Cấp của các phần tử và các lớp liên hợp của nhóm Dihedral

Tuyển tập Báo cáo “Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học” lần thứ 6 Đại học Đà Nẵng - 2008 276 CẤP CỦA CÁC PHẦN TỬ VÀ CÁC LỚP LIÊN HỢP CỦA NHÓM DIHEDRAL THE ORDER OF ALL ELEMENTS AND CONJUGACY CLASSES OF DIHEDRAL GROUP SVTH: NGUYỄN THỊ NGỌC HUYỀN Lớp: 05TT, Trường Đại Học Sư Phạm GVHD: TS. NGUYỄN NGỌC CHÂU Khoa Toán, Trường Đại Học Sư Phạm TÓM TẮT Mục đích của đề tài là xác định cấp của các phần tử và các lớp liên hợp của nhóm Dihedral. ABSTRACT The aim of this topic is to determine the order of all elements and conjugacy classes of Dihedral group. 1. Mở đầu. Xét đa giác đều n cạnh Pn với n > 2. Gọi a là phép quay mặt phẳng xung quanh tâm của Pn một góc bằng 2  /n , còn b là phép đối xứng qua một đường thẳng đi qua tâm của Pn và một đỉnh của nó. Khi đó, tất cả các phép đối xứ ng của Pn ( tức là các phép biến đổi đẳng cự của mặt phẳng biến Pn thành chính nó ) được liệt kê như sau: e, a, a 2, …, an-1, b, ab, a2b, …, an-1b. Các phép đối xứng này lập thành một nhóm với phép toán hợp thành ( hay là tích ) của hai phép đối xứng, ký hiệu Dn , và được gọi là nhóm Dihedral. 2. Cấp của các phần tử và các lớp liên hợp của nhóm Dihedral. 2.1 Quan hệ liên hợp trong một nhóm. 2.1.1. Định nghĩa. Cho nhóm G và a, x thuộc G. Phần tử x-1a x  G, ký hiệu ax, được gọi là liên hợp với a bởi phần tử x. Trong nhóm G ta xác định một quan hệ hai ngôi R như sau: a, b  G, a R b nếu  x  G sao cho b = a x . 2.1.2 Mệnh đề. Quan hệ R được xác định như trên là một quan hệ tương đương trên nhóm G, và còn gọi là quan hệ liên hợp. 2.1.3 Cấp của một phần tử trong một nhóm. Giả sử a là một phần tử bất kỳ của nhóm X và A là nhóm con sinh bởi a. Phần tử a có cấp vô hạn nếu A vô hạn, trong trường hợp này không có một số nguyên dương n nào sao cho a n = e. Phần tử a có cấp m nếu A có cấp m, với m là số nguyên dương bé nhất sao cho a m = e. Ta ký hiệu cấp của phần tử a là ord ( a ). Nếu ord (a) = m, thì = { a0 = 1, a 1 , a 2, … ,am-1}, và ta còn viết , a  X, Ord ( a ) = 1 khi và chỉ khi a = e. 2.1.4 Mệnh đề. Cho nhóm G. Với quan hệ liên hợp trên G , ta có Tuyển tập Báo cáo “Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học” lần thứ 6 Đại học Đà Nẵng - 2008 277 i) a  Z (G)  Ca = { a }. ii) a, b, x  G , b = a x  ord ( a ) = ord ( b ). 2.2. Nhóm Dihedral. Xét đa giác đều n cạnh Pn với n > 2. Gọi a là phép quay mặt phẳng xung quanh tâm của Pn một góc bằng 2  /n , còn b là phép đối xứng qua một đường thẳng đi qua tâm của Pn và một đỉnh của nó. Khi đó, tất cả các phép đối xứng của Pn ( tức là các phép biến đối đẳng cự của mặt phẳng biến Pn thành chính nó ) được liệt kê như sau: e, a, a 2, …, an-1, b, ab, a2b, …, an-1b. Chúng lập thành một nhóm với phép toán hợp thành ( hay là tích ) của hai phép đối xứng, ký hiệu Dn và được gọi là nhóm Dihedral. Nhóm không giao hoán, có cấp 2n và có thể biểu thi như sau Dn = < a,b/ a n = e, b 2 = e, (ab) 2 = e > Về mặt tập hợp Dn = { e, a,……., a n-1, b, ab, ………, an-1b}. hoặc Dn = { a k b t / 0 k n-1  , 0 t 1  }. 