Đề tài Một số mô hình dạng vi phân, Sai phân trong kinh tế

0(t) ≥ e −b ∫ t 0 |R1(τ )−R0(τ )|dτL0(0) ≥ e −bR(P )tL0(0), 1 − L0(t) ≥ e −b ∫ t 0 |R1(τ )−R0(τ )|dτ (1 − L0(0)) ≥ e −bR(P )t[1 − L0(0)]. Vậy, các bất đẳng thức ở (2.11) được thoả mãn với mọi t ∈ [ 0; τ(P ) ) . Ta sẽ chỉ ra rằng τ(P ) = ∞. Giả sử τ(P ) < ∞. Khi đó với t ∈ [ 0; τ(P ) ) , theo các bất đẳng thức (2.11), ba thành phần của nghiệm P (t) đều giới nội, liên tục và đơn điệu. Vậy phải có giới hạn của P (t) khi t → τ(P ). Ta ký hiệu giới hạn đó là P∞. Hiển nhiên P∞ ∈ ∂G(P ) (nếu ngược lại thì nghiệm vẫn còn có thể kéo dài, khi đó khoảng [ 0, τ(P ) ) chưa phải là cực đại). 29 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Các bất đẳng thức ở (2.11) cho thấy giới hạn P∞ của nghiệm P (t) không thể đạt trên các mặt toạ độ OR0L0, OR1L0 mà chỉ có thể là một trong các trường hợp sau (hình 2.5): i) P∞ ∈ {R1 = R(P ), 0 < R0 < R(P )} × (0, 1). ii) P∞ ∈ {R0 = R(P ), 0 < R1 < R(P )} × (0, 1). iii) P∞ ∈ { ( R(P );R(P ) ) } × (0, 1). Hình 2.5: Ta xét lần lượt từng trường hợp: i) Giả sử P∞ ∈ {R1 = R(P ), 0 < R0 < R(P )} × (0, 1). Khi đó ta có P (t) ∈ E(1)2 × (0, 1). Do đó trường véc tơ tại P∞ có dấu như sau: F (P ) = (∗;−; ∗) Đặt H0 = {R1 = R(P ), 0 < R0 < R(P )}, khi đó véc tơ pháp của mặt H0 tại P hướng vào trong miền G(P ) là nH0 = (0;−1; 0). Do đó nH0F (P ) > 0, điều này có nghĩa góc giữa nH0 và F (P ) là góc nhọn. Vậy, nghiệm P (t) nhận F (P ) làm tiếp tuyến phải có hướng về phía trong miền G(P ). 30 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng ii) Giả sử P∞ ∈ {R0 = R(P ), 0 < R1 < R(P )} × (0, 1). Lập luận tương tự trường hợp trên với F (P ) ∈ E(0)3 và mặt H1 = {R0 = R(P ), 0 < R1 < R(P )} ta có nghiệm P (t) hướng vào phía trong miền G(P ). iii) Giả sử P∞ ∈ {R1 = R0} × (0, 1). Dấu của trường véc tơ tại P∞ như sau: F (P ) = (−;−; ∗). Trường hợp này nghiệm P (t) cũng hướng vào phía trong miền G(P ). Tóm lại, tại P∞ cả ba thành phần toạ độ của P (t) đều hướng vào phía trong của miền G(P ). Điều này chứng tỏ [ 0; τ(P ) ) không phải là khoảng thời gian cực đại để nghiệm chưa ra khỏi G(P ), vậy τ(P ) = ∞. Gọi r∗; r∗ là các nghiệm dương của phương trình −µ0 + ν0R α0 = −µ1 + ν1R α1 . Trên hình (2.1) ta thấy r∗, r∗ là các số dương và có thứ tự r∗ < r0 < r1 < r ∗. Đặt ∆ = {(R0;R1) : r∗ < R0 < R1 < r ∗} (hình 2.6), G∆ := ∆ × (0, 1). Mệnh đề 2.2. Mỗi nghiệm P (t) của hệ (2.9), xuất phát từ điểm P (0) ∈ G∆ ∩G hội tụ tới điểm P khi t → ∞. Chứng minh. Ta kí hiệu điểm ban đầu P = ( R0(0);R1(0);L0(0) ) = P (0). Đầu tiên ta chứng minh mọi nghiệm xuất phát từ P ∈ ∂G∆ ∩ G đi vào G∆ khi t > 0. Rõ ràng G∆ gồm có ba miền Q1, Q2, Q3 (hình 2.7). Trong đó Q1 := {R0 = r∗; r∗ < R1 < r ∗} × (0, 1), Q2 := {R1 = r∗; r∗ < R0 < r ∗} × (0, 1), Q3 := {r∗ < R0 = R1 < r ∗} × (0, 1) và các đoạn thẳng:{(r∗; r∗)} × (0, 1), {(r∗; r∗)} × (0, 1), {(r∗; r∗)} × (0, 1). Lưu ý. Q1 ⊂ E(0)2 × (0, 1), Q2 ⊂ E (1) 2 × (0, 1). Khi đó có các khả năng: P ∈ Q1; P ∈ Q2; P ∈ {(r∗; r∗)} × (0, 1); P ∈ Q3; P ∈ {(r∗; r∗)} × (0, 1) và P ∈ {(r∗; r∗)} × (0, 1). 31 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Hình 2.6: Hình 2.7: 32 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Ta lần lượt xét các trường hợp trên. i) Khi P ∈ Q1. Do Q1 ⊂ E(0)2 × (0, 1) nên dấu F (P ) = (+; ∗; ∗). Véc tơ pháp của mặt Q1 tại P hướng vào phía trong miền G∆ là nQ1 = (1; 0; 0). Do đó nQ1F (P ) > 0. Vậy, nghiệm P (t) xuất phát từ điểm P ∈ Q1 đi vào miền G∆ và không ra khỏi miền này với mọi t > 0 đủ bé. ii) Khi P ∈ Q2, ta có kết quả tương tự: nghiệm P (t), xuất phát từ điểm P ∈ Q2 đi vào miền G∆ và không ra khỏi miền này với mọi t > 0 đủ bé. iii) Khi P ∈ {(r∗; r∗)} × (0, 1) ⊆ E (0) 2 × (0, 1) ∪E (1) 2 × (0, 1) ta có kết quả tương tự trên. Nghiệm P (t) xuất phát từ P ∈ {(r∗; r∗)} × (0, 1) đi vào miền G∆ với mọi t > 0 đủ bé. iv) Khi P ∈ Q3. Véc tơ pháp tại P của Q3, hướng vào phía trong miền G∆ có dấu nQ3 = (−1; 1; 0). Do P ∈ Q3 nên R0 = R1 ⇒ F (P ) = (−µ0R0 + ν0Rα00 ;−µ1R1 + ν1R α1 1 ; 0). Ta có nQ3 .F (P ) = −(−µ0R0 + ν0R α0 0 ) + (−µ1R1 + ν1R α1 1 ) > 0. (Do r∗ < R0 = R1 < r∗ nên tích này dương (hình 2.1). Vậy nghiệm P (t) xuất phát từ P đi vào G∆ với t > 0 đủ bé. v) Khi P ∈ {(r∗; r∗)} × (0, 1). Trong trường hợp này, trường véc tơ là khác với trường trên mặt phẳng Q3. Để viết gọn hơn các biểu thức tiếp theo ta ký hiệu ρ(t) = R1(t) −R0(t), fi(R) = −µiR + νiR αi (i = 0; 1), χ0(t) =   1 khi R0(t) > R1(t), 0 khi R0(t) ≤ R1(t), χ1(t) =   1 khi R1(t) > R0(t), 0 khi R1(t) ≤ R0(t). 33 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Từ (2.9), ta có dρ(t) dt = dR1(t) dt − dR0(t) dt = − µ1R1 + ν1R α1 1 + [ b(R0 − R1)+ − b|R1 − R0|L0 ]R1 L1 − { − µ0R0 + ν0R α0 0 + [b(R0 −R1)+ − b|R1 −R0|L0] R0 L0 } = [ f1(R1(t)) − f1(R0(t)) ] + [ f1(R0(t)) − f0(R0(t)) ] + { b(−ρ)+ − b|ρ| }L0R1 + R0L1 L1 . Theo Định lý giá trị trung bình, tồn tại θ, sao cho f1 ( R1(t)) − f1(R0(t) ) = ∫ R1(t) R0(t) f ′1(R)dR =f ′1 [ R0(t) + θ(R1(t) −R0(t)) ]( R1(t) − R0(t) ) =f ′1 [ R0(t) + θ ( R1(t) −R0(t) )] ρ(t). Ta thấy ( R0(t) − R1(t) ) + = ( − χ0(t) ) ρ(t), |R1(t) −R0(t)| = ( χ1(t) − χ0(t) ) ρ(t). Tóm lại, tồn tại một hàm số ζ(t), sao cho dρ(t) dt = [f1(R0(t)) − f0(R0(t))] + ζ(t)ρ(t). Giải phương trình vi phân tuyến tính này, ta có ρ(0) = R1(0) − R0(0) = r∗ − r∗ = 0. Khi đó ρ(t) = R1(t) − R0(t) = ∫ t 0 e ∫ t 0 ζ(τ )dτ [ f1 ( R0(s) ) − f0 ( R0(s) )] ds. Với t > 0 đủ bé ta có R0(s) > r∗, ∀s ∈ (0; t]. Do đó ta có (hình 2.1) f1 ( R0(s) ) − f0 ( R0(s) ) > 0, ∀ s ∈ (0; t]. Vậy R1(t) > R0(t). Từ R0(t) > r∗, R1(t) > R0(t), R0(0) = R1(0) = r∗, ta có ( R0(t);R1(t) ) ∈ ∆. Như vậy, nghiệm xuất phát từ P sẽ đi vào miền G∆ và không ra khỏi miền này với mọi t > 0 đủ bé. 34 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng vi) Khi P ∈ {(r∗; r∗)} × (0, 1). Trường hợp này được xét tương tự trường hợp trên (v). Ta biết rằng