Luận văn Nhập môn về tôpô phân lá

iều. Để cho tiện, ta cũng sẽ luôn dùng thuật ngữ MD4 – nhóm để chỉ các MD – nhóm 4 chiều. Như thế là cũng có đúng 12 họ các MD4 – nhóm đơn liên bất khả phân tương ứng với 12 họ MD4 – đại số bất khả phân. Để cho tiện, từ nay về sau ta cũng sẽ dùng chính các chữ số và tham số của các MDn – đại số bất khả phân để ký hiệu cho các MDn – nhóm đơn liên bất khả phân tương ứng ( )4,5n = . Chẳng hạn, MD4 – nhóm đơn liên ứng với MD4 – đại số ( )( )*4,3,4( , ) , 0,λ ϕ λ ϕ π∈ ∈ sẽ được ký hiệu là ( )( )*4,3,4( , ) , 0,G λ ϕ λ ϕ π∈ ∈ . Tương tự cho các trường hợp còn lại. Cụ thể là chúng ta có đúng 12 họ MD4 – nhóm đơn liên bất khả phân sau đây: ( )( )*4,1,1 4,1,2 4,2,1( ) 4,2,2 4,2,3( ), , ( ), , 0,G G G G Gλ ϕλ ϕ π∈ ∈ , 4,2,4 ( )G Lie Aff=  , ( )( ) 1 2 * * * 4,3,1( , ) 1 2 4,3,2( ) 4,3,3 4,3,4( , )( , ), ( ), , , 0,G G G Gλ λ λ λ ϕλ λ λ λ ϕ π∈ ∈ ∈ ∈   , 4,4,1 4,4,2,G G . 3.3. LỚP MD5 – ĐẠI SỐ VÀ MD5 – NHÓM BẤT KHẢ PHÂN VỚI IDEAL DẪN XUẤT GIAO HOÁN 3 HOẶC 4 CHIỀU Giả sử G là nhóm Lie giải được, đơn liên 5 – chiều và  là đại số Lie của G . Ta có thể chọn cơ sở thích hợp { }1 2 3 4 5, , , ,X X X X X của  nên có thể đồng nhất  với 5 ( xem như không gian vectơ thực). Không gian đối ngẫu * của  cũng được đồng nhất với 5 nhờ cơ sở đối ngẫu { }* * * * *1 2 3 4 5, , , ,X X X X X của { }1 2 3 4 5, , , ,X X X X X . Nhắc lại rằng một nhóm Lie được gọi là MD5 – nhóm nếu K – quỹ đạo của nó hoặc 0 – chiều hoặc có số chiều cực đại. Khi đó đại số Lie của nó được gọi là MD5 – đại số. Chú ý rằng với MDn – đại số ( )0 0 5n< < bất kì, tổng trực tiếp 50 n−= ⊕  là MD5 – đại số, được gọi là MD5 – đại số khả phân. Điều này cho phép ta quy việc xét các MD5 – đại số khả phân không giao hoán và các MD – nhóm 5 chiều tương ứng về trường hợp các MD – đại số và MD – nhóm có số chiều bé hơn 5. Do đó, sau đây chúng ta chỉ quan tâm đến các MD5 – đại số bất khả phân và các MD – nhóm 5 chiều tương ứng. 3.3.1. Các MD5 – đại số với ideal dẫn xuất 3 chiều giao hoán và các MD5 – nhóm liên thông tương ứng Ta xét tập hợp ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2 5,3,4 5,3,75,3,1 , 5,3.2 5,3,3 5,3,5 5,3,6 5,3,8 ,, , , , , , ,λ λ λ λ λ λ λ ϕ        của các đại số Lie giải được 5 – chiều. Mỗi đại số Lie  của tập này có: [ ] [ ] 1 1 3 3 4 5 1 2 3, . . . ; , ; 0XX X X X X X ad= = ⊕ ⊕ ≡ = =      . Thì ( ) ( ) 2 1 3Xad End Mat∈ ≡  được cho sau đây: 1. ( ) { }21 2 1 2 1 2 1 25,3,1 , 0 0 : 0 0 ; , \ 1 , 0 0 0 1 Xadλ λ λ λ λ λ λ λ    = ∈ ≠ ≠       . 2. ( ) { }25,3,2 1 0 0 : 0 1 0 ; \ 0,1 0 0 Xadλ λ λ    = ∈       . 3. ( ) { }25,3,3 0 0 : 0 1 0 ; \ 1 0 0 1 Xadλ λ λ    = ∈       . 4. 25,3,4 1 0 0 : 0 1 0 0 0 1 Xad    =        . 5. ( ) { }25,3,5 0 0 : 0 1 1 ; \ 1 0 0 1 Xadλ λ λ    = ∈       . 6. ( ) { }25,3,6 1 1 0 : 0 1 0 ; \ 0,1 0 0 Xadλ λ λ    = ∈       . 7. 25,3,7 1 1 0 : 0 1 1 0 0 1 Xad    =        . 8. ( ) { } ( )25,3,8 , cos sin 0 : sin cos 0 ; \ 0 , 0, 0 0 Xadλ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ λ ϕ π λ −   = ∈ ∈       . Vì vậy chúng ta nhận được tập các nhóm Lie liên thông, đơn liên tương ứng với tập các đại số Lie ở trên. Để cho tiện, mỗi một nhóm Lie như vậy cũng được ký hiệu bởi cùng các chỉ số như đại số Lie của nó. Ví dụ, ( )5,3,6G λ là nhóm Lie liên thông đơn liên tương ứng với ( )5,3,6 λ . 3.3.2. Các MD5 – đại số với ideal dẫn xuất 4 chiều giao hoán và các MD5 – nhóm liên thông đơn liên tương ứng Mệnh đề Giả sử  là một MD5 – đại số với [ ]1 4: ,= ≅    ( đại số Lie giao hoán 4 chiều). • Nếu  khả phân thì nó có dạng h= ⊕ , ở đó h là một MD4 – đại số. • Nếu  bất khả phân thì ta luôn có thể chọn được một cơ sở thích hợp ( )1 2 3 4 5, , , ,X X X X X trong  sao cho 1 42 3 4 5, , , ,X X X X= ≅  ( )1 1Xad End∈  ( )( )4Mat≅  , và  đẳng cấu với một và chỉ một trong các đại số Lie sau đây: 1. ( ) { }11 2 3 1 2 1 2 3 1 2 3 15,4,1 , , 3 0 0 0 0 0 0 : ; , , \ 0,1 , 0 0 0 0 0 0 1 Xadλ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ      = ∈ ≠ ≠ ≠        . 2. ( ) { }11 2 1 2 1 2 1 25,4,2 , 0 0 0 0 0 0 : ; , \ 0,1 , 0 0 1 0 0 0 0 1 Xadλ λ λ λ λ λ λ λ      = ∈ ≠        . 3. ( ) { }15,4,3 0 0 0 0 0 0 : ; \ 0,1 0 0 1 0 0 0 0 1 Xadλ λ λ λ      = ∈        . 4. ( ) { }15,4,4 0 0 0 0 1 0 0 : ; \ 0,1 0 0 1 0 0 0 0 1 Xadλ λ λ      = ∈        . 5. 15,4,5 1 0 0 0 0 1 0 0 : 0 0 1 0 0 0 0 1 Xad      =        . 6. ( ) { }11 2 1 2 1 2 1 25,4,6 , 0 0 0 0 0 0 : ; , \ 0,1 , 0 0 1 1 0 0 0 1 Xadλ λ λ λ λ λ λ λ      = ∈ ≠        . 7. ( ) { }15,4,7 0 0 0 0 0 0 : ; \ 0,1 0 0 1 1 0 0 0 1 Xadλ λ λ λ      = ∈        . 8. ( ) { }15,4,8 1 0 0 0 0 0 : ; \ 0,1 0 0 1 1 0 0 0 1 Xadλ λ λ λ      = ∈        . 9. ( ) { }15,4,9 0 0 0 0 1 1 0 : ; \ 0,1 0 0 1 1 0 0 0 1 Xadλ λ λ      = ∈        . 10. 15,4,10 1 1 0 0 0 1 1 0 : 0 0 1 1 0 0 0 1 Xad      =        . 11. ( )1 25,4,11 , , :λ λ ϕ { } ( ) 1 1 2 1 2 1 2 cos sin 0 0 sin cos 0 0 ; , \ 0 , , 0, 0 0 0 0 0 0 Xad ϕ ϕ ϕ ϕ λ λ λ λ ϕ π λ λ −     = ∈ ≠ ∈        . 12. ( ) { } ( )15,4,12 , cos sin 0 0 sin cos 0 0 : ; \ 0 , 0, 0 0 0 0 0 0 Xadλ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ λ ϕ π λ λ −     = ∈ ∈        . 13. ( ) { } ( )15,4,13 , cos sin 0 0 sin cos 0 0 : ; \ 0 , 0, 0 0 1 0 0 0 Xadλ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ λ ϕ π λ λ −     = ∈ ∈        . 14. ( ) ( )15,4,14 , , cos sin 0 0 sin cos 0 0 : ; , , 0, 0, 0 0 0 0 Xadλ µ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ λ µ µ ϕ π λ µ µ λ −     = ∈ > ∈  −      . Vì mỗi đại số Lie thực  xác định duy nhất một nhóm Lie liên thông đơn liên G sao cho ( )Lie G =  . Do đó, từ mệnh đề trên, ta nhận được 14 họ MD5 – nhóm liên thông đơn liên tương ứng với các MD5 – đại số đã được liệt kê và phân loại như trên. Các họ MD5 – nhóm này đều bất khả phân. Như vậy, ta có được 14 họ MD5 – nhóm liên thông đơn liên sau đây: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 21 2 3 5,4,55,4,2 , 5,4,3 5,4,4 5,4,6 ,5,4,1 , , , , , , , ,G G G G G Gλ λ λ λ λ λλ λ λ ( ) ( ) ( ) { }5,4,10 1 2 35,4,7 5,4,8 5,4,9, , , , , , , \ 0,1 ;G G G Gλ λ λ λ λ λ λ ∈ ( ) ( )1 25,4,11 , , 5,4,12 ,, ,G Gλ λ ϕ λ ϕ ( ) { } ( ) ( ) ( )1 25,4,13 , 5,4,14 , ,, , , \ 0 , 0, ; , , , 0, 0,G Gλ ϕ λ µ ϕλ λ λ ϕ π λ µ µ ϕ π∈ ∈ ∈ > ∈  . 