD và BC, các cặp đỉnh đối diện là A và C, B và D). (Hình 4) Đối với hình ba đỉnh ABC nội tiếp một đường ôvan, nếu ta xem nó là trường hợp đặc biệt của hình sáu đỉnh AABBCC thì được kết quả sau đây: Hệ quả 1.7.5. Nếu một hình ba đỉnh nội tiếp một đường ôvan thì giao điểm của một cạnh với tiếp tuyến tại đỉnh đối diện là ba điểm thẳng hàng. (Hình 5) Định nghĩa 1.7.6 (Hình sáu cạnh). Hình sáu cạnh là tập hợp có thứ tự gồm sáu đường thẳng 51 2 3 4 6, , , , ,a a a a a a . Nó được ký hiệu 51 2 3 4 6a a a a a a . Các đường thẳng ia được gọi là cạnh của hình sáu cạnh đó. Các giao điểm 5 51 2 2 3 3 4 4 6 6 1, , , , ,a a a a a a a a a a a a      được gọi là các đỉnh của hình sáu 28 cạnh. Các cặp cạnh 1a và 4a , 2a và 5a , 3a và 6a được gọi là các cặp cạnh đối diện. Các cặp đỉnh 1 2a a và 54a a , 2 3a a và 5 6a a , 3 4a a và 6 1a a được gọi là các cặp đỉnh đối diện. Định lý Pascal có đối ngẫu là định lí sau đây, còn gọi là định lí Brianchon. (Hình 6) Định lý 1.7.6. (Định lý Brianchon). Nếu một hình sáu cạnh có sáu cạnh phân biệt cùng tiếp với một đường ôvan ( còn gọi là hình lục giác ngoại tiếp ôvan đó) thì các đường thẳng nối các đỉnh đối diện đồng quy (hình 6a). Các trường hợp đặc biệt của định lí Pascal cũng có các mệnh đề đối ngẫu tương ứng, sau đây ta kể ra hai trong số các mệnh đề là đối ngẫu của các trường hợp đặc biệt của định lý Pascal. Hệ quả 1.7.7. Nếu một hình bốn cạnh ngoại tiếp một đường ôvan thì các đường thẳng nối các đỉnh đối diện và các đường thẳng nối tiếp điểm trên các cạnh đối diện là bốn đường thẳng đồng quy (hình 6b). Hệ quả 1.7.8. Nếu một hình ba cạnh ngoại tiếp một đường ôvan thì các đường thẳng nối một đỉnh với tiếp điểm trên cạnh đối diện là ba đường thẳng đồng quy (hình 6c). Thang Long University Library 29 Tiếp theo ta quan tâm đến định lý liên quan đến chùm đường bậc hai như sau. Trong 2P cho 4 điểm , , ,A B C D trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Tập hợp các đường bậc hai đi qua bốn điểm đó được gọi là một chùm đường bậc hai, kí hiệu là  , , ,S A B C D . Bốn điểm , , ,A B C D được gọi là cơ sở của chùm. Trong số các đường bậc hai của chùm  , , ,S A B C D có 3 đường bậc hai suy biến thành các cặp đường thẳng. Đó là các cặp đường thẳng: AB và CD , AC và BD , AD và BC . Ngoài ra các đường bậc hai khác đều là đường ôvan. Rõ ràng là nếu điểm E không trùng với một trong các điểm , , ,A B C D thì có một đường bậc hai duy nhất của chùm đi qua E . Định lý 1.7.9 (Định lý Desargues thứ hai). Trong 2P cho một chùm đường bậc hai  , , ,S A B C D và đường thẳng s không đi qua , , ,A B C D . Khi đó mỗi đường bậc hai của chùm sẽ cắt s theo một cặp điểm tương ứng với nhau trong một phép đối hợp xác định của s. Chứng minh. (Hình 7) Giả sử  S là một đường bậc hai nào đó của chùm, tức là  S đi qua , , ,A B C D . Ta gọi M và 'M là giao điểm của  S và s thì ta có lục giác 'ABCDMM nội tiếp  S . Theo định lý Pascal, ba điểm P AB DM  , 'Q BC MM  , 'R CD M A  thẳng hàng. Gọi 30 1 :f s AB là phép chiếu xuyên tâm, với tâm D . 2 :f AB CD là phép chiếu xuyên tâm, với tâm Q . 