Một số phương pháp giải các bài toán về chia hết trong tập N

MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài: a. Cơ sở lí luận: Toán học là một môn khoa học gây nhiều hứng thú cho học sinh, nó là một môn học không thể thiếu trong quá trình học tập, nghiên cứu và cả trong cuộc sống hàng ngày. Một nhà toán học đã nói: “Toán học được xem như là một khoa học chứng minh”. Trong các môn học phổ thông toán học được coi như là một môn học cơ bản, là nền tảng để các em phát huy được năng lực bản thân, góp phần tạo điều kiện để các em học tốt các môn khoa học tự nhiên khác. Vậy dạy như thế nào để học sinh không những nắm chắc kiến thức cơ bản một cách có hệ thống mà phải được nâng cao phát triển để các em có hứng thú say mê học tập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô luôn đặt ra cho mình. Tuy nhiên để học tốt môn toán thì người giáo viên phải biết chắt lọc nội dung kiến thức, phải đi từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng và phát triển thành tổng quát giúp học sinh có thể phát triển tư duy toán học, làm cho các em trở nên yêu thích toán hơn từ đó các em có ý thức học tập đảm bảo yêu cầu của thời đại mới. b. Cơ sở thực tiễn: Là một giáo viên dược phân công giảng dạy lớp 6A, 6C với nhiều đối tượng học sinh khá giỏi, các em có tư duy nhạy bén và nhu cầu hiểu biết ngày càng cao, làm thế nào để phát huy được hết khả năng của các em đó là trách nhiệm của mỗi người giáo viên. Qua giảng dạy chương trình toán lớp 6 tôi nhận thấy đề tài về phép chia hết là một đề tài thật lý thú, phong phú đa dạng không thể thiếu ở môn số học lớp 6. Việc giải bài toán chia hết là một dạng toán hay, với mong muốn cung cấp cho các em một số phương pháp giải các bài toán về chia hết, giúp các em làm bài tập tốt hơn nhằm tích cực hoá hoạt động học tập, phát triển tư duy, do đó trong năm học này tôi chọn đề tài: “Một số phương pháp giải các bài toán về chia hết trong tập N” để thực hiện trong chương trình toán lớp 6. 2. Mục đích nghiên cứu: - Các phương pháp thường dùng để giải các bài toán về phép chia hết. - Rèn kĩ năng vận dụng kiến thức khi giải bài toán về phép chia hết. - Củng cố và hướng dẫn học sinh làm bài tập. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu: - Nhiệm vụ khái quát: Nêu những phương pháp giải bài toán chia hết theo chương trình mới. - Nhiêm vụ cụ thể: - Tìm hiểu thực trạng học sinh. - Những phương pháp thực hiện. - Những chuyển biến sau khi áp dụng. - Bài học kinh nghiệm. 4. Đối tượng nghiên cứu. - Đề tài nghiên cứu qua các tiết dạy về phép chia hết trong tập N, trong SGK toán 6 tập 1, qua định hướng đổi mới phương pháp dạy toán 6. - Đối tượng khảo sát: HS lớp 6A, 6C trường THCS Cao Viên. 5. Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu tài liệu SGK, sách tham khảo. - Phương pháp kiểm tra, thực hành. - Phương pháp phát vấn, đàm thoại nghiên cứu vấn đề. - Tổng kết kinh nghiệm của bản thân và của đồng nghiệp khi dạy phần “phép chia hết”.

doc35 trang | Chia sẻ: lvcdongnoi | Ngày: 06/02/2013 | Lượt xem: 5754 | Lượt tải: 18download
Bạn đang xem nội dung tài liệu Một số phương pháp giải các bài toán về chia hết trong tập N, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Phßng GD - §T huyÖn Thanh Oai Tr­êng THCS Cao Viªn ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Tên đề tài: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ CHIA HẾT TRONG TẬP N Tác giả: VŨ THỊ LAN Giáo viên : Trường THCS Cao Viên Thanh Oai - Hà Nội n¨m häc 2009 -2010 Céng hoµ x· héi chñ nghÜa viÖt nam §éc lËp – Tù do – H¹nh phóc -----------o0o----------- SƠ YẾU LÝ LỊCH Họ và tên: VŨ THỊ LAN Ngày tháng năm sinh: 06/04/1980 Năm vào ngành: 2002 Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Cao Viên Trình độ chuyên môn: Đại học toán Hệ đào tạo: Chính quy Bộ môn giảng dạy: M«n to¸n Ngo¹i ng÷: Anh v¨n Tr×nh ®é chÝnh trÞ: S¬ cÊp Khen th­ëng: Gi¸o viªn giái cÊp c¬ së n¨m häc 2002 - 2003 Gi¸o viªn giái cÊp c¬ së n¨m häc 2003 - 2004 Gi¸o viªn giái cÊp c¬ së n¨m häc 2006 - 2007 Gi¸o viªn giái cÊp c¬ së n¨m häc 2007 - 2008 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm cÊp tØnh n¨m häc 2003 - 2004 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm cÊp thµnh phè n¨m häc 2007 - 2008 PHẦN THỨ NHẤT MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài: a. Cơ sở lí luận: Toán học là một môn khoa học gây nhiều hứng thú cho học sinh, nó là một môn học không thể thiếu trong quá trình học tập, nghiên cứu và cả trong cuộc sống hàng ngày. Một nhà toán học đã nói: “Toán học được xem như là một khoa học chứng minh”. Trong các môn học phổ thông toán học được coi như là một môn học cơ bản, là nền tảng để các em phát huy được năng lực bản thân, góp phần tạo điều kiện để các em học tốt các môn khoa học tự nhiên khác. Vậy dạy như thế nào để học sinh không những nắm chắc kiến thức cơ bản một cách có hệ thống mà phải được nâng