Bài toán ổn định các hệ tuyến tính lồi đa diện có trễ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN DƯƠNG THÀNH BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH CÁC HỆ TUYẾN TÍNH LỒI ĐA DIỆN CÓ TRỄ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN DƯƠNG THÀNH BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH CÁC HỆ TUYẾN TÍNH LỒI ĐA DIỆN CÓ TRỄ Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH. VŨ NGỌC PHÁT Thái Nguyên - 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên iMục lục Một số kí hiệu toán học dùng trong luận văn . . . . . . . . iii Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv Chương 1. Cơ sở toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1. Hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1. Hệ phương trình vi phân tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2. Hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3. Hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1. Bài toán ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2. Phương pháp hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3. Bài toán ổn định hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3. Bài toán ổn định, ổn định hóa cho hệ phương trình vi phân điều khiển có trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4. Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Chương 2. Bài toán ổn định các hệ tuyến tính lồi đa diện có trễ 16 2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ii 2.2. Bài toán ổn định mũ cho hệ tuyến tính lồi đa diện có trễ . . 18 2.3. Bài toán ổn định hóa cho hệ tuyến tính lồi đa diện có trễ . . 24 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên iii MỘT SỐ KÍ HIỆU TOÁN HỌC DÙNG TRONG LUẬN VĂN • R+: Tập các số thực không âm. • Rn: Không gian véc tơ n -chiều với kí hiệu tích vô hướng là 〈., .〉 và chuẩn véc tơ là ‖.‖. • Rn×r: Không gian các ma trận (n× r)- chiều. • D: Lân cận mở của 0 trong Rn. • C([a,b],Rn): Tập các hàm liên tục trên [a,b] và nhận giá trị trên Rn. • L2([a,b],Rm): Tập các hàm khả tích bậc hai trên [a,b] lấy giá trị trong Rm. • AT : Ma trận chuyển vị của ma trận A. • I: Ma trận đơn vị. • λ (A): Tập tất cả các giá trị riêng của A. • λmax(A) := max{Reλ : λ ∈ λ (A)}. • λmin(A) := min{Reλ : λ ∈ λ (A)}. • A > 0: Ma trận A xác định dương nếu 〈Ax,x〉> 0,∀x 6= 0. • A≥ 0: Ma trận A xác định không âm nếu 〈Ax,x〉 ≥ 0,∀x ∈ Rn . • ‖A‖ =√λmax(ATA): Chuẩn phổ của ma trận A. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên iv LỜI MỞ ĐẦU Lý Thuyết ổn định là một phần quan trọng của lý thuyết định tính phương trình vi phân. Lý thuyết ổn định được nghiên cứu từ cuối thế kỉ 19 bởi nhà toán học người Nga A. M. Lyapunov. Trải qua hơn một thế kỉ, lý thuyết này ngày càng phát triển mạnh mẽ như một lý thuyết toán học độc lập với nhiều ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như cơ học, sinh thái học, kinh tế, khoa học kĩ thuật... Hiện nay, lý thuyết ổn định đang phát triển theo hai hướng ứng dụng và lí thuyết, được nhiều nhà toán học trên thế giới và trong nước quan tâm nghiên cứu như: Yoshizawa T., Hale J. K., Verduyn Lunel S. M., Nguyễn Thế Hoàn, Trần Văn Nhung, Vũ Ngọc Phát, Nguyễn Hữu Dư... đã thu được nhiều kết quả, tính chất quan trọng ( xem [3, 4, 5]). Như chúng ta đã biết, có nhiều phương pháp để nghiên cứu lý thuyết ổn định như: phương pháp thứ nhất Lyapunov - phương pháp số mũ đặc trưng, phương pháp thứ hai Lyapunov - phương pháp hàm Lyapunov, phương pháp xấp xỉ... Phương pháp hàm Lyapunov là một phương pháp rất hữu hiệu để nghiên cứu tính chất ổn định của các hệ phương trình vi phân, lý thuyết các hệ điều khiển, các hệ động lực...Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định, ổn định hóa hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ bằng phương pháp thứ hai của Lyapunov - phương pháp hàm Lyapunov. Luận văn giới thiệu một cách tổng quan về tính chất ổn định của hệ phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân tuyến tính, bài toán ổn định và bài toán ổn định hóa hệ phương trình vi phân tuyến tính lồi đa diện có trễ. Bản luận văn gồm phần mở đầu, phần kết luận và 2 chương. Cụ thể là: Chương 1: Cơ sở toán học. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên vTrong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở về hệ phương trình vi phân, tính ổn định và ổn định hóa hệ phương trình vi phân, đồng thời trình bày về phương pháp hàm Lyapunov để giải bài toán ổn định của hệ phương trình vi phân. Cuối chương, chúng tôi nêu lên một số tính chất cơ bản về tính ổn định của các hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm và hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm và một số bổ đề bổ trợ cho chương sau. Chương 2: Bài toán ổn định hệ tuyến tính lồi đa diện có trễ. Trong chương này, chúng tôi trình bày các điều kiện đủ về tính ổn định, ổn định hóa được các hệ phương trình vi phân tuyến tính lồi đa diện có trễ và một số ví dụ minh họa. Tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn chân thành nhất đến GS.TSKH Vũ Ngọc Phát, người thầy đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Đồng thời, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy cô ở khoa Toán, khoa Sau đại học, trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện giúp đỡ, chỉ bảo tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu tại trường. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn những người thân, bạn bè, đồng nghiệp, những người luôn ủng hộ, động viên và là chỗ dựa tinh thần cho tôi trong suốt quá trình học tập, làm việc, nghiên cứu cũng như trong cuộc sống. Mặc dù bản thân đã cố gắng rất nhiều, nhưng do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức và trình độ còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc. Tôi xin chân thành cảm ơn! Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Chương 1 Cơ sở toán học Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm toán học cơ sở về hệ phương trình vi phân tuyến tính, nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính, tính ổn định và ổn định hóa hệ phương trình vi phân tuyến tính, phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính theo [1 - 4]. 1.1. Hệ phương trình vi phân 1.1.1. Hệ phương trình vi phân tổng quát Định nghĩa 1.1.1. Hệ phương trình vi phân tổng quát có dạng: x˙(t) = f (t,x(t)), t ≥ t0,x(t0) = x0, t0 ≥ 0, (1.1.1) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2trong đó f : R+×Rn→ Rn, với mỗi t ≥ t0, x(t) ∈ Rn. Hàm khả vi liên tục x(t) thỏa mãn hệ phương trình (1.1.1) được gọi là nghiệm của hệ phương trình vi phân đó và được kí hiệu là x(t,x0). Công thức nghiệm dạng tích phân của hệ (1.1.1) là x(t,x0) = x0 + ∫ t t0 f (s,x(s))ds Định lí sau đây khẳng định sự tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi phân (1.1.1). Định lý 1.1.1. (Định lí Picard - Lindeloff) Xét hệ phương trình vi phân (1.1.1) trong đó giả sử f : I×D→ Rn (I = [t0, t0 +b]) liên tục theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x: ∃K > 0 : ‖ f (t,x1)− f (t,x2)‖ ≤ K‖x1− x2‖,∀t ≥ 0 Khi đó, với mỗi (t0,x0) ∈ R+ ×D sẽ tìm được một số d > 0 sao cho hệ phương trình (1.1.1) có nghiệm duy nhất trên khoảng [x0 + d,x0− d]. Hay nói cách khác, qua mỗi điểm (t0,x0) ∈ I×D có một và chỉ một đường cong tích phân chạy qua. Định lý 1.1.2. (Định lí Caratheodory) Giả sử f (t,x) là hàm đo được theo t ∈ I và liên tục theo x ∈ D. Nếu tồn tại hàm khả tích m(t) trên [t0, t0 +b] sao cho ‖ f (t,x)‖ ≤ m(t),∀(t,x) ∈ I×D. thì hệ (1.1.1) có nghiệm trên khoảng [t0, t0 +β ] nào đó. Với một số giả thiết trên của hàm f (t,x) thì nghiệm x(t,x0) được xác định trên [0,+∞). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3Đặc biệt, đối với các hệ phương trình vi phân tuyến tính x˙(t) = A(t)x(t)+g(t), trong đó A(t),g(t) là các hàm liên tục thì luôn tồn tại nghiệm x(t,x0) xác định trên toàn khoảng [0,+∞). 1.1.2. Hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm Định nghĩa 1.1.2. Hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm có dạng: x˙(t) = Ax(t)+g(t), t ∈ R +, x(t0) = x0, t0 ≥ 0, (1.1.2) trong đó A là n×n− ma trận hằng số, g : R+→ Rn là hàm liên tục. Nghiệm của hệ phương trình (1.1.2) được biểu diễn bởi công thức Cauchy x(t,x0) = eA(t−t0)x0 + ∫ t t0 eA(t−s)g(s))ds, t ≥ 0. 1.1.3. Hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm Định nghĩa 1.1.3. Hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm có dạng: x˙(t) = A(t)x(t)+g(t), t ∈ R +, x(t0) = x0, t0 ≥ 0, (1.1.3) trong đó A(t) là n×n− ma trận các hàm số liên tục trên R+, g : R+→ Rn là hàm liên tục. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4Nghiệm của hệ phương trình (1.1.3) được biểu diễn ma trận nghiệm cơ bản φ(t,s) của hệ thuần nhất x˙(t) = A(t)x(t), t ≥ 0, và được cho bởi công thức tích phân x(t) = φ(t, t0)x0 + ∫ t t0 φ(t,s)g(s)ds, t ≥ 0, trong đó φ(t,s) là ma trận nghiệm cơ bản thỏa mãn: d dt φ(t,s) = A(t)φ(t,s), t ≥ s, φ(s,s) = I. 1.2. Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân 1.2.1. Bài toán ổn định Xét hệ phương trình vi phânx˙(t) = f (t,x(t)), t ≥ 0,x(0) = x0, (1.2.1) trong đó f : R+×Rn→ Rn, với mỗi t ≥ 0, x(t) ∈ Rn Giả sử hệ phương trình (1.2.1) luôn có nghiệm duy nhất trên khoảng [0,+∞). Định nghĩa 1.2.1. Nghiệm x0(t) của hệ (1.2.1) là ổn định nếu với mọi số ε > 0, với mọi t > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi nghiệm y(t) khác x0(t) với y(t0) = y0 của hệ (1.2.1) thỏa mãn ‖y0− x0‖ < δ thì bất đẳng thức sau nghiệm đúng: ‖y(t)− x0(t)‖< ε,∀t ≥ t0. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5Giả sử x0(t) là một nghiệm ổn định của hệ (1.2.1), bằng phép đổi biến z(t) = x(t)− x0(t), hệ (1.2.1) sẽ được đưa về dạng:z˙(t) = g(t,z(t)), t ≥ t0, g(t,0) = 0,z(t0) = z0, (1.2.2) trong đó: g(t,z(t)) = f (t,z(t)+ x0(t))− f (t,x0(t)). Khi đó z≡ 0 là một nghiệm của hệ (1.2.2) với điều kiện ban đầu z(t0) = z0. Như vậy, ta thấy rằng việc nghiên cứu tính ổn định của một nghiệm x0(t) của hệ (1.2.1) được đưa về nghiên cứu tính ổn định của nghiệm không, (nghiệm đồng nhất bằng 0) của hệ (1.2.2). Để ngắn gọn, từ nay thay vì nói nghiệm không của hệ (1.2.2) là ổn định ta sẽ nói hệ (1.2.2) là ổn định. Do vậy, từ bây giờ ta xét hệ (1.2.1) với giả thiết hệ có nghiệm 0, tức là: f (t,0) = 0, t ∈ R+ Định nghĩa 1.2.2. Hệ (1.2.1) được gọi là ổn định nếu với mọi số ε > 0, t0 ≥ 0 tồn tại số δ > 0 sao cho bất kỳ nghiệm x(t) với điều kiện ban đầu x(t0) = x0 thỏa mãn ‖x0‖< δ thì ‖x(t)‖< ε , với mọi t ≥ t0 Hệ (1.2.1) được gọi là ổn định tiệm cận nếu hệ là ổn định và tồn tại số δ0 > 0 sao cho nếu ‖x0‖< δ0 thì lim t→∞‖x(t)‖= 0. Định nghĩa 1.2.3. Hệ (1.2.1) được gọi là ổn định mũ nếu tồn tại số N > 0 và α > 0 sao cho mọi nghiệm x(t) của hệ với điều kiện ban đầu x(t0) = x0 thỏa mãn ‖x(t)‖ ≤ Ne−α(t−t0)‖x0‖,∀t ≥ t0. Khi đó N được gọi là hệ số ổn định Lyapunov, α gọi là số mũ ổn định, (N,α) là chỉ số ổn định Lyapunov. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 6Ngay từ những công trình đầu tiên, nhà toán học người Nga Lyapunov đã đưa ra tiêu chuẩn cho tính ổn định mũ của hệ phương trình vi phân tuyến tính. Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm:x˙(t) = Ax(t), t ≥ 0,x(0) = x0, (1.2.3) trong đó A là n×n− ma trận hằng số. Định lý 1.2.1. Hệ phương trình tuyến tính (1.2.3) là ổn định mũ khi và chỉ khi tất cả các giá trị riêng của A đều có phần thực âm. Ví dụ 1.2.1. Xét hệ phương trình (1.2.3) với ma trận: A =  −1 −2 3 −5  có hai giá trị riêng là−3−√2i và−3+√2i. Vì Reλ (A)< 0 nên hệ phương trình (1.2.3) là ổn định mũ. Định lí trên đây là tiêu chuẩn đầu tiên về tính ổn định của hệ (1.2.3), gọi là tiêu chuẩn ổn định đại số Lyapunov. Tuy nhiên, việc tìm các giá trị riêng của A sẽ gặp khó khăn nếu A là ma trận hàm số hoặc đối với hệ phi tuyến. Chính vì thế, để khắc phục khó khăn này, phương pháp hàm Lyapunov sẽ xác định tính ổn định của hệ được dễ dàng và thuận lợi hơn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 71.2.2. Phương pháp hàm Lyapunov Cho hệ phương trình vi phânx˙(t) = f (t,x(t)), t ≥ 0,x(0) = x0, (1.2.4) trong đó f :R+×Rn→Rn là hàm véc tơ cho trước, x(t)∈Rn là véc tơ trạng thái của hệ với giả thiết f (t,0) = 0,∀t ≥ 0. Ký hiệu K là tập các hàm liên tục tăng chặt a(.) :R+→R+, a(0) = 0. Với mỗi hàmV (t,x) :R+×Rn→R, ta kí hiệu V˙f (t,x(t)) := ∂V ∂ t + ∂V ∂x f (t,x(t)) là đạo hàm của hàm V (t,x(t)) theo t dọc theo nghiệm x(t) của hệ (1.2.4). Định nghĩa 1.2.4. Hàm V (t,x) : R+×Rn→ R, V (t,0) = 0,∀t ≥ 0, khả vi liên tục được gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.2.4) nếu: (i) V (t,x) là hàm xác định dương theo nghĩa ∃a(.) ∈ K : V (t,x)≥ a(‖x‖),∀(t,x) ∈ R+×Rn. (ii) V˙f (t,x(t))≤ 0, với mọi nghiệm x(t) của hệ (1.2.4). Nếu hàm V (t,x) thỏa mãn thêm điều kiện: (iii) ∃b(.) ∈ K : V (t,x)≤ b(‖x‖),∀(t,x) ∈ R+×Rn. (iv) ∃c(.)∈K : V˙f (t,x(t))≤−c(‖x(t)‖),∀(t,x)∈R+×Rn, với mọi nghiệm x(t) của hệ (1.2.4) thì ta gọi hàm V (t,x) là hàm Lyapunov chặt. Định lí sau đây chỉ ra mối liên hệ giữa tính ổn định của hệ phương trình (1.2.4) và sự tồn tại hàm Lyapunov của hệ phương trình đó. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 8Định lý 1.2.2. Xét hệ phương trình vi phân(1.2.4) 1. Nếu hệ (1.2.4) tồn tại hàm Lyapunov thì nó ổn định. 2. Nếu hệ (1.2.4) tồn tại hàm Lyapunov chặt thì nó ổn định tiệm cận. Dựa trên định lí (1.2.2), định lí sau đây cho ta một điều kiện đủ về tính ổn định mũ của hệ (1.2.4) Định lý 1.2.3. Giả sử tồn tại hàm V (t,x) : R+×Rn→ R, thỏa mãn: i) ∃λ1 > 0,λ2 > 0 : λ1‖x‖2 ≤V (t,x)≤ λ2‖x‖2,∀(t,x) ∈ R+×Rn. ii) ∃α ≥ 0 : V˙f (t,x(t)) ≤ −2αV (t,x(t)), với mọi nghiệm x(t) của hệ (1.2.4) thì hệ (1.2.4) là ổn định mũ với α , N = √ λ2 λ1 là các chỉ số ổn định Lyapunov. Xét phương trình Lyapunov đại số: ATP+PA+Q = 0, (LE) trong đó P, Q là các ma trận đối xứng, xác định dương. Định lý 1.2.4. Hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm (1.2.3) là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi phương trình (LE) có cặp nghiệm P, Q là các ma trận đối xứng xác định dương. Ví dụ 1.2.2. Xét hệ phương trình (1.2.3) với A =  −1 −1 2 −3  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 9có hai giá trị riêng là −2− i và −2+ i. Vì Reλ (A)< 0 nên hệ phương trình (1.2.3) là ổn định mũ. Ngoài ra, với ma trận đối xứng xác định dương Q =  4 2 2 3  dễ dàng tìm được nghiệm P của phương trình (LE) là một ma trận đối xứng xác định dương P =  2310 320 3 20 9 20  Theo định lí (1.2.4) thì hệ phương trình (1.2.3) là ổn định tiệm cận. Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônômx˙(t) = A(t)x(t), t ∈ R +, x(0) = x0, (1.2.5) trong đó A(t) là n×n− ma trận hàm số liên tục trên R+. Định nghĩa 1.2.5. Ma trận P(t) ∈ Rn×n là xác định dương đều nếu tồn tại số dương λ > 0 : 〈P(t)x,x〉 ≥ λ‖x‖2, ∀t ≥ 0,∀x ∈ Rn Định lí sau đây cho ta một điều kiện đủ để hệ (1.2.5) là ổn định thông qua phương trình Lyapunov vi phân. Định lý 1.2.5. Nếu tồn tại ma trận hàm số P(t) đối xứng, xác định dương đều, bị chặn trên khoảng [0,∞) và tồn tại một số dương ε > 0 thỏa mãn phương trình Lyapunov vi phân P˙(t)+AT (t)P(t)+A(t)P(t)+ εI = 0 (1.2.6) thì hệ (1.2.5) ổn định tiệm cận đều. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10 Ví dụ 1.2.3. Xét hệ phương trình (1.2.5) với A(t) =  a(t) 0 0 b(t)  , a(t) = −1 2 e−cos 2 t + 1 2 sin2t, b(t) = −1 2 e−sin 2 t − 1 2 sin2t, Lấy ε = 1, ta có ma trận hàm số: P(t) =  ecos2 t 0 0 esin 2 t  , đối xứng, xác định dương đều và bị chặn trên khoảng [0,∞) đồng thời là nghiệm của phương trình (1.2.6). Theo định lý (1.2.5), hệ (1.2.5) ổn định tiệm cận đều. 1.2.3. Bài toán ổn định hóa Xét hệ phương trình vi phân điều khiểnx˙(t) = f (t,x(t),u(t)), t ≥ 0,x(0) = x0, (1.2.7) trong đó: f : R+×Rn×Rm→ Rn, f (t,0,0) = 0, ∀t ≥ 0. Hàm u(.) trong L2([0, t],R), t ≥ 0 được gọi là hàm điều khiển chấp nhận được của hệ (1.2.7). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11 Định nghĩa 1.2.6. Hệ điều khiển (1.2.7) gọi là ổn định hóa được nếu như tồn tại hàm g : Rn → Rm sao cho hệ phương trình vi phân không có điều khiển (thường gọi là hệ đóng - close loop system)x˙(t) = f (t,x(t),g(x(t))), t ≥ 0,x(0) = x0, (1.2.8) là ổn định tiệm cận. Hàm u(t) = g(x(t)) được gọi là hàm điều khiển ngược. Định nghĩa 1.2.7. Hệ điều khiển (1.2.7) gọi là ổn định hóa mũ được nếu như tồn tại hàm g : Rn→ Rm sao cho hệ phương trình vi phân (1.2.8) là ổn định mũ. Định nghĩa 1.2.8. Cho α > 0. Nếu hệ đóng (1.2.8) là ổn định mũ theo hệ số ổn định α thì hệ điều khiển (1.2.7) gọi là α- ổn định hóa mũ được. Đối với trường hợp hệ điều khiển tuyến tính x˙(t) = Ax(t)+Bu(t), t ≥ 0, (1.2.9) trong đó A ∈ Rn×n,B ∈ Rn×m,x ∈ Rn,u ∈ Rm, là ổn định hóa được nếu tồn tại ma trận K ∈ Rm×n sao cho hệ tuyến tính x˙(t) = (A+BK)x(t) là ổn định tiệm cận. Điều khiển u(t) = Kx(t), t ≥ 0 là hàm điều khiển ngược của hệ. Ví dụ 1.2.4. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 12 Xét hệ điều khiển tuyến tính (1.2.9) với A =  1 0 2 1  ∈ R2×2, B =  1 1  ∈ R2×1, Ta có ma trận K = ( −2 −3 ) ∈ R1×2, thỏa mãn hệ tuyến tính x˙(t) = (A+BK)x(t) với ma trận A+BK =  −1 −3 0 −2  , là ổn định tiệm cận vì Reλ (A+BK) < 0. Vậy hệ điều khiển tuyến tính (1.2.9) ổn định hóa được với hàm điều khiển ngược u(t) = ( −2 −3 ) x(t), t ≥ 0. 