Rèn luyện khả năng suy luận - Giải toán tìm tỉ số, tìm phân số của một số

1. Lý do: Kể từ năm học 1995 – 1996 các vấn đề phân số, tỉ số đã được chính thức đưa vào chương trình Toán ở bậc Tiểu học và trở thành một chủ đề quan trọng trong chương trình toán lớp 4 và lớp 5. Trong đó dạng toán có liên quan đến “ Tìm tỉ số, Tìm phân số của một số” chiếm một số lượng đáng kể trong các bài toán có lời văn. Loại toán này có nhiều ứng dụng trong thực tế. Song khi giải các bài toán này học sinh còn gặp nhiều lúng túng, mơ hồ và sai lầm; không tìm ra hướng giải quyết và thường bị nhầm lẫn từ dạng này sang dạng khác; học sinh giải toán thiếu suy luận, không mang tính toán học, thiếu mạch lạc, làm cho việc giải toán trở nên phức tạp. Với tư cách là giáo viên dạy học ở lớp 4, 5 và bồi dưỡng học sinh giỏi của trường nhiều năm. Tôi chọn nghiên cứu “ Rèn khả năng suy luận -giải toán Tìm tỉ số, Tìm phân số của một số” nhằm rèn khả năng suy luận cho học sinh. 2. Nhiệm vụ: Trong khuôn khổ của đề tài này, nhiệm vụ chính là giúp cho học sinh sử dụng tốt hơn khái niệm về phân số, giải thành thạo các bài toán có liên quan đến phân số, khắc phục những sai lầm của học sinh. Đồng thời cũng nêu lên một số thủ thuật giải toán theo kinh nghiệm của bản thân trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi và phương pháp giải các bài toán ở dạng nâng cao. 3. Phương pháp tiến hành: - Sử dụng phương pháp thống kê, mô tả là chủ yếu. - Tiến hành kiểm tra việc nắm khái niệm, giải toán của học sinh để biết sự nhầm lẫn, thiếu suy luận, qua đó phân loại, phát hiện học sinh có năng khiếu về toán để bồi dưỡng. - Hướng dẫn học sinh làm các bài toán có lời văn có liên quan đến phân số. - So sánh thủ thuật giải các bài toán rút ra kết luận cần ghi nhớ ( dựa vào kinh nghiệm của bản thân ). - Việc giúp cho học sinh giải được nhiều bài toán trở nên mạch lạc, mang tính toán học có tác dụng không nhỏ đối với việc rèn khả năng suy luận cho học sinh. 4. Cơ sở và thời gian tiến hành: Đề tài này được rút ra trên cơ sở đúc rút kinh nghiệm của nhiều năm dạy lớp năm và kết quả đã đạt được của từng năm. Đề tài được thực hiện ở lớp khoảng 5 năm trở lại đây.

doc17 trang | Chia sẻ: lvcdongnoi | Ngày: 06/02/2013 | Lượt xem: 3477 | Lượt tải: 3download
Tóm tắt tài liệu Rèn luyện khả năng suy luận - Giải toán tìm tỉ số, tìm phân số của một số, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
ÑEÀ TAØI: REØN LUYEÄN KHAÛ NAÊNG SUY LUAÄN- GIAÛI TOAÙN TÌM TÆ SOÁ, TÌM PHAÂN SOÁ CUÛA MOÄT SOÁ. PHAÀN I: MÔÛ ÑAÀU 1. Lyù do: Keå töø naêm hoïc 1995 – 1996 caùc vaán ñeà phaân soá, tæ soá ñaõ ñöôïc chính thöùc ñöa vaøo chöông trình Toaùn ôû baäc Tieåu hoïc vaø trôû thaønh moät chuû ñeà quan troïng trong chöông trình toaùn lôùp 4 vaø lôùp 5. Trong ñoù daïng toaùn coù lieân quan ñeán “ Tìm tæ soá, Tìm phaân soá cuûa moät soá” chieám moät soá löôïng ñaùng keå trong caùc baøi toaùn coù lôøi vaên. Loaïi toaùn naøy coù nhieàu öùng duïng trong thöïc teá. Song khi giaûi caùc baøi toaùn naøy hoïc sinh coøn gaëp nhieàu luùng tuùng, mô hoà vaø sai laàm; khoâng tìm ra höôùng giaûi quyeát vaø thöôøng bò nhaàm laãn töø daïng naøy sang daïng khaùc; hoïc sinh giaûi toaùn thieáu suy luaän, khoâng mang tính toaùn hoïc, thieáu maïch laïc, laøm cho vieäc giaûi toaùn trôû neân phöùc taïp. Vôùi tö caùch laø giaùo vieân daïy hoïc ôû lôùp 4, 5 vaø boài döôõng hoïc sinh gioûi cuûa tröôøng nhieàu naêm. Toâi choïn nghieân cöùu “ Reøn khaû naêng suy luaän -giaûi toaùn Tìm tæ soá, Tìm phaân soá cuûa moät soá” nhaèm reøn khaû naêng suy luaän cho hoïc sinh. 2. Nhieäm vuï: Trong khuoân khoå cuûa ñeà taøi naøy, nhieäm vuï chính laø giuùp cho hoïc sinh söû duïng toát hôn khaùi nieäm veà phaân soá, giaûi thaønh thaïo caùc baøi toaùn coù lieân quan ñeán phaân soá, khaéc phuïc nhöõng sai laàm cuûa hoïc sinh. Ñoàng thôøi cuõng neâu leân moät soá thuû thuaät giaûi toaùn theo kinh nghieäm cuûa baûn thaân trong vieäc boài döôõng hoïc sinh gioûi vaø phöông