Phương pháp bình phương tối thiểu lập công thức từ thực nghiệm là một
bài toán cơ bản hay gặp trong toán học cũng như trong thực tế đời sống.
Thông qua phương pháp này ta có thểtìm ra được gần nhưchính xác đa thức
ban đầu.
Thông qua chương trình cụ thể viết trên ngôn ngữ lập trình C thì ta có thể
thấy phần nào tính ưu việt của phương pháp này.
68 trang |
Chia sẻ: lylyngoc | Lượt xem: 2670 | Lượt tải: 1
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Đề tài Bài toán dùng phương pháp xấp xỉ trung bình phương (hay còn gọi là phương pháp bình phương tối thiểu) đểxấp xỉhàm trong thực nghiệm, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
-----------------------------------------------------------------------------
- 29 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng
Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
Chứng minh
Từ (5 – 3) ta có:
. (5 – 13)
Từ (5 – 10) ta lại có
= =
= . (5 – 14)
Nhưng
Vậy từ (5 – 14) suy ra
. (5 – 15)
Kết hợp (5 – 13) và (5 – 15) ta có
.
[ ]
[ ]
[ ]
−−=
−−=
∑
∑
∑
∑
=
−
=
−
+
=
=
+
)125(
)(
)()(
)115(
)(
)(
1
2
1
1
1
1
1
2
1
2
1
n
i
ir
n
i
iriri
r
n
i
ir
n
i
iri
r
xR
xRxRx
xR
xRx
γ
β
[ ] 0)()(,
1
1111 ==∑
=
+−+−
n
i
irirrr xRxRRR
[ ] { }∑
=
−++−+− =++=
n
i
irrirriirrr xRxRxxRRR
1
111111 )()()()(, γβ
∑∑∑
=
−−+
=
−+
=
−
++
n
i
irirr
n
i
irirr
n
i
iriri xRxRxRxRxRxRx
1
111
1
11
1
1 )()()()()()( γβ
2
1
11
1
11
1
1 ])([)()()()( ∑∑∑
=
−+
=
−+
=
−
++
n
i
irr
n
i
irirr
n
i
iriri xRxRxRxRxRx γβ
[ ] 0,)()( 1
1
1 == −
=
−∑ rr
n
i
irir RRxRxR
[ ] [ ]∑∑
=
−+
=
−+− +=
n
i
irr
n
i
iririrr xRxRxRxRR
1
2
11
1
111 )()()(, γ
[ ] 0)()()(
1
2
11
1
1 =+ ∑∑
=
−+
=
−
n
i
irr
n
i
iriri xRxRxRx γ
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 30 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng
Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
Hay (*)
Từ (5 – 3) ta cũng có
. (5 – 16)
Từ (5 – 10) ta cũng có
= =
= . (5 – 17)
Nhưng .
Nên từ (5 – 17) suy ra
. (5 – 18)
Kết hợp (5 – 16) và (5 – 18) ta có:
.
Hay . (* *)
Từ (*) và (* *) thì bổ đề 1 được chứng minh hoàn toàn.
[ ]∑
∑
=
−
=
−
+ −= n
i
ir
n
i
iriri
r
xR
xRxRx
1
2
1
1
1
1
)(
)()(
γ
[ ] 0)()(,
1
11 ==∑
=
++
n
i
irirrr xRxRRR
[ ] { }∑
=
−+++ =++=
n
i
irrirriirrr xRxRxxRRR
1
1111 )()()()(, γβ
∑∑∑
=
−+
=
+
=
++
n
i
irirr
n
i
irirr
n
i
iriri xRxRxRxRxRxRx
1
11
1
1
1
)()()()()()( γβ
∑∑∑
=
−+
=
+
=
++
n
i
irirr
n
i
irr
n
i
iri xRxRxRxRx
1
11
1
2
1
1
2 )()()]([)]([ γβ
[ ] 0,)()( 1
1
1 == −
=
−∑ rr
n
i
irir RRxRxR
[ ] [ ]∑∑
=
+
=
+ +=
n
i
irr
n
i
irirr xRxRxRR
1
2
1
1
2
1 )()]([, β
[ ] 0)()]([
1
2
1
1
2
=+ ∑∑
=
+
=
n
i
irr
n
i
iri xRxRx β
[ ]∑
∑
=
=
+ −= n
i
ir
n
i
iri
r
xR
xRx
1
2
1
2
1
)(
)]([
β
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 31 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng
Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
Tuy nhiên để đơn giản các tử số và mẫu số của các công thức và
ta sẽ chứng minh bổ đề sau
Bổ đề 2:
Các tử và mẫu số của các công thức (5 – 11) và (5 – 12) có thể khai triển
thành tổng những lũy thừa có dạng:
1
ν
=
=∑
n
v
i
i
S x . (5 – 19)
Cụ thể là
+ =
= . (5 – 20)
+ . (5 – 21)
+
(5 – 22)
trong đó , , … , là các hệ số của đa thức ( )rR x cho dưới dạng
(5 – 2).
Chứng minh
Từ (5 – 2) ta có thể viết lần lượt các đa thức 0 1( ), ( ),..., ( ),..., ( )k rR x R x R x R x
dưới dạng
1+rβ 1+rγ
[ ]∑ ∑
= =
=
n
i
n
i
ir
r
iir xRxxR
1 1
2 )()(
∑∑∑∑
==
+−
=
−
=
++++
n
i
r
i
r
r
n
i
r
i
r
r
n
i
r
ir
n
i
r
i xxxx
1
)(
1
1)1(
1
12)1(
1
2
... ααα
∑∑
==
−
=
n
i
ir
r
i
n
i
iriri xRxxRxRx
11
1 )()()(
∑∑∑∑∑
==
+
==
+
=
++++=
n
i
ir
r
ir
n
i
r
i
r
r
n
i
r
ir
n
i
r
i
n
i
iri xRxxxxxRx
1
)1(
1
1)(
1
2)1(
1
12
1
2 )(...)]([ ααα
)1(
rα
)2(
rα
)(r
rα
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 32 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng
Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
(5 – 23)
Ta có (1)1 1 1 1 0 1 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )α α= − = − = +x R x R x R x R x a R x .
2 (1) (2) (1) (2)
2 2 2 2 2 1 1 0 2( ) ( ) ( ( ) ( ))α α α α α= − − = − − − =x R x x R x R x R x
(1) (1) (2)
2 2 1 2 1 2 0( ) ( ) ( ) ( )α α α α= − + − =R x R x R x
(2) (2)
2 1 1 0 0( ) ( ) ( )= + +R x a R x a R x .
Tổng quát
( ) ( ) ( )
1 1 1 1 0 0( ) ( ) ... ( ) ( )− −= + + + +k k k kk k kx R x a R x a R x a R x .
Hay ta có thể thu được
(5 – 24)
Với k < r và dựa trên (5 – 24) ta có
= =
= =
++++=
++++=
++=
+=
=
−−
−−
)()1(1)1(
)()1(1)1(
)2(
2
)1(
2
2
2
11
0
...)(
.............................................................
...)(
.............................................................
)(
)(
1)(
r
r
r
r
r
r
r
r
k
k
k
k
k
k
k
k
xxxxR
xxxxR
xxxR
xxR
xR
ααα
ααα
αα
α
++++=
++++=
++=
+=
−−
−−
)()(...)()(
.................................................................................
)()(...)()(
......................................................
