Đồ án Lý thuyết điều khiển tự động

LỜI NÓI ĐẦU Ngày nay tự động hoá đã trở thành một vấn đề thiết yếu trong ngành công nghiệp. Để thiết kế được các mô hình tự động hoá trong nhà máy công nghiệp thì người thiết kế cần nắm được các kiến thức về Lý thuyết điều khiển tự động - bộ môn cơ bản của ngành tự động hoá. Một trong các kỹ năng mà người học cần phải có sau khi học xong bộ môn này là nhận dạng và ổn định các mô hình. Trong đồ án này em sẽ nêu ra cách nhận dạng đối tượng, xác định hàm truyền đạt của đối tượng từ đáp ứng đầu ra cho trước và từ đó xác định đối tượng có ổn định hay không rồi từ đó thiết kế các bộ điều khiển P, PI, PID để nâng cao chất lượng đầu ra của hệ thống. Trong quá trình thực hiện đồ án này em đã nhận được rất nhiều sự khuyến khích và góp ý từ các bạn cũng như các thầy cô, đặc biệt là cô Phạm Thị Hương Sen - Giáo viên khoa Công nghệ tự động trường Đại học Điện lực. Do trình độ nhận thức và thời gian có hạn nên trong bài viết không thể tránh khỏi có các lỗi sai sót. Em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm về các lỗi đó và hy vọng các bạn và thầy cô góp ý sửa chữa để đồ án được hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn. ĐỒ ÁN LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG MỤC LỤC Trang Lời nói đầu 1 Mục lục 2 Để bài 4 I. Xác định hàm truyền đạt từ đường đặc tính cho trước 5 1. Hàm truyền đạt và đặc tính động học 5 1.1. Định nghĩa hàm truyền đạt 5 1.2. Đặc tính động học của hệ thống 5 1.2.1. Đặc tính thời gian 6 1.2.2. Đặc tính tần số 6 2. Cách xác định hàm truyền đạt 7 3. Ứng dụng 9 II. Khảo sát tính ổn định của hệ thống 11 1. Khái niệm tính ổn định của hệ thống 11 1.1. Định nghĩa 11 1.2. Ổn định của hệ tuyến tính 11 2. Tiêu chuẩn ổn định đại số 13 2.1. Điều kiện cần 13 2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh 13 2.3. Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz 13 3. Tiêu chuẩn ổn định tần số 14 3.1. Nguyên lý góc quay 14 3.2. Tiêu chuẩn ổn định Mikhailov 15 3.3. Tiêu chuẩn ổn định Nyquist 15 3.4. Tiêu chuẩn ổn định Bode 15 4. Phương pháp quỹ đạo nghiệm số 16 5. Điểm cực ( Pole ) và điểm không ( Zero ) 18 6. Ứng dụng III. Thiết kế hệ thống PID 20 1. Các quy luật điều chỉnh chuẩn và bộ điều khiển PID 20 1.1. Quy luật tỉ lệ P 20 1.2. Quy luật tỉ lệ tích phân PI 20 1.3. Quy luật điều chỉnh tỉ lệ vi tích phân PID 20 1.4. Bộ điều khiển PID 21 2. Thiết kế hệ thống PID 22 2.1. Phương pháp giải tích 22 2.2. Phương pháp Zeigler-Nichols 22 2.3. Sử dụng Matlab để thiết kế 23 IV. Tổng kết 30 Tài liệu tham khảo 31 Đề bài: Cho 1 đối tượng chưa biết mô hình toán học. Bằng thực nghiệm người ta dùng tác động ở đầu vào là hàm 5.1(t) và đo tín hiệu đầu ra thu được đường đặc tính y(t) như sau: Yêu cầu: 1. Xác định hàm truyền đạt của đối tượng trên từ đường đặc tính thu được? 2. Từ hàm truyền xác định được dùng Matlab vẽ lại đường quá độ và so sánh. Nhận xét về tính ổn định của đối tượng. Tìm các điểm cực và điểm không? 3. Tổng hợp bộ điều khiển P, PI, PID để hệ có chất lượng điều khiển tốt nhất. I. XÁC ĐỊNH HÀM TRUYỀN ĐẠT TỪ ĐƯỜNG ĐẶC TÍNH CHO TRƯỚC 1.HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC 1.1. Định nghĩa hàm truyền đạt Cho một hệ thống như hình vẽ : Quan hệ của tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ thống tuyến tính có thể được mô tả bằng phương trình vi phân hệ số hằng : trong đó : ai ( ), bj () là các thông số của hệ thống; a0 ≠ 0, b0 ≠ 0 n là bậc của hệ thống Giả sử điều kiện đầu bằng 0, biến đổi Laplace 2 vế ta được : Đặt : G(s) gọi là hàm truyền đạt của hệ thống Định nghĩa : Hàm truyền đạt của hệ thống là tỷ số giữa biến đổi Laplace của tín hiệu ra và biến đổi Laplace của tín hiệu vào khi điều kiện đầu bằng 0. * Phép biến đổi Laplace : Cho f(t) là hàm xác định với mọi t ≥ 0, biến đổi Laplace của f(t) là : F(s) = L { f(t) } = Trong đó : s là biến phức ( biến Laplace ), L là toán tử biến đổi Laplace F(s) là ảnh của f(t) qua phép biến đổi Laplace 1.2. Đặc tính động học