Luận văn Toán tử trung hòa và phương trình vi phân trung hòa

Luận văn trên dựa vào các kết quả của bài báo [3]. Trong đó tôi trình bày lại các kết quả của bài báo, được tóm tắt như sau Dựa vào định lý 1.1, chứng minh các tính chất của toán tử trung hòa ( Ax t x t cx t t )( ) = − − ( ) ( δ ( )) trong trường hợp c ≠ 1, được thể hiện trong các bổ đề 2.1, 2.2 và 2.3. Dựa vào bổ đề 3.1, chứng minh sự tồn tại các nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân trung hòa cấp hai loại Rayleigh có dạng ( x t cx t t f t x t g t x t t e t ( ) − − = + − + ( δ τ ( )))'' , ' , ( ( )) ( ( ( ))) ( ), trong đó τ ω ,e C x C x t x t t ∈ = ∈ + = ∈ ω { (  , : , ) ( ) ( ) } và ( ) 0 e t dt 0; ω ∫ = f và g là các hàm liên tục trên 2 và tuần hoàn theo biến t, nghĩa là f t f t ( + = ω,. ,. , ) ( ) g t g t ( + = ω,. ,. ; ) ( ) f t ( ,0 0, ) = f t u ( , 0 ) ≥ hoặc f t u t u ( , 0, , . ) ≤ ∀ ∈ ( ) 2

pdf58 trang | Chia sẻ: phamthachthat | Ngày: 14/08/2017 | Lượt xem: 251 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Luận văn Toán tử trung hòa và phương trình vi phân trung hòa, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
i đó ( )3.2 được chuyển về phương trình vắn tắt .Lx Nx= Từ định nghĩa của L dễ dàng thấy rằng ( ) ( ) 12 0 2 0 ker , Im : 0 y s L L y Y ds y s      ≅ = ∈ =          ∫ ω ( )3.6 Vậy L là toán tử Fredholm với chỉ số 0. Cho 1 :P X KerL→ và 21 1: ImQ Y Q→ ⊂  được định bởi ( )( ) ( ) 1 1 2 0 ; 0 Ax Px x   =      ( ) ( ) 1 1 0 2 1 , y s Q y ds y s ω ω   =      ∫ ( )3.7 thì 1Im ,P KerL= 1 Im .KerQ L= Đặt ( )1 1|P D L KerPL L ∩= và ( )1 1 : ImPL L D L − → được hiểu là ánh xạ ngược của 1P L , khi đó ( ) ( )( ) ( )( ) [ ]( ) ( ) [ ]( ) ( ) 1 1 11 2 1 1 2 2 0 0 , , . P t t A Fy t L y t Fy t Fy t y s ds Fy t y s ds − −      =      = =∫ ∫ ( )3.8 16 Từ ( )3.5 và ( )3.8 rõ ràng rằng 1Q N và ( )1 1 1PL I Q N − − là liên tục và ( )1Q N Ω bị chặn và khi đó ( ) ( )1 1 1PL I Q N− − Ω là compắc với bất kỳ tập mở, bị chặn ,XΩ⊂ điều này có nghĩa N là L − compắc trên .Ω Bây giờ chúng ta đưa ra những kết quả chính về nghiệm tuần hoàn của ( )3.1 . Định lý 3.2. Giả sử có tồn tại các hằng số dương 1, , ,K D M b với M e≥ sao cho ( ) ( ) 11 , ,H f t u K u b≤ + với ( ), ;t u ∈ ×  ( ) ( )2 sgn . , ,H x g t x e> với ;x D> ( ) ( )3 , ,H g t x M≥ − với x D≤ − và .t∈ Khi đó ( )3.1 có ít nhất một nghiệm tuần hoàn với chu kỳ ω khi ( ) 1 1 2 2 1 1 1 2 0 1, 1 c K c c + < < − − ω δ trong đó ( ) [ ]{ }1 max ' : 0, .t t= ∈δ δ ω Chứng minh Do cách xây dựng thì ( )3.2 có một nghiệm tuần hoàn với chu kỳ ω nếu và chỉ nếu phương trình hàm sau có một nghiệm tuần hoàn chu kỳ :ω Lx Nx= ( )3.9 Từ ( )3.8 ta thấy rằng N là L − compắc trên ,Ω với Ω là tập mở, bị chặn trong .Cω Với ( ]0,1∈λ ta định nghĩa { }1 : .x C C Lx NxΩ = ∈ × =ω ω λ ( )3.10 Khi đó ( )1 2 1, Tx x x= ∈Ω thỏa mãn ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) 1 2 2 1 1 ' , ' , ' , . Ax t x t x t f t x t g t x t t e t = = + − + λ λ λ τ λ ( )3.11 Đầu tiên ta khẳng định rằng có hằng số ∈ξ sao cho ( )1 .x D≤ξ ( )3.12 17 Từ biểu thức ( ) ( )1 0 ' 0,Ax t dt =∫ ω ta biết rằng tồn tại hai hằng số [ ]1 2, 0,t t ∈ ω sao cho ( ) ( )1 1' 0,Ax t ≥ ( ) ( )1 2' 0.Ax t ≤ Từ phương trình đầu tiên của ( )3.11 ta có ( ) ( ) ( )2 1 1 ' ,x t Ax t= λ vì vậy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 2 2 1 2 1 ' 0, 1 ' 0. x t Ax t x t Ax t = ≥ = ≤ λ λ ( )3.13 Lấy [ ]3 4, 0,t t ∈ ω tương ứng là điểm cực đại và cực tiểu toàn cục của ( )2 .x t Khi đó ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 2 4 2 4 0, ' 0, 0, ' 0. x t x t x t x t ≥ = ≤ = ( )3.14 Từ giả thiết ( )1, ' 0f t x ≥ hoặc ( )1, ' 0,f t x ≤ không mất tính tổng quát ta giả sử rằng ( )1, ' 0f t x ≥ với ( ) [ ]1, ' 0, .t x ∈ ×ω Khi đó ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) 3 1 3 3 3 3 1 3 3 1 3 3 3 , , ' 0, , . g t x t t e t f t x t g t x t t e t e − − − = ≥ − ≤ − ≤ τ τ ( )3.15 Từ ( )2H ta có ( )( )1 3 3 .x t t Dτ− ≤ ( )3.16 Tương tự ta có ( )( )( ) ( )4 1 4 4 3, ,g t x t t e t e− ≥ − ≥ −τ ( )3.17 và do ( )2H nên ( )( )1 4 4 .x t t D− ≥ −τ ( )3.18 Trường hợp 1: Nếu ( )( ) ( ]1 3 3 ,x t t D Dτ− ∈ − thì ta đặt ( )3 3 ,t t= −ξ τ khi đó ( )1 .x D≤ξ Trường hợp 2: Nếu ( )( )1 3 3x t t D− ≤ −τ thì từ ( )3.18 và do 1x liên tục trên  nên tồn tại hằng số ξ giữa ( )( )3 3t t−τ và ( )( )4 4t t−τ sao cho ( )1 .x D=ξ Điều này chứng minh ( )3.12 . Chọn hằng số k và hằng số [ ]5 0,t ∈ ω sao cho 5 ,k t= +ξ ω thì ( ) ( )1 1 5 .x x t D= ≤ξ Do đó 18 ( ) ( ) ( ) ( ) 5 1 1 5 1 1 0 ' ' . t t x t x t x s ds D x s ds ω ≤ + ≤ +∫ ∫ ( )3.19 Thế ( ) ( ) ( )2 1 1 'x t Ax t= λ vào phương trình thứ hai của ( )3.11 ta có ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) '' 1 1 1 1 , ' , ,Ax t f t x t g t x t t e t  = + − +    λ λ τ λ λ ( )3.20 Suy ra ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )'' 2 2 21 1 1, ' , .Ax t f t x t g t x t t e t= + − +λ λ τ λ ( )3.21 Lấy tích phân hai vế của ( )3.21 trên đoạn [ ]0, ,ω ta có ( )( ) ( )( )( )1 1 0 , ' , 0.f t x t g t x t t dt + − = ∫ ω τ ( )3.22 Mặt khác, nhân hai vế của ( )3.21 với ( )( )1Ax t và lấy tích phân trên [ ]0, ,ω ta có ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( ) 2'' ' 1 1 1 0 0 2 1 1 0 2 2 1 1 1 0 0 , ' , . Ax t Ax t dt Ax t dt f t x t Ax t dt g t x t t Ax t dt e t Ax t dt ω ω ω ω ω λ λ τ λ = − = + − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( )3.23 Sử dụng ( )1H ta có ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) 2' 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 ' 1 1 1 1 0 0 , ' , 1 , . Ax t dt f t x t x t cx t t dt g t x t t x t cx t t dt e t x t cx t t dt c x K x t dt b g t x t t dt e ≤ − − + − − − + − −   ≤ + + + − +    ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ω ω ω ω ω ω δ τ δ δ ω τ ω ( )3.24 Ngoài ra chúng ta có thể khẳng định rằng tồn tại hằng số dương 1N sao cho ( )( )( ) ( )'1 1 1 1 0 0 , 2 .g t x t t dt N b K x t dt− ≤ + +∫ ∫ ω ω τ ω ω ( )3.25 19 Thật vậy, từ ( )1H và ( )3.22 ta có ( )( )( ) ( ){ } ( )( )( ) ( )( ){ } ( )( )( ) ( )( ){ } ' ' 1 1 1 1 1 0 0 ' 1 1 0 , , , , , 0. g t x t t K x t b dt g t x t t f t x t dt g t x t t f t x t dt − − − ≤ − − ≤ − + = ∫ ∫ ∫ ω ω ω τ τ τ ( )3.26 Định nghĩa 1 2,E E như sau [ ] ( )( ){ } [ ] ( )( ){ } [ ] ( )( ){ } 1 1 2 1 1 0, : ; 0, : 0, : . E t x t t D E t x t t D t x t t D = ∈ − > = ∈ − ≤ ∪ ∈ − < − ω τ ω τ ω τ ( )3.27 Với các tập này ta có ( )( )( ) [ ] ( )( ) ( ) 12 1 1 0, , , max , sup , . t x t t DE g t x t t dt M g t x ∈ − ≤   − ≤     ∫ ω τ τ ω ( )( )( ) ( ){ } ( )( )( ) ( ){ } ( )( )( ) ( ){ } ( )( )( ) ( ){ } 1 1 2 2 ' ' 1 1 1 1 1 1 ' 1 1 1 ' 1 1 1 , , , , , E E E E g t x t t K x t b dt g t x t t K x t b dt g t x t t K x t b dt g t x t t K x t b dt − − − = − − − ≤ − − − − ≤ − + + ∫ ∫ ∫ ∫ τ τ τ τ ( )3.28 Suy ra ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) 1 2 1 2 2 ' 1 1 1 1 ' 1 1 1 0 , , , . E E E E E g t x t t dt g t x t t dt K x t b dt g t x t t dt b K x t dt ∪ − ≤ − + + = − + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ω τ τ τ ω ( )3.29 Vậy ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) 1 2 1 1 1 0 , , , E E g t x t t dt g t x t t dt g t x t t dt ω τ τ τ− = − + −∫ ∫ ∫ ( )( )( ) ( ) 2 ' 1 1 1 0 2 , E g t x t t dt b K x t dt ω τ ω≤ − + +∫ ∫ [ ] ( )( ) ( ) ( ) 1 ' 1 1 1 0, , 0 2 max , sup , t x t t D M g t x b K x t dt ω ω τ ω ω ∈ − ≤   ≤ + +    ∫ ( )'1 1 1 0 2 .N b K x t dt ω ω ω= + + ∫ ( )3.30 20 Trong đó [ ] ( )( ) ( ) 1 1 1 0, , max , sup , , t x t t D N M g t x ∈ − ≤   =    ω τ suy ra ( )3.25 . Thế ( )3.25 vào ( )3.24 và nhớ lại ( )3.19 ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2' ' 1 1 1 1 1 [0, ] 0 0 1 2 2 2 | ( ) | t Ax t dt c x K x t dt b N max e t ω ω ω ω ω ω ∈   ≤ + + + +    ∫ ∫ ( ) ( )'1 1 1 1 1 1 1 [0, ] 0 1 2 2 2 | ( ) | t c K x x t dt b x N x x max e t ω ω ω ω ω ∈   = + + + +    ∫ ( ) ( ) ( )' '1 1 1 0 0 1 2c K D x t dt x t dt ω ω   ≤ + +      ∫ ∫ ( ) ( )'1 1[0, ] 0 2 2 | ( ) | t b N max e t D x t dt ω ω ω ω ω ∈   + + + +     ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ' ' ' 1 1 1 1 2 1 2 0 0 0 1 2 2c K D x t dt K x t dt N x t dt N D ω ω ω    = + + + +      ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 ' ' 1 1 2 1 1 2 0 0 2 1 1 2 1 ,K c x t dt c N K D x t dt c N D ω ω  = + + + + + +    ∫ ∫ ( )3.31 trong đó 2 12 2 || ||N b N e= + +ω ω ω . Do ( ) ( )( ) ( ) ( ) ,Ax t x t cx t tδ= − − ta có ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ). Ax t x t cx t t x t cx t t cx t t t Ax t cx t t t Ax t Ax t cx t t t δ δ δ δ δ δ δ δ ′′ = − − ′ ′ ′ ′= − − + − ′ ′ ′= + − ′′ ′ ′= − − ( )3.32 Áp dụng bổ đề 2.1, ta có: ( ) ( )' 11 1 0 0 ( )x t dt A Ax t dt ω ω − ′=∫ ∫ 21 ( )1 0 ( ) 1 Ax t dt c ω ′ ≤ − ∫ ( ) ( )1 1 0 ( ) ( ) ( ) 1 Ax t cx t t t dt c ω δ δ′ ′ ′− − = − ∫ ( )1 1 1 0 0 ( ) ( ) , 1 Ax t dt c x t dt c ω ω δ′ ′+ ≤ − ∫ ∫ ( )3.33 trong đó 1 [0, ] | ( ) |tmax t∈ ′= ωδ δ . Suy ra ( ) ( ) ( )'1 1 1 0 0 1 ( ) .c c x t dt Ax t dt ω ω δ ′− − ≤∫ ∫ Ta có ( ) ( )1/21/2 1 10 1 2 / 1c K c cω δ Vì vậy ta có: ( ) ( ) ( ) 1/22 1/2 11 00 1 1 10 ( )( ) . 1 1 Ax t dtAx t dt x t dt c c c c ωω ω ω δ δ  ′′    ′ ≤ ≤ − − − − ∫∫ ∫ ( )3.34 Áp dụng bất đẳng thức ( )k k ka b a b+ ≤ + với , 0, 0 1a b k> < < , và từ (3.31) và (3.34) ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1/21/2 1/2 1/2 1/2 1 1 1 2 1 1 0 0 1/2 1/2 2 1 2 1 . 2 1 1 . x t dt c K x t dt c x t dt N K D c c c N D ω ω ωω δ ′   ′ ′≤ + + + +  − −    + +  ∫ ∫ ∫ ( )3.35 Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1/2 1/2 1/21/21/2 1/2 1 2 1 1 1 1 10 0 1/2 1/21/2 2 1 1 2 1 2 0 1 1 1 1 . 1 c K c N K D x t dt x t dt c c c c c N D c c ω ωω ω δ δ ω δ  + + +  ′ ′ ≤ − +    − − − −    + + − − ∫ ∫ 22 Do ( ) ( )1/21/2 1 11 2 / 1 1c K c cω δ+ − − (phụ thuộc vào λ ) sao cho ( )1 1 0 .x t dt M ω ′ ≤∫ ( )3.36 Từ (3.19) ta có ( )1 1 1 2 0 : .x D x t dt D M M ω ′≤ + ≤ + =∫ ( )3.37 Từ phương trình đầu tiên của (3.11), ta có ( ) ( ) ( )2 1 0 0 1 0,x t dt Ax t dt ω ω λ ′= =∫ ∫ điều này dẫn đến tồn tại hằng số 1 [0, ]t ∈ ω sao cho ( )2 1 0x t = , do đó ( )2 2 0 x x t dt′≤ ∫ ω . Từ phương trình thứ hai của (3.11) ta có ( ) ( )( ) ( )( ) ( )2 1 1, , ( .x t f t x t g t x t t e tλ λ τ λ′ ′= + − + ( )3.38 Vì vậy, từ 1H , (3.25) và (3.36) ta có ( )( ) ( )( )( ) ( )2 1 1 0 0 0 1 1 1 3 , , 2 2 2 : . x f t x t dt g t x t t dt e t dt K M b N e M ω ω ω τ ω ω ω ′≤ + − + ≤ + + + = ∫ ∫ ∫ ( )3.39 Đặt ( ){ }2 24 2 3 1 2 1 4 2 41, , : , ,TM M M x x x x M x M= + + Ω = = < < khi đó với mọi x KerL∈∂Ω∩ ta có ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) 2 1 0 1 1 1 . , , x t Q Nx dt f t x t g t x t t e t ω ω τ    = ′ + − +   ∫ ( )3.40 Nếu 1 0Q Nx = thì 2 1 4( ) 0,x t x M= = hoặc 1 4x M= − . Nhưng nếu 1 4( )x t M= , ta biết rằng ( )4 0 0 , ,g t M dt ω = ∫ ( )3.41 thì tồn tại [ ]0 0,t ω∈ sao cho ( )0 4, 0.g t M = Từ giả thiết ( )2H ta suy ra 4M D≤ , điều này dẫn đến mâu thuẫn, lập luận tương tự cho trường hợp 1 4x M= − . 23 Vậy ta có 1 0Q Nx ≠ , do đó với mọi x KerL∈∂Ω∩ thì Im .Nx L∉ Vì vậy điều kiện (1) và (2) của bổ đề 3.1 được thỏa mãn. Xét phép đồng cấu 1: ImJ Q KerL→ định bởi ( ) ( )1 2 2 1, , . T TJ x x x x= ( )3.42 Đặt ( ) ( )1, (1 ) , , [0,1] ,H x x JQ Nx xµ µ µ µ= + − ∈ ×Ω khi đó ( ) ( ) ( ), 0,1 ,x KerLµ∀ ∈ × ∂Ω∩ ta có ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 2 2 0 1 1 1 0 2 1 , , , 1 1 , , , 1 , 0,1 . x t f t x t g t x t t e t dt H x x t x t dt x t f t x t g t x t t e t dt x t x KerL ω ω ω µµ τ ω µ µµ ω µµ τ ω µ µ µ  −  ′+ + − +    =  − +     −  ′+ + − +   =    + −  ∀ ∈ × ∂Ω∩ ∫ ∫ ∫ ( )3.43 Từ ( )2H , rõ ràng là ( ), 0,Tx H xµ > ( ) ( ) ( ), 0,1 .x KerLµ∀ ∈ × ∂Ω∩ Do đó { } { } { } { } 1deg , ,0 deg (0, ), ,0 deg (1, ), ,0 deg , ,0 0. JQ N KerL H x KerL H x KerL I KerL Ω∩ = Ω∩ = Ω∩ = Ω∩ ≠ ( )3.44 Vậy điều kiện (3) của bổ đề 3.1 được thỏa mãn. Áp dụng bổ đề 3.1, ta kết luận rằng phương trình xL x N= có một nghiệm ( )1 2, Tx x x= trên ( ),D LΩ∩ do đó (3.1) có nghiệm ( )1x t tuần hoàn với chu kỳ .