3.4. PHƯƠNG PHÁP MÔ TẢ CÁC K – QUỸ ĐẠO 3.4.1. Định nghĩa Nếu G là nhóm Lie có đại số Lie  và * là không gian đối ngẫu của  thì K – biểu diễn của G trong  được cho bởi: 1 *( ) , , ( ) , , ,K g F X F Ad g X X g G F−= ∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈  Như vậy với mỗi F trong * , K – quỹ đạo FΩ của G đi qua F được xác định bởi: { }( ) /F K g F g GΩ = ∈ (3.4.1) Đối với mỗi nhóm Lie G , chúng ta quan tâm đến bài toán mô tả các K – quỹ đạo FΩ của G , *F∀ ∈ . Hơn nữa, chúng ta muốn có một phương pháp mô tả FΩ trong trường hợp mà luật nhóm của G chưa được cho tường minh mà chỉ biết rõ cấu trúc của đại số Lie  của G . Khi đó ánh xạ mũ exp :G G→ và tính chất tự nhiên của nó rất có ích đối với chúng ta. 3.4.2. Nhận xét Giả sử G là một nhóm Lie thực có đại số Lie  và * là không gian đối ngẫu của  . Ký hiệu exp :G G→ là ánh xạ mũ của G và exp : End Aut→   là ánh xạ mũ của nhóm Lie Aut   các tự đẳng cấu − tuyến tính của  . Vi phân * :Ad ad End= →   của biểu diễn phụ hợp của G trong  được xác định bởi công thức đơn giản: [ ], , ,Uad X U X U X= ∀ ∈ . Tính tự nhiên của ánh xạ mũ được thể hiện bởi hình vuông giao hoán sau đây:  expG G ad Ad Aut   End   exp Tức là: exp expGAd ad=  Với mỗi U ∈ , mỗi *F ∈ ta hãy xác định phần tử trong * ký hiệu là UF như sau: ( ), , exp ,U UF X F ad X X= ∀ ∈ . 3.4.3. Bổ đề ( Xem [1]) Nếu gọi FΩ là K – quỹ đạo của G qua F thì ta luôn có bao hàm thức: { }/F UF UΩ ⊃ ∈ (3.4.3) Hơn nữa nếu expG là toàn ánh thì đẳng thức xảy ra. 3.4.4. Nhận xét Để cho tiện dùng, ta sẽ ký hiệu tập { }/UF U ∈ bởi ( )FΩ  . Như thế bao hàm thức (3.3.3) được viết lại là: ( ) *,F F FΩ ⊂Ω ∀ ∈  (3.4.4) Một điều kiện đủ để đẳng thức xảy ra là exp :G G→ là toàn ánh. Thực ra, trong nhiều trường hợp, một điều kiện yếu hơn tính toàn ánh của expG cũng là đủ để có đẳng thức ( )F FΩ = Ω cụ thể là: 3.4.5. Bổ đề (Xem [1]) Giả sử rằng G liên thông. Hơn nữa họ các ( ) *,F FΩ ∈  lập thành phân hoạch của * và mọi ( )' , 'F FFΩ ∈Ω đều cùng mở hoặc cùng đóng ( tương đối) trong *,F FΩ ∈ . Khi đó ( ) *,F F FΩ = Ω ∀ ∈  . Đối với các nhóm Lie thực giải được, đơn liên chúng ta có một điều kiện khá mạnh về tính toàn ánh, hơn nữa là tính vi phôi giải tích của ánh xạ mũ được cho bởi M.Saito. Cụ thể ta luôn có: 3.4.6. Mệnh đề ( Xem [1]) Giả sử G là nhóm Lie thực, giải được, đơn liên, hữu hạn chiều và  là đại số Lie của nó. Khi đó các khẳng định sau đây tương đương (i) exp :G G→ là vi phôi giải tích ( hay G là nhóm exponential). (ii) , XX ad∀ ∈ không có một giá trị riêng ( trong  ) thuần ảo nào. 3.4.7. Hệ quả Nếu G là nhóm Lie thực, giải được, liên thông, hữu hạn chiều với đại số Lie  của nó có tính chất (ii) trong mệnh đề 3.4.6 thì ánh xạ mũ exp :G G→ là toàn ánh. Chứng minh Theo mệnh đề 3.4.6 ở trên, phủ phổ dụng G của G là nhóm exponential, tức là  exp :G G→ là vi phôi giải tích. Gọi :p G G→ là ánh xạ phủ G lên G . Bấy giờ  exp expG Gp=  hiển nhiên là toàn ánh.■ 3.4.8. Hệ quả (xem [1]) (1) Ngoại trừ các nhóm  ( )*4,2,4 4,2,3 4,3,4 , 2 2 , ,G G Aff Gπ πλ λ           = ∈  và 4,4,1G tất cả các MD4 – nhóm đơn liên bất khả phân còn lại đều có ánh xạ mũ vi phôi giải tích. (2) Mọi MD4 – nhóm liên thông mà đại số Lie của nó không phải là ( )*4,2,4 4,4,1 4,2,3 4,3,4 , 2 2 , ( ), ,Lie Affπ πλ λ           = ∈     đều có ánh xạ mũ toàn ánh. 3.4.9. Nhận xét Như vậy, đối với hầu hết các MD4 – nhóm liên thông, các K – quỹ đạo FΩ được mô tả bằng cách tính ( )FΩ  với mỗi *F ∈ . Việc tính ( )FΩ  khá thuận lợi do cấu trúc đại số Lie của các MD4 – đại số đã được biết tường minh. Riêng đối với các trường hợp ( )*4,2,4 4,2,3 4,3,4 , 2 2 , ,G G Gπ πλ λ           ∈ và 4,4,1G chúng ta cũng sẽ tính các ( )FΩ  ; sau đó chỉ ra rằng tất cả các ( )( )' 'F FFΩ ∈Ω đều cùng đóng hoặc cùng mở ( tương đối ) trong FΩ . Do đó vẫn có đẳng thức ( ) ( )*F F FΩ = Ω ∀ ∈  . 3.4.10. Chú ý Ngoài ra, cần nhấn mạnh thêm rằng phương pháp mô tả các K – quỹ đạo như vậy đặc biệt thích hợp với các nhóm Lie thực, giải được, liên thông ( số chiều không quá lớn) và thỏa mãn điều kiện (ii) nêu trong mệnh đề 3.4.6. 3.5. BỨC TRANH CÁC K – QUỸ ĐẠO CỦA CÁC MDn – NHÓM ĐƠN LIÊN BẤT KHẢ PHÂN ( 4,5n = ) ĐÃ XÉT 3.5.1. Bức tranh K – quỹ đạo của các MD4 – nhóm đơn liên bất khả phân 3.5.1.1. Nhận xét: Giả sử  là một MD4 – đại số bất khả phân với MD4 – nhóm đơn liên tương ứng là G . Khi đó ( ), , ,gen X Y Z T= nên có thể đồng nhất với 4 ( xem như không gian vectơ thực). Mỗi U ∈ có thể đồng nhất với bộ tọa độ ( ) 4, , ,a b c d ∈ của nó trong cơ sở { }, , ,X Y Z T . Không gian đối ngẫu * của  cũng được đồng nhất với 4 nhờ cơ sở đối ngẫu { }* * * *, , ,X Y Z T của { }, , ,X Y Z T . Mỗi *F ∈ được đồng nhất với bộ tọa độ ( ), , ,α β γ δ của nó trong cơ sở { }* * * *, , ,X Y Z T . Suốt mục này và những mục tiếp theo, nếu không nói khác đi, ký hiệu F luôn là điểm ( ) 4 *, , ,α β γ δ ∈ ≅  và FΩ là K – quỹ đạo của G trong * chứa F . 3.5.1.2. Định lý 2 ( Về bức tranh các K – quỹ đạo của các MD4 – nhóm đơn liên) ( Xem [1]) 1. 4,1,1G G= (i) Nếu 0γ = thì ( ){ }, ,0,F F α β δΩ = ( quỹ đạo 0 - chiều) (ii) Nếu 0γ ≠ thì ( ){ }, , , / ,F x t x tβ γΩ = ∈ : một mặt phẳng ( quỹ đạo 2 – chiều). 2. 