Đề tài Vai trò của phân tích khoa học luận lịch sử toán học trong nghiên cứu và thực hành dạy - học môn toán

mathematique sur l’algebre lineaire. Note de synthese pour le diplome d'habilitation a diriger des recherches – Document interne. Douady R (1986). Jeux de cadres et dialectique outil - objet. Recherche en Didactique des Mathematiques, vol 7.2. Glaeser G. (1981): Epislmologique des nombres relatifs, Recherche en Didactique des Mathematiques, vol. 2, n•3, tr. 303 - 346. Grassmann H. (1844): Die lineale Ausdehnungslehre, Leipzig: Otto Wigand, ou [Grassmann1894-1911, 1:1-139]. Les citations sont donnees d'apres la traduction de FLAMENT, Dominique, La science de la grandeur extensive, Paris: Blanchard, 1994. Les numeros de pages sont donnes d'apres l'edition originale. Grassmann H.(1846): Grundzuge zu einer rein geometrischen Theorie der Kurven mit Anwendung einer reine geometrischen Analyse, Journal fur die reine und angewandte Mathematik 31, 11-132, ou [Grassmann 1894/1911, 2(l):49-72] Grassmann H.: Gesammelte Mathematische und Physikalische Werke, 3 vols., ed. F. Engel, Leipzig: Teubner, 1894-1911; reed., New-York/London: Johnson Reprint Corporation, 1972. Hamilton W.R.: On Quaternions or a New System of Imagineries in Algebra, Philosophical Magazine. 67 Hamilton W.R. (1969): Elements of Quaternions, 2 vols., Dublin, 1866; rééd., New-York: Chelsea Publishing Company. Jahn A.P. (1998) Des transformations des figures aux transformations ponctuelles:tude d'une sequence d'enseignement avec Cabri-gomtre. Thse de doctorat, Universit Joseph Fourier de Grenoble, France. Leibniz G.-W.: Lettre à Christian Huyghens - Hanover ce 8 de Sept. 1679, Christi. Hugenii aliorumque seculi XVII. virorum celebrium exercitationes mathematicae et philosophicae, ed. Uylenbroek, Hagen: Hagae comitum, 1833, 2:6-12 (Cette reference est celle que l'on trouve en introduction des notes sur la Geometrische Analyse de Grassmann dans [Grassmann 1894/1911, 1:415-420] où la plupart de cette lettre et l'integralité de l'essai qui l'accompagne sont reproduits. Pour une édition plus accessible voire: Leibnizens Mathematische, ed. C.I. Gerhardt,. 2 vol. Berlin: Julius Pressner, 1850; reseed., (Œuvres Mathesmatiques, Paris: Librairie de A. Frank Editeur, 1853. Lesieur L. (1976). Equations algbriques. Bulletin des rgionales APMEP de Poitiers Limoges et Ortans - Tours, n°5. Lê Thị Hoài Châu (1997): Etude didactique et^pisimologique sur l'enseignement du vecteur dans deux institutions:la classe de dixime au Vieetnam et la classe de seconde en France. Thèse de doctorat, Universit Joseph Fourier de Grenoble, France. Lounis A. (1989): L'introduction aux modèles vectoriels en physique et en mathématiques: conceptions et difficultés des élèvesy essai de remédiation. Thèse en Didactique des sciences physiques. Universite de Provence Aix-Marseille I. Maxwell, J.-C. (1873): Quaternion, Nature 9, 137-138. Möbius A.-F. (1827): Der Barycentrische Calcul, Leipzig: Johan Ambrosius Barth, ou [Mobiusl967, 1:1-388]. Möbius A.-F.(1967): Gesammelte Werke, 4 vols., ed. R. Baltzer, Leipzig: S. Hirtzel KG, 1915; rééd., Wiesbaden: Dr. Martin Sändig oHG. Perrin-Glorian M.J. (1993): Utilisation de la notion d'obstacle en didactiques des mathématiques, Cahier du séminaire Recherche/ Reflexion/Interaction, année 1992- 1993, IUFM de Grenoble,pp. 194-214. Phạm Ngọc Bảo (2002): Đào tạo giáo viên tiểu học về bƣớc chuyển từ phân số nhƣ là “những phần bằng nhau rút ra từ đơn vị” đến phân số nhƣ là “ thƣơng “ ở lớp 3 và lớp 4. Luận văn thạc sĩ, ĐHSP tp Hồ Chí Minh. Robert T. et Douady R. (1993). Atelier sur l'utilisation des changements de cadres et jeux adres dans la classe. Actes de la sept\me Ecole d'E't. Vergnaud G. (1990): La théorie des champs conceptuels, Recherches en Didactique des Mathématiques, vol 10, n° 2-3, pp. 133-170. Wessel C. (1987): Essai sur la reprsentation de la direction, traduit par H.G. Zeuthem, ed. H. Valentiner et T.N. Thiele, Copenhage - Paris. PHẦN PHỤ LỤC BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TPHCM KHOA TOÁN - TIN BÁO CÁO TÓM TẮT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP BỘ Mã số: B2001 - 23 - 02 Tên đề tài VAI TRÒ CỦA PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN LỊCH SỬ TOÁN HỌC TRONG NGHIÊN CỨU VÀ THỰC HÀNH DẠY - HỌC MÔN TOÁN Chủ nhiệm đề tài : TS. Lê Thị Hoài Châu Thời gian thực hiện : Từ tháng 5 - 2001 đến tháng 3 - 2003 Ngày viết báo cáo : 10 - 3 - 2003 TP.Hồ Chí Minh 2003 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HCM KHOA TOÁN – TIN Cơ quan chủ trì: TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH 280 An Dƣơng Vƣơng, Quận 5, TPHCM Chủ nhiệm đề tài TS.LÊ THỊ HOÀI CHÂU Cán bộ giảng dạy khoa Toán-Tin, ĐHSP TP.HCM Cùng tham gia nghiên cứu TS. LÊ VĂN TIẾN Cán bộ giảng dạy khoa Toán - Tin, ĐHSP TP.HCM TP. Hồ Chí Minh 2003 BÁO CÁO TÓM TẮT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP BỘ Mã số: B2001 -23 -02 VAI TRÒ CỦA PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN LỊCH SỬ TOÁN HỌC TRONG NGHIÊN CỨU VÀ THỰC HÀNH DẠY – HỌC MÔN TOÁN 1 A. BÁO CÁO TỔNG QUAN 1. Đối chiếu với nội dung đã thuyết minh đăng ký: Những kết quả nghiên cứu đã đạt đƣợc hoàn toàn đảm bảo đúng nội dung đã đăng ký. Cụ thể là với đề tài nghiên cứu này chúng tôi đã: - Làm rõ các khái niệm Khoa học luận, Phân tích khoa học luận lịch sử và phân biệt các khái niệm này với khái niệm Nghiên cứu Lịch sử của một khoa học. - Nêu rõ những cơ sở lý luận cho phép khẳng định lợi ích sƣ phạm của nghiên cứu khoa học luận. - Phân tích khoa học luận lịch sử phát sinh, phát triển một số khái niệm toán học đƣợc giảng dạy ở trƣờng phổ thông và đại học. Từ đó rút ra những kết luận sƣ phạm cần phải tính đến để tổ chức cho học sinh học tập, chiếm lĩnh các tri thức này và vƣợt qua chƣớng ngại khoa học luận gắn liền với chúng. Các kết quả nghiên cứu chính của đề tài đƣợc trình bày tóm tắt ở phần B. Báo cáo tổng kết trình bày tƣơng đối đầy đủ hơn những nội dung này. 2.Kiến nghị sử dụng kết quả đã đạt được: Phân tích khoa học luận là một pha cơ bản, đầu tiên của các nghiên cứu thuộc chuyên ngành Lý luận dạy-học toán. Thế