Giới thiệu một số kết quả về bài toán điều khiển H1 cho hệ không ôtônôm không có trễ và có trễ với giả thiết điều khiển được

o trước. Khi đó ứng với mỗi điều khiển chấp nhận được u(t), bài toán Cauchy của hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.3) luôn có nghiệm x(t, x0, u) tại thời điểm t được cho bởi x(t, x0, u) = U(t, 0)x0 + ∫ t 0 U(t, s)B(s)u(s)ds, t ≥ 0 trong đó U(t, s) là ma trận nghiệm cơ bản của hệ tuyến tính thuần nhất: x˙(t) = A(t)x(t), t ≥ 0. Định nghĩa 1.2.1: Cho hai trạng thái x0, x1 ∈ Rn, cặp (x0, x1) được gọi là điều khiển được sau thời gian t1 > 0, nếu tồn tại điều khiển chấp nhận được u(t) sao cho nghiệm x(t, x0, u) của hệ thoả mãn điều kiện x(0, x0, u) = x0, x(t1, x0, u) = x1. Định nghĩa 1.2.2: Hệ [A(t), B(t)] gọi là điều khiển được hoàn toàn về 0 nếu với bất kì trạng thái x0 ∈ Rn, tồn tại một thời gian t1 > 0 sao cho (x0, 0) là điều khiển được sau thời gian t1. Hay nói cách khác tồn tại T > 0 sao cho:∫ T 0 U(T, s)B(s)BT (s)UT (T, s)ds > 0. Trước tiên chúng ta xét kết quả cơ sở đầu tiên về tính điều khiển được của hệ tuyến tính dừng dạng x˙(t) = Ax(t) +Bu(t), t ≥ 0, (1.4) 12 trong đó x(t) ∈ Rn, u(t) ∈ Rm, A,B là các ma trận hằng có số chiều tương ứng. Định lý 1.2.3: (Tiêu chuẩn hạng Kalman) Hệ tuyến tính dừng (1.4) là điều khiển được hoàn toàn về 0 khi và chỉ khi rank[B,AB, ..., An−1B] = n. Như vậy để xét tính điều khiển được của một hệ tuyến tính dừng (1.4), ta chỉ cần xác lập ma trận [B,AB, ..., An−1B]−(nìm), sau đó kiểm tra hạng của nó là đủ. Ma trận này được gọi là ma trận điều khiển được, kí hiệu là [A/B]. Ví dụ 1.2.4: Xét tính điều khiển được của hệ x˙1 = −2x1 + 2x2 + u x˙2 = x1 − x2. Ta có A = −2 2 1 −1  B = 1 0  . Vì rank[A/B] = rank 1 −2 0 1  = 2 nên hệ đã cho là điều khiển được hoàn toàn về 0. Bên cạnh đó chúng ta có thể kiểm tra được tính điều khiển được hoàn toàn cho hệ tuyến tính không dừng dưới dạng điều kiện Kalman. Định lý 1.2.5: [2] Giả sử các ma trận A(t), B(t) là các hàm giải tích trên [t0,∞). Hệ (1.3) là điều khiển được hoàn toàn về 0 khi và chỉ khi ∃t1 ∈ [t0,∞) : rank[M0(t1),M1(t1), ...,Mn(t1)] = n, trong đó M0(t) = B(t), 13 Mk+1(t) = −A(t)Mk(t) + d dt Mk(t), k = 0, 1, ..., n− 1. Chú ý rằng nếu hệ là dừng, tức là các ma trận A(.), B(.) là hằng số, thì các điều kiện Kalman trong hai định lý 1.2.3 và 1.2.5 là đồng nhất. Ví dụ 1.2.6: Xét hệ (1.3) trong đó A(t) = 12 cos t 0 0 −12 sin t  , B(t) = e− sin t 0 0 e− cos t  . Ta có M0(t) = B(t) = e− sin t 0 0 e− cos t  , M1(t) = −A(t)B(t) + d dt M0(t) = −32 cos te− sin t 0 0 32 sin te − cos t  . Vì ma trận [M0(t),M1(t)] có hạng bằng 2 với mọi t > t0 = 0 nên theo định lý 1.2.5, hệ [A(t), B(t)] là điều khiển được hoàn toàn về 0. Định nghĩa 1.2.7: [9] Hệ [A(t), B(t)] gọi là điều khiển được đều hoàn toàn nếu tồn tại N > 0, c1, c2, c3, c3, c4 > 0 sao cho với mọi t ∈ R+: i) c1I ≤ W (t, t+N) ≤ c2I ii) c3I ≤ U(t, t+N)W (t, t+N)U(t, t+N) ≤ c4I trong đó W (t, t+N) = ∫ t+N t U(N, s)B(s)B T (s)UT (N, s)ds. 14 1.3 Bài toán ổn định hoá Xét hệ điều khiển mô tả bởi hệ phương trình vi phân x˙(t) = f(t, x(t), u(t)), t ≥ 0 x(t) ∈ Rn, u(t) ∈ Rm. (1.5) Định nghĩa 1.3.1: Hệ (1.5) gọi là ổn định hoá được nếu tồn tại hàm h(x) : Rn → Rm sao cho với hàm điều khiển này hệ phương trình vi phân x(t) = f(t, x(t), h(x(t))), t ≥ 0, là ổn định tiệm cận. Hàm h(x) thường gọi là hàm điều khiển ngược. Trường hợp hệ (1.5) là hệ tuyến tính x˙ = Ax+Bu thì hệ là ổn định hoá được nếu tồn tại ma trận K sao cho ma trận (A+BK) là ổn định. Định lý 1.3.2: Hệ tuyến tính (1.5) là ổn định hoá được nếu nó là điều khiển được hoàn toàn về 0. Ví dụ 1.3.3: Xét hệ điều khiển tuyến tính (1.5) trong đó A = −1 0 0 0  , B = 1 0  . Ta có hệ x˙ = Ax là ổn định, do đó hệ đã cho là ổn định hoá được với K = 0. Tuy nhiên hệ không là GNC vì rank[A/B] = 1 < 2. Ví dụ trên chỉ ra rằng nếu hệ là ổn định hoá được thì hệ đó chưa chắc đã là GNC. Do đó phần đảo của định lý 1.3.2 không đúng. 15 Trường hợp hệ (1.5) là hệ phi tuyến, ta có định lý sau: Định lý 1.3.4: Xét hệ điều khiển phi tuyến (1.5). Giả sử tồn tại hàm V (t, x) và hàm véctơ h(x) : Rn → Rm sao cho i) V (t, x) xác định dương ii) Tồn tại γ(.) ∈ K : ∂V ∂x f(x, h(x)) ≤ −γ(‖x‖), ∀x ∈ Rn \ 0. Khi đó hệ là ổn định hoá được với điều khiển ngược u(t) = h(x(t)). Ví dụ 1.3.5: Xét tính ổn định hoá được của hệ phi tuyến x˙1 = x2 − x31 − u31 x˙2 = −x1 − x32 − u32 Xét các hàm V (x1, x2) = x 2 1 + x 2 2, a(t) = γ(t) = t 2, b(t) = 2t2, u = h(x) = x với u = (u1, u2), x = (x1, x2). Ta có V (0, 0) = 0, a(‖(x1, x2)‖ ≤ V (x1, x2) ≤ b(‖(x1, x2)‖) và ∂V ∂x f(x, h(x)) = 2x1.x˙1 + 2x2.x˙2 = −4x41 − 4x42 ≤ −x21 − x22 = −γ(‖(x1, x2)‖, ∀(x1, x2) ∈ R2. Do đó hệ đã cho là ổn định hoá được với điều khiển ngược u(t) = h(x(t)) = x(t). 16 1.4 Bài toán điều khiển H∞ Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm x˙(t) = A(t)x(t) +B(t)u(t) +B1(t)ω(t), t ≥ 0, z(t) = C(t)x(t) +D(t)u(t), t ≥ 0, (1.6) x(0) = x0, x0 ∈ Rn, trong đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái, u(t) ∈ Rm là hàm điều khiển, ω(t) ∈ Rr là biến nhiễu, z(t) ∈ Rl là hàm quan sát, A(t) ∈ Rnìn, B(t) ∈ Rnìm, B1(t) ∈ Rnìr, C(t) ∈ Rlìn, D(t) ∈ Rlìm là các hàm ma trận liên tục cho trước trên R+. Hàm nhiễu ω(t) là chấp nhận được nếu ω ∈ L2([0,∞),Rr). Định nghĩa 1.4.1: [9] Cho γ > 0. Bài toán điều khiển H∞ cho hệ (1.6) là bài toán tìm điều khiển ngược u(t) = K(t)x(t) thỏa mãn các điều kiện sau: (i) Với ω = 0, mọi nghiệm của hệ đóng x˙(t) = [A(t) +B(t)K(t)]x(t) (1.7) ổn định tiệm cận Lyapunov; (ii) Tồn tại c0 > 0 sao cho sup ∫∞ 0 ‖z(t)‖2dt c0‖x0‖2 + ∫∞ 0 ‖ω(t)‖2dt ≤ γ (1.8) với supremum trên mọi giá trị ban đầu x0 ∈ Rn và mọi hàm nhiễu khác không ω ∈ L2([0,∞),Rr). Định nghĩa 1.4.2: [7] Cho γ > 0. Bài toán điều khiển H∞ bền vững cho hệ (1.6) là bài toán tìm điều khiển ngược u(t) = K(t)x(t) thỏa mãn các điều kiện sau: (i) Mọi nghiệm của hệ đóng x˙(t) = [A(t) +B(t)K(t)]x(t) +B1(t)ω(t) (1.9) 17 thuộc L2([0,∞),Rn) với mọi nhiễu chấp nhận được ω(t); (ii) Tồn tại c0 > 0 sao cho sup ∫∞ 0 ‖z(t)‖2dt c0‖x0‖2 + ∫∞ 0 ‖ω(t)‖2dt ≤ γ (1.10) với supremum trên mọi giá trị ban đầu x0 ∈ Rn và mọi hàm nhiễu khác không ω ∈ L2([0,∞),Rr). 