Hướng dẫn học sinh giải phương trình vô tỉ

Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o hµ néi Phßng gi¸o dôc vµ ®µo t¹o huyÖn thanh oai ®Ò tµi s¸ng kiÕn kinh nghiÖm N¨m häc 2009 - 2010 Tên đề tài: H­íng dÉn häc sinh gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tØ Tác giả: NguyÔn ThÞ H­¬ng Chức vụ: Giáo viên Môn đào tạo: Toán Đơn vị công tác: Trường THCS Nguyễn Trực Thuộc: Huyện Thanh Oai §Ò tµi thuéc lÜnh vùc: Gi¶ng d¹y Céng hoµ x· héi chñ nghÜa viÖt nam §éc lËp - Tù do - H¹nh phóc -------***------- ®Ò tµi s¸ng kiÕn kinh nghiÖm I . s¬ yÕu lÝ lÞch Hä vµ tªn : NguyÔn ThÞ H­¬ng Ngµy, th¸ng, n¨m sinh : 30/ 11/ 1972 N¨m vµo ngµnh : 1994 Ngµy vµo §¶ng : 28/ 02/ 2000 Chøc vô, ®¬n vÞ c«ng t¸c : Gi¸o viªn - Tr­êng THCS NguyÔn Trùc Thanh Oai - Hµ Néi. Tr×nh ®é chuyªn m«n : §¹i häc -To¸n Bé m«n gi¶ng d¹y : To¸n 9 Khen th­ëng : - NhiÒu n¨m lµ chiÕn sÜ thi ®ua cÊp c¬ së . - 2 n¨m cã s¸ng kiÕn kinh nghiÖm ®¹t cÊp tØnh. II . néi dung ®Ò tµi 1. Tªn ®Ò tµi : H­íng dÉn häc sinh gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tØ 2. Lý do chän ®Ò tµi Mét trong nh÷ng c«ng t¸c quan träng trong nhµ tr­êng phæ th«ng lµ ®µo t¹o båi d­ìng nh©n tµi. §Ó hoµn thµnh nhiÖm vô ®ã víi c­¬ng vÞ lµ gi¸o viªn gi¶ng d¹y bé m«n To¸n, t«i nhËn thÊy cÇn thiÕt ph¶i c¶i tiÕn ph­¬ng ph¸p nh»m n©ng cao chÊt l­îng d¹y häc. §­îc ph©n c«ng gi¶ng d¹y bé m«n To¸n 9 vµ trùc tiÕp båi d­ìng HSG m«n to¸n 9 nªn ®Ò tµi n¨m nay t«i chän viÕt lµ chuyªn ®Ò :  “H­íng dÉn häc sinh gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tØ”. Trong SGK To¸n 9 ®· ®­a ra cho häc sinh mét sè ph­¬ng tr×nh v« tØ song míi chØ lµ c¸c ph­¬ng tr×nh ë møc ®é ®¬n gi¶n, c¸c em ch­a cã hÖ thèng ph­¬ng ph¸p gi¶i. V× vËy khi gÆp c¸c bµi to¸n gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tØ c¸c em lóng tóng vµ th­êng m¾c nh÷ng sai lÇm khi gi¶i. ChÝnh v× vËy t«i chän ®Ò tµi “H­íng dÉn häc sinh gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tØ” ®Ó tr¸nh ®­îc cho c¸c em nh÷ng sai lÇm hay m¾c ph¶i vµ cã hÖ thèng ph­¬ng ph¸p gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tØ ®Ó luyÖn tËp ®­îc nhiÒu d¹ng bµi vµ ph­¬ng tr×nh v« tØ trë thµnh quen thuéc ®èi víi c¸c em. 3. Ph¹m vi, thêi gian thùc hiÖn ®Ò tµi: Ph¹m vi: Líp 9A2 - Tr­êng THCS NguyÔn Trùc - Thanh Oai. Thêi gian: 12 tiÕt trong ®ã cã 2 tiÕt kiÓm tra. III Qu¸ tr×nh thùc hiÖn ®Ò tµi A- Kh¶o s¸t thùc tÕ Khi ch­a thùc hiÖn ®Ò tµi nµy, gÆp c¸c bµi to¸n gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tØ c¸c em lóng tóng, ®a sè m¾c ph¶i sai lÇm trong qu¸ tr×nh gi¶i nh­ kh«ng ®Æt ®iÒu kiÖn cho Èn ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghÜa vµ ®iÒu kiÖn cho Èn trong c¸c phÐp biÕn ®æi t­¬ng ®­¬ng dÉn ®Õn sai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh. B- Nh÷ng biÖn ph¸p thùc hiÖn BiÖn ph¸p 1: Gióp c¸c em hiÓu ®­îc thÕ nµo lµ ph­¬ng tr×nh v« tØ. Ph­¬ng tr×nh v« tØ lµ ph­¬ng tr×nh cã cã chøa Èn trong dÊu c¨n. VÝ dô: x + = 13 - = BiÖn ph¸p 2: ChØ cho häc sinh thÊy mét sè sai lÇm th­êng gÆp khi gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tØ. 1. Sai lÇm do kh«ng chó ý ®iÒu kiÖn cã nghÜa cña c¨n thøc. VÝ dô1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (1) Lêi gi¶i sai (1) VËy ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x = -2 Ph©n tÝch sai lÇm: Gi¸ trÞ x = -2 kh«ng lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) v× x = -2 th× kh«ng cã nghÜa. §Ó kh¾c phôc sai lÇm nµy ta cã 2 c¸ch: C¸ch 1: T×m ®iÒu kiÖn cã nghÜa cña c¨n thøc C¸ch 2: Thö l¹i gi¸ trÞ t×m ®­îc vµo ph­¬ng tr×nh ban ®Çu Lêi gi¶i ®óng nh­ sau: §iÒu kiÖn cã nghÜa cña c¨n thøc: Khi ®ã (1) (kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn) Nªn ph­¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm 2. Sai lÇm do kh«ng ®Æt ®iÒu kiÖn cña Èn ®Ó biÕn ®æi t­¬ng ®­¬ng. VÝ dô 2: Gi¶i ph­¬ng tr×nh x + (2) Lêi gi¶i sai (2) x - 1 = 9 - 6x + x2 x2 - 7 x + 10 = 0 x1 = 2 ; x2 = 5 VËy ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1 = 2 ; x2 = 5. Nh­ng gi¸ trÞ x2 = 5 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (2) V× khi ®ã = 2 cßn 3 - x = 3 - 5 = - 2 §Ó kh¾c phôc sai lÇm nµy ta ph¶i ®Æt ®iÒu kiÖn cho vÕ ph¶i lµ mét sè kh«ng ©m, v× khi ®ã vÕ tr¸i lµ mét sè kh«ng ©m. Lêi gi¶i ®óng : ®k : x - 1> 0 x > 1 (2) §K: 3- x > 0 x < 3 x - 1 = 9 - 6x + x2 x2 - 7 x + 10 = 0 x1 = 2 ; x2 = 5 lo¹i v× kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x < 3 ChØ cã 2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 1 < x < 3. VËy ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 2 3. Cã nh÷ng bµi to¸n häc sinh m¾c c¶ 2 sai lÇm trªn VÝ dô 3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh (3) Lêi gi¶i sai: (3) x - 1 = 5x -1 + 3x - 2 + 2 2 - 7x = 2 (3’) 4 - 28 x + 49 x2 = 60 x2 - 52 x + 8 (3’’) 11x2 - 24 x + 4 = 0 (11x - 2) (x - 2) = 0 x1 = ; x2 = 2 VËy PT (3) cã 2 nghiÖm lµ x1 = ; x2 = 2. Ph©n tÝch sai lÇm: * C¸c em kh«ng chó ý ®Õn ®iÒu kiÖn cã nghÜa cña c¨n thøc: ThËt