nhƣng ở Việt nam hầu nhƣ chƣa có một tài liệu nào trình bày có hệ thống về vấn đề này. Bản tổng kết những kết quả nghiên cứu đạt đƣợc qua đề tài này trƣớc hết có thể sử dụng làm tài liệu đào tạo thạc sĩ, nghiên cứu sinh ngành Phƣơng pháp giảng dạy toán. Qua trao đổi, chúng tôi đƣợc biết nhiều nghiên cứu sinh cũng nhƣ nhà nghiên cứu rất quan tâm đến các khái niệm đƣợc đề cập đến trong đề tài và mong muốn vận dụng chúng vào nghiên cứu của mình. Họ có thể tìm thấy trong tài liệu này những cơ sở lý luận cũng nhƣ những ví dụ thú vị minh họa cho khái niệm Khoa học luận, một khái niệm mới và không phải là dễ hiểu. Những kết quả đạt đƣợc qua đề tài cũng có thể xem nhƣ một nội dung bồi dƣỡng chuyên môn cho giáo viên phổ thông, vì họ cần biết thế nào là phân tích khoa học luận và lợi ích sƣ phạm của nó trong việc nghiên cứu thực tế dạy-học, phân tích khó khăn mà học sinh phải vƣợt qua để chiếm lĩnh một tri thức xác định, xác định nguồn gốc của những khó khăn đó, rồi cơ sở khoa học luận cho việc thiết kế một tình huống dạy-học, v.v.... Một số kết quả đạt đƣợc có thể đƣa vào chƣơng trình giảng dạy cho sinh viên khoa toán các trƣờng cao đẳng, đại học sƣ phạm. Trong thực tế chúng tôi đã làm điều này và hiệu quả thấy khá rõ: sinh viên hiểu sâu hơn những nội dung sau này họ phải giảng dạy và cũng đã biết tiến hành phân tích khoa học luận một số tri thức có trong chƣơng trình bậc phổ thông trung học. 3.Thời gian thực hiện đề tài: Đảm bảo đúng kế hoạch đã đăng ký (từ tháng 5 năm 2001 đến tháng 5 năm 2003), hoàn thành trƣớc thời hạn 2 tháng. 2 4. Kinh phí đã chi: Tổng số kinh phí đƣợc cấp : 20 000 000 Chi cho các hoạt động nghiên cứu : 16 000 000 Chi cho các sémineire : 800 000 Chi cho khâu đánh máy, in ấn và đóng tài liệu : 500 000 Chi cho hội đồng bảo vệ cấp cơ sở : 1 200 000 Chi cho hội đồng bảo vệ cấp Bộ : 1 500 000 Tp Hồ Chí Minh, ngày 10/3/2003 Chủ nhiệm đề tài Lê Thị Hoài Châu 3 CHƢƠNG 1: KHOA HỌC LUẬN VÀ PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN LỊCH SỬ I. Về thuật ngữ “khoa học luận” I.1. Nguồn gốc Thuật ngữ Khoa học luận chỉ mới xuất hiện ở thế kỷ 19, đƣợc cấu tạo từ hai gốc Hy Lạp épistèmè (khoa học) và logo (nghiên cứu về). Trong Vocabulaire technique et critique de la Phylosophie của Lalande (đầu thế kỷ 20), ta tìm thấy định nghĩa sau đây: "Từ này chỉ triết học của các khoa học nhƣng với nghĩa rõ hơn một chút. Nó không phải là một nghiên cứu về các phƣơng pháp khoa học - đó là đối tƣợng của Phƣơng pháp luận và là một phần của Logic học. Nó cũng không phải là một sự tổng hợp hay tiên đoán các luật khoa học. ... Về cơ bản, khoa học luận là một nghiên cứu mang tính phê phán những nguyên lý, những giả thuyết và những kết quả của các khoa học khác nhau, nhằm xác định nguồn gốc logic (chứ không phải là nguồn gốc tâm lý), giá trị và ảnh hƣởng khách quan của chúng." Nói một cách rõ ràng hơn thì Khoa học luận nghiên cứu những điều kiện cho phép sản sinh ra các kiến thức khoa học, quá trình hình thành và phát triển của các kiến thức đó. I.2.Các trào lưu khác nhau Cùng với thời gian, nghĩa của thuật ngữ Khoa học luận đã tiến triển, đƣợc mở rộng và trở nên đa dạng hơn nhiều. Drouin (1991) đã phân biệt bốn trào lƣu khoa học luận khác nhau, trong đó, do mục đích nghiên cứu của đề tài này, chúng tôi đặc biệt quan tâm đến hai trào lƣu: • Khoa học luận lịch sử: nghiên cứu quá khứ để khám phá ra quá trình hình thành nên một tri thức (những vấn đề gắn liền với nó, những trở ngại, những bƣớc nhảy quan niệm cho phép tri thức nảy sinh, v.v....) • Khoa học luận phát sinh: nghiên cứu các đặc trƣng của tri thức khoa học và thử tìm lại những đặc trƣng đó trong sự phát sinh tri thức ở trẻ em thông qua quan sát. Nhƣ thế, khoa học luận phát sinh quan tâm đến sự phát triển kiến thức ở cá thể, nghiên cứu qua trình xây dựng những kiến thức "chấp nhận đƣợc" và bƣớc chuyển từ tình trạng thấp đến tình trạng kiến thức tăng vọt. Cách tiếp cận này (của Piaget) đã tách khoa học luận ra khỏi triết học, tạo nên một khoa học nhân văn và thực nghiệm Giữa khoa học luận lịch sử và khoa học luận phát sinh có một quan điểm chung: sự phát sinh tri thức là một quá trình gồm nhiều giai đoạn. I.3. Khoa học luận trong didactic toán 4 Theo J-L. Dorrier (1996), trong didactic (1) ta quan tâm đến Khoa học luận theo nghĩa nó nghiên cứu những điều kiện sản sinh ra các tri thức khoa học giúp ta hiểu rõ hơn mối liên hệ giữa việc xây dựng tri thức trong cộng đồng các nhà bác học với việc dạy và học tri thức này. Nhƣ vậy, phân tích khoa học luận một tri thức là nghiên cứu lịch sử hình thành tri đó nhằm vạch rõ: - nghĩa của tri thức, những bài toán, những vấn đề mà tri thức đó cho phép giải quyết; - những trở ngại cho sự hình thành tri thức ; - những bƣớc nhảy trong quan niệm, những điều kiện sản sinh ra tri thức ; - những quan niệm cóthể gắn liền với tri thức. Phân tích khoa học luận sẽ giúp ta hiểu rõ mối liên hệ giữa quá trình xây dựng tri thức trong cộng đồng khoa học với việc dạy và học tri thức này. II. Khoa học luận, lịch sử và phân tích khoa học luận lịch sử của một khoa học Thoạt nhìn, có thể cho rằng lịch sử các khoa học chỉ giới hạn ở việc liệt kê các sự kiện khoa học, cùng lắm là vạch ra những triển vọng thông qua tƣ tƣởng tổng quát ở từng thời đại. Nhƣng cách nhìn này quá hạn hẹp, nhƣ G. Canghuilhem đã nhấn mạnh: "Lịch sử của một khoa học không phải là bộ sƣu tập đơn giản các tiểu sử, lại càng không phải là bảng niên đại đƣợc tô điểm bởi những giai thoại. Nó phải là lịch sử của sự hình thành, sự biến dạng, sự chỉnh lý các khái niệm khoa học". Nghiên cứu lịch sử một khoa học không đơn giản chỉ là mô tả các sự kiện, mà còn phải xem xét tính gắn bó nội tại chặt chẽ thể hiện qua những khái niệm, những vấn đề đƣa lại nghĩa cho khoa học đó. Theo quan niệm này thì Lịch sử một khoa học không thể tách rời khỏi những câu hỏi có tính khoa học luận. Nhƣ thế là nghiên cứu lịch sử của một khoa học có mối liên hệ chặt chẽ với phân tích khoa học luận về khoa học đó. Tuy nhiên, Khoa học luận và Lịch sử các khoa học không đồng nhất với nhau. Bachelard phân biệt hai đối tƣợng này qua những ý kiến sau: • "Nhà lịch sử xem các tƣ tƣởng nhƣ là những sự kiện. Nhà khoa học luận thì lại nắm lấy các sự kiện nhƣ là những tƣ tƣởng bằng cách lồng chúng vào trong một hệ thống tƣ duy." • "Lo lắng về tính khách quan, nhà lịch sử ghi vào danh mục mọi tƣ liệu, không đi đến chỗ đo đƣợc những biến đổi nhận thức trong sự giải thích cho cùng một bản văn. Thực ra thì ở cùng một thời đại, dƣới cùng một từ, có thể có những khái niệm khác nhau biết bao nhiêu. Cái làm cho ta có thể nhầm lẫn chính là ở chỗ một từ đƣợc dùng đồng thời vừa để chỉ định vừa để giải thích. Tên gọi là một, nhƣng cách giải thích thì lại khác nhau. [...] Nhà khoa học luận phải cố gắng nắm bắt khái niệm khoa học trong quá trình tiến triển, bằng cách thiết lập (1) Didactic" là cách viết phiên âm của didactícs trong tiếng Anh và didactique trong tiếng Pháp. Tùy theo ngữ cảnh, thuật ngữ này có thể đƣợc hiểu theo những nghĩa khác nhau. Trong câu trên, nó có thể đƣợc dịch sang tiếng Việt là lý luận dạy-học. Didactic toán có nghĩa là lý luận dạy-học môn toán. 5 các bậc thang quan niệm về mỗi khái niệm, chỉ rõ nó đƣợc hình thành nhƣ thế nào và có liên hệ ra sao với những khái niệm khác." • Để phân biệt phân tích khoa học luận với nghiên cứu lịch sử một khoa học, Bachelard còn nói đến những chƣớng ngại: "Một sự kiện đƣợc hiểu không đúng ở một thời đại chỉ là một sự kiện đối với nhà lịch sử, nhƣng lại có thể là một chƣớng ngại hay một ý tƣởng đối lập theo cách nhìn của nhà khoa học luận. Khi một tƣ tƣởng khoa học xuất hiện nhƣ là khó khăn đã đƣợc khắc phục thì cũng có nghĩa là một chƣớng ngại đã đƣợc vƣợt qua". (Bachelard, 1938, tr. 17-18). Phân tích khoa học luận lịch sử là một phân tích quá khứ để khám phá những mò mẫm, những lệch lạc, những hƣớng đi sai lầm, những chƣớng ngại khác nhau, những điều kiện có thể làm xuất hiện các khái niệm khoa học mới. Trong phân tích khoa học luận lịch sử, điều kiện cho sự nảy sinh một phát minh cũng quan trọng không kém bản thân phát minh đó. Phân tích khoa học luận lịchh sử sẽ tạo ra một cơ sở dữ liệu cho phép ta hiểu đầy đủ hơn sự tiến triển của khái niệm, những điều kiện để khái niệm này hình thành, phát triển, và cũng cả những điều kiện đem đến khả năng hay, ngƣợc lại, cản trở sự tiến lên. 6 CHƢƠNG 2: LỢI ÍCH SƢ PHẠM CỦA PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN Sự cần thiết hay không của phân tích khoa học luận một tri thức đối với việc dạy - học tri thức đó là do quan niệm về hoạt động học quy định. Vì thế, trƣớc khi bàn về lợi ích sƣ phạm của phân tích khoa học luận, chúng tôi cần nói rõ quan niệm đƣợc thừa nhận ở đây về hoạt động này. A. Những giả thuyết về học tập Ngành tâm lý học dựa trên năng lực nhận thức thừa nhận quan điểm cho rằng học là làm thay đổi kiến thức. Quan điểm này hƣớng đến việc nghiên cứu bản chất những kiến thức đƣợc thay đổi ở con ngƣời. Theo trƣờng phái Piaget, chủ thể học qua hành động: sự tiếp thu kiến thức có đƣợc do chủ thể hành động và hành động đó là nguồn thông tin mới. Sự kiến tạo tri thức qua hoạt động xẩy ra theo kiểu thích nghi với tình huống. Nếu vốn kiến thức của chủ thể đủ cho chủ thể giải quyết nhiệm vụ đặt ra trong tình huống, ta nói có một sự cân bằng giữa kiến thức của chủ thể và tình huống. Trong trƣờng hợp vốn kiến thức không cho phép chủ thể giải quyết nhiệm vụ, ta nói giữa chủ thể và tình huống có một sự mất cân bằng. Để giải quyết nhiệm vụ đƣợc đặt ra, chủ thể phải xây dựng những công cụ mới. Khi vấn đề đƣợc giải quyết, ta nói chủ thể đã lập lại đƣợc sự cân bằng mới. Học tập là một quá trình thiết lập những sự cân bằng mới nhƣ vậy. Kế thừa quan điểm của trƣờng phái Piaget, ngƣời ta thừa nhận những giả thuyết sau về học tập: • Giả thuyết tâm lí: Chủ thể học bằng cách tự thích nghi với một môi trường - môi trường này gây ra những mâu thuẫn, khó khăn và sự mất cân bằng giữavốn kiến thức của chủ thể với nhiệm vụ phải giả quyết. Theo giả thuyết này: - học là một quá trình năng động trong đó ngƣời học đóng vai trò chủ động. - kiến thức đƣợc xây dựng do tƣơng tác giữa chủ thể ngƣời học với môi trƣờng vật lý và xã hội của chủ thể đó. Giả thuyết nhận thức: Một môi trường không có chủ ý sư phạm (tức là không được cố ý tổ chức để dạy một tri thức) không đủ để tạo ra cho chủ thể mọi kiến thức mà xã hội muốn chủ thể đó lĩnh hội được. Thầy giáo phải làm phát sinh ở học sinh những sự thích nghi mong muốn bằng cách tổ chức xác đáng cái mà ta gọi là "môi trường". "Môi trƣờng" có một vai trò trung tâm trong việc học, nó là nguyên nhân của những sự thích nghi. Một tình trạng kiến thức sẽ đƣợc đặc trƣng bởi một trạng thái cân bằng của hệ thống học sinh - môi trƣờng. Học tập là sự xây dựng những tình trạng cân bằng mới. 7 B. Lợi ích sư phạm của phân tích khoa học luận Chúng ta sẽ chỉ ra vai trò của nghiên cứu khoa học luận lịch sử đối với hoạt động dạy- học toán thông qua việc phân tích những lợi ích mà nó mang lại. I. Khoa học luận – đối tượng tri thức- đối tượng dạy học I.1. Đối tƣợng tri thức Sự ra đời của một "tri thức bác học" là kết quả của một hoạt động khoa học. Hoạt động này gắn liền với lịch sử cá nhân nhà nghiên cứu. Nhà nghiên cứu đặt ra một vấn đề. Để giải quyết nó, ông ta phải khám phá ra những phƣơng pháp, những kiến thức. Một số trong những kiến thức này đƣợc nhà nghiên cứu nhận thấy là đủ mới, đủ hay, có thể thông báo cho cộng đồng khoa học. Để thông báo, nhà nghiên cứu tạo cho những kiến thức này một dạng khái quát nhất có thể đƣợc, theo quy tắc suy lý logic đang lƣu hành trong cộng đồng khoa học. Trong quá trình soạn thảo tri thức, nhà nghiên cứu phải tiến hành các hoạt động: - phi cá nhân - phi ngữ cảnh hóa - phi thời gian hóa Hoạt động phi cá nhân hóa, phi ngữ cảnh hóa và phi thời gian hóa làm biến mất đi một phần hay toàn bộ bối cảnh của phát minh, che dấu đi những câu hỏi ban đầu mà tri thức này là một câu trả lời, làm cho phát minh trở thành bí ẩn và bị tước mất nghĩa. I.2. Đối tượng dạy học Trong những tri thức toán học đƣợc tích lũy qua lịch sử, các nhà lập chƣơng trình chọn ra một số vấn đề làm đối tƣợng dạy học. Nhiều yếu tố ảnh hƣởng đến sự lựa chọn này (kiểu xã hội, kiểu tổ chức hành chính, tình trạng của hệ thống giáo dục, trình độ phát triển công nghệ, việc đào tạo giáo