Đề tài Rèn luyện năng lực giải toán tiếp tuyến với đồ thị (C) y = f(x) cho học sinh THPT theo định hướng TDST

ẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ NHẰM PHÁT TRIỂN KHẢ NĂNG TƢ DUY SÁNG TẠO 2.1. Tiếp tuyến của đường cong phẳng Cho đồ thị (C): ( )y f x . Gọi oM , M là hai điểm phân biệt và cùng thuộc đồ thị (C). Khi đó, nếu cố định điểm oM và cho điểm M di động trên (C) đến gần điểm oM thì vị trí giới hạn của cát tuyến ( oM M ) là tiếp tuyến oM T tại điểm oM .  lim o M Mo M M  Tiếp tuyến oM T 2.2. Phân loại các bài toán về tiếp tuyến với đồ thị hàm số ( )y f x 2.2.1. Bài toán 1: Viết phƣơng trình tiếp tuyến tại 1 điểm ( ; )o o oM x y thuộc đồ thị hàm số ( ) : ( )C y f x Phương pháp: Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm thì tiếp tuyến tại ( ; ) ( ) : ( )o o oM x y C y f x  có hệ số góc là '( )ok f x Phƣơng trình tiếp tuyến tại ( ; )o o oM x y của (C) là: ( ) : '( )( )o o od y f x x x y   Bài 1. Cho hàm số 3 2 m3 2 (C )y x x x   1) Viết phƣơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn 2) Viết phƣơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng -1 3) Viết phƣơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 6 4) Viết phƣơng trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm cho (C) với trục hoành M M1 Mo T … 10 5) Dự đoán và chứng minh rằng tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất. Phát biểu tổng quát cho hàm số 3 2 ( 0)y ax bx cx d a     . Bài giải 1) Ta có: 2' 3 6 2y x x    '' 6 6y x   '' 0 1y x   Do đó tọa độ điểm uốn là (1;0)U Phƣơng trình tiếp tuyến tại U là ( ) : '(1)( 1) 0 1d y y x x      2) Ta có: 1 6o ox y    và Ta có: '( ) '( 1) 11oy x y   . Suy ra Phƣơng trình tiếp tuyến là: ( ) : '( 1)( 1) 6 11 5d y y x x      3) Gọi ( ; )o o oM x y là tiếp điểm, ta có: 3 23 2 6 ( 3)( 2) 0 3o o o o o ox x x x x x         Vậy phƣơng trình tiếp tuyến là: ( ); '(3)( 3) 6 11 27d y y x x     4) Phƣơng trình giao điểm của (C) với Ox : 3 23 2 0 0; 1; 2x x x x x x       * 0ox   '( ) '(0) 2oy x y  ; ( ) (0) 0oy x y  ta có tiếp tuyến '(0)( 0) 0 2y y x x    * 1ox   '( ) '(1) 1oy x y   ; ( ) (1) 0oy x y  ta có tiếp tuyến '(1)( 1) 0 1y y x x      * 2ox   '( ) '(2) 2oy x y  ; ( ) (0) 0oy x y  ta có tiếp tuyến '(2)( 2) 0 2 4y y x x     5) Vì hệ số góc của mọi tiếp tuyến đều có dạng '( )f x và hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn bằng -1. Do đó, để chứng minh bài toán, ta chỉ cần chứng minh: '( ) 1f x   Điều này luôn đúng vì: '( ) 1 0,f x x R    (đpcm) Nhận xét: Chứng minh tƣơng tự ta có kết quả tổng quát của câu 5 nhƣ sau: “Cho hàm số 3 2 ( 0)y ax bx cx d a     Nếu 0a  thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất 11 Nếu 0a  thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất “ Bài 2. Cho hàm số 3( ) 1 ( 1)y f x x m x     ( )mC Viết phƣơng trình tiếp tuyến của ( )mC tại giao điểm của ( )mC với trục Oy. Tìm m để tiếp tuyến đó tạo với Ox; Oy một tam giác có diện tích bằng 8. Bài giải Gọi A Cm Oy  (0;1 )A m  Suy ra tiếp tuyến tại (0;1 )A m : ( ) : '(0) (1 )dm y f x m   Với 2'( ) 3f x x m  suy ra '(0)f m  Vậy tiếp tuyến: ( ) : 1dm y mx m    Gọi B dm Ox  1 (0; ) m B m   Có 1 1 1 . 1 . 8 2 2 OAB m S OAOB m m       2(1 ) 16 | |m m   2 2 (1 ) 16 , 0 9 4 5 (1 ) 16 , 0 7 4 3 m m m m m m m m                  Bài 3. Cho hàm số 2 2 2 ( ) 1 x x y C x     . Dự đoán rằng không có điểm nào trên (C) để tiếp tuyến tại M tạo với Ox góc 45o. Chứng minh điều dự đoán đó là đúng. Bài giải Giả sử ( ; )o oM x y thuộc (C) Suy ra tiếp tuyến tại M có hệ số góc: 2 2 2 '( ) ( 1) o o o o x x k y x x     Do tiếp tuyến tạo với Ox góc 45o suy ra hệ số góc tan 45 1ok   12 Do đó: 2 2 2 2 2 1 2 ( 1) ( 1) o o o o o o x x x x x x        (vô nghiệm) Kết luận: Không có điểm ( )M C để tiếp tuyến tại đó tạo với Ox góc 45 o Bài 4. Cho hàm số 2 2 2 ( ) 1 x x y C x     . Dự đoán tồn tại điểm M thuộc (C) để tiếp tuyến tại M tạo đƣờng thẳng 2y   góc 45 o . Chứng minh điều dự đoán đó là đúng. Bài giải Giả sử ( ; )o oM x y thuộc (C) Suy ra tiếp tuyến tại M có hệ số góc: 2 2 2 '( ) ( 1) o o o o x x k y x x     Do đƣờng thẳng 2y   //Ox nên tiếp tuyến tạo với 2y   góc 45 o tạo với Ox góc 45o Do đó hệ số góc 1k   Nếu 2 2 2 2 2 1 1 2 ( 1) ( 1) o o o o o o x x k x x x x          (vô nghiệm) Nếu 2 2 2 2 1 1 2 4 1 0 ( 1) o o o o o x x k x x x            2 6 6 1 2 2 ox        Viết 1 2 1 y x x     Kết luận: có 2 điểm 1 6 6 2 1 ; 3 2 2 6 M          2 6 6 2 1 ; 3 2 2 6 M           Trên (C) mà tiếp tuyến tại đó tạo với đƣờng thẳng y = -2 góc 45o 13 Bài 5. Cho hàm số 2 ( ) 1 x y C x   . Tìm điểm M thuộc (C) có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tiếp tuyến tại M tạo với 2 đƣờng tiệm cận một tam giác có chu vi bé nhất Bài giải 1 1 1 y x x      tiệm cận đứng 1x  ; tiệm cận xiên 1y x   giao điểm hai tiệm cận là điểm (1;2)I Giả sử ( ; ) ( )o oM x y C  2 1 o o o x y x    tiếp tuyến tại ( ; ) ( )o oM x y C 2 2 2 2 ( ) : ( ) ( 1) 1 o o o o o o x x x d y x x x x       2 1 1; 1 o o x A d x A x            1 2 1;2o oB d y x B x x      Có 2 2 2 1 1 o A I o o x IA y y x x        2 2( ) ( ) 2 2( 1)B I B I oIB x x y y x      2 2 2 2 . .cos45oAB AI BI AI BI   Với BĐT Cosi 2a b ab  Và chu vi C AI BI AB    2 2 4 2 2( 1) 8( 1) 8 1 ( 1) o o o o C x x x x                     ôs 2 4 2 2 32 8 C i C    14  Chu vi bé nhất 4min 4 2 2 32 8C    đạt đƣợc khi 22 12 2( 1) ( 1) 1 2 o o o x x x       Vì 4 1 1 1 2 o ox x    nên 4 4 4 1 1 1 ;2 2 2 2 M         Bài 6. Cho hàm số: )( 1 1 C x x y    . a) Gọi ( ; ) ( )o o oM x y C . Vẽ tiếp tuyến tại M với (C) cắt tiệm cận đứng tại A, cắt tiệm cận ngang tại B. Dự đoán diện tích tam giác IAB (I là giao điểm của hai đƣờng tiệm cận). Hãy chúng minh điều dự đoán là đúng. Từ đó khái quát lên đối với hàm nhất biến, hàm hữu tỉ. Mọi tiếp tuyến của đồ thị (C) đều lập với hai đƣờng tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi. b) Tìm tất cả các điểm thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến tại đó lập với hai đƣờng tiệm cận một tam giác có chu vi bé nhất. Bài giải a) Gọi )() 1 1 ;( 0 0 00 C x x xM    . 