Ta thấy n = 23 < n0 = 26 vậy không phải điều tra thêm thửa ruộng nào nữa.
c) Gọi a0 là năng suất trung bình c ủa loại cây trồng theo tài liệu cũ
a là năng suất trung bình của loại cây trồng theo hiện tại
Kiểm định giả thuyết H có a = a0 = 30 tạ/ha với mức ý nghĩa 2%
Ta lập bảng thống kê X:
30 trang |
Chia sẻ: lylyngoc | Lượt xem: 4855 | Lượt tải: 1
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Đề tài Định lý giới hạn trung tâm – các xấp xỉ xác suất và bài tập, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến
Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
KHOA: KHOA HỌC CƠ BẢN
TIỂU LUẬN
XÁC SUẤT THỐNG KÊ
ĐỀ TÀI:
ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM – CÁC XẤP XỈ XÁC SUẤT
VÀ BÀI TẬP
GVHD: Trần Chiến
Lớp: 211301101
Khoa: Kế Toán – Kiểm Toán
Nhóm 1:
1. Nguyễn Ngọc Thịnh (08106071)
2. Bùi Văn Tiệp (08267261)
3. Phạm Văn Toàn (08096701)
4. Nguyễn Như Tuân (08251411)
Thành phố Hồ Chí Minh, 11/2009
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến
Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
PHẦN I: LÝ THUYẾT
Bài 3: Định lý giới hạn trung tâm – các xấp xỉ xác suất
3.1. Phân phối liên tục: Phân phối đều và phân phối chuẩn
3.1.1. Phân phối đều:
Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên có phân phối đều
trên đoạn [a,b] nếu có hàm mật độ là:
Hàm phân phối xác suất: Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên có phân
phối đều là:
Đồ thị: Ta xét đồ thị của hàm mật độ và hàm phân phối xác suất của phân phối
đều trên [a,b] là:
Hình 1: Đồ thị hàm mật độ Hình 2: Đồ thị hàm phân phối xác suất
của phân phối đều. của phân phối đều.
Các đặc trưng số của phân phối đều:
Kỳ vọng: ( ) ( ) ( )
2
b
a
x a bE X xf x dx dx Med X
b a
Phương sai: D(X) = E(X2) – E2(X)
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến
Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
Với: E(X2) =
2
2 2 21( ) ( )
3
b
a
xx f x dx dx b ab a
b a
( ) ( )
2
b
a
x a bE X xf x dx dx
b a
(Tính ở trên)
Suy ra phương sai: D(X) = E(X2) – E2(X)
= 2 21 ( )
3
b ab a - (
2
a b )2 =
2( )
12
b a
3.1.2. Phân phối chuẩn:
Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn
với hai tham số µ và σ2 nếu có hàm mật độ là:
f(x)=
2
2
( )
21
2
x
e
Kí hiệu: X ~ N(µ;σ2)
Hàm phân phối xác suất: Phân phối chuẩn có hàm phân phối xác suất là:
F(X)=
2
2
( )
21
2
tx
e dt
Do hàm mật độ của phân phối chuẩn không có nguyên hàm sơ cấp nên ta
không thể biểu diễn hàm phân phối xác suất F(X) bởi một hàm số sơ cấp.
Đồ thị: Ta xét đồ thị của hàm mật độ và hàm phân phối xác suất của phân phối
chuẩn như sau:
Hình 3: Đồ thị hàm mật độ của Hình 4: Đồ thị hàm phân phối xác
phân phối chuẩn. suất của phân phối chuẩn.
Đồ thị hàm mật độ của phân phối chuẩn có dạng hình chuông nên phân phối
chuẩn còn có tên gọi là phân phối hình chuông.
Các đặc trưng số của phân phối chuẩn:
Kỳ vọng: E(X) =
2
2
( )
21.
2
x
x e dx
=
Phương sai: D(X) = E(X2) – E2(X)
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến
Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
Với: E(X2) =
2
2
( )
2 21.
2
x
x e dx
= µ
2 + σ2
E2(X) = 2
Suy ra: D(X) = E(X2) – E2(X) = µ2 + σ2 – 2 = σ2
Vậy phương sai : D(X) = σ2
Ta thấy hai tham số và σ2 chính là kì vọng và phương sai của phân phối
chuẩn. Tới đây ta có thể khẳng định phân phối chuẩn hoàn toàn xác định khi
biết kì vọng và phương sai của nó.
Tính xác suất: Giả sử X ~ N( ;σ2)
P[a≤ X ≤b] =
2
2
( )
21
2
xb
a
e dx
= ( ) ( )
b a
Quy tắc 3 : Xét biến ngẫu nhiên X với kì vọng và phương sai σ2
[ ] 2 ( ) 1XP X P
Với ta có: [ ]=2 (1) - 1 = 0,6826P X
Với 2 ta có: [ 2 ]=2 (2) - 1 = 0,9544P X
Với 3 ta có: [ 3 ]=2 (3) - 1 = 0,9973P X
Như vậy nếu X ~ N(( ;σ2) thì [ ] 1P X khi 3 . Điều này có
nghĩa là nếu biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với kì vọng µ và phương sai
σ2 thì gần như chắc chắn rằng X sẽ nhận giá trị trong khoảng [ - 3σ , + 3σ]
Bổ sung về kiến thức phân phối chuẩn tắc: Nếu biến ngẫu nhiên X có phân
phối với kì vọng µ = 0 và phương sai σ2 = 1 thì X được gọi là biến ngẫu nhiên
có phân phối chuẩn tắc hoặc phân phối Gauss. Hàm mật độ của phân phối
chuẩn tắc được kí hiệu là ( )x còn gọi là hàm Gauss, hàm phân phối được kí
hiệu là ( )x còn gọi là hàm Laplace.
- Hàm ( )x là hàm chẵn, ( ) ( )x x , trong khoảng (0, +∞) thì hàm ( )x đơn
điệu giảm. (0) 0,3989 , (1) 0, 2420 , (2) 0,0540 , (3) 0,0044 ,
(4) 0,0001 và nếu x≥4 thì ( )x 0
- Hàm ( )x = ( )
x
t dt
Hàm ( )x là hàm lẻ.
Ta có: (0) 0,5 , (1) 0,2420 , (2) 0,0540 , (3) 0,0044 , (3,9) 0,0001 và
nếu x≥4 thì ( ) 1x và nếu x < -4 thì ( ) 0x
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến
Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
Hình 5 : Đồ thị hàm ( )x Hình 6 : Đồ thị hàm ( )x
3.2. Định lý giới hạn trung tâm (Lyapounov)
Cho họ các biến ngẫu nhiên {X1, X2, X3,...Xn) độc lập từng đôi một.
Đặt Y =
1
n
i
i
X
;
1
EX
n
i
i
và 2
1
ar
n
i
i
V X
Nếu EXi , VarXi hữu hạn và
3
3
1
EX
lim 0
n
i i
n i
E X
Thì Y 2( ; )
3.3. Xấp xỉ xác suất giữa: Siêu bội và nhị thức, Poisson và Nhị thức
3.3.1. Xấp xỉ xác suất giữa siêu bội và nhị thức:
Khi N khá lớn, n khá nhỏ so với N lúc đó quy luật phân phối siêu bội xấp xỉ với
quy luật phân phối nhị thức.
H(N, M, n) B(n, p)
Ta có: P[X=K] =
.
. .
K n K
K K n KM N M
n n
N
p qc c cc
với (q=1–p)
Ví dụ : Một lô hàng có 1000 sản phẩm trong đó có: 600 sản phẩm tốt và 400
sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng ra 10 sản phẩm. Tìm xác suất để trong
10 sản phẩm lấy ra có 3 sản phẩm tốt ?
Giải:
Gọi X là số sản phẩm tốt lấy ra được trong 10 sản phẩm lấy ra.
X={0,1,2,...,9,10}
Ta có: X ~ H(1000, 600, 10) B(10; 0,6)
Suy ra: P[X=K] =
10
10600 400
10 10
1000
.
.(0,6) .(0, 4)
K K
K K Kc c cc
với K=0;10
Gọi A là biến cố lấy được 3 sản phẩm tốt trong 10 sản phẩm lấy ra.
Suy ra: P(A) = P[X=3]=
3 7
3 3 7600 400
10 10
1000
.
.(0,6) .(0, 4)c c cc
= 0,04246
3.3.2. Xấp xỉ xác suất giữa poisson và nhị thức:
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến
Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
Khi n khá lớn (n≥100) và p khá nhỏ (p≤0,05) thì quy luật phân phối nhị thức
xấp xỉ quy luật phân phối poisson.
B(n, p) P ( )
Ta có: P(X=K) = .. .
!
K
K K n K
n
ep q
Kc
với =np và K= 0;
Ví dụ: Tại một trận địa phòng không, người ta bố trí 1000 khẩu súng trường.
Xác suất bắn trúng máy bay của mỗi khẩu súng là 0,001. Nếu máy bay bị bắn
trúng 1 phát thì xác suất rơi là 0,8. Nếu máy bay bị bắn trúng ít nhất 2 phát thì
chắc chắn bị rơi. Tính xác suất máy bay bị bắn rơi khi 1000 khẩu súng cùng
bắn, mỗi lần bắn một viên.
Giải:
Gọi X là số viên đạn bắn trúng mục tiêu
X={0,1,2,...,1000}
Ta có: X ~ B(1000; 0,001) P ( )
Với: = np = 1000 x 0,001 = 1
Suy ra: X ~ B(1000; 0,001) P (1)
Gọi B là biến cố máy bay bị rơi.
Gọi A0 là biến cố không có viên đạn nào trúng máy bay
A1 là biến cố có 1 viên đạn bắn trúng máy bay
A2 là biến cố có 2 viên đạn bắn trúng máy bay
Ta có A0 , A1 , A2 lập thành một hệ đầy đủ xung khắc từng đôi.
Theo công thức xác suất đầy đủ ta có:
P(B) = P(A0).P(B/ A0) + P(A1).P(B/A1) + P(A2).P(B/A2)
Với P(A0) = P(X=0) =
1 0
0 0 1000
1000
.1 1.(0,001) .(0,999)
0!
e
ec
P(B/ A0) = 0
P(A1) = P(X=1) =
1 1
1 1 999
1000
.1 1.(0,001) .(0,999)
1!
e
ec
P(B/A1) = 0,8
P(A2) = P[X≥2] = 1 – P[X<2] = 1 -
2
e
P(B/A2) = 1
Suy ra: P(B) = P(A0).P(B/ A0) + P(A1).P(B/A1) + P(A2).P(B/A2)
= 1
e
.0 + 1
e
.0,8 + (1 - 2
e
).1 = 0,5585
Vậy xác suất máy bay bị bắn rơi khi 1000 khẩu súng cùng bắn, mỗi khẩu bắn
một viên là 0,5585
3.4. Xấp xỉ xác suất giữa: Chuẩn và nhị thức
Khi n khá lớn (n≥30) và P không quá gần 0, cũng không quá gần 1 (0< P <1)
thì quy luật phân phối nhị thức xấp xỉ quy luật phân phối chuẩn và ta có:
o P[X=K] = 1. . . ( )K K n Kn p q uc
với Ku
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến
Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
o P[K1<X<K2] = 2 1( ) ( )K K
Ví dụ: Một xạ thủ bắn 100 viên đạn vào một mục tiêu, xác suất trúng mục tiêu
của mỗi viên đạn là 0,8. Tìm xác suất để có 70 viên đạn trúng mục tiêu?
Giải:
Gọi X là số viên đạn bắn trúng mục tiêu
X = {0,1,2,..100}
X ~ B(100; 0,8) N 2( ; )
Với =100. 0,8 = 80 và 2 = npq = 100.0,8.0,2 = 16
Suy ra: X ~ B(100; 0,8) N(80;16)
Gọi A là biến cố có 70 viên đạn trúng mục tiêu
Suy ra: P(A) = P(X=70) = 70 70 30
100
1 70 80 1.(0,8) .(0, 2) . ( ) . ( 2,5)
4 4 4c
1 1. (2,5) .0,0175 0,004375
4 4
Vậy xác suất để có 70 viên trúng mục tiêu là 0,004375
PHẦN II: BÀI TẬP XÁC SUẤT
II.1. CÔNG THỨC XÁC SUẤT TỔNG – TÍCH
Câu 3: Trong một hộp có 8 bi trắng và 6 bi đen. Lấy lần lượt từ hộp ra 2 bi
(không hoàn lại). Tính xác suất cả 2 đều là bi trắng; một bi trắng và một bi đen?
Giải:
Xác suất cả hai đều là bi trắng:
Gọi A là biến cố lần 1 lấy được bi trắng
B là biến cố lần 2 lấy được bi trắng
C là biến cố cả hai lần lấy đươc bi trắng
1 1
8 7
1 1
14 13
8*7 4( ) ( * ) ( )* ( / ) *
14*13 13
C CP C P A B P A P B A
C C
Vậy xác suất lấy được cả hai đều là bi trắng là : 4
13
Xác suất 1 bi trắng và 1 bi đen
Gọi A là biến cố lấy được lần 1 là bi trắng
B là biến cố lấy được lần 2 là bi đen
C là biến cố lấy được một bi trắng và một bi đen
1 1 1 1
8 6 6 8
1 1 1 1
14 13 14 13
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( / )
48 48 48
182 182 91
C AB AB
P C P AB AB P AB P AB
P A P BA P A P B A
C C C C
C C C C
II.2. CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ - BAYES
Câu 15: Bao lúa thứ nhất nặng 20kg có tỉ lệ hạt lép là 1%; bao lúa thứ hai 30kg
và 2% hạt lép; bao thứ ba 50kg và 3% hạt lép. Trộn cả ba bao lúa vào bao thứ tư
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến
Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
rồi bốc ra 1 hạt. Tính xác suất hạt bốc ra là hạt lép; giả sử hạt bốc ra không lép,
tính xác suất hạt này là của bao thứ 2.
Giải:
Xác suất hạt bốc ra là hạt lép
Gọi A1: “Biến cố bốc được hạt lúa từ bao thứ nhất”
A2: “Biến cố bốc được hạt lúa từ bao thứ hai”
A3: “Biến cố bốc được hạt lúa từ bao thứ ba”
B: “Biến cố hạt bốc ra là hạt lép”
Ta có P(B) = P(A1).P(B/A1) + P(A2).P(B/A2) + P(A3).P(B/A3)
Với P(A1) =
20 0, 2
20 30 50
P(A2) =
30 0,3
20 30 50
P(A3) =
50 0,5
20 30 50
P(B/A1) = 0,01
P(B/A2) = 0,02
P(B/A3) = 0,03
P(B) = 0,2.0,01+0,3.0,02+0,5.0,03 = 0,023 = 2,3%
Vậy xác suất bốc ra hạt lép là 2,3%
Xác suất hạt bốc ra là hạt không lép ở bao thứ hai:
Gọi B : “Biến cố hạt lấy ra không lép”
P( B ) = 1- P(B) = 1 – 0,023 = 0,977
Suy ra :
2( / )P A B = 2 2
( ). ( / )
( )
P A P B A
P B
= 0,3.0,98 0,3009
0,977
= 30,09%
Vậy xác suất bốc ra hạt không lép ở bao thứ hai là 30,09%
Câu 27: Hộp thứ nhất có 3 bi xanh và 4 bi đỏ, hộp thứ hai có 6 bi xanh và 2 bi đỏ;
hộp thứ ba có 4 bi xanh và 7 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 1 bi từ hộp thứ nhất bỏ sang
hộp thứ hai, tiếp tục lấy ngẫu nhiên 1 bi từ hộp thứ hai bỏ vào hộp thứ ba. Sau đó
lấy ngẫu nhiên từ hộp thứ ba ra 1 bi, tính xác suất bi này là màu xanh.
