Phân tích độ nhạy bài toán điều khiển kết cấu

MỞ ĐẦU Để nghiên cứu kết cấu, có thể chia làm hai loại bài toán cơ bản là bài toán thiết kế kết cấu và bài toán điều khiển kết cấu. Tuỳ theo tính chất, cách thức và trình tự giải quyết bài toán, trong thiết kế kết cấu còn phân biệt bài toán ngược và bài toán xuôi, và trong bài toán điều khiển kết cấu còn phân biệt điều khiển chủ động (Active control) và điều khiển bị động (Passive control). Trong bài toán ngược (hay còn gọi là bài toán kiểm tra), các đặc trưng hình học và đặc trưng cơ-lý của vật liệu của cơ hệ được biết trước, yêu cầu của bài toán là xác định khả năng chịu lực của cơ hệ. Còn đối với bài toán xuôi thì ngược lại, từ các điều kiện tải trọng và tác động, điều kiện kinh tế-kỹ thuật cho trước, yêu cầu của bài toán là thiết kế hệ kết cấu sao cho thoả mãn tất cả các điều kiện này. Đối với điều khiển chủ động, hệ thống điều khiển dựa trên các tính toán và thiết kế các hệ cơ học chủ động đáp ứng với các tải trọng và tác động động lực. Chẳng hạn các hệ con quay mang khối lượng gắn trên các tòa nhà, công trình cầu, chuyển động theo khuynh hướng khử đi các momen động lượng, các dao động, . do động đất, sóng, gió, qua các thông tin từ các cảm biến (sensor) và bộ xử lý trung tâm (CPU) cùng với các dữ liệu (Data) được phân tích tính toán và lập trình từ trước. Các kết cấu thêm vào như vậy khá phức tạp vì phải bảo đảm đáp ứng rất nhanh và kết hợp với các hệ (cơ khí) điều khiển phức tạp, tuy nhiên có thể đáp ứng được nhiều tình huống tải trọng và tác động khác nhau. Trái lại, điều khiển bị động được thiết kế dựa trên các đặc tính cơ-lý của vật liệu và cấu trúc của cơ hệ sao cho tự đáp ứng để giảm thiểu ảnh hưởng do tác động động lực. Chẳng hạn như con lăn dưới tường, hoặc hệ dây căng đàn nhớt được đặt trong các công trình nhà cao tầng nhằm để tiêu tán năng lượng dao động do động đất trong thiết kế kháng chấn; Hệ thống chống rung cho dây cáp cầu treo dây văng cũng khá đơn giản mà rất hiệu quả; Hệ thống đàn-nhớt của nhúng xe ô-tô được thiết kế có thể thay đổi trị số của các hệ số đàn-nhớt tùy thuộc vào sự thay đổi trọng tải trên xe và độ xốc mặt đường nhằm làm giảm xốc cho xe. Để có thể giải quyết các bài toán thực tế nêu trên, một vấn đề cơ bản được đặt ra là: Bằng cách nào để có thể biết được thông tin về sự phụ thuộc của các trạng thái phản ứng kết cấu (như chuyển vị, nội lực, ứng suất, tần số riêng, dạng dao động riêng, .) đối với sự biến thiên của các tham số vật lý và hình học của hệ (như độ cứng, khối lượng riêng, tiết diện phần tử, hệ số đàn hồi, hệ số độ nhớt, độ dày của phần tử tấm, ) dưới tác dụng của tải trọng tĩnh hoặc động? MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 CHƯƠNG I. MỘT CÁCH BIỂU DIỄN VÀ TÍNH TOÁN HÌNH THỨC CHO PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN .4 1.1. PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG CƠ HOC VẬT RẮN .4 1.1.1.Mô hình .4 a.Mô hình tương thích .6 b.Mô hình cân bằng .6 c.Mô hình hỗn hợp 6 1.1.2.Cơ sở của phương pháp phần tử hữu hạn .6 1.1.3.Các dạng phần tử hữu hạn cơ bản thường dùng .12 1.2. PHẦN TỬ THAM CHIẾU . 