Góp phần rèn luyện và phát triển tư duy toán học cho sinh viên ngành sư phạm toán thông qua hoạt động huy động - tổ chức vận dụng các kiến thức và kinh nghiệm

Đỗ Văn Hùng ... Rèn luyện và phát triển t− duy toán học ..., TR. 28-36 28 GóP PHầN Rèn luyện và phát triển t− duy toán học cho sinh viên ngành s− pHạM toán thông qua hoạt động Huy động - Tổ chức vận dụng các kiến thức và kinh nghiệm Đỗ Văn Hùng (a) Tóm tắt. Trong bài viết này, chúng tôi đề cập đến vấn đề rèn luyện và phát triển t− duy toán học cho sinh viên đại học ngành s− phạm toán trong quá trình dạy học toán ở tr−ờng s− phạm dựa trên việc h−ớng dẫn sinh viên tham gia hoạt động Huy động - Tổ chức vận dụng các kiến thức và kinh nghiệm. Đây là một trong những hoạt động hữu hiệu để rèn luyện và phát triển t− duy cho sinh viên trong quá trình dạy học toán. 1. Đặt vấn đề Rèn luyện và phát triển t− duy nói chung, t− duy toán học nói riêng cho sinh viên s− phạm trong quá trình dạy học toán là một yêu cầu, một nhiệm vụ quan trọng, đ−ợc đặt ra từ lâu trong các tr−ờng s− phạm. Đây không phải là vấn đề mới, nó đã đ−ợc nhiều tác giả quan tâm ở những mức độ khác nhau và cũng đ−ợc nhiều nhà khoa học chọn làm các đề tài nghiên cứu. Ngày nay, tr−ớc sự đổi mới và phát triển, tr−ớc yêu cầu của xã hội, của khoa học công nghệ, đòi hỏi ngành giáo dục đào tạo phải đáp ứng nguồn nhân lực có chất l−ợng cao, đào tạo ra những con ng−ời năng động, sáng tạo hơn trong lao động và cuộc sống thì vấn đề này càng đòi hỏi các tr−ờng s− phạm phải quan tâm nhiều hơn. Các thao tác cơ bản và cần thiết để rèn luyện và phát triển t− duy toán học cho ng−ời học trong quá trình dạy học toán, cũng nh− các ph−ơng pháp t− duy đã đ−ợc nhiều nhà nghiên cứu khoa học giáo dục đề cập trong các giáo trình Tâm lý học, Giáo dục học, Lý luận và ph−ơng pháp dạy học bộ môn toán,… Tuy nhiên, một trong những khó khăn đặt ra cho giáo viên đang giảng dạy ở các tr−ờng phổ thông hiện nay là với một khoảng thời gian ngắn giảng dạy trên lớp, ng−ời giáo viên phải làm thế nào, dạy nh− thế nào để vừa giúp học sinh lĩnh hội đ−ợc những nội dung kiến thức theo ch−ơng trình quy định, vừa rèn luyện và phát triển t− duy toán học cho học sinh trong quá trình dạy học toán. Để nâng cao hiệu quả việc rèn luyện và phát triển t− duy toán học cho học sinh trong quá trình dạy toán ở phổ thông sau này thì ngoài việc phải hiểu thấu, nắm vững kiến thức chuyên môn, ph−ơng pháp dạy học bộ môn, tr−ớc hết mỗi sinh viên ngành s− phạm toán phải có kỹ năng, có ph−ơng pháp để rèn luyện và phát triển t− duy toán học của mình ngay trong quá trình học toán ở tr−ờng s− phạm. 2. Rèn luyện và phát triển t− duy trong dạy học toán 2.1. Cơ sở khoa học của việc rèn luyện và phát triển t− duy toán học Theo Tâm lý học, T− duy là quá trình nhận thức, phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính quy luật của các sự vật và hiện t−ợng. Sản phẩm của t− duy là những khái niệm, phán đoán, suy luận đ−ợc biểu đạt bằng ngôn Nhận bài ngày 06/5/2008. Sửa chữa xong 21/7/2008. tr−ờng Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVII, số 2A-2008 29 ngữ nói, viết, ký hiệu. Theo