Giải:
Gọi A là biến cố bốc được bi xanh ở hộp 1 thì A là biến cố bốc được bi đỏ ở hộp 1
Gọi B là biến cố bốc được bi xanh ở hộp 2 thì B là biến cố bốc được bi đỏ ở hộp 2
Gọi C là biến cố bốc được bi xanh ở hộp 3
P(A) =
7
3
1
7
1
3
C
C
7
4
7
31)( AP
Áp dụng công thức đầy đủ
P(B)= P(B/A).P(A) + P(B/ A )P( A )=
7
4.
7
3. 1
9
1
6
1
9
1
7
C
C
C
C =
7
5
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến
Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
7
2
7
51)(1)( BPBP
Áp dụng công thức đầy đủ
P(C) = P(C/B).P(B) + P(C/ B ).P( B ) =
28
11
7
2.
12
4
7
5.
12
5
7
2.
7
5. 1
12
1
4
1
12
1
5
C
C
C
C
Vậy xác suất bốc được bi xanh ở hộp 3 là:
28
11
II.3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN RỜI RẠC VÀ LIÊN TỤC
Câu 28: Một kiện hàng có 5 sản phẩm tốt và 3 sản phẩm xấu. Chọn ngẫu nhiên từ
kiện hàng đó ra 2 sản phẩm (chọn một lần)
a) Lập hàm phân phối xác suất của số sản phẩm tốt chọn được.
b) Lập hàm phân phối xác suất của số sản phẩm xấu chọn được.
c) Tính kỳ vọng phương sai của số sản phẩm tốt, sàn phẩm xấu.
Giải:
a) Lập hàm phân phối xác suất của số sản phẩm tốt chọn được.
Gọi X là số sản phẩm tốt chọn được 0,1, 2X
0 2
5 3
0 2
8
1 1
5 3
1 2
8
2 0
5 3
2 2
8
1.3 30 0
28 28
5.3 151 1
28 28
102 2
28
C CX P P X
C
C CX P P X
C
C CX P P X
C
Ta có bảng phân phối xác suất của X(Số sản phẩm tốt)
X 0 1 2
P X 3
28
15
28
10
28
Khi 0 ( ) ( ) ( ) 0x F X P X x P
Khi 30 1 ( ) 0
28
x F X P X x P X
Khi 3 15 181 2 ( ) 0 1
28 28 28
x F X P X x P X P X
Khi 2 ( ) 0 1 2
3 15 10 1
18 18 28
x F X P X x P X P X P X
Vậy hàm phân phối xác suất là:
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến
Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
0 nếu 0x
( )F X 3
28
nếu 0<x1
18
28
nếu 1<x2
1 nếu x>2
b) Lập hàm phân phối xác suất của số sản phẩm xấu chọn được.
Gọi X là số sản phẩm xấu được chọn: 0,1, 2X
Ta tính xác suất tương đương của X
Khi
0 2
3 5
0 2
8
100 0
28
C CX P P X
C
Khi
1 1
3 5
1 2
8
3.5 151 1
28 28
C CX P P X
C
Khi
2 0
3 5
2 2
8
32 2
28
C CX P P X
C
Bảng phân phối xác suất của X(Số sản phẩm xấu)
X 0 1 2
( )P X
10
28
15
28
3
28
Khi 0 x ( ) 0F X P X x P
Khi 100 1 ( ) 0
28
x F X P X
Khi 10 15 251 2 ( ) 0 1
28 28 28
x F X P X P X
Khi 2 ( ) 0 1 2 1x F X P X P X P X
Hàm phân phối xác suất sản phẩm xấu chọn được là:
0 nếu 0x
10
28
nếu 0 1x
F(X) = 25
28
nếu 1 2x
1 nếu x>2
c) Tính kỳ vọng phương sai của số sản phẩm tốt, sàn phẩm xấu.
Kỳ vọng sản phẩm tốt: 1
3 15 10 350. 1. 2.
28 28 28 28
E X
Kỳ vọng sản phẩm xấu là: 2
10 15 3 210. 1. 2.
28 28 28 28
E X
Ta có:
2
2 2 2 2 2
1
0
3 15 10 55( ) 0 . 1 . 2 .
28 28 28 28i i
E X x p
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến
Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
2 2 2 22 10 15 3 270 . 1 2 .28 28 28 28E X
Suy ra phương sai của số sản phẩm tốt là: 2 21 1 1 45[ ] 112D X E X E X
Và phương sai của số sản phẩm xấu là:
2
2 2
2 2 2
27 21 45[ ]
28 28 112
D X E X E X
Câu 48: Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ:
2
, [0;3]( ) 9
0, [0;3]
x xf x
x
a) Tìm hàm phân phối F(x). Tính ModX, MedX, EX, VarX
b) Tính xác suất để trong 3 phép thử độc lập có 2 lần X nhận giá trị trong khoảng
(1;4)
Giải:
a) Tìm hàm phân phối F(x). Tính ModX, MedX, EX, VarX
* Tìm hàm phân phối F(x):
Khi x 0 0)()()(
x
dttfxXPxF
Khi 0<x 3
279
0)()()()(
3
0
2
0
0 xdttdttftfxXPxF
xx
Khi x >3 1)()()()()()(
3
3
0
0
dttftfdttfdttfxXPxF
x
Vậy hàm phân phối xác suất của x là:
nếu x 0
nếu 0<x 3
nếu x>3
* ModX:
Ta có f(x)=
9
2x nếu 30 x 00)(
9
2)( ,, xxfxxf
Bảng xét dấu f(x):
x 0 3
f ’(x) +
1
27
0
)(
3xxF
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến
Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
f(x)
mod(x) = 3
* MedX:
Gọi a là median của x thì a
2
1
9
3,0
0
2
dx
xa
2
3
2
3
2
1
27
aa
Vậy med(x)=
2 2
3
* EX:
E(x)=
4
3
9
)()()()()(
3
0
33
03
3
0
0
dxxdxxxfdxxxfdxxxfdxxxfdxxxf
* VarX:
D(x)=
80
387
4
3
9
0)()(
23
0
42
2
dxxdxxxfdxxfx
b) Tính xác suất để trong 3 phép thử độc lập có 2 lần X nhận giá trị trong khoảng (1;4)
Xác xuất để x nhận giá trị trong khoảng (1,4) là :
P(1<x<4)=
27
260
9
)()()(
3
1
24
3
3
1
4
1
dx
xdxxfdxxfdxxf
Gọi A là biến cố để trong 3 phép thử độc lập cố 2 lần x thuộc (1,4) thì A tuân theo
công thức bernoulli vói p=
27
26 , k=2,n=3
)(AP =
2
2 2
3
26 26 676(1 ) 3. 1 0,103
27 27 6516
p pC
Vậy xác suất để trong 3 phép thử độc lập có 2 lần x nhận giá trị trong khoảng (1; 4) là
P(A) = 0,103
II.4. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG VÀ CÁC LOẠI XẤP XỈ XÁC SUẤT
II.4.1. Phân phối Poisson
Câu 49: Một trạm điện thoại tự động nhận được trung bình 300 cuộc gọi trong
một giờ. Tìm xác suất trạm điện thoại này nhận đúng hai cuộc gọi trong một
phút, không ít hơn hai cuộc gọi trong một phút.
Giải:
Gọi X là số cuộc điện thoại gọi đến trong một phút.
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến
Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
là số cuộc điện thoại trung bình gọi đến trong một phút: 300 5
60
Suy ra: X~ ( )P
Ta có:
5.5( ) , 0,
!
KeP X K K n
K
Gọi A là biến cố trong một phút có đúng hai cuộc gọi đến.
Suy ra:
5 25( ) ( 2) 0,0842
2!
eP A P X
Gọi B là biến cố trong một phút không ít hơn 2 cuộc điện thoại gọi đến.
Suy ra: ( ) ( 2) 1 ( 2) 1 ( 0) ( 1)P B P X P X P X P X
5 5
5.51 [ ] 1 6 0,9595
1 1
e e e
Vậy: Xác suất trạm điện thoại nhận đúng hai cuộc gọi trong một phút là 0,0842
Xác suất trạm điện thoại nhận không ít hơn hai cuộc gọi trong một phút là 0,9595
Câu 50: Trong 1000 trang sách có 100 lỗi in sai. Tìm xác suất để khi chọn ngẫu
nhiên một trang sách này có đúng 3 lỗi in sai, nhiều hơn 3 lỗi in sai.
Giải:
Gọi X là số lỗi in sai trong một trang sách.
là số lỗi in sai trung bình trong một trang sách: = 100 0,1
1000
Suy ra: X~ ( )P
Ta có:
0,1.0,1( ) , 0,
!
KeP X K K n
K
Gọi A là biến cố trong một trang sách có đúng 3 lỗi in sai.
Suy ra:
0,1 3.0,1( ) ( 3) 0,00015
3!
eP A P X
Gọi B là biến cố trong một trang sách có nhiều hơn 3 lỗi in sai.
Suy ra: ( ) ( 3) 1 [ ( 0) ( 1) ( 2) ( 3)]P B P X P X P X P X P X
0,1 0 0,1 1 0,1 2 0,1 3.0,1 .0,1 .0,1 .0,11 ( ) 0,0000038
0! 1! 2! 3!
e e e e
Vậy: Xác suất để một trang sách có đúng 3 lỗi in sai là: 0,00015
Xác suất để một trang sách có nhiều hơn 3 lỗi in sai là: 0,0000038
II.4.2. Phép thử Bernoulli và phân phối Nhị thức
Câu 56: Một lô hàng có rất nhiều sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm là 0,3%. Kiểm tra
ngẫu nhiên lần lượt từng sản phẩm của lô hàng này. Tính số sản phẩm tối thiểu
cần kiểm tra để xác suất chọn được ít nhất 1 phế phẩm không bé hơn 91%.
Giải:
Gọi A là biến cố chọn dược ít nhất một phế phẩm trong tối thiểu n sản phẩm lấy ra để
xác suất chọn được ít nhất một phế phẩm không nhỏ hơn 91% thì A là biến cố không
nhận được phế phẩm nào trong tối thiểu n sản phẩm lấy ra để xác xuất nhận được ít
nhất 1 phế phẩm không nhỏ hơn 91%
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến
Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
Hai biến cố A và A là hai biến cố đối lập nhau nên giả sử P(A) là xác suất của biến cố
A thì xác suất của biến cố A là P( A ) = 1- P(A)
Vì tỉ lệ phế phẩm = 0,003 là không thay đổi và khi thực hiện chọn ra sản phẩm chỉ xảy
ra 2 khả năng hoặc nhận được chính phẩm hoặc nhận được phế phẩm nên bài toán tuân
theo lược đồ bernoulli
Gọi X là số phế phẩm lấy được thì X tuân theo lược đồ Bernoulli
Với p =0,003 và q = 0,997
P( A ) = P(X=0)= Cn0 .(0,003)0.(0,997)n = (0,997)n
P(A) = 1- (0,997)n
Theo đề P(A) 0,91 1- (0,997)n 0,91 ln(0,09) 801, 4
ln(0,997)
n
Vì n Z nên chọn n = 802
Vậy phải chọn tối thiểu 802 sản phẩm để xác suất nhận được ít nhất một phế phẩm
không nhỏ hơn 91%
Câu 57: Một trường tiểu học có tỉ lệ học sinh bị cận thị là 0,9%. Kiểm tra ngẫu
nhiên lần lượt từng học sinh của trường này. Tính số học sinh tối thiểu cần kiểm
tra để xác suất chọn được ít nhất một học sinh bị cận thị không bé hơn 95%.
Giải:
Gọi A là biến cố chọn dược ít nhất một học sinh bị cận thị trong tối thiểu n học sinh
chọn ra để xác suất chọn được ít nhất một học sinh bị cận thị không nhỏ hơn 95%
Suy ra A là biến cố không chọn được học sinh nào bị cận thị trong tối thiểu n học sinh
chọn ra để xác xuất nhận được ít nhất một học sinh bị cận thị không nhỏ hơn 95%
Hai biến cố A và A là hai biến cố đối lập nhau nên với P(A) là xác suất của biến cố A
thì xác suất của biến cố A là P( A ) = 1- P(A)
Vì tỉ lệ học sinh bị cận thị là 0,9% là không thay đổi và khi thực hiện chọn ra chỉ xảy
ra 2 khả năng hoặc chọn được học sinh bị cận thị hoặc chọn được học sinh không bị
cận thị nên bài toán tuân theo lược đồ Bernoulli
Gọi X là số học sinh bị cận thị chọn được thì X tuân theo lược đồ Bernoulli
Với p= 0,009 và q = 0,991
P( A ) = P(X=0)= Cn0 .(0,009)0.(0,991)n = (0,991)n
P(A) = 1 - (0,991)n
Theo đề P(A) 0,95 1 - (0,991)n 0,95 .ln(0,991) ln(0,05)n
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến
Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
ln(0,05) 331,36
ln(0,991)
n (*)
Dễ thấy giá trị nguyên nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện (*) là n = 332
Vậy phải chọn tối thiểu 332 học sinh để kiểm tra thỏa mãn xác suất chọn được ít nhất
một học sinh bị cận thị không bé hơn 95%
Câu 68: Một người có 3 chỗ yêu thích như nhau để câu cá. Xác suất câu được cá
ở 3 chỗ 1, 2, 3 tương ứng là 0,6; 0,7; 0,8. Người đó chọn ngẫu nhiên 1 chỗ thả câu
3 lần và chỉ câu được 1 con cá. Tính xác suất để con cá câu được ở chỗ thứ 3.
Giải:
Gọi A là biến cố 3 lần thả câu chỉ được một con cá
Gọi Ai (i=1,2,3) là biến cố câu được cá ở cỗ thứ i
Gọi Bi là biến cố chỉ câu được một con cá ở chỗ thứ i thì P(Bi) = P(A/Ai)
A1, A2, A3 là các biến cố đồng khả năng và chúng lập thành hệ đầy đủ các biến cố xung
khắc từng đôi.
Vì khả năng câu được cá ở 3 chỗ là như nhau nên : P(A1) = P(A2) = P(A3)= 3
1
Gọi x là số cá câu được sau 3 lần thả câu (x = 0,1,2,3) xác suất câu được x con cá ở
mỗi chỗ là phân phối nhị thức với n=3 và P1= 0.6, P2=0.7,P3= 0.8
P(B1)= P(X=1)= 288.04.0.6.0. 21
1
3
C
P(B2)= P(X=1)= 189.03.0.7.0. 21
1
3
C
P(B3)= P(X=1)= 096.02.0.8.0. 21
1
3
C
P(A)= P(A1). P(A/A1)+P(A2). P(A/A2)+P(A3). P(A/A3)
= P(A1). P(B1). +P(A2). P(B2). +P(A3). P(B3). = 0.191
P(A3/A)=
P(A)
P(A/A3) P(A3). =
191
32
191.0
096.0.
3
1
Vậy xác suất để con cá câu được ở chỗ thứ ba là
191
32
II.4.3. Phân phối chuẩn
Câu 73: Cho X (3; 4)N . Tính P(X<2), P(X2≤4), P( 3 4X ), P( 2 1X )
Giải:
Đại lượng ngẫu nhiên X tuân theo qui luật phân phối chuẩn với 4,3 2
Giả sử ta cần tính P( 1 2X X X )
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến
Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
Ta có P( 1 2X X X )= dxdxxf
x
x
xx
x
e
2
1
2
22
1
2
)(
2
1)(
Đặt dudxdxduxu
;
P( 1 2X X X )=
22
1
2
0
0
1
2 )()(
2
1
x
x
x
x
u
duufduufdue
12
00
12
)()( xxduufduuf
xx
2 3 3( 2) ( 2) 0.19146 0.5 0.30854
2 2
P X P X
30233.049379.019146.0
2
32
2
32)22()4( 2
XPXP
7 3 1 3( 3 4) ( 4 3 4) ( 1 7) 2.0, 47725 0,9545
2 2
P X P X P X
2
31
2
331)31(1)31()12( XPXXPXP = 0,65866
Câu 83: Một doanh nghiệp cần mua 1 loại trục máy có đường kính từ 1,18cm đến
1,22cm. Có hai nhà máy bán loại trục máy này và đường kính các loại trục máy
được sản xuất ra là biến ngẫu nhiên X và Y có phân phối chuẩn với các đặc
trưng:
Đặc điểm
Nhà máy
Đường kính
trung bình
Độ lệch
tiêu chuẩn
Giá bán
X(Nhà máy I) 1,2cm 0,01 3 triệu/hộp/100 cái
Y(Nhà máy II) 1,2cm 0,015 2,7 triệu/hộp/100 cái
Vậy doanh nghiệp nên mua trục của nhà máy nào?