)()()(
)()(
0
)(
01
)(
11
)(
1
0
)(
01
)(
11
)(
1
0
)2(
01
)2(
12
2
0
)1(
01
xRaxRaxRaxRx
xRaxRaxRaxRx
xRaxRaxRx
xRaxRx
rr
r
r
rr
r
kk
k
k
kk
k
[ ] ==∑
=
n
i
r
k
ir
k xRxRx
1
)(,
{ }∑
=
−−
++++
n
i
iri
k
i
k
ik
k
kik xRxRaxRaxRaxR
1
0
)(
01
)(
11
)(
1 )()()(...)()(
∑∑∑
==
−−
=
+++
n
i
iri
k
n
i
irik
k
k
n
i
irik xRxRaxRxRaxRxR
1
0
)(
0
1
1
)(
1
1
)()(...)()()()(
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 33 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng
Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
= =
= + … + .
Từ đó dựa trên (5 – 3) ta có (với k < r)
= 0 + .0 + …+ .0
= 0. (5 – 25)
Giả sử ( )
s
xψ
là đa thức bậc s < r
0
( )
s
k
s k
k
x a xψ
=
=∑ .
Khi đó
=
=
= .
Từ đó dựa trên (5 – 25) ta có
. (5 – 26)
Ngoài ra dựa trên (5 – 2) ta có
∑∑∑
==
−−
=
+++
n
i
iri
k
n
i
irik
k
k
n
i
irik xRxRaxRxRaxRxR
1
0
)(
0
1
1
)(
1
1
)()(...)()()()(
[ ]+rk RR , )( 1kka − [ ]rk RR ,1− )(0ka [ ]rRR ,0
[ ] ==∑
=
n
i
r
k
ir
k
xRxRx
1
)(,
)(
1
k
ka −
)(
0
ka
[ ] ∑
=
=
n
i
irisrs xRxR
1
)()(, ψψ
∑ ∑
= =
n
i
ir
s
k
k
ik xRxa
1 0
)(
∑ ∑
= =
s
k
n
i
ir
k
ik xRxa
0 1
)(
[ ]∑
=
s
k
r
k
k Rxa
0
,
[ ] )(00.,
0
rsaR
s
k
krs <==∑
=
ψ
[ ] { }∑∑
=
−−
=
++++=
n
i
r
r
r
r
r
r
r
ir
n
i
ir xxxxRxR
1
)()1(1)1(
1
2
...)()( ααα
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 34 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng
Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
=
=
= .
Kết hợp với (5 – 25) ta có
= . (5 – 27)
Dựa trên (5 – 2) ta có
=
= . (5 – 28)
Kết hợp (5 – 27) và (5 – 28) ta suy ra (5 – 20)
Mặt khác vì 1( )−rR x là đa thức bậc r – 1 với hệ số của 1−rx là 1 nên 1. ( )−rx R x
là đa thức bậc r với hệ số của rx là 1. Do đó ta có thể viết
1 1. ( ) ( )ψ− −= +rr rx R x x x . (5 – 29)
Trong đó 1( )ψ −r x là đa thức bậc r – 1.
Từ (5 – 29) suy ra
∑∑∑∑
==
−
=
−
=
++++
n
i
ir
r
r
n
i
iri
r
r
n
i
ir
r
ir
n
i
ir
r
i xRxRxxRxxRx
1
)(
1
)1(
1
1)1(
1
)()(...)()( ααα
∑∑∑∑
==
−
=
−
=
++++
n
i
ir
r
r
n
i
iri
r
r
n
i
ir
r
ir
n
i
ir
r
i xRxRxxRxxRx
1
)(
1
)1(
1
1)1(
1
)()(...)()( ααα
[ ] [ ] [ ]
r
r
rr
r
rr
r
r
n
i
ir
r
i RxRxRxxRx ,,...,)( 0)(1)1(1)1(
1
ααα ++++ −−
=
∑
[ ] 0.0....0.)()( )()1()1(
11
2 r
r
r
rr
n
i
ir
r
i
n
i
ir xRxxR ααα ++++=
−
==
∑∑
∑
=
n
i
ir
r
i xRx
1
)(
{ }∑∑
=
−−
=
++++=
n
i
r
ri
r
r
r
ir
r
i
r
i
n
i
ir
r
i xxxxxRx
1
)()1(1)1(
1
...)( ααα
∑∑∑∑
==
−
=
−
=
++++
n
i
r
i
r
r
n
i
i
r
i
r
r
n
i
r
i
r
ir
n
i
r
i xxxxxx
1
)(
1
)1(
1
1)1(
1
2
... ααα
∑∑∑∑
==
−
=
−
=
++++
n
i
r
i
r
r
n
i
i
r
i
r
r
n
i
r
i
r
ir
n
i
r
i xxxxxx
1
)(
1
)1(
1
1)1(
1
2
... ααα
[ ]∑
=
=
n
i
ir xR
1
2)( ∑∑∑∑
==
+−
=
−
=
++++
n
i
r
i
r
r
n
i
r
i
r
r
n
i
r
ir
n
i
r
i xxxx
1
)(
1
1)1(
1
12)1(
1
2
... ααα
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 35 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng
Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
=
= . (5 – 30)
Nhưng dựa trên (5 – 26) ta có
= 0.
Do đó từ (5 – 30) ta thu được (5 – 21)
.
Cuối cùng từ (5 – 2) ta có
(1) 1
2( ) ( )α ψ− −= + +r rr r rR x x x x . (5 – 31)
Trong đó 1( )ψ −r x là một đa thức cấp r – 2
Từ (5 – 31) suy ra
1 (1)
1. ( ) ( )α ψ+ −= + +r rr r rx R x x x x . (5 – 32)
Trong đó 1( )ψ −r x là đa thức bậc r – 1.
Từ (5 – 32) ta có
[ ] { } { }2 1 (1) 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )r rr i r r r r rx R x xR x R x x x x R xα ψ+ −= = + + .
Do đó suy ra
=
=
{ } )()(x + x)()(.
1
i1-r
r
i
1
1 ir
n
i
n
i
iriri xRxRxRx ∑∑
==
−
= ψ
∑∑
=
−
=
+
n
i
irir
n
i
ir
r
i xRxxRx
1
1
1
)()()( ψ
[ ]rr
n
i
ir
r
i RxRx ,)( 1
1
−
=
+∑ ψ
[ ]rr R,1−ψ
∑∑
==
−
=
n
i
ir
r
i
n
i
iriri xRxxRxRx
11
1 )()()(
[ ] { }∑ ∑
= =
−
+ ++=
n
1i 1
1
)1(12
ri )()()(Rx
n
i
irir
r
ir
r
ii xRxxxx ψα
∑∑∑
=
−
==
+ ++
n
i
irir
n
i
r
r
ir
n
i
ir
r
i xRxxRxxRx
1
1
1
)1(
1
1 )()()()( ψα
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 36 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng
Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
= . (5 – 33)
Nhưng dựa trên (5 – 26) ta có
. (5 – 34)
Mặt khác dựa trên (5 – 2) ta có
=
=
= . (5 – 35)
Thay (5 – 34), (5 – 35) vào (5 – 33) ta thu được (5 – 22) tức là
.
Từ đó bổ đề 2 hoàn toàn được chứng minh.
Từ bổ đề 1 và bổ đề 2 ta nhận thấy rằng: Để thu được các đa thức trực giao
của hệ (5 – 1), từ các công thức (5 – 10) và (5 – 12) ta cần tính tất cả các
tổng những lũy thừa có dạng
1
n
i
i
S xνν
=
=∑ ( 1,2,...,2 1)mν = − .
