Bài tập cơ học Tập hai: động lực học

khi ấy ôtô chuyển động chậm dần đều. Tính lực căng mỗi dây cáp (có hai dây cáp) buộc giữ phà, coi rằng dây cáp luôn luôn căng. a  v  2T  10s m P  hình 1.5 Bài sửa  Khảo sát chuyển động của xe:  Sử dụng tiên đề 2 động lực học: hình 1.5.1 msF  P  1a  1v  1N  x y  1 1 1 1msm a P FN       Chiếu (1) lên :,x y  Khảo sát sự cân bằng của phà:     1 1 1 2 0 3 ms P F N m a         13 N P   Ta có: 2 20 1 1 2 0 36 2 .10 v v a s a      2 1 1,8 0a m s     Thay  21,8 2 :a m s vào   1 1 6000.1,8 10800     mstF m a N xy Q  1N  2.T  N  msF  hình 1.5.2  *2 0 5    jx mstF T F   * 10800 5400 2 2    mst F T N Chương II: ĐỘNG LỰC HỌC CƠ HỆ. Bài tập 2. Cho 1 thanh thẳng, mảnh, đồng chất tiết diện đều AB. Khối lượng của toàn thanh là m, chiều dài . Thanh AB cắt trục z tại điểm gốc O và hợp trục z một góc  như hình vẽ. Cho biết: Hãy xác định moment quán tính của thanh AB đối với trục x, y,z và tâm O (thanh AB nằm trong mặt phẳng Oyz). , , , , . m OA a OB b A Bz O  K u du u kd z Hình II.2b x kyd y A Bz O  Hình II.2a x y Bài sửa  Khối lượng riêng của thanh:    2 2 2 2 2 1 . . . .sin sin          b b k k k a a J m d du u u du   z z ,  m kg m  Khảo sát một chất điểm K trên thanh:  Chiều dài:  Khối lượng điểm K: du .km du .sin .cos         k ky kx d u d u d u z  Moment quán tính của toàn thanh đối với trục z :  Dựng hệ trục Oxyz sao cho thanh nằm trong Oyz. Dựng trục Ou có phương trùng AB và có chiều như hình vẽ.        3 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 sin . sin 3 3 sin 3 sin 3                 bm u m J b a a m a b a ab b m a ab b     z    2 2 2y 1 2 2 . . . . cos cos               b k ky k a b a J m d du u u du  Moment quán tính của toàn thanh đối với trục y:         3 2 2 3 3 y 2 2 2 2 2 2 cos . cos 3 3 cos 3 cos 3                     bm u m J b a a m a b a ab b m a ab b       2 2 2 x 1 3 3 3 2 2 2 2 . . . 3 ( )( ) 3 3 ( ) 3                                b b k kx k a a b a J m d du u u du u b a a b a ab b m a ab b  Moment quán tính của toàn thanh đối với trục x:    2 2O 12 3     x y m J J J J a ab bz  Moment quán tính của toàn thanh đối với tâm O: Vậy: JO = Jx . Bài tập 3. Cho một cơ hệ gồm 2 vật rắn có dạng hình lăng trụ tiết diện tam giác vuông đặt chồng lên nhau với vị trí ban đầu như hình vẽ. Tiết diện của 2 vật là 2 tam giác vuông đồng dạng. Khối lượng của 2 vật lần lượt là mA, mB. Vật B tựa không ma sát trên mặt nghiêng của mặt A. Vật A tựa không ma sát đối với mặt ngang cố định. Các cạnh của 2 vật song song với bề mặt cố định là a, b (a > b). Ban đầu toàn hệ đứng yên. Hãy xác định đoạn đường chuyển động của vật A khi vật B trượt hết mặt nghiêng của vật A (lúc B vừa chạm đất). a b A B b Hình II.3 Bài sửa O a 0 BC b AC BC x y 0 AC 0 BC x 0 AC x As AC x BC x AP  N  BP  / 3a 3 b Hình II.3.1  Dựng hệ trục Oxy như hình vẽ.  Gọi:  Khối tâm của vật A, vật B và toàn hệ: CA, CB, C  Đoạn đường chuyển động của vật A khi B chạm mặt phẳng cố định: sA  Tọa độ x của các khối tâm: 0 0; ; ;A BA B C CC C x x x x  Ta có: 0 0 2 = ; = ; 3 3 = ; = 3 3 A B A B C C C A C A a x x b a b x s x s a    Ban đầu toàn hệ đứng yên.     0 0 0 = 0 = 0 = 0        A A A C C C mx sv my s     0 0 0 = 0 = 0 = 0        B B B C C C mx sv my s  Khảo sát chuyển động toàn hệ (2 vật).  Hệ ngoại lực tác động lên hệ: ; ;A BP P N     Dùng định lý chuyển động khối tâm.   3 =1 . = = ; 1eC j A B j M a F P P N       Chiếu (1) lên trục x:  2. = 0 = 0 = C C C mM x x s x const      0=C Cx x    Theo định nghĩa khối tâm hệ, ta có: 2=1 . . . = = A B k k A C B Ck C A B m x m x m x x M m m        0 0 : . .. . = = 0A B A B A BC CA C B C A B A B do đó m x m xm x m x m m m m       = 0Cx  0= =C Cconst xx 0 0.. . = . A BA B A BC CC B C A B A A B mm x m x m mm x x m m    00. . = . .B AA BCA B A C CC B m m mx mxx x    3 . . = . 2 . 33 3AA B BA A ab ssm m m m a ba                         = 0BA A B m s b a m m     Vì sA < 0 nên vật A chuyển động về phía bên trái. Bài tập 4. Cho con lăn O là vành tròn, đồng chất, bán kinh r lăn không trượt lên mặt phẳng nghiêng một góc  cố định như hình vẽ. Trọng lượng của con lăn P và hệ số trượt tĩnh giữa con lăn O và mặt phẳng ngang cố định là ft, bỏ qua ma sát lăn. Cho P, = const, r, , ft. Hệ ban đầu đứng yên. a. Phân tích chuyển động của vành và của tâm O vành. Thiết lập các mối quan hệ động học giữa các đặc trưng chuyển động của toàn vật với các đặc trưng chuyển động của tâm O vật. b. Xác định gia tốc góc của con lăn O dưới dạng hàm của r, , , và P. Tìm điều kiện của moment để con lăn O lăn lên. c. Xác định phản lực tại tiếp điểm A. d. Tìm điều kiện của ft để con lăn O lăn không trượt trên mặt phẳng nghiêng cố định. M MM A O  P r    M Hình II.4 Bài giải   qtR qt OM  A  mstF O 0v  N  P r    M  0 0a  0s  Hình II.4.1 x y a.  Phân tích chuyển động.  Của vành: vành lăn không trượt, nhanh dần, lên trên mặt nghiêng cố định. Đây là 1 dạng chuyển động song phẳng với tâm vận tốc tức thời P là điểm tiếp xúc A.  Của tâm O: chuyển động thẳng theo phương của mặt nghiêng, nhanh dần, hướng lên.  Quan hệ động học.  Do vành lăn không trượt nên ta có các quan hệ sau đây: 0 0 00 0       s v a r r r    Với  là góc quay,  là vận tốc góc,  là gia tốc góc của vành. b. Tính động năng hệ 2 2 0 1 1 . . 2 2 hê OT m v J    2 2 0 . .            O Pm g PJ mr r g v r Vôùi do vaät laø vaønh 2 2 2 2 2 21 1. . . . . . 2 2    hê P P P T r r r g g g     Tính tổng công các tải        mstA A P A N A F A       M   0, (vìN NVôùi vuoâng goùc vôùi be àmaët tieáp xuùc vaø vì ñieåm A co áñònh : A )     0mstA F     .A  M M    0. . .sin .A P P h Pr       0 0.sin . .sin h s rVì     .A P.r.sin   M - 0s  O Hình II.4.2 0h  Áp dụng định lý biến thiên động năng: 1 0 hê hêT T   0 hêT A   ban ñaàu heä ñöùng yeân = 0  2 2. . . .sin .P r Pr g     M  Đạo hàm 2 vế theo thời gian t:    2. 2. . . .sin .P r P r g   M   22. . P.r.sin g P r    M -   0 . .sin . . 2. . P r a r g P r      M  Điều kiện của để vành lăn lên:M 0 . .sin 0 . .sin P r P r          chieàu ñaõ choïn laø ñuùng M M c. Sử dụng nguyên lý D’Alembert.  Tác động thêm lên vành 2 thành phần cơ bản của hệ lực quán tính đặt tại O.  Vector chính của hệ lực quán tính. .qt OR ma      . .sin . . . 2 . qt O qt O gg R a Pr R ma r P P              M  . .sin 2qt P r R r    M  Moment chính của hệ lực quán tính đối với tâm O. .qtO OM J   2 2 . .sin . . . . 2 . qt O qt O O M Prr gJ rg PM P                    M  1 2 qt OM P.r.sin  M -  Khảo sát sự cân bằng của vành:     .sin 0 1 cos 0 2 jx qt mst jy F P R F F N P              Giải hệ (1), (2) ta thu được:  .cos 3N P  .sin . .sin .sin 2 mst qtF P R PrP r         M  4 2mst P.r.sin F r    M + d. Điều kiện để vành lăn không trượt:  . 5mst msgh tF F f N   Thay (3), (4) vào 2 vế của (5) ta nhận được: . .sin 2 . .cost P rf P r      M . .sin . .cos 2 t Pr f P r     M Bài tập 5. Cho 1 cơ hệ gồm 2 vật có khối lượng M1 và M2 có liên kết và chịu tải như hình vẽ. Hệ số ma sát trượt tĩnh giữa 2 vật là ft, bỏ qua ma sát giữa vật có khối lượng M2 với sàn cố định. Ban đầu khi chưa chịu tác dụng của hệ lực F hệ cân bằng. Tìm điều kiện của giá trị lực F để hai vật cùng chuyển động tịnh tiến thẳng theo phương ngang như nhau (không trượt đối với nhau).  F tf 1M 2M Hình II.5  Gọi lần lượt là gia tốc của C1, C2, C. 1 2 , ,C C Ca a a    Bài giải  Gọi C1, C2, C lần lượt là khối tâm của vật 1, vật 2 và của toàn hệ.  Vì vật 1 không bị trượt đối với vật 2 nên: 1 2C C C a a a a        Khảo sát chuyển động của toàn hệ.  Hệ ngoại lực tác động lên hệ: 21 , , ,FP NP   Hình II.5.1 F  tf 1 M 2M 1c 2c c N  a  1P  2P  x y O  Dùng định lý chuyển động khối tâm cho hệ.   4 1 2 1 . 1ec j j Ma F P P F N             Hệ ngoại lực tác động lên vật 1: .Ma F   1 2 2 F F a M M M      Ta khảo sát chuyển động của vật 1 (có lợi hơn khảo sát vật 2 vì vật 1 có ít ngoại lực tác động hơn so với vật 2). 1 1, ,mstFP N     Dùng định lý chuyển động khối tâm cho vật 1:  Chiếu (1) lên trục x: 1M 1c 1N  1P  mstF  x y O Hình II.5.2 a    1 3 1 1 1 1 . 3eC j mst j M a F P F N           Chiếu (3) lên 2 trục x,y:  1: . 4mstOx M a F  1 1: 0 5Oy P N    Thay (2) vào (4), ta có:  1 1 2 . 6mst M F F M M    Từ (5) ta tính đựơc:  1 1 1. 7N P M g   Điều kiện để vật (1) không trượt trên vật (2):  1. 8mst msgh tF F f N   Thay (6), (7) vào (8): 1 1 1 2 . . .t M F f M g M M    1 2 .tF f M M g   Bài tập 6. Cho một đĩa tròn,đặc, đồng chất có bán kính R và khối lượng , bị đẩy lăn không trượt trên mặt nghiêng với vận tốc ban đầu của tâm A đĩa ở chân dốc là . Biết mặt nghiêng cố định nghiêng một góc đối với phương ngang và chiều dài mặt nghiêng là . Cho biết: bán kính R, a) Hãy phân tích chuyển động của đĩa và tâm A đĩa. Tìm mối quan hệ động học giữa chuyển động của đĩa và tâm A đĩa. b) Tính động năng cho đĩa và tổng công tác động lên đĩa. c) Tính vận tốc và gia tốc của tâm A đĩa. Cho nhận xét hai kết quả này. d) Tìm điều kiện về giá trị để đĩa có thể lăn lên được hết dốc. e) Xác định các thành phần phản lực tại điểm tiếp xúc I. f) Tìm điều kiện của góc nghiêng để đĩa lăn không trượt trên mặt nghiêng. m 0 Av  0 Av  0, , , , , .A tm v f f đ g. Cho : g1. phân tích lại chuyển động của đĩa. Xác định và chọn các tọa độ suy rộng. g2. xác định các lực suy rộng tương ứng g3. thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động cho hệ. 3 ttg f  hêdof  Hình II.6 ,   ,   A As v I A R a).  Phân tích chuyển động của đĩa: Bài sửa Hình II.6.1 , A A  ,A As v    Al I A x qtR   mstF (vì vật lăn không trượt)  A qt AM P  Aa N  y Do đó:  Quan hệ động học giữa chuyển động của đĩa và chuyển động của tâm A đĩa khi đĩa lăn không trượt: Đĩa chuyển động lăn không trượt trên mặt nghiêng cố định. Đây là trường hợp đặc biệt của chuyển động song phẳng với tâm vận tốc tức thời là điểm tiếp xúc I.   AA v R   Phân tích chuyển động của khối tâm A đĩa: tâm A đĩa chuyển động thẳng với quỹ đạo là đường thẳng song song với mặt nghiêng cố định và cách mặt nghiêng ấy một khoảng bằng bán kính đĩa.   A    ;   A A A Av a A A s R     AA a R  b.  Động năng của hệ:  Tổng công các tải: 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 3 4 hê A A A A A A A T m v J vP P v R g g R P v g                  mstA A P A F A N        0 :mstA F   vì vật không trượt.   0 :A N   vì vuông góc và điểm I đứng yên tức thời. c. Vận tốc của tâm A: Dùng định lý biến thiên động năng:    . .sin ;A AA A P P h P s      độ cao hướng lên công âm 1 0 hê hêT T A      22 03 3 sin 4 4 const A A A P P v v P s g g        20 4 .sin 3A A A v v g s          Đạo hàm 2 vế  theo thời gian t: d. Điều kiện tối thiểu của vAO để đĩa lăn hết dốc: e. Xác định các thành phần phản lực:  3 1 2 sin 4  A A Av a vg  2 2. .sin .sin 0 0 3 3.         AA A a g a g R R     Tâm A chuyển động thẳng, chậm dần và đĩa lăn chậm dần. 0 / tai   A A v m s s  20 4 .sin . 0 3   Av g 0 02 3 2 3. .sin . .sin 3 3      A Av g v g Theo nguyên lý D’Alembert, ta sẽ bổ sung vào đĩa hai thành phần cơ bản của hệ lực quán tính: thì đĩa sẽ ở trong trạng thái cân bằng. qt qt A R M       .qt A AR m a     (do tính độ lớn nên bỏ (-))2. . .sin ; 3   qt A AR m a P  .qtA A AM J   2 2 2 1 1 1 .sin . .sin 2 3 3 qt A A aP P M R P Rg g R Rg             Viết các phương trình cân bằng: .sin 0     ms qttjxF P RF  .cos 0    jyF P N   Giải hệ , : .cosN P   .sin 2 .sin .sin 3 1 .sin 0 3 mst qt mst F P R P P F P             f. Điều kiện của  để đĩa lăn không trượt: . msgm t thsF fF N  Thay ,  vào : 1 .sin . .cos 3 t P f P  tan 3  tf g. g1.  Do nên đĩa vừa lăn vừa trượt trên dốc. Đây cũng là trường hợp đặc biệt của chuyển động song phẳng với tâm vận tốc tức thời không phải là điểm tiếp xúc I. 3 ttg f   Bậc tự do của hệ: 2hdof  Ë  Chọn 2 tọa độ suy rộng: . (hình 3.1),x  Hình II.6.2   I A msđF  P  x N  g2.  Xác định lực suy rộng tương ứng với tọa độ suy rộng : 1 xQ Q 1q x  Cho hệ một di chuyển khả dĩ đặc biệt: 1 20, 0qq x       Tổng công khả dĩ của các tải:             ; . . .sin . . .sin . 0 cos sin .cos msđ msđ A A P A F P h F x P x f A N x P f P x N A x N P f                                      đ đ đ (đĩa chỉ trượt mà không lăn vì ) 0   hx A Hình II.6.3  Lực suy rộng: Hình II.6.4 0   I A msđF  P  0x  N  0 :N   vì khi chiếu lên phương trượt phương của lực nâng N vuông góc so với phương trượt.     1 sin c sin co o s . sx A f P x Q Q f M g               đ đ  Lực suy rộng: (đĩa quay quanh tâm A cố định hay đĩa trượt không lăn)  Xác định lực suy rộng tương ứng với tọa độ suy rộng 2Q Q 2q        . . . msđ msđ I A P A NA A F F s f N r                đ  Cho hệ một di chuyển khả dĩ đặc biệt: 1 20 , 0q x q        Tổng công khả dĩ của các tải: . . .cos .A f P r     đ 2 . . .cos A Q Q f P r        đ g3. Dùng phương trình Lagrange 2: 2 . . . .cosQ Q f M g r    đ Hình II.6.5 , 1,2i i i d T T Q i dt q q          0   .Is r  A msđF  P  0x  N   Xác định động năng hệ: 2 2 2 2 2 1 1 . 2 2 1 1 1 . . 2 2 2 hê A AT M v J M x M r              1 0 T T q x       (không có x chỉ có đạo hàm của x) 1 . d T d T M x dt q dt x               2 0 T T q        (không có ) 22 1 . . 2 d T d T M r dt q dt                  Do đó:   2 . sin cos . 1 . . . .cos . 2 r M M M M r x f g f g               đ đ  sin cos 2 cos . x f g f g r                đ đ Bài tập 7. Cho cơ hệ như hình vẽ. Biết bán kính r, P, = const, Q, ròng rọc là vành tròn đồng chất. Dây mềm, nhẹ, không giãn, không trượt trên ròng rọc, luôn căng. Ban đầu hệ đứng yên. a) Hãy phân tích chuyển động của các vật rắn trong hệ. Thiết lập quan hệ động học giữa các vật. b) Xác định động năng cho toàn hệ và tổng công của các tải tác động lên hệ. c) Xác định gia tốc của vật A và gia tốc góc của ròng rọc B. d) Tính lực căng dây nối vật A. e) Tìm điều kiện của moment để nhánh dây nối vật A bị chùng. Xác định lại gia tốc của A và gia tốc góc của ròng rọc B. M M Hình II.7 a) Phân tích chuyển động:  Vật A: chuyển động tịnh tiến thẳng đứng, nhanh dần, có chiều hướng xuống. , ,B B B   , ,A A As v a    M A P  Q  B r  Ròng rọc B: chuyển động quay nhanh dần, cùng chiều kim đồng hồ quanh trục vuông góc với mặt phẳng hình vẽ và đi qua tâm B cố định (tâm B cố định).  Thiết lập quan hệ động học giữa các vật: . . .    A B A B A B s r v r a r    b).  hê A BT T T Vật A chuyển động tịnh tiến: 2 1 2A A P T v g  Vật B chuyển động quay: 2 1 2B B B T J   Động năng của hệ: (JB là moment quán tính của vật B đối với trục cố định thẳng góc với mặt phẳng hình vẽ qua B) 2 B Q J r g      2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 . . 2 2         hê A B A A A P Q T v r g g P v Q v P Q v g g ( ) ( )A A A P   M Với: B( ) ;AA sr   M M M . ( ) A AA P Ph Ps    Tổng công các tải:  Gia tốc của A và gia tốc góc của ròng rọc B: AA P sr        M  Áp dụng định lý biến thiên động năng: 1 0 hê hêT T A     21 2 A A P Q v P s g r         M Đạo hàm 2 vế theo t:   1 2 . 2 A A A P Q v a P v g r         M . 0A P ra g P Q      M c). Gia tốc góc của ròng rọc: d) Xác định lực căng dây. Áp dụng nguyên lý D’Alembert khảo sát sự cân bằng của vật A:   A B Pa r g r P Q r      M .Aqt A AR m a                 A qt P PP r rR g P g P Q P Q M M A P  y AT  A qtR Hình II.7.1  Aa Phương trình cân bằng: Chiếu lên trục y: Sau khi bổ sung vào thì vật A cân bằng.A qtR  0Aqt A AR T P      0Ajy A qtF T R P    A A qt A P rT P R P P P Q Q rT P P Q                          M M e) Điều kiện để dây không bị chùng (dây căng):  Khi dây bị chùng:  Gia tốc vật A:  Gia tốc góc ròng rọc B: 0 0 .AT Q Q rr       M M  Vậy điều kiện để dây bị chùng: .Q rM Aa g 2.B g Q r   M Bài tập 8. Cho cơ hệ đứng yên ở thời điểm ban đầu như hình vẽ. Ròng rọc B là một đĩa tròn, đặc và đồng chất. Hệ số ma sát trượt tĩnh và động giữa vật A và mặt phẳng ngang cố định là và . Cho biết: Dây mềm, nhẹ, không giãn, luôn căng, không trượt trên ròng rọc. a) Tìm điều kiện của góc  để A trượt được trên mặt nghiêng. b) Cho , dây luôn căng. b1) Phân tích chuyển động các vật rắn trong hệ. Tìm mối quan hệ về động học giữa các vật. b2) Tính động năng cho toàn hệ và tổng công tác động lên hệ. b3) Xác định gia tốc của A và gia tốc góc của ròng rọc B b4) Tính lực căng dây b5) Tìm điều kiện của để dây nối vật A bị chùng. Xác định lại gia tốc của vật A và gia tốc góc của ròng rọc B. , , , , , .tr P Q const f f M , đtf fđ ttg f  M a)  Điều kiện để vật A không trượt (A cân bằng và dây chùng): M P  Q  B r  A Hình II.8  Khảo sát sự cân bằng của vật A:  Tự do hóa vật A: - Viết các phương trình cân bằng:  .sin 0 1jx mstF F P      .cos 0 2jy AF N P    - Giải hệ (1), (2):  .sin 3mstF P  Hình II.8.1 P  x y  AN  mstF  A  Điều kiện để vật A không trượt: Thay (3) và (4) vào 2 vế của (5), ta có:  .cos 4AN P   . 5mst msgh t AF F f N  .sin . .costP f P   6ttg f   Điều kiện để vật A trượt:  7ttg f  b1.  Phân tích chuyển động của các vật rắn trong hệ: b) Vì nên vật A trượt được trên mặt nghiêng.ttg f  Hình II.8.2 M P  Q  B r  A B B B  As  Av  Aa  Ròng rọc B quay nhanh dần, theo chiều kim đồng hồ quanh tâm B cố định.  Quan hệ động học:  Vật A tịnh tiến thẳng, nhanh dần theo phương của mặt nghiêng và với chiều hướng xuống. ; ;A A AB B B s v a r r r      b2.  Động năng của hệ: hê A BT T T  2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 . 2 2 2 4                 A A A A B A B B A P T m v v g vQ Q T J r v g r g  Với:  Tổng công các tải: 21 2 2 hê A Q T P v g              msđA A FA PA     M    . .sinA AA P P h P s     . B AA sr    M M M   cos .       msđ msd A A A AA F F s f N s f P sđ đ Với:  sin cos         AA P f sr   M đ b3. Áp dụng định lý biến thiên động năng: 1 0 hê hêT T A    21 sin cos 2 2                A A Q P v P f s g r   M đ  1 2 sin cos 2 2                A A A Q P v a P f v g r   M đ  sin cos 2 A P f ra g Q P              M đ b4. Khảo sát chuyển động của vật A:  sin cos 2 A B P fa r g Qr P r                    M đ Ta có: .msđ AF f N đ Hình II.8.3 P  x y AN  msđF  A AT  Aa   Dùng định lý chuyển động khối tâm cho vật A:  Chiếu (8) lên hai phương x, y   4 1 . 8eA A j A A msđ j m a F P N T F              . .sin 9 0 cos A A msđA A m FTa N P P          cos 10AN P     .sin . sin cos sin cos 2 A msđ A AT P F m a P f P r P f P g Qg P                   đ đ M    sin cos sin cos 2 A P P f r T P f Q P              đ đ M b5. Điều kiện để dây căng:     sin cos 2 11 2 A Q P f r T Q P         đ M 0AT   sin cos 0 2 Q f r         đ M  . sin cos 2 Q r f    đM  Điều kiện để dây chùng:  . sin cos 2 Q r f  M đ  Xác định lại và :Aa B  sin cosAa f g   đ 2 2 .B g Q r   M Bài tập 9. Cho cơ hệ như hình vẽ: a). Hệ có luôn cân bằng với mọi loại tải tác động hay không? Tại sao? b). Dùng nguyên lý di chuyển khả dĩ để xác định các thành phần phản lực tại ngàm A. A B  q const Hình II.9 Bài sửa a. (Tự giải)  Tính bậc tự do của hệ: Dofhệ  Số vật rắn: n=1 (thanh thẳng nằm ngang)  Tổng ràng buộc của các liên kết: 3lkR  (ngàm phẳng) Do đó bậc tự do của hệ: 3 3.1 3 0 lk hDof n R     Ë Vì dofhệ ≤ 0 nên hệ luôn cân bằng với mọi loại tải tác động.  Xác định thành phần phản lực HA :  Giải phóng liên kết đơn cản trở chuyển động tịnh tiến thẳng theo phương ngang: b). Liên kết có một ràng buộc được gọi là liên kết đơn (ví dụ: khớp bản lề trượt, liên kết thanh). Liên kết ngàm phẳng có 3 ràng buộc sẽ được xem là tương đương với 3 liên kết đơn. Để xác định các thành phần phản lực của liên kết ngàm ta giải phóng lần lượt từng liên kết đơn và xem các thành phần phản lực xuất hiện như là lực hoạt động bổ sung. A B q AH  x Hình II.9.1  Tính tổng công khả dĩ:  Áp dụng nguyên lý di chuyển khả dĩ:  Xác định phản lực NA :  Giải phóng liên kết đơn cản trở chuyển động tịnh tiến thẳng theo phương đứng.  Cho hệ một di chuyển khả dĩ .x                   A A A A A A q H H AH x 0 0AA H     Cho hệ một di chuyển khả dĩ .y  Áp dụng nguyên lý di chuyển khả dĩ:  Tính tổng công khả dĩ: Hình II.9.2 A B qA N  0y          .               A A A A A N A q N y ql y N ql y 0 0 0A AA N ql N ql         Giải phóng liên kết đơn cản trở chuyển động quay quanh tâm A.  Xác định thành phần phản lực MA :  Cho hệ một di chuyển khả dĩ . Hình II.9.3 A B q AM x  . y x dx  Tính tổng công khả dĩ:    AA M AA q    Ta có:  A AA M M       0 0 2 2 0 . . . . . . 2 2                       A q q dx y q dx x x q q 2 2             A q A M  Áp dụng nguyên lý di chuyển khả dĩ: 2 2 0 0 0 2 2          A A q q A M M Bài tập 10. Dùng nguyên lý di chuyển khả dĩ để xác định các thành phần phản lực sau: Hình II.10.1 Hình II.10.2 A B q  P q 2 M q 2  C a) q A C   M B b)  Tính tổng công khả dĩ: a).  