nếu P ∈ G∆ thì nghiệm P (t) không ra khỏi miền đó với mọi t ∈ (0;∞). Khi đó, theo Bổ đề 2.3 hàm L0(t) là hàm giảm, có giới hạn khi t → ∞. Hệ quả 2.1 cho thấy L0(t) → 0 và R1(t) → r1 khi t → ∞. Vấn đề còn lại ta cần chỉ ra R0(t) → r′0, trong đó r′0 là nghiệm dương duy nhất của phương trình −µ0R + ν0R α0 + b(r1 − R0)R = 0. (2.12) Ta thấy r′0 được xác định như giao của cung n0 và đường thẳng R1 = r1. Thật vậy. R0 = r ′ 0 ⇔   R1 = r1, R1 = R0 + 1 b (µ0 − ν0R −β0 0 ) ⇒r1 = R0 + 1 b (µ0 − ν0R −β0 0 ) ⇔br1R0 = bR 2 0 + µ0R0 − ν0R α0 0 ⇔− µ0R0 + ν0R α0 0 + bR0(r1 − R0) = 0. Vậy r′0 là nghiệm dương duy nhất của phương trình (2.12). Tiếp theo ta cần chỉ ra R0(t) → r′0 khi t → ∞ (L0(t) → 0;R1(t) → r1). Xét lân cận U của điểm (r′0; r1) ∈ ∆. U := { (R0;R1) : |R0 − r ′ 0| < 0, |R1 − r1| < 1 } . Lấy 1 đủ bé sao cho tập V V := { (R0;R1) : |R0 − r ′ 0| ≥ 0, |R1 − r1| < 1 } không giao với cung n0 (điều này có thể làm được vì r′0 < r1 (hình 2.8). Như vậy ( R0(t);R1(t) ) ∈ U hay |R0(t) − r′0| < 0. Do 0 > 0 bé tuỳ ý nên R0(t) → r ′ 0 Mệnh đề 2.3. Mọi nghiệm P (t) của hệ (2.9), xuất phát từ điểm P ∈ G0∩G đều chạy vào G1 sau một khoảng thời gian hữu hạn. 35 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Hình 2.8: Chứng minh. Ta xét P = ( R0(0);R1(0);L0(0) ) = P (0) ∈ ∂G0 ∩G. Đặt Q3 = {r∗ < R0 = R1 < r ∗} × (0, 1), Q4 = {0 < R0 = R1 < r∗} × (0, 1), Q5 = {r ∗ < R0 = R1 < ∞}× (0, 1). Ta lần lượt xét các trường hợp: i) Khi P ∈ Q3, trường hợp này đã được xét ở trên (mệnh đề 2.2). ii) Khi P ∈ Q4. Véc tơ pháp của mặt Q4 tại P hướng vào trong miền G0 là nQ4 = (1;−1; 0). Do R0 = R1 nên ta có F (P )+ = (−µ0R0 + ν0R α0 0 ;−µ1R1 + ν1R α1 1 ; 0) ⇒ nQ4F (P ) = −µ0R0 + ν0R α0 0 − [−µ1R1 + ν1R α1 1 ] > 0 Nghiệm P (t) xuất phát từ P ∈ Q4 đi vào G0 với mọi t > 0 đủ bé (hình 2.1). iii) Khi P ∈ Q5, trường hợp này được xét tương tự trên (trường hợp (ii)). Tiếp theo ta sẽ chỉ ra rằng nghiệm P (t), xuất phát từ P ∈ G0 sẽ ra khỏi G0 đi vào G1 sau một khoảng thời gian hữu hạn. Thật vậy, giả sử có nghiệm P (t) xuất phát từ P ∈ G0 và nằm lại trong đó với mọi t ∈ (0;∞). Nếu vậy, theo bổ đề (2.3) hàm L0(t) là hàm tăng và có giới hạn khi t → ∞. Theo hệ quả (2.1), ta có L0(t) ↑ 1; R0(t) → r0. 36 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Do r0 0 đủ lớn, ta có P (t) ∈ E (1) 3 × (0, 1). Vậy R1(t) là hàm tăng và bị chặn, do đó có giới hạn. Giả sử R1(t) → rˆ1 khi t → ∞ Do ( R0(t);R1(t) ) ∈ E (1) 3 nên R1(t) < R0(t) và giới hạn của chúng thoả mãn rˆ1 ≤ r0. Mặt khác, khi t → ∞ ta có R0(t) → r0, R1(t) → rˆ1, L0(t) → 1 ⇒ dR1(t) dt → −µ1rˆ1 + ν1rˆ α1 1 + b(r0 − rˆ1)rˆ1 > 0. (2.13) Thật vậy, do R1 < R0 nên dR1(t) dt = −µ1R1 + ν1R α1 1 + { b(R0 − R1)+ − b|R1 − R0|L0 }R1 L1 = −µ1R1 + ν1R α1 1 + { b(R0 − R1) − b(R0 −R1)L0 }R1 L1 = −µ1R1 + ν1R α1 1 + b(R0 − R1)(1 − L0) R1 L1 = −µ1R1 + ν1R α1 1 + b(R0 − R1)R1 ⇒ dR1(t) dt → −µ1rˆ1 + ν1rˆ α1 1 + b(r0 − rˆ1)rˆ1 := M ( khi t → ∞). Nếu rˆ1 0. Nếu rˆ1 = r0 thì M > 0 ⇔ −µ1r0 + ν1rα10 > 0 ⇔ r0 < ( ν1 µ1 )1/β1 = r1 (đúng) . Tóm lại, với t > 0 đủ lớn, chẳng hạn t ≥ T ta luôn có dR1(t) dt → M > 0 ⇒ R1(t) ≥ R1(T ) + ∫ ∞ T (M − )dt = ∞, trong đó  là một số dương đủ bé, sao cho M −  > 0. Điều này mâu thuẫn với R1(t) → rˆ1 ≤ r0. Mâu thuẫn này là do giả thiết nghiệm P (t) không ra khỏi miền G0 khi t → ∞. Vậy P (t) phải ra khỏi miền G0 sau một khoảng thời gian hữu hạn nào đó, chẳng hạn ( 0; τ(P ) ) . Mặt khác, các bất đẳng thức ở (2.11) cho thấy P (t) không thể ra khỏi G0 qua mặt phẳng toạ độ R1 = 0, vậy nó chỉ có thể đi vào miền G1. Mệnh đề 2.4. Nghiệm P (t) xuất phát từ P (0) ∈ G1 \ G∆ quay về G0 hoặc G∆ sau một khoảng thời gian hữu hạn. 37 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Chứng minh. Theo chứng minh mệnh đề (2.2) và (2.3), nếu P = P (0) ∈ ∂(G1 \ G∆) thì nghiệm P (t) xuất phát từ P đi vào G0 hoặc G∆ sau một khoảng thời gian hữu hạn. Do vậy, ta chỉ cần chứng minh không có nghiệm P (t) nào xuất phát từ P ∈ G1 \G∆ lưu lại trong miền P ∈ G1 \G∆ với mọi t ∈ (0,∞). Giả sử có nghiệm P (t) như thế. Khi đó, theo bổ đề (2.3) và hệ quả (2.1), ta có L0(t) ↓ 0; R1(t) → r1 khi t → ∞. Do P (t) ∈ G1 \ G∆ với mọi t > 0 nên khi t đủ lớn ta có P (t) ∈ E(0)2 × (0, 1) hay( R0(t);R1(t) ) ∈ E (0) 2 , R0(t) có giới hạn khi t → ∞. Gọi giới hạn đó là rˆ0: R0(t) → rˆ0 khi t → ∞. Vì (rˆ0; r1) 6∈ ∆ nên rˆ0 < r∗. Mặt khác, khi P (t) → (rˆ0; r1; 0), ta có dR0(t) dt → −µ0rˆ0 + ν0rˆ α0 0 + b(r1 − rˆ0)rˆ0 > 0. Tương tự như mệnh đề (2.3), ta có dR0(t) dt dần tới một số dương khi t → ∞, hàm R0(t) không thể giới nội ở vô cùng. Điều này trái với R0(t) → rˆ0 ≤ r∗, do đó điều giả sử trên là sai. Mệnh đề 2.5. Với mỗi P = P (0) ∈ (G0 ∩ G) ∪ (G1 \ G∆) tồn tại T0 > 0 đủ lớn sao cho mỗi nghiệm P (t) xuất phát từ P (0) ∈ G0 ∩G hoặc từ P (0) ∈ G1 \G∆ đều đi vào miền G∆ sau một khoảng thời gian hữu hạn không nhỏ hơn T0. Chứng minh. Theo mệnh đề (2.4), mọi nghiệm xuất phát từ P (0) ∈ G1 \G∆ đều đi vào G∆ hoặc vào G0 sau một khoảng thời gian hữu hạn. Nếu nghiệm đi vào G∆ thì ta đã có điều cần chứng minh. Nếu nghiệm đi vào G0 thì theo mệnh đề (2.3) nó sẽ quay lại miền G1 sau một khoảng thời gian hữu hạn. Nếu sau n lần quay đi quay lại giữa G0 và G1 \ G∆ mà nghiệm vẫn không rơi vào miền G∆ thì ta có thể tìm được n đủ lớn sao cho kể từ vòng thứ n + 1 trở đi nghiệm chỉ chạy qua biên giới của G0, G1 trong hành lang rˆ0 −  < R0 < rˆ0 + , trong đó  = 1 2 (rˆ0 − r∗) . Trong trường hợp này dễ thấy chỉ có thể nghiệm từ G0 sang G1 qua mặt Q3, nghĩa là nó đi vào miền G∆. Đây là điều cần chứng minh. Bây giờ trở lại chứng minh định lý (2.2). - Theo mệnh đề (2.3), mọi nghiệm xuất phát từ P ∈ G0 ∩ G sẽ đi vào miền G1 sau một khoảng thời gian hữu hạn nào đó. 38 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng - Theo mệnh đề (2.4), mọi nghiệm xuất phát từ P ∈ G1 \ G∆ sẽ đi vào miền G0 sau một khoảng thời gian hữu hạn nào đó. - Theo