1.3. Bài toán ổn định, ổn định hóa cho hệ phương trình vi phân điều khiển có trễ Xét hệ phương trình có trễ dưới dạng tổng quát:x˙(t) = f (t,xt), t ≥ 0,x(t) = φ(t), t ∈ [−h,0], (1.3.1) trong đó f : R+×C→ Rn với C = C([−h.0],Rn), x(t) là một hàm có trễ liên tục trên R+ và nhận giá trị trong Rn. Hàm xt ∈ C, xt(s) = x(t+ s) với chuẩn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13 ‖xt‖= sup s∈[−h,0] ‖x(t+ s)‖, ∀s ∈ [−h,0], 0≤ h≤+∞. Ta kí hiệu x(t,φ) là một nghiệm của hệ (1.3.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t) = φ(t),∀t ∈ [−h,0]. Ký hiệu: V˙f (t,xt) := d dt V (t,xt) = ∂V ∂ t + ∂V ∂xt f (t,xt), trong đó ∂V ∂xt := lim h→0+ V (t,xt+h)−V (t,xt) h . Định lý 1.3.1. Nếu hệ (1.3.1) có hàm V (t,xt) : R+×C→ R thỏa mãn: (i) ∃λ1 > 0,λ2 > 0 : λ1‖x(t)‖2 ≤V (t,xt)≤ λ2‖xt‖2,∀t ≥ 0. (ii) V˙f (t,xt) ≤ 0 với mọi nghiệm x(t) của hệ (1.3.1) thì hệ (1.3.1) là ổn định và mọi nghiệm x(t) bị chặn, tức là: ∃N > 0 : ‖x(t,φ)‖ ≤ N‖φ‖,∀t ≥ 0. Nếu điều kiện (ii) được thay bằng điều kiện (iii) ∃λ3 > 0 : V˙ + f (t,xt) < 0 với mọi nghiệm x(t) của hệ (1.3.1) thì hệ (1.3.1) ổn định tiệm cận. Nếu điều kiện (iii) được thay bằng điều kiện (iv) ∃α > 0 : V˙f (t,xt)≤−2α(t,xt) với mọi nghiệm x(t) của hệ (1.3.1) thì hệ (1.3.1) ổn định mũ và các chỉ số ổn định mũ là α và √ λ2 λ1 . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14 Xét hệ phương trình vi phân điều khiển có trễ:x˙(t) = f (t,xt ,u(t)), t ≥ 0,x(t) = φ(t), t ∈ [−h,0],h > 0, (1.3.2) trong đó: f : R+×C×Rm→ Rn, f (t,0,0) = 0 và hàm u(.) ∈ L2([0, t],Rm),∀t > 0 Định nghĩa 1.3.1. Hệ điều khiển (1.3.2) gọi là ổn định hóa được nếu tồn tại hàm g : Rn→ Rm sao cho hệ phương trình vi phân không có điều khiển (hệ đóng) x˙(t) = f (t,xt ,g(x(t))), t ≥ 0,x(t0) = φ(t), t0 ∈ [−h,0],h > 0, (1.3.3) là ổn định tiệm cận. Định nghĩa 1.3.2. Với số α > 0, hệ điều khiển (1.3.2) được gọi là α - ổn định hóa được nếu tồn tại hàm g : Rn→ Rm sao cho hệ đóng (1.3.3) là α - ổn định. 1.4. Một số bổ đề bổ trợ Bổ đề 1.4.1. Cho các ma trận hằng số, đối xứng X ,Y trong đó Y > 0 và ma trận Z. Khi đó X +ZTY−1Z < 0 khi và chỉ khi X ZT Z −Y  < 0. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 15 Bổ đề 1.4.2. (Bất đẳng thức ma trận Cauchy). Cho S ∈Rn×n là một ma trận đối xứng, xác định dương. Khi đó, với mọi ma trận Q ∈ Rn×n, ta có: 2〈Qy,x〉−〈Sy,y〉 ≥ 〈QS−1QT x,x〉,∀x,y ∈ Rn. Bổ đề 1.4.3. Giả sử M ∈ Rn×n là một ma trận đối xứng, xác định dương. Khi đó với mọi β > 0, và với mọi hàm khả tích ω : [0,β ]→ Rn, ta có (∫ β 0 ω(s)ds )T M (∫ β 0 ω(s)ds) ) ≤ β ∫ β 0 ωT (s)Mω(s)ds. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 16 Chương 2 Bài toán ổn định các hệ tuyến tính lồi đa diện có trễ Trong chương này, chúng tôi trình bày phương pháp tiếp cận bằng hàm Lyapunov để giải bài toán ổn định, ổn định hóa một lớp hệ tuyến tính lồi đa diện có trễ thông qua bất đẳng thức ma trận tuyến tính. Kết quả được trình bày là nội dung của bài báo [5] 2.1. Định nghĩa Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính lồi đa diện có trễ dạng: x˙(t) = A0(ξ )x(t)+A1(ξ )x(t−h)+B(ξ )u(t), t ∈ R +, x(t) = φ(t), t ∈ [−h,0], (2.1.1) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 17 trong đó x(t)∈Rn là véc tơ trạng thái, φ ∈C([−h,0],Rn), h> 0, u(t)∈ Rm là hàm điều khiển, các ma trận hệ số thay đổi phụ thuộc trong đa diện Ω lồi sau: Ω= {[A0,A1,B](ξ ) := p ∑ i=1 ξi[A0i,A1i,Bi], p ∑ i=1 ξi = 1,ξi ≥ 0}, trong đó A0i,A1i,Bi,(i = 1, · · · , p) là các ma trận hằng số với số chiều thích hợp. Hàm điều kiện ban đầu được trang bị với chuẩn ‖φ‖= max t∈[−h,0] |φ(t)|. Định nghĩa 2.1.1. Hệ (2.1.1)(trong trường hợp u(t) = 0) được gọi là ổn định mũ được nếu tồn tại số β > 0,N > 0 sao cho mọi nghiệm x(t,φ) của hệ đều thỏa mãn bất đẳng thức |x(t,φ)| ≤ Ne−β t‖φ‖,∀t ∈ R+. Định nghĩa 2.1.2. Hệ (2.1.1) được gọi là ổn định hóa mũ được nếu tồn tại hàm điều khiển ngược u(t) = K(ξ )x(t), K(ξ ) = p ∑ i=1 ξiKi sao cho hệ đóngx˙(t) = A0(ξ )x(t)+A1(ξ )x(t−h)+B(ξ )K(ξ )x(t), t ∈ R +, x(t) = φ(t), t ∈ [−h,0], là ổn định mũ. Để thu được điều kiện ổn định mũ cho hệ phương trình vi phân, chúng ta phải tính toán tốc độ β và hệ số ổn định N. Vì vậy, sau đây chúng ta sẽ thiết lập điều kiện đủ cho bài toán ổn định hệ phương trình vi phân (2.1.1), xác định tốc độ và hệ số ổn định. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 18 2.2. Bài toán ổn định mũ cho hệ tuyến tính lồi đa diện có trễ Giả sử Pj,Q j, j = 1,2, · · · , p, S là (n×n) - ma trận đối xứng. Kí hiệu Mi(Pj,Q j) =  PjA0i+AT0iPj +Q j PjA1i AT1iPj −e−2βhQ j  , S = S 0 0 0  , N(Pj) = Pj 0 0 0  , α1 = min i=1,··· ,p {λmin(Pi)}, α2 = min i=1,··· ,p {λmax(Pi)+hλmax(Qi)}. Định lý 2.2.1. Cho β > 0. Nếu tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương Pi,Qi, i = 1,2, · · · , p, và một ma trận đối xứng xác định không âm S ∈ Rn×n thỏa mãn các điều kiện sau: (i) Mi(Pi,Qi)+2βN(Pi)≤−S, i = 1,2, · · · , p. (ii) Mi(Pj,Q j)+M j(Pi,Qi)+2βN(Pi+Pj)≤ 2p−1S, i = 1,2, · · · , p−1; j = i+1, · · · , p thì hệ (2.1.1)(u(t) = 0) là ổn định mũ được. Hơn nữa , nghiệm x(t,φ) của hệ thỏa mãn: ‖x(t,φ)‖ ≤ √ α2 α1 e−β t‖φ‖, t ∈ R+. Chứng minh. Ta xét hàm Lyapunov - Krasovskii sau đây: V (xt) = 〈( p ∑ i=1 ξiPi)x(t),x(t)〉 + p ∑ i=1 ξi ∫ 0 −h 〈e2βθQix(t+θ),x(t+θ)〉dθ . (2.2.1) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 19 Sử dụng tính chất của ma trận đối xứng xác định dương Pi, Qi, từ phương trình (2.2.1) kéo theo α1|x|2 ≤V (xt)≤ α2|xt |2 (2.2.2) với α1 6= α2 được xác định như trên. Lấy đạo hàm của hàm V (.) dọc theo nghiệm của x(t) ta được: V˙ (xt) = 2 p ∑ i=1 ξi〈Pix˙(t),x(t)〉 + p ∑ i=1 ξi ( 〈Qix(t),x(t)〉−〈e−2βhQix(t−h),x(t−h)〉 −2β ∫ 0 −h 〈e2βθQix(t+θ),x(t+θ)〉dθ ) = 2 p ∑ i=1 ξi〈Pi ( p ∑ j=1 ξ j ( A0 jx(t)+A1 jx(t−h) )) ,x(t)〉 + p ∑ i=1 ξi ( 〈Qix(t),x(t)〉−〈e−2βhQix(t−h),x(t−h)〉 ) −2β ( p ∑ i=1 ξi ∫ 0 −h 〈e2βθQix(t+θ),x(t+θ)〉dθ ) = 2 p ∑ i=1 ξi [ p ∑ j=1 ξ j ( 〈PiA0 jx(t),x(t)〉+ 〈PiA1 jx(t−h),x(t)〉 )] + p ∑ i=1 ξi ( 〈Qix(t),x(t)〉−〈e−2βhQix(t−h),x(t−h)〉 ) +2β 〈( p∑ i=1 ξiPi ) x(t),x(t)〉−2βV (xt). Cho p ∑ i=1 ξi = 1, ta có: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 20 V˙ (xt)+2βV (xt) = p ∑ i=1 ξi [ p ∑ j=1 ξ j ( 〈2PiA0 jx(t),x(t)〉 + 〈2PiA1 jx(t−h),x(t)〉+ 〈Qix(t),x(t)〉 −〈e−2βhQix(t−h),x(t−h)〉+2β 〈Pix(t),x(t)〉 )] = p ∑ i=1 ξ 2i [ 〈2PiA0ix(t),x(t)〉+ 〈2PiA1ix(t−h),x(t)〉 + 〈Qix(t),x(t)〉−〈e−2βhQix(t−h),x(t−h)〉 +2β 〈Pix(t),x(t)〉 ] + p−1 ∑ i=1 ξi p ∑ j=i+1 ξ j [ 〈2PiA0 jx(t),x(t)〉 + 〈2PiA1 jx(t−h),x(t)〉+ 〈Qix(t),x(t)〉 −〈e−2βhQix(t−h),x(t−h)〉+2β 〈Pix(t),x(t)〉 + 〈2PjA0ix(t),x(t)〉+ 〈2PjA1ix(t−h),x(t)〉 + 〈Q jx(t),x(t)〉−〈e−2βhQ jx(t−h),x(t−h)〉 +2β 〈Pjx(t),x(t)〉 ] . Đẳng thức trên được viết lại như sau: V˙ (xt)+2βV (xt) = p ∑ i=1 ξ 2i 〈( Mi(Pi,Qi) +2βN(Pi) )  x(t) x(t−h)  ,  x(t) x(t−h)  〉 + p−1 ∑ i=1 p ∑ j=i+1 ξiξ j 〈( Mi(Pj,Q j)+M j(Pi,Qi) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 21 +2βN(Pi+Pj) )  x(t) x(t−h)  ,  x(t) x(t−h)  〉 ≤ 〈( − p ∑ i=1 ξ 2i S+ 2 p−1 p−1 ∑ i=1 p ∑ j=i+1 ξiξ jS )  x(t) x(t−h)  ,  x(t) x(t−h)  〉. Từ (p−1) p ∑ i=1 ξ 2i −2 p−1 ∑ i=1 p ∑ j=i+1 ξiξ j = p−1 ∑ i=1 p ∑ j=i+1 (ξi−ξ j)2 ≥ 0, ta có V˙ (xt)+2βV (xt)≤ 0, ∀t ≥ 0. Theo hệ thức (2.2.2), ta có ‖x(t,φ)‖ ≤ √ α2 α1 e−β t‖φ‖. Như vậy, hệ (2.1.1) ổn định mũ được với tốc độ β và hệ số ổn định N = √ α2 α1 . Chú ý: Chú ý rằng điều kiện (i),(ii) bị yếu đi khi S = 0 và điều kiện đơn giản là: (iii) Mi(Pi,Qi)+2βN(Pi)≤ 0, i = 1,2, · · · , p. (iv) Mi(Pj,Q j)+M j(Pi,Qi)+2βN(Pi+Pj)≤ 0, i = 1,2, · · · , p−1; j = i+1, · · · , p. Ví dụ 2.2.1. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 22 Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ: x˙(t) = A0(ξ )x(t)+A1(ξ )x(t−h), t ∈ R+ (2.2.3) với hàm ban đầu φ(t) ∈C([−1,0],R2) và [A0(ξ ),A1(ξ )] = 3 ∑ i=1 ξi[A0i,A1i], 3 ∑ i=1 ξi = 1,ξi ≥ 0, trong đó A01 =  399 300 −860 −421  , A02 =  −1211 230 −360 59  , A03 =  −611 470 −2091 574  , A11 =  0.1471 0 0 0.3678  , A12 =  0.1103 0.3678 0 0.7357  , A13 =  0.0735 0 0.1839 0.3678  , Cho h = 1, p = 3. Chọn β = 1, Q1 = Q2 = Q3 = 1 0 0 1  , S =  1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1  ≥ 0, thì P1 =  2.79 1.31 1.31 0.951  ,P2 = 4.81 −1.43 −1.43 1.29  ,P3 = 6.35 −1.85 −1.85 1.454  , thỏa mãn các điều kiện của định lý 2.2.1. Khi đó hệ (2.2.3) ổn định mũ được và nghiệm thỏa mãn: ‖x(t,φ)‖ ≤ 5.4332e−t‖φ‖, ∀t ≥ 0. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 23 Kết quả thu được từ định lí 2.2.1 có thể mở rộng cho trường hợp hệ có nhiều trễ:  x˙(t) = A0(ξ )x(t)+ m ∑ k=1 Ak(ξ )x(t−hk), t ≥ 0, x(t) = φ(t), t ∈ [−h,0], (2.2.4) với h = max{hk : k = 1,2, · · · ,m}, các ma trận Ak(ξ ),k = 0,1, · · · ,m là các đỉnh của đa diện [A0(ξ ),A1(ξ ), · · · ,Am(ξ )] = p ∑ i=1 ξi[A0i,A1i, · · · ,Ami], ξi ≥ 0. Cho Mi(Pj,Q1 j, · · · ,Qmj) = PjA0i+AT0iPj + m ∑ k=1 Qk j PjA1i PjA2i ∗ ∗ PjAmi AT1iPj −e−2βh1Q1 j 0 0 0 ∗ AT2iPj 0 −e−2βh2Q2 j 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ATmiPj 0 0 0 0 −e−2βhmQm j  , N(Pj) =  Pj 0 ∗ ∗ 0 0 0 ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 0 ∗ ∗ 0  ∈ R(m+1)n×(m+1)n. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 24 Hệ quả 2.2.1. Cho β > 0. Nếu tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương Pi,Qki, i= 1,2, · · · , p; k = 1,2, · · · ,m và một ma trận đối xứng xác định không âm S ∈ Rn×n thỏa mãn các điều kiện sau: (i) Mi(Pi,Q1i,Q2i, · · · ,Qmi)+2βN(Pi)≤−S, i = 1,2, · · · , p. (ii) Mi(Pj,Q1 j,Q2 j, · · · ,Qm j)+M j(Pi,Q1i,Q2i,··· ,Qmi)+2βN(Pi+Pj) ≤ 2 p−1S, i = 1,2, · · · , p−1; j = i+1, · · · , p. thì hệ (2.2.4) là ổn định mũ được. Hơn nữa , nghiệm x(t,φ) của hệ thỏa mãn: ‖x(t,φ)‖ ≤ √ α2 α1 e−β t‖φ‖, t ∈ R+, với α1 = min i=1,··· ,p {λmin(Pi)}, α2 = min i=1,··· ,p {λmax(Pi)+h m ∑ k=1 λmax(Qki)}. 2.3. Bài toán ổn định hóa cho hệ tuyến tính lồi đa diện có trễ Trong mục này, chúng ta đưa ra điều kiện đủ cho tính ổn định hóa của hệ (2.1.1). Kí hiệu Wi j = A0iPj +PjAT0i+Qi−BiBTj Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 25 và M˜i(Pj,Q j) =  Wi j A1iPj PjAT1i −e−2βhQ j  , S =  S 0 0 0  ∈ R2n×2n, N˜(Pj) =  Pj 0 0 0  ∈ R2n×2n, λmin(P) = min i=1,2··· ,p {λmin(Pi)}, λmax(P) = max i=1,2··· ,p {λmax(Pi)}, và W (ξ ) = p ∑ i=1 ξiPi, p ∑ i=1 ξi = 1, ξi ≥ 0. Định lý 2.3.1. Cho β > 0. Nếu tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương Pi,Qi ∈ Rn×n, i = 1,2, · · · , p và một ma trận đối xứng xác định không âm S ∈ Rn×n thỏa mãn các điều kiện sau: (i) M˜i(Pi,Qi)+2β N˜(Pi)≤−S, i = 1,2, · · · , p. (ii) M˜i(Pj,Q j)+ M˜ j(Pi,Qi)+2β N˜(Pi+Pj)≤ 2p−1S, i = 1,2, · · · , p−1; j = i+1, · · · , p. thì hệ (2.1.1) là ổn định hóa mũ được. Hàm điều khiển ngược ổn định hóa của hệ là u(t) =−1 2 BT (ξ )W−1(ξ )x(t). Chứng minh. Chúng ta cóW (ξ ) > 0 vì Pi > 0, i = 1,2, · · · , p, p ∑ i=1 ξi = 1, ξi ≥ 0. Điều đó kéo theoW−1(ξ ) tồn tại. VìW (ξ ) là một ma trận đối xứng xác định dương, nênW−1(ξ ) cũng là ma trận đối xứng xác định dương. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 26 Một cách tương tự, W−1(ξ )QiW−1(ξ ) cũng là một ma trận đối xứng xác định dương vìW−1(ξ ),Qi là hai ma trận đối xứng xác định dương. Với hàm điều khiển ngược u(t) =−1 2 BT (ξ )W−1(ξ )x(t), chúng ta xét hàm Lyapunov - Krasovskii cho hệ đóng V (xt) = 〈W−1(ξ )x(t),x(t)〉 + p ∑ i=1 ξi ∫ 0 −h 〈e2βθW−1(ξ )QiW−1(ξ )x(t+θ), x(t+θ)〉dθ . (2.3.1) Dễ dàng thấy α1‖x‖2 ≤V (xt)≤ α2‖xt‖2, với α1 = 1 λmax(P) , α2 = 1 λmin(P) +h max i=1,2,··· ,p λmax(Qi) [λmin(P)]2 . Lấy đạo hàm theo t của hàm V (.) dọc theo nghiệm, ta được: V˙ (xt) = 〈2W−1(ξ )x˙(t),x(t)〉 + p ∑ i=1 ξi ( 〈W−1(ξ )QiW−1(ξ )x(t),x(t)〉 −〈e−2βθW−1(ξ )QiW−1(ξ )x(t−h),x(t−h)〉 −2β ∫ 0 −h 〈e−2βθW−1(ξ )QiW−1(ξ )x(t+θ),x(t+θ)〉dθ ) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 27 = 2 p ∑ i=1 ξi〈W−1(ξ ) ( A0ix(t)+A1ix(t−h)+Biu(t) ) ,x(t)〉 + p ∑ i=1 ξi ( 〈W−1(ξ )QiW−1(ξ )x(t),x(t)〉 −〈e−2βθW−1(ξ )QiW−1(ξ )x(t−h),x(t−h)〉 ) +2β 〈W−1(ξ )x(t),x(t)〉−2βV (t,xt). Từ p ∑ i=1 ξi = 1 chúng ta có thể viết lại đẳng thức trên như sau: V˙ (xt)+2βV (xt) = p ∑ i=1 ξi [ 〈2W−1(ξ )(A0ix(t),x(t)〉+ 〈2W−1(ξ )A1ix(t−h),x(t)〉 −〈W−1(ξ )Bi ( p ∑ j=1 ξ jB j )TW−1(xi)x(t),x(t)〉 +2β 〈W−1(xi)x(t),x(t)〉+ 〈W−1(ξ )QiW−1(xi)x(t),x(t)〉 −〈e−2βhW−1(ξ )QiW−1(ξ )x(t−h),x(t−h)〉 ] . Đặt y(t) =W−1(ξ )x(t), ta có V˙ (xt)+2βV (xt) = p ∑ i=1 ξi [ 〈2A0iW (ξ )y(t),y(t)〉+ 〈2A1iW (ξ )y(t−h),y(t)〉 −〈Bi ( p ∑ j=1 ξ jB j )T y(t),y(t)〉+2β 〈y(t),W (ξ )y(t)〉 + 〈Qiy(t),y(t)〉−〈e−2βhQiy(t−h),y(t−h)〉 ] . VớiW (ξ ) = p ∑ i=1 ξiPi, và p ∑ j=1 ξ j = 1, ta có Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 28 V˙ (xt)+2βV (xt) = p ∑ i=1 ξ 2i [ 〈2A0iPiy(t),y(t)〉+ 〈2A1iPiy(t−h),y(t)〉 −〈BiBTi y(t),y(t)〉+ 〈Qiy(t),y(t)〉 −〈e−2βhQiy(t−h),y(t−h)〉+2β 〈Piy(t),y(t)〉 ] + p−1 ∑ i=1 p ∑ j=i+1 ξiξ j [ 〈2A0iPjy(t),y(t)〉 + 〈2A1iPjy(t−h),y(t)〉−〈BiBTj y(t),y(t)〉 + 〈Q jy(t),y(t)〉−〈e−2βhQ jy(t−h),y(t−h)〉 +2β 〈Pjy(t),y(t)〉+ 〈2A0 jPiy(t),y(t)〉 + 〈2A1 jPiy(t−h),y(t)〉−〈B jBTi y(t),y(t)〉 + 〈Q jy(t),y(t)〉−〈e−2βhQ jy(t−h),y(t−h)〉 +2β 〈Pjy(t),y(t)〉 ] = p ∑ i=1 ξ 2i 〈( M˜i(Pi,Qi)+2β N˜(Pi) )  y(t) y(t−h)  ,  y(t) y(t−h)  〉 + p−1 ∑ i=1 p ∑ j=i+1 ξiξ j 〈( M˜i(Pj,Q j)+ M˜ j(Pi,Qi) +2β N˜(Pi+Pj) )  y(t) y(t−h)  ,  y(t) y(t−h)  〉 ≤ 〈( − p ∑ i=1 ξ 2i S+ 2 p−1 p−1 ∑ i=1 p ∑ j=i+1 ξiξ jS )  y(t) y(t−h)  ,  y(t) y(t−h)  〉. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 29 Từ hệ thức (p−1) p ∑ i=1 ξ 2i −2 p−1 ∑ i=1 p ∑ j=i+1 ξiξ j = p−1 ∑ i=1 p ∑ j=i+1 (ξi−ξ j)2 ≥ 0, ta có V˙ (t,xt)+2βV (t,xt)≤ 0, ∀t ≥ 0. Tương tự như việc chứng minh định lí 2.2.1, chúng ta kết luận được rằng hệ đóng là ổn định mũ được. Điều đó có nghĩa là hệ (2.1.1) ổn định mũ hóa được với hàm điều khiển ngược ổn định hóa u(t) =−1 2 BT (ξ )W−1(ξ )x(t). Ví dụ 2.3.1. Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ: x˙(t) = A0(ξ )x(t)+A1(ξ )x(t−1)+B(ξ )u(t), t ≥ 0, (2.3.2) với hàm ban đầu φ(t) ∈C([−1,0],R2) và [A0(ξ ),A1(ξ ),B(ξ )] = 3 ∑ i=1 ξi[A0i,A1i,Bi], 3 ∑ i=1 ξi = 1,ξi ≥ 0, và A01 =  −0.2 0 0 0.12  , A02 =  −2 −1 0 3  , A03 =  −6.9 0 0 −9  , A11 =  −0.1 0 −0.1 −0.1  , Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 30 A12 =  0 1 1 0  , A13 =  −0.9 0 −1 −1.1  , B1 =  0 8  , B2 =  0 2  , B3 =  0 5  . Cho h = 1, p = 3. Chọn β = 1, Q1 = Q2 = Q3 =  1 0 0 1  , S =  0.3 0 0 0 0 0.3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ≥ 0, chúng ta tìm ra được P1 =  7 0 0 4  , P2 =  1 0 0 1.5  , P3 =  3 0 0 1  , thảo mãn các điều kiện của định lí 2.3.1. Khi đó hệ (2.3.2) là ổn định hóa mũ được với hàm điều khiển ngược là u(t) = −1 2 (ξ1B1 +ξ2B2 +ξ3B3)T × (ξ1B1 +ξ2B2 +ξ3B3)−1x(t) − 1 2 ( 0 8ξ1 +2ξ2 +5ξ3 4ξ1 +1.5ξ2 +ξ3 ) x(t). Chúng ta có thể mở rộng định lí 2.3.1 cho hệ phương trình vi phân tuyến tính với nhiều trễ:  x˙(t) = A0(ξ )x(t)+ m ∑ k=1 Ak(ξ )x(t−hk)+B(ξ )u(t), t ≥ 0, x(t) = φ(t), t ∈ [−h,0], (2.3.3) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 31 trong đó h=max{hk : k= 1,2, · · · ,m}, các ma trận Ak(ξ ),B(ξ ),k= 0,1, · · · ,m là các đỉnh của đa diện [A0(ξ ),A1(ξ ), · · · ,Am(ξ ),B(ξ )]= p ∑ i=1 ξi[A0i,A1i, · · · ,Ami,Bi], p ∑ i=1 ξi = 1,ξi≥ 0. Cho N˜(Pj) =  Pj 0 0 ∗ ∗ 0 0 0 0 ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 0 0 ∗ ∗ 0  S =  S 0 0 ∗ ∗ 0 0 0 0 ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 0 0 ∗ ∗ 0  , M˜i(Pj,Q1 j, · · · ,Qmj) = A0iPj +PjAT0i + m ∑ k=1 Qk j−BiBTj A1iPj A2iPj ∗ ∗ AmiPj PjAT1i −e−2βh1Q1 j 0 0 0 ∗ PjAT2i 0 −e−2βh2Q2 j 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ PjATmi 0 0 0 0 −e−2βhmQmj  , Hệ quả 2.3.1. Cho β > 0. Nếu tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương Pi,Qki ∈ Rn×n, i = 1,2, · · · , p; k = 1,2, · · · ,m, và một ma trận đối xứng xác định không âm S ∈ Rn×n thỏa mãn các điều kiện sau: (i) M˜i(Pi,Q1i,Q2i, · · · ,Qmi)+2β N˜(Pi)≤−S, i = 1,2, · · · , p. (ii) M˜i(Pj,Q1 j,Q2 j, · · · ,Qm j)+ M˜ j(Pi,Q1i,Q2i, · · · ,Qmi)+2β N˜(Pi+Pj) ≤ 2 p−1S, i = 1,2, · · · , p−1; j = i+1, · · · , p. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 32 thì hệ (2.3.3) là ổn định hóa mũ được. Hàm điều khiển ngược ổn định hóa là u(t) =−1 2 BT (ξ )W−1(ξ )x(t). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 33 KẾT LUẬN Luận văn trình bày các kiến thức cơ bản về hệ phương trình vi phân, các kết quả về tính ổn định và ổn định hóa của một số hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ. Đóng góp chính của luận văn là: Trình bày một số kết quả về tính ổn định, tính ổn định hóa mũ được của hệ phương trình vi phân tuyến tính lồi đa diện có trễ : x˙(t) = A0(ξ )x(t)+A1(ξ )x(t−h)+B(ξ )u(t), t ∈ R +, x(t) = φ(t), t ∈ [−h,0], Xây dựng được một số ví dụ cho các kết quả về tính ổn định, tính ổn định hóa mũ được của hệ phương trình vi phân tuyến tính lồi đa diện có trễ và mở rộng trong trường hợp hệ có nhiều trễ. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 34 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2000), Cơ sở phương trình vi phân và lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục. [2] Vũ Ngọc Phát (2001),Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học, Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội Tiếng Anh [3] Halen J. K., Verduyn Lunel S. M. (1993), Introduction to Functional Differential Equation, Springer - Verlag. [4] T. Yoshizawa (1966), Stability Theory by Lyapunov’s Second Method, Puslisher of Math. Soc. of Japan. [5] Vu N. Phat, Phan T. Nam (2008), Robust exponential stability and sta- bilization of linear uncertain polytopic time-delay systems, J. Control Theory Appl, vol 6, pp. 163-170. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên