Khái niệm xác suất trong dạy học toán ở trường phổ thông

PAGE  PAGE 1 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý do chọn đề tài 1 Mục đích nghiên cứu 1 Phương pháp nghiên cứu 1 NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 1 Sơ lược lịch sử hình thành khái niệm xác suất 1 Các cách định nghĩa khái niệm xác suất 7 Phân tích sách giáo khoa thí điểm phân ban KHTN lớp 11 9 Thiết kế tình huống dạy học định nghĩa thống kê của xác suất 14 KHÁI NIỆM XÁC SUẤT TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG MỞ ĐẦU Lý do chọn đề tài Lý thuyết xác suất ngày nay đã trở thành một ngành toán học lớn, chiếm một vị trí quan trọng cả về mặt lý thuyết lẫn thực hành. Đặc biệt lý thuyết xác suất cùng với khoa học thống kê đã trở thành một lĩnh vực quan trọng trong đời sống Ở nước ta, xác suất mới được đưa vào chương trình toán phân ban thí điểm ở lớp 11(năm 2005-2006). Đây là phần khá mới mẻ lại rất thú vị vì liên quan đến thực tế cuộc sống. Hơn nữa, sau một vài năm dạy thí điểm ở trường phổ thông, một số giáo viên có ý kiến thắc mắc rằng “Tại sao phải dạy định nghĩa xác suất bằng tần suất?”. Vì thế em chọn đề tài này để nghiên cứu chương trình phục vụ cho công việc giảng dạy của em sau này và cũng là để trả lời cho thắc mắc trên. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu đặc trưng khoa học luận của khái niệm xác suất. Các cách định nghĩa xác suất. Điều kiện để sử dụng các định nghĩa đó. Tìm hiểu ưu nhược điểm của mỗi cách định nghĩa khái niệm xác suất ở góc độ toán học và thực tế dạy học. Từ đó giải thích tại sao sách giáo khoa (thí điểm ban KHTN lớp 11 của nhóm tác giả Đoàn Quỳnh) lại đưa hai cách định nghĩa xác suất vào dạy học. Phân tích cách trình bày định nghĩa xác suất của sách giáo khoa. Từ việc phân tích trên, thiết kế một tình huống dạy học khái niệm xác suất. Phương pháp nghiên cứu: Tham khảo luận văn thạc sỹ “Khái niệm xác suất trong dạy học ở trường phổ thông” của Vũ Như Thư Hương. Tham khảo các giáo trình về lý thuyết xác suất. Phân tích bộ sách giáo khoa Đại số và giải tích lớp 11 dùng cho ban tự nhiên do nhóm tác giả Đoàn Quỳnh làm chủ biên. Nội dung nghiên cứu: Sơ lược lịch sử hình thành khái niệm xác suất: Do không đủ thời gian và điều kiện để nghiên cứu về lịch sử hình thành khái niệm xác suất, em đã tham khảo luận văn thạc sỹ của Vũ Như Thư Hương và tóm tắt lại một số nội dung chính như sau: Các giai đoạn nảy sinh và phát triển của khái niệm xác suất: Giai đoạn đầu (từ thời Trung đại đến nửa đầu thế kỷ XVII): Từ những trò chơi may rủi như cờ bạc hay tung súc sắc,… rất phổ biến ở vùng Lưỡng hà từ thời Ai Cập cổ đại, mà các yếu tố đầu tiên về đại số tổ hợp đã được khai thác. Điều này được minh chứng bởi bài thơ có tựa đề De Vetul (của Richard de Fournival (1201-1260)), một tu sĩ người Pháp. Bài thơ đã mô tả trò chơi “tung ba con súc sắc và đếm tổng các điểm nhận được” (tức là tổng số chấm xuất hiện trên ba mặt của ba con súc sắc). Trong vài trích đoạn của bài thơ người ta nhận thấy “tác giả đã sử dụng đến hoán vị khi nói rằng việc tung 3 súc sắc sinh ra 16 kiểu tổng các điểm, ứng với 56 dạng