Đề tài Ứng dụng phần mềm matlab và simulink để khảo sát các chỉ tiêu chất lượng của hệ thống điều khiển tự động tuyến tính liên tục

Do đó, trước khi ra đời các phần mềm máy tính, người ta phải sử dụng các tiêu chuẩn ổn định đại số, hình học hay tần số để xét ổn định hệ thống. Ngày nay, sử dụng phần mềm MATLAB thì việc này hoàn toàn đơn giản. 4.2.1. Giải trực tiếp phương trình đặc tính Ví dụ 1: Giả sử có phương trình đặc trưng là: s3+2s2+3s+4=0 (4-2) Tính toán thông thường: Để xét sự ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng trên, như trên ta có được: + Các hệ số của phương trình đều dương + a1a2 = 2.3 = 6 > a0a3 = 1.4 = 4 Vậy, hệ thống ổn định. Sử dụng MATLAB: Lệnh Roost: Công dụng: Tìm nghiệm của phương trình đặc tính Cú pháp: roots(sys) Tại cửa sổ CommandWindow, ta nhập hệ số của phương trình đặc tính theo chiều giảm dần của số mũ, cùng với lệnh Roots. Ta sẽ dùng Matlab để tìm nghiệm của(4-2), xem xét vị trí các nghiệm của nó trên mặt phẳng phức. Vectơ của đa thức được gõ vào tại dấu nhắc của Matlab: >> c=[1 2 3 4] c = 1 2 3 4 >> roots(c) ans = -1.6506 -0.1747 + 1.5469i -0.1747 - 1.5469i Nhìn vào các nghiệm số của phương trình ta nhận thấy chúng cùng nằm bên trái mặt phẳng phức.=> hệ thống ổn định. Ví dụ 2: Hệ thống có phương trình đặc trưng: 7s7+9s6+11s5+s4+3s3+4s2+5s+11=0 Rõ ràng, với phương trình đặc tính trên, việc giải nghiệm trực tiếp bằng tay là rất khó khăn, mất nhiều thời gian. Nhưng với Matlab ta chỉ cần nhập như sau: >> c=[7 9 11 1 3 4 5 11] c = 7 9 11 1 3 4 5 11 >> roots(c) ans = -0.7961 + 1.0563i -0.7961 - 1.0563i -0.9799 -0.1152 + 1.0072i -0.1152 - 1.0072i 0.7583 + 0.5630i 0.7583 - 0.5630i Kết luận: Nhìn vào kết quả của bài toán, công việc còn lại là đưa ra nhận xét: Phương trình đặc trưng có 2 nghiệm phức nằm bên phải trục ảo nên hệ thống trên là không ổn định. 4.2.2. Xét ổn định bằng các tiêu chuẩn ổn định đại số Như trên đã nói, các tiêu chuẩn ổn định đại số giúp cho việc khảo sát tính ổn định của hệ thống dễ dàng hơn ( đối với cách tính toán thông thường). Nhưng với cách đó, ta cũng có thể can thiệp bằng MATLAB. 4.2.2.1. Tiêu chuẩn ổn định Routh * Tiêu chuẩn Routh phát biểu như sau: “Hệ thống điều khiển tự động có phương trình đặc tính với các hệ số dương ( cùng dấu) sẽ ổn định nếu tất cả các hệ số trong cột đầu tiên của bảng Routh dương (cùng dấu)” -Bảng Routh đựoc thành lập từ các hệ số ai R, i=0,1,…,n của A(s) như sau: a0 a2 a4 … a1 a3 a5 … b0 = … … … … … … … - Minh ho¹ tiªu chuÈn Routh: VÝ dô 1: Cho ®a thøc: A(s) = 5+16s +18s2+8s3+s4 (5-2) TÝnh to¸n th«ng th­êng: +) Tõ lý thuyÕt ta lËp ®­îc b¶ng Routh nh­ sau: LËp b¶ng Routh: 5 18 1 16 8 15,5 1 6,97 1 Do tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ trong cét ®Çu tiªn ®Òu d­¬ng, nªn tÊt c¶ c¸c nghiÖm cña ®a thøc ®· cho ®Òu cã phÇn thùc ©m => hÖ thèng cã ph­¬ng tr×nh ®Æc tr­ng trªn æn ®Þnh. Sö dông MATLAB: Ta gọi chương trình đánh giá ổn định của hệ thống bằng tiêu chuẩn Routh như sau: Tại cửa sổ của CommandWindow ta gõ edit open (chương trình lập bảng Routh)nhấn nút F5 để chạy chương trình. Tại chương trình của Routh ta nhập các hệ số của phương trình đặc trưng theo hệ số của số mũ giảm dần giảm dần, Matlab sẽ tự động lập bảng Routh như sau: Chuong trinh danh gia tinh on dinh cua he thong theo tieu chuan on dinh Routh DANH GIA SU ON DINH CUA HE THONG THEO TIEU CHUAN ROUTH Cho biet bac cua phuong trinh dac trung: 4 Nhap he so cua phuong trinh a(0) = 1 Nhap he so cua phuong trinh a(1) = 8 Nhap he so cua phuong trinh a(2) = 18 Nhap he so cua phuong trinh a(3) = 16 Nhap he so cua phuong trinh a(4) = 5 BANG ROUTH LAP DUOC c = 1.0000 18.0000 5.0000 8.0000 16.0000 0 16.0000 5.0000 0 13.5000 0 0 5.0000 0 0 Ket luan: HE THONG ON DINH Nhìn vào hai bảng Routh (bảng Routh lý thuyết và bảng Routh trên Matlab) ta thấy có sự khác biệt, nhưng đó không phải là sự nhầm lẫn, mà ở đây ta áp dụng định lý đối ngẫu, tức là khi lập bảng Routh ta có thể sử dụng 2 dạng phương trình đặc trưng của một đa thức để tính: A(s) = a0+a1s+a2s2+…+ansn Hoặc : A(s) = a0sn+a1sn-1+…+an Minh hoạ: G(s)=1+s+3s2+ s3+ s4+2s5+ s6 Hoặc: G(s)=s6+2s5+s4+s3+3s2+s+1s Ví dụ2: Khảo sát tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng sau trên Matlab: 7s7+9s6+11s5+s4+3s3+4s2+5s+11=0 Tại môi trường của Routh ta nhập : Chuong trinh danh gia tinh on dinh cua he thong theo tieu chuan on dinh Routh DANH GIA SU ON DINH CUA HE THONG THEO TIEU CHUAN ROUTH Cho biet bac cua phuong trinh dac trung: 7 Nhap he so cua phuong trinh a(0) = 7 Nhap he so cua phuong trinh a(1) = 9 Nhap he so cua phuong trinh a(2) = 11 Nhap he so cua phuong trinh a(3) = 1 Nhap he so cua phuong trinh a(4) = 3 Nhap he so cua phuong trinh a(5) = 4 Nhap he so cua phuong trinh a(6) = 5 Nhap he so cua phuong trinh a(7) = 11 BANG ROUTH LAP DUOC c = 7.0000 11.0000 3.0000 5.0000 9.0000 1.0000 4.0000 11.0000 10.2222 -0.1111 -3.5556 0 1.0978 7.1304 11.0000 0 -66.5050 -105.9802 0 0 5.3810 11.0000 0 0 29.9719 0 0 0 11.0000 0 0 0 Ket luan: HE THONG KHONG ON DINH Nhận xét: Như vậy, với công cụ Matlab ta thấy rõ được ưu điểm nổi bật của nó: dễ sử dụng, nhanh và cho kết quả chính xác. 4.2.2.2. Tiêu chuẩn đại số thứ hai ( Tiêu chuẩn Hurwitz) *Tiêu chuẩn Hurwit phát biểu như sau: “ Hệ thống điều chỉnh tự động có phương trình đặc tính với các hệ số dương ( cùng dấu) sẽ ổn định nếu giá trị tất cả các định thức Hurwitz dương ( cùng dấu)”. Dựng ma trận H kiểu (nn) từ các hệ số ai ,i= 1,2,..,n của A(s). -Xác định ma trận vuông Hi -Tính định thức Di =det(Hi), i= 1, 2,3…,n. +Số lần đổi dấu trong dãy: , , , , …, bằng số các nghiệm nằm bên phải trục phức của A(s). VD1: Xét đa thức: A(s)= 51+11s+s2+s3 (5-3) Tính toán thông thường: +) Từ lý thuyết ta có: Dựng ma trận H: Từ đó ta có: D1= 11, D2= -40, D3=-40 Ta thấy các định thức Hurwitz đổi dấu => hệ không ổn định. Xét dãy: , , , Vì các số hạng của dãy đổi dấu 2 lần (từ 11 sang -40 , từ -3,63 sang 1) => A(s) có hai nghiệm nằm bên phải trục ảo.