vËy: §K : Do ®ã x = kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (3) §Ó kh¾c phôc sai lÇm nµy ta cÇn t×m ®iÒu kiÖn cã nghÜa cña c¨n thøc hoÆc ph¶i thö l¹i c¸c gi¸ trÞ t×m ®­îc vµo ph­¬ng tr×nh (3) * C¸c em kh«ng ®Æt §K ®Ó biÕn ®æi t­¬ng ®­¬ng: ThËt vËy c¸c ph­¬ng tr×nh (3’) vµ (3’’) lµ kh«ng t­¬ng ®­¬ng khi 2 - 7x 0, do ®ã x = 2 còng kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (3). Nªn ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm. Lêi gi¶i ®óng: C¸ch 1: Sau khi t×m ®­îc x1 = ; x2 = 2 thö l¹i vµo (3) kh«ng tho¶ m·n kÕt luËn ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm. C¸ch 2: §Æt ®iÒu kiÖn cã nghÜa cho c¨n thøc cña (3) lµ x > 1, sau ®ã ®Æt ®iÒu kiÖn cho (3’) t­¬ng ®­¬ng víi (3’’) lµ x < c¸c gi¸ trÞ x1; x2 kh«ng tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn ®ã kÕt luËn ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm. C¸ch 3: Tõ viÖc ®Æt ®iÒu kiÖn cã nghÜa cña c¸c c¨n thøc lµ x > 1 x <5x tõ ®ã kÕt luËn ph­¬ng tr×nh (3) v« nghiÖm BiÖn ph¸p 3: H­íng dÉn cho c¸c c¸c em mét sè ph­¬ng ph¸p gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tØ th­êng dïng. Mçi ph­¬ng ph¸p gi¸o viªn nªu ra mét sè vÝ dô cho HS lµm, sau ®©y lµ mét sè ph­¬ng ph¸p gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tØ. I. Ph­¬ng ph¸p n©ng lªn luü thõa: §Ó lµm mÊt dÊu c¨n ta n©ng hai vÕ lªn lòy thõa cïng bËc. VÝ dô 1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh 3 + = x (4) §K x > Gi¶i: (4) = x - 3 §K: x - 3 > 0 x> 3 2x - 3 = x2 - 6 x + 9 x2 - 8x + 12 = 0 (x - 6) (x - 2) = 0 x1 = 6 ; x2 = 2 (kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn) lo¹i VËy ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 6 VÝ dô 2: Gi¶i ph­¬ng tr×nh x + = 13 (5) §K x > 1 (*) Gi¶i: (5) = 13 - x §K x < 13 (**) x - 1 = 169 - 26 x + x2 x2 - 27 x + 170 = 0 (x-1) (x-10) = 0 x1 = 17 (kh«ng tho¶ m·n **) lo¹i x2 = 10 (tho¶ m·n ®k) VËy ph­¬ng tr×nh (5) cã nghiÖm x = 10 VÝ dô 3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh (6) §K: x > Gi¶i: = +2 2x + 5 = 3x - 5 + 4 + 4 6-x = 4 Víi ®k x < 6 Ph­¬ng tr×nh 36 - 12x + x2 = 16(3x-5) x2 - 60x + 116 = 0 (x-58)(x-2) = 0 x1 = 58 lo¹i (kh«ng tho¶ m·n ®k) x2 = 2 (tho¶ m·n ®k) VËy PT(6) cã nghiÖm x = 2 VÝ dô 4: Gi¶i PT (7) Gi¶i: §K: (7) 10 - x + x + 3 + 2 = 25 = 6 - x2 + 7x + 30 = 36 x2 - 7x + 6 = 0 (x-1) (x-6) = 0 x1 = 1 (tho¶ m·n ®k) x2 = 6 (tho¶ m·n ®k) VËy ph­¬ng tr×nh (7) cã 2 nghiÖm x1 = 1 ; x2 = 6. VÝ dô 5: Gi¶i ph­¬ng tr×nh = x + 1 (8) Gi¶i : §K 1 + x > 0 (8) 1 + x = x2 + 2x + 1 x = x (x+2) x [ -( x - 2 )] = 0 PT (*) x2 + 4 = x2 + 4x +4 4x = 0 x = 0 DÔ thÊy x = 0 th× 1 + x = 1 > 0 tho¶ m·n ®k Nªu pt cã nghiÖm x = 0 VÝ dô 6: Gi¶i PT Gi¶i: §K : (9) §K: Do DÔ thÊy x = th× (tho¶ m·n ®k) VËy ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x = VÝ dô 7: Gi¶i ph­¬ng tr×nh Gi¶i: (10) x + 45 - x + 16 - 3 (x + 45) (x - 16) = 8000 x2 - 29x - 8720 = 0 (x - 80) (x + 109) = 0 x1 = 80 x2 = -109 VËy ph­¬ng tr×nh (10) cã 2 nghiÖm x1 = 80 ; x2 = -109 VÝ dô 8: Gi¶i ph­¬ng tr×nh (11) Gi¶i: (11) 2x + 1 + x + 3 3x + 3 x (2x+1) = - x3 x(x2 + 2x + 1) = 0 x (x+1)2 = 0 x1= 0; x2 = -1 Gi¸ trÞ x2 kh«ng tho¶ m·n (11) VÝ dô 9: Gi¶i ph­¬ng tr×nh (12) ®k : x> 0 Gi¶i: (12) x + - x (*) Víi ®iÒu kiÖn 1 - x > 0 x < 1 Ph­¬ng tr×nh (*) x2 + x = 1 - 2x + x2 3 x = 1 x = (tho¶ m·n ®k) VËy ph­¬ng tr×nh (12) cã nghiÖm x = VÝ dô 10: Gi¶i ph­¬ng tr×nh (13) Gi¶i: §K : Khi ®ã (13) = x +3 (v× x>1) x +3 = x2 + 6x + 9 x2 + 5x + 6 = 0 (x+2) (x+3) = 0 x1 = -2 (lo¹i) x2 =-3 (lo¹i) VËy ph­¬ng tr×nh (13) v« nghiÖm VÝ dô 11: Gi¶i ph­¬ng tr×nh (14) Gi¶i: §K : Khi ®ã (14) ( VËy ph­¬ng tr×nh (14) cã nghiÖm x1 = 1; x2 = 2 II/ Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ ph­¬ng tr×nh chøa Èn trong dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi C¸c em cÇn n¾m v÷ng h»ng ®¼ng thøc ®Ó lµm mÊt dÊu c¨n. Sau ®ã ®Ó ph¸ dÊu GTT§ ta cã thÓ xÐt kho¶ng hoÆc dïng c¸c bÊt ®¼ng thøc. x¶y ra dÊu “=” A.B > 0 > A x¶y ra dÊu “=” A > 0 > - A x¶y ra dÊu “=” A < 0 VÝ dô 1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (15) Gi¶i: §iÒu kiÖn x > 1 (15) = 2 ¸p dông B§T > - A x¶y ra dÊu “=” A < 0 Ta cã < 1 x < 2 KÕt hîp víi ®k x > 1 PT (15) cã nghiÖm lµ 1< x < 2 VÝ dô 2: Gi¶i ph­¬ng tr×nh (16) Gi¶i: §K : x > 4 (16) ¸p dông B§T x¶y ra dÊu “=” A.B > 0 Ta cã: = 1 ( 1 < < 2 1 < x- 4 < 4 5 < x < 8 (tho¶ m·n ®k) VËy nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (16) lµ 5 < x < 8 VÝ dô 3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh (17) Gi¶i: §K x > 1 (17) (*) + xÐt 0 < < 1 1 < x < 2 PT (*) 1 - = 1 = 0 x -1 = 0 x = 1 K§X + XÐt > 1 x > 2 PT (*) -1 - = 1 v« nghiÖm VËy PT (17) cã 1 nghiÖm x = 1 VÝ dô 4: Gi¶i ph­¬ng tr×nh (18) Gi¶i: §K : x > (18) + = 2 = 1 - ¸p dông B§T > - A x¶y ra dÊu “=” A < 0 Ta cã: > 1 - X¶y ra = 1 - - 1 < 0 < 1 x < 1 KÕt hîp víi ®k x > VËy PT (18) cã nghiÖm < x < 1 VÝ dô 5: Gi¶i ph­¬ng tr×nh (19) Gi¶i: §K: x > (19) + = 6 = 3 - ¸p dông B§T > - A x¶y ra dÊu “=” A < 