Đề tài Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

hương trình (*). Giả sử 11 1 0( ) ...k kk kg n a n a n a n a--= + + + + là đa thức bậc k . Khi đó hệ số của kx và 1kx - trong VP là: .( ) kka a b c x+ + và 11( 2 ) . ( ) kk kb c k a a b c a x --é ù- + + + +ë û .Do đó : Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 13 - * Nếu PT: 2 0aX bX c+ + = (1) có nghiệm hai nghiệm phân biệt khác 1 thì 0a b c+ + ¹ nên VT(*) là một đa thức bậc k . * Nếu PT (1) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm 1x = 0a b cÞ + + = và 1( 2 ) . ( ) ( 2 ). . 0k k kb c k a a b c a b c k a-- + + + + = - + ¹ nên VT là một đa thức bậc 1k - . * Nếu PT (1) có nghiệm kép 1x = 0a b cÞ + + = và 1 1( 2 ) . ( ) kk kb c k a a b c a x --é ù- + + + +ë û nên VT(*) là một đa thức bậc 2k - . Vậy để chọn ( )g n ta cần chú ý như sau: v Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt, thì ( )g n là một đa thức cùng bậc với ( )f n v Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm bằng 1 thì ta chọn ( )g n là đa thức lớn hơn bậc của ( )f n một bậc. v Nếu (1) có nghiệm kép 1x = thì ta chọn ( )g n là đa thức có bậc lớn hơn bậc của ( )f n hai bậc. Dạng 7: Để tìm CTTQ của dãy 1 2 1 1 ;( ) : . . . ( ) ; 2n n n n u p u qu a u b u c u f n n+ - ì = =ï í + + = " ³ïî , ( trong đó ( )f n là đa thức theo n bậc k và 2 4 0b ac- ³ ) ta làm như sau: · Xác định đa thức + - + - =( ) : . ( ) ( 1) ( 2) ( )g n a g n bg n cg n f n , trong đó ( )g n là: đa thức theo n bậc k nếu PT (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1 ; đa thức bậc + 1k nếu (1) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 1 ; đa thức bậc + 2k nếu (1) có nghiệm kép = 1x · Khi xác định được ( )g n ta đặt = + ( )n nu x g n , ta có dãy ( )nx được xác định bởi: + ì = - = -ï í + + = " ³ïî 0 1 1 1 (0); x (1) . 0 1n n x p g u g a x bx c n . Áp dụng kết quả 3 ta xác định được CTTQ của ( )nx , từ đó ta tìm được CTTQ của dãy ( )nu . Ví dụ 1.14: Tìm CTTQ của dãy số 0 1 1 2 1; 3 ( ) : 5 6 5.2 2nn n n n u u u u u u n- - ì = - =ï í - + = " ³ïî . Giải: Đặt .2nn nu x y= + . Khi thay vào công thức truy hồi ta không làm mất 5.2n ở VT Ta sẽ đi tìm cách giải khác cho bài toán này Ta viết công thức truy hồi của dãy như sau: 1 1 2( 2 ) 3( 2 ) 5.2nn n n nu u u u- - -- - - = Đặt 1 12 3 5.2nn n n n nx u u x x- -= - Þ - = . Áp dụng kết quả 2, ta có: Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 14 - 1 1 125.3 10.2 2 25.3 10.2n n n nn n nx u u- --= - Þ - = - Sử dụng chú ý ở kết quả 3, ta đặt .3 .2n nn nu v a bn= + + Ta được: 112 (25 )3 ( 10)2n nn nv v a b--= + - - + . Ta chọn 25, 10a b= = - 1 0.2 26.2 25.3 (5 13).2n n n nn nv v u n +Þ = = - Þ = - + . Lưu ý : Dựa vào CTTQ đã xác định ở trên, ta có thể giải bài toán trên theo cách khác như sau: Đặt .2nn nu x yn= + , ta có: 11 25 6 .2 5.2n nn n nx x x y -- -- + - = , ta chọn 10y = - 0 1 1 2 1; 23( ) : 5 6 0 2n n n n x xx x x x n- - ì = - =ïÞ í - + = " ³ïî . Áp dụng kết quả 4, ta có: 126.2 25.3 25.3 (5 13).2n n n nn nx u n += - + Þ = - + . Ví dụ 1.15: Tìm CTTQ của dãy - - ì = =ï í - + =ïî 0 1 1 2 1; 3 ( ) : 4 4 3.2nn n n n u u u u u u . Giải: Với dãy số này nếu ta đặt = + .2nn nu x y thì khi thay vào công thức truy hồi của dãy ta không xác định được y ! Nên ta sẽ tìm cách giải khác cho bài toán này. Ta viết lại công thức truy hồi của dãy như sau: - - -- - - =1 1 2( 2 ) 2( 2 ) 3.2nn n n nu u u u Đặt -= - 12n n nx u u , ta có: -- =12 3.2nn nx x . Áp dụng kết quả 2, ta có: 1(6 5).2nnx n -Þ = - 112 (6 5).2nn nu u n --Þ - = - 1 1 1 2 1 0 0( 2 ) 2( 2 ) ... 2 ( 2 ) 2 .n nn n n n nu u u u u u u u-- - -Þ = - + - + + - + 1 1 1 1 2 (6 5) 2 2 6 5 2 n n n n n i i i i n- - = = é ù = - + = - +ê ú ê úë û å å 1 2 1 ( 1)6 5 2 2 (3 2 2)22 n nn n n n n- -é ù+= - + = - +ê ú ë û . Lưu ý : Từ CTTQ của dãy ( )nu ta có thể giải bài toán trên theo cách khác như sau Đặt 2.2nn nu x yn= + . Ta có: 1 24 4 2 .2 3.2n nn n nx x x y- -- + + = . Ta chọn 3 2y = Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 15 - 0 1 1 2 1; 0( ) : 4 4 0 2n n n n x xx x x x n- - ì = =ïÞ í - + = " ³ïî . Áp dụng kết quả 4, ta được 1 1 2 1 2 1(2 2 )2 (2 2 ).2 3 .2 (3 2 2)2n n n nn nx n u n n n n- - - -= - Þ = - + = - + . Từ ba ví dụ trên ta rút ra được nhận xét sau: Dạng 8: Cho dãy số ( )nu xác định bởi: 0 1 1 2 ; . . . ; 2nn n n u u u b u c u d na- - ìï í + + = " ³ïî . Để xác định CTTQ của dãy ( )nu ta làm như sau: · Nếu phương trình : 2 0 (1)X bX c+ + = có hai nghiệm phân biệt khác a thì ta đặt 2 . n n n du x a b c a a a a = + + + , ta có: 1 1. . 0n n na x bx c x+ -+ + = . Từ đây sử dụng kết quả 4, ta tìm được n nx uÞ . · Nếu x a= là nghiệm đơn của (1) thì ta đặt: 2 .2 n n n du x nb c a a= - + , ta có: 1 1. . 0n n na x bx c x+ -+ + = .Từ đây sử dụng kết quả 4, ta tìm được n nx uÞ . · Nếu x a= là nghiệm kép của (1) thì ta đặt: 2 2. .4 n n n du x nb c a a a = + + , ta có: 1 1. . 0n n na x bx c x+ -+ + = .Từ đây sử dụng kết quả 4, ta tìm được n nx uÞ . Với cách xây dựng tương tự ta cũng có được các kết quả sau Dạng 9: Cho dãy ( ) :nu 1 2 3 2 1 1 , , 0 2n n n n u x u y u z au bu cu du n+ + - ì = = =ï í + + + = " ³ïî .Để xác định CTTQ của dãy ta xét phương trình: 3 2 0ax bx cx d+ + + = (1) ( (1)gọi là phương trình đặt trưng của dãy). · Nếu (1) có ba nghiệm phân biệt 1 2 3 1 2 3, , n n nnx x x u x x xa b gÞ = + + . Dựa vào 0 1 2, ,u u u ta tìm được , ,a b g . · Nếu (1) có một nghiệm đơn, 1 nghiệm kép: 1 2 3 1 3( ) .n nnx x x u n x xa b g= ¹ Þ = + + Dựa vào 0 1 2, ,u u u ta tìm được , ,a b g . · Nếu (1) có nghiệm bội 3 21 2 3 1( ) nnx x x u n n xa b g= = Þ = + + . Dựa vào 0 1 2, ,u u u ta tìm được , ,a b g . Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 16 - Ví dụ 1.16: Tìm CTTQ của dãy ( ) :nu 1 2 3 1 2 3 0, 1, 3, 7 11. 