của hệ thống Đặc tính động học của hệ thống mô tă sự thay đổi tín hiệu ở đầu ra của hệ thống theo thời gian khi có tác động ở đầu vào. Để khảo sát tính động của hệ thống thì tín hiệu vào thường được chọn là tín hiệu cơ bản như hàm xung đơn vị, hàm nấc đơn vị hay hàm điều hoà. Tuỳ theo dạng của tín hiệu vào thử mà đặc tính động học thu được là đặc tính thời gian hay đặc tính tần số. 1.2.1. Đặc tính thời gian Đặc tính thời gian của hệ thống mô tả sự thay đổi tín hiệu ở đầu ra của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm xung đơn vị hay hàm nấc đơn vị. Đáp ứng xung là đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm xung đơn vị ( hay còn gọi là hàm trọng lượng g(t) của hệ thống ). c(t) = L -1 {C(s)} = L -1 {G(s)} = g(t) ( Do R(s)=1 ) Đáp ứng nấc là đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị ( hay còn goi là hàm quá độ h(t) của hệ thống ). c(t) = L -1 {C(s)} = L -1 {} = = h(t) ( Do R(s) =) 1.2.2. Đặc tính tần số Đặc tính tần số của hệ thống tuyến tính liên tục mô tả quan hệ giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào của hệ thống ở trạng thái xác lập khi thay đổi tần số của tín hiệu dao động điều hoà tác động ở đầu vào của hệ thống. Như vậy đặc tính tần số của hệ thống là tỉ số giữa tín hiệu ra ở trạng thái xác lập và tín hiệu vào hình sin. Đặc tính tần số = Để biểu diễn đặc tính tần số một cách trực quan, ta có thể dùng đồ thị. Có hai dạng đồ thị thường được sử dụng là biểu đồ Bode và biểu đồ Nyquist. 2. CÁCH XÁC ĐỊNH HÀM TRUYỀN ĐẠT Trên cơ sở hàm quá độ của đối tượng ta có thể xác định gần đúng hàm truyền đạt của nó. Đối tượng ta cần xác định có tính tự cân bằng. dạng tổng quát hàm truyền đạt của đối tượng có tính tự cân bằng được mô tả: Wd(p) = Kd.W1(p).e-τp Trong đó: K- hệ số truyền của đối tượng τ- thời gian trễ W1(p)- hàm truyền đạt của thành phần tĩnh Đối tượng gồm 2 khâu mắc nối tiếp nhau là: khâu có trễ có hàm truyền đạt e-τp và khâu tĩnh có hàm truyền đạt Kd.W1(p). giá trị τ được gọi là trễ vận chuyển. Khâu tĩnh ta có thể lấy gần đúng là khâu quán tính bậc hai. Xác định hàm truyền đạt của đối tượng Tín hiệu tác động đầu vào là hàm 5.1(t) Tín hiệu đầu ra có đường đặc tính như sau: Hình 1: đường đặc tính của hàm Wd(p) Từ đồ thị trên ta xác định được Kd và τ Bỏ qua khâu trễ ta có tín hiệu ra y1(t) của hàm Ta xác định T1và T2 của hàm truyền . Với tín hiệu vào là hàm 5.1(t) thì Đồ thị hàm y1(t) có dạng Hình 2: đường đặc tính đầu ra của hàm W1(p) Ta sử dụng phương pháp đồ thị giải tích để xác định các tham số T1và T2 từ hàm quá độ. Kẻ đường tiếp tuyến với đường quá độ y1(t) tại điểm uấn. ta xác định được điểm tu, 2tu; xác định được các khoảng cách a, b, c như hình vẽ. ta sẽ xác định được T1và T2 theo a, b, c. (1.1) (1.2) (1.3) Tại điểm uấn: (1.4) Từ đò thị ta thấy: Kết hợp với (1.1): Thay (1.4) vào: Ta có: Từ đồ thị ta thấy: Biến đổi T1 và T2 theo a, b, c: => T2=a( 0,5 – kcb2-0,75) Bằng phương pháp trên ta có thể xác định được gần đúng hàm truyền đạt 3. ỨNG DỤNG Dựa theo phương pháp xác định trên và dựa vào đường đặc tính y(t) đã cho ta xác định được các tham số như sau: Từ đồ thị hình 2 ta xác định được a=20b=225c=137cc Với đầu vào là hàm 5.1(t) Và từ đồ thị hình 1 ta xác định được τ=70kd=60 Thay số ta tìm được: T1=20(300*1372252≈15 T2 = 20-15=5 Vậy hàm truyền W1(p)=30015p+1(5p+1) Vậy hàm truyền có dạng như sau: Wd(p)=e-70p*6015p+1(5p+1) Dùng Matlab ta thu được đường đặc tính y(t) như sau: Hình 3: đặc tính đầu ra của đối tượng xác định được * So sánh: Sau khi áp dụng phương pháp đồ thị giải tích trên ta xác định được hàm truyền đạt Wd(p) có đặc tính đầu ra rất giống với đề bài đã cho. Do vây ta hoàn toàn có thể sử dụng phương pháp này để tìm các hàm truyền đạt khi biết được đường đặc tính đầu ra y(t) của hệ thống. II. KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG 1. Khái niệm tính ổn định của hệ thống 1.1. Định nghĩa Hệ thống được gọi là ở trạng thái ổn định nếu với tín hiệu vào bị chặn thì đáp ứng của hệ cũng bị