phaùp giaûi caùc baøi toaùn ôû daïng naâng cao. 3. Phöông phaùp tieán haønh: - Söû duïng phöông phaùp thoáng keâ, moâ taû laø chuû yeáu. - Tieán haønh kieåm tra vieäc naém khaùi nieäm, giaûi toaùn cuûa hoïc sinh ñeå bieát söï nhaàm laãn, thieáu suy luaän, qua ñoù phaân loaïi, phaùt hieän hoïc sinh coù naêng khieáu veà toaùn ñeå boài döôõng. - Höôùng daãn hoïc sinh laøm caùc baøi toaùn coù lôøi vaên coù lieân quan ñeán phaân soá. - So saùnh thuû thuaät giaûi caùc baøi toaùn ruùt ra keát luaän caàn ghi nhôù ( döïa vaøo kinh nghieäm cuûa baûn thaân ). - Vieäc giuùp cho hoïc sinh giaûi ñöôïc nhieàu baøi toaùn trôû neân maïch laïc, mang tính toaùn hoïc coù taùc duïng khoâng nhoû ñoái vôùi vieäc reøn khaû naêng suy luaän cho hoïc sinh. 4. Cô sôû vaø thôøi gian tieán haønh: Ñeà taøi naøy ñöôïc ruùt ra treân cô sôû ñuùc ruùt kinh nghieäm cuûa nhieàu naêm daïy lôùp naêm vaø keát quaû ñaõ ñaït ñöôïc cuûa töøng naêm. Ñeà taøi ñöôïc thöïc hieän ôû lôùp khoaûng 5 naêm trôû laïi ñaây. PHAÀN II. KEÁT QUAÛ. A. REØN LUYEÄN KYÕ NAÊNG GIAÛI MOÄT SOÁ DAÏNG TOAÙN CÔ BAÛN COÙ LIEÂN QUAN ÑEÁN PHAÂN SOÁ – TÆ SOÁ CHO HOÏC SINH. Toaùn veà phaân soá laø moät chuû ñeà quan troïng trong chöông trình. Vì theá giaûi thaønh thaïo caùc baøi toaùn veà phaân soá laø yeâu caàu ñoái vôùi taát caû caùc em hoïc sinh ôû cuoái baäc tieåu hoïc. Theá nhöng, thöïc teá giaûng daïy ôû lôùp 5 cuûa tröôøng Tieåu hoïc AÂn Höõu trong nhieàu naêm, toâi thaáy hoïc sinh thöôøng hay giaûi toaùn moät caùch maùy moùc, phöông phaùp khoâng roõ raøng, hay nhaàm laãn töø daïng naøy sang daïng khaùc. Cuï theå ôû caùc daïng toaùn sau: I. Daïng thöù nhaát: Tìm hai soá khi bieát toång vaø tyû soá cuûa chuùng. 1. Moâ taû: ÔÛ daïng toaùn naøy hoïc sinh thöôøng nhaàm laãn vôùi daïng toaùn khaùc. Ví duï 1: Moät maûnh ñaát chöõ nhaät coù toång ñoä daøi chieàu daøi vaø chieàu roäng laø 70 m. Bieát raèng chieàu roäng baèng chieàu daøi. Tính dieän tích maûnh ñaát hình chöõ nhaät ñoù? 2. Thöïc traïng: Nhöõng sai laàm thöôøng gaëp laø: - Moät soá hoïc sinh khoâng xaùc ñònh ñöôïc tæ soá, khoâng bieát laø tæ soá giöõa chieàu roäng vôùi chieàu daøi. - Hoïc sinh cöù xem caùc toång ñaõ cho laø moät soá neân nhaàm tìm soá kia laáy toång nhaân cho tyû soá ñaõ cho. - Hoïc sinh thöôøng tìm chieàu daøi: 70 x . - Hoïc sinh nhaàm vôùi daïng toaùn tìm phaân soá cuûa moät soá. Ñoù laø sai laàm toâi gaëp raát nhieàu ôû hoïc sinh khi giaûi caùc baøi toaùn treân. Cuï theå: Toång soá hoïc sinh Soá hoïc sinh giaûi ñuùng Soá hoc sinh sai laàm Keát quaû sau aùp duïng phöông phaùp naøy 35 10 25 30 3. Giaûi phaùp khaéc phuïc: Ñeå khaéc phuïc sai laàm treân, ñeå hoïc sinh khoâng nhaàm laãn toâi tieán haønh nhö sau: Böôùc 1: Cuûng coá kieán thöùc veà phaân soá, tæ soá. * Giuùp cho hoïc sinh bieát: - Phaân soá laø thöông ñuùng cuûa moät pheùp chia moät soá töï nhieân cho moät soá töï nhieân ( khaùc 0 ). Ví duï: 5 : 8 = ; 9 : 7 = ,… - Caùc phaân soá lôùn hôn ñôn vò coøn ñöôïc vieát döôùi daïng hoãn soá nhö sau: = 1( ñoïc laø Moät hai phaàn baûy ). - Caùc tính chaát cuûa phaân soá. - Caùch ñoïc, vieát caùc phaân soá. * Giuùp cho hoïc sinh bieát tæ soá laø gì ? - Tæ soá cuûa hai soá laø thöông trong pheùp chia soá thöù nhaát cho soá thöù hai. Ví duï: + Tæ soá cuûa hai soá 3 vaø 6 laø: 3 : 6 = + Tæ soá cuûa hai soá 6 vaø 3 laø: 6 : 3 = 2 - Reøn cho hoïc sinh laäp tæ soá. Ví duï: soá cam thì baèng soá quyùt. Tính tæ soá giöõa soá cam vaø soá quyùt. + Tæ soá giöõa soá cam vaø soá quyùt laø: Cam goàm 2 phaàn baèng nhau thì soá quyùt goàm 3 phaàn nhö theá. Cam : Quyùt: Vaäy tæ soá giöõa soá cam vaø soá quyùt laø: - Hoïc sinh hieåu ñöôïc tæ soá, bieát tìm tæ soá. Ta reøn kyõ naêng giaûi toaùn. Böôùc 2: Reøn kyõ naêng giaûi toaùn. Khi daïy daïng toaùn naøy caàn coù baøi toaùn töông töï ñeå hoïc sinh so saùnh tìm choã khaùc nhau vaø thöôøng sai laàm. Ví duï 2: Moät maûnh ñaát hình chöõ nhaät coù chieàu daøi 70 m, chieàu roäng baèng chieàu daøi. Tính dieän tích