Hệ động lực học dạng phương trình sai phân bậc nhất

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG VÕ THỊ NI NA HỆ ĐỘNG LỰC HỌC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN BẬC NHẤT Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60. 46. 01.13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG - 2016 Công trình được hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS. Lê Hải Trung Phản biện 1: TS. Lê Hoàng Trí Phản biện 2: GS.TS. Lê Văn Thuyết Luận văn đã bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Phương pháp toán sơ cấp họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng 08 năm 2016. Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng. - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng. 1MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong thời gian gần đây, lý thuyết điều khiển toán học là một trong những lĩnh vực toán học ứng dụng được nhiều nhà nghiên cứu rất quan tâm. Công cụ chính của lý thuyết điều khiển toán học là dùng những mô hình và các phương pháp toán học ứng dụng để giải quyết những vấn đề định tính của các hệ thống điều khiển. Rất nhiều bài toán thực tiễn trong các lĩnh vực khoa học, công nghệ, kinh tế được mô tả bởi các phương trình toán học điều khiển thuần túy và cần đến những công cụ toán học tinh vi, hiện đại để tìm lời giải. Trong thực tiễn, nhiều bài toán đề cập tới vấn đề kĩ thuật, điều khiển thường liên quan đến hệ động lực học được mô tả bởi các phương trình sai phân với thời gian liên tục hoặc rời rạc. Nội dung của nó là đưa các bài toán cần xét về việc giải phương trình sai phân hoặc hệ phương trình sai phân. Trong lý thuyết điều khiển cũng như trong nhiều vấn đề của các ngành khoa học khác, việc giải quyết các phương trình sai phân có ý nghĩa rất lớn vì các mô hình động lực sẽ dẫn đến phương trình sai phân của một hay nhiều hàm số. Thông thường nếu gọi các biến độc lập là n và các hàm số là 1 2 ky , y ,..., y thì thông qua việc giải các phương trình sai phân thu được ta sẽ tìm ra các quan hệ 1 2 ky (n), y (n),..., y (n) từ đó tìm ra các tính chất của hệ động lực được khảo sát. 2Vì vậy, để tìm hiểu ứng dụng của toán học, cụ thể là ứng dụng của phương trình sai phân trong việc mô tả, biểu diễn và nghiên cứu hệ động lực học và được sự gợi ý của giáo viên hướng dẫn nên tôi chọn đề tài « Hệ động lực học dạng phương trình sai phân bậc nhất » làm đề tài luận văn thạc sĩ của mình. 2. Mục tiêu nghiên cứu của đề tài Mục tiêu của đề tài là dựa vào phương trình sai phân bậc nhất phân tích một cách toàn diện và đầy đủ về sự ổn định của các hệ động lực học phổ biến như: logistic, lều,... Ngoài ra, các nguyên lý cơ bản của sự phân nhánh và lý thuyết ổn định cũng được đề cập và nghiên cứu trong đề tài. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3.1. Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu các mô hình động lực học dạng phương trình sai phân bậc nhất. 3.2. Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu về các mô hình động lực học được mô tả bởi phương trình sai phân bậc nhất một biến, giải số phương trình sai phân, tiêu chuẩn tiệm cận, phương trình logistic và phân nhánh 4. Phương pháp nghiên cứu Trong luận văn, các phương pháp sử dụng nằm trong các lĩnh vực sau đây: Toán học giải tích, Giải tích hàm, Lý thuyết phương trình vi phân, Lý thuyết sai phân 5. Đóng góp của đề tài Đề tài có ý nghĩa về mặt lý thuyết, có thể sử dụng như là tài 3liệu tham khảo dành cho học sinh, sinh viên và giáo viên giảng dạy quan tâm đến động lực học và phương trình sai phân bậc nhất 6. Cấu trúc của luận văn Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung của luận văn gồm hai chương. Mở đầu Giới thiệu cơ sở khoa học và tính thực tiễn của đề tài, mục đích của đề tài, nội dung và một số vấn đề khác theo quy định. Chương 1. Sơ lược về phương trình sai phân Chương 1 trình bày các khái niệm cơ bản về phương trình sai phân, sai phân hữu hạn của hàm số một biến thực, phương trình sai phân bậc nhất. Chương 2. Hệ động lực học dạng phương trình sai phân bậc nhất Trong chương 2, luận văn giới thiệu về điểm cân bằng trong hệ động lực học, sơ đồ bước cầu thang, sơ đồ mạng nhện cũng như nghiệm số của phương trình sai phân. Ngoài ra, tiêu chuẩn tiệm cận gần đúng của điểm cân bằng, các định nghĩa về điểm định kì và chu trình, lưu vực hấp dẫn và sự ổn định toàn cục cũng được khái quát trong chương 2. Kết luận Nêu tóm tắt những kết quả mà luận văn đạt được. 4CHƯƠNG 1 SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 1.1. SAI PHÂN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN THỰC. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 1.1.1. Sai phân của hàm số một biến thực Xét hàm số một biến thực ( )y n và 0.h  Định nghĩa 1.1. Biểu thức ( ) ( ) ( )y n y n h y n    (1.1) được gọi là sai phân hữu hạn thứ nhất hay sai phân hữu hạn bậc nhất của ( ),y n trong đó ( )y n là xác định tại các điểm mà ta tiến hành xem xét. Sai phân hữu hạn bậc cao được xác định bởi biểu thức: 1( ) ( y( )).k ky n n    (1.2) Kí hiệu 0 ( ) y(0).y n  Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta chứng minh được sai phân hữu hạn bậc k là tuyến tính, tức là: ( ( ) g(n)) ( ( )) (g( )); (C ( )) C ( ( ).k k k k kf n f n n f n f n         Giá trị ( )k y n dễ dàng được biểu diễn qua giá trị của hàm ( )y n tại các điểm , ,..., .n n h n kh  Ta có được công thức sau đây: 0 ( ) ( 1) y( ). k k k i i k i y n C n ih      (1.3) Để ý rằng, nếu như trong công thức (1.3) ta thực hiện phép đổi biến của chỉ số m k i  và sử dụng công thức ,i k ik kC C  khi đó ta nhận được: 50 ( ) ( 1) y( ( ) ). k k m m k m y n C n k m h       Một cách hoàn toàn tương tự, bằng phương pháp quy nạp toán học, ta cũng chứng minh được công thức: 0 ( ) y( ). k i i k i y n kh C n     (1.5) 1.1.2. Các khái niệm cơ bản của phương trình sai phân Định nghĩa 1.2. Phương