4,1,2G G= (i) Nếu 0γ = thì ( ){ }, ,0,F F α β δΩ = ( quỹ đạo 0 - chiều) (ii) Nếu 0γ ≠ thì ( ){ }, , , / , , 0F z t z t zα β γΩ = ∈ > : một nửa mặt phẳng ( quỹ đạo 2 – chiều) 3. G là một trong các nhóm ( )*4,2,1( ) 4,2,2,G Gλ λ ∈ (i) Nếu 0β γ= = thì ( ){ },0,0,F F α δΩ = ( quỹ đạo 0 – chiều) (ii) Nếu 2 2 0β γ+ ≠ thì FΩ là một trụ đứng hai chiều ( ){ } ( ){ } * 4,2,1( ) 4,2,2 , , , / , , , , , / , s s F s s s e e t s t khi G G e se e t s t khi G G λ λα β γ λ α β β γ  ∈ = ∈ Ω =  + ∈ =    ( quỹ đạo 2 – chiều) 4. ( )( )4,2,3( ) 0,G G ϕ ϕ π= ∈ . Đồng nhất *4,2,3( )ϕ với × ×   và F với ( ) ( ), , , 0,iα β γ δ ϕ π+ ∈ . Khi đó: (i) Nếu 0iβ γ+ = thì ( ){ },0,F F α δΩ = (quỹ đạo 0 – chiều) (ii) Nếu 0iβ γ+ ≠ thì ( )( ){ }, , / ,iseF i e t s tϕα β γΩ = + ∈ : một trụ đứng. (quỹ đạo 2 – chiều). 5. 4,2,4G G Aff= =  (i) Nếu 0β γ= = thì ( ){ },0,0,F F α δΩ = (quỹ đạo 0 – chiều) (ii) Nếu 2 2 0β γ+ ≠ thì ( ){ } ( )*2 2 2, , , / 0F x y z t y zΩ = + ≠ ≅ × ×   (quỹ đạo 4 – chiều duy nhất) 6. G là một trong các nhóm ( ) ( ) 1 2 * * 4,3,1( , ) 1 2 4,3,2( ) 4,3,3, , ,G G Gλ λ λλ λ λ∈ ∈  . (i) Nếu 0α β γ= = = thì ( ){ }0,0,0,F F δΩ = ( quỹ đạo 0 – chiều ). (ii) Nếu 2 2 2 0α β γ+ + ≠ thì FΩ là một trụ đứng 2 – chiều: ( ){ } ( ){ } 1 2 1 2 * 4,3,1( , ) 1 2 * 4,3,2( ) 2 4,3,3 , , , / , , , , , , / , , 1, , , / , 2 s s s s s s s F s s s s s s e e e t s t khi G G e se e e t s t khi G G e se e s e se e t s t khi G G λ λ λ λ λ λ λ λ α β γ λ λ α α β γ λ α α β α β γ   ∈ = ∈  Ω = + ∈ = ∈    + + + ∈ =           (quỹ đạo 2 – chiều). 7. ( )( )*4,3,4( , ) , 0,G G λ ϕ λ ϕ π= ∈ ∈ . Đồng nhất *4,3,4( , )λ ϕ với 2×  và ( ), , ,F α β γ δ với ( ) ( )( )*, , , , 0,iα β γ δ λ ϕ π+ ∈ ∈ . Khi đó: (i) Nếu 0iα β γ+ = = thì ( ){ }0,0,F F δΩ = (quỹ đạo 0 – chiều). (ii) Nếu 2 2 0iα β γ+ + ≠ thì ( )( ){ }, , / ,ise sF i e e t s tϕ λα β γΩ = + ∈ : một trụ đứng ( quỹ đạo 2 – chiều). 8. 4,4,1G G= . (i) Nếu 0α β γ= = = thì ( ){ }0,0,0,F F δΩ = ( quỹ đạo 0 – chiều) (ii) Nếu 2 2 0, 0α β γ+ ≠ = thì ( ){ }2 2 2 2, ,0, / , , ,F x y t x y t x y α βΩ = ∈ + = + : một trụ đứng tròn xoay. ( quỹ đạo 2 – chiều ). (iii) Nếu 0γ ≠ thì ( ){ }2 2 2 2, , , / 2 2F x y t x y tγ γ α β γδΩ = + − = + − : một paraboloid tròn xoay. (quỹ đạo 2 – chiều). 9. 4,4,2 3.G G H= =  ( nhóm kim cương thực). (i) Nếu 0α β γ= = = thì ( ){ }0,0,0,F F δΩ = ( quỹ đạo 0 – chiểu) (ii) Nếu 0α β γ≠ = = thì ( ){ },0,0, / , , 0F x t x t xαΩ = ∈ > : một nửa mặt phẳng tọa độ. ( quỹ đạo 2 – chiều). (iii) Nếu 0 , 0α β γ= ≠ = thì ( ){ }0, ,0, / , , 0F y t y t yβΩ = ∈ > : một nửa mặt phẳng tọa độ. ( quỹ đạo 2 – chiều). (iv) Nếu 0αβ γ≠ = thì ( ){ }, ,0, / , , , , 0, 0F x y t x y t xy x yαβ α βΩ = ∈ = > > : một trụ đứng hyperbolic. ( quỹ đạo 2 – chiều). (v) Nếu 0γ ≠ thì ( ) ( ){ }, , , / , , ,F x y t x y t xy tγ αβ γ δΩ = ∈ − = − : một mặt yên ngựa ( paraboloid hyperbolic) ( quỹ đạo 2 – chiều). 3.5.2. Bức tranh K – quỹ đạo của các MD5 – nhóm đơn liên bất khả phân đã xét 3.5.2.1. Mệnh đề 1 Nếu G là một trong các nhóm ( ) ( ) { }1 2 1 25,3,1 , 5,3,2, , , , \ 0,1 ;G Gλ λ λ λ λ λ ∈ ( ) 5,3,45,3,3 , ,G Gλ ( ) { } ( ) { } ( ) { }5,3,75,3,5 5,3,6 5,3,8 ,, \ 0 ; , \ 0,1 ; , , \ 0 ,G G G Gλ λ λ ϕλ λ λ∈ ∈ ∈   ( )0, ;ϕ π∈ ( ) ( ) ( ) ( )1 21 2 3 5,4,2 , 5,4,3 5,4,45,4,1 , , , , , ,G G G Gλ λ λ λλ λ λ ( )1 25,4,5 5,4,6 ,, ,G G λ λ ( ) ( )5,4,7 5,4,8, ,G Gλ λ ( ) { }5,4,10 1 2 35,4,9 , , , , , \ 0,1 ;G Gλ λ λ λ λ ∈ ( )1 25,4,11 , , ,G λ λ ϕ ( )5,4,12 , ,G λ ϕ ( ) { }1 25,4,13 , , , , \ 0 ,G λ ϕ λ λ λ ∈ ( ) ( ) ( )5,4,14 , ,0, ; , , , 0, 0,G λ µ ϕϕ π λ µ µ ϕ π∈ ∈ > ∈ . Ký hiệu  là đại số Lie của nhóm G . Ta luôn chọn một cơ sở thích hợp ( )1 2 3 4 5, , , ,X X X X X trong  . Lúc đó với tư cách là một không gian vectơ 5 – chiều, 5≡  . Không gian đối ngẫu của  được ký hiệu là * . Ta cũng có đồng nhất thức * 5≡  với cơ sở đối ngẫu ( )* * * * *1 2 3 4 5, , , ,X X X X X của cơ sở ( )1 2 3 4 5, , , ,X X X X X . Xét phần tử tùy ý ( ) * 5, , , ,F α β γ δ σ ∈ ≡  . Ta ký hiệu FΩ là K - quỹ đạo chứa F của G trong * 5≡  . 3.5.2.2. Mệnh đề 2 Nếu ( )1 25,3,1 ,G G λ λ= thì bức tranh K – quỹ đạo của G được mô tả như sau: 1. Nếu 0γ δ σ= = = thì ( ){ }, ,0,0,0F F α βΩ = ( quỹ đạo 0 – chiều). 2. Nếu 0, 0γ δ σ= = ≠ thì ( ){ }, ,0,0, : 0F F y s sα σΩ = > ( Nửa mặt phẳng 2 – chiều). 3. Nếu 0, 0, 0γ δ σ= ≠ = thì ( ){ }, ,0, ,0 : 0F F y t tα δΩ = > ( Nửa mặt phẳng 2 – chiều). 4. Nếu 0, 0, 0γ δ σ= ≠ ≠ thì ( ) 2 , ,0, , : , 0F sF y t s t s λ α δ σ σ    Ω = = >       ( một mặt trụ 2 – chiều) 5. Nếu 0, 0γ δ σ≠ = = thì ( ){ }1 1, , ,0,0 : , 0F F x y z x z zλ λα γ γΩ = = + − > (một nửa mặt phẳng 2 – chiều). 6. Nếu 0, 0, 0γ δ σ≠ = ≠ thì ( ) 1 1 1 1 1, , ,0, : , 1 , 0F sF x y z s x z x s λ λ λα γ λ λα γ σ σ     Ω = = + − = + − >         ( một mặt trụ 2 – chiều). 7. Nếu 0, 0, 0γ δ σ≠ ≠ = thì ( ) 1 2 1 1 1 1, , , ,0 : , 1 , 0F tF x y z t x z x t λ λ λ λα γ λ λα γ δ δ       Ω = = + − = + − >        ( một mặt trụ 2 – chiều). 8. Nếu 0, 0, 0γ δ σ≠ ≠ ≠ thì ( ) 1 2 1 1 1 1, , , , : , 1 , , 0F s sF x y z t s x z x t s λ λ λ λα γ λ λα γ δ σ σ σ       Ω = = + − = + − = >             (một mặt trụ 2 – chiều). Phác thảo chứng minh mệnh đề 3.5.2.2 Cho G , ta ký hiệu tập { }* /UF U∈ ∈  bởi ( )FΩ  , với UF là dạng tuyến tính trên đại số Lie  của G được xác định bởi ( )( ), , exp , ,U UF A F ad A A U= ∈ . Lấy 1 2 3 4 5. . . . .U a X b X c X d X f X= + + + + tùy ý thuộc  ; trong đó , , , ,a b c d f ∈ . Bằng tính toán trực tiếp, ta được: ( ) ( ) ( ) 1 2 11 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ! !exp 0 0 0 ! 0 0 0 ! nn n b n n U n n b n n b n bb a c e n nad bd e n bf e n λ λ λλ λ λ −−∞ ∞ = = −∞ = −∞ =          − −  =    −      −    ∑ ∑ ∑ ∑ Vì vậy, UF được cho như sau: ( ) ( ) 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ; ! ; ! ! ! ; ; . n n n n n n n n n n b b b bx n b b by a c d f n n n z e t e s e λ λ λ α γ λ λ β γ λ δ σ γ δ σ −∞ = − − −∞ ∞ ∞ = = = = − = + − − − = = = ∑ ∑ ∑ ∑ Áp dụng các bổ đề 3.4.3 và 3.4.5 , ta được kết luận của mệnh đề. Theo phương pháp chứng minh của mệnh đề 1, ta được các kết quả dưới đây. 3.5.2.3. Mệnh đề 3 Nếu ( )5,3,2G G λ= thì bức tranh K – quỹ đạo của G được mô tả như sau: 1. Nếu 0γ δ σ= = = thì ( ){ }, ,0,0,0F F α βΩ = ( quỹ đạo 0 – chiều). 