13 1.3. TÍNH TOÁN HÌNH THỨC (SYMBOLIC) CHO PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN . .15 1.3.1.Lập trình tính toán hình thức (symbolic) . 15 1.3.2.Một cách biểu diễn của phương pháp phần tử hữu hạn cho lập trình tính toán hình thức . 17 CHƯƠNG II. PHÂN TÍCH VÀ TÍNH TOÁN ĐỘ NHẠY KẾT CẤU 21 2.1.CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ CÁC VẤN ĐỀ TỔNG QUÁT VỀ ĐỘ NHẠY KẾT CẤU .21 2.1.1.Hệ nhiều bậc tự do-sự trực dao của các dạng riêng 21 2.1.2.Phân tích độ nhạy kết cấu theo các dạng dao động riêng 23 2.1.3.Phân tích độ nhạy kết cấu cho bài toán tĩnh học và động lực học tổng quát .25 2.1.3.1.Khái niệm 25 2.1.3.2.Tính toán độ nhạy kết cấu . 26 2.2.PHÂN TÍCH ĐỘ NHẠY KẾT CẤU THEO PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN . 30 2.2.1.Phân tích độ nhạy chuyển vị của bài toán tĩnh 30 2.2.2.Phân tích độ nhạy ứng suất của bài toán tĩnh 33 2.2.3.Phân tích độ nhạy giá trị riêng và vector riêng 35 CHƯƠNG III.ỨNG DỤNG ĐỘ NHẠY TRONG TÍNH TOÁN TỐI ƯU VÀ ĐIỀU KHIỂN KẾT CẤU 37 3.1.TỔNG QUAN VỀ TỐI ƯU HÓA KẾT CẤU 37 3.1.1.Mở đầu . 37 3.1.2.Tối ưu hóa theo quy hoạch toán học 38 3.1.3.Tối ưu hóa theo phương pháp tiêu chuẩn tối ưu 39 3.2.ỨNG DỤNG PHÂN TÍCH ĐỘ NHẠY TRONG TÍNH TOÁN TỐI ƯU KẾT CẤU 42 3.2.1.Mở đầu .42 3.2.2.Tính toán tối ưu kết cấu bị ràng buộc chuyển vị . 44 3.2.2.1.Phân tích độ nhạy chuyển vị . 44 3.2.2.1.Điều chỉnh biến thiết kế 46 3.2.3.Tính toán tối ưu kết cấu bị ràng buộc ứng suất 48 3.2.3.1.Phân tích độ nhạy ứng suất . 48 3.2.3.2.Điều chỉnh biến thiết kế 49 3.2.4.Điều chỉnh đồng thời nhiều biến thiết kế .50 CHƯƠNG IV.MỘT SỐ KẾT QUẢ TÍNH TOÁN SỐ 53 4.1.PHÂN TÍCH ĐỘ NHẠY KẾT CẤU 53 4.1.1.Tính toán phân tích độ nhạy của hệ có các phần tử thanh dầm .53 4.1.2. Tính toán phân tích độ nhạy của hệ có các phần tử khung .55 4.1.3. Tính toán phân tích độ nhạy của hệ có các phần tử thanh dàn . 57 4.1.4. Tính toán phân tích độ nhạy của hệ có các phần tử tấm và vỏ .59 a.Tính độ nhạy hệ tấm chịu uốn có liên kết biên ngàm hai canh 59 b.Tính độ nhạy hệ tấm chịu uốn có liên kết biên ngàm bốn cạnh .61 c.Tính độ nhạy hệ tấm vỏ tổng quát 63 4.1.5.Phân tích độ nhạy của hệ liên hiệp các phần tử khung tấm .65 4.1.6.Tính toán phân tích độ nhạy của hệ liên hiệp vỏ mỏng có gờ .67 4.2.ỨNG DỤNG ĐỘ NHẠY KẾT CẤU .69 4.2.1.Ứng dụng độ nhạy trong tính toán thiết kế tối ưu 69 a.Tính toán thiết kế tối ưu kết cấu dàn thép 69 b.Tính toán thiết kế tối ưu kết cấu nhà cao tầng .72 4.2.2.Ứng dụng độ nhạy trong tính toán gia cường kết cấu hiên hữu .73 4.2.2.1.Thiết kế gia cường để nâng chiều cao trụ tháp hiện hữu 73 4.2.2.2.Đánh giá mức độ ổn định và gia cường công trình tường chắn đất hiện hữu .77 KẾT LUẬN . .77 TÀI LIỆU THAM KHẢO 78

