Tiểu luận Một số khái niệm cơ bản của giải tích phức trong không gian banach

Như vậy, chúng tôi đã trình bày được một số khái niệm cơ bản của giải tích phức trong không gian Banach đồng thời cũng nhắc lại một số nội dung cơ bản của giải tích phức một biến . Do giới hạn thời gian và lượng kiến thức còn giới hạn nên bài tiểu luận chắc chắn không thể tránh được sai sót. Nhóm rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và bạn đọc để có thể hoàn thiện hơn. Lời cuối cùng, chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến thầy PGS.TS Thái Thuần Quang, người Thầy đã tận tình giảng dạy cho chúng em trong thời gian vừa qua.

pdf23 trang | Chia sẻ: tienthan23 | Ngày: 06/12/2015 | Lượt xem: 1862 | Lượt tải: 1download
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Tiểu luận Một số khái niệm cơ bản của giải tích phức trong không gian banach, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN TIỂU LUẬN GIẢI TÍCH PHỨC ĐỀ TÀI MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH PHỨC TRONG KHÔNG GIAN BANACH ĐẮK LẮK, NĂM 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN TIỂU LUẬN GIẢI TÍCH PHỨC ĐỀ TÀI MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH PHỨC TRONG KHÔNG GIAN BANACH CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. THÁI THUẦN QUANG ĐẮK LẮK, NĂM 2015 DANH SÁCH HỌC VIÊN THỰC HIỆN 1q Trương Văn Đại (Nhóm Trưởng) 2q Dương Thế Dũng (Nhóm Phó) 3q Phan Hữu Thế 4q Nguyễn Hữu Hải 5q Cù Thị Kim Dung 6q Lê Đình Sơn 7q Nguyễn Đình Toản 8q Nguyễn Thị Thu Thuỷ 9q Nguyễn Thị Phượng i MỤC LỤC Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt iv Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 2 1.1 Một số định lí cơ bản trong giải tích hàm . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1 Định lí Hanh-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2 Nguyên lí ánh xạ mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.3 Định lí đồ thị đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.4 Nguyên lí bị chặn đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Một số kết quả cơ bản trong giải tích phức cổ điển . . . . . . 3 1.2.1 Nguyên lí Maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.2 Công thức tích phân Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.3 Định lí Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Đa thức và chuỗi trong không gian Banach . . . . . . . . . . . 4 1.3.1 Đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3.2 Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Ánh xạ chỉnh hình 6 2.1 Ánh xạ chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1.2 Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1.3 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.4 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.5 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1.6 Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.7 Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.8 Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 ii 2.1.9 Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Ánh xạ G- chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.1 Định nghĩa: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.2 Định lý : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Hàm chỉnh hình theo từng biến . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3.1 Bổ đề: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3.2 Mệnh đề: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.4 Chỉnh hình yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.4.1 Định nghĩa: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.4.2 Định lý: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.4.3 Bổ đề: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Kết luận 16 iii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT N : Tập hợp các số tự nhiên N  t1, 2, . . .u N0 : Tập hợp các số N0  NY t0u E : Đối ngẫu đại số của E E 1 : Đối ngẫu topo của E E 1co : Không gian E 1 với topo compact mở Bpa, rq : Hình cầu mở tâm a bán kính r Bpa, rq : Hình cầu đóng tâm a bán kính r l1 : Không gian Banach các dãy số phức khả tổng tuyệt đối c0 : Không gian Banach các dãy số phức hội tụ về không c0 : Tập các dãy số thực dương hội tụ về không intU : Phần trong của U U : Bao đóng của U XK : Không gian Banach sinh bởi K € X PpE,F q : Không gian các đa thức từ E vào F HbpE,F q : Không gian các hàm chỉnh hình bị chặn trên các tập bị chặn của E giá trị trong F HpUq : Không gian các hàm chỉnh hình trên U giá trị vô hướng HpU, F q : Không gian các hàm chỉnh hình trên U giá trị trong F NpNq : Tập các đa chỉ số tr. : Trang iv Mở đầu Vào thế kỉ 16 G. Cardano (1501-1576) đã nói đến các số "ảo" như là căn của các số âm. Đến giữa thế kỉ 18 các số phức rải rác xuất hiện trong các công trình toán học của I. Newton, N. Bernoulli, A. Clairaut... Song người được coi là sáng lập môn hàm phức chính là L. Euler (1707-1783). Ông đã nghiên cứu các hàm phức sơ cấp, đưa vào khái niệm khả vi năm (1755) và phép tính tích phân năm (1777). Nhiều ứng dụng hàm phức vào giải tích thực, thủy động học và phép vẽ bản đồ cũng do ông khởi xướng. Lý thuyết hàm phức ra đời mang ý nghĩa vô cùng to lớn. Nhờ lý thuyết hàm phức C.F. Gauss (1777-1855) đã chứng minh được định lí cơ bản của đại số (1799): một đa thức bậc n trong trường số phức có đúng n nghiệm nếu kể số nghiệm bằng bội của nó. Đầu thế kỉ 19 lý thuyết hàm phức đã phát triển thành một trong số nghành quan trọng nhất của giải tích toán học. Công lao to lớn thuộc về A.L Cauchy (1789-1857), người đã phát triển phép tính tích phân, K. Weierstrass (1815-1897), người đã phát triển lý thuyết chuỗi hàm và B. Riemann (1826-1866), người đã xây dựng cơ sở hình học của lý thuyết hàm phức. Ngày nay lý thuyết hàm phức là một trong những lí thuyết đóng vai trò quan trọng nhất của toán học, có ứng dụng vô cùng to lớn trong các nghành vật lý và kĩ thuật rất khác nhau như: thủy động học, khí động học, các lý thuyết điện từ trường, mạch điện, nước ngầm, nổ định hướng,đàn hồi... Trong nội dung của tiểu luận này chúng tôi nhắc lại một số kết quả của giải tích phức cổ điển sau đó trình bày một số khái niệm cơ bản của giải tích phức trong không gian Banach. Tiểu luận chắc chắn không thể tránh khỏi các sai sót, chúng tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các bạn đọc và quý thầy cô để tiểu luận được hoàn thiện hơn. 1 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi tóm tắt lại một số định lí cơ bản trong giải tích hàm như định lí Hanh-Banach, nguyên lí ánh xạ mở, định lí đồ thị đóng và nguyên lí bị chặn đều. Tiếp theo chúng tôi trình bày một số kết quả cơ bản trong giải tích phức cổ điển như nguyên lí Maximum, công thức tích phân Cauchy, định lí Liouville. Cuối cùng chúng tôi trình bày các định nghĩa về đa thức và chuỗi trong không gian Banach như là công cụ để định nghĩa ánh xạ chỉnh hình trong không gian Banach. 1.1 Một số định lí cơ bản trong giải tích hàm 1.1.1 Định lí Hanh-Banach Cho E là không gian định chuẩn, F là không gian con của E và A là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên F . Khi đó tồn tại một phiếm hàm A˜ trên E tuyến tính liên tục sao cho A˜|F  A và }A}  }A˜}. 1.1.2 Nguyên lí ánh xạ mở Cho E , F là hai không gian Banach và A là một toàn ánh tuyến tính từ E vào F . Khi đó A là ánh xạ mở, tức là với mỗi tâp U mở trong E ta có tập ApUq mở trong F 1.1.3 Định lí đồ thị đóng Cho E, F là hai không gian định chuẩn, nếu A là một ánh xạ tuyến tính liên tục thì A là ánh xạ đóng. Tức là tập px;Apxqq đóng trong không gian 2 topo tích E.F 1.1.4 Nguyên lí bị chặn đều Giả sửE là một không gian Banach,F là không gian định chuẩn và t Aαu , α P Γ là một họ các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F . Khi đó, nếu với mọi x P E ta có sup αPΓ }Aαx}   8 1.2 Một số kết quả cơ bản trong giải tích phức cổ điển 1.2.1 Nguyên lí Maximum Giả sử fpzq chỉnh hình trên miền D và liên tục trên miền D. Nếu fpzq không là hằng số thì |fpzq| đạt cực đại trên biên của D. 1.2.2 Công thức tích phân Cauchy Định lí. Giả sử fpzq chỉnh hình trong miền hữu hạn đơn liên D và z0 P D , là đường cong Jordan, trơn, kín bất kì bao quanh z0 và nằm trong D. Khi đó ta có công thức tích phân Cauchy fpz0q  1 2pii » γ fpζq ζ  z0 . Hơn nữa, nếu fpzq liên tục trên biên của D thì với mọi z P D; ta có fpzq  1 2pii » γ fpζq ζ  z . 