K. K. Plantônôv, t− duy là một hoạt động trí tuệ với quá trình gồm 4 b−ớc cơ bản: xác định đ−ợc vấn đề (tìm đ−ợc câu hỏi cần giải đáp); huy động tri thức, kinh nghiệm, liên t−ởng hình thành giả thuyết và cách giải quyết vấn đề, trả lời câu hỏi; kiểm nghiệm xác minh giả thuyết (chứng minh); nhận xét, đánh giá kết quả, vận dụng. Theo Từ điển Tiếng Việt (Hoàng Phê - chủ biên), t− duy là “giai đoạn cao của quá trình nhận thức, đi sâu vào cái bản chất và phát hiện ra quy luật của sự vật bằng những hình thức nh− biểu t−ợng, phán đoán và suy lý”. Nh− vậy, t− duy giúp con ng−ời nắm đ−ợc bản chất và quy luật vận động của tự nhiên, xã hội và con ng−ời; t− duy có tác dụng cải tạo lại thông tin nhận thức cảm tính làm cho chúng có ý nghĩa hơn trong cuộc sống; t− duy vận dụng những cái đã biết để đề ra giải pháp giải quyết những cái t−ơng tự, do đó tiết kiệm đ−ợc công sức. T− duy toán học đ−ợc hiểu là quá trình nhận thức, phản ánh những thuộc tính bản chất, phát hiện ra những mối quan hệ bên trong có tính quy luật của các đối t−ợng toán học mà tr−ớc đó ta ch−a biết. Sản phẩm của t− duy toán học là những khái niệm, những định lý, quy tắc, ph−ơng pháp, suy luận,… mang tính khái quát, tính trừu t−ợng cao, có tính khoa học, tính lôgic chặt chẽ, các tri thức có mối quan hệ mật thiết và hỗ trợ lẫn nhau, đ−ợc biểu đạt chủ yếu bằng ngôn ngữ viết (ký hiệu, biểu thức, công thức,…). Theo Ph−ơng pháp dạy học đại c−ơng môn toán của tác giả Nguyễn Bá Kim [3] thì: việc dạy học toán không chỉ dừng lại ở chỗ chỉ để ng−ời học lĩnh hội đ−ợc tri thức toán học, rèn luyện đ−ợc các kỹ năng, kỹ xảo, mà đòi hỏi không ngừng nâng cao yêu cầu để thúc đẩy sự phát triển của ng−ời học, buộc họ phải tích cực suy nghĩ, phấn đấu nhằm đạt đ−ợc mục tiêu, đồng thời qua đó hình thành và rèn luyện cho ng−ời học những ph−ơng pháp suy nghĩ, ph−ơng pháp t− duy và ph−ơng pháp làm việc khoa học. Phát triển t− duy toán học cho ng−ời học là một lĩnh vực vừa rộng lớn, vừa khó khăn, ng−ời giáo viên dạy toán cần phải biết tích luỹ kiến thức, rút kinh nghiệm một cách th−ờng xuyên và lâu dài, để từ đó vững vàng hơn về chuyên môn nghiệp vụ, có những biện pháp rèn luyện và phát triển t− duy toán học một cách thích hợp cho từng loại học sinh trong quá trình giảng dạy. Theo tác giả Nguyễn Duy Thuận [6] thì việc rèn luyện và phát triển t− duy cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng trong sự nghiệp giáo dục, đặc biệt là trong quá trình dạy học toán. Nó phải trải qua một quá trình th−ờng xuyên vận dụng các nguyên tắc t− duy cơ bản một cách thích hợp, phải xuất phát từ các vấn đề dễ đến khó, đi từ các tr−ờng hợp đơn giản đến phức tạp, phải vận dụng các ph−ơng pháp suy luận một cách linh hoạt. Kiến thức toán học đ−ợc sắp xếp theo hệ thống lôgic chặt chẽ và liên tục, tri thức tr−ớc làm cơ sở cho tri thức sau cho nên phải hiểu và nắm vững kiến thức, có kiến thức mới có cơ sở để dựa trên đó mà t− duy đúng đắn, hiểu biết càng sâu sắc, kiến thức càng vững vàng thì t− duy càng chính xác, càng mạch lạc. Đỗ Văn Hùng ... Rèn luyện và phát triển t− duy toán học ..., TR. 28-36 30 Việc hiểu, nắm vững hệ thống kiến thức đã học và thực hành vận dụng chúng th−ờng xuyên trong học tập là cơ hội để rèn luyện t− duy, tạo dựng đ−ợc kỹ năng t− duy và vì thế t− duy càng đ−ợc phát triển. Tuy nhiên, nếu chỉ dừng lại ở việc thực hành vận dụng kiến thức đã học theo khuôn mẫu đã đ−ợc sắp đặt, định sẵn mà không có sự phân tích, đánh giá, phê phán để loại bỏ những bất hợp lý và đúc rút kinh nghiệm thì t− duy cũng sẽ thiếu linh hoạt. Việc đúc rút tích luỹ kinh nghiệm sau khi giải quyết một vấn đề, một bài toán không chỉ là cơ hội rèn luyện hoàn thiện các thao tác t− duy mà còn giúp ng−ời học t− duy sâu sắc hơn, phát triển hơn. Một trong những hoạt động hữu hiệu để rèn luyện và phát triển t− duy toán học cho học sinh trong quá trình dạy học toán là h−ớng dẫn cho học sinh tham gia hoạt động Huy động - Tổ chức vận dụng các kiến thức và kinh nghiệm đã có. 2.2. Những khía cạnh cần rèn luyện cho sinh viên trong quá trình dạy học toán Để phát triển t− duy toán học trong quá trình dạy học toán, chúng ta cần chú ý rèn luyện cho ng−ời học một số ý thức và kỹ năng nh−: ý thức tự học, tự phát hiện và giải quyết vấn đề; kỹ năng sử dụng các ph−ơng pháp suy luận phân tích, tổng hợp; kỹ năng vận dụng các thao tác t− duy khái quát hoá, đặc biệt hoá, t−ơng tự và quy nạp,… trong quá trình giải quyết vấn đề. Cụ thể là: - Phân tích bài toán một cách toàn diện d−ới nhiều khía cạnh, nhiều góc độ khác nhau, chia bài toán thành nhiều bài toán nhỏ, xét các khả năng có thể xảy ra, đ−a bài toán về dạng có thể sử dụng đ−ợc các định lý, công thức, khái niệm đã biết, trên cơ sở đó tìm ra mối quan hệ giữa các đối t−ợng, các khái niệm và từ đó huy động các kiến thức, kinh nghiệm đã có để dự đoán cách giải quyết cho từng vấn đề, từng tr−ờng hợp. - Chuyển từ việc nghiên cứu cách giải quyết những tr−ờng hợp đơn lẻ, tr−ờng hợp cụ thể của bài toán sang giải quyết tr−ờng hợp tổng quát hoặc ng−ợc lại, từ đó có thể cho ta những gợi ý tốt để tìm ph−ơng án, cách thức giải quyết và vận dụng những kiến thức, kinh nghiệm đã có vào thực hiện giải quyết các vấn đề. - Khai thác đánh giá cách giải quyết bài toán để phát hiện ra các sai lầm, nguyên nhân sai lầm, tìm ra nhiều cách giải khác nhau, từ đó tìm đ−ợc cách giải quyết tốt hơn, rút ra ph−ơng pháp giải chung cho lớp các bài toán t−ơng tự hoặc đề xuất ra các vấn đề mới, bài toán mới. - Tổng kết, đúc rút kinh nghiệm và tìm cách ứng dụng vào giải quyết các vấn đề trong thực tiễn. Thông th−ờng, tr−ớc một vấn đề, một bài toán mới cần giải quyết, sinh viên phải thực hiện một loạt các hoạt động trí tuệ: 1) Xác định yêu cầu, nhiệm vụ cần giải quyết, xác định các dữ kiện đã biết, từ đó dùng các thao tác t− duy phát hiện ra mối quan hệ giữa chúng và mối quan hệ với kiến thức, kinh nghiệm đã có; tr−ờng Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVII, số 2A-2008 31 2) Khoanh vùng, huy động những kiến thức liên quan (khái niệm, tính chất, định lý, quy tắc,…) và những kinh nghiệm đã có, đã sử dụng (vấn đề t−ơng tự, bài toán t−ơng tự, cách thức giải quyết,…) có thể vận dụng trong tr−ờng hợp này, tự đặt ra những câu hỏi và tìm cách tự trả lời, từ đó đ−a ra những phán đoán, định h−ớng cách giải