Đề tài Tính compact, liên thông của tập nghiệm trong phương trình vi tích phân trong không gian Banach

λ p (x - y), (iv)C is completely continuous, p(C(A)) < ∞ whenever p(A) <∞ , for A ⊂ X, (v) (v) lim p(C(λ))/p(x) = 0 for all x∈X . x→∞ Then. U - C has a fixed point. Remark 2 . From the proof of theorem 2.1 ([5]) we have : I n case family of seminorms p is finite. there exists a bounded open convex subset D of X with boundary δD and closure ̅ such that (I-U) -1 C( ̅) ⊂ D and (I-U)-1C has a fixed point in ̅ (not in δD) which is precisely a fixed pont of u + c in ̅ (not in δD). Indeed. I n the proof of theorem 2.1 ([5]), we only choose 2R3p- 2βp(x0) > R'3p> R3p > 2βp(x0) + βR2p, then D is a bound open convex subset of X, ̅p={x ∈ X /p(x-x0) ≤R'3p} and ̅ = ∩p∈ p ̅p is a bounded closed convex subset of X satisfying the above conditions. The following theorems are known and are proved, let us recall these theorems without having the proofs. Theorem 2.2. (Krasnosel'skii-Perov) Let (E, I. I) be a real Banach space, D be a bounded open set of E and T: ̅ → E be a compact operator. Assume that 0Ể(I-T) δD and that deg (I- T, D, 0) ≠ 0. Assume in addition that T satisfies the condition Foreach ε > 0,there isacompact operator Tεsuch that|Tε(x)-T(x)| < ε, ∀x ∈ ̅ (*) and such that for each h with |h| < ε the equation X = Tε(x)+h has at (*) mostone solution in ̅. Then the set of fixed points of T is nonempty, compact and connected. 4 Theorem 2.3. (The locally Lipschitz approximation) Let E, F be Banach space, D be an open subset of E and f: D→ F be continuous. Then for each E > 0, there is a mapping ft: D→ F that is locally Lipschitz such that for all x ∈D and fc(D) c cof(D), where cof(D) is the convex hull off(D). 3, The main results. Let E be a real Banach space with norm |.| and let r > 0 be given. Let C = C([-r, 0], E) be the Banach space of all continuous functions on [-r, 0] to E with the usual norm. For each continuous function x: R→ E and for t > 0, we let x1 ∈ C be defined by xt( ) =x(t+ ), ∈[- r,0] Let E) be the Frechet space of all continuous functions on [0, oo) to E with the family of seminomas for each n e N and the metric Consider the integral equation : Where f, g satisfy the conditions as follows : (1.1) f: (0, ∞) ∞ E → E is continuous with the prorerty : for each n ∈ N, 3 kn > 0 such that |f(t,x) – f(t,y)| kn | x – y|, ∀ , y ∈ E, ∀ t ∈ [0,n], (1.2) g: [0, ∞)2 ∞ E→E is completely continuous such that g(t, ., .) : I x A → E is continuous uniformly with respect to t in any bounded interval, for any bounded I [0, ∞) and any bounded A⊂ E. (1.3) =0 uniformly with respe:: to (t. s) e [0, ∞) 2 . Remark 3 . Here, the condition ( 1 . 1 ) relaxs the condition (1.1) of theorem 5 in [5]. but the theorem also holds. That is f: [ 0 , ∞) xE →E is continuous such that there exists a constant k > 0 satisfying |f(x,t)-f(t,y)| k|x-y|,∀x.y ∈ E And we consider the following equations : (II){ (III){[ ( )] Where φ ∈ C and f. g satisfy the conditions respectively as follows : (II.4) f: [0, ∞) x C → E is continuous with the property : For each n ∈ N, 3 kn > 0 such that |f(x,t)-f(t,y)| kn|x-y|,∀x.y ∈ C , ∀t ∈ [0,n] or (III.5) f: [0. ∞) x E → E is continuous with the property : For each n e N, 3 kn > 0 such that |f(x,t)-f(t,y)| kn|x-y|,∀x.y ∈ E , ∀t ∈ [0,n] and ( I I I . 6) g : [ 0 , ∞)x→E is completely continuous such that | | uniformly with respect to t in each bounded set of [0, ). We have the following theorems. 5 Theorem 3.1. Suppose that f and g satisfy (1.1), (1.2), (1.3) respectively. Then the solution set of equation (I) on [0, ∞ ) is nonempty, compact and connected. Theorem 3.2. Suppose that f and g satisfy (I1.4),(III.6) respectively. Then the solution set of equation (II) on [0, ∞ ) is nonempty, compact and connected. Theorem 3.3. Suppose that f and g satisfy (III.5), (III.6) respectively. Then the solution set of equation (III) on [0, ∞ ) is nonempty, compact and connected. Remark 4 . Here, the equations (I), (II), and (III) are only considered on the domains which are chosen as follows (see the following proofs of these theorems). Let H be Hilbert space with |.| denotes the norm in H . We consider the following equations : (IV) { (V) { where : (IV.1). A is any non-negative, self-adjoint operator which does not depend on t and χ is a given vector in a Hilbert space H. (IV.2). f : H → H is completely continuous and satisfies the following condition: There are positive constants a. b. α (0 < α < 1) such that|f(.x) | < a - b | x | a .∀x∈H. We have: Theorem 3.4. Suppose that A and f satisfy (IV. 1). (IV. 2). respectively. Then the solution set of the equation (IV) is nonempty, compact and connected. Theorem 3.5. Suppose that A and f satisfy (IV.1), (IV.2), respectively. Suppose in addition that if u(t) is a solution of the equation (IV) { ∀ ∈ [ ] then | u (0)|< E, where E is some known positive constant. Then the solution set of the equation (V) is nonempty, compact and connected. Remark 5. It is known that, the restriction | u (0)|< E is acceptable because of a physical reasonning, (see [8], [11]). Let Ω= (0, I), QT = Ω x (0, T), T > 0, L p = L P (Ω), H1 = Hl(Ω), H2 = H2(Ω), where H1, H 2 are the usual Sobolev spaces on Ω. The norm in L 2 is denoted by ||.|| , denotes the scalar product in L 2 or pair of dual scalar product of continuous linear functional with an element of a function space, the norm of a Banach space X is denoted by ||.|| x. L P (0, T ; X), 1 ≤ p ≤ ∞ denotes the Banach space of the real function u : (0, T)→X measurable, such that ||u|| Lp (0,T;X)=(∫ [ ] , if 1 p ∞ and ||u||L ∞ (0,T;X) =ess ||u(t)||x , if p= ∞ 6 Put V is a closed subspace of H' and on V, ||v||H, and are two equivalent norms. The notations are used : The following assumptions are made ([10]): (A4) The function H ∈ C 1 (R) satisfies H(0) = 0 and there exists a constant h0> 0 such that The function f: satisfies f(0, 0) = 0 and the following conditions : There are two constant α, β ∈ (0, 1] and two functions B1 B2 : continuous and satisfying : Theorem 3.6 : Let (A1) - (A2) and (F1) -(F3) hold. Then, for every T>0, the set of the weak solutions (u, P) of problem (VI) such that T). is nonempty, compact and connected. 