Góp phần rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học để giải quyết một số bài toán có nội dung thực tiễn

au khi ®· hîp ®ång xong, vµo giê chãt cã hai ng­êi bËn viÖc ®ét xuÊt kh«ng ®i ®­îc. V× vËy mçi ng­êi cßn l¹i ph¶i tr¶ thªm 30000 ®ång so víi dù kiÕn ban ®Çu. Hái sè ng­êi lóc ®Çu dù ®Þnh ®i du lÞch, mçi ng­êi theo dù kiÕn ban ®Çu ph¶i tr¶ bao nhiªu tiÒn vµ gi¸ cña chuyÕn ®i du lÞch sinh th¸i ®ã, biÕt r»ng B¶n hîp ®ång gi¸ nµy trong kho¶ng tõ 700000 ®ång ®Õn 750000 ®ång. 23. Hai c«ng nh©n cïng lµm chung mét c«ng viÖc trong 3 giê 36 phót th× xong. NÕu ng­êi thø nhÊt lµm trong thêi gian mµ riªng ng­êi thø hai lµm xong c«ng viÖc vµ ng­êi thø hai lµm trong thêi gian mµ riªng ng­êi thø nhÊt lµm xong c«ng viÖc th× c¶ hai ng­êi lµm ®­îc c«ng viÖc. TÝnh thêi gian mçi ng­êi lµm riªng xong c«ng viÖc. 24. Mét xe «t« ®i tõ A ®Õn B, cïng lóc cã ng­êi ®i xe ®¹p tõ B ®Õn A. Ba phót sau khi hai xe gÆp nhau «t« quay ngay l¹i ®uæi xe ®¹p, khi ®uæi kÞp l¹i quay ngay ®Ó ch¹y vÒ B. NÕu lóc ®Çu sau khi gÆp mét phót «t« quay l¹i cßn xe ®¹p sau khi gÆp t¨ng vËn tèc lÇn th× «t« còng chØ mÊt tõng Êy thêi gian. T×m tû sè vËn tèc cña xe ®¹p vµ «t«? VII - C¸c bµi to¸n vÒ cÊp sè: 25. Sinh nhËt cña An vµo ngµy 1 th¸ng 5. B¹n Êy muèn mua mét chiÕc m¸y ¶nh gi¸ 712000 ®ång ®Ó lµm quµ sinh nhËt cho chÝnh m×nh. B¹n Êy quyÕt ®Þnh bá èng heo 100 ®ång vµo ngµy 1 th¸ng 1 cña n¨m ®ã, sau ®ã cø liªn tôc ngµy sau cao h¬n ngµy tr­íc 100 ®ång. Hái ®Õn sinh nhËt cña m×nh An cã ®ñ tiÒn mua quµ kh«ng? 26. §Çu mïa thu ho¹ch xoµi, mét b¸c n«ng d©n ®· b¸n cho ng­êi thø nhÊt, nöa sè xoµi thu ho¹ch ®­îc vµ nöa qu¶, b¸n cho ng­êi thø hai nöa sè cßn l¹i vµ nöa qu¶, b¸n cho ng­êi thø ba nöa sè xoµi cßn l¹i vµ nöa qu¶ v.v... §Õn l­ît ng­êi thø b¶y b¸c còng b¸n nöa sè xoµi cßn l¹i vµ nöa qu¶ th× kh«ng cßn qu¶ nµo n÷a. Hái b¸c n«ng d©n ®· thu häach ®­îc bao nhiªu qu¶ xoµi ®Çu mïa? VIII - Bµi to¸n vÒ L«garit: 27. Víi cïng mét d©y tãc c¸c bãng ®Ìn ®iÖn cã h¬i bªn trong cho mét ®é s¸ng lín h¬n lµ c¸c bãng ch©n kh«ng, bëi v× nhiÖt ®é cña d©y tãc trong hai tr­êng hîp lµ kh¸c nhau. Theo mét §Þnh luËt VËt lý, ®é s¸ng toµn phÇn ph¸t tõ mét vËt thÓ bÞ nung ®Õn tr¾ng t¨ng tØ lÖ víi luü thõa bËc 12 cña nhiÖt ®é tuyÖt ®èi cña nã (®é K). a) H·y tÝnh xem mét bãng ®Ìn cã h¬i víi nhiÖt ®é d©y tãc lµ 2500oK s¸ng h¬n mét bãng ch©n kh«ng cã nhiÖt ®é d©y tãc lµ 2200oK bao nhiªu lÇn? b) Ph¶i t¨ng nhiÖt ®é tuyÖt ®èi lªn chõng nµo (tÝnh theo phÇn tr¨m) ®Ó gÊp ®«i ®é s¸ng cña mét bãng ®Ìn? c) §é s¸ng cña mét bãng ®Ìn t¨ng lªn bao nhiªu (tÝnh theo phÇn tr¨m) nÕu ta t¨ng 1% nhiÖt ®é tuyÖt ®èi d©y tãc cña nã? IX - C¸c bµi to¸n Cùc trÞ cã dïng ®Õn ®¹o hµm: 28. Mét mµn ¶nh h×nh ch÷ nhËt cao 1,4m ®­îc ®Æt ë ®é cao 1,8m so víi tÇm m¾t (tÝnh ®Õn mÐp d­íi cña mµn ¶nh). §Ó nh×n râ nhÊt ph¶i x¸c ®Þnh vÞ trÝ ®øng sao cho gãc nh×n lín nhÊt. H·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ ®ã? A B C D E h 29. Tõ c¶ng A däc theo ®­êng s¾t AB cÇn ph¶i x¸c ®Þnh mét tr¹m trung chuyÓn hµng hãa C vµ x©y dùng mét con ®­êng tõ C ®Õn D. BiÕt r»ng vËn tèc trªn ®­êng s¾t lµ v1 vµ trªn ®­êng bé lµ v2 (v1 < v2). H·y x¸c ®Þnh ph­¬ng ¸n chän ®Þa ®iÓm C ®Ó thêi gian vËn chuyÓn hµng tõ c¶ng A ®Õn c¶ng D lµ ng¾n nhÊt? 30. Tõ mét khóc gç trßn h×nh trô, cÇn xÎ thµnh mét chiÕc xµ cã tiÕt diÖn ngang lµ h×nh vu«ng vµ 4 miÕng phô nh­ h×nh vÏ. H·y x¸c ®Þnh kÝch th­íc cña miÕng phô ®Ó sö dông khèi gç mét c¸ch tèt nhÊt (tøc lµ diÖn tÝch sö dông theo tiÕt diÖn ngang lµ lín nhÊt). 31. Mét vËt ®­îc nÐm lªn trêi xuyªn gãc so víi ph­¬ng n»m ngang, vËn tèc ban ®Çu v0 = 9 m/s. M N K P x a) TÝnh ®é cao nhÊt cña vËt trªn quü ®¹o vµ x¸c ®Þnh thêi ®iÓm mµ nã ®¹t ®­îc ®é cao ®ã (g = 10m/s2) b) X¸c ®Þnh gãc ®Ó tÇm nÐm cùc ®¹i. 32. CÇn ph¶i x©y dùng mét hè ga, d¹ng h×nh hép ch÷ nhËt cã thÓ tÝch V(m3), hÖ sè k cho tr­íc (k- tØ sè gi÷a chiÒu cao cña hè vµ chiÒu réng cña ®¸y. H·y x¸c ®Þnh c¸c kÝch th­íc cña ®¸y ®Ó khi x©y tiÕt kiÖm nguyªn vËt liÖu nhÊt? A B A1 B1 d 33. Hai con tµu ®ang ë cïng mét vÜ tuyÕn vµ c¸ch nhau 5 h¶i lý. §ång thêi c¶ hai tµu cïng khëi hµnh, mét ch¹y vÒ h­íng Nam víi 6 h¶i lý/giê, cßn tµu kia ch¹y vÒ vÞ trÝ hiÖn t¹i cña tµu thø nhÊt víi vËn tèc 7 h¶i lý/ giê. H·y x¸c ®Þnh mµ thêi ®iÓm mµ kho¶ng c¸ch cña hai tµu lµ lín nhÊt? 34. CÇn ph¶i dïng thuyÒn ®Ó v­ît sang bê ®èi diÖn cña mét dßng s«ng ch¶y xiÕt mµ vËn tèc cña dßng ch¶y lµ vc lín h¬n vËn tèc vt cña thuyÒn. H­íng ®i cña thuyÒn ph¶i nh­ thÕ nµo ®Ó ®é dêi theo dßng ch¶y g©y nªn lµ nhá nhÊt? (H×nh vÏ ë trang sau) A B B1 E D C K h b y x z C D O B T A x h1 h2 35. Mét ng­êi lµm nhiÖm vô cøu hé gÇn bê hå, cÇn ph¶i cøu mét ng­êi cã thÓ bÞ chÕt ®uèi ë d­íi hå. NÕu biÕt vËn tèc cña m×nh ë trªn bê lµ v1 vµ ë d­íi n­íc lµ v2, ng­êi cøu hé ph¶i chän ®­êng ®Ó trong thêi gian ng¾n nhÊt tíi ®­îc vÞ trÝ. Quü ®¹o cña anh ta ph¶i tho¶ m·n ®iÒu kiÖn g×? A h B C E H 2 36. H·y x¸c ®Þnh ®é dµi c¸nh tay n©ng cña cÇn cÈu b¸nh h¬i cã thÓ dïng ®­îc ®Ó x©y dùng tßa nhµ cao tÇng m¸i b»ng cã chiÒu cao H vµ chiÒu réng 2? (BiÕt r»ng cÇn cÈu tháa m·n yªu cÇu sau ®©y: Cã thÓ xª xÝch chiÕc cÈu còng nh­ gãc nghiªng cña c¸nh tay n©ng ®Ó sao cho ®iÓm cuèi cña c¸nh tay n©ng chiÕu xuèng theo ph­¬ng th¼ng ®øng th× trïng víi trung ®iÓm cña bÒ réng (H×nh vÏ). Ta gi¶ sö ng«i nhµ x©y dùng trªn miÕng ®Êt réng, cÇn cÈu cã thÓ di chuyÓn tho¶i m¸i). x y 37. Trong lÜnh vùc thuû lîi, cÇn ph¶i x©y dùng nhiÒu m­¬ng dÉn n­íc d¹ng "Thuû ®éng häc" (Ký hiÖu diÖn tÝch tiÕt diÖn ngang cña m­¬ng lµ s, lµ ®é dµi ®­êng biªn giíi h¹n cña tiÕt diÖn nµy,- ®Æc tr­ng cho kh¶ n¨ng thÊm n­íc cña m­¬ng; m­¬ng ®ù¬c gäi lµ cã d¹ng thuû ®éng häc nÕu víi s x¸c ®Þnh, lµ nhá nhÊt). CÇn x¸c ®Þnh c¸c kÝch th­íc cña m­¬ng dÉn n­íc nh­ thÕ nµo ®Ó cã d¹ng thuû ®éng häc? (nÕu m­¬ng dÉn n­íc cã tiÕt diÖn ngang lµ h×nh ch÷ nhËt) h a § N M I r . a 38. CÇn ph¶i ®Æt mét ngän ®iÖn ë phÝa trªn vµ chÝnh gi÷a mét c¸i bµn h×nh trßn cã b¸n kÝnh a. Hái ph¶i treo ë ®é cao bao nhiªu ®Ó mÐp bµn ®­îc nhiÒu ¸nh s¸ng nhÊt. BiÕt r»ng c­êng ®é s¸ng C ®­îc biÓu thÞ bëi c«ng thøc (lµ gãc nghiªng gi÷a tia s¸ng vµ mÐp bµn, k - h»ng sè tû lÖ chØ phô thuéc vµo nguån s¸ng. lêi gi¶i hÖ thèng bµi tËp A B C 10 8 6 5 4 3 1 1. Ký hiÖu nh÷ng ngµy m­a lµ A, nh÷ng ngµy cã giã lµ B, nh÷ng ngµy l¹nh lµ C. Theo gi¶ thiÕt ta cã: n(A) = 10, n(B) = 8, n(C) = 6, n(AB) = 