3 :f CD s là phép chiếu xuyên tâm, với tâm A. Khi đó tích 3 2 1 :f f f f s s  là phép biến đổi xạ ảnh của s biến thành M thành 'M . Nếu  S là đường bậc hai của chùm, nhưng không phải là đường ôvan, chẳng hạn  S là cặp đường thẳng AB và CD và  S cắt s tại N và 'N , thì cũng dễ thấy rằng   'f N N . Ngoài ra, hiển nhiên f là phép đối hợp. Định nghĩa 1.7.10. Kí hiệu {I} là chùm đuờng thẳng có tâm là điểm I. Một ánh xạ F: {I}{I} được gọi là biến đổi xạ ảnh của chùm {I}nếu nó bảo tồn tỉ số kép của bốn đường thẳng bất kì. Nếu ngoài ra   2 I F Id thì F được gọi là phép đối hợp của chùm {I}. Định lý sau đây là đối ngẫu của định lí Desargues thứ hai: Định lý 1.7.11 (Đối ngẫu của Định lý Desargues thứ hai). Xét tập hợp các đường bậc hai tiếp xúc với bốn đường thẳng cho trước , , ,a b c d trong đó không có ba đường nào đồng quy. Gọi I là một điểm không nằm trên , , ,a b c d . Khi đó hai tiếp tuyến từ điểm I của mỗi đường bậc hai nói trên sẽ tương ứng với nhau trong cùng một phép đối hợp xác định của chùm {I}. Chú ý: Bốn đường thẳng a, b, c, d làm thành một hình bốn cạnh toàn phần. Các cặp đường thẳng nối điểm I với hai đỉnh đối diện của hình bốn đỉnh toàn phần đó cũng tương ứng với nhau phép đối hợp nói trên. 1.8. Mô hình afin của mặt phẳng xạ ảnh: 1.8.1. Mô hình afin của mặt phẳng xạ ảnh: Ta đã biết cách xây dựng mô hình afin của mặt phẳng xạ ảnh. Lấy một mặt phẳng afin 2A , rồi bổ sung thêm các phần tử của tập hợp      2A để được tập Thang Long University Library 31 hợp     2 2 2 P = A A và xây dựng 2P thành mặt phẳng xạ ảnh . Bây giờ ta mô tả quá trình ngược lại bỏ bớt đi từ mặt phẳng xạ ảnh 2P một tập hợp nào đó và xây dựng phần còn lại thành một mặt phẳng afin. Bằng cách đó ta được một mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin. Giả sử 2P là mặt phẳng xạ ảnh liên kết với R- – không gian vectơ 3V gọi H là một đường thẳng nào đó của 2P đặt \ H2 2A = P . Ta xây dựng 2A thành mặt phẳng afin theo cách sau đây: Đưa vào 2P một mục tiêu xạ ảnh  0 1 2, , ;S S S E với các đỉnh 1 2,S S nằm trên H khi đó đường thẳng H sẽ có phương trình 0 0x  . Nếu điểm X  2A thì X có toạ độ  0 1 2: :x x x trong đó 0 0x  (vì x H ). Bởi vậy nếu ta đặt 0 i i x X x  , với 1, 2i  thì ta được một bộ thứ tự gồm 2 số  1 2,X X với iX R . Nó được gọi là toạ độ không thuần nhất của điểm X và viết  1 2,X X X . Rõ ràng là có một song ánh từ tập 2A đến tập 2R bằng cách cho mỗi điểm tương ứng với toạ độ không thuần nhất của nó. Nếu có hai điểm của 2A là  1 2,X X X và  1 2,Y Y Y thì ta kí hiệu XY là véc-tơ  2 1 2 1,X X Y Y  của 2 R . Bằng cách đó ta có ánh xạ : 2 2 2A ×A R , thoả mãn các tiên đề của không gian afin và do đó 2A trở thành không gian afin hai chiều liên kết với không gian véctơ 2R . 1.8.2. Một số nhận xét: + Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng cắt nhau trên H . + Tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng  , , ,A B C D bằng thương của hai tỉ số đơn    , , : , ,A B C A B D . 32 + Ba đường cônic trong  2A R : Nếu  S là đường Oval trong mặt phẳng xạ ảnh 2P thì trong mặt phẳng afin \ H2 2A = P , tập   \S H sẽ là: - Elip nếu  S không cắt H . - Hypepol, nếu  S cắt H tại hai điểm phân biệt. - Parabol, nếu  S tiếp xúc với H . 