Ngoài ra khi áp dụng công thức (5 – 5) để tìm các hệ số 0 1, ,..., ma a a của
(5 – 4) lại cần tính các tổng , …, ở mẫu số của
công thức. Nghĩa là dựa trên (5 – 20) cần tính các tổng những lũy thừa
∑∑∑
=
−
==
+ ++
n
i
irir
n
i
r
r
ir
n
i
ir
r
i xRxxRxxRx
1
1
1
)1(
1
1 )()()()( ψα
[ ] 0,)()( 1
1
1 == −
=
−∑ rr
n
i
irir RxRx ψψ
{ }∑ ∑
= =
−−++ ++++=
n
i
n
i
r
ri
r
r
r
ir
r
i
r
iir
r
i xxxxxRx
1 1
)()1(1)1(11
...)( ααα
∑
=
++−+ ++++
n
i
r
i
r
r
r
i
r
r
r
ir
r
i xxxx
1
1)(2)1(2)1(12
... ααα
∑ ∑∑∑
= =
+
=
+−
=
+ ++++
n
i
n
i
r
i
r
r
n
i
r
i
r
r
n
i
r
ir
r
i xxxx
1 1
1)(
1
2)1(
1
2)1(12
... ααα
∑ ∑∑∑
= =
+
=
+−
=
+ ++++
n
i
n
i
r
i
r
r
n
i
r
i
r
r
n
i
r
ir
r
i xxxx
1 1
1)(
1
2)1(
1
2)1(12
... ααα
∑∑∑∑∑
==
+
==
+
=
++++=
n
i
ir
r
ir
n
i
r
i
r
r
n
i
r
ir
n
i
r
i
n
i
iri xRxxxxxRx
1
)1(
1
1)(
1
2)1(
1
12
1
2 )(...)]([ ααα
∑
=
n
i
ixR
1
2
1 )]([ ∑
=
n
i
im xR
1
2)]([
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 37 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng
Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
1
n
i
i
S xνν
=
=∑ ( 1,2,...,2 )mν = .
Còn các tử số của công thức (5 – 5) lần lượt là [ ] [ ] [ ]0 1, , , ,..., , my R y R y R . Để
tính mỗi tử số này ta dựa vào (5 – 2) và dựa vào khai triển
( 0,1,..., )r m= .
=
= . (5 – 36)
Tóm lại: Để tìm hàm xấp xỉ ( )
m
M x
ta cần tìm 2m tổng Sν ( 1,2,...,2 )mν = và
m tổng ( 0,1,..., )r m= . Khi đó trong bảng tính toán giải bài toán mỗi
tổng nói trên được lập theo một cột.
2.3.4 Sai số của phương pháp
Cuối cùng để tính sai số trung bình phương một cách thuận lợi ta dùng
công thức (5 – 6)
.
Nên khi tính toán ta cần tính thêm tổng .
Khi sai số trung bình phương tìm được chưa đủ bé (nghĩa là m chưa đủ lớn)
ta cần tăng dần cấp m của hàm xấp xỉ ( )
m
M x . Khi đó trong bảng tính cũ cần
[ ] { }∑∑
=
−−
=
++++==
n
i
r
ri
r
r
r
ir
r
ii
n
i
irir xxxyxRyRy
1
)()1(1)1(
1
...)(, ααα
∑ ∑∑∑
= ==
−
=
− ++++
n
i
n
i
i
r
r
n
i
ii
r
r
n
i
r
iir
r
ii yxyxyxy
1 1
)(
1
)1(
1
1)1(
... ααα
∑ ∑∑∑
= ==
−
=
− ++++
n
i
n
i
i
r
r
n
i
ii
r
r
n
i
r
iir
r
ii yxyxyxy
1 1
)(
1
)1(
1
1)1(
... ααα
∑
=
n
i
r
ii xy
1
[ ] [ ] [ ]
−=
−= ∑∑∑
===
m
j
jj
n
i
i
m
j
jjn Ryay
n
Ryayy
n 01
2
0
,
1
,,
1
σ
∑
=
n
i
iy
1
2
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 38 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng
Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
bổ xung những cột tính Sν và mới nhưng kết quả cũ vẫn được sử
dụng.
2.4 Xấp xỉ hàm bằng đa thức lượng giác
∑
=
n
i
r
ii xy
1
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 39 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng
Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
2.4.1 Định nghĩa đa thức lượng giác
Trong thực tế khi tính toán ta gặp những hàm ( )f x có tính chất tuần hoàn.
Ta tìm cách xấp xỉ một hàm để phản ánh được đặc điểm riêng của nó. Khi
đó từ đa thức suy rộng tổng quát
( )
1
( )
m
m i i
i
x a xφ ϕ
=
=∑ . (6 – 1)
Lấy hệ hàm lượng giác làm hàm cơ sở. Ta giả thiết rằng các hàm ( )f x xét
trên đoạn pi≤ ≤0 2x . Trên đoạn có độ dài pi2 thì hệ hàm lượng giác
{ } { }φ =( ) 1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,...,cosmx,sinmxi x .
Là tuần hoàn và độc lập tuyến tính. Khai triển hàm ( )f x theo cơ sở (6 – 1)
gọi là khai triển lượng giác hay khai triển Fourier. Tức là hàm xấp xỉ là một
đa thức lượng giác có dạng
( )0
1
( ) cos sin
k
k r r
r
T x rx rxα α β
=
= + +∑ . (6 – 2)
Trong đó α β,r r là những hằng số và k là số tự nhiên nào đó.
2.4.2 Thuật toán
2.4.2.1 Trường hợp hàm cho bằng bảng
Cụ thể biết n giá trị iy của hàm ( )f x tại các điểm ix ( 1,2,..., )i n= và giả sử
≥ + = +1 2 1n m k
ở đây ta coi
ϕ ϕ ϕ
−
= = = =
0 2 1 2
( ) 1, ( ) cos , ( ) sin ( 1, 2, ..., )
r r
x x rx x rx r n . (6 – 3)
Khi đó [ ] [ ]0 0 0
1
, , ,
n
i
i
n y yϕ ϕ ϕ
=
= = ∑ . (6 – 4)
Với 1,2,...,2 ; 1,2,...,2i k j k= = thì
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 40 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng
Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
ϕ ϕ =
=
= −
=
=
∑
∑
1
0
1
coss ( 2 1)
,
sin ( 2 )
n
i
i
j n
i
i
x j s
sx j s
(6 – 5)
ϕ ϕ
=
=
=
= − = −
= = = −
= =
∑
∑
∑
1
1
1
cos cos ( 2 1, 2 1)
, sin cos ( 2 , 2 1)
sin sin ( 2 , 2 )
n
i i
i
n
i j i i
i
n
i i
i
rx rx i r j s
rx sx i r j s
rx sx i r j s
(6 – 6)
ϕ =
=
= −
=
=
∑
∑
1
1
cos ( 2 1)
,
sin ( 2 )
n
i i
i
j n
i i
i
y sx j s
y
y sx j s
(6 – 7)
Dựa trên các công thức (6 – 4) ÷ (6-7) ta thấy hệ phương trình chuẩn (3 – 5)
để xác định các hệ số α β, của đa thức xấp xỉ (6 – 1) có dạng
α α β
α α β
α α β
= = = =
= = = = =
= = = =
+ + =
+ + =
+ + =
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
0
1 1 1 1
0
1 1 1 1 1
0
1 1 1 1
cos sin
cos cos cos sin cos cos
sin cos sin sin sin sin
n n n n
r i r i i
i i i i
n n n n n
i r i i r i i i i
i i i i i
n n n n
i r i i r i i i i
i i i i
n rx rx y
sx rx sx rx sx y sx
sx rx sx rx sx y sx
=
∑ ∑
1
n
i
(6 – 8)
Trong giải tích người ta chứng minh rằng: Hệ hàm lượng giác cơ bản (6 – 1)
là hệ hàm độc lập tuyến tính trên toàn trục số −∞ < < +∞( )x . Nghĩa là hệ
phương trình chuẩn (6 – 8) luôn và có duy nhất nghiệm.
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 41 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng
Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
Sai số trung bình phương của đa thức ( )kT x với hàm ( )f x có dạng tổng
quát là
[ ]σ
=
= −∑
2
1
1
( )
n
n i k i
i
y T x
n
. (6 – 9)
Hoặc tỉ mỉ hơn nếu sử dụng (3-11) và (6-7) ta thu được
2
0
1 1 1 1 1
1
cos sin
n n k n n
n i i r i i r i i
i i r i i
y y y rx y rx
n
σ α α β
= = = = =
= − − +
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ . (6 – 10)
Các hằng số ,α β trong (6 – 10) là nghiệm của (6 – 8).
Trên đây đã trình bày một phương pháp để xây dựng một đa thức lượng
giác ( )kT x xấp xỉ với hàm ( )f x trong đó các điểm ix có vị trí bất kỳ. Bây
giờ ta xét trường hợp các điểm ix nằm trên khoảng ( )0,2pi và cách đều
nhau. Nghĩa là: 1 20 ... 2nx x x pi< < < < = .
Trong đó ix ih=
2( 1,2,..., ; )i n h
n
pi
= = . (6 – 11)
Để chỉ ra tính trực giao của hệ lượng giác (6-1) trên tập hợp
{ }= 1 2, ,..., nX x x x nói trên ta sẽ chứng minh bổ đề sau
Bổ đề 3
Với 2 1n k≥ + và ix là những điểm của tập hợp X , ta có các đẳng thức
sau
1 1
cos sin 0 ( 1,2,..., )
n n
i i
i i
rx rx r k
= =
= = =∑ ∑ (6 – 12)
1
cos sin 0 ( 1,2,..., ; 1,2,..., )
n
i i
i
rx sx r k s k
=
= = =∑ (6 – 13)
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 42 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng
Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
1 1
cos cos sin sin 0 ( 1,2,..., ; 1,2,..., ; )
n n
i i i i
i i
rx sx rx sx r k s k r s
= =
= = = = ≠∑ ∑
(6 – 14)
2 2
1 1
cos sin ( 1,2,..., )
2
n n
i i
i i
n
rx rx r k
= =
= = =∑ ∑ . (6 – 15)
Chứng minh
Như ta đã biết công thức Ole sau đây
cos sin
ixe x i x= + . (6 – 16)
Trong đó x là một số thực còn i là đơn vị ảo (nghĩa là 2i =-1)
Bằng cách đồng nhất thức các phần thực và các phần ảo với nhau ta nhận
thấy 1ixe = khi và chỉ khi 2x ppi= (p là một số nguyên). Từ đó ta nhận thấy
khi 2 ,..., 2, 1,1,2,...,2 (2 1 )q k k k n= − − − + ≤ thì
2
1
h
i
iqh ne e
pi
= ≠ . Và áp dụng
công thức tính tổng n từ một chuỗi số nhân (công bội là 1iqhe ≠ ) ta có
( 1) 2
1 1
( 1)
1 1
i
iq n h iqh i q iqhn n
iqx iqih
iqh iqh
i i
e e e e
e e
e e
pi+
= =
− −
= = =
− −
∑ ∑ . (6 – 17)
Vì 2 ,..., 2, 1,1,2,...,2 (2 1 )q k k k n= − − − + ≤ (nghĩa là một số nguyên) nên
theo nhận xét rút ra từ công thức ơle (6 – 16) ta có
2 1i qe pi = .
Từ đó dựa trên (6 – 17) ta có
1
0i
n
iqx
i
e
=
=∑ 2 ,..., 2, 1,1,2,...,2q k k= − − − .(6 –
18)
Từ (6 – 16) và (6 – 18) ta lại có
1 1 1 1
cos sin (cos sin ) 0i
n n n n
iqx
i i i i
i i i i
qx i qx qx i qx e
= = = =
+ = + = =∑ ∑ ∑ ∑ . (6 – 19)
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 43 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng
Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
Đồng nhất các phần thực và phần ảo từ vế đầu tiên và vế sau cùng của
(6 – 19) ta được
1 1
cos sin 0 ( 2 ,...., 1,1,...,2 )
n n
i i
i i
qx qx i k k
= =
= = = − −∑ ∑ . (6 – 20)
Trong (6 – 20) lấy q = r (r = 1, 2, …, k) ta thu được (6 – 12) và lấy q = r + s
(r = 1, …, k; s = 1, …, k) ta có
1
cos( ) 0 ( 1,..., ; 1,..., )
n
i
i
r s x r k s k
=
+ = = =∑ . (6 – 21)
1
sin( ) 0 ( 1,..., ; 1,..., )
n
i
i
r s x r k s k
=
+ = = =∑ . (6 – 22)
Trong (6 – 20) lấy q = r - s (r = 1, …,k; s = 1, …,k; r ≠ s).
Ta có
1
cos( ) 0 ( 1,..., ; 1,..., ; )
n
i
i
r s x r k s k r s
=
− = = = ≠∑ . (6 – 23)
1
sin( ) 0 ( 1,..., ; 1,..., ; )
n
i
i
r s x r k s k r s
=
− = = = ≠∑ . (6 – 24)
Nhưng khi r = s thì sin( ) 0ir s x− = ( 1,2,..., )i n= nên đẳng thức (6 – 24)
dùng trong cả hai trường hợp r=s nghĩa là
1
sin( ) 0 ( 1,..., ; 1,..., )
n
i
i
r s x r k s k
=
− = = =∑ . (6 - 24’)
Theo biến đổi lượng giác ta lại có
1 1 1
1 1
cos cos cos( ) cos( )
2 2
n n n
i i i i
i i i
rx sx r s x r s x
= = =
= + + −∑ ∑ ∑ . (6 – 25)
1 1 1
1 1
sin sin cos( ) cos( )
2 2
n n n
i i i i
i i i
rx sx r s x r s x
= = =
= − − +∑ ∑ ∑ . (6 – 26)
1 1 1
1 1
cos sin sin( ) sin( )
2 2
n n n
i i i i
i i i
rx sx r s x r s x
= = =
= + − −∑ ∑ ∑ . (6 – 27)
Dựa trên (6 – 21), (6 – 23) từ (6 – 25) và (6 – 26) ta thu được (6 – 14)
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 44 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng
Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
Dựa trên (6 – 22), (6 – 24) từ (6 – 27) ta thu được (6 – 13)
Ta xét biến đổi lượng giác
[ ]2
1 1 1
1
cos 1 cos2 cos2
2 2
n n n
i i i
i i i
n
rx rx rx
= = =
= + = +∑ ∑ ∑ . (6 – 28)
[ ]2
1 1 1
1
sin 1 cos2 cos2
2 2
n n n
i i i
i i i
n
rx rx rx
= = =
= − = −∑ ∑ ∑ . (6 – 29)
Từ (6 – 20) ta lại có
1
cos2 0 ( 1,..., )
n
i
i
rx r k
=
= =∑ . (6 – 30)
Từ (6 – 28), (6 – 29) và (6 – 30) ta suy ra (6 – 15).
Vậy bổ đề hoàn toàn được chứng minh.
Và ta rút ra các hệ số của đa thức là:
0
1
1 n
i
i
y
n
α
=
= ∑ ;
1
2
cos
n
r i i
i
y rx
n
α
=
= ∑
1
2
sin
n
r i i
i
y rx
n
β
=
= ∑ (r = 1, …, k).
2.4.2.2 Trường hợp hàm cho bằng biểu thức
Ta vẫn xét các hàm trên đoạn [ ]0,2pi và dùng hàm cơ sở như dạng hàm cho
bằng bảng.
Theo định nghĩa tích vô hướng
[ ] piϕ ϕ = ∫
2
0 0
0
, dx , [ ] 20
0
,y ydx
pi
ϕ = ∫ . (6 – 31)
Với 1,2,...,2 ; 1,2,...,2i k j k= = thì:
2
0
0 2
0
cos ( 2 1)
,
sin ( 2 )
j
sx dx j s
sx dx j s
pi
pi
ϕ ϕ
= −
=
=
∫
∫
(6 – 32)
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 45 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng
Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
2
0
2
0
2
0
cos cos ( 2 1, 2 1)
, sin cos ( 2 , 2 1)
sin sin ( 2 , 2 )
i j
rx sx dx i r j s
rx sx dx i r j s
rx sx dx i r j s
pi
pi
pi
ϕ ϕ
= − = −
= = = −
= =
∫
∫
∫
(6 – 33)
2
0
2
0
cos ( 2 1)
,
sin ( 2 )
j
y sx dx j s
y
y sx dx j s
pi
pi
ϕ
= −
=
=
∫
∫
(6 – 34)
Trên đoạn có độ dài 2pi thì hệ cơ sở (6 – 1) là cơ sở trực giao. Do đó ta tính
các hệ số ,
r r
α β theo công thức:
2
0
0
1
2
y dx
pi
α
pi
= ∫
2
0
1
cos
r
y rx dx
pi
α
pi
= ∫
2
0
1
sin
r
y rx dx
pi
β
pi
= ∫
Sai số trung bình phương của đa thức
2
2 2 2 2
0
10
1
( ) 2 ( )
2
k
n r r
r
f x dx
pi
σ pi α α β
pi =
= − + +
∑∫
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 46 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng
Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
CHƯƠNG III:
CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
3.1 Đa thức đại số
3.1.1 Ví dụ 1
Bài toán: Sử dụng phương pháp binh phương tối thiểu tìm đa thức bậc 2:
2
2 0 1 2( )P x a a x a x= + + xấp xỉ với hàm cho bởi bảng 5 sau
Bảng 5
x 0.78 1.56 2.34 3.12 3.81
y 2.50 1.20 1.12 2.25 4.28
Ở đây m = 2, n = 5 và từ bảng 1 ta thu được bảng 6 để tính các hệ số của
phương trình chuẩn.
(Quá trình tính toán thực hiện với 3 chữ số sau dấu phẩy).
Bảng 6
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x y xy 2x y
1
1
1
1
1
0.78
1.56
2.34
3.12
3.81
0.608
20434
5.476
9.734
14.516
0.475
3.796
12.813
30.371
55.306
0.370
5.922
29.982
94.759
210.717
2.50
1.20
1.12
2.25
4.28
1.950
1.872
2.621
7.020
16.307
1.520
2.921
6.133
21.902
62.128
5 11.61 32.768 102.761 341.750 11.35 29.770 94.604
Từ đó suy ra các hệ số : 0 1 2, ,a a a của đa thức xấp xỉ 2 ( )P x cho từ hệ phương
trình
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 47 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng
Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
(4 – 6)
Giải hệ phương trình (4 – 6), ta có
0 1 25,045; 4,043; 1,009a a a= = − = .
Do đó đa thức xấp xỉ cần tìm có dạng
2
2 ( ) 5,045 4,043 1,009P x x x= − + .
Để so sánh các iy với P và chuẩn bị tính sai số trung bình phương ta
thực hiện tính toán trên bảng 7.
Bảng 7
x y P P -y [P -y]
0,78
1,56
2,34
3,12
3,81
2,50
1,20
1,12
2,25
4,28
2,505
1,194
1,110
2,252
4,288
0,005
-0,006
-0,010
0,002
0,008
0,000025
0,000036
0,000100
0,000004
0,000064
Suy ra =0,000229.
Và sai số trung bình phương = =0,007.
3.1.2 Ví dụ 2
Bài toán: Áp dụng phương pháp bình phương tối thiểu để tìm đa thức bậc
3:
2 3
3 0 1 2 3( )P x a a x a x a x= + + + xấp xỉ với hàm cho theo bảng ở thí dụ 1.
=++
=++
=++
604,94750,341761,102768,32
770,29761,102768.3261,11
35,11768,3261,115
210
210
210
aaa
aaa
aaa
)(2 ix 5σ
)(2 x )(2 x )(2 x 2
[ ]∑ −
5
1
2
2 )( yxP
5σ )000229,0(5
1
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 48 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng
Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
Trong thí dụ này ta có m = 3, n = 5 và từ bảng 1 ta thu được bảng 8 để tính
các hệ số của phương trình chuẩn.
(Quá trình tính toán được thực hiện với 3 chữ số sau dấu phẩy).
Bảng 8
x
0
x
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
y xy
x
2 y x 3 y
1
1
1
1
1
0,78
1,56
2,34
3,12
3,81
0,608
2,434
5,476
9,734
14,516
0,475
3,796
12,813
30,371
55,306
0,370
5,922
29,982
94,759
210,717
0,289
9,239
70,158
295,647
802,832
0,225
14,413
164,171
922,418
3058,791
2,50
1,20
1,12
2,25
4028
1,950
1,872
2,621
7,020
16,307
1,520
2,921
6,133
21,902
62,128
1,186
4,556
14,350
68,335
236,711
5 11,61 32,768 102,761 341,750 1178,165 4160,017 11,35 29,770 94,604 305,139
Như vậy các hệ số 0 1 2 3, , ,a a a a của đa thức xấp xỉ 3( )P x là nghiệm của hệ
phương trình sau
0 1 2 3
0 1 2 3
0 1 2 3
0 1 2 3
5 11,61 32,768 102,761 11,35
11,61 32,768 102,761 341,750 29,770
32,768 102,761 341,750 1178,165 94,604
102,761 341,750 1178,165 4160,017 325,139
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
+ + + =
+ + + =
+ + + =
+ + + =
(4 – 7)
Giải hệ phương trình (4 – 7) ta có:
0 5,002a = ; 1 3,978a = − ; 2 0,984a = ; 3 0,003a = .
Do đó đa thức xấp xỉ cần tìm có dạng
2 3
3( ) 5,002 3,978 0,984 0,003P x x x x= − + + . (4 – 8)
Để so sánh các iy với 3( )P x và tính sai số trung bình phương 5σ ta thực
hiện tính toán trên bảng 9.
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 49 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng
Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
Bảng 9
x y 3( )P x 3( )P x y− 23[ ( ) ]P x y−
0,78
1,56
2,34
3,12
3,81
2,50
1,20
1,12
2,25
4,28
2,504
1,195
1,114
2,251
4,286
0,004
-0,005
-0,006
0,001
0,006
0,000016
0,000025
0,000036
0,000001
0,000036
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 50 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng
Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
3.2 Đa thức trực giao
3.2.1 Ví dụ 1
Bài toán: Xấp xỉ hàm cho trong cột (2) và (3) của bảng 10 sao cho sai số
trung bình phương của công thức xấp xỉ không vượt quá 0,1.
Với n = 11
Bảng
10
i
i
x
i
y
2
i
x
3
i
x
4
i
x
i i
x y
2
i i
x y
2
i
y
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0,15411
0,19516
0,22143
0,28802
0,32808
0,38183
0,45517
0,57012
0,57930
0,91075
0,13895
19,47
21,83
23,11
26,11
27,60
28,89
33,17
33,38
32,31
31,88
25,46
0,02375
0,03809
0,04903
0,08296
0,10764
0,14579
0,20718
0,32504
0,57654
0,82947
1,29721
0,00366
0,00743
0,01086
0,02389
0,03531
0,05567
0,09430
0,18531
0,43776
0,75544
1,47745
0.00056
0,00145
0,00240
0,00688
0,01159
0,02126
0,04292
0,10565
0,33239
0,68801
1,68275
3,00052
4,26034
5,11725
7,52020
9,05501
11,03107
15,09799
19,03061
24,53298
29,03471
28,99767
0,46241
0,83150
1,13308
2,16609
2,97086
4,21187
6,87216
10,84984
18,62801
26,44350
33,02697
379,08
476,55
534,07
681,73
761,76
824,63
1100,25
1114,22
1043,94
1016,33
648,21
∑
5,40292 303,21 3,68270 3,08708 2,89586 156,67835 107,59629 8590,77
Xét m = 1 và tìm hàm xấp xỉ có dạng
1 0 0 1 1 0 1 1
( ) ( ) ( ) ( )M x a R x a R x a a R x= + = + . (2 – 1)
Để tính
1
( )M x ta lập các cột (2), (3), (4), (7) của bảng 10, từ đó ta có
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 51 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng
Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
11
1 1
1
1 1
( ) 5,40292 0,49117
11 11i
R x x x x x
=
= − = − = −∑ .
Nghĩa là
1
0,49117α = − .
Khi đó
[ ]
11 11
0
1 1
110
2
0
1
( )
303,21
27,5645
11 11( )
i i
i i
i
i
y R x y
a
R x
= =
=
= = = =
∑ ∑
∑
.
Và [ ]11 11 112 21 1
1 1 1
( ) 3,68270 0,49117.5,40292 1,02895
i i i
i i i
R x x xα
= = =
= + = − =∑ ∑ ∑ .
11 11 11
1 1
1 1 1
( ) 156,67835 49117.303,21 7,75069
i i i i i
i i i
y R x y x yα
= = =
= + = − =∑ ∑ ∑ .
[ ]
11
1
1
111
2
1
1
( )
7,75069
7,5315
1,02895( )
i i
i
i
i
y R x
a
R x
=
=
= = =
∑
∑
.
Thay kết quả bằng số
0
a ,
1
a ,
1
( )R x vào (2 – 1)
1( ) 275645 7,5315( 0,49117) 23,8653 7,5315M x x x= + − = + .
Sai số trung bình phương là
11
1
.174,57 3,39
11
σ = =
.
Theo yêu cầu của bài toán thì sai số còn lớn ( 0,1σ ≤ ). Bởi vậy chúng ta cần
tăng cấp của đa thức xấp xỉ ( )mM x lên một đơn vị.
Cụ thể ta cần lập hàm xấp xỉ
2 0 0 1 1 2 2 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )M x a R x a R x a R x M x a R x= + + = + . (2 – 2)
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 52 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng
Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
Để tìm 2 ( )M x trong dạng (2 – 2) ta chỉ cần tìm thêm 2a và 2 ( )R x . Trong quá
trình này ta thực hiện tính toán ở cột (5), (6) và (8).
Và ta có
[ ]11 11 21 1
1 1
( ) ( ) 1,02895.i i
i i
x R x R x
= =
= =∑ ∑
[ ]11 11 11 112 3 21 1 1 1
1 1 1 1
( ) ( )
3,08708 0,49117.3,68270 0, 49117.1,02895 0,77286.
i i i i i i
i i i i
x R x x x x R xα α
= = = =
= + + =
= − − =
∑ ∑ ∑ ∑
Vậy dựa vào các công thức (5 – 11) và (5 – 12) ta có:
[ ]
[ ]
11
2
1
1
2 11
2
1
1
( )
0,77286 0,75112.
1,02895( )
i i
i
i
i
x R x
R x
β =
=
= − = − = −
∑
∑
[ ]
11
1
1
2 11
2
0
1
( )
1,02895 0,09354.
11( )
i i
i
i
i
x R x
R x
γ =
=
= − = − = −
∑
∑
Từ đó áp dụng (5 – 10) ta suy ra
2 2 1 2 0
2
( ) ( ) ( ) ( )
( 0,75112)( 0, 49117) 0,09354
1, 24229 0, 27539.
R x x R x R x
x x
x x
β γ= + + =
= − − −
= − +
Nghĩa là (1)2 1, 24229α = − ; (2)2 0, 27539α = .
Để tính 2a trước hết ta dựa trên (5 – 36) ta có
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 53 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng
Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
11 11 11 11
2 (1) (2)
2 2 2
1 1 1 1
( )
107,59629 ( 1, 24229).156,67835 0, 27539.303, 21 3,54263.
i i i i i i i
i i i i
y R x y x y x yα α
= = = =
= + + =
= + − + = −
∑ ∑ ∑ ∑
Dựa trên (5 – 20) ta có
[ ]11 11 11 112 4 (1) 3 (2) 22 2 2
1 1 1 1
( )
2,89586 1, 24229.156,67835 27539.3,68270 0,07498.
i i i i
i i i i
R x x x xα α
= = = =
= + + =
− + =
∑ ∑ ∑ ∑
Từ đó áp dụng công thức (5 – 5) ta được
[ ]
11
2
1 1
2 11
2
2
1
( )
3,54263 47, 24767
0,07498( )
i i
i
i
y R x
a
R x
=
=
= = = −
∑
∑
.
Từ 2a và 2 ( )R x mới tìm được, trở lại (5 – 38) ta có
2
2
2
( ) 23,8653 7,5315 47,24767( 1,24229 0,27539)
10,8537 66,2226 47,24767 .
M x x x x
x x
= + − − + =
= + −
Để tính sai số trung bình phương của đa thức xấp xỉ 2 ( )M x ta tính
[ ] [ ] [ ]11 2 0 0 1 1 2 2
1
11
2 2
1
, , ,
174,57 ( ) 174,57 ( 47,24767).( 3,54263) 7,19.
i
i
i i
i
y a y R a y R a y R
a y R x
=
=
− − − =
= − = − − − =
∑
∑
Áp dụng công thức (5 – 6) ta tìm được sai số trung bình phương đối với đa
thức xấp xỉ 2 ( )M x là
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 54 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng
Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
11
1
.7,19 0,08
11
σ = = .
Ta nhận thấy rằng sai số này đã thỏa mãn điều kiện bài toán ( 0,1σ ≤ ). Do đó
ta có thể dùng đa thức bậc hai 2 ( )M x để xấp xỉ hàm đã cho.
Vởy hàm xấp xỉ tìm được là:
210,8537 66, 2226 47, 24767 .y x x= + −
Trong trường hợp nếu yêu cầu bài toán cần nhỏ hơn nữa thì ta tiếp tục tăng
cấp của đa thức lên rồi tính.
Ở đây ta xét m = 3 tức là ta tìm hàm xấp xỉ
3 0 0 1 1 2 2 3 3 2 3 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )M x a R x a R x a R x a R x M x a R x= + + + = + .
Để tìm 3( )M x ta chỉ cần tính thêm 3a và 3( )R x . Trong quá trình tính toán
này ta thực hiện quá trình tính toán ở các cột (7), (8) và (11) của bảng 11.