điểm và việc hoán vị mỗi dạng điểm đã chứng tỏ rằng tổng cộng có đến 216 cách rơi 3 súc sắc.” (trích theo Vũ Như Thư Hương, trang 11) hay “một trích đoạn khác cũng khẳng định: sự xuất hiện của các dạng điểm ứng với mỗi một trong 16 kiểu tổng các điểm là không đều nhau.” . Mặt khác, vấn đề đặt ra là tại sao khả năng xảy ra của tổng 10 hay 11 lớn hơn khả năng xảy ra tổng của 9 hay 12? (Trích theoVũ Như Thư Hương, tr.11). Như vậy là ngay ở thế kỷ VIII, vấn đề về tính toán cơ hội đã được đặt ra trong các trò chơi may rủi. Một bằng chứng nữa cho sự nảy sinh nhu cầu tính toán cơ hội là bài toán các điểm đầu tiên được Luca Pacioli (1445-1509) đưa ra vào năm 1494, trong tác phẩm Summa de arithmetica geometric proportioniet proportionalita: “Một lữ đoàn chơi bóng quần. Mỗi cú trúng được 10 điểm và được 60 điểm thì được xem là thắng. Tiền đặt cược trò chơi là 10 đồng đu-ca. Một tai nạn bỗng xảy ra buộc các binh lính phải dừng ván đang chơi khi phe thứ nhất đã được 50 điểm và phe thứ hai được 20 điểm. Bài toán đặt ra là phải trả lại cho mỗi phe bao nhiêu phần của số tiền đặt cược?” (Trích theo Henry, 2004, tr.5).” “Giải pháp của Pacioli là chia tiền cược theo tỉ lệ thuận với số điểm của hai phe. Nhưng về sau, trong tác phẩm Liber de lulo aleae, Jérôme Cardan đã chứng tỏ rằng chia như vậy là sai và ông cho là phải dựa vào số ván mà họ có thể được chơi nữa. Thế nhưng giải pháp mà Cardan đưa ra cũng bị Tartaglia (1499-1557) bác bỏ. Điều đáng lưu ý là trong các tính toán của minh Cardan đã chú ý đến vấn đề đồng khả năng”. (Trích theo Vũ Như Thư Hương,2005, tr.12) . Trở lại với trò chơi tung súc sắc, có một bài toán được Grand de Toscane đặt lại cho Galilée vào năm 1620: “Tại sao kinh nghiệm của người chơi lại chỉ ra rằng cá cược tổng bằng 10 hay 11 thì có lợi thế hơn là tổng bằng 9 hay 12 (27 so với 25) trong khi mỗi một trong bốn tổng này đều có cùng số dạng (6)?” (trích theo Henry,2004, tr.5).” (Trích theoVũ Như Thư Hương, tr.13). Galilée cũng đã sử dụng phép đếm đã được mô tả trong bài thơ De Vetula để trả lời cho câu hỏi trên. Nghiên cứu của ông đã được M. Henry đánh giá rằng: “bằng cách đề nghị người chơi trò súc sắc “đo” cơ hội chiến thắng của họ, Galilée đã đến gần với xác suất trong gang tấc, nhưng tất nhiên là không diễn đạt được nó”. (Trích theo Vũ Như Thư Hương, tr.13) Như vậy, trong giai đoạn này, từ những trò chơi may rủi đã làm nảy sinh nhu cầu tính toán cơ hội. Và khái niệm xác suất lúc này xuất hiện dưới dạng công cụ ngầm ẩn cho phép giải quyết vấn đề tính toán cơ hội trong vài trò chơi may rủi đó. Trong giai đoạn này, một số yếu tố của Đại số tổ hợp đã được khai thác trong tính toán các cơ hội. Lúc này, vẫn chưa có một định nghĩa nào về xác suất được đưa ra. Giai đoạn thứ hai: (Nửa sau thế kỷ XVII ): vấn đề tính xác suất của các biến cố đồng khả năng và không đồng khả năng Khái niệm xác suất nảy sinh và phát triển với việc giải quyết vấn đề chia tiền cược mà người khởi xướng là Pascal và Fermat. Năm1651, Chavalier de Méré đã hỏi Blaise Pascal (1623-1662) về vấn đề chia tiền cược như sau: có lần Méré cùng một người bạn gieo