Luận văn Tham số hóa hiệu ứng trật tự địa phương trong plasma liên kết mạnh

Mục đích của luận văn này là xác định biểu thức của thế màn chắn trong plasma dựa trên phương pháp tham số hóa hiệu ứng trật tự địa phương. Đó là sự kết hợp giữa phương pháp bình phương cực tiểu và việc tính đạo hàm bậc nhất tại cực đại và cực tiểu thứ nhất của hàm phân bố xuyên tâm có dạng dao động tắt dần được tính toán trên phần mềm Matlab 2010. Các hệ số trong biểu thức thế màn chắn này sẽ được xác định dựa trên định lý Widom [22] và hệ số h1 tìm được sẽ dựa trên hệ số Jancovici vớih 0.25 1 = [19]. Bên cạnh việc xác định biểu thức của thế màn chắn, tác giả còn đề nghị các biểu thức giải tích cho các tham số của hiệu ứng trật tự địa phương, các tham số này được xác định bằng phương pháp bộ lọc số đó là bộ lọc hình chữ nhật, bộ lọc tam giác và bộ lọc Gauss.

pdf111 trang | Chia sẻ: toanphat99 | Ngày: 21/07/2016 | Lượt xem: 858 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Luận văn Tham số hóa hiệu ứng trật tự địa phương trong plasma liên kết mạnh, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
0 1.76860 0.90140 0.28070 160 1.07707476 2.525907 3.666006 2.738017 0.998900 0.23070 0.07110 • Tác giả Đỗ Xuân Hội [23] Bảng 3.3. Hệ số hi của biểu thức (3.1) ở công trình [23]. Γ h0 10h1 102h2 103h3 104h4 105h5 106h6 5 1.07416 0.25 3.61264 2.57000 0.68584 1.27876E-09 8.30579E-10 10 1.08816 0.25 3.47595 2.63000 1.49230 0.94000 0.31000 20 1.08967 0.25 3.46911 2.70000 1.66661 1.08262 0.36812 40 1.08548 0.25 3.50416 2.70033 1.47507 0.82664 0.28042 80 1.07993 0.25 3.53654 2.64000 1.19066 0.54317 0.19500 160 1.07469 0.25 3.56602 2.58600 0.97705 0.38685 0.17800 - 67 - 67 3.1.2. Một số biểu thức thế màn chắn của các công trình gần đây • Luận văn Thạc sỹ Phan Công Thành [8] Với [ ]1,160Γ∈ , H(r) được khai triển thành đa thức bậc 12 và trong khoảng liên ion rút gọn [ ]0,2.72r∈ . ( ) 6 i 2i i i 0 H r ( 1) h r = = −∑ (3.3) với các hệ số hi được tính theo ( ) 4 ki i i k k 0 h 10 a ln− = = Γ∑ (3.4) Bảng 3.4. Hệ số ak của biểu thức (3.4) ở công trình [8]. h0 h2 h3 h4 h5 h6 a0 0.97105763 1.86641885E-2 -1.50481749E-2 4.22041597E-2 -3.75237952E-4 -9.1740129E-6 a1 0.11507638 2.18979861E-2 2.22553292E-2 5.72361242E-2 5.54314838E-4 1.7065102E-5 a2 0.03875562 1.02577323E-2 9.75701536E-3 2.56608866E-2 2.62047147E-4 8.8858804E-6 a3 0.00529728 2.02742303E-3 1.81759492E-3 4.83882060E-4 5.10972174 E-5 1.8315623E-6 a4 2.633932E-4 1.43009964E-4 1.22929974E-4 3.29772061E-5 3.56158477E-6 1.3227440E-6 • Luận văn Thạc sỹ Lý Thị Kim Thoa [9] Với [ ]5,160Γ∈ , H(r) được khai triển thành đa thức bậc 12 và trong khoảng liên ion rút gọn [ ]0,2.72r∈ . ( ) ( ) 6 2 0 1 = = −∑ i ii i H r h r với các hệ số hi được tính theo : ( ) 5 0 10 ln kii k k h b− = = Γ∑ (3.5) với hệ số kb được cho trong bảng 3.5 và 5 160≤ Γ ≤ . Bảng 3.5. Hệ số bk của biểu thức (3.5) ở công trình [9]. bk h0 h2 h3 h4 h5 h6 b0 0.974919 -0.213589 -0.173880 -0.050316 -0.006341 -0.000293 - 68 - 68 b1 0.110819 0.446906 0.299795 0.084124 0.010520 0.000485 b2 -0.028765 -0.284653 -0.187358 -0.052264 -0.006530 -0.000301 b3 0.000339 0.085740 0.055890 0.015543 0.001941 0.000090 b4 0.000650 -0.012464 -0.008068 -0.002238 -0.000279 -0.000013 b5 -0.000058 0.000705 0.000454 -0.000125 0.000016 0.000000 • Tác giả Đỗ Xuân Hội [23] Với [ ]5,160Γ∈ , H(r) được khai triển thành đa thức bậc 12 và trong khoảng liên ion rút gọn [ ]0,2.72r∈ . ( )∑ = − Γ= 5 0 ln10 k ki k i i ah (3.6) Bảng 3.6. Hệ số ak của biểu thức (3.6) ở công trình [23]. i h0 h2 h3 h4 h5 h6 a0 0.93941272 5.2320204 3.8536724 -3.9702897 - 5.913674 -0.8109614 a1 0.15020451 -1.9219209 -2.1983999 3.6624614 4.688165 -0.41317297 a2 -0.05213467 0.74824566 1.3351093 -0.0349498 0.01824933 1.2781992 a3 0.00722811 0.12299562 -0.34885803 -0.4072925 - 0.60623817 -0.59130661 a4 -0.00029535 0.00714097 0.03991139 0.09171445 0.14227674 0.10430798 a5 -9.84e-06 4.63e-05 -0.00159617 -0.00604225 - 0.0098322 -0.00645724 3.2. Biểu thức đề nghị của thế màn chắn Ở phần 3.1, ta thấy các biểu thức tính thế màn chắn chỉ tính trong khoảng liên ion rút gọn [ ]0,2.72r∈ . Trong phần 3.2 , tôi sẽ sử dụng phần mềm Matlab 2010 để xác định các hệ số của thế màn chắn với khoảng liên ion là 3.32 chứa cả cực đại và cực tiểu thứ nhất lớn hơn khoảng liên ion 2.72 của các công trình trước đây. Trong công trình này tôi chỉ sử dụng khoảng liên ion nhỏ hơn 3.32 vì từ khoảng cách liên ion 3.32 trở đi thì - 69 - 69 hệ số thế màn chắn tìm được ứng với 160, 80, 40Γ = không còn phù hợp với định lý Widom nữa. Để xác định các hệ số của thế màn chắn nhằm có biểu thức thế màn chắn thích hợp nhất để sai số của hàm phân bố xuyên tâm vừa tìm được từ thế màn chắn so với kết quả Monte Carlo là nhỏ nhất, tác giả sẽ dùng phương pháp bình phương cực tiểu kết hợp với việc tính đạo hàm bậc nhất tại cực đại và cực tiểu thứ nhất.  Biểu thức của thế màn chắn có dạng: 2 4 6 8 10 120 1 2 3 4 5 6H(r) h h r h r h r h r h r h r= − + − + − + (3.7) Mặt khác thế màn chắn và hàm phân bố xuyên tâm có mối quan hệ như sau: 1 1H(r) ln g(r) r = + Γ (3.8) Kết hợp (3.7) và (3.8) ta có biểu thức (3.9): 2 4 6 8 10 120 1 2 3 4 5 6 1 1H(r) h h r h r h r h r h r h r ln g(r) r = − + − + − + = + Γ (3.9) 3 5 7 9 111 2 3 4 5 6 2 dH(r) 12h r 4h r 6h r 8h r 10h r 12h r r r ⇒ = − + − + − + = − (3.10) ( tại cực đại và cực tiểu thì dg(r) 0 r = )  Phương pháp bình phương cực tiểu nhằm xác định các hệ số h0, h1, h2, h3, h4, h5 và h6 sao cho sai số ở phương trình (3.9) là nhỏ nhất. 2n n 2 2 4 6 8 10 12 i 0 1 2 3 4 5 6 i 1 i 1 1 ln gS h h r h r h r h r h r h r r= =  = ε = + − + − + − + − Γ  ∑ ∑ (3.11) Để S là bé nhất khi và chỉ khi: i S 0 h ∂ = ∂ (3.12) Kết hợp (3.10) và (3.12) ta có hệ phương trình (3.13) để tìm các hệ số của thế màn chắn: - 70 - 70 = = = = = = = = = = = = = = =   − + − + − + = + Γ    − + − + − + = + Γ  ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ n n n n n n n 2 4 6 8 10 12 0 1 i 2 i 3 i 4 i 5 i 6 i i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 n n n n n n n n 2 4 6 8 10 12 14 2 0 i 1 i 2 i 3 i 4 i 5 i 6 i i i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 0 1 ln g(r)nh h r h r h r h r h r h r r 1 ln g(r)h r h r h r h r h r h r h r r r h r = = = = = = = = = = = = = = =   − + − + − + = + Γ   − + − + − + = + Γ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ n n n n n n n n 4 6 8 10 12 14 16 4 i 1 i 2 i 3 i 4 i 5 i 6 i i i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 n n n n n n n 6 8 10 12 14 16 18 6 0 i 1 i 2 i 3 i 4 i 5 i 6 i i i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 1 ln g(r)h r h r h r h r h r h r r r 1 ln g(r)h r h r h r h r h r h r h r r r= = = = = = = = = = = = = = = =      − + − + − + = + Γ  − + − + − + = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ n i 1 n n n n n n n n 8 10 12 14 16 18 20 8 0 i 1 i 2 i 3 i 4 i 5 i 6 i i i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 n n n n n n n 10 12 14 16 18 20 22 0 i 1 i 2 i 3 i 4 i 5 i 6 i i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 1 ln g(r)h r h r h r h r h r h r h r r r h r h r h r h r h r h r h r r = = = = = = = = =   + Γ    − + − + − + = + Γ  − − − ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ n 10 i i 1 n n n n n n n n 6 8 10 12 14 16 18 6 0 i 1 i 2 i 3 i 4 i 5 i 6 i i i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 3 5 7 9 11 1 max 2 max 5 max 6 max max max 2 max 1 min 1 ln g(r) r 1 ln g(r)h r h r h r h r h r h r h r r r 1-2h r + 4h r 6h r + 8h r 10r + 12r = r -2h r + 4                            − − −  3 5 7 9 11 2 min 5 min 6 min min min 2 min 1h r 6h r + 8h r 10r + 12r = r  Thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên 5Γ = 2 2 4 3 6 4 8 5 10 6 12 H(r) 1.083262 0.263559r 4.275705 10 r 3.971224 10 r 2.009625 10 r 0.476669 10 r 0.030929 10 r − − − − − = − + × − × + × − × + × (3.14) Hình 3.1. Đồ thị thế màn chắn H(r) tương ứng với Γ = 5, đường liền nét biểu diễn hệ thức (3.14), chấm tròn cho bởi mô phỏng Monte Carlo [14]. (3.13) - 71 - 71 Hình 3.2. Đồ thị sai số 103(H(r)-HMC(r)) đối với giá trị Γ = 5, H(r) là hệ thức (3.14) và HMC(r) được suy ra từ hệ thức (1.26), hàm g(r) trong biểu thức (1.26) cho bởi mô phỏng Monte Carlo[14]. Hình 3.3. Đồ thị hàm phân bố xuyên tâm g(r) tương ứng với Γ = 5, đường liền nét biểu diễn hệ thức (1.25), H(r) là hệ thức (3.14), chấm tròn cho bởi mô phỏng Monte Carlo [14]. - 72 - 72 Hình 3.4. Đồ thị biểu diễn sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với giá trị Γ = 5, g(r) được suy ra từ hệ thức (1.25), H(r) được suy ra từ hệ thức (3.14) và gMC(r) cho bởi mô phỏng Monte Carlo [14]. Hình 3.4 là đồ thị sai số giữa hàm phân bố xuyên tâm g(r) được suy ra từ hệ thức (1.25), thế màn chắn H(r) được suy ra từ hệ thức (3.14) và gMC(r) cho bởi mô phỏng Monte Carlo [14], ta thấy ứng với 5Γ = sai số giữa g(r) và gMC(r) có giá trị lớn nhất vào khoảng 0.31% tại r 1 39= . và sai số nhỏ khoảng 0.14% tại r từ 1.63 đến 3.32.  Thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên 10Γ = 2 2 4 3 6 4 8 5 10 6 12 H(r) 1.095227 0.258669r 3.790193 10 r 2.946100 10 r 1.184026 10 r 0.273517 10 r 0.053194 10 r − − − − − = − + × − × + × − × + × (3.15) - 73 - 73 Hình 3.5. Đồ thị thế màn chắn H(r) tương ứng với Γ = 10, đường liền nét biểu diễn hệ thức (3.15), chấm tròn cho bởi mô phỏng Monte Carlo [14]. Hình 3.6. Đồ thị biểu diễn sai số 103(H(r)-HMC(r)) đối với giá trị Γ = 10, H(r) là hệ thức (3.15) và HMC(r) được suy ra từ hệ thức (1.26), hàm g(r) trong biểu thức (1.26) cho bởi mô phỏng Monte Carlo [14]. Hình 3.7. Đồ thị hàm phân bố xuyên tâm g(r) tương ứng với Γ = 10, đường liền nét biểu diễn hệ thức (1.25), H(r) là hệ thức (3.15), chấm tròn cho bởi mô phỏng Monte Carlo [14]. - 74 - 74 Hình 3.8. Đồ thị biểu diễn sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với giá trị Γ = 10, g(r) được suy ra từ hệ thức (1.25), H(r) được suy ra từ hệ thức (3.15) và gMC(r) cho bởi mô phỏng Monte Carlo [14]. Hình 3.8 là đồ thị sai số giữa hàm phân bố xuyên tâm g(r) được suy ra từ hệ thức (1.25), thế màn chắn H(r) được suy ra từ hệ thức (3.15) và gMC(r) cho bởi mô phỏng Monte Carlo [14], ta thấy với 10Γ = sai số giữa g(r) và gMC(r) có giá trị lớn nhất vào khoảng 0.6% tại r 1 51= . và sai số nhỏ khoảng 0.22% tại r từ 2.2 đến 3.32.  Thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên 20Γ = 2 2 4 3 6 4 8 5 10 6 12 H(r) 1.091730 0.251688r 3.459187 10 r 2.352153 10 r 0.715228 10 r 0.115005 10 r 0.035180 10 r − − − − − = − + × − × + × − × + × (3.16) Hình 3.9. Đồ thị thế màn chắn H(r) tương ứng với Γ = 20, đường liền nét biểu diễn hệ thức (3.16), chấm tròn cho bởi mô phỏng Monte Carlo [14]. - 75 - 75 Hình 3.10. Đồ thị biểu diễn sai số 103(H(r)-HMC(r)) đối với giá trị Γ = 20, H(r) là hệ thức (3.16) và HMC(r) được suy ra từ hệ thức (1.26), hàm g(r) trong biểu thức (1.26) cho bởi mô phỏng Monte Carlo [14]. Hình 3.11. Đồ thị hàm phân bố xuyên tâm g(r) tương ứng với Γ = 20, đường liền nét biểu diễn hệ thức (1.25), H(r) là hệ thức (3.16), chấm tròn cho bởi mô phỏng Monte Carlo [14]. - 76 - 76 Hình 3.12. Đồ thị biểu diễn sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với giá trị Γ = 20, g(r) được suy ra từ hệ thức (1.25), H(r) được suy ra từ hệ thức (3.16) và gMC(r) cho bởi mô phỏng Monte Carlo [14]. Hình 3.12 là đồ thị sai số giữa hàm phân bố xuyên tâm g(r) được suy ra từ hệ thức (1.25), thế màn chắn H(r) được suy ra từ hệ thức (3.16) và gMC(r) cho bởi mô phỏng Monte Carlo [14], ta thấy với 20Γ = sai số giữa g(r) và gMC(r) có giá trị lớn nhất vào khoảng 0.59% tại r 3 32= . và sai số nhỏ khoảng 0.13% tại r từ 0.59 đến 1.34.  Thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên 40Γ = 2 2 4 3 6 4 8 5 10 6 12 H(r) 1.087180 0.251160r 3.483051 10 r 2.401442 10 r 0.714631 10 r 0.058619 10 r 0.004863 10 r − − − − − = − + × − × + × − × + × (3.17) Hình 3.13. Đồ thị thế màn chắn H(r) tương ứng với Γ = 40, đường liền nét biểu diễn hệ thức (3.17), chấm tròn cho bởi mô phỏng Monte Carlo [14]. - 77 - 77 Hình 3.14. Đồ thị biểu diễn sai số 103(H(r)-HMC(r)) đối với giá trị Γ = 40, H(r) là hệ thức (3.17) và HMC(r) được suy ra từ hệ thức (1.26), hàm g(r) trong biểu thức (1.26) cho bởi mô phỏng Monte Carlo [14]. Hình 3.15. Đồ thị hàm phân bố xuyên tâm g(r) tương ứng với Γ = 40, đường liền nét biểu diễn hệ thức (1.25), H(r) là hệ thức (3.17), chấm tròn cho bởi mô phỏng Monte Carlo [14]. - 78 - 78 Hình 3.16. Đồ thị biểu diễn sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với giá trị Γ = 40, g(r) được suy ra từ hệ thức (1.25), H(r) được suy ra từ hệ thức (3.17) và gMC(r) cho bởi mô phỏng Monte Carlo [14]. Hình 3.16 là đồ thị sai số giữa hàm phân bố xuyên tâm g(r) được suy ra từ hệ thức (1.25), thế màn chắn H(r) được suy ra từ hệ thức (3.17) và gMC(r) cho bởi mô phỏng Monte Carlo [14], ta thấy với 40Γ = sai số giữa g(r) và gMC(r) có giá trị lớn nhất vào khoảng 0.86% tại r 1 63= . và sai số nhỏ khoảng 0.1% tại r từ 0.74 đến 1.38.  Thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên 80Γ = 2 2 4 3 6 4 8 5 10 6 12 H(r) 1.078876 0.250138r 3.587753 10 r 2.795153 10 r 1.324634 10 r 0.517681 10 r 0.140892 10 r − − − − − = − + × − × + × − × + × (3.18) Hình 3.17. Đồ thị thế màn chắn H(r) tương ứng với Γ = 80, đường liền nét biểu diễn hệ thức (3.18), chấm tròn cho bởi mô phỏng Monte Carlo [14]. - 79 - 79 Hình 3.18. Đồ thị biểu diễn sai số 103(H(r)-HMC(r)) đối với giá trị Γ = 80, H(r) là hệ thức (3.18) và HMC(r) được suy ra từ hệ thức (1.26), hàm g(r) trong biểu thức (1.26) cho bởi mô phỏng Monte Carlo [14]. Hình 3.19. Đồ thị hàm phân bố xuyên tâm g(r) tương ứng với Γ = 80, đường liền nét biểu diễn hệ thức (1.25), H(r) là hệ thức (3.18), chấm tròn cho bởi mô phỏng Monte Carlo [14]. Hình 3.20. Đồ thị biểu diễn sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với giá trị Γ = 80, g(r) được suy ra từ hệ thức (1.25), H(r) được suy ra từ hệ thức (3.18) và gMC(r) cho bởi mô phỏng Monte Carlo [14]. Hình 3.20 là đồ thị sai số giữa hàm phân bố xuyên tâm g(r) được suy ra từ hệ thức (1.25), thế màn chắn H(r) được suy ra từ hệ thức (3.18) và gMC(r) cho bởi mô phỏng Monte Carlo [14], ta thấy với 80Γ = sai số giữa g(r) và gMC(r) có giá trị lớn nhất vào khoảng 1.89% tại r 3 32= . và sai số nhỏ khoảng 0.25% tại r từ 0.94 đến 1.23. - 80 - 80  Thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên 160Γ = 2 2 4 3 6 4 8 5 10 6 12 H(r) 1.073900 0.250019r 3.594238 10 r 2.646076 10 r 0.913759 10 r 0.146974 10 r 0.028895 10 r − − − − − = − + × − × + × − × + × (3.19) Hình 3.21. Đồ thị thế màn chắn H(r) tương ứng với Γ = 160, đường liền nét biểu diễn hệ thức (3.19), chấm tròn cho bởi mô phỏng Monte Carlo [14]. Hình 3.22. Đồ thị biểu diễn sai số 103(H(r)-HMC(r)) đối với giá trị Γ = 160, H(r) là hệ thức (3.19) và HMC(r) được suy ra từ hệ thức (1.26), hàm g(r) trong biểu thức (1.26) cho bởi mô phỏng Monte Carlo [14]. - 81 - 81 Hình 3.23. Đồ thị hàm phân bố xuyên tâm g(r) tương ứng với Γ = 160, đường liền nét biểu diễn hệ thức (1.25), H(r) là hệ thức (3.19), chấm tròn cho bởi mô phỏng Monte Carlo [14]. Hình 3.24. Đồ thị biểu diễn sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với giá trị Γ = 160, g(r) được suy ra từ hệ thức (1.25), H(r) được suy ra từ hệ thức (3.19) và gMC(r) cho bởi mô phỏng Monte Carlo [14]. Hình 3.24 là đồ thị sai số giữa hàm phân bố xuyên tâm g(r) được suy ra từ hệ thức (1.25), thế màn chắn H(r) được suy ra từ hệ thức (3.19) và gMC(r) cho bởi mô phỏng Monte Carlo [14], ta thấy với 160Γ = sai số giữa g(r) và gMC(r) có giá trị lớn nhất vào khoảng 4.46% tại r 3 2= . và sai số nhỏ khoảng 0.7% tại r từ 1.07 đến 1.38. - 82 - 82 Bảng 3.7. Bảng giá trị hi của biểu thức (3.7) với Γ = 5, 10, 20, 40, 80, 160. Γ h0 h1 102 h2 103 h3 104 h4 105 h5 106 h6 5 1.083262 0.263559 4.275705 3.971224 2.009625 0.476669 0.030929 10 1.095227 0.258669 3.790193 2.946100 1.184026 0.273517 0.053194 20 1.091730 0.251688 3.459187 2.352153 0.715228 0.115005 0.035180 40 1.087180 0.251160 3.483051 2.401442 0.714631 0.058619 0.004863 80 1.078876 0.250138 3.587753 2.795153 1.324634 0.517681 0.140892 160 1.073900 0.250019 3.594238 2.646076 0.913759 0.146974 0.028895 Như vậy, với thế màn chắn : ( ) ( ) 6 i 2i i i 0 H r 1 h r = = −∑ (3.20) với biểu thức giải tích của các hệ số hi của (3.20) có thể đặt dưới dạng: ( ) 5 ki i k k 0 h 10 a ln− = = Γ∑ (3.21) Với hệ số ak được cho trong bảng (3.8) và 5 160≤ Γ ≤ . Bảng 3.8. Hệ số ak của biểu thức (3.21). h0 h1 h2 h3 h4 h5 h6 a0 0.537953 -0.117911 -0.039429 0.378427×10-2 0.217823×10-2 0.231938×10-3 0.077333×10-4 a1 0.876216 0.678330 0.160917 0.330511×10-2 -0.340260×10-2 -0.417244×10-3 -0.145660×10-4 a2 -0.538568 -0.453042 -0.113671 -0.305829×10-2 0.234581×10-2 0.297039×10-3 0.105511×10-4 a3 0.162274 0.142331 0.035977 0.073064×10-2 -0.082139×10-2 -0.102701×10-3 -0.036572×10-4 a4 -0.024068 -0.021390 -0.005298 -0.003174×10-2 0.014136×10-2 0.017137×10-3 0.006074×10-4 a5 0.001401 0.001241 0.000297 -0.000404×10-2 -0.000940×10-2 -0.001101×10-3 -0.000387×10-4 - 83 - 83 KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 Trong chương 3, tác giả đã đưa ra một phương pháp xác định thế màn chắn dựa vào sự kết hợp giữa phương pháp bình phương cực tiểu và việc tính đạo hàm bậc nhất tại cực đại và cực tiểu thứ nhất, tức là dựa trên những tác dụng của hiệu ứng trật tự địa phương. Và đây là lần đầu tiên việc xác định thế màn chắn được thực hiện bằng cách sử dụng hai cực trị liên tiếp của hàm phân bố xuyên tâm và khoảng cách liên ion rộng hơn cụ thể là 3.32 lớn hơn 2.72 so với các công trình trước đây. Kết quả giá trị h0 và h1 được đề nghị của thế màn chắn ứng với ,5 160 Γ∈  : Bảng 3.9. Giá trị h0 và h1 của thế màn chắn ứng với ,5 160 Γ∈  . Γ 5 10 20 40 80 160 h0 1.083262 1.095227 1.091730 1.087180 1.078876 1.073900 h1 0.263559 0.258669 0.251688 0.251160 0.250138 0.250019 Đối với những plasma đậm đặc 40Γ ≥ , sai số giữa hàm phân bố xuyên tâm g(r) và gMC(r) khoảng 2%. Đặc biệt đối với những plasma loãng hơn, tức là khi 40Γ < thì sai số khoảng 0.6%. - 84 - 84 KẾT LUẬN CỦA LUẬN VĂN Khi nghiên cứu về plasma, thế màn chắn là một dữ liệu quan trọng để tính hiệu suất phản ứng tổng hợp hạt nhân, sự hình thành chuẩn phân tử và dạng vạch phổ trong môi trường plasma đậm đặc. Ngoài ra thế màn chắn còn cho phép ta tính các đại lượng nhiệt động lực học như phần dư ra của nội năng, phần dư ra của năng lượng tự do so với khí lí tưởng và cho phép ta thiết lập phương trình trạng thái của plasma. Mục đích của luận văn này là xác định biểu thức của thế màn chắn trong plasma dựa trên phương pháp tham số hóa hiệu ứng trật tự địa phương. Đó là sự kết hợp giữa phương pháp bình phương cực tiểu và việc tính đạo hàm bậc nhất tại cực đại và cực tiểu thứ nhất của hàm phân bố xuyên tâm có dạng dao động tắt dần được tính toán trên phần mềm Matlab 2010. Các hệ số trong biểu thức thế màn chắn này sẽ được xác định dựa trên định lý Widom [22] và hệ số h1 tìm được sẽ dựa trên hệ số Jancovici với 1h 0.25= [19]. Bên cạnh việc xác định biểu thức của thế màn chắn, tác giả còn đề nghị các biểu thức giải tích cho các tham số của hiệu ứng trật tự địa phương, các tham số này được xác định bằng phương pháp bộ lọc số đó là bộ lọc hình chữ nhật, bộ lọc tam giác và bộ lọc Gauss. Luận văn đã đạt được các kết quả chính như sau: • Xác định được biểu thức giải tích các tham số của hiệu ứng trật tự địa phương rmax, rmin, gmax, gmin và δ theo Γ với . ,3 17 160 Γ∈  . Đây là công trình đầu tiên khảo sát chi tiết dao động tắt dần của hàm phân bố xuyên tâm, năm cực trị của hàm phân bố xuyên tâm cũng như vị trí các cực trị này được xác định, từ đó đưa ra biểu thức giải tích có dạng hàm mũ của gmax theo rmax và gmin theo rmin với ,20 160 Γ =   . • Xác định được biểu thức giải tích của thế màn chắn nhưng sai số của hàm phân bố xuyên tâm tìm được từ thế màn chắn này so với dữ liệu Monte Carlo vào khoảng 2%. Tuy nhiên ưu điểm ở đây là khoảng cách liên ion tìm được là 3.32 bao - 85 - 85 hàm luôn cả cực đại và cực tiểu, trong khi đó các công trình trước đây thì khoảng cách liên ion chỉ là 2.72. • Xác định các cực trị của hàm phân bố xuyên tâm tương ứng plasma kết tinh 172Γ = (xem Phụ lục 1). Những vấn đề có thể đặt ra như phần tiếp tục mở rộng của luận văn là: thay vì xác định biểu thức giải tích 5 cực trị đầu tiên của hàm phân bố xuyên tâm theo khoảng cách liên ion với ,20 160 Γ =   thì có thể xác định số cực trị lớn hơn 5 cực trị chẳng hạn hay khoảng tham số tương liên lơn hơn? Hoặc có thể tìm biểu thức giải tích của thế màn chắn với khoảng cách liên ion bao hàm cả cực đại và cực tiểu thứ nhất với sai số nhỏ. Một phần của luận văn này là nội dung của bài báo sẽ gửi đăng và là đề tài sẽ trình bày trong buổi Hội thảo khoa học của học viên cao học và nghiên cứu sinh năm 2012. - 86 - 86 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ 1. Bài báo: Đỗ Xuân Hội, Đỗ Quyên (2012), “Analytic expressions characterizing the damped oscillation of the radial distribution function in high density OCP plasmas - Các biểu thức giải tích đặc trưng cho dao động tắt dần của hàm phân bố xuyên tâm trong plasma OCP mật độ cao”, Tạp chí Khoa học Tự nhiên ĐHSP TP.HCM. 2. Bài Hội thảo khoa học của học viên cao học và nghiên cứu sinh năm 2012: Đỗ Quyên (2012), “Dao động tắt dần của hàm phân bố xuyên tâm trong plasma OCP đậm đặc”. - 87 - 87 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt 1. Nguyễn Hữu Chí (1998), Vật lý plasma (khí iôn hóa), tủ sách Đại học Khoa học tự nhiên Tp.HCM. 2. Nguyễn Lâm Duy (2002), Hàm phân bố xuyên tâm trong plasma lưu chất, Luận văn tốt nghiệp đại học, Khoa vật lý trường Đại học Sư Phạm Tp.HCM. 3. Đỗ Xuân Hội (12/2001), “Thế màn chắn trong plasma với tham số tương liên [ ]5,160Γ∈ ”, Tạp chí khoa học – Khoa học tư nhiên, Trường Đại học Sư Phạm Tp.HCM. 4. Đỗ Xuân Hội (2003), Vật lý thống kê và nhiệt động lực học thống kê, Khoa vật lý, Trường Đại học Sư Phạm Tp.HCM. 5. Đỗ Xuân Hội, Nguyễn Lâm Duy, Nguyễn Trọng Khoa, “Ngưỡng của hiệu ứng trật tự địa phương trong plasma liên kết yếu”, Tạp chí khoa học – Khoa học tự nhiên, Trường Đại học Sư Phạm Tp.HCM. 6. Nguyễn Trọng Khoa (2003), Khảo sát ngưỡng trật tự địa phương trong plasma loãng một thành phần, Luận văn tốt nghiệp đại học, Khoa vật lý trường Đại học Sư Phạm Tp.HCM. 7. Trần Thị Ngọc Lam (2011), Sự tuyến tính của thế màn chắn trong Plasma liên kết mạnh, Luận văn tốt nghiệp đại học, Khoa vật lý trường Đại học Sư Phạm Tp.HCM. 8. Phan Công Thành (2012), Nhiệt động lực học của plasma ở trạng thái kết tinh, Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại học Sư Phạm Tp.HCM. 9. Lý Thị Kim Thoa, (2010), Tác dụng của thế màn chắn lên hiệu suất của phản ứng áp suất hạt nhân trong plasma, Luận văn Thạc sỹ, Khoa vật lý, trường ĐHSP TP.HCM. Tiếng Anh - 88 - 88 10. Brush S. G., Sahlin H. L., and Teller E. (1966), “Monte Carlo Study of a One – Complement Plasmas. I”, The Journal of Chemical Physics, 45 (6), pp. 2102 -2118. 11. Choquard Ph., Sari R. R. (1972), “Onset of short range order in a One Complement Plasmas”, Phys. Lett. A, 40, 2, pp. 109 - 110. 12. Chugunov A. I., De Witt H. E. (2009), “Nuclear fusion reaction rates for strongly coupled ionic mixtures”, Phys. Rev. C, 80(1), pp. 014611 - 1 - 014611 - 12. 13. De Witt H. E., Graboske H. C. and Copper M. S. (1973), “Screening Factors for Nuclear Reactions. I. General Theory”, Astrophys. J. 181, 439. 14. De Witt H. E., Slattery W., and Chabrier G. (1996), “Numerical simulation of strongly coupled binary ionic plasmas”, Physica B, 228(1-2), pp. 21- 26. 15. Đỗ Xuân Hội, Trần Thị Ngọc Lam (2011), “On the linear behavior of the screening potential in high – density OCP plasmas”, Tạp chí khoa học – Khoa học tư nhiên, Trường Đại học Sư Phạm Tp.HCM, 30, tr. 59 - 67. 16. Hansen J. P. (1973), “Statistical Mechanics of Dense Ionized Mater. I. Equilibrum Properties of the Classical One – Complement Plasmas”, Phys. Rev. A 8, pp. 3096 - 3109. 17. Ichimaru S. (1992), “Statistical Physics”, Volume 1, Addison – Wesley publishing Company. 18. Ichimaru S. (1993), “Nuclear Fusion in Dense Plasmas”, Rev. Mod. Physics. 65255, pp. 255 - 299. 19. Jancovici B., (1977), “Pair correlation function in a dense plasma and pycnonuclear reactions in stars”, J. Stat. Phys., 17, 357. 20. Rio F. D. and De Witt H. E. (1969), “Pair Distribution Function of Charged Particles”, Phys. Of Fluids 12, 791. 