1.8.3. Một số khái niệm đối ngẫu trong 2P : Ta lưu ý đến cách thành lập mệnh đề đối ngẫu trong 2P : Trong 2P , để có mệnh đề đối ngẫu của mệnh đề M ta thay trong M các từ “ điểm” bởi các từ “ đường thẳng” và ngược lại, còn các từ khác giữ nguyên. a) Khái niệm ba điểm độc lập trong 2P , được định nghĩa là “ba điểm không cùng thuộc một đường thẳng” có khái niệm đối ngẫu là “ba đường thẳng không cùng thuộc một điểm”. Đó chính là khái niệm ba đường thẳng độc lập. b) Trong 2P hình bốn đỉnh toàn phần và hình bốn cạnh toàn phần là cặp khái niệm đối ngẫu. c) Trong 2P , khái niệm chùm đường thẳng (tập hợp các đường thẳng cùng đi qua một điểm) có khái niệm đối ngẫu là: Tập hợp các điểm cùng thuộc một đường thẳng, ta gọi chúng là một hàng điểm. d) Cho bốn điểm , , ,A B C D thẳng hàng, có tỉ số kép  , , ,A B C D k . Qua phép đối xạ, các đường thẳng        , , ,A B C D    thuộc một chùm và từ định nghĩa tỉ số kép của hàng bốn điểm và chùm bốn đường thẳng ta suy ra          , , , , , ,A B C D A B C D       . Bởi vậy, ta nói rằng: Khái niệm tỉ số kép của hàng bốn điểm và tỉ số kép của chùm bốn đường thẳng là cặp khái niệm đối ngẫu. e) Khái niệm hàng điểm điều hoà và chùm đường thẳng điều hoà là cặp khái niệm đối ngẫu. Thang Long University Library 33 f) Các cặp định lí đối ngẫu thường gặp là: định lí Pascal và định lí Brianshon; định lí Desargues thứ nhất và định lí Desargues thứ hai; định lí hình bốn cạnh toàn phần và định lí hình bốn đỉnh toàn phần. 1.8.4 Ví dụ ứng dụng của nguyên lý đối ngẫu trong mặt phẳng afin. Một kết quả quen thuộc của hình học Euclide sau đây: Trong tam giác ABC , đường trung bình DE luôn song song với cạnh đáy AC tương ứng. Trong hình học xạ ảnh,ta thu được kết quả: Trong mặt phẳng xạ ảnh, tam giác ABC có các cạnh , ,AB BC CA lần lượt cắt đường thẳng xa vô tận tại các điểm , ,H F G . Lấy các điểm ,D E lần lượt trên ,AB BC sao cho    , , , , , , 1A B D H B C E F   . Khi đó ba đường thẳng , ,DE AC FH đồng qui tại điểm G . 34 Sử dụng nguyên tắc đối ngẫu cho bài toán trên ta có: Cho ba đường thẳng không đồng qui , ,a b c cắt nhau ở các điểm tương ứng , ,C A B . Dựng các đường thẳng ,e f qua điểm A và ,d h qua điểm C sao cho ta có    , , , , , , 1a b d h b c e f   . Khi đó dựng đường thẳng g qua điểm B và qua giao điểm của f và h , ta có ba đường thẳng , ,d e g đồng qui. Thang Long University Library 35 Chương 2 CỰC VÀ ĐỐI CỰC TRONG MẶT PHẲNG ƠCLIT 2.1. Phép nghịch đảo Định nghĩa 2.1.1 (Phép nghịch đảo). Cho một điểm O cố định và một số 0k . Nếu ứng với mỗi điểmM của mặt phẳng khác với điểm O ta tìm được điểm 'M trên đường thẳng OM sao cho . 'OM OM k thì phép biến hình   'f M M gọi là phép nghịch đảo cực O , phương tích k. Ta thường kí hiệu phép nghịch đảo đó là kOf N . Phép nghịch đảo f hoàn toàn được xác định nếu biết cực O và phương tích k của nó. Các tính chất: a) Phép nghịch đảo có tính chất đối hợp vì . ' '.OMOM OM OM k  nghĩa là nếu   'f M M thì ta cũng có  'f M M . Do đó  f f M M hay 2f là phép đồng nhất. b) Nếu 0k  thì hai điểm M và  'M f M cùng nằm về một phía đối với điểm O . Khi đó tập hợp những điểm kép của phép nghịch đảo k Of N là đường tròn tâm O và có bán kính bằng k . Ta gọi đường tròn này là đường tròn nghịch đảo của phép nghịch đảo kOf N . Ta có   2 . 'OM OM k k  . Cần lưu ý rằng nếu điểm M nằm ở miền trong của đường tròn nghịch đảo thì điểm  'M f M sẽ nằm ngoài đường tròn nghịch đảo và ngược lại. c) Nếu 0k  thì hai điểm M và  'M f M nằm về hai phía đối với điểm O . Khi đó ta không có điểm kép và do đó không có đường tròn nghịch đảo vì 0k  . d) Vì . 'OM OM k không đổi nên nếu điểm M tiến lại gần điểm O thì điểm 36 M càng đi xa điểm O . Ta vẽ đường tròn đường kính 'MM và từ O vẽ đường thẳng vuông góc với 'MM cắt đường tròn đó tại A và B . Ta có . . 