đồng tiền sấp ngửa ăn tiền, họ góp mỗi người 32 đồng tiền vàng làm tiền cược và quy ước nếu Méré gieo được 3 lần toàn mặt sấp thì ông được toàn bộ tiền cược, còn nếu bạn ông gieo được 3 lần toàn mặt ngửa thì tiền cược thuộc về người bạn ấy. Khi Méré gieo được 2 lần mặt sấp và bạn ông mới được 1 lần mặt ngửa thì cuộc chơi phải ngừng vì nhà vua gọi Méré. Vậy nên chia như thế nào?” Chính bài toán này đã làm cho Pascal và Fermat phải suy nghĩ. Hai ông đã trao đổi thư từ với nhau và vào năm 1654, họ đã đưa ra lời giải là Méré được 3/4 tiền cược. Cả hai ông đều đã giải đúng nhưng theo 2 cách khác nhau. Pascal đã sử dụng tam giác số học các hệ số khai triển của nhị thức để giải bài toán. Sau đó, trong một lá thư gửi Fermat (ngày 24/8/1654), Pascal còn nói đến tổ hợp khi chỉ ra tỉ lệ chia tiền cược cho hai người chơi: “… có bao nhiêu tổ hợp làm cho người thứ nhất thắng cuộc và có bao nhiêu cho người thứ hai thì chia tiền theo tỉ lệ này…” Trong khi đó, Fermat đã sử dụng một phương pháp khác: ông đã tưởng tượng là trò chơi tiếp tục với những ván giả nhằm đạt đến số ván cần chơi để xác định được người chiến thắng, rồi sử dụng các tổ hợp để liệt kê các kết quả thuận lợi có thể có của mỗi người và ông chia tiền cược theo tỉ lệ đó. Cách làm đó được ông giải thích như sau: “…việc giả tưởng mở rộng trò chơi này đến một số ván nào đó chỉ nhằm làm cho qui luật dễ đi, và (theo cảm tính của tôi) sẽ khiến cho tất cả các sự ngẫu nhiên bằng nhau, hoặc dễ hiểu hơn là rút gọn tất cả các phân số về cùng mẫu số”. (trích Vũ Như Thư Hương, 2005, tr.14) Theo Henry, cả hai ông đều đã sử dụng đến đại số tổ hợp và đều thừa nhận giả thiết “đồng khả năng” khi giải quyết bài toán trên. Mặc dù vậy, hai ông vẫn chưa đưa ra được một thuật ngữ nào để chỉ tỉ số mà họ dựa vào đó để chia tiền cược (tỉ lệ đó là tiền thân của xác suất sau này). Do cả Pascal và Fermat đều không xuất bản cuốn sách nào nói về các tính toán “xác suất” của mình nên đến năm 1657, khi Christian Huygens xuất bản cuốn sách Lý thuyết trò chơi súc sắc, người ta mới biết về phép tính mới này. Tuy vây, thuật ngữ “xác suất” vẫn chưa xuất hiện và Huygens đã sử dụng từ “cơ hội” để chỉ “xác suất”: “Dù trong các trò chơi thuần ngẫu nhiên, các kết quả có không chắc đi nữa thì cơ hội mà người chơi thắng cuộc hay thua cuộc đều có giá trị xác định” Phải đến năm 1662, trong Nghệ thuật tư duy của Antoine Arnauld và Pierre Nicole (các bạn của Pascal), thì thuật ngữ “xác suất” mới thật sự xuất hiện lần đầu tiên với nghĩa đúng như chúng ta biết ngày nay: “… đừng chỉ cho từng cái tốt và cái xấu là tự nó, mà còn là xác suất xảy ra hay không xảy ra và phải chú ý chính xác vào tỉ lệ mà tất cả những cái này có chung…” (Trích Vũ Như Thư Hương, 2005, tr.16) Một định nghĩa tường minh nữa về xác suất còn được tìm thấy trong Thử phân tích các trò chơi ngẫu nhiên của Pierre Raymond de Montmort, xuất bản năm 1708: “Sự rủi may của Pierre là tỉ số của tất cả các lần thuận lợi với số tât cả các lần có thể,… Trong một trò chơi công bằng, số tiền đặt cược của hai người chơi phải cùng tỉ số với độ xác suất khác nhau hay kỳ vọng chiến