1.5 Một số bổ đề bổ trợ Bổ đề 1.5.1: [7] (Bất đẳng thức ma trận Cauchy) Cho Q, S là hai ma trận đối xứng và S > 0, khi đó 2〈Qy, x〉 − 〈Sy, y〉 ≤ 〈QS−1QTx, x〉, ∀x, y ∈ Rn. Bổ đề 1.5.2: Với mọi ma trận đối xứng xác định dương W ∈ Rnìn, vô hướng ν ≥ 0 và hàm véctơ ω : [0, ν]→ Rn sao cho các tích phân có liên quan đều xác định, ta có(∫ ν 0 ω(s)ds )T W (∫ ν 0 ω(s)ds ) ≤ ν ∫ ν 0 ωT (s)Wω(s)ds. Bổ đề 1.5.3: [7] Với bất kì ma trận A(t) bị chặn trên R+, tồn tại Q ∈ BM+(0,∞) thoả mãn Q(t)− A(t) ≥ 0. Kết hợp với hệ điều khiển (1.3), xét phương trình vi phân Riccati P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t)− P (t)B(t)BT (t)P (t) +Q(t) = 0 (1.11) ta có một số bổ đề sau: Bổ đề 1.5.4: [7] Giả sử A(t), B(t) bị chặn trên R+. Nếu hệ [A(t), B(t)] là điều khiển được hoàn toàn về 0 thì với bất kì ma trận Q ∈ BM+(0,∞), phương trình vi phân Riccati (1.11) có nghiệm P ∈ BM+(0,∞). 18 Bổ đề 1.5.5: [9] Nếu hệ [A(t), B(t)] là điều khiển được đều hoàn toàn thì khẳng định sau luôn đúng: Phương trình Riccati vi phân (1.11), trong đó Q(t) = I , có nghiệm P ∈ M(Rn+) bị chặn đều trên và dưới, tức là tồn tại β1, β2 ≥ 0 thoả mãn β1 ≤ ‖P (t)‖ ≤ β2, ∀t ∈ R+. 19 Chương 2 Một số kết quả về bài toán điều khiển H∞ cho hệ tuyến tính không ôtônôm với giả thiết điều khiển được Phần đầu chương 2, luận văn trình bày kết quả giải được của bài toán điều khiển H∞ cho hệ phương trình vi phân không ôtônôm không có trễ dựa trên mối quan hệ giữa tính điều khiển được đều hoàn toàn và sự tồn tại nghiệm của phương trình Riccati vi phân. Tiếp đó đưa ra một số kết quả mở rộng trong [7] về bài toán điều khiển H∞ bền vững cho hệ tuyến tính không ôtônôm có trễ hằng trên biến trạng thái với các giả thiết về điều khiển được nhẹ hơn. 2.1 Tính điều khiển được và điều khiển H∞ cho hệ tuyến tính liên tục không ôtônôm Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm x˙(t) = A(t)x(t) +B(t)u(t) +B1(t)ω(t), t ≥ 0, z(t) = C(t)x(t) +D(t)u(t), t ≥ 0, (2.1) x(0) = x0, x0 ∈ Rn, 20 trong đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái, u(t) ∈ Rm là hàm điều khiển, ω(t) ∈ Rr là biến nhiễu, z(t) ∈ Rl là hàm quan sát, A(t) ∈ Rnìn, B(t) ∈ Rnìm, B1(t) ∈ Rnìr, C(t) ∈ Rlìn, D(t) ∈ Rlìm là các hàm ma trận liên tục cho trước trên R+. Hàm nhiễu ω(t) là chấp nhận được nếu ω ∈ L2([0,∞),Rr). Xét hệ (2.1) với các hàm ma trận B1(t), C(t) liên tục bị chặn trên [0,∞) và giả thiết DT (t)[C(t), D(t)] = [0, I], ∀t ≥ 0 (2.2) để giảm sự phức tạp khi đánh giá các điều kiện. Ta có định lý sau: Định lý 2.1.1: Giả sử hệ [A(t), B(t)] là điều khiển được đều hoàn toàn. Bài toán điều khiển H∞ cho hệ (2.1) có lời giải nếu tồn tại P ∈ M(Rn+) thoả mãn phương trình vi phân Riccati (RDE) P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t) −P (t)[B(t)BT (t)− 1 γ B1(t)B T 1 (t) ] P (t) + I = 0, (2.3) và hàm điều khiển ngược là u(t) = −BT (t)P (t)x(t), t ≥ 0. Chứng minh. Giả sử hệ [A(t), B(t)] là điều khiển được đều hoàn toàn, theo bổ đề 1.5.5, phương trình RDE (2.3) có nghiệm P (t) ∈ M(Rn+) thoả mãn điều kiện β1 ≤ ‖P (t)‖ ≤ β2, ∀t ∈ R+. Với hàm điều khiển ngược u(t) = −BT (t)P (t)x(t) và hệ đóng với ω = 0: x˙(t) = [A(t)−B(t)BT (t)P (t)]x(t) xét hàm Lyapunov dạng sau V (t, x) = 〈P (t)x, x〉. 21 Ta có β1‖x(t)‖ ≤ V (t, x(t)) ≤ β2‖x(t)‖. Lấy đạo hàm của V (.) dọc theo nghiệm của hệ đóng, với ω = 0, ta có V˙ (t, x(t)) = 〈P˙ (t)x(t), x(t)〉+ 2〈P (t)x(t), x˙(t)〉 = −‖x(t)‖2 − 〈P (t)B(t)BT (t)P (t)x(t), x(t)〉 −1 γ 〈P (t)B1(t)BT1 (t)P (t)x(t), x(t)〉 − 〈CT (t)C(t)x(t), x(t)〉 ≤ −‖x(t)‖2 bởi vì 〈P (t)B(t)BT (t)P (t)x(t), x(t)〉 ≥ 0 〈P (t)B1(t)BT1 (t)P (t)x(t), x(t)〉 ≥ 0 〈CT (t)C(t)x(t), x(t)〉 ≥ 0, ∀t ≥ 0. Vậy theo Định lý 1.1.3, hệ đóng với ω = 0 là ổn định tiệm cận. Tiếp theo chúng ta chứng minh điều kiện (1.8) của với mọi giá trị ban đầu x0 ∈ Rn và hàm nhiễu chấp nhận được ω(t). Ta có V˙ (t, x(t)) = −‖x(t)‖2 − 〈P (t)BT (t)B(t)P (t)x(t), x(t)〉 −1 γ 〈P (t)BT1 (t)B1(t)P (t)x(t), x(t)〉 − 〈CT (t)C(t)x(t), x(t)〉 +2〈P (t)B1(t)ω(t), x(t)〉 Hơn nữa, với u(t) = −BT (t)P (t)x(t) và điều kiện (2.2) có ‖z(t)‖2 = 〈CT (t)C(t)x(t), x(t)〉+ 〈P (t)B(t)BT (t)P (t)x(t), x(t)〉. Do đó ∫ ∞ 0 [‖z(t)‖2 − γ‖ω(t)‖2]dt ≤ ∫ ∞ 0 [‖z(t)‖2 − γ‖ω(t)‖2 + V˙ (t, x(t))]dt− ∫ ∞ 0 V˙ (t, x(t))dt 22 ≤ ∫ ∞ 0 [ − ‖x(t)‖2 − 1 γ 〈P (t)BT1 (t)B1(t)P (t)x(t), x(t)〉 +2〈P (t)B1(t)ω(t), x(t)〉 − γ‖ω(t)‖2 ] dt+ 〈P (0)x0, x0〉. Sử dụng bổ đề (1.5.1) ta có 2〈P (t)B1(t)ω(t), x(t)〉 − γ‖ω(t)‖2 ≤ 1 γ 〈P (t)B1(t)BT1 (t)P (t)x(t), x(t)〉. Khi đó ∫ ∞ 0 [‖z(t)‖2 − γ‖ω(t)‖2]dt ≤ 〈P (0)x0, x0〉 ≤ ‖P (0)‖‖x0‖2. Vậy sup ∫∞ 0 ‖z(t)‖2dt c0‖x0‖2 + ∫∞ 0 ‖ω(t)‖2dt ≤ γ với c0 = ‖P (0)‖ γ > 0 vì ‖P (0)‖ > β1 > 0, supremum lấy trên x0 ∈ Rn và hàm nhiễu chấp nhận được ω ∈ L2([0,∞),Rr). Do đó theo định lý 1.4.1, bài toán điều khiển H∞ cho hệ (2.1) có lời giải.  Ví dụ 2.1.2: Cho γ > 0. Xét hệ (2.1) trong đó A(t) = sin 2t 0 0 −1  , B(t) = e− cos2 t 0 0 e−t  , B1(t) = √γ8 e− sin2 t−4 0 0 √ γ 8 e − cos2 t−5  , C(t) =  0 0 √ 11 4 sin t √ 11 4 cos t 0 0  , D(t) =  1 0 0 0 0 1  . Ta có DT (t)C(t) = 0, DT (t)D(t) = I và ma trận U(t, s) được cho bởi U(t, s) = ecos2 s−cos2 t 0 0 es−t  . 23 Với x = (x1, x2) ∈ R2 ta có∫ t+N t ‖BT (s)UT (N, s)x‖2ds = e−2 cos2Nx21N + e−2Nx22N. Vì e−2 cos 2N ≥ e−2N , e−2 cos2N ≤ 1, ∀N ≥ 1 nên chọn N = 1 ta có e−2‖x‖ ≤ ∫ t+N t ‖BT (s)UT (N, s)x‖2ds ≤ ‖x‖ thoả mãn điều kiện (i) của Định nghĩa 1.2.7 với c1 = e −2, c2 = 1. Mặt khác ‖U(t, s)‖2 = e2(cos2 s−cos2 t) + e2(s−t) ≤ e2 + 1 với s < t nên điều kiên (ii) của Định nghĩa 1.2.7 thoả mãn. Khi đó ta có hệ [A(t), B(t)] là điều khiển được đều hoàn toàn. Vậy bài toán điều khiển H∞ (2.1) có lời giải với u(t) được xác định bởi u(t) = −BT (t)P (t)x(t) trong đó nghiệm P (t) = p1(t) 0 0 p2(t)  của RDE (2.3) được định nghĩa bởi phương trình vi phân p˙1(t) + 2 sin 2tp1(t)− ( e−2 cos 2 t − e −2 sin2 t−8 64 ) p21(t) + 11 4 sin2 t = −1 p˙2(t) + 2p2(t)− ( e−2t − 1 64 e−2 cos 2 t−10)p22(t) + 14 cos2 t+ 1 = 0. 