Về ổn định nghiệm của các bất đẳng thức biến phân và ứng dụng

Mở đầu Mục tiêu của đề tài là xét tính ổn định theo nghĩa nửa liên tục các bài toán tựa bất đẳng thức biến phân có và không có tham số, đưa ra một số các ứng dụng vào mạng giao thông và bài toán trò chơi có nhiều người chơi. Nội dung của đề tài xét các bài toán tựa bất đẳng thức biến phân, mô hình mạng giao thông tải năng mở rộng. Mặt khác, đề tài khảo sát ổn định theo nghĩa nửa liên tục cho cân bằng Nash Pareto của bài toán trò chơi đa mục tiêu. Nội dung thuyết minh đã đăng ký của đề tài là hệ thống lại các kết quả gần đây về ổn định nghiệm của các bất đẳng thức biến phân và nghiên cứu ứng dụng vào các bài toán khác. Các kết quả đạt được của đề tài không những hoàn thành mục tiêu như đã đăng ký mà còn đưa ra được một số kết quả mới về ổn định nghiệm của các bất đẳng thức biến phân (phần này làm thêm và chưa kịp đăng ký trong khi thuyết minh đề tài). Về ứng dụng, đề tài xét hai bài toán là bài toán cân bằng giao thông và bài toán trò chơi đa mục tiêu có và không có tham số. 2. Giới thiệu Tykhonov (1966) xét tính Tykhonov well-posedness cho bài toán tối ưu với ý nghĩa tồn tại duy nhất nghiệm cho bài toán min, mỗi dãy trong tập nghiệm hội tụ về nghiệm đúng. Trong thực hành có những bài toán không chỉ tồn tại duy nhất nghiệm, một số tác giả đã xét tính wellposed tổng quát hơn cho tập nghiệm khác rỗng và mỗi dãy con trong tập nghiệm hội tụ về nghiệm đúng. Bắt đầu bởi Smith (1979), mối quan hệ của bất đẳng thức biến phân và bài toán mạng giao thông đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả, có thể tham khảo các bài viết của Giannessi, Maugeri, De Luca. Gần đây các tác giả Khanh-Luu, Khanh-Anh xét mối quan hệ của tựa bất đẳng thức biến phân và mạng giao thông có tham số, tham khảo trong [4], [5], [10]. Trong thực tế có rất nhiều bài toán liên quan đến tải năng mở rộng, do đó việc đưa ra mô hình bài toán mạng giao thông có tải năng mở rộng và đưa ra các giải pháp để thiết kế mô hình cho phù hợp với nhu cầu của người sử dụng là rất cần thiết. Trong bài viết này, chúng tôi thiết lập mô hình mạng giao thông có tải năng mở rộng. Xét mối quan hệ giữa dòng cân bằng và tập nghiệm của bài tóan tựa bất đẳng thức biến phân tương ứng, đồng thời xét tính wellposedness cho tập nghiệm của bài toán. Năm 1944, John von Neumann và Oskar Morgenstern nghiên cứu bài toán trò chơi có nhiều người chơi. Từ đó đến nay lý thuyết trò chơi đã được nhiều nhà toán học quan tâm với nhiều kết quả quan trọng, nó đóng góp lớn trong khi phân tích các bài toán kinh tế, dẫn đến các lời giải khá thú vị và đưa ra những gợi ý về chiến lược trong kinh doanh. Bài viết khảo sát tính ổn định yếu của bài toán trò chơi có nhiều người chơi (có và không có tham số) Mục lục . 1. Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2. Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3. Các định nghĩa và khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4. Nửa liên tục trên của các tập nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 5. Nửa liên tục dưới của các tập δ-nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 6. Well-Posed của các bài toán tựa bất đẳng thức biến phân có và không có tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 7. Các ứng dụng vào ổn định dòng cân bằng của mạng giao thông . . . . . . . 18 8. Về ổn định cân bằng Nash Pareto của bài toán trò chơi đa mục tiêu . . . 27 Kết luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Tóm tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

pdf45 trang | Chia sẻ: lvcdongnoi | Ngày: 26/01/2013 | Lượt xem: 1864 | Lượt tải: 1download
Bạn đang xem nội dung tài liệu Về ổn định nghiệm của các bất đẳng thức biến phân và ứng dụng, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Môc lôc . 1. Më ®Çu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2. Giíi thiÖu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3. C¸c ®Þnh nghÜa vµ kh¸i niÖm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4. Nöa liªn tôc trªn cña c¸c tËp nghiÖm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 5. Nöa liªn tôc d­íi cña c¸c tËp δ-nghiÖm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 6. Well-Posed cña c¸c bµi to¸n tùa bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n cã vµ kh«ng cã tham sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 7. C¸c øng dông vµo æn ®Þnh dßng c©n b»ng cña m¹ng giao th«ng . . . . . . . 18 8. VÒ æn ®Þnh c©n b»ng Nash Pareto cña bµi to¸n trß ch¬i ®a môc tiªu . . . 27 KÕt luËn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37 Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Tãm t¾t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1 1. Më ®Çu Môc tiªu cña ®Ò tµi lµ xÐt tÝnh æn ®Þnh theo nghÜa nöa liªn tôc c¸c bµi to¸n tùa bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n cã vµ kh«ng cã tham sè, ®­a ra mét sè c¸c øng dông vµo m¹ng giao th«ng vµ bµi to¸n trß ch¬i cã nhiÒu ng­êi ch¬i. Néi dung cña ®Ò tµi xÐt c¸c bµi to¸n tùa bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n, m« h×nh m¹ng giao th«ng t¶i n¨ng më réng. MÆt kh¸c, ®Ò tµi kh¶o s¸t æn ®Þnh theo nghÜa nöa liªn tôc cho c©n b»ng Nash Pareto cña bµi to¸n trß ch¬i ®a môc tiªu. Néi dung thuyÕt minh ®· ®¨ng ký cña ®Ò tµi lµ hÖ thèng l¹i c¸c kÕt qu¶ gÇn ®©y vÒ æn ®Þnh nghiÖm cña c¸c bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n vµ nghiªn cøu øng dông vµo c¸c bµi to¸n kh¸c. C¸c kÕt qu¶ ®¹t ®­îc cña ®Ò tµi kh«ng nh÷ng hoµn thµnh môc tiªu nh­ ®· ®¨ng ký mµ cßn ®­a ra ®­îc mét sè kÕt qu¶ míi vÒ æn ®Þnh nghiÖm cña c¸c bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n (phÇn nµy lµm thªm vµ ch­a kÞp ®¨ng ký trong khi thuyÕt minh ®Ò tµi). VÒ øng dông, ®Ò tµi xÐt hai bµi