3. The proofs of the theorems 1, 2 and 3. Proof of Theorem 3.1. Stepl. We prove that for each n ∈ N. the solution set of (I) on [0. n] is nonempty, compact and connected. For each n ∈ N. let with the norm Let U. C: be defined as follows: Then, by proof of theorem 5 in [5], we have : And C is completely continuous operator on satisfying This implies that U and C satisfy the conditions of theorem 2.1, hence by that theorem and remarks 1: 2. (1-U) -1 is well defined and is uniformly continuous on Xn. Further there exits a bounded open convex subset D in Xn with boundary δ D and closure ̅ such that (I-U) 1 C( ̅ )⊂D 7 and (I-U) -1 C has a fixed point in ̅ (but it is not in ∂D), clearly ̅ is bounded closed convex subset of Xn. LetT = (I-U) -1 C. It is clear that I-T = (I-U) -1 (I-U-C) , so fixed points set of T in ̅ is also fixed points set of (I- U-C) which is precisely solutions set of equation (I) with the domain is ̅ . If we can prove the set of fixed points of T in ̅ is nonempty, compact and connected then the proof of step 1 completes. Since C is completely continuous operator on Xn, T is completely continuous operator on Xn. Otherwise T( )⊂D and D convex , so we have deg(I-T, D, 0) = 1. S has no fixed point in ∂D , so 0 e (I-T)( ∂D). ∀ Ε > 0, since (I-U)-1 is uniformly continuous on Xn, there exists Δ> 0 such that ||x-y||n<Δ =>||(l-U) -1 (x)-(I-U) -1 (y)||n<Ε , ∀x.y∈Xn. Let K= {x(s)/s ∈ [0,n], x ∈ } Then K is bounded in E. Let g* be the extension of g/[0, n] 2 x K on [0, n] 2 xE (g/A denotes the restriction of g on A) such that: g*([0, n] 2 xE) ⊂cog([0, n]2xK). Using theorem 2.3, there is gΕ that is a locally lipschitz operator on [0, n] 2 xE such that: |gΕ(t. s, x)-g* (t, s, x)| < Δ/2n for all s,t∈ [0, n], for all x∈E, and gΕ([0, n] 2 x E) ⊂cog*([0, n]2 x E)⊂cog([0, n]2 x K). Since g is completely continuous, g([0,n] 2 K) is relatively compact. It follow that ([0,n] 2 E) is relativly compact. We obtain is completely continuous Let CΕ : Xn → Xn be defined by Then TΕ is completely continuous. Finally, we verify that T satisfies condition (*) of Theorem 2.2 on ̅ We have : So, ||CΕ(x)-C(x)||n<5. Thus ||(I-U) -1 CΕ(x)-(l-U) -1 C(x)|n<Ε, it means that ||TΕ(x) -T(x)||n < Ε. For each h with ||h||n < Ε, suppose that x, y are the solutions of the equation x = TΕ(x) + h. We shall prove that x(t) = y(t) for all t ∈[0, n]. Clearly, x(0) = y(0) = h(0). Let b = max {α∈[0, n]/ x(t) = y(t), t ∈[0, a]}. Suppose in contradiction that 0 ≤ b < n. Since gΕ is locally lipschitzian, there is r > 0 such that gΕ is lipschitzian with coefficient m in [0, n] 2 xBr, where Br = {x* e E / | x' - x(b) | 0 such that x(s), y(s) ∈Br for all s ∈[b, b+δ']. For all t ∈[b, b+δ'], we have : Since x(b) = y(b), this inequality implies that x(t) = y(t) for all t ∈[b, b+δ'] which is a contradiction to our assumption on b as above. Thus the equation x = Sε (x) + h has at most one solution on ̅. Applying theorem 2.2, the set of fixed points of T in ̅ is nonempty, compact and connected. Step 1 is proved. Step 2. We prove that the solution set of (I) on [0, ∞) is nonempty, compact and connected. 8 First, we note that if x(t) is a solution of (1) on [0. ∞) then x|[0.n) (t) is a solution of (I) on [0, n], for all n∈N. Otherwise, for all n∈N, for each solution xn of (I) on [0, n]. there exists a solution x* of (I) on [0. ∞) such that x *|[0.n] = xn. In other words, xn is expanded on [0, ∞). Indeed, we.cpnsider the.equation (I'): x(t) =xn(n) - ∫ ( ) + ∫ ( ) t n Applying the theorem 2.1, with the proof is similar to that of theorem 5 in [5], we have the equation (I') has a solution x' on [n, ∞). We define x* : [0, ∞) → E as follows : if t ∈ [0. n] then x*(t) = xn(t) and if t > n then x*(t) = x'(t). Clearly, x*(t) is a solution of (1) on [0, ∞) and x *|[0.n] = xn Let S be the solution set of (I) on [0, ∞). By theorem 5 ([5]), S is nonempty. Now, we prove S is compact and connected. Here, we only consider the set S such that for each n∈ N, the set Sn={ x|[o,n], x ∈ S} ⊂ ̅ with ̅ is defined in step 1. By step 1, Sn is nonempty, compact and connected on Xn = C([0, n], E). Applying proposition 1, ([5]), we have S is relatively compact in X0 =C([0, ∞), E). Furthermore S is closed. Indeed, let {xk} be a sequence in S which converges to x0 , as k → ∞, then Xk |[0,n] → X0 |[0,n]. It follows from Xk |[0,n] ∈ Sn and Sn is compact that X0 |[0,n] ∈ Sn Hence, x0 ∈ S. Thus S is compact. We prove that S is connected. Suppose, to get a contradiction, that S is not connected. Then there exists two sets S a and S b which are nonempty, compact and disjointed such that S= S a Sb Put .={ x|[0,n] , x ∈ Sa}, .={ x|[0,n] , x ∈ Sb}. It is clear that S a n and S b n are nonempty, disjointed and . On the other hand. S3n and S b n are closed. Indeed. Let {xk} be a sequence in S a n which converges to x0, as k → ∞. Then there exists a sequence {x*i} in S3 such that =|[0,n] =xk. Since S a is compact, there exists a subsequence { x*k } of {x*k} such that x*k converges to y in S a This implies that x*k =|[0,n] → y|[0,n] It follows from y ∈ S3 and x*k =|[0,n] = xk , converges to x0 that x0 =y|[0,n] ∈ Then S a n are closed. Similarly, S b n is also closed. This implies that Sn is not connected which gives the contradiction. The theorem 3.1 is proved completely. Proof of Theorem 3.2. The proof is similar to that of theorem 3.1. So, we only prove that for each n ∈ N, the solution set of (II) on [0, n] is nonempty, compact and connected. Problem (II), with t ∈[-r, n], is equivalent to the integral equation : For any x ∈ Xn , put ̅:[-r, n] E be defined as follows: 9 Then ̅ is continuous on [-r, n] and the mapping x → ̅ is continuous. Let U, G: Xn→Xn be defined as follows: Then, by the proof of theorem 2 in [6], we have : ∀z∈Xn, And