1.2.3 Định lí Liouville Nếu hàm fpzq chỉnh hình và bị chặn trên toàn mặt phẳng phức thì fpzq là hàm hằng. 3 1.3 Đa thức và chuỗi trong không gian Banach 1.3.1 Đa thức 1.3.1.1 Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa: Giả sử E, F là các không gian Banach còn m P N. Ánh xạ A : Em Ñ F gọi là m- tuyến tính nếu nó tuyến tính theo từng biến. Nghĩa là với mọi a  pa1, a2, ..., amq P E m và mọi 1 ¤ j ¤ m, các ánh xạ Ej Q xj Ñ Apa1, ..., aj1, xj, aj1, ..., amq là tuyến tính. Kí hiệu: LapmE,F q và LpmE,F q lần lượt là các không gian vectơ các ánh xạ m- tuyến tính và m- tuyến tính liên tục từ Em vào F tương ứng. Với A P LapmE,F q, xác định }A}  sup }Apx1, ..., xmq} : xj P E, }xj} ¤ 1, 1 ¤ j ¤ m và gọi là chuẩn (suy rộng) của A. Khim  1, ta viết Lap1E,F q  LapE,F q và Lp1E,F q  LpE,F q. Khi F  K viết LapmE,Kq  LapmEq và LpmE,Kq  LpmEq. Cuối cùng khi m  1, sẽ viết như thông thường LapEq  E#,LpEq  E. 1.3.1.2 Đa thức Định nghĩa: Ánh xạ P : E Ñ F gọi là đa thức m-thuần nhất (thuần nhất bậc m)nếu tồn tại A P LapmE,F q sao cho P pxq  Axm @x P E . Ta kí hiệu PapmE,F q không gian vec tơ các đa thức m- thuần nhất từ E tới F và PpmE,F q là không gian con gồm các đa thức m- thuần nhất liên tục của PapmE,F q. Đối với mỗi P P PapmE,F q, đặt }P }  sup }P pxq} : x P E, }x} ¤ 1 và gọi là chuẩn ( suy rộng) của P . Khi F  K ta viết PapmE,Kq  PapmEq và PpmE,Kq  PpmEq. 4 1.3.2 Chuỗi lũy thừa 1.3.2.1 Định nghĩa: Chuỗi lũy thừa từ E tới F tại điểm a P E là chuỗi có dạng 8 ° m0 Pmpx aq, ở đây Pm P PapmE,F q với mọi m P N0. Chú ý rằng chuỗi lũy thừa 8 ° m0 Pmpx aq có thể viết như 8 ° m0 Ampx aq m, ở đây Am P LsapmE,F q, pAm  Pm. 5 Chương 2 Ánh xạ chỉnh hình 2.1 Ánh xạ chỉnh hình Trong chương này ta đưa ra khái niệm ánh xạ chỉnh hình dưới thuật ngữ của chuỗi lũy thừa và sau đó là một số tính chất của chúng tương tự như hàm chỉnh hình một biến phức. Tất cả các không gian Banach trong chương này đều là các không gian Banach phức và được kí hiệu bởi E, F ,... 2.1.1 Định nghĩa Giả sử U là tập mở trong E. Ánh xạ f : U Ñ F gọi là chỉnh hình hay giải tích nếu với mọi a P U tồn tại trong hình cầu Bpa, rq € U và một dãy các đa thức Pm P PpmE,F q sao cho fpxq  8 ¸ m0 Pmpx aq hội tụ đều với x P Bpa, rq. Kí hiệu HpU, F q là không gian véc tơ các ánh xạ chỉnh hình từ U vào F . Khi F  C ta viết HpU,Cq  HpUq. 2.1.2 Nhận xét dãy pPmq trong định nghĩa là được xác định duy nhất bởi f và a, ta kí hiệu Pm  P mfpaq với mọi m P N0. Chuỗi 8 ° m0 Pmfpaqpx aq như thông thường gọi là chuỗi Taylor của f tại a. Ta kí hiệu Amfpaq là phần tử duy nhất thuộc LspmE,F q thỏa mãn{Amfpaq  Pmfpaq. 