quyết; 3) Lập kế hoạch giải quyết từng b−ớc các vấn đề đặt ra, xác định vấn đề nào cần giải quyết tr−ớc vấn đề nào giải quyết sau, kiến thức nào vận dụng tr−ớc kiến thức nào vận dụng sau,… và thực hiện từng b−ớc theo kế hoạch giải; 4) Phân tích −u, nh−ợc điểm của cách giải quyết đã thực hiện để tìm cách giải quyết khác hợp lý hơn, từ đó đúc rút, tích luỹ kinh nghiệm; 5) Thay đổi các dữ kiện của bài toán ở mức độ khác nhau, tìm cách phát triển các vấn đề, bài toán đã giải quyết thành những vấn đề mới, bài toán mới. Hoạt động huy động - vận dụng các kiến thức liên quan và kinh nghiệm đã có của sinh viên để phát triển t− duy toán học cho sinh viên diễn ra trong suốt quá trình học toán, tuy nhiên hoạt động này mang lại hiệu quả nhiều hơn trong quá trình thực hiện các b−ớc giải các bài toán. Theo G. Pôlya, muốn huy động những kiến thức liên quan, những kinh nghiệm đã có và vận dụng chúng một cách thích hợp vào giải quyết các bài toán cụ thể thì ng−ời học cần phải biết: khoanh vùng các kiến thức đã biết t−ơng ứng với bài toán; xác định các mối quan hệ giữa bài toán đang giải quyết với các khái niệm, định lý, công thức, tính chất, với các dạng bài toán đã biết; hồi t−ởng lại những khái niệm, định lý, công thức, tính chất, các dạng bài toán đã biết cách giải;… 2.3. Một số ví dụ Sau đây, chúng tôi đ−a ra một vài ví dụ minh hoạ về việc từng b−ớc rèn cho sinh viên một số hoạt động trí tuệ trong quá trình tự học, tự nghiên cứu khi thực hành giải các bài toán sơ cấp. Ví dụ 1: Tìm (100) ?f = biết (0) 5( 1) 3. ( ) f f n f n =  + = với n N∈ . Để giải quyết bài toán này, sinh viên có thể thực hiện một loạt các hoạt động trí tuệ sau đây: 1). Xác định yêu cầu của bài toán là tìm (100) ?f = với dữ kiện (0) 5 ( 1) 3. ( ) f f n f n =  + = / n N∈ , đồng thời định h−ớng cách giải quyết bằng cách từ biểu thức đã cho biết, tính lần l−ợt từng giá trị (1); (2); ...f f để tìm đ−ợc (100)f . Tuy nhiên, nhận thấy ngay rằng việc làm nh− vậy không hiệu quả vì tốn nhiều thời gian và công sức trong quá trình tính toán. 2). Huy động các kiến thức liên quan và kinh nghiệm đã có, sinh viên nhận thấy đây là bài toán dạng tìm giá trị của một hàm số với đối số là số tự nhiên n hoặc nhận thấy đây là bài toán tìm số hạng 100u của một cấp số nhân: 0 1 2, , ,..., nu u u u có Đỗ Văn Hùng ... Rèn luyện và phát triển t− duy toán học ..., TR. 28-36 32 0 5, 3u q= = . Nh− vậy, các kiến thức và kinh nghiệm cần huy động, vận dụng ở đây liên quan đến hàm số, tính giá trị của hàm số hoặc tìm số hạng của một cấp số nhân,… Vấn đề đặt ra là phải biểu diễn ( )f n bằng một biểu thức đơn giản hơn hoặc dùng công thức tính số hạng tổng quát của một cấp số nhân. 3). Lập kế hoạch giải quyết bài toán này là tìm cách biểu diễn ( )f n về dạng hàm số ( ) 5.3nf n = (bằng ph−ơng pháp quy nạp) hoặc dùng công thức tìm số hạng tổng quát của một cấp số nhân là 5.3n n u = và từ đó có thể tính (100)f nhanh hơn. 4). Nhận xét −u, nh−ợc điểm của cách giải này, sinh viên sẽ nhận thấy rằng: tuy phải làm một bài toán trung gian, nh−ng thời gian và công sức tính toán giảm đi rất nhiều. Từ đó, rút ra kinh nghiệm là tr−ớc một bài toán ta nên suy nghĩ tìm cách đ−a về các dạng bài toán quen thuộc đã biết cách giải. 5). Phân tích bài toán, thay đổi thêm, bớt các dữ kiện của bài toán, dùng các ph−ơng pháp suy luận khái quát hoá, t−ơng tự,… để phát triển thành bài toán mới, bài toán tổng quát. Chẳng hạn, từ cách giải và kết quả giải bài toán đã cho, ta có thể rút ra công thức cho bài toán dạng tổng quát Tìm ( ) ?f k = biết (0)( 1) . ( ) f a f n b f n =  + = với n N∈ , khi đó kết quả cần tìm là: ( ) . kf k a b= ; hoặc phát triển thành bài toán: Tìm (100) ?f = biết (0) 5( 1) 3. ( ) 4 f f n f n =  + = + với n N∈ . Để tìm kết quả bài toán này, sinh viên có thể vận dụng kinh nghiệm đúc rút đ−ợc từ cách giải bài toán trên bằng cách biến đổi dữ kiện bài toán đã cho về dạng [ ] (0) 5 ( 1) 2 3. ( ) 2 f f n f n =  + + = + và đặt ( 1) ( 1) 2F n f n+ = + + . Việc huy động - vận dụng các kiến thức và kinh nghiệm còn đòi hỏi sinh viên phải có kỹ năng t− duy linh hoạt, phải biết vận dụng những tính chất định lý thích hợp, vận dụng ph−ơng pháp giải những bài toán t−ơng tự đã biết, đồng thời phải th−ờng xuyên rèn luyện. Ví dụ 2: Tìm các số n Z∈ sao cho: 14 +n và 4 3 24 6 4 5n n n n+ + + + là các số nguyên tố. Giải bài toán này sinh viên cần phải: 1). Xác định đ−ợc yêu cầu của bài toán là tìm số n Z∈ , với dư kiện bài toán đã cho biết 14 +n và 4 3 24 6 4 5n n n n+ + + + là các số nguyên tố. 2). Huy động các kiến thức liên quan, các kinh nghiệm đã có về số nguyên, số nguyên tố, ph−ơng pháp chứng minh một biểu thức là số nguyên tố, biến đổi biểu thức thành nhân tử,… từ đó định h−ớng tìm cách giải. 3). Lập kế hoạch giải và thực hiện các b−ớc giải: biến đổi các biểu thức thành nhân tử với hệ số nguyên, cho các thừa số bằng 1 tìm n và xét các điều kiện còn lại tr−ờng Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVII, số 2A-2008 33 của bài toán, từ đó tìm ra các giá trị thích hợp. Ta có: ).21).(.21(.2)1(1 222224 nnnnnnn ++−+=−+=+ , nhận thấy các nhân tử không có hệ số nguyên, do đó phải tìm trực tiếp và sinh viên có thể tìm đ−ợc nhiều giá trị, chẳng hạn: 1; 2; 6;...n = ± ± ± Măt khác 4 3 2 2 2 2 24 6 4 5 .( 1) 4 .( 1) 5.( 1)n n n n n n n n n+ + + + = + + + + + = 2 2 2 2( 1).( 4 5) ( 1).[( 2) 1]n n n n n= + + + = + + + . Theo giả thiết 4 3 24 6 4 5n n n n+ + + + là số nguyên tố nên 2 2( 1).[( 2) 1]n n+ + + là số nguyên tố. Khi đó 2 2 1 1 0 2( 2) 1 1 n n nn  + = = ⇔  = −+ + =  . Kiểm chứng cả hai tr−ờng hợp ta thấy chỉ có 2−=n thoả mãn điều kiện 14 +n và 4 3 24 6 4 5n n n n+ + + + là các số nguyên tố. 4). Từ cách giải bài toán, thấy rằng vấn đề cốt lõi ở đây là sinh viên biết cách biến đổi các biểu thức thành nhân tử, biết chọn biểu thức thích hợp và vận dụng khái niệm số nguyên tố. 5). Thay đổi các biểu thức dữ kiện của bài toán hoặc thay đổi cách diễn đạt ta có các bài toán mới, chẳng hạn: Cho Zn ∈ , chưng minh ră ng 14 +n và 4 3 24 6 4 5n n n n+ + + + là các số nguyên tố khi và chỉ khi 2n = − . Ví dụ 3: Cho đ−ờng tròn (O) và hai dây cung AB, CD cắt nhau tại E. Giả sử M là một điểm thuộc đoạn BE. Tiếp tuyến tại E với đ−ờng tròn ngoại tiếp tam giác DEM cắt dây BC tại F và cắt dây AC kéo dài tại G. Chứng minh: EF MB EG MA = (xem hi nh 1). 1). Yêu cầu giải quyết của bài toán là cụ thể rõ ràng, tuy nhiên việc định h−ớng để tìm ngay ra cách giải thì không đơn giản, cho nên sinh viên cần phải phân tích kỹ dữ kiện của bài toán để hiểu rõ bài toán. 2). Huy động - Vận dụng các kiến thức, kinh nghiệm đã có vào giải quyết bài toán này sinh viên phải t− duy một cách linh hoạt, tư đăt ra các câu hỏi và tự tìm cách trả lời để nhận dạng, phân loại, khoanh vùng bài toán; phải biết phỏng đoán (đôi khi phải mò mẫm) để định hướng các kiến thức liên quan, các kinh nghiệm đã biết cần huy động, vận dụng chứng minh bài toán. Chẳng hạn - Xét xem biểu thức cần phải chứng minh trong bài toán t−ơng đ−ơng với những biểu thức nào? D C B F A G M E Hình 1 Đỗ Văn Hùng ... Rèn luyện và phát triển t− duy toán học ..., TR. 28-36 34 ( . . . 1 . EF MB EF MAEF MA EG MB EG MA EG MB = ⇔ = ⇔ = ); - Các đoạn EF, EG, MB, MA quan hệ với những đối t−ợng hình học nào? (đoạn EF là cạnh của các tam giác EFB và EFC, đoạn EG là cạnh của các tam giác EAG và EAC, các đoạn MA, MB có thể biểu diễn ,MA ME EA MB EB ME= + = − ); - Các đoạn ME, EA, EB quan hệ với những đối t−ợng hình học nào? (đoạn ME là cạnh của tam giác EMD, đoạn EA là cạnh của tam giác ECA, đoạn EB là cạnh của tam giác ECB); - Các đ−ờng tròn, tiếp tuyến đ−ờng tròn, các góc nội tiếp, các tam giác ABC, EMD nội tiếp các đ−ờng tròn cho biết những quan hệ gì với các đoạn thẳng trong các tỷ lệ thức? - Nhớ lại hoặc liên hệ với những công thức, định lý, tính chất, các bài toán t−ơng tự đã giải,… Tư các phán đoán về quan hệ giữa các đối t−ợng hình học theo phân tích ở trên, sinh viên có thể tự huy động các kiến thức, kinh nghiệm đ−a ra hàng loạt mối quan hệ và kết quả để phán đoán, định h−ớng tìm cách chứng minh bài toán. 3). Chưng minh: Do các tam giác ECB, ECA có cùng chiều cao hạ từ C và áp dụng tính chất diện tích tam giác, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) dt ECF dt EFB EB dt ECB dt ECF dt EFB dt EMD dt ECG dt EAGEA dt ECA dt ECG dt EAG dt EMD + + = = = − − . áp dụng công thức tính diện tích tam giác qua 2 cạnh và sin của góc xen giữa, ta có: ( ) . ( ) . dt ECF EF ECFEC DEG EMD dt EMD ME MD ∠ = ∠ = ∠ ⇒ = và ( ) .( ) . dt ECG EC EG dt EDM ME MD = . ( ) . ( ) . dt EFB EF EBMDE BEF AEG dt EMD DM DE ∠ = ∠ = ∠ ⇒ = và ( ) .( ) . dt AEG EA EG dt EDM DM DE = . Khi đó ( ) ( ) . . ( . . )( ) ( ) . . ( ) ( ) . . ( . . ) ( ) ( ) . . dt ECF dt EFB EF EC EF EB EB EF EC DE EB MEdt EMD dt EMD ME MD DM DE dt ECG dt EAG EC EG EA EGEA EG EC DE EA ME dt EMD dt EMD ME MD DM DE + + + = = = − − − . Măt khác . .EC ED EA EB= , tr−ờng Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVII, số 2A-2008 35 nên . .( ) . . . .( ) . . EB EF EB EA EM EF EB MA EA EG EA EB EM EG EA MB + = = − . Suy ra . 1 . EF MA EF MB EG MB EG MA = ⇔ = . Qua cách giải, cách chứng minh các bài toán trên cho thấy, trong quá trình tự học, tự nghiên cứu để giải quyết một bài toán, đòi hỏi sinh viên phải nắm vững kiến thức cơ bản, phải biết huy động - vận dụng linh hoạt các kiến thức và kinh nghiệm đã có một cách thích hợp, đồng thời cũng đòi hỏi sinh viên phải có năng lực phán đoán, năng lực phân tích, tổng hợp, năng lực vận dụng các công thức, quy tắc, tính chất,… và qua đó có thể rèn luyện và phát triển t− duy toán học tốt hơn. Để sinh viên có thể lựa chọn huy động - vận dụng kiến thức cần thiết và kinh nghiệm hợp lý trong quá trình dạy học toán, qua đó rèn luyện và phát triển t− duy toán học thì tr−ớc hết cần phải quan tâm đến việc làm cho sinh viên hiểu và nắm vững các kiến thức, phải th−ờng xuyên đ−ợc thực hành và vận dụng kiến thức đã học, phải biết tự đúc rút tích luỹ kinh nghiệm th−ờng xuyên sau khi giải quyết các vấn đề, các bài toán. • Hiểu và nắm vũng kiến thức để làm cơ sở, nền tảng cho việc t− duy và tiếp nhận tri thức mới, phát hiện ra những thuộc tính bản chất, những quy luật, những mối quan hệ của các đối t−ợng toán học, đồng thời tránh mắc sai lầm trong t− duy. • Thưc hành và vận dụng kiến thức th−ờng xuyên sẽ tạo điều kiện huy động kiến thức để hiểu thấu và nắm vững kiến thức, đồng thời hình thành phong cách suy nghĩ và rèn luyện các thao tác t− duy làm cho t− duy càng phát triển. • Tích luỹ kinh nghiệm để có thể lựa chọn, vận dụng các thao tác t− duy một cách linh hoạt, hợp lý và khoa học; tránh sai lầm trong vận dụng các thao tác t− duy vào các tr−ờng hợp cụ thể; đây là công cụ, cơ hội để phát triển t− duy làm cho t− duy ngày càng phát triển. 3. Kết luận Việc rèn cho sinh viên có thói quen th−ờng xuyên biết lựa chọn những kiến thức cần thiết, những kinh nghiệm phù hợp trong rất nhiều kiến thức và kinh nghiệm đã tích luỹ đ−ợc, đồng thời biết vận dụng chúng vào giải quyết các vấn đề, các bài toán cụ thể, là th−ớc đo về hiệu quả của việc hiểu thấu và nắm vững kiến thức, của việc th−ờng xuyên đ−ơc thực hành và vận dụng kiến thức, cũng nh− của việc đúc rút tích luỹ kinh nghiệm trong quá trình học toán. Chính vì vậy, nó có ảnh h−ởng rất lớn và trực tiếp trong việc rèn luyện và phát triển t− duy toán học cho sinh viên. Đỗ Văn Hùng ... Rèn luyện và phát triển t− duy toán học ..., TR. 28-36 36 Tài liệu tham khảo [1] Jean - Marie Monier, Đại số 1 (Giáo trình toán - Tập 5), NXB GD, Hà Nội, 2000. [2] Jean - Marie Monier, Hình học (Giáo trình toán - Tập 7), NXB GD, Hà Nội, 2000. [3] Nguyễ̃n Bá̃ Kim, Ph−ơng pháp dạy học đại c−ơng môn toán, NXB ĐHSP, Hà Nội, 2006. [4] Hoàng Kỳ (chủ biên), Đại số sơ cấp và Thực hành giải toán, NXB ĐHSP, Hà Nội, 2005. [5] Phạm Thế Long (chủ biên), Toán rời rạc, NXB ĐHSP, Hà Nội, 2004. [6] Nguyễn Duy Thuận, Giáo trình Phát triển t− duy toán học cho học sinh, NXB ĐHSP, Hà Nội, 2007. [7] Nguyễn Quang Uẩn (chủ biên), Tâm ly học đại c−ơng, NXB ĐHSP, Hà Nội, 2003. Summary Fostering and developing Mathematical thinking for university students of Maths through activities: mobilizing and applying knowledge and experience In this paper, we discussed the ways to foster and develop mathematical thinking for university students of maths in pedagogical universities by showing them how to mobilize and apply their knowledge and experience. This is one of teacher’s effective ways in fostering and developing mathematical thinking for students while teaching maths. (a) Tr−ờng Đại học s− phạm đồng tháp.