21. Salpeter E. E. and Van Horn H. M. (1969), “Nuclear Reaction Rates at High Densities”, Astrophys. J. 155, 183. - 89 - 89 22. Widom B., (1963), “Some Topics in the Theory of Fluids”, J. Chem. Phys., 39, 2808. Tiếng Pháp 23. Do Xuan Hoi (1999), Relation entre l’ordre et le potential d’e1crangtage dans les plasmas, Thèse de Doctorat de l’Université Paris 6 – Pierre et Marie Curie, Paris (France). - 90 - 90 PHỤ LỤC 1 1. Bài báo: Đỗ Xuân Hội, Đỗ Quyên (2012), “Analytic expressions characterizing damped oscillation of the radial distribution function in high density OCP plasmas - Các biểu thức giải tích đặc trưng cho dao động tắt dần của hàm phân bố xuyên tâm trong plasma OCP mật độ cao ”, Tạp chí Khoa học Tự nhiên ĐHSP TP.HCM. - 91 - 91 ANALYTIC EXPRESSIONS CHARACTERIZING THE DAMPED OSCILLATION OF THE RADIAL DISTRIBUTION FUNCTION IN HIGH DENSITY OCP PLASMAS CÁC BIỂU THỨC GIẢI TÍCH ĐẶC TRƯNG CHO DAO ĐỘNG TẮT DẦN CỦA HÀM PHÂN BỐ XUYÊN TÂM TRONG PLASMA OCP MẬT ĐỘ CAO ĐỖ XUÂN HỘI*, ĐỖ QUYÊN** ABSTRACT In this work, we show an elaborate study of the damped variation of the radial distribution function g(r) with respect to the interionic distance r. The analytic expressions of the positions as well as the values of the five extrema of g(r) are proposed for the first time, based on the most accurate numerical Monte Carlo simulation data for OCP system. The damping behavior of the function g(r) is also presented so that one can use it to determine the extrema of g(r) for crystallized plasmas with extremely high value of correlation parameter. These important results contribute to precise the screening potential in OCP plasmas by using the method of parametrization of the short range order effect. Key words: OCP system, Monte Carlo simulations, radial distribution function, damped oscillation, screening potential, analytical formula, short range order effect. TÓM TẮT Các biểu thức giải tích đặc trưng cho dao động tắt dần của hàm phân bố xuyên tâm trong plasma OCP mật độ cao Trong công trình này, chúng tôi trình bày một khảo sát công phu sự dao động tắt dần của hàm phân bố xuyên tâm g(r) đối với khoảng cách liên ion r. Lần đầu tiên, các biểu thức giải tích cho các vị trí cũng như giá trị của năm cực trị của g(r) được đề nghị, dựa trên các dữ liệu mô phỏng Monte Carlo chính xác nhất cho tới hiện nay cho hệ plasma OCP. Dáng điệu tắt dần của hàm g(r) cũng được trình bày để ta có thể sử dụng với mục đích xác định các cực trị của g(r) cho plasma kết tinh với giá trị rất lớn của tham số tương liên. Các kết quả quan trọng này đóng góp cho việc xác định thế màn chắn trong plasma OCP bằng phương pháp tham số hóa hiệu ứng trật tự địa phương. Từ khóa: Hệ plasma OCP, mô phỏng Monte Carlo, hàm phân bố xuyên tâm, dao động tắt dần, thế màn chắn, hệ thức giải tích, hiệu ứng trật tự địa phương. 1. Introduction In very early works on computational simulations for an OCP (One Component Plasma) system [4, 9, 10], the damped oscillation of the radial - 92 - 92 distribution function (RDF) g(r) has been pointed out. This particular property, especially for the ultradense OCP, can be considered as the signature of the short range order effect that appears in a plasma system [7, 11]. These authors have also given some characteristics of the function g(r) such as their position and value of the first maximum. But, with the purpose of using this oscillatory variation to determine the screening potential (SP) in an OCP, one needs a more detailed study on this function g(r). In this paper, we carry out a systematic consideration of this behavior of g(r) by studying carefully the position and the value of each extremum. We also try to introduce analytic expressions for these quantities. This will show clearly the damping oscillation of g(r) for ultradense plasmas, and then, can give us the way to find out the other extremum for weakly correlated ones. Besides, an extension of this study will be useful for the determination of the extrema of g(r) for the crystallization of extremely dense OCP system. One of important applications of this study is related to the calculation of the SP using the procedure of the parameterization of the short range effect in OCP. As in several works on the OCP, we shall use the correlation parameter: ( )2Ze akT Γ = (1) to indicate the importance of the average Coulomb interaction ( ) 2Ze a between charged particles with respect to the random motion energy kT, the distance a being defined as the ion sphere radius. The RDF g(r), that characterizes the probability of finding a particle at a distance of r away from a given reference particle, is related to the SP H(R) by: ( )2Ze1g(R ar) exp H(R) kT R   = = − −     (2) Fig 1. The damped oscillation of g(r) for Γ > 1 and the uniform variation of g(r) for Γ = 1. Data taken from [5]. - 93 - 93 2. Analytic expressions for extrema of the radial distribution function g(r) One of the first observations of the variation of the RDF g(r) with respect to the distance r is that the maxima gmax are more pronounced when the plasmas are denser, i.e. when the quantity Γ takes more important values. For this reason, it is not obvious to obtain these maxima for dilute plasmas. And then, one can see that the position of each extremum depends clearly on the value of Γ. In Figure 1, we recognize the rapid rate of damping of g(r) for important value of Γ. On the contrary, this function takes a uniformly increasing behavior for 1Γ ≤ . The threshold value of Γ for which the oscillation of g(r) occurs has been considered in several works (see [3], for example). As we shall see, the exact results obtained in this paper will give us the occasion to re-examine this value. The values of the first maximum gmax1 of g(r) and its location have appeared in various works for the reason that, considered as ones of the parameters characterizing the short range order effect, they contribute to the determination of the SP H(r) of the OCP, especially to the rate of enhancement of nuclear fusion [11]. Before giving general expressions for those values, we present in Table 1 and 2 some characteristics of the first extrema of the RDF g(r) [1]. Table 1. Values of the first maxima of g(r) and comparison with other works. Γ gmax 103 maxg∆ [11] [6] [9] [4] 3.17 1.010515 0.21 5 1.041063 0.51 - 0.02 - 1.4 10 1.138506 0.68 - 0.11 3.5 12.1 20 1.306216 - 0.41 0.02 - 3.8 - 11.1 40 1.559343 - 0.59 - 0.33 - 0.7 - 6.1 80 1.921606 0.46 1.04 1.6 160 2.443333 - 5.71 - 5.58 1.4 We can see the excellent agreement between the data of this work with that of [11] and [6]. The more recent data of [9] corresponds better to our work than those of [4]. Notice that in this paper as well as in [6], we can reach the gmax fot - 94 - 94 dilute plasmas whereas in the others [4, 9, 11], those data are hardly obtained. For the location of the first maximum, a discrepancy of about some of thousandth between our calculation and that of [6, 11]. Table 2. Values of the position of the first maxima of g(r) and comparison with other works. Γ maxr 103 maxr∆ [11] [6] 3.17 1.912349 - 27.34 5 1.764928 14.62 8.72 10 1.677864 3.88 4.59 20 1.666712 4.53 4.80 40 1.679623 4.37 4.18 80 1.702373 4.44 4.35 160 1.728841 4.41 4.30 With the purpose to generalize these values for other quantities of Γ, we carry out a careful examination of almost all extrema and their locations and obtain the data given in Table 3 for Γ = 160 for example. We propose at the same time these analytic expressions: ( ) max max1.355r 0.0217rmax160 maxg r 13.34e 1.207e− −= + , (3) ( ) min min0.002026r 0.5651rmin160 ming r 1.015 e 1.74 e− −= − . (4) The errors committed between (3) and (4) and the numerical data in Table 3 is below 5‰. Table 3. Values for the first five maxima and the first five minima as well as their positions for Γ = 160. Extremum rmax gmax rmin gmin 1 1.728841 2.443333 2.422479 0.566960 2 3.234256 1.290842 3.961061 0.820554 3 4.693018 1.116727 5.455641 0.924393 4 6.183251 1.052984 6.928998 0.964934 5 7.666125 1.024805 8.407899 0.982606 - 95 - 95 With the formulae (3) and (4), one see more clearly the strong damping behavior of g(r) for Γ = 160, as one can notice in Figure 2. We recognize that the work becomes more difficult with more dilute plasmas, the reason is that the extrema are less pronounced for these media. This characteristic can be seen in Figure 3 where the variation of g(r) is more weekly damped for Γ = 20. Anyway, in some case, one needs the value of first maximum and its position of g(r) for some particular value of the parameter Γ, for example, the one corresponding to the crystallization of ultradense plasmas, phenomenon announced by physicists working in this field [2, 8]. To this aim, after analyzing the MC data, we put forward these formulae for each value of Γ available: max max1.261r 0.007804rmax 80g 7.439e 1.067e − −= + (5a) max max1.371r 0.001796rmax 40g 5.486e 1.014e − −= + (5b) Fig 2. The boundaries of the maxima and the minima expressed by (3) and (4) for Γ = 160. The black circles are MC data taken from [5]. gmax160 gmin160 Fig 3. The damping behavior for Γ = 20 is more slowly in comparison with Γ = 160. gmax20 gmin20 - 96 - 96 max max1.64r 0.000196rmax 20g 4.69e 1.002e − −= + (5c) Note the missing formulae for dilute plasmas with Γ < 20. Based on (5a, b, and c), we obtain ( ) 2 max 4 maxA r A rmax max 1 3g r A e A e= + (6) with the coefficients A1, A2, A3, A4 given in Table 4. Table 4. Values of coefficients used in (6). Γ A1 A2 A3 A4 20 4.69 - 1.64 1.002 - 0.000196 40 5.486 - 1.371 1.014 - 0.001796 80 7.439 - 1.261 1.067 - 0.007804 160 13.34 - 1.355 1.207 - 0.0217 For extended uses, we generalize values of these coefficients for arbitrary value of Γ: − −Γ × Γ × Γ + +Γ7 3 5 21A ( ) = 4.1 10 +9.302 10 0.03307 3.988 (7a) − − Γ −Γ × Γ − × Γ +6 3 4 22A ( ) = 1.04 10 3.24 10 0.02998 2.118 (7b) − − −Γ × Γ + × Γ − × Γ +− 8 3 5 2 43A ( ) = 6.101 10 2.063 10 4.667 10 1.004 (7c) − − − −Γ × Γ − × Γ + × Γ + ×9 3 6 2 5 54A ( ) = 6.958 10 2.144 10 2.917 10 2.267 10 (7d) The variation of the coefficients Ai (i = 1,.., 4) is shown in Figure 4. Their continuity with respect to Γ is acceptable. The magnitude of the discrepancy between (6) and the MC data is shown in Table 5. Although the fitting is made principally for Γ = 20; 40; 80; 160, the diiference between (6) and other value of gmax is below 10%. Fig 4. Continuity of the variation of Ai with respect to Γ. - 97 - 97 Table 5. Good agreement between (6) and MC data is noticed for dense plasmas. Γ gmax gmax (6) gmax (6) - gmax 3.17 1.010515 1.087935 7.74 % 5 1.041063 1.129300 8.82 % 10 1.138506 1.196653 5.81 % 20 1.306216 1.304761 - 0.15 % 40 1.559343 1.560134 0.08 % 80 1.921606 1.929573 0.80 % 160 2.443333 2.439543 - 0.38 % For all other minima corresponding to any value of Γ, we can use: ( ) 2 min 4 minB r B rmin min 1 3g r B e B e= + (8) In Table 6, we find the numerical values for (8). Table 6. Values of coefficients used in (8). Γ B1 B2 B3 B4 20 0.9995 0.000059 - 3.008 - 1.493 40 0.997 0.000337 - 2.542 - 1.112 80 0.9901 0.000978 - 2.098 - 0.8217 160 1.015 - 0.002026 - 1.74 - 0.5651 The same procedure as for the first maxima gives us, for the first minima: − − −Γ × Γ − × Γ + × Γ +8 3 6 2 41B ( ) = 3.445 10 5.615 10 1.154 10 0.992 (9a) − − − −Γ − × Γ + × Γ − × Γ + ×9 3 7 2 6 52B ( ) = 3.442 10 5.173 10 7.5 10 2.962 10 (9b) − −Γ × Γ − × Γ + Γ −6 3 4 23B ( ) = 1.058 10 3.515 10 0.04143 3.704 (9c) − −Γ × Γ − × Γ + Γ −6 3 4 24B ( ) = 1.163 10 3.593 10 0.03735 2.106 (9d) In order to verify the accuracy of these expressions, we compare (9a, b, c, and d) with MC numerical values. The result presented in Table 7 persuades us of their exactness. Table 7. Small errors committed when using (8) to compute the minimum of g(r) for various value of Γ. - 98 - 98 Γ gmin gmin (8) gmin (8) - gmin 3.17 0.999507 0.994853 - 0.47 % 5 0.9970664 0.982597 - 1.45 % 10 0.977934 0.959852 - 1.81 % 20 0.924876 0.926054 0.12 % 40 0.832853 0.835794 0.29 % 80 0.711819 0.713669 0.19 % 160 0.566960 0.565069 - 0.19 % 3. Applications As mentioned above, once the behavior of the damped oscillation of the radial distribution function g(r) determined by analytic formulae, we can deduce important features of an OCP system. One of these applications is to obtain the extrema and their locations of g(r) for the critical value of the correlation parameter Γ = 172 where there occurs the crystallization. We carry out the computation based on (6) and (8) and compare with other work, [2] for example. The result is found satisfying as shown in Table 78. Table 8. Comparison between this paper’s result and [2]. Γ = 172 [2] [1] Error rmax 1.731661 1.736069 0.44% rmin 2.419429 2.410080 1.14% gmax 2.507493 2.518926 0.93% gmin 0.548937 0.554900 0.60% Another consequence of (6) and (8) is even more interesting when one deduce the numerical value of the coefficients of the Widom polynomial expressing the SP for an OCP: 2 4 2 20 1 2 0 ( ) ... ( 1) ... ( 1)i i i ii i i H r h h r h r h r h r ≥ = − + − + − + = −∑ (10) In [11], the method of parametrization of the short range order effect has been developed to obtain the value of hi in (10) up to a twelfth degree polynomial with the use of the