Báo cáo Và mô phỏng các hệ thống viễn thông dùng matlab

Thiết kế hệ thống DS – CDMA Trang 17 Chương 2: Các chuỗi giả tạp âm CHƢƠNG 2 CÁC CHUỖI GIẢ TẠP ÂM Ngoài mục đích xáo trộn chuỗi bit, chuỗi giả ngẫu nhiên còn ứng dụng cho trải phổ tín hiệu. Tín hiệu giả ngẫu nhiên khác với tín hiệu ngẫu nhiên ở chỗ: tín hiệu ngẫu nhiên không thể đoán trước, những thay đổi cuả nó chỉ có thể mô tả theo đặc tính thống kê. Trong khi đó, tín hiệu giả ngẫu nhiên hoàn toàn không ngẫu nhiên vì tín hiệu này có tính tuần hoàn và đã được xác định tại đầu thu và phát. Tính giả ngẫu nhiên ở chỗ: mặc dù có đặc tính thống kê của nhiễu trắng nhưng đối với người nhận không có thẩm quyền, nó là ngẫu nhiên. 2.1 CHUỖI m Các tín hiệu trải phổ băng rộng giống tạp âm được tạo ra bằng cách sử dụng các chuỗi mã giả tạp âm (PN: Pseudo-Noise) hay giả ngẫu nhiên. Loại quan trọng nhất của các chuỗi ngẫu nhiên là các chuỗi thanh ghi dịch cơ số hai độ dài cực đại hay các chuỗi m. Các chuỗi cơ số hai m được tạo ra bằng cách sử dụng thanh ghi dịch có mạch hồi tiếp tuyến tính (LFSR: Linear Feedback Shift Register) và các cổng EX-OR. Một chuỗi thanh ghi hồi tiếp dịch tuyến tính được xác định bởi một đa thức tạo mã tuyến tính g(x) bậc m>0: g(x) = gmx m + gm-1x m-1 + ..... + g1x + g0 (2.1-1) Đối với các chuỗi cơ số hai (có giá tri {0,1}), gi bằng 0 hay 1 và gm = g0 = 1. Đặt g(x) = 0, ta được sự hồi quy sau: 1= g1 x +g2x 2 + ....+ gm-2 x m-2 + gm-1x m-1 + x m (2.1-2) vì -1 = 1 (mod 2). Với "xk" thể hiện đơn vị trễ, phương trình hồi quy trên xác định các kết nối hồi tiếp trong mạch thanh ghi dịch nhị phâncủa hình 2.1. Lưu ý rằng các cổng EX-OR thực hiện các phép cộng mod 2. Hình 2.1: Mạch thanh ghi dịch để tạo chuỗi PN Nếu gi = 1 khoá tương ứng của mạch đóng, ngược lại nếu 𝑔𝑖 ≠ 1, khoá này hở. Để thực hiện điều chế BPSK tiếp theo, đầu ra của mạch thanh ghi dịch phải được biến đổi thành 1 nếu là 0 và thành -1 nếu là 1. Thanh ghi dịch là một mạch cơ số hai trạng thái hữu hạn có m phần tử nhớ. Vì thế số trạng thái khác 0 cực đại là Thiết kế hệ thống DS – CDMA Trang 18 Chương 2: Các chuỗi giả tạp âm 2m-1 và bằng chu kỳ cực đại của chuỗi ra c = (c0, c1, c2, .......). Xét hình 2.1, giả sử si(j) biểu thị giá trị của phần tử nhớ j trong thanh ghi dịch ở xung đồng hồ i. Trạng thái của thanh ghi dịch ở xung đồng hồ i là vectơ độ dài hữu hạn s i = {si(1), si (2), ... , si(m)}. Đầu ra ở xung đồng hồ i là ci-m = si (m). Thay 1 bằng ci vào (2) ta được điều kiện hồi quy của chuỗi ra: ci = g1 