'OAOB OM OM k  . Nếu  'N f N qua phép nghịch đảo với 0k  đã cho thì ta cũng có . . ' . 'OAOB ONON OM OM  . Khi đó ta có bốn điểm , ', ,N N A B cùng nằm trên một đường tròn. 2.2. Đường tròn trực giao Định nghĩa 2.2.1 (Hai đường tròn trực giao). Cho hai    1 2,O O cắt nhau tại hai điểm ,A B ; 1 , 2 lần lượt là tiếp tuyến của    1 2,O O và qua A . Khi đó góc giữa hai đường thẳng 1 , 2 được gọi là góc của hai đường tròn. Hai đường tròn gọi là trực giao khi và chỉ khi góc của chúng bằng 900. 2.2.2. Một số dấu hiệu. Chúng tôi liệt kê dưới đây một số dấu hiệu đơn giản về sự trực giao của hai đường tròn. a) Dấu hiệu 1:    1 2,O O cắt nhau tại A, 1 , 2 lần lượt là tiếp tuyến của    1 2,O O và qua A. Khi đó  1O và  2O trực giao  1 qua O2 2 qua O1 b) Dấu hiệu 2: Cho  11;rO và  22;rO . Khi đó  1O và  2O trực giao 2 2 2 1 2 1 2r r OO   . c) Dấu hiệu 3: Cho  11;rO và  22;rO trực giao   2 1 2 2/O O rP   1 2 2 1/O O rP d) Dấu hiệu 4: Cho    1 2,O O , MN là đường kính của  1O và cắt  2O tại ,P Q . Khi đó  1O và  2O trực giao  , , , 1M N P Q  . 2.3. Cực và đối cực Chúng ta xem mặt phẳng hợp với đường thẳng vô tận là không gian xạ ảnh hai chiều. Khi đó mỗi đường tròn được xem là một đường Oval không giao Thang Long University Library 37 với đường thẳng vô tận. Ta có các khái niệm điểm liên hợp, cực và đối cực đã được định nghĩa trong chương một. Khi đó ta có ngay một số tính chất sau: a) Tính chất 1. Cho  O và hai điểm ',M M . Khi đó ',M M gọi là liên hợp đối với  O nếu đường tròn đường kính 'MM trực giao với  O b) Tính chất 2. Cho  O và điểm M khác O . Khi đó tập hợp các điểm 'M liên hợp với M là một đường thẳng vuông góc với MO . c) Tính chất 3. Cho  O , đường thẳng  không đi qua O . Khi đó tồn tại duy nhất điểm M sao cho với mọi 'M thuộc  ta có ',M M liên hợp đối với  O . Đường thẳng  là đường đối cực của M đối với  O và M là cực của đường thẳng  đối với  O . d) Đối cực của M đi qua 'M  đối cực của 'M đi qua M . e) Khi M chạy trên một đường thẳng cố định thì đối cực của M luôn đi qua một điểm cố định. f)  quay quanh một điểm cố định thì cực của  chạy trên một đường thẳng cố định. Dưới đây chúng tôi liệt kê, không chứng minh một số định lý đơn giản sau. Định lý 2.3.1. Tập hợp các điểm P liên hợp với điểm S (cho trước) đối với đường tròn  O là đường đối cực của S . (Ta nói hai điểm S và P liên hợp với nhau đối với đường tròn  O nếu đường tròn đường kính SP trực giao với  O .) Từ đây ta thu được: Hệ quả 2.3.2. Với hai điểm ,S P trên mặt phẳng mà P nằm trên đường đối cực của S đối với  O và SP cắt  O ở ,M N thì bốn điểm , , ,S P M N lập thành một hàng điểm điều hòa. 38 Hệ quả 2.3.3. Với hai điểm ,S P trên mặt phẳng mà SP cắt  O ở ,M N thỏa mãn bốn điểm , , ,S P M N lập thành một hàng điểm điều hòa thì P nằm trên đường đối cực của S và S nằm trên đường đối cực của P . Định lý 2.3.4. OS vuông góc với đường đối cực của S . Định lý 2.3.5 (Định lý La Hire). Với hai điểm ,S Q . Đường đối cực của S đi qua Q khi và chỉ khi đường đối cực của Q sẽ đi qua S . Định lý 2.3.6. Ba điểm (khác tâm đường tròn xét cực và đối cực) thẳng hàng khi và chỉ khi ba đường đối cực của chúng đồng quy hoặc song song. Định lý 2.3.7. Bốn điểm (khác tâm đường tròn xét cực và đối cực) lập thành một hàng điểm điều hòa khi và chỉ các đường đối cực của chúng lập thành một chùm điều hòa. Thang Long University Library 39 Chương 3 HỆ THỐNG BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH ỨNG DỤNG CỰC VÀ ĐỐI CỰC TRONG HÌNH HỌC PHỔ THÔNG 3.1. Các bài toán về quan hệ vuông góc, song song: Những bài toán dưới đây đều là những bài toán hay, có thể giải chúng bằng phương pháp khác, tuy nhiên trong khuôn khổ đề tài, nó được chọn nhằm thể hiện ý tưởng về ứng dụng cực và đối cực. Bài toán 1: Giả sử đường tròn  O với tâm O và bán kính R . Qua H bên trong đường tròn vẽ hai dây cung CD và EF không đi qua tâm O . Hai tiếp tuyến tại CD của  O cắt nhau tại A ,hai tiếp tuyến tại EF của (O) cắt nhau tại B . Chứng minh rằng OH và AB vuông góc với nhau. (T7/362 Tạp chí toán học và tuổi trẻ ) Lời giải. Ta xét cực và đối cực đối với  O . Ta thấy đường đối cực của A là CD đi qua H nên đường đối cực của H sẽ đi qua A (Định lý 2.3.5 (Định lý La Hire)). Tương tự có đường đối cực của H đi qua B . Từ hai điều trên ta suy 40 ra đường đối cực của H chính là AB . Đến đây theo Định lý 2.3.4 ta có OH AB . Ngoài ra một định lí nổi tiếng của hình học phẳng sau đây được chứng minh rất ngắn gọn dựa theo cực và đối cực. Bài toán 2 (Định lí Brokard). Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn  O . Giả sử AC cắt BD ở E , AB cắt CD ở F , AD cắt BC ở K . Chứng minh rằng O là trực tâm của tam giác EFK . Lời giải. K E F O A B C D Xét cực và đối cực đối với  O . Ta thấy KE là đường đối cực của F nên theo Định lý 2.3.4 có OF KE (3.1.1) Tương tự có : OE KF (3.1.2) Từ (3.1.1) và (3.1.2) suy ra O là trực tâm của tam giác EFK . Thang Long University Library 41 Bài toán 3. Cho tam giác ABC cân tại A . Hai đường thẳng 1 2,d d bất kì qua A . Các đường thẳng tương ứng vuông góc với 1 2,d d cắt nhau tại D . Đường thẳng qua B vuông góc với AB cắt 1d tại E , đường thẳng qua C vuông góc với AC cắt 2d tại F . Chứng minh rằng AD vuông góc vớiEF . Nhận xét: Rõ ràng trong đề bài toán không thấy sự xuất hiện của bất cứ đường tròn nào. Tuy nhiên, từ giả thiết ban đầu ta có AB AC , do vậy xuất hiện đường tròn tâm A , bán kính AB (gọi tắt là  A ). Lời giải. Xét cực và đối cực đối với  A . Ta thêm một số kí hiệu: 3d là đường thẳng qua B và vuông góc với 1d . 4d là đường thẳng qua C và vuông góc với 2d . Ta thấy ,BE CF là các tiếp tuyến của  A . Đồng thời ta có: Đường đối cực 42 của E sẽ đi qua B và vuông góc với AE , hay chính là 3d . Tương tự đường đối cực của F chính là 4d . Áp dụng kết quả của Định lý 2.3.5 (Định lý La Hire) ta sẽ có cực của EF chính là D . Do vậy theo Định lý 2.3.4 thì AD EF . Ta xét một bài toán sử dụng cực và đối cực để chứng minh song song: Bài toán 4. Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp là  I . Tiếp điểm của  I trên , ,BC CA AB lần lượt là , ,D E F . AD cắt lại  I ở K . Đường thẳng qua K vuông góc với AD cắt EF ở T . Chứng minh rằng / /AT BC . Lời giải. Xét cực và đối cực đối với  I . Gọi X là giao điểm thứ hai của KT với  I , ta thấy , ,D X I thẳng hàng. EF cắt ,IX IA lần lượt ở ,J G . Ta thấy 2. .AK AD AE AG AI . Nên ta suy ra , , ,K G I D đồng viên. Do đó Thang Long University Library 43              , , , , , , , 2 GK GF GA GF GA GK DI DK KD KX DI DK XK XJ        Do đó tứ giác KGJX nội tiếp. Vậy ta có . . .TJ TG TX TK TETF . Chú ý rằng G là trung điểm của FE nên theo bổ đề Maclaurine suy ra  , , , 1T J E F   . Hay T thuộc đường đối cực của J (theo Hệ quả 2.3.3) (3.1.3). Mặt khác đường đối cực của A là EF đi qua J nên đường đối cực của J đi qua A (Định lý 2.3.5 (Định lý La Hire)) (3.1.4). Từ hai điều trên ta suy ra đường đối cực của J là AT . Vậy theo Định lý 2.3.4, ta có : IJ AT . Mặt khác IJ BC nên suy ra / /AT BC . Nhận xét. Chứng minh song song bằng ý tưởng dùng cực và đối cực giúp bài toán của ta trở nên thú vị hơn. 3.2. Các bài toán về tính đồng quy, thẳng hàng: Bài toán 5. (Định lí Brianchon) Chứng minh rằng ba đường chéo của một lục giác ngoại tiếp đồng quy . Lời giải. 44 Ta kí hiệu ABCDEF là lục giác ngoại tiếp  O .Tiếp điểm của  O trên , , , , ,AB BC CD DE EF FA lần lượt là , , , , ,G H I J K L . Xét cực và đối cực đối với  O . Gọi , ,M N P lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng  ,LG IJ ,  ,GH JK ,  ,HI KL . Dùng định lí Pascal cho lục giác nội tiếp GHIJKL ta có , ,M N P thẳng hàng. Theo Định lý 2.3.6 thì các đường đối cực của , ,M N P hoặc đồng quy hoặc đôi một song song. Mặt khác, các đường đối cực của , ,M N P lần lượt là , ,AD BE CF nên ta có , ,AD BE CF đồng quy . Bài toán 6. Cho tam giác ABC với  I là đường tròn nội tiếp. Tiếp điểm của  I trên , ,BC CA AB lần lượt là , ,D E F . Gọi , ,M N P lần lượt là điểm chung của các cặp đường thẳng      , , , , ,EF BC DF CA DE AB . Chứng minh rằng , ,M N P thẳng hàng Lời giải. Xét cực và đối cực đối với  I . Đường đối cực của A là EF đi qua M , nên đường đối cực của M đi qua A . (Định lý 2.3.5 (Định lý La Hire)). Mặt khác, Thang Long University Library 45 đường đối cực của M đi qua D nên suy ra đường đối cực của M là AD . Hoàn toàn tương tự, ta cũng có: Đường đối cực của N là BE và đường đối cực của P là CF . Khi đó, sử đụng dịnh lí Ceva ta có , ,AD BE CF đồng quy. Theo Định lý 2.3.6 ta có , ,M N P thẳng hàng. Bài toán 7. Cho tam giác ABC , đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với , ,BC CA AB lần lượt tại , ,D E F . Đường tròn nội tiếp tam giác DEF tiếp xúc với , ,EF FD DE lần lượt tại , ,J K L . Chứng minh rằng , ,AJ BK CL đồng quy. Lời giải. Gọi ,I O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF và ABC . Gọi , ,M N P lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng      , , , , ,EF LK FD JL DE KJ . Theo Bài toán 6 ta có , ,M N P thẳng hàng.(*) 46 Chú ý rằng , ,DJ FL EK đồng quy nên  , , , 1M J F E   . Do đó J thuộc đường đối cực của M đối với  O (theo Hệ quả 2.3.3). Mặt khác dễ thấy A thuộc đường đối cực của M đối với  O nên ta có AJ là đường đối cực của M đối với  O . Tương tự có BK là đường đối cực của N đối với  O và CL là đường đối cực của P đối với  O . Từ ba điều trên và (*) và Định lý 2.3.6 ta có AJ ,BK ,CL đồng qui. Qua hai bài toán, chúng ta đã thấy rõ hiệu lực của Định lý 2.3.6 cho những bài toán chứng minh tính thẳng hàng và đồng qui. Tuy nhiên ta cần áp dụng linh hoạt các định lí vào giải các bài toán như sau: Bài toán 8. Trong tam giác ABC kẻ các đường cao ' ' ', ,AA BB CC và gọi H là trực tâm của tam giác. Gọi J là một giao điểm của 'AA với đường tròn  I đường kính BC . Chứng minh rằng ' ',BC BC và tiếp tuyến tại J của  I đồng quy. Lời giải. Thang Long University Library 47 Gọi giao điểm của AH với  I là 1 2,J J như hình vẽ , như vậy J sẽ là 2J , hoặc 1J . Ta sẽ chứng minh , ' 'BC B C và tiếp tuyến tại 1J của  I đồng qui. (với trường hợp của tiếp tuyến tại 2J thì chứng minh tương tự). Xét cực và đối cực đối với  I . Bình luận: Ta thấy BC không hề có cực, nên Định lý 2.3.6 không thể áp dụng. Ta sẽ sử dụng một phương thức tiếp cận khác như sau: Gọi giao điểm của BC và ' 'B C là K . Ta có AH là đường đối cực của K , mà AH đi qua 1J nên đường đối cực của 1J sẽ đi qua K (theo Định lý 2.3.5 (Định lý La Hire)) hay tiếp tuyến tại 1J đi qua K . Tức là ta có , ' 'BC B C và tiếp tuyến tại 1J đồng qui tại K . Bài toán 9. Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD . Qua , , ,A B C D lần lượt vẽ các đường thẳng , , ,dA dB dC dD tương ứng vuông góc với , , ,OA OB OC OD . Các cặp đường thẳng dA và dB , dB và dC , dC và dD , dD và dA tương ứng cắt nhau ở , , ,K L M N . Chứng minh rằng KM và LN cắt nhau tại O . (Trích cuộc thi toán mùa đông tại Bulgaria ,1996 ) 48 Lời giải. Xét cực và đối cực đối với  O . Bình luận: bài toán cũng không thể sử dụng trực tiếp Định lý 2.3.6 do điểm O không có điểm đối cực. Tuy nhiên, có thể áp dụng định lý Định lý 2.3.4 để giải bài toán này như sau: Gọi , , ,I J P Q lần lượt là tiếp điểm của  O trên , , ,AB BC CD DA . Gọi , , ,E F G H lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng:        , , , , , , ,QI OA IJ OB JP OC PQ OD . Ta sẽ chứng minh , ,N O L thẳng hàng, phần chứng minh , ,M O K thẳng hàng hoàn toàn tương tự. Theo giả thiết bài toán ta sẽ có: dB là đường đối cực của F , dC là đường đối cực của G . Từ đó suy ra FG là đường đối cực của điểm L . (3.2.1) Tương tự , ta cũng có HE là đường đối cực của điểm N . (3.2.2) Mặt khác trong tứ giác IJPQ , ta chứng minh được / /FG HE . (3.2.3) Từ (3.2.1), (3.2.2), (3.2.3), Định lý 2.3.4 và tiên đề Euclide ta có , ,N O L thẳng hàng. Chúng minh tương tự, ta cũng có , ,M O K thẳng hàng. Vậy KM và LN cắt nhau tại O . Thang Long University Library 49 Bài toán 10. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn  I . Tiếp điểm của  I trên , ,BC CA AB lần lượt là , ,D E F . Trên BC lấy điểm J , trên CA lấy điểm K sao cho / / , / /IJ EF IK DF . Chứng minh rằng , ,AJ BK IF đồng qui. Lời giải. Xét cực và đối cực đối với  I . Kẻ ,DM EN lần lượt vuông góc với ,FE FD . Gọi giao điểm của AJ và BK là P , ta sẽ chứng minh , ,I F P thẳng hàng. Ta thấy đường đối cực của J phải đi qua D và vuông góc với IJ mà / /IJ EF nên suy ra DM là đường đối cực của J . Suy ra M thuộc đường đối cực của J . (3.2.4) Mặt khác M thuộc FE là đường đối cực của A . (3.2.5) Từ (3.2.4), (3.2.5) và Định lý 2.3.5 (Định lý La Hire), ta suy ra AJ là đường đối cực của M . (3.2.6) Tương tự BK là đường đối cực của N . (3.2.7) Từ (3.2.6), (3.2.7) và Định lý 2.3.5 (Định lý La Hire) ta tiếp tục suy ra đường đối cực của P là MN . Mặt khác       , , , modMF MN DE DN FD FN   nên ta suy ra / /MN AB . Từ đó ta có , ,AJ BK IF đồng qui tại điểm P . 50 3.3. Các bài toán về quỹ tích, điểm bất động: Bài toán 11. Cho đường tròn  O và một đường thẳng d nằm ngoài  O . Một điểm C chạy trên d . Từ C ta kẻ tới  O hai tiếp tuyến ,CA CB(ở đó ,A B là tiếp điểm).Chứng minh rằng khi C chạy trên d thì AB luôn đi qua một điểm cố định . Lời giải. Xét cực và đối cực đối với  O . Gọi K là cực của d , vì d cố định nên K cố định. C thuộc d suy ra đường đối cực của C sẽ đi qua cực của d hay đường thẳng AB đi qua điểm K cố định. Bài toán 12. Cho góc xOy cố định và một điểm A cố định nằm trên tia Ox . Đường tròn  K thay đổi nhưng luôn tiếp xúc với với hai tia ,Ox Oy . Gọi tiếp điểm của  K trên ,Ox Oy lần lượt là ,B C . Từ A ta kẻ tiếp tuyến AD tới Thang Long University Library 51  K (ở đó D là tiếp điểm, D khác B ). OK cắt BD ở E . Gọi d là đường thẳng qua K và vuông góc với CE . Chứng minh rằng khi  K di động (nhưng luôn thỏa mãn điều kiện bài toán) thì d luôn đi qua một điểm cố định. Lời giải. Xét cực và đối cực đối với  K . Đường thẳng d cắt Oy ở F , ta có đường đối cực của F là CE (qua điểm E ) suy ra đường đối cực của E sẽ đi qua F (theo Định lý 2.3.5 (Định lý La Hire)). (3.3.1). Đường đối cực của A là BD (qua điểm E ) suy ra đường đối cực của E sẽ đi qua A (theo Định lý 2.3.5). (3.3.2). Từ (3.3.1),(3.3.2) và theo Định lý 2.3.5 ta suy ra AF là đường đối cực của E . Theo Định lý 2.3.5 ta có AF vuông góc với EK , mặt khác ta có EK là phân giác góc xOy cố định nên điểm F cố định. Từ đó ta có điều cần chứng minh. 52 Bài toán 13. Cho đường tròn tâm O và một điểm I cố định nằm trong đường tròn  O . Dây cung AB của  O quay quanh I , và OI cắt tiếp tuyến tại A và B của  O lần lượt tại ,M N . Gọi giao điểm của hai đường thẳng ,AN BM là J . Tìm quỹ tích của điểm J khi AB quay quanh I . Lời giải. G J N M B A O F I Gọi F là giao điểm của AM và BN , FJ cắt AB ở G . Ta có AB là đường đối cực của điểm F đối với  O . Điểm I thuộc AB nên theo Định lý 2.3.5 ta có F thuộc đường đối cực của I đối với  O . (3.3.3) Áp dụng Định lý 2.3.7 cho bốn điểm , , ,A B M N ta có  , , , 1FJ FI FB FA   nên suy ra  , , , 1G I B A   , theo Hệ quả 2.3.3 ta có điểm G thuộc đường đối cực của I đối với  O . (3.3.4) Từ (3.3.3) và (3.3.4) suy ra FG là đường đối cực của I đối với  O . Mặt khác, do giả thiết điểm I cố định nên đường đối cực FG cũng cố định. Vậy điểm J luôn thuộc một đường thẳng cố định. Giới hạn của quỹ tích điểm J là đoạn thẳng mà các biên là giao điểm của hai tiếp tuyến tại A hoặc tại B trong trường hợp từng tiếp tuyến này song song với đường thẳng cố định OI . Thang Long University Library 53 KẾT LUẬN Luận văn trình bày một hướng nghiên cứu một nhóm các bài toán hình học phẳng phổ thông nhờ sử dụng các tính chất liên quan đến cực và đối cực mà sách giáo khoa ít đề cập đến nhưng lại nằm trong phạm vi kiến thức của các đề thi. * Tóm tắt và đánh giá kết quả nghiên cứu chính của luận văn: Luận văn cho ta thấy được hệ thống kiến thức cơ sở để sử dụng các kết quả quan trọng về cực và đối cực vào một nhóm các bài toán hình học phổ thông theo các kết quả nghiên cứu sau: 1. Ứng dụng cực và đối cực để giải các bài toán chứng minh song song, vuông góc 2. Ứng dụng cực và đối cực để giải các bài toán chứng minh đồng qui, thẳng hàng 3. Ứng dụng cực và đối cực để giải các bài toán quỹ tích, điểm bất động * Gợi mở hướng phát triển của đề tài: - Hướng phát triển của luận văn là: + Tiếp tục nghiên cứu phương pháp sử dụng các lí thuyết về cực và đối cực trong mặt phẳng để giải quyết thêm một số bài toán trong hình học phổ thông, bao gồm cả các bài toán trong không gian Euclide ba chiều P3(R). + Tổng quát phương pháp để có thể giải quyết các bài toán trong không gian Euclide n chiều Pn(R). 54 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Văn Như Cương (2006), Hình học xạ ảnh, NXB Đại học Sư phạm. [2] Titu Andreescu (2009), Mathematical Olympic Challenges, Birkhäuser Boston, a part of Springer Science+Business Media, LLC, Second Edition. [3] Hoàng Quốc Khánh, Thang Long University Library