=>hệ không ổn định. Sử dụng Matlab: Trong Matlab ta kiểm tra kết quả trên theo hai cách: Cách thứ nhất: ta tìm nghiệm của đa thức (5-3) trên Matlab để tìm vị trí các nghiệm trong mặt phẳng phức. Tại dấu nhắc của Matlab: >> c=[1 1 11 5 1] c = 1 1 11 51 >> roots(c) ans = 1.0000 + 4.0000i 1.0000 - 4.0000i -3.0000 Rõ ràng (5-3) có hai nghiệm nằm bên phải trục ảo. => Hệ không ổn định. Cách thứ hai: ta sẽ dùng Matlab để tính định thức của ma trận như sau:(sử dụng đa thức (5-3)). >> h2=[11 1;51 1] h2 = 11 1 51 1 >> det(h2) ans = -40 >> h3 = [11 1 0 ;51 1 0 ;0 11 1] h3 = 11 1 0 51 1 0 0 11 1 >> det(h3) ans = -40 Như vậy, sau khi Matlab tính xong các định thức, ta sẽ lấy kết quả để nhận xét: xét dãy: , , , => Hệ thống ổn định. Nhận xét: đối với phương trình đặc tính với số mũ nhỏ, thì việc tính định thức ma trận là dễ dàng, nhưng khi số mũ của phương trình đặc tính tăng lên, công việc tính toán sẽ nhiều hơn,và trong quá trình tính toán có thể có sai sót, làm ảnh hưởng đến kết quả của bài toán. Nhưng khi thực hiện công việc này trong Matlab thì vấn đề này không còn đáng ngại. Ta lại thấy được một ưu điểm nữa của Matlab. 4.2.3. Vẽ đáp ứng của hệ trên miền thời gian Ta biết rằng, tính ổn định là một thuộc tính bên trong của hệ thống, không phụ thuộc vào các tác dộng bên ngoài hệ. Vì vậy, ta có thể ngay lập tức khảo sát được tính chất này thông qua việc vẽ đáp ứng của hệ trên miền thời gian trong MATLAB. Đây là một cách xét ổn định của hệ rất trực quan. Lệnh initial: Cú pháp: initial(sys, x0, [,t]) [y, t, x]=initial(sys, x0, [,t]) Công dụng: Vẽ đáp ứng giá trị ban đầu của hệ trên miền thời gian Đáp ứng giá trị ban đầu mô tả phản ứng của hệ khi không có kích thích đầu vào nhưng tồn tại các giá trị ban đầu của véctơ trạng thái x0, phản ứng đó được gọi là chuyển động tự do của hệ. Ví dụ : cho hàm truyền dạng: Hệ đã cho là liên tục vì: >> h=tf(1,[1 1 10]) Transfer function: 1 ------------ s^2 + s + 10 >> isct(h) ans = 1 Tại dấu nhắc của Matlab, ta sẽ tạo nên các đáp ứng ban đầu. >> h=tf(1,[1 1 10]) Transfer function: 1 ------------ s^2 + s + 10 >> h1=ss(h); | >> [y,t,x]=initial(h1,'r-',[2 1],12); >> subplot(221) >> plot(t,y) >> subplot(223) >> plot(t,x(:,1),'r-',t,x(:,2),'g--') . Nhìn vào đáp ứng của hệ khi chưa có kích thích đầu vào ta thấy hệ có tính chất ổn định bởi vì sau một khoảng thời gian quá độ, hệ sẽ đi vào vùng xác lập. 4.2.4. Khảo sát tính ổn định của hệ thống trong miền tần số 4.2.4.1. Tiêu chuẩn Nyquist Tiêu chuẩn ổn định Nyquist dùng để xét tính ổn định của hệ thống kín dựa vào đặc tính tần số biên độ pha của hệ thống hở: + Hệ thống ổn định ở trạng thái hở, sẽ ổn định ở trạng thái kín nếu biểu đồ Nyquist không bao điểm (-1+i0) trên mặt phẳng phức. + Hệ thống không ổn định ở trạng thái hở, sẽ ổn định ở trạng thái kín nếu biểu đồ Nyquist bao điểm (-1+i0)p lần ngược chiều kim đồng hồ (p là số cực GH nằm ở phải mặt phẳng phức). Như vậy, khi xét ổn định của hệ kín theo tiêu chuẩn Nyquis thì trước hết ta đi xét tính ổn định của hệ hở, sau đó căn cứ vào kết quả nhận được từ hệ hở, ta xét tính ổn định của hệ kín dựa vào phát biểu trên. Ví dụ : Xét hệ thống có hàm truyền đạt sau: (4.4) Tính toán thông thường: Tìm hàm truyền tần số: Tách phần thực và phần ảo ta có: (4.4a) ( 4.4b) Cho I()= 0 ta tìm được giá trị tần số mà tại đó đặc tính tần số biên độ pha của hệ thống hở cắt truc thực. Từ (4.4b) ta có: => Thay vào (4.4a) ta có: toạ độ điểm cắt: Như vậy đặc tính tần số biên độ pha của hệ thống hở cắt trục thực trong đoạn hay đặc tính tần số biên độ pha của hệ thống hở không bao điểm (-1+j0). Theo tiêu chuẩn Nyquist =>hệ kín ổn định.(hình vẽ bên). Sử dụng MATLAB: Câu lệnh: Nyquist Cú pháp: nyquist(sys) Chức năng: Vẽ đồ thị Nyquist của hàm truyền đạt. Từ dấu nhắc của Matlab, ta kiểm tra tính ổn định của hệ hở bằng cách tìm nghiệm của đa thức đặc tính sau đó ta sẽ dùng tiêu chuẩn Nyquist để kiểm tra chất lượng hệ kín. >> c=[12 6 18 6 3 0]; >> roots(c) ans = 0 -0.0604 + 1.1186i -0.0604 - 1.1186i -0.1896 + 0.4040i -0.1896 - 0.4040i Nhìn vào các nghiệm của phương trình ta thấy chúng đều nằm ở bên trái mặt phẳng phứcDo đó hệ hở ổn định. Bây giờ ta đi xét tính ổn định của hệ kín nhờ Nyquis. >> sys=tf([3 1],[12 6 18 6 3 0]) Transfer function: 3 s + 1 ------------------------------------- 12 s^5 + 6 s^4 + 18 s^3 + 6 s^2 + 3 s >> nyquist(sys) Kết quả cho như hình vẽ. Từ đồ thị ta thấy rằng: điểm (-1+j0) được đánh dấu (+) trên hình vẽ không bị bao bởi biểu đồ Nyquist. => Hệ thống ổn định. *So sánh đồ thị vẽ tay và độ thị trên Matlab thấy rằng: đồ thị vẽ tay có độ chính xác không cao, nó chỉ mang tính chất mô tả dạng đồ thị. Điều này càng khó khăn hơn với những hệ thống có phương trình đặc tính phức tạp. Với Matlab, kết quả đưa ra về hình dạng đồ thị là chính xác. Đây là một ưu điểm nữa của Matlab. 4.2.4.2. Kiểm tra tính ổn định nhờ biểu đồ Bode Biểu đồ Bode biểu diễn đặc tính tần số của hàm truyền thành hai đồ thị riêng rẽ biên và pha với trục tần số được chia theo thang Logarit. - Đồ thị thứ nhất có tên là đặc tính biên tần Logait được chia theo thứ nguyên dB. - Đồ thị thứ hai có tên là đặc tính pha tần Logarit chia theo độ. Điểm (-1+j0) ứng với biên độ là 0dB và pha là -1800. Ta sẽ gọi tần số tại (GH)dB=0dB là tần số cắt biên, ứng với là tần số pha . Tần số cắt pha chính là tần số mà tại đó biểu đồ GH cắt nửa truc thực âm (giải phương trình ImGH=0). Ta có thể áp dụng giản đồ Bode để xét ổn định như sau: - Vẽ giản đồ Bode của hàm truyền vòng hở GH(p). (GH(p) không được có cực ở phải mặt phẳng phức). -Tìm tần số cắt biên , xem đặc tính pha ở tần số cắt biên. Nếu: + Đường pha ở trên đường -1800 thì hệ kín ổn định. + Đường pha cắt đường -1800 thì hệ kín ở biên giới ổn định. + Đường pha ở dưới đường -1800 thì hệ kín không ổn định. Ví dụ: Cho hàm truyền của hệ thống hở: GH(s)= Xét ổn định của hệ kín bằng biểu đồ Bode. Ta kiểm tra tính liên tục của hệ bằng lệnh: isct(sys): >> sys=tf([3 1],[12 6 18 6 3 0]) Transfer function: 3 s + 1 ------------------------------------- 12 s^5 + 6 s^4 + 18 s^3 + 6 s^2 + 3 s >> isct(sys) ans = 1 % hệ thống liên tục Tại Matlab: >> h = tf([31], [12 6 18 6 3 0]) Transfer function: 3 s + 1 ------------------------------------- 12 s^5 + 6 s^4 + 18 s^3 + 6 s^2 + 3 s >> bode(h) Biểu đồ Bode như hình vẽ bên. Ta thấy ứng với tần số cắt biên đường pha ở trên đường -1800 => hệ thống ổn định. * Độ dự trữ ổn định biên và pha Độ dự trữ ổn định là một đại lượng dương, đánh giá mức độ ổn định của hệ thống và nếu vượt qua độ dự trữ đó thì hệ thống ổn định sẽ trở nên mất ổn định. Đối với tiêu chuẩn đại số thì độ dự trữ ổn định chính là khoảng cách giữa trục ảo và nghiệm của phương trình đặc trưng ở gần trục ảo nhất. ( Vẽ hình) - Dự trữ biên: được định nghĩa là hệ số khuếch đại Gm, mà nếu ta bổ xung Gm thêm vào hàm truyền đạt của vòng hở, hệ kín sẽ vừa vặn đạt tới giới hạn giữa ổn định và không ổn định. Giá trị Gm được tính bằng nghịch đảo của biên độ tại tần số đảo pha (pha bắt đầu vượt -1800). - Dự trữ pha: Được định nghĩa là khoảng cách góc (tính từ góc pha tại vị trí điểm cắt giữa của vòng hở với đường tròn đơn vị ) tới -1800. Tần số tại điểm cắt đó được gọi là tần số cắt biên. *Trong Matlab có hai lệnh: margin & allmargin Đối với lệnh margin ta có được các thông số: dự trữ biên Gm với tần số đảo pha, dự trữ pha Pm với tần số cắt biên . Với lệnh allmargin có tác dụng rộng hơn lệnh margin, allmargin tính nhiều tham số liên quan đến vòng hở,các tham số này được cất trong biến stabil. Gainmargin Dự trữ biên: giá trị đảo của biên độ tại tần số GMFrequency. GMFrequency Giá trị tần số mà tại đó đồ thị pha cắt đường thẳng nằm ngang -1800. PhaseMargin Dự trữ pha: Khoảng cách góc(>0) từ vị trí PMFrequency tới -1800. PMFrequency Giá trị tần số mà tại đó đồ thị biên cắt đường thẳng nằm ngang 0dB (ứng với hệ số khuếch đại 1). DelayMargin Dự trữ thời gian trễ: Giá trị thời gian trễ mà nếu vượt quá, hệ sẽ mất ổn định. DMFrequency Giá trị tần số ứng với DelayMargin Stabil =1 khi mạch vòng khép kín ổn định. =0 cho các trường hợp còn lại. Ví dụ1: cho hàm truyền đạt: Hàm này liên tục vì: >> h=tf(4,[1 3 3 1]) Transfer function: 4 --------------------- s^3 + 3 s^2 + 3 s + 1 >> isct(h) ans = 1 %hệ đã cho là liên tục Tại dấu nhắc của Matlab ta thực hiện lệnh Margin & Allmargin như sau: >> h=tf(4,[1 3 3 1]) Transfer function: 4 --------------------- s^3 + 3 s^2 + 3 s + 1 >> margin(h); Ta có dạng đồ thị Bode như hình vẽ bên: Từ đồ thị Bode, rõ ràng < , từ biểu đồ ta đọc được: Dự trữ biên : Gm = 6.02dB Tần số cắt pha : W= 1.7322rad/s Dự trữ pha : Pm = 27.10 Tầsốcắtbiên:WA=1.23rad/s Với lệnh allmargin: >> stabil=allmargin(h) stabil = GMFrequency : 1.7322 GainMargin : 2.0003 PMFrequency : 1.2328 PhaseMargin : 27.1424 DMFrequency : 1.2328 DelayMargin : 0.3843 Stable : 1 % hệ kín ổn định. Ví dụ2:Tìm biên dự trữ và pha dự trữ của hàm truyền đạt sau: Kiểm tra H(s) là hệ liên tục hay không bằng cách nhập tại cửa sổ của Matlab: >> h=tf(10,[-1 1 0]) Transfer function: -10 ------- s^2 - s >> isct(h) ans = 1 % hệ trên là liên tục Từ dấu nhắc của Matlab, ta dùng lệnh Margin: >> h=tf(10,[-1 1 0]) Transfer function: -10 ------- s^2 - s >> margin(h) >> stabil=allmargin(h) stabil = GMFrequency: [1x0 double] GainMargin: [1x0 double] PMFrequency: 3.0842 PhaseMargin: 162.0358 DMFrequency: 3.0842 DelayMargin: 0.9169 Stable: 0 % hệ kín không ổn định. Ta cũng có thể đọc được các thông số này từ biểu đồ Bode: Pm = 1620 WA = 3.08 rad/s Gm = inf(Gm = ∞) 4.2.4.3. Khảo sát sự ổn định của hệ thống bằng phương pháp quỹ đạo nghiệm số Phương pháp quỹ đạo nghiêm số dùng để phân miền ổn định cho hệ thống điều chỉnh, nó thường được dùng khi hệ thống có một thông số thay đổi. Nội dung của phương pháp như sau: 1/ Tìm điểm xuất phát: là điểm ứng với điểm cực của hàm truyền hở GH(p). 2/ Tìm điểm kết thúc: là điểm zero của hàm truyền hở GH(p). 3/ Nhánh quỹ đạo nghiệm số: N=max(P,Z) Thường thì N=P=n. Trong đó: P là số cực, Z là số zero của hàm truyền, n là bậc của mẫu. 4/ Quỹ đạo nghiệm số đối xứng qua trục hoành. 5/ Điểm tách: là điểm mà hai nhánh quỹ đạo nghiệm số gặp nhau và sau đó tách ra khi K tăng (K là hệ số khuếch đại). 6/ Giao điểm của quỹ đạo nghiệm với trục ảo. -Dùng tiêu chuẩn Routh Ta có thể xác định bằng hai phương pháp: tính K giới hạn (Kgh) và sau đó xác định ImGH(p). -Thay p=j vào phương trình đặc tính, cho phần thực và phần ảo bằng 0 => để tìm K. Ví dụ 1. Vẽ quỹ đạo nghiệm của hệ thống: (với K=2) Giải: Ta kiểm tra xem hệ trên là hệ liên tục hay gián đoạn: Tại dấu nhắc của MatLab: >> h=tf(2,[1 9 20 0]) Transfer function: 2 ------------------ s^3 + 9 s^2 + 20 s >> isct(h) ans = 1 % kết luận: hệ trên là một hệ liên tục. Để vẽ quỹ đạo nghiệm trên Matlab ta sử dụng lệnh Rlocus(num, den) Công dụng: lệnh Rlocus tìm quỹ đạo nghiệm của hàm truyền. Quỹ đạo nghiệm dùng để nghiên cứu ảnh hưởng của việc thay đổi độ lợi hồi tiếp lên vị trí cực của hệ thống, cung cấp các thông tin về đáp ứng thời gian và tần số. Lệnh này dùng cho cả hệ liên tuc và gián đoạn. Từ cửa sổ Matlab ta nhập: >> h=tf(2, [1 9 20 0]) Transfer function: 2 ------------------ s^3 + 9 s^2 + 20 s >> rlocus(h) %vẽ quỹ đạo nghiệm Kết quả: Từ đồ thị cho ta: 1/ Điểm xuất phát: điểm cực: 0, -4, -5 (P=3) (được đánh dấu bằng x trên hình vẽ). 2/ Điểm kết thúc: zero vô hạn: ∞ (Z=0) (được đánh dấu o trên đồ thị nếu có) 3/ Nhánh quỹ đạo nghiệm: N = max(P,Z) = (3,0) = 3 4/ Quỹ đạo nghiệm đối xứng qua trục hoành 5/ Điểm tách KGH được xác định bằng cách gọi từ cửa sổ Matlab lệnh Rlocfind. Lệnh Rlocfind(num, den) dùng để chọn điểm bằng cách kéo rê chuột. Điểm này sẽ được minh hoạ trên đồ thị. Sau khi nháy chuột vào điểm chọn, ta sẽ có được thông tin về điểm vừa chọn. >> rlocfind(h) Select a point in the graphics window selected_point = -1.516 Điểm tách có giá trị: -1.4516 6/ Giao điểm của quỹ đạo nghiệm với trục ảo được xác định bằng cách gọi từ cửa sổ Matlab: >> rlocfind(h) Select a point in the graphics window selected_point = 4.472i Giao điểm có giá trị: +4.472i, -4.472i Từ giá trị tại giao điểm của quỹ đạo nghiệm với trục ảo ta thế vào phương trình đặc trưng của hệ kín: F(s) = s3+9s2+20s+k =0 F => kgh = 180 Kết luận: hệ thống sẽ ổn định khi 0<k <180 4.2.4.4. Khảo sát hệ thống trong không gian trạng thái Hệ phương trình trạng thái mô tả động học của hệ thống tuyến tính dừng có dạng: Tuỳ theo mục đích của việc nghiên cứu mà ta có thể sử dụng các phương pháp mô tả khác nhau trên không gian trạng thái, ví dụ như: các ma trận mô tả đặc điểm điều khiển hay quan sát, cho phép khảo sát tính điều khiển được hay quan sát được của hệ. Tính quan sát được Một thông tin rất quan trọng khi khảo sát hệ thống, đó là: liệu trạng thái của đối tượng có quan sát được hay không? Hay, nếu không phải tất cả các trạng thái đều quan sát được thì những trạng thái nào có thể quan sát được? Để trả lời câu hỏi trên ta sử dụng ma trận kiểm tra đặc điểm quan sát được Ob(Observability Matrix), tính từ ma trận hệ thống A, và ma trận đầu ra C theo công thức: Nếu ma trận Ob có hạng đầy (rang)đủ như ma trận hệ thống A, khi ấy hệ là quan sát được toàn phần.Nếu không phải như vậy, hạng của ma trận ứng với số trạng thái có thể quan sát được của hệ. Để kiểm tra, ta sử dụng: Ob = obsv(A, C) Ob = obsv(sys) Trong Matlab ta tìm ma trận đặc điểm quan sát được như sau: [Abar, Bbar, Cbar,T, k]=obsvf(A, B, C, [tol]) Ba biến Abar, Bbar, Cbar chứa các ma trận . Vectơ k có chiều dài bằng kích cỡ của A, với tổng các phần tử của k chính là số các trạng thái quan sát được. T là ma trận chuyển hệ, và tham số tuỳ chọn tol cho biết dung sai cho phép khi tính dạng chuẩn quan sát. Ví dụ: Cho hàm truyền dạng: (4-5) Cách tín thông thường Từ hàm truyền đạt ta thực hiện chuyển sang hệ phương trình không gian trạng thái với các ma trậnA ,B, C, D, sau đó tính toán ma trận Ob theo công thức, tiếp theo ta so sánh hạng của ma trận Ob với hạng của ma trận hệ thống A để đưa ra kết luận về tính quan sát được của hệ thống. Sử dụng matlab: Ta thực hiện chuyển đổi hàm truyền trên sang phương trình trạng thái tại cửa sổ của Matlab, sau đó dùng lệnh obsv kiểm tra tính quan sát được của hệ thống, cuối cùng dùng lệnh obsvf tìm ma trận kiểm tra đặc điểm quan sát được: >> num=[1 2]; >> den=[1 6 11 6]; >> [a,b,c,d]=tf2ss(num,den) a = -6 -11 -6 1 0 0 0 1 0 b = 1 0 0 c = 0 1 2 d = 0 > ob=obsv(a,c) ob = 0 1 2 1 2 0 -4 -11 -6 >> rank(ob) ans = 2 >> rank(a) ans = 3 Nhận thấy hạng của Ob (=2) bằng hạng của ma trận hệ thống A (=3) nên hệ không quan sát được toàn phần. >> [abar,bbar,cbar,t,k]=obsvf(a,b,c) abar = -2.0000 8.0498 -8.8807 -0.0000 -4.4000 5.1936 0.0000 -0.9165 0.4000 bbar = -0.8729 0.4880 0 cbar = 0.0000 0 -2.2361 t = -0.8729 0.4364 -0.2182 0.4880 0.7807 -0.3904 0 -0.4472 -0.8944 k = 1 1 0 k có hai phần tử, tức là hệ có hai trạng thái quan sát được. *Cả hai kết quả trên đều cho thấy hệ không quant sát được toàn phần. b) Tính điều khiển được Để kiểm tra tính tính điều khiển được cho biết các trạng thái nào có thể điều khiển được. chất này, ta dùng ma trận kiểm tra đặc điểm điều khiển được Co (Coltrollability Matrix). Ma trận Co của hệ với n trạng thái được tính theo công thức: Co =[ B AB A2B …An-1B] Nếu Co có hạng đầy đủ như ma trận hệ thống A, hệ khi đó điều khiển được toàn phần. Nếu không, hạng của Co ứng với số trạng thái có thể điều khiển được. Cú pháp: Co = ctrb(A, B) Co = ctrb(sys) Trong Matlab ta tìm ma trận kiểm tra đặc điểm điều khiển được như sau: [Abar, Bbar, Cbar,T, k]=ctrbf(A, B, C, [tol]) Ba biến Abar, Bbar, Cbar chứa các ma trận . Vectơ k có chiều dài bằng kích cỡ của A, với tổng các phần tử của k chính là số các trạng thái điều khiển được. T là ma trận chuyển hệ, và tham số tuỳ chọn tol cho biết dung sai cho phép khi tính dạng chuẩn điều khiển. Sử dụng ví dụ (6.a): Cách thông thường: Từ hàm truyền đạt ta thực hiện chuyển sang hệ phương trình không gian trạng thái với các ma trậnA ,B, C, D, sau đó tính toán ma trận Co theo công thức, tiếp theo ta so sánh hạng của ma trận Co với hạng của ma trận hệ thống A để đưa ra kết luận về tính điều khiển được của hệ thống. Sử dụng matlab: sử dụng lệnh ctrb và lệnh ctrbf. >> num=[1 2]; >> den=[1 6 11 6]; >> [a,b c d]=tf2ss(num,den) a = -6 -11 -6 1 0 0 0 1 0 b = 1 0 0 c = 0 1 2 d = 0 >> co=ctrb(a,b) co = 1 -6 25 0 1 -6 0 0 1 >> rank(co) ans = 3 Co có hạng( =3) bằng hạng của ma trận hệ thống a(=3) => hệ điều khiển được toàn phần. >> [abar,bbar,cbar,t,k]=ctrbf(a,b,c) abar = 0 1 0 0 0 -1 6 11 -6 bbar = 0 0 1 cbar = -2 -1 0 t = 0 0 -1 0 -1 0 1 0 0 k = 1 1 1 k có 3 phần tử nghĩa là hệ thống có 3 trạng thái điều khiển được (điều khiển được toàn phần). CHƯƠNG 5: ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯỢNG HỆ THỐNG Chất lượng của hệ thống được đánh giá bằng: Chất lượng trạng thái xác lập (chất lượng tĩnh) , và chất lượng trạng thái quá độ (chất lượng động). 5.1.Chất lượng trạng thái xác lập Chất lượng xác lập của một hệ thống tuyến tính ổn định có thể được đánh giá bằng việc xác định sai số trạng thái xác lập ess. Xét hệ thống tuyến tính một chiều (hình vẽ), sai số của hệ thống được xác định như sau: Hình5.1. Hệ thống điều khiển tuyến tính một vòng Sai số của hệ thống được xác định như sau: Phương trình sai số trên chỉ ra rằng, sai số trạng thái xác lập của hệ thống (Hình1) phụ thuộc hàm số truyền vòng G(s)H(s) và đầu vào R(s). 5.1.1. Các hằng số sai số Để dễ dàng nghiên cứu sai số trạng thái xác lập của các hệ thống tuyến tính, các hằng số sai số được xác định đối với các đầu vào là hàm bậc thang, hàm độ dốc, hàm barabol. 5.1.1.1. Hằng số sai số hàm bậc thang KP và đầu vào hàm bậc thang (hàm vị trí, hay bậc thang) Khi hệ thống trên Hình5.1 có đầu vào là hàm bậc thang (hàm vị trí) biên độ R thì: Hằng số sai số vị trí được xác định như sau: KP = lim G(s)H(s) Sai số xác lập vị trí là: exlp = 5.1.1.2. Hằng số sai số hàm độ dốc KV và đầu vào hàm độ dốc(hàm vận tốc) Khi hệ thống trên Hình1 có đầu vào là hàm độ dốc (hàm vận tốc) biên độ R, nghĩa là: r(t) = Rtus(t), trong đó us(t) là hàm bậc thang đơn vị, thì: Hằng số sai số vận tốc được xác định như sau: KV = lims G(s)H(s) Sai số xác lập vận tốc là: exlv= 5.1.1.3. Hằng số sai số hàm Parabol và đầu vào là hàm Parabol(hàm gia tốc) Khi hệ thống trên Hình1 có đầu vào là hàm Parabol (hàm gia tốc), r(t) = thì: Hằng số sai số gia tốc được xác định như sau: Ka = lims2 G(s)H(s) Sai số xác lập gia tốc là: exla = Cần phải thấy rằng, việc phân tích trạng thái xác lập và các hằng số sai số chỉ có ý nghĩa nếu hệ thống ổn định, nói khác đi, các nghiệm của phương trình đặc trưng phải ở nửa trái của mặt phẳng phức. 5.2. Chất lượng động Chất lượng động của hệ thống bao gồm: độ quá điều chỉnh cực đại, thời gian giữ chậm, thời gian gia tăng, thời gian quá độ và số lần dao động N. Hoạt động quá độ của một hệ thống điều khiển tuyến tính ổn định thường được đo bằng cách dùng đầu ra của hệ thống có đầu vào là hàm bậc thang đơn vị điển hình với sai số trạng thái xác lập bằng không. 5.2.1. Độ quá điều chỉnh cực đại (ĐQĐC) Gọi y(t) là đáp ứng hàm bậc thang đơn vị, yMAX là giá trị tối đa của y(t), ySS là giá trị trạng thái xác lập của y(t), và yMAX ≥ ySS . ĐQĐC cực đại của y(t) được xác định như sau: ĐQĐC cực đại = yMAX - ySS ĐQĐC cực đại thường được biểu thị dưới dạng phần trăm của giá trị cuối cùng của đáp ứng hàm bậc thang, nghĩa là: Phần trăm ĐQĐC cực đại = 5.2.2. Thời gian giữ chậm Thời gian giữ chậm td được xác định là thời gian cần thiết để đáp ứng hàm bậc thang đạt tới 50% giá trị cuối cùng của nó (hình vẽ). 5.2.3. Thời gian gia tăng Thời gian gia tăng tr được xác định là thời gian cần thiết để đáp ứng hàm bậc thang tăng từ 10% đến 90% giá trị cuối cùng của nó(hình vẽ). 5.2.4. Thời gian quá độ Thời gian quá độ là thời gian cần thiết để đáp ứng hàm bậc thang giảm xuống và giữ trong phạm vi 5% giá trị cuối cùng của nó(hình vẽ). 5.2.5. Số lần dao động N Là số lần dao động chung quanh giá trị xác lập trong thời gian quá độ. Thông thường N không vượt quá 3. Đáp ứng hàm bậc thang đơn vị điển hình 5.3. Minh hoạ chất lượng của hệ thống ở trạng thái xác lập. Ví dụ: tìm KP , exlp , KV , exlv , Ka , exla của hệ thống hồi tiếp đơn vị, với các đầu vào tương ứng là hàm vị trí, hàm vận tốc, hàm gia tốc có biên độ R=1 ứng với hàm: G(s) = Theo định nghĩa: Hằng số sai số vị trí được xác định như sau: KP = lim G(s)H(s) KP = limG(s) = lim KP = Sai số xác lập vị trí là: exlp = = = Hằng số sai số vận tốc được xác định như sau: KV = lims G(s)H(s) KV = limsG(s) = lim s KV = 0 Sai số xác lập vận tốc là: exlv= = Hằng số sai số gia tốc được xác định như sau: Ka = lims2 G(s)H(s) Ka = lims2G(s) = lim s2 Ka = 0 Sai số xác lập gia tốc là: exla= = Trong Matlab ta tìm giới hạn của hàm bằng câu lệnh limit . tại CommandWindow ta gọi chương trình con tính saiso bằng cách gõ edit và thực hiện nhập hàm theo chương trình. %Ứng với sai số vị trí Tinh toan sai so cua khau truyen dat nhap vao ham truyen dat cua he thong: G(s)=5000*(s^2+1016*s+16000)/(s^4+600*s^3+24*s^2+5216*s+120000) nhap vao ham truyen cua khau hoi tiep: H(s)=1 lua chon kieu tinh sai so:, 1-vitri, 2-vantoc, 3-giatoc1 Kp = 2000/3 exlp = 3/2003 %Ứng với sai số vận tốc nhap vao Tinh toan sai so cua khau truyen dat ham truyen dat cua he thong: G(s)=5000*(s^2+1016*s+16000)/(s^4+600*s^3+24*s^2+5216*s+120000) nhap vao ham truyen cua khau hoi tiep: H(s)=1 lua chon kieu tinh sai so:, 1-vitri, 2-vantoc, 3-giatoc2 Kv = 0 exlv = Inf % Inf: infinite(vô cùng) %với sai số gia tốc Tinh toan sai so nhap vao ham truyen dat cua he thong: G(s)=5000*(s^2+1016*s+16000)/(s^4+600*s^3+24*s^2+5216*s+120000) nhap vao ham truyen cua khau hoi tiep: H(s)=1 lua chon kieu tinh sai so:, 1-vitri, 2-vantoc, 3-giatoc3 Ka = 0 exla = Inf 5.4. Minh họa chất lượng của hệ thống ở quá trình quá độ Ví dụ1: cho hàm truyền: Để đánh giá chất lượng của hệ thống ta vẽ đáp ứng của hệ ứng với đầu vào là hàm bậc thang đơn vị bằng hai cách: Cách 1: tại CommandWindow ta nhập vào như sau: >> h= tf(10,[1 1 10]); >> step(h); Kết quả: Đáp ứng hàm bậc thang đơn vị của hệ thống có hàm số truyền: Cách 2: trong môi trường Simulink, ta lấy ra khối Step, khốiTransfer Fcn, khối Scope, rồi thực hiện mô phỏng, lấy tín hiệu đầu ra tại Scope, kết quả thu được cũng tương tự. Từ đáp ứng của hệ thống như trên, ta xác định các thông số của hệ thống như sau: Phần trăm ĐQĐC cực đại = % =60% Thời gian tại điểm tối đa : tmax= 1,1s Thời gian giữ chậm : td = 0,4s Thời gian gia tăng : tr = 0,35s Thời gian quá độ : tqd = 5,2s *Nhận xét: Tuy rằng quá trình quá độ của hệ diễn ra trong khoảng thời gian ngắn, nhưng độ quá điều chỉnh của hệ lớn (60%), số lần dao động xung quanh vị trí xác lập N=5, nên chất lượng của hệ là không tốt. Ví dụ2. Hãy đánh giá chất lượng quá độ của hệ thống có hàm truyền đạt: h(s)= Sử dụng Simulink để mô phỏng hệ thống với đáp ứng đầu vào là hàm bậc thang đơn vị: Kết quả mô phỏng đáp ứng trên scope như sau: Từ đáp ứng quá độ của hệ như trên, ta có thể dễ dàng đánh giá chất lượng quá trình quá độ của hệ thông qua các chỉ tiêu chát lượng như sau: Phần trăm ĐQĐC cực đại = % =0% Thời gian tại điểm tối đa : tmax= 11,8s Thời gian giữ chậm : td = 3,5s Thời gian gia tăng : tr = 5,26s Thời gian quá độ : tqd = 8,2s *Nhận xét: từ các kết quả thu được từ đồ thị: số lần dao động N=0, các tham số thời gian trong quá trình xảy ra quá độ là nhỏ, quá trình quá độ xảy ra trong thời gian ngắn => Hệ làm việc ổn định. Nhận xét: Đối với việc xét chất lượng ở quá trình quá độ, thì Matlab đã hỗ trợ rất lớn trong việc đánh giá chất lượng của hệ thống. Bởi vì khi đã có đáp ứng của hệ, thì từ đồ thị ta dễ dàng tìm được các thông số cụ thể. Từ đó so sánh với các chỉ tiêu đã đặt ra ban đầu, xem xét, đánh giá chất lượng của hệ thống. Hơn nữa ta có thể dễ dàng thay đổi các tham số trong hàm truyền để khảo sát, thay đổi đến chừng nào mà ta thu được kết quả như mong muốn. CHƯƠNG 6: TỔNG HỢP VÀ THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN 6.1. Chọn tham số cho bộ điều khiển PID Khâu tỉ lệ P( hàm truyền đạt R(s) = KP), tốc độ tác động nhanh, nhưng không triệt được sai lệch tĩnh. Khâu tích phân I( R(s) = ), nhiệm vụ của khâu tích phân triệt tiêu sai lệch, tốc độ tác động chậm. Do sự tác động chậm mà hệ thống điều chỉnh dùng quy luật tích phân kém ổn định. Khâu vi phân D( hàm truyền đạt R(s) = TDs), tốc độ phản ứng nhanh. Bộ điều chỉnh PI, là sự kết hợp của hai khâu tỉ lệ và tích phân nhằm tác động nhanh, triệt tiêu được sai lệch, bộ PI có hàm truyền đạt: R(s) = KP(1+). Bộ điều chỉnh PD, được có tốc độ tác động nhanh nhưng không triệt tiêu được sai lệch. Vì vậy bộ điều chỉnh tỉ lệ vi phân với hàm truyền: R(s) = KP(1+s), chỉ sử dụng ở những nơi đòi hỏi tốc độ tác động nhanh như điều khiển tay máy... Tên gọi PID là viết tắt của ba thành phần cơ bản có trong bộ điều khiển: khuếch đại tỷ lệ(P), tích phân(I), vi