5, n(AC) = 4, n(BC) = 3, n(ABC) = 1. §Ó t×m sè ngµy thêi tiÕt xÊu ta sö dông biÓu ®å Venn. Ta cÇn tÝnh n(ABC) XÐt tæng n(A) + n(B) + n(C): Trong tæng nµy, mçi phÇn tö cña A giao B, B giao C, C giao A ®­îc tÝnh lµm hai lÇn nªn trong tæng n(A) + n(B) + n(C) ta ph¶i trõ ®i tæng (n(AB) + (BC) + (CA)). XÐt n(ABC): trong tæng n(A) + n(B) + n(C) ®­îc tÝnh 3 lÇn, trong n(AB) + (BC) + (CA) còng ®­îc tÝnh 3 lÇn. V× vËy n(ABC) = n(A) + n(B) + n(C) - (n(AB) + (BC) + (CA)) + n(ABC) = 10 + 8 + 6 - (5 + 4 + 3) +1 = 13. VËy sè ngµy thêi tiÕt xÊu lµ 13 ngµy. 2. Gäi A, B, C lÇn l­ît lµ tËp hîp nh÷ng häc sinh xuÊt s¾c vÒ m«n To¸n, m«n VËt Lý, m«n V¨n. Gäi a, b, c lÇn l­ît lµ sè häc sinh chØ ®¹t danh hiÖu xuÊt s¾c mét m«n vÒ m«n To¸n, m«n VËt Lý, m«n V¨n. Gäi x, y, z lÇn l­ît lµ sè häc sinh ®¹t danh hiÖu xuÊt s¾c hai m«n vÒ m«n To¸n vµ m«n VËt Lý, m«n VËt Lý vµ m«n V¨n, m«n V¨n vµ m«n To¸n. Dïng biÓu ®å Venn ®­a vÒ hÖ 6 ph­¬ng tr×nh 6 Èn sau: A(48) B(37) C(42) a b c x y z 4 §S: 65 thÝ sinh ®¹t danh hiÖu xuÊt s¾c 1 m«n 25 thÝ sinh ®¹t danh hiÖu xuÊt s¾c 2 m«n 94 thÝ sinh ®¹t danh hiÖu xuÊt s¾c Ýt nhÊt 1 m«n. * §Ó gi¶i quyÕt hai bµi to¸n nµy cÇn hiÓu vµ n¾m v÷ng c¸c kiÕn thøc vÒ tËp hîp, ®Æc biÖt lµ c¸c phÐp to¸n vÒ tËp hîp vµ suy luËn to¸n häc, mang tÝnh chÊt tæng hîp cña Ch­¬ng TËp hîp. MÖnh ®Ò §¹i sè 10 THPT. V× vËy hai bµi to¸n nµy cã thÓ dïng khi «n tËp ch­¬ng nµy. 3. Chän trôc Oy trïng víi trôc ®èi xøng cña Parabol, trôc Ox n»m trªn nÒn cÇu nh­ H×nh vÏ. Khi ®ã ta cã A(100; 30), C(0; 5), ta t×m ph­¬ng tr×nh cña Parabol cã d¹ng y = ax2 + bx + c. Parabol cã ®Ønh lµ C vµ ®i qua A nªn ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh: B A M1 M2 M3 C y x B' A' y1 y2 y3 30m (100;30) 200m O 5m Suy ra Parabol cã ph­¬ng tr×nh y = x2 + 5. Bµi to¸n ®­a viÖc x¸c ®Þnh chiÒu dµi c¸c d©y c¸p cheo sÏ lµ tÝnh tung ®é nh÷ng ®iÓm M1, M2, M3 cña Parabol. Ta dÔ dµng tÝnh ®­îc tung ®é c¸c ®iÓm cã c¸c hoµnh ®é x1 = 25, x2 = 50, x3 = 75 lÇn l­ît lµ y1 = 6,56 (m), y2 = 11,25 (m), y3 = 19,06 (m). §ã chÝnh lµ ®é dµi c¸c d©y c¸p cheo cÇn tÝnh. * §©y lµ mét vÝ dô minh häa cho viÖc øng dông hµm sè trong thùc tiÔn kh¸ cô thÓ. ChØ cÇn kh¶o s¸t hµm sè bËc hai ta cã thÓ tÝnh ®­îc ®é dµi c¸c d©y c¸p treo vµ tõ ®ã dù ®o¸n ®­îc nguyªn liÖu cÇn dïng ®Õn, tiÕt kiÖm ®­îc nguyªn vËt liÖu còng nh­ kÕ ho¹ch thi c«ng. Bµi nµy cã thÓ dïng khi d¹y bµi Hµm sè bËc hai trong ch­¬ng tr×nh §¹i sè 10 THPT. 4. Gäi x, y lÇn l­ît lµ sè thiÕt bÞ ®iÖn lo¹i A, lo¹i B ®· s¶n xuÊt. Theo bµi ra ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh: Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh trªn ta ®­îc nghiÖm (x = 30, y = 20) VËy ®· s¶n xuÊt ®­îc 30 m¸y ®iÖn lo¹i A vµ 20 m¸y ®iÖn lo¹i B. * Bµi to¸n vÒ HÖ hai ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn häc sinh ®· ®­îc lµm quen ë líp 9, v× vËy viÖc ®­a vµo c¸c bµi to¸n cã néi dung thùc tiÔn, cho d¹ng to¸n nµy lµ hoµn toµn phï hîp cho häc sinh líp 10. Bµi to¸n trªn lµ mét vÝ dô cã thÓ dïng khi d¹y bµi Ph­¬ng tr×nh vµ hÖ ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt trong §¹i sè 10 THPT. 5. Gäi x, y lµ c¸c c¹nh cña tiÕt diÖn. Theo ®Þnh lÝ Pitago ta cã: x2 + y2 = d2 (d lµ ®­êng kÝnh cña th©n c©y). ThÓ tÝch cña c©y xµ sÏ cùc ®¹i khi diÖn tÝch cña tiÕt diÖn lµ cùc ®¹i, nghÜa lµ khi x.y cùc ®¹i. Do xy lín nhÊt khi vµ chØ khi x2y2 lín nhÊt vµ tæng x2 + y2 = d2 kh«ng ®æi, nªn x2y2 cùc ®¹i khi x2 = y2 x = y. VËy c©y xµ ph¶i cã tiÕt diÖn lµ h×nh vu«ng. x x y z z 6. Gäi lµ chiÒu réng cña tÊm kim lo¹i, x lµ chiÒu réng cña mÆt bªn vµ y lµ chiÒu réng cña ®¸y, ta thªm vµo Èn z nh­ h×nh vÏ sau: DiÖn tÝch cña tiÕt diÖn lµ: (1) Ta cÇn t×m x, y, z ®Ó S cùc ®¹i víi 2x + y = kh«ng ®æi. Tõ (1) ta cã 3S2 = (y + z)(y +z)(x + z)(3x - 3z). ¸p dông BÊt ®¼ng thøc C«si ta cã Do ®ã S cùc ®¹i khi y + z = x + z = 3x - 3z x = y = , z =. V× c¹nh z b»ng nöa c¹nh huyÒn nªn gãc ®èi diÖn c¹nh z b»ng 30o, do ®ã gãc t¹o bëi mÆt bªn vµ mÆt ®¸y cña m¸ng lµ 90o + 30o = 120o. Nh­ vËy, m¸ng sÏ cã tiÕt diÖn cùc ®¹i nÕu c¸c c¹nh cña tiÕt diÖn lµ 3 c¹nh liªn tiÕp cña mét lôc gi¸c ®Òu. 7. Gäi x lµ b¸n kÝnh cña h×nh b¸n nguyÖt. Ta cã chu vi cña h×nh b¸n nguyÖt lµ , tæng ba c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt lµ a - x. DiÖn tÝch cöa sæ lµ: = - (. 2x S1 S2 S lín nhÊt khi lín nhÊt, ®iÒu nµy x¶y ra khi vµ chØ khi . VËy ®Ó diÖn tÝch cöa sæ lín nhÊt th× c¸c kÝch th­íc cña nã lµ: chiÒu cao b»ng; chiÒu réng b»ng. 8. Gäi c¹nh cña h×nh vu«ng bÞ c¾t lµ x (0 < x < a/2). x a - 2x Ta cã thÓ tÝch h×nh hép lµ: V = x(a - 2x)2 = .4x.(a - 2x)2. ¸p dông BÊt ®¼ng thøc C«si cho 3 sè: 4x, a - 2x, a - 2x > 0, ta cã V V lín nhÊt khi vµ chØ khi 4x = a - 2x VËy ®Ó thÓ tÝch hép lín nhÊt, cÇn c¾t bèn gãc bèn h×nh vu«ng cã c¹nh. 9. Gäi b¸n kÝnh h×nh trô lµ x (cm) (x > 0), khi ®ã ta cã diÖn tÝch cña hai ®¸y thïng lµ . DiÖn tÝch xung quanh cña thïng lµ: S2 = 2 = 2 = (trong ®ã h lµ chiÒu cao cña thïng vµ tõ V = ta cã). VËy diÖn tÝch toµn phÇn cña thïng lµ: S = S1 + S2 = + h 2R §Ó tiÕt kiÖm vËt liÖu nhÊt th× S ph¶i bÐ nhÊt. ¸p dông BÊt ®¼ng thøc C«si ta cã S = 2(++). Do ®ã S bÐ nhÊt khi=x =. 10. Gäi x lµ chiÒu dµi c¹nh song song víi bê giËu vµ y lµ chiÒu dµi c¹nh vu«ng gãc víi bê giËu, theo bµi ra ta cã x + 2y = a. DiÖn tÝch cña miÕng ®Êt lµ S = y(a - 2y). S cùc ®¹i khi vµ chØ khi 2y(a - 2y) cùc ®¹i. ¸p dông BÊt ®¼ng x y thøc C«si ta cã 2S = 2y(a - 2y). DÊu "=" x¶y ra 2y = a - 2y y =. VËy rµo khu ®Êt cã diÖn tÝch cùc ®¹i khi , . 11. Gäi x lµ b¸n kÝnh h×nh qu¹t, y lµ ®é dµi cung trßn. Ta cã chu vi c¸nh diÒu lµ a = 2x + y. Ta cÇn t×m mèi liªn hÖ gi÷a ®é dµi cung trßn y vµ b¸n kÝnh x sao cho diÖn tÝch qu¹t lín nhÊt. Dùa vµo c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch h×nh qu¹t lµ y x x S = vµ ®é dµi cung trßn, ta cã diÖn tÝch h×nh qu¹t lµ: . VËn dông trong bµi to¸n nµy diÖn tÝch c¸nh diÒu lµ: . Do ®ã S cùc ®¹i khi 2x(a - 2x) cùc ®¹i, ®iÒu nµy x¶y ra khi vµ chØ khi2x = a - 2x . Nh­ vËy víi chu vi cho tr­íc, diÖn tÝch cña h×nh qu¹t cùc ®¹i khi b¸n kÝnh cña nã b»ng nöa ®é dµi cung trßn. 12. Sö dông tæng kh«ng ®æi th× tÝch lín nhÊt vµ tÝch kh«ng ®æi th× tæng nhá nhÊt khi hai sè b»ng nhau. Ta cã c¸nh ®ång ph¶i cã d¹ng h×nh vu«ng th× tho· m·n yªu cÇu bµi to¸n. 13. Gäi x lµ chiÒu dµi cung trßn cña phÇn ®Üa ®­îc xÕp lµm h×nh nãn. Nh­ vËy, b¸n kÝnh R cña ®Üa sÏ lµ ®­êng sinh cña h×nh nãn vµ vßng trßn ®¸y cña h×nh nãn sÏ cã ®é dµi lµ x. B¸n kÝnh r cña ®¸y ®­îc x¸c ®Þnh bëi ®¼ng thøc . ChiÒu cao cña h×nh nãn tÝnh theo §Þnh lý Pitago R r h lµ: h = . ThÓ tÝch cña khèi nãn sÏ lµ: . ¸p dông BÊt ®¼ng thøc C«si ta cã: Do ®ã V cùc ®¹i khi vµ chØ khi Sè ®o cña cung x tÝnh b»ng ®é xÊp xØ b»ng 295o vµ do ®ã cung cña h×nh qu¹t ®· c¾t ®i lµ 65o. 14. NÕu ta ®Æt x, y, z lÇn l­ît lµ chiÒu cao, chiÒu réng vµ chiÒu dµi cña hép diªm. Víi thÓ tÝch cè ®Þnh lµ V, th× tæng diÖn tÝch tÊt c¶ c¸c mÆt hép diªm lµ: S = 2xy + 3yz + 4xz. §Ó tèn Ýt vËt liÖu nhÊt th× S bÐ nhÊt. N¾p MÆt bªn §¸y §Çu MÆt bªn ¸p dông BÊt ®¼ng thøc C«si ta cã S = Do ®ã Ýt tèn vËt liÖu nhÊt khi vµ chØ khi 2xy = 3yz = 4xz x: y: z = 3: 4: 2. 