trình có dạng (n, y(n), y(n),..., ( )) 0,kF y n   (1.6) được gọi là phương trình sai phân. Nếu trong (1.6) ta biểu diễn các sai phân hữu hạn bởi công thức (1.3) thì ta nhận được phương trình: ( ,y(n), ( ),..., ( )) 0.G n y n h y n kh   (1.7) Định nghĩa 1.3. Phương trình (1.7) được gọi là phương trình sai phân cấp .k Định nghĩa 1.4. Một hàm liên tục ( )y n được gọi là nghiệm của phương trình  1.7  trên tập , nếu thay nó vào phương trình thì ta nhận được đẳng thức đúng trên . Giả sử 1.h  Khi đó phương trình  1.7  có dạng: ( , ( ), ( 1),..., ( )) 0.G n y n y n y n k   (1.8) 1.2. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN BẬC NHẤT Xét phương trình: 0( ) f(n), n ,y n   (1.12) 6hay ( 1) ( ) ( ).y n y n f n   Đặt vào phương trình cuối lần lượt các giá trị 0 0, 1, ..., 1,n n n n n k     rồi cộng dồn lại và tiến hành đổi biến :k n ta nhận được: 0 1 0( ) ( ), ( ). n i n y n C f i C y n      (1.13) Phương trình vi phân cấp một '(x) (x)y f tương ứng với (1.13) có dạng: 0 ( ) ( )dx . x x y x C f x   Đối với phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất dạng ' ( ) ( )y p x y f x  thì công thức nghiệm tổng quát có dạng: 0 0 0 ( ) exp( ( ) )[C+ f( ) exp( ( ) ) ]. x x n x x x y x p n dn n p d dn     7CHƯƠNG 2 HỆ ĐỘNG LỰC HỌC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN BẬC NHẤT 2.1. CẤU TRÚC CƠ BẢN Phương trình sai phân thường được sử dụng để mô tả sự vận động của một hiện tượng nào đó trong tự nhiên mang tính quy luật theo thời gian. Ví dụ như việc mô tả quá trình phát triển dân số từng năm của một quốc gia hay một vùng nào đó. Nếu gọi ( 1)x n  là số dân tại thời điểm năm thứ ( 1)n thì ( 1)x n  là một hàm theo ( ).x n Sự liên hệ này được biểu thị bởi phương trình sai phân sau đây: ( 1) ( ( )).x n f x n  (2.1) Tập hợp 0{ ( ) : n 0} nf x  với 0 0 0( )f x x theo định nghĩa được gọi là quỹ đạo của 0x và được kí hiệu là 0( ).O x Nếu hàm f trong (2.1) được thay thế bởi hàm g hai biến: : ,g   Z R R trong đó Z là tập các số nguyên không âm và R là tập các số thực. Khi đó ta có: ( 1) ( , ( )).x n g n x n  (2.2) Phương trình có dạng (2.2) được gọi là không ô-tô-nôm hay nói một cách khác, phương trình này phụ thuộc vào biến thời gian. Trong khi đó phương trình có dạng (2.1) được gọi là ô-tô-nôm hay không phụ thuộc vào biến thời gian. 82.2. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH BẬC NHẤT Trong phần này chúng ta nghiên cứu dạng đặc biệt của (2.1) và (2.2), đó là các phương trình tuyến tính. Phương trình tuyến tính bậc nhất thuần nhất được cho bởi công thức: 0 0 0( 1) ( ) ( ), (n ) , n 0,x n a n x n x x n     (2.3) và phương trình tuyến tính không thuần nhất được cho bởi phương trình: 0 0 0y( 1) ( ) y( ) g(n), (n ) , n 0.n a n n y y n      (2.4) Nghiệm duy nhất của phương trình không thuần nhất (2.4) được cho bởi công thức: 00 1 11 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ). n nn r ni n i r y n a i y a i g r                  (2.6) Ví dụ 2.1. Giải phương trình: Lời giải. 2 !nn Ví dụ 2.2. Tìm lời giải cho phương trình: ( 1) 2 ( ) 3 , (1) 0.5.nx n x n x    Lời giải. 23 5.2n n Ví dụ 2.3. Một loại thuốc được uống 4 giờ một lần. Gọi ( )D n là lượng thuốc trong hệ thống máu tại thời điểm .n Cơ thể loại bỏ ( 1) ( 1) y(n) 2 ( 1)!, (0) 1, 0.ny n n n y n       9một phần p nào đó trong mỗi khoảng thời gian. Giả sử lượng dùng thêm vào là 0 ( )D n , tìm ( )D n và lim ( ). n D n Lời giải. 0 0 00( ) (1 p) , lim ( ) . n n D D D D n D D n p p p         2.3. ĐIỂM CÂN BẰNG Định nghĩa 2.1. Điểm *x thuộc miền xác định của hàm f được gọi là điểm cân bằng của (2.1) nếu nó là điểm bất động của ,f nghĩa là  * *    .f x x Định nghĩa 2.2. Lấy một điểm x thuộc miền xác định của hàm .f Nếu tồn tại một số r nguyên dương và điểm cân bằng *x của (2.1) mà *( ) ,rf x x 1 *( ) .rf x x  Khi đó x được gọi là điểm cân bằng cuối cùng. Ví dụ 2.3. Bản đồ Lều Xét phương trình: (Xem hình 2.3) ( 1) ( ( )),x n T x n  với 1 2 0 , 2( ) 1 2(1 ) 1. 2 x x T x x x        Như vậy 1 4 là điểm cân bằng cuối cùng. 10 Định nghĩa 2.3. Điểm cân bằng *x của (2.1) là ổn định nếu 0,   sao cho *0x x   kéo theo *0( )nf x x   với mọi n 0. Và trong trường hợp ngược lại thì *x được gọi là không ổn định. Định nghĩa 2.4. *x được gọi là điểm hấp dẫn nếu 0  sao cho *(0)x x   kéo theo *lim (n) . n x x  Nếu    thì *x được gọi là tập hút toàn cục. Định nghĩa 2.5. Điểm *x được gọi là điểm cân bằng ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và hấp dẫn. Nếu    thì *x được gọi là ổn định tiệm cận toàn cục. 2.3.1. Sơ đồ bước cầu thang Sau đây là một phương pháp đồ họa quan trọng cho việc phân tích sự ổn định của điểm cân bằng của  2.1 . Với ( 1) ( ( ))x n f x n  ta vẽ đồ thị của hàm f trên mặt phẳng ( ( ), ( 1)).x n x n Sau đó, cho 0(0)x x ta xác định giá trị của (1)x bằng cách vẽ một đường thẳng đứng qua 0x sao cho đường thẳng này cắt đồ thị của f tại 0( , (1)).x x Tiếp theo vẽ một đường ngang từ 0( , (1))x x giao với đường y x tại ( (1), (1)).x x Một đường thẳng đứng vẽ từ điểm ( (1), (1))x x giao với đồ thị f tại điểm ( (1), (2)).x x 11 Cứ tiếp tục quá trình này, người ta có thể thấy ( )x n với mọi 0.n  2.3.2. Định lý mạng nhện trong kinh tế học Nếu các nhà cung cấp ít nhạy cảm giá hơn so với người tiêu dùng ( ),s dm m thì khi đó thị trường sẽ ổn định. Trong trường hợp các nhà cung cấp có nhạy cảm giá nhiều hơn so với người tiêu dùng thì khi đó thị trường không ổn định. Ta cũng có thể tìm giải đóng của (2.23) bằng cách sử dụng các phần mềm toán học, chẳng hạn như Maple. Chương trình nhập vào sẽ có dạng: 0({ (n+1) a* (n) , (0) }, ( )).rsolve p p b p p p n   2.4. NGHIỆM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 2.4.1. Phương pháp Euler Xét phương trình vi phân bậc nhất: 0 0 0'( ) ( , ( )), (t ) , t .x t g t x t x x t b    (2.24) Chia đoạn  0,t b thành N khoảng con bằng nhau, kích thước của mỗi khoảng con được gọi