mệnh đề (2.5), khi t > 0 đủ lớn mọi nghiệm từ P ∈ G0 ∩ G sẽ đi vào miền G1 qua mặt Q3 hay nghiệm đi vào miền G∆. Như vậy, với mọi vị trí ban đầu P (0), nghiệm P (t) sẽ có lúc rơi vào miền G∆. Theo mệnh đề (2.2), nghiệm hút về điểm giới hạn trên biên là P (r′0; r1; 0). Định lý được chứng minh. 2.3 Mô hình có hệ số khuếch tán lao động dương 2.3.1 Sự tồn tại và ổn định điểm cân bằng dương Ta xét hệ (2.3) với a > 0. Định lí 2.3. Khi a > 0 thì điểm Pˆ = (r0; r1; l0), trong đó r0 = ( ν0 µ0 ) 1 β0 , r1 = ( ν1 µ1 ) 1 β1 , l0 = a 2a + b(r1 − r0) là điểm cân bằng duy nhất của hệ (2.3) trong miền G. Điểm cân bằng này là ổn định tiệm cận. Chứng minh. Nếu (R0;R1;L0) là điểm cân bằng của hệ thì  −µ0R0 + ν0R α0 0 − [ a + b(R0 −R1)+ − (2a + b|R1 − R0|)L0 ]R0 L0 = 0, −µ1R1 + ν1R α1 1 + [ a + b(R0 − R1)+ − (2a + b|R1 − R0|)L0 ] R1 1 − L0 = 0, a + b(R0 − R1)+ − (2a + b|R1 − R0|)L0 = 0 ⇔   −µ0R0 + ν0R α0 0 = 0, −µ1R1 + ν1R α1 1 = 0, L0 = a + b(R0 − R1)+ 2a + b|R1 −R0| ⇔   R0 = ( ν0 µ0 ) 1 β0 = r0, R1 = ( ν1 µ1 ) 1 β1 = r1, L0 = a 2a + b(r1 − r0) = l0 (Do R0 = r0 < r1 = R1) Vậy Pˆ = (( ν0 µ0 ) 1 β0 ; ( ν1 µ1 ) 1 β1 ; a 2a + b(r1 − r0) ) 39 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng là điểm cân bằng duy nhất trong G của hệ (2.3). Ma trận Jacobian của hệ (2.3) tại điểm cân bằng là A =   −al−10 bl0 −bl0 ar0l −2 0 −br0 − µ0ν0 br0 −ar1l −1 0 (1 − l0) −1 br1l0(1 − l0) −1 −br1l0(1 − l0) −1 − µ1ν1   . Phương trình đặc trưng của ma trận này là φA(λ) =λ 3 + [al−10 + b(r0 + r1l0(1 − l0) −1) + µ0ν0 + µ1ν1]λ 2 + [al−10 (µ0ν0 + µ1ν1) + b(r0µ1ν1 + r1µ0ν0l0(1 − l0) −1) + µ0ν0µ1ν1]λ + al−10 µ0ν0µ1ν1 = 0. Ma trận Hurwitz H có đa thức đặc trưng φA(t) = λ3 + c1λ2 + c2λ + c3 H =   c1 1 0 c3 c2 c1 0 0 c3   . Mọi nghiệm của phương trình đặc trưng có phần thực âm nếu các định thức con chính của ma trận Hurwitz đều dương, hay khi c1 > 0, c1c3 − c2 > 0, c3 > 0. Ta kiểm tra các bất đẳng thức này. Ta có c1 = 2a + b(r1 − r0) + b(r0 + ar1 a + b(r1 − r0) ) + µ0β0 + µ1β1 > 0. Hai bất đẳng thức còn lại kiểm tra một cách tương tự. Theo Định lý Hurwitz ta có điểm cân bằng Pˆ là ổn định tiệm cận. 2.3.2 Tính hút toàn cục của điểm cân bằng dương Định lí 2.4. Khi a > 0 điểm cân bằng Pˆ là ổn định toàn cục trong G nghĩa là mỗi nghiệm P (t) của hệ (2.3) với điểm xuất phát P (0) ∈ G đều hút về điểm Pˆ khi t → +∞. Chứng minh. Để chứng minh định lý này ta chia miền G G := {(R0;R1;L0) : 0 < R0, R1 < ∞; 0 < L0 < 1} ⊆ (R+) 3 thành một số miền con không giao nhau bởi một số mặt cong và mặt phẳng sẽ trình bày dưới đây và xét bài toán tuỳ theo các trường hợp điểm xuất phát của 40 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng nghiệm thuộc tập con, biên của tập con nào đó của G. Đầu tiên ta chia miền G bởi mặt cong thứ nhất được xác định bởi phương trình L0 = Φ0(R0;R1) = a + b(R0 − R1)+ 2a + b|R1 − R0| − µ0 + ν0R −β0 0 . Ta thấy: - Khi µ0 ≤ a < ∞ thì 0 < Φ0(R0;R1) < 1, ∀ 0 < R0, R1 < ∞. Trong trường hợp này mặt cong trên căng trên toàn bộ miền D = {(R0;R1) : 0 < R0, R1 < ∞}. - Khi 0 < a < µ0, thì 0 < Φ0(R0;R1) < 1 ⇔ (R0;R1) ∈ D(0)1 , trong đó D (0) 1 = { 0 < R0 < ( ν0 µ0 − a ) 1 β0 ; 0 < R1 < ∞ } ∪ { ( ν0 µ0 − a ) 1 β0 ≤ R0 < ∞;− ν0 b R−β00 + R0 + µ0 − a b < R1 < ∞ } . Do đó mặt cong chỉ căng trên tập này. Ta gọi mặt cong này là S0. Mặt S0 là trơn trừ đường cong được xác định bởi giao tuyến của nó với mặt phẳng R0 = R1. Véc tơ pháp của mặt S0 dọc theo giao tuyến này là xác định duy nhất và có thành phần thứ hai là Φ0,R1(R0;R1) =   −ab (2a + b|R1 − R0| − µ0 + ν0R −β0 0 ) 2 khi R1 > R0, −(a− µ0 + ν0R −β0 0 )b (2a + b|R1 − R0| − µ0 + ν0R −β0 0 ) 2 khi R1 < R0. (2.14) Mặt cong S0 chia miền G thành hai miền con, miền trên và miền dưới S0. Bổ đề 2.4. Thành phần thứ nhất của trường véc tơ F (P ) của hệ (2.3) triệt tiêu trên mặt S0. Mặt S0 chia miền G thành hai phần: phía trên mặt S0 có dR0 dt > 0 và phía dưới mặt này có dR0 dt < 0. Chứng minh. Ta có dR0 dt = −µ0R0 + ν0R α0 0 − [a + b(R0 − R1)+ − (2a + b|R1 −R0|)L0] R0 L0 = 0 ⇔(−µ0 + ν0R α0−1 0 + 2a + b|R1 − R0|)L0 = a + b(R0 −R1)+ ⇔L0 = a + b(R0 − R1)+ 2a + b|R1 − R0| − µ0 + ν0R −β0 0 = Φ0(R0;R1). Vậy dR0 dt = 0 trên mặt S0. 41 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Để xét dấu của dR0 dt ta chia ra các trường hợp sau: Trường hợp 1. Khi 0 < a < µ0 2 . Đặt D (0) 2 = {(R0;R1) : 2a + b|R1 − R0| − µ0 + ν0R −β0 0 ≤ 0}. Do 0 < a < µ0 2 ⇒ 2a − µ0 < 0 cho nên khi R0 = R1 thì tập D(0)2 6= ∅. Ta thấy D (0) 2 ⊆ D \ D (0) 1 (vì trên D (0) 1 có 0 < Φ0 < 1). Nói cách khác mặt S0 không xác định trên tập D(0)2 . Vậy ta có D = D (0) 1 ∪ (D \D (0) 1 \D (0) 2 ) ∪D (0) 2 . Trên miền D(0)1 có 2a+ b|R1−R0| −µ0 + ν0R −β0 0 > 0, do đó dấu của dR0 dt trùng với dấu của L0 − Φ0. L0 − Φ0 = L0 − a + 2b(R0 − R1)+ 2a + b|R1 − R0| − µ0 + ν0R −β0 0 nên dấu đó là dương hay âm tuỳ theo vị trí tương đối của điểm được xét là trên hay dưới mặt cong S0. Nếu điểm (R0;R1;L0) nằm phía trên mặt S0 thì dR0 dt > 0, nếu điểm (R0;R1;L0) nằm phía dưới mặt S0 thì dR0 dt < 0. Trên miền D \D(0)1 \D (0) 2 dấu của hai biểu thức nói trên cũng vẫn trùng nhau. Mặt khác a + 2b(R0 −R1)+ 2a + b|R1 − R0| − µ0 + ν0R −β0 0 ≥ 1 nên dR0 dt < 0. Trên D(0)2 , dễ thấy dR0 dt mang dấu âm. Vậy, bổ đề được chứng minh cho trường hợp 0 < a < µ0 2 Trường hợp 2. Khi µ0/2 ≤ a < µ0, ta có 2a + b|R1 − R0| − µ0 + ν0R −β0 0 > 0 ⇒ D (0) 2 = ∅. Dấu của dR0 dt được chứng minh tương tự như trường hợp 1. Trường hợp 3. Khi 0 < a ≤ µ0 ta có D \D(0)1 = ∅. Dấu của dR0 dt cũng được chứng minh tương tự như trường hợp 1. Chia miền G bằng mặt cong thứ hai được xác định bởi phương trình L0 = Φ1(R0;R1) = a + b(R0 − R1)+ − µ1 + ν1R −β1 1 2a + b|R1 − R0| − µ1 + ν1R −β1 1 . 