to¸n lµ bµi to¸n c©n b»ng giao th«ng vµ bµi to¸n trß ch¬i ®a môc tiªu cã vµ kh«ng cã tham sè. 2. Giíi thiÖu Tykhonov (1966) xÐt tÝnh Tykhonov well-posedness cho bµi to¸n tèi ­u víi ý nghÜa tån t¹i duy nhÊt nghiÖm cho bµi to¸n min, mçi d·y trong tËp nghiÖm héi tô vÒ nghiÖm ®óng. Trong thùc hµnh cã nh÷ng bµi to¸n kh«ng chØ tån t¹i duy nhÊt nghiÖm, mét sè t¸c gi¶ ®· xÐt tÝnh wellposed tæng qu¸t 2 h¬n cho tËp nghiÖm kh¸c rçng vµ mçi d·y con trong tËp nghiÖm héi tô vÒ nghiÖm ®óng. B¾t ®Çu bëi Smith (1979), mèi quan hÖ cña bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n vµ bµi to¸n m¹ng giao th«ng ®· ®­îc nghiªn cøu bëi nhiÒu t¸c gi¶, cã thÓ tham kh¶o c¸c bµi viÕt cña Giannessi, Maugeri, De Luca. GÇn ®©y c¸c t¸c gi¶ Khanh-Luu, Khanh-Anh xÐt mèi quan hÖ cña tùa bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n vµ m¹ng giao th«ng cã tham sè, tham kh¶o trong [4], [5], [10]. Trong thùc tÕ cã rÊt nhiÒu bµi to¸n liªn quan ®Õn t¶i n¨ng më réng, do ®ã viÖc ®­a ra m« h×nh bµi to¸n m¹ng giao th«ng cã t¶i n¨ng më réng vµ ®­a ra c¸c gi¶i ph¸p ®Ó thiÕt kÕ m« h×nh cho phï hîp víi nhu cÇu cña ng­êi sö dông lµ rÊt cÇn thiÕt. Trong bµi viÕt nµy, chóng t«i thiÕt lËp m« h×nh m¹ng giao th«ng cã t¶i n¨ng më réng. XÐt mèi quan hÖ gi÷a dßng c©n b»ng vµ tËp nghiÖm cña bµi tãan tùa bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n t­¬ng øng, ®ång thêi xÐt tÝnh wellposedness cho tËp nghiÖm cña bµi to¸n. N¨m 1944, John von Neumann vµ Oskar Morgenstern nghiªn cøu bµi to¸n trß ch¬i cã nhiÒu ng­êi ch¬i. Tõ ®ã ®Õn nay lý thuyÕt trß ch¬i ®· ®­îc nhiÒu nhµ to¸n häc quan t©m víi nhiÒu kÕt qu¶ quan träng, nã ®ãng gãp lín trong khi ph©n tÝch c¸c bµi to¸n kinh tÕ, dÉn ®Õn c¸c lêi gi¶i kh¸ thó vÞ vµ ®­a ra nh÷ng gîi ý vÒ chiÕn l­îc trong kinh doanh. Bµi viÕt kh¶o s¸t tÝnh æn ®Þnh yÕu cña bµi to¸n trß ch¬i cã nhiÒu ng­êi ch¬i (cã vµ kh«ng cã tham sè), ®­a ra kh¸i niÖm wellposed cho c©n b»ng Nash ®ång thêi më réng mét 3 vµi kÕt qu¶ ®· biÕt tr­íc ®ã, tham kh¶o trong [1,3,4,5]. 3. C¸c ®Þnh nghÜa vµ kh¸i niÖm Cho U,X vµ Y lµ c¸c kh«ng gian Banach thùc. A ⊂ X lµ tËp låi compact kh¸c rçng vµ C ⊂ Y lµ nãn låi ®ãng cã phÇn trong kh¸c rçng. KÝ hiÖu C¯ := Y \ − intC vµ BX , BY lµ c¸c qu¶ cÇu ®¬n vÞ ®ãng cña X, Y , t­¬ng øng. XÐt K : U × A → 2A , T : U × A → 2L(X,Y ) lµ c¸c ¸nh x¹ ®a trÞ (L(X, Y ) chØ kh«ng gian c¸c ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc tõ X vµo Y ). XÐt c¸c bµi to¸n tùa bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n sau: Víi mçi u ∈ U , (QV I)u : T×m x¯ ∈ K(u, x¯),∀y ∈ K(u, x¯),∃t¯ ∈ T (u, x¯), 〈t¯, y − x¯〉 ∈ C¯; (MQV I)u : T×m x¯ ∈ K(u, x¯),∃t¯ ∈ T (u, x¯),∀y ∈ K(u, x¯), 〈t¯, y − x¯〉 ∈ C¯; (SQV I)u : T×m x¯ ∈ K(u, x¯),∀t¯ ∈ T (u, x¯),∀y ∈ K(u, x¯), 〈t¯, y − x¯〉 ∈ C¯. Ta kÝ hiÖu c¸c tËp nghiÖm t­¬ng øng lµ Q00(u),M 0 0 (u), S 0 0(u). NÕu bµi to¸n kh«ng cã tham sè u, ta kÝ hiÖu ®¬n gi¶n lµ (QV I), (MQV I), (SQV I) vµ còng kÝ hiÖu c¸c tËp nghiÖm t­¬ng øng Q00,M 0 0 , S 0 0 . Néi dung ®Ò tµi lµ xÐt æn ®Þnh c¸c tËp nghiÖm nªn ta gi¶ thiÕt c¸c tËp nghiÖm nãi trªn kh¸c rçng. XÐt bµi to¸n kh«ng tham sè (MQV I). §Þnh nghÜa 1. a. D·y {xn} ⊂ A gäi lµ xÊp xØ d¹ng I nÕu ∃εn → 0+, xn ∈ K(xn),∃tn ∈ T (xn), ∀y ∈ K(xn), 〈tn, y − xn〉 ∈ εnBY + C¯; (1) 4 b. D·y {xn} ⊂ A gäi lµ xÊp xØ d¹ng II nÕu thay (1) bëi 〈tn, y−xn〉+εnBY ⊂ C¯. §Þnh nghÜa 2. bµi to¸n (MQV I) ®­îc gäi lµ wellposed d¹ng I (t­¬ng øng, d¹ng II) nÕu (a) M 00 6= ∅; (b) Víi mçi d·y xÊp xØ d¹ng I (t­¬ng øng, d¹ng II) cã d·y con héi tô tíi M 00 . XÐt bµi to¸n cã tham sè (MQV I)u §Þnh nghÜa 3. a. Cho d·y un → u, D·y {xn} ⊂ A gäi lµ xÊp xØ øng víi un d¹ng I nÕu ∃εn → 0+, xn ∈ K(un, xn),∃tn ∈ T (un, xn),∀y ∈ K(un, xn), 〈tn, y − xn〉 ∈ εnBY + C¯; (2) b. D·y {xn} ⊂ A gäi lµ xÊp xØ d¹ng II nÕu thay (2) bëi 〈tn, y−xn〉+εnBY ⊂ C¯. §Þnh nghÜa 4. bµi to¸n (MQV I)u ®­îc gäi lµ wellposed d¹ng I (t­¬ng øng, d¹ng II) t¹i u¯ nÕu (a) M 00 (u¯) 6= ∅; (b) Víi mçi un → u¯ vµ mçi d·y xÊp xØ d¹ng I (t­¬ng øng, d¹ng II) øng víi un lu«n cã d·y con héi tô tíi phÇn tö cña M 0 0 (u¯). Ta còng ®Þnh nghÜa c¸c kh¸i niÖm t­¬ng tù cho c¸c bµi to¸n (QV I) vµ (SQV I). 5 XÐt æn ®Þnh cña c¸c tËp nghiÖm, Ta ®Æt tõ mçi u¯ ∈ U, ε ≥ 0, Q00(u¯) = {x ∈ K(u, x), ∀x ∈ K(u, x), ∃t¯ ∈ T (u, x), 〈t¯, x− x〉 ∈ C¯}; Q01(u¯, ε) = {x ∈ K(u, x), ∀x ∈ K(u, x), ∃t¯ ∈ T (u, x), 〈t¯, x− x〉 ∈ εBY + C¯}; M 00 (u¯) = {x ∈ K(u, x), ∃t¯ ∈ T (u, x), ∀x ∈ K(u, x): 〈t¯, x− x〉 ∈ C¯}; M 01 (u¯, ε) = {x ∈ K(u, x), ∃t¯ ∈ T (u, x), ∀x ∈ K(u, x¯): 〈t¯, x− x〉 ∈ εBY + C¯}. Ta kÝ hiÖu Q00, Q 1 1(ε), M 0 0 ,M 1 1 (ε) cho tr­êng hîp kh«ng cã tham sè u vµ còng ®­a ra c¸c kh¸i niÖm, c¸c kÝ hiÖu t­¬ng tù cho (SQV I) cã vµ kh«ng cã tham sè. Chó ý lµ nÕu d·y xn lµ d·y xÊp xØ d¹ng II th× nã còng lµ d·y xÊp xØ d¹ng I nh­ng ®iÒu ng­îc l¹i cã thÓ kh«ng ®óng. V× vËy, nÕu bµi to¸n lµ wellposed d¹ng II th× còng lµ wellposed d¹ng I. Theo mét h­íng kh¸c, Lignola (xem[1]) xÐt d·y xÊp xØ cho bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n (QV I) trong kh«ng gian Banach thùc ph¶n x¹, K lµ tËp låi ®ãng, S : K → 2K vµ A lµ ¸nh x¹ ®¬n trÞ. (QV I) t×m u0 ∈ K, u0 ∈ S(u0),∀v ∈ S(u0) : 〈Au0, u0 − v〉 ≤ 0, vµ ®Þnh nghÜa un lµ d·y xÊp xØ nÕu: un ∈ K, ∃εn → 0+ sao cho un ∈ B(S(un), εn),∀v ∈ S(un) : 〈Aun, un − v〉 ≤ εn. Trong ®ã, B(S(u), ε) := {z : d(S(u), z) ≤ ε}. Cho X, Y lµ hai kh«ng gian Banach vµ G : X → 2Y . Ta nãi G lµ 6 usc t¹i x ∈ X nÕu víi mçi tËp më V ⊇ G(x), cã l©n cËn N cña x sao cho G(N) ⊆ V . Hµm ®a trÞ G lµ lsc t¹i x ∈ X nÕu víi mäi xn → x vµ ∀y ∈ G(x) th× cã yn ∈ G(xn) sao cho yn → y. Ta còng nãi G lµ liªn tôc t¹i x nÕu nã võa usc vµ lsc t¹i x. NÕu G liªn tôc víi mäi x ∈ X , th× ta nãi G liªn tôc. Chó ý 1(Xem [5]). Víi G nãi ë trªn, nÕu G(x) compact th× G(.) lµ usc t¹i x khi vµ chØ khi {xn}∞n=1 ⊂ X , xn → x, {yn}∞n=1, yn ∈ G(xn), tån t¹i d·y con ynk sao cho ynk → y ∈ G(x). 