15. Gi¶ sö Tµu ch¹y S km mÊt T ngµy ®ªm. Khi ®ã chi phÝ R sÏ b»ng R = Ta + kTv3 ë ®©y k lµ hÖ sè tØ lÖ vµ v× T = , nªn R = + kS v2. ¸p dông BÊt ®¼ng thøc C«si ta cã R = S ( + + kv2 ) Suy ra tèc ®é ®Ó tµu ch¹y víi c¸c chi phÝ Ýt nhÊt khi = kv2 . * Qua lêi gi¶i nh÷ng bµi to¸n thùc tiÔn øng dông BÊt ®¼ng thøc C«si (tõ bµi 5 ®Õn bµi 15) cã mét sè bµi vËn dông BÊt ®¼ng thøc C«si trùc tiÕp hoÆc kh«ng khã kh¨n l¾m ta cã thÓ ®­a vµo gi¶ng d¹y thay thÕ hoÆc lång ghÐp trong bµi d¹y (nh­ c¸c bµi 5, 7, 8, 9, 10, 12). Mét sè bµi cßn l¹i viÖc vËn dông BÊt ®¼ng thøc C«si cÇn ph¶i biÕn ®æi, dïng ®Õn kü thuËt cã thÓ dïng lµm bµi tËp hoÆc dµnh cho häc sinh kh¸ giái (nh­ c¸c bµi 6, 11, 13, 14, 15). C¸c bµi to¸n nµy cã thÓ dïng khi d¹y bµi BÊt ®¼ng thøc trong Môc BÊt ®¼ng thøc C«si Ch­¬ng tr×nh §¹i sè 10 THPT. 16. Tr­íc hÕt ta h·y ®Æt Bµi to¸n thµnh hÖ bÊt ph­¬ng tr×nh. x y O I A B C 10 7 14 9 6 15 Gäi x, y (x, y N) lÇn l­ît lµ sè xe lo¹i MITSUBISHI, lo¹i FORD cÇn thuª. Tõ bµi to¸n ta ®­îc hÖ bÊt ph­¬ng tr×nh (*) Tæng chi phÝ T(x,y) = 4x + 3y (triÖu ®ång). Thùc chÊt cña Bµi to¸n nµy lµ t×m x, y nguyªn kh«ng ©m tho¶ m·n hÖ (*) sao cho T(x, y) nhá nhÊt. B­íc tiÕp theo ta t×m miÒn nghiÖm cña hÖ bÊt ph­¬ng tr×nh MiÒn nghiÖm lµ miÒn tø gi¸c låi IABC. Ta cÇn x¸c ®Þnh to¹ ®é (x, y) cña mét ®iÓm thuéc miÒn tø gi¸c IABC (kÓ c¶ biªn) sao cho T(x, y) = 4x + 3y ®¹t cùc tiÓu. XÐt hä ®­êng th¼ng cho bëi ph­¬ng tr×nh: 4x + 3y = T (TR) hay , ta thÊy ®­êng th¼ng nµy song song víi ®­êng th¼ng (T0). Khi T t¨ng, ®­êng th¼ng nµy tÞnh tiÕn song song lªn phÝa trªn. Khi T gi¶m, ®­êng th¼ng nµy tÞnh tiÕn song song xuèng phÝa d­íi. Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña T ®¹t ®­îc t¹i ®Ønh I cña tø gi¸c IABC lµ giao ®iÓm cña hai ®­êng th¼ng 2x + 5y = 30 vµ 2x + y = 14. To¹ ®é cña I lµ (xI = 5; yI = 4). Nh­ vËy thuª 5 xe hiÖu MITSUBISHI vµ 4 xe hiÖu FORD th× chi phÝ vËn t¶i lµ thÊp nhÊt. 17. Gäi x, y lÇn l­ît lµ sè kg s¶n phÈm lo¹i I, lo¹i II víi x, y 0. Bµi to¸n ®­a ®Õn t×m x, y tho¶ m·n hÖ bÊt ph­¬ng tr×nh: sao cho 4x + 3y ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt Gi¶i t­¬ng tù nh­ bµi 16, ta cã x = 20, y = 40 th× cã møc lêi cao nhÊt. 18. Gäi x, y lÇn l­ît lµ sè c¸i b¸nh §Ëu xanh, b¸nh DÎo (x, y N). Bµi to¸n trë thµnh t×m x, y 0 tho¶ m·n hÖ sao cho L = 2x + 1,8y lín nhÊt. Gi¶i t­¬ng tù bµi 16, ta cã 19. Gäi x, y lÇn l­ît lµ sè tÊm b×a c¾t theo c¸ch thø nhÊt, thø hai. Bµi to¸n ®­a ®Õn t×m x, y 0 tho¶ m·n hÖ sao cho L = x + y nhá nhÊt §¸p sè: x = 100, y = 300 * C¸c bµi to¸n thùc tiÔn øng dông kiÕn thøc vÒ HÖ bÊt ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn (nh­ c¸c bµi 16, 17, 18, 19), viÖc gi¶i chóng kh«ng thùc sù khã kh¨n l¾m, v× vËy, trong c¸c bµi trªn ta cã thÓ chän hai bµi ®­a vµo gi¶ng d¹y (ch¼ng h¹n, bµi 16 vµ bµi 17) cßn c¸c bµi kh¸c (nh­ bµi 18, 19) cã thÓ lµm c¸c bµi tËp cho häc sinh khi d¹y bµi HÖ bÊt ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt trong Ch­¬ng tr×nh §¹i sè 10 THPT. 20. Gäi x (tÊn) lµ sè c¸ dù ®Þnh ®¸nh b¾t mçi ngµy theo kÕ ho¹ch. Thêi gian ®¸nh b¾t theo kÕ ho¹ch lµ ngµy. Sè c¸ ®¸nh b¾t ®­îc trong 3 ngµy bÞ b·o lµ 3(x - 20) tÊn. Sè c¸ cßn ph¶i ®¸nh b¾t trong ngµy cßn l¹i lµ: 1800 - 3(x - 20) = 1860 - 3x tÊn. Sè c¸ ®¸nh b¾t ®­îc mçi ngµy sau khi b·o lµ: x + 20 tÊn. Sè ngµy ®¸nh b¾t c¸ sau khi b·o lµ ngµy. Theo bµi ra ta cã ph­¬ng tr×nh: 2x2 + 160x - 36000 = 0. Gi¶i ph­¬ng tr×nh ta ®­îc x = 100 tho¶ m·n yªu cÇu bµi to¸n. VËy kÕ ho¹ch ®¸nh b¾t lµ 18 ngµy, mçi ngµy ®oµn tµu ph¶i ®¸nh b¾t 100 tÊn c¸. 21. Gäi v, v0 (km/h) lµ vËn tèc du thuyÒn khi n­íc ®øng yªn, vËn tèc dßng n­íc (còng lµ vËn tèc tr«i cña bÌ gç). Theo bµi ra ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh: §Æt k =(k0) suy ra v = kv0 thay vµo (2) ta ®­îc ph­¬ng tr×nh: 3k2 - 7k = 0 suy ra k = 7/3, thay v = vµo ph­¬ng tr×nh (2) ta ®­îc kÕt qu¶ lµ v = 7km/h, v0 = 3km/h. §¸p sè: VËn tèc thuyÒn khi ®i xu«i dßng lµ 10km/h; vËn tèc dßng n­íc lµ 3km/h. 22. Gäi x (§ång) lµ sè tiÒn mµ mçi ng­êi dù ®Þnh ®ãng gãp cho chuyÕn Du lÞch Sinh th¸i. Suy ra x + 30000 (§ång) lµ sè tiÒn mµ mçi ng­êi ®i ®ãng gãp. Gäi y (ng­êi) lµ sè ng­êi dù ®Þnh ®i lóc ®Çu, suy ra y - 2 (ng­êi) lµ sè ng­êi tham gia chuyÕn du lÞch ®ã. §iÒu kiÖn y N, y > 2. Chi phÝ dù kiÕn cña chuyÕn du lÞch còng chÝnh lµ chi phÝ ghi trong b¶n hîp ®ång lµ xy (§ång) chi phÝ thùc tÕ do c¸c ng­êi tham gia ®ãng gãp lµ: (x + 30000)(y - 2). Ta cã ph­¬ng tr×nh xy = (x + 30000)(y - 2) (1), víi ®iÒu kiÖn 700 xy 750000 (2). Tõ (1) suy ra xy = xy - 2x + 30000y - 60000 x = 15000y - 30000 (3) Thay (3) vµo (2) suy ra 700 y(15000y - 30000) 750000 Ta ®­îc hÖ . Do y N suy ra y = 8 tõ ®ã ta suy ra x =15000.8 -30000 = 90000. §¸p sè: Sè ng­êi lóc ®Çu dù ®Þnh ®i Du lÞch lµ 8 ng­êi Mçi ng­êi dù kiÕn ®ãng gãp 90000 ®ång Chi phÝ chuyÕn ®i Du lÞch Sinh th¸i lµ 720000 ®ång 23. Gäi x (giê), y (giê) lÇn l­ît lµ thêi gian ng­êi thø nhÊt, ng­êi thø hai lµm mét m×nh xong c«ng viÖc. §æi 3 giê 36 phót ra giê. Sè c«ng viÖc ng­êi thø nhÊt lµm trong 1 giê lµ . Sè c«ng viÖc ng­êi thø hai lµm trong 1 giê lµ . Khi ®ã ta cã hÖ: Gi¶i hÖ ®èi xøng lo¹i I nµy ta ®­îc hai nghiÖm vµ Do ®ã thêi gian mçi ng­êi lµm riªng xong c«ng viÖc lµ Ng­êi thø nhÊt 9 giê, ng­êi thø hai 6 giê; hoÆc: Ng­êi thø nhÊt 6 giê, ng­êi thø hai 9 giê 24. Gäi x (km/phót) lµ vËn tèc cña «t«, y (km/phót) lµ vËn tèc cña xe ®¹p. Theo bµi ra ta nhËn thÊy r»ng chuyÓn ®éng cña «t« tõ A ®Õn chç gÆp lÇn thø nhÊt trong c¶ hai tr­êng hîp ®Òu mÊt mét sè thêi gian nh­ nhau vµ chuyÓn ®éng cña «t« tõ chç gÆp lÇn thø nhÊt ®Õn B trong c¶ hai tr­êng hîp còng ®Òu mÊt mét thêi gian nh­ nhau. Ta h·y tÝnh thêi gian trong mçi tr­êng hîp. Sau khi gÆp xe ®¹p lÇn thø nhÊt, «t« ch¹y thªm 3 phót theo chiÒu ®Õn B. Trªn ®­êng ng­îc l¹i tíi chç gÆp lÇn thø nhÊt cÇn 3 phót. Trong thêi gian nµy xe ®¹p ®· ®i ®­îc 6y km tÝnh tõ chç gÆp nhau lÇn thø nhÊt. «t« ®Ó gÆp xe ®¹p lÇn thø hai víi vËn tèc chªnh lÖch (x - y) km/phót vµ cÇn thêi gian phót. Trªn ®­êng ng­îc l¹i tõ chç gÆp lÇn thø hai tíi chç gÆp nhau lÇn thø nhÊt còng bÞ mÊt phót, nghÜa lµ mÊt 3 + 3 + 2 = 6 + phót. Lý luËn t­¬ng tù ta ®­îc: 1+1+ = 2 + phót. Hai thêi gian nµy b»ng nhau v× vËy ta ®­îc ph­¬ng tr×nh: 6 + = 2 + . B¸i to¸n dÉn ®Õn ph­¬ng tr×nh thuÇn nhÊt bËc hai: 7x2 - 16xy - 15y2 = 0 A B C D ¤t« xe ®¹p (gÆp lÇn 1) (gÆp lÇn 2) §Æt t = (tØ sè vËn tèc «t« vµ xe ®¹p). Gi¶i ph­¬ng tr×nh trªn ta ®­îc t = 3 tho¶ m·n. * C¸c bµi 20, 21, 22, 23, 24 ®©y lµ c¸c bµi tËp ®iÓn h×nh vËn dông kiÕn thøc vÒ Ph­¬ng tr×nh, bÊt ph­¬ng tr×nh, hÖ ph­¬ng tr×nh, HÖ bÊt ph­¬ng tr×nh bËc hai vµ ®Æc biÖt vËn dông ph­¬ng ph¸p gi¶i to¸n hÖ ®èi xøng lo¹i I, ph­¬ng tr×nh thuÇn nhÊt bËc hai. v× vËy bµi 22 cã thÓ dïng khi d¹y bµi S¬ l­îc vÒ hÖ bÊt ph­¬ng tr×nh bËc hai, c¸c bµi 21, 23 cã thÓ dïng khi d¹y bµi HÖ ph­¬ng tr×nh bËc hai, c¸c bµi 20, 24 cã thÓ dïng khi d¹y bµi ph­¬ng tr×nh bËc hai trong Ch­¬ng tr×nh §¹i sè 10 THPT. 25. Tõ ngµy 1 th¸ng 1 ®Õn ngµy 1 th¸ng 5 sè ngµy cã Ýt nhÊt lµ: 31 + 28 + 31 + 30 = 120 (ngµy). Sè tiÒn bá èng cña An mçi ngµy t¨ng theo cÊp sè céng víi c«ng sai b»ng 100 ®ång. Do ®ã tæng sè tiÒn cã ®­îc cña An ®Õn ngµy 1 th¸ng 5 lµ: ®ång. VËy An cã ®ñ tiÒn mua quµ sinh nhËt cho m×nh. 26. NÕu ng­êi lµm v­ên cã x qu¶ Xoµi th× ng­êi kh¸ch hµng thø nhÊt ®· mua: qu¶; ng­êi thø 2 mua: qu¶; ng­êi kh¸ch hµng thø 3 mua: qu¶; ... vµ ng­êi kh¸ch hµng thø 7 mua: qu¶. Ta cã ph­¬ng tr×nh: (1) TÝnh tæng c¸c sè h¹ng cña cÊp sè nh©n trong ngoÆc ta ®­îc: Do ®ã ph­¬ng tr×nh (1) x = 127 VËy b¸c n«ng d©n ®· thu ho¹ch ®­îc 127 qu¶ Xoµi ®Çu mïa. * Hai bµi to¸n ®iÓn h×nh trong viÖc vËn dông cÊp sè ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n trong thùc tiÔn phï hîp trong d¹y häc c¸c bµi CÊp sè céng, CÊp sè nh©n trong Ch­¬ng tr×nh §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 11 THPT. 27. a) Gäi x lµ tû lÖ ph¶i t×m, ta cã ph­¬ng tr×nh: , suy ra . ¸p dông B¶ng sè hoÆc tÝnh c¸c l«garit b»ng m¸y tÝnh ta cã. Mét bãng ®Ìn cã h¬i s¸ng gÊp 4 lÇn mét bãng ®Ìn ch©n kh«ng. Suy ra r»ng, mét bãng ®Ìn ch©n kh«ng cã ®é s¸ng lµ 50 nÕn th× còng bãng Êy chøa ®Çy h¬i cã ®é s¸ng lµ 50x4,6 = 230 nÕn. b) Gäi y lµ phÇn tr¨m ph¶i t¨ng nhiÖt ®é tuyÖt ®èi. Ta cã ph­¬ng tr×nh , dïng B¶ng sè hoÆc m¸y tÝnh ta tÝnh ®­îc c) Dïng l«garit c¬ sè 10 th× tõ x = (1,01)12, suy ra lgx = 12lg(1,01), ta tÝnh ®­îc x1,13 nghÜa lµ ®é s¸ng sÏ t¨ng lµ 13%. T­¬ng tù víi sù t¨ng nhiÖt d©y tãc lµ 2%, ta tÝnh ®­îc møc t¨ng ®é chiÕu s¸ng lµ 27%, vµ t¨ng nhiÖt ®é lªn 3% th× møc t¨ng ®é chiÕu s¸ng lµ 43%. ChÝnh v× vËy mµ trong kû nghÖ lµm bãng ®Ìn ®iÖn ng­êi ta nghiªn cøu lµm t¨ng nhiÖt ®é d©y tãc. * Bµi to¸n nµy thÓ hiÖn mét vai trß quan träng cña viÖc øng dông L«garit ®Ó tÝnh to¸n trong thùc tÕ, nhÊt lµ khi tÝnh to¸n víi sè mò lín, cã c¨n thøc bËc lín. Bµi nµy cã thÓ dïng khi d¹y häc bµi Hµm sè l«garit trong Ch­¬ng tr×nh §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 11 THPT. O A C B 1,4 1,8 x 28. Víi bµi to¸n nµy ta cÇn x¸c ®Þnh OA ®Ó gãc BOC lín nhÊt. §iÒu nµy x¶y ra khi vµ chØ khi tgBOC lín nhÊt. §Æt OA = x (m) víi x > 0,ta cã tgBOC = tg(AOC - AOB) = = = = = XÐt hµm sè f(x) = 0 f(x) + 2,4 + _ 0 0 0 x f'(x) Bµi to¸n trë thµnh t×m x > 0 ®Ó f(x) ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. Ta cã f'(x) =, f'(x) = 0 x = 2,4 Ta cã b¶ng biÕn thiªn VËy vÞ trÝ ®øng cho gãc nh×n lín nhÊt lµ c¸ch mµn ¶nh 2,4m. 29. Gäi t lµ thêi gian vËn chuyÓn hµng hãa tõ c¶ng A ®Õn c¶ng D. A C D E h a B Thêi gian t lµ: t = = = = = x f'(x) XÐt hµm sè . øng dông §¹o hµm ta ®­îc nhá nhÊt khi . VËy ®Ó t nhá nhÊt ta chän C sao cho . A B C D d x y 30. Gäi x, y lµ chiÒu réng, chiÒu dµi miÕng phô nh­ h×nh vÏ. Gäi d lµ ®­êng kÝnh cña khóc gç, khi ®ã ta cã tiÕt diÖn ngang cña thanh xµ cã c¹nh lµ vµ 0 < x < , 0 < y < . Theo bµi ra ta ®­îc h×nh ch÷ nhËt ABCD nh­ h×nh vÏ bªn. ¸p dông §Þnh lý Pitago ta cã . Suy ra víi 0 < x < . S lµ diÖn tÝch mét miÕng phô. øng dông §¹o hµm ta cã S lín nhÊt khi vµ chØ khi x = . M N K P x 31. a) VÐc t¬ ®­îc ph©n tÝch thµnh tæng cña hai vÐc t¬ theo hai ph­¬ng vu«ng gãc víi nhau (ph­¬ng ngang vµ ph­¬ng th¼ng ®øng) nh­ h×nh vÏ. VËt cao nhÊt khi , trong ®ã , suy ra (2). Tõ (1) vµ (2) . VËy h lín nhÊt khi vµ chØ khi vµ khi ®ã maxh = = . b) V× quü ®¹o cña vËt nÐm xiªn lµ Parabol nªn tÇm nÐm cña vËt ®­îc tÝnh x = MK.2t =. øng dông §¹o hµm ®èi víi hµm f() =, cho ta tÇm nÐm cùc ®¹i khi = 450. 32. Gäi x, y (x, y > 0) lÇn l­ît lµ chiÒu réng, chiÒu dµi cña ®¸y hè ga. x y h Gäi h lµ chiÒu cao cña hè ga (h > 0). Ta cã suy ra (1), (2). DiÖn tÝch toµn phÇn cña hè ga lµ: S = 2xh + 2yh + xy kÕt hîp (1) vµ (2) ta suy ra . ¸p dông §¹o hµm ta cã S nhá nhÊt khi , khi ®ã . 33. T¹i thêi ®iÓm t sau khi xuÊt ph¸t, kho¶ng c¸ch gi÷a hai tµu lµ d. Ta cã d2 = AB12 + AA12 = (5 - BB1)2 + AA12 = (5 - 7.t)2 + (6t)2 A B A1 B1 d Suy ra d = d(t) = . ¸p dông §¹o hµm ta ®­îc d nhá nhÊt khi (giê), khi ®ã ta cã d3,25 H¶i lý. 34. Gi¶ sö h­íng cña thuyÒn, h­íng cña dßng n­íc ch¶y theo vÐct¬ vËn tèc lµ , nh­ h×nh vÏ. Gäi gãc gi÷a hai vÐct¬ vËn tèc cña thuyÒn vµ cña dßng n­íc lµ , y lµ ®é dêi cña thuyÒn do dßng n­íc ch¶y, b lµ kho¶ng c¸ch gi÷a hai bê s«ng, c¸c ký hiÖu x, h, z, , A, B, C, D, E, B1, K nh­ h×nh vÏ. Ta cã h.vn = vt.vn.sin (v× cïng b»ng diÖn tÝch cña h×nh b×nh hµnh ACDE)Suy ra h = vt. sin. Do + = 1800 (tæng cña hai gãc trong cïng phÝa),suy ra z = - vtcos x = vn - (-vtcos) x = vn + vtcos (x = CD - z).MÆt kh¸c ta cã (Do KD // BB1) A B B1 E D C K h b y x z suy ra XÐt hµm sè ) øng dông §¹o hµm ta cã y nhá nhÊt khi . C D O B T A x h1 h2 35. Gi¶ sö ng­êi cøu hé ë vÞ trÝ C, cÇn cøu mét ng­êi ë vÞ trÝ T. Anh ta chän ®iÓm O lµ ®iÓm anh ta xuèng hå. Víi c¸c ký hiÖu nh­ h×nh vÏ bªn ta cã thêi gian t ng­êi cøu hé ®i lµ: A h B C E 2 víi . øng dông §¹o hµm ta cã t nhá nhÊt khi . 