G is completely continuous operator on Xn satisfying This implies that U and G satisfy the conditions of theorem 2.1, as above. (l-U) -1 is well defined and is uniformly continuous on Xn and there exists a bounded open convex subset D in Xn with boundary ∂D and closure ̅ such that (I-U) -1 G( ̅)⊂D and (I-U)-1G has a fixed point in ̅ (but it is not in ∂D). Put T = (I-U)-1G. We can prove in a similar manner in step 1 of theorem 3.1, that T satisfies conditions of Theorem 2.2 on ̅ . The proof completes. z Proof of Theorem 3.3. As above, we only prove that for each n ∈ N, the solution set of (III) on [0, n] is nonempty , compact and connected. Let Xn, = C([-r. n]. E) with the norm ||x||n = sup{|x(t)|.t ∈ [-r, n]} . The problem (III), with t ∈[-r, n], is equivalent to the integral equation : Let Z and H : Xa→ Xn be defined by Put T = (I - Z) -1 H. And the remainder of the proof is similar to the one of two above theorems. The proof completes. G 5. The proofs of the theorems 4 and 5 . Let X = C([0,1], H ) be Banach space of the continuous functions u :[0, 1]→H , with the usual norm is denoted by ||.||, ||u|| = sup{ | u(t) |, t[0, 1]}, u∈X. Let X, = C1 ([0,1], H) with the norm is also denoted by | | . | | , ||u|| = max { | u(t) | + | u'(t)|. t∈[0, l]},u∈X1. 10 The proof of the theorem 4. Step1. We prove the theorem with χ= 0. PutX'1 = { u∈X1/u(0) = 0}. Let T: X1 → X such that T(u) = u1 +Au, ie. T(u)(t) = ut(t) +A(u(t)), ∀ t ∈[0,1] (3) Let F : X →X u→F(u) such that F(u)(t)=f(u(t)),∀ t ∈[0,1] (4) With assumption (IV.1) and f: H→H is completely continuous, we have the following lemma. LEMMA 1. I, T is the continuous linear and invertible operator. T - 1 is the continuous linear operator. ii. F is compact. iii. T 1 F is compact. PROOF. i. T is continuous linear since ut, A are continuous linear and if u1, u2 ∈ X1 then ku1+lu2 ∈ X1 ( for all k, l∈R). T is the invertible operator. Indeed, we have Vg∈X. the equation has a unique solution u ∈ X1 .That is u(t)= e 1A (0) + ∫ g(s) ds This implies that the equation Tu = g has a unique solution u ∈ X1. Then T -1 is the continuous linear operator and clearly ||T -1 || > 0 . ii. We have F is continuous, since f and u are continuous.There fore, if u→ u0 thì ∀ t∈[0,1]. u(t)→ u0(t) => ∀t ∈[0, 1], f(u(t)→f(u0(t) => F(u)→F(u0). In the other hand, for each B is a bounded subset in X. we shall prove that F(B) is relatively compact in X by applying Ascoli-Azela's theorem as follows : ∀u∈B. f0u is continuous on closed interval [0.l].This implies that f0u is uniform continuous on [0. 1]. then for all ε>0. there exists δ > 0 such that ∀t. t' ∈[0, 1], we have : 0 |f0u(t) – f0(t’)| |F(u)(t) – F(u)(t’)| < This shows that F(B) is equicontinuous. Since B is bounded, there exists C > 0 such that ||u|||u(t)| < C, ∀u∈B. ∀t∈[0,1], then u(t) ∈S(0,C), ∀t ∈[0,1], ∀u ∈B, where S (0, C) is a bounded ball in Hilbert space H of radius C.centered at 0. Since f is completely continuous, f (S(0,C)) is relatively compact in H. So. there exists m > 0 such that |f(v)|< m, ∀v∈S(0,C). This implies that |f(u(t))| < m, ∀t ∈[0.1]. Vu ∈ B. Thus |F(u)(t)| < m, ∀t ∈ [0,1]. ∀u ∈ B. This shows F(B) is uniformly bounded. Consequently F is compact. 11 iii. Since F is compact and T -1 is the continuous linear operator, T 1 F : X→X1, is compact. THE LEMMA 1 IS PROVED. Clearly. This implies that u is a solution of equation ut + Au = f(u),t∈[0,l] with initial condition u(0) = 0 if only if u is a fixed point of operator T -1 F. Therefore the solution set of equation ut+Au = f(u), t∈[0,1] with initial condition u(0) = 0 is also the fixed point set of T-1F. If we prove that the fixed point set of T -1 F is nonempty, compact and connected then step I will be proved completely. We consider the equation : where A and f satisfy the conditions (IV.1),(IV.2) (thus the equation (IV) is a special case of the equation (6) when Λ = 1). We shall prove that the solution set of (6) is bounded, ∀λ∈ [0,1]. ie. there exists a positive constant M such that for any solution u(t) of (6) satisfies : |u(t)| ≤ M, ∀t∈ [0,1], ∀λ∈[0,1], (7). This thing is proved as follows : If u(t).t∈[0.1] is a solution of (6) then (ut, u) = - (Au, u) + λ(f(u), u) and u(0) = 0. It follows from ( 1 ),(2) and 0 ≤ λ ≤ 1 that (u,u)= -(Au,u) + (f(u),u) (f(u),u) |f(u)||u| (a+b )|u|,∀t ∈[0.1], ∀λ∈[0,1] Thus |u(t)| 2 a|u(t)| +b 2a |u(t)| + 2b |,∀t ∈[0.1], ∀λ∈[0,1] To have (7), we first note that 2a|u(t)+ 2b < 4b 2a|u(t)< 2b ( ) < |u(t)|, so, with a positive constant,R=( ) we consider the two cases : The case 1. For each λ∈ [0,1], if |u(t) | ≤ R for all t∈ [0,1] then (7) holds. The case 2. For each λ∈ [0,1], if there exists t0∈[0,1] such that |u (t0) | > R then (7) holds. Indeed, since |u(t)| is continuous on [0,1], there exists a neighbourhood of to such that |u(t)|≥R for all t belongs to that neighbourhood. On the other hand, |u(0)| = 0 and |u(t0) | > R, there exists s'∈(0, t0) such that |u(s') | = R. It follows that there exists s ∈(0, t0) such that |u(t)| ≥ R for all t ∈[s, t0] and |u (s)| = R. Therefore, for all t ∈[s, t0], as above we have : Put v(t)= . We have v’(t) 4b v 12 Put and w(t) = v(t) 1-β . We have w'(t) = (l-β)v(t)-β v'(t). it follovvs that for all = ! ∈ [s,t0], v’(t) 4bv 4b w’(t) 4(1 - )b We obtain that w(t0) w(s) - s) Then So|u(t0)| [ ] , this implies that (7) holds. Thus (7) will hold in both cases as above if vve choose M= [ ] , Therefore there exists an open and bounded set D with boundary ∂D and closure ̅ in X such that u ∈ D and u ∈ ∂D, for all λ∈[0,1]. This shows that for each solution of equation (6), for all λ∈ [0.1]. belongs io D bút it does not belong to ∂D. (7'). we shall consider : T -1 F : ̅ ⊂ X→ X1" and show that this operator satisfies the conditions of Krasnosel'skii-Perov's theorem. We have : From lemma 1. T 1 F is compact. The function f : H→ H is completely continuous. from the theorem 2.3, for each ε > 0. there e.xists a mapping fε : H → H that is locally ]ipschi:z such that Let Fε : X → X u → Fε(u) such that Fεu(t) = fε(u(t)).