first maximum of g(r). Now, with the result obtained not only for this first maximum but for the first minimum as well, we perform a quite sophisticated computation and get numerical values for these coefficients in (10) shown in Table 9. - 99 - 99 Note that the interionic distance r is now extended to [ ]0, 3.32r∈ instead of [ ]0,2.72r∈ , so that one can cover the two first extrema of g(r). It is then obvious that the discrepancy between g(r) calculated from (10) and MC data becomes more important. Table 9. Numerical values of Widom expansion (10) for the SP in an OCP system. Γ h0 h1 102h2 103h3 104h4 105h5 106h6 5 1.083262 0.263559 4.275705 3.971224 2.009625 0.476669 0.030929 10 1.095227 0.258669 3.790193 2.946100 1.184026 0.273517 0.053194 20 1.091730 0.251688 3.459187 2.352153 0.715228 0.115005 0.035180 40 1.087180 0.251160 3.483051 2.401442 0.714631 0.058619 0.004863 80 1.078876 0.250138 3.587753 2.795153 1.324634 0.517681 0.140892 160 1.073900 0.250019 3.594238 2.646076 0.913759 0.146974 0.028895 4. Conclusion This is the first time the damping oscillation behavior of the radial distribution function g(r) for an OCP plasma system is studied in such a systematic method. The result for five extrema of this function as well as their locations is presented in form of analytic formulae, which can produce important information of the extrema of g(r) for any value of the correlation parameter and then favors considerably computational works on computers. Moreover, the short range order effect that appears in this physical system is parametrized covering the first maximum and the minimum of g(r) in order to calculate the six coefficients of the Widom polynomial expressing the screening potential. Their numerical values show some discrepancy compared to MC data and to other works. This point is understandable considering the fact that the extent of the interionic distance examined here is much more important. We intend to improve the correspondence between MC data and our formulation in next papers. The result will can be used to determine the onset of the short range order effect in OCP and then to compare with other works [3]. - 100 - 100 REFERENCES 1. Đỗ Quyên (2012), Tham số hóa hiệu ứng trật tự địa phương trong plasma liên kết mạnh, Master's Thesis in Physics, HCMC University of Pedagogy. 2. Phan Công Thành (2011), Nhiệt động lực học của plasma ở trạng thái kết tinh, Master's Thesis in Physics, HCMC University of Pedagogy. 3. Nguyễn Thị Thanh Thảo (2010), Thế Debye-Huckel trong tương tác ion nguyên tử của plasma loãng, Master's Thesis in Physics, HCMC University of Pedagogy. 4. Brush S. G., Sahlin H. L., and Teller E. (1966), “Monte Carlo Study of a One Complement Plasmas. I”, The Journal of Chemical Physics, 45 (6), pp. 2102- 2118. 5. De Witt H. E., Slattery W., and Chabrier G. (1996), “Numerical simulation of strongly coupled binary ionic plasmas”, Physica B, 228(1-2), pp. 21-26. 6. Do Xuan Hoi, Phan Cong Thanh (2012), 36(70), 05-2012, “Screening potential at the crystallization point of ultradense OCP plasmas”, Journal of Science – Natural Science and Technology, Ho Chi Minh City University of Education, pp. 63-73. 7. Do X. H., Amari M., Butaux J., Nguyen H. (1998), “Screening potential in lattices and high-density plasmas”, Phys. Rev. E, 57(4), pp. 4627-4632. 8. Dubin D. H. (1990),” First-order anharmonic correction to the free energy of a Coulomb crystal in periodic boundary conditions”, Phys. Rev. A 42, pp. 4972-4982; Medin Zach and Cumming Andrew † (2010), “Crystallization of classical multi-component plasmas”, Phys Rev E , 81, 3, pp. 036107- 036118]. 9. Hansen J. P. (1973), “Statistical Mechanics of Dense Ionized Mater. I. Equilibrum Properties of the Classical One - Complement Plasmas”, Phys. Rev. A 8, pp. 3096 - 3109. 10. Ogata S., Iyetomi H., and Ichimaru S. (1991), “Nuclear reaction rates in dense carbon-oxygen mixtures”, Astrophys. J. 372, pp. 259-266 11. Xuan Hoi Do (1999), Thèse de Doctorat de l’Université Paris 6 –Pierre et Marie Curie, Paris (France). - 101 - 101 CÁC TÁC GIẢ BÀI BÁO * Đỗ Xuân Hội, Ph.D., International University (Vietnam National University Ho Chi Minh City). Tel : 0918220217, email : xuanhoido@yahoo.com . ** Đỗ Quyên, BSc, Việt Anh High School (Ho Chi Minh city). Tel : 0906333772, email : doquyen1212@gmail.com . PHỤ LỤC 2 2. Bài Hội thảo khoa học của học viên cao học và nghiên cứu sinh năm 2012: Đỗ Quyên (2012), “Dao động tắt dần của hàm phân bố xuyên tâm trong plasma OCP đậm đặc”. - 102 - 102 DAO ĐỘNG TẮT DẦN CỦA HÀM PHÂN BỐ XUYÊN TÂM TRONG PLASMA OCP ĐẬM ĐẶC TÓM TẮT Bài báo cáo này trình bày việc khảo sát các cực trị cũng như vị trí của các cực trị này của hàm phân bố xuyên tâm g(r) cho plasma OCP đậm đặc. Các kết quả đạt được có độ chính xác cao khi so sánh với các số liệu mô phỏng Monte Carlo tin cậy nhất hiện nay và cho phép thiết lập các biểu thức giải tích đặc trưng cho tính dao động tắt dần của hàm g(r), dấu hiệu của hiệu ứng trật tự địa phương trong plasma đậm đặc. Từ khóa: Plasma OCP, mô phỏng Monte Carlo, hàm phân bố xuyên tâm, hiệu ứng trật tự địa phương, tham số tương liên, dao động tắt dần. ABSTRACT This report presents the study of the extrema as well as their locations of the radial distribution function g(r) obtained for the dense OCP plasmas. The result reaches the high accuracy when compared with the most confident Monte Carlo simulation data till now and allows us to establish the analytic expressions characterizing the damped oscillation of the function g(r), signature of the short range order effect in the dense plasmas. Key words: OCP plasmas, Monte Carlo simulation, radial distribution function, short range order effect, correlation parameter, damped oscillation. I. MỞ ĐẦU Trong plasma các hạt luôn tương tác điện với nhau. Do đó xác suất tìm thấy hai hạt ở các khoảng cách khác nhau là không giống nhau. Hàm thể hiện xác suất gặp nhau (contact probability) của hai ion theo khoảng cách liên ion r giữa chúng trong plasma được gọi là hàm phân bố xuyên tâm g(r). Ngay từ những công trình mô phỏng Monte Carlo (MC) đầu tiên liên quan đến plasma một thành phần (OCP – One Component Plasmas) [1, 2, và 4], các tác giả đã chỉ ra của hàm các dao động