6 2.1.3 Ví dụ PpE,F q € HpE,F q. Chứng minh. Chỉ cần chứng minh P P HpE,F q với mọi P P PpmE,F q. Giả sử A P LspmE,F q sao cho P  pA. Cho a, x P E. Do Nhị Thức Newton ta có P pxq  Axm  m¸ j0  m j Aamjpx aqj. Như vậy P chỉnh hình trên E và P jP paq   m j Aamj nếuj ¤ m và P jP paq  0 nếu j ¡ m. Ngoài ra P jP paq là đa thức trên E bậc j với giá trị trong LspjE,F q. 2.1.4 Ví dụ Giả sử 8 ° j0 Pmpxq là chuỗi lũy thừa từ E tới F có bán kính hội tụ bằng 8, và mọi Pm là liên tục. Nếu ta xác định fpxq  8 ¸ j0 Pmpxq, x P E thì f P HpE,F q. Chứng minh. Giả sử Pm  pAm với Am P LspmE,F q vàM P N0. Ta sẽ chứng tỏ 8 ¸ j0 8 ¸ mj  m j }Am} }a} mj rj   8 với mọi a P E và r ¡ 0. Thật vậy, bằng cách thay đổi thứ tự lấy tổng ta có 8 ¸ j0 8 ¸ mj  m j }Am} }a} mj rj  8 ¸ m0 8 ¸ j0  m j }Am} }a} mj rj  8 ¸ m0 }Am}p}a} rq m . Chuỗi cuối cùng hội tụ vì bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa bằng 8. Đặc 7 biệt 8 ¸ mj  m j }Am} }a} mj rj   8. Vậy chuỗi 8 ° mj p m j qAma mj xác định phần tử Qi P PpjE,F q với j P N0. Mặt khác ta có fpxq  8 ¸ m0 Pmpxq  8 ¸ m0 8 ¸ j0  m j Ama mj px aqj  8 ¸ j0 8 ¸ mj  m j Ama mj px aqj  8 ¸ j0 Qjpx aq đều theo x P Bpa, rq. Như vậy f P HpE,F q. 2.1.5 Ví dụ Giả sử pϕmq là dãy trong E 1 hội tụ điểm tới không. Nếu xác định fpxq  8 ¸ m0 pϕmpxqq m, x P E thì f P HpEq. Chứng minh. Do nguyên lí bị chặn đều tồn tại C ¡ 0 sao cho }ϕm}   C với mọi m P N0. Ta sẽ chứng tỏ 8 ¸ j0 8 ¸ mj  m j |ϕmpaq| mj }ϕm} jrj   8 với mọi a P E và mọi 0 ¤ r ¤ 1e . Thật vậy, 8 ¸ j0 8 ¸ mj  m j |ϕmpaq| mj }ϕm} jrj  8 ¸ m0 m¸ j0  m j |ϕmpaq| mj }ϕm} jrj  8 ¸ m0 p|ϕmpaq| }ϕm}rq m ¤ 8 ¸ m0 p|ϕmpaq| Crq m . Chuỗi cuối cùng này hội tụ vì Cr   1 và ϕmpaq Ñ 0 khi mÑ 0. Do đó ta có 8 ¸ mj  m j |ϕmpaq| mj }ϕm} j   8. 8 Vậy chuỗi 8 ° mj p m j qpϕmpaqq mjϕjm các định một phần tử Qj P PpjEq với j P N0. Mặt khác ta cũng có fpxq  8 ¸ m0 r|ϕmpaq| ϕmpx aqs j  8 ¸ m0 m¸ j0  m j pϕmpaqq mj pϕmpx aqq j  8 ¸ j0 8 ¸ mj  m j ϕpaqmjpϕmpx aqq j  8 ¸ j0 Qjpx aq đều theo x P Bpa, rq. Như vậy f P HpEq. 2.1.6 Mệnh đề Giả sử U là tập mở liên thông của E và giả sử f P HpU,Eq. Nếu f đồng nhất bằng không trên một tập con mở khác rỗng V của U thì f đồng nhất bằng không trên U . Chứng minh paq Trước tiên, ta coi U là lồi. Giả sử a P V, x P U . Đặt A  tλ P C : a λpx aq P Uu. Do U là lồi , A là lồi, đặc biệt liên thông. Với mọi ψ P F 1, hàm gpλq  ψ  fpa λpx aqq, λ P A là chỉnh hình trên A và đồng nhất bằng không trên đĩa mở ∆pa, εq với ε ¡ 0 nào đó. Khi đó g đồng nhất bằng không trên A do định lí duy nhất đối với hàm chỉnh hình vô hướng. Đặc biệt ψfpxq  gp1q  0. ĐỊnh lí Hahn-Banach cho ta fpxq  0. pbq Trong trường hợp tổng quát. Giả sử A kí hiệu tập hợp các điểm a P U sao cho f đồng nhất bằng không trên một lân cận của a. Rõ ràng A là mở. DO f  0 trên V nên A  H. Còn chứng minh A là đóng trong U . Khi đó do tính liên thông của U suy ra f  0 trên U . Giả sử panq là dãy trong A hột tụ tới b P U . Chọn r ¡ 0 sao cho Bpb, rq € U và chọn n để an P Bpb, rq. Từ paq suy ra f  0 trên Bpb, rq. Vậy b P A và đó là điều cần chứng minh. Tiếp theo ta mở rộng Nguyên lí ánh xạ mở. 9 2.1.7 Mệnh đề Giả sử U là tập mở liên thông trong E và giả sử f P HpUq. Nếu f khác hằng số trên U thì fpV q là mở với mọi tập con mở