Tóm tắt Luận án Dáng điệu tiệm cận của một số hệ vi phân đa trị trong không gian vô hạn chiều

, tực l  ut(s) = u(t+ s); s 2 [h; 0]. º nghiản cựu tẵnh ờn ành cho lợp b i toĂn n y, chúng tổi ữa ra khĂi 74 niằm sau Ơy vã tẵnh ờn ành yáu cừa nghiằm khổng cừa b i toĂn (4.1)-(4.3): Kỵ hiằu (') l  têp nghiằm cừa b i toĂn (4.1)-(4.3) ựng vợi iãu kiằn ban Ưu ' sao cho 0 2 (0). Nghiằm khổng cừa b i toĂn (4.1)-(4.3) ữủc gồi l  ờn ành tiằm cên yáu náu nõ l  1) ờn ành: vợi mồi  > 0, tỗn tÔi  > 0 sao cho náu k'kh <  thẳ kutkh <  vợi mồi u 2 (') v  t > 0, ð Ơy k
kh kỵ hiằu chuân sup trong C([h; 0];X); 2) hút yáu: vợi mồi ' 2 B, tỗn tÔi u 2 (') thọa mÂn kutkh ! 0 khi t! +1. 4.2. KHặNG GIAN H€M V€ ậ O X²t E = PC(J ;X) l  khổng gian cĂc h m xĂc ành trản J  R v  nhên giĂ trà trong X sao cho  u liản tửc trản J n ftk : k 2 g;  tỗn tÔi u(t+k ) = lim t!t+k u(t) v  u(tk ) = lim t!tk u(t) sao cho u(tk ) = u(tk). Náu J l  mởt khoÊng compact, PC(J ;X) cũng vợi chuân kukPC = sup t2J ku(t)k; l  mởt khổng gian Banach. Gồi PC l  ở o Hausdorff trản PC(J ;X), ta cõ cĂc tẵnh chĐt sau (xem [40]): vợi mồi têp bà ch°n D  PC(J ;X),  supt2J (D(t))  PC(D), vợi D(t) = fu(t) : d 2 Dg;  Náu D l  têp ỗng liản tửc trản mội khoÊng (tk1; tk]  J thẳ PC(D) = supt2J (D(t)). Trong trữớng hủp J l  nỷa trửc, tực l  J = [h;+1), ta x²t khổng gian PC%([h;+1);X) = fu 2 PC([h;+1);X) : lim t!+1 u(t) %(t) = 0g; 75 trong õ % : R+ ! [1;+1) l  mởt h m liản tửc v  khổng giÊm. Ta cõ PC%([h;+1);X) cũng vợi chuân kuk% = sup t2[h;0] ku(t)k+ sup t0 ku(t)k %(t) ; l  mởt khổng gian Banach. Tuy nhiản, trong trữớng hủp n y, chúng ta khổng xĂc ành v  tẵnh toĂn ữủc ở o Hausdorff trản PC%. Do õ, chúng ta phÊi xƠy dỹng mởt ở o mợi cõ tẵnh chĐt ỡn iằu, khổng suy bián v  chẵnh quy trản khổng gian n y. Vợi u 2 PC%, kỵ hiằu T (u) l  hÔn chá cừa u trản [h; T ], tực l  T (u) 2 PC([h; T ];X). Vợi D  PC%, °t 1(D) = sup T>0 PC(T (D)); (4.4) d1(D) = lim T!+1 sup u2D sup tT ku(t)k %(t) ; (4.5) (D) = 1(D) + d1(D): (4.6) Ta thĐy rơng 1(
) v  d1(
) l  cĂc ở o ỡn iằu khổng suy bián, do õ (
) cụng cõ cĂc tẵnh chĐt õ. BƠy giớ ta chựng minh tẵnh chẵnh quy cừa (
). Bờ ã 4.1. Náu  PC%([h;+1);X) l  mởt têp bà ch°n thọa mÂn ( ) = 0, thẳ l  têp compact tữỡng ối. Chựng minh. Do d1( ) = 0, vợi  > 0 bĐt ký, ta cõ thº chồn T > 0 sao cho u(t)%(t) < 3 ; 8t  T; 8u 2 : (4.7) Vợi fung l  mởt dÂy trong , ta cõ 1(fung) = 0, do õ PC(T (fung)) = 0, tực l  funj[h;T ]g cõ mởt dÂy con hởi tử trong PC([h; T ];X) (ta văn kỵ hiằu l  n). Vêy, tỗn tÔi N() 2 N thọa mÂn sup t2[h;0] kun(t) um(t)k+ sup t2[0;T ] kun(t) um(t)k <  3 ; 8n;m  N(): 76 Nhữ vêy, sup t2[h;0] kun(t) um(t)k+ sup t2[0;T ] un(t)%(t) um(t)%(t) < 3 ; 8n;m  N(): (4.8) Kát hủp (4.7)-(4.8), ta cõ kun umk% = sup t2[h;0] kun(t) um(t)k+ sup t0 un(t)%(t) um(t)%(t)  sup t2[h;0] kun(t) um(t)k+ sup t2[0;T ] un(t)%(t) um(t)%(t) + sup tT un(t)%(t) um(t)%(t)  sup t2[h;0] kun(t) um(t)k+ sup t2[0;T ] un(t)%(t) um(t)%(t) + sup tT un(t)%(t) + sup tT um(t)%(t)   3 +  3 +  3 = ; vợi mồi n;m  N(). Do õ fung l  dÂy Cauchy trong PC%([h;+1);X). Ta cõ iãu phÊi chựng minh. Gồi (t; s) l  mởt hồ cĂc toĂn tỷ tuyán tẵnh bà ch°n trản X vợi t; s 2 [0; T ]; s  t. Kát quÊ sau Ơy  ữủc chựng minh trong [67, Bờ ã 1]. Mằnh ã 4.1. GiÊ thiát rơng  thọa mÂn cĂc iãu kiằn sau: (1) tỗn tÔi mởt h m  2 Lq(0; T ); q > 1 sao cho k(t; s)k  (t s) vợi mồi t; s 2 [0; T ]; s  t; (2) k(t; s) (r; s)k   vợi 0  s  r ; r < t = r + h  T , trong õ  = (h)! 0 khi h! 0. Khi õ, toĂn tỷ S : Lq 0 (0; T ;X)! C([0; T ];X) ữủc ành nghắa bði (Sg)(t) := Z t 0 (t; s)g(s)ds bián mội têp bà ch°n th nh mởt têp liản tửc ỗng bêc, trong õ q0 l  số mụ liản hủp cừa q, tực l  1q + 1 q0 = 1. 77 Vợi p > 1 , ta xĂc ành toĂn tỷ tuyán tẵnh Q : L p(0; T ;X)! C([0; T ];X); Q(f)(t) = Z t 0 (t s)1P(t s)f(s)ds: (4.9) Mằnh ã 4.2. GiÊ sỷ nỷa nhõm W (
) sinh bði A l  liản tửc theo chuân. Khi õ: 1) Vợi mội têp bà ch°n  Lp(0; T ;X), Q( ) l  mởt têp liản tửc ỗng bêc trong C([0; T ];X). Hỡn nỳa, ta cõ ữợc lữủng sau PC(Q( ))  4 sup t2[0;T ] Z t 0 (t s)1kP(t s)k
( (s))ds: 2) Náu ffng  Lp(0; T ;X) l  mởt dÂy nỷa compact, tực l  ffn(t) : n  1g  K(t) vợi K(t) l  hồ cĂc têp compact, v  kfn(t)k  (t) vợi hƯu khưp t 2 [0; T ] vợi  2 Lp(0; T ), thẳ fQ(fn)g l  compact tữỡng ối trong C([0; T ];X). Hỡn nỳa, náu fn * f trong Lp(0; T ;X) thẳ Q(fn) ! Q(f) trong C([0; T ];X). Chựng minh. (1) Do W (
) l  liản tửc theo chuân, ta cõ P(
) cụng liản tửc theo chuân (xem [78]). Vêy (t; s) = (ts)1P(ts) thọa mÂn (1) (2) trong Mằnh ã 4.1. Do õ, chúng ta cõ tẵnh liản tửc ỗng bêc cừa Q( ). Khi õ PC(Q( )) = sup t2[0;T ] (Q( )(t)): p dửng Mằnh ã 1.5, ta cõ PC(Q( )) = sup t2[0;T ]  Z t 0 (t s)1P(t s) (s)ds   4 sup t2[0;T ] Z t 0  (t s)1P(t s) (s)
ds  4 sup t2[0;T ] Z t 0 (t s)1kP(t s)k
 ( (s)) ds: 78 (2) Tứ chựng minh trản, dÂy fQ(fn)g l  liản tửc ỗng bêc. Hỡn nỳa, ta cõ  (fQ(fn)(t)g) =  Z t 0 (t s)1P(t s)fn(s)ds   4 Z t 0 (t s)1kP(t s)k
 (ffn(s)g) ds = 0; do Mằnh ã 1.5. Nhữ vêy fQ(fn)(t)g l  mởt têp tiãn compact, vợi mội t 2 [0; T ]. p dửng ành lẵ Arzel -Ascoli, fQ(fn)g l  tiãn compact trong C([0; T ];X). Kh¯ng ành cuối cũng ữủc chựng minh nhữ sau. Sỷ dửng bĐt ¯ng thực Holder, ta cõ Q : Lp(0; T ;X)! C([0; T ];X) l  bà ch°n, suy ra nõ liản tửc. Do õ, nõ liản tửc theo tổpổ yáu (xem [15, ành lẵ 3.10]), tực l  Q(fn)* Q(f) trong C([0; T ];X). Tứ tẵnh tiãn compact cừa fQ(fn)g, ta cõ sỹ hởi tử n y l  mÔnh trong C([0; T ];X). ành lẵ ữủc chựng minh. 4.3. Sĩ TầN T„I NGHI›M TR–N NÛA TRệC Trong mửc n y, ta x²t %(t) = et vợi  > 0. Vợi b i toĂn (4.1)-(4.3), x²t cĂc giÊ thiát: (A) C0-nỷa nhõm fW (t)gt0 sinh bði A l  liản tửc theo chuân v  bà ch°n to n cửc, tực l  kW (t)xk MAkxk; 8t  0; x 2 X: (F) Th nh phƯn phi tuyán F : R+ X  C([h; 0];X)! P(X) thọa mÂn: 1) Ănh xÔ a trà (v; w) 7! F (t; v; w) l  nỷa liản tửc trản vợi mội t 2 R+; 2) Ănh xÔ a trà t 7! F (t; u(t); ut) cõ h m chồn o ữủc mÔnh vợi mội u 2 PC%; 3) tỗn tÔi h m m 2 Lploc(R+) thọa mÂn kF (t; v; w)k = supfkk :  2 F (t; v; w)g  m(t)(kvk+kwkh); 79 vợi mồi (t; v; w) 2 R+ X  C([h; 0];X); 4) náu W (