maûnh ñaát hình chöõ nhaät ñoù ? Ñieåm gioáng nhau cuûa hai baøi toaùn naøy laø chieàu roäng ñeàu baèng chieàu daøi ( tæ soá giöõa chieàu roäng vaø chieàu daøi ) vaø ñeàu tính dieän tích maûnh ñaát hình chöõ nhaät. Ñieàu hoïc sinh thaáy gioáng nhau nöõa laø coù ñoä daøi 70 m, nhöng soá ño naøy laø cuûa hai ñaïi löôïng khaùc nhau. Yeâu caàu hoïc sinh ñoïc kó baøi toaùn vaø tìm söï khaùc nhau cuûa hai baøi toaùn. Baøi .1. - Tìm chieàu daøi vaø chieàu roäng khi bieát toång cuûa chieàu daøi vaø chieàu roäng; vaø tæ soá cuûa chieàu roäng baèng chieàu daøi. - Baøi toaùn naøy giaûi theo caùch: Tìm hai soá khi bieát toång vaø tyû soá. Baøi.2. - Tìm chieàu roäng döïa vaøo chieàu daøi töùc laø tìm phaân soá cuûa moät soá. Traùnh nhaàm vôùi daïng baøi 1. - Baøi toaùn naøy giaûi theo caùch: Tìm phaân soá cuûa moät soá. * Ñeå traùnh nhaàm laãn laø hoïc sinh giaûi hai baøi toaùn naøy thöôøng gioáng nhau. Ñoâi khi baøi toaùn 2 laïi giaûi tìm hai soá bieát toång vaø tyû. Baøi 1 laïi tìm phaân soá cuûa moät soá. - Caàn xaùc ñònh cho hoïc sinh laø: ÔÛ baøi toaùn 1 laø tìm hai soá khi bieát toång vaø tyû cuûa chuùng. Coøn baøi 2 laø tìm moät soá döïa vaøo phaân soá cuûa noù vôùi moät soá ñaõ cho. Cho neân hai caùch treân giaûi hoaøn toaøn khaùc nhau. - Giaùo vieân caàn giaûi 2 baøi toaùn cuøng moät luùc ñeå hoïc sinh nhaän xeùt ruùt ra caùch giaûi cuûa töøng baøi traùnh nhaàm laãn caùch giaûi cuûa baøi naøy sang caùch giaûi cuûa baøi khaùc. II. Daïng thöù hai: Tìm phaân soá cuûa moät soá. 1. Moâ taû: Ví duï 3: Moät thöûa ruoäng hình chöõ nhaät coù chieàu daøi 45m, chieàu roäng baèng chieàu daøi. Tính dieän tích thöûa ruoäng hình chöõ nhaät ñoù ? Ví duï 4: Moät thöûa ruoäng hình chöõ nhaät coù chieàu roäng 25m vaø baèng chieàu daøi. Tính dieän tích thöûa ruoäng hình chöõ nhaät ñoù ? 2.Thöïc traïng: Qua nhieàu naêm daïy hoïc ôû lôùp 5 ôû tröôøng Tieåu hoïc Aân Höõu. Toâi thaáy hoïc sinh thöôøng hay giaûi moät soá daïng toaùn veà phaân soá moät caùch maùy moùc, phöông phaùp khoâng roõ raøng, hay nhaàm laãn töø daïng naøy sang daïng khaùc. Coù theå ñoái vôùi baøi toaùn 3 neáu hoïc sinh hoïc kyõ seõ giaûi quyeát deã daøng. Nhöng ôû hoïc sinh laïi nhaàm töôûng raèng: ÔÛ baøi toaùn 3 hoïc sinh laïi giaûi toaùn daïng Toång- tæ ( Toång soá phaàn: 2 + 3 = 5 phaàn ). Söï nhaàm laãn lôùn ôû ñaây laø baøi toaùn 4, hoïc sinh nhaàm nhö baøi toaùn 3. Töùc laø hoïc sinh tìm chieàu daøi thöûa ruoäng hình chöõ nhaät: 25 x = 16,66….Töø ñoù hoïc sinh khoâng giaûi ñöôïc baøi toaùn. 3. Giaûi phaùp khaéc phuïc: Ñeå giaûi quyeát sai laàm naøy, hoïc sinh khoâng nhaàm laãn hai daïng toaùn treân. Khi daïy toâi giaûi hai baøi cuøng moät luùc. Cho hoïc sinh nhaän xeùt, so saùnh tìm ra choã gioáng nhau vaø khaùc nhau ñeåà höôùng hoïc sinh tìm ra choã nhaàm laãn thöôøng gaëp. - Ñieåm gioáng nhau. Baøi 3: + Chieàu roäng baèngchieàu daøi + Chieàu roäng 2 phaàn, chieàu daøi 3 phaàn. Baøi 4: + Chieàu roäng cuõng baèngchieàu daøi. + Chieàu roäng cuõng 2 phaàn, chieàu daøi 3 phaàn. Ñaây laø ñieåm gioáng nhau cuûa hai baøi toaùn treân neân khi giaûi hoïc sinh thöôøng nhaàm laãn töø baøi naøy sang baøi khaùc, trong ñoù coù moät soá em coøn aùp duïng giaûi toaùn daïng Toång – Tæ. Vì vaäy, giaùo vieân caàn xaùc ñònh kieán thöùc cuï theå. - Ñieåm khaùc nhau cuûa 2 baøi toaùn treân daãn ñeán hai caùch giaûi khaùc nhau: + Cho chieàu daøi 45m töùc laø chieàu daøi goàm 3 phaàn. Tìm chieàu roäng töùc laø tìm 2 phaàn. Veõ sô ñoà: ? m Chieàu roäng: Chieàu daøi: 45m Nhö vaäy chieàu roäng 2 phaàn caàn tìm chính laø laáy 45 : 3 tìm 1 phaàn roài nhaân vôùi 2, ta coù chieàu roäng. Caùch laøm: Chieàu roäng thöûa ruoäng laø: 45 x = 30 (m) Hay 45 : 3 x 2 = 30 (m) + Cho chieàu roäng baèng chieàu daøi vaø baèng 25m. Tìm chieàu daøi töùc laø tìm 3 phaàn bieát chieàu roäng 2 phaàn laø 25m. 25 m Chieàu roäng: Chieàu daøi ? m Nhö vaäy baøi toaùn naøy caàn tìm chieàu daøi töùc laø tìm 3 phaàn khi bieát chieàu roäng 2 phaàn laø 