Xác định thành phần phản lực HA :  Giải phóng liên kết đơn cản trở chuyển động tịnh tiến theo phương ngang:  Cho hệ di chuyển khả dĩ :x      ( ) ( )          A AA q A P A MA A H A H Hình II.10.3 A B q  P q MC x AH  + Áp dụng nguyên lý di chuyển khả dĩ: - Xác định thành phần phản lực NB :   .A AA A H H x       0 0AA H    + Cho hệ một di chuyển khả dĩ : Hình II.10.4 A B q  P q M C BN  By  Cy  Tính tổng công khả dĩ:  Xác định thành phần phản lực NA :  Giải phóng liên kết đơn cản trở chuyển động tịnh tiến theo phương đứng:         2 2 .(2 . ) 2 . .(3 . ) . (2 2 ).                              B B B A A N A q A P A M N q P M N q 20 2 2 0      BA N q    BN q Hình II.10.5 A B q  P q M 2  C AN  du u y  Ay Cy  Cho hệ một di chuyển khả dĩ :  Tổng công khả dĩ:        AA P AAA MNA q             2      Ay tg 2 .   Ay   . .2 .       A A A AA N N y N . y u     22 2 2 0 0 0 . . . . . . 2           u A q y q du q u du q Thế vào :   22 .   A q q .  Cy   2. . . .          CA P P y q q   2. .     A M M q 2 2.2 . 2 . . 0            AA N q q M 2  AN q b).  Xác định các thành phần phản lực HA :  Giải phóng liên kết đơn cản trở chuyển động tịnh tiến theo phương ngang: Hình II.10.6 q A C M B AH x  Cho hệ một di chuyển khả dĩ :x  Tổng công khả dĩ:     .A AA A H A q H x        0 0AA H     Giải phóng liên kết NA : Hình II.10.7 Ay A C 2 M B x dx By  AV  Cho hệ 1 di chuyển khả dĩ :  Tổng công khả dĩ : Ta có:      A AA VA A q M        . 0    y x y x   2 0 0 0 2 . . . . . . 2 2               x A q y q dx q x x dx q q   2. .      AA M M q  Giải phóng liên kết VC : 2 .  Ay   . .2           A A A A A V V y V 2 21.2 . 0 2            AA V q q 2 21 12 2 4          A q q V q Hình II.10.8 q A C M B u du Cy CV  By  2  u .y u      2 2 . . . .           A q y q du u q du   22 2 2 2 4 . . . 2 2 2 3 2                 u A q q q q q   2. .     A M M q 2 .   Cy   .2 .           C C C C A V V y V      CA A q A M A V        22 2 3 2 . 2 3 .2 2                     C C A q V q q V 2 23 52 2 4        C q q V q Bài tập 11. Cho một cơ hệ gồm có hình lăng trụ A tiết diện tam giác vuông và ống trụ tròn, đồng chất, không đáy B. Vật A có khối lượng m1 tựa không ma sát trên mặt phẳng ngang cố định. Vật B có bán kính r, khối lượng m2 lăn không trượt trên mặt nghiêng của lăng trụ A (hình chiếu đứng của trục ống trụ tròn là B). Lăng trụ A chịu tác động của lực F như hình vẽ. Cho biết: m1, m2, F, , r. a) Hãy phân tích chuyển động của các vật rắn trong hệ. Xác định bậc tự do của hệ và chọn các tọa độ suy rộng cho hệ. b) Viết biểu thức xác định vận tốc tuyệt đối của tâm B và tính độ lớn của vector vận tốc tuyệt đối này. c) Xác định động năng cho toàn hệ và các lực suy rộng tương ứng. d) Thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động cho toàn hệ. Cho biết khả năng của mình có giải được hệ phương trình vi phân này không? Nếu giải được hãy xác định gia tốc của lăng trụ A và gia tốc góc của ống trụ B. a) Phân tích chuyển động của các vật rắn trong hệ  Vật lăn trụ A có chuyển động tịnh tiến thẳng theo phương ngang. Hình II.11.1 x A F   r BIv  2P  1P   N I B Đường trung tuyến  Ống trụ tròn B thực hiện đồng thời 2 chuyển động: tịnh tiến cùng với lăng trụ A và lăn không trượt trên mặt nghiêng của lăng trụ A. Chuyển động tổng hợp của ống trụ tròn B là chuyển động song phẳng với tâm vận tốc tức thời không phải là điểm tiếp xúc I.  Bậc tự do của hệ:  Hai tọa độ suy rộng của hệ được chọn là: b).  Phân tích chuyển động phức hợp của tâm B: 2hDof Ë Vì ta cần dùng 2 thông số độc lập và mới xác định được vị trí của toàn hệ. x  1 2,q x q    Chuyển động kéo theo: tịnh tiến cùng lăng trụ A.  Chuyển động tương đối: lăn không trượt trên mặt nghiêng của lăng trụ A (tâm quay tức thời là điểm I).  Dùng định lý hợp vận tốc của điểm: B e B a B rv vv     Tính độ lớn vector vận tốc tuyệt đối điểm B: Hình II.11.2 BIv  I B A av  B av    (khi tổng 2 góc bằng  thì cos góc này bằng - cos góc kia). * B B B B A B A BI a a r a a I ev v v v v v v v                   Với: c).  Động năng hệ: Ah Bê TT T  Công thức lượng trong tam giác thường:                     2 2 2 2 2 2 cos 2 cos B A BI A BI a a a A BI A BI a a v v v v v v v v v         Mà: ; . .    A BIav x v r r  2 2 2 2. 2 .cos . .Bav x r r x        2 21 11 1. .2 2   A A aT m v m xVới:  2 221 1 .2 2 B B a BT m v J   Ta có: 22. ;BJ m r      2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 1 1 2 cos . . . 2 2 1 2 . 2 cos . . 2 BT m x r r x m r m x r r x                             2 2 21 2 2 2 1 . . . . .cos . . 2         hêT m m x m r m r x  Cho hệ một di chuyển khả dĩ đặc biệt:  Xác định lực suy rộng :1  xQ Q Hình II.11.3 A F  0  r BIv  2P  1P  N  I 2C B 0 x A av  1 20 ; 0q x q       (đĩa không quay nên toàn hệ là một vật duy nhất: m = m1 +m2)!  Tổng công khả dĩ:           1 2A PA AN A F A P A F              .    A F x (P1, P2 không thay đổi độ cao; phương N vuông góc phương chuyển động). 1 x A Q Q F x        Xác định lực suy rộng :2Q Q  Cho hệ một di chuyển khả dĩ đặc biệt:  Tổng công khả dĩ: Hình II.11.4 B I  Bs Bh 1 2 0 ; 0 q x q           .sin . .sin        B Bh s r             21 2 2.                    B A P A NA A P m A P g F A h d) Dùng phương trình Lagrange 2:  2 2 . . . .sin .          