) khổng compact, tỗn tÔi k 2 Lploc(R+) sao cho (F (t; V;W ))  k(t) " (V ) + sup t2[h;0] (W (t)) # ; vợi hƯu khưp t 2 R+, v  mồi têp bà ch°n V  X;W  C([h; 0];X). (G) H m g : PC% ! C([h; 0];X) liản tửc v  thọa mÂn 1) kg(u)kh  g(kuk%) vợi mồi u 2 PC%, trong õ g l  mởt h m thỹc xĂc ành trản R+; 2) tỗn tÔi số khổng Ơm  thọa mÂn h(g(D))  
1(D) vợi mồi têp bà ch°n D  PC%, trong õ h l  ở o Hausdorff trong C([h; 0];X). ( I) H m Ik : X ! X; k 2 ; liản tửc v  thọa mÂn: 1) tỗn tÔi dÂy số thỹc khổng Ơm flkgk2 sao cho P k2 lk <1 v  kIk(x)k  lk kxk; vợi mồi x 2 X; k 2 : 2) Tỗn tÔi dÂy số thỹc khổng Ơm fkgk2 sao cho (Ik(B))  k(B); vợi mồi têp bà ch°n B  X; 3) DÂy ftk : k 2 g thọa mÂn infk2(tk+1 tk) > 0. Vợi u 2 PC%, °t PpF (u) = ff 2 Lploc(R+;X) : f(t) 2 F (t; u(t); ut) hƯu khưp t 2 R+g: ành nghắa 4.1. H m u : [h;+1)! X ữủc gồi l  mởt nghiằm tẵch phƠn cừa b i toĂn (4.1)-(4.3) náu u(t) + g(u)(t) = '(t) vợi t 2 [h; 0], v  tỗn tÔi 80 f 2 PpF (u) sao cho u(t) = S(t)['(0) g(u)(0)] + X 0<tk<t S(t tk)Ik(u(tk)) + Z t 0 (t s)1P(t s)f(s)ds; vợi t > 0. Vợi ' 2 C([h; 0];X) cho trữợc, °t F : PC% ! P(PC%) l  Ănh xÔ a trà xĂc ành bði F(u)(t) = 8>>>>>>>>>: '(t) g(u)(t); t 2 [h; 0]; S(t)['(0) g(u)(0)] + P 0<tk<t S(t tk)Ik(u(tk)) + nR t 0 (t s)1P(t s)f(s)ds : f 2 PpF (u) o ; t > 0: Khi õ, u l  mởt nghiằm tẵch phƠn cừa b i toĂn (4.1)-(4.3) náu v  ch¿ náu nõ l  mởt iºm bĐt ởng cừa toĂn tỷ nghiằm F . Ưu tiản, º kiºm tra tẵnh õng cừa F , ta chựng minh bờ ã sau Ơy. Bờ ã 4.2. GiÊ sỷ rơng (F) thọa mÂn. Náu fvng  PC% vợi vn ! v v  fn 2 PpF (vn) thẳ fn * f trong L1loc(R+;X) vợi f 2 PpF (v). Chựng minh. X²t fvng  PC% m  vn ! v; fn 2 PpF (vn). Ta cõ ffn(t)g  C(t) := F (t; fvn(t); (vn)tg), l  mởt têp compact vợi hƯu khưp t 2 R+, do giÊ thiát (F)(1). Vợi T > 0 cho trữợc, tứ giÊ thiát (F)(3), ta cõ ffnj[0;T ]g bà ch°n bði mởt h m Lp-khÊ tẵch. Theo [33, Hằ quÊ 3.3], ffng l  têp compact yáu trong Lp(0; T ;X). Do õ, cõ thº giÊ sỷ fn * f1 2 Lp(0; T ;X). p dửng Bờ ã Mazur (xem [15]), tỗn tÔi dÂy ~fn 2 coffi : i  ng sao cho ~fn ! f1 trong Lp(0; T ;X). Vẳ vêy ~fn(t) ! f1(t) hƯu khưp t 2 [0; T ]. Do F nhên giĂ trà compact v  F (t;
;
) l  nỷa liản tửc trản, ta cõ vợi  > 0 F (t; vn(t); (vn)t)  F (t; v(t); vt ) +B 81 vợi mồi n ừ lợn, ð Ơy B l  hẳnh cƯu trong X cõ tƠm ð gốc tồa ở v  bĂn kẵnh . Vêy fn(t) 2 F (t; v(t); vt ) +B; hƯu khưp t 2 [0; T ]: Do tẵnh lỗi cừa F (t; v(t); vt )+B, bao h m thực trản văn úng khi thay fn(t) bði ~fn(t). Vêy, f1(t) 2 F (t; v(t); vt )+B vợi hƯu khưp t 2 [0; T ]. Do  l  bĐt ký, ta thu ữủc f1(t) 2 F (t; v(t); vt ) vợi hƯu khưp t 2 [0; T ]. L°p lÔi lẵ luên ð trản cho t 2 [(j1)T; jT ]; j = 1; 2; ::: ta cõ fn * f j trong Lp((j 1)T; jT ;X) vợi f j(t) 2 F (t; v(t); vt ) vợi hƯu khưp t 2 [(j 1)T; jT ]. Ta xĂc ành f 2 Lploc(R+;X) nhữ sau f(t) = f j(t) náu t 2 [(j 1)T; jT ]; ta cõ ữủc iãu phÊi chựng minh. BƠy giớ, ta s³ chựng minh tẵnh õng cừa toĂn tỷ nghiằm. Bờ ã 4.3. GiÊ sỷ rơng (A), (F), (G) v  (I) thọa mÂn. Khi õ, toĂn tỷ nghiằm F l  õng. Chựng minh. X²t fvng  PC% l  mởt dÂy hởi tử tợi v v  zn 2 F(vn) sao cho zn ! z. Ta s³ chựng minh z 2 F(v). Tứ ành nghắa cừa F , ta lĐy fn 2 PpF (vn) sao cho zn(t) = 8>>>>>>>>>: '(t) g(vn)(t); t 2 [h; 0]; S(t)['(0) g(vn)(0)] + P 0<tk<t S(t tk)Ik(vn(tk)) +Q(fn)(t); t > 0; (4.10) trong õ Q  ữủc ành nghắa trong (4.9). Tứ Bờ ã 4.2, fn * f trong 82 Lploc(R+;X) vợi f 2 PpF (v). Ta s³ chựng minh z(t) = 8>>>>>>>>>: '(t) g(v)(t); t 2 [h; 0]; S(t)['(0) g(v)(0)] + P 0<tk<t S(t tk)Ik(v(tk)) +Q(f )(t); t > 0: (4.11) Vợi t 2 [h; 0], do g liản tửc, ta cõ ngay iãu cƯn chựng minh. Vợi t > 0, lĐy T > 0 sao cho t  T , lẵ luên tữỡng tỹ nhữ trong chựng minh Bờ ã 4.2, ta cõ dÂy ffnj[0;T ]g l  nỷa compact. p dửng Mằnh ã 4.2, Q(fn) ! Q(f) trong C([0; T ];X) v  Q(fn)(t)! Q(f)(t) trong X. Do tẵnh liản tửc cừa g v  Ik, chuyºn qua giợi hÔn trong (4.10) ta thu ữủc (4.11). ành lẵ ữủc chựng minh. Tứ Ơy, ta s³ chựng minh tẵnh n²n cừa toĂn tỷ nghiằm. Bờ ã 4.4. GiÊ thiát nhữ trong Bờ ã 4.3. Náu ` := MA +MA X k2 k + 8 sup t0 Z t 0 (t s)1kP(t s)kk(s)ds <1; (4.12) ta cõ 1(F(D))  `
1(D); vợi mồi têp bà ch°n D  PC%. Chựng minh. X²t D  PC% l  mởt têp bà ch°n. Vợi v 2 D, ta biºu diạn 83 F(v) = F1(v) + F2(v) + F3(v), trong õ F1(v)(t) = 8>:S(t)['(0) g(v)(0)]; t > 0;'(t) g(v)(t); t 2 [h; 0]; F2(v)(t) = 8>>>: P 0<tk<t S(t tk)Ik(v(tk)); t > 0; 0; t 2 [h; 0]; F3(v)(t) = 8>:Q  P p F (v)(t); t > 0; 0; t 2 [h; 0]: Tứ tẵnh chĐt nỷa cởng tẵnh Ôi số cừa 1, ta cõ 1(F(D))  1(F1(D)) + 1(F2(D)) + 1(F3(D)): Vợi z1; z2 2 F1(D), tỗn tÔi u1; u2 2 D º z1(t) = 8>:S(t)['(0) g(u1)(0)]; t  0;'(t) g(u1)(t); t 2 [h; 0] z2(t) = 8>:S(t)['(0) g(u2)(0)]; t  0;'(t) g(u2)(t); t 2 [h; 0]: Do õ kz1(t) z2(t)k  8>:kS(t)kkg(u1) g(u2)kh; t  0;kg(u1) g(u2)kh; t 2 [h; 0]: Ta thu ữủc jjz1 z2jj MAkg(u1) g(u2)kh: Vêy PC(F1(D)) MAh(g(D)): 84 p dửng (G)(2), ta cõ 1(F1(D))  MA 1(D): (4.13) BƠy giớ, ta x²t z1; z2 2 F2(D), khi õ tỗn tÔi u1; u2 2 D thọa mÂn z1(t) z2(t) = X 0<tk<t S(t tk)[Ik(u1(tk)) Ik(u2(tk))]: Do õ jjz1 z2jj MA X k2 jjIk(u1(tk)) Ik(u2(tk))jj: Vêy 1(F2(D)) MA X k2 (Ik(D(tk))) MA X k2 k(D(tk))   MA X k2 k  1(D); (4.14) do giÊ thiát (I)(2). X²t F3(D), ta cõ = PpF (D)j[0;T ] bà ch°n Lp(0; T ;X), do õ T (F3(D)) = Q( ); v  ta cõ Ănh giĂ PC(T (F3(D)))  4 sup t2[0;T ] Z t 0 (t s)1kP(t s)k
( (s))ds; (4.15) do Mằnh ã 4.2. Tứ (F)(4), ta cõ ( (s))  (F (s;D(s); Ds))  k(s)[(D(s)) + sup r2[h;0] (D(s+ r))]  2k(s)PC(T (D)): 85 Thá v o (4.15), ta thu ữủc PC(T (F3(D)))  8 sup t2[0;T ] Z t 0 (t s)1kP(t s)kk(s)ds ! PC(T (D)): Do õ 1(F3(D))   8 sup t0 Z t 0 (t s)1kP(t s)kk(s)ds  1(D): (4.16) Kát hủp (4.13)-(4.14) v  (4.16), ta thu ữủc 1(F(D))  `
