Phương trình sóng phi tuyến kirchhoff - Carrier

Trang nhan đề Lời cảm ơn Mục lục Chương 0: Tổng quan về bài toán Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương 2: Sự tồn tại và duy nhất nghiệm Chương 3: Giải thuật lặp cấp hai Chương 4: Khai triển tiệm cận nghiệm yếu của bài toán nhiễu theo một tham số bé Chương 5: Bài toán cụ thệ thể minh cho thuật toán khai triển tiệm cận theo tham số bé Kết luận Tài liệu tham khảo MụC LụC LờI CáM ƠN MụC LụC Chương 0: TỔNG QUAN VỀ BÀI TOÁN Chương 1: MỘT SÔ KIÊN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Các không gian hàm bổ sung và kí hieu 1.2. Các không gian hàm phụ thuộc thời gian 1.3. Mot sô công cụ khác Chương 2: S TÔN TẠI VÀ DUY NHÂT NGHIỆM 2.1. Giới thiệu 2.2. Thuật giải xấp xỉ tuyến tính 2.3. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yêu Chương 3: GIẢI THUẬT LẶP CÂP HAI 3.1. Thuat giải xâp xỉ tuyến tính 3.2. Sự hội tụ câp hai Chương 4: Khai triển tiệm cận nghiệm yếu của bài toán nhiễu theo một tham số bé Chương 5: Bài toán cụ thệ thể minh cho thuật toán khai triển tiệm cận theo tham số bé KÊT LUAN TÀI LIEU THAM KHO

pdf14 trang | Chia sẻ: lvcdongnoi | Ngày: 20/08/2013 | Lượt xem: 1575 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem nội dung tài liệu Phương trình sóng phi tuyến kirchhoff - Carrier, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
30 Chương 3 THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI Trong chương này, chúng tơi vẫn xét bài tốn (2.1) – (2.4). Và ta sẽ chỉ ra rằng sự hội tụ của thuật giải lặp của chương này thực sự nhanh hơn sự hội tụ ở chương trước. Ta đưa thêm giả thiết: ( )4H ( )2 R R ,+∈ Ω× ×f C Với mỗi 0, 0> >M T ta đặt: ( ) ( ) ( ) * 2 2 2 2 2 2 2 , , , sup , , , r t u A f f fK K M f r t u r r u u∈  ∂ ∂ ∂ = = + + ∂ ∂ ∂ ∂  và ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )20 1 1 10 , , , , , .m m m m m m mft u t F t f r t u u u r t uu− − − ∂µ = µ + ∇ = + − ∂ (3.1) 3.1. Thuật giải xấp xỉ ðịnh lí 3.1. Giả sử các điều kiện ( ) ( )1 4H H− đúng. Khi đĩ, tồn tại hằng số 0>M phụ thuộc 0 1,ɶ ɶu u và hằng số 0>T phụ thuộc 0 1, ,f u uɶ ɶ sao cho với mỗi 0 ∈u ( )1 ,W M T tồn tại dãy { } ( )1 ,⊂mu W M T sao cho nĩ thỏa mãn (2.5) (2.6)− , với ,m mFµ được định nghĩa như (3.1) . Chứng minh. Tương tự như định lí 2.1, ta xấp xỉ mu bằng dãy { }( )kmu , với ,m mFµ lần