42 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Đây là mặt cong mà dọc theo nó trường véc tơ F (P ) có thành phần thứ hai triệt tiêu F (P ) = (dR0 dt ; 0; dL0 dt ) . Thật vậy. dR1 dt = −µ1R1 + ν1R α1 1 + [ a + b(R0 − R1)+ − (2a + b|R1 − R0|)L0 ] R1 1 − L0 = 0 ⇔ (1 − L0)(−µ1 + ν1R −β1 1 ) + a + b(R0 − R1)+ − (2a + b|R1 − R0|)L0 = 0 ⇔ L0(2a + b|R1 − R0| − µ1 + ν1R −β1 1 ) = a + b(R0 − R1)+ − µ1 + ν1R −β1 1 ⇔ L0 = a + b(R0 − R1)+ − µ1 + ν1R −β1 1 (2a + b|R1 −R0| − µ1 + ν1R −β1 1 ) = Φ1(R0;R1). Xét tương tự như với trường hợp trên, ta thấy - Khi µ1 ≤ a < ∞ ta có Φ1(R0;R1) = a + b(R0 − R1)+ − µ1 + ν1R −β1 1 a + a + b(R0 −R1)+ − µ1 + ν1R −β1 1 ∈ (0, 1) ∀ 0 < R0, R1 < ∞ (vì a + b(R0 − R1)+ − µ1 + ν1R−β11 > 0). Mặt cong căng trên toàn bộ miền D = (R+)2. - Khi 0 < a < µ1 thì 0 < Φ1(R0;R1) < 1 ⇔ a + b(R0 − R1)+ − µ1 + ν1R −β1 1 > 0 ⇔ (R0;R1) ∈ D (1) 1 = { 0 < R0 < ∞; 0 < R1 < ( ν1 µ1 − a ) 1 β1 } ∪ { − ν1 b R−β11 + R1 + µ1 − a b < R0 < ∞; ( ν1 µ1 − a ) 1 β1 ≤ R1 < ∞ } . Mặt cong này (ký hiệu là S1) chỉ căng trên miền con D(1)1 của miền D. Các véc tơ pháp của mặt S1 xác định duy nhất trừ đường cong dọc theo giao tuyến S1 ∩ {(R0;R1) : R0 = R1}. Ta có Φ1,R0(R0;R1) =   (a− µ1 + ν1R −β1 1 )b (2a + b|R1 −R0| − µ1 + ν1R −β1 1 ) 2 khi R1 > R0, ab (2a + b|R1 −R0| − µ1 + ν1R −β1 1 ) 2 khi R1 < R0. (2.15) Bổ đề 2.5. Thành phần thứ hai của trường véc tơ F (P ) triệt tiêu trên mặt S1. Phía trên mặt cong S1 của miền G thành phần này mang dấu dương, phía dưới mang dấu âm. 43 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Chứng minh. Ta có dR1 dt = 0 (được chứng minh trong phần giới thiệu mặt S1). Xét dấu của dR1 dt như sau. Ta viết lại phương trình (2.3.b) của hệ (2.3) 1 − L0 R1 dR1 dt =[a + b(R0 − R1)+ − µ1 + ν1R −β1 1 ] − [2a + b|R1 −R0| − µ1 + ν1R −β1 1 ]L0 =Φ1(R0;R1) − L0. Trường hợp 1. Khi 0 < a < µ1 2 , xét miền D (1) 2 = {(R0;R1) ∈ D : (2a + b|R1 −R0| − µ1 + ν1R −β1 1 ) 2 ≤ 0}. Ta thấy D(1)2 6= ∅ do R1 = R0 và D (1) 2 ⊂ D \D (1) 1 , nên D = D (1) 1 ∪ (D \D (1) 1 \D (1) 2 ) ∪D (1) 2 . Trên miền D(1)1 , do 2a + b|R1 − R0| − µ1 + ν1R −β1 1 > 0 nên dR1 dt cùng dấu với Φ1(R0;R1) − L0. Do đó: - Nếu (R0;R1;L0) nằm phía trên mặt S1 thì dR1 dt < 0 - Nếu (R0;R1;L0) nằm phía dưới mặt S1 thì dR1 dt > 0 Trên D \D(1)1 \D (1) 2 dấu của hai biểu thức trên trùng nhau, ta có  Φ1(R0;R1) ≥ 1, 2a + b|R1 − R0| − µ1 + ν1R −β1 1 > 0 ⇒ dR1 dt > 0. Trên D(1)2 rõ ràng dR1 dt > 0 Trường hợp 2. Khi µ1 2 ≤ a < µ1 có D(1)2 = ∅. Trường hợp 3. Khi µ1 ≤ a < ∞ có D \D(1)1 = ∅. Trường hợp 2 và 3, dấu của dR1 dt được xét tương tự như trường hợp 1. Bổ đề (2.5) được chứng minh. Chia tập G bởi mặt cong thứ ba được xác định bởi phương trình L0 = Ψ(R0;R1) = a + b(R0 −R1)+ 2a + b|R1 − R0| . Dọc theo mặt này, thành phần thứ ba của trường véc tơ F (P ) triệt tiêu, thật vậy. dL0 dt = a + b(R0 − R1)+ − (2a + b|R1 − R0|)L0 = 0 44 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng ⇔ L0 = a + b(R0 − R1)+ 2a + b|R1 −R0| = Ψ(R0;R1). Ta gọi mặt cong này là T , với mọi (R0;R1) ∈ D ta có 0 < Ψ(R0;R1) < 1 và mặt T chia miền G thành hai nửa trên và dưới. Mặt T là trơn vì hàm f(x) = a + b(x)+ 2a + b|x| là hàm C1(−∞,+∞). Véc tơ pháp của hàm T là ( ab (2a + b|R1 −R0|)2 ; −ab (2a + b|R1 − R0|)2 ;−1 ) . (2.16) Nhận xét. Trong miền G, trên mặt phẳng R0 = r0, hai mặt T và S0 cắt nhau, thật vậy. Với R0 = r0, ta có Φ(r0;R1) = a + b(r0 − R1)+ 2a + b|R1 − r0| − µ0 + ν0r −β0 0 = a + b(r0 − R1)+ 2a + b|R1 − r0| = Ψ(r0;R1) (do −µ0 + ν0r−β00 = 0). Gọi giao tuyến của mặt S0 và T trong miền D là m0. Tương tự, trên mặt trụ R1 = r1 hai mặt T và S1 cắt nhau. Gọi giao tuyến của hai mặt này trong miền D là m1. Bổ đề 2.6. Thành phần thứ ba của trường véc tơ F (P ) triệt tiêu trên mặt T . Phía trên mặt T có dL0(t) dt < 0 và phía dưới mặt T có dL0(t) dt > 0. Chứng minh. Ta có dL0 dt = 0 được chứng minh trong phần giới thiệu mặt T . dL0 dt > 0 ⇔ L0 < a + b(R0 −R1)+ 2a + b|R1 − R0| = Ψ(R0;R1). Khi đó (R0;R1;L0) nằm phía dưới mặt T . dL0 dt a + b(R0 − R1)+ 2a + b|R1 −R0| = Ψ(R0;R1) Khi đó (R0;R1;L0) nằm phía trên mặt T . Ta chia miền D thành các miền con (hình 2.9) Da = {(R0;R1) : 0 < R0 < r0; r1 < R1 < ∞}, Db = {(R0;R1) : r0 < R0 < ∞; r1 < R1 < ∞}, Dc = {(R0;R1) : 0 < R0 < r0; 0 < R1 < r1}, Dd = {(R0;R1) : r0 < R0 < ∞; r1 < R1 < ∞}. 45 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Miền G được chia thành các miền con Ga, Gb, Gc, Gd chúng được định nghĩa tích Decart của Da, Db, Dc, Dd với (0, 1). Nhận xét. Trên miền Ga các mặt S0;S1 nằm phía dưới mặt T . Trên miền Gb các mặt S0 nằm phía trên mặt T , S1 nằm dưới mặt T . Trên miền Gc các mặt S0 nằm phía dưới mặt T , S1 ở phía trên T . Trên miền Gd các mặt S0;S1 nằm phía trên mặt T . Thật vậy, trên Da ta có 0 < R0 < r0 ⇔ 0 < R0 < ( ν0 µ0 ) 1 β0 ⇔ −µ0 + ν0R −β0 0 > 0 ⇒ a + b(R0 − R1)+ 2a + b|R1 − R0| − µ0 + ν0R −β0 0 < a + b(R0 − R1)+ 2a + b|R1 − R0| ⇔ Φ0(R0;R1) < Ψ(R0;R1). Vậy mặt S0 nằm phía dưới mặt T . Các trường hợp khác được chứng minh tương tự. Hình 2.9: 46 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Các mặt S0, S1, T chia miền Ga, Gb, Gc, Gd thành các miền nhỏ hơn Ga(0, T ) = {(R0;R1;L0) ∈ Ga : 0 < L0 < Ψ(R0;R1)}, Ga(T, 1) = {(R0;R1;L0) ∈ Ga : Ψ(R0;R1) < L0 < 1}, Gb(0, S1) = {(R0;R1;L0) ∈ Gb : 0 < L0 < Φ1(R0;R1)}, Gb(S1, S0) = {(R0;R1;L0) ∈ Gb : Φ1 < L0 < Φ0}, Gb(S0, 1) = {(R0;R1;L0) ∈ Gb : Φ0 < L0 < 1}, Gc(0, S0) = {(R0;R1;L0) ∈ Gc : 0 < L0 < Φ0}, Gc(S1, 1) = {(R0;R1;L0) ∈ Gc : Φ1 < L0 < 1}, Gd(T, 1) = {(R0;R1;L0) ∈ Gd : Ψ(R0;R1) < L0 < 1}. Mệnh đề 2.6. Nghiệm P (t) xuất phát từ P (0) ∈ Ga(0, T )∩G hội tụ tới điểm cân bằng Pˆ khi t → ∞. Chứng minh. Đặt P (0) = ( R0(0);R1(0);L0(0) ) = P . Đầu tiên ta chỉ ra rằng với P ∈ ∂Ga(0, T )∩G \ {Pˆ} luôn tồn tại nghiệm P (t) của hệ (2.3) xuất phát từ P nằm trong tập mở Ga(0, T ) với mọi t > 0 đủ bé (hình 2.10). Thật vậy. - Khi P ∈ T ∩ Ga. Gọi nT là véc tơ pháp của mặt T hướng vào trong tập Ga(0, T ). Theo (2.16), ta có nT = ( ab (2a + b|R1 − R0|)2 ;− ab (2a + b|R1 − R0|)2 ;−1 ) . Dấu của nT = (+;−;−). Do P ∈ T và P ∈ Ga nên P nằm phía trên của mặt S0 và S1 (hình 2.10). Theo bổ đề (2.4) và (2.5) ta có trường véc tơ trong một miền con đủ bé của Ga, có dấu F (P ) = (+;−; 0). Do đó nT .F (P ) > 0. Điều này cho thấy góc giữa F (P ) và nT là góc nhọn. Vậy nghiệm P (t) xuất phát từ P nhận F (P ) làm tiếp tuyến phải đi từ biên vào miền trong của tập Ga(0, T ), do Ga(0, T ) 6= ∅ nên tồn tại t > 0 đủ bé để nghiệm P (t) nằm trong tập Ga(0, T ) (t ∈ (0, t(P )), trong đó t(P ) là thời điểm cuối cùng nghiệm xuất phát từ P ra khỏi Ga(0, T )). 