4. Nöa liªn tôc trªn cña c¸c tËp nghiÖm §Þnh lý 1. NÕuK(.) lµ liªn tôc cã gi¸ trÞ ®ãng vµ T (.) usc cã gi¸ trÞ compact th× M 01 (.) lµ usc t¹i 0. Chøng minh Gi¶ sö ng­îc l¹iM 01 (.) kh«ng usc t¹i 0, khi ®ã tån t¹i mét l©n cËn më V cña M 01 (0) = M 0 0 , εn → 0+, tån t¹i xn ∈ M 01 (εn) mµ xn /∈ V, ∀n. (3) Bëi xn ∈ M 01 (εn) nªn xn ∈ K(xn),∃tn ∈ T (xn),∀y ∈ K(xn), 〈tn, y − xn〉 ∈ εnBY + C¯. (4) XÐt xn ∈ A, do A compact nªn tån t¹i d·y con vÉn ký hiÖu lµ xn → x¯ ∈ A. Do K(.) usc vµ K(x¯) compact, theo Chó ý 1, cã d·y con vÉn ký hiÖu xn → 7 x¯ ∈ K(x¯). Bëi T (.) usc cã gi¸ trÞ compact nªn tn → t¯ ∈ T (x¯). Gi¶ sö x¯ /∈ M 01 (0) = M 00 theo ®Þnh nghÜa ta cã ∀t ∈ T (x¯), ∃y0 ∈ K(x¯), 〈t, y0 − x¯〉 /∈ C¯. (5) Bëi K(.) lµ lsc t¹i x¯. Khi ®ã víi y0 ë trªn, ∃yn ∈ K(xn) sao cho yn → y0. Sö dông c¸c d·y nµy vµo (4) vµ cho n → ∞ víi chó ý C¯ lµ tËp ®ãng, ta cã 〈t¯, y0 − x¯〉 ∈ C¯; mÉu thuÈn víi (5) nghÜa lµ x¯ ∈ M 01 (0). Tõ x¯ ∈ M 01 (0), kh«ng khã ®Ó thÊy nã m©u thuÈn víi (3). VËy M 01 (.) lµ usc t¹i 0 vµ ®Þnh lý ®­îc chøng minh. Còng t­¬ng tù nh­ chøng minh §Þnh lý 1 nh­ng xÐt trong tr­êng hîp cã tham sè ta cã §Þnh lý 2. NÕu K(., .) lµ liªn tôc, cã gi¸ trÞ ®ãng vµ T (., .) usc cã gi¸ trÞ compact trong (u¯, A) th× M 01 (., .) lµ usc t¹i (u¯, 0). XÐt (SQV I), ta cã c¸c kÕt qu¶ t­¬ng tù nh­ng víi gi¶ thiÕt vÒ lsc cña T (.). §Þnh lý 3. NÕu K(.) lµ liªn tôc cã gi¸ trÞ ®ãng vµ T (.) lsc th× S01(.) lµ usc t¹i 0. Chøng minh Gi¶ sö ng­îc l¹i S01(.) kh«ng usc t¹i 0, khi ®ã tån t¹i mét l©n cËn më V cña S01(0) = S 0 0 , εn → 0+, tån t¹i xn ∈ S01(εn) mµ xn /∈ V, ∀n. 8 Bëi xn ∈ S01(εn) nªn xn ∈ K(xn),∀t ∈ T (xn),∀y ∈ K(xn), 〈t, y − xn〉 ∈ εnBY + C¯. (6) XÐt xn ∈ A, do A compact nªn tån t¹i d·y con vÉn ký hiÖu lµ xn → x¯ ∈ A. Gi¶ sö x¯ /∈ S01(0) = S00 theo ®Þnh nghÜa ta cã ∃t0 ∈ T (x¯), ∃y0 ∈ K(x¯), 〈t0, y0 − x¯〉 /∈ C¯. BëiK(.) lµ lsc vµ T (.) lµ lsc th× víi y0 vµ t 0 ë trªn, ∃yn ∈ K(xn), tn ∈ T (xn), sao cho yn → y0, tn → t0. Sö dông c¸c d·y nµy vµo (6) vµ cho n → ∞ víi chó ý C¯ lµ tËp ®ãng, ta cã 〈t0, y0 − x¯〉 ∈ C¯; m©u thuÉn. PhÇn tiÕp theo chøng minh t­¬ng tù ®Þnh lý trªn. §Þnh lý 4. NÕu K(., .) lµ liªn tôc cã gi¸ trÞ ®ãng vµ T (., .) lsc t¹i (u¯, A) th× S11(., .) lµ usc t¹i (u¯, 0). §Þnh lý 5. Víi cïng c¸c gi¶ thiÕt cña §Þnh lý 1 th× Q01(.) lµ usc t¹i 0. Chøng minh Gi¶ sö ng­îc l¹i Q01(.) kh«ng usc t¹i 0, khi ®ã tån t¹i mét l©n cËn më V cña Q01(0) = Q 0 0, εn → 0+, tån t¹i xn ∈ Q01(εn) mµ xn /∈ V, ∀n. XÐt xn ∈ A, do A compact nªn tån t¹i d·y con vÉn ký hiÖu lµ xn → x¯ ∈ A. Gi¶ sö x¯ /∈ M 01 (0) = M 00 theo ®Þnh nghÜa ta cã ∃y0 ∈ K(x¯), ∀t ∈ T (x¯), 〈t, y0 − x¯〉 /∈ C¯. (7) 9 Bëi K(.) lµ lsc t¹i x¯. Khi ®ã víi yo ë trªn, ∃yn ∈ K(xn) sao cho yn → y0. Bëi xn ∈ Q01(εn) vµ víi yn ∈ K(xn) ë trªn, ∃tn ∈ T (xn), 〈tn, yn − xn〉 ∈ εnBY + C¯. Do K(.) usc vµ K(x¯) compact, theo Chó ý 1, cã d·y con vÉn ký hiÖu xn → x¯ ∈ K(x¯). Bëi T (.) usc cã gi¸ trÞ compact nªn tn → t¯ ∈ T (x¯). Sö dông c¸c d·y nµy vµ cho n → ∞ trong biÓu thøc trªn, víi chó ý C¯ lµ tËp ®ãng, ta cã 〈t¯, y0 − x¯〉 ∈ C¯; mÉu thuÈn víi (7) nghÜa lµ x¯ ∈ Q01(0). PhÇn tiÕp theo lý luËn t­¬ng tù nh­ chøng minh §Þnh lý 1. §Þnh lý 6. Víi cïng c¸c gi¶ thiÕt cña §Þnh lý 2 th× Q01(., .) lµ usc t¹i (0, λ¯). 5. Nöa liªn tôc d­íi cña c¸c tËp δ−nghiÖm B©y giê, ®Ó níi réng thªm hµm môc tiªu, ta thay qu¶ cÇu εBY trong c¸c tËp Q01,M 0 1 , S 0 1 ë trªn bëi qu¶ cÇu to h¬n (δ + ε)BY víi δ > 0 cè ®Þnh, vµ ta còng kÝ hiÖu c¸c bµi to¸n nµy cã δ t­¬ng øng trªn c¸c kÝ hiÖu cña chóng. Ch¼ng h¹n, Q0,δ1 (ε) = {x ∈ K(x),∀x ∈ K(x),∃t¯ ∈ T (x), 〈t¯, x− x〉 ∈ (δ + ε)BY + C¯}. Bæ ®Ò 1. NÕu εn → 0+, un → u¯ vµ un ∈ Y \ {(δ + εn)BY + C¯},∀n th× u¯ ∈ Y \ int(δBY + C¯). 10 Chøng minh Gi¶ sö ng­îc l¹i, u¯ /∈ Y \ int(δBY + C¯), tøc lµ u¯ ∈ int{δBY +C¯}. VËy cã qu¶ cÇu më t©m u¯ b¸n kÝnh β > 0, sao choB(u¯, β) ⊂ δBY + C¯. Bëi un → u¯ nªn víi n ®ñ lín, un ∈ B(u¯, β) ⊂ δBY + C¯. NghÜa lµ, un /∈ Y \ {δBY + C¯}. MÆt kh¸c, bëi Y \ {(δ + εn)BY + C¯} ⊂ Y \ {δBY + C¯}, suy ra un /∈ Y \ {(δ + εn)BY + C¯} lµ m©u thuÈn víi gi¶ thiÕt. Bæ ®Ò ®­îc chøng minh. §Þnh lý 7. NÕu K(.) liªn tôc cã gi¸ trÞ ®ãng vµ T(.) lsc th× ∀εn → 0+,∀x ∈ Q00,∃xn ∈ Q0,δ0 (εn) : xn → x. Chøng minh Gi¶ sö ng­îc l¹i ∃εn → 0+,∃x¯ ∈ Q00,∀xn ∈ Q0,δ0 (εn) mµ xn 9 x¯. (8) Tõ K(.) lµ lsc t¹i x¯. Bëi x¯ ∈ Q00 nªn x¯ ∈ K(x¯) vµ ∀xn → x¯, ∃xn ∈ K(xn) sao cho xn → x¯. Víi εn → 0+ ë trªn vµ tõ (8) suy ra xn /∈ Q0,δ0 (εn) nghÜa lµ ∃yn ∈ K(xn), ∀t ∈ T (xn) sao cho 〈t, yn−xn〉 /∈ (δ+εn)BY + C¯ ⇔ 〈t, yn−xn〉 ∈ Y \{(δ+εn)BY + C¯}. (9) MÆt kh¸c, bëi x¯ ∈ Q00 ta cã x¯ ∈ K(x¯),∀y ∈ K(x¯),∃t¯ ∈ T (x¯), 〈t¯, y − x¯〉 ∈ C¯. (10) Bëi A compact nªn {yn} tån t¹i d·y con vÉn ký hiÖu lµ yn → y¯, h¬n n÷a K(.) lµ usc nªn y¯ ∈ K(x¯), v× biÓu thøc (10) tháa víi mäi y ∈ K(x¯) nªn 11 còng tháa víi y¯, víi y¯ nµy sÏ x¸c ®Þnh t¯ ∈ T (x¯). Bëi T (.) lsc nªn víi t¯ cã d·y tn ∈ T (xn), tn → t¯. Cho n → ∞ trong biÓu thøc (9), theo Bæ ®Ò 1 (víi un := 〈tn, yn − xn〉), ta cã: 〈t¯, y¯ − x¯〉 ∈ Y \ int{δBY + C¯}. Bëi δ > 0, C¯ ⊂ int{δBY + C¯} ⇒ Y \ int{δBY + C¯} ⊂ Y \ C¯ ⇒ 〈t¯, y¯ − x¯〉 ∈ Y \ C¯, lµ m©u thuÈn víi (10) vµ chøng minh kÕt thóc. XÐt bµi to¸n cã tham sè §Þnh lý 8. NÕu K(., .) liªn tôc cã gi¸ trÞ ®ãng vµ T (., .) lsc th× ∀un → u¯, εn → 0+,∀x ∈ Q01(u¯),∃xn ∈ Q0,δ1 (u¯, εn) : xn → x. §Þnh lý 9. NÕu K(.) liªn tôc cã gi¸ trÞ ®ãng vµ T(.) usc cã gi¸ trÞ compact th× ∀εn → 0+,∀x ∈ S00 ,∃xn ∈ S0,δ1 (εn) : xn → x. Chøng minh Gi¶ sö ng­îc l¹i, ∃εn → 0+,∃x¯ ∈ S00 ,∀xn ∈ S0,δ1 (εn) mµ xn 9 x¯. (11) Tõ K(.) lµ lsc t¹i x¯. Bëi x¯ ∈ S00 nªn x¯ ∈ K(x¯), víi mçi xn → x¯, ∃xn ∈ K(xn) sao cho xn → x¯. Tõ εn → 0+ vµ bëi (11), suy ra xn /∈ S0,δ1 (εn), nghÜa 12 lµ ∃yn ∈ K(xn),∃tn ∈ T (xn) sao cho 〈tn, yn − xn〉 /∈ (δ + εn)BY + C¯. Tøc