lượt được thay bởi ( ) ( ),k k m m Fµ . Bước 1: Xấp xỉ Galerkin. ðặt: ( ) ( ) 1 ( ) ( ) k k k m mj j j u t c t w = =∑ . (3.2) 31 Trong đĩ ( ) ( )k mjc t thỏa mãn hệ phương trình vi phân sau: ( ) ( )( ) ( )( ), ( ) ( ( ), ) ( ), ,1 ,k kk km j m m j m ju t w t a u t w F t w j k+ µ = ≤ ≤ɺɺ (3.3) ( ) ( ) 0 1(0) , ( ) ,k km k m ku u u t u= =ɶ ɺ ɶ (3.4) với 0 0→ɶ ɶku u mạnh trong 2V , 1 1→ɶ ɶku u mạnh trong 1V . Ta chuyển bài tốn (3.3) – (3.4) thành bài tốn tìm ( ) ( )k mjc t : ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ),k k kkmj j m mj j m jc t t c t F t w+ λ µ = λɺɺ (3.5) ( ) ( ) ( ) ( )(0) , (0) .k k k k mj mj mj mjc c= α = βɺ (3.6) Bỏ qua chỉ số m, k ta viết ( ), ,j j jc t α β thay cho ( ) ( ) ( )( ), ,k k kmj mj mjc t α β . Từ (3.5) bằng việc lấy tích phân, ta cĩ: ( ) 0 0 ( ) ( ), t k j j j j m jc t t d F s w ds τ = α + β + λ τ∫ ∫ ( ) 0 0 ( ) ( ) , 1 . τ −λ τ µ ≤ ≤∫ ∫ t k j m jd s c s ds j k (3.7) Ta viết (3.7) thành phương trình sau: ( ) ( )( ) ( ), 0 .kmc t Uc t t T= ≤ ≤ (3.8) Trong đĩ ( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 1 2, ,... ; , ,... ;k kc c c c Uc Uc Uc Uc= = ( ) ( )( ) ( ) ( ),= γ +jj jUc t t Vc t với ( ) 0 0 ( ) ( ), , t k j j j j m jt t d F s w ds τ γ = α + β + λ τ∫ ∫ (3.9) ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) , 1 . t k j m jjVc t d s c s ds j k τ = −λ τ µ ≤ ≤∫ ∫ (3.10) 32 Ở đây ( )0 ( ): , 0, ;R → =  k kmU X X X C T và ta dùng chuẩn trong X là: ( ) ( )0 1 sup ( ) ≤ ≤ = = ∑ k m k jX t T j c c t . Ta đặt: { }/ .= ∈ ≤ ρXS c X c Ta sẽ chứng minh rằng với ( ), , kmn Tρ được chọn thích hợp thì ánh xạ U: i) biến S thành chính nĩ; ii) 1 :− ≡ → n nU U U S S là ánh xạ co. Thật vậy, lấy tùy ý .c S∈ Ta đặt: 1 2( ) ( ( ), ( ),..., ( )),= kq t q t q t q t với ( ) ( ).j jq t t= γ (3.11) Từ (1.4), với chú ý { }jw là cơ sở trực chuẩn của 1V ứng với tích vơ hướng ( ).,.a , ta cĩ: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) 0 1 0 1 , k k kk m m m m u s u s a u s u s C ∇ ≤ ≤ ( )2 10 0 0 1 1 1 . k j X j c s c C C C ρ = ≤ ≤ ≤∑ (3.12) Kết hợp (3.10), (3.12) ta được: ( ) 2 0 0 0 0 ( ) ( ) . t j jjVc t d c s dsC τ ρ≤ λ µ + τ    ∫ ∫ (3.13) Chứng minh i) và ii). i) Từ ( ) ( ) ( )3.8 3.10 , 3.13− ta được: ( ) ( )2 2( ) ( )1 1 ,2 2k km mX X X T XUc q D T c q D T cρ ρ≤ + ≤ + với 0 1 sup ( ) , k jT t T j q q t ≤ ≤ = = ∑ 2 0 0 .   = +    kD Cρ ρλ µ Ta chọn ρ > T q và ( ]( ) 0,∈kmT T sao cho: 33 ( )( ) 20 km TT qDρ< < ρ −ρ . Từ đĩ , .≤ ρ ∀ ∈ X Uc c S ii) Ta chứng minh bằng quy nạp rằng : ( ) ( ) ( )2 1 1( ) ( ) .(2 )! k n n n Xj jj U c t U d t D t c d n ρ = − ≤ −∑ Thật vậy, ( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) t k j m j jj jUc t Ud t d s c s d s ds τ − ≤ λ τ µ −∫ ∫ 0 0 ( ) ( ) . τ ρ≤ τ −∫ ∫ t j jD d c s d s ds Suy ra ( ) ( ) ( )22 1 1 1( ) ( ) . 2 (2.1)! k j j X X j Uc t Ud t D t c d D t c dρ ρ = − ≤ − = −∑ Giả sử rằng với 1≥n , ( ) ( ) ( )2 1 1( ) ( ) .(2 )! k n n n Xj jj U c t U d t D t c d n ρ = − ≤ −∑ Ta cĩ: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 0 0 ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) t kn n n n j mj j j j U c t U d t d s U c s U d s ds τ + + − ≤ λ τ µ −∫ ∫ ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) . τ ρ≤ τ −∫ ∫ t n n j j D d U c s U d s ds Suy ra ( ) ( ) ( )2 21 1 2 1 0 0 1( ) ( ) (2 )! tk n n n n Xj jj U c t U d t D t c d d s ds n τ + + + ρ = − ≤ − τ∑ ∫ ∫ 34 ( ) ( ) 2 21 . 2 2 ! + ρ≤ −+ n X D t c d n Vậy ( )21 .(2 )! ρ− ≤ − n X X Uc Ud D T c d n Vì ( )21lim 0,(2 )! ρ→+∞ = n n D T n nên cĩ n sao cho: ( )21 1.(2 )! ρ < n D T n Vậy :nU S S→ là ánh xạ co. Do đĩ, theo nguyên lí ánh xạ co, nU cĩ duy nhất một điểm bất động trên S. Tức là hệ (3.3) (3.4)− cĩ nghiệm duy nhất ( ) ( )kmu t trên ( )0,   k mT . Bước 2: ðánh giá tiên nghiệm. Với ( ) ( ) ( )( ), ( ), ( )k k km m mS t X t Y t được đặt như trong chương 2, ta cĩ: ( ) ( )( )2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) (0) (0) ( ) ( ), ( ) ( )= + + µ +∫ ɺ t kk k k k k k m m m m m m mS t X Y s a u s u s Au s ds ( ) ( )( ) 2( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 2 ( ), ( ) 2 ( ), ( ) ( )+ + +∫ ∫ ∫ɺ ɺ ɺɺ t t t k kk k k m m m m mF s u s ds a F s u s ds u s ds ( ) 1 2 3 4(0) .∗ ∗ ∗ ∗= + + + +kmS I I I I * ðánh giá 1∗I . Vì: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 2 . 2 .k k k k km m m m ms u s u s u s u sµ ≤ ∇ ∇ ≤ɺ ɺ ɺ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 2 1 . k k k m m mX s Y s S sC C ≤ ≤ µ µ nên 35 ( )2( )1 3 2 00 0 1 ( ) . t k m I S s ds C ∗ ≤ µ ∫ (3.14) * ðánh giá 2∗I . Từ (3.1) , ta cĩ: ( )( ) ( ) ( ) 21 22( ) 2 ( )1 1 10 0 ( ) 2 , , , , − − −  ∂  ≤ + −  ∂    ∫ k k m m m m m fF s r f r t u s u u r t u dr u 2 2 2 ( ) 0 1 0 0 14 ( ).kmK M K S sC≤ + + µ Suy ra ( )* 2 2 2 ( )02 0 1 0 0 0 14 ( ) . t k mI T K M K S s dsC + µ ≤ + + µ ∫ (3.15) * ðánh giá *3I . Từ bổ đề 1.6, kéo theo: ( )2 2( ) ( ) 0 0 ( )1( ) ( ) , 2 2 k k k m m m S s u s Au s∇ ≤ ≤ µ 2 2 2 2 1 1 10 2 1 1( ) ( ) ( ) . 