phân(D). người ta thường nói rằng PID là một thực thể hoàn hảo gồm 3 tính cách khác nhau: - Phục tùng và thực hiện chính xác nhiệm vụ được giao ( tỷ lệ ). - Làm việc và có tích luỹ kinh nghiệm để thực hiện tốt nhiệm vụ( tích phân ). - Luôn có sáng kiến và phản ứng nhanh nhậy với sự thay đổi tình huống trong quá trình thực hiện nhiệm vụ (vai trò của vi phân). Bộ PID có nhiệm vụ đưa sai lệch e(t) của hệ thống về không sao cho quá trình quá độ thoả mãn các yêu cầu cơ bản về chất lượng. Hàm truyền đạt của bộ điều khiển PID: R(s) = KP(1++s). Chất lượng của hệ thống phụ thuộc và các tham số KP, TI, TD, không phải mọi trường hợp đều bắt buộc phải xác định cả ba tham số trên, chẳng hạn như khi bản thân đối tượng đã có thành phần tích phân thì trong bộ điều khiển ta không cần thêm khâu tích phân nữa khi đó ta sử dụng bộ điều khiển PD có hàm truyền: R(s) = KP(1+s) là đủ. Hoặc khi tín hiệu hệ thống thay đổi tương đố chậm và bản thân bộ điều khiển không cần phải có phản ứng thật nhanh với sự thay đổi của sai lệch e(t) thì ta chỉ cần sử dụng bộ điều khiển PI có hàm truyền: R(s) = KP(1+). Có nhiều phương pháp xác định tham số và cấu trúc của các bộ điều khiển. Sau đây sẽ nghiên cứu một số phương pháp. 6.1.1. Xác định tham số bằng thực nghiệm Phương pháp tìm tham số bằng thực nghiệm áp dụng cho đối tượng có được chế độ biên giới ổn định khi hiệu chỉnh hằng số khuếch đại trong hệ kín. Với tham số bộ điều chỉnh PID được lựa chọn theo phương pháp này, sẽ đưa ra được một hệ kín có độ quá điều chỉnh không vượt quá 25% so với =Lim h(t). t Nguyên lý phương pháp như sau: - Thay bộ điều khiển PID trong hệ thống kín bằng bộ khuếch đại. Sau đó tăng hệ số khuếch đại tới giá trị tới hạn Kth để hệ kín ở biên giới ổn định. Tức h(t) có dạng dao động điều hoà, ta xác định chu kỳ Tth của của dao động. - Xác định tham số cho bộ điều khiển P, PI, PID như sau: + Nếu sử dụng bộ khuếch đại R(s) = KP thì KP = Kth. + Nếu sử dụng bộ PI với R (s) = KP(1+) thì KP = 0,45Kth và TI= 0,85Tth. + Nếu sử dụng bộ PID với R(s) = KP(1++) thì tham số KP = 0,6Kth và TI= 0,5Tth, TD= 0,12Tth. Ví dụ: Cho đối tượng có hàm truyền đạt: S(s)=, tìm tham số bộ điều khiển PID theo phương pháp thực nghiệm. Tính toán thông thường: Trước tiên ta tìm hệ số khuếch đại Kth (bằng cách thử với những giá trị bất kì) để hệ kín ở chế độ biên giới ổn định, sau đó xác định Tth của dao động. Dõ dàng làm việc này là rất phức tạp và mất nhiều thời gian vì mỗi giá trị của K ta lại phải xét xem hệ ở biên giới ổn định hay không.Công việc này sẽ trở nên đơn giản hơn rất nhiều nếu chúng ta sử dụng Matlab. Sử dụng MAtlab: Các hệ số Kth = 4.65 và Tth = 11, tìm được nhờ sử dụng mô hình Simulink Để tìm tham số các bộ điều khiển theo phương pháp thực nghiệm ta sử dụng chương trình tìm tham số bộ điều khiển được lập trình trên Matlab (dựa vào cách tính các tham số bộ điều khiển theo phương pháp thực nghiệm ) ta có: Xac dinh tham so bo PID bang phuong phap thuc nghiem Nhap vao hang so thoi gian thuc:Tth=11 Nhap vao he so khuech dai thuc:Kth=4.65 Voi khau P ta co tham so bo dieu chinh la: kp = 2.3250 Voi khau PI ta co tham so bo dieu chinh la: kp = 2.0925 Ti = 9.3500 Voi khau PID ta co tham so bo dieu chinh la: kp = 2.7900 Ti = 5.5000 Td = 1.3200 Với các tham số bộ điều khiển được xác định ở trên ta có thể thấy được chất lượng của hệ thống khi bộ điều khiển là khâu P (hình 6.1a), khâu PI (hình 6.1b), khâu PID (hình 6.1c) thông qua đáp ứng đáp ứng của hệ thống được lấy gia trên Scope so với chất lượng của hệ thống khi chưa có bộ điều khiển (hình 6.1d). (a) (b) (c) (d) Hình 6.1: Đáp ứng của hệ thống lấy trên Scope Từ đồ thị đáp ứng ta nhận thấy với tín hiệu vào là w(t) = 1(t) thì bộ điều khiển PID triệt tiêu hoàn toàn sai lệch tĩnh, so với hệ thống khi chưa có bộ điều khiển với cùng tín hiệu vào là hàm bậc thang đơn vị. Như vậy với ứng dụng mạnh của Matlab đó là khả năng giao tiếp với một số ngôn nữ lập trình cấp cao( C, C++, ....) cho phép chúng ta xây dựng được chương trình tính toán với độ chính xác cao và nhanh chóng( áp dụng được cho các đối tượng khác nhau). Thông qua kết quả mô phỏng trên mà chúng ta có thể chọn được bộ điều khiển thoả mãn yêu cầu của hệ thống căn cứ vào các chỉ tiêu như độ quá điều chỉnh, thời gian quá độ, số lần dao động. 6.1.2. Phương pháp tổng T của Kuhn Phương pháp xác định tham số bộ điều khiển theo Kuhn áp dụng cho những đối tượng không có độ quá điều chỉnh, hàm quá độ h(t) của nó đi từ 0 và có dạng hình chữ S. Và yêu cầu hệ thống có độ quá điều chỉnh nhỏ hơn 25%. Cho đối tượng có hàm truyền đạt: S(s) = k. với m<n. Giả thiết: + Hàm quá độ h(t) của nó đi từ điểm 0 và có dạng hình chữ S. + T1t < T1m , T2t < T2m, …, Tmt < Tnm. Chú ý các chữ cái t và m trong Tit và Tjm không có ý nghĩa luỹ thừa mà chỉ có ý chỉ hệ số tử và mẫu. Gọi A là diện tích tạo bởi đường cong h(t) và K = lim h(t), khi đó t A = K(+ ) = K. Trên cơ sở K và Kuhn đề ra phương pháp tổng T xác điịnh tham số KP, KI, KD, cho bộ điều khiển PID sao cho quá trình quá độ ngắn hơn và độ quá điều chỉnh không vượt quá 25%, nguyên lý của phương pháp như sau: - Xác định K và từ hàm truyền đạt S(s) hoặc bằng thực nghiệm từ hàm quá độ h(t) đã cho của đối tượng. - Xác định tham số cho bộ điều khiển: + Nếu sử dụng bộ PI chọn KP = và TI = + Nếu sử dụng bộ PID chọn KP = và TI = , TD = 0.167 VD: cho đối tượng có hàm truyền đạt: S(s) = , tìm tham số bộ điều khiển theo phương pháp tổng T của kuhn. Tính toán thông thường: Với đối tượng đã cho ta có: K= 2, = 2+3+5 = 10, từ đây ta hoàn toàn tìm được tham số của các bộ điều khiển theo nội dung của phường pháp và tổng hợp được hệ thống nhưng để vẽ được đáp ứng của hệ thống thì việc này mất nhiều thời gian, trong khi việc này được thực hiện nhanh chóng nhờ mô phỏng trên Simulink. Sử dụng Matlab: * Nếu dùng bộ điều khiển PI với các tham số KP = = 0,25 và TI = = 5, khi đó ham truyền bộ điều khiển: R(s) = 0,25(1+). Nhờ mô phỏng trên Simulink ( bằng cách thay đổi thông số của các khối hàm đã được xây dựng và tích hợp trong Matlab theo yêu cầu bộ điều khiển ) ta thu được chất lượng của hệ thể hiện qua hàm quá độ trong (hình 6.2b). (a) (b) Hình 6.2. Sơ đồ mô phỏng với bộ điều khiển PI(a), và đáp ứng đầu ra hiển thị trên Scope(b) Nhận xét: Từ đồ thị hàm quá độ ta thấy độ quá điều chỉnh của hệ nhỏ hơn 25% như yêu cầu (hệ có độ quá điều chỉnh ). * Sử dụng bộ điều khiển PID với các tham số KP = = 0,25 và TI == 6.67, TD = 0,167= 1,67. Chất lượng của hệ thể hiện qua hàm quá độ, với bộ điều khiển PID có hàm truyền: R(s) = 0,25(1++1,67s). Có đáp ứng đầu ra trên Scope như sau. (a) (b) Hình 6.3. Sơ đồ mô phỏng với bộ PID(a), và đáp ứng đầu ra hiẻn thị trên Scope(b) Nhận xét: + Bộ điều khiển PID mang lại một chất lượng điều chỉnh tốt hơn bộ điều khiển PI. + Như vậy với khả năng mô phỏng Matlab đã đưa ra đáp ứng của hệ thống một cách nhanh chính xác với các tham số bộ điều khiển đã biết. Ngoài ra Matlab còn cho phép chúng ta thay đổi thông số của các phần tử trong hệ thống một cách rễ dàng nhằm đưa ra một chất lượng như mong muốn. Với cùng một đối tượng khảo sát thì với tham số bộ điều khiển được xác định theo phương pháp tổng T của Kuhn( so với bộ điều khiển được xác định bằng phương pháp thực nghiệm ) cho ta chất lượng điều chỉnh tốt hơn bằng việc giảm tối đa độ quá điều chỉnh và thời gian quá độ cũng như số lần dao động. 6.2. Bộ điều khiển tối ưu độ lớn Cho hệ kín có ham truyền đạt: G(s) = , để hệ thống luôn có đáp ứng y(t) giống như tín hiệu lệnh w(t) tại mọi điểm tần số. Thì bộ điều khiển phải mang đến cho hệ thống khả năng: (trong giải tần số gần 0). Bộ điều khiển R(s) cần phải chọn sao cho miền tần số của biểu đồ Bode hàm truyền hệ kín G(s) thoả mãn: L() = 20lg là lớn nhất. Phương pháp này chỉ phục vụ việc chọn tham số bộ điều khiển PID để điều khiển các đối tượng có hàm truyền dạng. - Quán tính bậc nhất: S(s) = - Quán tính bậc hai: S(s) = - Quán tính bậc ba: S(s) = a) Khi đối tượng là khâu quán tính bậc nhất( S(s) = ) thì bộ điều khiển tích phân với tham số Ti = 2kT, là bộ điều khiển tối ưu. Nếu một đối tượng bất kì có hàm truyền: S(s) = có thể xấp xỉ về dạng quán tính bậc nhất thì cũng có thể sử dụng phương pháp này. VD: Đối tượng có hàm truyền đạt S(s) = áp dụng công thức Vieta cho đa thức mẫu và bỏ qua các thành phần bậc cao thì S(s) Suy ra: k = 2 và T = . Tham số bộ điều khiển TI = 2kT = 2,4. Đồ thị hàm quá độ của hệ kín, với bộ điều khiển tích phân được thiết kế với đối tượng quán tính bậc nhất như hình 6.4a: (a) (b) H×nh 6.4: §¸p øng cña hÖ thèng khi cã bé ®iÒu khiÓn(a) vµ ch­a cã bé ®iÒu khiÓn(b) KÕt luËn: HÖ thèng triÖt tiªu ®­îc sai lÖch tÜnh khi cã bé ®iÒu khiÓn, tõ ®¸p øng ®Çu ra lÊy trªn Scope ta cã thÓ tÝnh ®­îc c¸c th«ng sè cña qu¸ tr×nh qu¸ ®é nh­ ®é qu¸ ®iÒu chØnh, thêi gian qu¸ ®é, sè lÇn dao ®éng mét c¸ch nhanh chãng. b) Víi ®èi t­îng lµ kh©u qu¸n tÝnh bËc hai: S(s) = thì bộ điều khiển PI với các tham số: Ti = T1, KP = là bộ điều khiển tối ưu độ lớn. Nếu đối tượng không phải khâu quán tính bậc hai mà có dạng: S(s) = với T2, T3,.., Tn, rất nhỏ so với T1 thì S(s) trong đó T = T2+T3+...+Tn = , cũng có thể sử dụng phương pháp này để tìm bộ điều khiển tối ưu là bộ PI với Ti = T1 và KP. VD: Tìm tham số bộ điều khiển cho đối tượng có hàm truyền: S(s) = Do đối tượng có hàm truyền có thể xấp xỉ về dạng quán tính bậc hai nên ta có: K = 3, T1 = 2, T = 0,5 và bộ điều khiển tối ưu là bộ PI có tham số: TI = T1=2 và KP Chất lượng của hệ kín với bộ điều khiển: R(s) = KP(1+) = 0,67(1+), được mô tả bởi hàm quá độ như hình 6.5a: (a) (b) H×nh 6.5: §¸p øng cña hÖ thèng khi cã bé ®iÒu khiÓn PI(a) khi ch­a cã bé ®iÒu khiÓn(b) Nhận thấy với hệ thống có đối tượng là khâu quán tính bậc hai thì bộ điều khiển PI sẽ làm giảm độ quá điều chỉnh. Khi có bộ điều khiển Không có bộ điều khiển Độ quá điều chỉnh = c) Víi bé ®iÒu khiÓn lµ kh©u qu¸n tÝnh bËc ba T­¬ng tù nh­ ®· lµm víi ®èi t­îng lµ kh©u qu¸n tÝnh bËc hai, nÕu ®èi t­îng lµ kh©u qu¸n tÝnh bËc ba cã hµm truyÒn ®¹t: S(s) = ta sẽ sử dụng bộ điều khiên PID có R(s) = KP(1++s), với các tham số được xác định như sau: TI = T1+T2, TD = và KP = . Trường hợp đối tượng có dạng: S(s) = mà có thể xấp xỉ về dạng quán tính bậc ba: S(s) = ta cũng co thể sử dụng phương pháp này để tìm tham số cho bộ điều khiển( với T = ). VD: cho đối tượng có hàm truyền đạt. S(s) = Vậy thì k=4, T1=5, T2=2, T=0,4 và sử dung bộ PID với các tham số TI=T1+T2=7 TD = =1,43 và KP = = 2,2. Mô hình mô phỏng và đáp ứng của hệ thống như hình 6.6a: (a) (b) Hình6.6: Đáp ứng của hệ thống khi có bộ PID (hình a) và khi chưa có PID (hình b) Nhận xét: Với bộ điều khiển PID thì đáp ứng của hệ thống có độ quá điều chỉnh, số lần dao động giảm nhưng lại có thời gian quá độ tăng lên, triệt tiêu sai lệch tĩnh. 6.3. Bộ điều khiển tối ưu đối xứng Trước tiên xét hệ kín như hình 6.7a với Gh(s) = R(s).S(s) là hàm truyền của hệ hở, khi đó hàm truyền đạt của hệ kín là: G(s) Gh(s). Vậy để trong dải tần số thấp thì phải có trong dải tần nhỏ. Hình 6.7b là biểu đồ Bode mong muốn của hàm hệ hở Gh(s) gồm Lh() và , dải tần số trong biểu đồ bode được chia làm 3 vùng. (a) (b) Hình 6.7b: Biểu đồ Bode mong muốn của hàm truyền hệ hở G(s) gồm L() và . - Vùng I là vùng tần số thấp. Điều kiện được thể hịên rõ nét ở vùng I là hàm đặc tính tần hệ hở Lh(j) >> 0. Vùng này đại diện cho chất lượng hệ thống ở chế độ xác lập (tần số nhỏ). - Vùng II là vùng tần số trung bình và cao vùng này mang thông tin đặc trưng về tính động học hệ kín, vùng này đặc trưng bởi điểm tần số cắt Lh() =0 hay đường đồ thị biên độ bode Lh() sẽ thay đổi độ nghiêng một giá trị 20db/dec tại điểm tần số gãy của đa thức tử và -20db/dec tại điểm tần số gãy của đa thức mẫu. Nếu khoảng cách độ nghiêng( ) đủ dài thì đường sẽ thay đổi một giá trị là tại và - tại . Bởi vậy tính ổn định của hệ thống kín được đảm bảo nếu trong vùng I đã có và ở vùng II này, xung quanh điểm tần số cắt biểu đồ Bode có độ dốc là -20db/dec cũng như khoảng cách độ dốc là đủ lớn. - Vùng III là vùng tần số rất cao, vùng này mang thông tin về chất lượng kỹ thuật của hệ thống. Để hệ thống không bị ảnh hưởng bởi nhiễu tần số rất cao thì trong vùng này nên có giá trị tiến đến không. Có thể thấy nếu ký hiệu: TI =, TC = , T1 = , thì hệ hở mong muốn với biểu đồ Bode cho trong hình vẽ trên phải là: Gh(s) = R(s)S(s) = a) Đối tượng