là kích thước bước của phương pháp và được kí hiệu là  0 / .h b t N  Kích thước bước này định nghĩa bởi các nút 0 1 2, , ,..., Nt t t t với 0jt t jh  . Phương pháp xấp xỉ Euler '( )x t được cho bởi phương trình ( ( ) ( )) / .x t h x t h  Thay các giá trị này vào (2.24), ta được: ( ) ( ) ( , ( )).x t h x t hg t x t   12 Thay 0 ,t t nh  ta có:    0 0 0 0( 1) ( ) , ( ) ,x t n h x t nh hg t nh x t nh       (2.25) với 0,1,2,...,N 1.n   Thay 0( )x t nh bằng ( ),x n ta được phương trình:  ( 1) ( ) , ( ) .x n x n hg n x n   (2.26) Phương trình (2.26) định nghĩa thuật toán Euler với nghiệm xấp xỉ của phương trình sai phân (2.24) tại các điểm nút. Lưu ý rằng *x là điểm cân bằng của (2.26) nếu và chỉ nếu *( ) 0.g x  Vì vậy, phương trình vi phân (2.24) và phương trình sai phân (2.26) có cùng trạng thái cân bằng điểm. Ví dụ 2.6. Bây giờ chúng ta áp dụng phương pháp Euler cho phương trình vi phân: 2'( ) 0.7 ( ) 0.7,x t x t   (0) 1, 0,1 .x t  Lời giải. Phương trình sai phân tương ứng sử dụng phương pháp Euler là: 2( 1) ( ) 0.7 ( ( ) 1), (0) 1.x n x n h x n x     Ví dụ 2.7. Xét các phương trình vi phân logistic: '( ) a (t)(1- (t)),x t x x 0(0) .x x Các điểm cân bằng thu được bằng cách cho '( ) 0.x t  Do đó (1 ) 0ax x  và ta được 2 điểm cân bằng *1 0x  và *2 1x  . Nghiệm của phương trình thu được: 13 0 0 0 0 0 ( ) . 1 1 ( 1) at at at at x e x e x t x x e x e      Nếu 0, lim ( ) 1 t a x t  thì khi đó các nghiệm hội tụ đến điểm cân bằng *2 1x  . Mặc khác, nếu 0, lim ( ) 0 t a x t  thì các nghiệm hội tụ đến điểm cân bằng *1 0x  . 2.4.2. Sơ đồ phi tiêu chuẩn Xét phương trình vi phân logistic, nếu ta thay 2 ( )x n trong phương pháp Euler bởi ( ) (n 1)x n x  ta có: ( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1)x n x n hax n hax n x n     Khi đó, ta thu được phương trình sai phân: (1 ) ( ) ( 1) , 1 ( ) ha x n x n hax n    hay ( ) ( 1) , 1 ( ) x n x n x n     với 1 ,ha   1 .ha    Phương trình này có 2 điểm cân bằng là *1 0x  và *2 1x  . Từ sơ đồ mạng nhện (Hình 2.18) ta kết luận rằng lim ( ) 1 n x n  khi 1.  14 Từ đó 0, 1h   khi và chỉ khi 0  . Như vậy, tất cả các nghiệm hội tụ đến điểm cân bằng *2 1x  nếu 0  như trong trường hợp phương trình vi phân không phụ thuộc vào kích thước h. 2.5. TIÊU CHUẨN CHO SỰ ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN CỦA ĐIỂM CÂN BẰNG Định lý 2.1. Cho *x là một điểm cân bằng của phương trình sai phân ( 1) ( ( )),x n f x n  trong đó f là hàm khả vi liên tục tại *.x Khi đó, các mệnh đề sau đây là đúng: (i) Nếu *'( ) 1f x  thì *x là ổn định tiệm cận. (ii) Nếu *'( ) 1f x  thì *x là không ổn định. Ví dụ 2.4. Phương pháp Newton-Raphson Phương pháp Newton-Raphson là một trong những phương pháp nổi tiếng nhất cho việc tìm nghiệm của phương trình ( ) 0,g x  trong đó ( )g x là hàm khả vi liên tục. Thuật toán Newton tìm kiếm nghiệm *x của ( )g x được cho bởi phương trình sai phân: ( ( )) ( 1) ( ) , '( ( )) g x n x n x n g x