viên, v.v. ...).. Để trở thành có thể dạy đƣợc cho một bộ phận công chúng nào đó, tri thức lại tiếp tục bị biến đổi. Cụ thể là sau khi đối tƣợng dạy học đã đƣợc chỉ ra, các nhà lập chƣơng trình phải quay trở về với hệ thống giáo dục, tổ chức chúng lại theo một trình tự nối khớp hợp logic, đảm bảo tính gắn kết giữa các thành phần. Theo chƣơng trình quy định, các nhà viết sách giáo khoa tìm cách trình bày lại những tri thức đƣợc chọn. Việc phải chia cắt tri thức thành từng « lát» để có thể tuần tự dạy đƣợc cho một bộ phận công chúng xác định là những ràng buộc đè nặng lên hoạt động soạn thảo sách giáo khoa. Để cho các tri thức lập thành một tập hợp gắn kết và ngƣời học có thể lĩnh hội đƣợc, nhiều khi tác giả phải viết lại các định nghĩa, các tính chất, biến đổi các phép chứng minh, tạo ra một sự nối khớp khác. Tác giả cũng có thể bị dẫn đến chỗ sáng tạo ra một 8 số đối tƣợng mới. Hệ quả kéo theo là nhiều khi có một sự chênh lệch khá lớn giữa tri thức bác học với tri thức xuất hiện trong chƣơng trình và sách giáo khoa. I.3. Hạn chế của một nghiên cứu chỉ đóng khung trong nội tại hệ thống dạy học Những biến đổi mà tri thức phải chịu để trở thành đối tƣợng giảng dạy "thƣờng rất ít khi xuất phát từ một lý do có bản chất khoa học luận gắn liền với sự sản sinh ra tri thức này. Những biến đổi đó thƣờng mang tính chất giải pháp tình huống, chủ yếu là tuân theo các ràng buộc nội tại của thể chế dạy học" (J-L. Dorrier, 1996, tr.21). Tất nhiên, tri thức chƣơng trình và sách giáo khoa đã đƣợc hình thành trên cơ sở lây tri thức bác học làm tham chiếu. Nhƣng vẫn còn một số điểm tối trong mối liên hệ giữa tri thức với tri thức đƣợc dạy. Vì thiếu những hiểu biết về lịch sử của tri thức, nhà nghiên cứu hay giáo viên không đƣợc tiếp xúc tận gốc quá trình biến đổi một tri thức thành đối tƣợng dạy học (quá trình mà Chevallard gọi là chuyển đổi didactic), chỉ hình dung đƣợc những giai đoạn gần gũi nhất. I.4. Vai trò của khoa học luận Nếu muốn phân tích độ chênh lệch giữa một tri thức bác học và tri thức đƣợc dạy, ngƣời ta phải căn cứ vào nội dung tri thức bác học trên quan điểm khoa học luận. Trong khi trƣờng học sống trong ảo tƣởng rằng đối tƣợng dạy học là một bản copy, tuy đã đƣợc đơn giản hóa nhƣng vẫn trung thành, của đối tƣợng khoa học, thì phân tích khoa học luận sẽ giúp nhà nghiên cứu hiểu rõ cái gì chi phối sự tiến triển của kiến thức khoa học, đâu là sự chênh lệch giữa tri thức bác học với tri thức đƣợc dạy, đâu là khoảng cách giữa hai hệ thống - toán học và dạy học. Phân tích trên giải thích sự cần thiết của một nghiên cứu khoa học luận. Nghiên cứu này giúp ta vạch rõ các tham chiếu hợp thức của tri thức cần dạy, trả lại cho tri thức những nghĩa rộng hơn, phong phú hơn, điều mà việc nghiên cứu đơn thuần chƣơng trình và sách giáo khoa không thể mang lại. Những hiểu biết khoa học luận về tri thức cần dạy giúp nhà nghiên cứu và giáo viên nhìn nó ở một khoảng cách cần thiết, không hoàn toàn bị bó hẹp trong nội tại hệ thống dạy học, không chỉ xem xét nó dƣới lăng kính của chƣơng trình và sách giáo khoa. Điều này là cần thiết nếu ta muốn tìm những tình huống cho phép học sinh nắm đƣợc nghĩa của tri thức. II. Khoa học luận và lý thuyết tình huống II.1. Nghĩa của tri thức, tình huống mang lại nghĩa cho tri thức Các nghiên cứu hoạt động dạy-học toán nói chung đều liên quan đến sự xây dựng kiến thức ở chủ thể (học sinh). Nhà nghiên cứu phải đƣơng đầu với vấn đề thiết kế hay phân tích sự hình thành kiến thức khoa học trong một tình huống dạy-học - đƣợc gọi là sự hình thành giả tạo để phân biệt với sự hình thành lịch sử (sự hình thành đã xảy ra trong thực tế lịch sử). 9 Khi thiết kế hoặc phân tích một tình huống dạy-học, trƣớc hết nhà nghiên cứu phải trả tìm cách lời những câu hỏi sau: Liệu có đảm bảo rằng vấn đề đƣợc đặt ra trong tình huống là đích thực đối với tri thức hay không? Từ đích thực ở đây đƣợc hiểu theo nghĩa tri thức cần dạy là tri thức hoặc không thể thiếu, hoặc đem lại một chiến lƣợc tối ƣu cho việc giải quyết vấn đề đƣợc đặt ra. - Vấn đề đó có mối liên hệ nhƣ thế nào với lý do tồn tại của đối tƣợng tri thức đƣợc xem là mục đích của hoạt động dạy-học. - Vấn đề ấy đƣa lại cho tri thức cái nghĩa nào? Đó là những câu hỏi mang tính chất khoa học luận. Vấn đề là phải "tái tạo" lại trong lớp một sự hình thành nên những khái niệm toán học với cái nghĩa mà ta muốn học sinh chiếm lĩnh. Nói cách khác, xây dựng một tình huống cho phép xẩy ra sự "hình thành giả tạo" trong đó tri thức cần dạy phải xuất hiện nhƣ một giải pháp tối ƣu đƣợc xem là mục đích của việc dạy-học. II.2. Vai trò của khoa học luận Dựa vào đâu để kiến tạo những tình huống nhƣ vậy, khi mà nghĩa của tri thức và tình huống mang lại nghĩa đó đã bị che dấu qua những biến đổi mà tri thức phải chịu? Biết bao nhiêu yếu tố làm cho sự hình thành giả tạo trong lớp học không thể đồng nhất với sự hình thành trong lịch sử, "Tuy nhiên, đối với nhà nghiên cứu, sự hình thành trong lịch sử là điểm tựa để phân tích một quá trình dạy học cụ thể, là cơ sở cho việc thiết kế một sự hình thành giả tạo" (M. Artigue, 1991, tr. 246). Sở dĩ nói nhƣ vậy là vì trong phân tích hay thiết kế các tình huống dạy-học, nhà nghiên cứu nhất thiết phải đối chiếu với vấn đề nghĩa của khái niệm, mà chính những vấn đề đã từng là lí do của việc đƣa vào khái niệm này hay khái niệm kia, cũng nhƣ những vấn đề chi phối sự tiến triển của khái niệm, là cái cấu thành nên nghĩa của khái niệm này. Phân tích khoa học luận lịch sử hình thành tri thức cho phép vạch rõ quá trình xây dựng tri thức trong cộng đồng các nhà khoa học, sự phụ thuộc của nó vào các lĩnh vực toán học có liên quan, từ đó xác định đƣợc nghĩa của tri thức, tình huống mang lại nghĩa đó, điều kiện cho phép tri thức nảy sinh, hay ngƣợc lại, cản trở sự tiến triển của nó, những vấn đề gắn liền với tri thức, vị trí tƣơng đối của nó trong một tri thức tổng quát hơn, ... Nó sẽ dẫn nhà nghiên cứu đến với câu trả lời cho một số câu hỏi tổng thể và cơ bản sau, là cơ sở cho việc phân tích hay thiết kế các tình huống dạy-học: - Tri thức đƣợc sinh ra nhằm giải quyết vấn đề gì? - Tri thức có thể tồn tại dƣới những dạng thức nào? Chuyển từ dạng thức này sang dạng thức kia tƣơng ứng với sự thay đổi nào trong quan niệm? - Có hay không một sự chuyển đổi tối tiểu hoặc một tổ hợp chuyển đổi tối tiểu cần phải tôn trọng để không làm biến dạng cái nghĩa của tri thức này? - Những chuyển đổi nào có thể hay cần phải phụ thuộc vào lớp công chúng đƣợc xem là chủ thể của hoạt động học? III. Khoa học luận và chướng ngại 10 Vấn đề không phải là phân tích khoa học luận để rồi bằng mọi giá rút ngắn khoảng cách giữa sự hình thành tri thức trong lịch sử và sự hình thành giả tạo (tƣơng hợp với những lựa chọn của hệ thống dạy-học), mà là để xác định những khó khăn học sinh gặp phải trong học tập một tri thức và hiểu đƣợc nguồn gốc sinh ra chúng. Đó là những khó khăn, những chƣớng ngại gắn liền với đặc trƣng của tri thức mà học sinh buộc phải vƣợt qua để nắm vững tri thức. III.1. Chướng ngại Sai lầm và chƣớng ngại: Trong logic tiếp cận quá trình học tập đƣợc phát triển bởi Piaget, Bachellard và Brousseau, kiến thức thu đƣợc là kết quả của một sự thích nghi của học sinh với tình huống - tình huống này biện minh cho sự cần thiết của kiến thức đƣợc nói đến bằng cách chứng tỏ hiệu qua của nó. Trong một quá trình học tập bằng thích nghi với tình huống, kiến thức đƣợc xây dựng ở học sinh thƣờng mang tính chất địa phƣơng, gắn liền một cách tùy tiện với những kiến thức khác. Nó cũng thƣờng mang tính chất tạm thời và có thể là không hoàn toàn chính xác. Quan điểm này dẫn đến một cách nhìn mới trên những sai lầm của học sinh: "Sai lầm không phải chỉ là hậu quả của sự không biết, không chắc chắn, ngẫu nhiên, nhƣ cách nghĩ của những ngƣời theo chủ nghĩa kinh nghiệm và chủ nghĩa hành vi, mà còn có thể là hậu quả của những kiến thức đã có từ trƣớc, những kiến thức đã từng có ích đối với việc học trƣớc kia, nhƣng lại là sai, hoặc đơn giản là không còn phù hợp nữa đối với việc lĩnh hội tri thức mới. Những sai lầm thuộc loại này không phải thất thƣờng hay không dự đoán đƣợc. Chúng tạo thành chƣớng ngại. Trong hoạt động của giáo viên cũng nhƣ trong hoạt động của học sinh, sai lầm bao giờ cũng góp phần xây dựng nên nghĩa của kiến thức đƣợc thu nhận bởi những chủ thể này" (Brousseau, 1983, tr. 171). Theo cách nhìn nhận này thì một số kiến thức sai là cần thiết cho học tập: con đƣờng đi của học sinh phải trải qua việc xây dựng (tạm thời) từ một số kiến thức sai, và việc ý thức đƣợc đặc trƣng sai lầm này sẽ là yếu tố cấu thành nên nghĩa của tri thức mà việc dạy-học nhắm đến. Brousseau gọi những điểm buộc phải trải qua này là chƣớng ngại khoa học luận và nhấn mạnh vai trò của chúng trong lịch sử phát triển các kiến thức. Vấn đề là trƣớc hết phải xác định đƣợc những chƣớng ngại khoa học luận gắn liền với một tri thức, để rồi sau đó tạo ra những tình huống cho phép vƣợt qua chúng, tức là loại bỏ những kiến thức sai tạo nên chƣớng ngại. III.2. Vai trò của khoa học luận Quan niệm trên về chƣớng ngại khoa học luận dẫn đến chỗ thừa nhận là có thể tìm thấy dấu vết của chúng trong lịch sử hình thành tri thức. Để nghiên cứu các chƣớng ngại khoa học luận, Brousseau đã đề nghị tiến trình sau: - Xác định những sai lầm thƣờng xuyên tái diễn, chứng tỏ rằng chúng có thể nhóm lại quanh một quan niệm. 11 - Nghiên cứu xem có tồn tại hay không những chƣớng ngại trong lịch sử xây dựng khái niệm toán học. - Đối chiếu các chƣớng ngại lịch sử với chƣớng ngại học tập để nếu có thể thì thiết lập đặc trƣng khoa học luận của chƣớng ngại. Hiển nhiên, không phải mọi chƣớng ngại mà các nhà toán học gặp trƣớc đây đều là những khó khăn mà học sinh ngày nay phải đƣơng đầu, vì, nhƣ đã phân tích ở trên, sự hình thành giả tạo không thể giống với sự hình thành lịch sử. Tuy thế, ta thƣờng có thể tìm thấy trong lịch sử dấu vết của những khó khăn này. Qua phân tích khoa học luận lịch sử, nhà nghiên cứu có thể xác định những điều kiện nội tại cho sự phát triển, những vấn đề đã từng là lý do cho sự ổn định hay sự bế tắc của một giai đoạn lịch sử, những ràng buộc chi phối các nhà khoa học đƣơng thời, những khó khăn, những quan niệm đã từng là trở ngại cho sự hình thành và phát triển của kiến thức, những động lực, những bƣớc nhảy trong quan niệm, những điều kiện làm nảy sinh tri thức. IV. Khoa học luận và quan niệm IV.1. Quan niệm Thuật ngữ “quan niệm” đƣợc dùng để chỉ một tri thức địa phƣơng, giữ vai trò nào đó trong tiến trình chiếm lĩnh một khái niệm. Cụ thể hơn, G. Bousseau định nghĩa quan niệm là “một tập hợp các quy tắc, các cách thực hành động, các tri thức cho phép giải quyết tƣơng đối tốt một lớp tình huống và vấn đề, trong khi đó lại tồn tại một lớp tình huống khác mà đối" với chúng thì quan niệm này dẫn đến thất bại, hoặc gợi lên những câu trả lời sai, hoặc có thể đem lại kết quả nhƣng rất khó khăn và trong điều kiện bất lợi”. M. Artigue tách ra trong quan niệm của học sinh - về một đối tƣợng toán học - những thành phần khác nhau, đặc biệt là: - Lớp tình huống - vấn đề đem lại nghĩa cho khái niệm đối với học sinh. - Tập hợp những cái dùng để biểu đạt mà học sinh có thể gắn vào đối tƣợng, đặc biệt là các hình ảnh trí tuệ, các biểu thức ký hiệu. - Các công cụ, định lý, kỹ thuật, thuật toán mà học sinh có để thao tác trên đối tƣợng. Bộ ba thành phần này đƣợc xem nhƣ những yếu tố đặc trƣng cho quan niệm về một đối tƣợng toán học. Cách hiểu này về quan niệm dẫn ta đến chỗ thừa nhận rằng ngay từ khi chƣa học tri thức, học sinh đã có một số quan niệm về tri thức đó. Các quan niệm này có thể đƣợc đƣa vào qua dạy học, nhƣng cũng có thể có nguồn gốc văn hóa hay xã hội, tức là đƣợc xây dựng ở ngoài hệ thống học đƣờng. IV.2. Quy tắc hành động. Định lý hành động. Quy tắc hành động là một mô hình đƣợc G. Vergnaud xây dựng nhằm giải thích và chỉ rõ những kiến thức mà học sinh đã sử dụng để đƣa ra câu trả lời khi thực hiện một nhiệm vụ xác định. Quy tắc hành động này liên quan đến một hay nhiều tính chất toán học gắn bó rất chặt chẽ với các quy trình hay câu trả lời của học sinh. Hiển nhiên, quy tắc hành động đƣợc sử dụng thể hiển quan niệm mà học sinh có về một đối tƣợng toán học. 12 Nhƣ vậy, các quy tắc hành động - đƣợc chỉ rõ ra qua việc nghiên cứu những câu trả lời sai của học sinh, vẫn có thể mang lại câu trả lời đúng trong một số tình huống. Những tình huống đó xác định phạm vi hợp thức của quy tắc hành động. Thông thƣờng thì phạm vi hợp thức này không rỗng, thậm chí nó có thể dƣờng nhƣ rất rộng đối với học sinh, bởi vì những tình huống mà học sinh gặp lại gia cố thêm cho quy tắc. Những câu trả lời sai thƣờng đến từ việc áp dụng một quy tắc hành động ở ngoài lĩnh vực hợp thức của nó. IV.3. Sự cần thiết của nghiên cứu quan niệm. Vai trò của khoa học luận Tính đa nghĩa của tri thức. Ta hãy trở lại với công trình của M. Artigue và J. Robinet (1982) về những quan niệm có thể gán cho khái niệm đƣờng tròn. Để xác định tập hợp những quan niệm khác nhau có thể có về đối tƣợng toán học này, các tác giả đã xuất phát từ 11 định nghĩa có thể nêu ra cho khái niệm mà dƣới đây đƣợc trích một số làm ví dụ: D1: Trong mặt phẳng, đƣờng tròn tâm O, bán kính R là tập hợp những điểm cách O một khoảng R. Hầu nhƣ các cuốn sách giáo khoa ngày nay đều đƣa ra định nghĩa này. Nhƣng khái niệm đƣờng tròn còn có thể đƣợc định nghĩa theo những cách khác. Chẳng hạn: • D2: Đƣờng tròn là một đƣờng cong phẳng, đóng, có độ cong đại số không đổi. • D3: Đƣờng tròn là một đƣờng cong phẳng "thuần nhất" đối với phép đẳng cự. • D4: Đƣờng tròn là một đƣờng cong phẳng có vô số trục đối xứng. . Về mặt logic thì các định nghĩa trên tƣơng đƣơng với nhau và xác định cùng một đối tƣợng toán học. Nhƣng chúng tƣơng ứng với những quan niệm khác nhau, những kiểu tri giác khác nhau về đối tƣợng, những cách sử dụng khác nhau các tính chất của nó, và chúng chú ý đến những yếu tố hình học khác nhau, những mối liên hệ khác nhau giữa các yếu tố. Nhƣ vậy, mỗi đối tƣợng toán học có thể đƣợc kết hợp với nhiều nghĩa, nhiều quan niệm khác nhau. Sự tƣơng hợp giữa quan niệm và tình huống. Thế nhƣng, cái chúng ta quan tâm không phải là lập ra một danh mục thật tinh tế những quan niệm có thể có về một đối tƣợng toán học, mà là nghiên cứu sự nối khớp giữa các quan niệm ấy với tình huống trong một sự học tập xác định. Thừa nhận tính tƣơng hợp giữa quan niệm và tình huống làm xuất hiện tri thức là hiển nhiên, nếu ta hiểu khái niệm "quan niệm" nhƣ đã nêu trên (cho rằng ba thành phần cơ bản của quan niệm là lớp các tình huống vấn đề đem lại nghĩa cho tri thức đối với học sinh; tập hợp những cái biểu đạt mà học sinh có khả năng kết hợp với tri thức; những công cụ mà học sinh có để thao tác trên tri thức). Vai trò của nghiên cứu về những quan niệm có thể kết hợp với một tri thức Sự phân biệt giữa một đối tƣợng toán học duy nhất với những quan niệm biến thiên có thể đƣợc kết hợp với nó rất quan trọng. Trƣớc hết, nó có thể giúp thầy giáo thoát ra khỏi tính đơn giản bề ngoài của đối tƣợng, không tính đến những kiến thức trẻ em đã có trƣớc khi phải học một tri thức. 13 Ở một góc độ khác, việc nghiên cứu các quan niệm khác nhau về một đối tƣợng tri thức sẽ mang lại cho ta một công cụ để phân tích, thiết kế các tình huống vấn đề đƣa ra cho học sinh. Tùy theo tình huống mà mỗi hoạt động sẽ ƣu tiên ở những cấp độ khác nhau cho quan điểm này hay quan điểm kia về tri thức. Vả lại, trong thực tế, quá trình chiếm lĩnh một đối tƣợng toán học thƣờng đƣợc chia thành nhiều giai đoạn. Trong một sự học tập bằng thích nghi với tình huống, kiến thức thƣờng mang tính chất địa phƣơng, vấn đề là phải biết chống lại những quan niệm sai và những quan niệm cũ đã lỗi thời.Việc nghiên cứu các quan niệm mang tính địa phƣơng đƣợc biểu hiện trong tình huống và phân tích những điều kiện cho phép chuyển từ quan niệm địa phƣơng này vào quan niệm địa phƣơng kia là cơ sở để triển khai các tình huống nhằm xây dựng một quan niệm tổng thể về đối tƣợng tri thức. Trong những tình huống này quan niệm mới phải xuất hiện nhƣ là một giải pháp tối ƣu. Nghiên cứu những quan niệm khác nhau có thể đƣợc kết hợp với một tri thức còn là giúp cho ta hiểu đƣợc những khó khăn trong học tập của học sinh. Nhƣ vậy, lợi ích của việc nghiên cứu những quan niệm khác nhau có thể đƣợc kết hợp với tri thức không phải chỉ ở chỗ nó đem lại một công cụ để phân tích ứng xử, « giải thích » một sai lầm ổn định, xác định những khó khăn của học sinh trong học tập, mà còn ở chỗ nó giúp ta hiểu tình trạng của kiến thức ở một thời điểm xác định. Từ đó suy ra tầm quan trọng của vấn đề đặt việc nghiên cứu quan niệm trong mối liên hệ với những điều kiện dẫn đến sự hình thành quan niệm (đối tƣợng dạy học) và những tình huống mà nó có hiệu lực. Nghiên cứu đó sẽ cho ta một cơ sở để thiết kế các tình huống dạy học. Vai trò của khoa học luận Vấn đề là làm thế nào để vạch ra những quan niệm có thể đƣợc kết hợp với một tri thức toán học. Theo M. Artigue, việc nghiên cứu quan niệm có thể đƣợc làm từ hai sự tiếp cận: - phân tích những chiến lƣợc và sản phẩm của học sinh ; - nghiên cứu khái niệm về mặt khoa học luận, trong mối liên hệ với các định nghĩa và tính chất khác nhau. Hai phân tích này bổ sung cho nhau, chỉ thực hiện một là không đủ. Điều đó nói lên tầm quan trọng của nghiên cứu khoa học luận. Nếu nhƣ chỉ dựa vào những ứng xử đƣợc quan sát trực tiếp ở học sinh trong tình huống cụ thể mà suy ra quan niệm thì ta chỉ có một phân tích không đầy đủ, thiếu khách quan. Việc nhúng quan niệm vào trong một nghiên cứu những quan điểm có thể có về tri thức, những lớp vấn đề có thể dẫn tới quan điểm này hay quan điểm kia dƣờng nhƣ là một đảm bảo cần thiết. Phân tích khoa học luận, đặc biệt nếu nhƣ đó là một phân tích cắm chặt vào lịch sử phát triển của khái niệm, sẽ giúp ta phân biệt một số lƣợng có thể khá lớn các quan niệm khác nhau và nhóm chúng lại thành từng lớp. Tuy nhiên, cần nói rằng không phải bao giờ mọi quan niệm đã từng tồn tại trong lịch sử cũng đều xuất hiện ở học sinh ngày nay, bởi vì luôn luôn có một khoảng cách giữa lịch sử toán học với thực tế lớp học. 14 CHƢƠNG 3: VÍ DỤ VỀ LỢI ÍCH SƢ PHẠM CỦA PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN A. Trường hợp khái niệm vectơ hình học Trong trƣờng hợp này Phân tích khoa học luận nhằm vạch rõ những yếu tố trong lịch sử cho phép hiểu đƣợc khó khăn của học sinh trong việc học khái niệm Vectơ và nguồn gốc của những khó khăn đó. Liên quan đến vectơ ở cơ chế đối tƣợng, phân tích khoa học luận dẫn ta đến với giả thuyết về ba mức độ khó khăn trong học tập của học sinh. Những giả thuyết này đã đƣợc kiểm chứng qua nghiên cứu thực nghiệm. • Mức độ thứ nhất: khó khăn trong việc thoát ra khỏi cách nhìn thống trị của mô hình métric trong hình học để tính đến đặc trƣng định hƣớng của vectơ. Giả thuyết về sự tồn tại của khó khăn này cho phép giải thích một kiểu sai lầm rất phổ biến của học sinh: chỉ căn cứ vào độ dài để xem xét sự bằng nhau giữa các vectơ. Kiểu sai lầm này đã đƣợc chỉ ra qua một số nghiên cứu đƣợc thực hiện ở những thời điểm khác nhau, với những đối tƣợng khác nhau. • Mức độ thứ hai: khó khăn trong việc nắm vững hai đặc trƣng định hƣớng của vectơ Khi đã thoát ra khỏi ảnh hƣởng của mô hình métric thì học sinh lại có khó khăn trong việc hiểu hai đặc trƣng định hƣớng của vectơ. Trong một chừng mực nào đó có thể cho rằng khó khăn này có liên quan đến việc sử dụng từ vựng. Tuy nhiên, không thể giải thích rằng khó khăn này chỉ đơn thuần ở mức độ từ vựng. Điều đó thể hiện rất rõ khi học sinh dùng một từ duy nhất là "chiều" để nói về hai đặc trƣng định hƣớng của vectơ, và từ chiều đã đƣợc xem xét một cách rất tùy tiện (chiều từ trên xuống dƣới, từ phải qua trái, chiều quay của kim đồng hồ, v.v. ...). Học sinh không hiểu rằng khái niệm cùng chiều là một khái niệm tƣơng đối, ngƣời ta chỉ nói đến sự cùng chiều hay không , cùng chiều đối với các vectơ cùng phƣơng. • Mức độ thứ ba: khó khăn trong việc hiểu bản chất kép đại số - hình học của tính toán vectơ Khó khăn này thể hiện ở việc hiểu vectơ- không và ở việc học sinh không phân biệt các phép toán vectơ với các phép toán số. Vì không phân biệt các phép toán vectơ với các phép toán số nên họ gán cho các phép toán vectơ tất cả những tính chất đúng với các phép toán số. Cũng chính vì thế, khi thực hiện các phép biến đổi các biểu thức vectơ thì học sinh không băn khoăn gì về vectơ -không, nhƣng khi đứng trên quan điểm hình học thì họ khó hình dung ra sự tồn tại của vectơ này. Việc kết hợp vào trong cùng một đối tƣợng cả hai phƣơng diện đại số và hình học không phải là đơn giản. 15 B. Trường hợp phép biến hình Phân tích khoa học luận về lịch sử phát sinh và phát triển lý thuyết các phép biến hình đã giúp ta hiểu đƣợc 4 cấp độ của việc hiểu đối tƣợng toán học này, trong đó 2 cấp độ đầu tiên là: • Cấp độ 1: Phép biến hình gắn liền với mối liên hệ về hình dáng giữa hai hình hoặc giữa hai phần của một hình (đặc trƣng hàm hoàn toàn vắng mặt). • Cấp độ 2: Phép biến hình đƣợc xem nhƣ là ánh xạ từ mặt phẳng, hay tổng quát hơn, từ không gian, vào chính nó, ở đó mặt phẳng và không gian đƣợc nghiên cứu với tƣ cách là các tập hợp điểm. Phân tích khoa học luận còn cho ta thấy vai trò của Hình học giải tích đối với bƣớc chuyển từ cấp độ 1 sang cấp độ 2. Nghiên cứu khoa học luận, cùng với dữ liệu thu đƣợc từ nghiên cứu chƣơngg trình, sách giáo khoa và quan niệm của học sinh, đem lại cho ta những căn cứ khoa học để thiết kế một tình huống dạy-học khái niệm phép biến hình theo nghĩa ánh xạ điểm. C. Trường hợp số phức Quả thực, những giả thuyết về dạy học nói riêng và những quan điểm sƣ phạm nói chung không phải đƣợc đề ra một cách tùy hứng, mà phải dựa trên những căn cứ khoa học thích đáng. Một trong các căn cứ nền tảng này là kết quả của phân tích khoa học luận. Điều đó cũng minh chứng cho quan điểm dạy học hiện nay đang thịnh hành trong nhiều nƣớc: "Dạy học phải tôn trọng đồng thời khoa học luận và quy trình nhận thức của học sinh." Phân tích khoa học luận 4 giai đoạn lịch sử hình thành khái niệm số phức là một ví dụ minh họa cho lợi ích sƣ phạm của nghiên cứu khoa học luận trên phƣơng diện này. 16 KẾT LUẬN Do đối tƣợng nghiên cứu của mình, các công trình thuộc lĩnh vực khoa học lý luận dạy-học thƣờng mang tính thực nghiệm. Tuy nhiên, những việc nhƣ quan sát, phân tích sản phẩm của học sinh, phân tích và xây dựng các tình huống dạy-học, v.v.... đều phải đƣợc đặt dƣới ánh sáng của một nghiên cứu quan trọng về tri thức đang bàn đến, bởi vì, khoa học này chỉ quan tâm đến mối liên hệ giữa thầy và trò khi nó đặc trƣng cho một tri thức toán học cụ thể đƣợc đặt trong tình huống dạy-học. Phân tích khoa học luận là một pha cơ bản để nhà nghiên cứu có thể xem xét việc dạy-học ở một khoảng cách cần thiết. Nghĩa của khái niệm, những bài toán gắn liền với nó, vị trí tƣơng đối của một yếu tố thuộc tri thức đối với những tri thức khác, sự biến đổi của các dữ kiện tùy theo giai đoạn và thể chế, những quan niệm khác nhau có thể đƣợc kết hợp với cùng một đối tƣợng toán học, những chƣớng ngại cần phải vƣợt qua, v.v..., bao nhiêu câu hỏi giúp nhà nghiên cứu hiểu rõ hơn hoạt động của một hệ thống dạy-học. Phân tích khoa học luận giúp nhà nghiên cứu và giáo viên thoát khỏi ảo tƣởng về sự đồng nhất giữa tri thức nhƣ nó vốn tồn tại trong cộng đồng khoa học với tri thức chƣơng trình và sách giáo khoa, xác định khoảng cách giữa tri thức mà việc dạy-học nhắm tới với những kiến thức đƣợc học sinh xây xứng trong thực tế. Nó cũng giúp nhà nghiên cứu và giáo viên hiểu đƣợc tình trạng kiến thức của học sinh ở một thời điểm xác định, vạch rõ những điều kiện, những tình huống vấn đề cho phép chuyển từ quan niệm này sang quan niệm kia về tri thức, hay loại bỏ một quan niệm sai lầm, vƣợt qua một chƣớng ngại. Phân tích khoa học luận cho phép nhà nghiên cứu nhìn hệ thống dạy-học ở khoảng cách cần thiết, hiểu rõ cái gì chi phối sự tiến triển của kiến thức khoa học, vạch rõ các tham chiếu hợp thức của tri thức cần dạy, trả lại cho tri thức những nghĩa rộng hơn, phong phú hơn, điều mà việc nghiên cứu đơn thuần chƣơng trình và sách giáo khoa, bó hẹp trong nội tại hệ thống dạy học không thể mang lại. Thế nhƣng, giữa sự phát triển lịch sử và thực tế lớp học luôn luôn cổ một khoảng cách, vì học sinh là chủ thể của hệ thống dạy-học, nó không thể đƣợc rút gọn thành chủ thể khoa học luận. Đó là lý do để chúng ta nói rằng nghiên cứu việc dạy-học một tri thức phải đƣợc tiếp cận từ hai phía - khoa học luận và thể chế dạy-học. Phân tích khoa học luận lịch sử hình thành, phát triển của tri thức và phân tích nhằm vạch rõ “cuộc sống” của tri thức trong thể chế dạy-học là hai nghiên cứu bổ sung cho nhau. Sự tiếp cận thứ hai này là trung tâm của lý thuyết Nhân chủng học đƣợc xây dựng bởi Chevallard mà ở đây ta chỉ mới đề cập vài yếu tố liên quan đến quá trình chuyển đổi didactic. Từ hai góc độ tiếp cận - khoa học luận và thể chế dạy-học, ta có thể hình thành nên những giả thuyết nghiên cứu và để kiểm chứng tính thỏa đáng của chúng thì cần phải quay về với thực tế dạy-học. 17 TÀI LIỆU THAM KHẢO Argand J.