2. Nếu 0, 0γ δ σ= = ≠ thì ( ){ }, ,0,0, : 0F F y s sα σΩ = > ( Nửa mặt phẳng 2 – chiều). 3. Nếu 0, 0, 0γ δ σ= ≠ = thì ( ){ }, ,0, ,0 : 0F F y t tα δΩ = > ( Nửa mặt phẳng 2 – chiều). 4. Nếu 0, 0, 0γ δ σ= ≠ ≠ thì ( ), ,0, , : , 0F tF y t s s t λ α σ δ δ    Ω = = >       ( một mặt trụ 2 – chiều) 5. Nếu 0, 0γ δ σ≠ = = thì ( ){ }, , ,0,0 : , 0F F x y z x z zα γ γΩ = = + − > (một nửa mặt phẳng 2 – chiều). 6. Nếu 0, 0, 0γ δ σ≠ = ≠ thì ( ), , ,0, : , , 0F zF x y z s x z s z λ α γ σ γ γ    Ω = = + − = >       ( một mặt trụ 2 – chiều). 7. Nếu 0, 0, 0γ δ σ≠ ≠ = thì ( ), , , ,0 : , 1 , 0F tF x y z t x z x tα γ α γ δ δ   Ω = = + − = + − >      ( một nửa mặt phẳng 2 – chiều). 8. Nếu 0, 0, 0γ δ σ≠ ≠ ≠ thì ( ), , , , : , 1 , , 0F t tF x y z t s x z x t t λ α γ α γ σ δ δ δ      Ω = = + − = + − = >           ( một mặt trụ 2 – chiều). 3.5.2.4. Mệnh đề 4 Nếu ( )5,3,3G G λ= thì bức tranh K – quỹ đạo của G được mô tả như sau: 1. Nếu 0γ δ σ= = = thì ( ){ }, ,0,0,0F F α βΩ = ( quỹ đạo 0 – chiều). 2. Nếu 0, 0γ δ σ= = ≠ thì ( ){ }, ,0,0, : 0F F y s sα σΩ = > ( Nửa mặt phẳng 2 – chiều). 3. Nếu 0, 0, 0γ δ σ= ≠ = thì ( ){ }, ,0, ,0 : 0F F y t tα δΩ = > ( Nửa mặt phẳng 2 – chiều). 4. Nếu 0, 0, 0γ δ σ= ≠ ≠ thì ( ){ }, ,0, , : , 0F F y t s s t tα δ σ δΩ = = > ( một mặt trụ 2 – chiều) 5. Nếu 0, 0γ δ σ≠ = = thì ( ){ }, , ,0,0 : , 0F F x y z x z zλ λα γ γΩ = = + − > (một nửa mặt phẳng 2 – chiều). 6. Nếu 0, 0, 0γ δ σ≠ = ≠ thì ( ), , ,0, : , 1 , 0F sF x y z s x z x s λ λ λα γ λ λα γ σ σ     Ω = = + − = + − >         ( một mặt trụ 2 – chiều). 7. Nếu 0, 0, 0γ δ σ≠ ≠ = thì ( ), , , ,0 : , , 0F tF x y z t x z z t λ λ λα γ γ δ δ    Ω = = + − = >       ( một mặt trụ 2 – chiều). 8. Nếu 0, 0, 0γ δ σ≠ ≠ ≠ thì ( ), , , , : , 1 , , 0F tF x y z t s x z x t s t λ λ λα γ λ λα γ σ δ δ δ     Ω = = + − = + − = >         ( một mặt trụ 2 – chiều). 3.5.2.5. Mệnh đề 5 Nếu 5,3,4G G= thì bức tranh K – quỹ đạo của G được mô tả như sau: 1. Nếu 0γ δ σ= = = thì ( ){ }, ,0,0,0F F α βΩ = ( quỹ đạo 0 – chiều). 2. Nếu 0, 0γ δ σ= = ≠ thì ( ){ }, ,0,0, : 0F F y s sα σΩ = > ( Nửa mặt phẳng 2 – chiều). 3. Nếu 0, 0, 0γ δ σ= ≠ = thì ( ){ }, ,0, ,0 : 0F F y t tα δΩ = > ( Nửa mặt phẳng 2 – chiều). 4. Nếu 0, 0, 0γ δ σ= ≠ ≠ thì ( ){ }, ,0, , : , 0F F y t s s t tα δ σ δΩ = = > ( Nửa mặt phẳng 2 – chiều) 5. Nếu 0, 0γ δ σ≠ = = thì ( ){ }, , ,0,0 : , 0F F x y z x z zα γ γΩ = = + − > ( Nửa mặt phẳng 2 – chiều). 6. Nếu 0, 0, 0γ δ σ≠ = ≠ thì ( ), , ,0, : , 1 , 0F sF x y z s x z x sα γ α γ σ σ   Ω = = + − = + − >      ( Nửa mặt phẳng 2 – chiều). 7. Nếu 0, 0, 0γ δ σ≠ ≠ = thì ( ), , , ,0 : , , 0F tF x y z t x z z tα γ γ δ δ  Ω = = + − = >    ( Nửa mặt phẳng 2 – chiều). 8. Nếu 0, 0, 0γ δ σ≠ ≠ ≠ thì ( ), , , , : , 1 , , 0F sF x y z t s x z x t s tα γ α γ σ δ δ σ   Ω = = + − = + − = >      ( Nửa mặt phẳng 2 – chiều). 3.5.2.6. Mệnh đề 6 Nếu ( )5,3,5G G λ= thì bức tranh K – quỹ đạo của G được mô tả như sau: 1. Nếu 0γ δ σ= = = thì ( ){ }, ,0,0,0F F α βΩ = ( quỹ đạo 0 – chiều). 2. Nếu 0, 0γ δ σ= = ≠ thì ( ){ }, ,0,0, : 0F F y s sα σΩ = > ( Nửa mặt phẳng 2 – chiều). 3. Nếu 0, 0, 0γ δ σ= ≠ = thì ( ), ,0, , : ln , 0F tF y t s s t tα δ δ  Ω = = >    ( Một mặt trụ 2 – chiều). 4. Nếu 0, 0, 0γ δ σ= ≠ ≠ thì ( ), ,0, , : ln , 0F t tF y t s s t tα σ δ δ δ  Ω = = + >    ( một mặt trụ 2 – chiều) 5. Nếu 0, 0γ δ σ≠ = = thì ( ){ }, , ,0,0 : , 0F F x y z x z zλ λα γ γΩ = = + − > ( Nửa mặt phẳng 2 – chiều). 6. Nếu 0, 0, 0γ δ σ≠ = ≠ thì ( ), , ,0, : , 1 , 0F sF x y z s x z x s λ λ λα γ λ λα γ σ σ     Ω = = + − = + − >         ( một mặt trụ 2 – chiều). 7. Nếu 0, 0, 0γ δ σ≠ ≠ = thì ( ), , , ,0 : , , ln , 0F t tF x y z t x z z s t t λ λ λα γ γ δ δ δ    Ω = = + − = = >       ( Một mặt trụ 2 – chiều). 8. Nếu 0, 0, 0γ δ σ≠ ≠ ≠ thì ( ), , , , : , 1 , ln , 0F t t tF x y z t s x z y s t t λ λ λα γ λ λα γ σ δ δ δ δ     Ω = = + − = + − = + >         ( một mặt trụ 2 – chiều). 3.5.2.7. Mệnh đề 7 Nếu ( )5,3,6G G λ= thì bức tranh K – quỹ đạo của G được mô tả như sau: 1. Nếu 0γ δ σ= = = thì ( ){ }, ,0,0,0F F α βΩ = ( quỹ đạo 0 – chiều). 2. Nếu 0, 0γ δ σ= = ≠ thì ( ){ }, ,0,0, : 0F F y s sα σΩ = > ( Nửa mặt phẳng 2 – chiều). 3. Nếu 0, 0, 0γ δ σ= ≠ = thì ( ){ }, ,0, ,0 : 0F F y t tα δΩ = > ( Nửa mặt phẳng 2 – chiều). 4. Nếu 0, 0, 0γ δ σ= ≠ ≠ thì ( ), ,0, , : , 0F tF y t s s t λ α σ δ δ    Ω = = >       ( một mặt trụ 2 – chiều) 5. Nếu 0, 0γ δ σ≠ = = thì ( ), , , ,0 : , ln , 0F zF x y z t x z t z zα γ γ γ   Ω = = + − = >    (Một mặt trụ 2 – chiều). 6. Nếu 0, 0, 0γ δ σ≠ = ≠ thì ( ), , , , : , ln , , 0F z zF x y z t s x z t z s s λ α γ σ σ γ γ    Ω = = + − = = >       ( một mặt trụ 2 – chiều). 7. Nếu 0, 0, 0γ δ σ≠ ≠ = thì ( ), , , ,0 : , ln , 0F z zF x y z t x z t z zα γ δ γ γ γ   Ω = = + − = + >    ( một mặt trụ 2 – chiều). 8. Nếu 0, 0, 0γ δ σ≠ ≠ ≠ thì ( ), , , , : , ln , , 0F z z zF x y z t s x z t z s z λ α γ δ σ γ γ γ γ    Ω = = + − = + = >       ( một mặt trụ 2 – chiều). 3.5.2.8. Mệnh đề 8 Nếu 5,3,7G G= thì bức tranh K – quỹ đạo của G được mô tả như sau: 1. Nếu 0γ δ σ= = = thì ( ){ }, ,0,0,0F F α βΩ = ( quỹ đạo 0 – chiều). 2. Nếu 0, 0γ δ σ= = ≠ thì ( ){ }, ,0,0, : 0F F y s sα σΩ = > ( Nửa mặt phẳng 2 – chiều). 3. Nếu 0, 0, 0γ δ σ= ≠ = thì ( ), ,0, , : ln , 0F tF y t s s t tα δ δ  Ω = = >    ( Một mặt trụ 2 – chiều). 4. Nếu 0, 0, 0γ δ σ= ≠ ≠ thì ( ), ,0, , : ln , 0F t tF y t s s t tα σ δ δ δ  Ω = = + >    ( một mặt trụ 2 – chiều) 5. Nếu 0, 0γ δ σ≠ = = thì ( ) 2, , , , : , ln , ln , 0 2F z z zF x y z t s x z t z s zα γ γ γ γ   Ω = = + − = = >    (Một mặt trụ 2 – chiều). 6. Nếu 0, 0, 0γ δ σ≠ = ≠ thì ( ) 2, , , , : , ln , ln , 0 2F z z z zF x y z t s x z t z s zα γ σ γ γ γ γ   Ω = = + − = = + >    ( một mặt trụ 2 – chiều). 