1(D); (4.17) trong õ ` ữủc xĂc ành bði (4.12). ành lẵ ữủc chựng minh. Bờ ã 4.5. GiÊ thiát nhữ trong Bờ ã 4.3. GiÊ sỷ # := sup t>0 Z t 0 kP(t s)k %(t s) m(s)ds <1; (4.18)  := sup t>0 Z t t (t s)1kP(t s)k %(t s) m(s)ds <1; (4.19) vợi  2 (0; 1), khi õ d1(F(D))  2
d1(D); (4.20) vợi mồi têp bà ch°n D  PC%. Chựng minh. X²t D  PC% l  mởt têp bà ch°n. Sỷ dửng phƠn tẵch F = F1 + F2 + F3 nhữ trong chựng minh Bờ ã 4.4, ta s³ chựng minh d1(F1(D)) = d1(F2(D)) = 0: Vợi  > 0 cho trữợc, ta s³ chựng tọ rơng tỗn tÔi T > 0 sao cho kFi(v)(t)k %(t) < ; 8t  T; v 2 D; i = 1; 2: 86 Chồn R > 0 thọa mÂn supfkvk% : v 2 Dg  R, ta cõ, vợi t > 0 kF1(v)(t)k %(t)  kS(t)k %(t) (k'kh + kg(v)kh)  MA %(t) (k'kh + g(kvk%))  kS(t)k %(t) (k'kh + g(R)) < ; for all t  T1; 8v 2 D; do kS(t)k%(t) ! 0 khi t! +1. X²t F2, chồn N0 2  sao cho RMA X k>N0 lk <  2 : (4.21) Chồn T2 > 0 thọa mÂn kS(t)k %(t) R X kN0 lk <  2 ; 8t  T2: (4.22) Khi õ vợi mội v 2 D, tứ (I)(2) ta cõ kF2(v)(t)k %(t)  1 %(t) X k2 kS(t tk)kkIk(v(tk))k  1 %(t) X k2 kS(t tk)klkkv(tk)k  R %(t) X kN0 kS(t tk)klk + RMA %(t) X k>N0 lk  R X kN0 kS(t tk)k %(t tk) lk +RMA X k>N0 lk <  2 +  2 = ; 8t  T2 + tN0 : do (4.21)-(4.22) v  %(
) l  khổng giÊm, %(t)  1; 8t  0. BƠy giớ, ta s³ Ănh giĂ d1(F3(D)). LĐy z 2 F3(v); v 2 D. Chồn f 2 PpF (v) sao cho z(t) = Z t 0 (t s)1P(t s)f(s)ds; t > 0; 87 ta cõ kz(t)k %(t)  Z t 0 (t s)1kP(t s)k %(t s) kf(s)k %(s) ds  Z t 0 + Z t t  (t; s)ds; (4.23) trong õ (t; s) = (t s)1kP(t s)km(s) %(t s) kv(s)k+ kvskh %(s) ; do (G)(1) v  (F)(3). LĐy t > 0 sao cho t h > 0. Ta cõ, vợi s 2 [0; t], kv(s)k+ kvskh %(s) = 1 %(s) (kv(s)k+ sup 2[h;0] kv(s+ )k)  1 %(s) (kv(s)k+ sup 2[h;0] kv()k+ sup 2[0;s] kv()k)  sup 2[h;0] kv()k+ 1 %(s) (kv(s)k+ sup 2[0;s] kv()k)  sup 2[h;0] kv()k+ kv(s)k %(s) + sup 2[0;s] kv()k %()  2R: Do õ Z t 0 (t; s)ds  2R Z t 0 (t s)1kP(t s)k %(t s) m(s)ds  2R [(1 )t]1 Z t 0 kP(t s)k %(t s) m(s)ds  2R# [(1 )t]1 ; (4.24) trong õ # ữủc cho trong (4.18). M°t khĂc, vợi s  t ta cõ kv(s)k+ kvskh %(s) = 1 %(s) (kv(s)k+ sup 2[h;0] kv(s+ )k)  kv(s)k %(s) + sup 2[h;0] kv(s+ )k %(s+ )  sup rt kv(r)k %(r) + sup rth kv(r)k %(r)  2 sup rth kv(r)k %(r) : 88 Khi õZ t t (t; s)ds  Z t t (t s)1kP(t s)k %(t s) m(s)ds  2 sup rth kv(r)k %(r)  2 sup rth kv(r)k %(r) ; (4.25) trong õ  ữủc ành nghắa trong (4.19). p dửng cĂc Ănh giĂ (4.24)-(4.25) v o (4.23), ta cõ kz(t)k %(t)  2R# [(1 )t]1 + 2 suprth kv(r)k %(r) ; vợi mồi t > h , v 2 D; z 2 F3(v). Tứ bĐt ¯ng thực cuối suy ra d1(F3(D))  2
d1(D): Bờ ã ữủc chựng minh. Kát hủp cĂc Bờ ã 4.4 v  4.5, ta thu ữủc bờ ã sau. Bờ ã 4.6. GiÊ sỷ rơng (A), (F), (G) v  (I) thọa mÂn. Khi õ, toĂn tỷ nghiằm F l  -n²n vợi iãu kiằn ` = MA +MA X k2 k + 8 sup t0 Z t 0 (t s)1kP(t s)kk(s)ds < 1; (4.26) # = sup t>0 Z t 0 kP(t s)k %(t s) m(s)ds <1; (4.27)  = sup t>0 Z t t (t s)1kP(t s)k %(t s) m(s)ds < 1 2 ; (4.28) vợi  2 (0; 1). Chựng minh. Tứ Mằnh ã 4.4 v  4.5, vợi mồi têp bà ch°n D  PC%, ta cõ 1(F(D)) + d1(F(D))  maxf`; 2g
(1(D) + d1(D)): Vêy (F(D))  maxf`; 2g
(D): 89 Náu (F(D))  (D) thẳ (D)  maxf`; 2g
(D), nhữ vêy (D) = 0 do maxf`; 2g < 1. Khi õ D l  têp compact tữỡng ối. ành lẵ 4.1. GiÊ thiát nhữ trong Bờ ã 4.6. GiÊ sỷ (1 +MA) lim inf r!+1 g(r) r +MA X k2 lk + 2 sup t>0 Z t 0 (t s)1kP(t s)km(s) %(t s) ds < 1; (4.29) khi õ, b i toĂn (4.1)-(4.3) cõ ẵt nhĐt mởt nghiằm tẵch phƠn trong PC%. Chựng minh. Tứ Bờ ã 4.3, ta cõ F l  õng. Hỡn nỳa, F l  -n²n do Bờ ã 4.6. Ngo i ra, F nhên giĂ trà compact. Thêt vêy, vợi v 2 PC%, ta cõ (F(v))  maxf`; g
(fvg) = 0: Tực l  (F(v)) = 0 v  do õ F(v) l  têp tiãn compact do Bờ ã 4.1. Tứ tẵnh õng cừa F , ta cõ F(v) l  compact. º Ăp dửng ành lẵ 1.5, ta cỏn phÊi chựng minh rơng tỗn tÔi R > 0 sao cho F(BR)  BR; trong õ BR l  hẳnh cƯu trong PC%, tƠm tÔi gốc tồa ở, bĂn kẵnh R. Ưu tiản, ta s³ kiºm tra F(PC%)  PC%. LĐy v 2 PC%, thẳ d1(fvg) = 0. Sỷ dửng (4.20), ta cõ d1(F(v)) = 0. Tứ õ ta cõ F(v)  PC%. BƠy giớ, ta s³ chựng minh tỗn tÔi R > 0 thọa mÂn F(BR)  BR. GiÊ sỷ ngữủc lÔi, vợi mội n 2 N, tỗn tÔi vn 2 Bn v  zn 2 F(vn) sao cho kznk% > n. Chồn fn 2 PpF (vn) thọa mÂn zn(t) = 8>>>>>>>>>: '(t) g(vn)(t); t 2 [h; 0]; S(t)['(0) g(vn)(0)] + P 0<tk<t S(t tk)Ik(vn(tk)) + R t 0 (t s)1P(t s)fn(s)ds; t > 0; 90 ta thu ữủc, vợi mồi t  0, kzn(t)k %(t) kS(t)k %(t) [k'kh + g(kvnk%)] + X 0<tk<t kS(t tk)k %(t tk) kvn(tk)k %(tk) lk + Z t 0 (t s)1kP(t s)k %(t s) kvn(s)k+ k(vn)skh %(s) m(s)ds; nhớ cĂc giÊ thiát (G)(1), (I)(2) v  (F)(3). Do kS(t)k %(t) MA; 8t  0; kvn(s)k %(s)  n; 8s  0; k(vn)skh %(s)  1 %(s) sup 2[h;0] kvn(s+ )k  sup 2[h;0] 1 %(s+ ) kvn(s+ )k  kvnk%  n; ta cõ kzn(t)k %(t) MA(k'kh + g(n)) + nMA X k2 lk + 2n Z t 0 (t s)1kP(t s)k %(t s) m(s)ds: Tứ õ, ta cõ 1 < kznk% n = 1 n  kznkh + sup t>0 kzn(t)k %(t)   (1 +MA)(k'kh + g(n)) n +MA X k2 lk + 2 sup t>0 Z t 0 (t s)1kP(t s)k %(t s) m(s)ds: Chuyºn qua giợi hÔn bĐt ¯ng thực cuối, ta thu ữủc iãu mƠu thuăn vợi (4.29). ành lẵ ữủc chựng minh. 4.4. TNH ấN ÀNH Y˜U Trong mửc n y, º chựng minh tẵnh ờn ành yáu cừa nghiằm khổng, ta phÊi thay cĂc giÊ thiát (A), (F) and (G) bði cĂc giÊ thiát mÔnh hỡn: 91 (A*) Nỷa nhõm W (
) sinh bði A l  liản tửc theo chuân v  ờn ành mụ, tực l  tỗn tÔi  > 0 sao cho kW (t)xk MAetkxk; 8t  0; x 2 X: (F*) H m phi tuyán a trà F thọa mÂn (F) vợi m 2 L1(R+) \ Lploc(R+). (G*) H m khổng cửc bở g thọa mÂn (G) vợi g(r) = 
r;8r  0, ð Ơy  l  mởt hơng số dữỡng. Ta cõ mằnh ã sau Ơy. Mằnh ã 4.3. [5] Náu giÊ thiát (A*) thọa mÂn, thẳ cĂc toĂn tỷ giÊi thực S(
); P(
) l  ờn ành tiằm cên, tực l  kS(t)k; kP(t)k ! 0 khi t! +1: Nhữ vêy, trong mửc n y, chồn %(t)  1 vợi mồi t  0, ta cõ kS(t)k %(t) ; kP(t)k %(t) ! 0 khi t! +1: X²t khổng gian PC0 = fu 2 PC([h;+1);X) : lim t!+1u(t) = 0g; vợi chuân kuk1 = sup th ku(t)k: Khi õ, PC0 l  mởt khổng gian Banach. X²t Ănh xÔ nghiằm F trản PC0 v  lẵ luên tữỡng tỹ nhữ trong Mửc 4.3., ta chựng minh ữủc sỹ tỗn tÔi cừa nghiằm hút to n cửc nhữ sau. ành lẵ 4.2. GiÊ sỷ (A*), (F*), (G*) v  (I) thọa mÂn. Khi õ, b i toĂn (4.1)-(4.3) cõ nghiằm tẵch phƠn thọa mÂn ku(t)k = o(1) khi t! +1, vợi iãu 92 kiằn ` = MA +MA X k2 k + 8 sup t0 Z t 0 (t s)1kP(t s)kk(s)ds < 1; (4.30) $ = (1 +MA) +MA X k2 lk + 2 sup t>0 Z t 0 (t s)1kP(t s)km(s)ds < 1: (4.31) Chựng minh. Trong trữớng hủp n y, cĂc giÊ thiát cừa Bờ ã 4.6 v  ành lẵ 4.1 ãu thọa mÂn. Dom 2 L1(R+), ta cõ iãu kiằn (4.27) thọa mÂn. Hỡn nỳa, iãu kiằn (4.28) ữủc suy ra tứ (4.31), trong khi iãu kiằn (4.31) chẵnh l  (4.29). Nhữ vêy, ta cõ ngay iãu phÊi chựng minh. Sau Ơy l  ành lẵ chẵnh cừa mửc n y. ành lẵ 4.3. Vợi cĂc giÊ thiát cừa ành lẵ 4.2 thọa mÂn. Khi õ, nghiằm khổng cừa b i toĂn (4.1)-(4.3) l  ờn ành tiằm cên yáu. Chựng minh. °t (') l  têp cĂc nghiằm tẵch phƠn cừa b i toĂn (4.1)-(4.3) vợi iãu kiằn ban Ưu '. Ta thĐy 0 2 (0) do F (t; 0; 0) = 0, g(0) = 0 v  Ik(0) = 0; k 2 . Tứ ành lẵ 4.2 ta cõ, vợi mội ' 2 C([h; 0];X) tỗn tÔi u 2 (') sao cho ku(t)k ! 0 khi t ! +1. Do õ, ta cõ kutkh ! 0 khi t ! +1, tực l  nghiằm khổng l  hút yáu. Nhữ vêy, ta cỏn phÊi chựng minh rơng nghiằm n y l  ờn ành. X²t ' 2 C([h; 0];X) v  u 2 ('), khi õ, tỗn tÔi f 2 PpF (u) sao cho u(t) = '(t) g(u)(t); t 2 [h; 0]; u(t) = S(t)['(0) g(u)(0)] + X 0<tk<t S(t tk)I(u(tk)) + Z t 0 (t s)1P(t s)f(s)ds; t > 0: 93 Sỷ dửng cĂc giÊ thiát (F*), (G*) v  (I), ta cõ ku(t)k  k'kh + kuk1; t 2 [h; 0]; ku(t)k MA(k'kh + kuk1) +MAkuk1 X k2 lk + 2kuk1 sup t>0 Z t 0 (t s)1kP(t s)km(s)ds; t > 0; trong õ k
k1 l  chuân trong PC0. Tứ cĂc ữợc lữủng n y, ta cõ kuk1   (1 +MA) +MA X k2 lk + 2 sup t>0 Z t 0 (t s)1kP(t s)km(s)ds  kuk1 + (1 +MA)k'kh: Do õ kutkh  kuk1  1 +MA 1$ k'kh; 8t > 0; trong õ $ ữủc cho trong (4.31). BĐt ¯ng thực cuối n y cho ta tẵnh ờn ành cừa nghiằm khổng. Nhữ vêy, ành lẵ ữủc chựng minh. 4.5. P DệNG é mửc n y, chúng tổi Ăp dửng cĂc kát quÊ trứu tữủng Ôt ữủc ð trản cho mởt hằ vi phƠn lữợi d dt ui(t) = (Au(t))i + fi(t); t > 0; t 6= tk; k 2 N; (4.32) fi(t) 2 [f1i(t; ui(t); ui(t (t))); f2i(t; ui(t); ui(t (t)))]; (4.33)
ui(tk) = Iik(ui(tk)); (4.34) ui(s) + NX j=1 cjui(j + s) = 'i(s); s 2 [h; 0]; j > 0; (4.35) trong õ u = (ui) : [h;+1) ! `2, d dt l  Ôo h m theo nghắa Caputo bêc  2 (0; 1), A : `2 ! `2 l  toĂn tỷ tuyán tẵnh xĂc ành bði (Av)i = vi+1 (2 + )vi + vi1; v 2 `2; 94  : R+ ! [0; h] l  mởt h m liản tửc,  l  mởt số dữỡng. é Ơy `2 l  khổng gian cĂc dÂy (vi)i2Z thọa mÂn P i2Z v 2 i <1, v  l  mởt khổng gian Hilbert vợi tẵch vổ hữợng (u; v)`2 = P i2Z uivi, kẵ hiằu [f1; f2] = ff1 + (1 )f2 :  2 [0; 1]g. Hằ vi phƠn dÔng lữợi nhữ (4.32)-(4.35) xuĐt hiằn trong nhiãu b i toĂn thỹc tiạn, vẵ dử nhữ xỷ lẵ Ênh, b i toĂn nhên dÔng mău, kÿ thuêt iằn,... Nõ cụng cõ thº ữủc coi nhữ mởt mổ hẳnh nỷa rới rÔc cừa bao h m thực Ôo h m riảng bêc phƠn số @ @t u(x; t) = @2 @x2 u(x; t) u(x; t) + f(x; t); x 2 R; t > 0; f(x; t) 2 [f1(x; t; u(x; t); u(x; t (t))); f2(x; t; u(x; t); u(x; t (t)))];
u(x; tk) = Ik(x; u(x; tk)); u(x; s) + NX j=1 cju(x; j + s) = '(x; s); s 2 [h; 0]; trong õ ta rới rÔc hõa bián x. X²t B : `2 ! `2 l  toĂn tỷ tuyán tẵnh ành nghắa bði (Bv)i = vi+1 vi, thẳ B ữủc xĂc ành bði (Bv)i = vi1 vi. Hỡn nỳa, náu ~A : `2 ! `2 ữủc xĂc ành bði ( ~Av)i = vi+1 2vi + vi1 thẳ ~A = BB = BB: Ta cõ A = ~A I l  toĂn tỷ bà ch°n trản `2. Do õ nỷa nhõm fetA : t  0g l  liản tửc ãu (xem [34]) v  do õ nõ liản tửc theo chuân. Tuy nhiản, nỷa nhõm n y l  khổng compact, do nõ cõ thº mð rởng th nh nhõm fetA : t 2 Rg v  toĂn tỷ I = etAetA l  khổng compact. º thu ữủc kát quÊ ờn ành mụ cừa fetA : t  0g, ta x²t hằ dv(t) dt = ~Av(t) v(t); v(t) 2 `2: 95 NhƠn hai vá vợi v ta cõ 1 2 d dt kv(t)k2 = ( ~Av(t); v(t)) kv(t)k2 = (BBv(t); v(t)) kv(t)k2 = kBv(t)k2 kv(t)k2  kv(t)k2: p dửng Bờ ã Gronwall ta cõ kv(t)k  etkv(0)k; v  do õ ketAk  et; t  0, tực l  nỷa nhõm fetA : t  0g l  ờn ành mụ. Nhữ vêy, giÊ thiát (A*) thọa mÂn. Trữợc khi x²t tợi cĐu trúc cừa hằ (4.32)-(4.35), ta nhưc lÔi vã ở o Haus- dorff trong `2 (xem [10, ành lẵ 4.2]). Gồi Rn : `2 ! `2 l  toĂn tỷ tuyán tẵnh xĂc ành bði Rn(v) = X jij>n viei; trong õ ei = (ij)j2Z. Khi õ  : 2` 2 ! R+ ữủc xĂc ành bði (B) = lim sup n!+1 [sup v2B kRn(v)k] = lim sup n!+1  sup v2B  X jij>n jvij2  1 2  l  ở o Hausdorff trong `2. BƠy giớ ta x²t cĂc giÊ thiát (N1) CĂc h m f1i; f2i : R+  R2 ! R; i 2 Z; liản tửc v  thọa mÂn maxfjf1i(t; y; z)j2; jf2i(t; y; z)j2g  m2(t)(jyj2+jzj2);8(t; ; z) 2 R+R2; trong õ m 2 C(R+;R+) thọa mÂn m(t)  Cm 1 + t+1 vợi Cm > 0: (N2) CĂc h m Iik : R! R, i 2 Z; k 2 N, l  cĂc h m liản tửc v  jIik(y)j  lkjyj; 96 vợi flk : k 2 Ng l  mởt dÂy khổng Ơm thọa mÂn P k2N lk <1. X²t f1; f2 : R+  `2  C([h; 0]; `2)! `2 l  cĂc h m ữủc xĂc ành nhữ sau f1(t; v; w) = (f1i(t; vi; wi((0))))i2Z; f2(t; v; w) = (f2i(t; vi; wi((0))))i2Z: Nhữ vêy f1; f2 l  liản tửc. Hỡn nỳa, tứ (N1) ta cõ kf1(t; v; w)k2 = X i2Z jf1i(t; vi; wi((0)))j2  m2(t) X i2Z (jvij2 + jwi((0))j2) = m2(t)(kvk2 + kw((0))k2  m2(t)(kvk2 + sup s2[h;0] kw(s)k2): Tữỡng tỹ kf2(t; v; w)k2  m2(t)(kvk2 + sup s2[h;0] kw(s)k2): °t F (t; v; w) = [f1(t; v; w); f2(t; v; w)]; v 2 `2; w 2 C([h; 0]; `2); ta cõ kF (t; v; w)k  m(t)(kvk+ kwkh): M°t khĂc, vợi mội (t; v; w) 2 R+ `2C([h; 0]; `2), F (t; v; w) l  mởt têp lỗi, tực l , F l  h m a trà vợi giĂ trà lỗi. Ngo i ra, F (t; v; w)  spanff1(t; v; w); f2(t; v; w)g, tực l  F (t; v; w) l  mởt têp bà ch°n nơm trong khổng gian con hai chiãu cừa `2, do õ F (t; v; w) l  compact. Do f1; f2 liản tửc, h m a trà (v; w) 7! F (t; v; w) õng. iãu n y k²o theo F (t;
;