2 2 2m m m M u s Au s u s − − − ∇ ≤ ≤ ≤ Do đĩ, 21 1( ) 2 22 2 2 2 ( ) 1 1 1 1 0 0 ( ) 2 8 ( ) ( ) k km m m F r s dr K K M K r u s u s dr r − ∂  ≤ + + ∇ + ∇  ∂∫ ∫ 12 2 22 ( ) 2 1 0 16 1 ( ) ( ) 2 −    + + +      ∫ k m m MK r u s u s dr ( ) ( ) 22 2 2 21 22 3 16 4 2 1 2MM K K M ≤ + + + +   22 22 ( ) 2 ( ) 1 20 0 2 ( ) 16 1 ( ) 2 k k m m MK Au s K u s   + + +    ( ) ( ) ( )2 2 2 2 21 22 3 8 2 2 2M K K M M≤ + + + + 36 ( )( )2 2 2 ( )0 1 2 0 0 2 4 2 ( ).+ + + µ k mC K K M S sC Suy ra ( ) ( ) ( )* 2 2 2 2 2 23 1 0 1 22 7 8 2 2 2 ≤ + + + + + I C T K M K K M M ( )( )2 2 2 ( )1 0 0 1 2 0 0 0 1 2 8 2 ( ) . t k m C C K K M S s ds C + + µ + + + µ ∫ (3.16) * ðánh giá *4I . Ta cĩ: ( ) ( ) ( )2 22* ( ) 2 2 24 0 10 0 0 0 2 ( ) . ( ) 2 ( ) 2 4≤ µ + ≤ +∫ ∫ t t k kk m m mI s Au s ds F s ds K M K T ( )2( ) ( )0 0 0 0 00 0 1 22 ( ) ( ) . t t k k m mS s ds S s dsC C   + µ + + µ µ  ∫ ∫ (3.17) * ðánh giá ( ) (0)kmS . Tồn tại 0>M khơng phụ thuộc vào m, k sao cho: 2 ( ) (0) . 2 ≤km MS (3.18) Từ ( ) ( )3.14 3.18− ta suy ra, ( ) ( )( )2( ) ( )1 2 3 0 0 ( ) ( , ) ( ) ( ) , t t kk k m m mS s E M T E M S s ds E S s ds≤ + +∫ ∫ (3.19) trong đĩ ( ) ( ) ( ) ( ){ }2 2 2 2 2 2 21 1 0 1 1 2( , ) 3 2 19 8 2 2 2 ,2= + + + + + + +ME M T T C K M K C M M K ( ) ( ){ ( ) }2 2 2 22 0 0 0 0 1 0 1 1 1 2 0 0 1 3 2 1 2 8 2 ,= + µ + µ + + µ + + + µ E M C C C C K C M K C 3 0 0 0 1 12 .   = +  µ µ  E C ðặt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 21 2 3 0 0 , . 2 = + + +∫ ∫ t t k k m m MS t E M T E M S s ds E S s ds Ta cĩ: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 22 3 2 3 .mk kmS t E M S t E S t E M S t E S t′ = + ≤ + (3.20) 37 ðặt ( ) ( )1−=Z t S t , thì từ ( )3.20 ta suy ra: ( ) ( )( ) ( ) ( ){ }2 32 . ′ ′ = − ≥ − + S t Z t E M Z t E S t Do đĩ, ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 . Z t E MEZ t E M ′ ≥ − + (3.21) Từ ( )3.21 lấy tích phân hai vế, ta được: ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) 1 3 3 1 2 2 2 , exp−   ≥ + − −     E EZ t E M T E M t E M E M ( ) ( ) ( ){ } ( ) [ ] 1 3 3 1 2 2 2 , exp , 0, .