là khâu tích phân- quán tính bậc nhất( S(s)=) thì bộ điều khiển tối ưu đối xứng là bộ PI ( R(s)=) với các tham số được xác định bằng cách: - Xác đinh a( khoảng cách giữa các điểm tần số gãy) từ độ quá điều chỉnh của hệ kín hoặc tự chọn a >1 từ yêu cầu chất lương đề ra, giá trị a được chọn càng lớn độ quá điều chỉnh càng nhỏ. - Tính TI = aT1 - Tính KP = VD: xét đối tượng có hàm truyền. S(s) = , k=2 và T1=0,3 chọn bộ điều khiển PI để điều khiển theo nguyên tắc tối ưu đối xứng ta sẽ có các tham số được chọn: - khi a=2: KP = 1,18, TI = 0,6. - khi a=4: KP = 0,83, TI = 1,2. - khi a=9: KP = 0,56, TI = 2,7. Chất lượng của hệ kín với bộ điều khiển có các tham số trên như sau: Hình 6.8: Đáp ứng của hệ thống khi a thay đổi Nhận xét: - Khi a tăng lên thì độ quá điều chỉnh, số lần dao động giảm đi. - Như vậy, ứng với đối tượng là khâu quán tính bậc nhất khi có thiết bị điều khiển với giá trị của a tăng lên thì độ quá điều chỉnh nhỏ chất lượng của hệ kín trở nên tốt hơn. b) Đối tượng là khâu tích phân- quán tính bậc hai( S(s)=) thì bộ điều khiển tối ưu đối xứng là bộ PID: R(s)== với các tham số TA+TB=TI, TA.TB = TI.TD, và TA = T1 Hàm truyền hệ hở: G(s) = R(s)S(s) = với KP1 = Các tham số bộ điều khiển PID được chọn như sau: - Chọn TA = T1 - Xác định a từ độ quá điều chỉnh cần có của hệ kín, hoặc chọn a >1 từ yêu cầu chất lượng. Giá trị của a càng lớn độ quá điều chỉnh càng nhỏ, để hệ kín không dao động chọn a 4. - Tính TB = aT2, từ đó suy ra TI và TD - Tính KP1 = rồi suy ra KP = VD: Thiết kế bộ điều khiển PID tối ưu đối xứng cho đối tượng có hàm truyền : S(s) = , ta có k=2, T1 = 3, T2 = 5. Khi đó nếu chọn a=8 ta sẽ có KP =0,04 và TI =43, TD =2,8. Chất lượng của hệ thống khi có bộ điều khiển PID với các tham số như trên được biểu diễn bởi hình 6.9a. (a) (b) Hình 6.9: Đáp ứng của hệ thống khi có bộ PID( hình a), không có bộ điều khiển( hình b) Nhận xét: - Khi không có bộ điều khiển thì hệ thống không ổn định, độ dao động lớn, thời gian trễ lớn( phản ứng của đầu ra chậm khi có tín hiệu tác động ở đầu vào). - Khi có bộ điều khiển PID với các tham số được chọn như trên, ta thấy hệ thống ổn định: độ quá điều chỉnh , thời gian quá độ tqd = 70s, số lần dao động giảm., thời gian trễ rất nhỏ. - Tính KP = VD: xét đối tượng có hàm truyền. S(s) = , k=2 và T1=0,3 chọn bộ điều khiển PI để điều khiển theo nguyên tắc tối ưu đối xứng ta sẽ có các tham số được chọn: - khi a=2: KP = 1,18, TI = 0,6. - khi a=4: KP = 0,83, TI = 1,2. - khi a=9: KP = 0,56, TI = 2,7. Chất lượng của hệ kín với bộ điều khiển có các tham số trên như sau: Hình 6.8: Đáp ứng của hệ thống khi a thay đổi Nhận xét: - Khi a tăng lên thì độ quá điều chỉnh, số lần dao động giảm đi. -Như vậy, ứng với đối tượng là khâu quán tính bậc nhất khi có thiết bị điều khiển với giá trị của a tăng lên thì độ quá điều chỉnh nhỏ chất lượng của hệ kín trở nên tốt hơn. b) Đối tượng là khâu tích phân- uán tính bậc hai( S(s)=) thì bộ điều khiển tối ưu đối xứng là bộ PID: R(s)== với các tham số TA+TB=TI, TA.TB = TI.TD, và TA = T1 . Hàm truyền hệ hở: G(s) = R(s)S(s) = với KP1 = . Các tham số bộ điều khiển PID được chọn như sau: - Chọn TA = T1. - Xác định a từ độ quá điều chỉnh cần có của hệ kín, hoặc chọn a >1 từ yêu cầu chất lượng. Giá trị của a càng lớn độ quá điều chỉnh càng nhỏ, để hệ kín không dao động chọn a 4. - Tính TB = aT2, từ đó suy ra TI và TD. - Tính KP1 = rồi suy ra KP = . VD: Thiết kế bộ điều khiển PID tối ưu đối xứng cho đối tượng có hàm truyền : S(s) = , ta có k=2, T1 = 3, T2 = 5. Khi đó nếu chọn a=8 ta sẽ có KP =0,04 và TI =43, TD =2,8. Chất lượng của hệ thống khi có bộ điều khiển PID với các tham số như trên được biểu diễn bởi hình 6.9a. (a) (b) H×nh 6.9: §¸p øng cña hÖ thèng khi cã bé PID( h×nh a), kh«ng cã bé ®iÒu khiÓn( h×nh b) NhËn xÐt: - Khi kh«ng cã bé ®iÒu khiÓn th× hÖ thèng kh«ng æn ®Þnh, ®é dao ®éng lín, thêi gian trÔ lín( ph¶n øng cña ®Çu ra chËm khi cã tÝn hiÖu t¸c ®éng ë ®Çu vµo). - Khi cã bé ®iÒu khiÓn PID víi c¸c tham sè ®­îc chän nh­ trªn, ta thÊy hÖ thèng æn ®Þnh: ®é qu¸ ®iÒu chØnh , thời gian quá độ tqd = 70s, số lần dao động giảm., thời gian trễ rất nhỏ. LỜI KẾT Trong thời gian thực hiện đề tài, với sự chỉ bảo và giúp đỡ tận tình của các thầy cô giáo trong khoa Điện- Điện tử, đặc biệt là cô giáo Nguyễn Phương Thảo đến nay đề tài: ‘‘Ứng dụng phần mềm MATLAB & SIMULINK để khảo sát các chỉ tiêu chất lượng của hệ thống điều khiển tự động tuyến tính liên tục’’ đã được hoàn thành. Chúng em đã cố gắng vận dụng những kiến thức đã học ở trường để giải quyết những vấn đề mà đề tài yêu cầu: So sánh được cách tính toán thông thường với việc sử dụng Matlab & Simulink trong khảo sát chỉ tiêu chất lượng của hệ thống điều khiển tuyến tính liên tục. Khẳng định được những ưu điểm vượt trội của phần mềm Matlab & Simulink. Tuy nhiên do thời gian và chuyên môn có hạn nên đồ án của chúng em còn tồn tại những thiếu sót và hạn chế: Việc thực hiện song song giữa tính toán thông thường và sử dụng Matlab còn chưa được thực hiện ở một số nội dung trong đề tài. Cho nên chưa so sánh được hết những ưu việt của Matlab. Chương trình được lập trình để phục vụ cho đề tài còn chưa được tối ưu. Bố cục còn chưa được hợp lý. Vì vậy, chúng em mong rằng nếu đề tài này tiếp tục được giao cho khóa sau sẽ khắc phục được những hạn chế trên, đảm bảo tính hoàn thiện của đề tài. Chúng em rất mong sự đóng góp ý kiến từ phía các thầy cô và các bạn để chúng em có thêm nhiều kinh nghiệm trong học tập, nghiên cứu và lao động sau này. Chúng em xin cảm ơn tới quý thầy cô và các bạn bè đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ để đề tài được hòan thành đúng thời hạn. Hưng yên, ngày 15 tháng 8 năm 2006 Nhóm sinh viên thực hiện TÀI LIỆU THAM KHẢO Cơ Sở Lý Thuyêt Điều Khiển Tự Động_NGUYỄN VĂN HÒA_NXB Khoa Học và Kỹ Thuật. Lý Thuyêt Điều Khiển Tự Động_PHẠM CÔNG NGÔ_NXB Khoa Học và Kỹ Thuật. Lý Thuyết Điều Khiển Tuyến Tính_NGUYỄN DOÃN PHƯỚC_ NXB Khoa Học và Kỹ Thuật. MATLAB & SIMULINK_NGUYỄN PHÙNG QUANG_ NXB Khoa Học và Kỹ Thuật. Giáo Trình Điều Khiển Tự Động_TRẦN SUM_Trường ĐHSP Kỹ Thuật TP HCM. Giáo Trình Matlab và Ứng Dụng_Th.S VÕ QUANG VINH_Trường ĐHCN Thái Nguyên.