7. Nếu 0, 0, 0γ δ σ≠ ≠ = thì ( ) 2, , , , : , ln , ln ln , 0 2F z z z z zF x y z t s x z t z s z zδα γ δ γ γ γ γ γ γ   Ω = = + − = + = + >    (một mặt trụ 2 – chiều). 8. Nếu 0, 0, 0γ δ σ≠ ≠ ≠ thì ( ) 2, , , , : , ln , ln ln , 0 2F z z z z z zF x y z t s x z t z s z zδα γ δ σ γ γ γ γ γ γ γ   Ω = = + − = + = + + >    ( một mặt trụ 2 – chiều). 3.5.2.9. Mệnh đề 9 Nếu ( )5,3,8 ,G G λ ϕ= thì bức tranh K – quỹ đạo của G được mô tả như sau: 1. Nếu 0γ δ σ= = = thì ( ){ }, ,0,0,0F F α βΩ = ( quỹ đạo 0 – chiều). 2. Nếu 0, 0γ δ σ= = ≠ thì ( ){ }, ,0,0, : 0F F y s sα σΩ = > ( Nửa mặt phẳng 2 – chiều). 3. Nếu 2 2 0γ δ+ ≠ thì ( ) ( ){ }, , , , , ,i ibe be bF F x y z it s F x y e e eϕ ϕ λγ δ σ−Ω = + = + ( Một mặt trụ 2 – chiều). 3.5.2.10. Mệnh đề 10 Nếu ( )1 2 35,4,1 , ,G G λ λ λ= thì bức tranh K – quỹ đạo FΩ chứa F của G chỉ hoặc không chiều hoặc hai chiều và được mô tả như sau 1. Nếu 0β γ δ σ= = = = thì ( ){ },0,0,0,0F F αΩ = ( không chiều) Các trường hợp tiếp theo sau đây quỹ đạo đều là các nửa mặt phẳng 2 chiều 2. Nếu 0, 0β γ δ σ= = = ≠ thì ( ){ },0,0,0, : 0F F x s sσΩ = > . 3. Nếu 0, 0, 0β γ δ σ= = ≠ = thì ( ){ },0,0, ,0 : 0F F x t tδΩ = > . 4. Nếu 0, 0, 0β γ δ σ= ≠ = = thì ( ){ },0, ,0,0 : 0F F x z zγΩ = > . 5. Nếu 0, 0β γ δ σ≠ = = = thì ( ){ }, ,0,0,0 : 0F F x y yβΩ = > . Các trường hợp còn lại dưới đây quỹ đạo đều là các mặt trụ 2 chiều. 6. Nếu 0, 0, 0β γ δ σ= = ≠ ≠ thì ( ) 3 ,0,0, , : ; 0F sF x t s t s λ δ σ σ    Ω = = >       . 7. Nếu 0, 0, 0, 0β γ δ σ= ≠ = ≠ thì ( ) 2 ,0, ,0, : ; 0F sF x z s z s λ γ σ σ    Ω = = >       . 8. Nếu 0, 0, 0β γ δ σ≠ = = ≠ thì ( ) 1 , ,0,0, : ; 0F sF x y s y s λ β σ σ    Ω = = >       . 9. Nếu 0, 0, 0, 0β γ δ σ= ≠ ≠ = thì ( ) 2 3,0, , ,0 : ; 0F tF x z t z t λ λ γ δ δ     Ω = = >       . 10. Nếu 0, 0, 0, 0β γ δ σ≠ = ≠ = thì ( ) 1 3, ,0, ,0 : ; 0F tF x y t y t λ λ β δ δ     Ω = = >       . 11. Nếu 0, 0, 0β γ δ σ≠ ≠ = = thì ( ) 1 2 , , ,0,0 : ; 0F zF x y z y z λ λ β γ γ     Ω = = >       . 12. Nếu 0, 0, 0, 0β γ δ σ= ≠ ≠ ≠ thì ( ) 1 3 ,0, , , : ; ; 0F s sF x z t s z t s λ λ γ δ σ σ σ      Ω = = = >           . 13. Nếu 0, 0, 0, 0β γ δ σ≠ = ≠ ≠ thì ( ) 1 3 , ,0, , : ; ; 0F s sF x y t s y t s λ λ β δ σ σ σ      Ω = = = >           . 14. Nếu 0, 0, 0, 0β γ δ σ≠ ≠ = ≠ thì ( ) 1 2 , , ,0, : ; ; 0F s sF x y z s y z s λ λ β γ σ σ σ      Ω = = = >           . 15. Nếu 0, 0, 0, 0β γ δ σ≠ ≠ ≠ = thì ( ) 1 2 3 3, , , ,0 : ; ; 0F t tF x y z t y z t λ λ λ λ β γ δ δ δ       Ω = = = >           . 16. Nếu 0, 0, 0, 0β γ δ σ≠ ≠ ≠ ≠ thì ( ) 1 3 2 , , , , : ; , ; 0F s s sF x y z t s y t z s λ λ λ β δ γ σ σ σ σ        Ω = = = = >               . 3.5.2.11. Mệnh đề 11 Giả sử G là một trong các nhóm Lie ( ) ( ) ( )1 2 5,4,55,4,2 , 5,4,3 5,4,4, , , ,G G G Gλ λ λ λ ( ) ( ) ( ) ( ) { }1 2 5,4,10 1 25,4,6 , 5,4,7 5,4,8 5,4,9, , , , ; , , \ 0,1G G G G Gλ λ λ λ λ λ λ λ ∈ . Khi đó ta có 1. Nếu 0β γ δ σ= = = = thì { }F FΩ = , ( quỹ đạo 0 – chiều). 2. Nếu 2 2 2 2 0β γ δ σ+ + + ≠ thì quỹ đạo có 2 – chiều và được cho bởi ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ){ } 1 2 1 2 1 2 5,4,2 , 5,4,3 5,4,4 5,4,5 5,4,6 , , , , ; , ; , , , , ; , ; , , , , ; , ; , , , , ; , ; , , , , ; , a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a F x e e e e x a khi G G x e e e e x a khi G G x e e e e x a khi G G x e e e e x a khi G G x e e e e e x a khi G G λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ β γ δ σ β γ δ σ β γ δ σ β γ δ σ β γ δ δ σ ∈ = ∈ = ∈ = ∈ = + ∈ = Ω =      ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ) 1 2, 5,4,7 5,4,8 2 5,4,9 2 3 , , , , ; , , , , , ; , , , , , ; , 2 , , , , 2 6 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a x e e e ae e x a khi G G x e ae e e ae e x a khi G G a ex e e ae e ae e x a khi G G a ex e ae e ae e a e λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ β γ δ δ σ β β γ δ δ σ β γ γ δ γ δ σ β β γ β γ δ β + ∈ = + + ∈ =    + + + ∈ =       + + +    5,4,102 ; , 2 a a a x a khi G G a e ae eγ δ σ                               ∈ =    + + +       3.5.2.12. Mệnh đề 12 Xét G là nhóm Lie thuộc tập ( ) ( ) ( ){ 1 2 *1 25,4,11 , , 5,4,12 , 5,4,13 ,, , , , ,G G Gλ λ ϕ λ ϕ λ ϕ λ λ ∈ ( )}, 0,ϕ π∈ . Bằng cách đồng nhất đại số Lie của chúng với 2× ×   , xem ( ) ( )*1 2, , , , , , ; 0,F iα β γ δ σ λ λ λ ϕ π≡ + ∈ ∈ , ta được 1. Nếu 0iβ γ δ σ+ = = = thì { }F FΩ = ( quỹ đạo 0 – chiều). 2. Nếu 2 2 2 0iβ γ δ σ+ + + ≠ thì quỹ đạo có 2 – chiều và được cho bởi ( )( ){ } ( ) ( )( ){ } ( ) ( )( ){ } ( ) 1 2 1 25,4,11 , , 5,4,12 , 5,4,13 , , , , ; , , , , ; , , , , ; , i i i a aae ae a a F ae a a a x i e e e x a khi G G x i e e e x a khi G G x i e e ae e x a khi G G ϕ ϕ ϕ λ λ λ λ ϕ λ λ λ ϕ λ λ λ λ ϕ β γ δ σ β γ δ σ β γ δ δ σ − − −  + ∈ =   Ω = + ∈ =   + + ∈ =    3.5.2.13. Mệnh đề 13 Cho G là nhóm Lie ( ) ( ) * 5,4,14 , , , , , 0; 0,G λ µ ϕ λ µ µ ϕ π∈ > ∈ . Bằng cách đồng nhất đại số Lie của nó với × ×   , xem F là điểm ( ), ,i iα β γ δ σ+ + , ta được 1. Nếu 0i iβ γ δ σ+ = + = thì { }F FΩ = ( quỹ đạo 0 – chiều). 2. Nếu 2 2 0i iβ γ δ σ+ + + ≠ thì ( ) ( ) ( )( ){ }, , , ,i a iaeF x i e i e x aϕ λ µβ γ δ σ− −Ω = + + ∈ ( quỹ đạo 2 – chiều). 3.6. LỚP CÁC MDn – PHÂN LÁ ( n = 4, 5 ) Các MDn – nhóm ( n = 4, 5) ( không giao hoán) về phương diện phân tầng các quỹ đạo là khá đơn giản. Theo số chiều, mỗi nhóm chỉ gồm hai tầng các K – quỹ đạo: tầng các quỹ đạo 0 – chiều và tầng các quỹ đạo chiều cực đại. Xét riêng tầng các quỹ đạo chiều cực đại của một nhóm liên thông ta thấy: các quỹ đạo là các đa tạp liên thông, đôi một không giao nhau và đều có cùng số chiều. Điều này gợi cho ta nghĩ đến một phân lá. Các lá tạo thành được gọi là MDn – phân lá ( n = 4, 5) . Cụ thể chúng ta có khẳng định sau đây: 3.6.1. Định lý 3 ( Xem [1]) Giả sử G là một MD4 – nhóm đơn liên bất khả phân, G là họ các K – quỹ đạo chiều cực đại của nó và { }/G GV = ∪ Ω Ω∈ . Khi đó ( ),G GV  là một phân lá đo được. Chúng ta sẽ gọi phân lá này là MD4 – phân lá liên kết với G . 