2.3.Cấp của các phần tử của nhóm Dihedral. 2.3.1 Mệnh đề. Xét nhóm Dihedral Dn , x  Dn , x = a k b t , 0 k n-1  , 0 t 1  Khi đó: i) Nếu t = 1 , thì ord( akb ) = 2, 0 k n-1  ii) Nếu t = 0 , thì ord ( ak ) = n d , với d = ( k, n ), 0 k n-1  2.3.2 Hệ quả. Xét nhóm D4 = < a, b / a 4 = e; b 2 = e; (ab) 2 = e > = { e, a, a 2 , a 3 , b, ab, a 2 b, a 3 b }. D4 có cấp 8 nên các phần tử có thể có các cấp sau: 1, 2, 4.  Các phần tử cấp 1: e  Các phần tử cấp 2: b, a2, ab, a2b, a3b  Các phần tử cấp 4: a3; a 2.3.3 Hệ quả. Xét nhóm D6 = < a, b / a 6 = e; b 2 = e; (ab) 2 = e > = { e; a; a 2 ; a 3 ; a 4 ; a 5 ; b; ab; a 2 b; a 3 b; a 4 b; a 5 b } D6 có cấp 12 nên các phần tử của nhóm có thể có các cấp sau: 1, 2, 3, 4, 6  Các phần tử cấp 1: e  Các phần tử cấp 2: b; a3; ab; a2b; a3b; a4b; a5b  Các phần tử cấp 3: a2; a4  Các phần tử cấp 6: a; a5 2.3.4 Hệ quả. Xét Dp = < a, b / a p =e; b 2 = e; (ab) 2 = e > , với p là số nguyên tố lẻ. = { e, a, a 2 , a 3 , a 4 , ..., a p-3 , a p-2 , a p-1 , b, ab, a 2 b, a 3b, …, ap-2b, ap-1b }. Dp có cấp 2p nên các phần tử có thể có các cấp sau: 1, 2, p.  Các phần tử cấp 1: e  Các phần tử cấp 2: b, ab, a2b, …, ap-2b, ap-1b  Các phần tử cấp p: a, a2, a3, ….., ap-2, ap-1 2.4. Các lớp liên hợp của nhóm Dihedral Dn. 2.4.1 Mệnh đề. Tuyển tập Báo cáo “Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học” lần thứ 6 Đại học Đà Nẵng - 2008 278 Nhóm Dihedral Dn = < a,b/ a n = e; (ab) 2 = e > với n = 2k , k > 1 , được chia thành k + 3 lớp ( theo quan hệ liên hợp ) như sau: Ce = { e }. ka C = {a k }. ta C = { a t , a 2k - t } , 0 -1t k  bC = { b, a 2b, …, a2k-2b }. abC = {ab, a 3b,…, a2k-1b }. Nhóm D2k được chia thành k + 3 lớp và có tâm là { e, a k }. ( Phần chứng minh được trình bày ở bản chính ). Hình 2.4.1 2.4.2 Mệnh đề. Nhóm Dihedral Dn = < a,b/ a n = e; (ab) 2 = e > với n = 2k + 1, k > 0 , được chia thành k + 2 lớp ( theo quan hệ liên hợp ) như sau: Ce = { e } , ta C = { a t , a 2k +1 - t } , 0 t k  bC = { b, ab, a 2 b, a 3b, …, a2k-2b, a2k-1b } Nhóm D2k +1 được chia làm k + 2 lớp và có tâm là { e }. ( Phần chứng minh được trình bày ở bản chính ). Hình 2.4.2 3. Kết luận Đề tài đã xác định được nhóm con tâm, cấp của các phần tử của nhóm Dihedral và phân hoạch nhóm này theo quan hệ liên hợp. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Serge Lang (1978), Đại số, Bản dịch tiếng Việt của Trần Văn Đạo, Hoàng Kì, NXB Đại Học và Trung Học chuyên nghiệp. [2] Bùi Huy Hiền, Phan Doãn Thoại, Nguyễn Hữu Hoan (1985), Bài tập Đại số và số học, NXB Giáo Dục. [3] Nguyễn Hữu Việt Hưng (1999), Đại số đại cương, NXB Giáo Dục. [4] Hoàng Xuân Sính (1998). Đại số đại cương, NXB Giáo Dục. e a ......... k a k-1 a; a 2k-1 ; a k+1 b,a b,...,a b 2k-22 a b 2k-1 ab,a b.....3 e ......... a k a; a 2k-1 ; a k+1 b,a b,...,a b 2k-12 a b 2k ab,a b..... 3