2 0 0 )1( 2 )('    x xy Phƣơng trình tiếp tuyến tại điểm M0 có dạng: 1 1 )( )1( 2 0 0 02 0       x x xx x y (d) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số (C) là: x = 1. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (C) là: y =1. Toạ độ giao điểm của hai đƣờng tiệm cận là A(1; 1). Toạ độ giao điểm của (d) với tiệm cận ngang là nghiệm của hệ:                   1 12 1 1 1 )( )1( 2 0 0 0 02 0 y xx y x x xx x y Gọi )1;12( 0 xC . 15 Tƣơng tự, toạ độ giao điểm của (d) với tiệm cận đứng là: ) 1 3 ;1( 0 0   x x B . Ta có : AB = 1 4 1 1 3 00 0     xx x AC = 12 0 x Do tam giác ABC vuông tại A nên diện tích của tam giác ABC là: 412. 1 4 . 2 1 . 2 1 0 0    x x ACABS ( Không đổi) (Điều phải chứng minh). Tổng quát: Diện tích tam giác tạo bởi tiếp tuyến tại một điểm bất kì thuộc đồ thị hàm số nhất biến ( hữu tỉ) với 2 tiệm cận của đồ thị là một số không đổi b) Ta có chu vi của tam giác ABC là: 2448)22(2 .2.22 22   p ABACACABACABACABBCACABp Dấu “ =” khi và chỉ khi AB = AC 12 1 4 0 0    x x        21 21 2)1( 0 02 0 x x x Vậy, những điểm thuộc (C) có hoành độ thoả mãn 21x thì tiếp tuyến tại đó lập với hai đƣờng tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất. 2.2.2. Bài toán 2: Viết phƣơng trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm ( ; )A AA x y cho trƣớc đến đồ thị hàm số ( ) : ( )C y f x * Phương pháp tìm tiếp điểm Cách 1: Giả sử tiếp tuyến đi qua ( ; )A AA x y tiếp xúc ( ) : ( )C y f x tại tiếp điểm có hoành độ ox suy ra phƣơng trình tiếp tuyến có dạng: ( ) : '( )( ) ( )o o od y f x x x f x   ( ; )A AA x y ( ) : ( )C y f x 16 - Điểm ( ; ) ( )A AA x y d  '( )( ) ( )A o A o oy f x x x f x   . Giải phƣơng trình này có nghiệm ox , từ đó có phƣơng trình tiếp tuyến Phương pháp 2: Sử dụng điều kiện tiếp xúc - Phƣơng trình đƣờng thẳng qua điểm ( ; )o o oM x y với hệ số góc k có phƣơng trình: ( ) ( )A Ad y k x x y   tiếp xúc với đồ thị ( ) : ( )C y f x  Hệ phƣơng trình ( ) ( ) '( ) o of x k x x y k f x      (*) có nghiệm Giả hệ phƣơng trình (*)  nghiệm ox  ( )o oy f x ; '( )ok f x - Phƣơng trình tiếp tuyến tại ox x là: ( ) : '( )( )o o od y f x x x y   Bài 1. Cho 3 3 1 (C)y x x   . Viết phƣơng trình tiếp tuyến của (C) qua điểm 2 ( ; 1) 3 M  Bài giải Phương pháp 1: - Gọi ( ; )o o oM x y là tiếp điểm, phƣơng trình tiếp tuyến là: ( ) : '( )( ) ( )o o od y f x x x f x   Với 3( ) 3 1o o o oy f x x x    ; ' 2'( ) 3 3o o oy f x x   - Điểm 2 ( ; 1) ( ) 3 M d    2 3 2 1 3 3 3 1 3 o o o ox x x x             0 1 o o x x     Với 0 1; ( ) 3o ox y f x       tiếp tuyến: 2 ( ) : 3 1 3 1 3 d y x x             Với 1 1; '( ) 0o ox y f x      tiếp tuyến: ( ) : 1d y   Phương pháp 2: Phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua 2 ( ; 1) 3 M  : 2 ( ) : 1 3 d y k x         17 (d) là tiếp tuyến: hệ điều kiện tiếp xúc 3 2 2 3 1 1 (1) 3 3 3 (2) x x k x k x                Thế pt(2) và pt(1) đƣợc: 3 2 2 3 1 3( 1) 1 3 x x x x            3 2 23 1 3 2 3 1x x x x x       3 22 2 0x x   0 1 x x     Với 0 3ox k     tiếp tuyến: 2 ( ) : 3 1 3 1 3 d y x x             Với 1 0ox k    tiếp tuyến: ( ) : 1d y   * Lời bình: Đối với bài toán này học sinh thường lầm hai khái niệm tiếp tuyến đi qua và tiếp tuyến tại điểm từ đó dẫn đến việc xác định thiếu tiếp tuyến của đồ thị (C). Vì vậy qua bài tập này phải cho học sinh nhận rõ hai loại tiếp tuyến này có sự khác nhau rõ rệt. Bài 2. Cho 3 23 2 (C)y x x    . Dùng hình tƣợng dự đoán trên đƣờng thẳng 2y  có vô số điểm M mà từ đó kẻ đƣợc 3 tiếp tuyến phân biệt tới đồ thị hàm số. CMR điều dự đoán đó là đúng. Bài giải * Phƣơng pháp 1: - Gọi ( ;2) 2M a y  - Gọi ( ; )o o oM x y là tiếp điểm phƣơng trình tiếp tuyến là: ( ) : '( )( ) ( )o o od y f x x x f x   Với 3 2( ) 3 2 oo o o y f x x x     ; ' 2'( ) 3 6o o o oy f x x x    - Điểm ( ;2) ( )M a d    2 3 22 3 6 3 2 oo o o o x x a x x x       18 2( 2)(2 (3 1) 2) 0o o ox x a x      2 2 2 (3 1) 2 0 (3) o o o x x a x        Để từ ( ;2)M a kẻ đƣợc 3 tiếp tuyến phân biệt thị hệ điều kiện có 3 nghiệm phân biệt  phƣơng trình (3) có hai nghiệm phân biệt khác 2 2(3 1) 16 0 8 2(3 1) 2 0 a a            3 1 4 3 1 4 6 12 a a a         1 5 3 2 a a a          Kết luận: ( ;2) 2M a y  với   5 ( ; 1) ; \ 2 3 a           thì từ ( ;2) 2M a y  kẻ đƣợc 3 tiếp tuyến phân biệt tới (C) * Phƣơng pháp 2 Gọi ( ;2) 2M a y  Phƣơng trình đƣờng thẳng qua ( ;2)M a : ( ) : ( ) 2d y k x a   (d) là tiếp tuyến  3 2 2 3 2 ( ) 2 (1) 3 6 3 ( 2) (2) x x k x a k x x x x              Thế (2) vào (1)  3 23 4 3 ( 2)( )x x x x x a       2( 2)(2 (3 1) 2) 0x x a x      2 2 2 (3 1) 2 0 (3) x x a x        Để từ ( ;2)M a kẻ đƣợc 3 tiếp tuyến phân biệt thị hệ điều kiện có 3 nghiệm phân biệt  phƣơng trình (3) có hai nghiệm phân biệt khác 2 2(3 1) 16 0 8 2(3 1) 2 0 a a            3 1 4 3 1 4 6 12 a a a          1 5 3 2 a a a          19 Kết luận: ( ;2) 2M a y  với   5 ( ; 1) ; \ 2 3 a           thì từ ( ;2) 2M a y  kẻ đƣợc 3 tiếp tuyến phân biệt tới (C) * Lời bình: Qua hai bài toán trên ta thấy bản chất của cả hai phương pháp đã nêu đều đi tìm tọa độ tiếp điểm nên chúng ta có thể chọn phương pháp 2 để thao tác giải toán dễ dàng hơn. Bài 3. Tìm m để từ (0;1)A kẻ đƣợc 2 tiếp tuyến phân biệt tới (Cm): 2 1 x mx m y x     Bài giải: Phƣơng trình đƣờng thẳng từ (0;1)A : ( ) : 1d y kx  (d) là tiếp tuyến  2 2 2 1 (1) 1 2 (2) ( 1) x mx m kx x x x k x            Thế (2) vào (1)  2 2 2 2 . 