lµ 〈tn, yn − xn〉 ∈ Y \ {(δ + εn)BY + C¯}. MÆt kh¸c, bëi x¯ ∈ S00 ta cã x¯ ∈ K(x¯),∀y ∈ K(x¯),∀t ∈ T (x¯), 〈t, y − x¯〉 ∈ C¯. Bëi A compact nªn {yn} tån t¹i d·y con vÉn ký hiÖu lµ yn → y¯, h¬n n÷a K(.) lµ usc nªn y¯ ∈ K(x¯). Bëi T (.) usc, tn ∈ T (xn) nªn tn → t¯ ∈ T (x¯). Sö dông c¸c d·y εn, xn, yn, tn nµy, cho n → ∞ trong biÓu thøc trªn (víi chó ý tíi Bæ ®Ò 1), 〈t¯, y¯ − x¯〉 ∈ Y \ int{δBY + C¯} ⊂ Y \ C¯, lµ m©u thuÈn vµ chøng minh kÕt thóc. §Þnh lý 10. NÕu K(., .) liªn tôc cã gi¸ trÞ ®ãng vµ T(.,.) usc cã gi¸ trÞ compact th× ∀un → u¯, ∀εn → 0+,∀x ∈ S00(u¯),∃xn ∈ S0,δ1 (u¯, εn) : xn → x. §Þnh lý 11. NÕu K(.) liªn tôc cã gi¸ trÞ ®ãng vµ T(.) lsc th× ∀εn → 0+,∀x ∈ M 00 ,∃xn ∈ M 0,δ1 (εn) : xn → x. Chøng minh Gi¶ sö ng­îc l¹i ∃εn → 0+,∃x¯ ∈ M 01 (0) = M 00 ,∀xn ∈ M 0,δ1 (εn) th× xn 9 x¯. (12) 13 Tõ K(.) lµ lsc t¹i x¯. V× thÕ, víi x¯ ∈ K(x¯),∀xn → x¯, ∃xn ∈ K(xn) sao cho xn → x¯. Bëi x¯ ∈ M 00 ta cã x¯ ∈ K(x¯),∃t¯ ∈ T (x¯),∀y ∈ K(x¯), 〈t¯, y − x¯〉 ∈ C¯. Bëi T (.) lsc nªn víi t¯ cã d·y tn ∈ T (xn), tn → t¯. MÆt kh¸c, víi εn → 0+ vµ bëi (12) suy ra xn /∈ M 0,δ1 (εn) nghÜa lµ ∀t ∈ T (xn), ∃yn ∈ K(xn) sao cho 〈t, yn−xn〉 /∈ (δ+εn)BY +C¯ ⇔ 〈t, yn−xn〉 ∈ Y \{(δ+εn)BY +C¯}. (13) V× biÓu thøc ®óng víi mäi t nªn còng ®óng víi d·y tn nãi trªn. Bëi A compact nªn {yn} tån t¹i d·y con vÉn ký hiÖu lµ yn → y¯, h¬n n÷a K(.) lµ usc nªn y¯ ∈ K(x¯). Sö dông Bæ ®Ò 1 vµ cho n → ∞ trong biÓu thøc (13), cã 〈t¯, y¯ − x¯〉 ∈ Y \ int{δBY + C¯} ⊂ Y \ C¯. lµ m©u thuÈn vµ chøng minh kÕt thóc. Víi bµi to¸n cã tham sè §Þnh lý 12. NÕu K(., .) liªn tôc cã gi¸ trÞ ®ãng vµ T (., .) lsc th× ∀un → u¯, εn → 0+,∀x ∈ M 00 (u¯),∃xn ∈ M 0,δ1 (u¯, εn) : xn → x. 6. Well-posed cña c¸c bµi to¸n kh«ng tham sè vµ cã tham sè Tõ c¸c ®Þnh lý ë trªn vµ Chó ý 1, ta cã ®iÒu kiÖn ®ñ cho wellposed d¹ng I cña bµi to¸n kh«ng tham sè nh­ sau: 14 MÖnh ®Ò 1. Gi¶ sö K(.) lµ liªn tôc cã gi¸ trÞ ®ãng vµ T (.) lµ usc cã gi¸ trÞ compact th× bµi to¸n (MQV I) lµ wellposed d¹ng I. Chøng minh Sö dông kÕt qu¶ cña §Þnh lý 1, cã M 01 (.) lµ usc t¹i 0. Ta chØ cÇn chøng minhM 00 lµ tËp ®ãng. ThËt vËy, lÊy d·y xn ∈ M 00 , xn → x¯. Ta chøng minh x¯ ∈ M 00 . Bëi xn ∈ M 00 , theo ®Þnh nghÜa th× xn ∈ K(xn),∃tn ∈ T (xn),∀y ∈ K(xn), 〈tn, y − xn〉 ∈ C¯. (14) Tõ Chó ý 1, xn → x¯ ∈ K(x¯), tn → t¯ ∈ T (x¯). NÕu x¯ /∈ M 00 , theo ®Þnh nghÜa ta cã ∀t ∈ T (x¯),∃y¯t ∈ K(x¯) sao cho, 〈t, y¯t − x¯〉 /∈ C¯. V× biÓu thøc ®óng víi mäi t nªn còng ®óng víi t¯ ë trªn. Víi t¯ nµy sÏ x¸c ®Þnh y¯ ∈ K(x¯). Bëi K(.) lµ lsc t¹i x¯, nªn víi y¯, ∃yn ∈ K(xn) sao cho yn → y¯. Sö dông c¸c d·y nµy vµo (14) vµ cho n → ∞ víi chó ý C¯ lµ tËp ®ãng, ta cã 〈t¯, y¯ − x¯〉 ∈ C¯, lµ m©u thuÈn nªn M 00 lµ tËp ®ãng. H¬n n÷a nã lµ tËp compact, sö dông Chó ý 1 ta suy ra ®iÒu cÇn chøng minh. MÖnh ®Ò 2. Gi¶ sö K(., .) lµ liªn tôc cã gi¸ trÞ ®ãng vµ T (., .) lµ usc cã gi¸ trÞ compact th× bµi to¸n (MQV I)u lµ wellposed d¹ng I. T­¬ng tù víi c¸c bµi to¸n (SQV I). 15 MÖnh ®Ò 3. Gi¶ söK(.) lµ liªn tôc cã gi¸ trÞ ®ãng vµ T (.) lµ lsc th× bµi to¸n (SQV I) lµ wellposed d¹ng I. Chøng minh Sö dông kÕt qu¶ cña §Þnh lý 3, cã S01(.) lµ usc t¹i 0. Ta chØ cÇn chøng minh S00 lµ tËp ®ãng. ThËt vËy, lÊy d·y xn ∈ S00 , xn → x¯. Ta chøng minh x¯ ∈ S00 . bëi xn ∈ S00 , theo ®Þnh nghÜa, xn ∈ K(xn),∀t ∈ T (xn),∀y ∈ K(xn), 〈t, y − xn〉 ∈ C¯. (15) Tõ Chó ý 1, xn → x¯ ∈ K(x¯). NÕu x¯ /∈ S00 , theo ®Þnh nghÜa ta cã ∃t¯ ∈ T (x¯),∃y¯ ∈ K(x¯) sao cho, 〈t¯, y¯ − x¯〉 /∈ C¯. Bëi K(.) lµ lsc t¹i x¯, khi ®ã víi y¯, ∃yn ∈ K(xn) sao cho yn → y¯. Còng bëi T (.) lsc nªn víi t¯,∃tn ∈ T (xn), tn → t¯ ∈ T (x¯). Sö dông c¸c d·y nµy vµo (15) vµ cho n → ∞ víi chó ý C¯ lµ tËp ®ãng, ta cã 〈t¯, y¯ − x¯〉 ∈ C¯, lµ m©u thuÈn nªn S00 lµ tËp ®ãng. H¬n n÷a nã lµ tËp compact, sö dông Chó ý 1 ta suy ra ®iÒu cÇn chøng minh. MÖnh ®Ò 4. Gi¶ sö K(., .) lµ liªn tôc cã gi¸ trÞ ®ãng vµ T (., .) lµ lsc th× bµi to¸n (SQV I)u lµ wellposed d¹ng I. XÐt wellposed d¹ng II, ta nhËn ®­îc c¸c kÕt qu¶: 16 §Þnh lý 13. K(.) liªn tôc cã gi¸ trÞ ®ãng vµ T (.) usc cã gi¸ trÞ compact th× bµi to¸n (MQV I) lµ well-posed d¹ng II. Chøng minh XÐt xn lµ d·y xÊp xØ d¹ng II cña (MQV I), tøc lµ: ∃εn → 0+, xn ∈ K(xn),∃tn ∈ T (xn), ∀y ∈ K(xn), 〈tn, y − xn〉+ εnBY ⊂ C¯ = Y \ −intC. ⇔ 〈tn, y − xn〉+ εnBY 6⊂ −intC. (16) Tõ A compact nªn cã d·y con vÉn ký hiÖu lµ xn → x¯. Do K(.) usc, xn ∈ K(xn), xn → x¯ ∈ K(x¯). NÕu x¯ /∈ M 00 theo ®Þnh nghÜa ta cã ∀t ∈ T (x¯),∃y¯ ∈ K(x¯) sao cho, 〈t, y¯ − x¯〉 /∈ C¯. Tøc lµ 〈t, y¯ − x¯〉 ∈ −intC. VËy cã ε¯ > 0 sao cho 〈t, y¯ − x¯〉+ ε¯BY ⊂ −intC. K(.) lµ lsc t¹i (x¯, 0), khi ®ã víi y¯, ∃yn ∈ K(xn) sao cho yn → y¯, Bëi T (.) usc cã gi¸ trÞ compact, tn → t¯ ∈ T (x¯). Cho n → +∞ ta cã: 〈tn, yn〉 − 〈t¯, y¯〉 → 0, 〈tn, xn〉 − 〈t¯, x¯〉 → 0. Khi n ®ñ lín cã 〈tn, yn〉 − 〈t¯, y¯〉 − 〈tn, xn〉+ 〈t¯, x¯〉 ⊂ ε¯ 2 BY . 17 Còng víi n ®ñ lín th× 〈tn, yn − xn〉+ εnBY ⊂ 〈tn, yn − xn〉+ ε¯ 2 BY = 〈tn, yn〉 − 〈t¯, y¯〉+ 〈t¯, y¯〉 − 〈t¯, x¯〉+ 〈t¯, x¯〉 − 〈tn, xn〉+ ε¯ 2 BY ⊂ 〈t¯, y¯ − x¯〉+ ε¯BY ⊂ −intC. Suy ra 〈tn, yn − xn〉+ εnBY ⊂ −intC. MÆt kh¸c, tõ (16) suy ra 〈tn, yn − xn〉+ εnBY 6⊂ −intC. lµ m©u thuÉn vµ ®Þnh lý ®­îc chøng minh. §Þnh lý 14. K(., .) liªn tôc cã gi¸ trÞ ®ãng th× bµi to¸n (MQV I)u lµ well- posed d¹ng II. 7. C¸c øng dông vµo æn ®Þnh dßng c©n b»ng cña m¹ng giao th«ng XÐt m« h×nh m¹ng giao th«ng ®· tr×nh bµy trong [15], nh­ sau: Cho N lµ tËp c¸c nót, L tËp c¸c cung, W = (W1, ...,Wl) tËp c¸c cÆp ®Çu-cuèi (viÕt t¾t O-D). Gi¶ sö cã rj ≥ 1 c¸c ®­êng nèi cÆp ®Çu cuèi Wj, j = 1, ..., l vµ biÓu thÞ tËp c¸c ®­êng nµy bëi Pj. §Æt m = r1 + ... + rl, F = (F1, ..., Fm) lµ vect¬ dßng ®­êng. Gi¸ cña ®­êng Rs, s = 1, ...,m lµ tËp Ts(F ) ⊂ R+. Khi ®ã cã hµm ®a trÞ T : Rm+ → 2Rm+ , víi T (F ) := (T1(F ), ..., Tm(F )). Cho 18 Γs lµ t¶i n¨ng trªn ®­êng Rs, s = 1, ...,m. Khi ®ã c¸c dßng tháa m·n rµng buéc sau ®©y: F ∈ A := {F ∈ Rm+ : 0 ≤ Fs ≤ Γs, s = 1, ...,m}. Nh­ De Luca(1995) vµ Maugeri(1995) nhu cÇu ρj cña cÆp ®Çu cuèiWj cã thÓ phô thuéc dßng c©n b»ng H . Cho ¸nh x¹ ρ : Rm+ → Rl+. §Æt: φjs =  1 nÕu Rs ∈ Pj; 0 nÕu Rs /∈ Pj. vµ φ = {φjs}, j = 1, ..., l; s = 1, ...,m. TËp dßng chÊp nhËn ®­îc : K(H) := {F ∈ A : φF = ρ(H)}. Ta cã ®Þnh nghÜa dßng c©n b»ng theo nghÜa Wardrop. §Þnh nghÜa 5. (i) Dßng H ∈ A ®­îc gäi lµ dßng c©n b»ng yÕu nÕu H ∈ K(H), ∀Wj,∀Rq ∈ Pj,∀Rs ∈ Pj,∃t ∈ T (H), tq < ts ⇒ [Hq = Γq], hoÆc [Hs = 0]. víi j = 1, ..., l, q, s ∈ 1, ...,m. (ii) H ®­îc gäi lµ dßng c©n b»ng m¹nh nÕu thay ∃t ∈ T (H) bëi ∀t ∈ T (H). Ký hiÖu tËp dßng c©n b»ng yÕu lµ Γ vµ tËp dßng c©n b»ng m¹nh lµ SΓ. 19 XÐt æn ®Þnh cña dßng c©n b»ng ta gi¶ sö r»ng M := sup H∈A sup t∈T (H) sup p=1,...,m |tp| < +∞. Ta më réng thªm ®Þnh nghÜa c©n b»ng. Trªn thùc tÕ, mÆc dï trªn ®­êng cã gi¸ cao vÉn cã mét l­îng nhá dßng l­u th«ng. Trªn ®­êng cã gi¸ thÊp dßng c©n b»ng vÉn cã thÓ kh«ng ®¹t cùc ®¹i. Cho 0 ≤ e < 12 mins:=1,...,m Γs. Dßng c©n b»ng trong tr­êng hîp nµy ®Þnh nghÜa nh­ sau: §Þnh nghÜa 6. (i) Mét dßng vect¬ H ®­îc gäi lµ dßng [e]-c©n b»ng yÕu nÕu H ∈ K(H), ∀Wj,∀Rq ∈ Pj,∀Rs ∈ Pj,∃t ∈ T (H), tq < ts ⇒ Hq ∈ [Γq − e,Γq], hoÆc Hs ∈ [0, e]. víi j = 1, ..., l, q, s ∈ 1, ...,m. (ii) Mét dßng vect¬ H ®­îc gäi lµ dßng [e]-c©n b»ng m¹nh nÕu thay ∃t ∈ T (H) bëi ∀t ∈ T (H). Ký hiÖu Γ(δ) víi δ = 2mMe lµ tËp c¸c dßng [e]−c©n b»ng yÕu vµ SΓ(δ) lµ tËp [e]−c©n b»ng m¹nh. §Þnh nghÜa 7. D·y {(Hn)} ⊂ A gäi lµ d·y dßng c©n b»ng yÕu xÊp xØ nÕu en → 0+, Hn ∈ K(Hn), ∀Wj,∀Rq ∈ Pj,∀Rs ∈ Pj,∃tn ∈ T (Hn), (tn)q < (tn)s ⇒ (Hn)q ∈ [Γq − en,Γq], hoÆc (Hn)s ∈ [0, en]. 20 víi j = 1, ..., l, q, s ∈ {1, ...,m}. (ii) Hn ®­îc gäi lµ d·y dßng c©n b»ng m¹nh xÊp xØ nÕu thay ∃tn ∈ T (Hn) bëi ∀t ∈ T (Hn). §Þnh nghÜa 8. bµi to¸n kh«ng tham sè Γ ®­îc gäi lµ wellposed yÕu nÕu a. Γ 6= ∅ ; b. Víi mçi d·y dßng c©n b»ng xÊp xØ yÕu lu«n cã d·y con héi tô tíi Γ. Tr­êng hîp hµm gi¸ ®¬n trÞ, trong c¸c kh¸i niÖm vÒ c©n b»ng yÕu (m¹nh) nªu trªn ta chØ nãi ®¬n gi¶n lµ dßng c©n b»ng. ThÝ dô 1 XÐt m¹ng giao th«ng G4 gåm bèn not {1, 2, 3, 4}, bèn cung {(−→12), (−→23), (−→13), (−→14)}. M¹ng nµy cã hai cÆp ®Çu cuèi w1 = (1, 3), w2 = (1, 4). C¸c ®­êng nèi cÆp ®Çu cuèi wj, j = 1, 2 lµ ba ®­êng P1 = {R1 = (123), R2 = (13)}, P2 = {R3 = (14)}, r1 = 2, r2 = 1,m = r1 + r2 = 3. Φ2×3 =  1 1 0 0 0 1  . Gi¶ sö t¶i n¨ng trªn c¸c ®­êng Γs = 1, s = 1, 2, 3 A = {F = (f1, f2, f3) ∈ R3 : 0 ≤ fs ≤ 1, s = 1, 2, 3}, gi¶ sö gÝa mét ®¬n vÞ dßng l­u th«ng trªn mét ®­êng Rs ®óng b»ng dßng trªn ®­êng ®ã, tøc lµ ts := {hs},∀s = 1, 2, 3. Gi¶ sö, ρ(H) =  ρ1(H) = 1 ρ2(H) = 1  21 ⇔ f1 + f2 + 0 = 10 + 0 + f3 = 1 Khi ®ã víi mäi H ∈ A, K := K(H) = {F = (f1, f2, f3),ΦF = ρ(H)} = {(f1, f2, f3) :  f1 + f2 + 0 = 10 + 0 + f3 = 1 }, lµ tËp låi ®ãng. DÔ kiÓm tra r»ng H¯ = (12 , 1 2 , 1) lµ nghiÖm duy nhÊt cña (MQV I) vµ còng lµ dßng c©n b»ng duy nhÊt cña G4. ThËt vËy, dÔ thö l¹i H¯ = (12 , 1 2 , 1) ∈ K lµ nghiÖm (MQV I) vµ víi (12 , 12 , 1) 6= H ∈ K th× hoÆc H = (12 + u, 1 2 − u, 1) hoÆc H = (12 − u, 12 + u, 1) víi 0 < u ≤ 12 vµ bëi F ∈ K nªn 〈(1 2 + u, 1 2 − u, 1), (f1, f2, f3)− (1 2 + u, 1 2 − u, 1)〉 = ( 1 2 + u)(f1 − (1 2 + u)) + ( 1 2 − u)(f2 − (1 2 − u)) + f3 − 1 = ( 1 2 + u)f1 − (1 2 + u)2 + ( 1 2 − u)f2 − (1 2 − u)2 + f3 − 1 = 1 2 f1−(1 2 +u)2+ 1 2 f2−(1 2 −u)2+f3−1+uf1−uf2−2u2 = −u(f2−f1+2u). B©y giê chØ cÇn lÊy F = (1, 0, 1) ∈ K th× 〈T (H), F −H〉 < 0 vµ H kh«ng lµ nghiÖm. ThÝ dô d­íi ®©y chØ ra m¹ng giao th«ng kh«ng cã dßng c©n b»ng vµ bµi to¸n (MQV I) kh«ng cã nghiÖm nh­ng M 01 (ω) cã nghiÖm víi mäi ω > 0. 22 ThÝ dô 2 Víi ThÝ dô 1, nÕu T (12 , 1 2 , 1) = ( 1 2 + ω, 1 2 , 1) th× (MQV I) kh«ng cã nghiÖm víi mäi ω > 0. (M¹ng giao th«ng trong tr­êng hîp nµy kh«ng cã c©n b»ng.) ThËt vËy, víi H¯ = (12 , 1 2 , 1) vµ bëi F ∈ K nªn 〈(1 2 + ω, 1 2 , 1), (f1, f2, f3)− (1 2 , 1 2 , 1)〉 = ( 1 2 + ω)(f1 − 1 2 ) + 1 2 (f2 − 1 2 ) + f3 − 1 = 1 2 (f1 − 1 2 ) + ω(f1 − 1 2 ) + 1 2 (f2 − 1 2 ) + f3 − 1 = ω(f1 − 1 2 ). B©y giê chØ cÇn lÊy F = (0, 1, 1) ∈ K th× 〈T (H), F − H〉 < 0 vµ H¯ kh«ng lµ nghiÖm cña (MQV I). NÕu xÐt bµi to¸n (MQV I)01 th× dÔ thÊy H¯ ∈ M 01 (ω) ⊂ Q01(ω). VÒ ®Þnh nghÜa dßng e−c©n b»ng ta chó ý lµ mét dßng e−c©n b»ng cã thÓ kh«ng lµ nghiÖm cña (MQV I). D­íi ®©y lµ mét thÝ dô. ThÝ dô 3 Víi ThÝ dô 1, nÕu gi¸ trªn ®­êngRs lµ ts = 1−hs,∀s = 1, 2, 3 vµ víi 0 ≤ e < 12 xÐt dßng e−c©n b»ng th× víi mçi 0 ≤ ε ≤ e, dßng H¯ = (h1, h2, h3) trong ®ã h1 = ε, h2 = 1 + ε, h3 = 1 hoÆc h1 = 1 + ε, h2 = ε, h3 = 1 lµ dßng e−c©n b»ng. MÆt kh¸c H¯ kh«ng lµ nghiÖm cña (MQV I) nh­ng H¯ ∈ M 01 (δ) víi δ = 2ε. Còng dÔ thÊy dßng H = (12 , 12 , 1) lµ dßng e−c©n b»ng vµ nã còng lµ nghiÖm cña (MQV I). Kh¼ng ®Þnh sau cho mèi liªn hÖ gi÷a dßng e−c©n b»ng vµ tËp nghiÖm M 01 (δ) trong tr­êng hîp hµm gi¸ ®¬n trÞ. 23 §Þnh lý 15. NÕu H lµ dßng [e]-c©n b»ng th× H ∈ M 01 (δ), tøc lµ: Γ(δ) ⊂ M 01 (δ). Chøng minh. Gi¶ sö H lµ dßng c©n b»ng. NÕu víi mäi cÆp ®Çu cuèi Wj vµ tÊt c¶ c¸c ®­êng Rr ∈ Wj mµ t¯r ≡ t¯j th×〈 t¯, F − H¯〉 = l∑ j=1 ∑ Rr∈Wj tr(Fr −Hr) = l∑ j=1 t¯j ∑ Rr∈Wj (Fr −Hr) = l∑ j=1 t¯j[ρj(H¯)− ρj(H¯)] = 0. Tøc lµ H¯ ∈ M 00 ⊂ M 01 (δ) vµ ®Þnh lý hiÓn nhiªn ®óng. NÕu kh«ng, víi mçi cÆp ®Çu cuèi Wj ®Æt Aj := {Rq ∈ Pj : Hq < Γq − e}, Bj := {Rs ∈ Pj : Hs > e}. Theo ®Þnh nghÜa dßng c©n b»ng, tq ≥ ts nÕu Rq ∈ Aj vµ Rs ∈ Bj. Chän γj sao cho inf Rq∈Aj {tq} ≥ γj ≥ sup Rs∈Bj {ts} víi mçi F ∈ K(H) chän cÆp ®Çu cuèi Wj vµ ®­êng Rr ∈ Wj bÊt kú. NÕu tr < γj th× Rr /∈ Aj, nghÜa lµ Hr ∈ [Γr − e,Γr]. Suy ra (tr − γj)(Fr −Hr − e) ≥ 0. 