) l  nỷa liản tửc trản vợi mội t 2 R. Chú ỵ rơng vợi mội u 2 PC0,  2 [0; 1], h m f(t) = f1(t; u(t); u(t (t))) + (1 )f2(t; u(t); u(t (t)));  2 [0; 1] l  o ữủc mÔnh. Vêy, (F)(1)-(F)(3) thọa mÂn. 97 BƠy giớ, ta Ănh giĂ (F (t; V;W )) vợi V  `2;W  C([h; 0]; `2) l  cĂc têp bà ch°n. Ta cõ sup (v;w)2VV kRn[f1(t; v; w)]k = 0@X jij>n jf1i(t; vi; wi((0)))j2 1A 12  m(t) sup (v;w)2VV 0@X jij>n jvij2 + jwi((0))j2 1A 12  m(t) sup (v;w)2VV 0@X jij>n jvij2 1A 12 + 0@X jij>n jwi((0))j2 1A 12   m(t)  sup v2V 0@X jij>n jvij2 1A 12 + sup w2W 0@X jij>n jwi((0))j2 1A 12  = m(t)  sup v2V kRn(v)k+ sup w2W kRn(w((0)))k  : Qua giợi hÔn bĐt ¯ng thực cuối cũng, ta ữủc (f1(t; V;W ))  m(t)  (V ) + (W ((0)))  m(t)(V ) + sup s2[h;0] (W (s))  : lẵ luên tữỡng tỹ cho f2, ta cõ (f2(t; V;W ))  m(t)  (V ) + sup s2[h;0] (W (s))  : Ta cõ F (t; V;W )  coff1(t; V;W ) [ f2(t; V;W )g; nản (F (t; V;W ))   (f1(t; V;W ) [ f2(t; V;W ))  maxf (f1(t; V;W )) ;  (f2(t; V;W ))g  m(t)(V ) + sup s2[h;0] (W (s))  : 98 Nhữ vêy (F)(4) thọa mÂn v  nhữ vêy (F*) cụng ữủc thọa mÂn vợi k = m. Ta x²t Ik : `2 ! `2; k 2 N, xĂc ành bði Ik(v) = (Iik(vi))i2Z: Tứ tẵnh liản tửc cừa Iik suy ra tẵnh liản tửc cừa Ik. Hỡn nỳa, tứ (N2) ta cõ kIk(v)k = X i2Z jIik(vi)j2 ! 1 2  lk X i2Z jvij2 ! 1 2 = lkkvk: Do õ (I)(1) ữủc thọa mÂn. Vợi V  `2 l  mởt têp bà ch°n. Ta cõ sup v2V kRn(Ik(v))k = sup v2V 0@X jij>n jIik(vi)j2 1A 12  lk sup v2V 0@X jij>n jvij2 1A 12 = lk sup v2V kRn(v)k: Qua giợi hÔn bĐt ¯ng thực cuối khi n! +1, ta thu ữủc (Ik(V ))  lk(V ): Nhữ vêy, giÊ thiát (I) thọa mÂn vợi k = lk; k 2 N; vợi iãu kiằn infftk+1 tk : k 2 Ng > 0. ối vợi iãu kiằn khổng cửc bở, x²t h m g : PC0 ! C([h; 0]; `2) xĂc ành bði (g(u)(s))i = NX j=1 cjui(j + s): Tứ õ ta cõ, vợi u; v 2 PC0, kg(u)(s) g(v)(s)k  NX j=1 jcj jku(j + s) v(j + s)k  0@ NX j=1 jcj j 1A sup t2[h;N ] ku(t) v(t)k: 99 iãu n y k²o theo kg(u) g(v)kh  0@ NX j=1 jcj j 1A ku vkPC([h;N ];`2): BĐt ¯ng thực cuối n y cho ta kg(u)kh  0@ NX j=1 jcj j 1A kuk1; h(g(D))  0@ NX j=1 jcj j 1APC(T (D)); T = N ;  0@ NX j=1 jcj j 1A1(D): Do õ (G*) thọa mÂn vợi  =  = PN j=1 jcj j. Cuối cũng, ta ữa ra ữợc lữủng cho tẵch phƠn I(t) = Z t 0 (t s)1kP(t s)km(s)ds: Chú ỵ rơng trong trữớng hủp n y ketAk  1; do õ kP(t)k  1() ; 8t  0. Vêy I(t)  Cm () Z t 2 0 (t s)1 1 + s+1 ds+ Z t t 2 (t s)1 1 + s+1 ds !  Cm ()  t 2 1 Z t 2 0 ds 1 + s+1 + 1 1 + t 2
+1 Z t t 2 (t s)1ds !  Cm ()  J(t) + 1  ; trong õ J(t) =  t 2 1 Z t 2 0 ds 1 + s+1 : Do lim t!0 J(t) = lim t!+1J(t) = 0; 100 ta cõ supt>0 J(t) 0 I(t) < 1. Tứ cĂc iãu kiằn (4.30)-(4.31) thọa mÂn vợi cĂc hằ số Cm; lk; cj nhọ, ta thu ữủc tẵnh ờn ành tiằm cên yáu cừa nghiằm khổng cừa hằ (4.32)-(4.35). 4.6. TRìÍNG HẹP B€I TON èN TRÀ Trong mửc n y, ta x²t mởt trữớng hủp °c biằt cừa b i toĂn (4.1)-(4.3), õ l  khi h m F l  h m ỡn trà, kỵ hiằu l  f . Khi õ, b i toĂn trð th nh CD0 u(t) = Au(t) + f(t; u(t); ut); t 6= tk; tk 2 (0;+1); k 2 ; (4.36)
u(tk) = Ik(u(tk)); (4.37) u(s) + g(u)(s) = '(s); s 2 [h; 0]: (4.38) ối vợi b i toĂn ỡn trà n y, ta chựng minh sỹ tỗn tÔi duy nhĐt cừa nghiằm phƠn r u 2 PC0 vợi cĂc iãu kiằn: (Aa) Nỷa nhõm W (
) sinh bði A l  liản tửc theo chuân v  ờn ành mụ, tực l  tỗn tÔi  > 0 sao cho kW (t)xk MAetkxk; 8t  0; x 2 X: (Fa) f(
; v; w) o ữủc vợi mội v 2 X, f(t;
;
) liản tửc hƯu khưp t 2 R+; f(t; 0; 0) = 0, v  tỗn tÔi k 2 Lp(R+); p > 1 thọa mÂn jjf(t; v1; w1) f(t; v2; w2)jj  k(t)(jjv1 v2jj+ jjw1 w2jjh); t 2 R+; vợi mồi v1; v2 2 X;w1; w2 2 C([h; 0];X). (Ga) g l  mởt h m liản tửc thọa mÂn g(0) = 0 v  tỗn tÔi số khổng Ơm  º jjg(w1) g(w2)jjh  jjw1 w2jj1; vợi mồi w1; w2 2 PC0. 101 ( Ia ) Ik; k 2 ; liản tửc, Ik(0) = 0 v  tỗn tÔi mởt dÂy fkg; k 2  thọa mÂn jjIk(x) Ik(y)jj  kjjx yjj; vợi mồi x; y 2 X: X²t toĂn tỷ nghiằm F trản khổng gian PC0, Ăp dửng nguyản lẵ Ănh xÔ co Banach, ta cõ ành lẵ sau vã sỹ tỗn tÔi v  duy nhĐt nghiằm phƠn r cừa b i toĂn (4.36)-(4.38). ành lẵ 4.4. GiÊ sỷ (A), (Fa), (Ga), (Ia) v  (R) thọa mÂn. Khi õ, b i toĂn (4.36)-(4.38) cõ duy nhĐt nghiằm u 2 PC0, vợi iãu kiằn  + X k2 k  MA + 2 sup t0 Z t 0 (t s)1kP(t s)kk(s)ds < 1: (4.39) Chựng minh. º chựng minh ành lẵ n y, chúng ta s³ sỷ dửng nguyản lẵ Ănh xÔ co Banach. Ưu tiản, ta chựng minh F giỳ bĐt ởng PC0. é Ơy, ta gồi F(u)(t) = S(t)['(0) g(u)(0)] + X 0<tk<t S(t tk)Ik(u(tk)) + Z t 0 (t s)1P(t s)f(s; u(s); us)ds; t > 0: LĐy u 2 PC0 m  R = jjujj1 > 0. Ta s³ chựng minh F(u) 2 PC0, tực l , F(u)(t)! 0, khi t! +1. Vợi  > 0 cho trữợc, tỗn tÔi T1 > 0 m  jju(t)jj  ; 8t > T1; (4.40) jjutjjh = sup 2[h;0] jju(t+ )jj  ;8t > T1 + h: (4.41) M°t khĂc, tứ giÊ thiát P k2 k < +1, tỗn tÔi N0 2 N thọa mÂn X k>N0 k  : 102 Do õ, vợi t > 0, jjF(u)(t)jj  jjS(t)jj(jj'jjh + jjg(u)jjh) + X kN0 jjS(t tk)jj jjIk(u(tk))jj + X k>N0 jjS(t tk)jj jjIk(u(tk))jj + Z t 0 (t s)1jjP(t s)jj jjf(s; u(s))jjds  jjS(t)jj(jj'jjh + R) +R X kN0 jjS(t tk)jjk +RMA X k>N0 k + Z t 0 (t s)1jjP(t s)jj k(s) (jju(s)jj+ jjusjjh)ds = E1(t) + E2(t) + E3(t) trong õ E1(t) = jjS(t)jj(jj'jjh + R); E2(t) = R X kN0 jjS(t tk)jjk +RMA X k>N0 k; E3(t) = Z t 0 (t s)1jjP(t s)jj k(s) (jju(s)jj+ jjusjjh)ds: Tứ giÊ thiát (Aa), tỗn tÔi T2 > 0 thọa mÂn jjS(t)jj  ; jjP(t)jj  ; 8t > T2; vẳ vêy E1(t)  (1 + )R; 8t > T2: (4.42) Ngo i ra, ta cõ E2(t)   X kN0 k +MA  R; 8t > T2 + tN0 : (4.43) 103 BƠy giớ, ta x²t E3(t), vợi t > T1 + h ta cõ E3(t) = Z T1+h 0 + Z t T1+h  (t s)1jjP(t s)jj k(s) (jju(s)jj+ jjusjjh)ds  2R Z T1+h 0 (t s)1jjP(t s)jj k(s)ds + 2 Z t T1+h (t s)1jjP(t s)jj k(s)ds Vẳ vêy, E3(t)  2R Z T1+h 0 (t s)1 k(s)ds + 2 Z t T1+h (t s)1jjP(t s)jj k(s)ds vợi t > T2 + T1 + h. Khi õ, Ăp dửng bĐt ¯ng thực Holder, ta cõ E3(t)  2R Z T1+h 0 (t s)(1)p0ds 1=p0Z T1+h 0 (k(s))pds 1=p + 2 Z t T1+h (t s)1jjP(t s)jj k(s)ds   2RC(t) jjkjjLp(R+) + 1   (4.44) vợi t > T2 + T1 + h, trong õ p0 = p p 1 , C(t) = n 1 ( 1)p0 + 1 h t(1)p 0+1 (t T1 h)(1)p0+1 io1=p0 ; án Ơy, ta sỷ dửng tẵnh chĐt 2 Z t T1+h (t s)1jjP(t s)jj k(s)ds < 1 tứ (4.39). Kát hủp (4.42), (4.43) v  (4.44) cho ta jjF(u)(t)jj  C vợi t > maxfT2 + T1 + h; T2 + tN0g, trong õ C = (1 + )R+  X kN0 k +MA  R+ 2RC(t) jjkjjLp(R+) + 1  (1 + )R+ X k2 k +MA  R+ 2RC(t) jjkjjLp(R+) + 1: 104 Vợi C(t), tứ p > 1 ; p0 < 1 1  , ta thĐy 0 < ( 1)p 0 + 1 < 1. Tứ õ t(1)p 0+1 (t T1 h)(1)p0+1 = t(1)p0+1 h 1  1 T1 + h t (1)p0+1i s [( 1)p0 + 1](T1 + h)t(1)p0 khi t!1: Do õ C(t) l  bà ch°n, vẳ vêy C cụng bà ch°n. Tứ õ suy ra F(PC0)  PC0. Nhiằm vử cỏn lÔi cừa chúng ta l  chựng minh F l  Ănh xÔ co. Thêt vêy, vợi u; v 2 PC0, ta cõ jjF(u)(t)F(v)(t)jj  jjS(t)jj jjg(u) g(v)jjh + X 0<tk<t jjS(t tk)jj jjIk(u(tk)) Ik(v(tk))jj + Z t 0 (t s)1jjP(t s)jj jjf(s; u(s); us) f(s; v(s); vs)jjds MA jju vjj1 +  MA X 0<tk<t k  jju vjj1 + 2 Z t 0 (t s)1jjP(t s)jj k(s)ds  jju vjj1; nhớ cĂc giÊ thiát (Fa), (Ga) v  (Ia). Do õ jjF(u)F(v)jj1  `jju vjj1; vợi ` =   + X k2 k  MA + 2 sup t0 Z t 0 (t s)1kP(t s)kk(s)ds < 1: Vêy, ta cõ kát quÊ cƯn chựng minh. Kát luên Chữỡng 4 Trong chữỡng n y chúng tổi nghiản cựu tẵnh ờn ành yáu cho lợp bao h m thực vi phƠn bêc phƠn số cõ xung, trạ hỳu hÔn vợi iãu kiằn khổng cửc bở. CĂc kát quÊ Ôt ữủc bao gỗm: 105 1) Chựng minh sỹ tỗn tÔi nghiằm trản nỷa trửc cừa b i toĂn tờng quĂt (ành lẵ 4.1). 2) Chựng minh tẵnh ờn ành tiằm cên yáu cừa nghiằm khổng (ành lẵ 4.3). 3) p dửng kát quÊ trứu tữủng thu ữủc, chựng minh tẵnh ờn ành yáu cừa mởt hằ vi phƠn lữợi (Mửc 4.5). 4) Trong trữớng hủp b i toĂn ỡn trà, chựng minh sỹ tỗn tÔi v  duy nhĐt nghiằm phƠn r (ành lẵ 4.4). Theo sỹ hiºu biát cừa tĂc giÊ, cĂc kát quÊ n y l  nhỳng nghiản cựu Ưu tiản vã tẵnh ờn ành cho lợp b i toĂn dÔng (4.1)-(4.3). CĂc kÿ thuêt ữợc lữủng tẵch phƠn bêc phƠn số v  ữợc lữủng theo ở o khổng compact cõ thº sỷ dửng º nghiản cựu tẵnh ờn ành nghiằm cho nhiãu lợp b i toĂn theo hữợng sỷ dửng lỵ thuyát iºm bĐt ởng. 106 K˜T LUŠN V€ KI˜N NGHÀ 1. CĂc kát quÊ Ôt ữủc Trong luên Ăn n y chúng tổi  nghiản cựu dĂng iằu tiằm cên cừa mởt số hằ vi phƠn a trà trong khổng gian Banach tờng quĂt. Luên Ăn  Ôt ữủc cĂc kát quÊ sau:  ối vợi lợp bao h m thực vi phƠn cõ trạ hỳu hÔn m  phƯn tuyán tẵnh sinh ra nỷa nhõm tẵch phƠn: Chựng minh tẵnh giÊi ữủc to n cửc v  sỹ tỗn tÔi têp hút to n cửc cừa nỷa dỏng a trà sinh bði b i toĂn.  ối vợi lợp bao h m thực vi phƠn dÔng a diằn, phƯn tuyán tẵnh sinh ra nỷa nhõm tẵch phƠn: Chựng minh ữủc sỹ tỗn tÔi nghiằm ối tuƯn ho n.  ối vợi lợp bao h m thực vi phƠn bêc phƠn số, cõ xung, vợi iãu kiằn khổng cửc bở v  trạ hỳu hÔn: Chựng minh ữủc tẵnh giÊi ữủc trản nỷa trửc v  tẵnh ờn ành tiằm cên yáu. Trong trữớng hủp °c biằt, h m phi tuyán ỡn trà v  thọa mÂn iãu kiằn Lipschitz, chựng minh ữủc sỹ tỗn tÔi v  duy nhĐt nghiằm phƠn rÂ. 2. Kián nghà mởt số vĐn ã nghiản cựu tiáp theo Bản cÔnh cĂc kát quÊ  Ôt ữủc trong luên Ăn, mởt số vĐn ã mð liản quan cƯn ữủc tiáp tửc nghiản cựu:  Nghiản cựu dĂng iằu tiằm cên (theo cĂch tiáp cên cừa lẵ thuyát têp hút ho°c lẵ thuyát ờn ành) cừa mởt số lợp bao h m thực vi phƠn vợi trạ bián 107 thiản ho°c trạ vổ hÔn cũng vợi cĂc vƯn ã liản quan nhữ tẵnh chẵnh qui cừa nghiằm, tẵnh trỡn cừa têp hút, tẵnh ờn ành trong thới gian hỳu hÔn cừa nghiằm.  Nghiản cựu sỹ tỗn tÔi cừa cĂc lợp nghiằm °c biằt nhữ nghiằm tuƯn ho n, ối tuƯn ho n, nghiằm tối ữu cừa mởt số lợp bao h m thực vi phƠn nỷa tuyán tẵnh khổng cõ cĐu trúc a diằn. 108 DANH MệC CặNG TRœNH KHOA HÅC CếA TC GIƒ LI–N QUAN ˜N LUŠN N 1) T.D. Ke and D. Lan (2014), Decay integral solutions for a class of impul- sive fractional differential equations in Banach spaces, Fractional Calcu- lus and Applied Analysis, Volume 17, Number 1, 96-121. 2) T.D. Ke and D. Lan (2014), Global attractor for a class of functional differential inclusions with HilleYosida operators, Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, Volume 103, 7286 3) T.D. Ke and D. Lan, Generalized Cauchy problem governed by fractional differential inclusions on the half-line, submitted 4) T.D. Ke and D. Lan, Existence of anti-periodic solutions for a class of polytope differential inclusions with Hille-Yosida operators, submitted 109 T i liằu tham khÊo [1] M. Adimy, H. Bouzahir and K. Ezzinbi (2002), Local existence and sta- bility for some partial functional differential equations with infinite delay, Nonlinear Anal. 48, 323-348. [2] S. Adly and L.B. Khiet (2014), Stability and invariance results for a class of non-monotone set-valued Lur'e dynamical systems, Appl. Anal. 93, no. 5, 10871105. [3] R.R. Akhmerov, M.I. Kamenskii, A.S. Potapov, A.E. Rodkina and B.N. Sadovskii (1992), Measures of Noncompactness and Condensing Opera- tors, Birkhauser, Boston-Basel-Berlin. [4] M. Alia and K. Ezzinbi (2008), Strong solutions for some nonlinear partial functional differential equations with infinite delay, Electron. J. Differen- tial Equations 91, 1-19. [5] C.T. Anh and T.D. Ke (2014), On nonlocal problems for retarded frac- tional differential equations in Banach spaces, Fixed Point Theory 15, No.2, 373-392. [6] Anthony W. Knapp (2005), Basic Real Analysis, Birkhauser, Boston- Basel-Berlin. [7] W. Arendt (1987), Resolvent positive operators, Proc. Lond. Math. Soc. (3) 54 (2), 321349. 