36. Gäi h lµ kho¶ng c¸ch tÝnh tõ mÆt ®Êt H ®Õn ®Çu d­íi cña c¸nh tay CÇn cÈu (0 < h < H). C¸c ký hiÖu , A, B, C, E nh­ H×nh vÏ. Khi ®ã c¸nh tay cÇn cÈu AC lµ: víi 0 < < 90o. Ta cã () = (H-h) + . () = 0 (H - h) tg khi ®ã cos = sin = DÔ thÊy víi nµy th× ACmin vµ ACmin = (H - h) + + ., vËy ®é dµi c¸nh tay n©ng Ýt nhÊt ph¶i lµ ACmin = (H - h) + . 37. Gäi x, y lÇn l­ît lµ chiÒu réng, chiÒu cao cña m­¬ng. Theo bµi ra ta cã: S = xy; . XÐt hµm sè . Ta cã = + 1 = . = 0 , khi ®ã y = = . DÔ thÊy víi x, y nh­ trªn th× m­¬ng cã d¹ng thuû ®éng häc, vËy c¸c kÝch th­íc cña m­¬ng lµ , y = th× m­¬ng cã d¹ng thuû ®éng häc. x y h a § N M I r 38. Gäi h lµ ®é cao cña ®Ìn so víi mÆt bµn (h > 0). C¸c ký hiÖu r, M, N, §, I nh­ H×nh vÏ. Ta cã vµ , suy ra c­êng ®é s¸ng lµ: . øng dông §¹o hµm ta cã C lín nhÊt khi vµ chØ khi , khi ®ã . * C«ng cô §¹o hµm dïng kh¸ hiÖu qu¶ trong viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ. C¸c bµi to¸n cùc trÞ cßn cã thÓ gi¶i ®­îc b»ng ph­¬ng ph¸p dïng BÊt ®¼ng thøc C«si, tuy nhiªn trong c¸c bµi to¸n trªn (c¸c bµi tõ bµi 28 ®Õn bµi 38) viÖc sö dông BÊt ®¼ng thøc C«si lµ gÆp nhiÒu khã kh¨n, ®iÒu nµy thÓ hiÖn r»ng, chñ ®Ò §¹o hµm cã rÊt nhiÒu tiÒm n¨ng trong viÖc khai th¸c nh÷ng bµi to¸n cã néi dung thùc tiÔn. C¸c bµi ë møc ®é võa ph¶i (nh­ c¸c Bµi 30, 32, 33, 37, 38) cã thÓ ®­a vµo d¹y häc trªn líp, c¸c bµi cã cïng møc ®é hoÆc n©ng cao h¬n (nh­ c¸c Bµi 28, 29, 35, 36) cã thÓ dïng lµm bµi tËp cho häc sinh, c¸c bµi khã (nh­ c¸c Bµi 31, 34) cã thÓ dïng cho häc sinh giái khi d¹y häc c¸c bµi Cùc ®¹i vµ cùc tiÓu, Gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm sè trong Ch­¬ng tr×nh Gi¶i tÝch 12 THPT. 2.4. Mét sè gîi ý vÒ ph­¬ng ph¸p d¹y häc sö dông HÖ thèng bµi tËp ®· ®­îc x©y dùng HÖ thèng bµi tËp ®­îc xem lµ c¬ së quan träng trong viÖc lång ghÐp nh÷ng bµi to¸n thùc tiÔn vµo d¹y häc. Tuú vµo tõng ch­¬ng, tõng bµi hay tõng môc, tõng chi tiÕt cô thÓ mµ ta cã kÕ ho¹ch d¹y häc, rÌn luyÖn cho häc sinh n¨ng lùc vËn dông kiÕn thøc To¸n häc vµo thùc tiÔn mét c¸ch phï hîp nhÊt. Nh÷ng bµi to¸n trong HÖ thèng bµi tËp cã thÓ chØ vËn dông vµo bµi d¹y mang tÝnh chÊt ®iÓm tùa, ®Ó bµi d¹y thªm sinh ®éng, tËn dông ®­îc nhiÒu c¬ héi liªn hÖ thùc tÕ h¬n. Trong nhiÒu tr­êng hîp ta cÇn s¸ng t¹o thªm mét sè bµi to¸n kh¸c ®¬n gi¶n h¬n, cô thÓ h¬n, s¸t thùc ®êi sèng thùc tÕ h¬n nh­ng kh«ng phøc t¹p trong viÖc gi¶i chóng. Cô thÓ khi sö dông vµ gi¶ng d¹y HÖ thèng bµi tËp cÇn chó ý nh÷ng ®iÓm sau ®©y: Thø nhÊt: VÒ viÖc khai th¸c HÖ thèng bµi tËp trong gi¶ng d¹y MÆc dï HÖ thèng bµi tËp cã néi dung thùc tiÔn ®­îc lùa chän, c©n nh¾c mét c¸ch thËn träng vÒ néi dung còng nh­ h×nh thøc vµ sè l­îng theo tõng chñ ®Ò kiÕn thøc To¸n trong Ch­¬ng tr×nh THPT; nh­ng trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y cÇn chó ý vËn dông linh ho¹t vµo tõng tr­êng hîp cô thÓ, ch¼ng h¹n: +) §èi víi nh÷ng chñ ®Ò ch­a cã bµi tËp trong HÖ thèng, ta cã thÓ s¸ng t¹o c¸c bµi to¸n cã lêi v¨n mang néi dung thùc tiÔn hoÆc c¸c bµi to¸n kh¸c lµm vÝ dô minh häa cho häc sinh: VÝ dô 1: ë bµi C¸c phÐp to¸n vÒ tËp hîp trong §¹i sè 10 THPT, ta cã thÓ ®­a vµo vÝ dô: Nhµ b¹n An cã hai con mÌo vµ ba con chã. Nhµ b¹n B×nh cã mét con mÌo, hai con chã vµ mét con gµ. Gäi A lµ tËp c¸c con vËt nhµ b¹n An, B lµ tËp hîp c¸c con vËt nhµ b¹n B×nh. H·y t×m: a) AB = ? b) AB = ? c) B \ A = ? Trong vÝ dô trªn, häc sinh th­êng hay m¾c sai lÇm r»ng, con vËt nhµ b¹n An gièng con vËt nhµ b¹n B×nh (ch¼ng h¹n, häc sinh nghÜ sai r»ng: c¸c con mÌo nhµ b¹n An gièng c¸c con mÌo nhµ b¹n B×nh). VÝ dô 2: ë bµi Ph­¬ng tr×nh bËc hai trong SGK §¹i sè 10 THPT hiÖn hµnh, ta cã thÓ ®­a vµo vÝ dô sau: Mét ng­êi ®i xe ®¹p dù ®Þnh trong buæi s¸ng ®i hÕt qu·ng ®­êng 60km. Khi ®i ®­îc qu·ng ®­êng, anh ta thÊy vËn tèc cña m×nh chØ b»ng vËn tèc dù ®Þnh, anh ta bÌn ®¹p nhanh h¬n vËn tèc dù ®Þnh 3km/h, ®Õn n¬i anh ta vÉn chËm mÊt 45 phót. Hái vËn tèc dù ®Þnh cña ng­êi ®i xe ®¹p lµ bao nhiªu? Lêi gi¶i: Gäi v (km/h) lµ vËn tèc dù ®Þnh cña ng­êi ®i xe ®¹p (v > 0). Theo bµi ra ta cã ph­¬ng tr×nh 3v2 - 51v + 180 = 0 (1). Gi¶i ph­¬ng tr×nh (1) ta ®­îc hai nghiÖm v = 12 (tho¶ m·n) vµ v = 5 (lo¹i) Trong bµi to¸n trªn, mÆc dï nghiÖm v = 5 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn bµi to¸n (v > 0), nh­ng nghiÖm nµy vÉn bÞ lo¹i v× hai lý do thùc tÕ sau: thø nhÊt, vËn tèc 5km/h lµ qu¸ chËm kh«ng phï hîp víi vËn tèc b×nh th­êng cña xe ®¹p; thø hai lµ, víi vËn tèc 5km/h, trong buæi s¸ng kh«ng thÓ ®i hÕt qu·ng ®­êng 60km nh­ ®· dù ®Þnh. +) §èi víi häc sinh trung b×nh, yÕu ta cÇn bæ sung nh÷ng bµi to¸n ë møc ®é thÊp h¬n nh÷ng bµi tËp trong HÖ thèng hoÆc sö dông võa ph¶i nh÷ng bµi tËp trong HÖ thèng, cã sù chØ dÉn, gîi ý gióp c¸c em hoµn thµnh ®­îc bµi tËp ë nhµ. +) §èi víi nh÷ng häc sinh kh¸, giái ta cã thÓ lùa chän nh÷ng bµi tËp n©ng cao, ra nhiÒu bµi tËp vÒ nhµ h¬n so víi häc sinh kh¸c. Thø hai: VÒ viÖc lùa chän thêi ®iÓm ®­a c¸c bµi to¸n cã néi dung thùc tiÔn vµo gi¶ng d¹y Tuú thuéc vµo tõng bµi, tõng ch­¬ng mµ ta ®­a bµi to¸n cã néi dung thùc tiÔn vµo thêi ®iÓm nµo lµ phï hîp. Cã thÓ ®­a vµo bµi to¸n cã néi dung thùc tiÔn khi më bµi (hay ®Æt vÊn ®Ò), khi khai th¸c c¸c vÝ dô vµ t×nh huèng thùc tÕ trong x©y dùng vµ cñng cè kiÕn thøc, thay thÕ bæ sung c¸c vÝ dô hoÆc thay thÕ bæ sung bµi tËp trong SGK vµ ®Æc biÖt, cÇn thùc hiÖn nh÷ng buæi ngo¹i khãa øng dông kiÕn thøc To¸n häc vµo thùc tiÔn phï hîp víi tÝnh chÊt, tr×nh ®é cña häc sinh còng nh­ c¬ së vËt chÊt hiÖn t¹i. Thø ba: VÒ ph­¬ng ph¸p gi¶ng d¹y bµi to¸n cã néi dung thùc tiÔn Trong gi¶ng d¹y c¸c bµi to¸n cã néi dung thùc tiÔn, cÇn chó ý vËn dông linh ho¹t c¸c b­íc gi¶i mét bµi to¸n cã néi dung thùc tÕ: B­íc1: ChuyÓn bµi to¸n thùc tÕ vÒ d¹ng ng«n ng÷ thÝch hîp víi lý thuyÕt to¸n häc dïng ®Ó gi¶i (lËp m« h×nh to¸n häc cña bµi to¸n); B­íc 2: Gi¶i bµi to¸n trong khu«n khæ cña lý thuyÕt to¸n häc; B­íc 3: ChuyÓn kÕt qu¶ cña lêi gi¶i To¸n häc vÒ ng«n ng÷ cña lÜnh vùc thùc tÕ. Trong ba b­íc trªn, B­íc 1 th­êng lµ b­íc quan träng nhÊt. §Ó tiÕn hµnh ®­îc b­íc nµy, ®iÒu quan träng lµ tËp luyÖn cho häc sinh biÕt xem xÐt nh÷ng ®¹i l­îng trong nh÷ng mèi liªn hÖ víi nhau, ph¸t hiÖn ra nh÷ng mèi liªn quan vÒ l­îng gi÷a chóng ®Ó trªn c¬ së ®ã cã thÓ biÓu thÞ ®­îc ®¹i l­îng nµy qua ®¹i l­îng kh¸c vµ còng trªn c¬ së ®ã mµ lËp ph­¬ng tr×nh (bÊt ph­¬ng tr×nh, hÖ ph­¬ng tr×nh, hÖ bÊt ph­¬ng tr×nh). 