cao phát triển để các em có hứng thú say mê học tập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô luôn đặt ra cho mình. Tuy nhiên để học tốt môn toán thì người giáo viên phải biết chắt lọc nội dung kiến thức, phải đi từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng và phát triển thành tổng quát giúp học sinh có thể phát triển tư duy toán học, làm cho các em trở nên yêu thích toán hơn từ đó các em có ý thức học tập đảm bảo yêu cầu của thời đại mới. b. Cơ sở thực tiễn: Là một giáo viên dược phân công giảng dạy lớp 6A, 6C với nhiều đối tượng học sinh khá giỏi, các em có tư duy nhạy bén và nhu cầu hiểu biết ngày càng cao, làm thế nào để phát huy được hết khả năng của các em đó là trách nhiệm của mỗi người giáo viên. Qua giảng dạy chương trình toán lớp 6 tôi nhận thấy đề tài về phép chia hết là một đề tài thật lý thú, phong phú đa dạng không thể thiếu ở môn số học lớp 6. Việc giải bài toán chia hết là một dạng toán hay, với mong muốn cung cấp cho các em một số phương pháp giải các bài toán về chia hết, giúp các em làm bài tập tốt hơn nhằm tích cực hoá hoạt động học tập, phát triển tư duy, do đó trong năm học này tôi chọn đề tài: “Một số phương pháp giải các bài toán về chia hết trong tập N” để thực hiện trong chương trình toán lớp 6. 2. Mục đích nghiên cứu: - Các phương pháp thường dùng để giải các bài toán về phép chia hết. - Rèn kĩ năng vận dụng kiến thức khi giải bài toán về phép chia hết. - Củng cố và hướng dẫn học sinh làm bài tập. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu: - Nhiệm vụ khái quát: Nêu những phương pháp giải bài toán chia hết theo chương trình mới. - Nhiêm vụ cụ thể: - Tìm hiểu thực trạng học sinh. - Những phương pháp thực hiện. - Những chuyển biến sau khi áp dụng. - Bài học kinh nghiệm. 4. Đối tượng nghiên cứu. - Đề tài nghiên cứu qua các tiết dạy về phép chia hết trong tập N, trong SGK toán 6 tập 1, qua định hướng đổi mới phương pháp dạy toán 6. - Đối tượng khảo sát: HS lớp 6A, 6C trường THCS Cao Viên. 5. Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu tài liệu SGK, sách tham khảo. - Phương pháp kiểm tra, thực hành. - Phương pháp phát vấn, đàm thoại nghiên cứu vấn đề. - Tổng kết kinh nghiệm của bản thân và của đồng nghiệp khi dạy phần “phép chia hết”. PHẦN THỨ HAI NỘI DUNG I. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU. I.1. Đặc điểm tình hình lớp: Lớp 6A, 6C có số lượng học sinh không đồng đều về mặt nhận thức gây khó khăn cho giáo viên trong việc lựa chọn phương pháp phù hợp. Nhiều học sinh có hoàn cảnh khó khăn do đó việc đầu tư về thời gian và sách vở bị hạn chế và ảnh hưởng không nhỏ đến nhận thức và sự phát triển tư duy của các em. Đa số các em hay thoả mãn trong học tập, các em cho rằng chỉ cần học thuộc lòng các kiến thức trong SGK là đủ. Chính vì vậy mà các em tiếp thu kiến thức một cách thụ động, không tự mày mò, khám phá kiến thức mới, hầu hết các em đều hấp tấp khi giải các bài tập dạng này. VD: Lời giải của em Lê Thị Thu - Lớp 6A (Bài 85 trang 36 – SGK NXBGD – 2002) Áp dụng tính chất chia hết xét xem tổng (560 + 18 + 3) có chia hết cho 7 không? HS giải: Ta có 560 chia hết cho 7 18 không chia hết cho 7 3 không chia hết cho 7 nên (560 + 18 + 3) không chia hết cho 7. Lời giải đúng: Ta có 560 7 (18 + 3) 7 Suy ra (560 + 18 + 3) 7 (Học sinh mắc sai lầm do chưa hiểu rõ tính chất chia hết: Nếu trong một tổng có 2 số hạng không chia hết cho 1 số thì chưa thể kết luận được tổng đó có chia hết cho số đó hay không) Qua một thời gian tôi đã tiến hành điều tra cơ bản và thu được kết quả như sau: + Lớp 6A: Số em lười học bài, lười làm bài tập chiếm khoảng 50%, số học sinh nắm được kiến thức và biết vận dụng vào bài tập chiếm khoảng 30%. + Lớp 6C: Số em lười học bài, lười làm bài tập chiếm khoảng 85%, số học sinh nắm được kiến thức và biết vận dụng vào bài tập chiếm khoảng 10%. I.2. Nguyên nhân: Nguyên nhân của vấn đề trên là do các em chưa có ý thức tự giác học tập, chưa có kế hoạch thời gian hợp lý tự học ở nhà, học còn mang tính chất lấy điểm, chưa nắm vững hiểu sâu kiến thức toán học, không tự ôn luyện thường xuyên một cách hệ thống, không chịu tìm tòi kiến thức mới qua sách nâng cao, sách tham khảo, còn hiện tượng dấu dốt không chịu học hỏi bạn bè, thầy cô. Đứng trước thực trạng trên tôi thấy cần phải làm thế nào để khắc phục tình trạng trên nhằm nâng cao chất lượng học sinh, làm cho học sinh thích học toán hơn. Vậy tôi thiết nghĩ đề tài của tôi nghiên cứu về vấn đề này là bước đi đúng đắn với tình trạng và sức học của học sinh hiện nay. II. BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU. Để đạt được hiệu quả khi giải các bài toán nói chung và giải các bài toán về chia hết nói riêng, tôi đã rèn cho học sinh ghi nhớ khái niệm, công thức, định nghĩa, quy tắc để áp dụng giải một số bài toán dạng này. II.1. TRƯỚC TIÊN HỌC SINH PHẢI NẮM VỮNG ĐỊNH NGHĨA TÍNH CHẤT, DẤU HIỆU CHIA HẾT. 1. Định nghĩa: Cho hai số tự nhiên a và b (b0), nếu có số tự nhiên x sao cho b.x = a thì ta nói a chia hết cho b và ta có phép chia hết a: b = x. 2. Tính chất của quan hệ chia hết. + Số 0 chia hết cho moị số b 0. + Số a chia hết cho a với mọi a 0. + Nếu a chia hết cho bvà b chia hết cho c thì a chia hết cho c. + Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho a thì a = b. + Nếu a chia hết cho b và a chia hết cho c mà (b, c) =1 thì a chia hết cho b.c + Nếu a .b chia hết cho m và (b, m) = 1 thì a chia hết cho m. + Nếu a.b chia hết cho m và m là số nguyên tố thì a chia hết cho m hoặc b chia hết cho m. + Nếu a chia hết cho m và b chia hết cho n thì a.b chia hết cho m.n + Nếu a chia hết cho m và b chia hết cho m thì (ab) chia hết cho m. + Nếu a chia hết cho m và b không chia hết cho m thì (ab) không chia hết cho m. + Nếu a chia hết cho m thì chia hết cho m (nN). +Nếu a chia hết cho b thì chia hết (nN). 3. Các dấu hiệu chia hết. a. Dấu hiệu chia hết cho 2: Một số chia hết cho 2 chữ số tận cùng của số đó là số chẵn. b. Dấu hiệu chia hết cho 5: Một số chia hết cho 5 chữ số tận cùng của số đó bằng 0 hoặc 5. c. Dấu hiệu chia hết cho 3(hoặc 9). Môt số chia hết cho 3 (hoặc 9) tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3 (hoặc 9). Chú ý: Một số chia hết cho 3 (hoặc 9) dư bao nhiêu thì tổng các chữ số của nó chia 3 (hoặc 9) dư bấy nhiêu và ngược lại. d. Dấu hiệu chia hết cho 4(hoặc 25). Một số chia hết cho 4 (hoặc 25) hai chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 4 (hoặc 25). e. Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc125). Một số chia hết cho 8 (hoặc 125) ba chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 8 (hoặc 125). f. Dấu hiệu chia hết cho 11. Một số chia hết cho 11 hiệu giữa tổng các chữ số hàng lẻ và các chữ số hàng chẵn (từ trái sang phải) chia hết cho 11. Sau khi học sinh đã nắm chắc được lý thuyết thì việc vận dụng lý thuyết vào giải bài tập là vô cùng quan trọng, do vậy người giáo viên không chỉ đơn thuần cung cấp lời giải mà quan trọng hơn là dạy cho các em biết suy nghĩ tìm ra con đường hợp lý để giải bài toán như nhà toán học Pôlia đã nói “Tìm được cách giải một bài toán là một điều phát minh”. Tuy nhiên khi giải bài tập dạng này tôi không muốn dừng lại ở những bài tập SGK mà tôi muốn giới thiệu thêm một số bài tập điển hình và một số phương pháp giải các bài tập đó. II.2. PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ CHIA HẾT 1. Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa phép chia hết. Để chứng minh số a chia hết cho số b (b0) ta biểu diễn a dưới dạng tích, trong đó có 1 thừa số bằng b (hoặc chia hết cho b). Bài 1: Cho nN, chứng minh rằng (5n)chia hết cho 125 Giải : Ta có : (5n) = 5. n= Vậy (5n)chia hết cho 125. Bài 2: Chứng minh số chia hết cho 143. Giải: Ta có: = 1001.= 7.11.13. =143.(7) 143. Vậy chia hết cho 143. Bài 3: Chứng minh rằng: chia hết cho 6. Giải: Ta có 2. Phưong pháp 2: Dựa vào tính chất của quan hệ chia hết. * Dùng tính chất chia hết của một tổng, hiệu. - Để chứng minh a chia hết cho b 0 ta biểu diễn số a dưới dạng một tổng của nhiều số hạng rồi chứng minh tất cả các số hạng đó đều chia hết cho b. - Để chứng minh a không chia hết cho b 0 ta biểu diễn số a dưới dạng một tổng của nhiều số hạng rồi chứng minh có một số hạng không chia hết cho b còn tất cả các số hạng còn lại đều chia hết cho b. Bài 1: Chứng minh rằng: Tổng của 3 số lẻ liên tiếp chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 6. Giải: Gọi 3 số lẻ liên tiếp là: 2n+1; 2n+3 ; 2n+5 (nN) Tổng của 3 số đó là: a = (2n+1) + (2n+3) + (2n+5) = 6n+ 9 = 6n + 6 + 3 Suy ra a chia hết cho 3 (vì 3 số hạng của a đều chia hết cho 3). Mặt khác: 6n 6 và 6 6 nhưng 3 không chia hết cho 6 Do đó a không chia hết cho 6. Vậy tổng của 3 số lẻ liên tiếp chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 6. Bài 2: Tìm số tự nhiên n sao cho: a. n + 2 chia hết cho n – 1. b. 2n + 7 chia hết cho n+1. Giải: Căn cứ vào tính chất chia hết của một tổng (hiệu) ta có thể rút ra phương pháp chung để giải dạng này dựa vào nhận xét sau: Nếu A B thì (mA + nB) hoặc (mA - nB) B (m, n) a) Vì (n + 2) (n – 1) suy ra [(n+ 2) – (n – 1)}] (n – 1) Hay 3(n – 1) Do đó (n – 1) Ư(3) = {1 ; 3} + Nếu n – 1 = 1 thì n = 2 + Nếu n – 1 = 3 thì n = 4 Vậy với n = 2; 4 thì (n+2) (n – 1) b) Vì (2n + 7) (n + 1) suy ra [( 2n + 7) – 2(n + 1)] (n + 1) hay 5 (n + 1) Do đó (n+ 1) Ư(5) = {1 ; 5} + Nếu n+ 1 = 1 thì n = 0 + Nếu n + 1 = 5 thì n = 4 Vậy với n = 0; 4 thì (2n + 7) (n + 1) Bài 3: Chứng minh tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3. Giải: Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là: n; n + 1; n + 2 Tổng của 3 số tự nhiên đó là: n + (n + 1) + (n + 2) = (n + n + n) + (1 + 2) = 3n + 3 chia hết cho 3 (Tính chất chia hết của một tổng). Từ bài tập này giáo viên có thể đưa ra tình huống: Có phải tổng