ci-1 + g2 ci-2 + ..... + gm-1ci-m+1 + ci-m (mod 2) ; (2.1-3) với i ≥ 0. Ví dụ : Xét đa thức sinh g(x) = x5 + x4 + x3 + x +1. Sử dụng (2.1-3) ta được hồi quy ci = ci-1 + ci-3 + ci-4 + ci-5 (mod 2) Xây dựng thanh ghi dịch hồi tiếp tuyến tính ở hình 2. Vì bậc của g(x) bằng m = 5, nên có 5 đơn vị nhớ (năm phần tử thanh ghi dịch) trong mạch. Đối với mọi trạng thái khởi đầu khác không (s0 ≠ {0, 0, 0, 0, 0}), trạng thái của thanh ghi dịch thay đổi theo điều kiện hồi quy được xác định bởi đa thức tạo mã g(x). Trong thí dụ này chuỗi ra tuần hoàn là cột cuối cùng ở hình 2: c = 111101000100101011000011100110.... Tình cờ chuỗi này có chu kỳ cực đại và bằng N = 2m - 1. Các đa thức tạo mã khác có thể tạo ra chu kỳ ngắn hơn nhiều. Lưu ý rằng ở cấu hình mạch được xét này, m bit đầu tiên của chuỗi ra bằng các bit được nạp ban đầu vào thanh ghi dịch: s0 = 11111. Đối với giá trị ban đầu khác, chẳng hạn s0 = 00001, đầu ra của chuỗi tương ứng trở thành 1000011100110111110100010010101...., là dịch (sang phải N-i = 31 -18 =13 đơn vị) của chuỗi c. Hình 2. 2: Dãy ghi dịch với g(x) = x5 + x4 + x3 + x +1 Các đa thức sinh khác có thể cho dãy có chu kỳ ngắn hơn đáng kể. Trong mạch cụ thể này, m bit đầu tiên của dãy ra là bằng nội dung đầu của thanh ghi dịch, cụ thể là s0 = 11111. Với s0 = 00001 đầu ra của chuỗi tương ứng trở thành 1000011100110111110100010010101...., là sự dịch sang phải đi một lượng N-i = Thiết kế hệ thống DS – CDMA Trang 19 Chương 2: Các chuỗi giả tạp âm 31 -18 =13 đơn vị của chuỗi c. Dãy ghi dịch chu kì N có N phép dịch hay pha. Ký hiệu T-jc là sự dịch sang trái đi j lần. Ở hình 2.2 ta thấy rằng có các loại dịch sau: T-4c, T-3c, T-2c, T-1c. Các dịch khác có thể nhận được bằng cách kết hợp tuyến tính m = 5 đầu ra nói trên. Chẳng hạn sử dụng mặt chắn 00101 trên 5 trạng thái ở hình 2.2 (bằng các cổng AND), ta có thể nhận được T -2 c + c= 0001001010110000111001101111101 ....., đây chính là T -7 c hay T -24 c. Ta đã xét hai cách khác nhau để chọn pha của ngõ ra . Tốc độ của mạch trong hình 2.2 bị hạn chế bởi tổng thời gian trễ trong một phần tử thanh ghi và các thời gian trễ trong tất cả các cổng EX-OR ở đường hồi tiếp. Để thực hiện tốc độ cao, trong các hệ thống thông tin di động CDMA người ta sử dụng sơ đồ tốc độ cao như ở hình 2.3 (các cổng XOR bây giờ đã thay đổi vị trí). Hình2. 3: Mạch ghi dịch tốc độ cao Phương trình đệ quy trong trường hợp này được xác định như sau. Ta chuyển đổi đa thức tạo mã vào đa thức đặc tính bằng cách nhân xm và đa thức tạo mã đảo: Thiết kế hệ thống DS – CDMA Trang 20 Chương 2: Các chuỗi giả tạp âm xmg(x-1) = xm(x-m + gm-1x -m+1 + ..... + g1x -1 + 1) = 1+gm-1x+. . . .