∀t ∈ [0.1]. we consider operator T'Fε : ̅ → X1. we also have T -1 Fε is compact. Furthennore ∀ u∈X .||T-1Fε(u) – T-1F(u)|| < (8). indeed.we have : ||T -1 Fε (u) –T -1 F(u) = T -1 (Fε(u) – T -1 F(u))||, since T -1 is linear operator on X. ∀ ∈ [ ] | ( ) ( )| so || Fε (u) –F(u) < || T -1 ||. Thus ||T -1 (Fε(u) – F(u))|| || T -1 || || Fε(u) – F(u)|| < On the other hand. for each h with ||h||< ε, the equaiion u = T-1Fε(u) + h (9) has at most one solution on ̅ . Indeed. let U1, u2 be two solutions of the equation (9). Then Clearly. u1(0) = u2(0)= h(0). If h(0)=0 then: This means that u1(t). u2(t) are two solutions of the equation The equation (10) is equivalent to the interral equation 13 Applying Gronwall's lemma and the locall lipschitz property of the operator fε on H, we have U1(T)=u2(t),∀t∈[0,1]. if h(0) ≠ 0then Put v1(t) = u1(t) -h(0), v2(t) = u2(t) -h(0), k(t) = h(t) - h(0). (11) can be rewritten as We see k(0) = 0. v1(0) = v2(0) = 0. Then, from ( 1 1 ' ) we obtain This means that v1(t), v2 (t) are two solutions of the equation Therefore v1 = v2. This shows u1= u2. I t follows from (8).(9) that T -1 F satisfies the condition (*) of Krasnosel'skii-Perov's theorem. Now. we only have to prove that T -1 F has no fixed points on ∂D and deg (1-T-1F, D, 0) ≠ 0. We have ∀λ∈ [0.1]. (6) ↔T(u) =λf(u) ↔ u = T1(λF(u)).Then a solution u of (6) is a fixed point of T -1 (λF). So, from (7*). we have T-1(λF) has no fixed points on ∂D, ∀λ∈[0,1]. Thus, the operator φλ= T -1 (λ F) : [0,1 ]x → X1 * satisfies the conditions as follows : φλ is continuous; (φλ([0,1 ] x ) is relatively compact set and 0 (I - φλ(∂D). Applying the homotopy invariance property of the degree, we have deg(l - φλ, D, 0) does not depend on X. This implies that deg(I - φ0, D. 0) = deg(I - φ1, D, 0), where I - φ0 = I; I - φ1, = I - T -1 F. Hence, deg(I - T -1 F, D,0) = deg(I, D, 0) = 1. The step 1 is completed . Step 2. We prove the theorem with χ≠ 0. For each u belongs to the solution set of the equation (IV), put u* : [0,1]→ H such that u*(t) = u(t) - χ then u* ∈X1.u*(0)=0 anh u*t = ut This implies that This means that u*(t) is the solution of the equation(lV)' where f* : H→H x → f*(x) = f(x+ χ) - A( χ) 14 The converse is also true. Ifu*(t) is the solution of the equation (IV)' then u(t) = u*(t)+ χ is also the solution of the equation (IV). Clearly, the solution set of the equation (IV) is nonempty, compact and connected if only if the solution set of the equation (IV)' is nonempty, compact and connected. It follows from (1V.2) that P is completely continuous since f is completely continuous. On the other hand, for all x ∈ H. if only if, where and C >1 are given constants. From these properties of f*, we can prove in a similar way in step 1, the solution set of the equation (IV)' is nonempty, compact and connected. Thus step 2 is proved. The theorem 4 is proved completely. □ The proof of the theorem 5. Step 1. We prove the theorem with χ = 0 We denote X,X1 as above andX1= { u∈X,/u(l) = 0 }. Let S : X1→ X such that With the assumption (1V.1) and f : H→H is completely continuous. We have the following lemma. Lemma 2 : i. S is the continuous linear and invertible operator. S-1 is the continuous linear operator. ii. S-1F is compact. Proof: i. S is continuous linear since u1, A are continuous linear and if u1.u2 ∈X1 then ku1+lu2 ∈X1 (k,l∈R). S is the invertible operator. Indeed we have ∀g∈X, the equation has a unique solution u∈X1, that is This shows that the equation Su = g has a unique solution u ∈X1. Then S-1 is the continuous linear operator and clearly ||S -1 ||> 0 . ii.The proof is similar to (iii) in the lemma 1. The Iemme 2 is proved. The proof is similar to that in stepl of theorem 4. If we prove that the fixed point set of operator S-1F is nonempty, compact and connected then this step will be proved completely. 15 We consider the equation : where A and f satisfy the conditions (1), (2) (thus (V) is a special case of the (15) when λ = 1). We have to prove that the solution set of (15) is bounded, ∀ λ∈[0,1], ie. there exists a positive constant M such that for any solution u(t) of (15) satisfies : |u(t)≤ M, ∀ t∈[0,l], ∀ λ∈[0,l]. (16). It is proved as follows, in a similar way as (7) with the condition |u(0)|< E, ∀ λ∈[0,1], is added. If u(t),t∈[0,1] is a solution of (15) then (ut,u) = - (Au, u) + λ (f(u), u) and u (1) = 0. It follows from (1).(2) and 0 ≤ λ ≤ 1 that To have (16). we first note that So, with a positive constant . we consider the two cases : The case 1. For each λ∈ [0,1], if |u(t) | ≤ R for all t ∈ [0.1] then. (16) holds. The case 2. For each λ∈ [0,1], if there exists t0 ∈ [0.1] such that |u (t0) | > R then (16) holds. Indeed, since |u(t)| is continuous on [0,1], there exists a neighbourhood of t0 such that |u(t)| ≥ R for all t belongs to that neighbourhood. Similarly, since |u(1) =0 and |u(t0)|> R. there exists s'∈(t0,1) such that |u(s')| = R. But we do not use s' in our proof. Here, we need the condition |u(0)|<E. If there exists s∈[0. t0) such that |u (t)| < R then as (7). (16) holds. If there is not that thing then for all t ∈[0, t0]. we have |u (t) | > R. This implies that So this implies that (16) holds. Thus (16) will hold in both cases as above if we choose Thus, there exists an open and bounded set D* with boundary ∂D* and closure ̅̅ ̅̅ in X such that u∈D* and ue∂D*, for all λ∈[0,1]. This shows that for each solution of the equation (15), for all λ∈[0,1], belongs to D* but it does not belong to ∂D*. We shall consider : and show that this operator satisfies the condition of Krasnosel'skii-Perov's theorem.We have From lemma 2, S-1F is compact. The function f: H→H is completely continuous, from the theorem 2.3. for each ε > 0, there exists a mapping fε: H→H that is locally Iipschitz such that |f(x)-fε(x)| < (ε/||S -1 ||),∀x∈H. 16 Let Fε :X→ X ' u → Fε (u) such that Fε u (t) = fε (u(t)). ∀ t e [0,1]. We consider the operator S -1 Fε : ̅̅ ̅̅ →X1" . We