tắt dần của hàm g(r), như có thể thấy trên hình H.1. Các dao động này là biểu hiện của hiệu ứng trật tự địa phương. Các cực trị của g(r) phụ thuộc tham số tương liên - 103 - 103 Γ, đại lượng biểu thị mối tương quan giữa thế năng Coulomb giữa hai ion và năng lượng chuyển động nhiệt. Trong bài báo cáo này, tác giả sẽ trình bày các biểu thức giải tích của các cực trị cũng như các vị trí của các cực trị này, dựa trên số liệu MC chính xác nhất cho đến nay [2]. Kết quả này sẽ đóng vai trò quan trọng trong việc xác định thế màn chắn trong plasma OCP. II. BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CÁC CỰC TRỊ CỦA HÀM PHÂN BỐ XUYÊN TÂM Để tìm các giá trị cực trị của hàm phân bố xuyên tâm trong plasma, ta có thể dùng bộ lọc hình chữ nhật, tam giác hoặc Gauss ứng dụng trên phần mềm Matlab 2010. Cụ thể ở đây là xác định các giá trị rmax và gmax, rmin và gmin của cực trị thứ nhất ứng với [ ]3 17 160. ,Γ∈ và 5 cực trị đầu ứng với [ ]20 160,Γ∈ . Giá trị các vị trí cũng như các cực trị đầu riên rmax, rmin, gmax, gmin của hàm phân bố xuyên tâm g(r) theo tham số tương liên Γ được cho trong bảng B.1. B. 1: Giá trị rmax, rmin, gmax, gmin của cực trị đầu tiên ứng với [ ]3 17 160Γ∈ . , của g(r). Γ 3.17 5 10 20 40 80 160 rmax 1.912349 1.764928 1.677864 1.666712 1.679623 1.702373 1.728841 rmin 3.333574 2.757275 2.529211 2.474163 2.459695 2.448089 2.422479 - 104 - 104 gmax 1.010515 1.041063 1.138506 1.306216 1.559343 1.921606 2.443333 gmin 0.999507 0.997066 0.977934 0.924876 0.832853 0.711819 0.566960 Kết quả này tương thích với các công trình gần đây nhất, ví dụ như [2] và cho phép ta tìm được các hàm giải tích của rmax, rmin, gmax, gmin theo Γ như sau: ( ) 0.4937 0.00025maxr 1.185e 1.663e− Γ ΓΓ = + (1) ( ) 0.6192 0.000199minr 5.982e 2.494e− Γ − ΓΓ = + (2) ( ) 0.002413 0.02404maxg 1.671e 0.7297eΓ − ΓΓ = − (3) ( ) 0.008035 0.001486ming 0.7367 e 0.2865e− Γ ΓΓ = + (4) Các hàm trên cho phép ta xác định được các cực trị của hàm g(r) đối với những giá trị của Γ không thu được từ các mô phỏng MC. Hình H.2 cho thấy độ chính xác của các biểu thức trên so với các số liệu MC là khoảng vài phần trăm. Tính liên tục của các cực trị cũng như vị trí của các cực trị này được biểu thị trên hình H.3. H.2. Đồ thị sai số giữa rmax, rmin, gmax, gmin cuả (1), (2), (3), (4) và số liệu MC tương ứng ở dòng 2, 3, 4, 5 trong bảng B.1. - 105 - 105 Phương pháp trên được vận dụng cho các cực trị tiếp theo của hàm g(r), cho kết quả trên các bảng B.2 và B.3. B. 2. Giá trị rmax và gmax của các cực trị ứng với [ ]20 160Γ∈ , của g(r). Số cực đại 160Γ = 80Γ = 40Γ = 20Γ = rmax gmax rmax gmax rmax gmax rmax gmax 1 1.728841 2.443333 1.702373 1.921606 1.679623 1.559343 1.666712 1.306216 2 3.234256 1.290842 3.231565 1.166028 3.240029 1.072840 3.277712 1.022685 3 4.693018 1.116727 4.737984 1.048700 4.787688 1.013905 4.853405 1.002362 4 6.183251 1.052984 6.240030 1.016216 6.320730 1.003031 6.511493 1.000331 5 7.666125 1.024805 7.755293 1.005622 7.805138 1.000713 7.834651 1.000147 H.3. Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của rmax, rmin, gmax, gmin theo Γ. Chấm tròn là dữ liệu rmax, rmin, gmax, gmin tương ứng ở dòng 2, 3, 4, 5 trong bảng B.1, đường liền nét là hệ thức rmax, rmin, gmax, gmin theo Γ được đề nghị bởi (1), (2), (3), và (4). - 106 - 106 Các hàm giải tích của các cực trị tương ứng được cho bởi các hệ thức từ (5) - (12). • Đối với 160Γ = : ( ) max max1.355r 0.0217rmax maxg r 13.34e 1.207e− −= + (5) • Đối với 80Γ = : ( ) max max1.261r 0.007804rmax maxg r 7.439e 1.067e− −= + (6) • Đối với 40Γ = : ( ) max max1.371r 0.001796rmax maxg r 5.486e 1.014e− −= + (7) • Đối với 20Γ = : ( ) max max1.64r 0.000196rmax maxg r 4.69e 1.002e− −= + (8) B. 3. Giá trị rmin và gmin của các cực trị ứng với [ ]20 160Γ∈ , của g(r). Số cực tiểu 160Γ = 80Γ = 40Γ = 20Γ = rmin gmin rmin gmin rmin gmin rmin gmin 1 2.422479 0.566960 2.448089 0.711819 2.459695 0.832853 2.474163 0.924876 2 3.961061 0.820554 3.980267 0.914355 4.012354 0.969041 4.071198 0.992846 3 5.455641 0.924393 5.494523 0.972333 5.558799 0.993530 5.712281 0.999217 4 6.928998 0.964934 6.996540 0.990454 7.073835 0.998534 7.209399 0.999853 5 8.407899 0.982606 8.508278 0.996407 8.605422 0.999663 8.411448 0.999956 • Đối với 160Γ = : ( ) min min0.002026 r 0.5651rmin ming r 1.015e 1.74e− −= − (9) • Đối với 80Γ = : ( ) min min0.000978r 0.8217 rmin ming r 0.9901e 2.098e−= − (10) • Đối với 40Γ = : ( ) min min0.000337 r 1.112 rmin ming r 0.997e 2.542e−= − (11) • Đối với 20Γ = : ( ) min min0.000059 r 1.493rmin ming r 0.9995e 3.008e−= − (12) Trên hình H.4, ta thấy rõ các cực trị của g(r) được nằm trong các đường bao biểu diễn của các biểu thức giải tích trên. - 107 - 107 H.4. Đồ thị biểu diễn số liệu MC và sự phụ thuộc của gmax theo rmax, gmin theo rmin. Chấm tròn là số liệu MC ứng với 160, 80, 40, 20Γ = , đường liền nét phía trên là hệ thức gmax theo rmax được đề nghị bởi (5), (6), (7), (8) và đường liền nét phía dưới là hệ thức gmin theo rmin được đề nghị bởi (9), (10), (11), (12). III. KẾT LUẬN Từ các hệ thức giải tích trên, ta sẽ xác định được các cực trị và vị trí các cực trị này đối với mỗi giá trị bất kỳ của tham số tương liên, chẳng hạn như với Γ = 172, tương ứng với trạng thái kết tinh của plasma cực đậm đặc. Các giá trị chính xác của các cực trị và vị trí của chúng của hàm g(r) cũng cho phép ta thực hiện phương pháp tham số hóa trật tự địa phương để thiết lập các biểu thức chính xác của thế màn chắn trong plasma. - 108 - 108 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Brush S. G., Sahlin H. L., Teller, E. (1966), “Monte Carlo Study of a One- Component Plasma. I*”, The Journal of Chemical Physics, 45 (6), pp. 2102-2118. 2. De Witt H. E., Slattery W., and Chabrier G. (1996), “Numerical simulation of strongly coupled binary ionic plasmas”, Physica B, 228(1-2), pp. 21-26. 3. Do Xuan Hoi, Tran Thi Ngoc Lam (2011), “On the linear behavior of the screening potential in high-density plasmas”, Tạp chí Khoa học Tự nhiên, ĐHSP TP.HCM, 30, tr.59-67 4. Hansen J. P. (1973),”Statistical Mechanics of Dense Ionized Matter. I. Equilibrium Properties of the Classical One-Component Plasma”, Phys. Rev. A 8, pp. 3096–3109.

Các file đính kèm theo tài liệu này:

  • pdftvefile_2013_01_17_1895485314_7573.pdf