5. , 4n n n n u u u u u u u n- - - ì = = =ï í = - + " ³ïî Giải : Xét phương trình đặc trưng : 3 27 11 5 0x x x- + - = Phương trình có 3 nghiệm thực: 1 2 31, 5x x x= = = Vậy 5nna na b g= + + Cho 1, 2, 3n n n= = = và giải hệ phương trình tạo thành, ta được 1 3 1, , 16 4 16a b g= - = = Vậy ( ) 11 3 11 .5 16 4 16 -= - + - + nna n . Ví dụ 1.17: Tìm CTTQ của dãy số 0 1 1 0 1 1 2; 2( ),( ) : 11; 2 n n n n n n n n u u u vu v nv v u v - - - - ì = = +ï " ³í = = +ïî . Giải: Ta có: 1 2 2 1 2 1 22 2 2 2( 2 )n n n n n n n nu u u v u u u u- - - - - - -= + + = + + - 1 24 3n n nu u u- -Þ = - và 1 5u = Áp dụng kết quả 4, ta có: 1 1 1 1 3 1 322 2 n n n n n nu v u u + + + + - + = Þ = - = . Tương tự ta có kết quả sau: Dạng 10: Cho dãy 1 1 1 1 ( ),( ) : n n n n n n n n x px qy x ax y y ry sx y b + + ì = + =ï í = + =ïî . Để xác định CTTQ của hai dãy ( ),( )n nx y ta làm như sau: Ta biến đổi được: 1 1( ) ( ) 0n n nx p s x ps qr x+ -- + + - = theo kết quả 4 ta xác định được nx , từ đây thay vào hệ đã cho ta có được ny . Chú ý : Ta có thể tìm CTTQ của dãy số trên theo cách sau: Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 17 - Ta đưa vào các tham số phụ l , 'l 1 1 1 1 ( )( ) '' ( ' )( )' n n n n n n n n q rx y p s x ys p q rx y p s x yp s ll l l ll l l + + + + ì - - = - -ïï -Þ í +ï + = + + ï +î Ta chọn l , 'l sao cho 1 1 1 1 ( )( ) ' ' ( ' )( ' )' ' n n n n n n n n q r x y p s x ys p q r x y p s x y s p ll l l ll l l l ll l + + + + ì - =ï ì - = - -ï ï- Þí í+ + = + +ïï î= ï +î 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ' ( ' ) ( ' ) n n n n n n x y p s x y x y p s x y l l l l l l + + + + ì - = - -ï í + = + +ïî giải hệ này ta tìm được ( ) ( ), n nx y . Ví dụ 1.18: Tìm CTTQ của dãy 1 1 1 1 ( ) : 2 23 4 n n n n u u uu nu - - ì = ï í = " ³ï +î . Giải: Ta có 1 1 1 3 41 3 122 2 n n n n u u u u - - - + = = + . Đặt 1n n x u= , ta có: 1 1 1 32 2n n x x x - ì = ï í = +ïî . Áp dụng kết quả 1, ta được: 1 1 5.2 3 2 2 5.2 3 n n n nx u - - - = Þ = - Ví dụ 1.19: Tìm CTTQ của dãy số 1 1 1 2 ( ) : 9 24 25 13 n n n n u u uu nu - - ì = ï - -í = " ³ï +î . Giải: Bài toán này không còn đơn giải như bài toán trên vì ở trên tử số còn hệ số tự do, do đó ta tìm cách làm mất hệ số tự do ở trên tử số. Muốn vậy ta đưa vào dãy phụ bằng cách đặt n nu x a= + . Thay vào công thức truy hồi, ta có: 2 1 1 1 1 9 9 24 ( 9 5 ) 5 22 24 5 5 13 5 5 13 n n n n n n x a a x a ax a xx a x a - - - - - - - - - - - - + = Þ = + + + + Ta chọn 2 1: 5 22 24 0 2 4a a a a x+ + = Þ = - Þ = Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 18 - 1 1 1 1 1 1 3 1 11.3 10 455 3 4 11.3 10 n n n n n n n n n xx xx x x x - - - - - - Þ = Þ = + Þ = Þ = + - 1 1 22.3 242 11.3 10 n n n nu x - - - + Þ = - = - . Dạng 11: Cho dãy (xn): 11 1 ; 2nn n pu qu u nru sa - - + = = " ³ + . Để tìm CTTQ của dãy (xn) ta làm như sau: Đặt n nu x t= + , thay vào công thức truy hồi của dãy ta có: 2 1 1 1 1 ( ) ( )n n n n n px pt q p rt x rt p s t qx tru rt s rx rt s - - - - + + - - + - + = - = + + + + (1). Ta chọn 2: ( ) 0t rt s p t q+ - - = . Khi đó ta chuyển (1) về dạng: 1 1 1 n n a bx x - = + Áp dụng kết quả 1, ta tìm được 1 nx , từ đó suy ra n nx uÞ . Ví dụ 1.21: Xác định CTTQ của hai dãy số 1 1 2( ),( ) : 1n n uu v v ì =ï í =ïî và 2 2 1 1 1 1 2 22 n n n n n n u u v nv u v - - - - ì = +ï " ³í =ïî . Giải: Ta có: 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 ( 2 ) 2 2 2 2 ( 2 ) n n n n n n n n n n n n n n u u v u v u v v u v u v u v - - - - - - - - ìì = + + = +ï ïÞí í = - = -ï ïî î 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 ( 2 ) (2 2) 2 ( 2 ) (2 2) n n n n n n n n u v u v u v u v - - - - ì + = + = +ïÞ í ï - = - = -î 1 1 1 1 2 2 2 2 1 (2 2) (2 2)2 1 (2 2) (2 2) 2 2 n n n n n n u v - - - - ì é ù= + + -ï ê úï ë ûÞ í é ùï = + - -ê úë ûïî . Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 19 - Nhận xét: Từ 2 1 2 22 2 11 11 1 1 1 1 1 1 1 2 22 2 2 2 n nn n nn n n n n n n n n n n u vu u vu u v v u v v u v u v - -- -- - - - - - - - æ ö +ç ÷ç ÷ì += +ï è øÞ = =í = æ öïî ç ÷ç ÷ è ø Do vậy nếu ta đặt nn n ux v= ta được dãy số 1 2 1 1 2 ( ) : 2 2 n n n n x x xx x - - ì = ï +í =ï î . Ta có bài toán sau: Ví dụ 1.22: Xác định CTTQ của dãy số 1 2 1 1 2 ( ) : 2 22 n n n n x x xx nx - - ì = ï +í = " ³ï î . Giải: Xét hai dãy 1 1 2( ),( ) : 1n n uu v v ì =ï í =ïî và 2 2 1 1 1 1 2 22 n n n n n n u u v nv u v - - - - ì = +ï " ³í =ïî . Ta chứng minh nn n ux v= (*). · 22 2 2 2 2un x nv= Þ = = Þ = (*) đúng. · Giả sử 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 (*)2 2 n n n n n n n n n n n n u x u v ux xv x u v v - - - - - - - - - + + = Þ = = = Þ được chứng minh Theo kết quả bài toán trên, ta có: 1 1 1 1 2 2 2 2 (2 2) (2 2)2 (2 2) (2 2) n n n nnx - - - - + + - = + - - . Dạng 12: 1) Từ hai ví dụ trên ta có được cách tìm CTTQ của hai dãy số ( ),( )n nu v được xác định bởi: 2 2 1 1 1 1 1 1 . ; 2 ; n n n n n n u u a v u v v u v a b - - - - ì = + =ï í = =ïî (trong đó a là số thực dương) như sau: Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 20 - Ta có: 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 . ( ( ) . 2 . ( ( ) n n n n n n n n n n n n n n u u a v u au u au a v a v u u au u au - - - - - - - - - - ìì = + + = +ï ïÞí í = - = -ï ïî î 1 1 1 1 2 2 2 2 1 ( ) ( )2 1 ( ) ( ) 2 n n n n n n u a a v a a a a b a b a b a b - - - - ì é ù= + + -ï ê úï ë ûÞ í é ùï = + - -ê úë ûïî . 2) Áp dụng kết quả trên ta tìm được CTTQ của dãy 1 2 1 1 ( ) : 2 n n n n x x x ax x a - - ì = ï +í =ï î . Xét hai dãy 2 2 1 1 1 1 1 1 . ; ( ),( ) : 2 ; 1 n n n n n n n n u u a v uu v v v u v a- - - - ì = + =ï í = =ïî Khi đó: 1 1 1 1 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n n u a ax av a a a a a a - - - - + + - = = + + - . Ví dụ 1.23: Cho dãy 1 2 1 1 1 ( ) : 5 24 8 2n n n n u u u u u n- - ì =ï í = + - " ³ïî . Tìm nu ? Giải: Ta có: 2 3 49; 89; 881u u u= = = . Giả sử: 1 2n n nu xu yu- -= + 9 89 10 89 9 881 1 x y x x y y ì ì+ = =ï ïÞ Ûí í+ = = -ï ïî î . Ta chứng minh: 1 210n n nu u u- -= - 3n" ³ Từ công thức truy hồi của dãy ta có: 2 21 1( 5 ) 24 8n n nu u u- -- = - 2 2 1 110 8 0n n n nu u u u- -Û - + + = (1) thay n bởi 1n - , ta được: 2 2 2 2 1 110 8 0n n n nu u u u- - - -- + - = (2) . Từ 2(1),(2) ,n nu u-Þ là hai nghiệm của phương trình : 2 21 110 8 0n nt u t u- -- + - = Áp dụng định lí Viet, ta có: 2 110n n nu u u- -+ = . Vậy ( ) ( )1 16 2 6 25 2 6 5 2 62 6 2 6 n n nu - -- + = - + + . Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 21 - Dạng 13: 1) Dãy 1 2 1 1 1 ( ) : 5 8 2n n n n u u u u au n- - ì =ï í = + - " ³ïî là dãy nguyên 24aÛ = . Thật vậy: 2 5 8 5u a t= + - = + ( 8t a= - Î ¥ ) 2 23 5 ( 8)( 5) 8u t tÞ = + + + - 2 2 2 3 ( ) ( 8)( 5) 8 ( )u f t t t m mÞ Î Û = + + - = ΢ ¢ . Mà 2 2 2 2( 5 4) ( ) ( 5 14)t t f t t t+ + < < + + kết hợp với ( )f t là số chẵn ta suy ra 2 5m t t x= + + với { }6,8,10,12x Î . Thử trực tiếp ta thấy 4 24t a= Þ = . 2) Với dãy số 1 2 1 1 ( ) : 2n n n n u u u au bu c n a - - ì =ï í = + + " ³ïî , với 2 1a b- = ta xác định CTTQ như sau: Từ dãy truy hồi 2 2 2 21 1 1 1( ) 2 0n n n n n n nu au bu c u au u u c- - - -Þ - = + Û - + - = Thay n bởi 1n - , ta có: 2 22 1 2 12 0n n n nu au u u c- - - -- + - = 2 12n n nu u au- -Þ + = . 3) Với dãy 1 1 2 1 ( ) : 2nn n n u uu u n a cu b a - - ì = ïï í = " ³ ï + +ïî ,trong đó 0; 1aa > > ; 2 1a b- = ta xác định CTTQ như sau: Ta viết lại công thức truy hồi dưới dạng: 2 1 1 1 n n n a bcu u u- - = + + . Đặt 1n n x u= Ta có 21 1n n nu au bx c- -= + + đây là dãy mà ta đã xét ở trên. Ví dụ 1.24: Cho dãy 1 2 2 1 2 1 ( ) : 2 2n nn n u u u uu nu - - ì = = ï +í = " ³ï î . Tìm nu ? Giải: Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 22 - Ta có: 3 4 53; 11; 41u u u= = = . Ta giả sử 1 2n n nu xu yu z- -= + + .Từ 3 43; 11;u u= = 5 41u = ta có hệ phương trình: 1 2 3 4 3 11 1 4 11 3 41 0 n n n x y z x x y z y u u u x y z z - - ì ì+ + = = ï ï + + = Û = - Þ = -í í ï ï+ + = =î î Ta chứng minh 1 2 1 2 1( ) : 4 3n n n n u uu u u u n- - ì = =ï í = - " ³ïî · Với 3 2 13 4 3 3n u u u n= Þ = - = Þ = đúng · Giả sử 1 24k k ku u u- -= - . Ta có: ( )22 2 21 2 1 1 2 2 1 1 1 1 4 22 16 8 2k kk k k k k k k k k u uu u u u uu u u u - - - - - - + - - - - ++ - + + = = = 2 1 1 2 1 3 1 2 3 1 16 8 16 8k k k k k k k k k u u u u u u u uu - - - - - - - - - - + = = - + 1 2 2 3 14(4 ) (4 ) 4k k k k k ku u u u u u- - - - -= - - - = - Theo nguyên lí quy nạp ta có đpcm ( ) ( )1 13 1 3 12 3 2 32 3 2 3 n n nu - -+ - Þ = - + + . Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 23 - II. SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC ĐỂ XÁC ĐỊNH CTTQ CỦA DÃY SỐ Nhiều dãy số đại số có công thức truy hồi phức tạp trở thành đơn giản nhờ phép thế lượng giác. Khi trong bài toán xuất hiện những yếu tố gợi cho ta nhớ đến những công thức lượng giác thì ta có thể thử với phương pháp thế lượng giác. Ta xét các ví dụ sau Ví dụ 2.1: Cho dãy 1 2 1 1 ( ) : 2 2 1 2 n n n uu u u n- ì =ï í ï = - " ³î . Xác định CTTQ của dãy ( )nu . Giải: Từ công thức truy hồi của dãy, ta liên tưởng đến công thức nhân đôi của hàm số côsin Ta có: 21 2 1 2cos 2 cos 1 cos2 3 3 3u u p p p = = Þ = - = 2 3 4 2 4 82cos 1 cos cos3 3 3u u p p p Þ = - = Þ = .... Ta chứng minh 12cos 3 n nu p- = . Thật vậy · Với 2 1 2 2 22 cos cos3 3n u p p- = Þ = = (đúng) · Giả sử 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2cos 2 1 2cos 1 cos3 3 3 n n n n n nu u u p p p- - - - -= Þ = - = - = Vậy 12cos 3 n nu p- = 1n" ³ . Nhận xét: Với dãy số trên ta có thể sử dụng phương pháp thế lượng giác được khi 1 1u £ . Vậy trong trường hợp 1 1u > thì ta sẽ giải quyết như thế nào ? Khi đó để tìm CTTQ của dãy số ( )nu ta đặt 1 1 1( )2u a a= + ( trong đó 0a ¹ và cùng dấu với 1u ). Khi đó 2 2 42 32 2 4 1 1 1 1 1 1( 2 ) 1 ( ) ( )2 2 2u a a u aa a a = + + - = + Þ = + .... Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 24 - Ta chứng minh được 1 1 2 2 1 1( ) 12 n nnu a na - - = + " ³ . Trong đó a là nghiệm (cùng dấu với 1u ) của phương trình : 2 12 1 0a u a- + = . Vì phương trình này có hai nghiệm có tích bằng 1 nên ta có thể viết CTTQ của dãy như sau 1 12 2 2 2 1 1 1 1 1 1 12 n n nu u u u u - -é ù æ ö æ öê ú= - - + + -ç ÷ ç ÷ê úè ø è ø ë û . Ví dụ 2.2: Xác định CTTQ của dãy số 1 3 1 1 3 ( ) : 2 4 3 2 n n n n uu u u u n- - ì =ï í ï = - " ³î . Giải: Ta có: 2 3 1 2 3 3 3cos 4 cos 3cos cos 3 cos2 6 6 6 6 6u u u p p p p p = = Þ = - = Þ = ..... Bằng quy nạp ta chứng minh được: 13cos 6 n nu p- = . Nhận xét: 1) Để tìm CTTQ của dãy 1 3 1 1 ( ) : 4 3 2n n n n u p u u u u n- - ì =ï í = - " ³ïî , ta làm như sau · Nếu | | 1 0; : cosp pa p aé ù£ Þ $ Î =ë û . Khi đó bằng quy nạp ta chứng minh được : 1cos 3nnu a-= . · Nếu | | 1p > , ta đặt 1 1 1 2u a a æ ö = +ç ÷ è ø (a cùng dấu với 1u ) Bằng quy nạp ta chứng minh được 1 1 3 3 1 1 2 n nnu a a - - æ ö = +ç ÷ç ÷ è ø . Hay 1 13 3 2 2 1 1 1 1 1 1 12 n n nu u u u u - -é ù æ ö æ öê ú= - - + + -ç ÷ ç ÷ê úè ø è ø ë û . 2) Từ trường hợp thứ hai của bài toán trên, ta có cách tìm CTTQ của dãy số Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 25 - 1 3 1 1 ( ) : 4 3 2n n n n u p u u u u n- - ì =ï í = + " ³ïî bằng cách đặt 1 1 1( )2u a a= - . Khi đó bằng quy nạp ta chứng minh được : 1 1 1 1 3 3 3 2 2 1 1 1 13 1 1 1 1 12 2 n n n nnu a u u u ua - - - - é ùæ ö æ ö æ öê ú= - = + + + - +ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ ê úè ø è øè ø ë û . Ví dụ 2.3: Tìm CTTQ của dãy 1 2 1 3 ( ) : 2 2 2 n n n uu u u n- ì =ï í ï = - " ³î . Giải: Đặt 3 cos , ;4 2 pa a p æ ö - = Î ç ÷ è ø , khi đó : 2 1 22cos 2(1 2cos ) 2cos2u ua a a= - Þ = - = - . Bằng quy nạp ta chứng minh được 12 cos2nnu a-= - . Ví dụ 2.4: Tìm CTTQ của dãy số 1 2 1 1 2( ) : 2 2 1 22 n n n u u u u n- ì =ï ï í - -ï = " ³ïî . Giải: Ta có: 2 1 2 2 2 1 sin 2(1 cos )1 6 6sin sin2 6 2 2 2.6u u p p p p - - - = = Þ = = = Bằng quy nạp ta chứng minh được: 1sin 2 .6n n u p - = . Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 26 - Ví dụ 2.5: Cho ,a b là hai số thực dương không đổi thỏa mãn a b< và hai dãy ( ),( )n na b được xác định: 1 1 1 1 1 1 ; .2 ; 22 n n n n n n a ba b b a a ba b a b n- - - ì + = =ïï í +ï = = " ³ ïî . Tìm na và nb . Giải: Ta có: 0 1ab< < nên ta đặt cos a b a= với 0; 2 pa æ ö Î ç ÷ è ø Khi đó: 21 (1 cos )cos cos2 2 2 bb ba baa a++= = = và 21 . cos cos2 2b bb b a a = = 2 21 1 2 2 cos cos2 2 cos .cos2 2 2 2 b ba ba b a a a a++ = = = và 2 2cos cos2 2 b b a a= . Bằng quy nạp ta chứng minh được: 2 2cos cos ...cos2 2 2n n a b a a a= và 2cos cos ...cos2 2 2n n b b a a a= . Ví dụ 2.6: Cho dãy 1 1 1 3 ( ) : 2 1 2 1 (1 2) n n n n u u uu n u - - ì = ïï + -í = " ³ï + -ïî . Tính 2003u (Trích đề thi Olympic 30 – 4 – 2003 Khối 11). Giải: Ta có 1 1 tan 8tan 2 18 1 tan 8 n n n u u u p p p - - + = - Þ = - Mà 1 2 tan tan3 83 tan tan( )3 3 81 tan tan3 8 u u p p p p p p p + = = Þ = = + - Bằng quy nạp ta chứng minh được tan ( 1)3 8nu n p pé ù = + -ê ú ë û . Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 27 - Vậy 2003 2002tan tan ( 3 2)3 8 3 4u p p p pæ ö æ ö = + = + = - +ç ÷ ç ÷ è ø è ø . Chú ý : Để tìm CTTQ của dãy 1 1 1 ( ) : 21 n n n n u a u u bu nbu - - ì = ï +í = " ³ï -î . Ta đặt tan ; tana ba b= = , khi đó ta chứng minh được: tan ( 1)nu na bé ù= + -ë û Ví dụ 2.7: Tìm CTTQ của dãy số 1 1 2 1 3 ( ) : 2 1 1 nn n n u uu u n u - - ì = ïï í = " ³ï + +ïî . Giải: Ta có: 2 1 1 1 1 11 n n nu u u- - = + + . Đặt 1n n x u= khi đó ta được dãy ( )nx được xác định như sau: 21 1 1 1 và 1 3 n n n x x x x- -= = + + . Vì 21 2 1 cos1 3cot cot 1 cot cot3 3 3 2.33 sin 3 x x p p p p p p + = = Þ = + + = = Bằng quy nạp ta chứng minh được: 1 1cot tan 1,2,...2 .3 2 .3n nn n x u np p - - = Þ = " = Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 28 - III. XÁC ĐỊNH CTTQ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH Trong mục này chúng tôi sử dụng một số kiến thức của toán cao cấp để xây dựng một phương pháp xác định CTTQ của dãy số. Phương pháp này đưa vòa chỉ mang tính chất tham khảo, đó là phương pháp hàm sinh. Phương pháp hàm sinh là một phương pháp hiện đại, sử dụng các kiến thức về chuỗi, chuỗi hàm (đặc biệt là công thức Taylor). Trước hết ta có định nghĩa sau Định nghĩa 1: Cho dãy số 0 1 2, , ,..., ,...na a a a . Chuỗi hình thức 20 1 2( ) ... ...nnA x a a x a x a x= + + + + + gọi là hàm sinh của dãy ( )na Ta gọi đó là chuỗi hình thức vì ta không xét đến tính hội tụ hay tính giá trị của chuỗi mà ta chỉ xem đó như là một cách viết thuận tiện vậy. Ta đưa vào một số phép toán trên các chuỗi để xác định các hệ số cho các lũy thừa biến x . Định nghĩa 2: Với hai chuỗi bất kì 0 1( ) ... ...nnA x a a x a x= + + + + và chuỗi 2 0 1 2( ) ... ...nnB x b b x b x b x= + + + + + . Ta định nghĩa: ) a Phép cộng: 0 0 1 1( ) ( ) ( ) ... ( ) ...nn nA x B x a b a b x a b x+ = + + + + + + + ) b Phép nhân với một số: 0 1. ( ) ... ...nnk A x ka ka ka x= + + + + ) c Tích hai chuỗi: 0 1( ). ( ) ... ...nnA x B x c c x c x= + + + + với 0 1 1 0 0 ... k k k k k i k i i c a b a b a b a b- - = = + + + = å . Trong phương pháp này ta thường hay sử dụng công thức khai triển Newton mở rộng sau: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 ... 1 ... 1 ...2 ! nx xx x n n a a a a a a a+ = + + - + + - - + + Với a là một số hữu tỉ, 0a ¹ . Ta xét một số trường hợp đặc biệt. 1a· = - 2 31(1 ) 1 2 3! ... ( 1) ! ...1 2! 3! ! n nx x xx x nx n aÞ + = = - + - + + - + + 2 31 ... ( 1) ...n nx x x x= - + - + + - + Từ đây 1 2(1 ) 1 ... ...nx x x x-Þ - = + + + + + 1 2a· = 1 2 3 2 1 1 1 1 1 3 1 1 3 2 3(1 ) 1 . ... ( 1) ... ..2 2 2 2 2 2 2 3! 2 2 2 2 ! n nx x n xx x n - Þ + = + - + - - - - 2 3 2 3 1.3.5..(2 3)1 1 1.31 ... ( 1) ...2 2! 3! !2 2 2 n n n nx x xx n - = + - + - - - - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 29 - 1 2 2 2 1.3.5...(2 3)1 1(1 ) 1 ... ...2 2! !2 2 n n nx xx x n - Þ - = - - - - + 1 2a· = - 1 2 3 2 1 1 3 1 3 5 1 3 2 1(1 ) 1 ... ( 1) ... ..2 2 2 2 2 2 2 3! 2 2 2 ! n nx x n xx x n - - Þ + = - + - + + - + 2 2 1.3.5...(2 1)1 1.31 ... ( 1) ...2 2! !2 2 n n n nx xx n - = - + + + - + 1 2 2 2 1.3.5...(2 1)1 1.3(1 ) 1 ... ...2 2! !2 2 n n nx xx x n - - Þ - = + + + + + Tư tưởng sử dụng hàm sinh để tìm CTTQ của dãy số có thể tóm tắt như sau Để tìm CTTQ của dãy ( )na , ta xét hàm sinh ( )A x của dãy ( )na . Khi đó do tính chất của dãy ( )na nên ( )A x phải thỏa mãn một số hệ thức nhất định. Giải các hệ thức đó ta tìm được ( ) ( )A x f x= trong đó ( )f x là một hàm số chứa các biểu thức số học (cộng, trừ nhân, chia, lũy thừa,...), ta tìm cách khai triển ( )f x thành chuỗi và so sánh hệ số của nx ta tìm được na . Ví dụ 3.1: Cho dãy 0 1 1 1 1; 3( ) : 5 6 0 2n n n n a aa a a a n- - ì = - =ï í - + = " ³ïî . Tìm CTTQ của dãy ( )na . Giải: Xét ( )A x là hàm sinh của dãy ( )na . Khi đó: 0 1( ) ... ...nnA x a a x a x= + + + + 2 1 0 1 15 ( ) 5 5 ... 5 5 ...n nn nxA x a x a x a x a x +-Þ = + + + + + 2 2 3 1 20 1 2 16 ( ) 6 6 ... 6 6 6 ...n n nn n nx A x a x a x a x a x a x+ +- -= + + + + + + 2 2 0 1 0 2 1 0 1 2 ( ) 5 ( ) 6 ( ) ( 5 ) ( 5 6 ) ... ( 5 6 ) ... nn n n A x xA x x A x a a a x a a a x a a a x- - Þ - + = + - + - + + + + - + + Vì 15 6 0 2n n na a a n-- + = " ³ . 2 2 8 1 8 1(1 5 6 ) ( ) 1 8 ( ) (2 1)(3 1)6 5 1 x xx x A x x A x x xx x - - Þ - + = - + Þ = = - -- + Ta có: 6(3 1) 5(2 1)8 1 5 6 (2 1)(3 1) (2 1)(3 1) 1 3 1 2 x xx x x x x x x - - -- = = - - - - - - - Mà 1 2 2 1 (1 3 ) 1 3 3 ... 3 ...1 3 n nx x x xx -= - = + + + + + - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 30 - 1 2 2 1 (1 2 ) 1 2 2 ... 2 ...1 2 n nx x x xx -= - = + + + + + - ( ) 1 (5.3 6.2) ... (5.3 6.2 ) ...n n nA x x xÞ = - + - + + - + Vậy 5.3 6.2n nna = - . Ví dụ 3.2: Tìm CTTQ của dãy số 0 1a = và 0 1 1 0... 1n n na a a a a a-+ + + = 1n" ³ . Giải: Xét ( )A x là hàm sinh của dãy ( )na . Khi đó: 0 1( ) ... ...nnA x a a x a x= + + + + Ta có: 20 1 0 0 1 0 1 1 0( ) ( ) ( ) ... ( ... ) ...nn n nA x A x a a a a a x a a a a a a x-= + + + + + + + + 2 11 ... ... (1 )nx x x x -= + + + + + = - 1 2 2 2 1.3.5...(2 1)1 1.3( ) (1 ) 1 ... ...2 2! !2 2 n n nx xA x x x n - - Þ = - = + + + + + Vậy 1.3.5...(2 1) 2 . !n n na n - = . Ví dụ 3.3: Tìm CTTQ của dãy số: 0 0 1 1 2 1 01; ... 1n n n na a a a a a a a n- - -= = + + + " ³ . Giải: Ta có 0 1 1a a= = Xét ( )A x là hàm sinh của dãy ( )na . Khi đó: 0 1( ) ... ...nnA x a a x a x= + + + + Ta có: 20 1 0 0 1 0 1 1 0( ) ( ) ( ) ... ( ... ) ...nn n nA x A x a a a a a x a a a a a a x-= + + + + + + + + 21 2 3 1... ...nna a x a x a x+= + + + + + 2 2 2 1 2 0( ) ( ... ...) ( ( ) ) ( )nnx A x x a x a x a x x A x a xA x xÞ = + + + + = - = - ( )2( ) ( ) 0xA x xA x xÛ - + = . Giải phương trình này đối với ( )xA x , ta được: 1 1 4( ) 2 xxA x ± -= . Ta có: 1 2 2 2 2 1.3.5...(2 3)4 1 4 41 4 (1 4 ) 1 ... ...2 2! !2 2 n n n nxx x x xn - - = - = - - - - - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 31 - Þhệ số của kx trong khai triển thành chuỗi lũy thừa của 1 4x- bằng: 1.3.5...(2 3).2 0 ( )! kk xA xk - - < Þ không thể bằng 1 1 42 x+ - vì các hệ số của kx trong ( )xA x là các số nguyên dương. Do đó: 1 1 4( ) 2 xxA x - -= 2 2 2 .1.3.5...(2 3)1 2 2( ) ... ...2 1! 2! ! n nnxA x x x xn é ù- Þ = + + + +ê ú ê úë û 2 2 2 .1.3...(2 1)2 2 .1.3( ) 1 ... ...2! 3! ( 1)! n nnA x x x xn - Þ = + + + + + + Vậy 2 .1.3...(2 1) 2 .1.2.3.4...(2 1)2( 1)! ( 1)!.2.4.6...2 n n n n n na n n n - - = = + + 2 2 .(2 )! 1 1( 1)!. !.2 n n nn n Cnn n = = ++ . Chú ý : na ở bài toán trên ta thường gọi là số catalan . Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 32 - IV. ỨNG DỤNG BÀI TOÁN TÌM CTTQ CỦA DÃY SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ - TỔ HỢP Trong mục này chúng tôi đưa ra một số ví dụ các bài toán về dãy số và tổ hợp mà quá trình giải các bài toán đó chúng ta vận dụng một số kết quả ở trên. Ví dụ 4.1: Cho dãy số nguyên 1 2( ) : 2; 7nu u u= = và 2 1 2 1 1 2 2 n n n uu u - - - < - £ (2). Chứng minh nu lẻ 2n" ³ . Giải: Từ giả thiết, ta có: 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 n n n n n u uuu u - - - - - < £ + . Vì trên khoảng 2 2 1 1 2 2 1 1;2 2 n n n n u u u u - - - - æ ù ç ú- + ç úè û (có độ dài bằng 1) có duy nhất một số nguyên nên dãy đã cho xác định là duy nhất. Ta có: 3 425; 89u u= = . Ta giả sử 1 2n n nu xu yu- -= + . Từ 3 425; 89u u= = ta có hệ: 7 2 25 3 25 7 89 2 x y x x y y ì ì+ = =ï ïÛí í+ = =ï ïî î . Ta chứng minh dãy 1 2 1 2 2; 7( ) : 3 2 3n n n n v vv v v v n- - ì = =ï í = + " ³ïî thỏa mãn (2) Thật vậy, ta có: 2 2 1 2 1 2 2 .n n n n n n n v v v vv v v - - - - - - - = . Từ công thức truy hồi của dãy ta có được 2 2nnv n> " ³ (a). Mặt khác: 2 2 1 2 1 2 1 2 3(3 2 ) (3 2 )n n n n n n n n nv v v v v v v v v- - - - - - - -- = + - + 2 3 2 31 3 2 3 1 22( ) ... ( 2) ( ) ( 2)n nn n nv v v v v v- -- - -= - - = = - - = - (b) Từ (a) và (b) ta suy ra: 2 1 2 1 1 2 2 n n n vv v - - - < - £ . 1 2 1 2 2; 7( ) : 3 2 2n n n n u uu u u u n- - ì = =ïÞ í = + " ³ïî . Từ công thức truy hồi của dãy ( )nu ta thấy nu là số nguyên lẻ 2n" ³ . Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 33 - Ví dụ 4.2: Cho dãy số 0 1 1 1( ) : 0, 1, 2 1 1n n n na a a a a a n+ -= = = - + " ³ . Chứng minh rằng 24 1n nA a a += + là số chính phương. Giải: Từ công thức truy hồi của dãy ta thay 1n + bởi n ta được: 1 1 1 1 2 1 2 2 1 3 3 02 1 n n n n n n n n n n a a a a a a aa a a + - + - - - - ì = - +ï Þ - + - =í = - +ïî . Xét phương trình đặc trưng 3 23 3 1 0 1l l l l- + - = Û = 2( )na n na b gÞ = + + , do 0 1 2 10, 1, 3 0, 2a a a a b g= = = Þ = = = . 2 2 21 ( ) ( 1)( 2)( 3) ( 3 1)2na n n A n n n n n nÞ = + Þ = + + + = + + Þđpcm. Ví dụ 4.3: Cho dãy số 1 2 1 1( ) : 7, 50; 4 5 1975 2n n n nx x x x x x n+ -= = = = - " ³ . Chứng minh rằng 1996 1997x M (HSG Quốc Gia – 1997 ) Giải: Vì 1975 22(mod1997)- = do đó ta chỉ cần chứng minh dãy 1 14 5 22 1997n n nx x x+ -= + + M Đặt 1 1 1 1(4 5 22) 4( ) 5( ) 22 8n n n n n ny ax b a x x b ax b ax b a b+ + - -= + = + + + = + + + + - 14 5 22 8n ny y a b-= + + - . Ta chọn a, b sao cho: 22 8 0a b- = , ta chọn 4 11a b= Þ = . 1 1 1 2 1 14 11 39, 211; 4 5n n n n ny x y y y y y+ + + -Þ = + Þ = = = + Từ đây ta có được: 1996 1996 8( 1) 25.5 8 25.5 3 3 n n ny y - + + = Þ = . Vì 1996 19968 25.5 1 1 0(mod3) y+ º - + = Þ Î ¢ Theo định lí Fecma 1996 19965 1(mod1997) 11(mod1997)yº Þ º 1996 19964 11 11(mod1997) 0(mod1997)x xÞ + º Þ º . Nhận xét: Từ bài toán trên ta có kết quả tổng quát hơn là: 1px p- M với p là số nguyên tố lẻ. Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 34 - Ví dụ 4.4: Cho dãy số 0 1 1 1 20; 100( ) : 4 5 20 2n n n n u uu u u u n+ - ì = =ï í = + + " ³ïî .Tìm số nguyên dương h bé nhất sao cho: 1998 *n h nu u n+ - " ÎM ¥ (HSG Quốc Gia Bảng A – 1998 ). Giải: Đặt 2 5n na u= + , ta có dãy 0 1 1 1 45; 205( ) : 4 5 2n n n n a aa a a a n+ - ì = =ï í = + " ³ïî 10 125 125 5 5( 1) .5 .5 ( 1)3 3 6 3 2 n n n n n na uÞ = - + Þ = + - - . Vì 2( ) 1998 2.1998n h n n h n n h n n h na a u u u u a a+ + + +- = - Þ - Û -M M 2 32 .3 .37= Mà ( 1) .10 125.5( 1) 1 (5 1)3 3 n n h h n h na a+ - é ù- = - - + -ë û · Nếu h chẵn 5 1 4 125.5 (5 1) 4.27.37 5 1 813 5 1 37 h n h h n h n h a a+ ì - ïïÞ - = - Û -í ï -ïî M M M M (*) Gọi k là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn 5 1 37k - M . Vì 365 1 37 36 k- ÞM M { }1,2,3,4,12,18,36kÞ Î thử trực tiếp ta thấy chỉ có 36k = thỏa mãn 5 1 37 36 (1)h hÞ - ÞM M Chứng minh tương tự, ta cũng có: 5 1 81 (81) 54 (2)h h j- Þ =M M Từ (1) và (2) ta suy ra (*) 36,54 108 108h hé ùÛ = Þ ³ë ûM . · Nếu h lẻ: Vì (mod 1998)n h nu u+ º Nên ta có: 0 1 1 20(mod1998) 100(mod1998) h h u u u u+ ì º ºï í º ºïî 1 15 4 20 0(mod1998)h h hu u u- +Þ º - - º 1 0(mod1998)hu -Þ M Vì h lẻ 1hÞ - chẵn 125 25.56 6 h huÞ = - và 11 125 5.56 6 h hu -- = - 15 0(mod1998)h hu u -Þ º º mâu thuẫn với 20(mod1998)hu º . Với 108h = ta dễ dàng chứng minh được (mod1998) 1n h nu u n+ º " ³ . Vậy 108h = là giá trị cần tìm. Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 35 - Ví dụ 4.5: Cho dãy 0 1 2 1( ) : 2; 2 n n n n xx x x x+ + = = + 1) Tính 2000 ?x 2) Tìm phần nguyên của 2000 1 i i A x = = å (Olympic 30 – 4 – 2000 khối 11 ). Giải: Ta có: 1 1 1 1 31 12 1 1 n n n n n xx x x x+ + - - = Þ = + + - - . Đặt 0 1 11n n a ax= Þ =- và 1 1 1 3 1 23 1 12 3 1 n n n n n na a a x + + + - = + Þ = Þ = + - . a) Ta có: 2001 2000 2001 3 1 3 1 x += - b) Ta có: 2000 2000 11 1 1 2 12000 2 2000 2000 200133 1 3i ii i A A + = = = + Þ < < + < - å å Vậy [ ] 2000A = . Ví dụ 4.6: Cho dãy 2 1 1 (2 cos2 ) cos( ) : 1; (2 2cos2 ) 2 cos2 n n n n xx x x x a a a a+ + + = = - + - . Đặt 1 1 12 1 n n i i y nx= = " ³ +å . Tìm a để dãy số ( )ny có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. ( HSG Quốc Gia Bảng A – 2004 ). Giải: Ta có 2 2 1 1 1 2 sin 1 1 1 1(1 )sin2 1 3 3(2 1) 2 1 3 3n nn n nx x x a a - + = + Þ = + - + + + 2 2 11 1 1 1 1 1 1 1 3 1sin (1 ) (1 ) [ (1 )]sin2 1 2 23 3 3 3 n n n n i i n ni i ii y nx a a-= = = Þ = = + - = - + - - +å å å Vì 1lim 0 3n = nên dãy ( )ny có giới hạn hữu hạn sin 0 ka a pÛ = Û = Khi đó 1lim 2ny = . Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 36 - Ví dụ 4.7: Cho hai dãy 1 1 1( ),( ) : 1n n xx y y ì = -ï í =ïî và 2 2 1 2 2 1 3 2 8 2 3 2 n n n n n n n n n n x x x y y y x x y y + + ì = - - +ï í = + -ïî 1n" ³ . Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho p px y+ không chia hết cho p . (TH&TT – 327 ) Giải: Ta có: 12 2 1 1 1 12 ( 2 ) ... ( 2 ) 1 n n n n nx y x y x y - - -+ = + = = + = (1) Giả sử có một số tự nhiên k để 12 0k k ky x y += Þ = . Khi đó, ta có: 2 2 1 2 3 1 k k k x x x + + + ì = -ï í =ïî vô lí. Vậy 1 (2 )( 2 ) 0 n n n n ny x y x y n+ = - + ¹ " . Suy ra : 1 1 (3 4 )( 2 ) 3 4 (2 )( 2 ) 2 n n n n n n n n n n n n n n x x y x y x y y x y x y x y + + - + - + = - = - + - . Đặt 11 1 1 1 3 41; 2 1 n n n n n n x aa a ay a + + + + - + = Þ = - = - 1 1 1 2 1 2( 5)1 5 12 22 1 2 2 2 3 n n n n n n n aa a a a a - + + + + - Þ + = Þ = - Þ = - + + + 1 1 1 4.( 5) 1 2.( 5) n n n n n xa y - - - - Þ = = + - (2) Từ (1) và (2) 1 1 11 4.( 5) 1 2.( 5) 2 2( 5);3 3 3 n n n n n n nx y x y - - -- - + - - - Þ = = Þ + = . * Nếu 2 22 4 2 2p x y p= Þ + = Þ =M không thỏa yêu cầu bài toán. * Nếu 3 33 16p x y= Þ + = - không chia hết cho 3 3pÞ = thỏa yêu cầu bài toán. * Nếu 5p = ta thấy cũng thỏa yêu cầu bài toán. * Nếu 15 ( 5) 1(mod ) 0(mod )p p pp p x y p-> Þ - º Þ + º Vậy 3, 5p p= = là hai giá trị cần tìm. Ví dụ 4.8: Cho dãy 1 1 1 2 3( ) : 22(2 1) 1 n n n n u u uu nn u - - ì =ïï í ï = " ³ - +ïî . Tính tổng của 2001 số hạng đầu tiên của dãy ( )nu (HSG Quốc Gia – 2001 ). Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 37 - Giải: Ta có: 1 1 1 4 2 n n nu u - = + - (1). Đặt 1 ( )n n x n an bu = + + thay vào (1) ta được: 2 2 1 ( 1) ( 1) 4 2n nx an bn x a n b n n-+ + = + - + - + - 1 ( 2 4) 2n nx x a n a b-Þ = + - + + - - . Ta chọn 2;a b b= = 2 1 (2 1)(2 1)1 1 1 22 2 2n n n nx x nu - + Þ = = - Þ = - + = 2 1 1 (2 1)(2 1) 2 1 2 1nu n n n nÞ = = -- + - + 2001 2001 1 1 1 1 1 400212 1 2 1 4003 4003ii i u i i= = æ ö Þ = - = - =ç ÷- +è ø å å . Ví dụ 4.9: Cho hai dãy số ( );nx ( )ny xác định : 1 1 3 3 x y ì =ï í =ïî và 2 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n x x x yy y - - - - ì = + +ïï í =ï + +ïî 2n" ³ . Chứng minh rằng 2 3 2n nx y n< < " ³ . (Belarus 1999). Giải: Ta có: 21 2 cos 163 cot cot 1 cot cot6 6 6 2.6sin 6 x x p p p p p p + = = Þ = + + = = Bằng quy nạp ta chứng minh được: 1cot 2 .6n n x p - = . Theo kết quả của ví dụ 7 mục II, ta có: 1tan 2 .3n n y p - = Đặt cot ; tan2 . tan2 .cot 2 .3n n n n n n n n nn x y x ypa a a a a= Þ = = Þ = Đặt 2 2 2 1 2tan tan2 .cot . 1 1n n n tt tt t a a a= Þ = = - - . Vì 2 1 22 0 0 tan 1 16 6 33n n t tp pa³ Þ < < Þ < < = Þ £ - < Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 38 - 2 22 3 2 3 2 1 n n x y n t Þ < < Þ < £ " ³ Þ - đpcm. Ví dụ 4.10: Cho dãy số 1 2 1 | | 1 ( ) : 3 3 22 n n n n x x x xx n+ ì < ï í - + - ï = " ³ î . 1) Cần có thêm điều kiện gì đối với 1x để dãy gồm toàn số dương ? 2) Dãy số này có tuần hoàn không ? Tại sao ? (HSG Quốc Gia 1990). Giải: Vì 1| | 1x < nên tồn tại 1; : sin2 2 x p pa a æ ö Î - =ç ÷ è ø . Khi đó: 2 1 3sin cos sin( )2 2 3x pa a a= - + = - 3 1 3sin( ) | cos( ) |2 3 2 3x p pa a= - - + - . · Nếu 3 sin6 2 x p pa a- £ < Þ = · Nếu 3 2sin( )2 6 3x p p pa a- < < - Þ = - . Bằng quy nạp ta chứng minh được: ) i Nếu 6 2 p pa- £ < thì: sin khi 2 1 sin( ) khi 23 n n k x n k a p a ì = + ï= í - =ïî ) ii Nếu 2 6 p pa- < < - thì: 2sin( ) khi 2 13 1 sin( ) khi 23 n n k x k n k pa p a ì - = +ïï= " ³í ï - = ïî . 1) Dãy gồm toàn số dương sin 0 0 2 0sin 0 33 6 3 pa a pap p pa a ìì > ç ÷ï ï- £ <è øî ïî Vậy 1 30 2x< < là điều kiện cần phải tìm. 2) Dựa vào kết quả trên ta có: Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 39 - · Nếu 1 1sin sin 3 6 2x p pa a a æ ö = - Û = Û =ç ÷ è ø . Khi đó từ (1) ta có được 1 2 ... ... ( )n nx x x x= = = = Þ là dãy tuần hoàn. · Nếu 1 1 1 12 1 2 x x ì - £ <ïï í ï ¹ ïî thì dãy số có dạng 1 2 1 2, , , ,....x x x x · Nếu 1 11 2x- < < - thì dãy số có dạng 1 2 3 2 3, , , , ....x x x x x Ví dụ 4.11: Tính tổng 1 3 5 .. 2 1nS n= + + + + - , với n là số tự nhiên 1n ³ . Giải: Ta có: 1 1S = và 1 2 1n nS S n-- = - . Áp dụng nhận xét (1), ta đặt : ( )n nS x n an b= + + , thay vào (1), ta được: 1 ( ) ( 1) ( 1) 2 1n nx x n an b n a n b n- é ù- + + - - - + = -ë û 1 2 2 1n nx x an b a n-Þ - + + - = - Þ ta chọn 1; 0a b= = 2 1 1... 0n n nx x x S n-Þ = = = = Þ = . Ví dụ 4.12: Tính tổng 2 2 2 21 2 3 ...nS n= + + + + với n là số tự nhiên 1n ³ . Giải: Ta có 1 1S = và 21n nS S n-- = (2). Sử dụng nhận xét 1, ta đặt 2( )n nS x n an bn c= + + + . Thay vào (2) ta được: 2 2 2 1 ( ) ( 1) ( 1) ( 1)n nx x n an bn c n a n b n c n- é ù- + + + - - - + - + =ë û 2 2 1 3 (3 2 )n nx x an a b n a b c n-Þ - + - - + - + = Ta chọn 1 33 1 1, , : 3 2 0 20 1 6 a a a b c a b b a b c c ì =ïì = ïï ï- = Û =í í ï ï- + =î ï = ïî . 2 1 1 (2 1)( 1)1 1 1... 0 3 2 6 6n n n n n nx x x S n n n- æ ö + + Þ = = = = Þ = + + =ç ÷ è ø . Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 40 - Ví dụ 4.13: Tính tổng 1.2.3 2.3.4 ... ( 1)( 2)nS n n n= + + + + + 1n" ³ . Giải: Ta có: 1 6S = và 1 ( 1)( 2)n nS S n n n-- = + + 2n" ³ . Do 4 4 3 3 1 1( 1)( 2) ( 1) ( 1)4 2n n n n n n n é ù é ù+ + = + - + + - -ë û ë û 2 2 1 1( 1) ( 1)4 2n n n n é ù é ù- + - - + -ë ûë û . Đặt 4 3 21 1 1 1( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)4 2 4 2f n n n n n= + + + - + - + 1 1( ) ( 1) ... (1) 0n nS f n S f n S f-Þ - = - - = = - = ( 1)( 1)( 3)( ) 4n n n n nS f n + + +Þ = = . Ví dụ 4.14: Trong mp cho n đường thẳng, trong đó không có ba đường nào đồng quy và đôi một không cắt nhau. Hỏi n đường thẳng trên chia mặt phẳng thành bao nhiêu miền ? Giải: Gọi na là số miền do n đường thẳng trên tạo thành. Ta có: 1 2a = . Ta xét đường thẳng thứ 1n + (ta gọi là d ), khi đó d cắt n đường thẳng đã cho tại n điểm và bị n đường thẳng chia thành 1n + phần đồng thời mỗi phần thuộc một miền của na . Mặt khác với mỗi đoạn nằm trong miền của na sẽ chia miền đó thành 2 miền, nên số miền có thêm là 1n + . Do vậy, ta có: 1 1n na a n+ = + + Từ đây ta có: ( 1)1 2n n na += + . Chú ý : Với giả thiết ở trong ví dụ trên nếu thay yêu cầu tính số miên bằng tính số đa giác tạo thành thì ta tìm được: ( 2)( 1)2n n na - -= . Ví dụ 4.15: Trong không gian cho n mặt phẳng, trong đó ba mặt phẳng nào cũng cắt nhau và không có bốn mặt phẳng nào cùng đi qua qua một điểm. Hỏi n mặt phẳng trên chia không gian thành bao nhiêu miền ? Giải: Gọi nb là số miền do n mặt phẳng trên tạo thành Xét mặt phẳng thứ 1n + (ta gọi là ( )P ). Khi đó ( )P chia n mặt phẳng ban đầu theo n Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 41 - giao tuyến và n giao tuyến này sẽ chia ( )P thành ( 1)1 2 n n + + miền, mỗi miền này nằm trong một miền của nb và chia miền đó làm hai phần.Vậy 2 1 2 2n n n nb b+ + + = + . Từ đó, ta có: 2( 1)( 6) 6n n n nb + - += . Ví dụ 4.16: Trong một cuộc thi đấu thể thao có m huy chương, được phát trong n ngày thi đấu. Ngày thứ nhất, người ta phất một huy chương và 17 số huy chương còn lại. Ngày thứ hai, người ta phát hai huy chương và 17 số huy chương còn lại. Những ngày còn lại được tiếp tục và tương tự như vậy. Ngày sau cùng còn lại n huy chương để phát . Hỏi có tất cả bao nhiêu huy chương và đã phát trong bao nhiêu ngày? (IMO 1967). Giải: Gọi ka là số huy chương còn lại trước ngày thứ k 1a mÞ = , khi đó ta có: 1 1 6 6 6 ( 36) 6 427 7 7 k k k k ka a a m k - + æ ö = - Þ = - - +ç ÷ è ø 16 ( 36) 6 427 n na n m n - æ ö Þ = = - - +ç ÷ è ø 1736 7( 6) 6 n m n - æ ö Þ - = - ç ÷ è ø Vì ( )6,7 1= và 16 6n n- > - nên ta có 6 0 6 36n n m- = Û = Þ = . Vậy có 36 huy chương được phát và phát trong 6 ngày. Ví dụ 4.17: Có bao nhiêu xâu nhị phân độ dài n trong đó không có hai bit 1 đứng cạnh nhau? Giải: Gọi nc là số xâu nhị phân độ dài n thỏa mãn điều kiện đầu bài. Ta có 1 2c = ; 2 3c = . Xét xâu nhị phân độ dài n thỏa mãn điều kiện đầu bài có dạng 1 2 2 1......n n na a a a a- - . Có hai trường hợp · 1na = . Khi đó 1 0na - = và 2 2 1......na a a- có thể chọn là một xâu bất kỳ độ dài 2n - thỏa điều kiện. Có 2nc - xâu như vậy, suy ra trường hợp này có 2nc - xâu. Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 42 - · 0na = . Khi đó 1 2 1......na a a- có thể chọn là một xâu bất kỳ độ dài 1n - thỏa điều kiện. Có 1nc - xâu như vậy, suy ra trường hợp này có 1nc - xâu. Vậy tổng cộng xây dựng được 1 2 n nc c- -+ xâu, hay 1 2n n nc c c- -= + . 1 1 5 2 1 5 2 5 1 5 2 25 5 n n nc - - æ ö æ ö- - - + Þ = +ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø . Ví dụ 4.18: Cho số nguyên dương n . Tìm tất cả các tập con A của tập { }1,2,3,...,2X n= sao cho không tồn tại hai phần tử ,x y AÎ thỏa mãn: 2 1x y n+ = + (Thụy Sỹ 2006). Giải: Để giải bài toán này ta sẽ đi đếm số tập con A của X thỏa mãn luôn tôn tại hai phần tử ,x y AÎ sao cho 2 1x y n+ = + (ta gọi tập A có tính chất T ). Gọi na là số tập con A của tập { }1,2,...,2n có tính chất T Khi đó các tập con { }1,2,...,2 ,2 1,2 2A n n nÌ + + xảy ra hai trường hợp. TH1: Trong tập A chứa hai phần tử 1 và 2 2n + , trong trường hợp này số tập A có tính chất T chình bằng số tập con của tập gồm 2n phần tử { }2,3,4,...,2 ,2 1n n + và số tập con của tập này bằng 22 n . TH2: Trong tập A không chứa đầy đủ hai phần tử 1 và 2 2n + . Khi đó A phải chứa một tập 'A là tập con của tập { }2,3,4,...,2 ,2 1n n + sao cho có hai phần tử ', ' ' :x y AÎ ' ' 2 3x y n+ = + . Ta thấy số tập con 'A như trên chính bằng số tập con của tập {1,2,...,2 }n có tính chất T (Vì ta trừ các phần tử của { }2,3,4,...,2 ,2 1n n + đi một đơn vị ta được tập {1,2,...,2 }n và ', ' ' :x y AÎ ' ' 2 1x y n+ = + ) Hơn nữa với mỗi tập 'A ta có được ba tập A (bằng cách ta chọn A là 'A hoặc {1} 'AÈ hoặc {2 2} 'n A+ È ) Do vậy: 21 3 2 4 3n n nn n na a a+ = + Þ = - Vậy số tập con thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 4 3n nna- = . Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 43 - Bài tập áp dụng Bài 1: Tìm CTTQ của các dãy số sau 1) 1 2 1 11; 0, 2 1, 2n n nu u u u u n n+ -= = - + = + ³ 2) 1 2 1 10; 0, 2 3.2 , 2nn n nu u u u u n+ -= = - + = ³ 3) 1 2 1 10; 0, 2 3 2 , 2nn n nu u u u u n n+ -= = - - = + ³ 4) 1 2 3 1 2 30, 1, 3, 7 11. 5. , 4n n n nu u u u u u u n- - -= = = = - + ³ 5) 1 3 2 1 1 1 3 6 24 12 6 15 6 2n n n n u u u u u n- - - ì =ï í ï = - + - " ³î . 6) 1 1 1 3 3 2 3 2 1 ( 3 2) n n n u uu n u - - ì =ï ï í + -ï = " ³ ï - -î . Bài 2: Cho dãy số { }nb xác định bởi : ( )1 2 1 2 2. 3 1, 2 n n nb b b n N n b b - - ì = +ï Î ³í = =ïî Chứng minh rằng 5 ,2 n nb n N æ ö £ " Îç ÷ è ø Bài 3: Cho dãy số { }nu thoả mãn như sau : 0 1 1 2 , 1, 9 10. , 2 n n n n u Z N u u u u u n N n + - - ì Î "Î ï = =í ï = - " Î ³î Chứng minh : , 1k N k" Î ³ . 2 2 1 11) 10 . 8k k k ku u u u- -+ - = - 12) 5. 4k ku u -- M và 23. 1 2ku - M Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 44 - Bài 4: Cho dãy số nx xác định như sau: 0 1 1 2 1; 0 2 2 2n n n x x x x x n- - ì = =ï í - + = " ³ïî . Xác định số tự nhiên n sao cho : 1 22685n nx x+ + = . Bài 5: Cho dãy ( )nx được xác định bởi 0 1 1 1 1; 5 6 1n n n x x x x x n+ - ì = =ï í = - " ³ïî . Tìm { }lim 2n nx x (TH&TT T7/253). Bài 6: Xét dãy 1 1( ) : 2na a = và 1 1 2 2 2 1 1 (1 ) 12 n n aa n+ æ ö ç ÷- - = " ³ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø . Chứng minh rằng: 1 2 2005... 1,03a a a+ + + < (TH&TT T10/335). Bài 7: Cho dãy 20 1( ) : 2; 4 15 60 1n n n na a a a a n+= = + - " ³ . Hãy xác định CTTQ của na và chứng minh rằng số 2 1 ( 8)5 na + có thể biểu diễn thành tổng bình phương của ba số nguyên liên tiếp với 1n" ³ (TH&TT T6/262). Bài 8: Cho dãy số { }( )p n được xác định như sau: (1) 1;p = ( ) (1) 2 (2) ... ( 1) ( 1)p n p p n p n= + + + - - 2n" ³ . Xác định ( )p n (TH&TT T7/244). Bài 9: Xét dãy 1 3 2 1 2 ( ) : 3 2 9 9 3 2n n n u u u u n n n n- ì =ï í = + - + - " ³ïî . Chứng minh rằng với mỗi số nguyên tố p thì 1 1 2000 p i i u - = å chia hết cho p (TH&TT T6/286). Bài 10: Dãy số thực 0 2 1 ( ) : 2 1 0n n n x a x x x n+ ì =ï í = - " ³ïî . Tìm tất cả các giá trị của a để 0 0nx n< " ³ (TH&TT T10/313). Bài 11: Dãy số 0 1 1( ) : 1, 2nx x x= = và 1 2 1 1 . 2002 2001 2000 n n n n n n n x xx x x x x + + + + = + + 0n" ³ . Hãy tìm CTTQ của nx (TH&TT T8/298). Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 45 - Bài 12: Cho dãy số ( )na được xác định như sau: 1 1 1 1 2( ) : 12 1 n n n n a a aa nna - - ì =ïï í ï = " ³ +ïî . Tính tổng 1 2 1998...a a a+ + + . Bài 13: Cho dãy số ( )na được xác định bởi : 1 21.2.3, 2.3.4, ...,a a= = ( 1)( 2)na n n n= + + . Đặt 1 2 ...n nS a a a= + + + . Chứng minh rằng 4 1nS + là số chính phương . (HSG Quốc Gia – 1991 Bảng B ) Bài 14: Cho hai dãy số ( ),( )n na b được xác định như sau: 0 02; 1a b= = và 1 1 1 2 , 0n nn n n n n n a ba b a b na b+ + += = " ³+ . Chứng minh rằng các dãy ( )na và ( )nb có cùng một giới hạn chung khi n ® +¥ . Tìm giới hạn chung đó. ( HSG Quốc Gia – 1993 Bảng A ngày thứ 2) Bai 15: Cho các số nguyên ,a b . Xét dãy số nguyên ( )na được xác định như sau 0 1 2 3 2 1; ; 2 2; 3 3 0n n n na a a b a b a a a a a n+ + += = = - + = - + " ³ ) a Tìm CTTQ của dãy ( )na . ) b Tìm các số nguyên ,a b để na là số chính phương với 1998n" ³ . (HSG Quốc Gia – 1998 Bảng B). Bài 16: Cho dãy số 0 1 3( ) : (3 )(6 ) 18 1n n n aa a a n- ì =ï í - + = " ³ïî . Tính 1 1n i ia= å (Trung Quốc – 2004 ). Bài 17: Cho dãy số 0 2 1 1 1 ( ) : 7 45 36 12 n n n n a a a aa n- - ì = ï í + - ï = " ³ î . Chứng minh 1) na là số nguyên dương với 0n" ³ . 12) 1n na a+ - là số chính phương 0n" ³ . ( Trung Quốc – 2005 ). Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 46 - Bài 18: Cho dãy số 1 2 1 2 1; 2( ) : 4 3n n n n u uu u u u n- - ì = =ï í = - " ³ïî . Chứng minh rằng 2 1 3 nu - là số chính phương ( Chọn đội tuyển Nghệ an – 2007 ). Bài 19: Có n tấm thẻ được đánh số từ 1 đến n . Có bao nhiêu cách chọn ra một số thẻ (ít nhất 1 tấm) sao cho tất cả các số viết trên các tấm thẻ này đều lớn hơn hoặc bằng số tấm thẻ được chọn. Bài 20: Có bao nhiêu cách lát đường đi kích thước 3x2n bằng các viên gạch kích thước 1x2? Bài 21: Trong mặt phẳng cho n đường tròn đôi một cắt nhau và không có ba đường tròn nào có điểm chung. Hỏi n đường tròn đó chia mặt phẳng thành bao nhiêu miền ? Bài 22: Cho dãy đa thức : 3( ) 6 9P x x x= - + và ( ) ( (...( ( ))))nP x P P P x= n lần. Tìm số nghiệm cảu ( )P x và ( )nP x ? (Dự tuyển Olympic). Bài 23: Xác định hệ số 2x trong khai triển chính quy của đa thức 2 2 2 2 2( ) (...((( 2) 2) 2) ...) 2)kQ x x= - - - - - (có k dấu ngoặc). Bài 24: Cho dãy 0 1 1 1: 1, 1, 4 1n n n nx x x x x x n+ -= = = - " ³ và dãy số ( ) 0 1 1 1: 1, 2, 4 1n n n ny y y y y y n+ -= = = - " ³ . Chứng minh rằng: 2 23 1 0n ny x n= + " ³ (Canada – 1998 ). Bài 25: Có bao nhiêu tam giác có độ dài các cạnh là các số tự nhiên không vượt quá 2n (Macedonian – 1997 ). Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 47 - TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đại Số và Giải Tích lớp 11 Nâng Cao [2] Các bài thi Olympic Toán THPT Việt Nam, Tủ sách TH&TT – NXB GD 2007 [3] Một số bài toán chọn lọc về dãy số , Nguyễn Văn Mậu, NXBGD – 2003 [4] Các phương pháp đếm nâng cao, Trần Nam Dũng [5] Tạp chí Toán Học Và Tuổi Trẻ [6] Các diễn đàn Toán học như: maths.vn ; diendantoanhoc.net ; mathscop.org … [7] Tuyển tập các chuyên đề thi Olympic 30 – 4 Khối 11 [8] Phép quy nạp trong hình học, Yaglom – L.I.Golovina – IM (Khổng Xuân Hiển dịch xuất bản năm 1987)