BA m g h m g r 2 2 . .sin A Q Q m g r       , 1, 2i i i d T T Q i dt q q           1 0       T T q x  Đây là hệ phương trình vi phân cấp 2 cực kỳ dễ giải. Cách giải được trình bày chi tiết:    1 2 2 1 . .cos d T d T m m x m r dt q dt x                   2 0 T T q          22 2 2 . .cos 2                   d T d T m r x m r dt q dt         1 2 2 2 2 2 2 . .cos . .cos 2 . .sin                m m x m r F m r x m r m g r  Đặt 1 2;X x X    Nghiệm:     2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 . .cos .sin 2 . .cos cos 2 2 . . .sin .cos 2 .c 1 2 sin 2 2 2 co os s                       F m r g r X x m m m r r r F m g r r m m m F m c r g m m m onst     1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 .sin .cos 2 cos .sin . . cos cos cos 2                      m m F g X m m g F m m m m m c m r r r onst Bài tập 12. Cho một đĩa có dạng hình quạt đồng chất, đặc, dày điều, bán kính R, góc chắn ở tâm là 2 ,đứng yên ở thời điểm đầu với góc nghiêng là 0 (góc hợp bởi phương thẳng đứng và trục đối xứng của đĩa) có khối lượng m. Đĩa tựa không ma sát với mặt phẳng ngang cố định. a) Phân tích chuyển động của đĩa và tâm O đĩa b) Xác định vị trí của khối tâm C đĩa. c) Xác định phương trình quỹ đạo của khối tâm C đĩa nếu chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ: d) Tính động năng của đĩa và tổng công các tải tác động lên đĩa. e) Tìm vận tốc góc của đĩa và gia tốc góc của đĩa. xy 0C  O  c u t R N  0 P  2 x y I Hình II.12 0Cho: , , ,m R   Bài sửa a) Phân tích chuyển động của đĩa:  Đĩa chuyển động song phẳng trong mặt phẳng hình vẽ với tâm vận tốc tức thời không phải là điểm tiếp xúc I.  Phân tích chuyển động của tâm O đĩa: b).  Do đĩa hình quạt có một trục đối xứng nên khối tâm C của đĩa sẽ nằm trên trục đối xứng này.  Tâm O đĩa chuyển động thẳng với quỹ đạo là đường thẳng song song đoạn thẳng cố định và cách đường thẳng cố định một đoạn bằng bán kính của đĩa. Do đó, vận tốc và gia tốc của tâm O nằm trên đường thẳng này.  O    0 0 0 0;     v  Khảo sát một diện tích vi phân k thuộc đĩa như hình vẽ:  Dựng hệ trục tọa độ vuông góc mới gắn liền với đĩa sao cho trục trùng trục đối xứng của đĩa. Out u 0ct  O r dr kdA K ku u  d Hình II.12.1 Gọi: A     là khối lượng riêng đĩa. là diện tích đĩa. Ta có: 2 :A R rad  2 ; m m A R     .cosku r   .kdA dr r d  2k k m m dA dr rd R      (vật phẳng (kg/m2); vật dày (kg/m3) (uk: tọa độ u của điểm K). (mk: khối lượng của diện tích dAk ).  Áp dụng công thức định nghĩa của khối tâm:   21 2 1 cos . . k k k c A m u m u r dr d m m R                 2 2 0 3 2 0 3 2 1 cos . 1 sin 3 1 2sin 3 R c R u r dr d R r R R R                         c).  Khảo sát chuyển động của đĩa: 2 sin 3c R u      Dùng định lý chuyển động khối tâm:  Hệ ngoại lực tác động lên đĩa :,P N     2 1 1ec j j ma F P N         2. 0 0c cm x x m s     Chiếu (1) lên trục x:  0 ;c cx const x m s     (vận tốc lúc đầu bằng 0) d).  Động năng đĩa: (đĩa là hình tròn đặc đồng chất).  0c cx const x m    Vậy phương trình chuyển động của khối tâm C là: 0 ;cx  đường thẳng   ; c y ; .c cv y a y    2 21 1 . 2 2c c T mv J   Ta có: ( là góc hợp bởi trục u và trục Oy).:     2 20 0 .c cJ J m OC J mu    Theo định nghĩa:     2 2 0 2 1 . . .k k A m J m OK r dr d r R                3 0 2 0 4 2 0 4 2 4 2 4 R R m J r dr d R m r R m R R                         2 0 1 2 J mR (giống công thức hình quạt) 2 2 2c c R J m u            A A P A N    Tâm vận tốc tức thời của đĩa: P  Tổng công các tải:   P C 0v  u y O cv  Hình II.12.2 .sin sinc PC OC u     Do đó: . .sin .c cv PC u      2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 sin . 2 4 1 1 sin 2 2 c c T m u mR m u R                  0A N   Với:    0 . cA P P h mg HC HC      Hình II.12.3  P C  0 y O 0C 0O H 0 ch       0 0 0 0 .cos .cos . cos cosc A P mg OC O C mg u         e) Dùng định lý biến thiên động năng: 1 0 hê hêT T A      2 2 2 2 0 2 1 1 sin . cos cos ; 2 2c c m u R mg u            Vận tốc góc của đĩa:    0 2 2 2 2 . cos cos 1 sin 2 3c c g u u R           Gia tốc góc của đĩa: Đạo hàm 2 vế (2) theo thời gian t:   2 2 2 2 21 1 1sin cos . sin . 2 . sin . 2 22 2c c c u u R g u                        2 2 2 2 sin cos . 1 sin 2 c c c u u g u R              Bài tập 13. (Chưa sửa). Cho một thanh thẳng mảnh, đồng chất, tiết diện điều, khối lượng m và chiều dài 2 tựa không ma sát trên mặt phẳng ngang cố định. Ban đầu thanh đứng yên với góc nghiêng 0. a. Hãy phân tích chuyển động của thanh AB. Tìm phương trình quỹ đạo của điểm A, của khối tâm C và điểm B. b. Tính động năng của thanh và tổng công các tải tác động lên thanh. c. Xác định vận tốc góc của thanh và gia tốc góc của nó. AB 0 0C Hình II.13 0: , 2 ,mCho Bài tập 14. Cho cơ hệ như hình vẽ (Hình II.14). A B 2r 1r 1O 2O 2P 1P M Hình II.14 Cho r1, r2, P1, P2, . Dây có các tính chất sau đây: mềm, nhẹ, không giãn, không trượt trên các vật và luôn căng. Bỏ qua ma sát tại khớp bản lề O1 và xem nhánh dây AB luôn có phương thẳng đứng. Ròng rọc O1 là đĩa tròn đặc, đồng chất và ròng rọc O2 là vành tròn đồng chất. a. Xác định bậc tự do của hệ. Chọn các hệ tọa độ suy rộng cho hệ. constM b. Phân tích chuyển động cho các vật rắn trong hệ. Phân tích chuyển động phức hợp của tâm O2. Viết biểu thức tính vận tốc tuyệt đối cho điểm này. c. Tính động năng cho toàn hệ. d. Xác định các lực suy rộng tương ứng với các tọa độ suy rộng đã chọn. e. Thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động cho hệ. Cho biết khả năng có thể giải hệ phương trình này không? Tại sao? Bài sửa a. Dofhệ = +2 Chọn 2 tọa độ suy rộng: q1  1; q2 2 A B 2r 1r 1O 2O y 2P 1P 1 M 2 Hình II.14.1 b.  