chặn. Yêu cầu đầu tiên đối với một hệ thống điều kiển tự động là hệ thống phải giữ được trạng thái ổn định khi chịu tác động của tín hiệu vào và chịu ảnh hưởng của nhiễu lên hệ thống. Đối với hệ tuyến tính đặc tính của quá trình quá độ không phụ thuộc vào giá trị tác động kích thích. Tính ổn định của hệ tuyến tính không phụ thuộc vào thể loại và giá trị của tín hiệu vào và trong hệ tuyến tính chỉ tổn tại một trạng thái cân bằng. Có 3 trạng thái cân bằng : + Biên giới ổn định. + Ổn đinh. + Không ổn định. 1.2. Ổn định của hệ tuyến tính Một hệ thống điều khiển tuyến tính được biểu diễn bằng phương trình vi phân : Trong đó : r(t) là tín hiệu vào, c(t) là tín hiệu ra ai ( ), bj () là các thông số của hệ thống; a0 ≠ 0, b0 ≠ 0 n là bậc của hệ thống Đây là phương trình vi phân không thuần nhất nên nghiệm tổng quát có dạng : c(t) = co(t) + cqđ(t) Trong đó : co(t) là nghiệm riêng của phương trình có vế phải, đặc trưng cho quá trình xác lập, là trị số của đại lượng cần điều khiển và luôn ổn định. cqđ(t) là nghiệm tổng quát của phương trình không có vế phải, đặc trưng cho quá trình quá độ. Do đó, tính ổn định của hệ chỉ phụ thuộc vào cqđ(t), và dạng tổng quát của nó là : cqđ(t) = Trong đó : là hệ số được xác định bởi các điều kiện ban đầu và cấu trúc, tham số của hệ. pi là nghiệm thứ i của phương trình đặc tính : Nghiệm pi có thể được viết dưới dạng : Hệ thống ổn định nếu : Hệ thống không ổn định nếu : Khảo sát tính ổn định của hệ thống theo nghiệm pi ta thu được kết quả : Hệ ở biên giới ổn định Hệ không ổn định Hệ ổn định Như vậy, tính ổn định của hệ thống chỉ phụ thuộc vào dấu của phần thực nghiệm của phương trình đặc tính. - Nếu tất cả các nghiệm của phương trình đặc tính hệ thống đều có phần thực âm thì hệ thống ổn định. - Chỉ cần có 1 nghiệm của phương trình đặc tính có phần thực bằng 0 còn các nghiệm khác có phần thực âm thì hệ ở biên giới ổn định. - Chỉ cần 1 nghiệm của phương trình đặc tính có phần thực dương thì hệ thống không ổn định. * Ứng dụng Xét tính ổn định của hệ thống mà ta đã xác định được ở trên. Hàm truyền đạt của hệ thống : Wd(p)=e-70p*6015p+1(5p+1) Phương trình đặc tính của hệ thống là : A(p) = (15p+1)(5p+1)=0 Giải phương trình đặc tính ta thu được 2 nghiệm là : p1=-0,07p2=-0,2 Tất cả các nghiệm của phương trình đặc tính đều có phần thực âm nên hệ thống ổn định. Các bước xét tính ổn định của phương pháp này tương đối đơn giản nhưng khi gặp các phương trình vi phân bậc cao thì việc giải chúng là rất khó khăn, vì vậy để khắc phục nhược điểm này người ta đã đề ra các tiêu chuẩn để xét tính ổn định của hệ thống là : - Tiêu chuẩn ổn định đại số. - Tiêu chuẩn ổn định tần số. 2. Tiêu chuẩn ổn định đại số 2.1. Điều kiện cần Điều kiện cần để hệ thống ổn định là tất cả các hệ số của phương trình đặc trưng phải khác 0 và cùng dấu. 2.2. Tiêu chuẩn ổn định Routh Phát biểu : Điều kiện cần và đủ để tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng nằm bên trái mặt phẳng phức là tất cả các phần tử nàm ở cột 1 của bảng Routh đều dương. Số lần đổi dấu của các phần tử ở cột 1 của bảng Routh bằng số nghiệm nằm bên phải của mặt phẳng phức. Tiêu chuẩn Routh được áp dụng xét tính ổn định cho cả hệ hở và hệ kín với phương trình đặc tính bậc bất kỳ. Để xét tính ổn định của hệ thống theo tiêu chuẩn Routh thì ta cần thành lập bảng Rọuth theo các quy tắc sau : - Bảng Routh có n+1 hàng ( với n là bậc cao nhất của phương trình đặc trưng ). - Hàng 1 của bảng Routh chỉ gồm các hệ số có chỉ số chẵn. - Hàng 2 của bảng Routh chỉ gồm các hệ số có chỉ số lẻ. - Phần tử ở hàng i cột j của bảng Routh ( i ≥ 3 ) được tính theo công thức : . 2.3. Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz Phát biểu : Điều kiện cần và đủ để hệ thống ổn định là tất cả các định thức con chứa đường chéo của ma trận Hurwitz đều dương. Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz được áp dụng cho cả hệ hở và hệ kín. Để xét tính ổn định của hệ thống theo tiêu chuẩn Hurwitz ta cần thành lập ma trận Hurwitz theo các quy tắc : - Ma trận Hurwitz là ma trận vuông cấp . - Đường chéo chính của ma trận Hurwitz là các hệ số từ a1 đến an ( với n là số bậc cao nhất của phương trình đặc tính ). - Hàng lẻ của ma trận Hurwitz gồm các hệ số có chỉ số lẻ theo thứ tự tăng dần nếu ở bên phải đường chéo và giảm dần nếu ở bên trái đường chéo. - Hàng chẵn của ma trận Hurwitz gồm các hệ số có chỉ số chẵn theo thứ tự tăng dần nếu ở bên phải đường chéo và giảm dần nếu ở bên trái đường chéo. Ma trận Hurwitz : 3. Tiêu chuẩn ổn định tần số 3.1. Nguyên lý góc quay Xét hệ thống điều khiển tuyến tính có phương trình đặc tính : Phương trình có n nghiệm pi nên có thể viết dưới dạng : Với pi là các nghiệm của phương trình đặc tính. Thay vào A(s) ta được : * Nguyên lý góc quay : Hệ thống bậc n có m nghiệm phải và ( n - m ) nghiệm trái có vectơ đa thức đặc tính tần số sẽ quay một góc là (n-2m)/2 vòng kín theo chiều ngược chiều kim đồng hồ khi tần số biến thiên từ đến . 3.2. Tiêu chuẩn ổn định Mikhailov Phát biểu : Điều kiện cần và đủ để hệ tuyến tính ổn định là biểu đồ vectơ đa thức đặc tính xuất phát từ nửa trục thực dương tại bằng không, phải quay n góc phần tư theo chiều ngược chiều kim đồng hồ khi biến thiên từ 0 đến , với n là bậc của phương trình đặc tính của hệ thống. Tiêu chuẩn này được áp dụng cho cả hệ hở và kín với phương trình đặc tính bất kỳ. Cách xây dựng biểu đồ Mikhailov : - Thay vào phương trình đặc tính sau đó tách phần thực và phần ảo - Cho biến thiên từ 0 đến , ta vẽ được vectơ đặc tính . 3.3. Tiêu chuẩn ổn định Nyquist Tiêu chuẩn này áp dụng để xét cho hệ thống kín với phản hồi (-1) dựa vào đặc điểm của đặc tính tần số hệ thống hở. Phát biểu : Điều kiện cần và đủ để hệ thống kín ổn định - Khi hệ thống hở ổn định (hoặc ở giới hạn ổn định) là đặc tính tần biên pha của hệ hở không bao điểm (-1, j0). -Hệ thống kín Gk(s) ổn định nếu đường cong Nyquist của hệ hở G(s) bao điểm (-1, j0) vòng theo chiều dương ( ngược chiều kim đồng hồ ) khi biến thiên từ 0 đến , trong đó là số cực của hệ hở G(s) nằm ở bên phải mặt phẳng phức.. Biểu đồ Nyquist ( đường cong Nyquist ) : là đồ thị biểu diễn đặc tính tần số trong hệ toạ độ cực khi thay đổi từ 0 đến . Để áp dụng tiêu chuẩn này ta làm theo các bước sau : - Xét tính ổn định của hệ hở. Nếu hệ hở không ổn định ta phải xem xét phương trình đặc tính có bao nhiêu nghiệm có phần thực dương . Có thể dùng tiêu chuẩn Routh hoặc giải trực tiếp phương trình đặc tính. - Vẽ đặc tính , xác định số vòng bao của nó với (-1, j0). - Kết luận hệ kín có ổn định hay không. 3.4. Tiêu chuẩn ổn định Bode Tương tự tiêu chuẩn ổn định Nyquist thì tiêu chuẩn này cũng dùng để xét tính ổn định của hệ kín có phản hồi (-1). Tuy nhiên, tiêu chuẩn Nyquist thì sử dụng biểu đồ Nyquist để xét tính ổn định còn tiêu chuẩn Bode lại sử dụng biểu đồ Bode để xét tính ổn định. Biểu đồ Bode là hình vẽ gồm hai thành phần : - Biểu đồ Bode biên độ : đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa logarith của đáp ứng biên độ theo tần số . Trong đó : là đáp ứng biên độ tính theo đơn vị dB ( decibel ). - Biểu đồ Bode pha : đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa đáp ứng pha theo tần số . Cả hai đồ thị trên đều được vẽ trong hệ toạ độ vuông góc với trục hoành chia theo thàng logarith cơ số 10. Phát biểu : Hệ thống kín Gk(s) ổn định nếu hệ thống hở G(s) có độ dự trữ biên và dự trữ pha dương. hệ thống ổn định Trong đó : là độ dự trữ biên là độ dự trữ pha 4. Phương pháp quỹ đạo nghiệm số Cho hệ thống có phương trình đặc tính : Giả sử trong các tham số của phương trình có một tham số có thể thay đổi liên tục từ 0 đến , khi đó ứng với mỗi giá trị của tham số đó thì phương trình đặc tính lại có một bộ nghiệm số riêng. Tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình đặc tính tạo thành đường quỹ đạo nghiệm số. Định nghĩa : Quỹ đạo nghiệm số là tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình đặc tính của hệ thống khi có một thông số nào đó của hệ thay đổi từ 0 đến . Bằng cách quan sát quỹ đạo nghiệm số thì ta có thể nhận thấy quỹ đạo nghiệm số nào ở bên trái trục ảo thì hệ thống sẽ ổn định, còn những quỹ đạo nghiệm số nằm ở bên phải trục ảo thì hệ thống không ổn định. Từ đó ta có thể xác định được khoảng của thông số thay đổi để hệ thống ổn định. Phương pháp này thường dùng cho hệ số biến đổi là hệ số khuyếch đại của hệ thống. * Quy tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số Để vẽ quỹ đạo nghiệm số, trước tiên ta phải biến đổi tương đương phương trình đặc tính về dạng : Trong đó : K là thông số thay đổi. Đặt . Gọi là số cực của , là số zero của . Ta có điều kiện biên độ và điều kiện pha : Điều kiện biên độ Điều kiện pha Các quy tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số : - Quy tắc 1 : Số nhánh của quỹ đạo nghiệm số bằng với số bậc của phương trình đặc tính và bằng số cực của , tức là có nhánh. - Quy tắc 2 : Khi các nhánh của quỹ đạo nghiệm số xuất phát từ các cực của . Khi tiến đến thì nhánh của quỹ đạo nghiệm số tiến đến zero của , nhánh còn lại tiến đến theo các tiệm cận xác định bởi quy tắc 5 và 6. - Quy tắc 3 : Quỹ đạo nghiệm số đối xứng qua trục thực. - Quy tắc 4 : Một điểm trên trục thực thuộc về quỹ đạo nghiệm số nếu tổng số cực và zero của bên phải nó là một số lẻ. - Quy tắc 5 : Góc tạo bởi các đường tiệm cận của quỹ đạo nghiệm số với trục thực xác định bởi - Quy tắc 6 : Giao điểm giữa các tiệm cận với trục thực là điểm A có toạ độ xác định bởi Trong đó : và là các cực và zero của . - Quy tắc 7 : Điểm tách nhập ( nếu có ) của quỹ đạo nghiệm số nằm trên trục thực và là nghiệm cảu phương trình : - Quy tắc 8 : Giao điểm của quỹ đạo nghiệm số với trục ảo có thể xác định bằng một trong hai cách sau : + Áp dụng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz. + Thay vào phương trình đặc tính, cân bằng phàn thực và phần ảo sẽ tìm được giao điểm với trục ảo và giá trị . - Quy tắc 9 : Góc xuất phát của các quỹ đạo nghiệm số tại cực phức được xác định bởi - Quy tắc 10 : Tổng các nghiệm là hằng số khi thay đổi từ 0 đến . - Quy tắc 11 : Hệ số khuyếch đại dọc theo quỹ đạo nghiệm số có thể xác định từ điều kiện biên độ Từ quỹ đạo nghiệm số ta thấy quỹ đạo nghiệm số của hệ thống nằm ở bên trái trục ảo, do đó hệ thống ổn định. 5. Điểm cực (Pole) và điểm không (Zero) Cho hệ thống điều khiển tự động có hàm truyền đạt được mô tả như sau : Nghiệm cực ( Pole ) là nghiệm của phương trình . Phương trình này có nghiệm, do đó hệ thống có nghiệm cực ( Pole ) với . Zero là các nghiệm của phương trình . Phương trình có nghiệm ( ) nên hệ thống có nghiệm zero với . * Ứng dụng Tìm nghiệm cực và nghiệm zero của hàm truyền đạt của đối tượng đã xác định được ở trên. Ta có hàm truyền đạt của đối tượng : Wd(p)=e-70p*6015p+1(5p+1) Giải các phương trình ta thu được kết quả sau : Hệ thống có 2 điểm cực là : p1=-0,07p2=-0,2 Hệ thống không có điểm zero. 6. Ứng dụng * Áp dụng tiêu chuẩn Routh Xét tính ổn định của hệ thống mà ta đã xác định được ở trên. Hệ thống có phương trình đặc trưng là : A(p) = 75p2+20p+1= 0 Bảng Routh p2 75 1 P1 20 0 α3=7520 po 1-7520*0=1 Vì tất cả các phẩn tử ở cột 1 bảng Routh đều dương nên tất cả các nghiệm của phương trình đặc tính đều nằm ở bên trái mặt phẳng phức, do đó hệ thống ổn định * Áp dụng tiêu chuẩn ổn định Hurwitz Xét tính ổn định của hệ thống mà ta đã xác định được ở trên. Hệ thống có phương trình đặc trưng : A(p) = 75p2 + 20p +1 = 0 Ta có ma trận Hurwitz : a0a2a1a3=751200 Các định thức : ∆1=a1=20 ∆2= -a0a2a1a3=-751200=20 Ta thấy tất cả các định thức con chứa đường chéo của ma trận Hurwitz đều dương nên hệ thống ổn định. * Kết luận: Hệ thống hở ổn định  III. THIẾT KẾ HỆ THỐNG PID I. CÁC QUY LUẬT ĐIỀU CHỈNH CHUẨN VÀ BỘ ĐIỀU KHIỂN PID 1. Quy luật tỉ lệ P Tín hiệu điều khiển trong quy luật tỉ lệ được hình thành theo công thức : Trong đó : : hệ số khuyếch đại của quy luật Theo tính chất của khâu khuyếch đại ta thấy tín hiệu ra của khâu luôn luôn trùng pha với tín hiệu vào. Điều này nói lên ưu điểm của máy tỉ lệ là tốc độ tác động nhanh, vì vậy trong công nghiệp quy luật tỉ lệ làm việc ổn định với tất cả các đối tượng. Tuy nhiên quy luật tỉ lệ có một nhược điểm là khi sử dụng với các đối tượng tĩnh hệ thống điều chỉnh luôn luôn tồn tại sai lệch tĩnh và không thể sử dụng trong hệ thống điều chỉnh chương trình. Để giảm sai lệch tĩnh phải tăng hệ số khuyếch đại, nhưng khi tăng hệ số khuyếch đại tính dao động của hệ thống sẽ tăng lên và có thể đưa hệ thống tới mất ổn định. 2. Quy luật tỉ lệ tích phân PI Để vừa tác động nhanh, vừa triệt tiêu được sai lệch dư người ta kết hợp quy luật tỉ lệ với quy luật tích phân để tạo nên quy luật tỉ lệ tích phân. Tín hiệu điều khiển được xác định bởi công thức : Trong đó : : hệ số khuyếch đại : hằng số thời gian tích phân Tín hiệu ra chậm pha hơn tín hiệu vào một góc nằm trong khoảng đến 0 phụ thuộc vào các tham số , và tần số của tín hiệu vào. Như vậy tốc độ tác động của quy luật tỉ lệ tích phân PI chậm hơn quy luật tỉ lệ P và nhanh hơn quy luật tích phân I ( tín hiệu ra chậm pha hơn tín hiệu vào một góc ). Trong thực tế quy luật tỉ lệ tích phân PI được sử dụng khá rộng rãi và đáp ứng được chất lượng hầu hết các quy trình công nghệ. Tuy nhiên do có thành phân tích phân nên tôc độ tác động cuả quy luật tỉ lệ tích phân PI bị chậm đi, vì vậy nếu đối tượng có nhiễu tác động liên tục mà đòi hỏi độ chính xác điều chỉnh cao thì quy luật tỉ lệ tích phân PI không đáp ứng được. 3. Quy luật điều chỉnh tỉ lệ vi tích phân PID Để tăng tốc tác động của quy luật tỉ lệ tích phân PI người ta ghép thêm thành phần vi phân và nhận được quy luật tỉ lệ vi tích phân PID. Tác động điều chỉnh được tính toán theo công thức : Trong đó : : hệ số khuyếch đại : hằng số thời gian tích phân : hằng số thời gian vi phân Tín hiệu ra lệch pha so với tín hiệu vào một góc nằm trong khoảng đến phụ thuộc vào các tham số , , và tần số của tín hiệu vào. Nghĩa là về tốc độ tác động thì quy luật tỉ lệ vi tích phân PID có thể nhanh hơn cả quy luật tỉ lệ P. Do đó có thể nói quy luật tỉ lệ vi tích phân PID là hoàn hảo nhất. Nó đáp ứng được yêu cầu về chất lượng của hầu hết các quy trình công nghệ. Tuy nhiên việc hiệu chỉnh tham số của nó rất phức tạp đòi hỏi người sử dụng phải có một trình độ nhất định. Vì vậy trong công nghiệp quy luật tỉ lệ vi tích phân PID chỉ sử dụng ở những nơi cần thiết do quy luật tỉ lệ tích phân PI không đáp ứng được yêu cầu về chất lượng điều chỉnh. 4. Bộ điều khiển PID Hình 8. Bộ điều khiển PID Bộ điều khiển PID ( bộ điều khiển tỉ lệ vi tích phân ) là một cơ chế phản hồi vòng điều khiển ( bộ điều khiển ) tổng quát được sử dụng rộng rãi trong các hệ thống điều khiển công nghiệp - bộ điều khiển PID được sử dụng phổ biến nhất trong số các bộ điều khiển phản hồi. Một bộ điều khiển PID tính toán một giá trị " sai số " là hiệu số giữa giá trị đo thông số biến đổi và giá trị đặt mong muốn. Bộ điều khiển sẽ thực hiện giảm tối đa sai số bằng cách điều chính giá trị điều khiển vào. Biểu thức của giải thuật PID : Giải thuật tính toán bộ điều khiển PID gồm ba thông số riêng biệt, do đó đôi khi nó còn được gọi là điều khiển ba khâu : các giá trị tỉ lệ, tích phân và đạo hàm. Giá trị tỉ lệ P phụ thuộc vào sai số hiện tại, giá trị tích phân I phụ thuộc vào tích luỹ các sai số quá khứ và giá trị vi phân D dự đoán các sai số tương lai dựa vào tốc độ thay đổi hiện tại. Bằng cách điều chỉnh ba hằng số trong giải thuật của bộ điều khiển PID thì đáp ứng của bộ điều khiển có thể được mô tả dưới dạng độ nhạy sai số của bộ điều khiển, giá trị mà bộ điều khiển vọt lố điểm đặt và giá trị dao động của hệ thống. Ảnh hưởng của các tham số , , đối với các chỉ tiêu chất lượng được thể hiện qua bảng sau : Chỉ tiêu chất lượng Thay đổi tham số Tăng Tăng Tăng Thời gian đáp ứng Giảm Giảm ít Giảm ít Thời gian quá độ Thay đổi ít Giảm Giảm Độ quá điều chỉnh Tăng Tăng Giảm ít Hệ số tắt dần Thay đổi ít Tăng Giảm Sai lệch tĩnh Giảm Triệt tiêu Thay đổi ít Tín hiệu điều khiển Tăng Tăng Tăng Độ dự trữ ổn định Giảm Giảm Tăng Bền vững với nhiễu đo Giảm Thay đổi ít Giảm Bảng 1. Ảnh hưởng của thay đổi các tham số PID II. THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN PID 1. Phương pháp giải tích Đây là phương pháp tương đối đơn giản, dựa vào các yêu cầu chất lượng của đầu ra như hệ số vận tốc, các cặp nghiệm phức, độ vọt lố hay thời gian quá độ... để xác định các thông số của bộ điều khiển PID. Tuy nhiên phương pháp này ít được sử dụng do gặp khó khăn trong việc xây dựng hàm truyền của đối tượng. 2. Phương pháp Zeigler-Nichols Đây là phương pháp phổ biến nhất để chọn thông số cho bộ điều khiển PID thương mại hiện nay. Phương pháp này dựa vào thực nghiệm để thiết kế bộ điều khiển P, PI, PID bằng cách dựa vào đáp ứng quá độ của đối tượng điều khiển. Zeigler và Nichols đã đưa ra hai cách chọn thông số bộ điều khiển PID tuỳ theo đặc điểm của đối tượng. Cách 1 : Dựa vào đáp ứng quá độ của hệ hở, áp dụng cho các đối tượng có đáp ứng đối với tín hiệu vào là hàm nấc có dạng chữ S như hình 9. Hình 5. Đáp ứng nấc của hệ hở có dạng S Khi đó ta có thể xác định các thông số của bộ điều khiển P, PI, PID theo bảng sau : Thông số Bộ ĐK P 0 PI 0 PID Hình 6. Đáp ứng nấc của hệ kín khi Cách 2 : Dựa vào đáp ứng quá độ của hệ kín, áp dụng cho các đối tượng có khâu tích phân lý tưởng. Đáp ứng quá độ ( hệ hở ) của các đối tượng có khâu tích phân lý tưởng không có dạng như hình 9 mà tăng đến vô cùng. Đối với các đối tượng thuộc loại này ta chọn thông số bộ điều khiển PID dựa vào đáp ứng quá độ của hệ kín như hình 10. Tăng dần hệ số khuyếch đại đến giá trị giới hạn , khi đó đáp ứng ra của hệ kín ở trạng thái xác lập là dao động ổn định với chu kỳ . Khi đó thông số của bộ điều khiển P, PI, PID được xác định như sau : Thông số Bộ ĐK P 0 PI 0 PID . Sử dụng Matlab để thiết kế Ngoài một số cách đã nêu ở trên ta có thể sử dụng phần mềm Matlab để thiết kế bộ điều khiển PID. Sisotool là công cụ giúp thiết kế hệ thống điều khiển tuyến tính hồi tiếp một đầu vào, một đầu ra. Các khâu hiệu chỉnh như sớm pha, trễ pha, sớm trễ pha, P, PI, PD, PID đều có thể thiết kế được với sự trợ giúp của công cụ này. Tuy nhiên, Sisotool không phải là công cụ thiết kế tự động mà chỉ là bộ công cụ trợ giúp thiết kế vì vậy người thiết kế phải hiểu rõ lý thuyết điều khiển tự động, nắm được bản chất của từng khâu hiệu chỉnh thì mới sử dụng được công cụ này. * Trình tự thiết kế : Bước 1 : Khai báo đối tượng điều khiển Sisotool không nhận dạng được các khâu chậm trễ vì vậy với các đối tượng có khâu chậm trễ thì ta cần khai triển Taylor để lấy hàm gần đúng của khâu chậm trễ ( chỉ cần lấy đến bậc 3 ). Khai báo : W(s)=e-70s*6075s2+20s+1 >> l=70; >> [num,den]=pade(l,3); >> Wtre=tf(num,den); >> Wdt=tf(60,[75 20 1])*Wtre Transfer function: -60 s^3 + 10.29 s^2 - 0.7347 s + 0.02099 ------------------------------------------------------------------- 75 s^5 + 32.86 s^4 + 5.347 s^3 + 0.4426 s^2 + 0.01924 s + 0.0003499 >> H=tf(1,1); Bước 2 : Mở công cụ Sisotool Ta gõ lệnh >> sisotool Bước 3 : Nhập đối tượng điều khiển vào Sisotool Trong hộp thoại Control and Estimation Tools Manager chọn thẻ Archtiture : Nhập dữ liệu cho đối tượng điều khiển : Chọn [System Data] ® [Browse]. Trong thẻ Import model for ta chọn các khối G, H, C, F trong hệ thống điều khiển để nhập dữ liệu. + Đối tượng điều khiển (plant) G: Wdt + Cảm biến (sensor) H : H + Bộ lọc (prefilter) : 5. + Khâu hiệu chỉnh C : chưa thiết kế nên để bằng 1. Chọn [Import]®[OK]. Chọn hộp thoại SISO Design for SISO Design Task lúc này xuất hiện các đồ thị đặc tính của hệ thống sau khi được nhập dữ liệu : Quỹ đạo nghiệm số của hệ thống mở ( OL1 ), biểu đồ Bode của hệ thống mở ( có độ dữ trữ pha và dự trữ biên ), biểu đồ Bode của hệ kín ( CL1 ). Để xem đáp ứng quá độ của hệ kín ta chọn [Analsis]® [Response to Step Command]. Ta thấy hệ kín không ổn định. Nháy phải vào một biểu đồ chọn [Add Pole/Zero] ta thấy tất các các khâu hiệu chỉnh thông dụng như hiệu chỉnh sớm pha ( Lead ), trễ pha ( Lag ), sớm trễ pha ( Notch ).. có thể được thiết kế nhờ sự hỗ trợ của SISO Design for SISO Design Task. Bước 4 : Thiết kế bộ điều khiển P, PI, PID Trở lại hộp thoại Control and Estimation Tools Manager ® [Automated Tuning], trong thẻ [Design method] chọn [PID Tuning]. Thẻ Compensator hiện giá trị của bộ điều chỉnh C ( hiện tại bẳng 1 ). Chọn loại của bộ điều khiển : + P : + PI : + PID : + PIDF : * Thiết kế bộ điều khiển P Ta chọn bộ điều khiển P. Chọn thuật toán từ thẻ [Tuning algorithm] : + Singular frequency based tuning : điều chỉnh dựa trên tần số. + Ziegler-Nichols open loop : bộ điều khiển được thiết lập dựa trên mô hình đầu tiên với thời gian chậm trễ xấp xỉ của đối tượng. Phương pháp này sử dụng phương pháp thiết kế Chien-Hrones-Resnick (CHR) với độ quá điều chỉnh 20%. + Ziegler-Nichols closed loop : các thông số của bộ điều khiển được lấy từ bảng tra cứu của Ziegler-Nichols, dựa trên độ lợi giới hạn và tần số của hệ thống. Phương pháp này không áp dụng cho mô hình đầu tiên hoặc mô hình thứ hai của hệ thống với thời gian chậm trễ. Nếu sử dụng phương pháp này cho các trường hợp kể trên thì các thuật toán sẽ tự động điều chỉnh sang phương pháp Ziegler-Nichols open loop. + Internal Model Control (IMC) based tuning : bộ điều khiển được thiết lập từ bộ điều khiển đầy đủ IMC. Ta chọn thuật toán Ziegler-Nichols closed loop. Chọn công thức điều chỉnh từ thẻ [Tuning formula] : ( Lưu ý ở bước này với cách chọn thuật toán ở trên khác nhau thì có các lựa chọn cách thiết kế PID khác nhau ). + Ziegler-Nichols. + Tyreus-Luyben. + Astrom-Hagglund. Ta chọn công thức điều chỉnh của Ziegler-Nichols. Chọn [Update Compensator]. Trên thẻ Compensator hiện giá trị của bộ điều chỉnh C = 0.0095857 Hiệu chỉnh P bằng Ziegler-Nichols + Thời gian quá độ : 517s Ta nhận thấy thời gian quá độ lớn, độ quá điều chỉnh cao vượt quá yêu cầu cho phép vì vậy ta hiệu chỉnh lại thông số của bộ điều khiển. Nhận xét : + Hệ thống đã ổn định. + Độ quá điều chỉnh : 59.5% Chọn C=0.00039879 Ta có đáp ứng quá độ của hệ thống sau khi hiệu chỉnh : Hiệu chỉnh P bằng Internal Model Control + Độ quá điều chỉnh : 1.9% + Thời Sau khi hiệu chỉnh ta có : +Thời gian quá độ : 123s * Thiết kế bộ điều khiển PI : Từ hộp thoại Control and Estimation Tools Manager ® [Automated Tuning], chọn bộ điều khiển PI. Chọn thuật toán Ziegler-Nichols closed loop. Chọn công thức điều chỉnh của Ziegler-Nichols. Chọn [Update Compensator]. Ta thu được kết quả : C= 5.409e -005*1+1.4e+002ss Hiệu chỉnh PI bằng Ziegler-Nichols Nhận xét : + Hệ thống đã ổn định + Độ quá điều chỉnh : 0% + Thời gian quá độ : 1370s Ta hiệu chỉnh lại thông số của bộ điều khiển PI : C=0.00013647*(1+35s)s : Hiệu chỉnh PI bằng Internal Model Control Control Sau khi hiệu chỉnh thì + Độ quá điều chỉnh : 2.05% + Thời gian quá độ : 198s * Thiết kế bộ điều khiển PID : Từ hộp thoại Control and Estimation Tools Manager ® [Automated Tuning], chọn bộ điều khiển PID. Chọn thuật toán Ziegler-Nichols closed loop. Chọn công thức điều chỉnh của Ziegler-Nichols. Chọn [Update Compensator]. Ta thu được kết quả : C= 0.00012982*1+13s(1+76s)s Đáp ứng quá độ của hệ thống Hiệu chỉnh PID bằng Ziegler-Nichols Nhận xét : + Hệ thống ổn định. + Độ quá điều chỉnh : 0.472% + Thời gian quá độ : 586s Ta hiệu chỉnh lại các thông số của bộ điều khiển PID : C=0.00014482× 1+6.65(1+30s)s Đáp ứng quá độ của hệ thống : Hiệu chỉnh PID bằng Internal Model Control Nhận xét : + Hệ thống ổn định. + Độ quá điều chỉnh : 2.03% + Thời gian quá độ : 190s TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Thương Ngô; Lý thuyết tự động thông thường và hiện đại - Quyển 1 hệ tuyến tính; NXB Khoa học và kỹ thuật, Hà Nội, 2005. [2] Nguyễn Văn Hoà; Cơ sở lý thuyết điều khiển tự động; NXB Khoa học và kỹ thuật, Hà Nội, 1998. [3] Phạm Công Ngô; Lý thuyết điều khiển tự động; NXB Khoa học và kỹ thuật, Hà Nội, 1996. [4] Nguyễn Thị Phương Hà; Lý thuyết điều khiển tự động; NXB Khoa học và kỹ thuật, Hà Nội,1999.