24 VËy tr(Fr −Hr) ≥ γj(Fr −Hr − e) + e(tr − γj) = γj(Fr − H¯r)− 2eγj + et¯r. NÕu tr > γj th× Rr /∈ Bj, nghÜa lµ Hr ∈ [0, e], do ®ã (tr − γj)(Fr −Hr + e) ≥ 0. Suy ra tr(Fr −Hr) ≥ γj(Fr −Hr + e)− e(tr − γj) = γj(Fr − H¯r) + 2eγj − et¯r. NÕu tr = γj th× tr(Fr − Hr) = γj(Fr − Hr). Víi mäi cÆp ®Çu cuèi Wj vµ tÊt c¶ c¸c ®­êng Rr ∈ Wj: 〈 t¯, F − H¯〉 = l∑ j=1 ∑ Rr∈Wj tr(Fr −Hr) ≥ l∑ j=1 [ ∑ tr<γj (γj(Fr −Hr)− 2eγj + et¯r) + ∑ tr=γj (γj(Fr −Hr)) + ∑ tr>γj (γj(Fr −Hr) + 2eγj − et¯r)] ≥ l∑ j=1 ∑ tr<γj γj(Fr −Hr)− 2e l∑ j=1 ∑ tr<γj γj + e l∑ j=1 ∑ tr<γj t¯r 25 + l∑ i=1 ∑ tr=γj (γj(Fr −Hr)) + l∑ j=1 ∑ tr>γj γj(Fr −Hr) + 2e l∑ j=1 ∑ tr>γj γj − e l∑ j=1 ∑ tr>γj t¯r ≥ l∑ j=1 ∑ Rr∈Wj γj(Fr −Hr)− 2e l∑ j=1 ∑ tr<γj M − e l∑ j=1 ∑ tr>γj M ≥ l∑ j=1 γj[ρj(H¯)− ρj(H¯)]− e l∑ j=1 ∑ trγj M − e l∑ j=1 ∑ tr>γj M ≥ −2mMe. Suy ra 〈 t¯, F − H¯〉+ 2mMe ≥ 0. Tõ δ = 2mMe th× 〈 t¯, F − H¯〉+ δ ≥ 0. Tøc lµ H¯ ∈ M 01 (δ) vµ ®Þnh lý ®­îc chøng minh. B©y giê, xÐt m¹ng giao th«ng Γ víi hµm gi¸ ®¬n trÞ vµ bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n t­¬ng øng víi Γ lµ (QV I). Ta cã kÕt qu¶ sau: MÖnh ®Ò 5. NÕu (QVI) lµ wellposed th× bµi to¸n c©n b»ng giao th«ng Γ lµ wellposed. 26 Chøng minh XÐt d·y xÊp xØHn cña Γ, tøc lµ cã en → 0+, Hn ∈ K(Hn), sao cho ∀Wj,∀Rq ∈ Pj,∀Rs ∈ Pj,∃tn ∈ T (Hn), (tn)q < (tn)s ⇒ (Hn)q ∈ [Γq − en,Γq], hoÆc (Hn)s ∈ [0, en]. víi j = 1, ..., l, q, s ∈ {1, ...,m}. Tøc lµ Hn ∈ Γ(δn). Bëi ®Þnh lý (15) trªn vµ do hµm gi¸ ®¬n trÞ, suy ra Hn ∈ M 01 (δn) ⊂ Q01(δn),∀n. Tõ (QVI) lµ well- posed ta cã d·y con Hnk → H¯ ∈ Q00. Râ rµng lµ (xem [15]) nÕu H¯ ∈ Q00 th× H¯ lµ dßng c©n b»ng yÕu, vËy H¯ ∈ Γ. Tøc lµ, Hnk → H¯ ∈ Γ vµ nã lµ wellposed. 8. VÒ æn ®Þnh c©n b»ng Nash Pareto cña bµi to¸n trß ch¬i ®a môc tiªu PhÇn nµy kh¶o s¸t æn ®Þnh theo nghÜa nöa liªn tôc cho c©n b»ng Nash Pareto cña bµi to¸n trß ch¬i ®a môc tiªu. Më réng kh¸i niÖm wellposed cho c©n b»ng Nash Pareto vµ thiÕt lËp c¸c ®iÒu kiÖn ®ñ vÒ æn ®Þnh cho bµi to¸n nµy. XÐt m« h×nh trß ch¬i ®a môc tiªu tæng qu¸t (xem [3]), cho N = {1, 2, ..., n} lµ tËp c¸c ng­êi ch¬i, víi mçi i ∈ N , X i lµ tËp con compact, kh¸c rçng cña kh«ng gian BanachEi. X i lµ tËp chiÕn thuËt cña ng­êi ch¬i thø i vµ ®Æt X = ∏ i∈N X i, X iˆ = ∏ j∈N,j 6=i X j. Ta kh¶o s¸t trß ch¬i ®a môc tiªu tæng qu¸t cã tham sè λ trong kh«ng gian Banach Λ. Cho f i : X ×Λ → Rki, 27 lµ hµm môc tiªu cña ng­êi ch¬i thø i víi ki lµ mét sè nguyªn d­¬ng vµ ®Æt Rki+ := {(u1, ..., uki) ∈ Rki : uj ≥ 0,∀j = 1, ..., ki}. Víi mçi i ∈ N , tËp chiÕn thuËt chÊp nhËn ®­îc cña ng­êi ch¬i thø i lµ mét hµm ®a trÞ, Gi : X iˆ × Λ → 2Xi. Trß ch¬i ®a môc tiªu cã d¹ng sau, víi mçi λ ∈ Λ, Γλ = {X i, Gi, f i}i∈N . NÕu bµi to¸n kh«ng cã tham sè λ th× Γλ chÝnh lµ bµi to¸n Γ trong [3]. Ta còng ký hiÖu bµi to¸n nµy lµ Γ. 8.1 C¸c ®Þnh nghÜa vµ kh¸i niÖm XÐt kh¸i niÖm nghiÖm (®iÓm c©n b»ng Nash Pareto) cña bµi to¸n trß ch¬i Γ (xem [3]), nh­ sau: §Þnh nghÜa 9. x¯ = (x¯1, ..., x¯n) ∈ X ®­îc gäi lµ c©n b»ng Nash Pareto cña Γ (ký hiÖu x¯ ∈ Π0,00 ), nÕu ∀i ∈ N , x¯i ∈ Gi(x¯iˆ), ∀yi ∈ Gi(x¯iˆ) th× f i(yi, x¯iˆ)− f i(x¯i, x¯iˆ) /∈ intRki+ . ( x¯ ®­îc gäi lµ c©n b»ng Nash Pareto yÕu nÕu ∀yi ∈ Gi(x¯iˆ) thay bëi ∃yi ∈ Gi(x¯ iˆ)). Ký hiÖu Bi := {z ∈ Rki : ‖z‖i ≤ 1} trong ®ã ‖.‖i lµ chuÈn Euclide cña Rki vµ Ki := R ki \ intRki+ , (ë ®©y int chØ phÇn trong cña tËp). §Þnh nghÜa 10. a. D·y {x¯n} ∈ X ®­îc gäi lµ d·y xÊp xØ d¹ng I nÕu ∃εn → 28 0+,∀i ∈ N, x¯in ∈ Gi(x¯iˆn) , ∀yi ∈ Gi(x¯iˆn), f i(yi, x¯iˆn)− f i(x¯in, x¯iˆn) ∈ εnBi + Ki. (17) b. NÕu thay (17) bëi: f i(yi, x¯iˆn)− f i(x¯in, x¯iˆn) + εnBi ⊂ Ki th× xn gäi lµ d·y xÊp xØ d¹ng II. §Þnh nghÜa 11. bµi to¸n kh«ng tham sè Γ ®­îc gäi lµ wellposed d¹ng I (t­¬ng øng, II) nÕu (a) Π0,00 6= ∅ ; (b) Víi mçi d·y xÊp xØ d¹ng I (t­¬ng øng, II) cã d·y con héi tô tíi Π0,00 . Chó ý lµ nÕu d·y xn lµ d·y xÊp xØ d¹ng II th× nã còng lµ d·y xÊp xØ d¹ng I nh­ng ®iÒu ng­îc l¹i cã thÓ kh«ng ®óng. V× vËy, nÕu bµi to¸n lµ wellposed d¹ng II th× còng lµ wellposed d¹ng I. Víi ε ≥ 0, λ ∈ Λ, ®Æt Π0,00 (λ) := {x = (x1, ..., xn) ∈ X,∀i ∈ N, xi ∈ Gi(xiˆ, λ) : ∀yi ∈ Gi(xiˆ, λ), f i(yi, xiˆ, λ)− f i(xi, xiˆ, λ) ∈ Ki}; Π0,01 (ε, λ) := {x = (x1, ..., xn) ∈ X,∀i ∈ N, xi ∈ Gi(xiˆ, λ) : ∀yi ∈ Gi(xiˆ, λ), f i(yi, xiˆ, λ)− f i(xi, xiˆ, λ) ∈ εBi + Ki}. NÕu bµi to¸n kh«ng cã tham sè, ta ký hiÖu Π0,00 ,Π 0,0 1 (ε), t­¬ng øng. Còng ký hiÖu (Π∃)0,01 (ε, λ) nÕu ∀yi ∈ Gi(x¯iˆ, λ) trong Π0,01 (ε, λ) thay bëi ∃yi ∈ Gi(x¯iˆ, λ). 29 XÐt hä c¸c bµi to¸n cã tham sè (Γδ). §Þnh nghÜa 12. Cho λn → λ¯, d·y {x¯n} ∈ X, ®­îc gäi lµ d·y xÊp xØ d¹ng I (t­¬ng øng, II) øng víi {λn} nÕu ∃εn → 0+,∀i ∈ N, x¯in ∈ Gi(x¯iˆn, λn), ∀yi ∈ Gi(x¯iˆn, λn), f i(yi, x¯iˆn, λn)− f i(x¯in, x¯iˆn, λn) ∈ εnBi + Ki. (T­¬ng øng, f i(yi, x¯iˆn, λn)− f i(x¯in, x¯iˆn, λn) + εnBi ⊂ Ki). §Þnh nghÜa 13. Hä bµi to¸n cã tham sè ((Γλ) ) ®­îc gäi lµ wellposed d¹ng I (t­¬ng øng, II) t¹i λ¯ nÕu (a) Π0,00 (λ¯) 6= ∅; (b) λn → λ¯, mçi d·y xÊp xØ d¹ng I (t­¬ng øng II) øng víi {λn} cã d·y con héi tô tíi Π0,00 (λ¯). §Þnh nghÜa 14. Cho Y1 vµ X1 lµ c¸c tËp con kh¸c rçng cña c¸c kh«ng gian Banach Y vµ X , t­¬ng øng. f : Y × X → Rl. XÐt nãn K kh¸c rçng trong Rl vµ B lµ qu¶ cÇu ®¬n vÞ ®ãng trong Rl. Hµm f(., .) ®­îc gäi K- tùa ®ãng trªn (Y1 × X1) nÕu víi (y, x) ∈ (Y1 × X1), εn → 0+, (zn, xn) ∈ Y1 × X1, (zn, xn) → (z, x) sao cho f(y, xn) − f(zn, xn) ∈ εnB + K th× f(y, x)− f(z, x) ∈ K. Chó ý r»ng nÕu f(., .) lµ K tùa ®ãng th× cã thÓ f(., .) kh«ng liªn tôc. ThÝ dô, xÐt X = Y = R,K = (−∞, 0], f(y, x) = y − x nÕu x 6= 0 vµ f(y, 0) = −1. DÔ thÊy f(., .) lµ K tùa ®ãng trªn [−1, 0] × [−1, 0] nh­ng 30 f(., .) kh«ng liªn tôc víi mäi y0 6= −1, x0 = 0. HiÓn nhiªn trong tr­êng hîp nµy nÕu f(., .) liªn tôc vµ K ®ãng th× nã lu«n lµ K tùa ®ãng. Gi¶ sö Π0,00 6= ∅, ∀λ ∈ Λ,Π0,00 (λ) 6= ∅ vµ ®Ó ®¬n gi¶n kÝ hiÖu ta nãi hµm f i (®· nªu trong ®Þnh nghÜa 14) lµ Ki tùa ®ãng thay cho nãi Ki tùa ®ãng trªn (X i ×X i), i ∈ N . 