3.6.2. Chú ý Từ định lý 2 mô tả các K – quỹ đạo của các MD4 – nhóm đơn liên bất khả phân chúng ta thấy rằng tập hợp các K – quỹ đạo 0 – chiều của mỗi MD4 – nhóm đơn liên bất khả phân G đều đóng trong không gian đối ngẫu * của đại số Lie  của nhóm . Bởi vậy phần bù GV của nó là đa tạp con mở trong * . Hơn nữa, cũng từ định lý 2 dễ thấy rằng đối với tất cả các G có dạng ( )4, ,... 1 4nG n≤ ≤ các GV đều vi phôi. Do đó, để cho tiện chúng ta sẽ ký hiệu ( )4, ,... 4, ,...,n nG GV  bởi ( ),..., ,1 4n nV n≤ ≤ . Chẳng hạn ( ) ( )( )4,2,1 4,2,1,G GV λ λ sẽ được ký hiệu là ( )( )( )*2 2,1,V λ λ ∈ . Tương tự cho những trường hợp còn lại. 3.6.3. Chứng minh định lý 3 Để chứng tỏ ( ),G GV  là phân lá đo được, ta sẽ tiến hành theo hai bước sau: Bước 1: Chỉ ra phân bố khả tích ( mà cũng ký hiệu G ) trên GV sao cho mỗi K – quỹ đạo là một đa tạp liên thông tối đại của nó. Bước 2: Trang bị cho ( ),G GV  một độ đo hoành. Đối với bước 1, ta sẽ trực tiếp chỉ ra hệ vi phân GS gồm các trường vectơ trên GV sinh ra phân bố G . Tương tự như đối với ký hiệu của G , nếu ( )4, ,... 1 4nG G n= ≤ ≤ thì GS cũng sẽ được ký hiệu là ,...nS . Chẳng hạn ( )4,3,1 ,1 2GS λ λ sẽ được ký hiệu là ( ) ( )1 2 * 1 23,1 , ,S λ λ λ λ ∈ . Sau đây ta sẽ đưa ra cụ thể các hệ GS đối với từng MD4 – nhóm đơn liên bất khả phân G . 1. ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1,1 2 , , , ,0,0,0 : , , , 0,0,0, x y z t z S x y z t z =  = − X X ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1,2 2 , , , 0,0, ,0 : , , , 0,0,0, x y z t z S x y z t z =  = − X X trên đa tạp 2 *1V ≅ × ×   2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 * 22,1 3 , , , 0, , ,0 , , , ,0,0,0: , , , ,0,0,0 x y z t y z x y z t yS x y z t z λ λ λλ  =  = −∈   = −  X X X ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 22,2 3 , , , 0, , ,0 , , , ,0,0,0: , , , ( ),0,0,0 x y z t y y z x y z t yS x y z t y z  = +  = −  = − + X X X trên đa tạp ( )*22V ≅ × ×   ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2,3 2 3 , , 0, ,0 0, : , , cos sin ,0,0 , , sin cos ,0,0 ix y iz t y iz e S x y iz t y z x y iz t y z ϕ ϕ ϕ π ϕ ϕ ϕ ϕ  + = + ∈ + = − +  + = − − X X X trên đa tạp *2V ≅ × ×   . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2,4 3 4 , , , 0,0,0,1 , , , 1,0,0,0 : , , , 0, , ,0 , , , 0, , ,0 x y z t x y z t S x y z t y z x y z t z y  =  =  =  = − X X X X trên đa tạp ( )*22V ≅ × ×   . 3. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 1* 1 23,1 , 3 2 4 , , , , , ,0 , , , 0,0,0, , : , , , 0,0,0, , , , 0,0,0, x y z t x y z x y z t x S x y z t y x y z t z λ λ λ λ λ λ λ λ  =  = −∈  = −  = −  X X X X ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2* 3,2 3 4 , , , , , ,0 , , , 0,0,0, : , , , 0,0,0, , , , 0,0,0, x y z t x x y z x y z t x S x y z t x y x y z t z λ λ λ λ λ λ  = +  = −∈  = − −  = −  X X X X ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3,3 3 4 , , , , , ,0 , , , 0,0,0, : , , , 0,0,0, , , , 0,0,0, x y z t x x y y z x y z t x S x y z t x y x y z t y z  = + +  = −  = − −  = − − X X X X trên đa tạp ( )*33V ≅ ×  ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2* 3,4 , 3 4 , , , , ,0 , , , 0,0, cos sin , 0, : , , , 0,0, sin cos , , , 0,0, ix y z t x iy e z x y z t x y S x y z t x y x y z t z ϕ λ ϕ λ ϕ ϕ λ ϕ π ϕ ϕ λ  = +   = − + ∈ ∈  = − −  = −  X X X X trên đa tạp ( )*3V ≅ × ×   . 4. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 24,1 3 , , , , ,0,0 , , , 0, ,0,: , , , ,0,0, x y z t y x x y z t z yS x y z t z x  = −  =  = − − X X X ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 22,4 3 , , , , ,0,0 , , , 0, ,0,: , , , ,0,0, x y z t x y x y z t z xS x y z t z y  = −  =  = − − X X X trên đa tạp ( )*34V ≅ ×  . Dễ dàng kiểm chứng được ngay rằng các hệ GS liệt kê ở trên đều có hạng hai, ngoại trừ hệ 2,4S có hạng 4. Hơn nữa mỗi K – quỹ đạo Ω từ G luôn là đa tạp con tích phân liên thông tối đại của phân bố sinh bởi hệ GS tương ứng. Bởi vậy ( ),G GV  là phân lá đối với mỗi MD4 – nhóm đơn liên bất khả phân G . Để thực hiện bước 2, trước hết ta chứng tỏ G định hướng được bằng cách chỉ ra đa trường vectơ ( )dim GG GC∞∈ ∧X   không triệt tiêu khắp nơi đối với mỗi G . Sau đó ta sẽ chỉ ra rằng độ đo Lebegues µ trên GV bất biến đối với GX . Lúc đó, theo mệnh đề 2.2.2, lớp tương đương ( theo quan hệ tỉ lệ nghịch hàm số) của cặp ( ),G µX cho ta một độ đo hoành đối với phân lá ( ),G GV  . Bởi vậy ( ),G GV  là phân lá đo được. Đầu tiên, chúng ta đưa ra GX cho mỗi G . Một lần nữa, để đơn giản 4, ,...nGX cũng được ký hiệu bởi ( ),... 1 4n n≤ ≤X . Chẳng hạn ( )3,4 ,λ ϕX chỉ ( ) ( )( )4,3,4 , * , 0,G λ ϕ λ ϕ π∈ ∈X . 1. 1,1 1 2= ∧X X X 1,2 1 2= ∧X X X 2. *2,1( ) 1 2 1 3,λ λ∧= + ∧ ∈X X X X X 2,2 1 2 1 3= ∧ + ∧X X X X X . ( )2,3( ) 1 2 1 3, 0,ϕ ϕ π= ∧ + ∧ ∈X X X X X . 2,4 1 2 3 4= ∧ ∧ ∧X X X X X . 3. 1 2 * 3,1( , ) 1 2 1 3 1 4 1 2; ,λ λ λ λ= ∧ + ∧ + ∧ ∈X X X X X X X *3,2( ) 1 2 1 3 1 4;λ λ= ∧ + ∧ + ∧ ∈X X X X X X X 3,3 1 2 1 3 1 4= ∧ + ∧ + ∧X X X X X X X . ( )*3,4( , ) 1 2 1 3 1 4; , 0,λ ϕ λ ϕ π= ∧ + ∧ + ∧ ∈ ∈X X X X X X X . 4. 4,1 1 2 1 3 2 3= ∧ + ∧ + ∧X X X X X X X . 