25m. Chieàu daøi thöûa ruoäng laø: 25 : 2 x 3 = 37,5 (m) 25 : = 37,5 (m) Nhö vaäy ôû baøi 3 khoâng theå laøm nhö baøi 4. Ñaây laø sai laàm lôùn cuûa hoïc sinh maø toâi thöôøng thaáy. Vaäy kieán thöùc caàn khaéc saâu cho hoïc sinh ôû daïng toaùn naøy laø: - Neáu cho bieát giaù trò maãu soá, tìm giaù trò töû soá. Ta laáy soá ñaõ cho chia cho maãu soá nhaân töû soá. - Neáu cho bieát giaù trò töû soá, tìm giaù trò maãu soá. Ta laáy soá ñaõ cho chia cho töû soá nhaân maãu soá. *Toùm laïi: Sau khi aùp duïng nhöõng phöông phaùp treân khi daïy toaùn coù lieân quan veà phaân soá. Toâi thaáy hoïc sinh laøm ñöôïc caùc baøi toaùn maø khoâng bò nhaàm laãn, caùc em giaûi caùc baøi toaùn trôû neân maïch laïc hôn. Ñeå naâng cao chaát löôïng daïy hoïc vaø vieäc boài döôõng hoïc sinh gioûi mang laïi hieäu quaû cao ñaùp öùng söï phaùt trieån cuûa xaõ hoäi, nhöõng hoïc sinh coù naêng khieáu veà toaùn ñöôïc phaùt trieån. Toâi ñaõ vaän duïng vaøo boài döôõng hoïc sinh khaù, gioûi giaûi toaùn naâng cao. Trong phaïm vi cuûa ñeà taøi naøy toâi chæ neâu leân moät soá kinh nghieäm boài döôõng hoïc sinh gioûi giaûi toaùn daïng toaùn coù lieân quan ñeán Tìm tæ soá, Tìm phaân soá cuûa moät soá. Vaän duïng trong giaûi toaùn chuyeån ñoäng ñeàu, hình hoïc. Nhaèm reøn khaû naêng suy luaän, giuùp hoïc sinh giaûi nhieàu baøi toaùn roõ raøng, mang tính toaùn hoïc, khaéc saâu kieán thöùc. B. REØN KHAÛ NAÊNG SUY LUAÄN GIAÛI MOÄT SOÁ DAÏNG TOAÙN NAÂNG CAO. * Ñeå giuùp hoïc sinh vôùi pheùp suy luaän, boài döôõng hoïc sinh toaùn coù lieân quan veà phaân soá ñaït keát quaû cao thì giaùo vieân caàn trang bò cho caùc em nhöõng kieán thöùc cô baûn nhö: - Caùch ñoïc phaân soá: + ñoïc laø “ Boán phaàn naêm”. + ñoïc laø “ a treân boán ”. + ñoïc laø “ a treân b ”. - Tính chaát cô baûn cuûa phaân soá: + Khi theâm vaøo töû soá cuûa moät phaân soá moät soá baèng maãu soá cuûa phaân soá ñoù ( maãu soá > 0 ) vaø giöõ nguyeân maãu soá thì giaù trò cuûa phaân soá ñoù taêng theâm moät ñôn vò. Toång quaùt: vaø thì = + = + 1 ( b > 0 ). + Khi phaân soá lôùn hôn ñôn vò ( a > b > 0 ). Neáu bôùt ôû töû soá moät soá baèng maãu soá cuûa phaân soá vaø giöõ nguyeân maãu soá thì giaù trò cuûa phaân soá ñoù giaûm ñi moät ñôn vò. Toång quaùt: vaø thì = - = - 1 ( b > 0 ). + Khi theâm vaøo töû soá moät soá baèng töû soá vaø giöõ nguyeân maãu soá thì phaân soá tìm ñöôùc gaáp 2 laàn phaân soá ñoù. Toång quaùt: vaø thì = + = x 2 ( b > 0 ). * Reøn luyeän khaû naêng suy luaän, giaûi toaùn theo töøng daïng. I. Daïng 1: Tìm tæ soá. 1. Moâ taû: Baøi toaùn 1: Lôùp 4A coù taát caû 45 HS. Trong ñoù soá hoïc sinh nam baèng soá hoïc sinh nöõ cuûa lôùp. Hoûi lôùp 4A coù bao nhieâu hoïc sinh nam, bao nhieâu hoïc sinh nöõ ? Baøi toaùn 2: Ñoäi tuyeån hoïc sinh gioûi cuûa tröôøng coù soá hoïc sinh nam baèng soá hoïc sinh nöõ. Soá hoïc sinh nam nhieàu hôn soá hoïc sinh nöõ 5 em. Hoûi coù bao nhieâu hoïc sinh nam, bao nhieâu hoïc sinh nöõ trong ñoäi tuyeån hoïc sinh gioûi cuûa tröôøng ? 2.Thöïc traïng: - Hoïc sinh khoâng xaùc ñònh ñöôïc toång khoâng thay ñoåi hay thay ñoåi, hieäu khoâng thay ñoåi hay thay ñoåi. - Hoïc sinh khoâng xaùc ñònh ñöôïc tæ soá cuûa soá hoïc sinh nam vaø hoïc sinh nöõ. Töø ñoù hoïc sinh khoâng giaûi ñöôïc. 3. Giaûi phaùp khaéc phuïc: - ÔÛ baøi toaùn 1. Tröôùc heát ta cho hoïc sinh hieåu ñöôïc theá naøo laø tæ soá ? cho hoïc sinh xaùc ñònh baøi toaùn naøy coù toång hay hieäu ( toång khoâng ñoåi) sau ñoù cho hoïc sinh veõ sô ñoà ñeå tìm tæ soá. Soá HS nam: 45 HS Soá HS nöõ : Cho hoïc sinh nhìn vaøo sô ñoà nhaän xeùt, caùc em deã daøng thaáy ñöôïc soá hoïc sinh nam laø 2 phaàn, soá hoïc sinh nöõ laø 3 phaàn, toång soá hoïc sinh cuûa lôùp laø 45 em, soá hoïc sinh nam = soá hoïc sinh nöõ. Cho hoïc sinh ruùt ra keát luaän: Khi hai töû soá cuûa hai phaân soá chæ soá phaàn soá hoïc sinh nam, hoïc sinh nöõ baèng nhau thì maãu soá chính laø soá phaàn cuûa soá hoïc sinh nam, hoïc sinh nöõ. Hoïc sinh seõ deã daøng giaûi baøi toaùn