0 Ta cã : > 3 - DÊu “=” x¶y ra - 3 < 0 < -3 6x - 9 < 9 x < 3 KÕt hîp víi ®k x > VËy ph­¬ng tr×nh (19) cã nghiÖm lµ < x < 3 VÝ dô 6: Gi¶i ph­¬ng tr×nh (20) Gi¶i: §K: x > (20) = 4 = 3 - ¸p dông B§T > - A x¶y ra dÊu “=” A < 0 Ta cã: > 3 - X¶y ra = 3 - - 3 < 0 < -3 x < 7 KÕt hîp víi ®k x > VËy ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm < x < 7 III. Ph­¬ng ph¸p ®Æt Èn phô BiÕn ®æi sao cho trong ph­¬ng tr×nh cã chøa nh÷ng biÓu thøc ®ång d¹ng sao cho ®Æt Èn phô ®­a vÒ ph­¬ng tr×nh ®¬n gi¶n h¬n hoÆc ®Æt Èn phô ®Ó ®­a ph­¬ng tr×nh vÒ hÖ ph­¬ng tr×nh th× bµi to¸n trë nªn quen thuéc dÔ gi¶i. L­u ý ®iÒu kiÖn cña Èn phô (nÕu cã) VÝ dô 1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh 3 x3 + 21 x + 18 + 2 (21) Gi¶i: §K : x2 + 7 x + 7 > 0 (21) 3(x2 + 7 x + 7) + 2 - 5 = 0 §Æt = t (t > 0) Ta cã ph­¬ng tr×nh: 3 t2 + 2t - 5 = 0 (t - 1) (3t + 5) = 0 (lo¹i) Víi t = 1 = 1 x2 + 7 x + 7 = 1 x2 + 7 x + 6 = 1 0 ( tho¶ m·n x2 + 7 x + 7 > 0) VËy ph­¬ng tr×nh (21) cã 2 nghiÖm lµ x1 = -1 vµ x2 = - 6 VÝ dô 2: Gi¶i ph­¬ng tr×nh 3x2 + 2 x = 2 (22) Gi¶i: §K : x2 + x > 0 x(x+1) > 0 (22) 3(x2 + x) - 2 - 1 = 0 §Æt = t (t > 0) Ta cã PT: 3 t2 - 2t - 1 = 0 (t-1) (3t+1) = 0 (lo¹i) Víi t = 1 = 1 x2 + x = 1 x2 + x - 1 = 0 tho¶ m·n VËy ph­¬ng tr×nh (22) cã 2 nghiÖm: VÝ dô 3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (23) Gi¶i: ®k ®óng (23) §Æt Ta cã ph­¬ng tr×nh VËy ph­¬ng tr×nh (16) cã 2 nghiÖm x1= 6 ; x2= - 2 VÝ dô 4: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: = 2 (24) Gi¶i: §K (24) =2 §Æt Ta cã ph­¬ng tr×nh t + = 2 t2 - 2t +1 = 0 (t-1)2 = 0 t = 1 Víi t = 1 = 1 2x = 1 + x x = 1 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn) VËy PT (24) cã nghiÖm x = 1 VÝ dô 5: Gi¶i ph­¬ng tr×nh (25) Gi¶i: ®k ; §Æt Thay vµo ph­¬ng tr×nh (25) ta ®­îc VËy ph­¬ng tr×nh (25) cã 1 nghiÖm VÝ dô 6: Gi¶i ph­¬ng tr×nh (26) Gi¶i: Ta thÊy nªn §Æt Khi ®ã (26) Víi: ( do Víi : VËy ph­¬ng tr×nh (26) cã 2 nghiÖm x1 = -2; x2 = 2. VÝ dô 7: Gi¶i ph­¬ng tr×nh (27) Gi¶i: Ta nhËn x =1 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cu¶ pt (27) Víi x Ph­¬ng tr×nh (27) §Æt Víi t1=1 v« nghiÖm Víi t2=-3 VËy ph­¬ng tr×nh (27) cã 1 nghiÖm VÝ dô 8: Gi¶i ph­¬ng tr×nh (28) §Æt = a = b Ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh : Gi¶i (2) (1- a)(1 + a + a2 ) +2( 1- a)2 = 0 (1- a)(1 + a + a2 + 2 - 4a + 2a2) = 0 3 (1- a)(a2 - a + 1) = 0 Do a2 - a + 1 = (a - ) + > 0 víi a 1 - a = 0 a = 1 b = 0 x = 0 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (28) VÝ dô 9: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (29) Gi¶i: §K §Æt = a > 0 > 0 Ta cã . (29) a + b = 1 + a.b a(1- b) - (1- b) = 0 Víi a = 1 = 1 x - 1 = 1 x = 2 (tho¶ m·n ®k) Víi b = 1 x3 + x2 + x + 1 = 1 x3 + x2 + x = 0 x(x2 + x +1) = 0 Do x2 + x +1= (x +)2 + > 0 VËy ph­¬ng tr×nh (29) cã 1 nghiÖm x = 2 VÝ dô 10: Gi¶i ph­¬ng tr×nh (30) Gi¶i: §K: (30) §Æt: (30) a.b + c = b + a.c a(b - c) - (b - c) = 0 (a - 1)(b - c) = 0 Víi a = 1 x - 1 = 1 x = 2 (tho¶ m·n ®k) Víi b = c x - 2 = x + 3 0x = 5 v« nghiÖm VËy ph­¬ng tr×nh (30) cã nghiÖm x = 2 VÝ dô 11: Gi¶i ph­¬ng tr×nh x2 - = 5 (31) Gi¶i: §K x > -5 §Æt : = a > 0 x + 5 = a2 x = a2 - 5 Ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh (x - a )(x + a) + (x - a) = 0 (x – a)( x + a + 1) = 0 Víi x = a ta cã = x x + 5 = x2 (v× x = a > 0) x2 - x - 5 = 0 Víi a = - x - 1 ta cã = - x - 1 VËy (31) cã 2 nghiÖm x1 = ; x2 = VÝ dô 12: gi¶i ph­¬ng tr×nh ( - )(1+ = 3 (32) Gi¶i §K: §Æt: = a = b = = a.b (32) (a - b)( 1 + ab) = 3 Mµ a2 - b2 = x + 5 - x -2 = 3 (a - b)( 1 + ab) = a2 - b2 (a - b)( 1 + ab) = (a - b)(a +b) (a - b)( 1 + ab - a- b) = 0 (a + b)(a - 1)(b - 1) = 0 VËy (32) cã 1nghiÖm lµ x = -1 VÝ dô 13: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (33) Gi¶i: §K: §Æt: = a > 0 = b > 0 (1) (33) a + b = 1 + 2 MÆt kh¸c a2 - b2 = 1 +2 ( a- b)(a + b) = 1 + 2 a - b = 1 VËy ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh: b = (2) Tõ (1) vµ (2) = 2x + 2 - = x +2 (x+2) - -2 = 0 b2 - b - 2 = 0 Víi b = 2 ta cã = 2 x + 2 = 4 x = 2 VËy pt (33) cã nghiÖm x = 2 VÝ dô 14: Gi¶i PT x3 + 1 = 2 (34) Gi¶i: §Æt = t 2x - 1 = t3 + 1 = 2x (34) (x-t)(x2+ xt +t2)= - (x - t) (x - t)(x2+ xt +t2 + 2) = 0; do x2 + xt + t2 +2 > 0 x - t = 0 x = t = x 2x - 1 = x3 x3 - 2x + 1 = 0 (x - 1)(x2 + x -1) = 0 x1 = 1; x2 = ; x3 = VËy (34) cã 3 nghiÖm x1 = 1; x2 = ; x3 = VÝ dô 15: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: - = 1 (35) Gi¶i: §Æt = a ; = b. Ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh hoÆc VËy ph­¬ng tr×nh (35) cã hai nghiÖm x1 = - 61 ; x2 = 30 VÝ dô 16: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (36) Gi¶i: §Æt u = ; v = Ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh: VËy ph­¬ng tr×nh (36) cã 1 nghiÖm x = 0 VÝ dô 17: Gi¶i ph­¬ng tr×nh (37) Gi¶i : §K: x < 1 §Æt a4 = 1 - x = b > 0 b4 = 2 - x a4 + b4 = 3 - 2x (37) a + b = (a + b)4 = a4 + b4 a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4 ab3 + b4 = a4 + b4 