4,2 1 2 1 3 2 3= ∧ + ∧ + ∧X X X X X X X . Việc kiểm chứng ( )dim GG GC∞∈ ∧X   và khác 0 khắp nơi là hiển nhiên. Tính bất biến đối với GX của độ đo Lebegues µ rõ ràng tương đương với tính bất biến của nó đối với K – biểu diễn của G trong * . Phép tính toán đơn giản cho ta Jacobien UJ của phép biến đổi K ( expU) trong *,U ∈  , luôn đồng nhất bằng 1. Bởi vậy µ là K – bất biến. 3.6.4. Định lý 4 Giả sử G là một MD5 – nhóm liên thông đơn liên bất kỳ trong các nhóm ( ) ( ) { }1 2 1 25,3,1 , 5,3,2, , , , \ 0,1 ;G Gλ λ λ λ λ λ ∈ ( ) 5,3,45,3,3 , ,G Gλ ( ) { } ( )5,3,5 5,3,6, \ 0 ; ,G Gλ λλ ∈ { } ( ) { }5,3,7 5,3,8 ,\ 0,1 ; , , \ 0 ,G G λ ϕλ λ∈ ∈  ( )0, ;ϕ π∈ ( ) ( ) ( )1 21 2 3 5,4,2 , 5,4,35,4,1 , , , , ,G G Gλ λ λλ λ λ ( )5,4,4 ,G λ ( )1 25,4,5 5,4,6 ,, ,G G λ λ ( ) ( )5,4,7 5,4,8, ,G Gλ λ ( ) { }5,4,10 1 2 35,4,9 , , , , , \ 0,1 ;G Gλ λ λ λ λ ∈ ( )1 25,4,11 , , ,G λ λ ϕ ( )5,4,12 , ,G λ ϕ ( ) { }1 25,4,13 , , , , \ 0 ,G λ ϕ λ λ λ ∈ ( ) ( )5,4,14 , ,0, ; , , , 0,G λ µ ϕϕ π λ µ µ∈ ∈ > ( )0,ϕ π∈ ; G là họ các K- quỹ đạo chiều cực đại của nó và { }: /G GV = ∪ Ω Ω∈ . Khi đó ( ),G GV  lập thành một phân lá đo được. Chúng ta sẽ gọi phân lá này là MD5 – phân lá liên kết với G . 3.7. PHÂN LOẠI TÔPÔ CÁC MD4 – PHÂN LÁ Một điều đáng lưu ý là trong 12 họ các MD4 – phân lá không phải tất cả chúng đều khác kiểu tôpô. Thực ra chúng chỉ gồm 9 kiểu tôpô phân lá. Cụ thể là: 3.7.1. Định lý 5 ( phân loại tôpô các MD4 – phân lá).(xem [1]) (i) Có đúng 9 kiểu tôpô của các MD4 – phân lá: ( ){ } ( ){ } ( )( ) ( ){ } ( )( ) ( ){ } ( ){ }*1 1,1 1 1,2 2 2 2,2 2 2 2,42,1 2,3, , , , , , , , , , , 0, , ,V V V V V Vλ ϕλ ϕ π∈ ∈      ( )( ) ( )( ) ( ){ } ( )( ) ( ){ } ( ){ }1 2 * *3 3 3 3,3 1 2 3 4 4,13,1 , 3,2 3,4 ,, , , , , ; , , , , , , 0, , , ,V V V V Vλ λ λ λ ϕλ λ λ λ ϕ π∈ ∈ ∈      ( ){ }4 4,2, .V  Chúng ta sẽ ký hiệu 9 kiểu này lần lượt bởi: 1 2 3 9, , ,...,    . (ii) Các MD4 – phân lá kiểu 1 2 3 4 5 6, , , , ,      đều được cho bởi các phân thớ (tầm thường với thớ liên thông) tương ứng trên các đáy { }* 2 2 1 2, , , , , ;S pt S+× ∪ × ×       ở đó { }pt là không gian một điểm. (iii) Các MD4 – phân lá kiểu 7 8 9, ,   đều được cho bởi các tác động (liên tục) thích hợp của nhóm Lie cộng, giao hoán 2 tương ứng lên các đa tạp phân lá ( ) ( )** 33 4,V V≅ × × ≅ ×     . 3.7.2. Chứng minh định lý 5 (i) Nhắc lại rằng hai phân lá là tương đương tôpô nếu có một đồng phôi giữa các đa tạp phân lá mà chuyển lá thành lá. Xét các ánh xạ ( ) 2,2 2 22,1 , :h h V Vλ → cho bởi các công thức sau: ( ) ( ) ( )( )12,1 , , , , . , ,h x y z t x sign y y z tλλ = ( ) ( ) ( )2,2 , , ln , , 0 , , , ,0, , , 0 x y z y y t y h x y z t x z t y  − ≠=  = ( ) ( )*2 *2, , , ,x y z t V λ∈ ≅ × × ∈    . Rõ ràng các ánh xạ ( ) ( )*2,22,1 ,h hλ λ ∈ đều là các đồng phôi. Hơn nữa dễ dàng kiểm tra được ( ) 2,22,1 ,h hλ tương ứng chuyển mỗi lá của ( ) 2,22,1 ,λ  thành lá của ( )*2,1(1) λ∈ . Bởi vậy các phân lá ( )( ) ( )2 2 2,22,1, , ,V Vλ  cùng kiểu tôpô với ( )2 2,1(1),V  ; tức là cùng kiểu tôpô với nhau. Tương tự, có thể thấy các phân lá ( )( ) ( )( )2 2,3, , 0,V ϕ ϕ π∈ cùng kiểu với phân lá 2 2,3 2 ,V π              và do đó cùng kiểu với nhau nhờ đồng phôi chuyển lá thành lá sau đây: ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 22,3 ln 2,3 : , , , , , ir i iei h V V h x re t x e t ϕ ϕ θθ ϕ −+ → = Với ( ) ( )*2, , , 0,ix re t Vθ ϕ π∈ ≅ × × ∈   Sự tương đương tôpô của các phân lá ( )( ) ( ) ( )1 2 *3 3 3,2( ) 3 3,3 1 23,1 ,, , , , , , , ,V V Vλλ λ λ λ λ∈   , hoặc của các phân lá ( )( ) ( )*3 3,4 ,, , , 0,V λ ϕ λ ϕ π∈ ∈ cũng nhận được một cách tương tự nhờ các đồng phôi sau đây của các đa tạp phân lá tương ứng: ( ) ( )1 2 3,3 3 33,1 , 3,2, , :h h h V Vλ λ λ → ( ) ( ) ( ) ( )( )1 21 2 1 13,1 , , , , . , . , ,h x y z t sign x x sign y y z tλ λλ λ = ( ) ( )  ( )3,2 , , , , , ,h x y z t x y z tλ =   với:  ( ) 1 .x sign x x λ=  ( ) 1 1 1 1ln . ln , 0 . , 0 sign y x x y x x x y sign y y x λ λ λ λ    − − ≠  =    = z z= t t= ( )  ( )3,3 , , , , , ,h x y z t x y z t=   với: x x=  ln , 0 , 0 y x x x y y x  − ≠=  = ( )1 1.ln ln ln ln , 0 & .ln 2 2 1 .ln , 0 & .ln 2 , 0 z y x y x x y x x x y x x z z y x x y x x z x  − − − − ≠ ≠  = − ≠ =  =   t t= ở đó ( ) ( )*33, , ,x y z t V∈ ≅ ×  ; hoặc ( ) 3 33,4 , :h V Vλ ϕ → ( ) ( ) 1 (ln ) 3,4 , , , , ( ). , ii r i ieh re z t e sign z z t ϕθ θ λ λ ϕ −+ =     , ở đó: ( ) ( ) ( )* *3, , ; , 0,ire z t Vθ λ ϕ π∈ ≅ × × ∈ ∈    . Sự không tương đương tôpô của các phân lá kiểu 2 2 9, ,...,   là rõ ràng. Do đó phần đầu của định lý được chứng minh. (ii) Từ định lý 2 về bức tranh các K – quỹ đạo và minh họa hình học của chúng ở phần trên dễ thấy ngay các phân lá kiểu 1 2,  và 5 là các phân thớ tầm thường tương ứng trên các đáy * 2 2,× ∪    và { }pt . Để ý rằng các phân lá ( )2 2,1(1) 2 2,3 2 , , ,V V π               và ( )3 3,1(1,1),V  tương ứng có kiểu 3 4,  và 6 . Xét các ánh xạ sau đây: ( )*2 1 12,1(1) 2:p V S S+≅ × × ≅ × × × → ×       , 12,1(1) ( , , , ) ( , ); ( , , , )p x s u v x s x s u v S += ∈ × × ×   . ( ) * 22,3 2 :p Vπ +≅ × × → ×     , ( ) ( ) ( ) * 2,3 2 , , ( , ); , ,i ip x re t r x x re tθ θπ = ∈ × ×   . ( )*3 2 23,1(1,1) 3:p V S S+≅ × ≅ × × →    23,1(1,1) ( , , ) ; ( , , )p s u v s s u v S += ∈ × ×  . Rõ ràng các ánh xạ trên đều là các phép ngập. Hơn nữa các phân thớ tầm thường ( ) 1 2 2,1(1) 2 2 3,1(1,1) 32,3 2 : , : , :p V S p V p V Sπ +→ × → × →   tương ứng xác định các phân lá ( ) ( ) ( )2 2,1(1) 2 3 3,1(1,1)2,3 2, , , , ,V V Vπ          . Bởi vậy các phân lá kiểu 3 4 6, ,   chính là các phân thớ tương ứng trên các đáy 1 2, ,S S+× ×   . Như thế phần (ii) của định lý được khẳng định. (iii) Sau cùng, xét các tác động (liên tục) 3,4 4,1 4,2, ,ρ ρ ρ của nhóm Lie (cộng) giao hoán 2 lên các đa tạp phân lá 3 4V V≅ như sau: 2 3,4 3 3: V Vρ × → ( ) ( )( ) ( )( )3,4 , , , , , ,is sr s x iy z t x iy e ze t rρ + = + + Với ( ) ( ) ( )*2 3, , , ,r s x iy z t V∈ + ∈ ≅ × ×    . 2 4,1 4 4: V Vρ × → ( ) ( )( )  ( )4,1 , , , , , , , ,r s x y z t x y z tρ =   , trong đó:   ( ) ( ) 2 cos sin , sin cos , cos sin x x r y r sz y x r y r sz z z t t s x y r s y x r s z = − − = + − = = − + + − +   Với ( ) ( ) ( )*2 34, , , , ,r s x y z t V∈ ∈ ≅ ×   . 