daïng tìm hai soá khi bieát Toång vaø tæ soá cuûa hai soá ñoù. - ÔÛ baøi toaùn 2. Hoïc sinh vaän duïng kieán thöùc ôø baøi toaùn 1, Töùc laø ñi tìm tæ soá laø soá phaàn cuûa soá hoïc sinh nam, soá hoïc sinh nöõ. Muoán tìm ñöôïc tæ soá caàn laøm cho töû soá cuûa hai phaân soá treân baèng nhau thì maãu soá chính laø soá phaàn cuûa soá hoïc sinh nam, soá hoïc sinh nöõ. Baây giôø ta höôùng daãn cho hoïc sinh theo caùc caùch sau: Caùch 1: Quy ñoàng maãu soá. Ta coù: = ; = Vaäy Soá HS nam = Soá HS nöõ. Hay 3 laàn soá HS nam = 4 laàn soá HS nöõ. Suy ra neáu soá HS nam laø 4 phaàn baèng nhau thì soá HS nöõ goàm 3 phaàn nhö theá. Do ñoù tæ soá phaûi tìm laø: . Caùch 2: Soá HS nam = Soá HS nöõ. Tæ soá hoïc sinh nam so vôùi soá hoïc sinh nöõ laø: : = . ( Söû duïng pheùp chia ). Caùch 3: Quy ñoàng töû soá. Ta coù: Soá HS nam = Soá HS nöõ. Hay Soá HS nam = Soá HS nöõ. Coù hai töû baèng nhau ta deã nhìn thaáy: Soá HS nam : 4 phaàn. Soá HS nöõ : 3 phaàn. Soá HS nam = Soá HS nöõ. Nhö vaäy caùc em ñaõ tìm ra tæ soá. Ñöa veà daïng toaùn cô baûn hoïc sinh giaûi ñöôïc. Tìm hai soá khi bieát Hieäu vaø tæ soá cuûa hai soá ñoù.( Hieäu laø 5 em, Tæ soá HS nam = soá HS nöõ ). Theo toâi neân cho hoïc sinh aùp duïng caùch 3 (quy ñoàng töû soá) hoïc sinh deã hieåu hôn vì noù coù tính tröïc quan hôn, mang tính toaùn hoïc hôn. Ñaây laø böôùc chuùng ta reøn cho caùc em khaû naêng suy luaän. * Töø moät soá baøi toaùn treân, ta coù cho hoïc sinh aùp duïng tìm tæ soá trong giaûi toaùn chuyeån ñoäng ñeàu maø ña soá hoïc sinh xem ñaây laø moät vieäc laøm khoù. Baøi toaùn 3: Moät ngöôøi ñi xe ñaïp töø A ñeán B vôùi vaän toác 12 km/giôø. Neáu ngöôøi ñoù ñi vôùi vaän toác 15 km/giôø thì ñeán B sôùm ñöôïc 1 giôø. Tính quaõng ñöôøng AB. * Ta cho hoïc sinh suy luaän. - Caàn giuùp cho hoïc sinh suy luaän. Khi quaõng ñöôøng khoâng thay ñoåi thì vaän toác vaø thôøi gian laø hai ñaïi löôïng tæ leä nghòch. - Cho hoïc sinh aùp duïng tìm tæ soá cuûa hai soá ( Tæ soá vaän toác 12 km/giôø vôùi 15 km/giôø). - Töø tæ soá vaän toác, suy ra tæ soá thôøi gian. Tæ soá vaän toác laø: = . Vaäy tæ soá thôøi gian laø: . Vì hieäu soá thôøi gian laø 1 giôø neân thôøi gian ñi vôùi vaän toác 15 km/giôø laø: 1 : ( 5 – 4 ) x 4 = 4 ( giôø ) Khoaûng caùch AB laø: 15 x 4 = 60 (km ) Ñaùp soá: 60 (km ) Nhö vaäy ñoái vôùi daïng toaùn naøy, ta caàn xaùc ñònh ñöôïc tæ soá ( tæ soá cuûa vaän toác), khi quaõng ñöôøng khoâng ñoåi, ñöa baøi toaùn veà daïng cô baûn ñeå giaûi. ( toång hay hieäu tuøy vaøo ñeà ra). Baøi toaùn 4: Moät ngöôøi döï ñònh ñi töø A ñeán B trong 3 giôø, nhöng khi ñi anh ta taêng vaän toác theâm 6 km/giôø neân ñaõ tôùi B chæ heát 2 giôø. Tính: a) Quaõng ñöôøng AB. b) Vaän toác cuûa ngöôøi ñoù thöïc ñi ? * ÔÛ baøi toaùn naøy cuõng cho hoïc sinh aùp duïng tæ soá: - Hoïc sinh muoán giaûi ñöôïc baøi toaùn naøy thì vaän duïng kieán thöùc ôû baøi 3. Duøng pheùp suy luaän khi quaõng ñöôøng khoâng ñoåi thì thôøi gian vaø vaän toác laø hai ñaïi löôïng tæ leä nghòch. - Cho hoïc sinh tìm tæ soá thôøi gian thöïc ñi vôùi thôøi gian döï ñònh. Töø ñoù suy ra tæ soá vaän toác thöïc ñi vôùi döï ñònh. Baøi toaùn xaùc ñònh ñöôïc tæ soá cuûa hai vaän toác, bieát hieäu cuûa hai vaän toác. Aùp duïng tìm hai soá khi bieát hieäu vaø tæ soá, hoïc sinh deã daøng giaûi ñöôïc. Tæ soá thôøi gian thöïc ñi vaø döï ñònh laø: . Vaäy vaän toác thöïc ñi goàm 3 phaàn, vaän toác döï ñònh laø 2 phaàn. Vì quaõng ñöôøng khoâng ñoåi neân vaän toác tæ leä nghòch vôùi thôøi gian. Vaän toác thöïc ñi laø: 6 : ( 3 – 2 ) x 3 = 18 ( km/giôø ). Quaõng ñöôøng AB laø: 18 x 2 = 36 ( km ). Ñaùp soá: 36 km; 18 km/giôø. Baøi toaùn 5: Moät ngöôøi döï ñònh ñi töø A ñeán B heát 2 giôø. Nhöng vì vaän toác giaûm 12 m/phuùt neân ngöôøi ñoù ñi töø A ñeán B heát 2 giôø röôõi. Tính vaän toác thöïc teá ñaõ ñi vaø quaõng ñöôøng AB. * Cuõng höôùng daãn hoïc sinh giaûi töông töï baøi 4: - Caàn xaùc ñònh cho hoïc sinh laø vaän toác taêng hay giaûm tuøy thuoäc vaøo ñeà cho. ÔÛ baøi toaùn naøy, vaän toác giaûm 12 m/phuùt cuõng chính laø hieäu cuûa hai vaän toác. Vaäy hoïc sinh coù theå duøng pheùp suy luaän, tìm tæ soá ñeå giaûi baøi toaùn töông töï baøi 4. Ñieåm khaùc bieät ôû ñaây laø ñôn vò soá ño, chuùng ta phaûi chuyeån ñoåi ñôn vò ño. - Caàn reøm cho hoïc sinh caùch chuyeån ñoåi ñôn vò ño thôøi gian, suy luaän moät caùch thaønh thaïo. Ví duï: 6 phuùt = 0,1 giôø; 12 phuùt = 0,2 giôø; 15 phuùt = 0,25 giôø; 30 phuùt = 0,5 giôø; 45 phuùt = 0,75 giôø…. 