Ảnh hưởng của ma trận hiệp phương sai cạnh đo đến kết qủa bình sai lưới GPS

Tạp chí Khoa học Công nghệ Hàng hải Số 23 – 8/2010 76 ẢNH HƯỞNG CỦA MA TRẬN HIỆP PHƯƠNG SAI CẠNH ĐO ĐẾN KẾT QỦA BÌNH SAI LƯỚI GPS EFFECT OF COVARIANCE MATRIXS OF BASELINES ON GPS NETWORK RIGOROUS ADJUSTMENT ThS. NGUYỄN THỊ HỒNG Khoa Công trình thủy, Trường ĐHHH Tóm tắt Ma trận hiệp phương sai của các cạnh GPS (baselines) được sử dụng để bình sai chặt chẽ lưới GPS. Theo phương pháp này, việc xử lý số liệu khá phức tạp. Với mục đích đơn giản hoá tính toán bình sai cần phân tích tác động của các hệ số liên hệ giữa các thành phần X, Y, Z của cạnh GPS đến kết quả bình sai. Abstract Covariance matrixs of the baselines are used for GPS network rigorous adjustment. In this method, data process is rather complicated. In order to simplification of adjustment computation, impacts of correlation between components X, Y, Z of the baseline on adjustment result are analyzed. 1. Đặt vấn đề Hiện nay công nghệ GPS đã được sử dụng rộng rãi trong xây dựng các mạng lưới trắc địa quốc gia, lưới khống chế khu vực và lưới khống chế công trình. Bản chất của các trị đo GPS (X, Y, Z) trong hệ tọa độ không gian địa tâm là các trị đo phụ thuộc. Việc xử lý số liệu đo thường thực hiện bằng phần mềm xử lý đi kèm với máy thu GPS. Kết quả xử lý cho ta các thành phần của véc tơ cạnh (baseline components) và ma trận hiệp phương sai (covariance matrix) của các thành phần đó. Về nguyên tắc, khi tính toán bình sai lưới GPS phải xét đến các ma trận hiệp phương sai của các trị đo nói trên. Để xem xét khả năng ứng dụng phương pháp bình sai với trọng số được đơn giản hoá, không sử dụng toàn bộ ma trận hiệp phương sai trong bình sai lưới GPS cần đánh giá ảnh hưởng của ma trận hiệp phương sai đến kết quả sau bình sai mạng lưới. 2. Cơ sở lý thuyết Trong bình sai gián tiếp lưới GPS ta có hệ phương trình số hiệu chỉnh của các cạnh đo là: V = A. X + L (1) Trong đó: V(3nx1) : là vector số hiệu chỉnh trị đo A(3nx3k) : là ma trận hệ số phương trình số hiệu chỉnh X(3kx1) : là vector số hiệu chỉnh toạ độ L(3nx1) : là vector số hạng tự do với n là số trị đo; k là số điểm cần xác định. Công việc bình sai lưới được thực hiện theo nguyên lý số bình phương nhỏ nhất , tức là: VTPV = min (2) Ma trận trọng số P có dạng:                   1 1 2 1 1 )33( .... n nnx M M M P (3) Trong đó M là các ma trận hiệp phương sai nhận được khi giải cạnh GPS: i i ZVarYZCovXZCov YZCovYVarXYCov XZCovXYCovXVar M            )()()( )()()( )()()( (i=1,2,...n) (4) Tạp chí Khoa học Công nghệ Hàng hải Số 23 – 8/2010 77 Từ (1) lập hệ phương trình chuẩn: ATPA. X + ATPL = 0 (5) Giải hệ phương trình chuẩn, nhận được: X = - (ATPA)-1. ATPL (6) Sau khi có X, sẽ tính được toạ độ các điểm sau bình sai và tính được số hiệu chỉnh V cùng với gia số toạ độ sau bình sai. Sai số trung phương trọng số đơn vị: kn PVV T 330   (7) Sai số trung phương vị trí điểm: ZiYiXiiXYZ QQQm  .0)(  (8) QXi , QYi , QZi là các phần tử trên đường chéo chính của ma trận trọng số đảo Q (là nghịch đảo của ma trận ATPA) ứng với vị trí điểm i. Để đánh giá ảnh hưởng của ma trận hiệp phương sai Mi đến kết quả bình sai lưới GPS, ở đây tôi tiến hành bình sai một số lưới GPS theo 3 phương án tính trọng số như sau: 2.1 Phương án 1 Sử dụng toàn bộ ma trận hiệp phương sai để tính trọng số P. Trong phương án này ma trận trọng số P có dạng (3). 2.2 Phương án 2 Coi các trị đo là độc lập, không cùng độ chính xác. Sử dụng phương sai của các trị đo (các phần tử trên đường chéo của ma trận M) để tính trọng số theo công thức: 2 1 X X m P    ; 2 1 Y Y m P    ; 2 1 Z Z m P    (9) 2.3 Phương án 3 Coi các trị đo là độc lập và cùng độ chính xác. 1  ZYX PPP (10) Các mạng lưới thực nghiệm sẽ được tính theo 3 phương án. Kết quả toạ độ sau bình sai và kết quả đánh giá độ chính xác sau bình sai tính theo 3 phương án sẽ được so sánh với nhau để đánh giá sai lệch của 2 phương án đơn giản hoá trọng số (phương án 2 và 3) so với phương án đầy đủ và chặt chẽ nhất (phương án 1). Đối với mỗi điểm trong mạng lưới, ký hiệu (X1, Y1, Z1); (X2, Y2, Z2) và (X3, Y3, Z3) là toạ độ vuông góc không gian bình sai theo phương án (1), phương án (2) và phương án (3). - So sánh phương án (1) với phương án (2): Mỗi điểm tính được độ lệch toạ độ bình sai theo phương án (1) và phương án (2) theo công thức : dX = X1 – X2 dY = Y1 – Y2 (11) dZ = Z1 – Z2 Tổng hợp độ lệch được tính : 222 )21( ZYX ddddP  (12) - So sánh phương án (1) với phương án (3): Mỗi điểm tính được độ lệch toạ độ bình sai theo phương án (1) và phương án (3) theo công thức : dX = X1 – X3 dY = Y1 – Y3 (13) dZ = Z1 – Z3 Tổng hợp độ lệch được tính : 222)31( ZYX ddddP  (14) 3. Số liệu và kết quả tính toán Tạp chí Khoa học Công nghệ Hàng hải Số 23 – 8/2010 78 3.1. Mạng lưới GPS cạnh ngắn tại Viện Khoa học Công nghệ xây dựng a. Các thông tin về mạng lưới Đây là mạng lưới GPS cạnh ngắn (hình 1), gồm 4 điểm trong đó có 1 điểm khởi tính (điểm A), trong lưới đo 6 cạnh đo độc lập, được đo bằng máy thu GPS 1 tần số Trimble 4600LS. Tại các các điểm của lưới đều có mốc định tâm bắt buộc. Thời gian đo trung bình là 22 phút. Bảng 1. Số liệu gốc. Tên điểm X(m) Y(m) Z(m) A -1620403.8750 5730440.0620 2276443.0410 Bảng 2. Giá trị véc tơ cạnh đo và ma trận hiệp phương sai. Ma trận hiệp phương sai TT Giá trị đo Sx Sy Sz X 120.6960 Sx 7.367865E-07 Y 33.2160 Sy -7.834207E-07 2.625313E-06 Véc tơ 1 Từ A đến D Z -29.7710 Sz -5.534056E-07 1.047337E-06 1.124528E-06 X -143.7880 Sx 3.999014E-07 Y -98.2680 Sy -3.120205E-07 1.144880E-06 Véc tơ 2 Từ B đến A Z 129.2930 Sz -1.915401E-07 5.161248E-07 1.329803E-06 X 27.0180 Sx 4.837362E-07 Y -77.0620 Sy -5.332964E-07 1.735148E-06 Véc tơ 3 Từ B đến C Z 200.6620 Sz -9.798039E-08 4.211336E-07 3.325489E-07 X -23.0960 Sx 3.651114E-07 Y -65.0410 Sy -2.791560E-07 1.155923E-06 Véc tơ 4 Từ B đến D Z 99.5190 Sz 5.171503E-08 1.869014E-07 4.896109E-07 X -170.8070 Sx 7.098023E-07 Y -21.2040 Sy -1.139047E-06 3.330742E-06 Véc tơ 5 Từ C đến A Z -71.3720 Sz -4.068584E-07 1.113218E-06 6.238998E-07 X -50.1140 Sx 7.242726E-07 Y 12.0200 Sy -1.088271E-06 2.375322E-06 Véc tơ 6 Từ C đến D Z -101.1370 Sz -3.558289E-07 7.864171E-07 3.990107E-07 b. Kết quả tính bình sai theo 3 phương án trọng số Bảng 3. Toạ độ sau bình sai. Chênh lệch tọa độ giữa 2 phương án (mm) Tên điểm Giá trị Phương án 1 Phương án 2 Phương án 3 P. án 1-2 P. án 1-3 X(m) -1620260.0864 -1620260.0860 -1620260.0858 -0.4 -0.6 Y(m) 5730538.3281 5730538.3275 5730538.3268 +0.6 +1.3 Z(m) 2276313.7509 2276313.7502 2276313.7495 +0.7 +1.4 B mXYZ 0.0036 m 0.0035 m 0.0036 m +0.1 0 B D C A Hình 1. Sơ đồ lưới GPS –Viện KHCNXD. Tạp chí Khoa học Công nghệ Hàng hải Số 23 – 8/2010 79 104403 104417 IV-01 IV-04 IV-03 IV-02 Hình 3. Lưới GPS hạng IV TP Vĩnh Yên. X(m) -1620233.0680 -1620233.0677 -1620233.0675 -0.3 -0.5 Y(m) 5730461.2657 5730461.2652 5730461.2645 +0. 5 +1.2 Z(m) 2276514.4118 2276514.4111 2276514.4108 0. 7 +1.0 C mXYZ 0.0042 m 0.0040 m 0.0036 m +0.2 +0.6 X(m) -1620283.1810 -1620283.1812 -1620283.1808 +0.2 -0.2 Y(m) 5730473.2838 5730473.2843 5730473.2828 -0.5 +1.0 + Z(m) 2276413.2730 2276413.2716 2276413.2708 +1.4 +2.2 D mXYZ 0.0039 m 0.0039 m 0.0036 m 0 +0.3 SSTP trọng số đơn vị 3.1526 2.9731 0.0029 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 dP(1-2)(mm) 1.0 0.9 1.5 dP(1-3)(mm) 2.0 1.6 2.4 Điểm B Điểm C Điểm D Hình 2. Đồ thị so sánh độ lệch tọa độ lưới GPS tại Viện Khoa học Công nghệ Xây dựng. c. Nhận xét - Chênh lệch toạ độ X,Y, Z lớn nhất là: 2,2 mm. Chênh lệch tọa độ và tổng hợp chênh lệch phương án (1-2) nhỏ hơn phương án (1-3). - Sai số toạ độ X, Y, Z sau bình sai theo phương án 3 là nhỏ nhất, phương án 1 là lớn nhất. 3.2. Mạng lưới GPS hạng IV khu vực thành phố Vĩnh Yên a. Các thông tin về mạng lưới Đây là mạng lưới GPS có chiều dài cạnh trung bình là 4 km, phục vụ Dự án quy hoạch cấp thoát nước trung tâm thành phố Vĩnh Yên. Lưới gồm 6 điểm trong đó có 1 điểm khởi tính (điểm 104417), trong lưới đo 11 cạnh, được đo bằng máy thu GPS 1 tần số (thời gian đo trung bình là 1h). Trong trường hợp này sử dụng tất cả cạnh để bình sai, tức là sử dụng cả các cạnh phụ thuộc. Bảng 4. Số liệu gốc. Tên điểm X(m) Y(m) Z(m) 104417 -1601407.0065 5725817.8534 2301129.7240 Bảng 5. Giá trị véc tơ cạnh đo và ma trận hiệp phương sai. Tạp chí Khoa học Công nghệ Hàng hải Số 23 – 8/2010 80 Ma trận hiệp phương sai TT Giá trị đo Sx Sy Sz X -400.949 Sx 3.608503E-07 Y 136.709 Sy -3.539083E-07 8.211354E-07 Véc tơ 1 Từ 104417 đến IV-01 Z -614.428 Sz -1.520704E-07 3.191811E-07 2.995068E-07 X 6231.748 Sx 7.256463E-07 Y 1141.801 Sy -1.224867E-06 4.657578E-06 Véc tơ 2 Từ IV-02 đến 104403 Z 1481.043 Sz -3.783365E-07 1.147673E-06 6.980600E-07 X -461.012 Sx 6.511498E-07 Y 566.096 Sy -6.513540E-07 1.487990E-06 Véc tơ 3 Từ IV-02 đến 104417 Z -1732.360 Sz -2.961187E-07 5.994578E-07 5.596802E-07 X -861.961 Sx 8.283303E-07 Y 702.806 Sy -8.484529E-07 1.991737E-06 Véc tơ 4 Từ IV-02 đến IV-01 Z -2346.789 Sz -3.791987E-07 8.077177E-07 7.623042E-07 X 2876.025 Sx 7.577943E-07 Y 402.477 Sy -1.259178E-06 4.633132E-06 Véc tơ 5 Từ IV-02 đến IV-03 Z 990.364 Sz -4.004197E-07 1.145491E-06 7.013419E-07 X 946.448 Sx 4.128183E-07 Y -442.830 Sy -6.949135E-07 2.599094E-06 Véc tơ 6 Từ IV-02 đến IV-04 Z 1736.683 Sz -2.262686E-07 6.432423E-07 3.896704E-07 X 3355.721 Sx 5.222500E-07 Y 739.317 Sy -7.811999E-07 3.046984E-06 Véc tơ 7 Từ IV-03 đến 104403 Z 490.674 Sz -2.267754E-07 8.104524E-07 5.310692E-07 X -3337.024 Sx 3.524419E-06 Y 163.600 Sy -4.205366E-06 9.167352E-06 Véc tơ 8 Từ IV-03 đến 104417 Z -2722.730 Sz -1.895162E-06 3.515855E-06 2.815788E-06 X -3737.976 Sx 2.969223E-06 Y 300.313 Sy -3.702622E-06 8.616694E-006 Véc tơ 9 Từ IV-03 đến IV-01 Z -3337.160 Sz -1.670534E-06 3.299721E-006 2.652323E-06 X 5285.299 Sx 5.616979E-07 Y 1584.631 Sy -9.521106E-07 3.680877E-06 Véc tơ 10 Từ IV-04 đến 104403 Z -255.643 Sz -2.919422E-07 8.938737E-07 5.376943E-07 X 1929.576 Sx 5.378161E-07 Y 845.307 Sy -9.042921E-07 3.423170E-06 Véc tơ 11 Từ IV-04 đến IV-03 Z -746.319 Sz -2.860927E-07 8.233601E-07 4.954296E-07 b. Kết quả tính bình sai theo 3 phương án trọng số Bảng 6. Toạ độ sau bình sai. Chênh lệch tọa độ giữa 2 phương án (mm) Tên điểm Giá trị Phương án 1 Phương án 2 Phương án 3 P. án 1-2 P.án 1-3 X(m) -1601807.9555 -1601807.9555 -1601807.9563 0 +0.8 Y(m) 5725954.5626 5725954.5626 5725954.5637 0 -1.1 Z(m) 2300515.2957 2300515.2957 2300515.2953 0 +0.4 IV-01 mXYZ 0.0027 0.0030 0.0052 -0.3 -2.5 X(m) -1600945.9963 -1600945.9963 -1600945.9988 0 +2.5 Y(m) 5725251.7590 5725251.7589 5725251.7628 +0. 1 -3.8 Z(m) 2302862.0850 2302862.0852 2302862.0859 -0. 2 -0.9 IV-02 mXYZ 0.0031 0.0034 0.0050 -0.3 -1.9 IV-03 X(m) -1598069.9729 -1598069.9727 -1598069.9775 -0.2 +4.6 Tạp chí Khoa học Công nghệ Hàng hải Số 23 – 8/2010 81 Y(m) 5725654.2410 5725654.2420 5725654.2468 -1.0 -5.8 Z(m) 2303852.4508 2303852.4512 2303852.4529 -0.4 -2.9 mXYZ 0.0042 0.0047 0.0050 -0.5 -0.8 X(m) -1599999.5487 -1599999.5487 -1599999.5523 0 +3.6 Y(m) 5724808.9305 5724808.9308 5724808.9354 -0. 3 -4.9 Z(m) 2304598.7689 2304598.7691 2304598.7705 -0. 2 -3.6 IV-04 mXYZ 0.0045 0.0049 0.0063 -0.4 -1.8 X(m) -1594714.2500 -1594714.2501 -1594714.2535 +0.1 +3.5 Y(m) 5726393.5598 5726393.5602 5726393.5647 -0.4 -4.9 Z(m) 2304343.1262 2304343.1263 2304343.1278 -0.1 -1.6 104403 mXYZ 0.0048 0.0052 0.0063 -0.4 -1.5 SSTP trọng số đơn vị 2.5252 2.7536 0.0042 0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 dP(1-2)(mm) 0.0 0.2 0.4 1.1 0.4 dP(1-3)(mm) 1.4 4.6 6.2 7.7 6.3 Điểm IV-01 Điểm IV-02 Điểm 104403 Điểm IV-03 Điểm IV-04 Hình 4. Đồ thị so sánh độ lệch tọa độ lưới GPS hạng IV khu vực thành phố Vĩnh Yên. c. Nhận xét - Chênh lệch toạ độ X,Y, Z lớn nhất là: 5.8 mm. Chênh lệch tọa độ và tổng hợp chênh lệch phương án (1-2) nhỏ hơn phương án (1-3). - Sai số toạ độ X,Y,Z sau bình sai theo phương án 1 là nhỏ nhất, phương án 3 là lớn nhất. 4. Kết luận Từ kết quả tính toán của 2 lưới trên ta thấy: - Kết quả bình sai lưới GPS phụ thuộc vào cách xác định trọng số của đại lượng đo. Cách tính trọng số khác nhau cho kết quả toạ độ điểm và sai số trung phương vị trí điểm khác nhau, tuy nhiên đối với lưới GPS cạnh ngắn dưới 4km, sự sai lệch này rất nhỏ. - Với số liệu của lưới thứ nhất, nếu các cạnh đo độc lập thì khi bình sai trọng số P=1 cho ta kết quả sai số trung phương vị trí điểm là nhỏ nhất. - Với số liệu của lưới thứ hai, nếu các cạnh đo phụ thuộc thì khi bình sai với trọng số tính dựa vào ma trận hiệp phương sai đầy đủ cho ta kết quả sai số trung phương vị trí điểm là nhỏ nhất. - Đối với mạng lưới yêu cầu độ chính xác cỡ centimet thì ta có thể bỏ qua các phần tử hiệp phương sai (cov), chỉ sử dụng đường chéo của ma trận hiệp phương sai để tính trọng số khi bình sai lưới GPS. Sự sai khác của phương án này với phương án chặt chẽ không nhiều. - Đối với mạng lưới yêu cầu độ chính xác cao, khi bình sai mạng lưới phải xét đến các phần tử hiệp phương sai của ma trận hiệp phương sai. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đỗ Ngọc Đường, Đặng Nam Chinh, Bài giảng Công nghệ GPS, Trường Đại học Mỏ địa chất - 2003. Tạp chí Khoa học Công nghệ Hàng hải Số 23 – 8/2010 82 [2] Hoàng Ngọc Hà, Bình sai tính toán lưới trắc địa và GPS, Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật- 2006. [3] Earl F. Burkholder, Magical least squares. NMSU Department of Surveying Engineering, 2005. [4] Keliang Ding, Dajie Liu and Congwei Hu, Impacts of correlation between baselines on the adjustment of GPS control network. 1st FIG IS - Nottingham, UK 28 June-1 July 2004. Người phản biện: ThS. Hoàng Hồng Giang