của n số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho n không? Qua đó gợi cho học sinh trí tò mò đưa ra tình huống có vấn đề cần giải quyết. Sau đó giáo viên gợi ý cho học sinh qua bài tập sau: Bài 4: Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 4 hay không? Giải: Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là: n; n + 1; n + 2; n + 3 Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp đó là: n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = (n + n + n + n) + (1+ 2 +3) = 4n + 6 Ta có: 4n chia hết cho 4 6 không chia hết cho 4 Suy ra (4n + 6) không chia hết cho 4 Vậy tổng của n số tự nhiên liên tiếp chưa chắc chia hết cho n. * Dùng tính chất chia hết của một tích. a. Để chứng minh số a chia hết cho số b (b0) ta có thể biểu diễn số b dưới dạng 1 tích b = m.n + Nếu (m, n) = 1 thì tìm cách chứng minh am và a n lúc đó a m.n tức là ab + Nếu (m, n) 1 thì ta biểu diễn số a thành tích a = aarồi chứng minh am; an thì aa m.n tức là a b Bài 5: Chứng minh rằng tích của 2 số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8. Giải: Gọi 2 số chẵn liên tiếp là: 2n, 2n + 2. Tích của 2 số chẵn liên tiếp là: 2n.(2n + 2) = 4n.(n + 1). Vì n và n+ 1 không cùng tính chẵn lẻ nên n.(n+ 1) 2. Mà 4 chia hết cho 4 nên 4n.(n+1) (4.2) Hay 4n.(n+1) 8. Suy ra 2n.(2n + 2) 8. Vậy tích của 2 số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8 Bài 6: Tìm các số tự nhiên có 2 chữ số gấp 9 lần chữ số hàng đơn vị của nó. Giải: Gọi số phải tìm là = 10a + b (1 9) Theo đề bài ta có 10a + b = 9b hay 10a = 8b Suy ra 5a = 4b (1) Suy ra 4b5 mà (4, 5) = 1 nên b 5 Vì (1 9) nên b = 5 Thay b = 5 vào (1) ta được a = 4. Vậy số phải tìm là 45. * Vận dụng dấu hiệu chia hết liên quan đến các số nguyên tố, các số nguyên tố cùng nhau. + Nếu tích ab m mà (b, m) =1 thì am. + Nếu a m; a n và (m, n) =1 thì a mn. + N ếu a p (p là số nguyên tố) thì a p. Bài 7: Cho a, b là các số tự nhiên, n 0, biết a 7. Chứng minh rằng: (a+ 98b) 49 Giải : Ta có a 7; mà 7 là số nguyên tố nên a 7. Suy ra a 7hay a 49 Mặt khác: 98b 49 nên (a+ 98b) 49 (tính chất chia hết của một tổng). 3. Phương pháp 3: Vận dụng dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 5; 9; 11;… hoặc có thể xét chữ số tận cùng khi chứng minh chia hết cho 2, cho5, cho 10. Bài 1: Cho nN .Chứng minh A = (3+7) 10 Giải: Ta có : có tận cùng là 1 (3+7) =.3+ 7 = Vậy A 10 Bài 2: Tìm các chữ x và y để 2; 3; 5 Giải : Để 2 và 5 thì y = 0 (1) 3 thì (4+1+x+5+y) 3 (10 + x + y) 3 Hay x + y = 2; 5 ; 8 (2) Từ (1) và (2) suy ra x = 2; 5 ; 8 Vậy với x = 2; 5; 8 và y = 0 thì 2; 3; 8 4. Phương pháp 4: Dùng định lý về phép chia có dư. Để chứng minh n chia hết cho p ta xét mọi trường hợp về số dư khi chia n cho p (có thể có số dư là một trong các số từ 0 đến p-1) Bài 1: Chứng minh rằng : a) Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3 b) Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 4. Giải: a) Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là: n; n+ 1; n+ 2 Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp là: n(n + 1)(n + 2). Một số tự nhiên khi chia cho 3 có thể nhận một trong các số dư sau: 0; 1; 2 + Nếu r = 0 thì n chia hết cho 3 n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 3 + Nếu r = 1 thì n = 3k + 1 (k là số tự nhiên). n + 2 = 3k + 1+ 2 = (3k + 3) chia hết cho 3 n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 3. + Nếu r = 2 thì n = 3k + 2 (k là số tự nhiên) n + 1 = 3k + 2+ 1 = (3k + 3) chia hết cho 3 n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 3. Vậy n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 3 với mọi n là số tự nhiên. b) Chứng minh tương tự ta có: n(n + 1)(n +2)(n+ 3) chia hết cho 4 với mọi n là số tự nhiên. Sau khi giải xong bài tập này giáo viên cho học sinh nêu bài tập này ở dạng tổng quát. Giáo viên khắc sâu cho học sinh: Tích của n số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho n. Chú ý: Phương pháp này sử dụng khi chứng minh 1 biểu thức có chứa biến chia hết cho các số tự nhiên có 1 chữ số. Khi chứng minh 1 biểu thức chia hết cho các số tự nhiên có 2 chữ số trở nên ta không sử dụng phương pháp này vì phải xét nhiều trường hợp đối với số dư. 5. Phương pháp 5: Vận dụng nguyên lý Đirichlê. Bài 1: Một lớp học có 40 học sinh, chứng minh rằng có ít nhất 4 học sinh có tháng sinh giống nhau. Giải: Một năm có 12 tháng, ta phân chia 40 học sinh vào 12 tháng đấy, nếu mỗi tháng có không quá 3 học sinh được sinh ra trong tháng đó thì số học sinh không quá 3.12 = 36 Mà lớp có 40 học sinh, như vậy còn thừa 4 học sinh. Vậy tồn tại 1 tháng có ít nhất 4 học sinh trùng tháng sinh. Bài 2: Chứng minh rằng trong 6 số tự nhiên bất kỳ tìm được 2 số có hiệu chia hết cho 5. Giải: Một số bất kỳ chia cho 5 chỉ có 1 trong 5 số dư: 0; 1; 2; 3; 4; Vì có 6 số tự nhiên bất kỳ nên tồn tại 2 số có cùng số dư khi chia cho 5. Vậy hiệu của 2 số đó chia hết cho 5. *) Sau