2 4,2 4 4: V Vρ × → ( ) ( )( )  ( )4,2 , , , , , , , ,r s x y z t x y z tρ =   , trong đó:  2 2 2. , s yzx e x r x y z −  = + + +   2 2 2. , s xzy e y r x y z   = + + +  ( ) 2 2 2 22 2 2 2 2 2 . . z z x y xyzt t r r x y z x y z = + = + + + + + +   Với ( ) ( ) ( )*2 34, , , , ,r s x y z t V∈ ∈ ≅ ×   . Dễ kiểm chứng được rằng các tác động 3,4 4,1 4,2, ,ρ ρ ρ nêu trên lần lượt sinh ra các phân lá ( ) ( ) ( )3 4 4,1 4 4,23,4 1, 2, , , , ,V V Vπ          . Bởi vậy các phân lá kiểu 7 8 9, ,   cũng được cho tương ứng bởi 3,4 4,1 4,2, ,ρ ρ ρ . Định lý 4 được chứng minh hoàn toàn. 3.7.3. Nhận xét Như vậy, mặc dù có 12 họ các MD4 – phân lá, ta chỉ có đúng 9 kiểu tôpô MD4 – phân lá 1 2 9, ,...,   . Hơn thế nữa 6 kiểu đầu trong chúng là các phân thớ với thớ liên thông. Chi tiết hơn có thể thấy rằng các phân lá kiểu 1 2 3 6, , ,    là phân thớ với thớ đơn liên ( vi phôi với 2 ). Còn các phân lá kiểu 4 5,  là phân thớ với thớ liên thông nhưng không đơn liên; trong đó thớ của 5 chính là ( ) *2× ×   và thớ của 4 vi phôi với 1S× .Ba kiểu phân thớ còn lại đều được cho bởi tác động (liên tục) của 2 lên các đa tạp phân lá. THAY LỜI KẾT LUẬN Qua nội dung của bản luận văn, ta cảm nhận được tôpô phân lá là một ngành khá mới mẻ, có tính hấp dẫn, thú vị và nhiều ứng dụng, đặc biệt trong cơ học và vật lý. Nhưng để tìm hiểu và vận dụng nó là một vấn đề không đơn giản.Trong suốt nội dung đã được trình bày, chúng tôi đã cố gắng nghiên cứu tôpô phân lá thông qua việc phát biểu các định nghĩa về phân lá, so sánh các định nghĩa với nhau và đưa ra các ví dụ minh họa. Đồng thời, luận văn cũng giới thiệu độ đo hoành trên phân lá, đây là khái niệm được A. Connes đưa ra và đặc biệt thích hợp với không gian lá của các phân lá. Sau đó chúng tôi đã giới thiệu một số kết quả của Lê Anh Vũ về lớp MD4 – phân lá, tức là các phân lá tạo thành từ các K – quỹ đạo chiều cực đại của một lớp đặc biệt các nhóm Lie giải được 4 chiều. Tuy nhiên, do hạn chế về thời gian, kiến thức và không có nhiều tài liệu tham khảo,nên chưa có cái nhìn sâu sắc về tôpô phân lá, chưa đi sâu tìm hiểu và góp phần giải quyết các vấn đề còn mở trong lớp MD5 – nhóm, MD5 – đại số và MD5 – phân lá. Trong tương lai, chúng tôi mong muốn và hy vọng được tiếp tục đề tài và nghiên cứu các vấn đề dưới đây. 1. Đối với tất cả các MD5 – đại số và MD5 – nhóm liên thông đơn liên đã xét, cần phân loại tôpô các MD5 – phân lá tương ứng. 2. Xây dựng lượng tử hóa biến dạng trên các MD5 – nhóm đã phân loại. 3. Phân loại các MD5 – đại số với ideal dẫn xuất thứ nhất không giao hoán để hoàn thành việc phân loại triệt để lớp MD5 – đại số. 4. Giải quyết các vấn đề tương tự như đã làm cho các MD5 – đại số và MD5 – nhóm đã xét cho các MD5 – đại số và MD5 – nhóm còn lại. 5. Tiếp tục xét lớp MDn với 6n ≥ đồng thời xét trường hợp n tổng quát. TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Lê Anh Vũ, Không gian phân lá tạo bởi các K_quỹ đạo chiều cực đại của lớp nhóm Lie MD4,Luận án phó tiến sĩ toán lý, Viện toán học Việt Nam, Hà Nội, 1990 Tiếng Anh [2] A.Connes, A survey of foliations and operator algebras Proc. Symp, Pure Math, 1982. [3]. A. A. Kirillov, Elements of the Theory of Prepresentations, Springer – Verlag, Berlin – Heidenberg – New York, 1976. [4] Do Ngoc Diep (1999), Method of Nocommutative Geometry for Group C*- algebras, Chapman and Hall/ CRC Press Research Notes in Mathematics Series, #416. [5] Karin Erdmann and Mark J. Wildon, Introduction to Lie Algebras, Springer – Verlag London Limited 2006. [6] . Le Anh Vu and Duong Quang Hoa, The Geometricaly Picture of K-orbits of Connected and Simply connected MD5-Groups such that thier MD5-algebras have 4-dimensional commutative derived Ideals, Scientific journal of University of Pedagogy of Ho Chi Minh city, N 0 12(46) (2007), 16-28. [7] Le Anh Vu and Duong Minh Thanh, The geometry of K_orbits of a subclass of MD5_groups and foliation formed by their generic K_orbits, Contributions in Math. And App.,Proceeding of the International Conference in Math. And App., December 2005, Bangkok, Thailand, A Special Volume Published by East – West J. Math. (2006),169 – 184. [8]. Vu Le Anh and Hoa Duong Quang, The topology of foliations formed by the generic K_orbits of a subclass of the indecomposable MD5_groups, Science in China Series A: Mathematics Feb. 2009 vol. 52, No. 2, 351 – 360. [9]. VU, L. A.; SHUM, K. P., Classification of 5-dimensional MD-algebra having commutative derived ideals, Advances in Algebra and Combinatorics, Singapore: World Scientific, 2008, 353-371. [10]. G.Reeb, Sur certains propriétés topologiques de variétés feuilletées, Actualité Sci. Indust. 1183, Hermann, Paris, 1952. [11] . I. Tamura, Tôpô phân lá, Nhà xuất bản “Mir”, Matxcva, 1979 ( tiếng Nga). A Ánh xạ mũ 40,41,42 B Bản đồ phân lá 12,25 Bất biến 31 Biểu diễn đối phụ hợp 31 Biểu diễn phụ hợp 30,31 Borel 27 D Đa tạp con hoành 25,26 Đa tạp liên thông tối đại 11 Đa tạp con tích phân 10 Đa tạp phân lá 11, 12,13 Đa trường vectơ 58 Đại số bất khả phân 32,33,36 Đại số Lie Heisenberg 32,34 Đại số khả phân 33 Đẳng biến Borel 28 Độ đo hoành 25,28,29 E Exponential 42 G Giá trị riêng 42 I Ideal bất khả phân 32,33 Ideal dẫn xuất 37 K K – biểu diễn 30,31,40 K – quỹ đạo 30,31,40 Kiểu tôpô phân lá 22 Không gian các lá 21 Không gian đối ngẫu 31 Không gian tiếp xúc 10 L Lá 11,12,13 M MD – đại số 31 MD – nhóm 31 MD − đại số 32 MD − nhóm 31 MD – phân lá 57 N Nhát cắt 28 Nhóm kim cương thực 45 P Phân bố khả tích 10,11 Phân bố xác định phân lá 11 DANH SÁCH CHỈ MỤC Phân hoạch 11, 14 Phân lá 10,11,12 Phân lá cảm sinh 13 Phân lá cho bởi phân thớ 14 Phân lá cho bởi tác động nhóm 14 Phân lá đo được 25,28,57 Phân thớ 10 Phân thớ tiếp xúc 10 Q Quỹ đạo Kirillov 31 S Siêu phân lá 13 Song ánh Borel 28 T Tấm 12 Tấm mẫu 28 Tập hoành Borel 27 Tịnh tiến phải 31 Tịnh tiến trái 31 Tôpô thương 22 Tôpô tự nhiên 22 Tự đẳng cấu 40 Tương đương tôpô 64 V Vi phôi giải