+g1x m-1+x (2.1-4 ) Sau đó chuyển 1 sang vế phải và áp dụng thủ tục như đã xét ở trên cho bộ tạo mã tốc độ thấp ta được: ci = gm-1ci-1 + gm-2ci-2 + ..... + g1ci-m+1 + ci-m (mod 2) (2.1-5) đối với i≥m và giống như hồi quy ở phương trình (2.1-3). Vì vậy hai cách thực hiện trên có thể tạo ra cùng chuỗi đầu ra nếu m bit ra đầu tiên trùng nhau. Lưu ý rằng các trạng thái đầu của chúng khác nhau và chúng có các chuỗi trạng thái khác nhau. Hình 2.4 thực hiện chuỗi thanh ghi dịch như ở hình 2 với tốc độ cao. Hình 2.4: Mạch thanh ghi tốc độ cao g(x) = x5 + x4 + x2 + x + 1 Dãy ghi dịch tuyến tính nhị phân có chu kỳ N = 2m -1, m là số ô nhớ trong mạch hay bậc của đa thức sinh, được gọi là dãy nhị phân có độ dài cực đại hay dãy m. Đa thức sinh của dãy m được gọi là đa thức nguyên thủy. Định nghĩa toán học của đa thức nguyên thủy: g(x) là đa thức nguyên thủy bậc m nếu số nguyên nhỏ nhất n sao cho g(x) chia hết cho xn + 1 chính là n = 2m – 1. Ví dụ: 𝑔 𝑥 = 𝑥5 + 𝑥4 + 𝑥2 + 𝑥 + 1 là đa thức nguyên thủy có bậc bằng 5, vì số nguyên nhỏ nhất n sao cho g(x) chia hết cho xn + 1 là n = 25 – 1 = 31. Đa thức h(x) = 𝑥5 + 𝑥4 + 𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 + 1 không phải là đa thức nguyên thủy vì: 𝑥6 + 1 = 𝑥 + 1 (𝑥5 + 𝑥4 + 𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 + 1), do đó n nhỏ nhất là 6 không bằng 31. Số lượng các đa thức nguyên thủy bậc m là 1 𝑚 𝜙(2𝑚 − 1), với 𝜙 𝑛 = 𝑛 1 − 1 𝑝 𝑝/𝑛 (2.1-6) p/n chỉ tất cả các ước số nguyên tố khác nhau của n. Ví dụ: 𝜙 15 = 15 1− 1 3 1− 1 5 = 8 𝜙 31 = 31 1 − 1 31 = 30 Vậy : Một chuỗi thanh ghi dịch cơ số hai tuyến tính, với chu kỳ N = 2m - 1 trong đó m là số đơn vị nhớ trong mạch hay bậc của đa thức tạo mã , được gọi là một chuỗi cơ số hai có độ dài cực đại hay chuỗi m. Thiết kế hệ thống DS – CDMA Trang 21 Chương 2: Các chuỗi giả tạp âm 2.2 CÁC TÍNH CHẤT CỦA CHUỖI m 1) Tính chất dịch Dịch vòng ( trái hoặc phải ) của dãy m cũng là dãy m. 2) Tính hồi qui Dãy m bất kỳ trong Sm thỏa mãn sự hồi qui ci+m = gm-1 ci+m-1 + gm-2 ci+m-2 + K + g1ci+1 + ci (2.2-1) Ngược lại bất kì nghiệm nào của phương trình hối qui cũng là dãy m trong tập Sm. Có m nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình hồi qui này, do đó có m dãy độc lập tuyến tính trong Sm. 3) Tính cửa sổ Nếu trượt một cửa sổ có độ rộng m dọc theo dãy m trong Sm thì ta nhìn thấy đúng 1 lần mỗi bộ nhị phân khác 0 trong 2m – 1 bộ. Sẽ rất dễ thấy tính chất này nếu ta viết chuỗi thành vòng tròn. 4) Số lƣợng số 1 nhiều hơn số 0 một đơn vị Bất kỳ dãy m nào trong Sm cũng chứa 2 m-1 số 1 và 2m-1 – 1 số 0. 