Giải:
Gọi X là số trục máy đạt tiêu chuẩn của nhà máy 1 thì X tuân theo quy luật phân phối
chuẩn với 2,1 và 01.0 suy ra:
P(X)= 9545,0
01,0
2,118,1
01,0
2,122,1
Vậy giả sử mua 100 cái trục của nhà máy 1 thì số trục đạt yêu cầu là 95,45 trong khi
đó số tiền phải bỏ ra là 3tr đồng suy ra giá trị sử dụng trung bình của một trục là
tr031143,0
45,95
3
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến
Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
Gọi Y là số trục đạt tiêu chuẩn của nhà máy 2 thì Y tuân theo qui luật phân phối chuẩn
với 12,0 và 015,0 suy ra:
81648,0
015,0
2,18,1
015,0
2,122,1)(
YP
Suy ra trong 100 sản phẩm có 81,684 sản phẩm đạt yêu cầu
Suy ra giá trị sử dụng của một trục của nhà máy 2 là 03307,0
648,81
7,2
tr
Vậy giá trị sử dụng một trục sản phẩm của nhà máy X nhỏ hơn giá trị sử dụng một trục
của nhà máy Y suy ra công ty nên mua trục của nhà máy X.
II.4.4. Các loại xấp xỉ xác suất thông dụng (Siêu bội ~ Nhị thức ~ Poisson, Chuẩn)
Câu 84: Một bao thóc có tỷ lệ hạt lép là 0,01%. Chọn ngẫu nhiên liên tiếp 5000
hạt. Tính xác suất để:
a) Có đúng 2 hạt thóc lép.
b) Có ít nhất 2 hạt thóc lép.
Giải:
Gọi X là số hạt lép trong 5000 hạt.
Ta có: X ~ B(5000; 0,0001)
Do n = 5000 khá lớn và p = 0,0001 khá bé ta dùng xấp xỉ:
X P( ) với = 5000. 0,0001 = 0,5 X ~ P(0,5)
Với P(X=K) =
0,5.0,5
!
Ke
K
a) Gọi A là biến cố có đúng 2 hạt thóc lép khi chọn ngẫu nhiên liên tiếp 5000 hạt
thóc.
P(A)=P(X=2)=
0,5 2.0,5 0,0758
2!
e
b) Gọi B là biến cố có ít nhất 2 hạt thóc lép khi chọn ngẫu nhiên liên tiếp 5000 hạt
thóc.
P(B) = P(X≥2)= 1- [P(X=0)+P(X=1)] = 1 – (
0,5 0.0,5
0!
e +
0,5 1.0,5
1!
e ) = 0,0902
Câu 85: Một hãng sản xuất trung bình 1000 đĩa nhạc thì có 1 đĩa hỏng. Tính xác
suất để khi hãng đó sản xuất 9000 đĩa nhạc thì có nhiều hơn 10 đĩa không hỏng.
Giải:
Gọi X là số đĩa nhạc không hỏng (0 1000 X )
Gọi A là biến cố số đĩa nhạc không hỏng >10
Thì A là biến cố số đĩa nhạc bị hỏng 8990
P(A)=1- P( A )
Vì tỷ lệ số đĩa nhạc bị hỏng = 0,001 là không đổi nên bài toán tuân theo công thức
bernoulli với n=9000 và p=0,001
Mặt khác p quá nhỏ (p<0,05) và n quá lớn nên công thức bernoulli xấp xỉ công thức
poisson với =np=0,001.9000 = 9
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến
Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
0
!9000
9000
!8999
8999
!8998
8998
!8997
9
!8996
9
!8995
9
!8994
9.
!8993
9
!8992
9
!8991
9
!8990
9)8990P(X=) AP(
99989979
89969899598994989939899298991989909
eeee
eeeeeee
( ) 1 ( ) 1 0 1P A P A
Vậy xác xuất để hãng đó sản xuất 9000 đĩa nhạc có nhiều hơn 10 đĩa không hỏng là 1
Câu 93: Một trường cấp 3 có 900 học sinh. Giả sử trong 1 năm trung bình mỗi
học sinh phải nằm ở trạm y tế của trường 1 ngày và khả năng bị bệnh của học
sinh phân phối đều các ngày trong năm. Số giường của trạm y tế tối thiểu là bao
nhiêu để tỉ lệ không đủ giường cho người bệnh ít hơn 0,01.
Giải:
Gọi X là số học sinh phải nằm trạm y tế trong 1 ngày X 1(900; )
365
Gọi là số học sinh bị bệnh trung bình trong 1 ngày = 900 2, 466
365
Suy ra: X~P( )
Với P(X=K) =
2,466.2, 466
!
Ke
K
Gọi m là số giường tối thiểu để tỉ lệ không đủ giường cho người bệnh ít hơn 0,01
Suy ra:
2,466
0
.2, 4661 0,01
!
Km
K
e
K
2,466
0
.2,466 1 0,01 0,99
!
Km
K
e
K
m=7
Vậy số giường tối thiểu để tỉ lệ không đủ giường cho người bệnh ít hơn 0,01 là 7
giường.
PHẦN III: BÀI TẬP THỐNG KÊ
III.1. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG
Câu 1: Người ta kiểm tra ngẫu nhiên 400 sản phẩm của một nhà máy thì thấy có
20 phế phẩm. Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng tỉ lệ chính phẩm của nhà máy
này.
Giải:
Gọi p là tỉ lệ số chính phẩm trong 400 sản phẩm kiểm tra:
p = 380
400
= 0,95
Tính với độ tin cậy 95%, ta ước lượng tỉ lệ p đám đông
(1 )380 0,95, 1 2 ( )
400
n n
n n
f f
f P p f t t
n
1 0,95 2 ( ) ( ) 0, 475 1,96t t t
1
(1 ) 0,95(1 0,95)
0,95 1,96 0,9286
400
f fp f t
n
2
(1 ) 0,95(1 0,95)
0,95 1,96 0,9714
400
f fp f t
n
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến
Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
Vậy ước lượng tỉ lệ chính phẩm của nhà máy này là (0,9256 ; 0,9714)
Câu 4: Trong kho có 1000 sản phẩm của nhà máy A sản xuất bỏ lẫn với nhiều sản
phẩm do nhà máy B sản xuất. Lấy ngẫu nhiên từ kho ra 100 sản phẩm thấy có 9
sản phẩm do nhà máy A sản xuất. Với độ tin cậy 92%, hãy ước lượng trong kho
này có khoảng bao nhiêu sản phẩm do nhà máy B sản xuất?
Giải:
Nếu dự đoán thô:
100 sản phẩm có: 9 sản phẩm nhà máy A và 91 sản phẩm nhà máy B
1000 sản phẩm nhà máy A 1000.91 10111
9
sản phẩm nhà máy B
Tỉ lệ số sản phẩm do nhà máy B sản xuất trong 100 sản phẩm là:
FB =
91 0,91
100
Độ tin cậy: 1 - =0,92 1( ) 0, 46
2
t
tα = 1,76
Độ chính xác:
(1 )B Bf ft
n
= 1,76. 0,91(1 0,91)
100
= 0,05
Suy ra ước lượng tỉ lệ số sản phẩm do nhà máy B sản xuất ra:
PB =(fB- ; fB+ ) = (0,91-0,05; 0,91+0,05) = (0,86; 0,96)
Số sản phẩm do nhà máy B sản xuất là N với: N1N N2
Trong đó: N1=
10111 10532
0,96
N2=
10111 11757
0,86
Vậy trong kho có khoảng (10532; 11757) sản phẩm do nhà máy B sản xuất ra với độ
tin cậy 92%
Câu 30: Một nông dân gieo thử nghiệm 1000 hạt của một giống lúa mới thì có 640
hạt nảy mầm.
a) Với độ tin cậy là 95%, hãy ước lượng tỉ lệ nảy mầm của giống lúa này.
b) Muốn có độ tin cậy 97% và sai số ước lượng tỉ lệ hạt nảy mầm là 2% thì
người nông dân cần gieo tối thiểu bao nhiêu hạt?
Giải:
a) Tỉ lệ hạt giống nảy mầm là: fn =
640 0,64
1000
Độ tin cậy: 1 - =0,95 1( ) 0,475
2
t
tα = 1,96
Độ chính xác:
(1 ) 0,64(1 0,64)
1,96. 0,02975
1000
n nf ft
n
Ước lượng tỉ lệ hạt nảy mầm là: P(fn- ; fn+ ) = (0,61; 0,67)
b) Với độ tin cậy: 1 - =0,97 1( ) 0, 485
2
t
tα = 2,17
Độ chính xác: 0,02
Gọi n là số hạt cần gieo thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến
Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
Suy ra: n=
2 2
2 2
. (1 ) 2,17 .0,64.(1 0,64)1 1
0,02
f ft
= 2712,3264 +1= 2712+1=2713
Vậy số hạt lúa tối thiểu cần gieo để thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 2713 (hạt)
Chú thích: x gọi là phần nguyên của x, là số nguyên lớn nhất không vượt quá x
Câu 40: Độ dày của một bản kim loại (đơn vị: mm) là đại lượng ngẫu nhiên có
phân phối chuẩn. Đo ngẫu nhiên 10 bản loại này thu được kết quả như sau:
4,1 3,9 4,7 4,4 4,0 3,8 4,4 4,2 4,4 5,0
a) Ước lượng độ dày trung bình của bản kim loại này với độ tin cậy 90%
b) Ước lượng độ phân tán của độ dày bản kim loại với độ tin cậy 95%
Giải:
a) Tính ước lượng độ dày trung bình của bản kim loại với độ tin cậy 90%
Độ dày trung bình của bản kim loại là:
1 4,1 3,9 4,7 3.4,4 4,0 3,8 4, 2 5,0 4,29
10i
x x
n
Trung bình bình phương của bản kim loại là:
2 2 2 2 2 2 2 2
2 21 4,1 3,9 4,7 3.4,4 4,0 3,8 4, 2 5,0 18,527
10i
x x
n
Phương sai mẫu chưa hiệu chỉnh:
2
S 2x - 2( )x = 18,527 – 4,292 = 0,1229
Suy ra phương sai mẫu đã hiệu chỉnh là:
S =
1
n
n
.
2
S = 10
10 1
. 0,1229 = 0,37
Độ tin cậy: 1 - = 0,9 = 0,1
Vì n = 10 <30 nên 1 9
0,1
1,833nt t (Tra bảng C)
Do đó độ chính xác: = 1nt .
S
n
= 1,833. 0,37
10
= 0,214 (mm)
Vậy ước lượng độ dày trung bình của bản kim loại là:
( ; )x x = (4,29-0,214; 4,29+0,214) = (4,076; 4,504)
b) Độ tin cậy: 1 - = 0,95
0,025
2
1 0,975
2
Gọi là độ phân tán (phương sai) của độ dày bản kim loại.
Ta có: 2 21; 9;0,025
2
2,7n và
2 2
1;1 9;0,975
2
19,023n
Suy ra:
2
1 2
1;
2
( 1). (10 1).0,1369 0, 4563
2,7
n
n S
2
2 2
1;1
2
( 1). (10 1).0,1369 0,0648
19,023
n
n S
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến
Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
Vậy độ phân tán (phương sai) của độ dày bản kim loại từ (0,0648; 0,4563) với độ tin
cậy là 95%
III.2. KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT
Câu 41: Tỉ lệ phế phẩm do công ty A sản xuất là 5%. Nhằm giảm tỉ lệ phế phẩm,
công ty A đã cải tiến kỹ thuật. Sau cải tiến người ta kiểm tra ngẫu nhiên 400 sản
phẩm thấy có 18 phế phẩm.Với mức ý nghĩa 5%, hãy cho kết luận về hiệu quả
của việc cải tiến kỹ thuật của công ty A?
Giải:
Gọi tỷ lệ phế phẩm của công ty A sau khi cải tiến kỹ thuật là p.
Đặt giả thiết H0: p= p0 = 0,05
Với mức ý nghĩa 0,05 1,96t
Từ mẫu đã cho ta có 18 0,045
400
f
0
0 0
0,045 0,05
400 0,46
(1 ) 0,05 0,95
f p
t n
p p
Vì t t nên ta chấp nhận giả thiết.
Kết luận: Sau khi cải tiến kỹ thuật chưa làm giảm được tỉ lệ phế phẩm.
Câu 42: Điểm danh ngẫu nhiên 100 sinh viên khoa Kinh tế thấy có 8 người vắng,
điểm danh 120 sinh viên Cơ khí thấy có 12 người vắng. Với mức ý nghĩa 3% hãy
cho biết mức độ chuyên cần của sinh viên hai khoa?
Giải:
Mức ý nghĩa: = 0,03 1( ) 0,485
2
t
tα = 2,17
* Tỉ lệ sinh viên khoa Kinh tế nghỉ học: fKT =
8 0,08
100
Độ chính xác:
(1 ) 0,08(1 0,08)
2,17. 0,05887
100
KT KT
KT
f f
t
n
Ước lượng tỉ lệ sinh viên khoa Kinh tế nghỉ học là:
PKT(fKT- ; fKT+ ) = (0,08 - 0,05887; 0,08+0,05887) = (0,02113; 0,13887)
* Tỉ lệ sinh viên khoa Cơ khí nghỉ học: fCK =
12 0,1
120
Độ chính xác:
(1 ) 0,1(1 0,1)
2,17. 0,05943
120
CK CK
CK
f f
t
n
Ước lượng tỉ lệ sinh viên khoa Cơ khí nghỉ học là:
PCK(fCK- ; fCK+ ) = (0,1 - 0,05943; 0,1 + 0,05943) = (0,04057; 0,15943)
Dựa vào ước lượng tỉ lệ sinh viên nghỉ học của sinh viên hai khoa ta thấy sinh viên
khoa Kinh tế chuyên cần hơn sinh viên khoa Cơ khí.
Câu 55: Để kiểm tra thời gian sản xuất ra 1 sản phẩm của hai máy (đơn vị: giây),
người ta theo dõi ngẫu nhiên cả hai máy và ghi lại kết quả:
Máy
1
58 58 56 38 70 38 42 75 68 67
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến
Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
Với mức ý nghĩa 5%, có thể xem máy 2 tốt hơn máy 1 không? Giả sử độ lệch tiêu
chuẩn thời gian xuất ra 1 sản phẩm của hai máy là như nhau và có phân phối chuẩn.
Giải:
Gọi thời gian trung bình để sản xuất của máy 1 và máy 2 lần lượt là X, Y.
Theo giả thiết ta có X, Y là các đại lượng ngẫu nhiên phân phối chuẩn.