doc17 trang | Chia sẻ: lvcdongnoi | Ngày: 07/06/2013 | Lượt xem: 1901 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem nội dung tài liệu Phân tích độ nhạy bài toán điều khiển kết cấu, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Chương I MỘT CÁCH BIỂU DIỄN VÀ TÍNH TOÁN HÌNH THỨC CHO PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN Mô hình Tónh hoïc Static Phaân loaïi hình hoïc vaät raén Geometric classification of solids Phaàn töû thanh 1 chieàu Skeletal systems 1D elements Phaàn töû 2 chieàu Plates and shells 2D elements Phaàn töû khoái 3 chieàu Solid blocks 3D elements a _ Heä daøn b _ Heä khung c _Caùp d _Ñöôøng oáng a_ÖÙng suaát phaúng, bieán daïng phaúng b_Ñoái xöùng truïc c_Taám uoán d_Maøng, Voû, phaàn töû phaúng, cong Hình truï Prismatic Phi hình truï Nonprismatic Moûng Thin Daày Thick a-Caùc phaàn töû töù dieän b_Caùc phaàn töû laêng truï c_Caùc phaàn töû toång quaùt Tuyeán tính Linear Ñaëc tính vaät raén Behavior of solids Ñoäng löïc hoïc Dynamic Phi tuyeán Nonelinear Hình hoïc Geomatric Raïn nöùt Fracture Vaät lieäu Material Bieán daïng lôùn Large displacements Maát oån ñònh Instability Ñaøn deûo Plasticity Deûo nhôùt Viscoplasticity Phaân tích vaät raén Analysis of solids Hình 1-1:Sô ñoà phaân loaïi caùc baøi toaùn cô hoïc vaät raén Các bài toán trong cơ học vật rắn biến dạng có thể tóm tắt theo sơ đồ phân loại như hình 1.1 dưới đây, trong đó các bài toán được sắp xếp theo mức độ từ đơn giản đến phức tạp. Phương pháp phần tử hữu hạn đặc biệt có hiệu quả để tìm dạng gần đúng của một hàm chưa biết trong miền xác định của nó. Phương pháp phần tử hữu hạn khác phương pháp Ritz và Galerkin ở chỗ nó không tìm dạng xấp xỉ của hàm cần tìm trong toàn miền xác định mà chỉ trong từng miền con thuộc miền xác định đó. Do đó việc đầu tiên khi áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn là thay thế miền tính toán bằng các miền con được gọi là các phần tử. Các phần tử này xem như chỉ nối nhau ở một số điểm xác định trên các mặt hoặc các cạnh biên của các phần tử (hình 1.2). Hình dạng các phần tử được chọn sao cho có khả năng xấp xỉ sát nhất hình dạng mặt biên của miền tính toán. Neàn: Phaàn töû Solid Vaät lieäu ñaát ñaù Moùng:Phaàn töû Solid Vaät lieäu BTCT Saøn: Phaàn töû Plate Vaät lieäu theùp hoaëc BTCT Maùi: Phaàn töû Shell Vaät lieäu theùp hoaëc BTCT Coät: Phaàn töû Frame Vaät lieäu theùp hoaëc BTCT Ñaø_Frame Vaät lieäu theùp hoaëc BTCT Hình 1-2: Moâ phoûng heä keát caáu vôùiù nhieàu loaïi phần tử và nhiều loại vật lieäu theo moâ hình phaàn töû höõu haïn Trong các bài toán cơ học kết cấu, tùy theo ý nghĩa vật lý của hàm xấp xỉ, Phương pháp phần tử hữu hạn có thể được dựa trên 3 loại mô hình: Mô hình tương thích: Xấp xỉ dạng phân bố của chuyển vị bên trong phần tử. Các ẩn số được xác định dựa trên cơ sở nguyên lý biến phân Lagrange (hay nguyên lý công ảo). Mô hình cân bằng: Là dạng đối ngẫu của mô hình tương thích. Xấp xỉ dạng phân bố ứng suất hoặc nội lực bên trong phần tử. Các ẩn số được thiết lập dựa trên nguyên lý biến phân Castigliano. Mô hình hỗn hợp: Xấp xỉ dạng phân bố của cả chuyển vị lẫn ứng suất trong phần tử; Xem chuyển vị và ứng suất là hai yếu tố riêng biệt; Dựa trên nguyên lý biến phân Reisne-Helinge. Hình 1.3 là một ví dụ cho thấy sự hội tụ của hai mô hình tương thích và cân bằng trong một bài toán uốn tấm. Mô hình tương thích được dùng rộng rãi hơn cả, hai mô hình kia chỉ sử dụng có hiệu quả trong một số bài toán . n w Moâ hình töông thích Moâ hình caân baèng Hình 1-3: Biểu đồ quan hệ độ võng (W) và số lượng phần tử (n) của một tấm chịu uốn Cơ sở của phương pháp phần tử hữu hạn Xét sự cân bằng của một vật thể rắn tổng quát 3 chiều, các ngoại lực tác dụng lên vật thể gồm: lực bề mặt fs , lực khối fV và lực tập trung fi : (1.1) Chuyển vị tổng thể của hệ: Tương ứng với chuyển vị, ta có: Vector chuyển vị tại điểm (1.2) Vector biến dạng: (1.3) Vector ứng suất: (1.4) Trong đó: Vấn đề bài toán: Với các ngoại lực (1.1) đã cho, ta tìm trường chuyển vị, biến dạng và ứng suất (1.2), (1.3), (1.4). Quan hệ biến dạng và chuyển vị (biến dạng bé hay đàn hồi tuyến tính): (1.5) Dạng ma trận: (1.6) Với D là ma trận toán tử vi phân theo : (1.7) Quan hệ ứng suất_biến dạng (Định luật Hook tổng quát): (1.8) Với và là biến dạng và ứng suất ban đầu. Trường hợp thì (1.9) trong đó: (1.10) Nguyên lý công khả dĩ (hay nguyên lý biến phân Lagrange) Xét vật thể , cân bằng dưới tác dụng của lực thể tích , lực mặt và các lực tập trung . Nguyên lý công khả dĩ phát biểu rằng ứng với từng chuyển vị khả dĩ , tổng công nội (nội năng hay thế năng biến dạng đàn hồi) bằng tổng công lực ngoài : (1.11) Trong đó, từ (1.6) và (1.9) : Phương trình (1.11) viết lại: (1.12) Chia vật thể V thành các phần tử hữu hạn , gọi là các chuyển vị của các nút của và U là các chuyển vị nút của toàn vật thể V. Ta có quan hệ “lắp ráp” : (1.13) Ngoài ra ta có xấp xỉ qua chuyển vị nút : (1.14) cùng với (1.14) ta có: (1.15) (D là ma trận toán tử vi phân theo các nên chỉ tác động vào ma trận hàm dạng ) Với các hệ thức trên, ta viết lại (1.12) : (1.16) Vì không phụ thuộc dấu tích phân và tổng trên các phần tử, không phụ thuộc dấu tích phân nên (1.16) được viết lại: (1.17) là trường hợp chuyển vị (nút) khả dĩ nên (1.17) trở thành: (1.18) hay KU=F (1.19) Trong đó: (1.20) (1.21) (1.22) (1.23) Các hệ thức K và F (1.20) và (1.22) có thể tính dể dàng (khi có các ) thông qua các kỹ thuật lắp ráp phần tử hữu hạn (trong lập trình không cần tính các ma trận ). Các hệ thức (1.21) và (1.23) sẽ được tính qua phần tử tham chiếu. Để tính (1.21) ta sử dụng phần tử tham chiếu và các xấp xỉ trên ; (1.24) trong đó : . Cần lưu ý quan hệ đạo hàm theo các biến của một hàm : (1.25) Trong đó J là ma trận