−   ≥ + − − ∀ ∈     E EE M T E M T t T E M E M Ta lại cĩ: ( ) ( ) ( ){ } ( ) 1 3 3 1 2 20 2 2 2lim , exp 0, + − →    + − − = >        T E EE M T E M T E M E M M ( ) ( ) ( ){ } ( ) 1 2 23 3 1 20 2 2 lim , exp 0. T E E E M T E M T M M E M E M+ − − − →    + − − − = >        Do đĩ ta cĩ thể chọn được T > 0 đủ nhỏ sao cho: ( ){ }1 2 2 3 0 0 1 1 11 exp , 42T K K T T K K MC   α = + + <  µ  (3.22) với 2 2 1 1 2 12 , 2 = + +K M K K K ( ) 21 1 1 3 0 0 2 1 C K M K K C + + = µ ɶ , và ( ) ( ) 2 ( )1 , 0, . = ≤ ∀ ∈   k mS t M t TZ t Từ đây ta cĩ thể lấy ( ) ,kmT T k= ∀ . Suy ra: 38 ( ) 1( , )∈kmu W M T . Trong bước qua giới hạn lí luận tương tự như định lí 2.1, và định lí được chứng minh hồn tồn. ■ 3.2. Sự hội tụ cấp hai ðịnh lí sau đây chỉ ra sự hội tụ cấp hai của dãy { }mu đến nghiệm yếu của bài tốn (2.1) – (2.4). ðịnh lí 3.2. Giả các điều kiện ( ) ( )1 4H H− đúng. Khi đĩ, i) Tồn tại hằng số 0, 0M T> > thỏa ( ) ( )3.18 , 3.22 sao cho bài tốn (2.1) – (2.4) cĩ một nghiệm yếu duy nhất 1( , )∈u W M T . ii) Hơn nữa, dãy quy nạp tuyến tính { }mu , thỏa định lí 3.1, hội tụ mạnh đến u trong ( )1W T với bậc hai theo nghĩa: ( ) ( )1 2 , 1 β − ≤ ∀ α − β m T m W T T T u u m . Trong đĩ, Tα thỏa (3.22) và 4 1T TMβ α= < . Chứng minh. ðịnh lí được chứng minh theo hai bước. Bước 1: Chứng minh sự tồn tại của nghiệm yếu. Ta sẽ chứng minh { }mu là dãy Cauchy trong ( )1W T . ðặt 1+= −m m mv u u . Khi đĩ, mv thỏa mãn bài tốn: ( ) ( )1 1( ), ( ) ( ), ( ) ( ) ( ),+ ++ µ + µ − µɺɺm m m m m mv t w t a v t w t t Au t w 1 1( ) ( ), , .m mF t F t w w V+= − ∀ ∈ (3.23) với (0) (0) 0.= =ɺm mv v Trong đĩ: ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1, , , , , ,m m m m m m mfF F f r t u f r t u u u r t u u + − + ∂ − = − + − ∂ 39 ( ) ( )1 1, ,m m mfu u r t u u − − ∂ − − ∂ ( ) ( ) 2 2 1 2 1 , , , , , 2 − ∂ ∂ = + λ ∂ ∂m m m m f f v r t u v r t u u ( )1 1 ,0 1.− −λ = + θ − < λ <m m m mu u u ðặt ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 10 , .+= + µɺm m m m mY t v t t a v t v t Từ (3.23) thay = ɺmw v , ta cĩ: ( ) ( ) ( ) ( )( )1 0 , t m m m mY t s a v s v s ds+′= µ∫ ( ) ( )( ) ( ) ( )1 0 2 , t m m m ms s Au s v s ds+− µ − µ∫ ɺ ( ) ( ) ( )1 1 2 3 0 2 , . t m m mF s F s v s ds J J J++ − = + +∫ ɺ (3.24) * ðánh giá 1J . Vì: { }2 2 21 1 10 0( ) ( ) ( ) 2 ,+′µ ≤ ∇ + ∇ ≤ɶ ɶɺm m ms K u s u s M K nên ( ) ( )( ) ( ) 22 21 1 1 1 1 0 0 2 , 2 . t t m m mJ M K a v s v s ds C M K v s ds≤ ≤∫ ∫ɶ ɶ (3.25) * ðánh giá 2J . Ta cĩ: ( ) ( ) 2 21 1 0 0 0 12 ( ) 2 ( )+ +µ − µ = ∇ − ∇ ≤ ∇ ≤m m m m m ms s u u M v s M v s , suy ra ( ) ( ) ( )2 1 0 0 0 4 . .≤ ∫ ɺ t m m mJ M v s Au s v s ds ( ) ( )2 22 1 0 0 0 2 t t m mM v s ds v s ds   ≤ +    ∫ ∫ ɺ (3.26) * ðánh giá 3J . Ta cĩ: ( )( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 2 , , , 2 ,∂ ≤ ∂∫ ∫ ɺ ɺ t t m m m m m f v r s u s v s ds K v s v s ds u 40 ( ) ( ) ( ) ( ){ }2 21 10 0 1 0 0 0 2 . . t t m m m mK v s v s ds K v s v s ds≤ ≤ +∫ ∫ɺ ɺ (3.27) Từ bổ đề 1.2, ta suy ra: ( )( ) ( ) ( ) ( )22 21 2 12 0 0 , , , , − − ∂ λ ≤ ∂∫ ∫ ɺ ɺ t t m m m m m f v r s s v s ds K v s v s ds u ( ) ( )21 2 1 1 0 0 . . t m mK K v s v s−≤ ∫ ɺ (3.28) Từ ( ) ( )3.27 , 3.28 suy ra: ( ) ( ){ } ( ) ( )2 2 23 1 1 2 11 0 1 0 0 0 . t t m m m mJ K v s v s ds K K v s v s−≤ + +∫ ∫ɺ ɺ (3.29) Từ ( ) ( ) ( ) ( )3.24 , 3.25 , 3.26 , 3.29 ta suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 20 0 2 3 0 00 1 0 1 0 t m m m m mv t C v t Y t K K v s C v s dsµ µ+ ≤ ≤ + +∫ɺ ɺ ( ) ( )1 4 1 2 1 1 . 2 − + m W T K K T v s (3.30) Áp dụng bổ đề Gronwall trong ( )3.30 , ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2 2 4 0 0 1 2 1 2 30 1 1 exp . 2 − + µ ≤ +ɺ m m m W T v t C v t K K T v s T K K Suy ra, ( ) ( )1 1 2 1 .m T mW T W T v v − ≤ α (3.31) ðặt 4β = αT TM , do Tα thỏa (3.22) nên 1β <T . Khi đĩ, từ ( )3.31 sử dụng tính chất tổng cấp số nhân lùi vơ hạn ta cĩ đánh giá: ( ) ( )1 2 , , . 1+ β − ≤ ∀ α − β m m p m W T T T u u m p ðiều đĩ cĩ nghĩa { }mu là dãy Cauchy trong 1( )W T . Vậy, tồn tại 1( )∈u W T mà →mu u trong 1( )W T . Vì { } ( )1 ,mu W M T⊂ nên ta cĩ thể chọn dãy con { }jmu sao 41 cho: → jm u u yếu* trong 2(0, ; ),∞L T V →ɺ ɺ Jm u u yếu* trong 1(0, ; ),∞L T V →ɺɺ ɺɺ jm u u yếu trong 0(0, ; ).∞L T V Với 1( )∈u W T . Ta cĩ: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )20 0 , T m mt Au t u t Au t w t dtµ µ− ∇∫ ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 , T m mt A u t u t w t dtµ≤ −∫ ( )20 0 ( ) ( ) ( ), ( ) T m t u t Au t w t dt+ µ − µ ∇∫ ( ) ( ) ( )(1 1 121 00, ; 0, ;mL T V L T VC w M u u ∞≤ µ + − ( )( ) ( ) ( ) )1 1 10, ; 0, ; 0, ;mL T V L T V L T VM u u u u∞ ∞ ∞+ + − , với mọi ( )1 10, ;∈w L T V . Suy ra, ( )20( ) ( ) ( ) ( )µ → µ ∇m mt Au t u t Au t yếu* trong 1(0, ; ).