ω Bằng lập luận tương tự ta có định lý sau Định lý 3.3. Giả sử tồn tại các hằng số dương 1, , ,K D M b với M e> sao cho ( ) ( )1 1, ,H f t u K u b≤ + , với mọi ( ), ;t u ∈ ×  ( )2 sgn . ( , ) ,H x g t x e> , với ;x D> ( )3 ( , ) ,H g t x M≤ với x D≥ và ,t∈ Khi đó (3.1) có ít nhất một nghiệm tuần hoàn với chu kỳ ω nếu ( ) ( )1/2 1 10 1 2 / 1 1.c K c cω δ< + − − < 24 Chú ý 3.4: Nếu ( ) 0 0e t dt ≠∫ ω và ( ,0) 0f t ≠ thì bài toán tồn tại nghiệm tuần hoàn chu kỳ ω của (3.1) có thể đưa về bài toán tồn tại nghiệm tuần hoàn chu kỳ ω của phương trình ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )1 1 1x , , ,x t c t t f t x t g t x t t e tδ τ′′ ′− − = + − + ( )3.45 trong đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 0 1, , ,0 , , , ,0f t x f t x f t g t x g t x e t dt f t ω ω = − = + +∫ và ( ) ( ) ( )1 0 1 .e t e t e t dt ω ω = − ∫ Rõ ràng ( )10 0e t dt ω =∫ và ( )1 ,0 0f t = và có thể áp dụng định lý 3.2 (hoặc định lý 3.3) cho phương trình (3.45). 25 CHƯƠNG 4: NGHIỆM TUẦN HOÀN DƯƠNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRUNG HÒA Xét phương trình vi phân trung hòa cấp hai sau đây ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )'' . ,x t cx t t a t x t b t f x t tδ λ τ− − = − + − ( )4.1 Với λ là tham số dương; [ )( ), 0;f C∈ ∞ và ( ) 0f x > với 0x > ; ( )( ), 0;a C∈ ∞ với ( ) [ ]{ } 2 max : 0; ;a t t πω ω  ∈ <     ( )( ), 0; ;b C∈ ∞ ( ), ;Cτ ∈   ( ) ( ) ( ), ,a t b t tτ là các hàm tuần hoàn có chu kỳ ω . Định nghĩa không gian Banach X như trong chương 2, và ( )( ) ( ) ( ){ }, 0; : , .C x C x t x t tω ω+ = ∈ ∞ + = ∈  Kí hiệu ( ) [ ]{ }max : 0; ,M a t t ω= ∈ ( ) [ ]{ }min : 0; ,m a t t ω= ∈ ,Mβ = ( ) 1 , 2 sin / 2 L β βω = ( ) ( ) cos / 2 , 2 sin / 2 l βω β βω = ( ) ,k l M m LM= + + 2 1 4 , 2 k k LlMmk LM − − = ( )( ) .1 l m M m c LM c α  − +  = − ( )4.2 Dễ thấy 1, , , , , , 0.M m L l k kβ > ( ) 0 0 lim , x f x f x→ = ( )lim , x f x f x∞ →∞ = ( ) 0 0 lim , x f x f x→ = ( )lim , x f x f x∞ →∞ = ( )4.3 Và kí hiệu 0i = số các số 0 trong ( )0, ,f f ∞ 0i = số các số 0 trong ( )0, ,f f ∞ i∞ = số các ∞ trong ( )0, ,f f ∞ i∞ = số các ∞ trong ( )0, .f f ∞ ( )4.4 Rõ ràng là { }0 0, , , 0,1,2 .i i i i∞ ∞ ∈ Ta sẽ chỉ ra rằng ( )4.1 có 0i hoặc i∞ nghiệm dương tuần hoàn với chu kì ω khi λ đủ lớn hoặc đủ nhỏ tương ứng. 26 Sau đây ta xét ( )4.1 trong hai trường hợp, cụ thể là, trường hợp 0c < và 1min , mc k M m  > −   +  (chú ý rằng mc M m > − + kéo theo 0;α > 1c k> − kéo theo c α và ( ) ( ) min , LM lmmc M m L l M lm  − <   + − −   (chú ý rằng mc M m < + kéo theo 0;α > ( ) ( ) LM lm c L l M lm − < − − kéo theo 1α < ). Rõ ràng ta có 1c < nên có thể áp dụng bổ đề 2.1 cho cả hai trường hợp và áp dụng bổ đề 2.2, 2.3 tương ứng cho trường hợp 1, trường hợp 2. Lấy ( ){ }:K x X x t xα= ∈ ≥ là nón trong X, với α được định nghĩa ở trên. Đặt { }:rK x K x r= ∈ < và { }:rK x K x r∂ = ∈ = . Cho ( ) ( )( )y t Ax t= , khi đó từ bổ đề 2.1 ta có ( ) ( )( )1x t A y t−= . Do đó ( )4.1 được biến đổi thành ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( )1'' . ,y t a t A y t b t f x t tλ τ−+ = − ( )4.5 Hay ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )'' . ,y t a t y t a t H y t b t f x t tλ τ+ − = − ( )4.6 Với ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 1H y t y t A y t c A y t tδ− −= − = − − Bây giờ chúng ta xét hai trường hợp 4.1. Trường hợp 1: Giả sử 0c < và 1min , mc k M m  > −   +  Bổ đề 4.1. (xem [8]) Phương trình ( ) ( ) ( )'' ,y t My t h t h Cω++ = ∈ ( )4.7 có một nghiệm tuần hoàn chu kì ω duy nhất ( ) ( ) ( ), t t y t G t s h s ds ω+ = ∫ ( )4.8 với ( ) [ ] cos 2, , , 2 sin 2 t s G t s s t t ωβ ωβωβ  + −   = ∈ + ( )4.9 27 Bổ đề 4.2. (xem [8]) Ta có ( ) 1, t t G t s ds M ω+ =∫ . Hơn nữa nếu ( ) [ ]{ } 2 max : 0;a t t πω ω  ∈ <     thì ( ) [ ]0 , , 0,l G t s L t ω< ≤ ≤ ∀ ∈ và [ ], .s t t ω∈ + Bây giờ ta xét phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )'' ,y t a t y t a t H y t h t h Cω++ − = ∈ ( )4.10 Cho toán tử , :T H X X→ định bởi ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ), , . t t Th t G t s h s ds H y t My t a t y t a t H y t ω+ = = − +∫ ( )4.11 Ta có ,T H là hoàn toàn liên tục, ( )( ) 0Th t > khi ( ) 0h t > và  . 1 M c H M m c ≤ − + − Từ bổ đề 4.1, nghiệm của ( )4.10 có thể viết lại dưới dạng ( ) ( )( ) ( )( )y t Th t T H y t= + ( )4.12 Vì 0c < và 1min , mc k M m  > −   +  nên ta có   ( ) 1,1 M m m c T H T H M c − + ≤ ≤ < − ( )4.13 Và do đó ( ) ( ) ( )( )1y t I T H Th t−= − ( )4.14 Định nghĩa toán tử :P X X→ như sau ( )( ) ( ) ( )( )1Ph t I T H Th t−= − ( )4.15 Rõ ràng với bất kì ,h Cω +∈ nếu ( ) [ ]{ } 2 max : 0;a t t πω ω  ∈ <     thì ( ) ( )( )y t Ph t= là nghiệm tuần hoàn dương chu kì ω duy nhất của ( )4.10 . Bổ đề 4.3. P là hoàn toàn liên tục và ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1 , . M c Th t Ph t Th h C m M m c ω +−≤ ≤ ∀ ∈ − + ( )4.16 Chứng minh Từ định nghĩa toán tử P ta có 28 ( ) 1P I T H T−= −  ( ) ( )2 ... ...nI T H T H T H T = + + + + +    ( )4.17  ( ) ( )2 ... ....nT T HT T H T T H T= + + + + + Vì T và H là hoàn toàn liên tục nên P cũng hoàn toàn liên tục. Hơn nữa từ ( )4.17 và  ( ) 1,1 M m m c T H M c − + ≤ < − ta có ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 11 . 1 1 M c Th t Ph t Th Th M m m c m M m c M c − ≤ ≤ = − + − + − − ( )4.18 Định nghĩa toán tử :Q X X→ như sau ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )1. .Qy t P b t f A y t tλ τ−= − ( )4.19 Bổ đề 4.4. Ta có ( ) .Q K K⊂ Chứng minh Từ định nghĩa của Q, dễ thấy ( ) ( ).Qy t Qy tω+ = Với ,y K∈ từ bổ đề 4.3 ta có ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) 1 1 . . Qy t P b t f A y t t T b t f A y t t λ τ λ τ − − = − ≥ − ( ) ( ) ( ) ( )( )1,t t G t s b s f A y s s ds ω λ τ + − = − ∫ ( )4.20 ( ) ( ) ( )( )1 0 .l b s f A y s s ds ω λ τ− ≥ − ∫ Mặt khác, ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) 1 1 . 1 . Qy t P b t f A y t t M c T b t f A y t t m M m c λ τ λ τ − − = − − ≤ − − + ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 0, 1 max , t tt M c G t s b s f A y s s ds m M m c ω ω λ τ + − ∈ −  = − − + ∫ 29 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 0 1 . M c L b s f A y s s ds m M m c ω λ τ− −  ≤ − − + ∫ ( )4.21 Suy ra ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 1 0 . 1 m M m c b s f A y s s ds Qy LM c ω λ τ− − + − ≥  −∫ Cho nên ( ) ( )( ) ,1 l m M m c Qy t Qy Qy LM c α  − +  ≥ = − ( )4.22 Do đó ( ) .Q K K⊂ Từ tính liên tục của P, suy ra Q hoàn toàn liên tục trên X. So sánh ( )4.6 và ( )4.10 , ta có sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của ( )4.6 là tương đương với sự tồn tại điểm bất động của Q trên X. Từ bổ đề 4.4 ta có sự tồn tại nghiệm tuần hoàn dương của ( )4.6 là tương đương với với sự tồn tại điểm bất động của Q trên K. Hơn nữa nếu Q có một điểm bất động y trong K, có nghĩa rằng ( )( )1A y t− là một nghiệm dương tuần hoàn với chu kỳ ω của ( )4.1 . Bổ đề 4.5. Nếu tồn tại 0η > sao cho ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )1 1f A y t t A y t tτ τ η− −− ≥ − với [ ]0, ,t y Kω∈ ∈ ( )4.23 thì ( )2 0 , . 1 c Qy l b s ds y y K c ωα λ η − ≥ ∈ − ∫ ( )4.24 Chứng minh Từ các bổ đề 2.2, 4.2 và 4.3, với y K∈ ta có 30 ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 1 1 1 0 2 0 . . , . . . 1 t t Qy t P b t f A y t t T b t f A y t t G t s b s f A y s s ds l b s A y s s ds c l b s ds y c ω ω ω λ τ λ τ λ τ λ η τ α λ η − − + − − = − ≥ − = − ≥ − − ≥ − ∫ ∫ ∫ Do đó ( )2 0 , . 1 c Qy l b s ds y y K c ωα λ η − ≥ ∈ − ∫ Bổ đề 4.6. Nếu tồn tại 0ε > sao cho ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )1 1f A y t t A y t tτ τ ε− −− ≤ − với [ ]0, ,t y Kω∈ ∈ ( )4.27 thì ( ) ( ) 0 , . LM b s ds Qy y y K m M m c ω λε≤ ∈ − + ∫ ( )4.28 Chứng minh Từ các bổ đề 2.2, 4.2 và 4.3, với y K∈ ta có ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) 1 1 . 1 . Qy t P b t f A y t t M c T b t f A y t t m M m c λ τ λ τ − − = − − ≤ − − + ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 0, 1 max , t tt M c G t s b s f A y s s ds m M m c ω ω λ τ + − ∈ −  = − − + ∫ ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 1 0 1 . M c L b s A y s s ds m M m c ω λ ε τ− − ≤ − − + ∫ ( )4.29 ( ) ( ) 0 . LM b s ds y m M m c ω λε≤ − + ∫ Do đó 31 ( ) ( ) 0 , . LM b s ds Qy y y K m M m c ω λε≤ ∈ − + ∫ Định nghĩa các hàm 1, :F f →  như sau ( ) ( ) ( ) ( )1 2 max : 0 , 1 min : 1 1 rF r f t t c c rf r f t r t c c α   = ≤ ≤  −    − = ≤ ≤  − −   ( )4.30 Bổ đề 4.7. Nếu ry K∈∂ thì ( ) ( )1 0 .Qy lf r b s ds ω λ≥ ∫ ( )4.31 Chứng minh Từ bổ đề 2.2, ta có ( ) ( )( )121 1 c rr A y t t c c α τ− − ≤ − ≤ − − với ry K∈∂ . Suy ra ( ) ( )( )( ) ( )1 1 .f A y t t f rτ− − ≥ Từ các bổ đề 2.2, 4.2 và 4.3, với ry K∈∂ ta có ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 0 . . , . . t t Qy t P b t f A y t t T b t f A y t t G t s b s f A y s s ds lf r b s ds ω ω λ τ λ τ λ τ λ − − + − = − ≥ − = − ≥ ∫ ∫ Do đó ( ) ( )1 0 , .rQy lf r b s ds y K ω λ≥ ∈∂∫ Bổ đề 4.8. Nếu ry K∈∂ thì ( ) ( ) ( ) ( )0 1 . LM c F r Qy b s ds m M m c ω λ − ≤ − + ∫ ( )4.32 Chứng minh Từ bổ đề 2.2, ta có ( ) ( )( )10 1 rA y t t c τ−≤ − ≤ − với ry K∈∂ . 32 Suy ra ( ) ( )( )( ) ( )1 .f A y t t F rτ− − ≤ Từ các bổ đề 2.2, 4.2 và 4.3, với ry K∈∂ ta có ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) 1 1 . 1 . Qy t P b t f A y t t M c T b t f A y t t m M m c λ τ λ τ − − = − − ≤ − − + ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 0, 1 max , t tt M c G t s b s f A y t t ds m M m c ω ω λ τ + − ∈ −  = − − + ∫ ( ) ( ) ( ) ( )0 1 . LM c F r b s ds m M m c ω λ − ≤ − + ∫ Do đó ( ) ( ) ( ) ( )0 1 , .r LM c F r Qy b s ds y K m M m c ω λ − ≤ ∈∂ − + ∫ Bổ đề 4.9. (xem [4]) Cho X là không gian Banach và K là một nón trên X. Với 0r > , định nghĩa { }: .r u K u rK = ∈ < Giả sử : rT KK → là hoàn toàn liên tục sao cho Tx x≠ với { }: .rx K u K u r∈∂ = ∈ = (i) Nếu Tx x≥ với mọi rx K∈∂ thì ( ), , 0.ri T K K = (ii) Nếu Tx x≤ với mọi rx K∈∂ thì ( ), , 1.ri T K K = Bây giờ chúng ta đưa ra những kết quả chính về nghiệm tuần hoàn dương của (4.1). Định lý 4.10. (a) Nếu 0 1i = hoặc 2 thì ( )4.1 có 0i nghiệm dương tuần hoàn với chu kỳ ω khi ( ) ( )1 0 1 0. 1 sf l b s d ωλ > > ∫ (b) Nếu 1i∞ = hoặc 2 thì ( )4.1 có i∞ nghiệm dương tuần hoàn với chu kỳ ω khi ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 . 1 1 s m M m c LM c F b s d ωλ − + < < − ∫ 33 (c) Nếu 0i∞ = hoặc 0 0i = thì ( )4.1 không có nghiệm dương tuần hoàn với chu kỳ ω khi 0λ > đủ nhỏ hoặc đủ lớn tương ứng. Chứng minh (a) Chọn 1 1.r = Lấy ( ) ( ) 0 1 0 1 0, 1 sf l b s d ωλ = > ∫ khi đó từ bổ đề 4.7, 0λ λ∀ > ta có Qy y> với mọi 1 .ry K∈∂ ( )4.33 Trường hợp 1: Nếu 0 0f = thì tồn tại 2r ( )2 10 r r< < sao cho ( )f u uε≤ với mọi 20 u r≤ ≤ , với hằng số 0ε > thỏa mãn ( ) ( ) 0 1. LM b s ds m M m c ω λε < − + ∫ ( )4.34 Chọn ( )2 21 .r c r= − Từ bổ đề 2.2 ta có ( ) ( )( )1 2 20 1 1 y rA y t t r c c τ−≤ − ≤ = = − − với 2 .ry K∈∂ Suy ra ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )1 1f A y t t A y t tτ ε τ− −− ≤ − với 2 .ry K∈∂ Từ bổ đề 4.6 và ( )4.34 với 2r y K∈∂ ta có ( ) ( ) 0 . LM b s ds Qy y y m M m c ω λε≤ < − + ∫ ( )4.35 Từ bổ đề 4.9 và ( )4.33 ta có ( ) ( )2 1, , 1, , , 0.r ri Q K K i Q K K= = ( )4.36 Như vậy ( )1 2, \ , 1r ri Q K K K = − và do đó Q có một điểm bất động 1 2\ ,r ry K K∈ tức là ( )( )1A y t− là một nghiệm tuần hoàn dương với chu kỳ ω của ( )4.1 khi 0.λ λ> 34 Trường hợp 2: Nếu 0f∞ = thì tồn tại hằng số 0H > sao cho ( )f u uε≤ với mọi u H≥  , với hằng số 0ε > thỏa mãn ( ) ( ) 0 1. LM b s ds m M m c ω λε < − + ∫ ( )4.37 Chọn ( )2 3 1 1 max 2r , . H c r cα  − =   −    Từ bổ đề 2.2 ta có ( ) ( )( )1 32 21 1 c c A y t t y r H c c α α τ− − − − ≥ = ≥ − −  với 3 .ry K∈∂ Suy ra ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )1 1f A y t t A y t tτ ε τ− −− ≤ − với 3 .ry K∈∂ Từ bổ đề 4.6 và ( )4.37 với 3r y K∈∂ ta có ( ) ( ) 0 . LM b s ds Qy y y m M m c ω λε≤ < − + ∫ ( )4.38 Từ bổ đề 4.9 và ( )4.33 ta có ( ) ( )3 1, , 1, , , 0.r ri Q K K i Q K K= = ( )4.39 Như vậy ( )3 1, \ , 1r ri Q K K K = và do đó Q có một điểm bất động 3 1\ ,r ry K K∈ tức là ( )( )1A y t− là một nghiệm tuần hoàn dương với chu kỳ ω của ( )4.1 khi 0.λ λ> Trường hợp 3: Nếu 0 0f f∞= = thì từ các lập luận trên tồn tại 2 1 30 r r r< < < sao cho Q có một điểm bất động ( )1y t trong 1 2\r rK K và một điểm bất động ( )2y t trong 3 1\ .r rK K Do đó ( )( )1 1A y t− và ( )( )1 2A y t− là hai nghiệm tuần hoàn dương với chu kỳ ω của ( )4.1 khi 0.λ λ> (b) Chọn 1 1.r = Lấy ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 0, 1 s m M m c LM c F r b s d ωλ − + = > − ∫ khi đó từ bổ đề 4.8, 0λ λ∀ < ta có 35 Qy y< với mọi 1 .ry K∈∂ ( )4.40 Trường hợp 1: Nếu 0f = ∞ thì tồn tại 2r ( )2 10 r r< < sao cho ( )f u uη≥ với mọi 20 u r≤ ≤ , với hằng số 0η > thỏa mãn ( )2 0 1. 1 c l b s ds c ωα λ η − > − ∫ ( )4.41 Chọn ( )2 21 .r c r= − Từ bổ đề 2.2 ta có ( ) ( )( )1 2 20 1 1 y rA y t t r c c τ−≤ − ≤ = = − − với 2 .ry K∈∂ Suy ra ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )1 1f A y t t A y t tτ η τ− −− ≥ − với 2 .ry K∈∂ Từ bổ đề 4.5 và ( )4.41 với 2r y K∈∂ ta có ( )2 0 . 1 c Qy l b s ds y y c ωα λ η − ≥ > − ∫ ( )4.42 Từ bổ đề 4.9 và ( )4.40 ta có ( ) ( )2 1, , 0, , , 1.r ri Q K K i Q K K= = ( )4.43 Điều này dẫn đến ( )1 2, \ , 1r ri Q K K K = và do đó Q có một điểm bất động 1 2\ ,r ry K K∈ tức là ( )( )1A y t− là một nghiệm tuần hoàn dương với chu kỳ ω của ( )4.1 khi 00 .λ λ< < Trường hợp 2: Nếu f∞ = ∞ thì tồn tại hằng số 0H > sao cho ( )f u uη≥ với mọi u H≥  , với hằng số 0η > thỏa mãn ( )2 0 1. 1 c l b s ds c ωα λ η − > − ∫ ( )4.44 Chọn ( )2 3 1 1 max 2r , . H c r cα  − =   −    Từ bổ đề 2.2 ta có 36 ( ) ( )( )1 32 21 1 c c A y t t y r H c c α α τ− − − − ≥ = ≥ − −  với 3 .ry K∈∂ Suy ra ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )1 1f A y t t A y t tτ η τ− −− ≥ − với 3 .ry K∈∂ Từ bổ đề 4.5 và ( )4.44 với 3r y K∈∂ ta có ( )2 0 . 1 c Qy l b s ds y y c ωα λ η − ≥ > − ∫ ( )4.45 Từ bổ đề 4.9 và ( )4.40 ta có ( ) ( )3 1, , 0, , , 1.r ri Q K K i Q K K= = ( )4.46 Như vậy ( )3 1, \ , 1r ri Q K K K = − và do đó Q có một điểm bất động 3 1\ ,r ry K K∈ tức là ( )( )1A y t− là một nghiệm tuần hoàn dương với chu kỳ ω của ( )4.1 khi 00 .λ λ< < Trường hợp 3: Nếu 0f f∞= = ∞ thì từ các lập luận trên tồn tại 2 1 30 r r r< < < sao cho Q có một điểm bất động ( )1y t trong 1 2\r rK K và một điểm bất động ( )2y t trong 3 1\ .r rK K Do đó ( )( )1 1A y t− và ( )( )1 2A y t− là hai nghiệm tuần hoàn dương với chu kỳ ω của ( )4.1 khi 00 .λ λ< < (c) Từ bổ đề 2.2, nếu y K∈ thì ( ) ( )( )1 2 01 c A y t t y c α τ− − − ≥ > − với [ ]0, .t ω∈ Trường hợp 1: Nếu 0 0i = thì ta có 0 0f > và 0.f∞ > Lấy ( )1 inf : 0 0 f u b u u   = > >    , khi đó ta có ( ) [ )1 , 0, .f u b u u≥ ∈ +∞ ( )4.47 Giả sử ( )y t là một nghiệm tuần hoàn dương với chu kỳ ω của ( )4.1 khi 0 ,λ λ> với ( ) ( ) 2 0 1 0 1 0.c lb c b s ds ωλ α − = > − ∫ Do ( ) ( )Qy t y t= với [ ]0,t ω∈ nên từ bổ đề 4.5 với 0 ,λ λ> ta có 37 ( )1 2 0 . 1 c y Qy lb b s ds y y c ωα λ − = ≥ > − ∫ ( )4.48 Điều này dẫn đến mâu thuẫn. Trường hợp 2: Nếu 0i∞ = thì ta có 0f < ∞ và .f∞ < ∞ Lấy ( ) 2 sup : 0 0 f u b u u   = > >    , khi đó ta có ( ) [ )2 , 0, .f u b u u≤ ∈ +∞ ( )4.49 Giả sử ( )y t là một nghiệm tuần hoàn dương với chu kỳ ω của ( )4.1 khi 00 ,λ λ< < với ( ) ( ) 0 2 0 . m M m c b LM b s ds ωλ − + = ∫ Do ( ) ( )Qy t y t= với [ ]0,t ω∈ nên từ bổ đề 4.6 với 00 ,λ λ< < ta có ( ) ( ) 0 2 . LM b s ds y Qy b y y m M m c ω λ= ≤ < − + ∫ ( )4.50 Điều này dẫn đến mâu thuẫn. Định lý 4.11. (a) Nếu tồn tại hằng số 1 0b > sao cho ( ) 1f u b u≥ với [ )0,u∈ +∞ thì ( )4.1 không có nghiệm dương tuần hoàn với chu kỳ ω khi ( ) ( ) 2 1 0 1 .c lb c b s ds ωλ α − > − ∫ (b) Nếu tồn tại hằng số 2 0b > sao cho ( ) 2f u b u≤ với [ )0,u∈ +∞ thì ( )4.1 không có nghiệm dương tuần hoàn với chu kỳ ω khi ( ) ( )2 0 0 . m M m c b LM b s ds ωλ − + < < ∫ Chứng minh Từ chứng minh (c) trong định lý 4.10 ta có được định lý này. Định lý 4.12. Giả sử 0 0 0i i i i∞ ∞= = = = và một trong các điều kiện sau được thỏa mãn 38 ( ) 01 ;f f∞≤ ( ) 02 ;f f∞> ( ) 0 03 ;f f f f∞ ∞≤ ≤ ≤ ( ) 0 04 .f f f f∞ ∞≤ ≤ ≤ Nếu ( ) ( ) { } ( ) ( ) { } 2 0 0 0 0 0 0 1 , max , , , min , , , m M m cc l c b s ds f f f f LM b s ds f f f f ω ωλ α ∞ ∞ ∞ ∞ − +− < < − ∫ ∫ ( )4.51 thì ( )4.1 có một nghiệm dương tuần hoàn với chu kỳ .ω Chứng minh Ta có các trường hợp sau Trường hợp 1: Nếu 0f f∞≤ thì ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 1 m M m cc f l c b s ds f LM b s ds ω ωλ α∞ − +− < < − ∫ ∫ ( )4.52 Khi đó tồn tại ε ( )0 fε ∞< < sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 1 m M m cc f l c b s ds f LM b s ds ω ωλ ε α ε∞ − +− < < − − +∫ ∫ ( )4.53 Với ε ở trên, tồn tại 1 0r > sao cho ( ) ( )0f u f uε≤ + với mọi 10 .u r≤ ≤ Chọn ( )1 11 .r c r= − Từ bổ đề 2.2 ta có ( ) ( )( )1 1 10 1 1 y rA y t t r c c τ−≤ − ≤ = = − − với 1 .ry K∈∂ Suy ra ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )1 10f A y t t f A y t tτ ε τ− −− ≤ + − với 1 .ry K∈∂ Từ bổ đề 4.6, với 1r y K∈∂ ta có 39 ( ) ( ) ( ) 0 0 . LM b s ds Qy f y y m M m c ω λ ε≤ + < − + ∫ ( )4.54 Mặt khác, tồn tại hằng số 0H > sao cho ( ) ( )f u f uε∞≥ − với mọi .u H≥  Chọn ( )2 2 1 1 max 2r , . H c r cα  − =   −    Từ bổ đề 2.2 ta có ( ) ( )( )1 22 21 1 c c A y t t y r H c c α α τ− − − − ≥ = ≥ − −  với 2 .ry K∈∂ Suy ra ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )1 1f A y t t f A y t tτ ε τ− −∞− ≥ − − với 2 .ry K∈∂ Từ bổ đề 4.5, với 2r y K∈∂ ta có ( ) ( )2 0 . 1 c Qy l f b s ds y y c ωα λ ε∞ − ≥ − > − ∫ ( )4.55 Từ bổ đề 4.9 ta có ( ) ( )1 2, , 1, , , 0.r ri Q K K i Q K K= = ( )4.56 Như vậy ( )2 1, \ , 1r ri Q K K K = − và do đó Q có một điểm bất động 2 1\ .r ry K K∈ Vì vậy ( )( )1A y t− là một nghiệm tuần hoàn dương với chu kỳ ω của ( )4.1 . Trường hợp 2: Nếu 0f f∞> thì ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 1 m M m cc f l c b s ds f LM b s ds ω ωλ α ∞ − +− < < − ∫ ∫ ( )4.57 Khi đó tồn tại ε ( )00 fε< < sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 1 m M m cc f l c b s ds f LM b s ds ω ωλ ε α ε∞ − +− < < − − +∫ ∫ ( )4.58 Với ε ở trên, tồn tại 1 0r > sao cho ( ) ( )0f u f uε≥ − với mọi 10 .u r≤ ≤ 40 Chọn ( )1 11 .r c r= − Từ bổ đề 2.2 ta có ( ) ( )( )1 1 10 1 1 y rA y t t r c c τ−≤ − ≤ = = − − với 1 .ry K∈∂ Suy ra ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )1 10f A y t t f A y t tτ ε τ− −− ≥ − − với 1 .ry K∈∂ Từ bổ đề 4.5, với 1r y K∈∂ ta có ( ) ( )0 2 0 . 