Phân tích chuyển động các vật.  Ròng rọc O1: Chuyển động quay quanh tâm O1 cố định.  Ròng rọc O2: Chuyển động song phẳng với tâm vận tốc tức thời không phải là điểm tiếp xúc A.  Phân tích chuyển động phức hợp của tâm O2.  Chuyển động kéo theo: Tịnh tiến thẳng đứng cùng với dây.  Chuyển động tương đối: Quay quanh tâm vận tốc tức thời A đối với dây.  Viết biểu thức tính: (Hình II.14.2) 2 2 2O O O a e rv v v     A B 2r 1r 1O 2O y 2P 1P 1 B av  A av  M 2 2O rv  Hình II.14.2 22 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 . . . O eO A e a O A B e a a O O r rO O A r O r v y v v v v v r r v AO hay v y v v v r r                          Vôùi :         2 2 2 2 1 1 2 2 2 . .                ve O O O O a a e r ctor v v v v r r chæ khi c. Động năng toàn hệ: 1 2O OT T T heä 12 2 21 1 1 1 2 22 2 2 2 1 2 2 . . O O P J m r r g P J m r r g         Ta coù: 1 1 2 2 21 1 1 1 1 . . . 2 4    O O P J r g Vôùi : T     2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 1 1 2 2 2 2 1 1 . 2 2 1 1 . . . . 2 2            O O a OT m v J P P r r r g g 2 2 2 2 22 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2. . . . . . . .2 O P P PT r r r r g g g           2 2 2 21 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 1 . . . . . . . . 2 2 P P P T P r r r r g g g            heä     d. Nhận xét: Hệ sẽ có 2 lực suy rộng Q1, Q2 ứng với 2 tọa độ suy rộng đã chọn.  Xác định lực suy rộng Q1:  Chọn 1 di chuyển khả dĩ đặc biệt cho hệ. 1 20 ; 0   2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 : . . . . O aTa có v r r r r dt dt r               Tính tổng công khả dĩ:    2A A A P     M 21 2 . . OA P s      M 22 1 1. OO a s à: r dt dt    M v 2 1 1 .Os r    2 1 1. .A P r  Vaäy : M  Lực suy rộng Q1: 1 2 1 1 . A Q P r      M  Tính lực suy rộng Q2:  Chọn một di chuyển khả dĩ dặc biệt cho hệ: 1 20 ; 0   2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 : . . . . . O aTa có v r r r r r dt dt dt             22 OO a s v dt  Maø: 2 2 2 .Os r    Tổng công khả dĩ:   2 2 2 2 2 2. . .O A A P P s P r           Lực suy rộng Q2: 2 2 2 2 . A Q P r     1 2 1 2 2 2 . . P r Q P r    Vaäy : Q M e. Dùng phương trình Lagrange 2 (đối với hệ khi mất cân bằng): , 1, 2i i i d T T Q i dt q q          21 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 . . . . . 2 A B d T T P P P r r r q g g d dt dt                            .. .. 1 1 0 T T q        (Vì Thệ không phụ thuộc 1). 22 2 1 2 1 2 2 2 2 2 . . . . . B C T T Pd d P r r r qt d g gd t                      .. .. 2 2 0 T T q        (Vì Thệ không phụ thuộc 2). 21 2 1 2 1 2 22 2 1 2 . . 2. . P A P r const g P B r r const g P C r const g                 Ñaët :  1 2 2 1 1 2 2 2 . . . . . . A B r D B C P r E             P    M + 1 1 2 2; X  Ñaët : X   1 2 1 2 . . . . A X B X D B X C X E       Thay các kết quả vào phương trình Lagrange 2, ta có: 1 2 2 1 2 2 . . . . . . X const X cons CD BE A C B A E BD A C B t                 (ròng rọc 1 quay nhanh dần đều) (ròng rọc 2 quay nhanh dần đều) Bài tập 15. Cho một cơ hệ như hình vẽ (Hình II.15). Hình II.15 A C B P  Q  Ir A là đĩa tròn đặc, đồng chất có bán kính r và trọng lượng Q. AB là thanh thẳng, mảnh, đồng chất, tiết diện đều, dài , trọng lượng P. Cho r, , P, Q, , đĩa A lăn không trượt trên mặt phẳng ngang cố định. Bỏ qua ma sát lăn của đĩa và ma sát tại khớp bản lề A. a. Xác định bậc tự do cho hệ và các tọa độ suy rộng cho hệ. b. Phân tích chuyển động của các vật rắn trong hệ. Phân tích chuyển động phức hợp của khối tâm C thuộc thanh AB. Viết biểu thức tính vector vận tốc tuyệt đối cho điểm C này. c. Tính động năng cho toàn hệ. d. Xác định các lực suy rộng tương ứng với các tọa độ suy rộng đã chọn cho hệ. constM e. Thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động cho toàn hệ. Bài sửa a. Dofhệ = 2 (để biết chuyển động của hệ cần phải biết chuyển động của 2 vật hoặc nếu ta giữ cố định cả 2 vật thì hệ mới đứng yên được) b.  Phân tích chuyển động của các vật rắn trong hệ: (Hình II.15.1) Chọn 2 tọa độ suy rộng: q1  1; q2 2 Hình II.15.1 A C B P  Q  Ir M 2 1 x  AAav  C ev  C av  C rv   Thanh thẳng AB: Chuyển động song phẳng trong mặt phẳng chứa vật với TVTTT là điểm chưa xác định. Chuyển động song phẳng trong mặt phẳng chứa vật với tâm vận tốc tức thời (TVTTT) là điểm tiếp xúc I.  Phân tích chuyển động phức hợp của khối tâm C của thanh AB.  Chuyển động kéo theo : tịnh tiến cùng với tâm A.  Quỹ đạo tâm A là đường thẳng .   AA a Av      Đĩa tròn A:  Chuyển động tương đối: quay quanh tâm A.  Viết biểu thức tính: c. Động năng toàn hệ: C C C a e rv v v                2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 cos . . . .cos . . 2 C A C A C a a r a rv v v v v r r                      A ABT T T heä C CA rv v AC    Do đó: C A e av v   Do đó:  2 21 1 . 2 2 A A A a A AT m v J  Vôùi : 1 2 2 1 ; . . 1 . . 2 2 A A a A A A Ta Q m v r g Q J m r r g         coù:   2 2 2 2 1 1 2 2 1 . . 