110 [8] W. Arendt, C.J.K. Batty, M. Hieber and F. Neubrander (2001), Vector- valued Laplace Transforms and Cauchy Problems, in: Monographs in Mathematics, vol. 96, Birkhauser Verlag, Basel. [9] J.P. Aubin and A. Cellina (1984), Differential Inclusions. Set-valued Maps and Viability Theory, Springer-Verlag, Berlin. [10] J. M. Ayerbe Toledano, T. Domẵnguez Benavides and G. Lõpez Acedo (1997),Measures of noncompactness in metric fixed point theory. Operator Theory: Advances and Applications, 99. Birkhauser Verlag, Basel. [11] J.M. Ball (1997), Continuity properties and global attractor of generalized semiflows and the Navier-Stokes equations, J. Nonlinear Sci. 7, 475-502. [12] J.M. Ball (2004), Global attractor for damped semilinear wave equations, Discrete Contin. Dyn. Syst. 10, 31-52. [13] M.T. Batchelor, R.J. Baxter, M.J. O'Rourke and C.M. Yung (1995), Exact solution and interfacial tension of the six-vertex model with anti-periodic boundary conditions, Journal of Physics A: Math. Theo. 28, 2759-2770. [14] M. Benchohra, J. Henderson and S. Ntouyas (2006), Impulsive Differ- ential Equations and Inclusions, in: Contemporary Mathematics and its Applications, Vol. 2. Hindawi, New York. [15] H. Brezis (2011), Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differ- ential Equations, Universitext. Springer, New York. [16] L.L. Bonilla and F.J. Higuera (1995), The onset and end of the Gunn effect in extrinsic semiconductors, SIAM J. Appl. Math. 55, 1625-1649 [17] D. Bothe (1998), Multivalued perturbations of m-accretive differential in- clusions, Israel J. Math 108, 109-138. 111 [18] H. Bouzahir, H. You and R. Yuan (2011), Global attractor for some partial functional differential equations with infinite delays, Funkcialaj Ekvacioj 54, 139-156. [19] T.A. Burton (2006), Stability by Fixed Point Theory for Functional Dif- ferential Equations, Dover Publications, New York. [20] L. Byszewski (1991), Theorems about the existence and uniqueness of solutions of a semilinear evolution nonlocal Cauchy problem, J. Math. Anal. Appl. 162, 494-505. [21] T. Caraballo and P. E. Kloeden (2009), Non-autonomous attractor for integro-differential evolution equations, Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. S 2, 17-36. [22] T. Caraballo, P. Marin-Rubio and J.C. Robinson (2003), A comparision between to theories for multi-valued semiflows and their asymptotic be- haviour, Set-Valued Analysis 11, 297-322. [23] T. Caraballo, M. J. Garrido-Atienza, B. Schmalfuss and J. Valero (2008), Non-autonomous and random attractors for delay random semilinear equations without uniqueness, Discrete Contin. Dyn. Syst. 21, 415-443. [24] T. Caraballo, J. A. Langa, V. S. Melnik and J. Valero(2003), Pullback attractors of nonautonomous and stochastic multivalued dynamical sys- tems, Set-Valued Analysis 11, 153-201. [25] A. Cernea (2012), On the existence of mild solutions for nonconvex frac- tional semilinear differential inclusions, Electron. J. Qual. Theory Differ. Equ. 64, 1-15. [26] N.M. Chuong and T.D. Ke (2012), Generalized Cauchy problem involving nonlocal and impulsive conditions, J. Evol. Equ. 12, 367-392. 112 [27] V.V. Chepyzhov and M.I. Vishik (2002), Attractors for Equations of Math- ematics Physics, American Mathematical Society Colloquium Publica- tions, Vol. 49, American Mathematical Society, Providence. [28] V.V. Chepyzhov and M.I. Vishik (1997), Evolution equations and their trajectory attractors, J. Math. Pures Appl. 76, 913-964. [29] Y. Chen, D. O'Regan and R.P. Agarwal (2012), Anti-periodic solutions for semilinear evolution equations in Banach spaces, J. Appl. Math. Comput. 38, 6370. [30] M. Coti Zelati and P. Kalita (2015), Minimality properties of set-valued processes and their pullback attractors, SIAM J. Math. Anal. 47, 1530- 1561. [31] G. Da Prato and E. Sinestrari (1987), Differential Operators with Non- Dense Domain, Ann. Sc. Norm. Pisa. 14, 285-344. [32] K. Deimling (1992), Multivalued differential equations, Walter de Gruyter & Co., Berlin. [33] J. Diestel, W. M. Ruess and W. Schachermayer (1993), Weak compactness in Ll(;X), Proc. Amer. Math. Soc. 118, 447-453. [34] K.-J. Engel and R. Nagel (2000), One-parameter Semigroups for Lin- ear Evolution Equations, with contributions by S. Brendle, M. Campiti, T. Hahn, G. Metafune, G. Nickel, D. Pallara, C. Perazzoli, A. Rhandi, S. Romanelli and R. Schnaubelt. Graduate Texts in Mathematics, 194. Springer-Verlag, New York. [35] K. Ezzinbi and S. Lalaoui Rhali (2003), Positivity and stability for some partial functional differential equations, NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl. 10, 15-32. 113 [36] A. F. Filippov (1988), Differential Equations with Discontinuous Right- hand Sides, translated from the Russian. Mathematics and its Applica- tions (Soviet Series), Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht. [37] L. Gõrniewicz and M. Lassonde (1994), Approximation and fixed points for compositions of R-maps, Topology Appl. 55 (3), 239-250. [38] A. Haraux (1989), Anti-periodic solutions of some nonlinear evolution equations, Manuscripta Math. 63, 479-505. [39] L. Hormander (1960), Estimates for translation invariance operators in Lp spaces, Acta Math. 104, 93-139. [40] S. Ji and S. Wen (2010), Nonlocal Cauchy Problem for Impulsive Differ- ential Equations in Banach Spaces, Int. J. Nonlinear Sci. 10, 88-95. [41] P. Kalita and G. Lukaszewicz (2014), Global attractors for multivalued semiflows with weak continuity properties, Nonlinear Anal. 101, 124-143. [42] M. Kamenskii, V. Obukhovskii and P. Zecca (2001), Condensing Multi- valued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces, in: de Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications, vol. 7, Walter de Gruyter, Berlin, New York. [43] H. Kellerman and M. Hieber (1989), Integrated semigroup, J. Funct. Anal. 84, 160-180. [44] A.A. Kilbas, H.M. Srivastava and J.J. Trujillo (2006), Theory and Appli- cations of Fractional Differential Equations, Elsevier, Amsterdam. [45] D.S. Kulshreshtha, J.Q. Liang and H.J.W. Muller-Kirsten (1993), Fluc- tuation equations about classical field configurations and supersymmetric quantum mechanics, Ann. Physics. 225, 191-211. 114 [46] V. Lakshmikantham, D.D. Bainov and P. S. Simeonov (1989), Theory of impulsive differential equations, World Scientific Publishing Co., Inc., Teaneck, NJ. [47] J.H. Liu (2003), A remark on the mild solutions of non-local evolution equations, Semigroup Forum 66, 63-67. [48] H. Liu and J.