2.5. KÕt luËn Ch­¬ng 2 Trong thùc tÕ d¹y häc, nhiÒu gi¸o viªn rÊt muèn ®­a nh÷ng liªn hÖ, nh÷ng bµi to¸n cã néi dung thùc tiÔn vµo gi¶ng d¹y nh»m gióp häc sinh lÜnh héi kiÕn thøc còng nh­ rÌn luyÖn n¨ng lùc vËn dông kiÕn thøc To¸n häc vµo thùc tiÔn. Tuy nhiªn, c¸c gi¸o viªn cã ý t­ëng nµy ®· gÆp ph¶i mét trong nh÷ng rµo c¶n rÊt ®iÓn h×nh lµ kh«ng cã ®­îc mét sù tÝch luü ®¸ng kÓ vµ hîp lý hÖ thèng c¸c bµi to¸n cã néi dung thùc tiÔn còng nh­ ch­a h×nh dung ®­îc nh÷ng quan ®iÓm s­ ph¹m c¬ b¶n trong viÖc sö dông hÖ thèng bµi tËp nµy. Trong Ch­¬ng 2, luËn v¨n ®· tr×nh bµy nh÷ng Quan ®iÓm vÒ viÖc x©y dùng hÖ thèng bµi tËp; ph©n tÝch chi tiÕt nh÷ng chñ ®Ò cã nhiÒu tiÒm n¨ng, ®Ò xuÊt HÖ thèng bµi tËp cã néi dung thùc tiÔn gãp phÇn quan träng vµo viÖc rÌn luyÖn cho häc sinh n¨ng lùc vËn dông kiÕn thøc To¸n häc ®Ó gi¶i quyÕt mét sè bµi to¸n cã néi dung thùc tiÔn trong d¹y häc To¸n ë tr­êng THPT. §ång thêi ®­a ra mét sè gîi ý vÒ ph­¬ng ph¸p d¹y häc sö dông HÖ thèng bµi tËp ®· ®­îc x©y dùng trong môc 2.4. Ch­¬ng 3 thùc nghiÖm s­ ph¹m 3.1. Môc ®Ých thùc nghiÖm Thùc nghiÖm s­ ph¹m ®Ó kiÓm nghiÖm tÝnh kh¶ thi vµ hiÖu qu¶ cña viÖc lùa chän HÖ thèng bµi tËp cã néi dung thùc tiÔn, ®ång thêi còng nh»m kiÓm nghiÖm tÝnh ®óng ®¾n cña gi¶ thuyÕt khoa häc. 3.2. Néi dung thùc nghiÖm Thùc nghiÖm sö dông HÖ thèng bµi tËp cã néi dung thùc tiÔn ®­îc tiÕn hµnh trong viÖc d¹y häc c¸c tiÕt ë bµi Gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè thuéc Ch­¬ng 2 SGK Gi¶i tÝch 12 THPT. C¨n cø vµo néi dung còng nh­ môc ®Ých, yªu cÇu cô thÓ cña mçi bµi d¹y, trªn c¬ së t«n träng Ch­¬ng tr×nh vµ s¸ch gi¸o khoa hiÖn hµnh, chóng t«i x¸c ®Þnh mét c¸ch t­¬ng ®èi cô thÓ thêi ®iÓm ®­a c¸c bµi to¸n cã néi dung thùc tiÔn vµo gi¶ng d¹y. Néi dung chñ yÕu cña mçi tiÕt häc dùa theo S¸ch gi¸o khoa Gi¶i tÝch 12, ®­îc s¾p xÕp theo nguyªn t¾c thiÕt kÕ nh­ sau: - X¸c ®Þnh nh÷ng kiÕn thøc vµ kü n¨ng c¬ b¶n cña bµi d¹y; - Lùa chän nh÷ng thêi ®iÓm thÝch hîp trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y, nh÷ng néi dung kiÕn thøc cã liªn quan ®Ó ®­a vµo c¸c bµi to¸n cã néi dung thùc tiÔn; - X¸c ®Þnh quü thêi gian cho phÐp ®Ó ®­a vµo c¸c bµi to¸n cã néi dung thùc tiÔn; - §­a vµo nh÷ng bµi to¸n víi sè l­îng vµ møc ®é phï hîp víi bµi d¹y, quü thêi gian thùc hiÖn, phï hîp víi tr×nh ®é nhËn thøc chung cña häc sinh víi ®é khã t¨ng dÇn, theo nh÷ng Quan ®iÓm, nh÷ng gîi ý vÒ ph­¬ng ph¸p d¹y häc c¸c bµi to¸n cã néi dung thùc tiÔn ®· ®­îc tr×nh bµy trong Ch­¬ng 2. 3.3. Tæ chøc thùc nghiÖm 3.3.1. C«ng t¸c chuÈn bÞ §Ó tiÕn hµnh thùc nghiÖm cã hiÖu qu¶, chóng t«i ®· tiÕn hµnh nghiªn cøu kü néi dung, Ch­¬ng tr×nh, s¸ch gi¸o khoa, tµi liÖu båi d­ìng gi¸o viªn, ... vµ kh¶o s¸t t×nh h×nh thùc tÕ viÖc d¹y häc øng dông To¸n häc vµo thùc tiÔn cho häc sinh THPT. Tµi liÖu thùc nghiÖm ®­îc ®­a ra tham kh¶o ý kiÕn nhiÒu gi¸o viªn cã kinh nghiÖm. Tµi liÖu thùc nghiÖm Gåm c¸c bµi to¸n cã néi dung thùc tiÔn mµ t¸c gi¶ ®· lùa chän, s¾p xÕp, hÖ thèng hãa, bæ sung theo ý t­ëng cña ®Ò tµi, ®­îc biªn so¹n thµnh c¸c gi¸o ¸n lªn líp theo ph©n phèi ch­¬ng tr×nh cña Bé gi¸o dôc vµ §µo t¹o. Khi x©y dùng c¸c gi¸o ¸n thùc nghiÖm chóng t«i rÊt chó ý tíi: - Lùa chän thêi ®iÓm cô thÓ ®­a bµi to¸n thùc tiÔn vµo gi¶ng d¹y cho häc sinh; - X¸c ®Þnh quü thêi gian thÝch hîp dµnh cho bµi to¸n thùc tiÔn vµ sö dông hîp lý quü thêi gian ®ã; - C¸c gîi ý vÒ ph­¬ng ph¸p d¹y häc sö dông HÖ thèng bµi tËp ®· ®­îc x©y dùng; - Phèi hîp chÆt chÏ, linh ho¹t, mÒm dÎo gi÷a c¸c néi dung kh¸c cña bµi d¹y víi viÖc d¹y häc c¸c bµi to¸n cã néi dung thùc tiÔn. 3.3.2. Tæ chøc thùc nghiÖm Thùc nghiÖm ®­îc tiÕn hµnh t¹i tr­êng THPT TriÖu S¬n II, huyÖn TriÖu S¬n tØnh Thanh Hãa, trong kho¶ng thêi gian mét th¸ng tõ ngµy 05 th¸ng 10 ®Õn ngµy 15 th¸ng 11 n¨m 2005. Líp thùc nghiÖm lµ líp 12C2 cã 50 häc sinh. Líp ®èi chøng lµ líp 12C5 cã 53 häc sinh. Gi¸o viªn d¹y líp thùc nghiÖm lµ thÇy gi¸o Thi V¨n Chung. Gi¸o viªn d¹y líp ®èi chøng lµ c« gi¸o Lª ThÞ Thøc. Tµi liÖu thùc nghiÖm vµ h­íng dÉn chi tiÕt kÌm theo ®­îc trao ®æi cô thÓ víi gi¸o viªn thùc nghiÖm tr­íc khi gi¶ng d¹y mét tuÇn. ViÖc chuyÓn giao ý t­ëng, néi dung, c¸ch tiÕn hµnh kh«ng cã trë ng¹i g× lín. ý t­ëng chñ ®¹o vµ c¸ch thÓ hiÖn ®­îc cô thÓ hãa qua tµi liÖu thùc nghiÖm. Khi x©y dùng c¸c gi¸o ¸n thùc nghiÖm còng nh­ khi thùc hiÖn c¸c gi¸o ¸n ®ã trong c¸c giê d¹y, chóng t«i lu«n cè g¾ng qu¸n triÖt tinh thÇn nh÷ng quan ®iÓm chØ ®¹o (®· ®­îc tr×nh bµy ë 2.1). 3.4. §¸nh gi¸ kÕt qu¶ thùc nghiÖm 3.4.1. Mét sè ®¸nh gi¸ chung Theo dâi tiÕn tr×nh thùc nghiÖm s­ ph¹m, chóng t«i thÊy r»ng: nh×n chung ®a sè häc sinh häc tËp tÝch cùc, s«i næi h¬n, thÝch thó víi nh÷ng bµi to¸n cã néi dung thùc tiÔn. Sù hÊp dÉn cña c¸c bµi to¸n cã néi dung thùc tiÔn còng chÝnh lµ ë chç g¾n c¸c kiÕn thøc To¸n häc víi c¸c øng dông thùc tÕ ®a d¹ng vµ sinh ®éng cña nã trong häc tËp còng nh­ trong ®êi sèng, lao ®éng, s¶n xuÊt. C¸c tiÒm n¨ng øng dông vµ ý nghÜa to lín cña nh÷ng bµi to¸n cã néi dung thùc tiÔn ®­îc gîi më vµ dÇn dÇn ®­îc cñng cè b»ng HÖ thèng c¸c bµi to¸n cã néi dung thùc tiÔn ®a d¹ng, phong phó. §iÒu ®ã kÝch thÝch høng thó cña c¶ thÇy lÉn trß trong thêi gian thùc nghiÖm. NhËn ®Þnh chung cho r»ng, ®iÒu khã kh¨n nhÊt cÇn vµ cã thÓ v­ît qua - nÕu ý t­ëng nµy ®­îc triÓn khai vÒ sau - lµ lùa chän ®­îc mét HÖ thèng bµi tËp cã néi dung thùc tiÔn thÝch hîp cho mçi tiÕt häc, ®Ó cïng mét lóc ®¹t ®­îc nhiÒu môc ®Ých d¹y häc nh­ ®Ò tµi ®· ®Æt ra. 3.4.2. Mét sè kÕt qu¶ ®Þnh l­îng ViÖc ph©n tÝch ®Þnh l­îng dùa vµo kÕt qu¶ kiÓm tra trong ®ît thùc nghiÖm t¹i hai líp thùc nghiÖm vµ ®èi chøng, nh»m minh häa vµ b­íc ®Çu kiÓm nghiÖm tÝnh kh¶ thi, hiÖu qu¶ cña viÖc lùa chän HÖ thèng bµi tËp cã néi dung thùc tiÔn. Trong qu¸ tr×nh thùc nghiÖm, chóng t«i tiÕn hµnh mét bµi kiÓm tra gåm hai bµi tËp ®Ó ®¸nh gi¸. a) Néi dung bµi kiÓm tra (thêi gian lµm bµi 45 phót) C©u 1: H·y x¸c ®Þnh c¸ch c¾t ®i ë 4 gãc mét tÊm t«n h×nh ch÷ nhËt kÝch th­íc 80cm x 50cm bèn h×nh vu«ng b»ng nhau ®Ó khi gËp l¹i ®­îc mét chiÕc hép kh«ng n¾p cã thÓ tÝch lín nhÊt? C©u 2: CÇn ph¶i ®Æt mét ngän ®iÖn ë phÝa trªn vµ chÝnh gi÷a mét c¸i bµn h×nh trßn cã b¸n kÝnh a. Hái ph¶i treo ë ®é cao bao nhiªu ®Ó mÐp bµn ®­îc nhiÒu ¸nh s¸ng nhÊt? (BiÕt r»ng ®é s¸ng C ®­îc biÓu thÞ bëi c«ng thøc trong ®ã lµ gãc nghiªng gi÷a tia s¸ng vµ mÐp bµn, k lµ h»ng sè tû lÖ chØ phô thuéc vµo nguån s¸ng). b) KÕt qu¶ bµi kiÓm tra Líp §iÓm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tæng sè bµi Líp TN 12C2 0 0 0 0 4 14 11 9 7 4 1 50 Líp §C 12C5 0 0 0 3 11 18 10 7 3 1 0 53 Líp Thùc nghiÖm: YÕu 8%; Trung b×nh 50%; Kh¸ 32%; Giái 10%. Líp §èi chøng: YÕu 26,4%; trung b×nh 52,8%; Kh¸ 18,9%; Giái 1,9%. C¨n cø vµo kÕt qu¶ kiÓm tra, cã thÓ b­íc ®Çu thÊy ®­îc hiÖu qu¶ cña gi¶i ph¸p nh»m t¨ng c­êng, rÌn luyÖn kh¶ n¨ng gi¶i c¸c bµi to¸n cã néi dung thùc tiÔn cho häc sinh THPT mµ chóng t«i ®· ®Ò xuÊt vµ thùc hiÖn trong qu¸ tr×nh thùc nghiÖm. 