thắng của mỗi người” (trích Vũ Như Thư Hương, 2005, tr.16) Như vậy, trong vòng nửa sau thế kỷ XVII, từ bài toán chia tiền cược mà khái niệm xác suất đã được nảy sinh, để tính xác suất người ta đã sử dụng đại số tổ hợp và tất nhiên là phải thừa nhận tính đồng khả năng xảy ra của các biến cố. Giai đoạn thứ ba: (từ đầu thế kỷ XVIII đến cuối thế kỷ XIX): Sự nảy sinh cách tiếp cận “thống kê” của xác suất và định nghĩa xác suất theo Laplace Sự nảy sinh cách tiếp cận “thống kê” của xác suất phải kể đến công lao to lớn của Jacques Bernoulli. Ông đã dành hai mươi năm để hoàn thành tác phẩm Thuật suy đoán. (Tác phẩm này được người cháu của ông là Nicolas Bernoulli xuất bản sau khi ông mất ). Trong tác phẩm này Bernoulli đã đưa ra những kết quả quan trọng và đã được Henry và Coutinho tổng hợp lại như sau: Bernoulli đã nêu lên một số định nghĩa liên quan đến xác suất: “Xác suất trong thực tế là mức độ chắc chắn…” “Dự đoán một điều gì đó là đo lường xác suất của nó…” (trích theo Henry, 2004, tr.7) Bernoulli thừa nhận định nghĩa tiên nghiệm của xác suất trong các tình huống đồng khả năng: “ Đặt b là trường hợp mà một đối số nào đó tồn tại, đặt c là số trường hợp mà nó có thể không tồn tại, (…). Nhưng tôi cho là tất cả các trường hợp đều có khả năng như nhau, hay chúng có thể bất chợt xảy ra như nhau; (…) sao cho một đối số như vậy có thể chứng minh về sự việc hay về độ chắc chắn của sự việc”(trích theo Henry, 2004, tr.7) (trích theo Vũ Như Thư Hương, 2005, tr.17) Ông cũng chỉ rõ điểm hạn chế của cách xác định xác suất bằng phương pháp đếm là không thể áp dụng vào các hiện tượng tự nhiên phức tạp như: sự xuất hiện bệnh nhân, hay các hiện tượng thời tiết,… Trong trường hợp đó, Bernoulli đã đề nghị xác định hậu nghiệm xác suất của biến cố sau khi quan sát thực nghiệm một số lớn các phép thử giống nhau qua sự ổn định tần suất: “Nhưng thực ra ở đây, chúng ta còn một con đường khác để có được cái mà chúng ta tìm kiếm. Điều gì không có được ở tiên nghiệm thì tối thiểu cũng phải nhận được ở hậu nghiệm, nghĩa là có thể khai thác nó bằng cách quan sát các kết cục của nhiều ví dụ tương tự;…” (Bernoulli, 1713, tr.42-44, trích theo Coutinho, 2001, tr.39) Như vậy, với “Thuật suy đoán” của Bernoulli, lần đầu tiên việc tính xác suất của một biến cố đã chuyển từ chỗ sử dụng công cụ đại số tổ hợp sang công cụ giải tích. Điều này thực sự có ý nghĩa quan trọng bởi vì từ đây chúng ta có thể áp dụng cách tính xác suất này vào những hiện tượng phức tạp trong tự nhiên như đã nói ở trên. Song song với các nghiên cứu của Nicolas Bernoulli, còn có công trình nghiên cứu của Abraham de Moivre được trình bày trong Học thuyết về cơ hội, công bố vào năm 1718. “Tác phẩm này là một xử lý thuần toán học, đã thực sự vận dụng giải tích vào lý thuyết xác suất”. (trích theo Vũ Như Thư Hương, 2005, tr.19). Với tác phẩm này, Moivre không những chỉ tu chỉnh định lý của Bernoulli mà còn đưa ra một dạng mà ngày nay ta gọi là định lý giới hạn trung tâm. Hơn nữa, ông còn đưa ra các khái niệm có liên quan như khái niệm hàm sinh, khái niệm độc lập và khái niệm xác suất có điều kiện. Một