5) Tính chất cộng Tổng của 2 dãy m trong Sm ( mod2 từng số hạng với nhau ) là dãy m khác trong Sm. 6) Tính chất dịch và cộng Tổng của dãy m và dịch vòng của chính nó ( mod2 từng số hạng với nhau ) là dãy m khác . 7) Tự tƣơng quan có dạng đinh bấm Trong thực tế các chuỗi m sử dụng cho các mã PN có thể được thực hiện ở dạng lưỡng cực hoặc đơn cực với hia mức logic “0” và “1”, độ rộng xung Tc cho một chu kỳ N như sau: 𝑐 𝑡 = 𝑐𝑖 𝑁 𝑖=1 𝑝(𝑡 − 𝑖𝑇𝑐) (2.2-2) Trong đó: p(t) = 1, 0 ≤ 𝑡 ≤ Tc 0, 𝑛ơ𝑖 𝑘ℎá𝑐 (2.2-3) ck = ± 1 đối với lưỡng cực và 0/1 đối với đơn cực. Quan hệ giữa xung lưỡng cực và đơn cực được xác định như sau:  Mức “0” ở đơn cực tương ứng với mức “+1” ở lưỡng cực.  Mức “1” ở đơn cực tương ứng với mức “- 1” ở lưỡng cực. Nếu m là chuỗi m là đơn cực, hàm tự tương quan tuần hoàn chuẩn hóa của nó có dạng: 𝜌 𝑖 = 1 𝑁 (−1)𝑐𝑗⊕𝑐𝑖+𝑗𝑁−1𝑗=0 (2.2-4) 𝜌 𝑖 = 1 khi i = 0 ( mod N ) và bằng -1/N với i 0 ( mod N ) Thiết kế hệ thống DS – CDMA Trang 22 Chương 2: Các chuỗi giả tạp âm Hình 2.5: Hàm tự tương quan tuần hoàn có hình đinh ghim của chuỗi m 8) Tính hành trình Hành trình là một xâu các số 1 liên tiếp hoặc các số 0 liên tiếp. Trong dãy m bất kỳ, một nửa các hành trình có độ dài 1, ¼ có độ dài 2, 1/8 có độ dài 3 …đến khi nào các phân số này còn là số nguyên của các hành trình. Cụ thể: có một hành trình có độ dài m các số 1, 1 hành trình có độ dài m -1 các số 0. Đối với độ dài hành trình k, 0<k<m -1, số các hành trình của số 0 bằng hành trình của số 1 và bằng 2m-k-2. 9) Pha đặc trƣng Có chính xác một chuỗi m c trong tập Sm thỏa mãn c = c2i. Chuỗi c này được gọi là đặc tính của chuỗi m hay đặc tính pha của chuỗi m trong tập Sm. 10) Phép chia Phép chia cho n>0 của dãy m (tức lấy mẫu c, cứ mỗi n bit mã), ký hiệu là c[n], có chu kỳ bằng N/gcd(N,n). Đa thức sinh của nó g(x) có nghiệm là các lũy thừa bậc n của các nghiệm của g(x). Trong đó:  gcd(m,k) = 1 ,𝑘ℎ𝑖 𝑚 𝑙ẻ 2 ,𝑘ℎ𝑖 𝑚 = 2 (𝑚𝑜𝑑 4 ) (2.2-5)  gcd ( greatest common divisor ): ước số chung lớn nhất.  