n    (2.28) với 0(0) .x x Ở đây ( )( ) . '( ) g x f x x g x   15 Lưu ý rằng *x của ( )g x là một điểm cân bằng của (2.28). Để xác định thuật toán Newton, giả sử dãy { (n)}x hội tụ đến *,x sử dụng định lý 2.1 ta được: 2* * * * * 2 '( ) ( ) ''( ) '( ) 1 0, [ '( )] g x g x g x f x g x       trong đó *( ) 0g x  . Dựa vào định lý 2.1, *lim ( ) n x n x  nếu 0(0)x x tiến dần tới *x và *'(x ) 0.g  Chú ý rằng định lý 2.1 không khả thi trong các trường hợp nonhyperbolic với *'( ) 1f x  . Sau đây ta tiếp tục phân tích sâu hơn để xác định trạng thái cân bằng ổn định của *.x Trước tiên ta nghiên cứu trường hợp *'( ) 1.f x  Định lý 2.2. Giả sử cho trạng thái cân bằng điểm *x của (2.1), *'( ) 1.f x  Khi đó, các mệnh đề sau là đúng: (i) Nếu *''( ) 0f x  thì *x không ổn định. (ii) Nếu *''( ) 0f x  và *'''( ) 0f x  thì *x không ổn định. (iii) Nếu *''( ) 0f x  và *'''( ) 0f x  thì *x ổn định tiệm cận. Bây giờ chúng ta sử dụng các kết quả trước đó để giải quyết bài toán trong trường hợp *'( ) 1.f x   Trước tiên, ta tìm hiểu các khái niệm về đạo hàm hàm Schwartz của hàm :f 16 2 '''( ) 3 ''( ) ( ) . '( ) 2 '(x) f x f x Sf x f x f       Lưu ý rằng nếu *'( ) 1f x   thì: * * * 23( ) '''( ) ( ''( )) . 2 Sf x f x f x   Định lý 2.3. Giả sử *x là điểm cân bằng của  2.1 , *'( ) 1.f x   Khi đó, các mệnh đề sau là đúng: (i) Nếu *( ) 0S f x  thì *x là ổn định tiệm cận. (ii) Nếu *( ) 0S f x  thì *x là không ổn định. Định lý 2.2 (phần (ii) và (iii)) nói rằng sự ổn định tiệm cận của *x được xác định bởi dấu hiệu của *( ) '''.g x   Ta có: * * * 2( ) ''' 2 '''( ) 3[ ''( )] .g x f x f x      (2.30) Ví dụ 2.9. Xét phương trình sai phân: 2( 1) ( ) 3 ( ).x n x n x n   Tìm các điểm cân bằng và xác định sự ổn định của nó. Lời giải. Đặt 2( ) 3 .f x x x  Điểm *x là điểm cân bằng của phương trình trên khi * *( ) ,f x x hay * 2 * *( ) 3x x x  Ta được hai điểm cân bằng là * 0x  và * 2.x   Ta có '( ) 2 3.f x x  Khi đó '(0) 3f  , theo định lý 2.1 thì * 0x  là không ổn định. 17 Mặc khác '( 2) 1f    , ''( 2) 2, '''( 2) 0.f f    Áp dụng định lý 2.3 và sử dụng (2.30) ta được: 2 22 '''( 2) 3[ ''( 2)] 2.0 3.2 12 0.f f          Định lý 2.3 cho ta điểm cân bằng * 2x   là ổn định tiệm cận. 2.6. ĐIỂM ĐỊNH KỲ VÀ CHU KỲ Định nghĩa 2.6. Cho b nằm trong miền xác định của hàm .f Khi đó: (i) b được gọi là điểm định kỳ của hàm f (hay của (2.27)) nếu có một số nguyên dương ,k sao cho ( ) .kf b b Do đó, một điểm định kỳ k nếu nó là điểm bất động của ,kf có nghĩa là nó là điểm cân bằng của phương trình sai phân: ( 1) ( ( )),x n g x n  (2.31) với .kg f Quỹ đạo định kỳ của ,b có dạng 2 1O( ) { , ( ), ( ),..., ( )}kb b f b f b f b thường được gọi là một chu kỳ .k (ii) b được gọi là điểm định kỳ k cuối cùng nếu với số m nguyên dương, ( )mf b là điểm định kỳ .k Nói cách khác, b được gọi là điểm định kì k cuối cùng nếu: ( ) ( )m k mf b f b  Ví dụ 2.10. Xét phương trình sai phân được cho bởi phương trình Lều: 18 1 2 0 , 2( ) 1 2(1 ) 1. 2 x x T x x x        Ta viết ( )T x dưới dạng gọn hơn là: 1 ( ) 1 2 . 2 T x x   Đầu tiên, nhận thấy rằng các điểm định kì của chu kỳ 2 cũng chính là điểm bất động của 2.T Dễ dàng tìm được 2T được cho bởi công thức: 2 1 4 0 , 4 1 1 2(1 2 ) , 4 2( ) 1 1 3 4( ) , 2 2 4 3 4(1 ) 1. 4 x x x x T x x x x x              2 ( )T x có 4 điểm cân bằng (Hình 2.28) đó là * 0,x  * * * 0.4,   2 / 3  0.8,x x và x   hai trong số đó là * 0x  và * 2 / 3x  là điểm cân bằng của .T Vì vậy  0.4,0.8 thuộc chu kỳ 2 của .T Hình 2.29 cho thấy rằng * 0.8x  không ổn định đối với 2.T Hình 2.30 mô tả đồ thị của 3.T Dễ dàng tìm được 2 4 6 , , 7 7 7     có chu kỳ 3. Ta có: 19 2 4 ( ) 7 7 T  , 4 6( ) 7 7 T  , 6 2( ) . 7 7 T  Định nghĩa 2.7. Cho b là một điểm định kỳ k của hàm .f Khi đó b là: (i) Ổn định nếu nó là điểm bất động ổn định của .kf (ii) Ổn định tiệm cận nếu nó là một điểm bất động ổn định tiệm cận của .kf (iii) Không ổn định nếu nó là một điểm bất động không ổn định của .kf Định lý 2.4. Cho ( ) { = (0), (1), ..., ( -1)}O b b x x x k là một chu kỳ k của hàm f khả vi liên tục. Các mệnh đề sau là đúng: (i) Chu kỳ k của (b)O là ổn định tiệm cận nếu: '( (0)) '( (1)),..., '( ( 1)) 1.f x f x f x k   (ii) Chu kỳ k của (b)O là không ổn định nếu: '( (0)) '( (1)),..., '( ( 1)) 1.f x f x f x k   2.7. PHƯƠNG TRÌNH LOGISTIC VÀ PHÂN NHÁNH Bây giờ chúng ta trở lại với ví dụ quan trọng nhất trong chương này, phương trình sai phân logistic: ( 1) ( )[1 ( )].x n x n x n   (2.36) Đặt ( ) (1 ), [0,1], >0.F x x x x     (2.37) 20 2.7.1. Điểm cân bằng Để tìm điểm cân bằng (điểm bất động của F ) của (2.36), ta tìm lời giải cho phương trình: * *( ) .F x x  Khi đó, ta được điểm cố định là * 0x  và * ( 1) / .x    Tiếp theo, ta kiểm tra sự ổn định của các điểm cân bằng trong mỗi trường hợp trên. Hình 2.31 và 2.32 mô tả điểm cân bằng * 0.x  Khi ''(0) ,F  theo định lý 2.1 và 2.2 ta thấy rằng: (i) 0 là một điểm bất động ổn định tiệm cận với 0 1.  (ii) 0 là điểm bất động không ổn định với 1.  Cần chú ý trong trường hợp 1  , ta có 1 '(0) 1F  và ''(0) 2 0.F   Áp dụng định lý 2.2, ta kết luận rằng * 0x  là không ổn định. Hình 2.31 và 2.32 mô tả điểm cân bằng * ( 1) / ,x    1.  Để * (0,1]x  thì 1,  khi đó: '(( 1) / ) 2 .F      Sử dụng định lý 2.1 và 2.3 chúng ta có được các kết luận sau đây: 21 (i) *x là một điểm bất động ổn định tiệm cận với 1 3.  (ii) *x là điểm bất động không ổn định với 3.  2.7.2. Chu kỳ 2 Để tìm chu kỳ 2 ta đi tìm lời giải cho phương trình 2( )F x x  (hay đi giải phương trình 2 1 1 1 2 2(1 ), (1 )),x x x x x x     2 (1 )[1 (1 )] 0x x x x      (2.38) Để xóa bỏ sự cân bằng điểm 0 và * 1,x    ta phân tích (2.38) bởi phép toán ( ( 1) / )x x    để có phương trình bậc hai: 2 2 ( 1) + 1 0.x x       Giải phương trình trên ta thu được chu kỳ 2: (0) [(1 ) ( 3)( 1)] / 2 , (1) [(1 ) ( 3)( 1)] / 2 . x x                   (2.39) 2.7.3. Chu kỳ 22 Để tìm chu kỳ 4, ta giải phương trình 4 ( ) .F x x  Việc tính toán bây giờ trở nên khó khăn hơn, do đó ta phải nhờ đến máy tính để làm việc. Khi 2  , chu kỳ 22 phân nhánh thành chu kỳ 32 . Chu kỳ 32 mới này hấp dẫn với 3 4 ,    với 4 bất kì. 22 Quá trình phân đôi nhánh tiếp tục vô thời hạn và như vậy, ta được một chuỗi 0{ }n n  với n là một phân nhánh trong chu kỳ 12n đến chu kỳ 2 .n 2.7.4. Sơ đồ phân nhánh Quy ước trục ngang biểu diễn cho đại lượng , trục dọc biểu diễn cho quá trình lặp của ( ).nF x Với giá trị bất động 0 ,x sơ đồ phân nhánh biểu diễn các giá trị của 0( ). nF x 2.8. LỰC HẤP DẪN VÀ ỔN ĐỊNH TOÀN CỤC Định nghĩa 2.8. Cho *x là một điểm bất động của bản đồ .f Khi đó, lưu vực hấp dẫn (hoặc các thiết lập ổn định) *( )sW x của *x được định nghĩa là: * *( ) :lim ( ) }.s n n W x x f x x    Nói cách khác, *( )sW x bao gồm tất cả các điểm phía trước tiệm cận của *.x Ta thấy rằng, nếu *x là điểm bất động hấp dẫn thì *( )sW x có một khoảng mở xung quanh *.x Khoảng tối đa *( )sW x chứa *x được gọi là lưu vực hấp dẫn ngay lập tức và được kí hiệu là *( ).sB x Ví dụ 2.13. Biểu đồ 2( )f x x có một điểm bất động hấp dẫn là * 0.x  Lưu vực hấp dẫn của nó là (0) ( 1,1).sW   Lưu ý rằng 1 là 23 điểm bất động không ổn định và -1 là điểm bất động cuối cùng tiến đến 1 sau một lần lặp. Ví dụ 2.14. Xét biểu đồ :g [-2,4] [ 2,4]  được cho bởi công thức: 2 2 1, ( ) 3 2 1 4. x x g x x x         Bản đồ g có 3 điểm bất động là * * *1 2 30, 1, 4.x x x   Lưu vực hấp dẫn của *1 0x  là (0) ( 1,1).sW   Trong khi đó, lưu vực hấp dẫn của *3 4x  là (4) [ 2, 1) (1,4].sW     Hơn nữa, lưu vực hấp dẫn ngay lập tức của *1 0x  là (0) (0) ( 1,1),sB W   trong khi (4) (1,4].B  Định nghĩa 2.9. Một tập hợp M là bất biến dương theo biểu đồ f nếu (M) Mf  hay với mỗi x M ta có ( ) .O x M Định lý 2.6. Cho : , [ , ]f I I I a b  là bản đồ liên tục và * [ , ]x a b là điểm bất động của .f Khi đó, các mệnh đề sau là đúng: (i) Lưu vực hấp dẫn ngay lập tức *( )B x là khoảng chứa * ,x đó là một khoảng mở ( , )c d hay có dạng [a,c) ( , ]d b và *( )B x là bất biến. (ii) *( )sW x là bất biến và *( )sW x là hợp của hai khoảng mở [a,c) ( , ].d b 24 KẾT LUẬN Luận văn đã đạt được các kết quả sau: Luận văn đã trình bày sơ lược về phương trình sai phân bậc nhất, các khái niệm cơ bản của phương trình sai phân. Luận văn tìm hiểu về điểm cân bằng trong hệ động lực học, cách tìm điểm cân bằng cũng như nêu phương pháp để xét tính ổn định của các điểm đó. Luận văn cho ta một số kiến thức cơ sở về phương trình logistic và sự phân nhánh. Ngoài ra, luận văn còn cung cấp một số kiến thức về lưu vực hấp dẫn và sự ổn định toàn cục. Những kết quả trong luận văn là dựa trên cơ sở của giáo trình An Introduction to Difference Equations, Third Edition, New York, USA, Saber N. Elaydi (2005). Vì thời gian và năng lực bản thân có hạn nên bản luận văn này không thể tránh khỏi thiếu sót và hạn chế, em rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn.