Luận văn Nguyên lí biến phân Ekeland và một số ứng dụng

chúng ta xem xét nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển, dạng hình học của nguyên lí và một số ứng dụng của nguyên lí này. 1.1. Một số kiến thức chuẩn bị Trong mục này, chúng ta xét lớp hàm nửa liên tục dưới và một số tính chất của hàm này. Cho X là không gian tôpô và hàm  :f X    Kí hiệu:   domf x X f x    .  ( )aL f x X f x a   là tập mức của f .     ,epif x a X f x a    là tập trên đồ thị của f . Định nghĩa 1.1 Cho X là không gian tôpô. Hàm  :f X    được gọi là hàm nửa liên tục dưới tại 0x khi và chỉ khi   0 liminf x x f x  0( )f x . Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới trên X nếu f nửa liên tục dưới tại mọi điểm của X . Nhận xét 1.1 Hàm f là nửa liên tục dưới tại 0x khi và chỉ khi 0  tồn tại lân cận U của 0x sao cho x U  ta đều có    0f x f x   . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Ví dụ 1.1 Hàm số :f    cho bởi:   23 2 0 x f x      nếu 2x  Ta thấy: domf   .    1 ( ) 1 1,1L f x f x     là tập mức của hàm f .     ,epif x a f x a     là phần mặt phẳng nằm trên parabol có phương trình 2( ) 3 2f x x  hợp với đoạn thẳng AB trong đó A  2,0 , B  2,10 là tập trên đồ thị của f . Dễ thấy rằng f là hàm liên tục trên  \ 2 , gián đoạn tại 2x  . Nhưng f là hàm nửa liên tục dưới tại 2x  vì   2 liminf 10 x f x   (2)f . Do đó f là hàm nửa liên tục dưới trên  . Mệnh đề 1.1. Cho X là không gian mêtric và hàm  :f X    , khi đó các khẳng định sau là tương đương: (a) f là hàm nửa liên tục dưới trên X . (b)     ,epif x a X f x a    là tập đóng trong X  . (c)  ( )aL f x X f x a   là tập đóng trong X ( a  ). Chứng minh (a)  (b).Giả sử f là hàm nửa liên tục dưới trên X . Ta lấy dãy {( , )}n nx a epif Sao cho lim( , )n n n x a   0 0 ( , )x a . Ta cần chỉ ra 0 0( , )x a epif . Thật vậy, 0 0lim , limn n n n x x a a     và hàm f là nửa liên tục dưới tại 0x nên nếu x ≠2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên  liminf n n f x  0( )f x , mà dãy {( , )}n nx a epif nên ( )n nf x a ( n  ), nên  liminf n n f x  lim n n a   . Do đó 0( )f x   liminf n n f x  lim n n a   0a . Điều này chứng tỏ 0 0( , )x a epif . (b)  (c). Giả sử epi f là tập đóng trong X  . Ta sẽ chứng minh mọi tập mức của f đều đóng trong X . Thật vậy, giả sử  ( )aL f x X f x a   là tập mức bất kỳ của f . Lấy dãy{ nx }  aL f sao cho 0lim n n x x   do dãy { nx }  aL f Nên ( )nf x a hay ( nx , a ) epif ( n  ). Hơn nữa, 0lim n n x x   nên , 0lim( ) ( , )n n x a x a   . Mà epif là tập đóng trong X  nên ( 0x , a )  epif , do đó 0x  aL f ta có điều phải chứng minh. (c)  (a). Giả sử mọi tập mức của f đều đóng trong X . Ta cần chứng minh f là hàm nửa liên tục dưới trên f . Giả sử phản chứng f không là nửa liên tục dưới tại 0x X . Khi đó có dãy{ nx } X sao cho 0lim n n x x   ,  liminf n n f x  0( )f x . Chọn 0  đủ nhỏ sao cho có k để ( )nf x 0( )f x   ( n k  ). Xét tập mức  0)( ) (L x X f x f x     ta thấy nx  L , n k  . Mặt khác do L đóng và 0lim n n x x   nên 0x  L , do đó 0( )f x 0( )f x   (vô lí). Vậy f là nửa liên tục dưới trên X .  Định nghĩa 1.2 Cho tập S trong không gian mêtric ( , )X d . Hàm chỉ của tập S là hàm:   0 Sl x     x S x S  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Ta có kết quả sau: Mệnh đề 1.2. Nếu S là tập đóng thì Sl là hàm nửa liên tục dưới. Chứng minh Khi 0x S , từ định nghĩa hàm Sl ta có 0  tồn tại lân cận U của 0x mà 0( ) ( ) ,S Sl x l x x U    . Khi 0x S , vì S là tập đóng nên 0( , ) 0d x S  . Chọn 0 0 ( , ) , ( , ) 2 d x S r x B x r   thì x S . Do đó 0 0( ) ( ) , ( , )S Sl x l x x B x r    . Ta có điều phải chứng minh.  1.2. Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển Trong mục này, chúng ta xem xét nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển và xem xét nguyên lí này trong không gian hữu hạn chiều. 1.2.1. Nguyên lí biến phân Ekeland Vấn đề chúng ta thường quan tâm là khi nào hàm  :f X    đạt cực tiểu trên X , tức là x X  sao cho ( ) ( ),f x f x x X   . Trước hết, ta nhìn lại kết quả quen thuộc về sự tồn tại điểm cực tiểu của hàm f nửa liên tục dưới trên tập compact. Mệnh đề 1.3. Cho hàm  :f X    là hàm nửa liên tục dưới trên tập X compact. Khi đó f đạt cực tiểu trên X . Chứng minh Đặt  inf ( )a f x x X  . Khi đó có một dãy { nx } X sao cho lim ( )n n f x a   . Do X compact, để không mất tính tổng quát ta có thể coi { nx } là dãy hội tụ đến Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên x X . Ta sẽ chứng minh ( )f x a . Thật vậy, do f là nửa liên tục dưới tại x nên  liminf ( )n n f x f x   . Kết hợp với lim ( )n n f x a   ta suy ra ( )f x a ( điều đó chứng tỏ a   ). Mặt khác theo định nghĩa của a ta có ( )f x a . Vậy ( )f x a và x là điểm cực tiểu của hàm f trên X .  Khi X không compact thì hàm f có thể không đạt cực tiểu. Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 1.2 Xét hàm số: : \{(2,1)}f X      4 2 1 2 1 2( , ) ( ) ( 2) ( 1)x x x f x x x     Ta dễ dàng thấy rằng f liên tục trên X và ( ) 0f x  , x X  . Với bất kì 0  , ta có (2,1 ) 2 x    thoả mãn ( ) 4 f x    tức là ta có inf 0X f  . Tuy vậy không tồn tại x X để ( ) 0f x  . Thật vậy, giả sử có 0x X sao cho 0( ) 0f x  thì đưa tới 0 (2,1)x X  . Vậy hàm f không đạt cực tiểu trên X . Khi giả thiết compact của tập X không còn thì hàm f có thể không đạt cực trị. Khi đó, ta xét khái niệm điểm   xấp xỉ cực tiểu như sau: Với 0  cho trước, một điểm x X  gọi là   xấp xỉ cực tiểu của ( )f x trên X nếu inf ( ) infX Xf f x f    . Điểm   xấp xỉ cực tiểu bao giờ cũng tồn tại nếu f bị chặn dưới. Tuy nhiên, khi X là không gian mêtric đủ thì nguyên lí biến phân Ekeland phát biểu rằng ta có thể làm nhiễu hàm f để thu được một hàm đạt cực tiểu trên X . Sau đây ta xét nguyên lí biến phân Ekeland và một số phát biểu khác của nguyên lí này. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Định lí 1.1. (nguyên lí biến phân Ekeland ) [2] Cho ( , )X d là không gian mêtric đủ và hàm  :f X    là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới. Giả sử 0  và x X  thoả mãn: ( ) infXf x f   . Khi đó với 0  bất kì, tồn tại x X sao cho: (i) ( , )d x x  . (ii) ( ) ( , ) ( )f x d x x f x           . (iii) ( ) ( , ) ( )f x d x x f x          , x X  \ { }x . Trước hết ta chứng minh bổ đề sau: Bổ đề 1.1. [2] Cho số 0  , ta định nghĩa quan hệ thứ tự”  ”trên X  như sau: 1 1 2 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( ) ( , ) 0.x a x a a a d x x     Cho S là tập đóng trong X  thoả mãn tồn tại m sao cho nếu ( , )x a S thì .a m Khi đó với mỗi phần tử 0 0( , )x a S luôn có phần tử ( , )x a S Sao cho 0 0( , ) ( , )x a x a và ( , )x a là phần tử cực đại trong S theo nghĩa ( , )x a  ( , )x a , ( , )x a S  và ( , )x a  ( , )x a . Chứng minh Dễ dàng chứng minh quan hệ ”  ” có tính phản xạ, đối xứng, bắc cầu. Ta xây dựng dãy ( , )n nx a trong S bằng quy nạp như sau: Bắt đầu từ 0 0( , )x a S cho trước, giả sử ( , )n nx a đã biết. Ta ký hiệu: nS   ( , ) ( , ) ( , )n nx a S x a x a  .  inf ( , )n nm a x a S   . Ta có nS là các tập đóng và khác rỗng. Khi đó lấy 1 1( , )n n nx a S   sao cho: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1 2 n n n n a m a a     (1.1) Do quan hệ vừa xây dựng có tính bắc cầu nên 1n nS S  do đó 1n nm m  . Và như vậy ta có { nS } là dãy các tập đóng giảm dần trong S , { nm } là dãy giảm dần trong  và bị chặn dưới và (1.1) có thể viết lại thành: 1 1 1 0. 2 n n n n n n a m a m a m         Tiếp tục quá trình này ta thu được: 1 1 1 ... 2 2 n n n n n a m a m a m        . Mặt khác 1 1( , ) ( , )n nx a x a  nên ta lại có: 1 1 1( , ) . 2 n n n a a a m d x x         Như vậy đường kính của nS tiến về 0. Suy ra dãy { nS } là dãy các tập đóng thắt dần có đường kính giảm dần về 0 trong X  (là không gian metric đầy đủ). Do đó tồn tại ( , )x a S thoả mãn:  ( , ) n n x a S     (1.2) Bây giờ ta sẽ chứng minh ( , )x a là phần tử cần tìm. Thật vậy, từ định nghĩa của ( , )x a ta có ( , ) ( , )n nx a x a , n  do đó 0 0( , ) ( , )x a x a . Giả sử có ( , )x a  ( , )x a với ( , )x a S và ( , )x a  ( , )x a . Khi đó ( , ) nx a S ( n  ), vì vậy ( , )x a  n n S   điều này mâu thuẫn với (1.2). Và như vậy ( , )x a là phần tử cực đại trong S thoả mãn yêu cầu của bổ đề.  Chứng minh định lí 1.1 Đặt S  epif  ( , ) ( )x a X f x a    . Dễ thấy ( , ( ))x f x S   . Do f là nửa liên tục dưới trên X nên S là tập đóng trong X  . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Ta áp dụng bổ đề 1.1 với     và phần tử ( , ( ))x f x  , ta luôn tìm được ( , )x a sao cho ( , )x a  ( , ( ))x f x  và ( , )x a là phần tử lớn nhất trong S . Từ định nghĩa của epif ta luôn có ( , ( ))x f x S , x X  . Mặt khác ( )f x a nên ( ) ( , ) 0f x a d x x       , mà ( , )x a là phần tử lớn nhất trong S nên ta có ( )f x a , vậy ( , ( ))x f x là phần tử lớn nhất trong S . Bây giờ ta sẽ chứng minh x là điểm cần tìm. Thật vậy theo bổ đề ta có: ( , ( ))x f x  ( , ( ))x f x  tức là ( ) ( , )f x d x x    ( )f x . Vậy khẳng định (ii) được chứng minh. Mặt khác, từ ( ) ( ) ( , ) 0f x f x d x x      ta có ( , ) ( ) ( )d x x f x f x      . Hơn nữa ( )f x  infX f  nên ( ) ( )f x f x   do đo đó ( , )d x x     hay ( , )d x x  . Vậy khẳng định (i) được chứng minh. Do ( , ( ))x f x là phần tử lớn nhất trong S , mà ( , ( ))x f x S x X  nên ( , ( ))x f x  ( , ( ))x f x , x x  do đó ( ) ( , ) ( )f x d x x f x     , x x  . Vậy (iii) được chứng minh.  Nhận xét 1.2 Điểm x tìm được là điểm cực tiểu chặt của hàm nhiễu ( ) ( , )f x d x x    . Nếu  nhỏ ta có thông tin tốt hơn về vị trí của x so với điểm x ban đầu, nhưng khi đó hàm nhiễu ( ) ( , )f x d x x    có sai khác tương đối so với ( )f x . Ngược lại, nếu  lớn ta không biết nhiều về vị trí điểm x , nhưng hàm ( ) ( , )f x d x x    có thể không sai khác nhiều so với hàm ( )f x ban đầu. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Hằng số  trong định lí trên rất linh hoạt. Chọn   ta có kết quả sau: Định lí 1.2. [1] Cho ( , )X d là không gian mêtric đủ và hàm  :f X    là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới. Giả sử 0  và x X  thoả mãn: ( ) infXf x f   Khi đó tồn tại x X sao cho: (i) ( , )d x x  . (ii) ( ) ( , ) ( )f x d x x f x   . (iii) ( ) ( , ) ( )f x d x x f x  , x X  \ { }x . Khi mà điểm xấp xỉ cực tiểu x không biết rõ, ta chỉ quan tâm đến tính chất của điểm x với hàm nhiễu, ta có dạng yếu của nguyên lí biến phân: Định lí 1.3. [1] Cho ( , )X d là không gian mêtric đủ và hàm  :f X    là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới. Khi đó với mọi 0  tồn tại x sao cho: ( ) ( , ) ( )f x d x x f x  , x X  \ { }x . 1.2.2.Nguyên lí biến phân Ekeland trong không gian hữu hạn chiều Trong không gian hữu hạn chiều, ta thu được kết quả của nguyên lí biến phân Ekeland với hàm nhiễu là hàm trơn (tức là hàm khả vi liên tục). Định lí 1.4. [19] Cho : { }Nf     là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới, 0  và 1.p  Giả sử 0  và Nx  thoả mãn: ( ) inf Nf x f   . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Khi đó tồn tại Nx sao cho: (i) .x x   (ii) ( ) ( ) p p f x x x f x      . (iii) ( ) p p f x x x     ( ) p p f x x x     , Nx  . Chứng minh Xét hàm ( ) ( ) p p g x f x x x     . Khi đó ( )g x là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới. ta thấy ( )g x thoả mãn điều kiện bức tức là lim ( ) x g x    . Lấy Na bất kì, xét tập  ( ) ( ) ( )Ng aL g x g x g a   do g là hàm nửa liên tục dưới nên ( )g aL g là tập đóng trong N . Ta chứng minh ( )g aL g là bị chặn N . Thật vậy, giả sử ( )g aL g không bị chặn N , khi đó tồn tại dãy { }nx  ( )g aL g sao cho nx  . Do g thoả mãn điều kiện bức trên N nên lim ( )n n g x    . Mặt khác nx  ( )g aL g nên ( ) ( )ng x g a ( )n N  , suy ra lim ( ) ( )n n g x g a   (mâu thuẫn). Vậy ( )g aL g là đóng và bị chặn trong N , g là hàm nửa liên dưới trên tập compact ( )g aL g nên tồn tại điểm cực tiểu x của g trên ( )g aL g . Bây giờ ta sẽ chứng minh x chính là điểm cực tiểu của g trên N . Thật vậy với x ( )g aL g thì ( ) ( ) ( )g x g a g x  . Điều này chứng tỏ x là điểm cực tiểu của g trên N . Dễ dàng kiểm tra x thoả mãn các kết luận của định lí.  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1.3. Dạng hình học của nguyên lí biến phân Ekeland Trong phần này, ta xem xét định lí Bishop-Phelps, định lí cánh hoa (Flower- Pental), định lí giọt nước (Drop). Chúng là các dạng hình học của nguyên lí biến phân Ekeland. 1.3.1. Định lí Bishop-Phelps Định nghĩa 1.3. [1] Cho X là không gian Banach. Với bất kì \{0}x X  và bất kì 0  chúng ta gọi: ( , )K x    || |||| || ( )x X x x x x    là nón Bishop-Phelps liên kết với x và  . Định lí 1.5. (Định lí Bishop-Phelps) [1] Cho X là không gian Banach và S là tập đóng trong X . Giả sử x X  là bị chặn trên S . Khi đó với mọi 0  , S có điểm ( , )K x  -support y tức là : { } ( , )y S K x y     . Chứng minh Ta áp dụng nguyên lí biến phân với hàm ( ) ( ) ( ) || || S x x f x l x x      . Giả sử z là điểm thoả mãn : ( ) infXf z f   ta tìm được điểm y sao cho: (i) ( ) ( )f y y z f z   . (ii) ( ) ( )f x x y f y   , x y  . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Ta chứng minh ( , )y S K x y     . Thật vậy, từ (i) suy ra y S . Mặt khác 0 ( , )K x  nên ( , )y K x y    . Tiếp theo ta chứng minh ( , ) { }S K x y y     bằng phản chứng. Giả sử ta có y y  mà y ( , )S K x y    . Suy ra y y  ( , )K x  Ta có: || |||| || ( ) ( ) ( ).x y y x y y x y x y           Hay ( ) ( ) || || || || x y x y y y x x            điều này mâu thuẫn với (ii). Ta có điều phải chứng minh.  1.3.2. Định lí cánh hoa (Định lí Flower- Pental) Định nghĩa 1.4. [1] Cho X là không gian Banach và ,a b X . Ta gọi: ( , )P a b   x X a x x b b a      là cánh hoa liên kết với (0, )   và ,a b X . Ta dễ dàng chứng minh được một cánh hoa luôn lồi. Định lí 1.6. (Định lí cánh hoa) [1] Cho X là không gian Banach và S là tập đóng trong X . Giả sử a S và \b X S . Đặt t b a  và (0, ( , )).d S b  Khi đó bất kì 0  , tồn tại ( , )y S P a b  thoả mãn t y a      và ( , ) { }P y b S y   . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Chứng minh Xét hàm ( ) ( )Sf x x b l x   . Vì (0, ( , ))r d S b nên r x b  , x S  . Do đó  ( )f a a b t x b r      , x S  , điều này chứng tỏ ( ) inf ( ) inf ( )S Xf a f t r f t r      . Áp dụng nguyên lí biến phân Ekeland cho hàm ( )f x với t r   và t r     , ta tìm được y sao cho t r y a     thoả mãn: ( )Sy b l y a y a b      Và ( ) ( )S Sx b l x x y y b l y       , \{ }x X y  . Bất đẳng thức đầu tiên chứng tỏ y S . Do đó y b a y a b     hay ( , )y P a b . Thay y S vào bất đẳng thức thứ hai ta có: x b x y y b     , \{ }x S  , điều này chứng tỏ rằng ( , ) { }P y b S y   .  1.3.3. Định lí giọt nƣớc (Định lí Drop) Định nghĩa 1.5. [1] Cho X là không gian Banach, tập C là tập lồi trong X và a X . Chúng ta gọi:  , ({ } ) { ( ) | ,0 1}a C conv a C a t c a c C t        là giọt nước liên kết với a và C . Bổ đề tiếp theo cung cấp cho ta mối liên hệ giữa giọt nước và cánh hoa. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Bổ đề 1.2. [1] Cho X là không gian Banach, ,a b X và  0,1  . Khi đó (a)    1 1 ( ) ( , )a bB b P a b     (b)    1 1, ( ) ( , )a ba B b P a b       . Chứng minh (a) Ta chứng minh    1 1 ( ) ( , )a bB b P a b     . Lấy    1 1 ( )a bx B b    , khi đó 1 1 x b a b        . (1.3) Ta có  x a x b x b b a x b          kết hợp với (1.3) ta được P b a  . Điều này chứng tỏ ( , )x P a b . (b) Ta chứng minh    1 1, ( ) ( , )a ba B b P a b       . Lấy    1 1, ( )a bx a B b      khi đó tồn tại  0,1t và    1 1 ( )a by B b    để (1 )x ta t y   . Từ (a)ta có ( , )y P a b . Dễ thấy ( , )a P a b , mà ( , )P a b là tập lồi nên ( , )x P a b .  Định lí 1.7. (Định lí giọt nước) [1] Cho X là không gian Banach và cho S là tập đóng trong X . Giả sử \b X S và  0, ( , )r d S b . Khi đó với bất kì 0  , tồn tại y S thoả mãn: ( , )y b d S b    và  , ( , ) { }y B b r S y  . Chứng minh Chọn a S sao cho ( , )a b d S b    và Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên  0,1 a b r a b r        . Từ định lí 1.6 suy ra tồn tại ( , )y S P y b  sao cho: ( , ) { }P y b S y   (1.4) Ta chứng minh y S . Giả sử y S , khi đó tồn tại 0r  sao cho ( , )B y r S . Ta xét những điểm có dạng (1 )x ty t b   với 0 1t  và 1 r t y b    . Ta có  1x y t y b r     nên ( , )x B y r . Mặt khác  1x y x b t y b t y b y b           dẫn đến ( , )x P y b . Vậy ( , )x S P y b  mâu thuẫn với (1.4). Do đó y S . Hơn nữa, từ ( , )y P a b suy ra ( , )y b a b d S b      . Cuối cùng từ (1.4) và bổ đề 1.2 với     1 1 r a b       ta có  , ( , ) { }y B b r S y  .  Trong ba định lí này, định lí Bishop-Phelps xuất hiện sớm nhất vào năm 1961. Định lí này là nguồn cảm hứng chính cho nguyên lí biến phân Ekeland. Định lí giọt nước được J.Danes phát biểu vào năm 1972. Còn định lí cánh hoa được phát biểu bởi J.-P.Penot vào năm 1986. Mối liên hệ giữa nguyên lí biến phân Ekeland, định lí giọt nước và định lí cánh hoa được J.-P.Penot và S.Rolewicz xem xét vào năm 1986. 1.4. Một số ứng dụng của nguyên lí biến phân Ekeland Trong phần này, chúng ta chỉ ra nguyên lí biến phân Ekeland là tương đương với tính đầy đủ của không gian. Tiếp đó, chúng ta sử dụng nguyên lí biến phân Ekeland để chứng minh định lí điểm bất động Banach, định lí điểm bất động Caristi-Kirk, định lí điểm bất động cho ánh xạ co theo hướng và đánh giá đạo hàm tại điểm xấp xỉ cực tiểu. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1.4.1. Nguyên lí biến phân Ekeland và tính đầy đủ Định lí sau đây chỉ ra một đặc trưng của không gian mêtric đầy đủ. Định lí 1.8. [1] Cho ( , )X d là không gian mêtric. Khi đó X là đầy đủ khi và chỉ khi với mọi hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới  :f X    và với mọi 0  , tồn tại một điểm x X thoả mãn: (i) ( ) infXf x f   . (ii) ( ) ( , ) ( )f x d x x f x  , x X  . Chứng minh Từ định lí 1.1 với 1  ta có chiều thuận của định lí . Đảo lại, giả sử với mọi hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới  :f X    và với mọi 0  , tồn tại một điểm x X thoả mãn: (i) ( ) infXf x f   . (ii) ( ) ( , ) ( )f x d x x f x  , x X  . Ta sẽ chứng minh X là đầy đủ. Thật vậy, cố định x X và xét dãy { }nx là dãy Cauchy, ta cần chỉ ra dãy này hội tụ. Từ đánh giá ( , ) ( , ) ( , )m n m nd x x d x x d x x  , ,m n  Suy ra { ( , )}nd x x là dãy Cauchy trong  (Là không gian mêtric đủ) nên dãy này hội tụ. Xét hàm ( ) lim ( , )n n f x d x x   vì hàm khoảng cách là Lipschitz với x nên ta có f là hàm liên tục. Hơn nữa, dãy { }nx là dãy Cauchy nên ( ) 0nf x  khi n  . Từ đây suy ra inf 0X f  . Với  0,1  , ta tìm được x X sao cho: ( ) infXf x f   và ( ) ( , ) ( )f x d x x f x  , x X  . (1.5) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Cho nx x trong (1.5) và chuyển qua giới hạn n  , ta được ( ) ( )f x f x , suy ra ( ) 0f x  . Điều này chứng tỏ lim n n x x   .  1.4.2. Các định lí điểm bất động Trong phần này, ta sẽ áp dụng nguyên lí biến phân Ekeland để chứng minh định lí điểm bất động Banach, định lí điểm bất động Caristi-Kirk, định lí điểm bất động của ánh xạ co theo hướng. 1.4.2.1. Định lí điểm bất động Banach Định nghĩa 1.6 Cho ( , )X d là không gian mêtric và ánh xạ : X X  . Chúng ta gọi  là ánh xạ co nếu tồn tại  0,1k sao cho: ( ( ), ( ) ( , )d x y kd x y   , ,x y X  . Định lí 1.9. (Định lí điểm bất động Banach) [3] Cho ( , )X d là không gian mêtric đủ và ánh xạ : X X  là ánh xạ co. Khi đó tồn tại duy nhất điểm bất động của ánh xạ co  . Chứng minh Giả sử  là ánh xạ co với hệ số  0,1k .Trước hết ta chứng minh rằng nếu  có điểm bất động thì điểm bất động đó là duy nhất. Thật vậy, giả sử có 1 2x x sao cho: 1 1( )x x  và 2 2( )x x  . Khi đó : 1 2 1 2 1 2( , ) ( ( ), ( ) ( , )d x x d x x kd x x   . Do  0,1k nên bất đẳng thức trên xảy ra khi 1 2x x (mâu thuẫn). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Vậy điểm bất động của  nếu có là duy nhất. Xét hàm ( ) ( , ( ))f x d x x , từ định nghĩa của hàm f ta suy ra ( ) 0f x  với mọi x X , nên f là hàm bị chặn dưới trên X . Ta sẽ chứng minh f là hàm liên tục trên X . Thật vậy, dựa vào đánh giá: ( , ( )) ( , ( )) ( , ( )) ( , ( )) ( , ( )) ( , ( ))d x x d y y d x x d x y d x y d y y          ( ( ), ( ) ( , ) ( 1) ( , )d x y d x y k d x y     ta suy ra f là hàm liên tục trên X . Áp dụng nguyên lí biến phân Ekeland cho hàm ( ) ( , ( ))f x d x x với  0,1 k   ta tìm được x X sao cho: ( ) ( , ) ( )f x d x x f x    , x X  . (1.6) Do ( )x X   nên thay ( )x x  trong (1.6) ta có : 2( , ( )) ( ( ), ( )) ( , ( )) ( ) ( , ( ))d x x d x x d x x k d x x                . Kết hợp với  0,1k   , ta có ( , ( )) 0d x x   hay ( )x x   . Vậy x chính là điểm bất động của ánh xạ  .  1.4.2.2. Điểm bất động của ánh xạ co theo hƣớng Trong định lí điểm bất động Banach, ta có thể thay ánh xạ co bởi điều kiện yếu hơn là ánh xạ co theo hướng. Cho ( , )X d là không gian mêtric. Xét ,x y X , ta định nghĩa đoạn thẳng giữa x và y là:    , | ( , ) ( , ) ( , )x y z X d x z d z y d x y    . Định nghĩa 1.7 . [1] Cho ( , )X d là không gian mêtric và ánh xạ : X X  . Chúng ta gọi  là ánh xạ co theo hướng nếu  thoả mãn các điều kiện sau: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (i)  là ánh xạ liên tục. (ii)Tồn tại  0,1k sao cho với bất kì x X mà ( )x x  tồn tại    , ( ) \z x x x thoả mãn: ( ( ), ( )) ( , )d x z kd x z   . Ví dụ 1.3 Trên 2X   ta định nghĩa 1 2 1 2( , )x x x x x   . Đoạn thẳng giữa hai điểm 1 2( , )a a và 1 2( , )b b là hình chữ nhật có các cạnh song song với hai trục toạ độ và nhận hai điểm này là hai đỉnh đối diện nhau. Xét ánh xạ: 1 2 2 1 2 1 3 ( , ) , 2 3 3 x x x x x x        khi đó  là ánh xạ co theo hướng. Thật vậy, khi ( )y x x  với 1 2( , )x x x , 1 2( , )y y y . Giả sử 2 2y x , ta chọn trên đoạn  ,x y điểm 1( , )z x t với t gần 2x nhưng không bằng 2x . Với những điểm như thế ta có: 1 1 2 1 1 2 2 ( ( , ), ( , )) (( , ), ( , )) 3 d x t x x d x t x x   . Điểm bất động của  là tất cả những điểm có dạng 3 , 2 x x       . Vì điểm bất động của  là không duy nhất nên định lí điểm bất động Banach không áp dụng được cho ánh xạ này. Tuy vậy, định lí sau chỉ ra sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ co theo hướng. Định lí 1.10. [1] Cho ( , )X d là không gian mêtric đủ và ánh xạ : X X  là ánh xạ co theo hướng. Khi đó  có điểm bất động. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Chứng minh Giả sử  là ánh xạ co theo hướng với hệ số  0,1k . Xét ( ) ( , ( ))f x d x x . Do hàm khoảng cách và hàm  là liên tục nên f là liên tục. Hơn nữa f bị chặn dưới bởi 0. Áp dụng nguyên lí biến phân Ekeland cho hàm f với  0,1 k   ta tìm được y X sao cho: ( ) ( ) ( , )f y f x d x y  , x X  (1.7) Ta chứng minh ( )y y  . Thật vậy, nếu ( )y y  , do  là ánh xạ co theo hướng nên ta tìm được z y mà  , ( )z y y , tức là: ( , ) ( , ( )) ( , ( )) ( )d y z d z y d y y f y    (1.8) thoả mãn ( ( ), ( )) ( , )d y z kd y z   . (1.9) Thay x z trong (1.7) và kết hợp với (1.8) ta có ( , ) ( , ( )) ( , ( )) ( , )d y z d z y d z z d z y     hay ( , ) ( , ( )) ( , ( )) ( , )d y z d z z d z y d z y    . (1.10) Sử dụng bất đẳng thức tam giác kết hợp với (1.9) ta có ( , ( )) ( , ( )) ( ( ), ( )) ( , )d z z d z y d y z kd y z      . (1.11) Kết hợp (1.10) và (1.11) ta được ( , ) ( ) ( , )d y z k d y z  . Do  0,1k   , ta suy ra ( , ) 0d y z  dẫn đến y z (mâu thuẫn). Ta có điều phải chứng minh.  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1.4.2.3. Định lí điểm bất động Caristi-Kirk Định lí 1.11. [1] Cho ( , )X d là không gian mêtric đủ và hàm  :f X    là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới, f   . Cho ánh xạ đa trị : 2XF X  với đồ thị đóng và giá trị khác rỗng thoả mãn : ( ) ( ) ( , )f y f x d x y  , ( , )x y graphF  . Khi đó tồn tại y X sao cho ( )y F y  . Chứng minh Định nghĩa khoảng cách  trên X X bởi: 1 1 2 2 1 2 1 2(( , ), ( , )) ( , ) ( , )x y x y d x x d y y   với 1 1 2 2( , ), ( , )x y x y X X . Khi đó ( , )X X  là không gian mêtric đủ. Chọn 1 (0, ) 2   và xét hàm  :g X    cho bởi ( , ) ( ) (1 ) ( , ) ( , )graphFg x y f x d x y l x y   . Khi đó g là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới. Áp dụng nguyên lí biến phân Ekeland cho hàm g ta tìm được ( , )x y graphF   sao cho ( , ) ( , ) (( , ), ( , ))g x y g x y x y x y     với mọi ( , )x y X X  . Do đó với mọi ( , )x y graphF , ta có ( ) (1 ) ( , ) ( ) (1 ) ( , ) ( ( , ) ( , ))f x d x y f x d x y d x x d y y            . (1.12) Giả sử ( )z F y  , thay ( , ) ( , )x y y z  trong (1.12) ta có: ( ) (1 ) ( , ) ( ) (1 ) ( , ) ( ( , ) ( , ))f x d x y f y d y z d y x d z y                 . Kết hợp với giả thiết về hàm F ta thu được: 0 ( , ) ( ) ( ) ( , ) (1 2 ) ( , )d x y f x f y d x y d z y              suy ra ( , ) 0d z y   hay y z  . Vậy ( )y F y  .  Nhận xét 1.3 Từ chứng minh trên ta thấy ( ) { }F y y  . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1.4.3. Đạo hàm tại điểm xấp xỉ cực tiểu Ta đã biết nếu hàm  :f U    với tập mở U   , là khả vi trên U và f đạt cực trị tại c U , khi đó ta luôn có ( ) 0f c  , đó là kết quả của định lí Fermat. Vấn đề đặt ra ở đây là: với những hàm không có điểm cực trị thì sao? Liệu có thể đánh giá được đạo hàm tại những điểm  -xấp xỉ cực tiểu không? Liệu có thể làm nhỏ đạo hàm tại những điểm  -xấp xỉ cực tiểu một cách tuỳ ý không? Định lí sau sẽ trả lời cho chúng ta những câu hỏi đó. Trước hết ta nhắc lại một số khái niệm. Định nghĩa 1.8. [4] Cho X là không gian Banach và X  là không gian đối ngẫu của X , hàm :f X   được gọi là khả vi Gateaux tại 0x X nếu tồn tại phiếm hàm tuyến tính 0( )f x X   thoả mãn: 0 0 0 0 ( ) ( ) lim ( )( ) t f x tv f x f x v t    , v X  Hàm f được gọi là khả vi Gateaux trên X nếu như f khả vi Gateaux tại mọi điểm x X . Định nghĩa 1.9. [4] Cho X là không gian Banach và X  là không gian đối ngẫu của X , hàm :f X   được gọi là khả vi Frechet tại 0x X nếu tồn tại phiếm hàm tuyến tính 0( )f x X   thoả mãn: 0 0 0 0 ( ) ( ) ( )( ) lim 0 v f x v f x f x v v     , v X  . Hàm f được gọi là khả vi Frechet trên X nếu như f khả vi Frechet tại mọi điểm x X . Ánh xạ tuyến tính 0( )f x X   được gọi là đạo hàm của f tại 0x . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Nhận xét 1.4 Ta dễ dàng chứng minh được rằng nếu f khả vi Frechet trên X thì f cũng khả vi Gateaux trên X . Định lí 1.12. [2] Cho X là không gian Banach và hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới :f X   là khả vi Gateaux trên X . Giả sử với 0  ta có inf ( )X f f x   . Khi đó với bất kì 0  tồn tại ( , )x B x  mà đạo hàm Gateaux thoả mãn: ( )f x     . Điểm x thoả mãn kết luận của định lí gọi là điểm xấp xỉ tới hạn. Chứng minh Áp dụng nguyên lí biến phân Ekeland cho hàm f ta tìm được ( , )x B x  thoả mãn: ( ) ( )f x f x x x       , x X  . (1.13) Thay x x tv  ( ,v X t  ) vào (1.13) ta có: ( ) ( )f x tv f x tv       . Do đó ( ) ( )f x tv f x v t        , v X  . (1.14) Vì f khả vi Gateaux nên cho 0t  trong (1.14) ta có 0 ( ) ( ) ( )( ) lim t f x tv f x f x v v t            . (1.15) cho 0t  trong (1.14) ta có Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 0 ( ) ( ) ( )( ) lim t f x tv f x f x v v t             . (1.16) Kết hợp (1.15) và (1.16) ta được: ( )( )v f x v v        , v X  . Vậy ( )f x     .  Như vậy, có thể nói chuẩn của đạo hàm tại những điểm  - xấp xỉ cực tiểu có thể làm bé tuỳ ý theo  . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Chƣơng 2 NGUYÊN LÍ BIẾN PHÂN EKELAND VÉC TƠ Trong những năm gần đây có rất nhiều nghiên cứu tổng quát nguyên lí biến phân Ekeland và những kết quả cổ điển liên quan tới nguyên lí này như: định lí điểm bất động Caristi – Kirk, định lí Takahashi về tồn tại điểm cực tiểu cho các hàm nhận giá trị trong không gian hữu hạn chiều và vô hạn chiều (Loridan [13], Isac [11], Gopfert, Tammer, Zalinescu [9,10,17] và nhiều người khác). Tammer [18] giới thiệu định lí điểm bất động Caristi – Kirk véc tơ và định lí Takahashi véc tơ nhưng không chỉ ra sự liên hệ giữa ba định lí. Trong chương này, chúng tôi trình bày một cách chứng minh đơn giản của J.P.Aubin nguyên lí biến phân Ekeland véc tơ[6]. Từ định lí này ta suy ra định lí điểm bất động Caristi-Kirk véc tơ và định lí Takahashi véc tơ. Tiếp theo chúng tôi trình bày điều kiện đủ để có điểm cực tiểu yếu, giới thiệu vài ví dụ minh hoạ các định lí và ở phần cuối cùng là chứng minh sự tương đương của nguyên lí biến phân Ekeland véc tơ, định lí điểm bất động Caristi – Kirk véc tơ và định lí Takahashi véc tơ. 2.1.Một số kiến thức chuẩn bị Định nghĩa 2.1 Cho Y là không gian Banach và C Y là tập khác rỗng. Ta kí hiệu: intC và cl C là phần trong và bao đóng của C . Ta nói tập C là một nón nếu C C  ,  0,   . Có thể chứng minh rằng nón C là nón lồi nếu C C C  Nón lồi C được gọi là nón nhọn nếu ( ) {0}C C   . Cho một nón nhọn C Y , ta xác định một quan hệ thứ tự C trong Y như sau Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Cx y khi và chỉ khi y x C  . Quan hệ thứ tự này phù hợp với cấu trúc véc tơ trong Y , tức là x Y  và y Y ta có (i) C Cx y x z y z     , z Y  . (ii) C Cx y x y    , 0  . Ta viết Cx  y khi y x C  , kí hiệu 0 int {0}C C  . Cho :f X Y là một ánh xạ, kí hiệu: ( ) { ( )} x X f X f x   . Định nghĩa 2.2 Cho Y là không gian Banach và C Y là tập khác rỗng. Ta gọi: (i) a A là điểm cực tiểu (điểm hữu hiệu Pareto) của A nếu ( ) { }A a C a   . (ii) a A là điểm cực tiểu yếu của A nếu 0( ) { }A a C a   . Kí hiệu: ( ; )Min A C là tập hợp tất cả các điểm cực tiểu của A tương ứng tới C ( ; )WMin A C là tập hợp tất cả các điểm cực tiểu yếu của A tương ứng tới 0C . Ta có: ( ; )Min A C  ( ; )WMin A C . Ví dụ 2.1 Cho 2Y   , nón 2C   , tập A là hình tròn tâm O (0,0) bán kính bằng 1 hợp với hình vuông DFEO trong đó D( 0, 1 ), F( 1, 1 ), F( 1,0 ),B(-1,0). Khi đó ( ; )Min A C là cung tròn nhỏ BD còn ( ; )WMin A C là cung tròn nhỏ BD hợp với đoạn thẳng DF. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tammer và Weider [5] đã phát biểu về một hàm phi tuyến có nhiều tính chất tốt sẽ được dùng trong chứng minh nguyên lí biến phân Ekeland véc tơ như sau: Cho Y là không gian Banach, C Y là một nón nhọn, lồi, đóng có phần trong khác rỗng và cho 0 intk C , định nghĩa hàm số  0, : ,C kh Y    như sau 0, ( ) C k h y  0inf{ | }t y tk C   . Bổ đề 2.1. [9,10] Khi đó hàm 0,C k h thoả mãn các tính chất sau đây: (i) 0,C k h nhận giá trị hữu hạn. (ii) 0,C k h là hàm liên tục (iii) 0,C k h là dưới tuyến tính. (iv) 0,C k h là C - đơn điệu ( 1 2Cy y thì 0 01 2, , ( ) ( ) C k C k h y h y ). (v) 0,C k h là đơn điệu ngặt ( 2 1 inty y C  thì 0 01 2, , ( ) ( ) C k C k h y h y ). (vi) 0 0 , { | ( ) } C k y Y h y t tk C    . (vii) 0 0 , { | ( ) } int C k y Y h y t tk C    . (viii) 0 0 0 , , ( ) ( ) C k C k h y k h y    , y Y  và  . Bổ đề 2.2. [9] Cho Y là không gian Banach, C Y là nón nhọn, lồi, đóng, có phần trong khác rỗng, 0 intk C và A Y là một tập khác rỗng thoả mãn ( int )A C   khi đó hàm 0,C k h là hàm giá trị hữu hạn liên tục thoả mãn: 0 0, , ( ) 0 ( ) C k C k h y h x   với mọi x A , inty C . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Định lí 2.1. (Định lí Takahashi cổ điển) Cho  ,X d là không gian mêtric đủ và hàm  :f X    là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới. khi đó với mỗi u X và inf ( ) ( )x X f x f u  tồn tại v X sao cho v u và ( ) ( , ) ( )f v d u v f u  thì: 0x X  sao cho 0( ) inf ( )x Xf x f x . 2.2. Nguyên lí biến phân Ekeland véc tơ Định lí 2.2.[5] Cho  ,X d là không gian mêtric đủ, Y là không gian Banach và C Y là nón nhọn, lồi, đóng, có phần trong khác rỗng, 0 intk C và cho ánh xạ :f X Y . Giả sử rằng 0  tồn tại một điểm 0x X sao cho 0 0( ) ( ( ) int )f X f x k C    và f thoả mãn điều kiện (H) sau (H):Tập 0{ | ( ) ( , ) ( )}Cx X f x d x x k f x     là đóng x X  . Khi đó x X  sao cho (i) int 0( ) ( ).Cf x f x (ii) 0( , ) 1.d x x  (iii) 0( ) ( , )f x d x x k C ( )f x , x x  . Chứng minh Không mất tính tổng quát ta giả thiết 1  . Trước hết ta nhận thấy rằng ,x X  0,C k h f bị chặn dưới trên X . Theo bổ đề 2.2 ta có : 0 0 0 0, , ( ) 0 ( ( ) ( ) ) C k C k h y h f x f x k     , , intx X y C   . Sử dụng (iii) và (vi) của bổ đề 2.1 ta có : Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 0 0 00, , , ( ) ( ( )) 1 ( ( )). C k C k C k h y h f x h f x       Định nghĩa ánh xạ đa trị : 2XF X  như sau 0( ) { | ( ) ( , ) ( )}.CF x y X f y d x y k f x    Với điều kiện (H), tập ( )F x là đóng đối với mỗi x X và F có các tính chất: (a) ( )x F x (tính phản xạ). (b) Nếu ( )y F x thì ( ) ( )F y F x (tính bắc cầu). Dễ thấy rằng (a) đúng vì ( ) { | ( ) ( )}CF x y X f x f x   , nên ( )x F x . Để chứng minh tính chất (b) , ta lấy ( )y F x và giả sử rằng ( )z F y . Khi đó 0( ) ( , ) ( )Cf z d y z k f y  và 0( ) ( , ) ( )Cf y d x y k f x  do tính tương ứng của quan hệ thứ tự C với cấu trúc véc tơ. Từ bất đẳng thức tam giác đối với mêtric trong X và 0 intk C , ta có 0( ) ( , ) ( )Cf z d x z k f x  suy ra ( )z F x . Tiếp theo sử dụng tính chất (iv) và (viii) trong bổ đề 2.1, ta có ( )y F x và suy ra 0 0, , ( ( )) ( , ) ( ( )) C k C k h f y d x y h f x  . Do đó 0 0( ), , ( , ) ( ( )) inf ( ( ))z F xC k C kd x y h f x h f z  , ( )y F x  . Như vậy, đường kính của tập ( )F x bị chặn trên (A)  0 0( ), ,( ) 2 ( ( )) inf ( ( ))z F xC k C kDiamF x h f x h f z  . Với mỗi 1,2,...,n  theo định nghĩa infimum, 1 ( )n nx F x  sao cho: 0 01 ( ), , ( ( )) inf ( ( )) 2 n n n z F xC k C k h f x h f z    . Từ 1( ) ( )n nF x F x  ta có 0 0 1( ) ( ), , inf ( ( )) inf ( ( )) n nz F x z F xC k C k h f z h f z    . Mặt khác, từ bất đẳng thức Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 0 0( ) , , inf ( ( )) ( ( ))z F y C k C kh f z h f y  ta có 0 0 11 ( ), , 0 ( ( )) inf ( ( )) 2 n n n z F xC k C k h f x h f z       do đó 1( ) 2.2 n nDiamF x    . Công thức (A) chỉ ra rằng đường kính của tập đóng ( )nF x hội tụ đến 0. Theo bổ đề Canto tồn tại x X sao cho 0 ( ) { }n n F x x    vì 0( )x F x nên ta có 0 0 0( ) ( , ) ( )Cf x d x x k f x  . (2.1) Do đó 0 0 0( ) ( ) ( , ) intf x f x C d x x k C    . Điều này cho thấy (i) đúng. Tiếp theo, vì ( )nx F x , n nên ta có ( ) ( )nF x F x suy ra ( ) { }F x x vậy (iii) đúng. Để chứng minh (ii), giả sử rằng 0( , ) 1d x x  khi đó   00( , ) 1 intd x x k C C   , theo điều kiện (2.1) ta có: 0 0 0 0 0( ) ( ) ( , ) ( ) intf x f x d x x k C f x k C      đây là mâu thuẫn. Vậy 0( , ) 1.d x x   Chú ý 2.1 Cho Y   , C=   0,  , 0 1 \{0}k   trong định lí 2.2 ta thu được định lí 1.1 (nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển với 1  ). 2.3. Định lí điểm bất động Caristi-Kirk véc tơ Định lí 2.3.[5] Cho  ,X d là không gian mêtric đủ, Y là không gian Banach và C Y là nón nhọn, lồi, đóng, có phần trong khác rỗng, 0 intk C , ánh xạ :f X Y là hàm véc tơ. Cho : 2XT X  là ánh xạ đa trị sao cho x X  ta có Tx  . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Giả sử f thoả mãn điều kiện (H) và y Y  sao cho: ( ) ( int )f X y C   Hơn nữa, giả thiết hàm f thoả mãn điều kiện (C) sau: (C): x X  tồn tại y Tx sao cho 0( ) ( , ) ( )Cf y d x y k f x  . Khi đó T có điểm bất động trong X tức là x X  để x T x . Hơn nữa, nếu f thoả mãn điều kiện (C’) sau (C’): x X  , y Tx  thì 0( ) ( , ) ( )Cf y d x y k f x  thì T có điểm tới hạn trong X , tức là: x X  để { }T x x . Chứng minh Vì y Y thoả mãn rằng ( ) ( int )f X y C   , ta có thể chọn 0x X và 0 1  sao cho: 0 0( ) ( ( ) int )f X f x k C    . (2.2) Thật vậy, ta đặt:  0, inf ( ( ) )x X C kh f x y   và 0  . Trong trường hợp 1  , ta lấy  sao cho 1   và tìm 0x X và 0t  sao cho  0 0 0( )f x y t k C   , do đó ta có (2.2). Trong trường hợp 1  , đặt  01 3 y y k       . Ta thấy rằng: ( ) ( int )f X y C   và 0, 2 0 inf ( ( ) ) 3 x X C k h f x y   . Tương tự, ta có thể tìm 0x X và 0 1  thoả mãn (2.2). Theo định lí 2.2, tồn tại x X sao cho:. 0( ) ( , )f y d x y k C ( )f x , \{ }y X x  . (2.3) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Mặt khác, theo điều kiện (C) y X  sao cho y T x và 0( ) ( , ) ( )Cf y d x y k f x  . Từ (2.3) ta có x y . Suy ra T có ít nhất 1 điểm bất động. Hơn nữa, y T x  đều trùng với x do đó T có điểm tới hạn.  Chú ý 2.2 Cho Y   , C=   0,  , 0 1 \{0}k   trong định lí 2.3 ta thu được định lí 1.11 (định lí điểm bất động Caristi – Kirk cổ điển). 2.4. Định lí Takahashi véc tơ Định lí 2.4. [5] Cho  ,X d là không gian mêtric đủ, Y là không gian Banach và C Y là nón nhọn, lồi, đóng, có phần trong khác rỗng, 0 intk C , và cho ánh xạ :f X Y . Giả sử f thoả mãn điều kiện (H) và y Y  sao cho ( ) ( int )f X y C   Hơn nữa, giả thiết hàm f thoả mãn điều kiện (T1) sau: (T1): Với mỗi u X và với 0( ) ( ( ) ) { ( )}f X f u C f u  , tồn tại v u sao cho 0( ) ( , ) ( )Cf v d u v k f u  . Khi đó x X  sao cho ( ) ( ( ); )f x WMin f X C . Chứng minh Tương tự như định lí 2.3, ta chọn 0x X và 0 1  sao cho: 0 0( ) ( ( ) int )f X f x k C    . Do định lí 2.2 tồn tại u X sao cho ( ) ( , )f v d u v C ( )f u với mọi \{ }v X u . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Nếu u X thoả mãn 0( ) ( ( ) ) { ( )}f X f u C f u   , theo điều kiện (T1) nên \{ }v X u  sao cho 0( ) ( , ) ( )Cf v d u v k f u  .  Chú ý 2.3 Cho Y   , C=   0,  , 0 1 \{0}k   trong định lí 2.4 ta thu được định lí 2.1 2.5. Một vài ví dụ minh hoạ Sau đây chúng ta minh hoạ nguyên lí biến phân Ekeland véc tơ, định lí điểm bất động Caristi – Kirk véc tơ và định lí Takahashi véc tơ bằng một số ví dụ. Cho  0,1X  , Y l , 1 1 1 ( ) , ,..., ,... 1 2 , f x x x x n          và quan hệ thứ tự trong l được cho bởi { | 0, }iC y l y i     . Nón C Y là lồi, nhọn, đóng và có phần trong khác rỗng. Đặt   0 1 1 1 , ,..., ,... , 0,0,... 8 16 2n k y        . Ta thấy ánh xạ f thoả mãn ( ) ( int )f X y C   và điều kiện (H). Ta lấy 01, 1x   và ánh xạ f thoả mãn 0 0( ) ( ( ) int )f X f x k C    . Khi đó tồn tại 1x  thoả mãn (i) và (iii) của định lí 2.1. Với 2 2Tx x   ta có: 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( , ) , ,... ( 1)( 3) 8 ( 2)( 4) 16 x x x x x x x x f x f Tx d Tx x k C x x x                            Suy ra T có điểm bất động 1x  . Với  0,1u  thoả mãn 0( ) ( ( ) ) { ( )}f X f u C f u   và  ,1v u  sao cho 0( ) ( , ) ( )Cf v d u v k f u  . Suy ra f có điểm cực tiểu yếu 1 1 1 , , ,... 2 3 4       và 1x  là lời giải. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2.6. Sự tƣơng đƣơng giữa nguyên lí biến phân Ekeland véc tơ, định lí điểm bất động Caristi – Kirk véc tơ và định lí Takahashi véc tơ Định lí 2.5. [5] Các định lí 2.2, định lí 2.3 và định lí 2.4 là tương đương với nhau. Chứng minh Định lí 2.2  định lí 2.3 (xem chứng minh định lí 2.3). Định lí 2.3  định lí 2.4 Ta đặt: 0{ | , ( ) ( , ) ( )}x CS y X x y f y d y x k f x     x Tx Sx     Từ định nghĩa của Sx và Tx , ta có : x Sx , Tx  với mọi x X và : 2XT X  . Ta cũng có x X  , y Tx  sao cho 0( ) ( , ) ( )Cf y d x y k f x  . Do định lí 2.3, tồn tại x X sao cho x T x . Từ định nghĩa của T , ánh xạ f có điểm cực tiểu yếu. Định lí 2.4  định lí 2.2 Không mất tính tổng quát, ta giả thiết 1  và đặt: 0 0 0 0{ | ( ) ( , ) ( )}CX x X f x d x x k f x    . Vì 0 0x X nên 0X   . Hơn nữa, với điều kiện (H), tập 0X là đóng và đầy đủ. Giả sử không tồn tại 0x X thoả mãn (iii) của định lí 2.2 tức là x X  thì w x  sao cho: ( ) ( , ) ( )Cf w d x w f x  . Ta có: 0 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )C C Cd w x k d w x k d x x k f x f w f x f x f x f w        . Do đó 0w X , tức là 0 0 0( ) ( ( ) ) { ( )}f X f x C f x   . Ta đặt  0 0( )y f x k  , theo định lí 2.4, 0x X  sao cho 0( ) ( ( ) ) { ( )}f X f x C f x   . Tuy nhiên, 0w X  sao cho ( ) ( )Cf w f x đây là điều mâu thuẫn. Bằng cách tương tự như định lí 2.2 ta có int 0( ) ( )Cf x f x và 0( , ) 1.d x x   nếu 0{ | ( ) ( ( ) ) { ( )}}x X f X f x C f x    nếu 0{ | ( ) ( ( ) ) { ( )}}x X f X f x C f x    Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên KẾT LUẬN Nguyên lí biến phân Ekeland là một kết quả cổ điển có nhiều ứng dụng và cho đến gần đây vẫn được nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên cứu. Trong luận văn này, chúng tôi đã tìm hiểu một số bài báo liên quan đến nguyên lí biến phân Ekeland và đã trình bày lại chúng một cách hệ thống cụ thể là: Chương 1 của luận văn trình bày gồm nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển, dạng hình học của nguyên lí (định lí Bishop - Phelps, định lí giọt nước, định lí cánh hoa), trình bày một cách chứng minh ngắn gọn nguyên lí trong không gian hữu hạn chiều, một số ứng dụng của nguyên lí (định lí điểm bất động Banach, định lí điểm bất động Caristi-Kirk, đạo hàm Gateaux). Chương 2 gồm nguyên lí biến phân Ekeland mở rộng cho ánh xạ nhận giá trị véc tơ, định lí Caristi – Kirk véc tơ, định lí Takahashi véc tơ, một số ví dụ minh hoạ và sự tương đương của ba định lí này. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] M.J. Borwein and J. Z. Qiji, Techniques of Variational Analysis, Springer (2004). [2] I. Ekeland, On the variational principle, J.Math.Anal. Appl . 47(1974) 324-354. [3] I. Ekeland, The  - variational principle revisited, Notes by S. Tetracini. [4] J.P. Aubin and I. Ekeland, Applied Nonlinear Analysis, John Wiley, New York (1984). [5] Y. Araya, Ekeland’S variational principle and its equivalent theorems in vecto optimization, J.Math.Anal.App. 346(2008), 9-16. [6] J.P. Aubin, Optima Equilibria. An introduction to Nonlinear Analysis, Springer-Verlag, Berlin, 1993. [7] H. Brezis, F.E. Browder, A general principle on ordered sets in nonlinear function analysis, Adv. Math. 21(1976), 355-364. [8] J. Caristi, Fixed point theorems for mapping satisfying inwardness conditions, Trans. Amer. Math. Soc. 215(1976), 241-251. [9] A. Gopfert, H. Riahi, C. Tammer, C. Zalinescu, Variational Methods in Partially Odered Spaces, Springer-Verlag, New York , 2003. [10] A. Gopfert, C. Tammer, C. Zalinescu, On the vectorial Ekeland’s variational principle and minimal point in product spaces, Nonlinear Anal. 39(2000), 909-922. [11] G. Isac, The Ekeland’s principle and Pareto  - efficien, in:Multi- Objective Programming and Goal Programming: Theories and Applications, in:Lecture Notes in Econom. and Math. System, Vol. 243, Springer-Verlag, Berlin, 1986, 148-163. [12] J. Jahn, Vecto Optimization: Theory, Applications, and Extentions, Springer-Verlag,Berlin, 2004. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên [13] P. Loridan,  - solutions in vecto minimization problems, J. Optim. Theory Appl. 43(1984), 265-276. [14] R.R. Phelps, Convex Function, Monotone Operators and Differentiability, Lecture Notes in Math, Vol. 1364, Springer-Verlag,Berlin, 1993. [15] N. Mizoguchi, W. Takahashi, Fixed point theorems for multivalue mappings on complete metric spaces, J. Math. Anal. Appl. 141(1989), 177-188. [16] W. Takahashi, Existence theorms genneralizing fixed point theorems for multivalue mappings, in: Fixed Point Theory and Applications, Marseille, 1989, in:Pitman Res. Notes Math. Ser. Vol.252, Longman Sci. Tech. Harlow,1991, 397-406. [17] C. Tammer, A generalization of Ekeland’s principle, Optimization 25(1992), 129-141. [18] C. Tammer, A variational principle and a fixed point theorem, in:System Modelling and Optimization, Compiegne, 1993, in: Lecture Notes in Contron and inform. Sci. vol. 197, Springer-Verlag, London, 1994, 248-257. [19] Hoàng Tuỵ, Bài giảng lí thuyết tối ưu, Viện toán học (2003).