vấn đề mà Bernoulli chưa làm sáng tỏ được là việc tối ưu hoá số thí nghiệm cần thiết để phỏng đoán xác suất. Moivre và sau này là Laplace đã giải quyết được vấn đề đó. Henry ghi nhận lại kết quả của hai ông như sau: “Định lý Moivre-Laplace cho phép đưa ra một giá trị tương đương với xác suất P(F- < p < F+) nên cũng cho phép tính được con số lý tưởng các thí nghiệm cần thực hiện để có độ chính xác  và độ tin cậy 1- cho trước. Cũng như với độ chính xác 3% và độ tin cậy 95% ( = 5%) thì các điều tra thông thường hiện nay có thể phỏng đoán được xác suất với kích thước mẫu thử vào khoảng 1000”(trích theo Henry, 2004, tr.8) (trích theo Vũ Như Thư Hương, 2005, tr.19) Liên quan đến cách tiếp cận này, Buffon là một trong những người đầu tiên tiến hành thực nghiệm với việc tung đồng xu nhiều lần. Năm 1812, Pierre Simon Marquis de Laplace công bố Chuyên luận giải tích về xác suất. Với chuyên luận này, Laplace đã chính thức đưa ra định nghĩa đầu tiên về xác suất trong nguyên lý thứ nhất: “Nguyên lý thứ nhất cũng là định nghĩa của xác suất, như đã biết, đó là tỉ số của số trường hợp thuận lợi với số tất cả các trường hợp có thể xảy ra”. (trích theo Thư Hương, 2005, tr.20) Ông còn nhấn mạnh điều kiện sử dụng cho định nghĩa trên: “Lý thuyết về sự ngẫu nhiên dựa trên việc rút gọn tất cả các biến cố cùng loại về một số nào đó các trường hợp đồng khả năng… xác định số các trường hợp thuận lợi cho biến cố mà ta tính xác suất.” (trích theo Thư Hương, 2005, tr.20) Tuy vậy, ông cũng nhận thấy hạn chế của định nghĩa này là không phải lúc nào cũng đưa về các trường hợp đồng khả năng, nên trong nguyên lý thứ hai ông viết: “Nếu chúng không đồng khả năng, trước hết ta phải xác định các khả năng riêng của chúng mà việc ước lượng đúng các khả năng này chính là một trong những điểm khó nhất của lý thuyết ngẫu nhiên. Khi đó, xác suất sẽ là tổng các xác suất của mỗi trường hợp thuận lợi”. (trích theo Thư Hương, 2005, tr.20-21) Định nghĩa trên được trình bày trong cùng cách tiếp cận của Pascal, Fermat, Huygens và Monmort nên còn được gọi là định nghĩa cổ điển của xác suất. Giai đoạn thứ tư (Thế kỷ XX): Vấn đề tiên đề hoá lý thuyết xác suất. Cuối thế kỷ XIX đầu thế kỷ XIX, nhiều thành tựu của công cụ giải tích đã đem lại cho lý thuyết xác suất nhiều màu sắc mới. Trong đó có phép biến đổi Fourier, cho phép thay thế các hàm sinh bởi một hàm số đặc trưng. Đặc biệt là sự phát triển lý thuyết tập hợp số, lý thuyết độ đo, lý thuyết tích phân của Borel và Lebesgue ở đầu thế kỷ XIX đã dẫn đến xu hướng xây dựng lý thuyết xác suất theo phương phương pháp tiên đề của Hilbert. Năm 1933, nhà toán học người Nga Andrei Kolmogorov đã phác thảo một hệ tiên đề làm nền tảng cho lý thuyết xác suất hiện đại. Theo lý thuyết này,  là một tập hợp biểu thị các kết quả của phép thử ngẫu nhiên, trên  định nghĩa một độ đo bị chăn  thoả các tiên đề: Tiên đề 1 Với mọi biến cố A, 0  (A)  1 Tiên đề 2 () = 1 Tiên đề 3 Với mọi dãy biến cố đôi một rời nhau A1, A2,…, thì (A1  A2 …) =  (Ai) Khi đó xác suất của một biến cố trong một phép thử ngẫu nhiên là độ đo  của tập hợp mô tả biến cố đó. Đó là số