2ab (2a2 + 3ab + 2b2) = 0 NÕu NÕu a = 0 => = 0 x = 1 (tho¶ m·n ®k) NÕu b = 0 => = 0 x = 2 (lo¹i) VËy (37) cã 1 nghiÖm lµ x = 1. VÝ dô 18: Gi¶i ph­¬ng tr×nh + + = 3 (38) Gi¶i: §K : -1 < x < 1 §Æt 1 + x = a > 0 ; 1 - x = b > 0 (38) = 3 ¸p dông B§T C« si 0) 3 = < < Mµ a + b = 1 + x + 1 - x = 2 Nªn 3 < 2 + = 3 . DÊu “=” x¶y ra a - b = 1 1 + x = 1 - x x = 0 (tho¶ m·n ®k) VËy (38) cã 1 nghiÖm lµ x = 0. VÝ dô 19: Gi¶i ph­¬ng tr×nh (39) Gi¶i: ®iÒu kiÖn §Æt ; 3 - (v ) u + v = 3; Ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh: VËy ph­¬ng tr×nh (39) cã 2 nghiÖm x1 = 4 vµ x2 = 1 VÝ dô 20: Gi¶i ph­¬ng tr×nh x + (40) Gi¶i; §/k: - §Æt Ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh hoÆc v« nghiÖm hoÆc x=1 hoÆc x = 4 VËy ph­¬ng tr×nh (40) cã 2 nghiÖm x1 = 1, x2 = 4 IV. Ph­¬ng ph¸p bÊt ®¼ng thøc: VÝ dô 1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh (41) Gi¶i: Ta chøng tá tËp gi¸ trÞ hai vÕ rêi nhau §/k Víi ®k nµy th× x < 5x do ®ã Suy ra vÕ tr¸i cña (41) lµ sè ©m, cßn vÕ ph¶i kh«ng ©m ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm VÝ dô 2: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (42) Gi¶i: §K: x£ -1; x ³1. Ta cã: VT = VT = do VT > VP PT (42) v« nghiÖm. VÝ dô 3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh (43) Gi¶i : §K Ta cã: VT = PT (43) v« nghiÖm. VÝ dô 4: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (44) Gi¶i: Pt(44) VT = VP = 0 PT (44) v« nghiÖm. VÝ dô 5: Gi¶i ph­¬ng tr×nh (45) Gi¶i: Ta cã vÕ tr¸i: = VÕ ph¶i: Hai vÕ ®Òu b»ng 5 khi x = -1 VËy ph­¬ng tr×nh (45) cã 1 nghiÖm x = -1 VÝ dô 6: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (46) Gi¶i: Ta thÊy x = 0 lµ nghiÖm ®óng cña ph­¬ng tr×nh (46) Víi x > 0 th× Víi x < 0 th× VËy x = 0 lµ nghiÖm duy nhÊt cña ph­¬ng tr×nh (46). VÝ dô 7: Gi¶i ph­¬ng tr×nh (47) Gi¶i: ®k Ta thÊy x=3 lµ nghiÖm cña (35) XÐt x >3 th× ; VÕ tr¸i cña (47) lín h¬n 3 XÐt -1 th× ; Nªn vÕ ph¶i cña (47) nhá h¬n 3 VËy ph­¬ng tr×nh (47) cã 1 nghiÖm duy nhÊt x=3 VÝ dô 8: Gi¶i ph­¬ng tr×nh (48) Gi¶i: ®k ¸p dông b®t c« si cho 2 sè d­¬ng vµ Ta cã ®Òu tho¶ m·n x> VËy ph­¬ng tr×nh (48) cã 2 nghiÖm ; VÝ dô 9: Gi¶i ph­¬ng tr×nh (49) Gi¶i: §/k 2x-3 Ta cã ph­¬ng tr×nh (37) Do nªn tho¶ m·n ®k x VËy ph­¬ng tr×nh (49) cã 1 nghiÖm x= -1 VÝ dô 10: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (50) Gi¶i: §K : (50) ¸p dông c«ng thøc: víi Ta cã NÕu VP > 0 , VT < 0 v« lÝ. NÕu VP 0 v« lÝ. VËy chØ cã x = 2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn PT (50) cã 1 nghiÖm x = 2. VÝ dô 11: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (51) Gi¶i: §K (51) DÊu ®¼ng thøc ë (1) vµ (3); (2) vµ (4) kh«ng ®ång thêi x¶y ra Nªn: vµ ¸p dông c«ng thøc: víi V× thÕ: (51) NÕu x 0 ; VP < 0 NÕu x > 2 th× VT 0 NÕu x = 2 th× VT = VP = 0. VËy ph­¬ng tr×nh (51) cã nghiÖm duy nhÊt x = 2. VÝ dô 12: Gi¶i ph­¬ng tr×nh (52) Gi¶i: §/k (52) Do ; ; VËy ph­¬ng tr×nh (52) cã 1 nghiÖm (x, y, z) = (3, 7,14) VÝ dô 13: Gi¶i ph­¬ng tr×nh : (53) Gi¶i: §/k x Ph­¬ng tr×nh (53) ¸p dông b®t Bunhia C«pski ta cã: dÊu “=” x¶y ra Ph­¬ng tr×nh (43) kÕt hîp víi ®k vµ thö l¹i thÊy x =1 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (53) §èi víi PT nµy ta th­êng dïng c¸c h»ng ®¼ng thøc nh­ b×nh ph­¬ng cña mét tæng, b×nh ph­¬ng cña mét hiÖu, B§T Cosi, Bunhiacopxki, so s¸nh tËp gi¸ trÞ cña hai vÕ, chøng minh nghiÖm duy nhÊt. §Æc biÖt l­u ý c¸c dÊu “=” x¶y ra ®Ó kÕt luËn nghiÖm. BiÖn ph¸p 4: Bµi tËp vÒ nhµ Sau khi h­íng dÉn c¸c em mét sè ph­¬ng ph¸p ®Ó gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tØ víi 53 vÝ dô tõ dÔ ®Õn khã víi vèn kiÕn thøc nhÊt ®Þnh vÒ ph­¬ng tr×nh v« tØ gi¸o viªn nªu ra mét hÖ thèng bµi tËp ®Ó cho häc sinh luyÖn tËp nh»m cñng cè kh¾c s©u kiÕn thøc ®· häc. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. IV. KÕt qu¶ thùc hiÖn cã so s¸nh ®èi chøng Sau mét thêi gian kiªn tr× thùc hiÖn c¸c biÖn ph¸p trªn, c¸c em ®· cã kü n¨ng gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tØ. Khi hoµn thµnh s¸ng kiÕn nµy t«i ®· kiÓm tra nöa líp cßn l¹i kÕt qu¶ 95% häc sinh ®¹t ®iÓm trªn 5, 5% häc sinh ®¹t ®iÓm d­íi 5. * Trong n¨m häc 2009 - 2010 t«i ®· cã 8 em häc sinh giái cÊp Thµnh phè, trong ®ã cã: 2 em gi¶i nhÊt, 1 em gi¶i nh×, 5 em gi¶i ba. 20 em häc sinh giái cÊp huyÖn, trong ®ã: 2 em gi¶i nhÊt, 1 em gi¶i nh×, 2 em gi¶i 3 vµ cã 16 em ®­îc vµo vßng 2 cña huyÖn. * Trªn ®©y lµ ®Ò tµi s¸ng kiÕn cña t«i ¸p dông trong n¨m häc nµy. Bµi viÕt nµy cã lÏ kh«ng tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt. Mong nhËn ®­îc ý kiÕn ®ãng gãp cña Héi ®ång khoa häc c¸c cÊp cho ®Ò tµi cña t«i ®­îc hoµn chØnh h¬n. Xin ch©n thµnh c¶m ¬n! V. Nh÷ng kiÕn nghÞ vµ ®Ò nghÞ sau qu¸ tr×nh thùc hiÖn ®Ò tµi: - Nhµ tr­êng mua thªm s¸ch tham kh¶o. - Mong muèn ®­îc tham kh¶o ®Ó häc tËp nh÷ng s¸ng kiÕn kinh nghiÖm hay. Thanh Oai, ngµy 20 th¸ng 4 n¨m 2010 T¸c gi¶ NguyÔn ThÞ H­¬ng ý kiÕn ®¸nh gi¸ cña héi ®ång khoa häc c¬ së Chñ tÞch ý kiÕn ®¸nh gi¸ cña héi ®ång khoa häc cÊp trªn Chñ tÞch