2,5 giôø = 25/10 giôø = 5/2 giôø,….. Hoïc sinh bieát suy luaän, bieát tìm tæ soá seõ deã daøng giaûi ñöôïc baøi toaùn: Tæ vaän toác döï ñònh vôùi vaän toác thöïc ñi. 2 giôø : 2,5 giôø = . Cuøng moät quaõng ñöôøng vaän toác tæ leä nghòch vôùi thôøi gian neân. Tæ thôøi gian döï ñònh so vôùi thöïc teá laø: . Vaäy vaän toác thöïc teá laø: 12 : ( 5 – 4 ) x 4 = 48 (m/phuùt) = 48 : 1000 x 60 = 2,88 km/giôø. Quaõng ñöôøngc AB: 2,88 x 2,5 = 7,2 km. Ñaùp soá; 2,88 km/giôø ; 7,2 km. * Toùm laïi: Ñoái vôùi daïng toaùn naøy “ Tìm tæ soá” . Caàn höôùng daãn reøn khaû naêng suy luaän, xaùc ñònh ñöôïc tæ soá cuûa hai soá, xaùc ñònh tröôøng hôïp toång khoâng thay ñoåi hay hieäu khoâng thay ñoåi, quaõng ñöôøng khoâng thay ñoåi trong toaùn chuyeån ñoäng ñeàu ñöa veà daïng toaùn cô baûn ñeå giaûi ( toång tæ hay hieäu tæ tuøy vaøo ñeà cho) II. Daïng 2: Tìm phaân soá cuûa moät soá. 1. Moâ taû: Baøi 1: Lôùp 5A coù 48 hoïc sinh goàm 4 loaïi: gioûi, khaù, trung bình vaø yeáu. Bieát raèng: - Soá hoïc sinh gioûi baèng moät nöûa soá hoïc sinh ba loaïi kia. - Soá hoïc sinh khaù baèng soá hoïc sinh ba loaïi kia. - Soá hoïc sinh yeáu baèng soá hoïc sinh ba loaïi kia. Tìm soá hoïc sinh moãi loaïi. Baøi 2: Moät traïi chaên nuoâi gia suùc coù 4 loaïi gia suùc laø: deâ, boø, heo vaø ngöïa. Bieát raèng soá boø baèng soá heo vaø ngöïa, soá heo baèng soá gia suùc coøn laïi, soá ngöïa baèng soá gia suùc coøn laïi, soá deâ laø 30 con. Hoûi moãi loaïi gia suùc coù bao nhieâu con ? Baøi 3: Ñaàu naêm hoïc lôùp 5A coù soá hoïc sinh nam baèng soá hoïc sinh caû lôùp. Sang ñeán hoïc kì II lôùp 5A coù 2 hoïc sinh nam chuyeån ñi tröôøng khaùc neân soá hoïc sinh nam baèng soá hoïc sinh nöõ. Hoûi ñaàu naêm lôùp 5A coù taát caû bao nhieâu hoïc sinh ? 2. Thöïc traïng: Daïng toaùn naøy luoân xuaát hieän trong caùc kì thi hoïc sinh gioûi ôû baäc Tieåu hoïc maø hoïc sinh thöôøng hay giaûi toaùn moät caùch maùy moùc, phöông phaùp khoâng roõ raøng, hay nhaàm laãn vaø thöôøng ít coù em giaûi ñöôïc vì khoâng bieát noù laø daïng toaùn naøo vaø aùp dung phöông phaùp ra sao, hoïc sinh khoâng xaùc ñònh ñöôïc caùi khoâng ñoåi 3. Giaûi phaùp khaéc phuïc: Ñeå giuùp hoïc sinh vôùi pheùp suy luaän. Ta höôùng hoïc sinh giaûi caùc baøi toaùn treân nhö sau: Baøi 1: Höôùng cho hoïc sinh suy luaän: - Soá hoïc sinh caû lôùp, hoïc sinh gioûi, hoïc sinh khaù, hoïc sinh trung bình, hoïc sinh yeáu ñeàu khoâng thay ñoåi. Vaäy ta so saùnh vôùi toång soá hoïc sinh caû lôùp ( toång soá khoâng thay ñoåi) - Caàn khaéc saâu cho hoïc sinh: Khi khoâng coù giaù trò cuûa ñaïi löôïng naøo thay ñoåi thì ta so saùnh vôùi toång khoâng thay ñoåi. Ñaây laø daáu hieäu cô baûn nhaát ñeå giaûi quyeát baøi toaùn Veõ sô ñoà: Soá HS gioûi: Soá HS coøn laïi: - Cho hoïc sinh nhaän xeùt: soá hoïc sinh gioûi laø 1 phaàn, soá hoïc sinh coøn laïi laø 2 phaàn. Suy ra soá hoïc sinh caû lôùp laø 3 phaàn. Nhö vaäy chuùng giaûi quyeát baøi toaùn döïa vaøo toång khoâng thay ñoåi. Baèng pheùp suy luaän caùc soá so vôùi toång soá, hoïc sinh seõ giaûi ñöôïc baøi toaùn. Phaân soá chæ soá hoïc sinh gioûi laø: = ( Soá HS caû lôùp ). Phaân soá chæ soá hoïc sinh khaù laø: = ( Soá HS caû lôùp ). Phaân soá chæ soá hoïc sinh yeáu laø: = ( Soá HS caû lôùp ). Soá hoïc sinh gioûi laø: 48 : 3 = 16 (baïn ) Soá hoïc sinh khaù laø: 48 : 4 = 12 (baïn ) Soá hoïc sinh yeáu laø: 48 : 8 = 6 (baïn ) Soá hoïc sinh trung bình laø: 48 - ( 16 + 12 + 6 ) = 14 (baïn ) Ñaùp soá: Gioûi: 16 HS; Khaù: 12 HS; Trung bình: 