2.2 Mối liên hệ giữa điều khiển H∞ và tính điều khiển được của hệ tuyến tính không ôtônôm Xét hệ (2.1) với giả thiết DT (t)[C(t), D(t)] = [0, I], ∀t ≥ 0. (2.4) 24 ta có bổ đề sau: Bổ đề 2.2.1: Bài toán điều khiểnH∞ cho hệ (2.1) có lời giải nếu tồn tại ma trận X ∈ BMU+(0,∞), R ∈ BMU+(0,∞) sao cho phương trình vi phân Riccati sau thoả mãn X˙ + ATX +XA−X[BBT − 1 γ B1B T 1 ]X + C TC +R = 0, t ≥ 0. (2.5) Hàm điều khiển ngược là u(t) = −BT (t)X(t)x(t), t ≥ 0. Chứng minh. Với hàm điều khiển ngược u(t) = −BT (t)X(t)x(t) và hệ đóng với ω(t) = 0 x˙(t) = [A(t)−B(t)BT (t)X(t)]x(t), (2.6) xét hàm Lyapunov dạng: V (t, x) = 〈X(t)x, x〉. Do X ∈ BMU+(0,∞) nên tồn tại λ1, λ2 > 0 sao cho λ1‖x‖2 ≤ V (t, x) ≤ λ2‖x‖2, ∀t ≥ 0 Đạo hàm V˙ (.) dọc theo nghiệm của hệ đóng ta có V˙ (t, x) = 〈X˙(t)x(t), x(t)〉+ 2〈X(t)x(t), x˙(t)〉 = 〈(X˙(t) + AT (t)X(t) +X(t)A(t)x(t), x(t)〉 −2〈X(t)B(t)BT (t)X(t)x(t), x(t)〉 = −〈X(t)B(t)BT (t)X(t)x(t), x(t)〉 − 〈CT (t)C(t)x(t), x(t)〉 −1 γ 〈X(t)B1(t)BT1 (t)X(t)x(t), x(t)〉 − 〈R(t)x(t), x(t)〉 ≤ −〈R(t)x(t), x(t)〉 25 bởi vì 〈XBBTXx(t), x(t)〉 ≥ 0, 〈XB1BT1 X(t), x(t)〉 ≥ 0, 〈CTCx(t), x(t)〉 ≥ 0. Mặt khác R ∈ BMU+(0,∞) nên tồn tại λ3 > 0 sao cho 〈Rx(t), x(t)〉 ≥ λ3‖x‖2. Do đó V˙ (t, x) ≤ −λ3‖x‖2 ≤ −λ3 λ2 V (t, x). Từ đó ta có V (t, x(t)) ≤ V (0, x0)e− λ3 λ2 t, ∀t ≥ 0 mà λ1‖x(t)‖2 ≤ V (t, x(t)) nên ‖x(t)‖ ≤ √ V (0, x0) λ1 e− λ3 2λ2 t, ∀t ≥ 0. Vậy hệ đóng (2.6) ổn định mũ nên ổn định tiệm cận. Để hoàn thành chứng minh, chúng ta chứng minh điều kiện (1.8) với mọi giá trị ban đầu x0 ∈ Rn và hàm nhiễu chấp nhận được ω(t). Với u(t) = −BT (t)X(t)x(t) và điều kiện (2.4) ta có ‖z‖2 = 〈CTCx, x〉+ 〈X(t)B(t)BT (t)X(t)x, x〉. 26 Khi đó∫ t 0 [‖z(s)‖2 − γ‖ω(s)‖2]dt = ∫ t 0 [‖z(s)‖2 − γ‖ω(s)‖2 + V˙ (s, x(s))]dt− ∫ t 0 V˙ (s, x(s))ds〉 ≤ ∫ t 0 [ − 1 γ 〈X(s)B1(s)BT1 (s)X(s)x(s), x(s)〉 − 〈R(s)x(s), x(s)〉 +2〈X(s)B1(s)ω(s), x(s)〉 − γ‖ω(s)‖2 ] dt+ V (0, x0) ≤ ∫ t 0 [ 2〈X(s)B1(s)ω(s), x(s)〉 − 1 γ 〈X(s)B1(s)BT1 (s)X(s)x(s), x(s)〉 −γ‖ω(s)‖2 − 〈R(s)x(s), x(s)〉 ] ds+ 〈X(0)x0, x0〉. Sử dụng bổ đề (1.5.1) ta có 2〈X(t)B1(t)ω(t), x(t)〉 − γ‖ω(t)‖2 ≤ 1 γ 〈X(t)B1(t)BT1 (t)X(t)x(t), x(t)〉 và −〈R(t)x(t), x(t)〉 ≤ −λ3‖x(t)‖2. Do đó ∫ t 0 [‖z(s)‖2 − γ‖ω(s)‖2]dt ≤ −λ3 ∫ t 0 ‖x(s)‖2ds+ 〈X(0)x0, x0〉 ≤ 〈X(0)x0, x0〉. Cho t→∞ ta có sup ∫∞ 0 ‖z(t)‖2dt c0‖x0‖2 + ∫∞ 0 ‖ω(t)‖2dt ≤ γ với supremum xác định trên x0 ∈ Rn và hàm nhiễu chấp nhận được ω ∈ L2([0,∞),Rr), c0 = ‖X(0)‖ γ > 0 vì X  0. Bổ đề được chứng minh.  Định lý sau đây cho kết quả giải bài toán điều khiển H∞ cho hệ (2.1) với yêu cầu giả thiết nhẹ hơn. 27 Giả sử A(t), B(t), B1(t) là các hàm liên tục, bị chặn trên R+. Cho γ > 0, đặt Aγ(t) = A(t) + 1 γ B1(t)B T 1 (t)−B(t)BT (t), Bγ(t) = [B(t)B T (t)− 1 γ B1(t)B T 1 (t)] 1 2 . Định lý 2.2.2: Giả sử B(t)BT (t)− 1γB1(t)BT1 (t) ≥ 0, t ≥ 0, và hệ điều khiển [Aγ(t), Bγ(t)] là điều khiển được đều hoàn toàn. Khi đó bài toán điều khiểnH∞ cho hệ (2.1) có lời giải. Hơn nữa, hàm điều khiển là u(t) = −BT (t)[P (t) + I]x(t), t ∈ R+, trong đó P ∈ BM+(0,∞) là nghiệm của phương trình vi phân Riccati P˙ + ATγP + PAγ − PBγBTγ P + A+ AT + CTC + εI = 0 (2.7) với ε > 0. Chứng minh. Chọn ε > 0, bởi Bổ đề 1.5.4, sao cho Q(t) = A(t) + AT (t) + CT (t)C(t) + εI ≥ 0. Kết hợp với (2.7) có P˙ + ATγP + PAγ − PBγBTγ P +Q(t) = 0, (2.8) áp dụng Bổ đề 1.5.5 với điều kiện điều khiển được đều hoàn toàn của hệ [Aγ(t), Bγ(t)]; Aγ(t), Bγ(t) bị chặn, Q ∈ BM+(0,∞), phương trình (2.8) có nghệm P ∈ BM+(0,∞). Do đó P˙ + (AT + 1 γ BT1 B1 −BBT )P + P (A+ 1 γ BT1 B1 −BBT ) −P (B(t)BT (t)− 1 γ B1(t)B T 1 (t))P + A+ A T + CTC + εI = 0 28 suy ra P˙ + AT (P + I) + (P + I)A− (P + I)[B(t)BT (t)− 1 γ B1(t)B T 1 (t)](P + I) +CTC +B(t)BT (t)− 1 γ B1(t)B T 1 (t) + εI = 0. Đặt X(t) = P (t) + I, R(t) = [ B(t)BT (t)− 1 γ B1(t)B T 1 (t) ] + εI. Ta có P ∈ BM+(0,∞), B(t)BT (t)− 1 γ B1(t)B T 1 (t) ≥ 0 nên X(t) 0, R(t) 0. Hơn nữa X˙ + ATX +XA−X[BBT − 1 γ B1B T 1 ]X + C TC +R = 0, t ≥ 0. Vậy áp dụng Bổ đề 2.2.1, bài toán điều khiển H∞ cho hệ (2.1) có lời giải với hàm điều khiển ngược u(t) = −BT (t)X(t)x(t) = −BT (t)[P (t) + I]x(t), ∀t ≥ 0. Định lý được chứng minh.  Ví dụ 2.2.3: Xét hệ (2.1) trong đó A(t) = 12(−1− e−2t) −1 1 12e −2t  , B(t) =  2√3e−t 0 0 2√ 3 e−t  , B1(t) = √11√6 e−t 0 0 √ 11√ 6 e−t  , C(t) =  1√2e−t − 1√2e−t − 1√ 2 e−t 1√ 2 e−t  , D(t) =  1√2 1√ 2  . 29 Ta có DT (t)C(t) = 0, DT (t)D(t) = I . Với γ = 32 thì B(t)BT (t)− 2 3 Bt(t)B T 1 (t) = 19e−2t 0 0 19e −2t  , Bγ(t) = √ B(t)BT (t)− 2 3 Bt(t)BT1 (t) = 13e−t 0 0 13e −t  , Aγt = A(t)−B(t)BT (t) + 2 3 Bt(t)B T 1 (t) = −12 − 1118e−2t −1 1 −1118e−2t  . Ma trận Aγ(t), Bγ(t) giải tích và xét M0(t) = Bγ(t), M1(t) = −Aγ(t)Bγ(t) + d dt M1(t), tồn tại t0 > 0 thoả mãn rank[M0(t0),M1(t0)] = 2. Theo Định lý 1.2.5, hệ [Aγ(t), Bγ(t)] là điều khiển được hoàn toàn về 0 và bài toán điều khiển H∞ có lời giải. Chọn ε = 2 và Q(t) = A(t) + AT (t) + CT (t)C(t) + εI =  1 −12e−2t −12e−2t 2  ≥ 0, theo Bổ đề 1.5.4, phương trình vi phân Riccati P˙ + ATγP + PAγ − PBγBTγ P +Q = 0 có nghiệm P ∈ BM+(0,∞) và hàm điều khiển ngược bền vững là u(t) = −BT (t)P (t)x(t), ∀t ≥ 0. 30 2.3 Bài toán ổn định trong L2 và điều khiểnH∞ bền vững cho hệ tuyến tính không ôtônôm có trễ Xét hệ điều khiển tuyến tính không ôtônôm có trễ hằng trên biến trạng thái x˙(t) = A(t)x(t) + A1(t)x(t− h) +B(t)u(t) +B1(t)ω(t), t ≥ 0, z(t) = C(t)x(t) +D(t)u(t), t ≥ 0, (2.9) x(t) = φ(t), t ∈ [−h, 0], h ≥ 0, trong đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái, u(t) ∈ Rm là hàm điều khiển, ω(t) ∈ Rr là biến nhiễu, z(t) ∈ Rl là hàm quan sát, A(t), A1(t) ∈ Rnìn, B(t) ∈ Rnìm, B1(t) ∈ Rnìr, C(t) ∈ Rlìn, D(t) ∈ Rlìm là các hàm ma trận liên tục cho trước trên R+. Xét hệ (2.9) với các hàm ma trận A1(t), B1(t) liên tục bị chặn trên [0,∞) và giả thiết DT (t)C(t) = 0, DT (t)C(t) = I, ∀t ≥ 0. (2.10) Kí hiệu a1 = sup t∈R+ ‖A1(t)‖, b1 = sup t∈R+ ‖B1(t)‖. Xét phương trình vi phân Riccati P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t)− P (t)B(t)BT (t)P (t) +Q(t) = 0. (2.11) Định lý sau cho ta lời giải bài toán điều khiển H∞ bền vững với giả thiết điều khiển được về 0 của hệ [A(t), B(t)]. Định lý 2.3.1: Giả sử hệ [A(t), B(t)] là điều khiển được hoàn toàn về 