V của U . Chứng minh. CHỉ cần chứng minh fpV q là mở trong C với mọi tập lồi mở V € U . Giả sử V là tập con lồi mở của U và x P V . Do nguyên lí đồng nhất hàm f khác hằng số trên V . Vậy tồn tại y P V sao cho fpxq  fpyq. Vì V là lồi, tập A  tλ P C : x λpy  xq P V u là lôi. Hàm gpλq  frx λpy  xqs xác định và chỉnh hình trên A với gp0q  fpxq  fpyq  gp1q. Nguyên lí ánh xạ mở đối với hàm chỉnh hình một biến phức cho ta gpAq mở trong C. Bởi vì fpxq  gp0q P gpAq € fpV q, suy ra fpV q là mở trong C. 2.1.8 Mệnh đề Giả sử U là tập con mở, liên thông của E và giả sử f P HpUq. Nếu tồn tại a P U sao cho |fpxq| ¤ |fpaq| với mọi x P U thì f là hằng số trên U . Chứng minh. Giả sử f là hằng số trên U . Bởi nguyên lí ánh xạ mở tập fpUq là mở trong C. Vậy nó chứa đĩa ∆pfpaq, rq  tλ P C : |fpaqλ|   ru. Nhưng điều này không thể xảy ra vì |fpxq| ¤ |fpaq| với mọi x P U . Để kết thúc mục này, ta đưa ra Định lí Liouville. 2.1.9 Định lí Nếu ánh xạ f P HpE,F q bị chặn trên E thì f là ánh xạ hằng. Giả sử. Giả sử x P E và ψ P F 1. Khi đó hàm gpλq  ψ  fpλq là chỉnh hình và bị chặn trên C. Do định lí Liouvulle cổ điển nên g là hằng số, đặc biệt ψ  fpxq  ψ  fp0q. Định lí Hahn-Banach cho ta fpxq  fp0q. Vậy f là hàm hằng. 10 2.2 Ánh xạ G- chỉnh hình Trong mục này ta sẽ chứng minh một ánh xạ là chỉnh hình nếu nó là liên tục và hạn chế của nó trên mọi đường thẳng phức là chỉnh hình. Đó là đặc trung rất thuận lợi cho việc kiểm tra tính chỉnh hình của một ánh xạ nào đó 2.2.1 Định nghĩa: Giả sử U là tập mở trong E. Ánh xạ f : U Ñ F gọi là G chỉnh hình nếu đối với mọi a P U và b P E, ánh xạ λÑ fpa λbq là chỉnh hình trên tập mở tλ P C : a λb P Uu Ký hiệu: HF pU, F q là KGVT các ánh xạ G chỉnh hình từ U vào F . Nếu F  C, ta viết HGpU,Cq  HGpUq Ví dụ: Chứng minh Ppa λbq là đa thức theo λ với mọi a, b P E Nhận xét: Bằng cách kiểm tra lại các chứng minh đối với ánh xạ chỉnh hình ta nhận thấy các kết quả tương ứng sau còn đúng với ánh xạ Gbchỉnh hình là nguyên lý đồng nhất, nguyên lý ánh xạ mở, nguyên lý Maximum và định lý Liouville,... 2.2.2 Định lý : Giả sử U là tập mở trong E. Khi đó, đối với ánh xạ f : U Ñ FF thì các phát biểu sau tương đương: (a) f là chỉnh hình (b) f là liên tục và G-chỉnh hình (c) f là liên tục và f |UXM là chỉnh hình với mọi không gian con hữu hạn chiều M của E. Chứng minh paq ñ pbq là hiển nhiên pbq ñ pcq Giả sử f : U Ñ F là G chỉnh hình và liên tục. Giả sử M là không gian con hữu hạn chiều của E với a P U XM và giả sử e1, e2, ..., en là một cơ sở của M. Ta có khai triển chuỗi: fpa λ1e1 ... λnenq  ¸ α cαλ α1 1 ...λ αn n 11 Ở đây chuỗi hội tụ tuyệt đối và đều trên một đa đĩa nào đó ∆np0, rq. Nếu với m P N0 xác định Pmpλ1e1 ... λnenq  ¸ |α|m cαλ α1 1 ...