1 1 ( 1) x mx m x x x x x          2 3 2 21 2 ( 1)x mx m x x x x        2 2( 1) 1 0 (3)mx m x m      Để từ (0;1)A kẻ đƣợc 2 tiếp tuyến thì hệ tiếp xúc có 2 nghiệm  Phƣơng trình (3) có 2 nghiệm phân biệt khác 1  2 0 ' ( 1) ( 1) 0 2( 1) 1 0 m m m m m m m               0 0 1 0 1 1 0 m m m m           Bài 4. Cho 2 2 1 x x y x     . Dùng hình tƣợng dự đoán trên Oy tồn tại các điểm mà từ đó kẻ đƣợc đúng 1 tiếp tuyến tới đồ thị. CMR: điều dự đoán đó là đúng. Bài giải 20 Gọi (0; )A a Oy  đƣờng thẳng qua (0; )A a Oy : ( ) :d y kx a  (d) là tiếp tuyến  2 2 2 2 (1) 1 2 3 (2) ( 1) x x kx a x x x k x              2 2 2 2 2 3 . 1 ( 1) x x x x x a x x         2 3 2 2( 2)( 1) 2 3 ( 2 1)x x x x x x a x x          2( 2) 2( 1) 2 ( ) 0 (3)a x a x a f x        Để từ (0; )A a Oy kẻ đƣợc đúng 1 tiếp tuyến thì phƣơng trình (3) có đứng 1 nghiệm 1x  Nếu 2a   (3) có 1 nghiệm 2 3 x  Nếu 2a   (3) có 1 nghiệm 1x  ' 0 (1) 0 ' 0 (1) 0 f f           2 2 2 2 ( 1) ( 4) 0 (1) 2 0 ( 1) ( 4) 0 (loai) (1) 2 0 a a f a a f                     2 5 0 5 (1) 2 0 2 a a f          Kết luận: Điểm 5 (0; ) 2 A Oy   từ đó kẻ đƣợc đúng 1 tiếp tuyến tới đồ thị hàm số Bài 5. Cho hàm số: ).( 1 12 C x xx y    CMR: Có hai tiếp tuyến của (C) đi qua (1;0)A và vuông góc với nhau. Bài giải 21 Phƣơng trình đƣờng thẳng qua A(1; 0) với hệ số góc k có dạng: ( ) : ( 1)d y k x  Ta có: 1 12    x xx y 1 1 ( 1) x x     (C) Đƣờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau:             )2( )1( 1 1 )1()1( 1 1 1 )( 2 k x xk x x I có nghiệm. Từ (2) )3()1( 1 1 1    xk x x Lấy (1) – (3) ta đƣợc: k x  1 1 Do đó             k x k x I 2)1( 1 1 1 1 )( . Hệ này có nghiệm khi và chỉ khi                                )/( 2 51 )/( 2 51 0 01 0 1 0 2 1 22 mtk mtk k kk k kk k Vì k1k2 = -1 nên hai tiếp tuyến của (C) đi qua A(1; 0) vuông góc với nhau. Bài 6. Cho hàm số: 1 2    x x y (C) và điểm A(0; a). Xác định a để từ A kẻ đƣợc hai tiếp tuyến đến (C) sao cho hai tiếp điểm tƣơng ứng nằm về hai phía so với trục Ox Bài giải Phƣơng trình đƣờng thẳng qua A(0; a) có dạng: y = kx + a (d) Đƣờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau: 22             k x akx x x 2)1( 3 1 2 có nghiệm. (*)02)2(2)1( )1( 3 1 2 2 2        axaxaax xx x ( x =1 không là nghiệm). Qua A kẻ đƣợc 2 tiếp tuyến đến đồ thị (C) khi và chỉ khi phƣơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt (**) 2 1 0)2(3 1 0' 01                   a a a aa Gọi x1; x2 là các tiếp điểm. Do hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục hoành nên y(x1).y(x2) < 0 (x1; x2 là các nghiệm của phƣơng trình (*)) 0 1)( 4)(2 0 1 2 . 1 2 2121 2121 2 2 1 1          xxxx xxxx x x x x Theo định lí viet ta có:               t a a xx t a a xx 1 2 . 2 1 )2(2 21 21               5 4 . 1 0 1 45 0 12 44 t t t t tt tt +) 1010 1 3 1 1 2 1       aa aa a t (thoả mãn (**)). +) 1 3 2 0 )1(5 69 5 4 1 2 5 4              a a a a a t (thoả mãn (**)). Vậy,        1 3 2 1 a a thì yêu cầu bài toán đƣợc thoả mãn. 23 Bài 7. Cho hàm số 196 23  xxxy (C). Dự đoán từ một điểm bất kì trên đƣờng thẳng 2x  chỉ có thể kẻ đƣợc duy nhât 1 tiếp tuyến đến đồ thị (C) và chứng minh rằng điều dự đoán đó là đúng. Bài giải Gọi điểm B(2; b) là điểm bất kì nằm trên đƣờng thẳng x = 2. Phƣơng trình đƣờng thẳng qua B(2; b) có dạng: y = k(x - 2) +b (d). Đƣờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C ) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:       kxx bxkxxx 9123 )2(196 2 23 (*)1724122 )2)(9123(196 23 223   xxxb bxxxxxx Số tiếp tuyến cần tìm bằng số nghiệm của phƣơng trình (*) Xét hàm số 1724122 23  xxxy Tập xác định: D = R. Rxxxxy  0)2(624246' 22 . Do đó hàm số đồng biến. Vì hàm số đã cho luôn đồng biến nên đƣờng thẳng y = - b cắt đồ thị hàm số : 1724122 23  xxxy tại duy nhất một điểm hay phƣơng trình (*) có duy nhất một nghiệm. Vậy, từ một điểm nằm trên đƣờng thẳng x = 2 kẻ đƣợc một và chỉ một tiếp tuyến đến đồ thị (C). Bài 8. Cho hàm số 1  x x y (C). Gọi I là giao điểm của hai đƣờng tiệm cận của đồ thị hàm số. Dự đoán và chứng minh rằng: không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua I Bài giải 24 Ta có tiệm cận đứng x = -1. Tiệm cận ngang y = 1. Do đó toạ độ giao điểm của hai đƣờng tiệm cận là: I(-1; 1). Phƣơng trình đƣờng thẳng qua I(-1; 1) có dạng: y = k(x+ 1) + 1 (d). Đƣờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C ) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm: 21 1 1 1 1)1( )1( 1 1 )1( 1 1)1( 1 2 2                    xx xx x x xx x k x xk x x (vô nghiệm). (điều phải chứng minh). Bài 9. Cho hàm số 1 12    x xx y (C). Tìm các điểm trên trục tung mà từ đó kẻ đƣợc 2 tiếp tuyến đến đồ thị (C). Bài giải Viết lại y dƣới dạng 1 1 2   x xy (C). Gọi OybB );0( , Phƣơng trình đƣờng thẳng qua B có dạng: y = kx + b (d). Đƣờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm: (I)                          kkx x x bkx x x k x bkx x x 1 1 1 1 1 2 )1( 1 1 1 1 2 2 2 3 1 1 1 2 3 kb x kb x       Do đó (I)              )2( )1( 1 1 )1( 2 3 1 1 2 k x kb x Hệ có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm thỏa mãn (2) 25                   (*)04)3()1(2 3 ) 2 3 (1 0 2 3 22 2 bkbk bk k kb kb Yêu cầu bài toán thoả mãn khi phƣơng trình (*) có hai nghiệm khác b + 3             084 0)4)3(()1( 04)3()3)(1(2)3( 0' 22 22 b bb bbbb       2 1 b b Vậy, Các điểm trên trục tung có tung độ bé hơn -1 và khác -2 thì từ đó kẻ đƣợc 2 tiếp tuyến đến đồ thị (C). Bài 10. Cho 3 2( ) : ( )C y f x ax bx cx d     ( 0a  ) . Dự đoán và chứng minh rằng tại điểm uốn của (C) ta chỉ kẻ đƣợc đúng một tiếp tuyến đến (C) Bài giải Lấy bất kì ( , ( )) ( ) : ( )M m f m C y f x  . Đƣờng thẳng đi qua ( , ( ))M m f m với hệ số góc k có phƣơng trình: ( ) ( )y k x m f m   tiếp xúc ( ) : ( )C y f x ( ) ( ) ( ) '( ) f x k x m f m f x k       có nghiệm ( ) '( )( ) ( )f x f x x m f m    3 2 2 3 2(3 2 )( )ax bx cx d x bx c x