khi học sinh đã nắm vững được một số phương pháp trên, giáo viên có thể đưa ra một số dạng bài toán về chia hết nhằm giúp học sinh khắc sâu kiến thức một cách có hệ thống. II.3. MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN VỀ CHIA HẾT. 1. D¹ng1: T×m c¸c ch÷ sè ch­a biÕt cña mét sè. Bµi 1: T×m c¸c ch÷ sè a vµ b sao cho chia hÕt cho 5 vµ chia hÕt cho 3. * §Ó t×m ®­îc a vµ b häc sinh ph¶i thÊy ®­îc 2 dÊu hiÖu c¬ b¶n ®ã lµ sè ®ã chia hÕt cho 5 vµ cho 3 vµ sử dụng dấu hiệu chia hết cho 3, 5 để tìm a, b. V× chia hÕt cho 5 nªn ch÷ sè tËn cïng b = 0 hoÆc b = 5 (1) V× chia hÕt cho 3 nªn suy ra (1 + 9 + a + b) 3 (10 + a + b) 3 a + b = 2; 5; 8 (2) Từ (1) vµ (2) suy ra a = 2; 5; 8 vµ b = 0 hoặc a = 0; 3 vµ b = 5 Vậy với a = 2; 5; 8 vµ b = 0 hoặc a = 0; 3 vµ b = 5 thì chia hết cho 5 Bµi 2: Ch÷ sè a lµ bao nhiªu ®Ó võa chia hÕt cho 3 võa chia hÕt cho 8. (Giáo viên hướng dẫn học sinh vận dụng dấu hiệu chia hết cho 3; 8 để làm) V× 8 8 (100a + 96)8 mµ 96 8 Suy ra 100a8 do ®ã a lµ sè ch½n a Î{2, 4, 6, 8} (1). V× 3 (a + a + a + a + a + 9 + 6) 3 (5a + 15) 3 Mµ 153 nªn 5a 3 Mặt khác: (5, 3) = 1 suy ra a 3 vËy a Î{ 3, 6, 9} (2). Tõ (1) vµ (2) suy ra a = 6 KL: VËy sè ph¶i t×m lµ 6666696. Bµi 3: T×m ch÷ sè a ®Ó 11. HD: Tæng c¸c ch÷ sè hµng lÎ lµ 2 + a. Tæng c¸c ch÷ sè hµng ch½n lµ 2a. * NÕu 2a ³ a + 2 a ³ 2 th× 2a - (a + 2) = a -2 £ 9 - 2 = 7 Mµ (a - 2) 11 nªn a - 2 = 0 a = 2 * NÕu 2a £ a + 2 a 2 th× (a + 2) - 2a = 2 - a Suy ra 2 - a = 1 hoặc 2 - a = 2 không chia hết cho 11 Kết luận: VËy a = 2 thì 11 Bµi 4: T×m c¸c ch÷ sè a, b ®Ó sè chia hÕt cho 8 vµ cho 9. * C¸ch 1: +) NÕu chia hÕt cho 8 th× dựa vµo dÊu hiÖu chia hÕt cho 8 ta cã 8 hay = 400 + 10a + b = 8p (p Î N) (*) MÆt kh¸c nÕu 9 th× (1 + 2 + 3 + 4 + a + b) 9 Hay (1 + a + b) 9 1 + a + b = 9q (qÎ N) ( **) V× a vµ b lµ c¸c ch÷ sè nªn a + b £ 18 Tõ (**) suy ra 9q £ 19 (q>1) VËy q = 2 Trõ (*) víi (**) ta cã 390 + 9a = 8p - 9q Hay p = 49 + a + q + V× pÎ N nªn Î N hay a + q – 2 8 +) NÕu q = 2 th× a = 0 hoÆc a = 8 Tõ (**) ta cã b = 9q - a - 10 do ®ã b = 8 hoÆc b = 0 KL: VËy cã sè tho¶ m·n ®Ò bµi lµ: 123480; 123408. * C¸ch 2: Ta có: = 123400 + = 72.1713 + 64 + V× chia hÕt cho 8 vµ cho 9 nªn chia hÕt cho 72 VËy 64 + chia hÕt cho 72. V× £ 99 nên 64 < 64 + £ 163 nªn 64 + b»ng 72 hoÆc 144. + NÕu 64 + = 72 th× = 08 + NÕu 64 + = 144 th× = 80 KL: VËy c¸c sè tho¶ m·n ®Ò bµi lµ: 123480; 123408. Bµi 5: T×m c¸c sè a, b sao cho: a) a - b = 4 vµ chia hÕt cho 3 b) a - b = 6 vµ + chia hÕt cho 9 Gi¶i: a) a - b = 4 vµ chia hÕt cho 3 Ta cã: 3 (7 + a + 5 + b + 1) 3 Hay (a +b + 13) 3 suy ra (a +b ) chia 3 d­ 2 (1) Ta cã a -b = 4 nªn 4 £ a £ 9 ; 0 £ b £ 5 Suy ra 4£ a+b £ 14 (2) MÆt kh¸c a - b lµ sè ch½n nªn a + b lµ sè ch½n (3) Tõ (1) (2) vµ (3) suy ra a + b Î {8; 14} Víi a + b = 8; a - b = 4 ta ®­îc a = 6; b = 2. Víi a + b = 14; a - b = 4 ta ®­îc a = 9; b = 5. VËy c¸c sè ph¶i t×m lµ a = 6; b = 2 vµ a = 9; b = 5 b) + 9 (4 + a + 7 + 1 + b + 5) 9 hay (a + b + 8) 9 Suy ra (a + b) chia cho 9 d­ 1 Do a + b ³ a – b = 6 nªn a + b = 10 tõ ®ã t×m ®­îc a = 8; b = 2. * Bµi tËp t­¬ng tù : Bµi 1: T×m c¸c sè x, y sao cho 72 HD: 72 72. 2769 + 32 + 72 32 + 72 V× 32 £ 32 + £ 32 + 99 = 131 nªn 32 + = 72 « = 40 VËy x = 4, y = 0. Bµi 2: T×m ch÷ sè x ®Ó chia hÕt cho 3 nh­ng kh«ng chia hÕt cho 9. HD: V× chia hÕt cho 3 « (x + 1 + 9 + 9 + 4) chia hÕt cho 3 Hay (x + 25) chia hÕt cho 3 V× 1£ x £ 9 nªn 24 £ 23 + x £ 32 Trong c¸c sè tù nhiªn tõ 23 ®Õn 32 cã sè 24, 30 chia hÕt cho 3 mµ kh«ng chia hÕt cho 9. Bµi 3: Ph¶i viÕt Ýt nhÊt mÊy sè 1994 liªn tiÕp nhau ®Ó ®­îc mét sè chia hÕt cho 3. HD: Tæng c¸c ch÷ sè cña 1994 lµ 23 khi chia cho 3 th× d­ 2. NÕu viÕt k lÇn sè 1994 liªn tiÕp nhau th× tæng c¸c ch÷ sè cña sè nhËn ®­îc cã cïng sè d­ víi 2k khi chia cho 3. §Ó sè nhËn ®­îc chia hÕt cho 3 th× 2k ph¶i chia hÕt cho 3, nªn sè nhá nhÊt lµ 3, tøc lµ Ýt nhÊt ph¶i viÕt 3 lÇn sè 1994 liªn tiÕp nhau. Bµi 4: T×m 3 ch÷ sè tËn cïng cña tÝch 4 sè tù nhiªn liªn tiÕp kh¸c kh«ng, biÕt r»ng tÝch nµy chia hÕt cho 125. TÝch nµy nhá nhÊt b»ng bao nhiªu? HD: TÝch 4 sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 8 th× tÝch 4 sè tù nhiªn liªn tiÕp còng chia hÕt cho 125 nªn 3 ch÷ sè tËn cïng lµ 000. Trong tÝch cña 4 sè tù nhiªn tiÕp kh«ng thÓ cã 2 sè chia hÕt cho 5 nªn ph¶i cã mét sè chia hÕt cho 125. TÝch nhá nhÊt lµ: 125.126.127.128 2. D¹ng 2: Chøng minh chia hÕt ®èi víi biÓu thøc sè. Bµi 1: Chøng minh r»ng: 2139 + 3921 chia hÕt cho 45. Ta cã 2139 + 3921 = (2139- 1) + (3921 + 1) V× 2139- 1 = 20 (2138+ 2137+ … + 1) chia hÕt cho 5 vµ 3921 + 1 = 40 (3920 - 3919+ … + 1) chia hÕt cho 5 Suy ra: (2139- 1) + (3921 + 1) chia hÕt cho 5 MÆt kh¸c 2139- 3921 = (2139- 339) - (3921 - 321) + (339 - 321) Mµ 2139- 339= 18 (2138+ … +338) chia hÕt cho 9 3921- 321 = 27(1321318 + … +318) chia hÕt cho 9 Vµ 339+ 321= 321 (318 - 1) = (33)7 (318+ 1) chia hÕt cho 9 Mµ (5, 9) = 1 nªn 2139 + 3921 45 KL: VËy 2139 + 3921 chia hÕt cho 45 Bµi 2: Chøng minh r»ng: 4343 - 1717 chia hÕt cho 5 +) Ta cã: 4343 = 4340. 433= (434)10.433 V× 433 cã tËn cïng bëi ch÷ sè 1 (34 cã tËn cïng bëi 1) nªn (434) cã tËn cïng bëi ch÷ sè 1 hay 4340 cã tËn cïng bëi ch÷ sè 1. 433cã tËn cïng bëi ch÷ sè 7. VËy 4340. 433 cã tËn cïng lµ ch÷ sè 7. Hay 4343 cã tËn cïng lµ ch÷ sè 7 +) Ta cã 1717 = 1716 .17 = (174)4. 17 V× 174 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 1 nªn (174)4 còng cã ch÷ sè tËn cïng lµ ch÷ sè 1 hay 1716 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 1. Suy ra: 1716.17 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 7 Hai sè 4343 vµ 1717cã ch÷ sè tËn cïng gièng nhau nªn 4343 - 1717 cã ch÷ sè tËn cïng lµ ch÷ sè 0 KL: VËy 4343 - 1717 chia hÕt cho 5. Bµi 3: Cho A = 2 + 22 + 23+ … + 260 Chøng minh r»ng: A chia hÕt cho 3; 7 vµ 15. Giải Ta cã: A =2 + 22 + 23+ … + 260 A = 2(1+2) + 23 (1+2) + … + 259 (1 + 2) = 3 (2 + 22 + 23+ … + 259) A = 3 (2 + 22 + 23+ … + 259) chia hÕt cho 3 Ta cã A = 2 + 22 + 23+ … + 260 A = 2 (1 + 2 + 22) + 24 (1 + 2 + 22) + … + 258 (1 + 2 + 22) A = 2.7 + 24.7 + … + 258.7 A = 7(2 + 24 + … + 258) chia hÕt cho 7 Ta cã A = 2 (1 + 2 + 22+ 23) + 25(1 + 2 + 22 + 23) + … +257(1 + 2 + 22 + 23) A = 2. 15 + 25.15 + … + 257.15 A = 15(2 + 25 + … + 257) chia hÕt cho 15 KL: VËy A chia hÕt cho 3, 7 vµ 15. * Bµi tËp t­¬ng tù: Bµi 1: Cho B = 3 + 33 + 35 + … + 31991 Chøng minh r»ng B chia hÕt cho 13 vµ 41. Bµi 2 Cho C = 119 + 118 + 11 7 + … + 11 + 1 Chøng minh r»ng C chia hÕt cho 5. Bµi 3 Chøng minh r»ng A chia hÕt cho B víi A = 13 + 23 + 33 + … + 993 + 1003 B = 1 + 2 + 3 + … + 99 + 100 3. D¹ng 3: Chøng minh chia hÕt ®èi víi biÓu thøc chøa ch÷ Bµi 1: Chøng minh r»ng: n3 - n chia hÕt cho 6 víi n lµ số tự nhiên * C¸ch 1: V× (2, 3) = 1 nªn chØ cÇn chøng minh n3 - n chia hÕt cho 2 vµ chia hÕt cho 3. Ta cã n3 - n = n(n2 - 1) = n(n + 1)(n - 1) Mµ n, n + 1, n - 1 lµ 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp nªn (n - 1)n(n + 1)2. MÆt kh¸c: n cã thÓ biÓu diÔn thµnh mét trong c¸c d¹ng sau 3k, 3k + 1, 3k+2 (k Î N) + NÕu n = 3k th× n3 - n = (3k)2- 3k = 3k (9k2 - 1) 3 + NÕu n = 3k + 1 th× n3 - n = n(n + 1)(n - 1) =3k(3k + 1)( 3k + 2) 3. + NÕu n = 3k+ 2 th× n3 - n = n(n + 1)(n - 1) = (3k+1)(3k+2)(3k + 3) = 3(k + 1)(3k + 1)(3k+ )3. KL: VËy n3 - n 6 víi n Î N * C¸ch 2: NÕu n Î N th× chØ cã thÓ biÓu diÔn thµnh mét trong c¸c d¹ng sau: 6p, 6p + 1, 6p + 2, 6p + 3, 6p + 4, 6p + 5 (do phÐp chia mét sè cho 6) + NÕu n = 6p th× n3 - n = 6p(6p + 1)(6p - 1) 6 +NÕu n = 6p + 1 th× n3 - n = 6p(6p + 1)(6p + 2) 6. + NÕu n = 6p + 2 th× n3 - n = 6(3p + 1)(2p + 1)(6p + 1) 6. + NÕu n = 6p + 3 th× n3 - n = 6(36p3+ 54p2 + 26p - 4) 6. + NÕu n = 6p + 4 th× n3 - n = 6(36p3+ 54p2 + 26p - 4) 6. + NÕu n = 6p + 5 th× n3 - n = 6(36p3+ 54p2 + 26p - 4) 6. n chữ số Bµi 2: Chøng minh r»ng 2n + 11...1 chia hÕt cho 3. n chữ số * Chó ý: Sè n vµ sè cã tæng c¸c ch÷ sè b»ng n cã cïng sè d­ trong phÐp chia cho 9, do ®ã 11...1 - n chia hÕt cho 9. n chữ số n chữ số Ta cã: 2n + 11...1 = 3n + (11...1 - n) chia hÕt cho 3. Bµi 3: Chøng minh r»ng A = 10n + 18n - 1 chia hÕt cho 27. * C¸ch 1: A = 10n + 18n - 1 = 10n - 9n + 27n - 1 n chữ số n chữ số = 99...9 - 9n + 27n = 9(11...1 - n) + 27n n chữ số n chữ số Mµ 27n chia hÕt cho 27 nªn (11...1 - n) chia hÕt cho 9 suy ra 9(11...1 - n) VËy 10n + 18n - 1 chia hÕt cho 27 C¸ch 2: (Ph­¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc) + NÕu n = 1 th× A = 10 + 18 - 1 = 27 chia hÕt cho 27. VËy mÖnh ®Ò ®óng víi n = 1. + Gi¶ sö mÖnh ®Ò ®óng víi n = k tøc lµ Ak = 10k + 18k -1 chia hÕt cho 27 Ta cÇn chøng minh mÖnh ®Ò ®óng víi n = k + 1. ThËt vËy Ak+1 = 10k+1 + 18(k + 1) - 1 = 10k.10 + 18k + 18 - 1 Ak+1 = 10 (10k + 18k -1) - 9.18k +27 Ak+1 = 10 (10k + 18k-1) - 27.6k + 27 Mµ 10 (10k + 18k-1) 27 27.6k 27 => Ak+1 27 27 27 VËy 10n + 18n - 1 chia hÕt cho 27 * Bµi tËp t­¬ng tù: Bµi 1: Chøng minh rằng: a) -10n + 72n - 1 chia hÕt cho 91. b) - 22n + 15n - 1 chia hÕt cho 9 víi mäi n nguyªn d­¬ng. Bµi 2: Chøng minh r»ng víi mäi n tù nhiªn th×: (n+ 19931994 ).(n+ 19941993 ) chia hÕt cho 2. Bµi 5: Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n th× 4.32n+2 + 32n - 36 64 V× 4. 32n+2 + 32n - 36 = 4 (32n+2 -8n - 9) nªn bµi to¸n ®­a vÒ viÖc chøng minh: 32n+2 + 8n - 9 16 + NÕu n ch½n, ta ®Æt n = 2k (k ÎN) khi ®ã: 32n+2 + 8n - 9 = 34k+2 +16k -9 = 34k . 32 - 9 + 16k = 9(34k - 1) + 16k = 9(81k -1) + 16k V× hiÖu (81k-1) 80 nªn (81k - 1) 16 VËy khi n ch½n th× 4. 32n+2 + 32n - 36 64 + NÕu n lÎ, ta ®Æt n = 2k + 1 (k ÎN) Khi ®ã 32n+2 + 8n - 9 = 34k+4 + 16k + 8 - 9 = (34)k+1- 1+ 16k = 81k+1 -1 + 16k V× hiÖu (81k+1 -1) 80 nªn (81k+1 -1) 16 VËy víi n lÎ th× 4. 