Jacobian của phép biến đổi tọa độ (1.24). Với lưu ý (1.25) thì ma trận tính qua tọa độ tham chiếu sẽ là: (1.26) Tích phân (1.26) có thể tính bằng tích phân Gauss: (1.27) Trong đó là các điểm Gauss ứng với các hệ số và (xem [4]). Phương trình (1.19) là phương trình cơ bản của bài toán tĩnh học. Đối với bài toán động lực, sử dụng nguyên lý D’Alembert, một cách đơn giản ta có thể thêm lực quán tính và kể thêm vào lực cản tỷ lệ với vận tốc và làm phân tán năng lượng dao động. Khi đó phương trình (1.19) trở thành: (1.28) Với : gọi là ma trận khối lượng của hệ; gọi là ma trận khối lượng phần tử; gọi là ma trận cản của hệ. Phương trình (1.28) là phương trình cơ bản của bài toán động lực học . Giải hệ phương trình (1.19) hoặc (1.28) cho ta trường chuyển vị tại các điểm nút của hệ, từ đó xác định được trường biến dạng và trường ứng suất. Nếu bỏ ngoại lực và lực cản, ta có phương trình cơ bản của bài toán dao động tự do: (1.29) Trong (1.29) xét nghiệm không tầm thường dạng: thì (1.29) trở thành: với mọi t nên: để có nghiệm không tầm thường, điều kiện cần và đủ là: (1.30) Đó là bài toán tìm giá trị riêng . Trong tính toán số ta dùng phương pháp Jacobian (hoặc Subspace), với K và M là các ma trận đối xứng, xác định dương, cho phép xác định n giá trị , n là bậc tự do của hệ, là các tần số riêng, và n vector là các vector riêng tương ứng. Các giá trị là các tần số dao động riêng của hệ kết cấu, các vector riêng tương ứng đặc trưng cho các dạng dao động của hệ ứng với tần số . Trong thực tế, người ta chỉ cần xác định các tần số riêng bé nhất và dạng dao động tương ứng, vì đây là các dao động hay xảy ra nhất, đó là các dãy tần cần tránh các cộng hưởng có thể xảy ra. Các dạng phần tử hữu hạn cơ bản thường dùng Phần tử một chiều Tuyến tính ( 2 nút ) quadratic ( 3 nút ) cubic (4 nút ) Phần tử hai chiều Phần tử tam giác : tuyến tính ( 3 nút ) quadratic ( 6 nút ) cubic ( 9 nút ) Phần tử tứ giác : tuyến tính ( 4 nút ) quadratic ( 8 nút ) cubic (12 nút ) Phần tử ba chiều Phần tử khối tứ diện : tuyến tính (4 nút ) quadratic (10 nút) cubic (16 nút) Phần tử khối lăng trụ : tuyến tính (8 hoặc 6 nút) quadratic (20 nút) cubic (32 nút) PHẦN TỬ THAM CHIẾU Phaàn töû thöïc Vr Ve 1(0,0) 2(1,0) 3(0,1) j k i Phaàn töû tham chieáu x y Nhằm làm đơn giản các tính toán đặc trưng của một phần tử có dạng phức tạp, người ta đưa vào khái niệm về phần tử tham chiếu ( reference elements): phần tử tham chiếu Vr là một phần tử có dạng rất đơn giản , đặt trong một hệ quy chiếu, có thể biến đổi thành mỗi phần tử thực Ve qua một phép biến đổi hình học . Ví dụ, với phần tử tam giác: (1.31) Phép biến đổi biến đổi một điểm có tọa độ của phần tử tham chiếu thành một điểm của phần tử thực có tọa độ : (1.32) Phép biến đổi phụ thuộc vào dạng và vị trí của phần tử thực, nghĩa là vào tọa độ của các điểm nút hình học. Như vậy , với mỗi phần tử thực thì: (1.33) 1 (0,0) 3 (0,1) 2 (1,0) Vr x y V3 V1 V2 Phaàn töû thöïc Phaàn töû tham chieáu 1 2 3 4 5 trong đó . . . . , là tọa độ của các nút hình học của phần tử thực Ve Phần tử 1 Phần tử 2 (1.34) Phần tử 3 Để đáp ứng các yêu cầu trên, một phép biến đổi hình học tổng quát phải thỏa mãn ba điều sau đây: Là một song ánh từ phần tử tham chiếu vào phần tử thực : Mọi điểm của phần tử tham chiếu Vr (kể cả trên biên) đều tương ứng với một và chỉ một điểm của phần tử thực Ve và ngược lại. Các điểm nút hình học của phần tử tham chiếu tương ứng với các điểm nút hình học của phần tử thực. Bảo toàn vị trí các biên: Biên của phần tử tham chiếu xác định bởi các điểm nút hình học, sẽ tương ứng với biên của phần tử thực xác định bởi các điểm nút hình học tương ứng qua . Hệ tọa độ tham chiếu (x, h, z) còn được xem như là hệ tọa độ địa phương, trong khi hệ tọa độ thực (x,y,z) được xem như là hệ tọa độ toàn cục, và như vậy phép biến đổi hình học là một phép đổi biến. TÍNH TOÁN HÌNH THỨC (SYMBOLIC) CHO PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Lập trình tính toán hình thức (symbolic) Để giải một bài toán Cơ học, trên lý thuyết hay các tính toán thực tế, thông thường có thể được thực hiện qua các bước: 1.) Bước 1: Đặt bài toán. Lập mô hình vật lý của bài toán. Chọn lựa các điều kiện biên và điều kiện đầu phù hợp với yêu cầu. Định các tham số vật lý cần tìm ( ẩn của bài toán). 2.) Bước 2: Mô hình toán học. Thiết lập các phương trình vi phân mô tả quan hệ của các tham số cần tìm thông qua các nguyên lý và định luật của cơ học. Thiết lập các phương trình mô tả điều kiện biên. Khảo sát tính đúng đắn của mô hình toán học. 3.) Bước 3: Giải bài toán. Giải các phương trình để tìm các tham số ẩn. Phân tích kết quả. Bước 1 luôn luôn được thực hiện thông qua các nhu cầu thực tế hay lý thuyết đề ra, và được thực hiện như là đầu đề, hay là dữ liệu cung cấp cho máy tính. Bước 2 thông qua các nguyên lý và định luật cơ học, và nhiều tính toán trung gian đôi khi rất phức tạp (tùy thuộc mô hình vật lý và mức độ phù hợp với thực tế), nhằm thu được các phương trình vi phân ở dạng tổng quát nhất có thể được. Trong nhiều trường hợp, giai đoạn này không phải là đơn giản, đòi hỏi nhiều thời gian và kinh nghiệm, các tính toán được tiến hành không phải là số (numeric) mà là ở dạng các tính toán giải tích, với các toán tử và ký hiệu toán học (symbolic). Việc thiết lập các phương trình vi phân cho các bài toán như vậy là cơ sở cho việc đi đến kết quả cuối cùng (dù ở dạng số hay giải tích), ngay cả các khảo sát định tính của nghiệm, và các khảo sát khác (ổn định, xấp xỉ ... ). Trước đây, máy tính không thực hiện giai đoạn này vì các tính toán tiến hành ở dạng giải tích. Bước 3 giải các phương trình vi phân để tìm các tham số ẩn ở dạng giải tích, xấp xỉ, trung bình hóa, chuổi ..., hoặc dạng số (bằng các phương pháp số). Nói chung các phương trình vi phân là không