Đặt giả thiết : H0 : E(X) = E(Y)
Lập bảng cho máy 1 và máy 2:
MÁY 1
ix in i ix n
2
i ix n
38 2 76 2888
42 1 42 1764
56 1 56 3136
58 2 116 6728
67 1 67 4489
68 1 68 4624
70 1 70 4900
75 1 75 5625
10 570 34154
Ta có : 570 57
10
x , 2 34154 3415.4
10
x
Và 2 210 3415.4 57 166.4
9X
s
MÁY 2
iy in i iy n
2
i iy n
24 1 24 576
33 1 33 1089
43 1 43 1849
54 1 54 2916
55 1 55 3025
56 1 56 3136
57 1 57 3249
63 1 63 3969
67 1 67 4489
68 1 68 4624
10 520 28922
Ta có : 520 52
10
y , 2 28922 2892.2
10
y
Và 2 22892.2 52 188.2Ys
Máy
2
57 55 63 24 67 43 33 68 56 54
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến
Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
Với mức ý nghĩa 0.05, 2 ( ) 1 0.95t
1.96t
Ta tính được
2 2
57 52
0.84
166.4 188.2
10 10
X Y
x y
t
s s
n m
Ta thấy 0.84 1.96t t nên ta chấp nhận giả thiết, tức là hai máy tốt như nhau.
III.3. BÀI TẬP TỔNG HỢP
Câu 56: Thu nhập (triệu đồng/năm) của 80 hộ dân trong bản A là đại lượng ngẫu
nhiên có phân phối chuẩn. Điều tra ngẫu nhiên về thu nhập của 40 hộ dân trong
bản A, có bảng số liệu:
Thu
nhập
4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0
Số hộ
dân
1 3 4 6 8 7 6 3 2
a) Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng số hộ dân của bản A có thu nhập dưới
5tr/năm
b) Nếu biết trước đây 2 năm, thu nhập bình quân của các hộ dân ban A là
5,5tr/năm, với mức ý nghĩa 3% có nhận xét gì về mức sống của dân trong bản A?
Giải:
a) Ước lượng số hộ dân có thu nhập dưới 5tr/năm với độ tin cậy 95%
Tỉ lệ số hộ dân có thu nhập dưới 5tr/năm: fn =
4 0,1
40
Độ tin cậy: 1 - =0,95 1( ) 0,475
2
t
tα = 1,96
Độ chính xác:
(1 ) 0,1(1 0,1)
1,96. 0,093
40
n nf ft
n
Ước lượng tỉ lệ số hộ dân có thu nhập dưới 5tr/năm là:
P(fn- ; fn+ ) = (0,1 – 0,093; 0,1 + 0,093) = (0,007; 0,193)
Vậy ước lượng số hộ dân có thu nhập dưới 5tr/năm là:
M=(0,007.80; 0,193.80) = (0,56; 15,44)
b) Nhận xét về mức sống của dân trong bản A:
Thu nhập trung bình của 40 hộ dân là:
1 1.4,0 3.4,5 4.5,0 6.5,5 8.6,0 7.6,5 6.7,0 3.7,5 2.8,0 6,1125
40i i
x x n
n
Thu nhập trung bình bình phương của 40 hộ dân là:
2 21
i ix x nn
2 2 2 2 2 2 2 2 21.4,0 3.4,5 4.5,0 6.5,5 8.6,0 7.6,5 6.7,0 3.7,5 2.8,0
40
= 38,31875
Phương sai mẫu chưa hiệu chỉnh:
2
S 2x - 2( )x = 38,31875 – 6,1125 2 = 0,956
Suy ra phương sai mẫu đã hiệu chỉnh là:
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến
Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
S =
1
n
n
.
2
S = 40
40 1
. 0,956 = 0,99
Mức ý nghĩa: = 0,03 1( ) 0,485
2
t
tα = 2,17
Kiểm định: 0 6,1125 5,5 3,91290,99
40
x
t S
n
Vì t = 3,9129 > tα = 2,17 nên bác bỏ giả thiết.
Vậy mức sống của người dân trong bản A cao hơn 5,5tr/năm so với mức ý nghĩa 3%
Câu 57: Thu nhập (triệu đồng / tháng) của nhân viên trong 1 công ty nước ngoài
A là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Khảo sát ngẫu nhiên một số nhân
viên ở công ty A, có kết quả:
Thu
nhập
8,0-
8,5
8,5-
9,0
9,0-
9,5 9,5-10 10-10,5 10,5-11 11-11,5 11,5-12
Số
người 12 35 66 47 24 20 6 3
a) Ước lượng thu nhập trung bình của nhân viên ở công ty A với độ tin cậy 97%.
b) Nếu muốn ước lượng thu nhập trung bình của nhân viên ở công ty A với độ tin
cậy 99% và độ chính xác 0,3 triệu đồng / tháng thì cần khảo sát thêm bao nhiêu
nhân viên nữa.
c) Những nhân viên có thu nhập trên 10,5 triệu đồng / tháng là có thu nhập cao.
Với độ tin cậy 98%, hãy ước lượng thu nhập trung bình của nhân viên có thu
nhập cao.
d) Có người nói tỉ lệ nhân viên có thu nhập cao ở công ty A là 13%, với mức ý
nghĩa 1% có nhận xét gì về lời nói trên.
Giải:
Ta lập bảng tính :
xi ni xini xi2ni
8,25 12 99 816,75
8,75 35 306,25 2679,688
9,25 66 610,5 5647,125
9,75 47 458,25 4467,938
10,25 24 246 2521,5
10,75 20 215 2311,25
11,25 6 67,5 759,375
11,75 3 35,25 414,1875
n = 213 2037,75 19617,81
2037.75 9,567
213
x 2 19617.81 92,102
213
x
22 213 92,102 9,567 0,577212s
2 0,577 0,76s s
a) 2 của mức thu nhập chưa biết
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến
Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
1 0.97 2 ( ) ( ) 0, 485
2,17
t t
t
Với n =213 > 30 và 2 chưa biết.Ta áp dụng công thức: sx t
n
1
2
0,769,567 2,17. 9, 45
213
0,769,567 2,17. 9,68
213
Vậy mức thu nhập trung bình của nhân viên ở công ty A trong khoảng ước lượng
(9,45triệu đồng ; 9,68triệu đồng).
b) Với độ tin cậy 1 0,99 2 ( ) 0,99 ( ) 0,495t t 2,58t
Độ chính xác 0,3 . Từ công thức ( )st
n
2 2. 2,58.0,76( ) ( ) 43
0,3
t sn
Vậy cần khảo sát thêm 43 nhân viên nữa với độ tin cậy 99%
c) Ta lập bảng tính cho nhân viên có thu nhập cao
xi ni xini xi2ni
10,75 20 215 2311,25
11,25 6 67,5 759,375
11,75 3 35,25 414,1875
29 317,75 3484,813
2317,75 3484,81310,96; 120,17
29 29
x x
22 29 120,17 10,96 0,05 0,05 0,22428s s
Với độ tin cậy 1 0,98 2 ( ) 0,98 ( ) 0,49t t
2,33t ta có:
1
1
0,22410,96 2,33. 10,86
29
0, 22410,96 2,33. 11,06
29
Vậy ước lượng thu nhập trung bình của nhân viên có thu nhập cao là khoảng
(10,86triệu ; 11,06triệu)
d) Tỉ lệ nhân viên có thu nhập cao là p0=0,13
Ta đặt giả thiết H0 : p= p0=0,13
Từ mẫu đã cho ta có 29 0,136
213
f vậy
0
0 0
0,136 0,13
. 213 0, 279
(1 ) 0,13 0,87
f p
t n
p p
Với mức ý nghĩa 0,01 2,58t
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến
Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
Ta thấy t t nên ta chấp nhận giả thiết H0, tức là lời nhận xét trên là đúng.
Câu 68: Theo dõi lượng phân bón X(kg/ha) và năng suất một loại cây trồng
Y(tạ/ha) của một thửa ruộng (có cùng diện tích 1 ha), có bảng số liệu:
X
Y
120 140 160 180 200
20 – 24 5 4
24 – 28 7 10 5
28 – 32 15 20 12
32 – 36 7 9 6
a) Ước lượng năng suất trung bình của những thửa ruộng bón phân 180kg/ha với
độ tin cậy là 98%
b) Để ước lượng năng suất trung bình với độ chính xác và độ tin cậy như câu a thì
cần phải theo dõi thêm bao nhiêu thửa ruộng nữa?
c) Một tài liệu cũ nói rằng năng suất trung bình của loại cây trồng này là 30 tạ/ha.
Với mức ý nghĩa 2% hãy cho kết luận về nhận xét này?
d) Lập phương trình hồi quy tuyến tính mẫu của năng suất cây trồng theo lượng
phân bón. Dự đoán xem nếu lượng phân bón là 190 kg/ha thì năng suất khoảng
bao nhiêu?
Giải:
a) Tính ước lượng năng suất trung bình của những thửa ruộng bón phân 180kg/ha với
độ tin cậy là 98%
Ta có bảng số liệu sau:
xi ni xini xi2ni
26 5 130 3380
30 12 360 10800
34 9 306 10404
26 796 24584
Suy ra: 2796 2458430,615; 945,538
26 26
x x
Phương sai mẫu chưa hiệu chỉnh:
2
S 2x - 2( )x = 945,538 – 30,6152 = 8,259775
Suy ra phương sai mẫu đã hiệu chỉnh là:
S =
1
n
n
.
2
S = 26
26 1
. 8,259775 = 2,93
Độ tin cậy: 1 - = 0,98 = 0,02
Suy ra: 1 25
0,02
2, 485nt t (Tra bảng C)
Do đó độ chính xác: = 1nt .
S
n
= 2,485. 2,93
26
= 1,428 (mm)
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến
Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
Vậy ước lượng năng suất trung bình của những thửa ruộng thỏa mãn yêu cầu bài toán
là:
( ; )P x x = (30,615 – 1,428; 30,615 + 1,428) = (29,187; 32,043)
b) Để ước lượng năng suất trung bình với độ chính xác và độ tin cậy như câu a thì cần
phải theo dõi thêm bao nhiêu thửa ruộng nữa?
Gọi n là số thửa ruộng phải theo dõi:
Với S2 = 8,5849 và độ tin cậy 1 0,98 2 ( ) 0,98 ( ) 0,49t t 2,33t
Ta có:
Suy ra: n=
2 2 2
2 2
. 2,33 .8,58491 1
1,428
St
= 22,855 +1= 22+1= 23
Ta thấy n = 23 < n0 = 26 vậy không phải điều tra thêm thửa ruộng nào nữa.
c) Gọi a0 là năng suất trung bình của loại cây trồng theo tài liệu cũ
a là năng suất trung bình của loại cây trồng theo hiện tại
Kiểm định giả thuyết H có a = a0 = 30 tạ/ha với mức ý nghĩa 2%
Ta lập bảng thống kê X:
xi ni xini xi2ni
22 9 198 4356
26 22 572 14872
30 47 1410 42300
34 22 748 25432
n = 100 2928 86960
Suy ra: 22928 8696029, 28; 869,6
100 100
x x
Phương sai mẫu chưa hiệu chỉnh:
2
S 2x - 2( )x = 869,6 – 29,282 = 12,2816
Suy ra phương sai mẫu đã hiệu chỉnh là:
S =
1
n
n
.
2
S = 100
100 1
. 12, 2816 = 3,522
Với độ tin cậy 1 0,98 2 ( ) 0,98 ( ) 0, 49Z Z 2,33Z
Lại có: 00
. 29, 28 30 . 100
2,0443
3,522
x a n
Z
S
Z 0 = 2,0443 < Z = 2,33 nên chấp nhận giả thiết a = a0
d) Lập phương trình hồi quy tuyến tính mẫu của năng suất cây trồng theo lượng phân
bón. Dự đoán xem nếu lượng phân bón là 190 kg/ha thì năng suất khoảng bao nhiêu?
Ta lập bảng thống kê Y:
yj mj yjmj yj2mj
120 5 600 72000
140 26 3640 509600
160 37 5920 947200
180 26 4680 842400
200 6 1200 240000
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến
Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
n = 100 16040 2611200
Suy ra: 216040 2611200160,4; 26112
100 100
y y
Phương sai mẫu chưa hiệu chỉnh:
2
S 2y - 2( )y = 26112 – 160,42 = 383,84
Suy ra phương sai mẫu đã hiệu chỉnh là:
S =
1
n
n
.
2
S = 100
100 1
. 383,84 = 19,69
Lập bảng để tính xy
nij nij.xi.yj
5 5.22.120 = 13200
4 4.22.140 = 12320
7 7.26.140 = 25480
15 15.30.140 = 63000
10 10.26.160 = 41600
20 20.30.160 = 96000
7 7.34.160 = 38080
5 5.26.180 = 23400
12 12.30.180 = 64800
9 9.34.180 = 55080
6 6.34.200 = 40800
100 473760
Suy ra: xy = ij
1 . .i jn x yn =
1 .473760 4737,6
100
Theo câu trên ta có: 29, 28x và 160, 4y
Ta có:
2
. 4737,6 29, 28.160, 4 3,345
12, 2816
x
xy x ya
S
. 160, 4 3,345.29, 28 62, 4584b y a x
Vậy phương trình hồi quy tuyến tính mẫu của năng suất cây trồng theo lượng phân bón
là : 3,345 62, 4584y x
Nếu lượng phân bón là 190 kg/ha thì năng suất khoảng:
3,345.190 62, 4584 698y (kg/ha)
HẾT
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến
Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian tìm tòi tài liệu trong thư viện trường Đại học Công Nghiệp
Thành phố Hồ Chí Minh, phòng Đa phương tiện, các phương tiện thông tin đại chúng,
sự hướng dẫn của Thầy Trần Chiến_giảng viên bộ môn Xác suất thống kê chúng em
đã hoàn thành xong đề tài tiểu luận “Định lý giới hạn trung tâm – các xấp xỉ xác
suất và bài tập”. Thông qua bài tiểu luận này, chúng em đã phần nào hiểu thêm về
kiến thức của bộ môn Xác suất thống kê, hiểu hơn về ngôi trường mình đang học để
chúng em càng thêm yêu Đại Học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh, đặc biệt
thông qua quá trình làm bài tiểu luận đã giúp chúng em có những kỹ năng ban đầu
trong việc tìm tòi tài liệu, kỹ năng phân tích tài liệu, kỹ năng làm việc theo
nhóm,…đồng thời giúp các bạn trong nhóm gần gũi và hiểu nhau hơn, tạo động lực
giúp đỡ nhau trong quá trình học tập sau này. Một lần nữa, chúng em xin chân thành
cảm ơn:
Trường ĐH Công Nghiệp TP.HCM đã tạo môi trường thuận lợi cho việc học
tập và nghiên cứu làm tiểu luận.
Khoa: KHOA HỌC CƠ BẢN đã trang bị cho chúng em những kiến thức về bộ
môn Xác suất thống kê
Thày giáo Trần Chiến - giảng viên bộ môn Xác suất thống kê đã giúp đỡ và
hướng dẫn chúng em tận tình cách làm tiểu luận.
Thư viện trường đã cung cấp những tài liệu cần thiết, là nơi chúng em thảo luận
và học tập.
Thay mặt nhóm, Nhóm trưởng:
Bùi Văn Tiệp
Thành phố Hồ Chí Minh tháng 11/2009
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến
Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
TÀI LIỆU THẢM KHẢO
1. Giáo trình Xác suất – Thống kê và Ứng dụng – Nguyễn Phú Vinh – NXB
Thống Kê
2. Ngân hàng câu hỏi Xác suất – Thống kê và Ứng dụng – ĐHCN TP.HCM
3. Lý thuyết Xác suất và Thống kê – Đinh Văn Gắng – NXB Giáo dục
4. Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán – Nguyễn Thanh Sơn, Lê Khánh Luận –
NXB Thống Kê
5. Xác suất – Thống kê – Lý thuyết và các bài tập – Đậu Thế Cấp – NXB Giáo
dục
6. Xác suất – Thống kê và Ứng dụng – Lê Sĩ Đồng – NXB Giáo dục
7. Xác suất và Thống kê – Đặng Hấn – NXB Giáo dục
8. Giáo trình Xác suất và Thống kê – Phạm Xuân Kiều – NXB Giáo dục
9. Giáo trình Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán – Nguyễn Cao Văn – NXB
Kinh tế Quốc dân
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- tieu_luan_xac_suat_thong_ke_3292.pdf