also have S -1 Fε is compact. Furthermore : On the other hand, for each h with ||h|| <ε , the equation u = S-1Fε (u) + h (18) has at most one solution on ̅̅ ̅̅ . Indeed, Let u1, u2 be two solution of the equation (18). We have u1(1) = u2(l) = h(l). Similarly, we only prove u1, = u2 in the case h(l) = 0. Then u1 = u2 in the case h(1)≠ 0. With h(1) = 0, we have u1(t), u2(t) are two solutions of the equation The equation (19) is equivalent to the integral equation Then We have u1(1) = u2(1)= 0. Let a = min{b∈ [0,1]/u,(t) = u2(t). ∀t∈ [b.1] }.We prove a= 0. Suppose in contradiction that 0 0 such that fε is lipschitzian with coefficient k > 0 on Br= {x∈H /1 x- u1(a)< r}. Since u1(t), u2(t) are continuous on [0,1]. there exists 8>0 such that u1(t). u2(t) belong to Br for all t ∈[a -δ . a]. This implies that (we can choose constant C'> 0 such that the inequality holds) Applying Gronwall's lemma, we have u1(t) = u2(t), ∀t∈[a-5,a], which gives the contradiction. Thus S -1 F satisfies the condition (*) of Krasnosel'skii-Perov's theorem. As stepl of theorem 4, we have S -1 F has no fixed points on ∂D* and deg (1 - S-1F, D*, 0) ≠ 0. The step 1 is completed. Step 2. We prove the theorem with % ≠ 0. The proof is similar to the proof in the step 2. theorem 4. 17 The theorem 5 is proved. z 6. The proof of the theorem 6. In order to prove the theorem 6, for convenience, we recall the following theorem ([10]) and the main steps in the proof of this theorem. The notations which are used in this theorem are given as above. Theorem C ([ 10]) (The existence and uniqueness of weak solution) Let (A1) - (A4) and (F1) -(F3) hold. Then, for every T>0. there exists a weak solution (u, P) of problem (XIII) such that u ∈L*(0, T; V), ut ∈ L∞(0, T; L2), ut(0.t) ∈ L2(0,T), P(t) ∈H1(0, T). Furthermore, if β = 1 in (F3) and the function H. B2 satisfying, in addition, (A5) H ∈ C 2 (R). H'(s)>-1, ∀s∈R: (F4) B2 (|v|) ∈ L 2 (QT). for all v ∈ L2(Qt). ∀T > 0, Then the solution is unique. The proof of theorem C ([10]). Step 1. (The Galerkin approximation) Seeking the solution (um(t), Pm(t)) with of the equations : (C.l) +a(um(t),ωj)+Pm(t),ωj(0)+=0,l≤j≤m. st rongly in H 1 , strongly in L2 This system was rewritten in form which is equivalent to the system (C.4) c = Uc, where c = (c1. c2,.,cm), Uc = ((Uc)1, (Uc)2, .... (Uc)m) (the index m was omit), f1j : R 2m →R, f2j : R m→ R 18 For every Tm > 0, M > 0, put Put Choosing M> 0 and Tm > 0 such that Then, S is a closed convex and bounded subset ofthe Banach spaceY= C 1 ([[0,Tm]; R m ) and the operator U : S→Y has the properties : U is continuous on S, US ⊂ S, US is compact in Y. Applying the Schauder fixed point theorem. U his a fixed point c = (ch c2, ..... cm) ∈ S such that c = Uc. This implies that the system (C1)-(C3) has a solution (um(t), Pm(t)) with um(t) = Step 2. A priori estimates. These estimates allow cne to take Tm= T for all m. Step 3. Passing to limit. There exists a subsequence of sequence {um. Pm} (it was chosen two times) .still denoted by {um. Pm}.such that: um→ U in L ∞ (0. T: V) weak* , UM→U strongly in L 2 (QT), u'm→ u in L ∞ (0. T; L 2 ) weak*, um(0, t)→ u(0, t) in L ∞ (0, T) weak* , um(0. t)→ u(0. t) strongly in C°([0. T]). u'm(0, t)→ u'(0. t) in L 2 (0, T) weak, Pm→ P in H'(0. T) weak. P = P a.e in QT f(um, u'm)→ f(u. u') in L ∞ (0.T; L 2 ) weak*. u(0)= u0. u'(0) = u1. Then (u, P) is the weak solution of the problem. Step 4. Uniqueness of the solution. The proof of theorem 6. The proof consists of the following steps . Stepl. The set of fixed points c of the operator U:S → Y is nonempty, compact, and connected. 19 where is the closure of the open convex and bounded subset , with M > 0, T m> 0 will be chosen later. Proof. We have f:(u, .) ∈ R2→ f(u, .) ∈ R is cont inuous, so ∀ ε > 0, there exist s a mapping fε : (u. .)→fε (u, .) is locally Lipschit zian approximat ion of a cont inuous map f with respect to the first var iable such that (6.1) |f(u. .) - fε (u,.)| 0 is chosen in order that ε / μ is small enough. Clear ly, fε sat isfies the assumpt ions (F1), (F2). Let U ε : → be defined as fo llows : Put N1 ε . (t 2 ..M) = sup{|t ε 1j (y.z)| : ||y||Rm ≤ M , \\z\\Rm≤ M}.(it is defined since fε is continuous on R 2 ), N2 ε :(f2,M) = sup { | f ε 2j(y)| : \\y\\Rm< M }. We consider the family o f operators U λ: [0, 1 ]x → Y (λ, c) → Uλ(λ , c) is denoted by U λc. which is defined as fo llows : Put N1 λ ( f ε 1j .M ) = sup { λ | f ε 1j(y, z) |: | |y| |R m ≤ M , | |z| |R m ≤ M, λ ∈ [0, 1] }, N2 λ ( f ε 2j,M) = sup {λ |f2 j (y) |: |y| R m ≤ M,λ ∈ [0, 1]}. Choosing M> 0 and T m > 0 such that :M>2| |G|| I * , 20 Ten, fromthe proof of stepl in theorem C, we have the operators U : S → Y and Uλ :[0, 1] xS→ Y are compact , (6.6). Then, from the proof of step 1 in t heorem C, we have the operator U: ̅ Y and :[0,1] ̅ Y are compact , (6.6). Furthermore, since | |Uc| | 1 < M2 | |Uλc| |1 < M, ∀c ∈ S, ∀ λ ∈ [0, 1], we have the operators U, Uλ (Uλ = U when λ = 1) have a fixed po int c ∈ S but c ∈ ∂S. This shows that 0 ∈( l-U) ∂S , 0e(I- Uλ) ∂S , (6.7). Similar ly, we also obtain the compact operator U ε :S→ Y, with the fo llowing note. That is, when we replace f by f ε in the operator U : S → Y,we obtain the respect ive operator Uε : S→ Y. When we prove that U is compact , the assumpt ion (F 3) is used in order to prove the inequa lit y ([10].(2.26)) and that U is cont inuous. ([10]). The funct ion fε does not sat isfy (F3), but subst itute for this condit ion. f ε is cont inuous, so the inequalit y ([10].(2.26)) ho lds. On the other hand. f ε is locally Lipschitzian. so for all c ∈ S. there m exists a neighbourhood of ∑ such that fε is Lipschit z on that neighbourhood, thus we i=1 also have U ε: S → Y is cont inuous. Furthermore, we have : (U c), (t ) – ( c),(t) =∫ (1-t )((Vc) j(t ) dt Combine with (6.1). we have This implies that and if μ is large enough. Thus Now, we prove that for each h with | |h| |1 < ε , the equat ion c = U εc + h, (6.9), has at most one so lut ion on S . Indeed, I f c = (c1 , c2 cm). d =(d h d2 , . . .. ,dm) are two solut ions o f the equat ion (6.9), then 21 are two solutionsof the system (C'.1)-(C'.3): (C.1') + a(um(t), ωj) + P*m(t) ωj(0) + =0. 