thực, được ghi là (A). “Hệ tiên đề này chấp nhận một cách hài hoà các khái niệm về biến ngẫu nhiên và các qui luật (sự chuyển từ  và  trong lĩnh vực số)”. (Trích Vũ Như Thư Hương, 2005, tr.23) Ý tưởng này đã được chọn lọc lại phần nào và ngày nay lý thuyết xác suất và thống kê đã trở thành một nghành toán được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực: vật lí, cơ học, sinh học, y học kinh tế, địa lý, giáo dục xã hội học,… Các cách định nghĩa khái niệm xác suất: Từ tham khảo lịch sử nảy sinh và phát triển của khái niệm xác suất và các giáo trình Lý thuyết xác suất ở bậc đại học, khái niệm xác suất có thể được tiếp cận theo 4 cách sau: Cách tiếp cận cổ điển: Còn gọi là cách tiếp cận theo Laplace vì ở đây khái niệm xác suất được định nghĩa theo Laplace: “xác suất của một biến cố là tỉ số của số trường hợp thuận lợi với tất cả các trường hợp có thể xảy ra”. Cách tiếp cận này có ưu điểm là đơn giản, trực quan và dễ sử dụng. Điểm hạn chế của cách tiếp cận này chính là ở phạm vi áp dụng của nó. Nó chỉ áp dụng cho một lớp các thí nghiệm có đặc trưng sau: Số các kết cục có thể xảy ra (hay không gian mẫu) là hữu hạn Khả năng xảy ra mỗi kết cục nếu ta tiến hành thí nghiệm là như nhau (tính chất này gọi là tính đồng khả năng hay đồng xác suất). Những thí nghiệm có đặc trưng trên thường là các trò chơi may rủi, hoặc phép lấy ngẫu nhiên không tính toán,… Theo cách tiếp cận này thì việc tính xác suất của một biến cố được đưa về các phép đếm để tính số trường hợp thuận lợi và số trường hợp có thể xảy ra. Vì vậy, đối với cách tiếp cận này Đại số tổ hợp có vai trò chính trong các tính toán xác suất. Cách tiếp cận theo quan điểm thống kê: Theo cách tiếp cận này, tần suất của một biến cố luôn thay đổi nhưng vẫn có tính chất “tương đối ổn định”, nghĩa là tần suất của biến cố luôn dao động quanh một giá trị khi ta thực hiện một số lượng lớn các phép thử. Giá trị này là xác suất của biến cố ấy. Như vậy, xác suất của một biến cố có thể được xem là xấp xĩ với tần suất xuất hiện của biến cố đó nếu phép thử là đủ lớn. Xác suất tính theo quan điểm này còn được gọi là “xác suất khách quan” vì xác suất chỉ được biết sau thực nghiệm. Cách tiếp cận này khắc phục được hạn chế của định nghĩa Laplace về tính đồng khả năng của các kết cục. Ở góc độ toán học và thực tế, cách tiếp cận theo quan điểm thống kê có thể giải quyết được những bài toán tìm xác suất trong các trường hợp mà định nghĩa của Laplace không sử dụng được (ví dụ như tính xác suất để đinh nhũ rơi ngẫu nhiên chạm đất bằng mũi nhọn hay bằng đầu). Nhưng, đứng ở góc độ dạy học, Parzysz cho rằng cách tiếp cận này gây ra những khó khăn sau: Trước hết, nó dựa trên sự “hội tụ” của các tần suất (sự hội tụ theo xác suất) không phải là sự hội tụ thuần tuý theo dãy số mà học sinh thường gặp trong giải tích. Hơn nữa, cách tiếp cận này còn có thể dẫn đến nguy cơ là “học sinh không thực hiện được bước nhảy khái niệm mà lại đồng hoá tần suất với xác suất” (Trích theo Vũ Như Thư Hương, 2005, tr.26) Cách tiếp cận theo quan điểm hình học: Khắc phục điểm hạn chế của định nghĩa xác số cổ điển về đòi hỏi không gian mẫu hữu hạn đồng thời vẫn giữ giả thiết các kết cục đồng khả năng, người ta đưa ra định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học: Xét một phép thử có vô hạn kết cục đồng khả năng. Giả sử ta có thể biểu diễn tập hợp mọi kết cục này bởi một miền nào G đó (đoạn thẳng, miền phẳng, mảnh mặt cong hay một khối không gian) và những kết cục thuận lợi cho biến cố A xuất hiện bởi một miền hình học con g thuộc G. Khi đó xác suất của biến cố A là tỷ số của kích thước miền g với kích thước miền G. (Trong đó kích thước được hiểu là độ dài, diện tích hay thể tích). Việc xác định các miền biểu diễn và tính diện tích của các miền đó đôi lúc gặp nhiều khó khăn và không phải lúc nào cũng làm được, cách tiếp cận này cũng ít được sử dụng ở bậc đại học. Mặc dù vậy cách tiếp cận theo quan điểm này cũng có ứng dụng trong thực tế. Một số bài toán có thể đưa về dạng này: gọi điện thoại về tổng đài thì bị bận (hai lần gọi gặp nhau), đài quan sát nhận được hai tín hiệu trong khoảng thời gian không phân ly được, công nhân đứng nhiều máy gặp tình trạng hai máy hỏng đồng thời,... Cách tiếp cận theo quan điểm tiên đề: Xác suất được định nghĩa như “một độ đo không âm bị chặn được xác định trên một tập hợp trừu tượng mô hình hoá các kết cục có thể của một phép thử ngẫu nhiên” và thoả mãn một hệ tiên đề. Cách tiếp cận này được xây dựng dựa trên lý thuyết độ đo, đây là lý thuyết toán học cao cấp nên quá khó hiểu đối với học sinh THPT. Vì thế cách này chỉ được cung cấp ở bậc đại học. Từ phân tích trên cho thấy ở trường THPT dùng định nghĩa xác suất theo Laplace là đơn giản và dễ sử dụng hơn cả đối với học sinh. Nhưng nếu chỉ dạy định nghĩa xác suất theo Laplace thì học sinh khó sử dụng kiến thức đã học vào thực tế. Bởi vì, trong thực tế ta thường gặp hơn cả là các phép thử có không gian mẫu vô hạn hoặc các biến cố không đồng khả năng xảy ra. Hơn nữa mục tiêu giáo dục của nước ta là đào tạo ra những lớp người có khả năng thích ứng với sự biến đổi không ngừng của thực tiễn, có năng lực giải quyết các vấn đề nảy sinh trong cuộc sống. Có lẽ vì vậy mà sách giáo khoa cũng đã đưa định nghĩa thống kê của xác suất vào chương trình. Em nghĩ đây là lời giải đáp cho thắc mắc của một số giáo viên. Với lựa chọn đưa định nghĩa cổ điển và định nghĩa thống kê của xác suất vào chương trình phổ thông, sách giáo khoa đã trình bày hai định nghĩa đó như thế nào trong lý thuyết và bài tập? Phân tích sách giáo khoa thí điểm phân ban KHTN lớp 11 Trong phần này, em chỉ phân tích sách giáo khoa cho chương trình thí điểm phân ban ban KHTN lớp 11 do tác giả Đoàn Quỳnh làm tổng chủ biên. Phần lý thuyết Về một số khái niệm liên quan đến khái niệm xác suất Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu: Trước khi đưa ra định nghĩa, SGK đưa ra một ví dụ về một mô hình rất quen thuộc đó là gieo súc sắc: “Khi gieo một con súc sắc, số chấm trên mặt xuất hiện được coi là kết quả của việc gieo súc sắc. Ta nhận thấy rằng rất khó dự đoán trước được kết quả của mỗi lần gieo. Nó có thể là bất kỳ một con số nào trong tập hợp . Ta gọi việc gieo súc sắc nói trên là một phép thử ngẫu nhiên”.