3.5. KÕt luËn chung vÒ thùc nghiÖm Tõ kÕt qu¶ thùc nghiÖm chóng t«i thÊy r»ng: - ViÖc ®­a c¸c bµi to¸n cã néi dung thùc tiÔn vµo gi¶ng d¹y trªn c¬ së dùa vµo nh÷ng Quan ®iÓm, nh÷ng gîi ý vÒ ph­¬ng ph¸p d¹y häc ®· gãp phÇn rÌn luyÖn cho häc sinh n¨ng lùc vËn dông kiÕn thøc To¸n häc vµo thùc tiÔn. - Sù "cµi ®Æt" mét c¸ch khÐo lÐo c¸c bµi to¸n cã néi dung thùc tiÔn - trªn c¬ së nh÷ng quan ®iÓm chØ ®¹o ®· ®­îc tr×nh bµy ë 2.1, Ch­¬ng 2 - lµm cho gi¸o viªn thùc hiÖn viÖc gi¶ng d¹y kh¸ tù nhiªn, kh«ng miÔn c­ìng vµ kh«ng cã nh÷ng khã kh¨n lín vÒ mÆt thêi gian. - Sè l­îng vµ møc ®é c¸c bµi to¸n cã néi dung thùc tiÔn ®­îc lùa chän vµ c©n nh¾c thËn träng, ®­îc ®­a vµo gi¶ng d¹y mét c¸ch phï hîp, cã chó ý n©ng cao dÇn tÝnh tÝch cùc vµ ®éc lËp cña häc sinh, nªn häc sinh tiÕp thu tèt, tÝch cùc tham gia luyÖn tËp vµ ®¹t kÕt qu¶ tèt. Ph­¬ng ph¸p gi¶ng d¹y c¸c bµi to¸n cã néi dung thùc tiÔn ®· tr×nh bµy ë Môc 2.4, trªn c¬ së kÕ thõa vµ ph¸t huy nh÷ng kinh nghiÖm d¹y häc tiªn tiÕn, ®­îc chuyÓn giao cho gi¸o viªn thùc nghiÖm mét c¸ch thuËn lîi vµ ®­îc vËn dông mét c¸ch sinh ®éng, kh«ng gÆp ph¶i nh÷ng trë ng¹i g× lín vµ c¸c môc ®Ých d¹y häc ®­îc thùc hiÖn mét c¸ch toµn diÖn, v÷ng ch¾c. kÕt luËn LuËn v¨n ®· thu ®­îc nh÷ng kÕt qu¶ chÝnh sau ®©y: 1. Lµm râ ®­îc vai trß quan träng cña viÖc rÌn luyÖn cho häc sinh n¨ng lùc vËn dông kiÕn thøc To¸n häc vµo thùc tiÔn. Vai trß nµy ®­îc cô thÓ hãa b»ng viÖc ph©n tÝch, nhËn xÐt tõng vÊn ®Ò, tõng khÝa c¹nh trong viÖc vËn dông To¸n häc vµo thùc tiÔn ®· tr×nh bµy ë Môc 1.1. 2. LuËn v¨n ®· ph©n tÝch râ thùc tr¹ng cña vÊn ®Ò rÌn luyÖn cho häc sinh n¨ng lùc vËn dông To¸n häc vµo thùc tiÔn b»ng viÖc kh¶o s¸t Ch­¬ng tr×nh, s¸ch gi¸o khoa tr­íc ®©y, hiÖn t¹i còng nh­ s¸ch gi¸o khoa thÝ ®iÓm sau nµy. 3. X©y dùng ®­îc nh÷ng quan ®iÓm chØ ®¹o cho viÖc x©y dùng HÖ thèng bµi tËp cã néi dung thùc tiÔn trong d¹y häc to¸n ë tr­êng THPT vµ nh÷ng gîi ý vÒ ph­¬ng ph¸p d¹y häc nh÷ng bµi tËp ®ã trªn c¬ së t«n träng Ch­¬ng tr×nh, s¸ch gi¸o khoa To¸n vµ kÕ ho¹ch d¹y häc hiÖn hµnh. 4. X©y dùng ®­îc mét HÖ thèng bµi tËp cã néi dung thùc tiÔn trong d¹y häc To¸n ë tr­êng THPT. 5. §· b­íc ®Çu kiÓm nghiÖm b»ng thùc nghiÖm s­ ph¹m nh»m minh häa cho tÝnh kh¶ thi vµ tÝnh hiÖu qu¶ cña viÖc x©y dùng vµ ®­a vµo gi¶ng d¹y c¸c bµi to¸n cã néi dung thùc tiÔn. Tõ nh÷ng kÕt qu¶ trªn cho thÊy nhiÖm vô nghiªn cøu cña luËn v¨n ®· ®­îc hoµn thµnh, gi¶ thuyÕt khoa häc ®Æt ra trong luËn v¨n lµ chÊp nhËn ®­îc. Tµi liÖu tham kh¶o TiÕng ViÖt: 1. NguyÔn Ngäc Anh (2000), øng dông phÐp tÝnh vi ph©n (phÇn ®¹o hµm) ®Ó gi¶i c¸c bµi tËp cùc trÞ cã néi dung liªn m«n vµ thùc tÕ trong d¹y häc To¸n líp 12 THPT, LuËn ¸n TiÕn sÜ gi¸o dôc häc, ViÖn khoa häc gi¸o dôc, Hµ Néi. 2. NguyÔn V¨n Bµng (1997), "L¹i bµn vÒ bµi to¸n më", Nghiªn cøu gi¸o dôc, tr. 6. 3. I. I. Blekman, A. D. M­skix, Ia. G. Pan«vko (1985), To¸n häc øng dông (b¶n dÞch cña TrÇn TÊt Th¾ng), Nxb Khoa häc vµ Kü thuËt, Hµ Néi. 4. Phan §øc ChÝnh, Ng« H÷u Dòng, Hµn Liªn H¶i (1999), Gi¶i tÝch 12, Nxb gi¸o dôc, Hµ Néi. 5. Phan §øc ChÝnh, Ng« H÷u Dòng, TrÇn KiÒu, Ng« Xu©n S¬n (1996), §¹i sè 10 (Ban khoa häc Tù nhiªn), Nxb gi¸o dôc, Hµ Néi. 6. NguyÔn Gia Cèc (1978), Bµn vÒ c¬ cÊu bµi tËp H×nh häc cÊp II, T­ liÖu gi¸o dôc häc m«n To¸n, ViÖn khoa häc gi¸o dôc. 7. V¨n Nh­ C­¬ng, Phan V¨n ViÖn (2000), H×nh häc 10, Nxb gi¸o dôc, Hµ Néi. 8. Do·n Minh C­êng (1998), Giíi thiÖu ®Ò thi tuyÓn sinh vµo §¹i häc n¨m 1997-1998, Nxb gi¸o dôc, Hµ Néi. 9. Ng« H÷u Dòng (1996), "Nh÷ng ®Þnh h­íng c¬ b¶n vÒ môc tiªu vµ néi dung ®µo t¹o cña tr­êng Trung häc c¬ së", T¹p chÝ Th«ng tin khoa häc gi¸o dôc, (56), tr. 13 - 16. 10. Dù th¶o Ch­¬ng tr×nh m«n To¸n c¶i c¸ch gi¸o dôc tr­êng Phæ th«ng trung häc ViÖt Nam (1989), Vô gi¸o dôc phæ th«ng, ViÖn Khoa häc gi¸o dôc. 11. TrÇn TuÊn §iÖp, Ng« Long HËu, NguyÔn Phó Tr­êng (2004), Giíi thiÖu ®Ò thi tuyÓn sinh vµo §¹i häc - Cao ®¼ng toµn Quèc (m«n To¸n), Nxb Hµ Néi, Hµ Néi. 12. TrÇn V¨n H¹o, Cam Duy LÔ (2000), §¹i sè 10 (S¸ch chØnh lÝ hîp nhÊt n¨m 2000), Nxb gi¸o dôc, Hµ Néi. 13. TrÇn V¨n H¹o, Cam Duy LÔ, Ng« Thóc Lanh, Ng« Xu©n S¬n, Vò TuÊn2003), §¹i sè vµ gi¶i tÝch 11 (S¸ch chØnh lÝ hîp nhÊt n¨m 2000, t¸i b¶n lÇn thø ba), Nxb gi¸o dôc, Hµ Néi. 14. Ph¹m V¨n Hoµn, NguyÔn Gia Cèc, TrÇn Thóc Tr×nh (1981), Gi¸o dôc häc m«n To¸n, Nxb Gi¸o dôc, Hµ Néi. 15. Ph¹m V¨n Hoµn, TrÇn Thóc Tr×nh (1975), "Mét sè ý kiÕn vÒ viÖc rÌn luyÖn con ng­êi qua d¹y To¸n", Nghiªn cøu gi¸o dôc, (10), tr. 20 - 25. 16. Tè H÷u (1978), Ra søc ®Èy m¹nh phong trµo thi ®ua hai tèt theo g­¬ng c¸c ®¬n vÞ tiªn tiÕn vÒ gi¸o dôc, Nxb Sù ThËt, tr. 70. 17. TrÇn KiÒu (1978), Lµm râ nÐt h¬n n÷a m¹ch øng dông To¸n häc trong Ch­¬ng tr×nh to¸n phæ th«ng trung häc, T­ liÖu gi¸o dôc häc To¸n häc, tËp 4, ViÖn Khoa häc gi¸o dôc. 18. TrÇn KiÒu (1978), "Suy nghÜ b­íc ®Çu vÒ "To¸n øng dông" trong Ch­¬ng tr×nh To¸n phæ th«ng", T¹p chÝ Nghiªn cøu gi¸o dôc, (4), tr. 15 - 17. 19. TrÇn KiÒu (1988), Néi dung vµ ph­¬ng ph¸p d¹y Thèng kª m« t¶ trong Ch­¬ng tr×nh To¸n C¶i c¸ch ë tr­êng phæ th«ng c¬ së ViÖt Nam, Tãm t¾t LuËn ¸n Phã tiÕn sÜ khoa häc S­ ph¹m - T©m lÝ, ViÖn Khoa häc gi¸o dôc, Hµ Néi. 20. TrÇn KiÒu (1988), "To¸n häc nhµ tr­êng vµ yªu cÇu ph¸t triÓn v¨n hãa to¸n häc", Nghiªn cøu gi¸o dôc, (10), tr. 3 - 4. 21. TrÇn KiÒu (1995), "Mét vµi suy nghÜ vÒ ®æi míi PPDH trong tr­êng phæ th«ng ë n­íc ta", Nghiªn cøu gi¸o dôc, (5), tr. 7. 22. NguyÔn B¸ Kim (1992), "TÝnh thèng nhÊt Toµn thÓ cña c¸c nhiÖm vô m«n To¸n", T¹p chÝ Nghiªn cøu gi¸o dôc, (4), tr. 5 - 6. 23. NguyÔn B¸ Kim, vò D­¬ng Thôy (1992), Ph­¬ng ph¸p d¹y häc m«n To¸n, Nxb Gi¸o dôc, Hµ Néi. 24. NguyÔn B¸ Kim, (2003), Ph­¬ng ph¸p d¹y häc m«n To¸n, Nxb §¹i häc S­ ph¹m, Hµ Néi. 25. Ng« Thóc Lanh, Ng« Xu©n S¬n, Vò TuÊn (2003), Gi¶i tÝch 12 (S¸ch chØnh lÝ hîp nhÊt n¨m 2000, t¸i b¶n lÇn thø ba), Nxb gi¸o dôc, Hµ Néi. 26. Ng« Thóc Lanh, Vò TuÊn, TrÇn Anh B¶o (1999), §¹i sè 10, Nxb gi¸o dôc, Hµ Néi. 27. Ng« Thóc Lanh, Vò TuÊn, Ng« Xu©n S¬n (1999), §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 11, Nxb gi¸o dôc, Hµ Néi. 28. V. I. Lªnin (1963), Bót kÝ TriÕt häc, Nxb Sù thËt, Hµ Néi. 29. Bïi Huy Ngäc (2003), T¨ng c­êng khai th¸c néi dung thùc tÕ trong d¹y häc sè häc vµ ®¹i sè nh»m n©ng cao n¨ng lùc vËn dông To¸n häc vµo thùc tiÔn cho häc sinh trung häc c¬ së, LuËn ¸n TiÕn sÜ gi¸o dôc häc, Tr­êng §¹i häc Vinh, Vinh. 30. §oµn Quúnh (Tæng chñ biªn), NguyÔn Huy §oan (Chñ biªn), §Æng Hïng Th¾ng, TrÇn V¨n Vu«ng (2003), §¹i sè 10 (ThÝ ®iÓm, Ban khoa häc Tù nhiªn), Nxb gi¸o dôc, Hµ Néi. 31. R. I. Ruzavin, A. N­xanbaÐp, G. Sliakhin (1979), Mét sè quan ®iÓm triÕt häc trong To¸n häc, Nxb gi¸o dôc, Hµ Néi. 32. Tµi liÖu chuÈn kiÕn thøc To¸n 12 (1998), Nxb gi¸o dôc, Hµ Néi. 33. §µo Tam (2005), Ph­¬ng ph¸p d¹y häc H×nh häc ë tr­êng Trung häc phæ th«ng, Nxb §¹i häc S­ ph¹m, Hµ Néi. 34. Vò V¨n T¶o (1997), "Bèn trô cét cña gi¸o dôc", Nghiªn cøu gi¸o dôc, (5), tr. 29 - 30. 35. NguyÔn V¨n ThuËn (2004), Gãp phÇn ph¸t triÓn n¨ng lùc t­ duy l«gic vµ sö dông chÝnh x¸c ng«n ng÷ to¸n häc cho häc sinh ®Çu cÊp THPT trong d¹y häc §¹i sè, LuËn ¸n TiÕn sÜ gi¸o dôc häc, Tr­êng §¹i häc Vinh, Vinh. 36. NguyÔn C¶nh Toµn (1967), Phong c¸ch häc tËp míi vÒ m«n To¸n, Nxb gi¸o dôc, Hµ Néi. 37. NguyÔn C¶nh Toµn (1997), Ph­¬ng ph¸p luËn duy vËt biÖn chøng víi viÖc häc, d¹y vµ nghiªn cøu To¸n häc, tËp 2, Nxb §¹i häc Quèc gia Hµ Néi, Hµ Néi. 38. To¸n häc trong thÕ giíi ngµy nay (b¶n dÞch) (1976), Nxb Khoa häc vµ Kü thuËt, Hµ Néi. 39. Trung t©m nghiªn cøu vµ ph¸t triÓn tù häc (1998), Tù häc, tù ®µo t¹o - t­ t­ëng chiÕn l­îc cña ph¸t triÓn gi¸o dôc ViÖt Nam, Nxb gi¸o dôc, Hµ Néi. 40. Hoµng Tôy (1996), "To¸n häc vµ sù ph¸t triÓn", T¹p chÝ Th«ng tin khoa häc gi¸o dôc, (53), tr. 5 - 6. 41. Xavier Roegiers (1998), Khoa s­ ph¹m tÝch hîp hay lµm thÕ nµo ®Ó ph¸t triÓn c¸c n¨ng lùc ë nhµ tr­êng (b¶n dÞch), Nxb gi¸o dôc, Hµ Néi. 42. X. M. Nikolxki (chñ biªn) (2002), Tõ ®iÓn b¸ch khoa phæ th«ng To¸n häc, Nxb Gi¸o dôc, Hµ Néi. TiÕng n­íc ngoµi: 43. X. M. Nikolxki (chñ biªn) (1997), Sè häc 6, Nxb Gi¸o dôc, Moskva (TiÕng Nga). 44. X. M. Nikolxki (chñ biªn) (1997), §¹i sè 7, Nxb Gi¸o dôc, Moskva (TiÕng Nga). 45. G. Bonnafand (1990), Mathematiques Phythagore 6e, Hatier, Paris. 46. To¸n häc trong nhµ tr­êng (TiÕng Nga) c¸c sè: 6/1970; 4/1976; 2/1979; 5/1980; 3/1996. môc lôc Trang Më ®Çu 1 Ch­¬ng 1. Mét sè vÊn ®Ò c¬ së lý luËn vµ thùc tiÔn 6 1.1. Vai trß cña viÖc rÌn luyÖn cho häc sinh n¨ng lùc vËn dông kiÕn thøc To¸n häc vµo thùc tiÔn 6 1.2. VÊn ®Ò bµi to¸n cã néi dung thùc tiÔn trong Ch­¬ng tr×nh vµ S¸ch gi¸o khoa phæ th«ng 23 1.3. Liªn hÖ tíi Ch­¬ng tr×nh, s¸ch gi¸o khoa cña mét sè n­íc trªn thÕ giíi 28 1.4. KÕt luËn Ch­¬ng 1 31 Ch­¬ng 2. Nghiªn cøu viÖc x©y dùng HÖ thèng bµi tËp cã néi dung thùc tiÔn trong d¹y häc To¸n ë tr­êng THPT 32 2.1. Nh÷ng quan ®iÓm vÒ vÊn ®Ò x©y dùng HÖ thèng bµi tËp cã néi dung thùc tiÔn 32 2.1.1. ViÖc x©y dùng HÖ thèng bµi tËp cã néi dung thùc tiÔn ph¶i ®¶m b¶o sù t«n träng, kÕ thõa, ph¸t triÓn Ch­¬ng tr×nh, s¸ch gi¸o khoa hiÖn hµnh 34 2.1.2. HÖ thèng bµi tËp cã néi dung thùc tiÔn tr­íc hÕt ph¶i gãp phÇn gióp häc sinh n¾m v÷ng nh÷ng kiÕn thøc vµ kü n¨ng c¬ b¶n cña Ch­¬ng tr×nh To¸n nãi chung vµ Trung häc phæ th«ng nãi riªng 35 2.1.3. HÖ thèng bµi tËp cã néi dung thùc tiÔn cÇn ®­îc triÖt ®Ó khai th¸c ë nh÷ng chñ ®Ò cã nhiÒu tiÒm n¨ng 36 2.1.4. HÖ thèng bµi tËp cã néi dung thùc tiÔn ph¶i ®­îc chän läc ®Ó néi dung s¸t víi ®êi sèng thùc tÕ, s¸t víi qu¸ tr×nh lao ®éng s¶n xuÊt vµ ®¶m b¶o tÝnh ®a d¹ng vÒ néi dung 37 2.1.5. Trong viÖc x©y dùng HÖ thèng bµi tËp cã néi dung thùc tiÔn, cÇn chó ý khai th¸c nh÷ng bµi To¸n cã néi dung cùc trÞ 38 2.1.6. HÖ thèng bµi tËp cã néi dung thùc tiÔn trong d¹y häc To¸n ë tr­êng THPT ph¶i gióp häc sinh lµm quen dÇn víi ph­¬ng ph¸p m« h×nh hãa to¸n häc 39 2.1.7. HÖ thèng bµi tËp ph¶i ®­îc chän lùa mét c¸ch thËn träng, võa møc vÒ sè l­îng vµ ®¶m b¶o tÝnh kh¶ thi trong kh©u sö dông 42 2.2. Ph©n tÝch tiÒm n¨ng cña mét sè chñ ®Ò trong viÖc rÌn luyÖn cho häc sinh n¨ng lùc to¸n häc hãa t×nh huèng thùc tiÔn 43 2.3. Mét ph­¬ng ¸n x©y dùng HÖ thèng bµi tËp cã néi dung thùc tiÔn 53 2.4. Mét sè gîi ý vÒ ph­¬ng ph¸p d¹y häc sö dông HÖ thèng bµi tËp ®· ®­îc x©y dùng 84 2.5. KÕt luËn Ch­¬ng 2 87 Ch­¬ng 3. Thùc nghiÖm s­ ph¹m 88 3.1. Môc ®Ých thùc nghiÖm 88 3.2. Néi dung thùc nghiÖm 88 3.3. Tæ chøc thùc nghiÖm 89 3.4. §¸nh gi¸ kÕt qu¶ thùc nghiÖm 90 3.5. KÕt luËn chung vÒ thùc nghiÖm 92 kÕt luËn 93 tµi liÖu tham kh¶o 94 Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Tr­êng §¹i häc Vinh NguyÔn V¨n B¶o gãp phÇn rÌn luyÖn cho häc sinh n¨ng lùc vËn dông kiÕn thøc to¸n häc ®Ó gi¶i quyÕt mét sè bµi to¸n cã néi dung thùc tiÔn Chuyªn ngµnh: Lý luËn vµ ph­¬ng ph¸p d¹y häc bé m«n to¸n M· sè: 60. 14. 10 LuËn v¨n th¹c sÜ gi¸o dôc häc Ng­êi h­íng dÉn khoa häc: TS. NguyÔn V¨n ThuËn Vinh - 2005 Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Tr­êng §¹i häc Vinh NguyÔn V¨n B¶o gãp phÇn rÌn luyÖn cho häc sinh n¨ng lùc vËn dông kiÕn thøc to¸n häc ®Ó gi¶i quyÕt mét sè bµi to¸n cã néi dung thùc tiÔn LuËn v¨n th¹c sÜ gi¸o dôc häc Vinh - 2005 Lêi c¶m ¬n LuËn v¨n ®­îc hoµn thµnh t¹i tr­êng §¹i häc Vinh d­íi sù h­íng dÉn khoa häc cña ThÇy gi¸o TS. NguyÔn V¨n ThuËn. Nh©n dÞp nµy, t¸c gi¶ xin bµy tá lßng biÕt ¬n vµ kÝnh träng s©u s¾c tíi ThÇy - ng­êi ®· trùc tiÕp tËn t×nh gióp ®ì t¸c gi¶ hoµn thµnh LuËn v¨n. T¸c gi¶ tr©n träng c¶m ¬n c¸c thÇy c« gi¸o trong chuyªn ngµnh Lý luËn vµ Ph­¬ng ph¸p gi¶ng d¹y bé m«n To¸n, tr­êng §¹i häc Vinh, ®· nhiÖt t×nh gi¶ng d¹y vµ gióp ®ì t¸c gi¶ trong qu¸ tr×nh thùc hiÖn LuËn v¨n. T¸c gi¶ xin bµy tá lßng biÕt ¬n tíi Së Gi¸o dôc vµ §µo t¹o Thanh Hãa, Ban gi¸m hiÖu cïng b¹n bÌ ®ång nghiÖp tr­êng THPT Quan S¬n ®· t¹o ®iÒu kiÖn gióp ®ì t¸c gi¶ trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ nghiªn cøu. T¸c gi¶ xin göi tíi tÊt c¶ c¸c b¹n bÌ vµ ng­êi th©n lßng biÕt ¬n s©u s¾c. Xin ch©n thµnh c¶m ¬n sù quan t©m, gióp ®ì quý b¸u ®ã ! LuËn v¨n kh«ng thÓ tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt, t¸c gi¶ rÊt mong nhËn ®­îc vµ biÕt ¬n c¸c ý kiÕn ®ãng gãp cña c¸c thÇy c« gi¸o vµ c¸c b¹n. Vinh, th¸ng 12 n¨m 2005. T¸c gi¶