λ αn n thì ta có khai triển chuỗi luỹ thừa fpa λ1e1 ... λnenq  ¸ m0 Pmpλ1e1 ... λnenq và (c) được chứng minh pcq ñ paq Giả sử Bpa, rq € U . Nếu M là không gian con hữu hạn chiều của E chứa a thì do giả thiết f |UXM là chỉnh hình thì ta có tồn tại chuỗi luỹ thừa 8 ° m0 PMm px aq từ M vào F sao cho fpxq  8 ¸ m0 PMm px aq với x P B pa,rq XM Nếu M và N là 2 không gian con hữu hạn chiểu của E chứa a thì do tính duy nhất của khai triển Taylor, ta có: PMm ptq  P N m ptq với mọi t PM XN thì mọi m P N0. Như vậy có thể xác định Pm : E Ñ F bởi Pmptq  P M m ptq nếu M là không gian con hữu hạn chiều chứa a và t. Dễ thấy Pm P PpmE,F q. Thật vậy, với M và N là 2 không gian con hữu hạn chiều của E chứa a. Chọn AMm P LpmM,F q và = Anm P LsapmN,F q sao cho PMm {pAMm qq zpANmq. Do tính chất đối xứng của AMm và A N m, ta có A M m  A N m trên pM X Nq m. Vậy họ AMm với M xác định như trên cho ta Am P LsapmE,F q sao cho pAm  Pm. Như vậy Pm P PapmE,F q và fpxq  8 ¸ m0 Pmpx aq,@x P Bpa,rq Do f liên tục ta có thể tìm được hình cầu B pa,sq € Bpa,rq và c ¡ 0 sao cho }fpxq} ¤ c với x P B pa,sq. Cho t P E với }t} ¤ 1. Giả sử M là không gian con hữu hạn chiều của E chứa a và t. Bởi công thức tính tính phân Cauchy, ta có Pmptq  P M m ptq  1 2pii 2 » |ζ|s fpa ζtq ζm1 dζ 12 Từ đó suy ra, }Pm} ¤ cs m. Vậy Pm là liên tục và chuỗi luỹ thừa 8 ° m0 Pmpx aq có bán kính hội tụ ¥ s. Vậy paq được chứng minh. 2.3 Hàm chỉnh hình theo từng biến Giả sử U là mở trong Cn và giả sử f : u Ñ F là chỉnh hình tách. Khi đó, f liên tục khi và chỉ khi f bị chặn địa phương Chứng minh: Giả sử f : U Ñ F là chỉnh hình tách và bị chặn địa phương. Cho a P U và chọn r ¡ 0, c ¡ 0 để }fpζq} ¤ c, với mọi ζ P ∆npa, rq X U . Khi đó , với mọi ζ P ∆npa, rq ta có thể viết fpζq  fpaq  n¸ j1 rfpa1, ..., aj1, ζ1, ..., ζnq  fpa1, ..., aj, ζj1, ..., ζnqs Từ giả thiết ta suy ra hiệu gjpζjq  fpa1, ..., aj1, ζ1, ..., ζnq  fpa1, ..., aj, ζj1, ..., ζnq chỉnh hình theo ζj khi các biến khác không đổi. Hơn nữa, }gpζjq} ¤ 2c với |ζj  aj| ¤ r. Theo bổ đề Schwart áp dụng cho gj, ta nhận được: }fpζq  fpaq} ¤ n¸ j1 2c |ζj  aj| r ; @ζ P ∆npa, rq Bất đẳng thức này chngs tỏ f là liên tục. Điều kiện đủ được chứng minh. Điều kiện cần là hiển nhiên. 2.3.1 Bổ đề: Giả sử U là tập mở trong Cn. Khi đó, ánh xạ f : U Ñ F là chỉnh hình nếu và chỉ nếu nó chỉnh hình tách và liên tục. Chứng minh: Chỉ cẩn chứng minh điều kiện đủ Giả sử a P U . Ta có khai triển chuỗi fpa λq  ¸ α cαλ α1 1 ...λ αn n và chuỗi hội tụ tuyệt đối và đều trên một đa đĩa nào đó. Do đó, f là chỉnh hình Bổ đề này được mở rộng đến không gian Banach tuỳ ý. 13 2.3.2 Mệnh đề: Giả sử E1, ..., En và F là các không gian Banach, U là tập mở trong E1  ...En. Khi đó, ánh xạ f : U Ñ F là chỉnh hình nếu và chỉ nếu nó chỉnh hình tách và liên tục. Chứng minh: Chỉ cần chứng minh điều kiện đủ. Giả sử f : U Ñ F là chỉnh hình tách và liên tục. Giả sử a  pa1, ..., anq P U và b  pb1, ..., bnq P E1  ... En. Khi đó ánh xạ: g : pλ1, ..., λnq Ñ fpa1 λ1b1, ..., an λnbnq;λ  pλ1, ..., λnq P Cn là chỉnh hình tách. Như vậy, g là G chỉnh hình. Đặc biệt, λ Ñ fpa1 rb, ..., an rbq là chỉnh hình. Vậy f là G chỉnh hình và liên tục. Suy ra, f chỉnh hình Với khái niệm G chỉnh hình ta đã chuyển sự nghiên cứu ánh xạ chỉnh hình tới trường hợp không gian xác định là 1 chiều. Tiếp theo, ta đưa vào khái niếm chỉnh hình yếu để đưa việc nghiên cứu ánh xạ chỉnh hình giá trị Banach về ánh xạ chỉnh hình giá trị vô hướng. 2.4 Chỉnh hình yếu 2.4.1 Định nghĩa: Giả sử U là tập mở trong E và f : U Ñ F . Ánh xạ f gọi là chỉnh hình yếu hay giải tích yếu nếu φ  f : uÑ C là chỉnh hình với mọi φ P F 1. Tương tự f gọi là G chỉnh hình yếu nếu φ  f là Gchỉnh hình với mọi φ P F 1 2.4.2 Định lý: Giả sử U là tập mở trong E và f : U Ñ F . Khi đó, (a) f là Gchỉnh hình nếu và chỉ nếu f là Gchỉnh hình yếu (b) là chỉnh hình nếu và chỉ nếu f là chỉnh hình yếu Trước khi chứng minh bổ đề này ta thiết lập bổ đề sau: 2.4.3 Bổ đề: Giả sử U là tập mở trong C. Khi đó, ánh xạ f : U Ñ F là chỉnh hình nếu và chỉ nếu nó là chỉnh hình yếu. 14 Chứng minh: Chỉ cần chứng minh điều kiện đủ Đầu tiên, ta chứng minh f là liên tục. Cho λ0 P U và chon r ¡ 0 để ∆pλ0; 2rq XU . Giả sử φ P F 1 và λ P ∆pλ0, rq, λ  λ0. Áp dụng công thức tích phân Cauchy đối với hàm chỉnh hình 1 biến, ta có: fpλq  φ  fpλ0q  1 2pii » |ζ|2r  φ  fpζq ζ  λ  φ  fpζq ζ  λ0q dζ  λ λ0 2pii » |ζ|2r φ  fpζq pζ  λqpζ  λ0 dζ Suy ra     φ  fpλq  fpλ0q λ λ0     ¤ 1 2pi M r.2r .4pir  M r ở đây M  supt|φ  fpζq| : |ζ  λ0|  2ru. Do nguyên lý bị chặn đều, tồn tại c ¡ 0 sao cho:     fpλq  fpλ0q λ λ0     ¤ c; @λ P ∆pλ0, rq, λ  λ0 Bất đẳng thức trên chứng tỏ rằng f là liên tục tại λ0. Bây giờ cách chứng minh f là chỉnh hình tương tự như ở các định lý trên đã trình bày. Thật vậy, nếu ∆pλ0, rq X U thì đầu tiên ta có, fpλq  1 2pii » |ζλ0|r fpζq ζ  λ dζ đới với ζ P ∆pλ0, rq. Từ đó, ta nhận được khai triển chuỗi fpλq  8 ¸ m0 pλ λ0q m 1 2pii » |ζλ0|r fpζ ζ  λ0 dζ và chuỗi hội tụ đều trên mọi đĩa ∆pλ0, sq; 0 ¤ s   r Do đó, f là chỉnh hình 15 Kết luận Như vậy, chúng tôi đã trình bày được một số khái niệm cơ bản của giải tích phức trong không gian Banach đồng thời cũng nhắc lại một số nội dung cơ bản của giải tích phức một biến . Do giới hạn thời gian và lượng kiến thức còn giới hạn nên bài tiểu luận chắc chắn không thể tránh được sai sót. Nhóm rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và bạn đọc để có thể hoàn thiện hơn. Lời cuối cùng, chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến thầy PGS.TS Thái Thuần Quang, người Thầy đã tận tình giảng dạy cho chúng em trong thời gian vừa qua. 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] J. Mujica (1986), Complex analysis in Banach spaces, North-Holland Math. Studies, 120. 17

Các file đính kèm theo tài liệu này:

  • pdfvidu_0596.pdf
Luận văn liên quan