Đề bài: Cách giải bài tập chương 3,4,5,6,7

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ĐỒNG NAI KHOA SƯ PHẠM KHOA HỌC TỰ NHIÊN --o0o-- BÀI TẬP LỚN HỌC KỲ Môn: Cơ học lƣợng tử Đề bài: Cách giải bài tập chƣơng 3,4,5,6,7. Sinh viên : Nguyễn Quang Thịnh GVHD: Th.S Hoàng Công Phương MSSV: 111030144 Lớp: Đại học Vật lý A_K1 Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 2 - Lời nói đầu Cơ học lượng tử là một trong những lý thuyết cơ bản của Vật lý học. Cơ học lượng tử là phần mở rộng và bổ sung của cơ học Newton( còn gọi là cơ học cổ điển). Nó là cơ sở của rất nhiều các chuyên ngành khác của vật lý như vật lý chất rắn, vật lý hạt. Khái niệm lượng tử để chỉ một đại lượng vật lý không liên tục mà rời rạc. Cơ học lượng tử được coi là cơ bản hơn cơ học Newton vì nó cho phép mô tả chính xác và đúng đắn rất nhiều các hiện tượng vật lý mà cơ học Newton không thể giải thích được. các tiên đoán của cơ học lượng tử chưa bao giờ bị thực nghiệm chứng minh là sai sau một thế kỷ. Cơ học lượng tử là sự kết hợp chặt chẽ của ít nhất ba loại hiện tượng mà cơ học cổ điển không tính đến, đó là: (a) sự lượng tử hoá một số đại lượng vật lý, (b) lưỡng tính sóng hạt, (c) nguyên lý bất định. Trong các trường hợp nhất định, các định luật của cơ học lượng tử chính là các định luật của cơ học cổ điển ở mức độ chính xác cao hơn. Việc cơ học lượng tử được rút về cơ học cổ điển nhờ nguyên lý gọi là nguyên lý tương ứng. Như vậy, cơ học lượng tử có tầm quan trọng rất lớn nên việc nghiên cứu môn cơ học lượng tử là rất quan trọng đối với sinh viên vật lý. Ngoài việc cũng cố niềm tin vào khoa học cho sinh viên cơ học lượng tử còn giúp cho sinh viên có cơ sở để nghiên cứu các chuyên ngành khác của vật lý. Nhằm tạo điều kiện thuận lợi cho các sinh viên trong quá trình nghiên cứu môn cơ học lượng tử, tôi xin làm bài tập lớn về nội dung và bài tập của cơ học lượng tử. Nội dung được trình bày theo Giáo trình Cơ học lượng tử của tác giả Lê Đình - Trần Công Phong trường Đại học sư phạm Huế tháng 8 năm 2011. Nội dung bao gồm phần: I. Phần tóm tắt lý thuyết cần để giải bài tập các chương 3,4,5,6,7 II. Giải bài tập các chương 3,4,5,6,7. Hi vọng rằng với nội dung này sinh viên có thể dễ dàng hơn trong việc nghiên cứu cơ lượng tử. Xin cám ơn Th.s Hoàng Công Phương đã tận tâm giúp đỡ em trong quá trình làm bài. Trong quá trình làm bài tập chắc chắn sẽ có những sai sót nên rất mong sự góp ý xây dựng để bài tập trở nên hoàn thiện hơn. Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 3 - Mục lục Chương 3: Các tiên đề của cơ học lượng tử.......................................................................... 1 I. Tóm tắt lý thuyết cần để giải bài tập .................................................................................. 1 II. Bài tập ................................................................................................................................... 2 Chương 4: Phương trình Schrodinger..................................................................................11 I. Tóm tắt lý thuyết cần để giải bài tập ................................................................................11 II. Bài tập .................................................................................................................................13 Chương 5: Sự thay đổi các đại lượng động lực theo thời gian .........................................23 I. Tóm tắt lý thuyết cần để giải bài tập ................................................................................23 II. Bài tập .................................................................................................................................24 Chương 6: Chuyển động của hạt trong trường xuyên tâm ...............................................30 I. Tóm tắt lý