1 ≤ J≤ m, strong ly in H 1 , strongly in L 2 , where α*mj = αmj + hj(0), β*mj = βmj - h'j(0). Clearly, c = d if only if um 1 (t) = um 2 (t) on [0. Tm]. since the family (ωj) is linearly independent. So, we prove um 1 (t) = um 2 (t) on [0. Tm]. We haveum 1 (0) = um 2 (0) = u*0m Put b = max { a∈ [ 0 , Tm] : u m 1 (t) = um 2 (t), ∀ t ∈ [0. a]}. We shall prove b = Tm. Suppose in contradiction that 0 < b < Tm. Since f , (u. .): R 2→ R is locall Lipschitzian. with um 1 (b) = um 2 (b) ∈ R, there exists a neighbourhood B of u1(b) which has radius r > 0 and there exists L > 0 such that (F*3) | fε(u, v ) - f ε ( u , v) | ≤ L|u - u ' | . ∀ u . u '∈B,∀ v∈ R. We also have um 1 (t), um 2 (t) are continuous on [0. Tm], so they are continuous at b. Then, with r > 0 as above, there exists δ > 0 such that um 1 (t), um 2 (t) belong to B. for all t ∈ [b, b + δ] . We obtain || f ε ( um 1 (s), u 2 m'(s))- f ε ( um 2 (s), u 2 m'(s))|| ≤ L||u 1 m - u 2 m),∀ s ∈ [0, b + δ]. From this property, we can prove in a similar manner in step4,([10]), that um 1 (t) = um 2 (t) on [0, b-δ]. It completes contradition with choosing b. This shows that um 1 (t) = um 2 (t) on [0, Tm]. Here, we only prove deg (I-U, D.0) ≠ 0, (6.10). We have the family of the compact operators Uλ: [0,1 ] x S→y satifies the condition (6.7) : 0 g (I - Uλ)(δS), so applying the homotopy invariance property of the degree, deg(I -Uλ , S, 0) does not depend on λ. Then deg(I - U1,S, 0) = deg(l - U0, S, 0), where I - U1 = I - U and U0 is the constant mapping since Thus deg(I -U, S, 0) = deg(I - U0, S, 0) = 1. From (6.6) - (6.10) and applying Krasnosel'skii-Perov's theorem, stepl is proved . Step 2. The set of the solutions (um, Pm). which exist from the above proof, is nonempty, compact and connected. 22 There is this result since the mapping in which for each c = (cmU c,m2 c,mm) is corresponding with um such that is continuous. Step 3. The set of the weak solutions (u, P) which exist thanks to passing the solutions (um ,Pm) to limmit is nonempty, compact and connected. We also have this result since the mapping in which for each (um, Pm) is corresponding with the weak solution (u, P) is continuous. The theorem 6 is proved completely. □ Acknowledgements The authors would like to thank the referees for helpful comments. References [1] A Granas. The theory of compact vector fields and some of its applications to topology of functional spaces. Bull. Amer. Math. Soc. 74 (1968), 1-93. [2] Dan Henry. Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations, Lecture Notes in Math., vol. 840. Springer- Verlag Berlin Heidelberg New York. 1981. [3] Haim BREZIS, ANALYSE FONCTIONNELLE Theuorie et applications. MASSON Paris New York Barcelone Milan Mexico Sao Paulo. 1987. [4] Jack K.Hale. Asympotic behavior of dissipative systems. Mathematical surveys and monographs. No. 25. American Mathematical Society. 1988. [5] L. H. Hoa - K. Schmitt, Fixed point Theorem of Krassnosel'skii type in locally convex spaces and applications to integral equations. Results in Math 28 (1994) - 314. [6] L. H. Hoa - K. Schmitt, Periodic solutions of functional differential equations of retarded and neutral types in Banach spaces. Boundary Value Problems for Functional Differential Equations. Editor Jonhny Henderson, World Scientific (1995) 177 - 185. [7] M.A. Krasnosel'skii P.P. Zabreiko. Geometrical Methods of Nonlinear Analysis, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Tokyo. 1984. [8] Nguyen Thanh Long - Alain Pham Ngoc Dinh. Approximation of a parabolic nonlinear evolution equation backwards in time. Inverse Problem 10 (1994) 905-914. Printed in the UK. [9] Nguyen Thanh Long - Alain Pham Ngoc Dinh. Note on a regularization of a parabolic nonlinear evolution equation backwards in time. Inverse Problem 12 (1996) 455- 462. Printed in the UK. [10] Nguyen Thanh Long - Tran Minh Thuyet, A semilinear wave equation associated with a nonlinear integral equation, Demonstratio Mathematics Vol.XXXVI, No 4, 2003. 23 [11] Richard E. Ewing, The approximation of certain parabolic equations backward in time by Sobolev equations, SIAM J. Math. Anal. Vol.6. 283- 94. 1975. 24 Bộ Giáo Dục và Đào Tạo TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP.HCM BÁO CÁO NGHIỆM THU ĐỀ TÀI CẤP CƠ SỞ TÍNH COMPACT, LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM TRONG PHƢƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH Mã số: CS2004.23.56 Chủ nhiệm. Lê Hoàn Hóa Cán bộ tham gia thực hiện: Lê Thị Phƣơng Ngọc, Trƣờng CĐSP Nha Trang Thời gian thực hiện: 7/2003 - 7/2004 25 BÁO CÁO NGHIỆM THU ĐỀ TÀI CẤP CƠ SỞ Tên đề tài: Tính compact, liên thông của tập nghiệm trong phƣơng trình vi tích phân trong không gian Banach. Mã số: CS2004.23.56 Các thành viên tham gia : 1 - PGS.TS. LỀ HOÀN HÓA (chủ nhiệm đề tài) 2 - Nghiên cứu sinh : LÊ THỊ PHƢƠNG NGỌC BÁO CÁO TỔNG QUAN Đề tài về tính compact, liên thông của một số phƣơng trình phi tuyến đã đƣợc chúng tôi nghiên cứu trong thời gian hai, ba năm. Một số kết quả đã đƣợc trình bày dƣới dạng : luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ, báo cáo khoa học, báo cáo tại Hội nghị toán học toàn quếc, báo cáo tại Hội nghị Quốc tế vẻ phƣơng trình vi phân. Trong khuôn khổ của bài báo này, chúng tôi sẽ trình bày các kết quả về tĩnh compaet, liên thông của tập nghiệm cho các bài toán sau: ở đây u 0 , u 1 , f đƣợc cho trƣớc, hà m chƣa biết u(x,t) và giá trị biên chƣa biết P( t ) thỏa phƣơng trình phi tuyến sau : 26 G,H,K LÀ CÁC HÀM CHO TRƢỚC. BÁO CÁO KẾT QUẢ Báo cáo kết quả gồm hai phần : 1. Một ghi chú về tính compact, liên thông của tập nghiệm của bài toán tiến hoá. 2. Tính compact, liên thông của tập nghiệm yếu của một phƣơng trình sóng nửa tuyến tính liên kết với một phƣơng trình tích phân phi tuyến. 27 MỘT GHI CHÚ VỀ TÍNH COMPACT, LIÊN THÔNG CỦA TẬP HỢP NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN TIẾN HÓA Lê Hoàn Hóa 1 - Lê Thị Phƣơng Ngọc 2 1. Trƣờng ĐHSPTP.HCM 2. Trƣờng CĐSP Nha Trang Tóm tắt : Bài báo chứng minh rằng tập hợp tất cả các nghiệm của các phƣơng trình sau là khác rỗng, compact và liên thông: ở đây : (1). A là toán tử tuyến tính tự liên hợp, không, âm trong không gian Hinbe H. (2). f : H →H hoàn toàn liên tục ,thỏa điều kiện : Có các số dƣơng không đổi a, b và α (0< α <1) sao cho | f(x) < a + b|x| α , ∀ x ∈ H Công cụ chính là lý thuyết bậc tôpô của trƣờng vectơ compact và các tính chất của toán tử tự liên hợp không âm trong không gian Hinbe. 1.Lời giới thiệu : Trong bài báo [1] mới đây, chúng tôi đã đƣa ra các điều kiện cho toán tử A và toán tử f để có đƣợc tính khác rỗng, compact, liên thông của tập hợp nghiệm của hai bài toán (I), (II). Trong bài báo này, chúng tôi đƣa ra một điều kiện mới, tốt hơn cho toán tử f để có. đƣợc kết quả tƣơng tự cho hai bài toán trên. 2.Các kết quả chính : Cho H là không gian Hinbe và chuẩn đƣợc sinh ra bởi tích vô hƣớng trên H đƣợc ký hiệu là |.|. 28 Xét các phƣơng trình giả thiết: (1) A là toán tử tuyến tính tự liên hợp, không âm trong không gian Hinbe H. (2) . f:H→H hoàn toàn liên tục, thoả điều kiện: Có các số dƣơng không đổi a, b, α (0 < α < 1) sao cho I f(x) I < a + b|x| α , ∀ x ∈ H .Ta có : Định lý 1 : Giả sử A và f thoả các điều kiện (1), (2). Khi đó tập hợp các nghiệm của phƣơng trình (1) khác rỗng, compact và liên thông. Định lý 2 : Giả sử A và f thoả các điều kiện (1), (2). Giả sử thêm rằng nếu u(t) là nghiệm của phƣơng trình thì |u(0)|< E với E là hằng số dƣơng cho trƣớc. Khi đó tập hợp các nghiệm của phƣơng trình (II) khác rỗng, compact và liên thông. Chú thích : Sự thu hẹp |u(0)|< E với E là hằng số dƣơng cho trƣớc, là chấp nhận đƣợc theo ý nghĩa vật lý của bài toán trên, (xem [2], [3]). Chứng minh định lý 1: Chứng minh hoàn toàn tƣơng tự nhƣ chứng minh định lý 1 ở bài báo [1], với các ký hiệu giống nhƣ trong [1]. Do đó trong chứng minh sau đây chỉ trình bày kỹ một số ý cần thiết. Gọi x= C([0,1], H ) là không gian Banach các ánh xạ liênt lục nên [0, 1]. nhận giá trị trong không gian Hinbc H với chuẩn 29 | | . | | thông thƣờng; với chuẩn Bƣớc 1: Xét χ =0 Gọi Đặt T :X1 *→X sao cho F:X→X u→F(u) sao cho F(u)(t )=f(u(t )), ∀ t∈ [0,1] Bổ đề : Với giả thiết (1), (2), các t ính chất sau là đúng : i, T là toán tử tuyến t ính liên tục và khả nghịch. T -1 là toán tử tuyến t ính liên tục. ii. Toán tử F là toán tử compact . iii.Toán tử T - 1 F là toán tử compact . Ta chứng minh tập nghiệm của phƣơng t r ình : bị chặn. Nghĩa là chứng minh có một số dƣơng không đổ i M để mọi nghiệm u(t ) của phƣơng t r ình (3) đều thoả điều kiện : |u(t ) | Chứng minh nhƣ sau : Nếu u(t ),t∈ [0,1] là nghiệm của (3) thì : Từ đó, với các giả thiết (1 ),(2) và 0 ≤ λ ≤ 1, ta có : Nên : 30 Để có (4), trƣớc hết ta chú ý rằng : Do đó tồn tại tập mở và bị chặn D trong X sao cho u ∈ D và U ∂D (ở đây ∂D là biên của D), với mọi λ ∈ [0,1] Suy ra mọi nghiệm của phƣơng trình (3) (nếu có), với mọi X ∈ [0,1] đều chứa trong D nhƣng không chứa trong ∂D. - Bằng việc chứng minh toán t ử T - 1 : ̅ ⊂ X →X1* thỏa mãn các điều kiện của định lý Krassosel'skii-Pcrov, bƣớc 1 hoàn thành. Bƣớc 2 : Xét χ ≠ 0 Với mọi u thuộc tập nghiệm của (1), đặt u*: [0,1] → H sao cho: U*(t)=U(t)- χ Khi đỏ u*∈ X1 ,u*(0)=0 và u*t = ut Suy ra Nhƣ thế u*(t) là nghiệm của phƣơng trình trong đó f*: H→H x→f*(x)=f(x+ χ) – A(χ) Ngƣợc lại, nếu u*(t) là nghiệm của (1)' thì U*(t)=U(t)+χ sẽ là nghiệm của (1). 31 Chứng minh dịnh lý 2: Ta chỉ cần chứng minh định lý 2 đúng trong trƣờng hợp χ=0 Hoàn toàn tƣơng tự nhƣ ở định lý 2, [1], chứng minh sẽ hoàn thành nếu ta chứng minh đƣợc tập nghiệm của phƣơng trình sau bị chặn : trong đó toán tử A và f thoả các điều kiện (1), (2). Ta sẽ chứng minh có một số dƣơng không đổi M để mọi nghiệm u(t) của (5) đều thoả điều kiện : |u(t ) | M, ∀t ∈ [0,1] , ∀ λ ∈ [0,1], (6). Tài liệu tham khảo : [1] L. H. Hoá - L. T. P. Ngọc, Tính compact, liên thông của tập hợp nghiệm của bài toán tiến hóa. Tạp chí Khoa học Trƣờng ĐHSP Tp. HCM, tháng 5/2004. [2] Nguyen Thanh Long - Alain Pham Ngoc Dinh, Approximation of a parabolic nonlinear evolution equation backwards in time. Inverse Problem 10 (1994) 905-914. Printed in the UK. [3] Richard E. Ewing, The approximation of certain parabolic equations backward in time by Sobolev equations. SIAM J.Math. Anal. Vol 6, No. 2, April 1975. Note on the connectivity and compactness of solution set of the evolution problem Abstract : The paper proves that for the following equations the sets of solutions are nonempty, compact and connected : 32 where where : (1). A is any non-negative, self-adjoint operator which does not depend on t and χ is a given vector in a Hilbert space H. (2). f : H→ H is completely continuous and satisfies the following condition : There arc positive constants a, b, α ( 0 < α < 1) such that | f(x) | ≤ a + b | x | α , VxeH. The main tools are the topological degree theory of compact vector field and properties of the non-negative, self-adjoint operator. 33 TÍNH COMPACT, LIÊN THÔNG CỦA TẬP HỢP NGHIỆM YẾU CỦA MỘT PHƢƠNG TRÌNH SÓNG NỬA TUYẾN TÍNH LIÊN KẾT VỚI MỘT PHƢƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN Lê Hoàn Hóa 1 - Lê Thị Phƣơng Ngọc 2 1. Trƣờng ĐHSP Tp.HCM 2. Trƣờng CĐSP Nha Trang Tóm tắt : Bài báo này chứng tỏ tập hợp các nghiệm yếu của phƣơng t rình sóng thoả điều kiện đầu và điều kiện biên sau đây là khác rỗng, liên thông và compact t rong đó Uo, U i , f đƣợc cho trƣớc, hàm chƣa biết u(x, t ) và giá t r ị biên chƣa biết P(t ) thoả phƣơng t r ình t ích phân phi tuyến sau : ở đây g, H, k là các hàm cho t rƣớc. Công cụ chính là lý t huyết bậc tôpô của t rƣờng vectơ compact . 