0. Bài toán điều khiển H∞ bền vững cho hệ (2.9) có lời giải nếu tồn tại ε, ε1, ε2 > 0 sao cho ε− p2(ε−11 a21 + 1 γ b21) ≥ 0, (2.12) 31 trong đó p = supt∈R+ ‖P (t)‖, P ∈ BM+(0,∞) là nghiệm của phương trình vi phân Riccati (2.11) với Q(t) = CT (t)C(t)+(ε+ ε1+ ε2h)I . Hơn nữa hàm điều khiển ngược là u(t) = −BT (t)P (t)x(t), ∀t ≥ 0. Chứng minh. Giả sử hệ [A(t), B(t)] là điều khiển được hoàn toàn. Theo bổ đề 1.5.4, phương trình Riccati (2.11) với Q(t) = CT (t)C(t) + (ε+ ε1 + ε2h)I có nghiệm P ∈ BM+([0,∞), X). Với hàm điều khiển ngược u(t) = −BT (t)P (t)x(t), ∀t ≥ 0 và hệ đóng với ω = 0 x˙(t) = [A(t)−B(t)BT (t)P (t)]x(t) + A1(t)x(t− h), (2.13) xét hàm Lyapunov dạng : V (t, xt) = V1(t, xt) + V2(t, xt) + V3(t, xt), trong đó V1(t, xt) = 〈P (t)x(t), x(t)〉, V2(t, xt) = ε1 ∫ t t−h ‖x(s)‖2ds, V3(t, xt) = ε2 ∫ 0 −h ∫ t t+τ ‖x(s)‖2dsdτ. Đạo hàm của V (.) dọc theo nghiệm x(t) của hệ đóng, ta có V˙1(t, xt) = 〈P˙ (t)x(t), x(t)〉+ 2〈P (t)x˙(t), x(t)〉 = 〈(P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t)− 2P (t)B(t)BT (t)P (t))x(t), x(t)〉 +2〈P (t)A1(t)x(t− h), x(t)〉+ 2〈P (t)B1(t)ω(t), x(t)〉 V˙2(t, xt) = ε1‖x(t)‖2 − ε1‖x(t− h)‖2 V˙3(t, xt) = ε2h‖x(t)‖2 − ε2 ∫ t t−h ‖x(s)‖2ds. 32 Do đó V˙ (t, xt) = 〈[P˙ (t) + AT (t)P (t) + P9t)A(t)− 2P (t)B(t)BT (t)P (t) +(ε1 + ε2h)I]x(t), x(t)〉+ 2〈P (t)B1(t)ω(t), x(t)〉 +2〈P (t)A1(t)x(t− h), x(t)〉 − ε1‖x(t− h)‖2 − ε2 ∫ t t−h ‖x(s)‖2ds. Vì ε2 ∫ t t−h ‖x(s)‖2ds ≥ 0, t ≥ 0, và sử dụng Bổ đề 1.5.1 có 2〈P (t)A1(t)x(t− h), x(t)〉 − ε1‖x(t− h)‖2 ≤ ε−11 〈P (t)A1(t)AT1 (t)P (t)x(t), x(t)〉 nên V˙ (t, xt) = 〈[P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t)− 2P (t)B(t)BT (t)P (t) +(ε1 + ε2h)I]x(t), x(t)〉+ 2〈P (t)B1(t)ω(t), x(t)〉 +ε−11 〈P (t)A1(t)AT1 (t)x(t), x(t)〉 ≤ −ε‖x(t)‖2 − 〈[CT (t)C(t) + ε−11 P (t)A1(t)AT1 (t)P (t)]x(t), x(t)〉 −〈P (t)B(t)BT (t)P (t)x(t).x(t)〉+ 2〈P (t)B1(t)ω(t), x(t)〉 ≤ −(ε− ε−11 p2a21)‖x(t)‖2 + 2〈P (t)B1(t)ω(t), x(t)〉 ≤ −η‖x(t)‖2 + 2〈P (t)B1(t)ω(t), x(t)〉, (2.14) trong đó η = ε− ε−11 p2a21 > 0 do điều kiện (2.12). Tích phân hai vế của (2.14) từ 0 đến t ta có V (t, xt)− V (0, x0) ≤ −η ∫ t 0 ‖x(s)‖2ds+ 2 ∫ t 0 〈P (s)B1(s)ω(s), x(s)〉ds 33 mà V (t, xt) > 0 nên∫ t 0 ‖x(s)‖2ds ≤ η−1 [ 〈P (0)φ(0), φ(0)〉+ ε1 ∫ 0 −h ‖φ(s)‖2ds+ ε2 ∫ 0 −h ∫ 0 τ ‖φ(s)‖2ds ] +2η−1pb1 {∫ t 0 ‖ω(s)‖2ds } 1 2 {∫ t 0 ‖x(s)‖2ds } 1 2 ≤ η−1[‖P (0)‖+ ε1h+ ε2h2]‖φ‖2 + 2η−1pb1ω{∫ t 0 ‖x(s)‖2ds } 1 2 trong đó ω = {∫ t 0 ‖ω(s)‖2ds } 1 2 . Đặt α = η−1 [‖P (0)‖+ ε1h+ ε2h2]‖φ‖2, β = η−1pb1ω, ta có∫ t 0 ‖x(s)‖2ds ≤ α + 2β {∫ t 0 ‖x(s)‖2ds } 1 2 , do đó ∫ t 0 ‖x(s)‖2ds ≤ β + √ β2 + α, ∀t ≥ 0. Cho t→∞, ta có x(t) ∈ L2([0,∞), X). Để hoàn thành chứng minh của định lý, ta cần chứng minh điều kiện (1.8). Xét biểu thức∫ t 0 [‖z(s)‖2 − γ‖ω(s)‖2]ds = ∫ t 0 [‖z(s)‖2 − γ‖ω(s)‖2 + V˙ (s, xs)]ds− ∫ t 0 V˙ (s, xs)ds. Vì V (t, xt) ≥ 0, t ≥ 0 nên − ∫ t 0 V˙ (s, xs)ds = V (0, x0)− V (t, xt) ≤ V (0, x0), ∀t ≥ 0 Hơn nữa với hàm điều khiển ngược và điều kiện (2.10) ta có ‖z(t)‖2 = 〈[CT (t)C(t) + P (t)B(t)BT (t)P (t)]x(t), x(t)〉. 34 Do đó ∫ t 0 [‖z(s)‖2 − γ‖ω(s)‖2]ds ≤ ∫ t 0 [−ε‖x(s)‖2 + ε21p2a21‖x(s)‖2 + 2〈P (s)B1(s)ω(s), x(s)〉 −γ‖ω(s)‖2]ds+ V (0, x0) ≤ ∫ t 0 (−ε+ ε21p2a21 + 1 γ p2b2)‖x(s)‖2ds+ V (0, x0) ≤ V (0, x0) ≤ η−1(‖P (0)‖+ ε1h+ ε2h2)‖φ‖2 bởi vì 2〈P (s)B1(s)ω(s), x(s)〉 − γ‖ω(s)‖2 ≤ 1 γ 〈P (s)B1(s)BT1 (s)P (s)x(s), x(s) ≤ 1 γ p2b21‖x(s)‖2. Cho t→∞, và đặt c0 = η−1(‖P (0)‖+ ε1h+ ε2h2)‖φ‖2 γ , ta có ∫∞ 0 ‖z(t)‖2dt c0‖φ‖2 + ∫∞ t ‖ω(t)‖2dt ≤ γ, với mọi hàm không âm ω ∈ L2([0,∞),Rr), φ(t) ∈ C. Định lý được chứng minh.  Bằng cách chứng minh tương tự, Định lý 2.3.1 có thể mở rộng cho hệ điều khiển với nhiều trễ dạng x˙(t) = A(t)x(t) + N∑ i=1 Ai(t)x(t− hi) +B(t)u(t) +B1(t)ω(t), t ≥ 0, z(t) = C(t)x(t) +D(t)u(t), t ≥ 0, (2.15) x(t) = φ(t), t ∈ [−h, 0], h ≥ 0. với h = max{h1, h2, ..., hN}, ta có định lý sau 35 Định lý 2.3.2: Giả sử hệ điều khiển [A(t), B(t)] là điều khiển được hoàn toàn về 0. Bài toán điều khiển H∞ bền vững cho hệ (2.15) có lời giải nếu tồn tại ε, ε1, ε2 > 0 thoả mãn ε− p2( N∑ i=1 ε−11 a 2 i + 1 γ b21 ) ≥ 0, trong đó ai = supt∈R+ ‖Ai(t)‖, P ∈ BM+(0,∞) là nghiệm của phương trình vi phân Riccati (2.11) với Q(t) = CT (t)C(t) + (ε+ ε1 + ε2h)I . Hơn nữa, hàm điều khiển ngược là u(t) = −BT (t)P (t)x(t), ∀t ≥ 0. Ví dụ 2.3.3: Xét trong Rn, x ∈ Rn, x = (x1, x2, ..., xn) với chuẩn ‖x‖ = [ n∑ i=1 x2i ] 1 2 < +∞. Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm có trễ x˙(t) = A(t)x(t) + A1(t)x(t− 3) +B(t)u(t) +B1(t)ω(t), t ≥ 0, z(t) = C(t)x(t) +D(t)u(t), t ≥ 0, (2.16) với A(t) =  − sin 2t 0 0 ... 0 0 −1 0 ... 0 0 0 −1 ... 0 ... ... ... ... ... 0 0 0 ... −1  , B(t) =  1 t+ 1 0 0 ... 0 0 e−t 0 ... 0 0 0 e−t ... 0 ... ... ... ... ... 0 0 0 ... e−t  , 36 C(t) =  e2 sin 2 t (1 + t)2 − 1.5 0 0 ... 0 0 0 0 ... 0 0 0 0 ... 0 ... ... ... ... ... 0 0 0 ... 0  , D(t) =  0 0 0 ... 0 0 1 0 0 ... 0 0 0 1 0 ... 0 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 0 ... 1 0  , A1(t) = B1(t) = aI, trong đó a > 0 xác định bởi 9a2 sup t≥0 ‖P (t)‖2 ≤ 1, với P (t) là nghiệm của RDE (2.15) với ε = 1, ε1 = ε2 = 0.125, Q(t) = CT (t)C(t) + 1.5I. Ta có DT (t)C(t) = 0, DT (t)D(t) = I. Hơn nữa, để kiểm tra điều kiện điều khiển, chúng ta tìm ma trận U(t, s) bằng cách giải phương trình ma trận hữu hạn chiều d dt U(t, s) = A(t)U(t, s), U(t, t) = I. 37 Ta có U(t, s) =  esin 2 s−sin2 t 0 0 ... 0 0 0 es−t 0 ... 0 0 0 0 es−t ... 0 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 0 ... 0 es−t  , Khi đó, với mọi x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn và T > 0 ‖UT (T, 0)xT‖2 = e−2 sin2 Tx21 + e−2T n∑ i=2 x2i và ∫ T 0 ‖BT (s)UT (T, s)xT‖2ds = e−2 sin 2 Tx21 ∫ T 0 1 (s+ 1)2 e2 sin 2 sds+ e−2T n∑ i=2 x2i ∫ T 0 e2sds ≥ e−2 sin2 Tx21 ∫ T 0 1 (s+ 1)2 ds+ e−2T n∑ i=2 x2i ∫ T 0 ds = (1− 1 T + 1 )e−2 sin 2 Tx21 + Te −2T n∑ i=2 x2i . Do đó, với T = 1, điều kiện điều khiển hoàn toàn về 0 trong khoảng thời gian hữu hạn T > 0∫ T 0 ‖BT (s)UT (T, s)xT‖2ds ≥ c‖UT (T, 0)‖2,∀x ∈ Rn thoả mãn với c = 12 , và hệ [A(t), B(t)] là điều khiển được hoàn toàn về 0. Cho γ = 1. Từ chứng minh của Định lý 2.3.1, ta có thể thay việc giải RDE (2.11) bằng cách giải bất phương trình Riccati P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t)− P (t)B(t)BT (t)P (t) +Q(t) ≤ 0, 38 nghiệm của RDE (2.11) được định nghĩa bởi P (t) =  esin 2 t 0 0 ... 