m am bm cm d            3 2 2 2 2( ) ( ) ( ) (3 2 )( )a x m b x m c x m ax bx c x m          2( ) 2 ( ) ( ) 0x m ax am b x m am b          0; 2 am b x x a      Từ điểm ( , ( ))M m f m kẻ đƣợc đúng 1 tiếp tuyến đến (C) 3 2 3 am b b m am b m a a           Vậy , ( ) 3 3 b b M f C a a           là điểm kẻ đƣợc đúng 1 tiếp tuyến đến (C) 26 Nhận xét: ''( ) 6 2 0 3 b f x ax b x a        Điểm uốn: ; 3 3 b b U f a a           2.2.3. Bài toán 3: Viết phƣơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số ( )y f x khi biết trƣớc hệ số góc * Phương pháp tìm tiếp điểm Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k tiếp xúc ( ) : ( )C y f x tại tiếp điểm có hoành độ ox suy ra '( )of x k - Giải phƣơng trình '( )of x k suy ra các nghiệm ox Phƣơng trình tiếp tuyến tại ox x là: ( ) : ( )o od y k x x y   * Các dạng biểu diễn của hệ số góc - Dạng trực tiếp: 1 1, 2,..., ,..., 3,... 2 k      - Tiếp tuyến song song với đƣờng thẳng '( )oy ax b k f x a     - Tiếp tuyến vuông góc với đƣờng thẳng 1 '( )oy ax b k f x a       (với 0a  ) - Tiếp tuyến tạo với chiều dƣơng của trục Ox một góc α tank   với  15 ,30 ,45 ,60 ,75 ,105 ,120 ,135 ,150 ,165o o o o o o o o o o  - Tiếp tuyến tạo với đƣờng thẳng (d): y = ax + b một góc  . Khi đó: tan 1    ka ak với  15 ,30 ,45 ,60 ,75o o o o o  xo x1 x1 xn 27 Bài 1. Cho hàm số 23 3xxy  (C). Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến k = -3. Bài giải Ta có: xxy 63' 2  Do hệ số góc của tiếp tuyến k = - 3 nên: 1012363 22  xxxxx Với 21  yx . Pttt cần tìm là: 132)1(3  xyxy Bài 2.Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 13 23  xxy (C). Biết tiếp tuyến đó song song với đƣờng thẳng y = 9x + 2009. Bài giải Ta có xxy 63' 2  , do tiếp tuyến đó song song với đƣờng thẳng y = 9x + 2009 nên tiếp tuyến có hệ số góc k = 9 963 2  xx .       3 1 0322 x x xx . +) Với .31  yx Pttt của (C) tại x = - 1 là: 693)1(9  xyxy +) Với 13  yx . Pttt của (C) tại x = 3 là: 2691)3(9  xyxy Vậy, có 2 tiếp tuyến của (C) song song với đƣờng thẳng y = 9x + 2009 là: y = 9x + 6 và y = 9x - 26. Bài 3. Cho 22 5 ( ) 2 x x y C x    . Viết phƣơng trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đó vuông góc với : 4 1 0d x y   Bài giải: Viết lại 1 1 : 4 4 d y x    hệ số góc 1 4 dk   Gọi ox là hoành độ tiếp điểm  tiếp tuyến tại ox có hệ số góc 2 2 2 8 10 '( ) ( 2) o o t o o x x k f x x      (1) 28 Vì tiếp tuyến vuông góc với (d)  hệ số góc của tiếp tuyến . 1 4 (2)t d tk k k    Từ (1) và (2)  2 2 2 1 32 8 10 4 2 8 6 0 3 3( 2) o oo o o o o oo x yx x x x x yx                Kết luận: Có 2 tiếp tuyến vuông góc với (d) là: 1 : 4( 1) 3 4 1d y x x     ; 2 : 4( 3) 3 4 9d y x x     Bài 4. Chứng minh rằng trên đƣờng thẳng 7y  có 4 điểm mà tại mỗi điểm đó kẻ đƣợc 2 tiếp tiếp tuyến tạo với nhau góc 45o tới đồ thị hàm số 22 1 ( ) 1 x x y f x x      Bài giải Nhận xét 7y  là 1 tiếp tuyến của hàm số. Gọi ox là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ điểm ( ;7)M a thuộc 7y  và tạo với 7y  góc 45o Vì đƣờng thẳng 7y  song song với Ox  tiếp tuyến tạo với 7y  tạo với trục Ox góc 45o do đó có hệ số góc 1k   Đồng thời tiếp tuyến tại ox có hệ số góc 2 2 2 4 '( ) ( 1) o o o o x x k f x x     Nếu tiếp tuyến có hệ số góc 1k  thì : 2 2 2 2 4 1 2 1 0 (1) ( 1) o o o o o x x x x x        Phƣơng trình (1) có 2 nghiệm tức là có 2 điểm trên đƣờng thẳng 7y  mà tại mỗi điểm kẻ đƣợc 1 tiếp tuyến tạo với 7y  góc 45o Nếu tiếp tuyến có hệ số góc 1k   thì : 2 2 2 2 4 1 3 6 1 0 (2) ( 1) o o o o o x x x x x         Phƣơng trình (2) có 2 nghiệm tức là có 2 điểm trên đƣờng thẳng 7y  mà tại mỗi điểm kẻ đƣợc thêm 1 tiếp tuyến tạo với 7y  góc 45o Kết luận: Trên 7y  có 4 điểm mà tại mỗi điểm kẻ đƣợc 2 tiếp tuyến với nhau góc 45o (Trong đó có 1 tiếp tuyến chính là 7y  ) 29 Bài 5. Cho hàm số 393 23  xxxy (C). Chứng minh rằng trong số các tiếp tuyến của (C) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất. Bài giải Ta có hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm bất kì của đồ thị (C) là: k = 963' 2  xxy 66''  xy 10660''  xxy Xét dấu y” tìm đƣợc điểm uốn U(-1; 14). Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn là: k1 = -12. Bảng biến thiên của hàm số 963' 2  xxy x  -1  y’’ - 0 + y’   -12 Từ bảng biến thiên suy ra 12k . Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi x = -1 (hoành độ điểm uốn) (Điều phải chứng minh) Bài 6. Cho hàm số: )( )1( 22 C mx mmxmmx y    . Tìm điểm x0 để với mọi 0m , tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm x0 song song với một đƣờng thẳng cố định. Tìm hệ số góc của đƣờng thẳng đó. Bài giải Ta có: 2 0 0 22 0 02 22 )( 22 )(' )( 22 ' mx mxmmx xy mx mxmmx y       . Yêu cầu bài toán là tìm x0 để y’(x0) = k ( hằng số) 0m 30               )3(0 )2(02 )1(022 00)2()22( )( 22 2 0 2 00 0 2 0 2 00 2 0 2 0 0 22 0 kx xkx kx mkxmxkxmkx mk mx mxmmx Ta có : (3)       0 0 0x k +) Với x0 = 0 suy ra k = -2 (thoả mãn). +) Với k = 0       0 1 0 0 x x (vô nghiệm) Vậy, x0 = 0 và k = -2 thì thì tiếp tuyến của (C) tại x0 song song với một đƣờng thẳng cố định. Chú ý: Đối với bài toán tiếp tuyến mà từ yêu cầu của đề bài ta xác định hệ số góc của tiếp tuyến là tk . Khi đó trong lời giải chúng ta cần giả sử ox là hoành độ tiếp điểm và ta đi tìm hoành độ ox bằng việc giải phƣơng trình '( )o tf x k và từ đó suy ra tiếp tuyến. 