Ta thấy rằng các tính chất 3,4,7,8 giải thích cho tên gọi các dãy giả ngẫu nhiên. Thiết kế hệ thống DS – CDMA Trang 23 Chương 2: Các chuỗi giả tạp âm 2.3 CÁC CHUỖI ĐA TRUY CẬP TRẢI PHỔ 2.3.1 Chuỗi GOLD Các chuỗi PN có các thuộc tính trực giao tốt hơn chuỗi m được gọi là các chuỗi Gold. Tập n chuỗi Gold được rút ra từ một cặp chuỗi m được ưa chuộng (preferred pair) có độ dài N = 2m -1 bằng cách cộng modulo 2 chuỗi m thứ nhất với các phiên bản dịch vòng của chuỗi m thứ hai. Kết hợp với hai chuỗi m ta được một họ N + 2 mã Gold. Các mã Gold có hàm tương quan chéo có ba giá trị {-1, -t(m), t(m) -2} và hàm tự tương quan bốn giá trị {2m-1, -1, t(m), -t(m)} trong đó: t(m) = 1 + 2 𝑚+1 2 , 𝑣ớ𝑖 𝑚 𝑙ẻ 1 + 2 𝑚+2 2 ,𝑣ớ𝑖 𝑚 𝑐ℎẵ𝑛 (2.3-1) Đưa về dạng chuẩn hóa, tập giá trị của hàm tương quan chéo có thể viết lại như sau:  Khi m lẻ: 𝑅 = − 1 𝑁 1 + 2 𝑚+1 2 ,− 1 𝑁 , 1 𝑁 2 𝑚+1 2 − 1 (2.3-2a)  Khi m chẵn: 𝑅 = − 1 𝑁 1 + 2 𝑚+2 2 ,− 1 𝑁 , 1 𝑁 2 𝑚+2 2 − 1 (2.3-2b) Khi tính toán các giá trị tương quan phải sử dụng mã lưỡng cực (+1 và -1). Tập hợp các chuỗi Gold bao gồm cặp chuỗi m được ưa chuộng x và y và các tổng mod2 của x với dịch vòng của y. Chẳng hạn tập hợp các chuỗi Gold là: 𝑆𝐺𝑜𝑙𝑑 = {𝑥,𝑦, 𝑥 ⊕ 𝑦, 𝑥 ⊕ 𝑇 −1𝑦, 𝑥 ⊕ 𝑇−2𝑦,… , 𝑥 ⊕ 𝑇−(𝑁−1)𝑦} (2.3-3) Trong đó: T-1y = { y1, y2, y3,… , yN-1, y0 } là dịch vòng trái của y. Đại lượng tương quan cực đại cho hai chuỗi Gold bất kỳ trong cùng một tập bằng hằng số t(m). Ta thấy rằng, để tạo được một chuỗi Gold, ta phải biết được cặp cuỗi m ưa chuộng (preferred pair) b và b’ với các đặc trưng như sau: - m ≠ 0 mod 4, hay m lẻ. - b’ = b[q], với q là một số lẻ và q = 2k+1 hoặc q = 22k – 2k +1. Điều này cho thấy, lấy mẫu mỗi bit thứ q của b ta được b’. - gcd(m,k) = 1 ,𝑚 𝑙ẻ 2, 𝑚 = 2(𝑚𝑜𝑑 4) (2.3-4) Các cặp preferred pair không tồn tại với m = 4,8,12,16,… Ví dụ : Chuỗi Gold với m = 3 Số lượng chuỗi m: 1 3 𝜙(7) = 2 Chiều dài của chuỗi m: N = 23 -1 = 7 Thiết kế hệ thống DS – CDMA Trang 24 Chương 2: Các chuỗi giả tạp âm Bậc của đa thức nguyên thủy là m = 3. ( giả sử giá trị khởi tạo trong thanh ghi dịch là: 001 ). 𝑥3 + 𝑥 + 1 ∶ 𝑥 = 1001011 𝑥3 + 𝑥2 + 1 ∶ 𝑦 = 1001110 ( hay 0100111) Hình 2.6: Bộ tạo dãy Gold với cặp ưa thích g1(x) = 𝑥 3 + 𝑥 + 1 và g2(x) = 𝑥 3 + 𝑥2 + 1 Hàm tương quan chéo của cặp chuỗi m này có 3 giá trị: -1, -5 hoặc 3, như trong hình sau: Hình 2.7: Tương quan chéo của chuỗi Gold. Thiết kế hệ thống DS – CDMA Trang 25 Chương 2: Các chuỗi giả tạp âm Tỷ số t(m)/N ≈ 2−𝑚/2 tiến tới 0 khi m tiến tới vô cùng. Điều này chứng tỏ các chuỗi Gold càng dài sẽ có tính đa truy cập tốt hơn. 2.3.2 Chuỗi Kasami Chuỗi Kasami có được bằng cách chia dãy m ( ở đây đặt là x ) (decimating the m- sequence ) và thực hiện phép cộng mod2 trên dãy dịch vòng. Decimating dãy tức là lấy mẫu nó một cách tuần hoàn. 2.3.2.1 Tập nhỏ các chuỗi nhỏ Kasami Ta có chuỗi y = x[s(m)] ( decimating từ x ), trong đó s(m) = 2m/2 + 1. Chuỗi y cũng là chuỗi m tuần hoàn, nhưng với chu kỳ nhỏ hơn và bằng 2𝑚−1 𝑠 𝑚 = 2𝑚/2 − 1 (2.3-5) Tập nhỏ các chuỗi Kasami được cho bởi 𝑆𝐾𝑎𝑠𝑎𝑚𝑖 = {𝑥, 𝑥 ⊕ 𝑦, 𝑥 ⊕ 𝑇 −1𝑦, 𝑥 ⊕ 𝑇−2𝑦,… , 𝑥 ⊕ 𝑇−(2 𝑚 2 −2)𝑦} (2.3-6) Trong đó: 𝑇−1𝑦 = (𝑦1,𝑦2,𝑦3 ,… , 𝑦𝑁−1,𝑦0) (2.3-7) là dịch trái của y. Tổng số chuỗi trong tập là 2m/2. Hàm tương quan chéo đối với 2 chuỗi Kasami nhận các giá trị trong tập {-1, -s(m), s(m) – 2}. Ví dụ: Chuỗi Kasami có m = 4 Đa thức sinh x4 + x + 1: x = 100010011010111  s(m) = 22 + 1 = 5  Decimating x bởi s(m), ta nhận được y = x(5) = 101101101101101  Chu kỳ của y là y = 2m/2 – 1 = 3  Số lượng chuỗi Kasami 2m/2 = 4  Chuỗi Kasami có chiều dài 2m -1 = 15. Các chuỗi này được tính: 2.3.2.2 Tập lớn các chuỗi Kasami Tập này bao gồm các chuỗi có chu kỳ 2m – 1, bao gồm cả chuỗi Gold và tập nhỏ các chuỗi Kasami. Giả sử các chuỗi m: y và z tạo ra bằng cách chia x bởi các giá trị 2m/2 +1 và 2 (m+2)/2 + 1, và lấy tất cả các chuỗi tạo ra bởi cách cộng x, y, z với các chuỗi dịch khác nhau của y và z. Thiết kế hệ thống DS – CDMA Trang 26 Chương 2: Các chuỗi giả tạp âm 2.3.3 Các chuỗi trực giao Các chuỗi WALSH Các hàm trực giao được sử dụng để cải thiện hiệu suất băng tần của hệ thống trải phổ. Trong hệ thống thông tin di động CDMA mỗi người sử dụng một phần tử trong tập các hàm trực giao. Hàm Walsh và ma trận Hadamard tạo nên một tập các hàm trực giao sử dụng cho CDMA. Ở CDMA các hàm Walsh được sử dụng theo hai cách: là mã trải phổ hoặc tạo ra các ký hiệu trực giao. Các hàm Walsh được tạo ra bằng các ma trận vuông đặc biệt được gọi là ma trận Hadamard. Hàm Walsh được cấu trúc cho độ dài khối N = 2j trong đó j là một số nguyên dương. Hàm trực giao có đặc tính sau: 𝜙𝑖 𝑘𝜏 𝑀−1 𝑘=0 𝜙𝑗 𝑘𝜏 = 0, 𝑖 ≠ 𝑗 (2.3-8) Trong đó:  𝜙𝑖(𝑘𝜏), 𝜙𝑗 (𝑘𝜏) : là các số hạng bậc i và j của tập trực giao.  𝜏 ∶ chu kỳ của symbol. Các tổ hợp mã ở các hàng của ma trận là các hàm trực giao được xác định theo ma trận Hadamard. Chiều dài của từ mã là cỡ của ma trận. Mỗi một dòng là một mã Walsh có cỡ N. Ví dụ: 𝐻1 = 0 0 0 1 𝐻2 = 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 Ma trận 𝐻1 cho hai mã : 00, 01. 