0 0 0 1 0 ... 0 0 0 0 1 ... 0 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 0 ... 0 1  . Ta có p = e, chọn a thoả mãn 3ae ≤ 1, điều kiện (2.12) thoả mãn, do đó bài toán điều khiển H∞ bền vững cho hệ (2.16) có lời giải. 39 Chương 3 Bài toán điều khiển H∞ cho hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm có trễ Trong chương này, luận văn trình bày nghiên cứu phát triển các kết quả trong chương 2 về điều kiện giải được của bài toán điều khiển H∞ bền vững cho hệ PTVP tuyến tính không ôtônôm có trễ hằng trên cả biến trạng thái và biến quan sát dựa trên sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân Riccati và tính điều khiển được hoàn toàn về 0 của hệ điều khiển. Cuối chương luận văn nghiên cứu mở rộng hơn kết quả giải được của bài toán điều khiển H∞ bền vững cho hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm có trễ biến thiên trên biến trạng thái và biến quan sát không cần giả thiết điều khiển được về 0. 40 3.1 Điều khiển H∞ bễn vững cho hệ tuyến tính không ôtô- nôm có trễ hằng Xét hệ điều khiển tuyến tính không ôtônôm với trễ hằng trên biến trạng thái và biến quan sát x˙(t) = A(t)x(t) + A1(t)x(t− h) +B(t)u(t) +B1(t)ω(t), t ≥ 0, z(t) = C(t)x(t) + C1(t)x(t− h) +D(t)u(t), t ≥ 0, (3.1) x(t) = φ(t), t ∈ [−h, 0], h ≥ 0, trong đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái, u(t) ∈ Rm là hàm điều khiển, ω(t) ∈ Rr là hàm nhiễu, z(t) ∈ Rl là hàm quan sát; A(t), A1(t) ∈ Rnìn, B(t) ∈ Rnìm, B1(t) ∈ Rnìr; C(t), C1(t) ∈ Rlìn, D(t) ∈ Rlìm là các hàm ma trận liên tục cho trước trên R+, φ ∈ C([−h, 0],Rn), h ≥ 0 là hàm ban đầu với chuẩn ‖φ‖ = sup t∈[−h,0] ‖φ(t)‖. Giả sử các hàm A1(t), B1(t), C(t), C1(t) liên tục và bị chặn. Như thường lệ ta vẫn giả thiết điều kiện DT (t)[C(t), C1(t), D(t)] = [0, 0, I], ∀t ≥ 0. (3.2) Đặt a1 = sup t∈R+ ‖A1(t)‖, b1 = sup t∈R+ ‖B1(t)‖, c1 = sup t∈R+ ‖C1(t)‖, c = sup t∈R+ ‖C(t)‖, p = sup t∈R+ ‖P (t)‖. Định lý 3.1: Giả sử hệ [A(t), B(t)] là điều khiển được hoàn toàn về 0. Khi đó bài toán điều khiển H∞ bền vững (3.1) có lời giải nếu 1 > 2pa1, 1 > 2c 2 1, (3.3) (1− 2c21)(1− 2p2b21 γ ) > 2c2 + 4p2a21 + 8pa1cc1. (3.4) 41 Hơn nữa hàm điều khiển ngược là u(t) = −BT (t)P (t)x(t) trong đó P (t) là nghiệm của RDE P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t)− P (t)B(t)BT (t)P (t) + I = 0. (3.5) Chứng minh. Giả sử hệ [A(t), B(t)] là điều khiển được hoàn toàn về 0 thì RDE (3.5) có nghiệm P ∈ BM(Rn+). Xét hàm Lyapunov cho hệ đóng V (t, xt) = 〈P (t)x(t), x(t)〉+ 1 2 ∫ t t−h ‖x(s)‖2ds. Với hàm ngược u(t) = −BT (t)P (t)x(t) thì x˙(t) = [A(t)−B(t)BT (t)P (t)]x(t) + A1(t)x(t− h) +B1(t)ω(t). Lấy đạo hàm của V (.) dọc theo quỹ đạo nghiệm của hệ đóng ta có V˙ (t, xt) = 〈P˙ (t)x(t), x(t)〉+ 2〈P (t)x˙(t), x(t)〉+ 1 2 ‖x(t)‖2 − 1 2 ‖x(t− h)‖2 = −〈P (t)B(t)BT (t)P (t)x(t), x(t)〉+ 2〈P (t)B1(t)ω(t), x(t)〉 +2〈P (t)A1(t)x(t− h), x(t)〉 − 1 2 ‖x(t)‖2 − 1 2 ‖x(t− h)‖2 (3.6) ≤ −1 2 ‖x(t)‖2 + 2〈P (t)B1(t)ω(t), x(t)〉 +2〈P (t)A1(t)x(t− h), x(t)〉 − 1 2 ‖x(t− h)‖2. (3.7) Tích phân hai vế của (3.7) từ 0 đến t được: V (t, xt)− V (0, x0) ≤ −1 2 ∫ t 0 ‖x(s)‖2ds+ 2 ∫ t 0 〈P (s)B1(s)ω(s), x(s)〉ds +2 ∫ t 0 〈P (s)A1(s)x(s− h), x(s)〉ds− 1 2 ∫ t 0 ‖x(s− h)‖2ds 42 ≤ −1 2 ∫ t 0 ‖x(s)‖2ds+ 2pb1 ∫ t 0 ‖ω(s)|‖x(s)‖ds +2pa1 ∫ t 0 ‖x(s)‖‖x(s− h)‖ds− 1 2 ∫ t 0 ‖x(s− h)‖2ds với p = supt∈R+ ‖P (t)‖. Ta có V (t, xt) ≥ 0, 2pa1 ∫ t 0 ‖x(s)‖‖x(s− h)‖ds− 1 2 ∫ t 0 ‖x(s− h)‖2ds ≤ 2p2a21 ∫ t 0 ‖x(s)‖2ds, ∫ t 0 ‖ω(s)|‖x(s)‖ds ≤ (∫ t 0 ‖ω(s)|2ds ∫ t 0 ‖x(s)‖2ds ) 1 2 ≤ ω( ∫ t 0 ‖x(s)‖2ds) 12 , trong đó ω2 = ∫ t 0 ‖ω(s)‖2ds (vì ω ∈ L2([0,∞)),Rr)). Nên −V (0, x0) ≤ −(1 2 − 2p2a21) ∫ t 0 ‖x(s)‖2ds+ 2pb1ω ( ∫ t 0 ‖x(s)‖2ds) 12 mà V (0, x0) = 〈P (0)x(0), x(0)〉+ 1 2 ∫ 0 −h ‖φ(s)‖2ds ≤ (‖P (0)‖+ 1 2 h)‖φ‖2 = α, với α = ‖P (0)‖+ 1 2 h, do đó ( 1 2 − 2p2a21) ∫ t 0 ‖x(s)‖2ds− 2pb1ω ( ∫ t 0 ‖x(s)‖2ds) 12 − α ≤ 0, áp dụng giải bất phương trình bậc hai với 1 2 − 2p2a21 > 0 (theo (3.3)) có∫ t 0 ‖x(s)‖2ds ≤ (β +√β2 + ηα η )2 43 trong đó β = pb1ω, η = 1 2 − 2p2a21. Cho t→∞ ta có x(t) ∈ L2([0,∞),Rn). Tiếp theo chúng ta chứng minh điều kiện (1.10) với mọi hàm ban đầu φ ∈ C([−h, 0],Rn) và hàm không chắc chắn khác không chấp nhận được ω(t). Với u(t) = −BT (t)P (t)x(t) và điều kiện (3.2) ta có ‖z(t)‖2 = 〈CT (t)C(t)x(t), x(t)〉+ 〈P (t)BT (t)B(t)P (t)x(t), x(t)〉 +2〈C(t)x(t), C1(t)x(t− h)〉+ 〈CT1 (t)C1(t)x(t− h), x(t− h)〉 Khi đó ∫ ∞ 0 [‖z(t)‖2 − γ‖ω(t)‖2]dt = ∫ ∞ 0 [‖z(t)‖2 − γ‖ω(t)‖2 + V˙ (t, x(t))]dt− ∫ ∞ 0 V˙ (t, x(t))dt ≤ ∫ ∞ 0 [ 〈CT (t)C(t)x(t), x(t)〉+ 2〈C(t)x(t), C1(t)x(t− h)〉 +〈CT1 (t)C1(t)x(t− h), x(t− h)〉 − γ‖ω(t)‖2 − 1 2 ‖x(t)‖2 +2〈P (t)B1(t)ω(t), x(t)〉+ 2〈P (t)A1(t)x(t− h), x(t)〉 −1 2 ‖x(t− h)‖2 ] dt+ V (0, x0) ≤ (c2 − 1 2 ) ∫ ∞ 0 ‖x(t)‖2dt+ 2(pa1 + cc1) ∫ ∞ 0 ‖x(t)‖‖x(t− h)‖dt −(1 2 − c21) ∫ ∞ 0 ‖x(t− h)‖2dt+ 2pb1 ∫ ∞ 0 ‖x(t)‖‖ω(t)‖dt −γ ∫ ∞ 0 ‖ω(t)‖2dt+ α ≤ (c2 − 1 2 + 2(pa1 + cc1) 2 1− 2c21 + p2b21 γ ) ∫ ∞ 0 ‖x(t)‖2dt+ α ≤ α vì từ điều kiện (3.4) có c2 − 1 2 + p2b21 γ + 2(pa1 + cc1) 2 1− 2c21 < 0. Do đó∫ ∞ 0 [‖z(t)‖2 − γ‖ω(t)‖2]dt ≤ α 44 nên sup ∫∞ 0 ‖z(t)‖2dt c0‖φ‖2 + ∫∞ 0 ‖ω(t)‖2dt ≤ γ với supremum xác định trên φ ∈ C([−h, 0],Rn) và hàm khác không ω ∈ L2([0,∞),Rr), c0 = α γ = 2‖P (0)‖+ h 2γ ≥ 0. Định lý được chứng minh.  Ví dụ 3.2: Cho γ = 1. Xét hệ điều khiển (3.1) với A(t) = 12 cos t 0 0 −12 sin t  , A1(t) =  14e sin t 0 0 14e cos t  , B(t) = e− sin t 0 0 e− cos t  , C1(t) = 0, B1(t) =  116(sin2 t+ 1) 0 0 √ 2 8e cos 2 t+ 3)  , C(t) =  0 0 1 2 cos t 1 2 sin t 0 0  , D(t) =  1 0 0 0 0 1  . Ta có hệ [A(t), B(t)] là điều khiển được hoàn toàn về 0 (theo ví dụ 1.2.8), khi đó phương trình vi phân Riccati có nghiệm P (t) = esin t 0 0 ecos t  . Hơn nữa DT (t)C(t) = 0, DT (t)C1(t) = 0, D T (t)D(t) = I, a1 = 1 4e , b1 =√ 2 8e , c1 = 0, c = 1 2 , p = e thoả mãn 1 > 2pa1, 1 > 2c 2 1, (1− 2c21)(1− 2p2b21) > 2c2 + 4p2a21 + 8pa1cc1. 45 Vậy bài toán điều khiển H∞ bền vững cho hệ (3.1) có lời giải với hàm điều khiển ngược được xác định bởi u(t) = −e− sin2 t 0 0 −e− cos2 t x(t). Từ định lý 3.1, cho A1(t) = C1(t) = 0, x(0) = x0, chúng ta có ngay điều kiện giải được của hệ phương trình vi phân không ôtônôm không có trễ (2.1) với giả thiết [A(t), B(t)] là điều khiển được hoàn toàn. Ta có hệ quả sau: Hệ quả 3.3: Giả sử hệ [A(t), B(t)] là điều khiển được hoàn toàn về 0. Khi đó bài toán điều khiển H∞ bền vững cho hệ (2.1) có lời giải nếu 1 > 2c2 + 2p2b21 γ . Hơn nữa hàm điều khiển ngược được xác định bởi u(t) = −BT (t)P (t)x(t) trong đó P (t) là nghiệm của phương trình RDE (3.5). 3.2 Điều khiển H∞ bền vững cho hệ tuyến tính không ôtô- nôm có trễ biến thiên Xét hệ điều khiển tuyến tính không ôtônôm có trễ biến thiên rời rạc x˙(t) = A(t)x(t) + A1(t)x(t− h(t)) +B(t)u(t) +B1(t)ω(t), t ≥ 0, z(t) = C(t)x(t) + C1(t)x(t− h(t)) +D(t)u(t), t ≥ 0, (3.8) x(t) = φ(t), t ∈ [−h, 0], h ≥ 0, trong đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái, u(t) ∈ Rm là hàm điều khiển, ω(t) ∈ Rr là hàm vào không chắc chắn, z(t) ∈ Rl là hàm ra bị quan sát, A(t), A1(t) ∈ Rnìn, B(t) ∈ Rnìm, B1(t) ∈ Rnìr, C(t), C1(t) ∈ Rlìn, D(t) ∈ Rlìm là các hàm ma trận liên tục cho trước trên R+, φ ∈ C([−h, 0],Rn) là hàm ban đầu với 46 chuẩn ‖φ‖ = supt∈[−h,0] ‖φ(t)‖. Hàm trễ biến thiên thoả mãn điệu kiện 0 ≤ h(t) ≤ h, h˙(t) ≤ δ < 1. Xét hệ (3.8) với hàm B1(t), C1(t) liên tục bị chặn và giả thiết DT (t)[C(t), C1(t), D(t)] = [0, 0, I], ∀t ≥ 0, (3.9) c1 = sup t∈R+ ‖CT1 (t)C1(t)‖. (3.10) và chọn ε > 1 + 2c1 1− δ . Định lý 3.4: Bài toán điều khiển H∞ bền vững cho hệ (3.8) có lời giải nếu tồn tại ma trận P ∈ BM+(0,∞) thoả mãn phương trình Riccati sau P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t)− P (t)[B(t)BT (t)− A1(t)AT1 (t)− −1 γ B1(t)B T 1 (t) ] P (t) + 2CT (t)C(t) + εI = 0 (3.11) Hàm điều khiển ngược được xác định bởi: u(t) = −BT (t)P (t)x(t), t ≥ 0. Chứng minh. Với hàm ngược u(t) = −BT (t)P (t)x(t) thì hệ đóng là x˙(t) = [A(t)−B(t)BT (t)P (t)]x(t) + A1(t)x(t− h(t)) +B1(t)ω(t). Xét hàm Lyapunov: V (t, xt) = V1(t, xt) + V2(t, xt) trong đó V1(t, xt) = 〈P (t)x(t), x(t)〉 V2(t, xt) = 1 + 2c1 1− δ ∫ t t−h(t) ‖x(s)‖2ds. 47 Lấy đạo hàm của V1(.) dọc theo quỹ đạo nghiệm của hệ đóng ta có V˙1(t, xt) = 〈P˙ (t)x(t), x(t)〉+ 2〈P (t)x˙(t), x(t)〉 = −‖x(t)‖2 − 〈P (t)B(t)BT (t)P (t)x(t), x(t)〉 −1 γ 〈P (t)B1(t)BT1 (t)P (t)x(t), x(t)〉 − 2〈CT (t)C(t)x(t), x(t)〉 −〈P (t)A1(t)AT1 (t)P (t)x(t), x(t)〉+ 2〈P (t)A1(t)x(t− h(t)), x(t)〉 +2〈P (t)B1(t)ω(t), x(t)〉 ≤ −‖x(t)‖2 − 〈P (t)B(t)BT (t)P (t)x(t), x(t)〉 −1 γ 〈P (t)B1(t)BT1 (t)P (t)x(t), x(t)〉 − 2〈CT (t)C(t)x(t), x(t)〉 +‖x(t− h(t))‖2 + 2〈P (t)B1(t)ω(t), x(t)〉 vì áp dụng bổ đề 1.5.1 có 2〈P (t)A1(t)x(t− h(t)), x(t)〉 ≤ 〈P (t)A1(t)AT1 (t)P (t)x(t), x(t)〉+ ‖x(t− h(t))‖2. Tương tự lấy đạo hàm của V2(.) ta có V˙2(t, xt) = 1 + 2c1 1− δ [‖x(t)‖2 − (1− h˙(t))‖x(t− h(t))‖2] ≤ 1 + 2c1 1− δ [‖x(t)‖2 − (1− δ)‖x(t− h(t))‖2] ≤ 1 + 2c1 1− δ ‖x(t)‖ 2 − (1 + 2c1)‖x(t− h(t))‖2. Do đó V˙ (t, xt) ≤ (1 + 2c1 1− δ − ε )‖x(t)‖2 − 〈P (t)B(t)BT (t)P (t)x(t), x(t)〉 −1 γ 〈P (t)B1(t)BT1 (t)P (t)x(t), x(t)〉 − 2〈CT (t)C(t)x(t), x(t)〉 +2〈P (t)B1(t)ω(t), x(t)〉 − 2c1‖x(t− h(t))‖2 (3.12) ≤ (1 + 2c1 1− δ − ε )‖x(t)‖2 + 2〈P (t)B1(t)ω(t), x(t)〉. (3.13) 48 bởi vì 〈P (t)B(t)BT (t)P (t)x(t), x(t)〉 ≥ 0, 〈P (t)B1(t)BT1 (t)P (t)x(t), x(t)〉 ≥ 0, 〈CT (t)C(t)x(t), x(t)〉 ≥ 0. Lấy tích phân hai vế của (3.13) từ 0 đến t được: V (t, xt)− V (0, x0) ≤ (1 + 2c1 1− δ − ε) ∫ t 0 ‖x(s)‖2ds+ 2 ∫ t 0 〈P (s)B1(s)ω(s), x(s)〉ds ≤ (1 + 2c1 1− δ − ε) ∫ t 0 ‖x(s)‖2ds+ 2‖P‖‖B1‖ ∫ t 0 ‖ω(s)‖‖x(s)‖ds Ta có V (t, xt) ≥ 0,∫ t 0 ‖ω(s)‖‖x(s)‖ds ≤ (∫ t 0 ‖ω(s)‖2ds ) 1 2 (∫ t 0 ‖x(s)‖2ds ) 1 2 . Do đó với ω2 = ∫∞ 0 ‖ω(s)‖2ds (vì ω(t) ∈ L2([0,∞)),Rr)) thì −V (0, x0) ≤ (1 + 2c1 1− δ − ε) ∫ t 0 ‖x(s)‖2ds+ 2‖P‖‖B1‖ω ( ∫ t 0 ‖x(s)‖2ds) 12 mà V (0, x0) ≤ 〈P (0)x(0), x(0)〉+ 1 + 2c1 1− δ ∫ 0 −h(0) ‖φ(s)‖2ds ≤ (‖P (0)‖+ (1 + 2c1)h 1− δ )‖φ‖ 2 = α trong đó α = (‖P (0)‖+ (1 + 2c1)h 1− δ )‖φ‖ 2 , nên (ε− 1 + 2c1 1− δ ) ∫ t 0 ‖x(s)‖2ds− 2‖P‖‖B1‖ω ( ∫ t 0 ‖x(s)‖2ds) 12 − α ≤ 0, áp dụng giải bất phương trình bậc hai với ε− 1 + 2c1 1− δ > 0 suy ra∫ t 0 ‖x(s)‖2ds ≤ (β +√β2 + ηα η )2 49 trong đó β = ‖P‖‖B1‖ω, η = ε− 1 + 2c1 1− δ . Cho t→∞ ta có x(t) ∈ L2([0,∞),Rn). Điều kiện (1.9) được thỏa mãn. Tiếp theo chúng ta chứng minh điều kiện (1.10) với mọi hàm ban đầu φ ∈ C([−h, 0],Rn) và hàm nhiễu chấp nhận được ω(t). Với u(t) = −BT (t)P (t)x(t) và điều kiện (3.9) ta có ‖z(t)‖2 = 〈CT (t)C(t)x(t), x(t)〉+ 〈P (t)BT (t)B(t)P (t)x(t), x(t)〉 +2〈C(t)x(t), C1(t)x(t− h(t))〉+ 〈CT1 (t)C1(t)x(t− h(t)), x(t− h(t))〉. Kết hợp với (3.12) ta được∫ ∞ 0 [‖z(t)‖2 − γ‖ω(t)‖2]dt = ∫ ∞ 0 [‖z(t)‖2 − γ‖ω(t)‖2 + V˙ (t, xt)]dt− ∫ ∞ 0 V˙ (t, xt)dt ≤ ∫ ∞ 0 [ − 〈CT (t)C(t)x(t), x(t)〉+ 2〈C(t)x(t), C1(t)x(t− h(t))〉 + 〈CT1 (t)C1(t)x(t− h(t)), x(t− h(t))〉 − γ‖ω(t)‖2 − 1 γ 〈P (t)B1(t)BT1 (t)P (t)x(t), x(t)〉+ 2〈P (t)B1(t)ω(t), x(t)〉 +( 1 + 2c1 1− δ − ε)‖x(t)‖ 2 − 2c1‖x(t− h(t))‖2 ] dt+ α. Sử dụng bổ đề 1.5.1 với 2〈C(t)x(t), C1(t)x(t− h(t))〉 − 〈CT (t)C(t)x(t), x(t)〉 ≤ 〈CT1 (t)C1(t)x(t− h(t)), x(t− h(t))〉 ≤ c1‖x(t− h(t))‖2, 2〈P (t)B1(t)ω(t), x(t)〉 − γ‖ω(t)‖2 ≤ 1 γ 〈P (t)B1(t)BT1 (t)P (t)x(t), x(t)〉, 50 nên ∫ ∞ 0 [‖z(t)‖2 − γ‖ω(t)‖2]dt ≤ α. Đặt c0 = α γ = (‖P (0)‖+ (1 + 2c1)h 1− δ )‖φ‖ 2 γ ta có sup ∫∞ 0 ‖z(t)‖2dt c0‖φ‖2 + ∫∞ 0 ‖ω(t)‖2dt ≤ γ với supremum lấy trên φ ∈ C([−h, 0],Rn) và hàm nhiễu khác không ω ∈ L2([0,∞),Rr). Định lý được chứng minh.  Ví dụ 3.5: Với γ > 0 cho trước. Xét hệ tuyến tính không ôtônôm (3.8) với hàm trễ biến thiên h(t) = 12 sin 2 t và A(t) = a(t) 0 0 b(t)  , A1(t) = sin t 0 0 2 cos t  , B(t) = cos2 t+ 1 0 0 sin2 t+ 2  , B1(t) = √3γ cos(t− 12 sin2 t) 0 0 √ 8γ sin(t− 12 sin2 t)  , C(t) =  0 0 0 0 0 1√ 2 e− 1 2 t  , C1(t) =  0 0 0 0 1 0  , D(t) =  sin t cos t − cos t sin t 0 0  , 51 trong đó a(t) = 1 2 (e−t cos4 t+ 1)− 4et, b(t) = 1 2 e−t sin4 t− 4et. Ta có h = 12 , δ = 1 2 , c1 = 1 và ε = 8 thoả mãn ε > 1 + 2c1 1− δ . Nghiệm của RDE (3.11) được cho bởi P (t) = e−t 0 0 e−t  Khi đó bài toán điều khiển H∞ bền vững cho hệ (3.8) có lời giải. Hàm điều khiển ngược được xác định bởi u(t) = −(cos2 t+ 1)e−t 0 0 −(sin2 t+ 2)e−t x(t). Hơn nữa ta có một điều kiện khác để hệ điều khiển (2.1) không có trễ giải được khi cho A1(t) = C1(t) = 0 mà không cần điều kiện hệ [A(t), B(t)] là điều khiển được đều hoàn toàn hoặc điều khiển được hoàn toàn về 0. Hệ quả 3.6: Bài toán điều khiểnH∞ bền vững cho hệ (3.8) với A1(t) = C1(t) = 0 (hay hệ (2.1)) có lời giải nếu tồn tại ma trận P ∈ BM+(0,∞) thoả mãn phương trình Riccati P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t)− P (t)[B(t)BT (t)− −1 γ B1(t)B T 1 (t) ] P (t) + 2CT (t)C(t) + εI = 0. (3.14) với ε > 1. Hơn nữa hàm điều khiển ngược được xác định bởi: u(t) = −BT (t)P (t)x(t), t ≥ 0. 52 3.3 Điều khiển H∞ cho hệ tuyến tính không ôtônôm có trễ hỗn hợp Xét hệ điều khiển tuyến tính không ôtônôm có trễ rời rạc và tích phân x˙(t) = A(t)x(t) + A1(t)x(t− h(t)) + A2(t) ∫ t t−k(t) x(s)ds +B(t)u(t) +B1(t)ω(t), t ≥ 0 z(t) = C(t)x(t) + C1(t)x(t− h(t)) + C2(t) ∫ t t−k(t) x(s)ds (3.15) +D(t)u(t), t ≥ 0, x(t) = φ(t), t ∈ [−max(h, k), 0], h ≥ 0, k ≥ 0. trong đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái, u(t) ∈ Rm là hàm điều khiển, ω(t) ∈ Rr là hàm vào không chắc chắn, z(t) ∈ Rl là hàm ra bị quan sát, A(t), A1(t), A2(t) ∈ Rnìn, B(t) ∈ Rnìm, B1(t) ∈ Rnìr, C(t), C1(t), C2(t) ∈ Rlìn, D(t) ∈ Rlìm là các hàmma trận liên tục cho trước trênR+, φ ∈ C([−max(h, k), 0],Rn) là hàm ban đầu với chuẩn ‖φ‖ = sup t∈[−max(h,k),0] ‖φ(t)‖. Các hàm trễ biến thiên thoả mãn điệu kiện 0 ≤ h(t) ≤ h, h˙(t) ≤ δ < 1, 0 ≤ k(t) ≤ k, k˙(t) ≤ θ < 1. Giả sử B1(t), C1(t), C2(t) liên tục bị chặn và DT (t)[C(t), C1(t), C2(t), D(t)] = [0, 0, 0, I], ∀t ≥ 0, (3.16) c1 = sup t∈R+ ‖CT1 (t)C1(t)‖, c2 = sup t∈R+ ‖CT2 (t)C2(t)‖, ε > 1 + 3c1 1− δ + (1 + 3c2)k 2 1− θ , (3.17) ta có kết quả sau: 53 Định lý 3.7: Bài toán điều khiển H∞ bền vững cho hệ (3.15) có lời giải nếu tồn tại ma trận P ∈ BM+(0,∞) thoả mãn phương trình P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t)− P (t)[B(t)BT (t)− A1(t)AT1 (t) −A2(t)AT2 (t)− 1 γ B1(t)B T 1 (t) ] P (t) + 3CT (t)C(t) + εI = 0 (3.18) Hơn nữa hàm điều khiển ổn định bền vững được xác định bởi: u(t) = −BT (t)P (t)x(t), t ≥ 0. Chứng minh.Với hàm điều khiển ngược u(t) = −BT (t)P (t)x(t) thì hệ đóng là x˙(t) = [A(t)−B(t)BT (t)P (t)]x(t) + A1(t)x(t− h(t)) +A2(t) ∫ t t−k(t) x(s)ds+B1(t)ω(t). Xét hàm Lyapunov dạng V (t, xt) = V1(t, xt) + V2(t, xt) + V3(t, xt) trong đó V1(t, xt) = 〈P (t)x(t), x(t)〉 V2(t, xt) = 1 + 3c1 1− δ ∫ t t−h(t) ‖x(s)‖2ds V3(t, xt) = (1 + 3c2)k 1− θ ∫ t t−k(t) ∫ t s ‖x(ξ)‖2dξds Lấy đạo hàm của V1(.) dọc theo quỹ đạo nghiệm của hệ đóng ta có V˙1(t, xt) = 〈P˙ (t)x(t), x(t)〉+ 2〈P (t)x˙(t), x(t)〉 = −‖x(t)‖2 − 〈P (t)B(t)BT (t)P (t)x(t), x(t)〉 −〈P (t)A1(t)AT1 (t)P (t)x(t), x(t)〉 − 〈P (t)A2(t)AT2 (t)P (t)x(t), x(t)〉 54 −1 γ 〈P (t)B1(t)BT1 (t)P (t)x(t), x(t)〉 − 3〈CT (t)C(t)x(t), x(t)〉 +2〈P (t)A1(t)x(t− h(t)), x(t)〉+ 2〈P (t)A2(t) ∫ t t−k(t) x(s)ds, x(t)〉 +2〈P (t)B1(t)ω(t), x(t)〉 Từ bổ đề 1.5.1 và 1.5.2 ta có 2〈P (t)A1(t)x(t− h(t)), x(t)〉 − 〈P (t)A1(t)AT1 (t)P (t)x(t), x(t)〉 ≤ ‖x(t− h(t))‖2, 2〈P (t)A2(t) ∫ t t−k x(s)ds, x(t)〉 − 〈P (t)A2(t)AT2 (t)P (t)x(t), x(t)〉 ≤ 〈 ∫ t t−k(t) x(s)ds, ∫ t t−k(t) x(s)ds〉 ≤ k(t) ∫ t t−k(t) ‖x(s)‖2ds ≤ k ∫ t t−k(t) ‖x(s)‖2ds, nên V˙1(t, xt) ≤ −ε‖x(t)‖2 − 〈P (t)B(t)BT (t)P (t)x(t), x(t)〉 −1 γ 〈P (t)B1(t)BT1 (t)P (t)x(t), x(t)〉 − 3〈CT (t)C(t)x(t), x(t)〉 +‖x(t− h(t))‖2 + k ∫ t t−k(t) ‖x(s)‖2ds+ 2〈P (t)B1(t)ω(t), x(t)〉 Tương tự lấy đạo hàm V˙2(.), V˙3(.) dọc theo quỹ đạo nghiệm của hệ đóng, ta được V˙2(t, xt) = 1 + 3c1 1− δ [‖x(t)‖2 − (1− h˙(t))‖x(t− h(t))‖2] ≤ 1 + 3c1 1− δ [‖x(t)‖2 − (1− δ)‖x(t− h(t))‖2] ≤ 1 + 3c1 1− δ ‖x(t)‖ 2 − (1 + 3c1)‖x(t− h(t))‖2, 55 V˙3(t, xt) = (1 + 3c2)k 1− θ [ k(t)‖x(t)‖2 − (1− k˙(t)) ∫ t t−k(t) ‖x(s)‖2ds] ≤ (1 + 3c2)k 2 1− θ ‖x(t)‖ 2 − (1 + 3c2)k ∫ t t−k(t) ‖x(s)‖2ds. Kết hợp V˙1(.), V˙2(.), V˙3(.) ta có V˙ (t, xt) ≤ (1 + 3c1 1− δ + (1 + 3c2)k 2 1− γ − ε )‖x(t)‖2 −〈P (t)B(t)BT (t)P (t)x(t), x(t)〉 − 〈P (t)B1(t)BT1 (t)P (t)x(t), x(t)〉 −3〈CT (t)C(t)x(t), x(t)〉+ 2〈P (t)B1(t)ω(t), x(t)〉 −3c1‖x(t− h(t))‖2 − 3c2k ∫ t t−k(t) ‖x(s)‖2ds (3.19) ≤ (1 + 3c1 1− δ + (1 + 3c2)k 2 1− θ − ε )‖x(t)‖2 + 2〈P (t)B1(t)ω(t), x(t)〉. (3.20) Lấy tích phân hai vế của (3.19) từ 0 đến t được: V (t, xt)− V (0, x0) ≤ (1 + 3c1 1− δ + (1 + 3c2)k 2 1− θ − ε ) ∫ t 0 ‖x(s)‖2ds +2 ∫ t 0 〈P (s)B1(s)ω(s), x(s)〉ds ≤ (1 + 3c1 1− δ + (1 + 3c2)k 2 1− θ − ε ) ∫ t 0 ‖x(s)‖2ds +2‖P‖‖B1‖ ∫ t 0 ‖ω(s)‖‖x(s)‖ds. Ta có V (t, xt) ≥ 0, V (0, x0) = 〈P (0)x(0), x(0)〉+ 1 + 3c1 1− δ ∫ 0 −h(0) ‖φ(s)‖2ds + (1 + 3c2)k 1− θ ∫ 0 −k(0) ∫ 0 s ‖φ(ξ)‖2dξds ≤ [‖P (0)‖+ (1 + 3c1)h 1− δ + (1 + 3c2)k 2 2(1− θ) ]‖φ‖ 2 = α, 56 ∫ t 0 ‖ω(s)|‖x(s)‖ds ≤ (∫ t 0 ‖ω(s)‖2ds ) 1 2 (∫ t 0 ‖x(s)‖2ds ) 1 2 ≤ ω (∫ t 0 ‖x(s)‖2ds ) 1 2 , trong đó α = [‖P (0)‖+ (1 + 3c1)h 1− δ + (1 + 3c2)k 2 2(1− θ) ]‖φ‖ 2 > 0 ω2 = ∫ ∞ 0 ‖ω(s)‖2ds. Do đó ( ε− 1 + 3c1 1− δ − (1 + 3c2)k 2 1− θ ) ∫ t 0 ‖x(s)‖2ds −2‖P‖‖B1‖ω ( ∫ t 0 ‖x(s)‖2ds) 12 − α ≤ 0, áp dụng giải bất phương trình bậc hai với ε− 1 + 3c1 1− δ − (1 + 3c2)k 2 1− θ > 0 ta có∫ t 0 ‖x(s)‖2ds ≤ (β +√β2 + ηα η )2 , trong đó β = ‖P‖‖B1‖ω, η = ε − 1 + 3c1 1− δ − (1 + 3c2)k 2 1− θ . Cho t → ∞ ta có x(t) ∈ L2([0,∞),Rn). Tiếp theo chúng ta chứng minh điều kiện (1.10) với mọi hàm ban đầu φ ∈ C([−max(h, k), 0],Rn) và hàm nhiễu khác không chấp nhận được ω(t). Với u(t) = −BT (t)P (t)x(t) và (3.16) ta có ‖z(t)‖2 = 〈CT (t)C(t)x(t), x(t)〉+ 〈P (t)BT (t)B(t)P (t)x(t), x(t)〉 +〈CT1 (t)C1(t)x(t− h(t)), x(t− h(t))〉 +〈CT2 (t)C2(t) ∫ t t−k(t) x(s)ds, ∫ t t−k(t) x(s)ds〉 57 +2〈C(t)x(t), C1(t)x(t− h(t))〉+ 2〈C(t)x(t), C2(t) ∫ t t−k(t) x(s)ds〉 +2〈C1(t)x(t− h(t)), C2(t) ∫ t t−k(t) x(s)ds〉 Kết hợp với (3.18) ta được∫ ∞ 0 [‖z(t)‖2 − γ‖ω(t)‖2]dt = ∫ ∞ 0 [‖z(t)‖2 − γ‖ω(t)‖2 + V˙ (t, xt)]dt− ∫ ∞ 0 V˙ (t, xt)dt ≤ ∫ ∞ 0 [ − 2〈CT (t)C(t)x(t), x(t)〉 +〈CT1 (t)C1(t)x(t− h(t)), x(t− h(t))〉 +〈CT2 (t)C2(t) ∫ t t−k(t) x(s)ds, ∫ t t−k x(s)ds〉 +2〈C(t)x(t), C1(t)x(t− h(t))〉 +2〈C(t)x(t), C2(t) ∫ t t−k(t) x(s)ds〉 +2〈C1(t)x(t− h(t)), C2(t) ∫ t t−k x(s)ds〉 −1 γ 〈P (t)B1(t)BT1 (t)P (t)x(t), x(t)〉+ 2〈P (t)B1(t)ω(t), x(t)〉 −γ‖ω(t)‖2 − 3c1‖x(t− h(t))‖2 − 3c2k ∫ t t−k(t) ‖x(s)‖2ds + (1 + 3c1 1− δ + (1 + 3c2)k 2 1− θ − ε )‖x(t)‖2]dt+ α. Lại áp dụng Bổ đề 1.5.1 và 1.5.2 có 2〈C(t)x(t), C1(t)x(t− h(t))〉 − 〈CT (t)C(t)x(t), x(t)〉 ≤ 〈CT1 (t)C1(t)x(t− h(t)), x(t− h(t))〉 ≤ c1‖x(t− h(t))‖2, 58 2〈C(t)x(t), C2(t) ∫ t t−k(t) x(s)ds〉 − 〈CT (t)C(t)x(t), x(t)〉 ≤ 〈CT2 (t)C2(t) ∫ t t−k(t) x(s)ds, ∫ t t−k(t) x(s)ds〉 ≤ c2k ∫ t t−k(t) ‖x(s)‖2ds, 2〈C1(t)x(t− h(t)), C2(t) ∫ t t−k(t) x(s)ds〉 ≤ 〈CT1 (t)C1(t)x(t− h(t)), x(t− h(t))〉 +〈CT2 (t)C2(t) ∫ t t−k x(s)ds, ∫ t t−k x(s)ds〉 ≤ c1‖x(t− h(t))‖2 + c2k ∫ t t−k(t) ‖x(s)‖2ds 2〈P (t)B1(t)ω(t), x(t)〉 − γ‖ω(t)‖2 ≤ 1 γ 〈P (t)B1(t)BT1 (t)P (t)x(t), x(t)〉, 〈CT1 (t)C1(t)x(t− h(t)), x(t− h(t))〉 ≤ c1‖x(t− h(t))‖2 〈CT2 (t)C2(t) ∫ t t−k(t) x(s)ds, ∫ t t−k(t) x(s)ds〉 ≤ c2k ∫ t t−k(t) ‖x(s)‖2ds, Do đó ∫ ∞ 0 [‖z(t)‖2 − γ‖ω(t)‖2]dt ≤ α. Vậy sup ∫∞ 0 ‖z(t)‖2dt c0‖φ‖2 + ∫∞ 0 ‖ω(t)‖2dt ≤ γ với supremum xác định trên φ ∈ C([−h, 0],Rn) và hàm khác không ω(t) ∈ L2([0,∞),Rr), c0 = α γ . Định lý được chứng minh.  Ví dụ 3.8: Xét hệ tuyến tính không ôtônôm (3.17) với hàm giá trị ban đầu φ(t) ∈ C([−1, 0],Rn), hàm trễ biến thiên h(t) = 12 sin2 t, k(t) = sin2 t2 và A(t) = a(t) 0 0 b(t)  , A1(t) = √3 cos t 0 0 √ 2(cos t+ 1)  , 59 A(t) =  1√2(sin t+ 1) 0 0 2 sin t  , B(t) = sin t 0 0 cos2 t+ 1  , B1(t) = √γ(sin2 t+ 12) 0 0 √ γ cos t  , C(t) =  0 0 0 0 0 1√ 3 e 1 2 sin t  , C1(t) =  0 0 0 0 1 0  , C2(t) =  0 0 0 0 1√ 3 1√ 3  , D(t) =  sin t cos t − cos t sin t 0 0  , trong đó a(t) = −1 2 ecos t(sin4 t− 5 2 sin2 t+ sin t+ 15 4 ) + 1 2 sin t− 6e− cos t b(t) = 1 2 esin t(cos4 t+ 3 cos2 t− 4 cos t− 5)− 1 2 cos t− 1− 6e− sin t. Ta có h = δ = k = θ = 12 , c1 = 1, c2 = 1 3 và điều kiện (3.16) đạt được. Cho ε = 10 thoả mãn ε > 1 + 3c1 1− δ + (1 + 3c2)k 2 1− γ . Nghiệm của RDE (3.18) được cho bởi P (t) = ecos t 0 0 esin t  Khi đó bài toán điều khiển H∞ bền vững cho hệ (3.17) có lời giải. Hàm điều khiển ổn định bền vững được định nghĩa bởi u(t) = − sin t.ecos t 0 0 −(cos2 t+ 1)esin t x(t). Tương tự như phần 3.2, chúng ta có hệ quả đối với hệ điều khiển không ôtônôm có trễ cố định và hệ ôtônôm. 60 Hệ quả 3.9: Giả sử h(t) = h, k(t) = k. Bài toán điều khiển H∞ bền vững cho hệ (3.17) có lời giải nếu tồn tại ma trận P ≥ 0 thoả mãn phương trình ma trận P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t)− P (t)[B(t)BT (t)− A1(t)AT1 (t) −A2(t)AT2 (t)−B1(t)BT1 (t) ] P (t) + 3CT (t)C(t) + εI = 0. với ε > 1 + 3c1 + (1 + 3c2)k 2 . Hơn nữa hàm điều khiển ổn định bền vững được xác định bởi: u(t) = −BT (t)P (t)x(t), t ≥ 0. Trường hợp hệ (3.19) là hệ ôtônôm, bài toán điều khiển H∞ (3.19) có lời giải mà không cần điều kiện đạo hàm của các hàm trễ bị chặn bởi 1, h˙(t) ≤ δ < 1, k˙(t) ≤ γ < 1. Với ε xác định như trong Định lý 3.7, ta có hệ quả sau: Hệ quả 3.10: Xét hệ (3.17) là hệ ôtônôm. Khi đó bài toán điều khiển H∞ cho hệ (3.17) có lời giải nếu tồn tại ma trận P ≥ 0 thoả mãn phương trình Riccati đại số PA+ ATP − P (BBT − A1AT1 − A2AT2 − 1 γ B1B T 1 )P + 3C TC + εI = 0. Hàm điều khiển ổn định bền vững được xác định bởi u(t) = −BTPx(t). 61 Kết luận Luận văn đã trình bày bài toán điều khiểnH∞ cho một lớp hệ phương trình vi phân không ôtônôm có trễ. Ngoài phần giới thiệu nghiên cứu và kết quả của bài toán điều khiển H∞ cho các hệ tuyến tính có trễ, luận văn đã phát triển và mở rộng các kết quả của [9, 10] cho hệ tuyến tính không ôtônôm có trễ hỗn hợp. Các kết quả đạt được của luận văn là mới và mở rộng trường hợp cho hệ tuyến tính: ◦ Không ôtônôm. ◦ Có nhiễu. ◦ Có trễ xuất hiện trong cả biến trạng thái và biến quan sát, trễ biến thiên theo thời gian và trễ hỗn hợp. Trong hai trường hợp sau các kết quả không cần giả thiết điều khiển được của hệ, bài toán điều khiển H - vô cùng có lời giải đều dựa vào giả thiết sự tồn tại của phương trình vi phân Riccati. Luận văn đã đưa ra nhiều ví dụ minh họa cho các kết quả lý thuyết. Phương pháp nghiên cứu chính sử dụng trong luận văn là các phương pháp của Đại số tuyến tính, Giải tích và Giải tích hàm, Lý thuyết ổn định và Lý thuyết điều khiển. Công cụ chủ đạo là phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii và nghiệm của các phương trình vi phân Riccati liên quan đến hàm Lyapunov. Tuy nhiên, do khả năng còn hạn chế và thời gian không cho phép nên một số kết quả còn chưa đạt được như mong muốn (ví dụ như trong Định lý 3.4, Định lý 3.7, các hàm trễ biến thiên phải thoả mãn điều kiện đạo hàm bị chặn bởi 1, h˙(t) ≤ δ < 1, k˙(t) ≤ γ < 1). Chúng tôi hi vọng có thể giải quyết triệt để các vấn đề này trong một thời gian không xa. 62 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn T. Hoàn, Phạm Phu (2003), Cơ sở phương trình vi phân và lí thuyết ổn định, NXB Giáo dục. [2] Vũ N. Phát (2001), Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội. Tiếng Anh [3] B.A. Francis (1987), A course inH∞ control theory, Springer-Verlag, Berlin. [4] B.A.Francis and J.C.Doyle, Linear control theory with anH∞ potimality cri- terion, SIAM J. Control Optim, Vol. 25, 815-832. [5] Ikeda M., H. Maeda and S. Komada (1972), Stabilization of linear systems, SIAM J. Control, 10, pp. 716-729. [6] B. van Keulen (1993), H∞ control for distributed parameter systems: A statespace approach. Birkhauser, Boston. [7] P.NIAMSUP and VN Phat (2009), "H∞ optimal control of linear time-varying systems via controllability approach", ScienceAsia, Vol.35, 231-242. [8] VN Phat and Q.P.Ha (2009), "H∞ control and exponential stability for a class of nonlinear non-autonomous with time-varying delay", J.Optim. Theory Appl., Vol. 142, 603-6018. [9] Vu N. Phat and Do Q. Vinh, (2007) "Controllability and H∞ Control for lin- ear Continuous Time-Varying Uncertain Systems", Differential Equations and Applications, Vol.4, 105-111. [10] Vu N. Phat, Do Q. Vinh and Nguyen S. Bay (2008), "L2−stabilization and H∞ control for Linear Non-autonomous Time-delay Systems in Hilbert Spaces 63 via Riccati Equations", Advances in Nonlinear Variational Inequalities, Vol. 11, Number 2, 75-86. 64