14 HS; Yeáu: 6 HS. Nhö vaäy, ñoái vôùi baøi toaùn coù caùc giaù trò soá ñeàu khoâng thay ñoåi thì chuùng ta so saùnh vôùi toång soá khoâng thay ñoåi Baøi 2: ÔÛ baøi toaùn naøy cuõng töông töï baøi toaùn 1. Ñieåm khaùc nhau cuûa baøi 1 vaø baøi 2 laø: Baøi 1 cho bieát toång soá hoïc sinh, tìm moãi loaïi hoïc sinh. Baøi 2 cho bieát moät loaïi gia suùc, tìm toång soá gia suùc. Vaäy ta caàn höôùng hoïc sinh tìm phaân soá chæ 30 con deâ. Töùc laø tìm phaân soá cuûa moät soá. * Ta yeâu caàu hoïc xaùc ñònh caùi khoâng thay ñoåi: Soá heo, soá boø, soá ngöïa hay soá deâ. Boán loaïi gia suùc ñeàu khoâng ñoåi, vaäy soá gia suùc cuûa traïi cuõng khoâng thay ñoåi. Ta cho hoïc sinh so saùnh vôùi toång soá gia suùc cuûa traïi. Veõ sô ñoà: Soá heo: Soá gia suùc coøn laïi: - Cho hoïc sinh nhaän xeùt: Döïa vaøo sô ñoà ta thaáy: soá heo goàm 3 phaàn, soá gia suùc coøn laïi 5 phaàn. Vaäy soá gia suùc cuûa traïi goàm 8 phaàn. Baøi toaùn coù toång soá gia suùc cuûa traïi khoâng thay ñoåi. Ta so saùnh vôùi toång soá gia suùc cuûa traïi. ÔÛ ñaây ta caàn cho hoïc sinh suy luaän, so saùnh ñeå tìm phaân soá cuûa moät soá töùc laø tìm phaân soá chæ 30 con deâ. Vaäy soá heo baèng toång soá gia suùc cuûa traïi. Töông töï soá ngöïa baèng toång soá gia suùc cuûa traïi. Do ñoù soá boø baèng: ( + ) x = ( toång soá gia suùc cuûa traïi ). Phaân soá chæ 30 con deâ laø: 1 - ( + + ) = ( toång soá gia suùc cuûa traïi ). Toàng soá gia suùc cuûa traïi laø: 30 : = 240 ( con ) Soá boø ( ngöïa ) laø: 240 : 4 = 60 ( con ) Soá heo laø: 240 : 8 x 3 = 90 ( con ) Ñaùp soá: boø: 60 con; ngöïa: 60 con; heo: 90 con. * Kieán thöùc caàn khaéc saâu ôû daïng toaùn naøy laø duøng pheùp suy luaän tìm phaân soá cuûa moät soá ñaõ cho ( 30 con deâ) so vôùi toång soá khoâng thay ñoåi. Baøi 3: ÔÛ baøi toaùn naøy toång ñaõ thay ñoåi. Ta caàn höôùng daãn hoïc sinh so saùnh vôùi soá khoâng thay ñoåi laø soá hoïc sinh nöõ cuûa lôùp. - Khoù khaên cuûa hoïc sinh khi giaûi baøi toaùn naøy laø: Baøi toaùn khoâng cho bieát toång, caùc giaù trò soá ñaõ coù thay ñoåi. Ta höôùng hoïc sinh tìm giaù trò naøo khoâng thay ñoåi. + Toång soá hoïc sinh thay ñoåi ( theâm 2 hoïc sinh). + Soá hoïc sinh nam thay ñoåi ( theâm 2 hoïc sinh). + Soá hoïc sinh nöõ khoâng thay ñoåi. Ta so saùnh vôùi soá hoïc sinh nöõ maø khoâng so saùnh vôùi toång soá hoïc sinh, vì toång ñaõ thay ñoåi. -Cho hoïc sinh nhaän xeùt, giaûi baøi toaùn. Vì soá hoïc sinh nam ñaàu naêm = soá hoïc sinh caû lôùp. Neân soá hoïc sinh nam = = soá hoïc sinh nöõ = soá hoïc sinh nöõ. Phaân soá chæ 2 hoïc sinh nam chuyeån ñi tröôøng khaùc laø: - = ( Soá HS nöõ ) Soá hoïc sinh nöõ ñaàu naêm laø: 2 : = 20 ( HS ) Soá hoïc sinh nam ñaàu naêm laø: 20 : 10 x 8 = 16 ( HS ) Soá hoïc sinh ñaàu naêm cuûa lôùp 5A laø: 20 + 16 = 36 ( HS ) Ñaùp soá: 36 ( HS ) Nhö vaäy khoâng nhaát thieát phaûi so saùnh vôùi toång soá. Neáu toång thay ñoåi ta tìm giaù trò naøo khoâng thay ñoåi ñeå so saùnh.( soá hoïc sinh nöõ) tìm phaân soá cuûa moät soá (phaân soá chæ 2 hoïc sinh môùi chuyeån ñeán) * Cuõng coù theå aùp duïng phöông phaùp treân reøn cho hoïc sinh giaûi toaùn hình hoïc. Baøi 4: Cho tam giaùc ABC, treân caïnh AB laáy ñieåm M sao cho AM = 2MB, treân caïnh AC laáy ñieåm N sao cho AN = 2NC. Bieát dieän tích tam giaùc AMN laø 16 . Tính dieän tích tam giaùc ABC. * Cho hoïc sinh veõ hình, höôùng daãn keõ ñöôøng phuï. A M N B C Ta noái B vôùi N ( cuõng coù theå noái C vôùi M ). Ta coù: SABN = SAMN ( Vì coù chung ñöôøng cao haï töø N, ñaùy AB = AM ). Do đñoù : SABN = x 16 = 24 (). SABC = SABN ( Vì coù chung ñöôøng cao haï töø B, ñaùy AC = AN ). Vaäy SABC = x 16 = 36 () Baøi toaùn ñaõ ñöôïc tính xong. * Toùm laïi: Ñoái vôùi daïng toaùn naøy, giaùo vieân caàn höôùng daãn reøn cho hoïc sinh khaû naêng suy luaän ñeå tìm phaân soá cuûa moät soá, caàn so saùnh vôùi ñaïi löôïng khoâng thay ñoåi. ÔÛ baøi toaùn caùc ñaïi löôïng ñeàu khoâng thay ñoåi thì so saùnh vôùi toång soá. Qua caùc baøi toaùn ôû nhöõng