Bảng 11
i
ix
i
y
2
i
x
3
i
x
4
i
x
5
i
x
6
i
x
i i
x y
2
i i
x y
3
i i
x y
2
i
y
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,15411
0,19516
0,22143
0,28802
0,32808
0,38183
0,45517
0,57012
0,57930
19,47
21,83
23,11
26,11
27,60
28,89
33,17
33,38
32,31
0,02375
0,03809
0,04903
0,08296
0,10764
0,14579
0,20718
0,32504
0,57654
0,00366
0,00743
0,01086
0,02389
0,03531
0,05567
0,09430
0,18531
0,43776
0.00056
0,00145
0,00240
0,00688
0,01159
0,02126
0,04292
0,10565
0,33239
0,00009
0,00028
0,00053
0,00198
0,00380
0,00812
0,01954
0,06023
0,25239
0,00001
0,00006
0,00012
0,00057
0,00125
0,00310
0,00889
0,03434
0,19164
3,00052
4,26034
5,11725
7,52020
9,05501
11,03107
15,09799
19,03061
24,53298
0,46241
0,83150
1,13308
2,16609
2,97086
4,21187
6,87216
10,84984
18,62801
0,07126
0,16227
0,25091
0,62384
0,97465
1,60827
3,12800
6,18565
14,14416
379,08
476,55
534,07
681,73
761,76
824,63
1100,25
1114,22
1043,94
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 55 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng
Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
10
11
0,91075
0,13895
31,88
25,46
0,82947
1,29721
0,75544
1,47745
0,68801
1,68275
0,62661
1,91565
0,57068
2,18287
29,03471
28,99767
26,44350
33,02697
24,08329
37,88129
1016,33
648,21
∑
5,40292 303,21 3,68270 3,08708 2,89586 2,98023 2,99353 156,67835 107,59629 89,114 8590,77
Thực hiện tính toán tương tự cuối cùng ta thu được kết quả như sau
= − + −3 2
3
( ) 1,90486 1,02568 0,14671R x x x x .
= −
3
81,15472a .
Vậy hàm xấp xỉ là
= + − +2 3
3
( ) 7,80766 87,58329 87,13260 21,11428M x x x x .
Sai số trung bình phương là: 0,06543.
3.2.2 Ví dụ 2
Bài toán: Trong sách “Hoá học cơ sở” của Menđêlêep, khi nghiên cứu sự
phụ thuộc giữa độ hoà tan y của muối NaCO 3 trong nước với nhiệt độ t của
hỗn hợp tác giả đã đưa ra 9 thí nghiệm về sự phụ thuộc giữa lượng NaCO 3
hoà tan trong 100g nước (cột 2 và cột 3 của bảng 11), từ đó kết luận rằng sự
phụ thuộc giữa y và t cho bởi công thức:
67,5 0,87Y t= + .
Bây giờ ta sẽ làm lại quá trình tính toán dùng phương pháp xấp xỉ hàm đa
thức trực giao để kiểm tra kết luận nói trên.
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 56 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng
Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
Ta sẽ dùng đa thức trực giao để xây dựng hàm xấp xỉ ( )mM x ở đây n = 9 và
m = 1 và hàm xấp xỉ cần tìm có dạng
1 0 0 1 1 0 1 1( ) ( ) ( ) ( )M x a R x a R x a a R x= + = + .
Từ bảng 12 ta có
9
1
1
1 1( ) .234 26
9 9ii
R x x x x x
=
= − = − = −∑ .
Nghĩa là: 1 26α = − ,
[ ]
9 9
0
1 1
0 9
2
0
1
( )
811,3 90,1444
9 9( )
i i i
i i
i i
i
y R x y
a
y R x
= =
=
= = = =
∑ ∑
∑
.
[ ]9 9 92 21 1
1 1 1
( ) 10144 26.234 4060i i i
i i i
R x x xα
= = =
= + = − =∑ ∑ ∑ .
9 9 9
1 1
1 1 1
( ) 24628,6 26.811,3 3534,8i i i i i
i i i
y R x y x yα
= = =
= + = − =∑ ∑ ∑ .
[ ]
9
1
1
1 9
2
0
1
( )
3534,8 0,87064
4060( )
i i
i
i i
i
y R x
a
y R x
=
=
= = =
∑
∑
.
Thay kết quả bằng số của 0 1 1, , ( )a a R x ta có
1( ) 90,1444 0,87064( 26) 0,87064 67,50776M x x x= + − = + .
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 57 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng
Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
(Như vậy kết luận của Menđêlêep về hàm phụ thuộc y(t) là đúng).
Sai số trung bình phương của đa thức xấp xỉ là
9
1
.6,48 0,864
9
σ = = .
Bảng 12
i
i
x
i
y
2
i
x
i i
x y
2
i
y
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
4
10
15
21
29
36
51
68
66,7
71,0
76,3
80,6
85,7
92,9
99,4
112,6
125,1
0
16
100
225
441
841
1296
2601
4624
0
284
763
1209
1799,7
2694,1
3578,4
5793,6
8506,8
4448,890
5041,000
5821,690
6496,360
7344,490
8630,410
9880,360
2904,960
5650,010
∑
234 811,3 10144 24628,6 6218,170
Sai số như trên còn quá lớn, để làm giảm sai số ta cần tăng cấp của đa
thức lên một đơn vị (m = 2).
= + + = +
2 0 0 1 1 2 2 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )M x a R x a R x a R x M x a R x .
Để tìm
2
( )M x ta cần tính thêm
2 2
, ( )a R x . Trong quá trình này ta thực
hiện những tính toán (5), (6), (8) ở bảng 13.
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 58 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng
Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
Bảng 13
i
i
x
i
y
2
i
x
3
i
x
4
i
x
i i
x y
2
i i
x y
2
i
y
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
4
10
15
21
29
36
51
68
66,7
71,0
76,3
80,6
85,7
92,9
99,4
112,6
125,1
0
16
100
225
441
841
1296
2601
4624
0
64
1000
3375
9261
24389
46656
132651
314432
0
256
10000
50625
194481
707281
1679616
6765201
21381376
0
284
763
1209
1799,7
2694,1
3578,4
5793,6
8506,8
0
1136
7630
18135
37793,7
78128,9
128822,4
295473,6
578462,4
4448,890
5041,000
5821,690
6496,360
7344,490
8630,410
9880,360
2904,960
5650,010
∑
234 811,3 10144 531828 30788836 24628,6 1145582 76218,170
Thực hiện tính toán tương tự như ở thí dụ trước, cuối cùng ta sẽ thu được
kết quả như sau
Các hệ đa thức trực giao:
=
0
( ) 1R x ; = −
1
( ) 26R x x ; = − +2
2
( ) 66,03054 589,68298R x x x .
Hàm xấp xỉ
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 59 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng
Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
= + − 2
2
( ) 66,70619 0,96040 0,00136M x x x .
Sai số trung bình phương: 0,61343.
Tiếp tục làm giảm sai số ta lại tăng cấp của đa thức lên một đơn vị để tính
toán.
3.3 Đa thức lượng giác
Bài toán: Tìm đa thức lượng giác cấp 2: 2 ( )T x xấp xỉ hàm cho trên các cột
(2), (3) của bảng 12 dưới đây
Bảng
12
i
ix
o
iy cos ix
sin ix
cos2 ix
sin 2 ix cosi iy x
sini iy x
cos2i iy x
sin2i iy x
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
30
o
60
o
90
o
120
o
150
o
180
o
210
o
240
o
270
o
300
o
330
o
360
o
2,611
3,120
2,912
2,105
0,612
-1,321
-1,906
-2,412
-2,802
-2,703
-1,610
0,866
0,500
0,000
-0,500
-0,866
-1,000
-0,866
-0,500
0,000
0,500
0,866
0,500
0.866
1,000
0,866
0,500
0,000
-0,500
-0,866
-1,000
-0,866
-0,500
0,500
-0,500
-1,000
-0,500
0,500
1,000
0,500
-0,500
-1,000
-0,500
0,500
0,866
0,866
0,000
-0,866
-0,866
0,000
0,866
0,866
0,000
-0,866
-0,866
2,261
1,551
0,000
-1,052
-0,530
1,321
1,651
1,206
0,000
-1,351
-1,394
1,305
2,686
2,912
1,823
0,306
0,000
0,953
2,089
2,802
2,341
0,805
1,305
-1,551
-2,912
-1,052
0,306
-1,321
-0,953
1,206
2,802
1,351
-0,805
2,261
2,686
0,000
-1,823
-0,530
0,000
-1,651
-2,089
0,000
2,341
1,394
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 60 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng
Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
12 1,500 1,000 -0,000 1,000 0,000 1,500 0,000 1,500 0,000
∑
0,088 5,163 18,022 -0,124 2,589
Quá trình tính các hệ số 0α , 1α , 2α , 1β , 2β của 2 ( )T x lần lượt cho trong các
cột (3), (8), (9), (10), (11).
Vậy ta có
12
0
1
1 0,088 0,007
12 12ii
yα
=
= = =∑ .
12
1
1
1 5,136
cos 0,860
6 6i ii
y xα
=
= = =∑ .
12
2
1
1 0,124
cos 2 0,021
6 6i ii
y xα
=
−
= = = −∑ .
12
1
1
1 18,022
sin 3,004
6 6ii
xβ
=
= = =∑ .
12
2
1
1 2.859
sin 2 0, 432
6 6i ii
y xβ
=
= = =∑ .
Như vậy ta thu được hàm xấp xỉ là
2 ( ) 0,007 0,860.cos 3,004.sin 0,021.cos 2 0, 432.sin 2T x x x x x= + + − + .
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 61 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng
Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
CHƯƠNG IV
SƠ ĐỒ KHỐI BIỂU DIỄN THUẬT TOÁN VÀ CHƯƠNG
TRÌNH VIẾT BẰNG NGÔN NGỮ C
4.1 SƠ ĐỒ KHỐI BIỂU DIỄN THUẬT TOÁN
4.1.1 Trường hợp dạng đa thức đại số
Bắt đầu
Nhập m, n
i = 1…n
Tính
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 62 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng
Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
4.1.2 Trường hợp dùng đa thức trực giao
Sai
Đúng
Đặt
i = 1.. m , j = 1.. n+1
Giải hệ phương trình A.X=Y
Tính sai số:
Kết thúc
Bắt đầu
Nhập m, n
i = 1…n
Đặt
k < m
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 63 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng
Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
4.1.3 Trường hợp dùng đa thức lượng giác
Kết thúc
Bắt đầu
Nhập m, n
i = 1…n
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 64 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng
Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
4.2 CÁC KẾT QUẢ CHẠY CHƯƠNG TRÌNH
4.2.1 Trường hợp đa thức đại số
Nhập mẫu quan sát n =5.
Nhập các giá trị ,i ix y ,
X 0,78 1,56 2,34 3,12 3,81
Y 2,5 1,20 1,12 2,25 4,28
Nhập m = 2 thì kết quả chạy chương trình:
Hàm xấp xỉ: 1,02341x 2 - 4,01426x + 5,022148 .
Sai số : 0,002724.
Nhập m = 3 thì kết quả chạy chương trình:
Hàm xấp xỉ: 0,002645x 3 + 0,984154x 2 - 3,97771x + 5,002113.
Sai số : 0,00190.
4.2.2 Trường hợp đa thức trực giao
Kết thúc
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 65 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng
Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
Nhập số mẫu quan sát n = 9 (Thí nghiệm trong sách hoá học cơ sở của
Menđêlêep nghiên cứu về sự phụ thuộc giữa độ hoà tan của NaCO 3 trong
nước với nhiệt độ của hỗn hợp).
Nhập các giá trị ,i ix y .
X 0 4 10 15 21 29 36 51 68
Y 66,7 71,0 76,3 80,6 85,7 92,9 99,4 113,6 125,1
Nhập m =1 thì kết quả chạy chương trình:
Hàm hệ trực giao cơ sở là:
0 ( ) 1R x = .
1( ) 26R x x= − .
Hàm xấp xỉ: 0,87064x + 67,507794.
Sai số : 0,846073.
Nhập m = 2 thì kết quả chạy chương trình:
Hàm hệ trực giao cơ sở là:
2
2( ) 6603054 589,68298R x x x= − +
Hàm xấp xỉ: - 0,001359x 2 + 0,960401x + 66,706187
Sai số : 0,613428
4.2.3 Trường hợp đa thức lượng giác
Nhập số mẫu quan sát n = 12.
Nhập các giá trị ,i ix y .
x
30
0
60
0
90
0
120
0
150
0
180
0
210
0
240
0
270
0
300
0
330
0
360
0
y 2,611 3,102 2,912 2,105 0,612 -1,321 -1,906 -2,412 -2,802 -2,703 -1,610 1,500
Nhập m =2 thì kết quả chạy chương trình:
Hàm xấp xỉ
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 66 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng
Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
0,00733 +0,68025cosx +3,0377sinx – 0,02058cos2x +0,43171sin2x.
Sai số : 0,44192.
Nhập m = 3 thì kết quả chạy chương trình:
Hàm xấp xỉ
0,00733 + 0,68025cosx +3,0377sinx – 0,02058cos2x +0,43171sin2x +
0,35250cos3x + 0,17083sin3x.
Sai số: 0,31921.
KẾT LUẬN
Phương pháp bình phương tối thiểu lập công thức từ thực nghiệm là một
bài toán cơ bản hay gặp trong toán học cũng như trong thực tế đời sống.
Thông qua phương pháp này ta có thể tìm ra được gần như chính xác đa thức
ban đầu.
Thông qua chương trình cụ thể viết trên ngôn ngữ lập trình C thì ta có thể
thấy phần nào tính ưu việt của phương pháp này. Tuy nhiên do sự hạn chế về
thời gian và kinh nghiệm nên đồ án tốt nghiệp của em khó tránh khỏi còn có
những thiếu sót trong cách trình bày cũng như chương trình. Do đó em rất
mong sự thông cảm của các thầy cô giáo và mong nhận được nhiều ý kiến
đóng góp quý báu từ các thầy cô giáo và các bạn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 67 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng
Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Phạm Kỳ Anh, Giải tích số. Nhà xuất bản đại học quốc gia , 1996.
2. Tạ Văn Đĩnh, Lê Trọng Vinh, Phương pháp tính, Nhà xuất bản đại
học và trung học chuyên nghiệp, 1983.
3. Phan Văn Hạp, Nguyễn Quý Hỷ, Hồ Thuần, Nguyễn Công Thúy, Cơ
sở phương pháp tính, Nhà xuất bản Đại học và trung học chuyên
nghiệp.
4. Lê Trọng Vinh, Giải tích số, Nhà xuất bản khoa học và kỹ thuật,
2000.
5. Dương Thủy Vỹ, Giáo trình phương pháp tính, Nhà xuất bản khoa
học kỹ thuật , 2005.
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 68 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng
Lớp: Toỏn Tin_2 – K48
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- l_i_noi_u28_1194.pdf