2.3. Kết luận chương 2 Phần trình bày trên đây đã giúp chúng ta định hƣớng phƣơng pháp giải bài toán viêt phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số thƣờng gặp. Tuy nhiên khi găp những bài toán này học sinh cần phân tích đặc điểm của tiếp tuyến cần tìm phải thỏa mãn nhƣng điều kiện gì? và học sinh cần củng cố cho mình những kiến thức đại số và giải tích nhƣ giải hệ phƣơng trình, phƣơng trình, đạo hàm …mà vận dụng linh hoạt các bài toán và điều kiện một cách linh hoạt ,sáng tạo không máy móc mới mang lại thành công. 31 PHẦN KẾT LUẬN Các kết quả thu đƣợc của bài tiểu luận là: 1. Góp phần làm sáng tỏ nội dung khái niệm TDST và vai trò, vị trí của việc phát triển TDST trong dạy học toán 2. Giúp gáo viên có dễ dàng hơn trong việc hƣớng dẫn học sinh tiếp cận các dạng toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số, làm rõ đƣợc cách giải toán, tránh nhầm lẫn giữa các khái niệm 3. Xét ở một góc độ nào đó, đây là tài liệu tham khảo có hệ thống cho giáo viên giảng dạy bộ môn Toán Mặc dù có nhiều cố gắng nhƣng trong thời gian có hạn, kinh nghiệm nghiên cứu còn hạn chế nên đề tài không tránh khỏi những thiếu sót và mang tính chủ quan. Tác giả đề tài mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp của thầy để bài viết đƣợc hoàn thiện hơn. 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Quang (2010), Giáo trình Phát triển tư duy học sinh qua dạy học môn Toán, Đại học Cần Thơ. [2] Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hƣơng, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất (2010), Sách giáo khoa Đại số và Giải tích lớp 12, NXB Giáo Dục [3] Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên (2010), Sách giáo khoa Đại số và Giải tích lớp 11, NXB Giáo Dục. [4] Nguyễn Bá Kim, Vũ Dƣơng Thụy (1996), Phương pháp dạy học môn Toán, NXB Giáo dục. [5] Trần Phƣơng (2009) Bài giảng trọng âm ôn luyện môn Toán, NXB Đại học quốc gia Hà Nội. [6] Tuyển tập các đề thi Đại học, Cao đẳng môn toán. [7] Đề thi tốt nghiệp THPT các năm gần đây và tham khảo tài liệu trên mạng. [8] Trần Phƣơng – Nguyễn Đức Tấn, Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán, NXB Đại học sƣ phạm. 33 PHỤ LỤC BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ Chuyên đề 1: Tiếp tuyến với hàm số bậc ba 1.1. Bài toán tiếp tuyến tại điểm thuộc đồ thị hàm số ( )y f x Bài 1: Viết PTTT của đồ thị (C): y = f(x) = x3 – 3x + 5 khi biết: 1, Hoành độ của tiếp điểm là: x1 = -1; x2 = 2 2, Tung độ tiếp điểm là : y1 = 5; y2 = 3 Bài 2: Cho (C): y = f(x) = 2x 3 – 3x2 + 9x – 4. Viết PTTT của (C) tại các giao điểm của (C) với các đồ thị sau: 1, Đƣờng thẳng d: y = 7x + 4 2,Parapol P: y = -x 2 + 8x – 3 3, Đƣờng cong (C): y = x3 -4x2 + 6x – 7 Bài 3: Học viện quân y – 98 Cho hàm số: (Cm): y= x 3 + 1 – m(x + 1) 1,Viết PTTT của (Cm) tại giao điểm của (Cm) với oy 2, Tìm m để tiếp tuyến nói trên chắn 2 trục toạ độ tam giác có diện tích bằng 8 Bài 4: ĐH Thƣơng Mại – 20 Cho điểm A(x0;y0) đồ thị (C): y = x 3 – 3x + 1. Tiếp tuyến với (C) tại A(x0;y0) cắt đồ thị (C) tại điểm B khác điểm A . Tìm tọa độ điểm B Bài 5: ĐH Y Hà nội – 96 Cho (C): y = x3 + 3x2 + 3x + 5 1, CMR không tồn tại 2 điểm nào (C) để 2 tiếp tuyến tại đó  với nhau 2, Tìm k để (C) luôn có ít nhất 1 điểm sao cho tiếp tuyến tại điểm này  với đƣờng thẳng: y = kx + m Bài 6: Cho (Cm): y = f(x) = x 3 + 3x 2 + m + 1 1, Tìm m để (Cm) cắt đƣờng thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0;1),D, E. 2, Tìm m để các tiếp tuyến với (Cm) tại D và E vuông góc với nhau Bài 7: ĐH Quốc gia TP.HCM – 96 Cho (Cm): y = f(x) = x 3 + mx 2 + 1 Tìm m để (Cm) cắt đƣờng thẳng y = -x + 1 tại 3 điểm phân biệt A(0;1), B,C sao cho các tiếp tuyến với (Cm) tại B và C vuông góc với nhau. 34 Bài 8: HV Công nghệ BCVT HN – 01 Cho hàm số (C) : y = x3 – 3x 1, Cmr: đt (m): y = m(x+1) + 2 luôn cắt (C) tại điểm A cố định 2, Tìm m để (m) cắt (C) tại A, B,C phân biệt sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại B và C vuông góc với nhau. Bài 9: ĐH Ngoại ngữ HN – 01 Tìm các điểm trên đồ thị (C): y = 3 1 x 3 – x + 3 2 mà tiếp tuyến tại đó  với đƣờng thẳng y = - 3 2 3 1 x Bài 10: Cho đồ thị (C): y = f(x) = x3 – 3x2 + 1 Cmr trên (C) có vô số các cặp điểm mà tiếp tuyến tại từng cặp điểm song song với nhau đồng thời các đƣờng thẳng nối các cặp tiếp điểm này đồng quy tại một điểm cố định Bài 11: Cho đồ thị (C): y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a  0) Cmr trên (C) có vô số các cặp điểm mà tiếp tuyến tại từng cặp điểm song song với nhau đồng thời các đƣờng thẳng nối các cặp tiếp điểm này đồng quy tại một điểm cố định Bài 12: Cho đồ thị (C): y= x3 + 3x2 – 9x + 5. Tìm tiếp tuyến với (C) có hệ số góc min Bài 13: HV QHQT – 01 Cho đồ thị (C): y = 3 1 x 3 – mx2 –x + m – 1. Tìm t.tuyến với (C) có hệ số góc min Bài 15: HV Công Nghệ BCVT TP.HCM – 99 Giả sử 3 điểm A, B,C thẳng hàng và cùng thuộc đồ thị (C): y = x3 – 3x – 2 Các tiếp tuyến với (C) tại A,B,C cắt đồ thị (C) tại A1,B1,C1. Cmr A1,B1,C1 thẳng hàng Bài 16: Cho đồ thị (C): y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a  0) Giả sử 3 điểm A, B,C thẳng hàng và cùng thuộc đồ thị (C). Các tiếp tuyến với (C) tại A,B,C cắt đồ thị (C) tại A1,B1,C1. Cmr A1,B1,C1 thẳng hàng Bài 17: Cho (C1): y = x 3 – 4x2 + 7x – 4 và (C2) y = 2x 3 – 5x2 + 6x – 8. Viết PTTT của (C1) và (C2) tại giao điểm chung của (C1)  (C2) 35 Bài 18: ĐH KTQD – 98 Cmr trong tất cả các tiếp tuyến (C): y = x3 + 3x2 – 9x + 3, tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc min Bài 19: HV quân y – 97 Cho (C): y = x3 + 1 – k(x + 1) 1, Viết PTTT (t) tại giao của (C) với Oy 2, Tìm k để (t) chắn trên Ox, Oy một tam giác có diện tích bằng 8 Bài 20: ĐH An ninh – 20 Cho (Cm): y = x 3 + mx 2 – m – 1 1, Viết PTTT của (Cm) tại các điểm cố định mà (Cm) đi qua 2, Tìm quỹ tích giao điểm các tiếp tuyến đó Bài 21: ĐH Công đoàn – 01 Tìm điểm M  (C): y = 2x3 + 3x2 – 12x – 1 sao cho tiếp tuyến của (C) tại điểm M đi qua gốc tọa độ Bài 22: Cho hàm số (Cm): y = x3 + 3x2 + mx + 1. Xác định m để (Cm) cắt đt y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0;1), D,E. Tìm m để các tiếp tuyến tại D và E  với nhau. Bài 23: Cho hàm số (C): y = x3 + mx2 - m -1 1, Lập PTTT tại các điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với m Bài 24: Cho hàm số (C): y = x3 – 3x 1, Tìm m để (Cm) tiếp xúc với đt y = m(x+1) + 2 luôn cắt đồ thị (C) tại một điểm A cố định 2, Hãy xác định m để (d) cắt đồ thị (C) tại 3 điểm A, B,C khác nhau sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại B, C vuông góc với nhau. Bài 25: Tốt nghiệp trung học PT năm 2006 Cho hàm số (C): y = x3 – 6x2 + 9x Viết PTTT tại điểm uốn của đồ thị Bài 26: Cho hàm số: y = 3 1 x 3 – 2x2 + 3x. Viết PTTT tại điểm uốn của đồ thị Bài 27: CĐ Y tế Nghệ An – 04 Cho hàm số (Cm): y = x3 – mx + m – 2. Cmr tiếp tuyến của (Cm) tại điểm uốn của đồ thị luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi 1.2. Bài toán tiếp tuyến đi qua điểm ( ; )A AA x y tới đồ thị hàm số ( )y f x 36 Bài 1: ĐH Quốc gia TP.HCM – A – 01 Viết PTTT đi qua A( 12 19 ;4) đến (C): y = 2x3 – 3x2 + 5 Bài 2: Viết PTTT đi qua A(0;-1) đến (C): y = 2x3 + 3(m-1)x2 +6(m-2)x – 1 Bài 3: Cho hàm số (C): y = f(x) = x3 – 3x2 + 2 1, Viết PTTT đi qua A( 9 23 ;-2) đến (C) 2, Tìm trên đt y = -2 các điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến  với nhau Bài 4: ĐH SPII HN – B – 99 Cho (C): y = -x3 + 3x + 2 Tìm trên trục hoành các điểm kẻ đƣợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C) Bài 5: HV BCVT TP.HCM – 98 Cho (C): y = x3 – 12x + 12. Tìm trên đt y = -4 các điểm kẻ đƣợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C) Bài 6: ĐH Ngoại Thƣơng HN – 20 Cho (C): y = x3 – 6x2 + 9x – 1 Từ một điểm bất kì trên đt x = 2 kẻ đƣợc bao nhiêu tiếp tuyến đến (C) Bài 7: Tìm trên đồ thị (C): y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a  0) Các điểm kẻ đƣợc đúng một tiếp tuyến đến (C) Bài 8: Viết PTTT đi qua A( 3 2 ;-1) đến y = x3 – 3x + 1 Bài 9: ĐH Tổng hợp HN – 04 Viết PTTT đi qua A(2,0) đến y = x3 - x – 6 Bài 10: ĐH Y thái bình – 01 Viết PTTT đi qua A(3,0) đến y = -x3 + 9x Bài 11: Viết PTTT đi qua A(0,-1) đến y = 2x3 + 3x2 – 1 Bài 12: ĐH Dân lập Đông Phƣơng Viết PTTT đi qua A(-1,2) đến y = x3 – 3x2 + 2 Bài 13: ĐH Cần Thơ – D – 98 Viết PTTT đi qua A(-1,-2) đến y = x3- 3x2 + 2 Bài 14: ĐH An ninh – G – 98 Viết PTTT đi qua A(-1,2) đến y = x3 - 3x Bài 15: ĐH An ninh – G – 20 Viết PTTT đi qua A(1,0) đến y = x3 - 3x + 2 Bài 16: ĐH Mỹ thuật – 98 Viết PTTT đi qua A(1,-1) đến y = x3 - 3x + 2 Bài 17: HV Ngân hàng TP.HCM Viết PTTT đi qua A(1,3) đến y = 3x – 4x3 Bài 18: HV BCVT TP.HCM – 99 Cho đồ thị (C): y = -x3 + 3x2 – 2 37 Tìm các điểm (C) để kẻ đƣợc đúng một tiếp tuyến đến đồ thị (C) Bài 19: ĐH Ngoại thƣơng HN – 96 Cho đồ thị (C): y = x3 – 3x2 + 2 Có bao nhiêu tiếp tuyến đi qua điểm M nằm trên đồ thị (C) Bài 20: ĐH Dƣợc HN – 96 Cho đồ thị (C): y = x3 + ax2 + bx + c Tìm các điểm M  (C) để kẻ đƣợc đúng một tiếp tuyến đến đồ thị (C) Bài 21: Có bao nhiêu tiếp tuyến đi qua A(-2;5) đến (C): y = x3 -9x2 + 17x + 2 Bài 22: Có bao nhiêu tiếp tuyến đi qua A( 9 4 ; 3 4 ) đến (C): y = 3 1 x 3 – 2x2 + 3x + 4 Bài 23: Có bao nhiêu tiếp tuyến đi qua A(1;-4) đến (C): y = 2x3 + 3x2 – 5 Bài 24: Tìm trên đt y = 2 các điểm kẻ đƣợc 3 tiếp tuyến đến (C): y = -x3 + 3x2 – 2 Bài 25: Tìm trên đt y = 2 các điểm kẻ đƣợc 3 tiếp tuyến đến (C): y = x3 - 3x2 Bài 26: Tìm trên đt x = 2 các điểm kẻ đƣợc 3 tiếp tuyến đến (C): y = x3 - 3x2 Bài 27: Viết PTTT đi qua A( 36;2 ) đến y = x 3 - 3x 2 – 6x + 8 Bài 28: Tìm tất cả các điểm trên trục hoành mà từ đó kẻ đƣợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C): y = x 3 + 3x 2 trong đó có 2 tiếp tuyến  với nhau. Bài 29: Cho hàm số (C): y = x3 -3x2 + 2 Lập phƣơng trình các tiếp tuyến kẻ đến đồ thị từ điểm A( 9 23 ;-2) Bài 30: Cho hàm số (C): y = x3 – 3x2 + 2 1, Qua A(1;0) có thể kẻ mấy tiếp tuyến đến đồ thị (C). Hãy lập phƣơng trình các tiếp tuyến ấy 2, Cmr không có tiếp tuyến nào khác của đồ thị // với tiếp tuyến đi qua A(1;0) của đồ thị Bài 31: Cho hàm số (C): y = x3 – 3x Lập phƣơng trình các tiếp tuyến kẻ đến đồ thị từ điểm A(-1;2) Bài 32: Cho hàm số (C): y = 2x3 – 3x2 + 5 Lập phƣơng trình các tiếp tuyến kẻ đến đồ thị từ điểm A( 12 19 ;4) 38 Bài 33: Cho hàm số (C): y = 2x3 + 3x2 – 12x – 1 Tìm đểm M(C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M đi qua gốc tọa độ O: 1.3. Bài toán tiếp tuyến với đồ thị hàm số ( )y f x khi biết trƣớc hệ số góc Bài 1: Viết PTTT với đồ thị (C): y = x3 – 3x2 biết tiếp tuyến  với đt y = x 3 1 Bài 2: Viết PTTT với đồ thị (C): y = x3 – 3x2 + 1 biết t.tuyến // y = 9x + 2001 Bài 3: Cho đồ thị (C): y = x3 – 3x + 7 1, Viêt PTTT với (C) biết tiếp tuyến // với y = 6x – 1 2, Viêt PTTT với (C) biết tiếp tuyến  y = - 9 1 x + 2 3, Viêt PTTT với (C) biết tiếp tuyến tạo với y = 2x+3 góc 450 Bài 4: Viêt PTTT với (C): y = -x3 + 3x biết tiếp tuyến // y = -9x + 1 Bài 5: Viêt PTTT với (C): y = x3 – 3x2 + 4 biết tiếp tuyến // y = 9x Bài 6: Viêt PTTT với (C): y = x3 – 3x2 +2 biết tiếp tuyến  5y – 3x + 4 = 0 Bài 7: Viêt PTTT với (C): y = x3 – 3x2 + 2 biết tiếp tuyến  y = 3 x Bài 8: Cho đồ thị (C): y = 2x3 – 3x2 – 12x – 5 1, Viết PTTT // với y = 6x – 4 2, Viết PTTT  y = - 3 1 x + 2 3, Viết PTTT tạo với y = - 2 1 x + 5 góc 45 0 Bài 9: Cho đồ thị (C): y = 3 1 x 3 – 2x2 + x – 4 1, Viết PTTT có hệ số góc k = -2 2, Viết PTTT tạo với chiều dƣơng Ox góc 600 3, Viết PTTT tạo với chiều dƣơng Ox góc 150 4, Viết PTTT tạo với trục hoành Ox góc 750 39 5, Viết PTTT // với đt y = -x + 2 6, Viết PTTT  với đt y = 2x – 3 7, Viết PTTT tạo với đt y = 3x + 7 góc 450 8, Viết PTTT tạo với đt y = - 2 1 x + 3 góc 30 0 Bài 10: ĐH Bách Khoa HN – 90 Cho (C): y = 3 1 x 3 + x 2 – 8x + 15 Lấy điểm A bất kì thuộc (C) nằm ở giữa CĐ và CT. CMR luôn tìm đƣợc 2 điểm B1 và B2 (C) sao cho các tiếp tuyến của (C) tại B1,B2 vuông góc với tiếp tuyến tại A Bài 11: Cho hàm số (C): y = x3 – 3x2 + 2. Lập PTTT của đồ thị biết tiếp tuyến  với đt (d): 3x – 5y – 4 = 0 Bài 12: Cho hàm số (C): y = x3 -3x. Lập PTTT của đồ thị biết 1, Tiếp tuyến // với đt (d1): x + 3y – 1 = 0 2, Tiếp tuyến  với đt (d2): x – y – 2 = 0 Bài 13: Cho hàm số: y = 3 1 x 3 + mx 2 – 2x – 2m - 3 1 Với m = 2 1 viết PTTT của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến // với đt (d):y = 4x + 2 Bài 14: Cho hàm số: y = -x3 +3x. Viết PTTT song song đƣờng thẳng y = -9x Chuyên đề 2: Tiếp tuyến với hàm đa thức bậc bốn 2.1. Bài toán tiếp tuyến tại điểm ( ; )o o oM x y thuộc đồ thị hàm số ( )y f x Bài 1: Cho hai đồ thị (C): y = f(x) = (x+1)2(x-1)2 và (P): y = g(x) = 2x2 + m 1, Tìm m để (C) và (P) tiếp xúc nhau 2, Viết PTTT chung tại các điểm chung của (C) và (P) Bài 2: ĐH Huế - D – 98 Cho đồ thị (C): y = -x4 + 2mx2 – 2m + 1 Tìm m để các tiếp tuyến với đồ thị tại A(1;0), B(-1;0)  với nhau Bài 3: Cho đồ thị (C): y = 2 1 x 4 – 3x2 + 2 5 40 1, Gọi (t) là tiếp tuyến của (C) tại M với XM = a. CMR hoành độ các giao điểm của (t) với (C) là nghiệm của p.tr: (x-a)2(x2 + 2ax + 3a2 – 6) = 0 2, Tìm a để (t) cắt (C) tại P, Q phân biệt khác M. Tìm quỹ tích trung điểm K của đoạn PQ Bài 4: Cho đồ thị (C): y= f(x) = -x4 + 2x2.Viết PTTT tại A( 0;2 ) Bài 5: Cho đồ thị (C): y = 4 1 x 4 – 2x2 – 4 9 .Viết PTTT tại giao điểm của (C) với Ox Bài 6: Cho hàm số (C): y = x4 – 4x3 + 3. Cmr tồn tại duy nhất một tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt. Hãy lập PTTT này và cho biết hoành độ hai tiếp điểm Bài 7: Cho hàm số (C): y = -x4 + 2mx2 – 2m + 1. Tìm m để các tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại A(1;0), B(-1;0) vuông góc với nhau Bài 8: Cho hàm số (Cm): y = x4 + mx2 – m – 1. 1, Tìm m để (Cm) tiếp xúc với đt y = 2(x-1) tại điểm có hoành độ x = 1 2, Cmr (Cm) đi qua hai điểm cố định 2.2. Bài toán tiếp tuyến đi qua điểm ( ; )A AA x y tới đồ thị hàm số ( )y f x Bài 1: Cho đồ thị (C): y = f(x) = 2 1 x 4 - 2 1 x 2 . Viết PTTT đi qua O(0;0) đến (C) Bài 2: Cho đồ thị (C): y = f(x) = (2-x2)2. Viết PTTT đi qua A(0;4) đế (C) Bài 3: Cho đồ thị (C): y = 2 1 x 4 – 3x2 + 2 3 . Viết PTTT đi qua A(0; 2 3 ) đến (C) Bài 4: Cho đồ thị (C): y = f(x) = x4 – x2 + 1.Tìm các điểm A thuộc Oy kẻ đƣợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C) Bài 5: Cho đồ thị (C): y = -x4 + 2x2 – 1.Tìm tất cả các điểm thuộc Oy kể đƣợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C) Bài 6: Viết PTTT đi qua A(1;-4) đến đồ thị (C): y = x4 – 2x3 – 2x2 + 4 5 41 Bài 7: Viết PTTT đi qua A(5;- 4 9 ) đến đồ thị (C): y = x4 – x3 + 2x2 – 1 Bài 8: Cho hàm số (C): y = x4 – x2 1, Chứng tỏ rằng qua A(-1;0) có thể kẻ đƣợc 3 tiếp tuyến tới (C). Lập phƣơng trình các tiếp tuyến đó 2, Lập phƣơng trình parapol đi qua các tiếp điểm Bài 9: Cho hàm số (Cm): y = 2 1 x 4 – mx2 + 2 3 Lập phƣơng trình các tiếp tuyến đi qua A(0; 2 3 ) tới đồ thị hàm số 2.3. Bài toán tiếp tuyến với đồ thị hàm số ( )y f x khi biết trƣớc hệ số góc Bài 1: Viết PTTT của (C): y = 4 1 x 4 - 3 1 x 3 + 2 1 x 2 + x – 5 // với đt y = 2x – 1 Bài 2: Viết PTTT của (C): y = x4 – 2x2 + 4x – 1  với đt y = - 4 1 x + 3 Bài 3: Cho hàm số (C): y = f(x) = 2 1 x 4 – x3 – 3x2 +7. Tìm m để đồ thị (C) luôn có ít nhất 2 tiếp tuyến // y = mx Bài 4: ĐH SP Vinh – 99 Cho (Cm): y = x4 + mx2 – m + 1. Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại A // với đt y = 2x với A là điểm cố định có hoành độ dƣơng của (Cm). Bài 5:Cho hàm số (C): y = x4 – x2 + 3. Lập PTTT của đồ thị biết 1, Tiếp tuyến // với đt (d1): 2x - y – 6 = 0 2, Tiếp tuyến  với đt (d2): x – 2y – 3 = 0 Chuyên đề 3: Tiếp tuyến với hàm số nhất biến, hữu tỉ 3.1. Bài toán tiếp tuyến tại điểm ( ; )o o oM x y thuộc đồ thị hàm số ( )y f x Bài 1: Tìm a, b để đồ thị (C): y = 1  x bax cắt Oy tại A(0;-1) đồng thời tiếp tuyến tại A có hệ số góc bằng 3 42 Bài 2: Tìm m để tại giao điểm của (C): y = mx mmxm   2)13( (m≠0) với trục Ox tiếp tuyến này của (C) // với ( ): y + 10 = x. Viết phƣơng trình tiếp tuyến Bài 3: ĐH KTQD – 20 Cho (C): y = 3 1   x x . Tìm tọa độ các giao điểm của tiếp tuyến )( : y = x + 2001 với trục hoành Ox Bài 4: Cho Hyperpol (C): y = 1 12   x x và điểm M bất kì thuộc (C). Gọi I là giao của 2 tiệm cận.Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B 1, Cmr: M là trung điểm của AB 2, Cmr: diện tích ( IAB) = hằng số (conts) 3, Tìm M để chu vi ( IAB) nhỏ nhất Bài 5: HV BCVT – 98 Cho đồ thị: y = 1 1   x x . Cmr mọi tiếp tuyến của (C) tạo với 2 tiệm cận của (C) một tam giác có diện tích không đổi Bài 6: Cho đồ thị: y = 32 54   x x và điểm M bất kì thuộc (C). Gọi I là giao điểm của 2 tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B 1, Cmr: M là trung điểm của AB 2, Cmr: diện tích ( IAB) = hằng số (conts) 3, Tìm M để chu vi ( IAB) nhỏ nhất Bài 7: Cho đồ thị (Cm): y = mx mx   32 . Tìm m để tiếp tuyến bất kì của (Cm) cắt 2 đƣờng tiệm cận tạo nên 1 tam giác có diện tích bằng 8 Bài 8: ĐH Thƣơng mại – 94 Cho đồ thị (Cm): y = mx mxm   )13( .Tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm của (Cm) với Ox // với y = -x -5 43 Bài 9: ĐH Lâm nghiệp – 01 Cho đồ thị (C): y = 3 13   x x và M bất kì thuộc (C). Gọi I là giao 2 tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B 1, Cmr: M là trung điểm của AB 2, Cmr: diện tích ( IAB) = hằng số (conts) 3.2. Bài toán tiếp tuyến đi qua điểm ( ; )A AA x y tới đồ thị hàm số ( )y f x Bài 1: Viết PTTT đi qua A(0,1) đến đồ thị (C): y = 12 34   x x Bài 2: Tìm trên đt x= 3 các điểm kẻ đƣợc tiếp tuyến đến (C): y = 2 12   x x Bài 3: Tìm trên Oy những điểm kẻ đúng 1 tiếp tuyến đến đồ thị (C): y = 1 1   x x Bài 4: Tìm trên đt y = 2 các điểm kẻ đƣợc tiếp tuyến đến (C): y = 34 43   x x Bài 5: Tìm trên đt y = 2x +1 các điểm kẻ đƣợc đúng một tiếp tuyến đến (C): y = 1 3   x x Bài 6: Tìm m để từ A(1;1) kẻ đƣợc 2 tiếp tuyến AB,AC đến đồ thị (C): y = x m sao cho ABC đều (ở đây B, C là hai tiếp điểm) Bài 7: Cho hàm số (C): y = 1 2   x x . Tìm A(0,a) để từ A kẻ đƣợc 2 tiếp tuyến đến (C) sao cho 2 tiếp tuyến nằm về 2 phía của Ox. Bài 8: Cho h/s(C): y = 2 2   x x . Viết PTTT đi qua A(-6,5) đến đồ thị (C) Bài 9: CMR không có tiếp tuyến nào của đồ thị (C): y = 1x x đi qua giao điểm I của 2 đƣờng tiệm cận. Bài 10: ĐH Huế - D – 01 Viết PTTT từ O(0,0) đến (C): y = 2 )1(3   x x 44 Bài 11: Tìm m để từ A(1,2) kẻ đƣợc 2 tiếp tuyến AB, AC đến đồ thị (C): y = 2  x mx sao cho  ABC đều ( với B, C là 2 tiếp điểm) Bài 12: Cho h/s: y = 1 12   x x . Gọi I là giao điểm của 2 tiệm cận (C). Tìm điểm M (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đƣờng thẳng IM 3.3. Bài toán tiếp tuyến với đồ thị hàm số ( )y f x khi biết trƣớc hệ số góc Bài 1: Cho (C): y = 1 23   x x . Viết PTTT của (C) tạo với trục hoành góc 450 Bài 2: Cho (C): y = 12 54   x x . Viết PTTT của (C) // ( ): y = 3x +2 Bài 3: Cho (C): y = 45 32   x x . Viết PTTT của (C) )( : y = -2x Bài 4: Cho (C): y = 1 34   x x . Viết PTTT của (C) tạo với ( ): y = 3x góc 450 Bài 5: Cho (C): y = 52 73   x x . Viết PTTT của (C) khi biêt: 1, Tiếp tuyến // (d): y = 2 1 x + 1 2, Tiếp tuyến  (d): y = -4x 3, Tiếp tuyến tạo với (d): y = -2x góc 450 4, Tiếp tuyến tạo với (d): y = -x góc 600 Bài 6: Cho (C): y = 33 56   x x . Cmr trên đồ thị (C) tồn tại vô số các cặp điểm sao cho tiếp tuyến tại các cặp điểm này song song với nhau đồng thời tập hợp các đƣờng thẳng nối các cặp tiếp điểm đồng quy tại 1 điểm cố định. 45 DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG TIỂU LUẬN Tƣ duy sáng tạo TDST Trung học cơ sở THCS Trung học phổ thông THPT Phƣơng trình tiếp tuyến PTTT Chứng minh rằng CMR Sách giáo khoa SGK 46 MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1 1. Lý do chọn đề tài .................................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu .............................................................................................. 2 3. Giả thuyết khoa học ............................................................................................... 2 4. Nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................................................. 3 5. Phƣơng pháp nghiên cứu ....................................................................................... 3 6. Cấu trúc tiểu luận ................................................................................................... 3 PHẦN NỘI DUNG .......................................................................................................... 4 Chƣơng 1 ...................................................................................................................... 4 NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ........................................... 4 1.1. Tƣ duy sáng tạo .................................................................................................. 4 1.2. Một số đặc trƣng của tƣ duy sáng tạo ................................................................. 4 1.3. Vận dụng tƣ duy biện chứng để phát triển tƣ duy sáng tạo ................................ 5 1.4. Một số biện pháp nhằm phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh ....................... 6 1.5. Một số cách thức khai thác bài toán trong SGK theo định hƣớng phát triển năng lực tƣ duy sáng tạo ............................................................................................... 6 1.6. Tiềm năng của chủ đề tiếp tuyến với đồ thị hàm số trong việc bồi dƣỡng tƣ duy sáng tạo cho học sinh ............................................................................................. 6 1.7. Kết luận chƣơng 1 .............................................................................................. 8 Chƣơng 2 ...................................................................................................................... 9 HỆ THỐNG HÓA, TẬP LUYỆN GIẢI TOÁN TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ NHẰM PHÁT TRIỂN KHẢ NĂNG TƢ DUY SÁNG TẠO ................................ 9 2.1. Tiếp tuyến của đƣờng cong phẳng ...................................................................... 9 2.2. Phân loại các bài toán về tiếp tuyến với đồ thị hàm số ( )y f x ...................... 9 47 2.2.1. Bài toán 1: Viết phƣơng trình tiếp tuyến tại 1 điểm ( ; )o o oM x y thuộc đồ thị hàm số ( ) : ( )C y f x .......................................................................................... 9 2.2.2. Bài toán 2: Viết phƣơng trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm ( ; )A AA x y cho trƣớc đến đồ thị hàm số ( ) : ( )C y f x ................................................................... 15 2.2.3. Bài toán 3: Viết phƣơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số ( )y f x khi biết trƣớc hệ số góc ................................................................................................. 26 2.3. Kết luận chƣơng 2 ........................................................................................... 30 PHẦN KẾT LUẬN ........................................................................................................ 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................................. 32 PHỤ LỤC BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ .............................................................................. 33 Chuyên đề 1: Tiếp tuyến với hàm số bậc ba ............................................................... 33 Chuyên đề 2: Tiếp tuyến với hàm đa thức bậc bốn .................................................... 39 Chuyên đề 3: Tiếp tuyến với hàm số nhất biến, hữu tỉ ............................................... 41