daïng khaùc nhau, cuøng vôùi thao taùc hoùa hoaït ñoäng baèng tay trong giaûi toaùn. Giuùp hoïc sinh ruùt ra ñöôïc thuû thuaät giaûi toaùn veà Tìm tæ soá, tìm phaân soá cuûa moät soá. Giuùp caùc em khaéc saâu kieán thöùc hôn, naém vöõng chaéc hôn, haïn cheá ñöôïc söï nhaàm laãn, giuùp caùc em giaûi ñöôïc nhieàu baøi toaùn mang tính toaùn hoïc coù taùc duïng ñoái vôùi vieäc reøn khaû naêng suy luaän. PHAÀN III: KEÁT LUAÄN 1. Khaùi quaùt: Treân ñaây laø moät soá kinh nghieäm toâi ñaõ thöïc hieän ñoái vôùi hoïc sinh trong lôùp vaø boài döôõng hoïc sinh gioûi cuûa tröôøng. Vôùi ñeà taøi naøy, khi daïy giaûi toaùn phaân soá “ Tìm tæ soá, tìm phaân soá cuûa moät soá” cho hoïc sinh, giaùo vieân caàn höôùng daãn luyeän taäp vôùi caùc daïng toaùn khaùc nhau, choïn ra nhöõng baøi toaùn töông töï ñeå hoïc sinh so saùnh ñoái chieáu tìm ra choã gioáng nhau vaø khaùc nhau.Töø choã gioáng nhau hoïc sinh traùnh nhaàm laãn, töø choã khaùc nhau daãn ñeán caùch giaûi khaùc nhau. Ñoái vôùi hoïc sinh khaù gioûi caàn naâng cao daàn töø deã ñeán khoù, töø ñôn giaûn ñeán phöùc taïp thì caùc em seõ giaûi thaønh thaïo caùc baøi toaùn coù lieân quan ñeán phaân soá. Thuû thuaät giaûi toaùn veà Tìm tæ soá, tìm phaân soá cuûa moät soá coù taùc duïng khoâng nhoû ñeán vieäc reøn luyeän caùc thao taùc, tö duy loâ gic, laäp luaän coù caên cöù vaø söû duïng caùc pheùp suy luaän ñôn giaûn trong giaûi toaùn. Töø ñoù coù theå tìm ra nhieàu caùch giaûi quyeát baøi toaùn, bieán ñoåi ñeå ñöa baøi toaùn ñaõ cho veà baøi toaùn quen thuoäc ñaõ bieát caùch giaûi. Cuûng coá kieán thöùc, caùc moái quan heä, khaùi nieäm. - Caùch tìm tæ soá, tìm phaân soá cuûa moät soá. - Vaän duïng trong giaûi toaùn chuyeån ñoäng ñeàu, hình hoïc vaø moät soá daïng toaùn khaùc. 2- Lôïi ích vaø khaû naêng vaän duïng: Thuû thuaät giaûi toaùn mang tính toaùn hoïc veà tìm “ Reøn khaû naêng suy luaän-giaûi toaùn tæ soá, tìm phaân soá cuûa moät soá” ôû Tieåu hoïc giuùp cho vieäc giaûi nhieàu baøi toaùn coù lieân quan ñeán phaân soá theo moät trình töï nhaát ñònh, ñöa baøi toaùn ñaõ cho veà baøi toaùn maãu ñaõ bieát caùch giaûi giuùp cho caùc em naém vöõng caùc tính chaát cô baûn cuûa phaân soá, moái quan heä giöõa vaän toác vaø thôøi gian khi quaõng ñöôøng khoâng thay ñoåi, moái quan heä veà ñaùy, dieän tích vôùi chieàu cao trong tam giaùc, xaùc ñònh tæ soá cuûa hai soá. Sau nhieàu naêm daïy aùp duïng toâi ñaõ ruùt ra moät soá kinh nghieâm treân, toâi thaáy sau khi aùp duïng phöông phaùp naøy chaát löôïng daïy hoïc ñöôïc naâng leân ñaùng keå. Vieäc boài döôõng hoïc sinh gioûi trong nhieàu naêm lieàn coù ñöôïc keát quaû toát. Cuï theå: NAÊM HOÏC KEÁT QUAÛ ÑAÏT ÑÖÔÏC. Tænh. Huyeän. Baùn boång T. boång 2004-2005 5 1 1 2005-2006 4 9 1 2006-2007 2 8 3 2007-2008 13 12 3 2008-2009 2 3 Vôùi ñeà taøi naøy khaû naêng vaän duïng vaøo daïy hoïc laø thöïc teá, maø baát cöù giaùo vieân naøo cuõng thöïc hieän ñöôïc. Coù theå aùp duïng roäng raõi ñeå giaûi nhieàu baøi toaùn khoù. Nhaát laø vieäc boài döôõng hoïc sinh gioûi lôùp 4, 5. 3. Ñeà xuaát, kieán nghò: - Ñeå naâng cao chaát löôïng daïy hoïc, vieäc boài döôõng hoïc sinh gioûi ñaït keát quaû, giaùo vieân phaûi bieát hoïc hoûi kinh nghieäm, coù loøng nhieät thaønh, tinh thaàn traùch nhieäm, baèng taâm huyeát cuûa mình phaùt hieän vaø boài döôõng hoïc sinh coù naêng khieáu veà toaùn kòp thôøi, phaùt huy ñöôïc khaû naêng voán coù cuûa hoïc sinh. - Vôùi ñeà taøi naøy toâi ñaõ aùp duïng vaø ñaõ ñaït nhieàu keát quaû toát. Toâi vieát ñeà taøi naøy khoâng ñaët naëng thaønh tích, ñaït giaûi trong phong traøo vieát saùng kieán kinh nghieän. Toâi chæ coù mong muoán Hoäi ñoàng xeùt choïn xem xeùt. Neáu coù theå ñöôïc cho vaän duïng vaøo caùc lôùp hay cho giaùo vieân tham khaûo nhaèm goùp phaàn naâng cao chaát löôïng cho hoïc sinh. *************************

Các file đính kèm theo tài liệu này:

  • docRèn luyện khả năng suy luận- giải toán tìm tỉ số, tìm phân số của một số.doc
Luận văn liên quan