47 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Hình 2.10: Gọi Q0, Q1 là các mặt phẳng: Q0 = {R0 = r0; 0 < R1 < ∞; 0 < L0 < 1}, Q1 = {R1 = r1; 0 < R0 < ∞; 0 < L0 < 1}. - Khi P ∈ Q0 nhưng không nằm trên giao tuyến m0 và cũng không nằm trên đoạn thẳng nối hai điểm Pˆ và (r0; r1; 0), nghĩa là P ∈ Q0 ∩ ∂Ga(0, T ) \m0 \ [ (r0; r1; 0), Pˆ ] . Véc tơ pháp của mặt Q0 tại điểm P hướng vào phía trong tập Ga(0, T ) là nQ0 = (−1; 0; 0). Do P nằm phía dưới mặt S0 nên thành phần thứ nhất của trường F (P ) mang dấu âm F (P ) = (−; ∗; ∗). 48 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Vậy nQ0 .F (P ) > 0. Lập luận tương tự như phần trên ta có nghiệm P (t) xuất phát từ P đi vào miền trong tập Ga(0, T ) với t > 0 đủ bé. - Khi P ∈ Q1 ∩ ∂Ga(0, T ) \m1 \ [(r0; r1; 0), Pˆ ], xét hoàn toàn tương tự trên ta có nghiệm P (t) xuất phát từ P đi vào miền trong tập Ga(0, T ) với t > 0 đủ bé. - Khi P ∈ [ (r0; r1; 0), Pˆ ] \ { (r0; r1; 0), Pˆ } , xét tương tự như trên ta có nghiệm P (t) xuất phát từ P đi vào miền trong tập Ga(0, T ) với t > 0 đủ bé. - Khi P ∈ m0 ∩ ∂Ga(0, T ) \ {Pˆ} ta có P ∈ S0 và P ∈ T : Trường hợp 1. P ∈ T véc tơ pháp của mặt T tại P hướng xuống phía dưới là nT = (+;−;−). Do P ∈ S0 và P ∈ T nên dR0 dt = dL0 dt = 0, và mặt S1 nằm phía dưới mặt T nên dR1 dt < 0. Ta có dấu của trường véc tơ F (P ) = (0;−; 0) ⇒ nTF (P ) > 0 Vậy nghiệm P (t) xuất phát từ điểm P nằm phía dưới mặt T khi t > 0 đủ bé Trường hợp 2. P ∈ S0, trong miền Ga ta có R1 > R0 > 0 nên véc tơ pháp của mặt S0 tại P hướng xuống phía dưới là nS0 = ( ∗; −ab (2a + b|R1 −R0| − µ0 + ν0R −β0 0 ) 2 ;−1 ) = (∗;−;−) ⇒ nS0F (P ) > 0. Điều này chứng tỏ tồn tại t0 > 0 đủ bé sao cho với t ∈ (0, t0) thì nghiệm P (t) xuất phát từ P nằm phía dưới mặt S0. Khi đó dR0 dt < 0 với 0 < t < t0 ⇒ R0(t) < R0(0) = R0 < r0 (do ta xét trong miền Da). Vậy nghiệm P (t) nằm ở phần trong tập Ga(0, T ) với t > 0 đủ bé. - Khi P ∈ m1 ∩ ∂Ga(0, T ) \ {Pˆ}, trường hợp này được chứng minh tương tự với trường hợp P ∈ m0 ∩ ∂Ga(0, T ) \ {Pˆ}. Qua các trường hợp trên ta thấy nếu P ∈ Ga(0, T )∩T \ {Pˆ} (tức là điểm khởi tạo xuất phát trên biên, nhưng khác với điểm cân bằng) thì nghiệm P (t) sẽ nằm ở phần trong của tập Ga(0, T ) với t > 0 đủ bé. Vậy, ta chỉ cần xét bài toán cho trường hợp P ∈ Ga(0, T ) (tập này mở) là đủ (vì có thể lấy điểm khởi tạo là một điểm bất kỳ P = P (t∗) với t∗ ∈ (0, t0)). 49 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Với mỗi điểm P ∈ Ga(0, T ), giả sử [0, τ(P )) là khoảng thời gian cực đại, sao cho nghiệm P (t) xuất phát từ P vẫn chưa ra khỏi tập Ga(0, T ). Theo bổ đề 2.6, trong khoảng thời gian này nghiệm luôn nằm phía dưới mặt T và dL0(t) dt > 0 nên ta có L0 < L0(t) < l0, ∀t ∈ (0; τ(P )). Ta có, với (R0;R1) ∈ Da ⇒ Ψ(R0;R1) < l0, thật vậy. (R0;R1) ∈ Da ⇒ R0 (r1 − r0) và (R0 −R1)+ = 0. Mà Ψ(R0;R1) = a + b(R0 − R1)+ 2a + b|R1 −R0| = a 2a + b(R1 − R0) < a 2a + b(r1 − r0) = l0 ⇒ Ψ(R0;R1) < l0. Mặt khác ta có biểu diễn R0(t) = e−µ0(t) L0(t) {[ L0(0)R0(0) ]β0 + β0ν0 ∫ t 0 [ eµ0sL0(s0) ]β0 ds } 1 β0 . Do L0 0 sao cho c < R0(t) < C. Thật vậy, do L0 < L0(t) < l(0) ∀t ∈ (0, τ(P )) nên e−µ0(t) l0 {[ l0(0)R0(0) ]β0 + β0ν0 ∫ t 0 [eµ0sL0] β0ds } 1 β0 < R0(t) < e−µ0(t) L0 {[ l0(0)R0(0) ]β0 + β0ν0 ∫ t 0 [eµ0sl0] β0ds } 1 β0 ⇒ e−µ0(t) l0 {[ l0(0)R0(0) ]β0 + β0ν0 L β0 0 µ0β0 [eµ0β0t − 1] } 1 β0 < R0(t) < e−µ0(t) L0 {[ l0(0)R0(0) ]β0 + β0ν0l β0 0 µ0β0 [eµ0β0t − 1] } 1 β0 ⇒ sup 0<t<τ (P ) e−µ0(t) l0 {[ l0(0)R0(0) ]β0 + β0ν0 L β0 0 µ0β0 [eµ0β0t − 1] } 1 β0 < R0(t) < sup 0<t<τ (P ) e−µ0(t) L0 {[ l0(0)R0(0) ]β0 + β0ν0l β0 0 µ0β0 [eµ0β0t − 1] } 1 β0 . Vậy tồn tại c = sup 0<t<τ (P ) e−µ0(t) l0 {[ l0(0)R0(0) ]β0 + β0ν0 L β0 0 µ0β0 [eµ0β0t − 1] } 1 β0 50 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng và C = sup 0<t<τ (P ) e−µ0(t) L0 {[ l0(0)R0(0) ]β0 + β0ν0l β0 0 µ0β0 [eµ0β0t − 1] } 1 β0 sao cho c ≤ R0(t) ≤ C, ∀t ∈ ( 0; τ(P ) ) . Tương tự đối với R1(t) tồn tại c và C > 0, sao cho c ≤ R1(t) ≤ C, ∀t ∈ ( 0; τ(P ) ) . Vậy, các hàm trên là liên tục (Lipschitz) đều trên [0, τ(P )]. Ta có hai khả năng: - Nếu τ(P ) là hữu hạn và P (t) đã đạt được điểm cân bằng Pˆ . Trường hợp này bài toán đã được giải quyết. - Nếu τ(P ) là hữu hạn và nghiệm P (t) vẫn chưa đạt tới điểm cân bằng Pˆ , nghĩa là P∞ = P (τ(P )) 6= Pˆ . (Ở đây ta đã ký hiệu điểm cuối của nghiệm P (t) là P∞). Ta sẽ chỉ ra điều này là vô lý. Thật vậy, nếu τ(P ) < ∞ và P∞ 6= Pˆ . Với t > 0 đủ bé, nghiệm P (t) thuộc phần trong của tập Ga(0, T ) (do L0(t) > 0;R0(t) ≥ c). Vậy phải có một đoạn của quỹ đạo P = P (t) nằm hoàn toàn ở phần trong của tập Ga(0, T ). Dễ thấy P∞ ∈ ∂Ga(0, T )∩G (vì nếu P∞ vẫn ở phần trong của Ga(0, T ) thì nghiệm vẫn có thể kéo dài được, nên [ 0, τ(P ) ) chưa phải là cực đại, điều này mâu thuẫn với giả thiết là [ 0, τ(P ) ) cực đại). Do P∞ 6= Pˆ nên P∞ ∈ ∂Ga(0, T ) ∩G \ {Pˆ}. Theo chứng minh trên, nếu P∞ ∈ ∂Ga(0, T )∩G\{Pˆ} thì có thể coi nó là điểm khởi tạo để tiếp tục thác triển nghiệm vào phía trong tập Ga(0, T ). Khi đó [ 0, τ(P ) ) vẫn chưa phải là cực đại, ta có mâu thuẫn. Vậy, chỉ có thể là τ(P ) = ∞. Tiếp theo, ta sẽ chỉ ra P (t) → Pˆ khi t → ∞, nghĩa là   R0(t) → r0, R1(t) → r1, L0(t) → l0. Do dL0 dt > 0 với 0 < t < ∞ và L0(t) bị chặn nên L0(t) có giới hạn, đặt là lˆ0 khi t → ∞ và L0 < lˆ0 < l0. 