thuyết cần để giải bài tập ................................................................................30 II. Bài tập .................................................................................................................................32 Chương 7: Lý thuyết biểu diễn ............................................................................................41 I. Tóm tắt lý thuyết cần để giải bài tập ................................................................................41 II. Bài tập .................................................................................................................................41 Tài liệu tham khảo .................................................................................................................55 Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 4 - CHƢƠNG 3: CÁC TIÊN ĐỀ CỦA CƠ HỌC LƢỢNG TỬ I. Tóm tắt lý thuyết cần để giải bài tập: 1. Nội dung các tiên đề: a. Tiên đề I:Trạng thái của một hạt hay một hệ hạt lượng tử được xác định bởi một hàm chuẩn hoá của toạ độ không giang và thời gian. Hàm này chứa toàn bôh thông tin về hạt. b. Tiên đề II: Tương úng với mỗi đại lượng động lực A là một toán tử tuyến tính và Hermite ̂ tác dụng trong không gian Hilbert các hàm trạng thái.Các kết quả đo được về đại lượng A chỉ có thể là các trị riêng của toán tử ̂. c. Tiên đề III: Tính chất thống kê trong cơ học lượng tử d. tiên đề IV: Sự thay đổi trạng thái theo thời gian( Chương 4) 2. Kiến thức cần có để giải bài tập: a. Xác suất đo đại lượng động lực: Trong đó là hệ số trong khai triển hàm sóng theo hàm riêng của toán tử ̂. ∑ b. Mật độ xác suất để trong phép đo đại lượng động lực A ở trạng thái được giá trị a là Với là hệ số trong khai triển hàm trạng thái theo hàm riêng của toán tử ̂ c. Trị trung bình trong phép đo một đại lượng động lưc: Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 5 - d. Hệ thức bất định Heisenberg: e. Các kiến thức toán cần có: + tích phân Poisson: ∫ √ ∫ ( ) √ + cách tính tích phân từng phần. + Điều kiện trực chuẩn của hàm sóng: ⟨ | ⟩ II. Bài tập: + Chuẩn hoá để tìm A: Ta có √ + Động năng trung bình: ̅ ⟨ ( )| ̂ ( )⟩ ∫ ( ) ̂ ( ) ∫ ( ) ( ) Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 6 - ∫ ( ) ( ) | + Sử dụng điều kiện chuẩn hoá xác định A: ∫ ∫ ∫ √ + Tính ̅: ̅ ∫ ( ) ( ) ∫ Đặt ̅ Tính ( ̅̅ ̅) : ( ̅̅ ̅) ̅̅ ̅ ̅ ̅̅ ̅ ∫ Sử dụng tích phân Poison: Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 7 - ∫ ( ) √ Ta được: ( ̅̅ ̅) √ ( ) √ √ + Tính ̅ : ̅ ∫ ( ) ̂ ( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ Tính ̅̅ :̅ ̅̅ ̅ ∫ ( ) ̂ ( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) (( ) ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 8 - ∫ ( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ( ) ) ∫ ∫ Vậy: ( ̅̅ ̅̅ ̅) ̅̅ ̅ ̅̅ ̅ Kiểm tra hệ thức bất định: ( ̅̅ ̅̅ ̅) ( ̅) thoả hệ thức bất định + Sử dụng điều kiện chuẩn hoá xác định A: ∫ √ + tính ̅; ̅ ∫ ̂ ∫ ∫ ( ) ∫ ∫ | Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 9 - + Tính ̅̅ ̅: ̅̅ ̅ ∫ ( ) ∫ ∫ + xác định A bằng điều kiện chuẩn hoá: ∫ ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) √ Xác suất đo : | | Với ⟨ | ⟩ ∫ ∫ √ √ √ ∫ Áp dụng công thức Euler: Suy ra: Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 10 - √ ∫ ( ) √ ∫ ( ) Sử dụng điều kiện trực chuẩn của hàm riêng toán tử: ⟨ | ⟩ ∫ Vậy: √ √ √ Giá trị khả dĩ của m { Xác suất tương ứng với giá trị { | | | | | | ̅̅̅ ∑ ̅̅ ̅ ∑ ( ) ( ) ( ) Trị trung bình của bình phương toán tử ̂: ̅̅̅̅ ⟨ | ̂ ⟩ ⟨ | ̂ ̂ ⟩ Do ̂ là Hermite nên Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 11 - ̅̅̅̅ ⟨ ̂ | ̂ ⟩ Tích vô hướng ⟨ ̂ | ̂ ⟩ luôn luôn dương nên ̅̅̅̅ Ta có: ̅ ⟨ ( )| ̂ ( )⟩ ∫ ( ) ( ) ( ( ) * ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) vậy: ̅ khi ( ) là hàm thực. Lưu ý tính chất sau: [ ̂ ̂ ] ̂ { ̅̅ ̅ ⟨ | ̂ ⟩ ⟨ |[ ̂ ̂ ] ⟩ ⟨ | ̂ ̂ ⟩ ⟨ | ̂ ̂ ⟩ ⟨ | ̂ ̂ ⟩ ⟨ ̂ | ̂ ⟩ ⟨ | ̂ ⟩ ⟨ | ̂ ⟩ Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 12 - Tương tự đối với ̅̅ ̅ Ta cũng tính được ̅̅ ̅ Đặt ta được: ( ) ⟨ ( )|( ) ( )⟩ ⟨ ( )| ( )⟩ ⟨ ( )| ( )⟩ ⟨ ( )| ( )⟩ ̅̅ ̅ ̅ + tìm cực tiểu của V: ( ) ̅ Hàm V đạt cực trị khi: ( ) ̅ Lúc này có giá trị: ( ̅) ̅̅ ̅ ( ̅) ( ̅) ̅̅ ̅ ( ̅) + Trước tiên ta xét xem trạng thái | ⟩ có chuẩn hóa hay không?? ⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩ Như vậy hàm | ⟩ là hàm chuẩn hóa. a) Các giá trị năng lượng khả dĩ là: Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 13 - Các xác suất tương ứng với giá trị năg lượng này là: ( ) |⟨ | ⟩| |√ ⟨ | ⟩| ( ) |⟨ | ⟩| |√ ⟨ | ⟩| ( ) |⟨ | ⟩| |√ ⟨ | ⟩| ( ) |⟨ | ⟩| |√ ⟨ | ⟩| b) Các giá trị khả dĩ của toán tử ̂ là: Các xác suất để đo các giá trị , , , lần lượt là: ( ) |⟨ | ⟩| |√ ⟨ | ⟩| ( ) |⟨ | ⟩| |√ ⟨ | ⟩| ( ) |⟨ | ⟩| |√ ⟨ | ⟩| ( ) |⟨ | ⟩| |√ ⟨ | ⟩| c) Phép đo năg lượng cho giá trị nghĩa là hệ đang ở trạng thái . Vì vậy nếu ta đo đại lượng động lực A liền sau đó thì ta sẽ nhận được giá trị Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 14 - Chương IV PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER I. Tóm tắt lý thuyết cần để giải bài tập: 1. Phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian Tiên đề IV: Sự thay đổi theo thời gian của hàm trạng thái của một hạt (hệ hạt) lượng tử được cho bởi phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian, có dạng: ( ⃗ ) ̂ ( ⃗ ) Trong đó: ̂ ̂ ̂ ( ⃗ ) là hàm Hamilton của hệ. 2. Phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian Phương trình Schrodinger cho trạng thái dừng: ̂ ( ⃗ ) ( ⃗ ) Nghiệm của phương trình có dạng: ( ⃗ ) ( ⃗) Do tính chất tuyến tính của phương trình nên nghiệm tổng quát có dạng khác nhau tùy theo phổ trị riêng gián đoạn hay liên tục. Khi ̂ có phổ trị riêng gián đoạn: ( ⃗ ) ∑ ( ⃗) ∑ ( ) ( ⃗) Khi ̂ có phổ trị riêng liên tục: ( ⃗ ) ∫ ( ⃗) ∫ ( ) ( ⃗) Trong đó: 〈 ( ⃗)| ( ⃗ )〉 〈 ( ⃗)| ( ⃗ )〉 3. Chuyển động của hạt trong giếng thế một chiều sâu vô hạn Thế năng có dạng: ( ) , Phương trình Schrodinger cho trạng thái dừng có dạng: Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 15 - ( ) ( ) Các điều kiện: Trong miền I và III: ( ) Điều kiện biên: ( ) ( ) Năng lượng của hạt ở trạng thái thứ n: Hàm sóng ứng với hạt có năng lượng En: ( ) √ 4. Dao động điều hòa lượng tử Thế năng có dạng: ( ) Phương trình Schrodinger cho trạng thái dừng có dạng: ( ) ( ) ( ) Biểu thức của năng lượng: ( * Năng lượng của dao động tử điều hòa có giá trị gián đoạn. Năng lượng thấp nhất của dao động tử là: Hàm sóng ứng với một số mức năng lượng khác nhau: ( ) √ √ ( ) ( ) √ √ ( ) ( * ( ) √ √ ( ) ( ) Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 16 - II. Bài tập: Bài giải: + hạt ở trạng thái thứ n có hàm trạng thái là √ Như vậy xác suất tìm thấy hạt ở trạng thái thư n là: ∫ ∫ ( * ( * | Bài giải: + Dùng điều kiện chuẩn hóa xác định A ∫ ( ) ∫ ( * ∫ ( * ∫ ( * ∫ ( * ( * | ( * | √ Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 17 - + Xác suất đo năng lượng ở trạng thái cơ bản ( ) | | |⟨ | ⟩| Với √ Ta được ∫ √ √ √ ∫ √ ∫ ( * √ ( * | √ ( * √ Vậy xác suất ( ) | | | √ | Bài giải: + Dùng điều kiện chuẩn hóa xác định A: ∫ ( ) ∫ ( ) √ + Phân bố xác suất của năng lượng: | | |⟨ | ⟩| Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 18 - ⟨ | ⟩ ∫ Với √ Ta được: ∫ √ ( ) √ ∫ √ ∫ √ ( ( ) ) √ ( ( ) (( ) )+ √ ( ( ) ) Vây phân bố xác suất sẽ là | | ( √ ( ( ) ), ( ( ) ) ( ( ) ) + Động năng trung bình: ̅ ∫ ̂ ∫ ( ) ( ( ( ))+ ∫ ( ) + Động năng bình phương trung bình: ̅̅̅̅ ∫ ̂ ∫ ̂ ̂ ∫ ( ( )) ( ( )) Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 19 - Bài giải: ̅ ∫ ̂ Với √ Ta được: ̅ ∫ ̂ ∫ √ ( ) √ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ( ** ∫ ∫ ( * | Tính bằng phương pháp tích phân từng phần, ta được: Đặt , ( ) , ( ) Suy ra ( * | ∫ ( * Vậy ̅ Tính ̅̅ ̅ Ta có ̅̅ ̅ ∫ ̂ ∫ √ √ ∫ ( ) Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 20 - ∫ ∫ ( * Ta tính I bằng phương pháp tích phân từng phần 2 lần. Sau khi ta lấy từng phần 2 lần ta được ( ) Suy ra ̅̅ ̅ ( ) ( ) Vậy ̅̅ ̅̅ ̅ ̅̅ ̅ ( ̅) ( ) ( ( ) * Xác suất phân bố của xung lượng của một hạt trong giêng thế 1 chiều sâu vô hạn (n=1) ( ) | | Với ⟨ ( )| ( )⟩ Trong đó { ( ) √ ( ) √ ( ) Suy ra: √ ∫ ( ) Với Suy ra Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 21 - √ ∫ ( ) √ ∫ * ( ) ( ) + √ ∫ [ ( ) ( ) ] √ [ ( ) ( ) ( ) ( ) ] | √ [ ( ) ( ) ( ) ( ) ] √ * ( ) ( ) + Với Suy ra √ * ( * ( ) ( ) + √ * ( ) ( ) ( ) ( ) + √ ( ) ( ) ( * Vậy: ( ) | | (( ) ( ) ) ( * ( * (( ) ( ) ) [ ] (( ) ( ) ) ( ) (( ) ( ) ) ( ) Sử dụng tính chất: ( ) Ta được: Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 22 - ( ) (( ) ( ) ) * ( ( ))+ (( ) ( ) ) ( ( )) (( ) ( ) ) ( ) Ta có: Thế năng của hạt lúc này: + Phương trình Schrodinger của hạt cho trạng thái dừng: ( ) ( ) ( ) Yêu cầu của bài toán này là tìm E Ta biến đổi phương trình trên ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( * ( ) ( ) ( ) Nếu ta đặt ⁄ thì: ( ) ( ) ( ( ) * ( ) Thay vào ( ) ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 23 - Phương trình trên ta đã khảo sát ta được: ( * ( * a. Dùng điều kiện chuẩn hoá để tìm A: ⟨ ( )| ( )⟩ ∑( √ * ⟨ ( )| ( )⟩ √ b.Hàm sóng tại thời điểm t có dạng: ( ) ∑ ( ) Vì là dao động tử điều hoà nên ( ⁄ + nên: ( ) √ ∑( √ * ( ) ( ⁄ ) ∑( √ * ( ) ( ⁄ ) c. Trị trung bình của năng lượng khi t=0: ̅ ⟨ ( )| ̂ ( )⟩ ⟨ ( )| ( * ( )⟩ Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 24 - ∑( √ * ( * ⟨ ( )| ( )⟩ Ta có: ̅ ⟨ ( )| ̂ ( )⟩ ⟨ ( )|( ̂ ) ( )⟩ ⟨ ( )| ̂ ( )⟩ ⟨ ( )| ( )⟩ ̅̅ ̅ ̅̅ ̅ Mà ta có: { ̅̅ ̅̅ ̅ ̅̅ ̅ ̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ̅̅ ̅ ̅̅ ̅ Ta có: ̅̅ ̅̅ ̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ⁄ Suy ra: ̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ̅̅ ̅̅ ̅ Ta tìm cực tiểu của biểu thức trên: ( ̅̅ ̅̅ ̅) ̅̅ ̅̅ ̅ ( ̅̅ ̅̅ ̅) ̅̅ ̅̅ ̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ̅̅ ̅̅ ̅ Vậy ( ) + Dùng điều kiện chuẩn hoá xác định A: Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 25 - ∫ ( ) √ + Hàm sóng tại thời điểm bất kỳ có dạng: ( ) ∑ ( ) Với ( ) ∑ ( ) Với ( ) √ Như vậy hàm ( ) có thể viết lại như sau: ( ) ∑ √ ( ) Với ⟨ ( )| ( )⟩ √ ∫ ( ) ( ) Sử dụng phương pháp tích phần ta tính được: √ [ ( ) ] Vậy: ( ) √ √ ∑ ( ) [ ( ) ] ( ) √ ∑ ( ) [ ( ) ] Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 26 - Chương V: SỰ THAY ĐỔI CÁC ĐẠI LƢỢNG ĐỘNG LỰC THEO THỜI GIAN I. Tóm tắt l ý thuyết cần để giải bài tập: 1. Đạo hàm của toán tử theo thời gian Đạo hàm của trị trung bình của đại lượng động lực A bằng trung bình của đạo hàm của đại lượng động lực A theo thời gian, ̅ ̅̅ ̅̅ Biểu thức đạo hàm theo thời gian của toán tử A: ̂ ̂ [ ̂ ̂] Phương trình trên còn được gọi là phương trình chuyển động Heisenberg Đối với số hạng thứ hai ta kí hiệu như sau: [ ̂ ̂] { ̂ ̂} Trong trường hợp đại lượng động lực A không phụ thuộc tường minh vào thời gian, thì đạo hàm của toán tử A theo thời gian: ̂ [ ̂ ̂] { ̂ ̂} 2. Tích phân chuyển động Theo phương trình chuyển động Heisenberg ta thấy rằng A là một tích phân chuyển động khi: ̂ [ ̂ ̂] ̂ [ ̂ ̂] Điều kiện để một đại lượng động lực là tích phân chuyển động là đại lượng động lực đó không phụ thuộc tường minh vào thời gian và toán tử tương ứng giao hoán với toán tử Hamilton. Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 27 - II. Bài tập: Chứng minh: ( ̂ ̂) ̂ ̂ Ta có: ( ̂ ̂) ( ̂ ̂) [ ̂ ̂ ̂] ̂ ̂ [ ̂ ̂] [ ̂ ̂] ( ̂ [ ̂ ̂]) ( ̂ [ ̂ ̂]) ̂ ̂ Như vậy đạo hàm của tổng bằng tổng các đạo hàm. Chứng minh: ( ̂ ̂) ̂ ̂ ̂ ̂ Ta có: ( ̂ ̂) ( ̂ ̂) [ ̂ ̂ ̂] ̂ ̂ ̂ ̂ ̂[ ̂ ̂] [ ̂ ̂] ̂ ( ̂ [ ̂ ̂]) ̂ ̂ ( ̂ [ ̂ ̂]) ̂ ̂ ̂ ̂ Như vậy đạo hàm của tích hai toán tử cũng có quy tắc lấy đạo hàm như lấy đạo hàm của hàm số. a. Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 28 - ̂ ( ̂ ̂) ̂ ̂ ( ̂* ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ b. ( ̂ ̂ ) ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ( ) ̂ ̂ ̂ ( ) ̂ Chú ý: Đề có chút sai sót về dấu. c. ( ̂ ̂ ) ̂ ̂ ( ̂ ) ̂ ̂ ( ) ( ) ̂ ( ̂ ( ) ( ) ̂ ) Ta có: ̅ ⟨ ( )| ̂ ( )⟩ Với ̂ ̂ [ ̂ ̂] Vì ̂ không phụ thuộc tường minh vào thời gian. Suy ra: ̅ ⟨ ( )|[ ̂ ̂] ( )⟩ ⟨ ( )| ̂ ̂ ( )⟩ ⟨ ( )| ̂ ̂ ( )⟩ Do tính chất Hermite của toán tử năng lượng nên: ̅ ⟨ ̂ ( )| ̂ ( )⟩ ⟨ ( )| ̂ ̂ ( )⟩ ⟨ ( )| ̂ ( )⟩ ⟨ ( )| ̂ ( )⟩ Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 29 - giả sử A là đại lượng vật lý đang xét ̅̅ ̅̅ ⟨ ( )| ̂ ( )⟩ Mà ̂ [ ̂ ̂] Suy ra: ̅̅ ̅̅ ⟨ ( )|[ ̂ ̂] ( )⟩ ⟨ ( )| ̂ ̂ ( )⟩ ⟨ ( )| ̂ ̂ ( )⟩ ⟨ ̂ ( )| ̂ ( )⟩ ⟨ ( )| ̂ ̂ ( )⟩ ⟨ ( )| ̂ ( )⟩ ⟨ ( )| ̂ ( )⟩ Ta có: [ ̂ ̂] Vậy: Năng lượng là tích phân chuyển động. Chứng minh: [ ̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ] *( ̂ ( )) ̂ + [ ̂ ̂ ] [ ( ) ̂ ] Vậy: Momen xung lượng là tích phân chuyển động. Chứng minh: [ ̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ] *( ̂ ( )* ( ̂ ̂ )+ ([ ̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ]) [ ( ) ̂ ] [ ( ) ̂ ] ( [ ̂ ̂ ] [ ̂ ] ̂ [ ̂ ̂ ] [ ̂ ] ̂ ) Vậy: Hình chiếu momen xung lượng lên trục x (Lx) là tích phân chuyển động. Chứng minh: [ ̂ ̂ ] Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 30 - [ ̂ ̂ ] *( ̂ ( )* ( ̂ ̂ ̂ )+ ([ ̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ]) [ ( ) ̂ ] [ ( ) ̂ ] [ ( ) ̂ ] ([ ̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ]) Tính: [ ̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ] [ ̂ ( ̂ ̂ )] [ ̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ] [ ̂ ] ̂ [ ̂ ̂ ] [ ̂ ] ̂ Suy ra: [ ̂ ̂ ] Tính: [ ̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ] [ ̂ ( ̂ ̂ )] [ ̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ] [ ̂ ] ̂ [ ̂ ̂ ] [ ̂ ] ̂ Suy ra: [ ̂ ̂ ] Tính: [ ̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ] [ ̂ ( ̂ ̂ )] [ ̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ] [ ̂ ] ̂ [ ̂ ̂ ] [ ̂ ] ̂ ̂ Suy ra: [ ̂ ̂ ] ̂ [ ̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ] ̂ ̂ ( ̂ [ ̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ] ̂ ) ( ̂ [ ̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ] ̂ ) ̂ ( ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ) Do đó: [ ̂ ̂ ] ([ ̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ]) Vậy: Momen toàn phần không phải là tích phân chuyển động. Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 31 - Ta có: ̂ ̂ [ ̂ ̂] Vậy xác định được [ ̂ ̂] là ta xác định được dạng của toán tử vận tốc. + Ta tính [ ̂ ̂] [ ̂ ̂] ̂ ̂ ̂ ̂ ( ( ̂ ⃗) ( ⃗)+ ̂ ̂ ( ( ̂ ⃗) ( ⃗)+ Tác dụng lên hàm ( ⃗) ta được: ( ( ̂ ⃗) ( ⃗)+ ̂ ( ⃗) ̂ ( ( ̂ ⃗) ( ⃗)+ ( ⃗) ( ̂ ⃗ ̂ ( ⃗) * ̂ ( ⃗) ̂ ( ̂ ⃗ ̂ ( ⃗) * ( ⃗) ̂ ̂ ( ⃗) ⃗ ̂ ̂ ( ⃗) ̂ ̂ ( ⃗) ⃗ ̂ ̂ ( ⃗) ⃗ ( ⃗ ( ⃗)) ⃗ ⃗ ( ⃗ ( ⃗)) ⃗ ⃗ ( ⃗) ⃗ ⃗ ⃗ ( ⃗) ⃗ ( ( ⃗) ⃗ ⃗ ( ⃗)+ ⃗ ( ( ⃗) ⃗ ⃗ ( ⃗)+ ⃗ ⃗ ( ⃗) ⃗ ⃗ ⃗ ( ⃗) Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 32 - ⃗ ( ⃗) ( ⃗ ( ⃗) ⃗ ⃗ ( ⃗)+ ⃗ ( ( ⃗) ⃗ ⃗ ( ⃗)+ ⃗ ⃗ ( ⃗) ⃗ ⃗ ⃗ ( ⃗) ⃗ ( ⃗) ⃗ ( ⃗) Vậy: [ ̂ ̂] ⃗ ⃗ ̂ ⃗ ( ⃗ ̂) Suy ra: ̂ [ ̂ ̂] ( ⃗ ̂) ( ̂ ⃗ ) Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 33 - Chƣơng VI CHUYỂN ĐỘNG CỦA HẠT TRONG TRƢỜNG XUYÊN TÂM I. Tóm tắt lý thuyết: 1. Phương trình Schrodinger của hạt trong trường xuyên tâm: Với [ ( * ] Do biến số r hoàn toàn độc lập với hai biến số nên hàm ( ) có thể viết dưới dạng: ( ) ( ) ( ) Trong đó ( ) chỉ phụ thuộc vào bán kính nên gọi là hàm bán kính hoặc hàm xuyên tâm. ( ) gọi là hàm góc. 2. Bài toán nguyên tử Hidro và các ion tương tự: Về nguyên tắc đây là bài toán hệ 2 hạt ( electron và hạt nhân). Vì khối lượng của hạt nhân rất lớn nên bài toán này có thể quy về bài toán một hạt. Đó là chuyển động của electron trong trường Culoumb của hạt nhân. Kết luận: a. sự lượng tử hoá năng lương: Vì n có giá trị khả dĩ nên năng lượng có giá trị gián đoạn hay bị lượng tử hoá. b. Sự suy biến của năng lượng: nghĩa là ứng với một giá trị năng lượng sẽ có 1 số hàm sóng thoả mãn năng lượng đó. 3. Sự phân bố electron trong nguyên tử Hidro và các ion tương tự: Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 34 - Mật độ xác suất tìm electron chung quanh hạt nhân nguyên tử tại một điểm có toạ độ (r, θ, ϕ) là: ρnℓm(r, θ, ϕ) = |ψnℓm(r, θ, ϕ)| 2 . Xác suất để tìm electron trong phần tử thể tích dV tại lân cận điểm (r, θ, ϕ) có toạ độ ở trong khoảng r → r + dr; θ →θ + dθ; ϕ → ϕ + dϕ là: dWnℓm(r, θ, ϕ) = ρnℓm(r, θ, ϕ)dV = |ψnℓm(r, θ, ϕ)| 2dV. Vì trong toạ độ cầu dV = r2dr sin θdθdϕ, nên: dWnℓm(r, θ, ϕ) = |Rnℓ(r)| 2 r 2 dr.Yℓ m (θ, ϕ)| 2 dΩ, với dΩ = sin θdθdϕ là phần tử góc khối. Lưu ý: Nếu tìm xác suất theo bán kính thì thành phần tích phân theo góc khối sẽ là đơn vị và ngược lại. Các kiến thức cần có khi giải bài tập chương 6: + dạng của toán tử nâng và toán tử hạ. + Phương trình trị riêng và hàm riêng: ̂ + Công thức tính trị trung bình: ̅ ⟨ | ̂ ⟩ + Tích phân Poison: ∫ + Các hàm sóng đều có 1 năng lượng + Công thức khai triển Maclaurin: II. Bài tập: Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 35 - Bài giải: Ta lưu ý tính chất sau: [ ̂ ̂ ] ̂ với { a. Ta có: [ ̂ ̂ ̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ] ̂ ̂ ̂ b.[ ̂ ̂ ] ̂ Xét [ ̂ ̂ ] ta có: [ ̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ] ̂ ̂ ( ̂ ̂ ) ̂ . Tương tự: [ ̂ ̂ ] ̂ c. ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ Ta có: ̂ ̂ ( ̂ ̂ ) ( ̂ ̂ ) ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ [ ̂ ̂ ] ̂ ̂ ̂ Vậy ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 36 - Ta có phương trình trị riêng của toán tử ̂ là: ̂ ( ) ( ) Với dạng toán tử của ̂ ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Với lúc này: ( ) ( ) ( ) Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với phương trình đặc trưng là: Vậy nghiệm của phương trình trị riêng là: ( ) Trị riêng: Chuẩn hoá hàm sóng ta được: ∫ ( ) ( ) ∫ √ Vậy hàm riêng chuẩn hoá sẽ là: ( ) √ √ + Dùng điều kiện chuẩn hoá xác định A: ∫ ( ) ( ) ( ) Trong đó là thành phần góc khối, có dạng: Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 37 - ( ) | | ∬ ( ) ( ) ( ) | | ∫ ( ) ∫ ( ) | | | | √ + Tính ̅ : ̅ ⟨ ( )| ̂ ( )⟩ Với ̂ ( ( * ) Suy ra: ̅ ∫ ( ) ( ) Với ( ) ( ( * ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) Vậy: ̅ ∫ ( ( ) ) ∫ ( ( ) ) Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 38 - ∫ ( ) ∫ ∫ ∫ Tính lần lượt các tích phân: ∫ ( ) ∫ ∫ Như vậy: ̅ ( * a. Sử dụng điều kiện chuẩn hoá hàm sóng trong hệ toạ độ cầu: ∫ ( ) ( ) | | ∫ ⁄ ∫ ∫ Tính lần lượt các tích phân: ∫ ⁄ Ta sử dụng công thức: ∫ ∫ ∫ Như vậy: | | √ Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 39 - b. Trị trung bình: ̅ ̅ ⟨ | ̂ ⟩ | | ∫ ⁄ ∫ ∫ | | ∫ ⁄ ( ⁄ ) c. Trị trung bình: ̅̅ ̅ ̅̅ ̅ ⟨ | ̂ ⟩ | | ∫ ⁄ ∫ ∫ | | ∫ ⁄ ( ⁄ ) + Hàm riêng của toán tử ̂ ứng với các số lượng tử là: √ + Xác suất tìm thấy hạt ở trạng thái này là: | | Ta thấy xác suất không liên quan đến thành phần góc . Hạt phân bố đối xứng qua trục z. Gọi W là xác suất để hạt nằm trong hình nón có trục đối xứng Oz v à có góc hợp bởi đường sinh và trục Oz là ⁄ thì: ∫ ∫ ⁄ ∫ ∫ ⁄ Đặt Đổi cận: ⁄ √ ⁄ Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 40 - Vậy: ∫ √ ⁄ | √ ⁄ √ √ Hàm ( )là hàm chuẩn hoá vì: ⟨ ( )| ( )⟩ ⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩ a. Trị trung bình của năng lượng: ̅ ⟨ ( )| ̂ ( )⟩ ⟨ √ √ | ̂( √ √ )⟩ Vì ̂ nên: ̅ ⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩ Ta có: Trong nguyên tử Hidro nên Z=1 Ta có { Vậy: Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 41 - ̅ ( ) b. Tìm xác suất tìm electron theo bán kính: Đặt Xác suất tìm hạt: ∫ Với ( ) ( ) Do điều kiện chuẩn hoá của hàm cầu ( ) nên tích phân theo góc sẽ bằng đơn vị. Do đó: ∫ ( | | | | ) Với : ( * ⁄ ⁄ | | ⁄ √ ⁄ | | ⁄ Suy ra: ∫ ( ⁄ ⁄ ) ∫ ⁄ ∫ ⁄ ( ) Sử dụng công thức khai triển Maclaurin: Vì nên theo công thức Maclaurin ta có: ⁄ ( ) ⁄ ( ) Thay ( ) và ( ) vào ( ) ta được: ∫ ( * ∫ ( * Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 42 - ( ) | ( )| ( ) ( ) ( * ( * ( * ( * Với ta được: a. Dùng điều kiện chuẩn hoá hàm sóng trong toạ độ cầu: ∫ | | ∫ ∫ ∫ | | ( ) +Phương trình Schrodinger của nguyên tử có dạng: ( ) ( ) Trong đó: ( * Và ( ) ( ) ( * Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 43 - ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) Số hạng thứ nhất phải bằng 0, từ đó ta có: Với ⁄ b. Vì số hạng thứ nhất bằng 0 nên số hạng thứ 2 cũng bằng 0. Suy ra: Với ⁄ c. Trị trung bình của thế năng: ̅ ⟨ | ̂ ⟩ | | ∫ ⁄ ̅ | | ∫ ⁄ ∫ ∫ ( ) ̅ + Trị trung bình của động năng: ̅ ⟨ |( ̂ ̂) ⟩ ⟨ | ̂ ⟩ ⟨ | ̂ ⟩ ̅ d.trị trung bình của r: ̅ ⟨ | ̂ ⟩ | | ∫ ⁄ | | ∫ ⁄ ∫ ∫ ̅ ( ) Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 44 - CHƢƠNG VII LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN I.KIẾN THỨC CẦN ĐỂ GIẢI BÀI TẬP: 1. Biểu thức phần tử ma trận của toán tử: ⟨ | ̂ ⟩ 2. Cách tìm hàm sóng trong 1 biểu diễn bất kỳ: (F-biểu diễn) Bước 1: Khai triển hàm sóng theo hàm riêng của toán tử F. Bước 2: xác định hàm sóng trong F-biểu diễn: ( ) ⟨ | ⟩ 3. Các công thức khai triển Eleur: 4. Cách tính tích phân dạng: ∫ biến đổi mủ về dạng bình phương rồi sử dụng công thức tích phân Poison ∫ √ 5. Cách tìm trị riêng và hàm riêng dưới dạng ma trận: 6. Tích phân: ∫ II. BÀI TẬP: Ta có: ⟨ ( )| ̂ ( )⟩ Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 45 - Ta lấy liên hợp phức hai vế biểu thức trên ta được: ( ) ⟨ ( )| ̂ ( )⟩ Do tính chất Hermite của toán tử ̂ nên: ( ) ⟨ ̂ ( )| ( )⟩ ⟨ ( )| ̂ ( )⟩ Vậy: ( ) Hay ma trận là ma trận Hermite. Trong E-biểu diễn, các phần tử ma trận của toạ độ có dạng: ⟨ ( )| ( )⟩ Với ( ) √ ( ) Và ( ) √ ( ) Suy ra: ⟨ ( )| ( )⟩ ∫ ( ) ( ) ∫ [ ( ) ( *] ∫ ( ( ) ) ∫ ( ( ) ) + Tính lần lượt các tích phân: * Tính : Đặt: Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 46 - { ( ( ) ) { ( ) ( ( ) ) Vậy: ( ) ( ( ) ) | ( ) ∫ ( ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ) | ( ) [( ) ] * Tính : { ( ( ) ) { ( ) ( ( ) ) Vậy: ( ) ( ( ) ) | ( ) ∫ ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) | ( ) [( ) ] Suy ra: ( ) [( ) ] ( ) [( ) ] ( ) [( ) ] ( ) [( ) ] [( ) ] [ ( ) ( ) ] [( ) ] ( ) + khi m=n ∫ ( ) ∫ ( ( ** Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 47 - Trong E-biểu diễn, các phần tử ma trận của xung lượng có dạng: ⟨ ( )| ̂ ( )⟩ ∫ ( ) ∫ ∫ ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) | ( ( ) [( ) ] ( ) [( ) ]* ( ) [( ) ] ( ) [( ) ] Khi m=n: ∫ ( ) ∫ ∫ | Khai triển hàm sóng ( ) theo hàm riêng của toán tử xung lượng ( ) √ : Vì trị riêng của toán tử xung lượng có giá trị liên tục nên ( ) ∫ ( ) Trong đó, ( ) chính là hàm sóng trong biểu diễn xung lượng (p-biểu diễn) ( ) tìm được nhờ điều kiện trực chuẩn của hàm riêng: Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 48 - ( ) ⟨ ( )| ( )⟩ √ ∫ ⁄ ⁄ ( ) √ ∫ ( ) ⁄ ⁄ ( ) √ ( ) | ⁄ ⁄ ( )√ [ ( ) ( ) ] ( ) √ ( ( ) ) Vậy dạng hàm sóng trong p-biểu diễn: ( ) √ ( ( ) ) + Sử dụng điều kiện chuẩn hoá tìm A: ∫ ( ) ( ) ∫ √ √√ Khai triển hàm sóng ( ) theo hàm riêng của toán tử xung lượng ( ) √ : Vì trị riêng của toán tử xung lượng có giá trị liên tục nên ( ) ∫ ( ) Trong đó, ( ) chính là hàm sóng trong biểu diễn xung lượng (p-biểu diễn) Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 49 - ( ) tìm được nhờ điều kiện trực chuẩn của hàm riêng: ( ) ⟨ ( )| ( )⟩ √ ∫ ( ) √ ∫ * ( ) + √ ∫ * ( ) + Ta biến đổi các số hạng trong dấu [ ] của hàm mũ: ( ) [ ( ) ] * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + [ ( )] ( ) Thay vào biểu thức ( ) ta có: ( ) √ ∫ * * ( )+ ( ) + √ ( ) ∫ * ( )+ Đặt ( ) Suy ra: ( ) √ ( ) ∫ √ √ ( ) √ √ √ ( ) ( ) √ √ √ ( ) √ ( ) Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 50 - Đặt ( √ ) ⁄ Suy ra hàm ( ) Khai triển hàm sóng ( ) theo hàm riêng của toán tử xung lượng ( ) √ : Vì trị riêng của toán tử xung lượng có giá trị liên tục nên ( ) ∫ ( ) Trong đó, ( ) chính là hàm sóng trong biểu diễn xung lượng (p-biểu diễn) ( ) tìm được nhờ điều kiện trực chuẩn của hàm riêng: ( ) ⟨ ( )| ( )⟩ ( ) √ ∫ √ ∫ √ ∫ ( ) Với: ( ) [ ] * + [ ] Ta có: ( ) √ ∫ * + √ ∫ * + √ ∫ √ √ √ √√ √ √ Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 51 - √ √ √ √ + Dùng điều kiện chuẩn hoá để xác định A: | | ∫ | | √ Khai triển hàm ( ) theo hàm riêg cuả toán tử mômen xung lượng lên trục z ( ) √ ( ) ∑ ( ) Trong đó, ( ) chính là hàm sóng trong -biểu diễn. ( ) tìm được nhờ điều kiện trực chuẩn của hàm riêng: ( ) ⟨ ( )| ( )⟩ √ ∫ Với Ta được: ( ) √ ∫ ( ) √ ∫ ( ) √ ∫ ( ( ) ( ) ( ) ) Thay Avào ta được: Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 52 - ( ) √ ∫ ( ) √ ∫ ( ) √ ∫ ( ) Ta có điều kiện trực chuẩn của hàm riêng của toán tử ̂ : ⟨ ( )| ( )⟩ ∫ ( ) Vậy: ( ) √ √ √ Trong p-biểu diễn nên toán tử toạ độ và xung lượng có dạng: ̂ ̂ Toán tử năng lượng: ̂ ̂ ̂ ̂ Trong đó : Trong p- biểu diễn, phương trình Schrodinger có dạng: ̂ ( ) ( ) * + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | ( )| ( ) ( ) ( * ( * Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 53 - Tìm C bằng điều kiện chuẩn hoá: ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ( ( )) ( ) Ta có tính chất: ( ) ( ) ( ) √ Vậy hàm sóng cần tìm là: ( ) √ ( * Trong p-biểu diễn toán tử Hamiltonian của dao động tử điều hoà có dạng: ̂ Phương trình Schrodinger: ̂ ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) Đặt và với ( ) ( ( )) ( ) ( ) Phương trình này giống với phương trình trong dao động tử điều hoà mà ta đã khảo sát: + Năng lượng: ( ) Hàm sóng: ( ) ( ) Chuẩn hoá để tìm An Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 54 - ∫ ( ) √ (√ ) ⁄ Vậy hàm sóng cần tìm là: ( ) (√ ) ⁄ ⁄ ( * Khai triển hàm theo hàm riêng của toán tử xung lượng trong 3 chiều: ( ) ( ) ( ⃗) Với ( ⃗) ( ) ⁄ ⃗ ⃗ Trong đó ( ) chính là hàm sóng trong p-biểu diễn: ( ) ⟨ | ⟩ ( ) ⁄ √ ∫ ⃗ ⃗ Ta tính tích phân trong toạ độ cầu và chọn phương của xung lượng như hình vẽ: Suy ra ⃗ ⃗ Khi đó: 𝜃 𝑟 𝑦 𝑧 𝑥 O �⃗� Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 55 - ( ) √ ( ) ∫ ⁄ √ ( ) ∫ ∫ ⁄ ∫ √ ( ) ∫ ⁄ Ta tính : ∫ đặt lúc này là: ∫ ( * ( * Vậy: ( ) √ ( ) ∫ ⁄ ( * √ ( ) ∫ * ( ) ( )+ đặt và Ta được: ( ) √ ( ) ∫ √ ( ) ∫ √ ( ) ( * Thay và ta được: ( ) √ ( ) ( ) ( ( ) * √ ( ) ( ( ) * √ ( ( ) * Vậy: Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 56 - ( ) ( * ⁄ ( ( ) * Phương trình đặc trưng ứng với ma trận A có dạng: | | ( ) | | ( ) ( ) √ √ Phương trình hàm riêng viết dưới dạng ma trận: AC=aC ( + ( + ( + { + Khi a=7 suy ra , + Khi √ (√ ) Sử dụng điều kiện chuẩn hoá: ( (√ ) ) ( (√ ) ) (√ ) ( √ ) Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 57 - √ ( √ ) Tương tự với √ (√ ) √ ( √ ) Vậy trị riêng của toán tử A là 7 và √ + khi trị riêng thì hàm riêng là ma trận cột có dạng ( + + Khi trị riêng √ , hàm riêng là 1 ma trận cột có dạng: ( √ ( √ ) ⁄ ) + Khi trị riêng √ , hàm riêng là 1 ma trận cột có dạng: ( √ ( √ ) ⁄ ) Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 58 - Tài liệu tham khảo [ ] Lê Đình - Trần Công Phong, Giáo trình cơ học lượng tử, Đại học sư phạm Huế, tháng 8 năm 2011. [ ] Nguyễn Đình Trí - Tạ Văn Đĩnh - Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán học cao cấp - tập 1, NXB Giáo dục, 2011