-C. Chang (2009), Existence for a class of partial differential equations with nonlocal conditions, Nonlinear Anal. 70, 3076-3083. [49] Z.H. Liu (2010), Anti-periodic solutions to nonlinear evolution equations, J. Funct. Anal. 258, 2026-2033. [50] Q. Liu (2011), Existence of anti-peroidic mild solution for semilinear evo- lution equation, J. Math. Anal. Appl. 377 (1), 110-120. [51] J.H. Liu et al (2015), Existence of anti-periodic mild solutions to semilinear nonautonomous evolution equations, J. Math. Anal. Appl., [52] V.S. Melnik and J. Valero (1998), On attractors of multivalued semi-flows and differential inclusions, Set-Valued Analysis 6, 83-111. [53] V.S. Melnik and J. Valero (2000), On global attractors of multivalued semiprocesses and nonautonomous evolution inclusions, Set-Valued Anal- ysis 8, 375-403. [54] K. S. Miller and B. Ross (1993), An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations, A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York. [55] F. Neubrander (1988), Integrated semigroups and their applications to the abstract Cauchy problem, Pacific J. Math. 135 (1), 111155. 115 [56] G.M. N'Gu²r²kata and V. Valmorin (2012), Antiperiodic solutions of semi- linear integrodifferential equations in Banach spaces, Appl. Math. Com- put. 218, 1111811124. [57] G.M. N'Gu²r²kata (2009), A Cauchy problem for some fractional abstract differential equation with nonlocal conditions, Nonlinear Anal. 70, 1873- 1876. [58] P.H.A. Ngoc (2015), Novel criteria for exponential stability of nonlinear differential systems with delay, IEEE Trans. Automat. Control. 60, no. 2, 485-490. [59] V. Obukhovskii and J.-C. Yao (2010), On impulsive functional differential inclusions with Hille-Yosida operators in Banach spaces, Nonlinear Anal. 73, 1715-1728. [60] H. Okochi (1988), On the existence of periodic solutions to nonlinear abstract parabolic equations, J. Math. Soc. Japan. 40, 541553. [61] H. Okochi (1990), On the existence of anti-periodic solutions to a nonlinear evolution equation associated with odd subdifferential operators, J. Funct. Anal. 91, 246258. [62] H. Okochi (1990), On the existence of anti-periodic solutions to nonlin- ear parabolic equations in noncylindrical domains, Nonlinear Anal. 14, 771783 [63] A. Pazy (1983), Semigroups of Linear Operators and Applications to Par- tial Differential Equations, Springer-Verlag, New York. [64] I. Podlubny (1999), Fractional Differential Equations. An Introduction to Fractional Derivatives, Fractional Differential Equations, to Methods of Their Solution and Some of Their Applications, Mathematics in Science and Engineering. 198. Sandiego, CA: Academic Press. 116 [65] G. Raugel (2002), Global Attractors in Partial Differential Equations, In Handbook of dynamical systems, Vol. 2, pp. 885-892, North - Holland, Amsterdam. [66] R. Sakthivel, R. Ganesh and S.M. Anthoni (2013), Approximate controlla- bility of fractional nonlinear differential inclusions, Appl. Math. Comput. 225, 708-717. [67] T.I. Seidman (1987), Invariance of the reachable set under nonlinear per- turbations, SIAM J. Control Optim. 25 (5), 1173-1191. [68] R.Schnaubelt (2001), Asymptotically autonomous parabolic evolution equations, J. Evol. Equ. 1, 1937. [69] H.B. Stewart (1974), Generation of analytic semigroups by strongly ellip- tic operators, Trans. Amer. Math. Soc. 199, 141-162. [70] Horst R. Thieme (1990), Semiflows generated by Lipschitz perturbations of non-densely defined operators, Differential Integral Equations 3(6), 1035-1066. [71] Horst R. Thieme (1990), Integrated semigroups and integrated solutions to abstract cauchy problems, J. Math. Anal. Appl. 152, 416447. [72] A. Tolstonogov (2000), Differential Inclusions in a Banach Space, Trans- lated from the 1986 Russian original and revised by the author. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht. [73] J. Valero (2000), Finite and infinite-dimensional attractor of multivalued reaction-diffusion equations, Acta Math. Hungar. 88:3, 239-258. [74] J. Valero (2001), Attractors of parabolic equations without uniqueness, J. Dynam. Differential Equations. 13, 711-744. 117 [75] I.I. Vrabie (2003), C0-semigroups and applications, North-Holland Math- ematics Studies, 191. North-Holland Publishing Co., Amsterdam. [76] H. You and R. Yuan (2010), Global attractor for some partial functional differential equations with finite delay, Nonlinear Anal. 72, 3566-3574. [77] W. Wang (2010), Generalized Hanalay inequality for stability of nonlinear neutral functional differential equations, J. Ineq. Appl., ArtID 475019, 16 pages. [78] R. N. Wang, D.-H. Chena and T.-J. Xiao (2012), Abstract fractional Cauchy problems with almost sectorial operators, J. Differential Equa- tions 252, 202-235. [79] Y. Wang (2010), Antiperiodic solutions for dissipative evolution equations, Mathematical and Computer Modelling 51, 715-721. [80] R.N. Wang, Q.M. Xiang and P.X. Zhu (2014), Existence and approxi- mate controllability for systems governed by fractional delay evolution inclusions, Optimization 63, 1191-1204. [81] R. N. Wang and Q. H. Ma (2014), Some new results for multi-valued fractional evolution equations, Appl. Math. Comput. 257, 285-294. [82] R.N. Wang, P.X. Zhu and Q.H. Ma (2015), Multi-valued nonlinear pertur- bations of time fractional evolution equations in Banach spaces, Nonlinear Dyn. 80, 1745-1759. [83] Y. Zhou and F. Jiao (2010), Nonlocal Cauchy problem for fractional evo- lution equations, Nonlinear Anal.: Real World Applications 11, 4465-4475. [84] Y. Zhou and F. Jiao (2010), Existence of mild solutions for fractional neutral evolution equations, Comp. Math. Appl. 59 (2010), 1063-1077.