51 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Mặt khác, theo chứng minh trong hệ quả (2.1) ta có R0(t) → r0 và R1(t) → r1 khi t → ∞. Do đó, (r0; r1; lˆ0) là điểm cân bằng nằm trong tập G của hệ (2.3), điều này mâu thuẫn với định lí (2.3) nên ta có l0 = lˆ0. Như vậy, nếu P = P (0) ∈ Ga(0, T )∩G thì P (t) → Pˆ = (r0; r1; l0) khi t → ∞. Mệnh đề được chứng minh. Mệnh đề 2.7. Mọi nghiệm P (t) xuất phát từ điểm P (0) ∈ Gd(T, 1) ∩ G thì hội tụ đến Pˆ khi t → ∞. Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh rằng mọi nghiệm bắt đầu từ P = (R0;R1;L0) = P (0) ∈ ∂Gd(T, 1) ∩G \ {Pˆ} đi vào Gd(T, 1) với t > 0 (hình 2.11). Thật vậy. - Nếu P ∈ T ∩Gd khi đó véc tơ pháp của mặt T tại P có hướng đi vào phía trong Gd(T, 1) là nT = (−ΨR0(R0;R1);−ΨR1(R0;R1); 1) = (− ab (2a + b|R1 − R0|)2 ; ab (2a + b|R1 −R0|)2 ; 1). Dấu của véc tơ nT = (−; +; +). Trong trường hợp này điểm P ∈ T và P ở phía dưới mặt S0 và S1 nên dR0 dt < 0, dR1 dt > 0, dL0 dt = 0 ⇒ F (P ) = (−; +; 0) ⇒ nTF (P ) > 0. Vậy nghiệm P (t) xuất phát từ P đi vào trong Gd(T, 1) với t > 0 đủ bé. - Nếu P ∈ Q0 nhưng không thuộc giao tuyến m0, nghĩa là P ∈ Q0 ∩ ∂Gd(T, 1) \m0 \ {Pˆ}. Lập luận tương tự trên, ta có nQ0 = (1; 0; 0) và F (P ) = (+; ∗; ∗) ⇒ nQ0F (P ) > 0. Khi đó nghiệm P (t) xuất phát từ P ∈ Q0 ∩ ∂Gd(T, 1) \ m0 \ {Pˆ} đi vào trong Gd(T, 1) với mọi t > 0 đủ nhỏ. - Nếu P ∈ Q1 \m1, lập luận hoàn toàn tương tự như trên. - Nếu P ∈ m0 và P 6= Pˆ . Do m0 = S0 ∩ T nên P ∈ S0 và P ∈ T . Khi P ∈ T , véc tơ pháp của mặt T tại P hướng lên phía trên là nT = (− ab (2a + b|R1 −R0|)2 ; ab (2a + b|R1 − R0|)2 ; 1). 52 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Hình 2.11: Dấu của nT là nT = (−; +; +). Do P ∈ T và P ∈ S0 nên dL0 dt = 0 và dR0 dt = 0, mặt khác mặt T nằm phía dưới mặt S1 nên dR1 dt > 0. Khi đó F (P ) = (0; +; 0) ⇒ nTF (P ) > 0. Vậy nghiệm P (t) xuất phát từ P tồn tại trên T với mọi t > 0 đủ bé. Khi T ∈ S0, trường véc tơ tại P là F (P ) = (0; +; 0). Véc tơ pháp của mặt S0 tại P hướng lên phía trên là nS0 = (−Φ0R0 ;−Φ0R1 ; 1) = (∗;−Φ0R1 ; ∗). Do (R0;R1) ∈ D(0)1 nên a − µ0 + ν0R −β0 0 > 0. Khi đó theo công thức (2.14) ta có dấu của nS0 = (∗; +; +) ⇒ nS0F (P ) < 0. Vậy nghiệm P (t) xuất phát từ P tồn tại ở phía trên S0 với mọi t > 0 đủ bé, điều này có nghĩa dR0 dt > 0 và R0(t) > r0 với 0 0 nào đó. 53 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Do đó nghiệm phải đi vào Gd(T, 1). Vậy ta chỉ cần chứng minh mệnh đề với T ∈ Gd(T, 1) là đủ. Giả sử [ 0, τ(P ) ) là khoảng thời gian lớn nhất mà nghiệm P (t) xuất phát từ P vẫn còn ở trong Gd(T, 1). Do nghiệm P (t) ở trong Gd(T, 1) tức là P (t) nằm phía trên mặt T với t ∈ [0, τ(P )). Khi đó dR0 dt < 0 với t ∈ [ 0, τ(P ) ) ⇒ L0(t) < L0(0) = L0. Mặt khác, do (R0;R1) ∈ Dd nên Ψ(R0;R1) > l0 ⇒ l0 < L0(t) < L0. Kết hợp với dR0 dt < 0 ta có L0(t) có giới hạn khi t → τ(P ). Lập luận tương tự mệnh đề 2.7 ta có điều phải chứng minh. Mệnh đề 2.8. Nghiệm P (t) xuất phát từ điểm ban đầu P (0) ∈ Gb(S1, S0) ∩ Gb đi vào Ga(0, T )∪Gd(T, 1) trong một thời gian hữu hạn hoặc hội tụ đến điểm cân bằng Pˆ khi t → ∞. Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh mọi nghiệm xuất phát từ điểm ban đầu P = (R0;R1;L0) = P (0) ∈ (S1 ∪ S0) ∩ Gb đi vào trong Gb(S1, S0) với t > 0 (hình 2.12). Hình 2.12: 54 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Thật vậy. - Nếu P ∈ (S0 ∩Gb) thì trường véc tơ tại P có dấu F (P ) = (0;−;−). Véc tơ pháp của S0 tại P hướng vào trong tập Gb(S1, S0) nS0 = ( Φ0R0(R0;R1); Φ0R1(R0;R1);−1 ) = ( ∗; Φ0,R1(R0;R1);−1 ) Theo công thức (2.14) ta thấy: + Khi R1 > R0 thì Φ0,R1(R0;R1) < 0. + Khi R1 < R0, do (R0;R1) ∈ D(0)1 nên a−µ0 + ν0R −β0 0 > 0, vậy Φ0,R1(R0;R1) < 0. + Khi R1 = R0 thì véc tơ pháp không được xác định duy nhất. Do đó ta phải xét hai giới hạn của véc tơ pháp với các điểm từ S0 ∩ { (R0;R1;L0) ∈ Gb, R0 > R1 } và S0 ∩ { (R0;R1;L0) ∈ Gb, R0 < R1 } dần đến P . + Khi (R0;R1;L0) ∈ S0 ∩ { (R0;R1;L0) ∈ Gb, R0 < R1 } , ta có Φ0,R1 = lim R1→R0 Φ0(R0;R1) − Φ0(R0;R0) R1 − R0 = lim R1→R0 a 2a + b(R1 − R0) − µ0 + ν0R −β0 0 − a 2a− µ0 + ν0R β0 1 R1 − R0 = lim R1→R0 −ab(R1 − R0) (R1 −R0)[2a + b(R1 −R0) − µ0 + ν0R −β0 0 ](2a− µ0 + ν0R −β0 0 ) = − ab 2a− µ0 + ν0R −β0 0 . + Khi (R0;R1;L0) ∈ S0 ∩ { (R0;R1;L0) ∈ Gb, R0 > R1 } , ta có Φ0,R1 = lim R0→R1 Φ0(R0;R1) − Φ0(R0;R0) R1 − R0 = lim R0→R1 a + b(R0 − R1) 2a + b(R1 − R0) − µ0 + ν0R −β0 0 − a 2a− µ0 + ν0R β0 1 R1 − R0 = lim R0→R1 (ab− µ0b + ν0R −β0 0 b)(R1 −R0) R1 −R0 = − (a− µ0 + ν0R −β0 0 )b 2a− µ0 + ν0R −β0 0 . Trong mọi trường hợp véc tơ pháp của mặt S0 tại P hướng vào trong tập Gb(S1;S0) là nS0 = (∗;−;−) ⇒ F (P )nS0 > 0. 55 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Vậy nghiệm P (t) xuất phát từ P tồn tại dưới mặt S0 với mọi t > 0 đủ bé. Tương tự, nếu P ∈ (S1∩Gb) thì nghiệm P (t) xuất phát từ P tồn tại trên mặt S1 với mọi t > 0 đủ bé. Do đó ta chỉ cần chứng minh mệnh đề với điểm ban đầu P ∈ Gb(S1, S0) là đủ. Giả sử [ 0, τ(P ) ) là khoảng thời gian lớn nhất mà nghiệm P (t) còn ở trong Gb(S1, S0). Do dR0 dt < 0, dR1 dt < 0 với 0 ≤ t < τ(P ) ⇒r0 < R0(t) ≤ R0 và r1 < R1(t) ≤ R1 với 0 ≤ t < τ(P ). Khi đó R0(t) và R1(t) hội tụ đến rˆ0 và rˆ1 khi t → τ(P ). - Nếu τ(P ) < ∞ thì L0(t) và 1 − L0(t) cũng hội tụ khi t → τ(P ). Vậy nghiệm P (t) → P∞ khi t → τ(P ). Rõ ràng P∞ ∈ ∂Gb(S1, S0) ∩ G (vì nếu không thì nghiệm P (t) còn kéo dài được nữa khi đó [ 0, τ(P ) ) không phải là cực đại). Do P∞ /∈ (S1 ∪ S0) ∩ Gb (vì nếu P∞ ∈ (S1 ∪ S0) ∩ Gb) thì nghiệm P (t) còn thác triển được vào phía trong Gb(S1, S0). Điều này mâu thuẫn với giả thiết [ 0, τ(P ) ) là cực đại). ⇒ P∞ ∈ ∂Gb(S1, S0) ∩ (Q0 ∪Q1). Theo chứng minh mệnh đề 2.6, nghiệm xuất phát từ ∂Ga(0, T )∩Q0 ⊃ ∂Gb(S1, S0)∩ Q0 (tương ứng ∂Gd(T, 1) ∩ Q1 ⊃ ∂Gb(S1, S0) ∩ Q1) đi vào Ga(0, T ) (tương ứng Gd(T, 1)). Vậy P ∈ Gb(S1, S0) ∩ Gb đi vào Ga(0, T ) ∪ Gd(T, 1) trong một khoảng thời gian hữu hạn. - Nếu τ(P ) = ∞, ta sẽ chứng minh P (t) → Pˆ khi t → ∞. Trước hết ta chứng minh L0(t) hội tụ khi t → ∞, thật vậy. L0(t) =e −2ate−b ∫ t 0 |R1(τ )−R0(τ )|dτL0(0) + ∫ t 0 e−2a(t−s)e−b ∫ t s |R1(τ )−R0(τ )|dτ [a + b(R0(s) − R1(s))+]ds 56 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng ⇔ L0(t) =e −2ate−b ∫ t 0 |R1(τ )−R0(τ )|dτL0(0) + ∫ t 2 0 e−2a(t−s)e−b ∫ t s |R1(τ )−R0(τ )|dτ [a + b(R0(s) − R1(s))+]ds + ∫ t t 2 e−2a(t−s)e−b ∫ t s |R1(τ )−R0(τ )|dτ [a + b(R0(s) − R1(s))+]ds =e−2ate−b ∫ t 0 |R1(τ )−R0(τ )|dτL0(0) + ∫ t 2 0 e−2a(t−s)e−b ∫ t s |R1(τ )−R0(τ )|dτ [a + b(R0(s) − R1(s))+]ds + ∫ t t 2 e−2a(t−s)e−b ∫ t s |R1(τ )−R0(τ )|dτ{a + b ( R0(s) − R1(s) ) + − [a + b(rˆ0 − rˆ1)+]}ds + ∫ t t 2 e−2a(t−s)e−b ∫ t s |R1(τ )−R0(τ )|dτ [a + b(rˆ0 − rˆ1)+]ds. (2.17) Số hạng thứ nhất e−2ate−b ∫ t 0 |R1(τ )−R0(τ )|dτL0(0) ≤ e −2ate −b inf 0≤τ<∞ |R1(τ )−R0(τ )| ∫ t 0 dτ L0(0) ≤ L0(0)Me −2ate−t = L0(0)Me (−2a+1)t → 0 khi t → ∞, (2.18) trong đó M = e b inf 0≤τ<∞ |R1(τ )−R0(τ )| Số hạng thứ hai ∫ t 2 0 e−2a(t−s)e−b ∫ t s |R1(τ )−R0(τ )|dτ [a + b(R0(s) −R1(s))+]ds ≤ sup 0≤s<∞ [a + b(R0(s) −R1(s))+] ∫ t 2 0 e−2a(t−s)e −b inf 0≤τ<∞ |R1(τ )−R0(τ )| ∫ t s dτ ds ≤ N ∫ t 2 0 e−2a(t−s)Me−(t−s)ds = MN ∫ t 2 0 e−(2a+1)(t−s)ds = MNe−(2a+1)te t 2 −MNe−(2a+1)t → 0 khi t → 0. (2.19) Số hạng thứ ba ∫ t t 2 e−2a(t−s)e−b ∫ t s |R1(τ )−R0(τ )|dτ{a + b(R0(s) −R1(s))+ − [a + b(rˆ0 − rˆ1)+]}ds. Ta có với mọi  > 0 bé tùy ý có thể chọn t > 0 đủ lớn sao cho |b(R0(s) − R1(s))+ − b(rˆ0 − rˆ1)+| t. 57 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Khi đó ∣∣∣ ∫ t t 2 e−2a(t−s)e−b ∫ t s |R1(τ )−R0(τ )|dτ [b(R0(s) −R1(s))+ − b(rˆ0 − rˆ1)+]ds ∣∣∣ ≤  ∣∣∣ ∫ t t 2 e−2a(t−s)e −b inf t/2≤τ<∞ |R1(τ )−R0(τ )| ∫ t s dτ ds ∣∣∣ ≤ M ∣∣∣ ∫ t t 2 e−2a(t−s)e−(t−s)ds ∣∣∣ ≤ (1 − e−(2a+1) t 2 ) < . (2.20) Số hạng cuối ∫ t t 2 e−2a(t−s)e−b ∫ t s |R1(τ )−R0(τ )|dτ [a + b(rˆ0 − rˆ1)+]ds. Ta có |e−ξ − e−η| ≤ |ξ − η| (ξ, η ≥ 0), khi đó ∫ t t 2 e−2a(t−s)e−b ∫ t s |R1(τ )−R0(τ )|dτds = ∫ t t 2 e−2a(t−s)[e−b ∫ t s |R1(τ )−R0(τ )|dτ − e−b|rˆ1−rˆ0|(t−s)]ds + ∫ t t 2 e−(2a+b|rˆ1−rˆ0|)(t−s)ds. (2.21) Ta có đánh giá ∣∣∣ ∫ t t 2 e−2a(t−s)[e−b ∫ t s |R1(τ )−R0(τ )|dτ − e−b|rˆ1−rˆ0|(t−s)]ds ∣∣∣ ≤ b ∫ t t 2 e−2a(t−s) ∫ t s ∣∣|R1(τ) −R0(τ)| − |rˆ1 − rˆ0|∣∣dτds ≤ b sup t/2≤τ<∞ (|R1(τ) − rˆ1 − | − |R0(τ) − rˆ0|) ∫ t t 2 (t− s)e−2a(t−s)ds → 0 khi t → ∞ và∫ t t 2 e−(2a+b|rˆ1−rˆ0|)(t−s)ds = 1 2a + b|rˆ1 − rˆ0| (1 − e−(2a+b|rˆ1−rˆ0|) t 2 ) → 1 2a + b|rˆ1 − rˆ0| khi t → ∞ ⇒ ∫ t t 2 e−2a(t−s)e−b ∫ t s |R1(τ )−R0(τ )|dτ [a + b(rˆ0 − rˆ1]ds → a + b(rˆ0 − rˆ1 2a + b|rˆ1 − rˆ0| khi t → ∞ ⇒ L0(t) → lˆ0 khi t → ∞ ⇒ P (t) → (rˆ0, rˆ1, lˆ0) khi t → ∞. 58 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Mặt khác theo định lí 2.3 thì rˆ0 = r0, rˆ1 = r1, lˆ0 = l0. Vậy P (t) → Pˆ khi t → ∞. Mệnh đề 2.9. Nghiệm P (t) xuất phát từ điểm ban đầu P (0) ∈ Gb(0, S1) (tương ứng (Gb(S1, 1)) ) đi vào Gb(S1, S0) (tương ứng Gd(T, 1)) trong một thời gian hữu hạn. Chứng minh. Xét điểm P = (R0;R1;L0) = P (0) ∈ Gb(0, S1) Giả sử [0, τ(P )) là khoảng thời gian lớn nhất mà nghiệm P (t) xuất phát từ điểm P tồn tại trong Gb(S1, S0). Do nghiệm P (t) nằm trong tập Gb(, 0S1) nên nghiệm P (t) nằm dưới các mặt phẳng S0, S1, T . Khi đó dR0 dt < 0, dR1 dt > 0, dL0 dt > 0. Ta có r0 < R0(t) ≤ R0, R1(t) ≥ R1, L0(t) ≥ L0 với 0 ≤ t < τ(P ). Do vậy R1 ≤ R1(t) ≤ C với 0 ≤ t 0 nào đó. Ngoài ra R0(t), R1(t), L0(t) tương ứng có các giới hạn rˆ0, rˆ1, lˆ0. Do rˆ1 > R1 > r1 nên P∞ = (rˆ0; rˆ1; lˆ0) ∈ ∂Gb(0, S1) ∩ (S1 ∪Q0) ∩G. Giả sử τ(P ) = ∞ khi đó điểm P∞ phải trùng với Pˆ nhưng điều này không thể do rˆ1 > r1 nên τ(P ) phải hữu hạn. Khi P∞ ∈ S1 ∩Gb theo mệnh đề 2.3 nghiệm từ P∞ đi vào Gb(S1, S0). Mặt khác khi P∞ ∈ ∂Gb(0, S1) ∩ Q0 ⊂ ∂Ga(0, T ) ∩ Q0 theo mệnh đề 2.1 nghiệm từ P∞ đi vào Ga(0, T ). Vậy trường hợp P ∈ Gb(0, S1) đã dược chứng minh. Khi P ∈ Gb(S1, 1) được chứng minh tương tự. Mệnh đề 2.10. Nghiệm P (t) xuất phát từ điểm P (0) ∈ Gc(S0, S1) ∩ Gc hoặc đi vào tập Ga(0, T )∪Gd(T, 1) trong thời gian hữu hạn hoặc hội tụ tới điểm cân bằng Pˆ khi t → ∞. Mệnh đề 2.11. Nghiệm xuất phát từ điểm P (0) ∈ Gc(0, S0) (tương ứng Gc(S1, 1)) đi vào Gc(S0, S1) hoặc Ga(0, T ) (tương ứng Gd(T, 1)) trong thời gian hữu hạn. Hai mệnh đề trên được chứng minh tương tự với mệnh đề trước. Mệnh đề 2.12. Nghiệm P (t) xuất phát từ điểm P (0) ∈ Ga(T, 1) ∩ G đi vào tập Ga(0, T ) ∪ Gd(T, 1) ∪ Gb ∪ Gc trong thời gian hữu hạn hoặc hội tụ tới điểm cân bằng Pˆ khi t → ∞. Chứng minh. Đầu tiên ta xét trường hợp điểm ban đầu P = (R0;R1;L0) = P (0) ∈ Ga(T, 1). 59 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Giả sử [0, τ(P )) là khoảng thời gian lớn nhất mà nghiệm P (t) xuất phát từ P tồn tại trong Ga(T, 1). Do nghiệm P (t) ở trên mặt S0 và S1 nên dR0 dt > 0 và dR1 dt < 0 với 0 ≤ t < τ(P ). Vậy, R0 ≤ R0(t) < r0 và r1 < R1(t) ≤ R1 với 0 ≤ t < τ(P ). Mặt khác do nghiệm cũng ở trên mặt T nên dL0 dt < 0 với 0 ≤ t < τ(P ) vậy lˆ0 < L0(t) ≤ L0 với 0 ≤ t < τ(P ), ở đây 0 < lˆ0 = lim t→τ (P ) L0(t). Nếu τ(P ) < ∞ khi đó R0(t) và R1(t) là liên tục Lipschitz đều và có giới hạn khi t → τ(P ). Giới hạn này thuộc vào biên của tập Ga(T, 1) chính xác hơn là thuộc vào tập ∂Ga(T, 1) ∩G \ Pˆ . Nếu τ(P ) = ∞ theo chứng minh trước ta có R0(t) → r0 và R1(t) → r1 do đó nghiệm hội tụ tới điểm Pˆ . Ta chỉ cần chứng minh mệnh đề với điểm P ∈ ∂Ga(T, 1) ∩G \ {Pˆ}. Khi P ∈ T theo chứng minh của mệnh đề (2.1) nghiệm P (t) đi vào tập Ga(0, T ). Nếu P ∈ Q0 \ [Pˆ , (r0; r1; 1)] khi đó do dR0 dt > 0 và véc tơ pháp của mặt Q0 tại P hướng vào trong tập Ga(T, 1) là nQ0 = (−1; 0; 0) ⇒ nQ0F (P ) < 0 điều này chứng tỏ nghiệm P (t) đi vào tập Gb. Tương tự khi P ∈ Q1 \ [Pˆ , (r0; r1; 1)] nghiệm P (t) đi vào tập Gc. Khi P ∈ [Pˆ , (r0; r1; 1)]\{Pˆ , (r0; r1; 1)} nghiệm P (t) đi vào Gd(T, 1) bằng cách tương tự là ta xét tích của F (P ) và hai véc tơ pháp nQ0 và nQ1 tại P . Mệnh đề 2.13. Nghiệm P (t) xuất phát