giải được ở dạng giải tích, nhưng để đưa mô hình toán học tổng quát đã có về các dạng xấp xỉ được (dạng biến phân, tuyến tính hóa, chuỗi , theo tham số bé, trung bình hóa ...) cũng đòi hỏi nhiều thời gian và công sức, và thường cũng không thực hiện được trên máy tính vì đối tượng được xử lý ở dạng giải tích. Ngoài ra trong một số phương pháp tính toán mạnh nhất hiện nay trong Cơ học như: Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH), Phần Tử Biên (PTB) ... cũng phải tiến hành các tính toán giải tích trước khi lập trình cho máy tính : Tích phân trên các miền con (phần tử) , thiết lập các ma trận cứng cho phần tử (điều này phụ thuộc vào dạng, số chiều của phần tử , việc chọn hàm xấp xỉ... ) ... trong phương pháp PTHH ; hoặc như phải tìm trước một nghiệm của hàm thế vị , một số tích phân ban đầu, ... như trong phương pháp PTB. Các vấn đề như vậy đã được tiến hành từ trước khi lập trình trên máy tính, do vậy khi xử dụng một chương trình tính toán nào đó, người ta không chủ động được về dạng phần tử chia, dạng hàm xấp xỉ, các tích phân đầu ... trừ khi tính toán lại và lập trình khác lại, và vẫn hạn chế ở dạng mới đã chọn (tuy có thể đáp ứng một số bài toán chuyên biệt , nhưng vẫn không phù hợp trong các nghiên cứu và áp dụng tổng quát). Ý tưởng sử dụng máy tính cho các tính toán “ phi số “ (non-numeric ) không phải là mới (như quá trình biên dịch (compiler) của các ngôn ngữ, lập trình logic, trí tuệ nhân tạo hiểu theo nghĩa rộng ... ). Nhưng việc dùng máy tính trong việc tính toán với các kiểu ký hiệu đặc biệt của toán học chỉ phát triển trong vài năm lại đây và hiện đang là vấn đề thời sự trên thế giới, có nhiều ích lợi trong nghiên cứu và giáo dục. Việc tính toán bằng máy tính với các đối tượng toán học hoàn toàn bằng ký hiệu thường được gọi là lập trình tính toán hình thức (Symbolic), hay Đại số máy tính (ĐSMT). Về mặt nguyên lý, các toán tử thực hiện trong các cấu trúc đại số đều có thể hình thành trong ĐSMT. Về lợi điểm, có thể tính toán, thực hiện trên các biểu thức toán học rất lớn. Một số hệ chương trình tính toán nổi tiếng hiện nay về ĐSMT trong vật lý như : SCHOONCHIP (vật lý năng lượng cao), CAMAL ( về Cơ học thiên thể), SHEEP ( lý thuyết tương đối) ... , và các hệ tổng quát cho phép tính toán toán học nói chung như : MATHEMATICA, AXIOM, MACSYMA, MAPLE, MATLAB, REDUCE, AXIOM ... , riêng một số hệ như MATHEMATICA và MAPLE có khả năng lập trình và chuyển đổi kết quả cho các ngôn ngữ tính toán số (numeric) truyền thống như FORTRAN, C. Trên cơ sở áp dụng ĐSMT cho các bài toán cơ học, một số tác giả đã thực hiện các tính toán giải tích và số kết hợp trên máy tính, cố gắng tiến đến một môi trường lập trình tự động Một cách biểu diễn của phương pháp phần tử hữu hạn cho lập trình tính toán hình thức Một bài toán Cơ học thường được mô tả dưới dạng một bài toán biên: trên miền V và các điều kiện biên : trên biên (1.35) trên biên Dạng biến phân (dạng yếu) tương ứng (áp dụng các công thức tích phân biên): (1.36) thuộc một không gian hàm xác định nào đó, và các điều kiện biên như (1.35). Chọn , và xử dụng các xấp xỉ của u trên từng phần tử con rời rạc của miền V ta sẽ thu được một hệ phương trình đại số xác định u tại các điểm nút của các phần tử. Bài toán (1.36) còn có thể nhận được thông qua các nguyên lý biến phân của cơ học, chẳng hạn trong các bài toán cơ vật rắn : (1.37) với Có nhiều cách để xây dựng các xấp xỉ của u trên các phần tử, nghĩa là xây dựng ma trận nội suy N , tùy thuộc vào cách chọn cơ sở của xấp xỉ: (1.38) Tuy nhiên, nếu xây dựng các xấp xỉ như (1.16), xây dựng các xấp xỉ trên các phần tử thực, thì ma trận nội suy N sẽ phụ thuộc vào tọa độ các điểm nút của phần tử, và như vậy là phụ thuộc vào dạng hình học, và khác nhau với mỗi phần tử. Với các phần tử phức tạp, điều này đặc biệt không thuận lợi. Nếu xấp xỉ (1.16) được thực hiện trên các phần tử quy chiếu ([4]): (1.39) thì ma trận hàm N là độc lập với dạng hình học của phần tử thực, do vậy các hàm này có thể xử dụng cho mọi phần tử có phần tử quy chiếu đặc trưng qua : hình dạng, các nút hình học và các nút nội suy (xem [4]). Phép biến đổi hình học giữa phần tử thực và phần tử quy chiếu: (1.40) Trong đó : Với các phần tử loại isoparametric thì ta có: Việc tính toán hàm xấp xỉ N được tiến hành bình thường như các xấp xỉ phần tử hữu hạn quen thuộc với các tọa độ nút của phần tử quy chiếu mà ta đã biết, qua các bước: Chọn đa thức cơ sở của xấp xỉ : Tính ma trận nút : Tính theo công thức : Phép biến đổi hình học (1.40) cho phép ta chuyển các tích phân của một hàm f trên phần tử thực thành tích phân trên một phần tử quy chiếu đơn giản hơn : (1.41) với J là ma trận Jacobian của phép biến đổi. Một bài toán biên trong cơ học sau khi đưa về dạng biến phân hoặc đã ở dạng các nguyên lý biến phân trong Cơ học (Lagrange, Castiano, Reisne-Henliger, … và tạm chưa xét đến sự tồn tại duy nhất nghiệm trong các không gian hàm), và với các xấp xỉ phần tử hữu hạn ta đi đến mô hình của phương pháp phần tử hữu hạn diễn tả bằng hệ phương trình vi phân : Trường hợp bài toán biên tuyến tính : (1.42) Trường hợp bài toán biên phi tuyến : (1.43) trong đó là một hàm phi tuyến. Trong cả hai trường hợp : , , và Trong đó, là ma trận định vị dùng để lắp ráp ma trận phần tử vào ma trận tổng thể (ta không cần quan tâm vì có rất nhiều kỹ thuật lắp ráp tốt hơn là phép tổng như trên). Các ma trận phụ thuộc vào dạng biến phân (tức là phụ thuộc vào từng bài toán), vào cơ sở của đa thức xấp xỉ, số nút và tính chất phần tử (Lagrange, Hermite C 1 , C 2 , …).

Các file đính kèm theo tài liệu này:

  • docChuong1.doc
  • doc5-Muc luc.doc
  • doc6-Danh sach hinh ve.doc
  • docChuong2.doc
  • docChuong3.doc
  • docChuong4.doc
  • docketluan.doc
  • docModau.doc
  • docTai lieu tham khao.doc