𝐻2 cho 4 mã: 0000, 0101, 0011, 0110. Mỗi ma trận Hadamard cấp cao hơn được tạo từ ma trận trước nó theo cách biến đổi (Hadamard transform ) sau: 𝐻𝑁+1 = 𝐻𝑁 𝐻𝑁 𝐻𝑁 𝐻𝑁 (2.3-9) 𝐻𝑁 là đảo của 𝐻𝑁. Với cách biến đổi này, ta được một H3 như sau: Thiết kế hệ thống DS – CDMA Trang 27 Chương 2: Các chuỗi giả tạp âm 𝐻2 = 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 2.3.4 Các chuỗi phức Các chuỗi nhị phân ± chủ yếu sử dụng với điều chế BPSK. Khi các phương pháp điều chế hiệu quả dải thông khác được sử dụng như MPSK, thì các thiết kế phi nhị phân của dãy có thể tốt hơn. Một bổ sung tự nhiên cho các dãy nhị phân là dãy phức. Có thể coi các dãy căn 2 của đơn vị là các dãy phức cơ bản, trong đó các giá trị của dãy thay đổi trên vòng tròn đơn vị của mặt phẳng phức. 2.3.4.1 Các chuỗi m phức Các dãy m nhị phân là tập con đặc biệt của dãy phức m. Kí hiệu p là số nguyên tố. Căn bậc p của đơn vị là các số phức 𝑒𝑗𝑘2𝜋/𝑝 , 0≤ 𝑘 ≤ 𝑝 − 1 (chẳng hạn khi p =2 , hai căn bậc hai của đơn vị là 1 và -1). Để tạo dãy m phức, trước tiên ta tìm đa thức nguyên thủy bậc m 𝑔 𝑥 = 𝑔𝑚𝑥 𝑚 + 𝑔𝑚−1𝑥 𝑚−1 + 𝐾 + 𝑔1𝑥 + 𝑔0 (2.3-10) Với gi thuộc về tập {0, 1, 2, …, p-1 }, gm 0 và g0 0. Đặt g(x)=0. Giải phương trình đối với xm, ta được mạch: Hình 2.8: Mạch ghi dịch đối với dãy phức Chu kỳ của dãy phức m là N = pm -1. Ví dụ: cho p =3, m =2 và dùng đa thức sinh là g(x) = x2 +2x + 2. Qui tắc hồi qui là: x 2 = -2x -2 = x +1 ( mod3). Với nội dung ban đầu trong bộ ghi dịch là 21, ta được dãy có chu kỳ là N = 3 2 -1 =8. Chuỗi này là : 12022101. Ánh xạ các số này lên vòng tròn đơn vị theo qui tắc 𝑥𝑘 = 𝑒𝑐𝑘 𝑗2𝜋𝑘 /𝑝 , ta được dãy phức: 𝑥 = (𝑒 𝑗2𝜋 3 , 𝑒 𝑗4𝜋 3 , 1, 𝑒 𝑗4𝜋 3 , 𝑒 𝑗4𝜋 3 , 𝑒 𝑗2𝜋 3 , 1, 𝑒 𝑗2𝜋 3 ) Thiết kế hệ thống DS – CDMA Trang 28 Chương 2: Các chuỗi giả tạp âm Dãy này được biễu diễn như hình 2.9 Hình 2.9: Các dãy m phức 2.3.4.2 Các dãy FZC Lớp các dãy phức tiếp theo là các dãy FZC ( Frank- Zadoff-Chu ). Gọi p là số chia nguyên tố nhỏ nhất của số nguyên lẻ N, và Mi là đảo multiplicative của i (mod N), 1 ≤ 𝑖 ≤ p-1, tức là Mi.i ≡ 1 (mod N) Tập gồm p-1 dãy FZC có chu kỳ N là 𝑆𝐹𝑍𝐶 = {𝑥 𝑀𝑖 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑝 − 1} (2.3-11a) ở đây 𝑥𝑘 (𝑀𝑖) = (−1)𝑘𝑀𝑖𝑒𝑗𝜋𝑀𝑖𝑘 2/𝑁 ,𝑘 = 0,1,2,… ,𝑁 − 1 (2.3-11b) Các hàm tự tương quan lệch pha đối với dãy FZC chính xác bằng 0, còn các hàm tương quan chéo bị chặn bởi 𝑁. Điều này được đánh giá là tốt, nhưng chi phí để thực hiện rất đắt bởi vì tập các giá trị có thể có đối với dãy FZC có thể lớn. Điều này dẫn ta đến lớp dãy phức tiếp theo, chỉ có 4 pha. 2.3.4.3 Các dãy phức 4 pha Các dãy này được xây dựng bằng các đa thức không rút gọn trên tập số nguyên Z4 = {0,1,2,3}. Một số dãy cụ thể  m=3: 1213,1323  m=4: 10231, 13201  m=5: 100323, 113013, 113123, 121003, 123133, 130133  m=6: 1002031, 1110231, 1211031, 