1. Lời giới thiệu : Trong các bài báo [1], [2], [3] gần đây các tác giả đã chỉ ra đƣợc t ính khác rỗng, compact và liên thông của các tập hợp nghiệm của một số phƣơng t rình vi phân, t ích phân và của bài toán t iến hóa. Trong bài báo này, chúng tôi lại t iếp tục nghiên cứu t ính chất đó cho tập hợp các nghiệm yếu của phƣơng t rình sổng nửa tuyến t ính với các điều kiện ban đầu và điều kiện biên nhƣ sau : 34 t rong dó U0, U1, F là các hàm cho trƣớc, hàm chƣa biết u(x,t ) và giá t rị biên P(t ) chƣa biết thoả phƣơng t r ình t ích phân phi tuyến ở đây g, H, k là các hàm đã cho. Bài toán này đã đƣợc Nguyễn Thành Long và Trần Minh Thuyết ( |4|) nghiên cứu. Một trong những kết quả mà hai tác giả nghiên cứu đƣợc là chứng minh sự tồn tại và sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu của bài toán t rên với các diều kiện tƣơng ứng. sử dụng kết quả này và lý thuyết bậc t ô pô của t rƣờng vectơ compact kết hợp với việc vận dụng định lý Krassnosel'skii -Perov (xem [2], [3]) và sự xấp xỉ Lipschit z địa phƣơng của hàm F (xem [ l], [2], [3]), t rong mục 3 chúng tôi chứng minh tập hợp các nghiệm yếu t ìm đƣợc theo phƣơng pháp xấp xí Galerkin ( |4|) của bà i toán nó i t rên khác rỗng, compact và liên thông. 2. Các định lý : Chúng tôi nhắc lại các định lý quan t rọng ở dây để sử dụng cho chứng minh ở mục 3. Định lý 1 : (Định lý Krassnosel 'skii-Perov) Cho (E, | . |) là không gian Banach, D là tập con mở và bị chặn của E và T: ̅→E là toán tử compact . Giả sử và deg (I-T, D,0) 0. Giả sử T thỏa thêm điều kiện: Với mọi có toán tử compact saocho và với mỗi h mà |h|< phƣơng t rình x= (x)+h có nhiều nhất một nghiệm liên ̅ Khi đó tập các điểm bất động của T khác rỗng, compact và liên thông. Định Iý 2 |4| (Định lý về sự tồn tại và tồn lại duy nhất nghiệm yếu) 35 -Các ký hiệu đƣợc sử dụng t rong định lý 2 : ở đâyH1 ,H2 là các không gian Sobo lev t rên Ω Chuẩn t rong không gian L2 đƣợc ký hiệu là | | . | | , là ký hiệu t ích vô hƣớng t rong L2 hoặc để chỉ sự cặp đô i đố i ngẫu của một hàm tuyến t ính liên tục với.một phần tử t rong không gian hàm , | | . | |x ký hiệu cho chuẩn t rong không gian Banach X và X' là đối ngẫu của X. là không gian Banach các hàm số thực đo đƣợc u : (0,T) → X với Đặt V là không gian con đóng của H1 và t rên V, | |v| |H 1 và | |v| |v=√ là hai chuẩn tƣơng đƣơng. -Các giả thiết : và có một số không đổ i h0 >0 sao cho Hàm f : R2→Rthỏa điều kiện f(0, 0) = 0 và các điều kiện sau : 36 Có hai số không đổi và hai hàm số B1,B2:R+→R+ liên tục, sao cho - Định lý 2 :Giả sử các giả thiết (A1) – (A4) và (F1) – (F3) đúng. Khi đó với mọi số T>0, tồn tại một nghiệm yếu (u, P) của bài toán (l.l)-(l.5) sao cho Hơn nữa, nếu trong (F3) và hàm H,B2 thoả thêm điều kiện thì nghiệm tồn tại duy nhất. 3. Kết quả chính : Định lý : Giả sử các giả thiết (A1) - (A4) và (F1) -(F3) đúng. Khi đó với mọi số T >0 tập hợp các nghiệm yếu (u, P) của bài toán (1 .1 ) -(1 .5) sao cho tìm đƣợc theo phƣơng pháp trên khác rỗng, compact và liên thông (với cách chọn phù hợp). Chứng minh : Ta chứng minh lần lƣợt theo các bƣớc sau Bƣớc 1 Tập các điểm bất động c của toán tử U: ̅ > Y là tập khác rỗng, compact, liên thông. ờ đây và c” ∈ H1(0,T) là bao đóng của tập con lồi, mở và bị chặn VỚI M > 0 sẽ đƣợc chọn thích hợp dƣới đây. 37 Chứng minh : Ta có f: (u,.) ∈ R2 → f(u,.) ∈ R liên tục nên ∀ ε có ánh xạ fε : (u,.) → fε(u,.) là xấp xỉ lipschitz địa phƣơng của f theo biến thứ nhất sao cho với μ > 0 đƣợc chọn thích hợp để đủ bé. Rõ ràng ánh xạ fε thỏa mãn các giả thiết (F1) (F2). - Cuối cùng ta chỉ ra deg ( I-U,D,0) ≠ 0, (3.10) Ta có họ toán tử compact Uλ: [0,1] x ̅→Y thỏa điều kiện (3.7) : 0 (I- Uλ)( δ S) ,nên theo tính bất biến đồng luân, ta có: deg(I- Uλ ,S,0) không phụ thuộc λ Suy ra deg(I-U1,S,0) = deg(I-U2,S,0) trong đó I-U1=I-U ,I-U0=I-G với G là ánh xạ hằng vì hay Từ (3.6) - (3.10) và áp dụng định lý Krassnosel'skii-Perov, ta chứng minh xong Bƣớc 1. Bƣớc 2 : Tập các nghiệm (Um,Pm) tìm đƣợc tƣơng ứng là tập khác rỗng, compact, liên thông. Điều này có đƣợc do ánh xạ đặt tƣơng ứng C=(Cm1,Cm2,.,Cmm) với um sao cho là ánh xạ liên tục. Bƣớc3: Tập các nghiệm yếu (u, P) có đƣợc do chuyển các nghiệm (Um,Pm) qua giới hạn là khác rỗng, compact, liên thông. Điều này có đƣợc do ánh xạ đặt tƣơng ứng mỗi nghiệm (Um,Pm) với nghiệm yếu (u, P) là ánh xạ liên tục . Định lý hoàn toàn đƣợc chứng minh. 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO : [1] L. H. Hoá V T T Nhiều N. T. Phƣơng, The connectivity and compaclness of solulion sets. Hội nghị Toán học toàn quốc, Huế, 7-10/09/2002. Chƣơng trình và tóm tắt các báo cáo, 82 - 83. |2| L. H. Hoá L. T. P. Ngọc, Tính liên thông và tính compact của tập hợp nghiệm. Hội nghị Khoa học Toán-Tin học, ĐHSP Tp. HCM, tháng 12/2002. [3] L. H. Hóa L. T. P. Ngọc, Tính liên thông và tính compact của tập hợp nghiệm của bài toán tiến hóa.(Đang chuẩn bị gởi đăng ở Tạp chí khoa học của Trƣờng ĐHSP Tp HCM.) |4| Nguyen Thanh Long Tran Minh Thuyet, A semilinear wave equation associated with a nonlinear integral equation, Demonstratio Mathemalica, Vol.XXXVI, No 4, 2003. Abstract : The paper proves that for the following semilinear wave equation with the initiaI-boundary, the set of weak solutions is nonempty, compact and connected where u0, u1, f are given functions, the unknown function u (x,t) and the unknown boundary value P(t) satisfy the following nonlinear integral equation where g, H, k are given functions. The main tool is the topological degree theory of compact vector field. 39 KẾT LUẬN Đố i với đề tà i nghiên cứu cấp cơ sở "Tính compact , liên- thông của tập nghiệm của phƣơng trình vi tích phân t rong không gian Banach", ngoài bài báo "Tính compact , liên thông của tập nghiệm của bài toán tiến hóa" đăng trong Tạp chí Khoa học tự nhiên số 36 (2-2004) Trƣờng Đạ i học Sƣ phạm Tp.HCM tháng 5/2004, t rong phần báo cáo này, chúng tôi đã trình bày một kết quả khác về tính compact, liên thông của tập nghiệm cho phƣơng trình tiến hóa với một điều kiện mới tốt hơn và tính compact, liên thông của tập nghiệm yếu cho phƣơng trình sóng nửa tuyến tính liên kết với một phƣơng hình tích phân phi tuyến. Chúng tô i sệ t iếp tục gửi đăng các kết quả t rên t rong các tạp chí trong nƣớc và ngoài nƣớc,