từ điểm P (0) ∈ Gd(0, T ) ∩ G đi vào tập Ga(0, T ) ∪ Gd(T, 1) ∪ Gb ∪ Gc trong thời gian hữu hạn hoặc hội tụ tới điểm cân bằng Pˆ khi t → ∞. Mệnh đề này được chứng minh tương tự mệnh đề trên. Bây giờ ta quay trở lại chứng minh định lý (2.4): Từ 8 mệnh đề trên ta suy ra được định lý (2.4), thật vậy. Do mệnh đề (2.6) và (2.7), mọi điểm xuất phát từ điểm ban đầu thuộc Ga(0, T ) ∩ G và Gd(T, 1) ∩ G hội tụ tới Pˆ khi t → ∞. Mệnh đề (2.8) và (2.9) chỉ ra rằng nghiệm xuất phát từ Gb đi vào Ga(0, T ) ∪ Gd(T, 1) trong thời gian hữu hạn hoặc hội tụ đến Pˆ khi t → ∞. Mệnh đề (2.10) và (2.11) cũng chỉ ra rằng nghiệm xuất phát từ Gc đi vào Ga(0, T ) ∪Gd(T, 1) trong thời gian hữu hạn hoặc hội tụ đến Pˆ khi t → ∞. Cuối cùng từ mệnh đề (2.12) và (2.13), nghiệm xuất phát từ Gd(T, 1)∩G và Gd(0, T )∩G đi vào tập Ga(0, T )∪Gd(T, 1)∪Gb ∪Gc trong thời gian hữu hạn hoặc hội tụ tới điểm cân bằng Pˆ khi t → ∞. 60 Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng Ý nghĩa của các Định lý. Sự chênh lệch về tỷ lệ vốn - lao động giữa hai vùng là một nguyên nhân gây ra hiện tượng nguồn lực lao động luân chuyển qua lại giữa hai vùng. Nhưng ngoài nguyên nhân này còn có các nguyên nhân khác. Sự sai khác về lượng lao động trong cả quá trình hoặc trong các thời điểm cụ thể (các thời vụ) là một trong các nguyên nhân còn lại. Nó được gọi là sự khuếch tán lao động. Khuếch tán lao động không có vai trò cố định mang tính quyết định như di cư lao động nhưng lại có vai trò điều tiết nào đó mà khi thiếu nó thì mô hình không thể có sự cân bằng thực sự (cân bằng dương). Thiếu nó, về lâu về dài tất yếu sẽ đưa hệ thống về tình trạng cạn kiệt lượng lao động ở vùng nông thôn. 61 Kết luận Luận văn đã trình bày tóm tắt khái niệm ổn định nghiệm của phương trình vi phân, một số phương pháp cơ bản nghiên cứu tính ổn định và giới thiệu một số mô hình kinh tế được mô tả bởi các phương trình vi phân, sai phân. Luận văn chủ yếu tập trung vào việc xây dựng mô hình di cư lao động giữa hai vùng (nông thôn - thành thị) và khảo sát tính ổn định của mô hình này. Tính ổn định của mô hình được khảo sát một cách trực tiếp, bằng cách chia tập xác định của hệ phương trình vi phân xác định bởi mô hình di cư lao động trên thành từng miền nhỏ hơn và khảo sát tính ổn định của hệ trong từng miền nhỏ này. Luận văn đã chỉ ra được về tính không tồn tại điểm cân bằng dương của hệ phương trình vi phân trên khi hệ số khuếch tán lao động bằng không, và có sự ổn định của điểm cân bằng dương khi hệ số khuếch tán lao động dương. Từ đó rút ra được vai trò của sự khuếch tán lao động, nếu thiếu nó về lâu dài sẽ dẫn tới sự cạn kiệt lao động ở vùng nông thôn. Tuy nhiên, trong khuôn khổ của một luận văn thạc sĩ nên còn điểm hạn chế: - Chưa đề cập nhiều đến mô hình kinh tế dạng sai phân (luận văn chỉ giới thiệu qua về mô hình kinh tế Harod-Doma được mô tả bởi phương trình sai phân) - Chưa đưa ra được những ứng dụng trực tiếp đối với nền kinh tế Việt Nam. Luận văn có thể được phát triển tiếp theo các hướng khác nhau như đa dạng hóa hàm sản xuất hoặc đưa vào hệ thống có các tác nhân điều khiển. Nghiên cứu ứng dụng với đặc điểm kinh tế, chính trị và xã hội của Việt nam. 62 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2007), Cơ sở Phương trình vi phân và Lý thuyết ổn định , NXB Giáo Dục, Hà nội. [2] Vũ Ngọc Phát (2001), Nhập môn lý thuyết điều khiển Toán học, NXB ĐH Quốc gia Hà Nội, Hà nội. [3] Lê Đình Thúy (2007),Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, NXB ĐH Kinh tế Quốc Dân, Hà nội. [4] T. T. Anh and T. V. Nhung (1997), Three species competition in periodic environment, ACTA Math Vietnam , 22, PP.395-405. [5] N. S. Bay, N. T. Hoan and N. M. Man (2008), On the Asymp- totic Equilibrium and Asymptotic Equivalence of Differential Equations in Banach spacaes, Ucrainian Mathematical journal, Volume 60, PP.626 - 635. [6] N.H. Du, T.T. Trung (2007), Dynamics of predator-prey population with modified leslie gower and holling type II schemes, ACTA Math Vietnam, 32(1), PP.99-111. [7] Nguyen Huu Du and Vu Hoang Linh (2006), Stabily radii for linear time - varying differential-algebraic equations with respect to dynamic pertubations, Diff. Eq., 230, PP.579-599. [8] Vu N. Phat, Do Q. Vinh and Nguyen S. Bay (2008), L2-stability and H∞-control for linear non-autonomous time-delay systems in Hilbert 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO spaces via Riccati equations, Inter. Publ. (USA), Advances in Nonlinear Variational Inequalities, Volume 11(2), PP.75 - 86. [9] Freedman H. I.(1980 ), Deterministic Mathematical Models in Population Ecology, Marcel Dekker, New York. [10] Jensen B. S.(1994), The Dynamic Systems of basic Economic Growth Models, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht. [11] Li Y., M., Zhu Y.(2009), The cntrol and the reconfigurable control for prey - predator ecosystem with time delay, Applied Mathematical Modelling, 33, PP.148-160. [12] Qian W., Meng F., Ke W.(2003), Dynamics of a class of nonautonomous semi - ratio - dependent predator-prey systems with functional respones, Math. Anal. Appl.,, 278, PP.443-471. [13] Solomonovich M., Freedman H. I., Schilizzi S. G. M., Belostotski L.(1998), Stability and bifurcations in an Environmental recovery Model of Economic Agriculture - Industry interactions, Natural Resource Modeling , Vollume 11, (1). [14] Takagi I., Tabata M., Hiroyama T., Yagi A.( 1995), An Economic analysis of urbanization process: The system of nonlinear ordinary differ- entialequations, Res. Inst. Gen. Edu. Kyushu Tokai Univ., 7, PP.39-44. [15] Takeuchi Y.(2000), Global Dynamical properties of Lotka-Volltera sys- tems, World Scientific. [16] Yutaka N. K., Kohzaburo O., and Atsushi Y.(1997), Global Stability of Economic Growth Model with the Labor Mobility, Funfcialaj Ekvacioj, 40, PP.93-212. 64