1301121, 1302001, 1320111 Xét m = 3, dùng đa thức sinh 1323 : g(x) = x3 + 3x2 + 2x + 3. Qui tắc hồi qui là x 3 = -3x 2 -2x – 3 = x2 + 2x + 1 ( mod 4 ). Dãy được tạo là Thiết kế hệ thống DS – CDMA Trang 29 Chương 2: Các chuỗi giả tạp âm Ánh xạ 0 1 , 1→ 𝑒𝑗𝜋 /2, 2→ 𝑒𝑗𝜋 , 3→ 𝑒3𝑗𝜋 /2 được sử dụng để biến đổi các dãy căn hai của đơn vị. 2.4 ÁP DỤNG MÃ TRONG CÁC HỆ THỐNG CDMA Các hệ thống CDMAOne và CDMA 2000 sử dụng các mã khác nhau để trải phổ, nhận dạng kênh, nhận dạng BTS và nhận dạng người sử dụng. 2.4.1 Mã PN dài ( Long PN code ) Mã PN dài là một chuỗi mã có chu kỳ là 242 -1 chip được tạo ra trên cơ sở đa thức tạo mã sau: g(x) = 𝑥42 + 𝑥35 + 𝑥33 + 𝑥31+ 𝑥27 + 𝑥26 + 𝑥25 + 𝑥22 + 𝑥21 + 𝑥19 + 𝑥18 + 𝑥17+ 𝑥16 + 𝑥10 + 𝑥7 + 𝑥6+ 𝑥5 + 𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥1+ 1 Trên đường xuống mã dài được sử dụng để nhận dạng người sử dụng cho cả CDMAOne và CDMA2000. Trên đường lên mã dài được sử dụng để: nhận dạng người sử dụng, định kênh, và trải phổ cho CDMAOne còn đối với CDMA2000 được sử dụng để nhận dạng nguồn phát. Trạng thái ban đầu của bộ mã được qui định là trạng thái mà ở đó chuỗi đầu ra là “1” đi sau 41 số “0” liên tiếp. 2.4.2 Mã PN ngắn ( Short PN code ) Các mã PN ngắn còn được gọi là các chuỗi PN hoa tiêu kênh I và kênh Q được tạo bởi các bộ tạo chuỗi giả ngẫu nhiên được xác định theo các đa thức sau: 𝑔𝐼(x) = 𝑥 15 + 𝑥13+ 𝑥9 + 𝑥8 + 𝑥7 + 𝑥5+ 1 𝑔𝑄(x)= 𝑥 15 + 𝑥12 + 𝑥11 + 𝑥10+ 𝑥6 + 𝑥5 + 𝑥4 + 𝑥3+ 1 Trên đường xuống mã ngắn được sử dụng để nhận dạng BTS, còn trên đường lên mã ngắn ( đối với CDMAOne) chỉ sử dụng để tăng cường trải phổ. Trạng thái ban đầu của bộ tạo mã được qui định là trạng thái mà ở đó chuỗi đầu ra của bộ tạo mã là “1” đi sau 15 số 0 liên tiếp. 2.4.3 Mã Gold Các mã Gold dài được sử dụng trong W-CDMA để nhận dạng nguồn phát. Đối với đường lên ( từ MS đến BTS ) mã Gold được tạo thành từ hai chuỗi m: 𝑥25 + 𝑥3+ 1 và 𝑥25 + 𝑥3 + 𝑥 + 1. Đối với đường xuống, mã này được tạo thành từ hai chuỗi 𝑥18 + 𝑥7+ 1 và 𝑥18 + 𝑥10 + 𝑥7+ 1. 2.4.4 Mã trực giao Walsh CDMA sử dụng ma trận H64. Các mã này được đánh chỉ số từ W0 đến W63 được sử dụng để trải phổ và nhận kênh cho đường xuống và điều chế trực giao cho đường lên. CDMA2000 sử dụng các ma trận Hadamard khác nhau để tạo ra các mã Walsh 𝑊𝑛 𝑁, trong đó N ≤ 512 và 1≤n≤ 𝑁 2 − 1 để nhận dạng các kênh cho đường xuống và đường lên. Lưu ý chỉ số N ở đây ương ứng với chỉ số ma trận còn n tương ứng với chỉ số của mã, ví dụ: 𝑊32 256 là mã nhận được từ hàng 33 của ma trận H256.