Đồ thị hàm số và các bài toán liên quan

. Giả sử ( )1 1 1;A x x + và ( )2 2 1;C x x + thì 2 50AC = ( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 11 1 50x x x x ⇔ − + + − + =     ( ) 2 2 1 25x x⇔ − = ( ) 2 1 2 1 24 25x x x x⇔ + − = ( ) 2 9 1 16 25m⇔ + + = 0 2 m m  =  ⇔  = −   . Bài 24. Tìm các giá trị của m để đường thẳng 2: k d y kx k= + − cắt đồ thị ( ) C của hàm số 2 1 1 x y x + = − tại hai điểm phân biệt A và B sao cho A và B cách đều điểm ( ) 2 1;D − . WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Khảo sát hàm số 18 x y 1 2 -1 3 O 1 Giải k d cắt ( ) C tại hai điểm phân biệt 2 1 2 1 x kx k x + ⇔ = + − − có hai nghiệm phân biệt 2 2 3 0kx kx k⇔ − + − = (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1 ( ) 2 0 3 0 k k k k   ≠  ⇔  ′  ∆ = − − >    0k⇔ > (2) Giả sử ( ) ( )1 1 2 2; , ;A x y B x y là các giao điểm của kd và ( )C . Ta có AD BD= ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 22 3 2 3x kx k x kx k⇔ − + − + = − + − + ( )( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 24 2 6 0x x x x k x x k x x k ⇔ − + − + − + − + =     ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 24 2 6 0x x x x k x x k k ⇔ − + − + + − + =     ( ) ( ) 2 2 1 2 1 24 2 6 0x x k x x k k⇔ + − + + − + = (vì 1 2x x≠ ) 2 22 4 2 2 6 0k k k⇔ − + − + = (do 1 2;x x là nghiệm của phương trình (1) 1 3 k⇔ = (thỏa mãn điều kiện (2)) Dạng toán 5. Các bài toán liên quan đến đồ thị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Bài 25. Từ đồ thị của hàm số ( ) 3 23 3:C y x x= − + hãy vẽ đồ thị của các hàm số sau a. 3 23 3y x x= − + b. 3 23 3y x x= − + c. 3 23 3y x x= − + Giải Trước hết ta vẽ đồ thị ( ) C của hàm số ( ) 3 23 3y f x x x= = − + . a. Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 03 3 0 , , f x f x y x x f x f x   ≥  = − + =   − <    , ( )1C . Do vậy ta vẽ ( )1C như sau
Giữ lại phần đồ thị của ( ) C không nằm bên dưới trục hoành, ta gọi là ( )1 a C .
Lấy đối xứng phần còn lại của ( ) C qua trục Ox, ta gọi là ( )1 b C .
Đồ thị ( )1C gồm có hai phần ( )1 a C và ( )1 b C . b. Ta có ( ) ( ) 3 2 03 3 0 , , f x x y x x f x x   ≥  = − + =   − <    , đồng thời hàm số ( ) f x là hàm chẵn nên đồ thị của nó đối xứng qua trục tung. Do đó ta vẽ đồ thị ( )2C của nó như sau
Giữ lại phần đồ thị của ( ) C không nằm bên trái trục hoành, ta x y -1 2 3 O 1 ( ) C ( )1C WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Khảo sát hàm số 19 gọi là ( )2 a C .
Lấy đối xứng ( )2 a C qua trục tung ta được ( )2 b C .
Đồ thị ( )2C gồm có hai phần ( )2 a C và ( )2 b C . c. Ta vẽ đồ thị ( )3C của hàm số 3 23 3y x x= − + như sau
Từ đồ thị ( ) C của hàm số ( ) 3 23 3:C y x x= − + , ta vẽ đồ thị ( )2C của hàm số 3 23 3y x x= − + .
Từ đồ thị ( )2C , ta vẽ đồ thị ( )3C của hàm số 3 23 3y x x= − + . Bài 26. Cho hàm số ( ) 4 24 3,y x x C= − + . a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số. b. Tìm các giá trị của m để phương trình 4 2 24 3 1 0logx x m− + − + = có 8 nghiệm phân biệt. Giải a. (Học sinh tự khảo sát) b. Ta biến đổi 4 2 24 3 1 0logx x m− + − + = 4 2 24 3 1logx x m⇔ − + = − (1). Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của ( ) 4 2 1 4 3:C y x x= − + và đường thẳng 2 1: logmd y m= − . Vì 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 3 4 3 0 4 3 4 3 4 3 0 , , x x x x x x x x x x   − + − + ≥  − + =   − + − + <    , nên ta vẽ đồ thị ( )1C như sau
Giữ lại phần đồ thị của ( ) C không nằm dưới trục hoành, ta gọi là ( )1 a C .
Lấy đối xứng phần còn lại của ( ) C qua trục hoành, ta được ( )1 b C .
Đồ thị gồm có ( )1 a C và ( )1 b C . x y 1 -1 3 O 1 x y 1 -1 -2 2 3 O 1 x y 1 -1 3 O 1 ( ) C m d ( )1C x y -1 -2 2 3 O 1 WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Khảo sát hàm số 20 Dạng toán 6. Tìm các điểm trên đồ thị hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước Bài 27. Cho hàm số 2 1 1 x y x + = − , ( ) C . Tìm điểm M thuộc ( ) C sao cho a. M có tọa độ nguyên; b. M cách đều hai trục tọa độ; c. Tổng khoảng cách từ M tới hai đường tiệm cận là nhỏ nhất; d. M cách đều gốc tọa độ O và ( ) 2 2 5 2;A + ; e. M có khoảng cách tới 3 2 3 0: x y∆ + − = bằng 3 3 2 . Giải Với ( ) M C∈ bất kỳ, ta có 0 0 0 2 1 1 ; x M x x   +          −   , 0 1x ≠ . a. Điểm M có tọa độ nguyên, tức là 0 0 0 0 2 1 32 1 1 x x x x   ∈    +   = + ∈   − −   ( )0 1 3x⇔ − và 0x ∈ ( ) { }0 1 1 3;x⇔ − ∈ ± ± { }0 2 0 2 4; ; ;x⇔ ∈ − . Vậy có 4 điểm trên ( ) C có tọa độ nguyên là ( )1 2 1;M − ; ( )2 0 1;M − ; ( )3 2 5;M và ( )4 4 3;M . b. Khoảng cách từ điểm M tới các các trục Ox và Oy lần lượt là 0 0 2 1 1 x x + − và 0x . Yêu cầu bài toán 0 0 0 2 1 1 x x x + ⇔ = − ( ) 2 0 0 0 2 0 0 0 3 1 0 3 13 1 0 3 13 x x x x x VN x   − − = = +   ⇔ ⇔   + + =  = −    . Vậy có hai điểm thoản mãn yêu cầu bài toán là 5 4 133 13 3 ;M   +     +         và 6 4 133 13 3 ;M   −     −         . c. Ta có 1 lim x y + → = +∞ và 1 lim x y → − = −∞ nên ( ) C có tiệm cận đứng là 1 1: x∆ = . 2lim x y →+∞ = và 2lim x y →−∞ = nên ( ) C có tiệm cận ngang là 2 2: y∆ = . Khoảng cách từ điểm M lần lượt tới các tiệm cận là ( )1 0 1,d M x∆ = − và ( )2 0 3 1 ,d M x ∆ = − . Khi đó ( ) ( )1 2 0 0 31 1 , ,d M d M x x ∆ + ∆ = − + − 0 0 32 1 2 3 1 . Cosi x x ≥ − = − Đẳng thức xảy ra 0 0 31 1 x x ⇔ − = − 2 0 1 3x⇔ − = 0 0 1 3 1 3 x x  = +  ⇔   = −  . Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là ( )7 1 3 2 3;M + + và ( )8 1 3 2 3;M − − . WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Khảo sát hàm số 21 d. Ta có ( ) 2 4 3 2 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 1 2 5 4 1 1 1 x x x x x MO x x x   + − + + +     = + =      −   − ; ( ) 2 2 0 0 0 2 1 2 2 5 2 1 x MA x x   +     = − − + −      −   ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 2 0 0 0 0 2 0 6 4 5 33 16 5 52 20 5 33 8 5 1 x x x x x − + + + − + + + = − . Khi đó yêu cầu bài toán tương đương với ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 24 3 2 0 0 0 00 0 0 0 2 2 0 0 6 4 5 33 16 5 52 20 5 33 8 52 5 4 1 1 1 x x x x x x x x x x − + + + − + + + − + + + = − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 24 3 2 0 0 0 00 0 0 0 2 2 0 0 6 4 5 33 16 5 52 20 5 33 8 52 5 4 1 1 1 x x x x x x x x x x − + + + − + + + − + + + ⇔ = − − ( ) ( ) ( ) 3 2 0 0 04 4 5 28 16 5 56 20 5 32 8 5 0x x x⇔ + − + + + − − = ( )( ) ( )0 01 2 4 4 5 16 4 5 0x x x   ⇔ − − + − − =     0 0 2 1 3 5 4 x x  =   ⇔ +  =   . Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là ( )9 2 5;M và 10 1 3 5 3 5 4 ;M   +     +         . e. Ta có ( ) 0 20 0 00 2 1 3 2 3 3 31 2 2 . , x x x x x d M + + − − + − ∆ = = . Do đó ( ) 3 3 2 ,d M ∆ = 2 0 0 3 3 3 3 2 2 x x− + ⇔ = ( ) 2 0 0 2 0 0 0 6 3 0 x x x x VN  − =  ⇔  − + =   0 0x⇔ = . Vậy có một điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là ( )11 0 1;M − . Bài 28. Cho hàm số 3 23 2y x x= − − , ( )C . Tìm trên đường thẳng 2:d y = − những điểm mà từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến ( )C . Giải Ta có 23 6y x x′ = − . Gọi ( ) 2;M a d− ∈ bất kỳ. Khi đó, tiếp tuyến ∆ bất kỳ của ( ) C qua M có dạng ( ) 2y k x a= − − . Hoành độ tiếp điểm của ∆ và ( ) C là nghiệm của hệ phương trình ( ) 3 2 2 3 2 2 1 3 6 2 ( ) ( ) ( ) x x k x a x x k   − − = − −  ∗   − =    . WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Khảo sát hàm số 22 Thay (2) vào (1) ta được ( ) ( ) 3 2 23 2 3 6 2x x x x x a− − = − − − ( ) 3 22 3 1 6 0x a x ax⇔ − + + = ( ) 2 0 2 3 1 6 0 3( ) x x a x a  =  ⇔  − + + =   . Từ M có thể kẻ được 3 tiếp tuyến với ( ) C ⇔ ( )∗ có 3 nghiệm phân biệt ⇔ (3) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 ( ) 2 9 1 48 0 6 0 a a a    ∆ = + − >  ⇔   ≠    1 3 3 0 a a a      <      ⇔  >       ≠   . C. CÁC BÀI TẬP VÀ ĐỀ THI  Tính đơn điệu của hàm số 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau a. 2 5 1y x x= − + − b. 3 23 3y x x= − + c. 3 25 7 1y x x x= − + − + d. 4 24 2y x x= − + e. 1 3 2 x y x + = − f. 3 3 2 x y x − = + g. 2 2 1 1 x x y x + + = − h. 2 4y x= − i. 1 3 x y x + = . 2. Tìm các giá trị của m để hàm số a. 3 2 21 1 3 5 3 ( ) ( ) x y m m x x= − + + + + luôn đồng biến. b. 2 3 21 2 3 1 3 ( )y m m x mx x= − + + − luôn nghịch biến. c. 2 3 21 2 1 3 ( )y m m x mx x= + + + + luôn đồng biến. d. 3 21 2 2 1 3 2 3 ( ) ( )f x x x a x a= − + + + − + nghịch biến trên  . e. ( ) ( ) 3 2 21 1 3 5 3 x y m m x x= − + + + + đồng biến trên  . 3. Cho hàm số . Với các giá trị nào của m thì hàm số 2 1 m y x x = + + − đồng biến trên từng khoảng xác định? ( 0m ≤ ) 4. Cho hàm số 3 21 21 2 3 3 3 ( ) ( )y x m x m x= + − + − − . a. Với các giá trị nào của m , hàm số đồng biến trên khoảng 1( ; )+∞ ? 1( )m ≥ b. Với các giá trị nào của m , hàm số đồng biến trên  ? 2( )m = 5. Cho hàm số 2 2 2 x x m y x − + = − , (1) (m là tham số). a. Xác định m để hàm số (1) nghịch biến trên đoạn 1 0[ ; ]− . b. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 1m = . ( ) 9m ≥ 6. Cho hàm số ( ) 3 23 1 4y x x m x m= + + + + . a. Khảo sát và vẽ đồ thi hàm số đã cho ứng với 1m = − . WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Khảo sát hàm số 23 b. Tìm các giá trị của m để hàm số nghịch biến trên ( ) 1 1;− . ( ) 10m < − 7. Cho hàm số ( ) 3 21 2 1 2 3 y x mx m x m= − + − − + . a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho ứng với 2m = . b. Tìm các giá trị của m để hàm số nghịch biến trên ( ) 2 0;− . 1 2 m      < −        8. Cho hàm số 3 23 1y x mx m= − + − . a. Khảo sát và vẽ đồ thi hàm số đã cho ứng với 1m = . b. Tìm các giá trị của m để hàm số nghịch biến trên ( ) 0;−∞ . ( ) 0m ≥ 9. Cho hàm số 3 21 1 3 4 3 ( ) ( )y x m x m x= − + − + + − . a. Khảo sát và vẽ đồ thi hàm số đã cho ứng với 2m = . b. Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến trên ( ) 0 3; . 12 7 m      ≥        10. Tìm các giá trị của m để hàm số 2 2 1 2 1 ( )x m x y x + + + = + đồng biến trên ( ) 0;+∞ . ( ) 0m ≥ 11. Cho hàm số ( ) ( ) ( ) 3 21 2 2 3 1y m x m x m x= − − + + + − . a. Chứng minh rằng hàm số không thể đồng biến trên  . b. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng ( ) 0;−∞ ; ( ) 1m ≥ c. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng ( ) 0;−∞ ; ( ) 3m ≤ − d. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng ( ) 1;−∞ ( ) 1m ≥ e. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng ( ) 4;+∞ ( ) 13m ≥ f. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng ( ) 1 4; ( ) 5 13m− ≤ ≤ 12. Cho hàm số 2 3x x y x m − = − , (1) (m là tham số). a. Khảo sát hàm số (1) khi 1m = − . b. Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên 1[ ; )+∞ . ( ) 1 1m− ≤ < 13. Tìm các giá trị của m để hàm số 2 6 2 2 mx x y x + − = + nghịch biến trên 1[ ; )+∞ . 14 5 ( )m ≤ − 14. Giải các hệ phương trình sau a. 3 2 3 2 3 2 2 2 2 x y y y y z z z z x x x   = + + −    = + + −     = + + −   ; b. 3 2 3 2 3 2 3 3 1 3 3 1 3 3 1 ln( ) ln( ) ln( ) x x x x y y y y y z z z z z x   + − + − + =    + − + − + =     + − + − + =   ; c. 3 2 3 2 3 2 2 2 2 1 4 1 4 1 4 x x y y z z y z x + + +          =                     =                   =              ; d. 3 3 3 6 6 6 sin sin sin y x y z y z x z x    = +       = +       = +     . WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Khảo sát hàm số 24 15. Tìm các giá trị của m để phương trình 4 42 2 2 6 2 6x x x x m+ + − + − = có đúng hai nghiệm thực phân biệt. ( ) 42 6 2 6 3 2 6m+ ≤ ≤ + 16. Cho hàm số 22 2( )f x x x= − . a. Chứng minh rằng f đồng biến trên nửa khoảng 2[ ; )+∞ . b. Chứng minh rằng phương trình 22 2 11x x − = có một nghiệm duy nhất. 17. Tìm các giá trị của m để phương trình 3 6 3 6( )( )x x x x m− + − − − − = có nghiệm. ( ) 9 6 2 3m− + ≤ ≤  Cực trị của hàm số 18. Tìm cực trị các hàm số sau a. 3 22 9 12 3( )f x x x x= − + − b. 3 25 3 4 5( )f x x x x= − + − + c. 3 22 1( )f x x x x= − + − + d. 2 21( ) ( )f x x= − e. 2 2 3 ( ) x f x x + = − f. 2 8 24 2 ( ) x x f x x + − = − g. 2 4 ( ) x f x x = + h. 4( )f x x x= − i. 43 2 ( )f x x x = − + − j. 4 22 1( )f x x x= − + . 