2 4 3 . 4 A Q QT r r g g Q r g            2 21 1 . 2 2 AB C AB a C ABT m v J    2 2 2 ; 1 . . 12 12 AB AB C AB Ta P m g P J m g      coù:    2 2 2 2 1 2 2 1 2. . . .cos . .2 6 2 AB P P PT r r g g g             2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 3 . . . .cos . . 2 2 6 2 P P T P Q r r g g g             heäVaäy :      d.  Tính lực suy rộng Q1 ứng với tọa độ suy rộng q1  1 . Cho hệ một di chuyển khả dĩ đặc biệt: 1 > 0 ; 2 = 0  Tổng công khả dĩ của các tải:   1 A A       M M . 1 1 A Q      M  Tính lực suy rộng Q1 ứng với tọa độ suy rộng q2  2 .  Cho hệ một di chuyển khả dĩ đặc biệt: 1 = 0 ; 2 > 0.   2 2. sin2CA A P P h P              2 2 2 .sin 2 A Q P         1 2 2.sin2 Q Q P     Vaäy :  M 2 0C 2 C A 2 Ch P  Hình II.15.2  Tổng công khả dĩ của các tải tác động:(Hình II.15.2) e.  Phương trình Lagrange 2: 1 1 1 d T T Q dt           2 2 2 d T T Q dt           2 1 2 2 1 1 2 . . .cos . 3 2 T P P Q r r g g                 Vôùi :    2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 . . . . sin . cos . 3 2 d T P P Q r r dt g g                              10 T     2 2 2 1 2 . . . cos . 3 2 T P P r g g                  2 2 2 1 2 2 1 2 . . sin . . cos . 3 2 d T P P r dt g g                            2 1 2 2 . .sin . . 2 T P r g            2 21 2 2 2 21 3 . . .cos . . . sin .2 2 2 P P P Q r r r g g g             Vaäy :     M 2 2 1 2 2. .cos . . .sin2 3 2 P P r P g g          Bài tập 16. Cho a. Xác định bậc tự do cho hệ và chọn tọa độ suy rộng cho hệ. b. Phân tích chuyển động của các vật rắn trong hệ. Xác định vận tốc góc của ròng rọc kép 3 và vận tốc tuyệt đối của vật A. c. Tính động năng cho toàn hệ. d. Xác định các lực suy rộng cho hệ. e. Viết hệ phương trình vi phân chuyển động cho hệ. Giải hệ phương trình này. 1 2 31 2 3 1 2 2 1 3 3 , , , , , , , , , 2 2 2 .A O O Om m m m J J J R r R r r   M M Các nhánh dây trong hệ có các tính chất: mềm, nhẹ, không giãn, không trượt trên các vật và luôn căng. Bỏ qua ma sát ở các khớp bản lề. (Hình II.16) Hình II.16 1O 1r 3R 3r 2R 2O 3O A 1M B D EC 2M Bài sửa a. Dofhệ = +2. vì ta cần dùng 2 thông số độc lập 1 và 2 mới xác định được vị trí của toàn hệ. Chọn 2 tọa độ suy rộng q1  1 ; q2  2 b.  Phân tích chuyển động các vật:  Ròng rọc 1: quay quanh tâm O1 cố định.  Ròng rọc 2: quay quanh tâm O2 cố định.  Ròng rọc kép 3: chuyển động song phẳng.  Vật A tịnh tiến thẳng đứng. Hình II.16.1 1O 1r 3R 3r 2R 2O 3O A 1M 21 D av  E av  C av  B av  B D E C 2M  Xác định 3: Ta có: C B a a E D a a v v v v         1 1 1 2 2 2 . . . 2 . B a D a v r r v R r           Maø:    Xác định tâm vận tốc tức thời ròng rọc 3: (Hình II.16.2)  Vận tốc góc của ròng rọc 3:  1 23 1 2 . 2 . 1 2 3 3 C E C E a a a av v v v r r PC PE PC PE r                    Xác định vận tốc vật A: Hình II.16.2 3O E av  C av  EC P 3O av   Vận tốc tâm O3: 3 3 3. O av PO    1 1 3 1 2 1 2 . 3 . 1 22 3 C av r r          Ta coù: PC =       1 21 3 3 1 2 1 2 23 2 2 PO PC O C r r r                       3 1 2 2 . 3 O av r   Vaäy :   Do dây không giãn nên:     3 3 3 1 2 1 2 1 2 3 2 3 OA a a OA a a v v v v r                  c.  Tính động năng hệ: 1 2 3 AT T T T T   heä 1 1 1 2 2 1 1 1 1 . 2 2O O T J J  Vôùi :  2 2 2 2 2 2 2 1 1 . . 2 2O O T J J                3 3 3 3 3 3 23 2 3 3 2 2 2 2 2 3 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 3 1 3 2 3 1 2 1 1 . 2 2 1 4 1 1 2 . . 4. 4 . 2 9 2 9 1 2 2 4 . . . 2. . . . 18 9 9 O a O O O O O T m v J m r J m r J m r J J m r                                           2 2 2 21 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 4 . 2 . 2 2 9 2 2 4 . . . . . . . 9 9 9 A A A a A A A A T m v m r m r m r m r                          1 3 3 3 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 3 2 2 3 3 1 4 4 4 . 2 1 4 1 4 . . 2 9 9 2 2 9 9 9 9 9 . O O A O O O A A C B A J m r J J m m r J m m r m JT r r                             heä        d.  Tính lực suy rộng Q1:  Cho hệ một di chuyển khả dĩ đặc biệt: 1 > 0 ; 2 = 0  Tính A :      1 3 AA A A P A P        M  1 3 1 2 . 3 A A gr m m         M     3 1 1 1 3 3 3 3 . . . . O A P P h m g s            Vôùi :  M M  33 1 21 2 2 2 3 3 OO a s v r r dt dt dt               Ta coù:       3 3 3 1 1 2 . . . 3 2 . . . . . . 3A A A A O A A P m gr A P P s m g s m gr               Do ñoù:     3 1 2 1 2 2 . 3 3O s r r        1 1 3 1 2 . 3 A A Q m m gr           M  Tính lực suy rộng Q2:  Cho hệ một di chuyển khả dĩ đặc biệt: 1 = 0 ; 2 >0  Tính A :      2 3 AA A A P A P        M     3 2 2 2 3 3 3 3 . . . . O A A P P h m g s            Vôùi :  M M  33 1 21 2 2 2 3 3 OO a s v r r dt dt dt               Ta coù:     3 1 2 2 2 2 . 3 3O s r r            3 3 3 2 2 2 . . 3 2 . . . . . . 3A A A A O A A P m gr A P P s m g s m gr               Do ñoù:    2 2 3 2 2 . 3 A A Q m m gr            M  2 3 2 2 . 3 A A gr m m          M e. Viết hệ phương trình vi phân cho hệ bằng cách dùng phương trình Lagrange 2: 1 2 1 2 . C d T dt A            1 2 2 2 T C d dt B            1 2 0 T T             1 2 1 3 1 2 2 3 2 2 . 3 2 . 2 . . 3 A A m m gr m mB A C grC                 Vaäy :     M M , 1,2i i i d T T Q i dt           