Đề tài Tính khung siêu tĩnh bằng phương pháp lực

Bài tập lớn cơ học kết cấu P2 SV: Phạm Thế Huy Lớp: XDCTN & Mỏ K54 MSSV:0921040053 1 Trường đại học Mỏ-Địa Chất MÔN HỌC Bộ môn sức bền vật liệu CƠ HỌC KẾT CẤU Bài tập lớn số 2 TÍNH KHUNG SIÊU TĨNH BẰNG PHƢƠNG PHÁP LỰC Bảng số liệu: STT Kích thƣớc hình học Tải trọng L1 L2 q(kN/m) P(kN) M(kN.m) 1 8 12 30 80 150 YÊU CẦU VÀ THỨ TỰ THỰC HIỆN 1. hệ siêu tĩnh chịu Tính hệ siêu tĩnh do tải trọng tác dụng 1.1. Vẽ các biểu đồ nội lực: Mô men uốn , lực cắt trên hệ siêu tĩnh đã cho. Biết F= 10J/ ( ) 1) Xác định bậc siêu tĩnh và chọn hệ cơ bản. 2) Thành lập các phương trình chính tắc dạng tổng quát. 3) Xác định các hệ số và số hạng tự do của phương trình chính tắc, kiểm tra các kết quả tính được. 4) Giải hệ phương trình chính tắc. 5) Vẽ biểu đồ mô men trên hệ siêu tĩnh đã cho do tải trọng tác dụng . Kiểm tra cân bằng các nút và kiểm tra điều kiện chuyển vị. 6) Vẽ biểu đồ lực cắt và lực dọc trên hệ siêu tĩnh đã cho. 1.2. Xác định chuyển vị ngang của điểm I hoặc góc xoay của tiết diện K. Biết E= 2. Kn/ , J= ( ). 2. Tính tác dụng cả 3 nguyên nhân ( Tải trọng , nhiệt độ thay đổi và chuyển vị gối tựa ). 2.1. Viết hệ phương trình chính tắc dạng số. 2.2. Thứ tự thực hiện: 1) Cách vẽ biểu đồ mô men do 3 nguyên nhân đồng thời tác dụng trên hệ siêu tĩnh đã cho và cách kiểm tra. 2) Cách tính các chuyển vị đã nêu ở mục trên Bài tập lớn cơ học kết cấu P2 SV: Phạm Thế Huy Lớp: XDCTN & Mỏ K54 MSSV:0921040053 2 Biết: - Nhiệt độ thay đổi trong thanh xiên: thớ biên trên là =+ , thớ biên dưới là =+ - Thanh xiên có chiều cao h=0.12m - Hệ số giãn nở dài vì nhiệt độ α= - Chuyển vị gối tựa: Gối D dịch chuyển sang phải một đoạn =0,001 (m) Gối H bị lún xuống một đoạn =0,001 (m) 12m 6m 8m 8m 4m 4m M=150KN.m K P=80KN q=30KN/m H D 2J 2J 2J 3J J J A B C E F Bài tập lớn cơ học kết cấu P2 SV: Phạm Thế Huy Lớp: XDCTN & Mỏ K54 MSSV:0921040053 3 BÀI LÀM 1. Tính hệ siêu tĩnh do tải trọng tác dụng 1.1. Vẽ các biểu đồ nội lực: Mô men uốn , lực cắt trên hệ siêu tĩnh đã cho. Biết F= 10J/ ( ) 1) Xác định bậc siêu tĩnh và chọn hệ cơ bản. a) Xác định bậc siêu tĩnh. Gọi mỗi thanh riêng rẽ là một miếng cứng ta có: + Số miếng cứng: D = 7 + Số liên kết đơn nối đất: C = 7 T = 0; K = 1; H = 5 - Kiểm tra điều kiện cần: Ta có: n= T + 2K + 3H + C - 3D = 0 + 2.1 + 3.5 + 7 – 3.7 = 3 n = 3 0 do đó thỏa mãn điều kiện cần - Kiểm tra điều kiện đủ: Đưa hệ trên về hệ gồm 3 miếng cứng là khung ABC, khung HEFD và trái đất liên kết với nhau bởi 3 khớp không thẳng hàng tại C, H và D. Vậy hệ thỏa mãn điều kiện đủ. Do đó hệ trên là hệ BBH Vậy hệ trên là hệ siêu tĩnh bậc 3 Bài tập lớn cơ học kết cấu P2 SV: Phạm Thế Huy Lớp: XDCTN & Mỏ K54 MSSV:0921040053 4 b) Chọn hệ cơ bản Hệ cơ bản chọn như hình vẽ sau: 2) Thành lập các phương trình chính tắc dạng tổng quát. { 3) Xác định các hệ số và số hạng tự do của phương trình chính tắc, kiểm tra các kết quả tính được. Các biểu đồ mô men uốn lần lượt do ; ; và do tải trọng gây ra trong hệ cơ bản như các hình vẽ sau: 12m 6m 8m 8m 4m 4m M=150KN.m K P=80KN q=30KN/m H D 2J 2J 3J J J A B E F x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 Bài tập lớn cơ học kết cấu P2 SV: Phạm Thế Huy Lớp: XDCTN & Mỏ K54 MSSV:0921040053 5 a) Các hệ số và số hạng tự do của phương trình chính tắc: = ( ̅̅ ̅̅ ). ( ̅̅ ̅̅ ) = ( ) ( ( ) ( ) ) = = ( ̅̅ ̅̅ ). ( ̅̅ ̅̅ ) = ( ) ( ) x 1 =1 18 18 12 M 1 x 2 =1 x 2 =1 x D =1 H D H D x D =1 Y D = 3 4 Y H = 3 4 18 12 12 H D x 3 =1 x 3 =1 Y H = 5 4 Y D = 1 4 4 4 2 M 2 M 3 M p 2160 1005 150 2160 Bài tập lớn cơ học kết cấu P2 SV: Phạm Thế Huy Lớp: XDCTN & Mỏ K54 MSSV:0921040053 6 = = ( ̅̅ ̅̅ ). ( ̅̅ ̅̅ ) = ( ) ( ) = = ( ̅̅ ̅̅ ). ( ̅̅ ̅̅ ) = ( ) ( ) ( ) = = ( ̅̅ ̅̅ ). ( ̅̅ ̅̅ ) = ( ) ( ) )= = ( ̅̅ ̅̅ ).( ̅̅ ̅̅ ) = ( ) ( ) = ( ).( ̅̅ ̅̅ ) = ( ( ) ( ( ))) ( ( )) = ( ).( ̅̅ ̅̅ ) = ( ( )) ( ) = ( ).( ̅̅ ̅̅ ) = ( ( ) ( )) ( ( )) b) Kiểm tra các hệ số và số hạng tự do của hệ phương trình chính tắc Bằng cách nhân biểu đồ: Lập biểu đồ mô men uốn đơn vị tổng cộng ( ̅̅ ̅̅ như hình vẽ sau: Bài tập lớn cơ học kết cấu P2 SV: Phạm Thế Huy Lớp: XDCTN & Mỏ K54 MSSV:0921040053 7  Kiểm tra các hệ số ở hàng thứ nhất: ( ̅̅ ̅̅ ).( ̅̅ ̅̅ ) = .( ( ) ( ) ( ) = Mặt khác: + = + = Kết quả phù hợp.  Kiểm tra các hệ số ở hàng thứ hai: ( ̅̅ ̅̅ ).( ̅̅ ̅̅ ) = ( ) ( ( )) ( ( )) H D x 2 x 2 =1 x 3 x 3 =1 x 1 =1 Y D = 3 8 Y H = 5 8 x D =2 4 16 36 32 12 4 16 M S Bài tập lớn cơ học kết cấu P2 SV: Phạm Thế Huy Lớp: XDCTN & Mỏ K54 MSSV:0921040053 8 Mặt khác: + = + = Kết quả phù hợp.  Kiểm tra các hệ số ở hàng thứ ba: ( ̅̅ ̅̅ ).( ̅̅ ̅̅ ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Mặt khác: + = + = Kết quả phù hợp.  Kiểm tra các số hạng tự do: ( ̅̅ ̅̅ ).( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Mặt khác: + = + = Kết quả phù hợp 4) Giải hệ phương trình chính tắc. Thay các hệ số và số hạng tự do đã tìm được vào hệ phương trình chính tắc, sau khi đã giản ước ta được: Bài tập lớn cơ học kết cấu P2 SV: Phạm Thế Huy Lớp: XDCTN & Mỏ K54 MSSV:0921040053 9 { Giải hệ phương trình trên ta được kết quả là { 5) Vẽ biểu đồ mô men trên hệ siêu tĩnh đã cho do tải trọng tác dụng . Kiểm tra cân bằng các nút và kiểm tra điều kiện chuyển vị.  Vẽ biểu đồ mô men uốn trên hệ siêu tĩnh Áp dụng biểu thức: ( ) = ( ̅̅ ̅̅ ). ( ̅̅ ̅̅ ). ( ̅̅ ̅̅ ). ) Kết quả ta có biểu đồ mô men uốn như sau: Bài tập lớn cơ học kết cấu P2 SV: Phạm Thế Huy Lớp: XDCTN & Mỏ K54 MSSV:0921040053 10  Kiểm tra cân bằng các nút: +) Xét cân bằng nút B: Ta có: = 274,472-274,472 = 0 Vậy mô men tại nút B thỏa mãn điều kiện cân bằng. B 274,472 274,472 618,642 274,472 476,136 123,404 351,664 2436,964 M p A B C E H D F K Bài tập lớn cơ học kết cấu P2 SV: Phạm Thế Huy Lớp: XDCTN & Mỏ K54 MSSV:0921040053 11 +) Xét cân bằng nút E: Ta có: = 150 + 476,136 – 274,472 – 351,664 = 0 Vậy mô men tại nút E thỏa mãn điều kiện cân bằng +) Xét cân bằng nút K Ta có: F 618,642 618,642 K 123,404 123,404 E 274,472 476,136 351,664 150 Bài tập lớn cơ học kết cấu P2 SV: Phạm Thế Huy Lớp: XDCTN & Mỏ K54 MSSV:0921040053 12 = 123,404 - 123,404 = 0 Vậy mô men tại nút K thỏa mãn điều kiện cân bằng +) Xét cân bằng nút F: Ta có: = 618,642 - 618,642 = 0 Vậy mô men tại nút F thỏa mãn điều kiện cân bằng Mô men tại các nút cân bằng nên biểu đồ mô men là chính xác.  Kiểm tra điều kiện chuyển vị Điều kiện kiểm tra là: = ( ).( ̅̅ ̅̅ ) = 0 ( K= 1; 2; 3) = ( ).( ̅̅ ̅̅ ) = .( ) = = Δ2p=( ).( ̅̅ ̅̅ ) ( ) Δ3p=( ).( ̅̅ ̅̅ ) ( Bài tập lớn cơ học kết cấu P2 SV: Phạm Thế Huy Lớp: XDCTN & Mỏ K54 MSSV:0921040053 13 ) Các giá trị chuyển vị tại các liên kết bỏ đi (liên kết “thừa”) là không đáng kể nên ta có thể coi là bằng không. Vậy biểu đồ là đạt yêu cầu. 6) Vẽ biểu đồ lực cắt và lực dọc trên hệ siêu tĩnh đã cho. a) Biểu đồ lực cắt được vẽ theo biểu đồ mô men uốn trên cơ sở áp dụng công thức : Qtr = [ ] Q ph = [ ] Ta có biểu đồ nội lực như hình vẽ sau: b) Biểu đồ lực dọc được vẽ theo biểu đồ lực cắt bằng biện pháp tách nút để khảo sát cân bằng. kết quả như hình dưới đây: + + + - - 405,953 45,953 39,678 149.651 28,218 92,756 34,369 Q p - Bài tập lớn cơ học kết cấu P2 SV: Phạm Thế Huy Lớp: XDCTN & Mỏ K54 MSSV:0921040053 14 1.2. Xác định chuển vị ngang của điểm I hoặc góc xoay của tiết diện K. Biết E = 2.10 8 (KN/m 2 ); J = 10 -6 L1 4 (m 4 ). Ta có : Δkp = (Mp).( ̅ ) Đặt tại K một mômen có giá trị bằng 1 đơn vị ta có biểu đồ (Mk o) như sau: M=1 H D 2J 2J 2J 3J J B C E F 2 5 3 5 y = H y = H 1 20 1 20 A K J + + + + - - 47,758 68,618 20,86 45,903 97,1548 85,631 N p Bài tập lớn cơ học kết cấu P2 SV: Phạm Thế Huy Lớp: XDCTN & Mỏ K54 MSSV:0921040053 15 Vậy chuyển vị ( góc xoay ) tại K là: Δkp = ( ).( ̅ ) ( ) (rad) Vậy tại tiết diện K bị xoay 1 góc có giá trị là = 8,827.10-5 rad ngược chiều kim đồng hồ ( trái với chiều giả thiết ). 2. Tính hệ siêu tĩnh chịu tác dụng cả 3 nguyên nhân ( tải trọng, nhiệt độ thay đổi và độ lún gối tựa ). 2.1. Viết hệ phương trình chính tắc dạng số, Khi hệ siêu tĩnh chịu tác dụng cả 3 nguyên nhân : tải trọng, nhiệt độ thay đổi và độ lún gối tựa thì hệ phương trình chính tắc có dạng: { Trong đó các hệ số của ẩn và các số hạng tự do đã tính được ở phần trên. Để giải hệ phương trình thì ta đi xác định các số hạng và : 2.1.1. Xác định : - Biểu đồ Ni : Bài tập lớn cơ học kết cấu P2 SV: Phạm Thế Huy Lớp: XDCTN & Mỏ K54 MSSV:0921040053 16 N1 _ _ x1=1 4 5 1 xD=1D H N 2 _ _ 9 20 1 x D =1 D H _ _ X 2 = 1 1 - + 3 4 3 4 3 4 3 4 Bài tập lớn cơ học kết cấu P2 SV: Phạm Thế Huy Lớp: XDCTN & Mỏ K54 MSSV:0921040053 17 ∑ ∫ * ̅̅ ̅ ( ) ̅ + (*) Vì chỉ có thanh xiên với có sự thay đổi nhiệt độ nên ta chỉ xét nội lực Mi và Ni trên thanh đó. Trong công thức trên ta có: α = 10-5 t2 – t1 = 30 - 45 = -15 0 h = 0,12m tc = = Thay các giá trị trên vào công thức (*) ta được: ∫ * ̅̅ ̅+ + ∫ [ ̅ ] = -1,25.10 -3 . ∫ ̅̅ ̅ + 37,5.10 -5 . ∫ ̅ Hay = 37,5.10 -5 .( ̅) – 1,25.10 -3 ( ̅̅ ̅) N 3 3 20 H _ + 5 4 5 4 1 4 1 4 X 3 =1 + 1 _ Bài tập lớn cơ học kết cấu P2 SV: Phạm Thế Huy Lớp: XDCTN & Mỏ K54 MSSV:0921040053 18 Từ biểu đồ Ni ta có: ̅̅ ̅ = ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅ = Vậy ta có: = 37,5.10 -5 .( .10) – 1,25.10-3.( = 0,1872 = 37,5.10 -5 .( .10) - 1,25.10 -3 .( ) = 0,074831 = 37,5.10 -5 .( .10) - 1,25.10 -3 .(-(2 = 0,037443 2.1.2. Xác định : = ∑ ̅ Trong đó : Z1 = 0,001.8 = 8.10 -3 m Z2 = 0,001.12 = 12.10 -3 m ̅ = -1 ̅ = 0 ̅ = -1 ̅ = ̅ = 0 ̅ = - Vậy ta có: $ = -( ̅ .z1 + ̅ .z2) = -(-1.8.10 -3 + 0.12.10 -3 ) = 8.10 -3 = -( ̅ .z1 + ̅ .z2) = -(-1.8.10 -3 + .12.10 -3 ) = -1.10 -3 Bài tập lớn cơ học kết cấu P2 SV: Phạm Thế Huy Lớp: XDCTN & Mỏ K54 MSSV:0921040053 19 = -( ̅ .z1 + ̅ .z2) = -(0.8.10 -3 - .12.10 -3 ) = 0,015 Thay các số hạng và và kết hợp với phần đầu đã tính ta có hệ phương trình chính tắc dạng số như sau: { Ta có EJ = 2.10 8 .8 4 .10 -6 = 819200 Do đó ta có hệ phương trình dạng số là: X1 = -104,972  X2 = -8,4578 X3 = 55,88 2.2. Trình bày: 2.2.1. Cách vẽ biểu đồ Mc do 3 nguyên nhân đồng thời tác dụng lên hệ siêu tĩnh đã cho và cách kiểm tra. - Thay các giá trị Xi đã tính được từ bước giải hệ phương trình chính tắc vào hệ tĩnh định tương đương, dùng phương pháp mặt cắt ta vẽ được biểu đồ nội lực (Mc) như sau: Bài tập lớn cơ học kết cấu P2 SV: Phạm Thế Huy Lớp: XDCTN & Mỏ K54 MSSV:0921040053 20 Tính PLLK: MD = 150 + 80.18 + 8,4578.8 + 55,88.20 – 16YH = 0  YH = 164,9961 ∑ = 80 + 8,4578– 104,972– XD = 0  XD = -16,5142 ∑ = 55,88– 164,9961+ YD = 0  YD = 109,1161  Cách 1: Dùng phƣơng pháp mặt cắt ta có:  MDF = 16,5142.z (0 ≤ z ≤ 18) D X D Y D z M DF M=150KN.m K P=80KN q=30KN/m H D 2J 2J 3J J J A B E F 104,972 55,88 8,4578 16,5142 164,9961 109,1161 Bài tập lớn cơ học kết cấu P2 SV: Phạm Thế Huy Lớp: XDCTN & Mỏ K54 MSSV:0921040053 21 z = 0 => MDF = 0 z = 18 => MDF = 16,5142.18 = 297,2556  MKF = 109,1161.z – 16,5142.18 (0 ≤ z ≤ 12) z = 0 => MKF = -297,2556 z = 12 => MKF = 1012,1376  MEK = 109,1161.(8 + z. ) – 80. .z – 16,5142.(18 - .z) (0 ≤ z ≤ 10) z = 0 => MEK = 575,6732 z = 12 => MEK = 972,4585  MEH = 104,972.z (0 ≤ z ≤ 8) z = 0 => MEH = 0 z = 8 => MEH = 839,776  MKF D F XD YD z 120KN H E z 307,42434 637,45453 258,23045 282,3202 C Bài tập lớn cơ học kết cấu P2 SV: Phạm Thế Huy Lớp: XDCTN & Mỏ K54 MSSV:0921040053 22 MCE = 55,88.z (0 ≤ z ≤ 4) z = 0 => MCE = 0 z = 4 => MCE = 223,52  MBC = 55,88.z (0 ≤ z ≤ 4) z = 0 => MBC = 0 z = 4 => MBC = 223,52  MAB = 55,88 + 30. – 8,4578.z (0 ≤ z ≤ 12) z = 0 => MAB = 223,52 z = 12 => MAB = 2282,0264 Kiểm tra điều kiện chuyển vị: Điều kiện kiểm tra là: ΔKC = (MC).( ̅̅ ̅̅ ) + + = 0  Khi K=1; ta có: Δ1C = (MC).( ̅̅ ̅̅ ) + + Trong đó: = = 0,1872 = = 8.10 -3 258,23045 282,3202 C 258,23045 282,3202 MAB B Bài tập lớn cơ học kết cấu P2 SV: Phạm Thế Huy Lớp: XDCTN & Mỏ K54 MSSV:0921040053 23 (MC).( ̅̅ ̅̅ ) = * + = - 0,12944  Δ1c = 0,1872+ 8.10 -3 – 0,12944 = 0  Khi K=2; ta có: Δ2C = (MC).( ̅̅ ̅̅ ) + + Trong đó: = = 0,074831 = = -1.10 -3 (MC).( ̅̅ ̅̅ ) = * + = - 0,05  Δ2c = 0,074831 -1.10 -3 – 0,05 = -0,019(m)  Khi K=3, ta có: Δ3C = (MC).( ̅̅ ̅̅ ) + + Trong đó: = = 0,037443 = = 0,015 (MC).( ̅̅ ̅̅ ) = * Bài tập lớn cơ học kết cấu P2 SV: Phạm Thế Huy Lớp: XDCTN & Mỏ K54 MSSV:0921040053 24 + = - 0,06  Δ3c = 0,037443 + 0,015- 0,06 = -7,557.10 -3 (m) Chuyển vị không đáng kể. Vậy kết quả phù hợp. 2.2.2. Tính chuyển vị xoay tại K: Áp dụng công thức: ΔKC = (MC).( ̅̅ ̅̅ ) + + (1)  (MC).( ̅̅ ̅̅ ) = * + = -8,165.10-5 rad  = ̅ ̅ = 37,5.10 -5 ̅ – 1,25.10-3 ̅ ̅ = ̅ =  rad  = -∑ ̅ ̅ ̅ = -(0.0,001.8 + .0,001.12) = - 6.10 -4 rad Thay các giá trị chuyển vị đã tính vào (1) ta được: ΔKm = -8,165.10 -5 + – 6.10-4 = 1,829.10-3 rad Vậy tại K có chuyển vị xoay 1 góc có giá trị là: =1,829.10-3 rad, thuận chiều kim đồng hồ! Hết!.