32n+2 + 32b - 36 64 KÕt luËn: VËy víi mäi sè tù nhiªn n th× 4(32n+2 + 8n - 9) 64 * Bµi tập tương tự: Bµi 1: Chøng minh víi mäi sè tù nhiªn n th× 3n+2 + 42n-1 13 Bµi 2: Víi mäi n nguyªn d­¬ng, chøng minh r»ng: 62n + 3n+2 + 3n 11 Bµi 6: Chøng minh tæng k sè tự nhiên liªn tiÕp (k lÎ) th× chia hÕt cho k. Gi¶i: Gäi k sè nguyªn liªn tiÕp lµ n, n+1, n+2, …, n + k-1. Khi ®ã tæng cña chóng b»ng: n + n + 1+ n + 2 + ... + n + k - 1 = kn + 1 + 2 + … + k - 1 = kn + = kn + V× k lÎ nªn: =p (pÎ N) Nh­ vËy kn + = kn + kp = k(n+p) §iÒu nµy chøng tá r»ng khi k lÎ, tæng k sè tự nhiên liªn tiÕp k + Chó ý: §©y lµ bµi to¸n tæng qu¸t, tõ bµi to¸n nµy ta cã thÓ yªu cÇu häc sinh chøng minh c¸c tr­êng hîp riªng cña bµi to¸n tæng cña ba, n¨m, b¶y... sè tự nhiên liªn tiÕp th× chia hÕt cho 3, 5, 7... Bµi 7: Chøng minh r»ng tÝch cña k sè tự nhiên liªn tiÕp th× k * C¸ch 1: Gäi k sè tự nhiên liªn tiÕp lµ: a, a + 1, a + 2, ... , a + k -1. TÝch cña chóng lµ: a(a + 1)(a + 2) ... (a + k -1). Ta cÇn chøng minh: a (a+1)(a+2) ...(a+1 -1) k +NÕu a k th× bµi to¸n ®· gi¶i xong. +NÕu a kh«ng chia hÕt cho k th× a = qk + r (0 < r < k) Thõa sè (a + k + r) cã mÆt trong tÝch ®ang xÐt vµ a + k - r = qk + r + k - r = k(q+1) k. §iÒu ®ã chøng tá r»ng trong tÝch ®ang xÐt lu«n lu«n tån t¹i mét sè k. Tõ ®ã => a(a+1)(a+2)…(a+k-1) k * C¸ch 2: (Chøng minh b»ng ph¶n chøng). Gi¶ sö trong tÝch ®ang xÐt kh«ng cã thõa sè nµo chia hÕt cho k. Nh­ vËy th× chia k thừa số của tÝch cho k ta nhËn ®­îc c¸c sè d­ tõ 1 ®Õn k-1. Theo nguyªn lý §irichlê tån t¹i Ýt nhÊt 2 sè cã cïng sè d­. Ta gäi 2 sè ®ã lµ (a + h) vµ (a + l) víi 0 h < l k-1 Khi ®ã (a + h) - (a + l) k hay k-l k. V« lý v× 0 < < k. Vậy tích của k số tự nhiên liên tiếp chia hết cho k + Chó ý: Tõ bµi to¸n nµy cã thÓ ®­a ra c¸c tr­êng hîp riªng cña bµi to¸n ®· quen thuéc ®èi víi häc sinh ®ã lµ: Chøng minh tÝch hai, ba, bèn, n¨m ... sè tự nhiên liªn tiÕp 2, 3, 4, 5 … Bµi 8: Cho a vµ b lµ c¸c số tự nhiên, h·y chøng minh r»ng: NÕu 2a +3b 17 th× 9a + 5b 17 vµ ngược l¹i. Gi¶i: * Chøng minh: NÕu (2a + 3b) 17 th× 9a +5b 17 NÕu (2a + 3b) 17 th× 8(2a + 3b) 17 +) Râ rµng (34a + 34b) 17 VËy (34a + 34b) - (16a +24b) = 34a + 34b - 16a - 24b =18a + 10b =2 (9a + 5b) 17 V× (2, 17) =1 nªn 9a + 5b 17 * Chøng minh: NÕu (9a + 5b) 17 th× (2a + 3b) 17 Ta cã: (34 a + 34 b) 17 Theo gi¶ thiÕt (9a + 5b) 17 => 2 (9a + 5b) 17. Hay (34a + 34b) - 2(9a + 5b) = 34a + 34b - 18a - 10b. =16a + 24b = 8(2a + 3b) 17 V× (8, 17) =1 nªn (2a + 3b) 17. Bµi 9: Chøng minh r»ng: NÕu a, b lµ c¸c sè tù nhiªn sao cho 5a + 3b vµ 13a + 8b 1995 th× a vµ b chia hÕt cho 1995. + Theo gi¶ thiÕt 5a + 3b 1999 => 8(5a + 3b) 1995 vµ 13a + 8b 1995 => 3(13a + 8b) 1995 Hay 8(5a + 3b) - 3(13a + 8b) = 40a + 24b - 39a + 24b = a 1995 + Theo gi¶ thiÕt 5a + 3b 1995 => 13(5a + 3b) 1995 13a + 8b 1995 => 5(13a + 8b) 1995 Hay 5(13a + 8b) -13(5a + 3b) = 65a + 40b - 65a - 39b = b 1995 VËy a vµ b chia hÕt cho 1995. * Bµi tËp t­¬ng tù: Bµi 1: BiÕt c¸c sè tù nhiªn a vµ b cã a + b vµ a2 + b2 chia hÕt cho 11. Chøng minh a.b 11. Bµi 2: Chøng minh víi x vµ y lµ sè tù nhiªn th×: x + 2y 5 ó 3x - 4y 5 Bµi 3: Cho 2 sè tù nhiªn a vµ b. Chøng minh r»ng: NÕu a2 + b2 3 th× a vµ b chia hÕt cho 3 4. D¹ng 4: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó 1 biểu thức chia hÕt cho 1 sè hoÆc chia hÕt cho 1 biÓu thøc. Bµi 1: T×m sè tù nhiªn n sao cho n + 4 n +1 Giải: Ta cã: (n + 4) = (n+ 1) + 3 Mµ (n + 1) (n + 1) nên để (n + 4) (n + 1) th× 3 n + 1 hay n + 1 Î ¦(3). MÆt kh¸c: ¦(3) ={1; 3} +) Nếu n + 1 = 1 -> n = 0 (tho¶ m·n) +) Nếu n + 1 = 3 -> n = 2 (tho¶ m·n). VËy víi n = 0; n = 2 th× n + 4 n+1 Bµi 2: T×m sè tự nhiên n ®Ó: n2 + 2n - 4 11 Giải: n = B(11) + 3 hoÆc n =B(11) - 5. III.KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU: Với phương pháp thực hiện như trên học sinh đã tự tìm ra kiến thức một cách độc lập tích cực. Do đó học sinh có hứng thú, hiểu bài sâu sắc, từ đó vận dụng tốt các phương pháp trên để giải các bài toán và dạng bài toán có liên quan đến chia hết. Qua dạy đối chứng và kiểm tra tôi thấy chất lượng học tập được nâng lên một cách rõ rệt, số học sinh yêu thích toán ngày càng nhiều, học sinh ngày càng hăng say học tập và thu được kết quả tương đối khả quan. Lớp Trước khi thực hiện đề tài Sau khi thực hiện đề tài 6A Giỏi : 8/46 17,4% Khá : 16/46 34,8% Trung bình: 19/46 41,3% Yếu: 3/46 6,5% Kém 0% Giỏi : 20/46 43,5% Khá : 21/46 45,7% Trung bình: 5/46 10,8% Yếu: 0 % Kém 0% 6C Giỏi: 1/39 2,5% Khá: 6/39 15,4% Trung bình: 12/39 30,8% Yếu 18/39 46,2% Kém : 2/39 5,1% Giỏi: 5/39 12,8 % Khá: 13/39 33,3 % Trung bình: 14/39 36 % Yếu 7/39 17,9 % Kém : 0 % PHẦN THỨ BA KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ. I. KẾT LUẬN: Trong giai đoạn mới hiện nay, đổi mới phương pháp giảng dạy là nhiệm vụ hết sức quan trọng, bản thân tôi mong muốn làm thế nào để nâng cao chất lượng của học sinh nên tôi cố gắng tìm tòi và ứng dụng những cái mới. §Ó lµm tèt ®­îc bµi tËp d¹ng “To¸n chia hÕt” nµy häc sinh cÇn ph¶i n¾m ch¾c c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n nh­: TÝnh chÊt chia hÕt cña tæng, hiÖu, tÝch, dÊu