∞ ′L T V Vì ( )1 1 10 1 1( ) ( , , ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ,m m m mF t f r t u t K u t u t u t u t− −− ≤ − + − nên ( ) 0 1 11 1 1(0, ; ). (0, ; ) (0, ; ) ( , , ) 2 . ∞ ∞ ∞ − − − ≤ − + −m m m mL T V L T V L T VF f r t u K u u u u Vậy ( ), ,→mF f r t u trong 0(0, ; ).∞L T V Suy ra, với = → +∞jm m , tồn tại ( , )∈u W M T thỏa: 42 ( ) ( ) ( )2 10( ), ( ) ( ), , , , , .+ µ ∇ = ∀ ∈ɺɺu t w u t a u t w f r t u w w V Và 0 1(0) , (1) .= =ɶ ɺ ɶu u u u Hơn nữa, ( ) ( ) ( )2 00( ) , , 0, ; ,u u t Au f r t u L T V∞= −µ ∇ + ∈ɺɺ nên 1( , )∈u W M T . Bước 2: Chứng minh sự duy nhất nghiệm.Giả sử 1 2,u u là hai nghiệm của bài tốn, với: 1 2 1, ( , )∈u u W M T . Khi đĩ, 1 2= −w u u thỏa mãn bài tốn: ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 21 1 2 20 0 0( ), ( ) ( ), ( ) ( ) ( ),+ µ ∇ + µ ∇ − µ ∇ɺɺw t v u t a w t v u t u t Au t v 1 2 1( , , ) ( , , ) , .= − ∀ ∈f r t u f r t u v V Thay = ɺv w , ta được: ( ) ( ) ( )( )2 210 0( ) ( ) ( ), ( )d dw t u t a w t w tdt dt+ µ ∇ɺ ( ) ( )( )2 21 2 20 02 ( ) ( ) ( ), ( )u t u t Au t w t+ µ ∇ − µ ∇ ɺ ( ) ( )1 22 , , ( ) , , ( ) , ( ) .= − ɺf r t u t f r t u t w t (3.32) Lấy tích phân hai vế ( )3.32 ta được: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 10 0 0 0 ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( )′+ µ ∇ = µ ∇∫ɺ t w t u t a w t w t u s a w s w s ds ( ) ( )( )2 21 2 20 0 0 2 ( ) ( ) ( ), ( )− µ ∇ − µ ∇∫ ɺ t u s u s Au s w s ds ( ) ( )1 2 0 2 , , ( ) , , ( ) , ( ) .+ −∫ ɺ t f r s u s f r s u s w s ds Ta đặt: 2 20 00 1( ) ( ) ( ) .= +ɺX t w t b C w t Vì: 43 ( )2 21 1 10 0 0( ) 2 ( ) ( ) 2 ,′µ ∇ = ∇ ∇ ≤ɺu s u s u s M ( ) ( )2 21 20 0 1( ) ( ) 2 ( ) ,µ ∇ − µ ∇ ≤u s u s M w s 2 2 1 2 10 1( , , ( )) ( , , ( )) ( ) ,f r s u s f r s u s K w s− ≤ nên 22 1 21 1 0 0 ( ) 2 ( ) 4 ( ) ( ), ( ) t t X t C M w s ds M w s Au s w s ds≤ +∫ ∫ ɺ 1 1 0 0 2 ( ) . ( ) t K w s w s ds+ ∫ ɺ ( ) { }2 2 22 21 1 11 1 0 0 0 2 ( ) 2 ( ) ( ) t t C M w s ds M K K w s w s ds≤ + + +∫ ∫ɶ ɺ ( ) ( ) 2 1 1 12 1 1 0 0 0 2 2 ( ) .  + + ≤ + +     ∫ ɶ ɶ tM C K K M K K X s ds b C Theo bổ đề Gronwall thì ( ) 0=X t . Tức là, 1 2.=u u ■

Các file đính kèm theo tài liệu này:

  • pdf6.pdf
  • pdf0.pdf
  • pdf1.pdf
  • pdf10.pdf
  • pdf2.pdf
  • pdf3.pdf
  • pdf4.pdf
  • pdf5.pdf
  • pdf7.pdf
  • pdf8.pdf
  • pdf9.pdf
Luận văn liên quan