31 8.2. Nöa liªn tôc trªn cña c¸c tËp nghiÖm §Þnh lý 16. Gi¶ sö ∀i ∈ N, Gi(.) lµ liªn tôc cã gi¸ trÞ ®ãng vµ f i(., .) lµ Ki-tùa ®ãng. Khi ®ã Π 0,0 1 (.) lµ usc t¹i 0. Chøng minh Gi¶ sö ng­îc l¹i Π0,01 (.) kh«ng usc t¹i 0, khi ®ã tån t¹i mét l©n cËn më V cña Π0,01 (0), εn → 0+, tån t¹i xn ∈ Π0,01 (εn) mµ xn /∈ V, ∀n. (18) Bëi xn ∈ Π0,01 (εn) nªn víi mçi i, xin ∈ Gi(xiˆn),∀yin ∈ Gi(xiˆn), f i(yin, x iˆ n)− f i(xin, xiˆn) ∈ εnBi + Ki. (19) XÐt xn ∈ X , do Xcompact nªn tån t¹i d·y con vÉn ký hiÖu lµ xn → x¯ ∈ X , Do xin ∈ Gi(xiˆn). Do Gi(.) usc vµ Gi(x¯iˆ) compact, theo Chó ý 1, ta cã xin → x¯i ∈ Gi(x¯iˆ). Gi¶ sö x¯ /∈ Π0,01 (0) theo ®Þnh nghÜa ta cã ∃io, x¯io ∈ Gi(x¯iˆo),∃y¯io ∈ Gio(x¯iˆo) sao cho, f io(y¯io, x¯iˆo)− f io(x¯io, x¯iˆo) /∈ Ki0. (20) Bëi Gio(.) lµ lsc t¹i (x¯ iˆo) víi yi0 tån t¹i yi0n ∈ Gi0(xn) sao cho yion → y¯io. Sö dông d·y nµy vµo (19), ta cã f io(yion , x iˆo n )− f io(xion , xiˆon ) ∈ εnBi0 +Ki0. Cho n → ∞ vµ v× f i tùa ®ãng nªn f io(y¯io, x¯iˆo) − f io(x¯io, x¯iˆo) ∈ Ki0, mÉu thuÈn víi (20) nghÜa lµ x¯ ∈ Π0,01 (0). Tõ x¯ ∈ Π0,01 (0), kh«ng khã ®Ó thÊy nã m©u thuÈn víi (18). VËy Π0,01 (.) lµ usc t¹i 0 vµ ®Þnh lý ®­îc chøng minh. 32 Còng t­¬ng tù nh­ chøng minh §Þnh lý 16 nh­ng xÐt trong tr­êng hîp cã tham sè ta cã §Þnh lý 17. Gi¶ sö ∀i ∈ N, Gi(., .) lµ liªn tôc cã gi¸ trÞ ®ãng vµ f i(., ., .) lµ Ki-tùa ®ãng. Khi ®ã Π 0,0 1 (., .) lµ usc t¹i (0, λ¯),∀λ¯ ∈ Λ. XÐt c©n b»ng Nash Pareto yÕu, ta cã c¸c kÕt qu¶ t­¬ng tù nh­ng víi gi¶ thiÕt nhÑ h¬n, kh«ng cÇn tÝnh lsc cña Gi. §Þnh lý 18. Gi¶ sö ∀i ∈ N, Gi(., .) lµ usc cã gi¸ trÞ ®ãng vµ f i(., ., .) lµ Ki-tùa ®ãng. Khi ®ã (Π ∃)0,11 (., .) lµ usc t¹i (0, λ¯),∀λ¯ ∈ Λ. Chøng minh Gi¶ sö ng­îc l¹i (Π∃)0,01 (., .) kh«ng usc t¹i (0, λ¯), khi ®ã tån t¹i mét l©n cËn më V cña (Π∃)0,01 (0, λ¯), tån t¹i λn → λ¯, εn → 0+, tån t¹i xn ∈ (Π∃)0,01 (εn, λn) sao cho xn /∈ V, ∀n. Bëi xn ∈ (Π∃)0,01 (εn, λn) suy ra ∀i, xin ∈ Gi(xiˆn, λn),∃yˆin ∈ Gi(xiˆn, λn), f i(yˆin, x iˆ n, λn)− f i(xin, xiˆn, λn) ∈ εnBi + Ki, (21) xn ∈ X , do Xcompact nªn tån t¹i d·y con vÉn ký hiÖu lµ xn → x¯ ∈ X . NÕu x¯ 6∈ (Π∃)0,01 (0, λ¯) nh­ chøng minh §Þnh lý 16 vµ bëi bµi to¸n yÕu nªn cã i0 ∈ N , vµ y¯i0, ( ta cã thÓ xem yˆi0n → y¯i0 ∈ Gi0(x¯iˆ, λ¯)) sao cho f io(y¯io, x¯iˆo, λ¯)− f io(x¯io, x¯iˆo, λ¯) /∈ Ki0. Sö dông trong (21) d·y yˆi0n → y¯i0 ë trªn vµ bëi f io tùa ®ãng, cho n → ∞, cã f io(y¯io, x¯iˆo, λ¯)− f io(x¯io, x¯iˆo, λ¯) ∈ Ki0. 33 M©u thuÈn. Còng lý luËn t­¬ng tù §Þnh lý 16 ta cã ®iÒu cÇn chøng minh. 8.3. Well-posed cña c¸c bµi to¸n kh«ng tham sè vµ cã tham sè Tõ c¸c ®Þnh lý ë trªn vµ Chó ý 1, ta cã ®iÒu kiÖn ®ñ cho wellposed d¹ng I cña bµi to¸n kh«ng cã tham sè Γ nh­ sau: MÖnh ®Ò 6. Gi¶ sö ∀i ∈ N , Gi(.) lµ liªn tôc cã gi¸ trÞ ®ãng vµ f i(., .) lµ Ki-tùa ®ãng. Khi ®ã bµi to¸n kh«ng tham sè Γ lµ wellposed d¹ng I. Chøng minh Sö dông kÕt qu¶ cña §Þnh lý 16, cã Π0,01 (.) lµ usc t¹i 0. Ta chØ cÇn chøng minh Π0,01 (0) = Π 0,0 0 lµ tËp ®ãng. ThËt vËy, lÊy d·y xn ∈ Π0,00 , xn → x0 th× víi mçi i, xin ∈ Gi(xiˆn),∀yin ∈ Gi(xiˆn), f i(yin, x iˆ n)− f i(xin, xiˆn) ∈ Ki. (22) Tõ Chó ý 1, xin → x¯i ∈ Gi(x¯iˆ). NÕu x¯ /∈ Π0,00 theo ®Þnh nghÜa ta cã ∃io, x¯io ∈ Gi(x¯ iˆo),∃y¯io ∈ Gio(x¯iˆo) sao cho, f io(y¯io, x¯iˆo)−f io(x¯io, x¯iˆo) /∈ Ki0. Bëi Gio(.) lµ lsc t¹i (x¯iˆo), khi ®ã víi y¯io, ∃yion ∈ Gio(x¯iˆon ) sao cho yion → y¯io. Sö dông c¸c d·y trªn vµo (22) vµ cho n → ∞, ta cã f io(y¯io, x¯iˆo)− f io(x¯io, x¯iˆo) ∈ Ki0, lµ m©u thuÈn nªn Π0,00 lµ tËp ®ãng. H¬n n÷a nã lµ tËp compact, sö dông Chó ý 1 ta suy ra ®iÒu cÇn chøng minh. MÖnh ®Ò 7. Gi¶ sö ∀i ∈ N , Gi(., .) lµ liªn tôc cã gi¸ trÞ ®ãng vµ f i(., ., .) lµ Ki-tùa ®ãng. Khi ®ã hä bµi to¸n cã tham sè (Γλ) lµ wellposed d¹ng I t¹i λ¯, ∀λ¯ ∈ Λ. 34 XÐt wellposed d¹ng II, ta nhËn ®­îc c¸c kÕt qu¶: §Þnh lý 19. Gi¶ sö víi mçi i ∈ N, f i(., .) liªn tôc, Gi(.) liªn tôc cã gi¸ trÞ ®ãng th× bµi to¸n Γ lµ well-posed d¹ng II. Chøng minh XÐt xn lµ d·y xÊp xØ d¹ng II, tøc lµ: ∃εn → 0+,∀i ∈ N, xin ∈ Gi(xiˆn) , ∀yi ∈ Gi(xiˆn), f i(yi, xiˆn)− f i(xin, xiˆn) + εnBi ⊂ Ki. (23) Tõ X compact nªn cã d·y con vÉn ký hiÖu lµ xn → x¯. Do xin ∈ Gi(xiˆn), dÔ thÊy tõ tÝnh usc vµ Gi(x¯ iˆ) compact th× xin → x¯i ∈ Gi(x¯iˆ). NÕu x¯ /∈ Π0,00 theo ®Þnh nghÜa ta cã ∃io, x¯io ∈ Gi(x¯iˆo),∃y¯io ∈ Gio(x¯iˆo) sao cho, f io(y¯io, x¯iˆo)− f io(x¯io, x¯iˆo) ∈ intRkio+ . VËy cã ε¯ > 0 sao cho f io(y¯io, x¯iˆo)− f io(x¯io, x¯iˆo) + ε¯Bi0 ⊂ intRkio+ . Bëi Gio(.) lµ lsc t¹i (x¯ iˆo), khi ®ã víi y¯io, ∃yion ∈ Gio(xiˆon ) sao cho yion → y¯io. Tõ f i0 liªn tôc, khi n → +∞ ta cã: f io(yion , x iˆo n )− f io(y¯io, x¯iˆo) → 0, f io(xion , xiˆon )− f io(x¯io, x¯iˆo) → 0. Khi n ®ñ lín cã f io(yion , x iˆo n )− f io(y¯io, x¯iˆo)− f io(xion , xiˆon ) + f io(x¯io, x¯iˆo) ∈ ε¯ 2 Bi0. 35 Còng víi n ®ñ lín th× f io(yion , x iˆo n )− f io(xion , xiˆon ) + εnBi0 ⊂ f io(yion , xiˆon )− f io(xion , xiˆon ) + ε¯ 2 Bi0 ⊂ f io(yion , xiˆon )− f io(y¯io, x¯iˆo) + f io(y¯io, x¯iˆo) −f io(x¯io, x¯iˆo) + f io(x¯io, x¯iˆo)− f io(xion , xiˆon ) + ε¯ 2 Bi0 ⊂ f io(y¯io, x¯iˆo)− f io(x¯io, x¯iˆo) + ε¯Bi0 ⊂ intRki0 , vËy f io(yion , x iˆo n )− f io(xion , xiˆon ) + εnBi0 6⊂ Ki0. MÆt kh¸c, tõ (23) suy ra f i0(yi0n , x iˆ0 n )− f i0(xi0n , xiˆ0n ) + εnBi0 ⊂ Ki0, lµ m©u thuÉn vµ ®Þnh lý ®­îc chøng minh. §Þnh lý 20. Gi¶ sö víi mçi i ∈ N, f i(., ., .) liªn tôc, Gi(., .) liªn tôc cã gi¸ trÞ ®ãng th× bµi to¸n Γλ lµ well-posed d¹ng II. 36 KÕt luËn C¸c kÕt qu¶ cña ®Ò tµi ®· thùc hiÖn theo ®óng néi dung thuyÕt minh ®· ®¨ng ký. MÆt kh¸c, ®Ò tµi còng ®· ®­a ra ®­îc mét sè kÕt qu¶ míi vÒ æn ®Þnh theo nghÜa nöa liªn tôc vµ wellposed cho c¸c bµi to¸n tùa bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n (phÇn nµy lµm thªm vµ ch­a kÞp ®¨ng ký trong néi dung ®Ò tµi). C¸c kÕt qu¶ nhËn ®­îc cña ®Ò tµi cã thÓ më réng cho bµi to¸n cã rµng buéc níi réng vµ ¸p dông vµo mét sè bµi to¸n kh¸c cã liªn quan. C¸c kÕt qu¶ cña ®Ò tµi ®· vµ dù kiÕn tr×nh bµy trong c¸c xeminare vµ héi nghÞ khoa häc sau: 1. Héi nghÞ khoa häc quèc tÕ vÒ to¸n øng dông t¹i Nha trang th¸ng 3/2010; 2. Héi nghÞ khoa häc vÒ " BÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n vµ øng dông" t¹i Hµ néi (dù kiÕn th¸ng 5/2010); 3. Xeminare to¸n øng dông cña Khoa to¸n häc tr­êng §¹i häc §µ l¹t n¨m 2009 vµ n¨m 2010; 4. Xeminare tèi ­u vµ hÖ thèng cña tr­êng §¹i häc KHTN, §¹i häc quèc gia TP. Hå ChÝ Minh n¨m 2009. KÕt qu¶ cña ®Ò tµi ®· ®¨ng mét bµi " VÒ wellposed cho bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc tùa biÕn ph©n cã tham sè", trªn th«ng b¸o khoa häc tr­êng §¹i häc §µ l¹t n¨m 2009, mét bµi " VÒ æn ®Þnh c©n b»ng Nash-Pareto cña bµi to¸n trß ch¬i ®a môc tiªu" ®· göi ®¨ng trªn t¹p chÝ KHVCN n¨m 2010 vµ mét bµi ®ang hoµn thiÖn (cïng t¸c gi¶ kh¸c) dù kiÕn sÏ göi ®¨ng trªn mét 37 t¹p chÝ khoa häc chuyªn ngµnh quèc tÕ. Chñ nhiÖm ®Ò tµi còng ®· h­íng dÉn cho ba luËn v¨n cao häc chuyªn ngµnh to¸n gi¶i tÝch n¨m 2009. Bµi viÕt nµy (theo chñ nhiÖm ®Ò tµi) cã thÓ lµm tµi liÖu chuyªn kh¶o cho c¸c häc viªn cao häc chuyªn ngµnh to¸n gi¶i tÝch (h­íng øng dông) cña §¹i häc §µ l¹t. C«ng viÖc hoµn thµnh nhê tµi trî cña ®Ò tµi khoa häc cÊp bé, m· sè B 2008-14-21. 38 Tµi liÖu tham kh¶o [1] M. B. Lignola, Well-posedness and L-Well-Posedness for Quasivaria- tional Inequalities, JOTA , 128 (2006), 119-138. [2] M. B. Lignola and J. Morgan, Well-posedness for Nash equilibria and for optimization problems with Nash equilibrium constraints, J. Glob. Optim., 36 (2006), 439-459. [3] Z. Lin and J. Yu, On Well-posedness of the multiobjective general- ized game Editorial Committee of Applied Mathematic, J. of Chinese Universities, 19(3) (2004), 327-334. [4] P.Q. Khanh, L.M. Luu, Upper semicontinuity of the solution set of parametric multivalued vector quasivariational inequalities and appli- cations, J. Glob. Optim. 32, 551-568 (2005). [5] L.Q.Anh, P.Q.Khanh and D.T.M.Van and J. C. Yao,Well-posedness for vector quasiequilibria, Taiwanese journal of mathematics, 13 (2B)(2009), 713-737. [6] L.Q. Anh, P.Q. Khanh, Uniqueness and Holder continuity of the so- lution to multivalued equilibrium problems in metric spaces, J. Glob., Optim. 37 (2007), 449-465. [7] L.Q. Anh, P.Q. Khanh, Semicontinuity of solution sets to paramet- 39 ric quasivariational inclusions with applications to traffic networks, I: Upper semicontinuities, Set Valued Anal. 16 (2008), 267-279. [8] L.Q. Anh, P.Q. Khanh, Semicontinuity of the approximate solution sets of multivalued quasiequilibrium problems, Numer. Funct. Anal. Optim. 29 (2008), 24-42. [9] L.Q. Anh, P.Q. Khanh, Various kinds of semicontinuity of the solu- tion sets to symmetric multivalued vector quasiequilibrium problems, J. Glob. Optim. 41 (2008), 539-558. [10] L.Q. Anh, P.Q. Khanh, Semicontinuity of solution sets to paramet- ric quasivariational inclusions with applications to traffic networks, II: Lower semicontinuities. Applications, Set Valued Anal. online first (2008). [11] L.Q. Anh, P.Q. Khanh, Sensitivity analysis for multivalued quasiequi- librium problems in metric spaces: Holder continuity of solutions, J. Glob. Optim. online first (2008). [12] J.P.Aubin, H.Frankowska, Set - value analyis, Birkhauser, Boston, 1990. [13] P.Q.Khanh, L.M.Luu, Lower and upper semicontinuity of the solution sets and approximate solution sets to parametric multivalued quasivari- ational inequalities J. Optim. Theory Appl. 133, 329-339 (2007). 40 [14] P.Q.Khanh, L.M.Luu, Upper semicontinuity of the solution set of Parametric multivalued vector quasivariational inequalities and appli- cation, J.Global Optim. 32, 551-568 (2005). [15] P.Q.Khanh, L.M.Luu, On the existence of solution to vector Quasi - variational inequalities and quasi-coplementarity with applications to traffic network equilibria, J Optim. Theory Appl, 123, 533-548 (2004) [16] K.Kimura, Y.C.Liou and J.C.Yao, A Parametric Equilibrium Problem with Applications to Optimization Problems under Equilibrium Con- straints, J.Nonlinear Convex Anal.7 (2), (2006), 237--243. [17] B.Lemaire, C.O.A.Salem and J.P.Revalski, Well-posedness by petur- bations of variational problems, J.Optim.Theory Appl.215 (2002), 345- -368. [18] M.B.Lignola and J.Morgan,Well-posedness for optimization problems with constrains defined by variational inequalities having a unique so- lution, J.Global Optim., 16(1) (2000), 57--67. [19] Y. P. Fang, and R. Hu, N. J. Huang, Well-posedness for variational inequalities defined by bifunctions, J. Comput. Math. Appl., 53 (2007), 1306-1316. [20] A. N. Tykhonov, On the stability of the functional optimization,U.S.S.R. J. Comput. Math. Math. Phys., 6 (3) (1996), 26-33. 41 [21] L. J. Lin, Systems of generalized quasi-variational inclusions prob- lems with applications to variational analysis and optimization prob- lems, J. Global Optim., 38 (2007) 21-39. [22] L.J.Lin, Variational inclusions problems with applications to Eke- land's variational principle, fixed point and optimization problems, J. Global Optim., DOI: 10.1007/s10898-007-9153-1. 42 Tãm t¾t Néi dung cña ®Ò tµi xÐt æn ®Þnh theo nghÜa nöa liªn tôc vµ well-Posed cho c¸c bµi to¸n tùa bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®a trÞ cã tham sè, ®ång thêi ®­a ra c¸c øng dông vµo bµi to¸n c©n b»ng giao th«ng vµ bµi to¸n trß ch¬i ®a môc tiªu tæng qu¸t. Abstract We consider semicontinuity and well-posedness of the solution set of parametric multivalued quasivariational inequalities. Applications to traffic equibibrium problems and the multiobjective generalized game. 43 B¸o c¸o kinh phÝ, b¸o c¸o quyÕt to¸n 44

Các file đính kèm theo tài liệu này:

  • pdfVề ổn định nghiệm của các bất đẳng thức biến phân và ứng dụng.pdf