19. Tìm cực trị các hàm số sau a. 2 3( ) sin cosf x x x= − trên đoạn 0[ ; ]pi , b. 2 2( ) sin cosf x x x= + trên đoạn 0[ ; ]pi , c. 22 3 2 3( ) sin sinf x x x= + − trên đoạn [ ; ]pi pi− , d. 2( ) sin cosf x x x= + trên đoạn [ ; ]pi pi− . 20. Tìm m để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu a. 3 21 6 2 1 3 ( ) ( )y x mx m x m= + + + − + 2(m b. 3 22 3 5( )y m x x mx= + + + − . 3 2 1( )m− < ≠ < 21. Tìm m để hàm số 3 2 2 21 2 3 1 5 3 ( ) ( )y x m m x m x m= + − + + + + − đạt cực tiểu tại 2x = − . 3( )m = 22. Tìm m để hàm số 3 21 11 3 2 3 3 ( ) ( ) ( )f x mx m x m x= − − + − + đạt cực trị tại 1 2,x x thỏa mãn điều kiện 1 22 1x x+ = . 2(m = hoặc 2 3 )m = 23. Tìm m để hàm số 3 21 1 3 ( )f x x mx mx= − + − đạt cực trị tại 1 2,x x thỏa mãn điều kiện 1 2 8x x− > . 1 65 2 (m − < hoặc 1 65 2 )m + > 24. Tìm m để hàm số 3 2 2 22 1 4 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )f x x m x m m x m= + − + − + − + đạt cực trị tại 1 2,x x thỏa mãn điều kiện 1 2 1 2 1 1 1 2 ( )x x x x + = + . 1(m = hoặc 5)m = WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Khảo sát hàm số 25 25. Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 22 1 4 3 1 3 y x m x m m x= + + + + + − . a. Tìm m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại 1x và 2x ; ( )5 1m− < < − b. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại hai điểm nằm bên phải trục tung; . ( ) 5 3m− < < − c. Tìm m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại 1x và 2x sao cho ( )1 2 1 22A x x x x= − + đạt giá trị lớn nhất. ( ) 4m = − 26. Cho hàm số 4 2 29 10( )y mx m x= + − + , (1) (m là tham số). a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 1m = . b. Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị. 3(m < − hoặc 0 3)m< < 27. Cho hàm số 3 3( )y x m x= − − , (1) (m là tham số). a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 1m = . b. Xác định m để hàm số (1) đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ 0x = . 1( )m = − 28. Cho hàm số 2 2 2 2 2 x x m y x x + + = − + . a. Với giá trị nào của m , hàm số đạt cực đại tại 2x = . ( ) 2m = b. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho ứng với 2m = . 29. Cho hàm số 2 1 x mx y x + = − , (1) (m là tham số). a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 0m = . b. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu. Với giá trị nào của m thì khoảng cách giữa hai điểm cực trị của hàm số (1) bằng 10? 4( )m = 30. Cho hàm số 2 22 1 4 2 ( ) ( ) x m x m m y x m + + + + + = + , (1) (m là tham số). a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 0m = . b. Tìm m để hàm số (1) có cực trị và tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị đó. ( )1 2 4 2M M = 31. Cho hàm số 2 1 1 1 ( )x m x m y x + + + + = + , (1) (m là tham số). a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi 1m = . b. Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị ( m C ) của hàm số (1) luôn luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 20 . 32. Cho hàm số 2 22 1 3x mx m y x m + + − = − , ( m C ) (1) (m là tham số). a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 1m = . b. Tìm m để đồ thị ( m C ) có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung. ( ) 1 1m− < < 33. Cho hàm số 2 2 2 1 x mx y x − + = − , (1) (m là tham số). a. Khảo sát hàm số (1) khi 1m = . b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị ,A B . Chứng minh rằng khi đó đường thẳng AB song song với đường thẳng 2 10 0x y− − = . 3 2 m      <        WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Khảo sát hàm số 26 34. Cho hàm số 3 23 4y x x m= − + , (1) (m là tham số). a. Khảo sát hàm số (1) khi 1m = . b. Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn có hai điểm cực trị. Khi đó xác định m để một trong hai điểm cực trị này thuộc trục hoành. ( 0m = hoặc ) 1m = 35. Cho hàm số 3 22 3 3 11 3( )y x m x m= + − + − . a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho ứng với 3m = . b. Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị đi qua điểm 0 1( ; )A − . ( ) 4m = 36. Cho hàm số 3 23 2 1 3( )y mx mx m x m= − + + + − . a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho ứng với 1m = . b. Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Chứng minh rẳng đường thẳng nối các điểm cực trị luôn đi qua một điểm cố định. ( ) 0 1m m 37. Tìm các giá trị của m để hàm số ( ) ( ) 3 22 3 2 1 6 1 1y x m x m m x= − + + + + đạt cực đại và cực tiểu sao cho 1 CD CT y y+ = . 39. Cho hàm số 4 2 42 2y x mx m m= − + + . a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho ứng với 1m = . b. Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác đều. ( ) 3 3m = 40. Cho hàm số 4 21 1 2( )y mx m x m= + − + − . a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho ứng với 1m = . b. Tìm các giá trị của m để hàm số có đúng một điểm cực trị. ( ) 0 1m m≤ ∨ ≥ 41. Với giá trị nào của m , gốc tọa độ thuộc đường thẳng nối các điểm cực trị của đồ thị hàm số 2 1 1( )x m x m y x m + + − + = − . ( ) 1m = − 42. Cho hàm số 2 8 1 x mx m y x + − + = − , (1) (m là tham số). a. Khảo sát hàm số (1) khi 1m = − . b. Chứng minh rằng đồ thị của hàm số (1) luôn có cực đại và cực tiểu với mọi giá trị m . Tìm giá trị của m để 2 2 72 cd ct y y+ = . ( ) 2m = − 43. Tìm m để hàm số 3 2 23( )f x x x m x m= − + + có cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng 1 5 2 2 y x= − . 0( )m = 44. Tìm m để hàm số 3 21 1 3 y x mx x m= − − + + có khoảng cách giữa các điểm cực đại và cực tiểu là nhỏ nhất. 0( )m = 45. Cho hàm số ( ) ( ) 3 23 3 1 , m y x x m x C= + − − . Tìm các giá trị của m để a. ( ) m C đạt cực trị tại ,A B sao cho ABO∆ vuông tại O; ( ) 1m = b. ( ) m C đạt cực trị tại ,A B nằm khác phía đối với trục hoành; { } 1 1 4 ; \m            ∈ +∞              WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Khảo sát hàm số 27 c. ( ) m C đạt cực trị tại ,A B cách đều đường thẳng 5y = ; ( ) 2m = d. ( ) m C đạt cực trị tại ,A B nằm trên đường thẳng cách gốc tọa độ một khoảng bằng 1; ( ) m ∈ ∅ e. ( ) m C có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị tạo với trục hoành một tam giác có diện tích bằng 1 6 . 12 2 m m      = ∨ =        46. Tìm các giá trị của m để hàm số ( ) 4 3 24 3 1 1y x mx m x= + + + + chỉ có cực tiểu, không có cực đại. { } 1 17 1 17 1 8 8 ; \m       − +     ∈ −                47. Tìm m để hàm số 2 1 1( )x m x m y x m + + − + = − có cực đại và cực tiểu nằm về cùng một phía trục Ox . 3 2 3(m − + 48. Tìm m để hàm số 2 2 1 x mx m y x m + − + = − + có cực tiểu có hoành độ nhỏ hơn 1. 49. Tìm các giá trị của m để đồ thị của hàm số 3 21 2 2 2( ) ( )y x m x m x m= + − + − + + có hai điểm cực trị, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1. 1(m < − hoặc 5 7 4 5 )m< < 50. Tìm các giá trị của m để hàm số 3 2 21 2 5 4 1 3 ( ) ( )y x m x m x m= + − + + + + đạt cực trị tại 1 2,x x thỏa mãn điều kiện 1 21x x< − < . 7 3 2 m      − < < −        51. Tìm các giá trị của m để đồ thị mỗi hàm số sau có hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục hoành a. 3 3 1y mx mx= − + 1 2 m      >        b. 3 22 2 1y x mx m= − + − 3 1 2 2 3 4 m m m                          ≠           52. Cho hàm số 3 2 32 3 2 6 5 1 4 2( ) ( ) ( )y x m x m x m= − + + + − + . Tìm m để đồ thị hàm số có a. Đúng một điểm cực trị có hoành độ lớn hơn 1. 0( )m < b. Hai điểm cực trị có hoành độ nhỏ hơn 2 . 1 0 3 ( )m− < < c. Có ít nhất một điểm cực trị có hoành độ thuộc khoảng 1 1( ; )− . 2 0 3 ( )m− < < d. Có ít nhất một điểm cực trị có hoành độ lớn hơn 9 . 16( )m > e. Có ít nhất một điểm cực trị có hoành độ 4 i x > . 16(m > hoặc 25 9 )m < −  Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 53. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Khảo sát hàm số 28 a. 3 23 9 1y x x x= + − + trên đoạn 4 4[ ; ]− ; b. 2 x y x = + trên nửa khoảng 2 4( ; ]− ; c. 12 1 y x x = + + − trên khoảng 1( ; )+∞ ; d. 2 2 2 1 x y x x + = + + ; e. sin cosy a x b x= + 2 2 0( )a b+ > ; f. 4 2sin cosy x x= + ; g. 1 3 sin cos sin cos x x y x x + − = − + ; h. 2 2 2 2 cos cos x y x = + ; i. 3 26 9 5cos cos cosy x x x= − + + ; j. 3 2 2sin cos siny x x x= − + + ; k. 24y x x= + − ; l. 2 1 1 x y x + = + trên đoạn 1 2[ ; ]− . 54. Chứng minh rằng a. 3 3 5 3 3 5 sin ! ! ! x x x x x x− ; b. 2 2 4 1 1 2 2 4 cos ! ! ! x x x x− < < − + , với mọi 0x ≠ ; c. 2sin tanx x x+ > , với mọi 0 2 ;x pi      ∈        ; d. 1xe x> + , với mọi 0x > ; f. 2 1 2 ln( ) x x x x− < + < , với mọi 0x > ; g. 1sin cosx x x+ > , với mọi 0 2 ;x pi      ∈        .  Tiệm cận của đồ thị hàm số 55. Cho hàm số 4 1 x y x − + = − . a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số đã cho. b. Xác định tọa độ giao điểm E của hai tiệm cận của ( ) C . Chứng minh rằng nếu một đường thẳng d qua E và cắt ( ) C thì số giao điểm là 2 và hai giao điểm đối xứng nhau qua E . Từ đó suy ra E là tâm đối xứng của ( ) C . 56. Cho hàm số 2 1 1 x mx y x + − = − . a. Khảo sát hàm số khi 1m = . b. Với giá trị nào của m thì tiệm cận xiên của hàm số tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4. ( ) 1 2 2m = − ± 57. Cho hàm số 1 2 x y x + = − , ( )C . a. Tìm trên ( )C những điểm có tọa độ nguyên. b. Tìm trên ( )C những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận là nhỏ nhất. ( )1 2 2 3 1 3, ( ; )M ± ± 58. Cho hàm số 1 1 x y x − = + , ( )C . Chứng minh rằng khoảng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên ( )C đến hai đường tiệm cận của ( )C là một hằng số. 59. Cho hàm số 1 1 x y x + = − , ( )C . Tìm tất cả các điểm ( )M C∈ sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm của hai đường tiệm cận của ( )C là ngắn nhất. ( )1 21 2 1 2 1 2 1 2( ; ), ( ; )M M+ + − − WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Khảo sát hàm số 29 60. Tìm trên hai nhánh khác nhau của 4 9 3 ( ) : x C y x − = − các điểm 1 2,M M để độ dài của đoạn thẳng 1 2M M là nhỏ nhất. 61. Tìm trên hai nhánh khác nhau của 2 2 5 1 ( ) : x x C y x − + − = − các điểm 1 2,M M để độ dài của đoạn thẳng 1 2M M là nhỏ nhất.  Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 62. Cho hai hàm số 21 1 4 4 ( )f x x x= − + + và 2 1( )g x x x= − + a. Chứng minh rằng đồ thị ( )P của hàm số f và đồ thị ( )C của hàm số g tiếp xúc nhau tại điểm A có hoành độ 1x = . b. Viết phương trình tiếp tuyến chung ( )d của ( )P và ( )C tại điểm A . c. Chứng minh rằng ( )P nằm phía trên đường thẳng ( )d và ( )C nằm phía trên đường thẳng ( )d . 63. Chứng minh rằng các đồ thị của ba hàm số 2 3 4( )f x x x= − + , 11( )g x x = + và 4 6( )h x x x= − + tiếp xúc nhau tại một điểm. 64. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C của hàm số 3 3 5y x x= − + khi biết a. Hoành độ tiếp điểm là 1 1x = − , 2 2x = . b. Tung độ tiếp điểm là 5 3,y y= = . 65. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C của hàm số 3 23 2 1y x x x= + + + xuất phát từ điểm uốn của ( )C . ( )y x= − 66. Cho hàm số 3 22 3 9 4y x x x= − + − , ( )C . Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại các giao điểm của ( )C với các đồ thị sau a. Đường thẳng ( )d : 7 4y x= + ; b. Parabol ( )P : 2 8 3y x x= − + − . 67. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C : 3 23y x x= − , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 3 y x= . 3 1( )y x= − + 68. Cho hàm số 3 21 2 4 3 y x x x= − + − ( )C . Viết phương trình tiếp tuyến với ( )C , biết tiếp tuyến a. Có hệ số góc 2k = − ; b. Tạo với chiều dương trục Ox một góc 060 ; c. Song song với đường thẳng 2y x= − + ; d. Vuông góc với đường thẳng 2 3y x= + ; e. Tạo với 1 3 2 :d y x= − + một góc 030 ; f. Qua điểm ( ) 0 4;A − . 69. Cho hàm số 3 3 7y x x= − + ( )C . Viết phương trình tiếp tuyến với ( )C , biết tiếp tuyến: a. Có hệ số góc bằng với hệ số góc của đường thẳng 12 2 1 0x y− + = ; b. Song song với đường thẳng 6 1y x= − ; c. Vuông góc với đường thẳng 1 2 9 y x= − + ; d. Tạo với chiều dương Ox một góc 045 ; e. Tạo với đường thẳng 2y = một góc 045 ; f. Tạo với đường thẳng 2 3y x= + một góc 045 ; g. Qua điểm ( ) 1 9;A − . WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Khảo sát hàm số 30 70. Viết phương trình tiếp tuyến với 3 2 1 ( ) : x C y x − = − tạo với trục hoành một góc 045 . 2 6( , )y x y x= − + = − + 71. Cho hàm số 3 7 2 5 x y x − = − + ( )C . Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C , biết tiếp tuyến: a. Song song với đường thẳng 1 1 2 y x= + ; b. Vuông góc với đường thẳng 4y x= − . c. Tạo với đường thẳng 2y x= − một góc 045 ; d. Tạo với đường thẳng y x= − một góc 060 ; 72. Cho hàm số 3 21 1 42 3 2 3 y x x x= + − − , (1). a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1). b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C , biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng d : 4 2y x= + . 264 3 (y x= − và 734 6 )y x= + 73. Cho hàm số 21 2( ) ( )y x x= + − . a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho. b. Xác định các giáo điểm của ( )C với trục hoành và chứng minh ( )C tiếp xúc với trục hoành tại một trong các giao điểm đó. 74. Cho hàm số 2 1 1 x y x − = − , (1). a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1). b. Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của ( )C . Tìm điểm ( )M C∈ sao cho tiếp tuyến của ( )C tại M vuông góc với đường thẳng IM . ( )1 20 1 2 3( ; ), ( ; )M M 75. Cho hàm số 3 21 2 3 3 y x x x= − + , (1). a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1). b. Viết phương trình tiếp tiếp ∆ của ( )C tại điểm uốn và chứng minh rằng ∆ là tiếp tuyến của ( )C có hệ số góc nhỏ nhất. 8 3 y x      = − +        76. Gọi ( ) m C là đồ thị của hàm số 3 21 1 3 2 3 m y x x= − + , (1) (m là tham số). a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 2m = . b. Gọi M là điểm thuộc ( ) m C có hoành độ bằng 1− . Tìm m để tiếp tuyến của ( ) m C tại M song song với đường thẳng 5 0x y− = . 4( )m = 77. Cho hàm số 1 y x x = + , (1). a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1). b. Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C qua 1 7( ; )M − . 15 8(y x= − và 3 4)y x= − + 78. Cho hàm số 2 2 2 1 x x y x + + = + , (1). a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1). b. Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của ( )C . Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của ( )C qua I . WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Khảo sát hàm số 31 79. Cho hàm số 2 1 2 x x y x + + = + , (1). a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1). b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C , biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên của ( )C . ( ) 2 2 5y x= − ± − 80. Cho hàm số 1 1 x y x + = − , (1). a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1). b. Xác định m để đường thẳng d : 2y x m= + cắt ( )C tại hai điểm phân biệt ,A B sao cho các tiếp tuyến của ( )C tại A và B song song với nhau. ( ) 1m = − 81. Cho hàm số 22 1 x mx m y x + + = + , (1) (m là tham số). a. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi 1m = . b. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt ,A B sao cho các tiếp tuyến của đồ thị của hàm số (1) tại A và B vuông góc với nhau. ( ) 4 17m = ± 82. Cho hàm số 3 1y x mx m= − − + , (1) (m là tham số). a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1) khi 1m = . b. Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C , biết tiếp tuyến đó qua điểm 0 2( ; )A . c. Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với trục Ox . 3(m = hoặc 3 4 )m = 83. Cho hàm số 3 23 3 5y x x x= + + + ( )C . a. CMR không tồn tại hai điểm nào trên ( )C để các tiếp tuyến tại đó vuông góc với nhau. b. Tìm k để trên ( )C luôn tồn tại ít nhất một điểm sao cho tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng y kx m= + . 0( )k < 84. Cho hàm số 3 23 1y x x mx= + + + ( ) m C . a. Tìm m để ( ) m C cắt đường thẳng 1y = tại ba điểm phân biệt 0 1( ; ), ,C D E . 90 4 m      ≠ <        b. Tìm m để các tiếp tuyến của ( ) m C tại D và E vuông góc nhau. 9 65 8 m   ±     =         85. Cho hàm số 3 23 2y x x= − + ( )C . a. Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C đi qua 23 2 9 ;A      −        . 5 612 9 25 3 27 , ,y y x y x      = − = − = − −        b. Tìm trên 2:d y = − các điểm kẻ đến ( )C hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. 55 2 27 ;M            −              86. Cho hàm số 3 22 3 5y x x= + − . a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho. b. Chứng minh rằng qua điểm ( ) 1 4;A − có thể kẻ được ba tiếp tuyến phân biệt của ( )C . 87. Cho hàm số 3 26 9 1y x x x= − + − . a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho. WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Khảo sát hàm số 32 b. Từ một điểm bất kỳ trên đường thẳng 2x = , có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến của ( )C . 88. Cho hàm số 3 3 2y x x= − + + ( )C . Tìm trên trục hoành các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị ( )C . ( ) 0 2( ; ,M m m > hoặc 21 3 )m− ≠ < − 89. Cho hàm số 2 1 1 x y x − = − ( )C và điểm ( )M C∈ . Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B . a. Chứng minh rằng M là trung điểm của AB . b. Chứng minh rằng diện tích tam giác IAB là một hằng số. c. Tìm M để chu vi tam giác IAB bé nhất. ( )1 20 1 2 3( ; ), ( ; )M M− 90. Cho hàm số 4 21 53 2 2 y x x= − + . a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho. b. Tìm các điểm thuộc ( )C sao cho tại đó, tiếp tuyến của ( )C có ba điểm chung phân biệt với ( )C . 4 21 53 2 2 ;A x x x      − +        , với ( ) 3 3 1; \ { }x ∈ − ± .  Giao điểm của đường cong và đường thẳng 91. Cho hàm số 31 1 3 ( )y x m x= − + . a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho ứng với 4m = . b. Tìm các giá trị của m để phương trình 3 3 1 0( )x m x− + = có ba nghiệm phân biệt? 9 4 m      >        92. Cho hàm số 4 22 3y x x= − + + . a. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 4 2 4 22 2x x m m− = − . 93. Cho hàm số 3 2( )y x m x m= − + + , m là tham số. a. Tìm m để hàm số đã cho có cực trị tại 1x = − . b. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số ứng với 1m = . c. Biện luận theo k số giao điểm của ( )C với đường thẳng y k= . 94. Cho hàm số 3 2 2 3 23 3 1( )y x mx m x m m= − + + − + − , (1). a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) ứng với 1m = . b. Tìm k để phương trình 3 2 3 23 3 0x x k k− + + − = có 3 nghiệm phân biệt. 1 3( k− < < và 0 2, )k k≠ ≠ c. Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1). ( ) 22y x m m= − + 95. Cho hàm số 4 2 22 2 5 5( )y x m x m m= + − + − + , ( ) m C a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số khi 1m = . b. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( )C và trục hoành. 16 15 S      =        c. Tìm giá trị của m để đồ thị ( ) m C cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. 5 51 2 m   −     < <         96. Cho hàm số 3 23 9y x x x m= − − + . WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Khảo sát hàm số 33 a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số khi 2m = . b. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng. ( ) 11m = 97. Cho hàm số 3 2 23 1 2 4 1 4 1( ) ( ) ( )y x m x m m x m m= + − + − + − − . a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số khi 1m = . b. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng. ( ) 1m ≠ − 98. Cho hàm số 3 2 23 2 4 9( )y x mx m m x m m= − + − + − . a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số khi 1m = . b. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng. ( ) 1m = 99. Cho hàm số 3 2y x mx= + − . a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số khi 3m = . b. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại đúng một điểm. ( ) 3m > − 100. Cho hàm số 2 2 4 2 x x y x − + = − , ( ) C (1). a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). b. Tìm m để đường thẳng 2 2y mx m= + − cắt đồ thị ( ) C tại hai điểm phân biệt. ( ) 1m > 101. Cho hàm số 3 22 3 1y x x= − − , (1). a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1). b. Gọi k d là đường thẳng qua 0 1( ; )M − và có hệ số góc bằng k . Tìm k để đường thẳng k d cắt ( )C tại 3 điểm phân biệt. 9 8 (k > − và 0)k ≠ 102. Cho hàm số 2 3 3 2 1( ) x x y x − + − = − , (1). a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1). b. Tìm m để : m d y m= cắt ( )C tại hai điểm phân biệt ,A B sao cho 1AB = . 1 5 2 m   ±     =         103. Cho hàm số 2 2 1 x y x x = − + + . a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho. b. Chứng minh rằng một tiếp tuyến tùy ý của ( )C luôn tạo với hai tiệm cận của nó thành một tam giác có diện tích không đổi. 104. Cho hàm số 2 1 x y x − = − . a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho. b. Chứng minh rằng với mọi giá trị m , đường thẳng 2 0:d x y m+ + = luôn cắt ( )C tại hai điểm phân biệt. Xác định m để khoảng cách giữa hai giao điểm này nhỏ nhất. 105. Cho hàm số 3 3 2y x x= − + , (1). a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1). WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Khảo sát hàm số 34 b. Gọi m d là đường thẳng qua 3 20( ; )A và có hệ số góc là m . Tìm m để m d cắt ( )C tại 3 điểm phân biệt. 15 4 (m > và 24)m ≠ 106. Cho hàm số 2 4 1 x x y x − + = − . a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số. b. Tìm a để đường thẳng y a= cắt ( )C tại hai điểm phân biệt? 3(a 107. Cho hàm số 2 x x m y x m − + + = + , ( ) m C với m là tham số khác 0. a. Khảo sát và vẽ đồ thị 2( )C của hàm số khi 2m = . b. Tìm m để tiệm cận xiên của ( ) m C đi qua điểm 3 0( ; )A . c. Với giá trị nào của m thì ( ) m C cắt đường thẳng d : 1y x= − tại hai điểm phân biệt? 6 4 2(m − + và 0)m ≠ 108. Cho hàm số 3 2 x y x + = + , (1). a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1). b. Chứng minh rằng đường thẳng 1 2 y x m= − cắt ( )C tại 2 điểm phân biệt ,A B . Xác định m sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất. ( ) 2m = − 109. Cho hàm số 12 2 y x x = + + + , (1). a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1). b. Tìm m để đường thẳng y m= cắt đồ thị ( )C tại hai điểm phân biệt sao cho khoảng cách giữa chúng bằng 12 . ( ) 4m = ± 110. Cho hàm số 2 1 mx x m y x + + = − , ( ) m C (1). a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 1m = − . b. Tìm m để ( ) m C cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương. 1 0 2 m      − < <        111. Cho hàm số 21( )( )y x x mx m= − + + , ( ) m C (1) (m là tham số). a. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi 4m = . b. Tìm m để ( ) m C cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. 0(m và 1 2 )m ≠ − 112. Cho hàm số 3 23y x x m= − + , ( ) m C (1) ( m là tham số). a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 2m = . b. Tìm m để ( ) m C có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ. ( ) 0m > 113. Cho hàm số 2 1 x x m y x + − = − , (1). a. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi 1m = . b. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm ,A B phân biệt và các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại ,A B vuông góc với nhau. WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Khảo sát hàm số 35 114. Cho hàm số 3 2 23 1 2 4 1 4 1( ) ( ) ( )y x m x m m x m m= − + + + + − + ( ) m C . Tìm m để ( ) m C cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1. 1 1 2 m      < ≠        115. Cho hàm số 3 2 2 22 2 1 1( ) ( )y x mx m x m m= − + − + − ( ) m C . Tìm m để ( ) m C cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương. 21 3 m      < <        116. Cho hàm số 3 2 2 23 3 1 1( )y x mx m x m= − + − − + ( ) m C . Tìm m để ( ) m C cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương. ( ) 3 1 2m< < + 117. Cho hàm số 3 23 3 1 1 3( )y x x m x m= − + − + + ( ) m C . Tìm m để ( ) m C cắt trục hoành tại 1 điểm, 2 điểm, 3 điểm phân biệt.  Điểm cố định của đường cong 118. Cho hàm số 1mx y x m − = − , 1m ≠ ± ( ) m C . a. Chứng minh rằng với mọi 1m ≠ ± , đường cong ( ) m C luôn đi qua hai điểm cố định ,A B . b. Gọi M là giao điểm của hai đường tiệm cận của ( ) m C . Tìm tập hợp các điểm M khi m thay đổi. 119. Cho hàm số 3 23 3 2 1 1( )y x mx m x= − + − + , ( ) m C . a. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m , ( ) m C và đường thẳng m d : 2 4 3y mx m= − + luôn có một điểm chung cố định. b. Tìm các giá trị của m sao cho m d cắt ( ) m C tại ba điểm phân biệt. c. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số với 1m = . 120. Cho hàm số 3 21 2 1 2( ) ( )y x m x m x m= + − − + + − , ( ) m C . a. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m , ( ) m C luôn đi qua một điểm cố định. b. Chứng minh rằng mọi đường cong ( ) m C tiếp xúc với nhau tại một điểm. Viết phương trình tiếp tuyến chung của các đường cong ( ) m C tại điểm đó. 121. Cho hàm số 3 2 9 9y x mx x m= + − − . a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho ứng với 3m = . b. Chứng minh rằng với mọi giá trị m , đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định. Với giá trị nào của m , trục hoành là một tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho ? ( ) 3m = ± 122. Cho hàm số 31 2 1 1( ) ( )y m x m x m= + − + − + . a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho ứng với 1m = . ` b. Chứng minh rằng với mọi giá trị m , đồ thị hàm số luôn đi qua ba điểm cố định thẳng hàng.  Xác định điểm trên đường cong 123. Cho hàm số 2 3 x y x + = − . a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C hàm số đã cho. b. Tìm các điểm ( )M C∈ sao cho cách đều hai đường tiệm cận của ( )C . ( ) 3 5 1 5;M ± ± 124. Cho hàm số 2 2 x y x − = + . WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Khảo sát hàm số 36 a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C hàm số đã cho. b. Tìm các điểm ( )M C∈ sao cho tổng khoảng cách từ M tới Ox và Oy là nhỏ nhất. ( ) 0 1( ; )M − 125. Cho hàm số 2 1 x y x − = − . a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C hàm số đã cho. b. Tìm các điểm ( )M C∈ sao cho M cách đều hai điểm 0 0( ; )O và 2 2( ; )A . ( )1 20 2 2 0( ; ), ( ; )M M 126. Cho hàm số 3 21 113 3 3 y x x x= − + + − , (1). a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1). b. Tìm trên ( )C hai điểm phân biệt ,M N đối xứng nhau qua trục tung. 1 2 16 163 3 3 3 ; , ;M M                 −                     127. Cho hàm số 2 2 2 1 x x y x − + = − , (1). a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1). b. Tìm trên ( )C hai điểm ,A B sao cho A và B đối xứng nhau qua đường thẳng 4 0x y− + = . 7 23 15 23 7 23 15 23 2 2 2 2 ; , ;A B         − +  + −                                   128. Tìm 2 1 , ( ) : x A B C y x ∈ = − đối xứng nhau qua 1:d y x= − . 1 1 1 11 1 2 2 2 2 ; , ;A B                 − − − −                      129. Cho đồ thị 2 2 2 ( ) : x x C y x + − = − . Viết phương trình đồ thị ( )C ′ đối xứng với ( )C qua đường thẳng 2y = . 2 3 6 2 x x y x   − + −    =      −   130. Viết phương trình đồ thị ( )C ′ đối xứng với ( )C : 22 3 7 1 x x y x − + = − qua đường thẳng 2x = . 22 13 17 3 x x y x   − +    =      −   131. Cho hàm số 2 5 4 2 x x y x − + = − , (1). a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1). b. Tìm trên ( )C các điểm có tọa độ nguyên. 132. Cho hàm số 1 x y x = + , (1). a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C hàm số (1). b. Tìm trên ( )C các điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 3 4 0x y+ = bằng 1. WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Khảo sát hàm số 37 1 2 3 4 1 61 9 61 9 21 1 21 6 2 6 2, , ; , ;M M         ±  ± −                                   ∓ ∓ 133. Cho hàm số 2 1 1 x x y x + − = − , (1). a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1). b. Tìm các điểm trên ( )C mà tiếp tuyến tại mỗi điểm ấy với đồ thị ( )C vuông góc với đường thẳng qua hai điểm cực trị. 1 2 2 5 2 51 3 1 3 3 36 6 ; , ;M M                   − − + +                          134. Cho hàm số 2 1 1 x y x − = − , (1). a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1). b. Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của ( )C . Tìm trên ( )C điểm M sao cho tiếp tuyến của ( )C tại M vuông góc với đường thẳng IM . ( )1 20 1 2 3( ; ), ( ; )M M 135. Tìm trên 3 4 2 1 ( ) : x C y x + = − các cặp điểm đối xứng với nhau qua điểm ( ) 1 1;I . ( ) ( ) ( ) 1 3 1 3 1 3 1 3; , ;A B− − + +  Hàm số chứa dấu GTTĐ 136. Cho hàm số 3 3 1( )y f x x x= = − − , (1). a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1). b. Từ đồ thị ( )C , hãy suy ra đồ thị 1( )C của hàm số 3 3 1y x x= − − . c. Từ đồ thị ( )C , hãy suy ra đồ thị 2( )C của hàm số 3 3 1y x x= − − . d. Từ đồ thị ( )C , hãy suy ra đồ thị 3( )C của hàm số 3 3 1y x x= − − . 137. Cho hàm số 2 3 3 2 x x y x − + = − , (1). a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1). b. Từ đồ thị ( )C , hãy suy ra đồ thị 1( )C của hàm số 2 3 3 2 x x y x − + = − . 138. Cho hàm số 2 1 1 x x y x + + = + , (1). a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1). b. Với các giá trị nào của m , thì phương trình 2 1 1 x x m x + + = + có 4 nghiệm phân biệt? 3( )m > 139. Cho hàm số 4 24 3y x x= − + , (1). a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1). b. Tìm m để phương trình 4 24 3 2 1 0x x m− + + − = có 8 nghiệm phân biệt. 10 2 m      < <        140. Cho hàm số 3 22 9 12 4y x x x= − + − , (1). a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Khảo sát hàm số 38 b. Tìm m để phương trình sau 3 22 9 12x x x m− + = có 6 nghiệm phân biệt. ( ) 4 5m< < 141. Cho hàm số 2 1 1 x y x + = − . a. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. b. Tìm các giá trị của m để phương trình 2 1 1 0x m x− − + = có hai nghiệm. 142. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 2 3 1( )x x m+ = + . 143. Cho hàm số 2 1 1 x y x + = − . a. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 2 1 1 0x m x− − + = . 144. Cho hàm số 3 23 6y x x= − − . a. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3 21 12 0 3 3 m x x + − − − = . 145. Cho hàm số 2 1 1 x x y x + + = + . a. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 2 1 1 0( )x m x m+ − + − = .  Đề thi các năm gần đây 1. Cho hàm số 2 22 1 4 2 ( )x m x m m y x + + + + = + , (1) ( m là tham số). a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 1m = − . b. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác vuông cân tại O . ( ) 4 2 6m = − ± (ĐH A_2007) 2. Cho hàm số 2 23 2 2 3 ( )mx m x y x m + − − = + , (1) (m là tham số). a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 1m = . b. Tìm m để góc giữa hai đường tiệm cận của hàm số (1) bằng 045 . 1( )m = ± (ĐH A_2008) 3. Cho hàm số 2 2 3 x y x + = + , ( ) C (1). a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). b. Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) C , biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt ,A B sao cho tam giác OAB vuông cân tại O . ( 2y x= − − )(ĐH A_2009) 4. Cho hàm số 3 22 1( )y x x m x m= − + − + , (1) (m là tham số). a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi 1m = . b. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ 1 2 3, ,x x x thỏa điều kiện 2 2 2 1 2 3 4x x x+ + < . 1 1 0 4 m m      − < < ∧ ≠        (ĐH A_2010) 5. Cho hàm số 1 2 1 x y x − + = − . a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho. WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Khảo sát hàm số 39 b. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y x m= + luôn cắt ( )C tại hai điểm phân biệt A và B . Gọi 1k và 2k lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến tại A và B . Tìm m để tổng 1 2k k+ đạt giá trị lớn nhất. ( ) 1m = − (ĐH A_2011) 6. Cho hàm số 3 2 2 23 3 1 3 1( )y x x m x m= − + + − − − , (1) (m là tham số). a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 1m = . b. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của hàm số (1) cách đều gốc tọa độ O . 1 2 m      = ±        (ĐH B_2007) 7. Cho hàm số 3 24 6 1y x x= − + , (1). a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm 1 9( ; )M − − . (ĐH B_2008) 8. Cho hàm số 4 22 4y x x= − , (1). a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). b. Với các giá trị nào của m , phương trình 2 2 2x x m− = có 6 nghiệm thực phân biệt? 0 1( )m< < (ĐH B_2009) 9. Cho hàm số 2 1 1 x y x + = + , ( )C . a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho. b. Tìm m để đường thẳng 2y x m= − + cắt ( )C tại hai điểm phân biệt ,A B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3 . 2( )m = ± (ĐH B_2010) 10. Cho hàm số ( ) 4 22 1y x m x m= − + + (1) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 1m = . b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị , ,A B C sao cho OA BC= , trong đó O là gốc tọa độ, A là cực trị thuộc trục tung và ,B C là hai cực trị còn lại. ( ) 2 2 2m = ± (ĐH B_2011) 11. Cho hàm số 2 1 x y x = + , (1). a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1). b. Tìm ( )M C∈ sao cho tiếp tuyến của ( )C tại M cắt các trục ,Ox Oy lần lượt tại các điểm ,A B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 1 4 . ( )1 2 1 2 1 1 2 ; , ;M M            − −              (ĐH D_2007) 12. Cho hàm số 3 23 4y x x= − + , (1). a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1). b. Chứng minh rằng mọi đường thẳng qua điểm 1 2( ; )I với hệ số góc k ( 3k > − ) đều cắt ( )C tại 3 điểm phân biệt , ,A I B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB . (ĐH D_2008) 13. Cho hàm số 4 23 2 3( )y x m x m= − + + có đồ thị ( ) m C (m là tham số). a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi 0m = . b. Tìm m để đường thẳng 1y = − cắt đồ thị ( ) m C tại 4 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2. 1 1 0 3 ( , )m m− < < ≠ (ĐH D_2009) 14. Cho hàm số 4 2 6y x x= − − + , ( )C . WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Khảo sát hàm số 40 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho. b. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 1 6 y x= − . 6 10( )y x= − + (ĐH D_2010) 15. Cho hàm số 2 1 1 x y x + = + . a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số đã cho. b. Tìm k để đường thẳng 2 1y kx k= + + cắt đồ thị ( ) C tại hai điểm phân biệt ,A B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau. ( ) 3k = − (ĐH D_2011) WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com