hiÖu chia hÕt cña c¸c sè th­êng gÆp nh­: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, … bªn c¹nh ®ã cßn hiÓu nguyªn lý Đirichlª, ph­¬ng ph¸p chứng minh ph¶n chøng vµ mét sè ph­¬ng ph¸p kh¸c n÷a. Tuy nhiªn trong qu¸ tr×nh lµm häc sinh cÇn vËn dông linh ho¹t néi dung kiÕn thøc trªn vµo tõng bµi cho phï hîp cã nh­ vËy míi ®¹t ®­îc hiÖu qu¶ tèt. II. bµi häc kinh nghiÖm: Trªn ®©y là một số d¹ng to¸n th­êng gÆp trong ch­¬ng tr×nh to¸n THCS. Mçi d¹ng to¸n cã nh÷ng ®Æc ®iÓm kh¸c nhau vµ cßn cã thÓ chia nhá tõng d¹ng trong mçi d¹ng trªn. ViÖc ph©n d¹ng nh­ trªn gióp häc sinh dễ tiÕp thu h¬n vµ thÊy ®­îc trong tõng bµi to¸n ta nªn ¸p dông kiÕn thøc nµo cho phï hîp. Mçi d¹ng to¸n t«i chän 1 sè bµi to¸n c¬ b¶n ®iÓn h×nh ®Ó häc sinh hiÓu c¸ch lµm, song sau khi giải giáo viên nên chỉ ra một đặc điểm, một hướng giải quyết nào đó để khi gặp các bài tương tự học sinh có thể liên hệ được vµ tõ ®ã ®Ó lµm c¸c bµi tËp mang tÝnh t­¬ng tù vµ dÇn n©ng cao lªn. Trong qu¸ tr×nh lµm d¹ng to¸n nµy t«i ®Æc biÖt chó ý ®Õn néi dung c¸c bµi to¸n cã sù s¾p xÕp theo tr×nh tù tõ dÔ ®Õn khã vµ c¸c d¹ng rÊt phong phó, ®a d¹ng nh»m cung cÊp cho häc sinh l­îng kiÕn thøc phï hîp víi kh¶ n¨ng nhËn thøc vµ cã sù ph¸t triÓn kh¶ n¨ng t­ duy l«gÝc. Bên cạnh đó mỗi giáo viên phải không ngừng nỗ lực nắm bắt kịp thời theo yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy, tham khảo các tài liệu liên quan đến bài giảng, củng cố nâng cao chuyên môn nghiệp vụ, để khi giảng dạy hay bồi dưỡng một vấn đề nào đó có thể tự xây dựng cho mình một hệ thống phương pháp giảng dạy phù hợp. III. KHUYẾN NGHỊ: Xu hướng hiện đại hoá giáo dục ứng dụng công nghệ thông tin vào giảng dạy đang được chú trọng, mỗi khi giáo viên thực hiện dạy giáo án điện tử thì phải mất nhiều thời gian để chuẩn bị phòng dạy. Vậy đề nghị các cấp trên quan tâm và đầu tư để nhà trường có những phòng bộ môn phục vụ cho công tác giảng dạy tốt hơn. Bên cạnh đó sách tham khảo ở trường còn hạn chế cả về chất lượng lẫn số lượng đầu sách, chưa đáp ứng được đủ nhu cầu của giáo viên và học sinh, ®ề nghị phòng giáo dục, nhà trường đầu tư thêm. Việc đổi mới phương pháp dạy học theo chiều hướng tích cực phát huy tính độc lập sáng tạo của học sinh không thể trong chốc lát mà cả một quá trình lâu dài. Mục tiêu cuối cùng là hướng dẫn học sinh biết giải toán, học toán và biết vận dụng toán học vào các bộ môn khác cũng như vào thực tế. Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ của bản thân tôi tự rút ra khi dạy phần phép chia hết trong N, cùng với sự góp ý của đồng nghiệp hy vọng rằng đề tài của tôi sẽ góp phần tăng thêm hiệu quả học tập của học sinh. Do khả năng và kinh nghiệm chưa nhiều nên không tránh khỏi những thiếu xót, rất mong nhận được sự quan tâm góp ý của đồng nghiệp và hội đồng khoa học các cấp để những năm tới đạt kết quả tốt hơn. Tôi xin trân thành cảm ơn! Cao viên, ngày 20 tháng 4 năm 2010 Tác giả Vũ Thị Lan TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Sách giáo khoa toán 6 - tập 1 (NXBGD – 2005) 2. Sách giáo viên toán 6 - tập 1 (NXBGD – 2002) 3. Sách bài tập toán 6 - tập 1(NXBGD – 2002) 4. Toán nâng cao và các chuyên đề toán 6 – Vò H÷u B×nh (chủ biên) NguyÔn Ngäc §¹m (NXBGD- 2008) 5. Nâng cao và phát triển toán 6 - tập 1 - Vò H÷u B×nh (NXBGD - 2004) 6. Những vấn đề chung về đổi mới giáo dục Trung học cơ sở môn Toán (NXBGD – 2007) 7. Bài toán nâng cao và các chuyên đề Toán 6 - Vò H÷u B×nh (NXBGD - 2007) 8. Toán học tuổi trẻ (NXBGD - Bé GDĐT) NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG ------------------o0o------------------ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . …………………………………………. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cao Viên, ngày tháng năm 2010 NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP CƠ SỞ ------------------o0o------------------ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................ NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP THÀNH PHỐ ------------------o0o------------------ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MỤC LỤC PHẦN THỨ NHẤT 2 A.Mở đầu 2 1. Lí do chọn đề tài 2 2. Mục đích nghiên cứu 3 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 3 4. Đối tượng nghiên cứu 3 5. Phương pháp nghiên cứu 3 PHẦN THỨ HAI 4 B. Nội dung 4 I. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu 4 I.1. Đặc điểm tình hình lớp 4 I.2. Nguyên nhân 5 II. Biện pháp giải quyết vấn đề nghiên cứu 5 II.1. Định nghĩa,tính chất,dấu hiệu chia hết 5 II.2. Phương pháp giải các bài toán về chia hết 7 II.3. Một số dạng bài toán về chia hết 14 III. Kết quả nghiên cứu 26 PHẦN THỨ BA 28 Kết luận và khuyến nghị 28 I. Kết luận 28 II. Bài học kinh nghiệm 28 III. Khuyến nghị 29 TÀI TIỆU THAM KHẢO 30

Các file đính kèm theo tài liệu này:

  • docMột số phương pháp giải các bài toán về chia hết trong tập n.doc
Luận văn liên quan