1 c Qy l f b s ds y y c ωα λ ε − ≥ − > − ∫ ( )4.59 Mặt khác, tồn tại hằng số 0H > sao cho ( ) ( )f u f uε∞≤ + với mọi .u H≥  Chọn ( )2 2 1 1 max 2r , . H c r cα  − =   −    Từ bổ đề 2.2 ta có ( ) ( )( )1 22 21 1 c c A y t t y r H c c α α τ− − − − ≥ = ≥ − −  với 2 .ry K∈∂ Suy ra ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )1 1f A y t t f A y t tτ ε τ− −∞− ≤ + − với 2 .ry K∈∂ Từ bổ đề 4.6, với 2r y K∈∂ ta có ( ) ( ) ( ) 0 . LM b s ds Qy f y y m M m c ω λ ε∞≤ + <− + ∫ ( )4.60 Từ bổ đề 4.9 ta có ( ) ( )1 2, , 0, , , 1.r ri Q K K i Q K K= = ( )4.61 Như vậy ( )2 1, \ , 1r ri Q K K K = và do đó Q có một điểm bất động 2 1\ .r ry K K∈ Vì vậy ( )( )1A y t− là một nghiệm tuần hoàn dương với chu kỳ ω của ( )4.1 . Trường hợp 3: Nếu 0 0f f f f∞ ∞≤ ≤ ≤ thì 41 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 1 . m M m cc f l c b s ds f LM b s ds ω ωλ α∞ − +− < < − ∫ ∫ Chứng minh tương tự như trường hợp 1. Trường hợp 4: Nếu 0 0f f f f∞ ∞≤ ≤ ≤ thì ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 1 . m M m cc f l c b s ds f LM b s ds ω ωλ α ∞ − +− < < − ∫ ∫ Chứng minh tương tự như trường hợp 2. 4.2. Trường hợp 2: Giả sử 0c > và ( ) ( ) min , LM lmmc M m L l M lm  − <   + − −   Định nghĩa các toán tử ˆ, , ,T H P Q như trong trường hợp 1. Lưu ý rằng vì 0c > và ( ) ( ) min , LM lmmc M m L l M lm  − <   + − −   nên ta cũng có   ( ) 1. 1 M m m c T H T H M c − + ≤ ≤ < − Do đó định nghĩa toán tử P và Q là có nghĩa. Bổ đề 4.13. Nếu tồn tại 0η > sao cho ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )1 1f A y t t A y t tτ τ η− −− ≥ − với [ ]0, ,t y Kω∈ ∈ ( )4.62 thì ( ) 0 , . 1 Qy l b s ds y y K c ωαλ η≥ ∈ − ∫ ( )4.63 Chứng minh Từ các bổ đề 2.3, 4.2 và 4.3, với y K∈ ta có ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )1.Qy t P b t f A y t tλ τ−= − ( ) ( ) ( )( )( )( )1.T b t f A y t tλ τ−≥ − 42 ( ) ( ) ( ) ( )( )( )1, . t t G t s b s f A y s s ds ω λ τ + −= −∫ ( ) ( ) ( )( )1. t t l b s A y s s ds ω λ η τ + −≥ −∫ ( ) . 1 t t l b s ds y c ωαλ η + ≥ − ∫ Do đó ( ) 0 , . 1 Qy l b s ds y y K c ωαλ η≥ ∈ − ∫ Bổ đề 4.14. Nếu tồn tại 0ε > sao cho ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )1 1f A y t t A y t tτ τ ε− −− ≤ − với [ ]0, ,t y Kω∈ ∈ ( )4.64 thì ( ) ( ) 0 , . LM b s ds Qy y y K m M m c ω λε≤ ∈ − + ∫ ( )4.65 Chứng minh Từ bổ đề 2.3 ta có ( ) ( )( )1 10 .1A y t t ycτ −≤ − ≤ − Chứng minh tương tự bổ đề 4.6. Định nghĩa hàm F như trong trường hợp 1 và hàm 2 :f →  như sau ( ) ( )2 min : .1 1 rf r f t r t c c α = ≤ ≤  − −  ( )4.66 Bổ đề 4.15. Nếu ry K∈∂ thì ( ) ( )2 0 .Qy lf r b s ds ω λ≥ ∫ ( )4.67 Chứng minh Từ bổ đề 2.3, ta có ( ) ( )( )11 1 rr A y t t c c α τ−≤ − ≤ − − với ry K∈∂ . Suy ra ( ) ( )( )( ) ( )1 2 .f A y t t f rτ− − ≥ Từ các bổ đề 4.2 và 4.3, với ry K∈∂ ta có 43 ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )1.Qy t P b t f A y t tλ τ−= − ( ) ( ) ( )( )( )( )1.T b t f A y t tλ τ−≥ − ( ) ( ) ( ) ( )( )( )1, . t t G t s b s f A y s s ds ω λ τ + −= −∫ ( ) ( )2 . t t lf r b s ds ω λ + ≥ ∫ Do đó ( ) ( )2 0 , .rQy lf r b s ds y K ω λ≥ ∈∂∫ Bổ đề 4.16. Nếu ry K∈∂ thì ( ) ( ) ( ) ( )0 1 . LM c F r Qy b s ds m M m c ω λ − ≤ − + ∫ ( )4.68 Chứng minh Từ bổ đề 2.3, ta có ( ) ( )( )10 1 rA y t t c τ−≤ − ≤ − với ry K∈∂ . Chứng minh tương tự bổ đề 4.8. Bây giờ chúng ta đưa ra những kết quả chính về nghiệm tuần hoàn dương của (4.1). Định lý 4.17. (a) Nếu 0 1i = hoặc 2 thì ( )4.1 có 0i nghiệm dương tuần hoàn với chu kỳ ω khi ( ) ( )2 0 1 0. 1 sf l b s d ωλ > > ∫ (b) Nếu 1i∞ = hoặc 2 thì ( )4.1 có i∞ nghiệm dương tuần hoàn với chu kỳ ω khi ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 . 1 1 s m M m c LM c F b s d ωλ − + < < − ∫ (c) Nếu 0i∞ = hoặc 0 0i = thì ( )4.1 không có nghiệm dương tuần hoàn với chu kỳ ω khi 0λ > đủ nhỏ hoặc đủ lớn tương ứng. Chứng minh 44 (a) Chọn 1 1.r = Lấy ( ) ( ) 0 2 0 1 0, 1 sf l b s d ωλ = > ∫ khi đó từ bổ đề 4.12, 0λ λ∀ > ta có Qy y> với mọi 1 .ry K∈∂ ( )4.69 Trường hợp 1: Nếu 0 0f = thì tồn tại 2r ( )2 10 r r< < sao cho ( )f u uε≤ với mọi 20 u r≤ ≤ , với hằng số 0ε > thỏa mãn ( ) ( ) 0 1. LM b s ds m M m c ω λε < − + ∫ ( )4.70 Chọn ( )2 21 .r c r= − Từ bổ đề 2.3 ta có ( ) ( )( )1 2 20 1 1 y rA y t t r c c τ−≤ − ≤ = = − − với 2 .ry K∈∂ Suy ra ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )1 1f A y t t A y t tτ ε τ− −− ≤ − với 2 .ry K∈∂ Từ bổ đề 4.14 và ( )4.70 với 2r y K∈∂ ta có ( ) ( ) 0 . LM b s ds Qy y y m M m c ω λε≤ < − + ∫ ( )4.71 Từ bổ đề 4.9 và ( )4.69 ta có ( ) ( )2 1, , 1, , , 0.r ri Q K K i Q K K= = ( )4.72 Như vậy ( )1 2, \ , 1r ri Q K K K = − và do đó Q có một điểm bất động 1 2\ ,r ry K K∈ tức là ( )( )1A y t− là một nghiệm tuần hoàn dương với chu kỳ ω của ( )4.1 khi 0.λ λ> Trường hợp 2: Nếu 0f∞ = thì tồn tại hằng số 0H > sao cho ( )f u uε≤ với mọi u H≥  , với hằng số 0ε > thỏa mãn 45 ( ) ( ) 0 1. LM b s ds m M m c ω λε < − + ∫ ( )4.73 Chọn ( ) 3 1 1 max 2r , . H c r α  − =       Từ bổ đề 2.3 ta có ( ) ( )( )1 31 1A y t t y r Hc c α ατ− − ≥ = ≥ − −  với 3 .ry K∈∂ Suy ra ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )1 1f A y t t A y t tτ ε τ− −− ≤ − với 3 .ry K∈∂ Từ bổ đề 4.14 và ( )4.73 với 3r y K∈∂ ta có ( ) ( ) 0 . LM b s ds Qy y y m M m c ω λε≤ < − + ∫ ( )4.74 Từ bổ đề 4.9 và ( )4.69 ta có ( ) ( )3 1, , 1, , , 0.r ri Q K K i Q K K= = ( )4.75 Như vậy ( )3 1, \ , 1r ri Q K K K = và do đó Q có một điểm bất động 3 1\ ,r ry K K∈ tức là ( )( )1A y t− là một nghiệm tuần hoàn dương với chu kỳ ω của ( )4.1 khi 0.λ λ> Trường hợp 3: Nếu 0 0f f∞= = thì từ các lập luận trên tồn tại 2 1 30 r r r< < < sao cho Q có một điểm bất động ( )1y t trong 1 2\r rK K và một điểm bất động ( )2y t trong 3 1\ .r rK K Do đó ( )( )1 1A y t− và ( )( )1 2A y t− là hai nghiệm tuần hoàn dương với chu kỳ ω của ( )4.1 khi 0.λ λ> (b) Chọn 1 1.r = Lấy ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 0, 1 s m M m c LM c F r b s d ωλ − + = > − ∫ khi đó từ bổ đề 4.16, 0λ λ∀ < ta có Qy y< với mọi 1 .ry K∈∂ ( )4.76 Trường hợp 1: Nếu 0f = ∞ thì tồn tại 2r ( )2 10 r r< < sao cho ( )f u uη≥ với mọi 20 u r≤ ≤ , với hằng số 0η > thỏa mãn 46 ( ) 0 1. 1 l b s ds c ωαλ η > − ∫ ( )4.77 Chọn ( )2 21 .r c r= − Từ bổ đề 2.3 ta có ( ) ( )( )1 2 20 1 1 y rA y t t r c c τ−≤ − ≤ = = − − với 2 .ry K∈∂ Suy ra ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )1 1f A y t t A y t tτ η τ− −− ≥ − với 2 .ry K∈∂ Từ bổ đề 4.13 và ( )4.77 với 2r y K∈∂ ta có ( ) 0 . 1 Qy l b s ds y y c ωαλ η≥ > − ∫ ( )4.78 Từ bổ đề 4.9 và ( )4.76 ta có ( ) ( )2 1, , 0, , , 1.r ri Q K K i Q K K= = ( )4.79 Điều này dẫn đến ( )1 2, \ , 1r ri Q K K K = và do đó Q có một điểm bất động 1 2\ ,r ry K K∈ tức là ( )( )1A y t− là một nghiệm tuần hoàn dương với chu kỳ ω của ( )4.1 khi 00 .λ λ< < Trường hợp 2: Nếu f∞ = ∞ thì tồn tại hằng số 0H > sao cho ( )f u uη≥ với mọi u H≥  , với hằng số 0η > thỏa mãn ( ) 0 1. 1 l b s ds c ωαλ η > − ∫ ( )4.80 Chọn ( ) 3 1 1 max 2r , . H c r α  − =       Từ bổ đề 2.3 ta có ( ) ( )( )1 31 1A y t t y r Hc c α ατ− − ≥ = ≥ − −  với 3 .ry K∈∂ Suy ra ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )1 1f A y t t A y t tτ η τ− −− ≥ − với 3 .ry K∈∂ Từ bổ đề 4.13 và ( )4.80 với 3r y K∈∂ ta có 47 ( ) 0 . 1 Qy l b s ds y y c ωαλ η≥ > − ∫ ( )4.81 Từ bổ đề 4.9 và ( )4.76 ta có ( ) ( )3 1, , 0, , , 1.r ri Q K K i Q K K= = ( )4.82 Như vậy ( )3 1, \ , 1r ri Q K K K = − và do đó Q có một điểm bất động 3 1\ ,r ry K K∈ tức là ( )( )1A y t− là một nghiệm tuần hoàn dương với chu kỳ ω của ( )4.1 khi 00 .λ λ< < Trường hợp 3: Nếu 0f f∞= = ∞ thì từ các lập luận trên tồn tại 2 1 30 r r r< < < sao cho Q có một điểm bất động ( )1y t trong 1 2\r rK K và một điểm bất động ( )2y t trong 3 1\ .r rK K Do đó ( )( )1 1A y t− và ( )( )1 2A y t− là hai nghiệm tuần hoàn dương với chu kỳ ω của ( )4.1 khi 00 .λ λ< < (c) Từ bổ đề 2.3, nếu y K∈ thì ( ) ( )( )1 01A y t t yc ατ− − ≥ ≥ − với [ ]0, .t ω∈ Trường hợp 1: Nếu 0 0i = thì ta có 0 0f > và 0.f∞ > Lấy ( ) 1 inf : 0 0 f u b u u   = > >    , khi đó ta có ( ) [ )1 , 0, .f u b u u≥ ∈ +∞ ( )4.83 Giả sử ( )y t là một nghiệm tuần hoàn dương với chu kỳ ω của ( )4.1 khi 0 ,λ λ> với ( ) 0 1 0 1 0.c lb b s ds ωλ α − = > ∫ Do ( ) ( )Qy t y t= với [ ]0,t ω∈ nên từ bổ đề 4.13 với 0 ,λ λ> ta có ( )1 0 . 1 y Qy lb b s ds y y c ωαλ= ≥ > − ∫ ( )4.84 Điều này dẫn đến mâu thuẫn. Trường hợp 2: Nếu 0i∞ = thì ta có 0f < ∞ và .f∞ < ∞ Lấy ( ) 2 sup : 0 0 f u b u u   = > >    , khi đó ta có 48 ( ) [ )2 , 0, .f u b u u≤ ∈ +∞ ( )4.85 Giả sử ( )y t là một nghiệm tuần hoàn dương với chu kỳ ω của ( )4.1 khi 00 ,λ λ< < với ( ) ( ) 0 2 0 . m M m c b LM b s ds ωλ − + = ∫ Do ( ) ( )Qy t y t= với [ ]0,t ω∈ nên từ bổ đề 4.14 với 00 ,λ λ< < ta có ( ) ( ) 0 2 . LM b s ds y Qy b y y m M m c ω λ= ≤ < − + ∫ ( )4.86 Điều này dẫn đến mâu thuẫn. Định lý 4.18. (a) Nếu tồn tại hằng số 1 0b > sao cho ( ) 1f u b u≥ với [ )0,u∈ +∞ thì ( )4.1 không có nghiệm dương tuần hoàn với chu kỳ ω khi ( )1 0 1 .c lb b s ds ωλ α − > ∫ (b) Nếu tồn tại hằng số 2 0b > sao cho ( ) 2f u b u≤ với [ )0,u∈ +∞ thì ( )4.1 không có nghiệm dương tuần hoàn với chu kỳ ω khi ( ) ( )2 0 0 . m M m c b LM b s ds ωλ − + < < ∫ Chứng minh Từ chứng minh (c) trong định lý 4.17 ta có được định lý này. Định lý 4.19. Giả sử 0 0 0i i i i∞ ∞= = = = và một trong các điều kiện sau được thỏa mãn ( ) 01 ;f f∞≤ ( ) 02 ;f f∞> ( ) 0 03 ;f f f f∞ ∞≤ ≤ ≤ ( ) 0 04 .f f f f∞ ∞≤ ≤ ≤ 49 Nếu ( ) { } ( ) ( ) { }0 0 0 0 0 0 1 , max , , , min , , , m M m cc l b s ds f f f f LM b s ds f f f f ω ωλ α ∞ ∞ ∞ ∞ − +− < < ∫ ∫ ( )4.87 thì ( )4.1 có một nghiệm dương tuần hoàn với chu kỳ .ω Chứng minh Ta có các trường hợp sau Trường hợp 1: Nếu 0f f∞≤ thì ( ) ( ) ( )0 0 0 1 m M m cc f l b s ds f LM b s ds ω ωλ α∞ − +− < < ∫ ∫ ( )4.88 Khi đó tồn tại ε ( )0 fε ∞< < sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 1 m M m cc f l b s ds f LM b s ds ω ωλ ε α ε∞ − +− < < − +∫ ∫ ( )4.89 Với ε ở trên, tồn tại 1 0r > sao cho ( ) ( )0f u f uε≤ + với mọi 10 .u r≤ ≤ Chọn ( )1 11 .r c r= − Từ bổ đề 2.3 ta có ( ) ( )( )1 1 10 1 1 y rA y t t r c c τ−≤ − ≤ = = − − với 1 .ry K∈∂ Suy ra ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )1 10f A y t t f A y t tτ ε τ− −− ≤ + − với 1 .ry K∈∂ Từ bổ đề 4.14, với 1r y K∈∂ ta có ( ) ( ) ( ) 0 0 . LM b s ds Qy f y y m M m c ω λ ε≤ + < − + ∫ ( )4.90 Mặt khác, tồn tại hằng số 0H > sao cho ( ) ( )f u f uε∞≥ − với mọi .u H≥  Chọn ( ) 2 1 1 max 2r , . H c r α  − =       50 Từ bổ đề 2.3 ta có ( ) ( )( )1 21 1A y t t y r Hc c α ατ− − ≥ = ≥ − −  với 2 .ry K∈∂ Suy ra ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )1 1f A y t t f A y t tτ ε τ− −∞− ≥ − − với 2 .ry K∈∂ Từ bổ đề 4.13, với 2r y K∈∂ ta có ( ) ( ) 0 . 1 Qy l f b s ds y y c ωαλ ε∞≥ − >− ∫ ( )4.91 Từ bổ đề 4.9 ta có ( ) ( )1 2, , 1, , , 0.r ri Q K K i Q K K= = ( )4.92 Như vậy ( )2 1, \ , 1r ri Q K K K = − và do đó Q có một điểm bất động 2 1\ .r ry K K∈ Vì vậy ( )( )1A y t− là một nghiệm tuần hoàn dương với chu kỳ ω của ( )4.1 . Trường hợp 2: Nếu 0f f∞> thì ta có ( ) ( ) ( )0 0 0 1 m M m cc f l b s ds f LM b s ds ω ωλ α ∞ − +− < < ∫ ∫ ( )4.93 Khi đó tồn tại ε ( )00 fε< < sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 1 m M m cc f l b s ds f LM b s ds ω ωλ ε α ε∞ − +− < < − +∫ ∫ ( )4.94 Với ε ở trên, tồn tại 1 0r > sao cho ( ) ( )0f u f uε≥ − với mọi 10 .u r≤ ≤ Chọn ( )1 11 .r c r= − Từ bổ đề 2.3 ta có ( ) ( )( )1 1 10 1 1 y rA y t t r c c τ−≤ − ≤ = = − − với 1 .ry K∈∂ Suy ra ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )1 10f A y t t f A y t tτ ε τ− −− ≥ − − với 1 .ry K∈∂ 51 Từ bổ đề 4.13, với 1r y K∈∂ ta có ( ) ( )0 0 . 1 Qy l f b s ds y y c ωαλ ε≥ − > − ∫ ( )4.95 Mặt khác, tồn tại hằng số 0H > sao cho ( ) ( )f u f uε∞≤ + với mọi .u H≥  Chọn ( ) 2 1 1 max 2r , . H c r α  − =       Từ bổ đề 2.3 ta có ( ) ( )( )1 21 1A y t t y r Hc c α ατ− − ≥ = ≥ − −  với 2 .ry K∈∂ Suy ra ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )1 1f A y t t f A y t tτ ε τ− −∞− ≤ + − với 2 .ry K∈∂ Từ bổ đề 4.14, với 2r y K∈∂ ta có ( ) ( ) ( ) 0 . LM b s ds Qy f y y m M m c ω λ ε∞≤ + <− + ∫ ( )4.96 Từ bổ đề 4.9 ta có ( ) ( )1 2, , 0, , , 1.r ri Q K K i Q K K= = ( )4.97 Như vậy ( )2 1, \ , 1r ri Q K K K = và do đó Q có một điểm bất động 2 1\ .r ry K K∈ Vì vậy ( )( )1A y t− là một nghiệm tuần hoàn dương với chu kỳ ω của ( )4.1 . Trường hợp 3: Nếu 0 0f f f f∞ ∞≤ ≤ ≤ thì ( ) ( ) ( )0 0 0 1 . m M m cc f l b s ds f LM b s ds ω ωλ α∞ − +− < < ∫ ∫ Chứng minh tương tự như trường hợp 1. Trường hợp 4: Nếu 0 0f f f f∞ ∞≤ ≤ ≤ thì ta có ( ) ( ) ( )0 0 0 1 . m M m cc f l b s ds f LM b s ds ω ωλ α ∞ − +− < < ∫ ∫ 52 Chứng minh tương tự như trường hợp 2. Chú ý 4.20. Một cách tương tự có thể xét phương trình vi phân trung hòa bậc hai sau ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )'' . .x t cx t t a t x t b t f x t tδ λ τ− − − = − − 53 CHƯƠNG 5: CÁC VÍ DỤ Ví dụ 5.1. Xét phương trình sau ( ) ( ) ( ) ( )3 sin 4115 sin 4 '' ' sin 4 arctan cos 4 . 60 1 cos 4 x t t x t x t t x t t t t  −    − − = + +    +     ( )5.1 So sánh ( )5.1 và ( )3.1 , ta có ( ) ( ) ( ) ( )3 1, , .sin 4 , , arctan , 15, sin 4 , 2 601 cos 4 xf t x x t g t x c t t t πω δ= = = = = + ( ) sin 4 ,t tτ = ( ) cos 4e t t= và [ ]1 0, 1 1max cos 4 15 15t t ω δ ∈ = = và ta có thể chọn 4 3 D π> và 2 M = π sao cho ( )2H và ( )3H thỏa mãn. Ta có: ( ), .sin 4 .f t x x t x= ≤ ( )5.2 Do đó ( )1H được thỏa mãn với 1 1, 1K b= = và ( ) ( ) 11 1 22 2 1 1 1 15 21 2 420 1.1 131 1 15 15. 15 c K c c ++ < = = < − − − − π ω π δ ( )5.3 Do đó từ định lý 3.2, phương trình ( )5.1 có ít nhất một nghiệm tuần hoàn chu kỳ 2 π . Ví dụ 5.2. Xét phương trình vi phân trung hòa sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) '' 27 1sin 2 sin , 30 16 u t tu t u t t u t t u t t a τλ τ − + − + = − −    ( )5.4 với λ và a là hai tham số dương, 23 15 1,e a − < < ( ) ( )2 .t t+ =τ π τ So sánh ( )5.4 và ( )4.1 , ta thấy rằng ( ) ( ) ( ) 27 1, , 2 sin , 2 , . 30 16 uc a t b t t f u u aω π= − ≡ = − = = Rõ ràng là 2 0 0 1 1 , 0, 0, 2. 16 2 4 M f f i∞  = < = = = =    π π 54 Từ định lý 4.10, ta có kết luận ( )5.4 có hai nghiệm tuần hoàn dương với chu kỳ 2=ω π , khi 1 1 , 8 r λ π > với ( )1 30min 0,27 , . 23 r f f  =       Bằng các tính toán đơn giản ta có 1 , 16 M m= = 1 , 4 =β ( ) 1 2 2, 2 sin / 2 L = = β βω ( ) ( ) cos / 2 2, 2 sin / 2 l = = βω β βω ( ) 2 2 , 8 k l M m LM += + + = 2 1 4 2 1 3 , 2 2 k k LlMmk LM − − + − = = ( ) ( ) 1 8 7 2 1 32, min , , 23 30 21 l m M m c mc k M mLM c  − +  + −  = = = < =  +−   α 7 8 2 , 30 23 c α= < = ( ) ( ) ( )1 12 8 72 30 3023 301 min : 0,27 min 0,27 , , 23 2371 30 f f t t f f r    −     = ≤ ≤ = =         −       ( ) ( ) 11 0 1 1 . 8 1 r f l b s ds ω π = ∫ ( )5.5 55 KẾT LUẬN Luận văn trên dựa vào các kết quả của bài báo [3]. Trong đó tôi trình bày lại các kết quả của bài báo, được tóm tắt như sau Dựa vào định lý 1.1, chứng minh các tính chất của toán tử trung hòa ( )( ) ( ) ( )( )Ax t x t cx t tδ= − − trong trường hợp 1,c ≠ được thể hiện trong các bổ đề 2.1, 2.2 và 2.3. Dựa vào bổ đề 3.1, chứng minh sự tồn tại các nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân trung hòa cấp hai loại Rayleigh có dạng ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )'' , ' , ,x t cx t t f t x t g t x t t e tδ τ− − = + − + trong đó ( ) ( ) ( ){ }, , : ,e C x C x t x t tωτ ω∈ = ∈ + = ∈   và ( ) 0 0;e t dt ω =∫ f và g là các hàm liên tục trên 2  và tuần hoàn theo biến ,t nghĩa là ( ) ( ),. ,. ,f t f tω+ = ( ) ( ),. ,. ;g t g tω+ = ( ),0 0,f t = ( ), 0f t u ≥ hoặc ( ) ( ) 2, 0, , .f t u t u≤ ∀ ∈ Sự tồn tại nghiệm của phương trình dạng này được thể hiện trong các định lý 3.2, 3.3. Dựa vào bổ đề 4.9, chứng minh các điều kiện đủ cho sự tồn tại, số bội và sự không tồn tại các nghiệm tuần hoàn dương của phương trình vi phân cấp hai có dạng ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )'' ,x t cx t t a t x t b t f x t tδ λ τ− − = − + − trong đó λ là tham số dương; [ )( ), 0,f C∈ +∞ , và ( ) 0f x > với 0;x > ( )( ), 0;a C∈ +∞ với ( ) [ ]{ } 2 max : 0, ;a t t πω ω  ∈ <     ( )( ), 0; ,b C∈ +∞ ( ), ;Cτ ∈   ( ) ( ),a t b t và ( )tτ là các hàm tuần hoàn có chu kỳ .ω Các định lý 4.10, 4.11, 4.12, 4.17, 4.18, 4.19 thể hiện điều này. Ngoài ra luận văn còn chứng minh thêm những phần mà tác giả bài báo không chứng minh như định lý 4.17, 4.18. 4.19; lấy thêm ví dụ 1.3 minh họa cho định nghĩa 1.2, ví dụ trong ghi chú 2.4. Vì đây là lần đầu tiên tôi thực sự làm quen với việc nghiên cứu khoa học một cách có hệ thống nên khó tránh khỏi sai sót. Kính mong quý Thầy Cô và các bạn đóng góp ý kiến, tôi xin chân thành cảm ơn. 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt 1. Lê Hoàn Hoá (2010), Giáo trình môn Giải tích phi tuyến 1 dành cho học viên cao học. 2. Nguyễn Bích Huy (2010), Giáo trình môn Giải tích phi tuyến 2 dành cho học viên cao học. Tiếng Anh 3. Jingli Ren, Zhibo Cheng, and Stefan Siegmund, “Neutral Operator and Neutral Differential Equation”, Abstract and Applied Analysis, Hindawi Publishing Corporation, pp. 1-29, 2011. 4. M. Krasnoselskii, Positive Solutions of Operator Equations, P. Noordhoff Ltd, Groningen, The Netherlands, 1964. 5. M. R. Zhang, “Periodic solutions of linear and quasilinear neutral functional differential equations”, Jour of Mathematical Analysic and Applications, vol. 189, no. 2, pp. 378-392, 1995. 6. R. E. Gaines and J.L.Mawhin, Coincidence Degree, and Nonlinear Differential Equations, Springer, Berlin, Germany, 1977. 7. S. Lu and W. Ge, “Exitstence of periodic solution for a kind of second-order neutral functional differential equation,” Applied Mathematics and Computation, vol. 157, no. 2, pp. 433-448, 2004. 8. W. S. Cheung, J. Ren, and W. Han, “Positive periodic solution of second-order neutral functional differential equations,” Nonlinear Analysis. Theory, Methods & Applications, vol. 71, no. 9, pp. 3948–3955, 2009.

Các file đính kèm theo tài liệu này:

  • pdftvefile_2014_03_13_9207362453_6893.pdf
Luận văn liên quan