-R.: Essai sur une Maniere de Representer les Quantites Imaginaires dans les Constructions Geometriques, Annates de Mathématiques 5 (1806), 33-147; reed., J. Hoiiel ed., Paris: Gauthier-Villars, 1874; Paris: Blanchard 1971. (les numeros de pages sont donnes d'apres la rendition de 1971). Artigue M. (1991): Epislmologique et Didactique, Recherche en Didactique des Mathematiques, vol. 10, n•.3. , tr. 241-286. Artigue M et Deledicq A. (1992). Quatre'tapes dans l'histoire des nombres complexes. Cahier de didirem, n°15. Bachellard. G (1938): La formation de V esprit scientifique, l3 - dition, Paris: Vrin 1986. Bellavitis. G. (1833): Sopra alcune Applicazioni di un Nuovo Metodo di Geometria Analitica, Il Poligrafo Giornale di Scienze, Lettre edArti. Verona 13, 53-61. Bellavitis G. (1835): Saggio di Applicazioni di un Nuovo Metodo di Geometria Analitica (Calcolo delle Equipollenze), Annali delle Scienze del Regno Lombaro-Veneto. Padova 5, 244-259. Brousseau G. (1983): Les obstacles pistmologiques et les problmes en mattlmatiques, Recherche en Didactique des MatHmatiques, vol. 4, n • 2, tr. 165-198. Chevallard Y. (1992): Concepts fondamentaux de la didactique: perspectives appoftes par une approche anthropologique, Recherche en Didactique des Mathématiques, vol. 12, n• 1, tr. 73-112. Crowe M.-J. (1967): A History of Vector Analysis - The Evolution of the Idea of a Vectorial System, Notre-Dame: University Press. Dorier J.-L. (1990): Analyse Historique de l'Emergence des Concepts Elementaires d'Algebre Lineaire, Cahier Didirem n°7, Paris: IREM de Paris VII. Dorier J-L . (1996): Recherche en historique et en didactique des matHmatiques sur Valgbre linaire. Dorier J.-L. (1997a): Hermann Grassmann et la Theorie de l'Extension, Reperes-IREM 26. Dorier J.-L. (1997b): Recherche en historique et en didactique des mathematique sur l’algebre lineaire. Note de synthese pour le diplome d'habilitation a diriger des recherches – Document interne. Douady R (1986). Jeux de cadres et dialectique outil - objet. Recherche en Didactique des Mathematiques, vol 7.2. Glaeser G. (1981): Epislmologique des nombres relatifs, Recherche en Didactique des Mathematiques, vol. 2, n•3, tr. 303 - 346. Grassmann H. (1844): Die lineale Ausdehnungslehre, Leipzig: Otto Wigand, ou [Grassmann1894-1911, 1:1-139]. Les citations sont donnees d'apres la traduction de FLAMENT, Dominique, La science de la grandeur extensive, Paris: Blanchard, 1994. Les numeros de pages sont donnes d'apres l'edition originale. Grassmann H.(1846): Grundzuge zu einer rein geometrischen Theorie der Kurven mit Anwendung einer reine geometrischen Analyse, Journal fur die reine und angewandte Mathematik 31, 11-132, ou [Grassmann 1894/1911, 2(l):49-72] Grassmann H.: Gesammelte Mathematische und Physikalische Werke, 3 vols., ed. F. Engel, Leipzig: Teubner, 1894-1911; reed., New-York/London: Johnson Reprint Corporation, 1972. Hamilton W.R.: On Quaternions or a New System of Imagineries in Algebra, Philosophical Magazine. 18 Hamilton W.R. (1969): Elements of Quaternions, 2 vols., Dublin, 1866; rééd., New-York: Chelsea Publishing Company. Jahn A.P. (1998) Des transformations des figures aux transformations ponctuelles:tude d'une sequence d'enseignement avec Cabri-gomtre. Thse de doctorat, Universit Joseph Fourier de Grenoble, France. Leibniz G.-W.: Lettre à Christian Huyghens - Hanover ce 8 de Sept. 1679, Christi. Hugenii aliorumque seculi XVII. virorum celebrium exercitationes mathematicae et philosophicae, ed. Uylenbroek, Hagen: Hagae comitum, 1833, 2:6-12 (Cette reference est celle que l'on trouve en introduction des notes sur la Geometrische Analyse de Grassmann dans [Grassmann 1894/1911, 1:415-420] où la plupart de cette lettre et l'integralité de l'essai qui l'accompagne sont reproduits. Pour une édition plus accessible voire: Leibnizens Mathematische, ed. C.I. Gerhardt,. 2 vol. Berlin: Julius Pressner, 1850; reseed., (Œuvres Mathesmatiques, Paris: Librairie de A. Frank Editeur, 1853. Lesieur L. (1976). Equations algbriques. Bulletin des rgionales APMEP de Poitiers Limoges et Ortans - Tours, n°5. Lê Thị Hoài Châu (1997): Etude didactique et^pisimologique sur l'enseignement du vecteur dans deux institutions:la classe de dixime au Vieetnam et la classe de seconde en France. Thèse de doctorat, Universit Joseph Fourier de Grenoble, France. Lounis A. (1989): L'introduction aux modèles vectoriels en physique et en mathématiques: conceptions et difficultés des élèvesy essai de remédiation. Thèse en Didactique des sciences physiques. Universite de Provence Aix-Marseille I. Maxwell, J.-C. (1873): Quaternion, Nature 9, 137-138. Möbius A.-F. (1827): Der Barycentrische Calcul, Leipzig: Johan Ambrosius Barth, ou [Mobiusl967, 1:1-388]. Möbius A.-F.(1967): Gesammelte Werke, 4 vols., ed. R. Baltzer, Leipzig: S. Hirtzel KG, 1915; rééd., Wiesbaden: Dr. Martin Sändig oHG. Perrin-Glorian M.J. (1993): Utilisation de la notion d'obstacle en didactiques des mathématiques, Cahier du séminaire Recherche/ Reflexion/Interaction, année 1992- 1993, IUFM de Grenoble,pp. 194-214. Phạm Ngọc Bảo (2002): Đào tạo giáo viên tiểu học về bƣớc chuyển từ phân số nhƣ là “những phần bằng nhau rút ra từ đơn vị” đến phân số nhƣ là “ thƣơng “ ở lớp 3 và lớp 4. Luận văn thạc sĩ, ĐHSP tp Hồ Chí Minh. Robert T. et Douady R. (1993). Atelier sur l'utilisation des changements de cadres et jeux adres dans la classe. Actes de la sept\me Ecole d'E't. Vergnaud G. (1990): La théorie des champs conceptuels, Recherches en Didactique des Mathématiques, vol 10, n° 2-3, pp. 133-170. Wessel C. (1987): Essai sur la reprsentation de la direction, traduit par H.G. Zeuthem, ed. H. Valentiner et T.N. Thiele, Copenhage - Paris.