(trích SGK, tr.79) Trong ví dụ này, SGK cũng đã nêu ra một số đặc điểm của hành động “gieo một con súc sắc”. Và hành động “gieo súc sắc” gọi là phép thử ngẫu nhiên. Như vậy, với ví dụ này SGK đã nêu ra một số thuộc tính bản chất của khái niệm, hình thành biểu tượng về khái niệm, từ đây có thể phác thảo được định nghĩa về phép thử ngẫu nhiên. Qua đó, SGK đã đưa ra định nghĩa như sau: Một phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm hay một hành động mà: Có thể lặp đi lặp lại nhiều lần trong các điều kiện giống nhau; Kết quả của nó không dự đoán trước được; Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó. Phép thử thường được kí hiệu bởi chữ T. Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và được ký hiệu bởi chữ  (đọc là ô-mê-ga). Sau cùng SGK đưa ra 2 ví dụ kèm lời giải và hoạt động H1 với yêu cầu là tìm không gian mẫu của phép thử “gieo ba đồng xu phân biệt”. Đây là dạng hoạt động để củng cố khái niệm không gian mẫu. Như vậy khái niệm phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu được đưa vào theo tiến trìnhcông cụ đối tượng bằng con đường qui nạp. Biến cố liên quan đến phép thử SGK đã sử dụng thuật ngữ “biến cố” ngay trong ví dụ 3 để dẫn dắt đến khái niệm biến cố liên quan đến phép thử. “Giả sử T là phép thử “gieo một con súc sắc”. Xét biến cố A: “Số chấm trên mặt xuất hiện là một số chẵn”. Ta thấy việc xảy ra hay không xảy ra biến cố A tuỳ thuộc vào kết quả của T. Biến cố A xảy ra khi và chỉ khi kết quả của T là 2, hoặc 4, hoặc 6. Do đó biến cố A được mô tả bởi tập hợp . Biến cố A được gọi là biến cố liên quan đến phép thử T. (trích SGK, tr.81) Cũng như ở phần trên, ví dụ này cũng nêu ra những đặc điểm của biến cố A liên quan đến phép thử T (phần gạch dưới). Sau đó, SGK đưa ra tên gọi cho A là “biến cố liên quan đến phép thử T”. Tiếp theo SGK đưa ra hoạt động H2: “Xét biến cố B: “Số chấm trên mặt xuất hiện là một số lẻ” và biến cố C: “Số chấm trên mặt xuất hiện là một số nguyên tố”. Hãy viết ra tập hợp B, C mô tả các biến cố B,C.” (trích SGK, tr.81) Việc đưa ra hoạt động này có tính chất luyện tập theo ví dụ mẫu. Sau đó, SGK tổng quát lên thành định nghĩa: “Một biến cố A liên quan đến phép thử T được mô tả bởi một tập con A nào đó của không gian mẫu  của phép thử đó. Biến A xảy ra khi và chỉ khi kết quả của T thuộc tập A. Mỗi phần tử của A được gọi là một kết quả thuận lợi cho A” (trích SGK, tr.81). Như vậy, SGK cũng đã sử dụng tiến trình đối tượng công cụ và con đường qui nạp để đưa vào khái niệm biến cố. SGK không đồng nhất biến cố A với “tập hợp mô tả” nó mà có sự phân biệt một cách rất thận trọng (tham khảo Vũ Như Thư Hương, 2005, tr.32). Theo nghiên cứu của Vũ Như Thư Hương, thì sách giáo viên có giải thích về điều này rằng: “Về mặt toán học, ta có thể đồng nhất mỗi biến cố A với một tập con A mô tả nó”. Nhưng, “Định nghĩa như vậy là hình thức, có tính “hàn lâm”, do đó làm mất đi tính trực quan sinh động vốn có của khái niệm biến cố”. Về định nghĩa của khái niệm xác suất Cấu trúc của tiến trình đưa vào khái niệm xác suất trong SGK là: Đại số tổ hợp Xác suất theo định nghĩa cổ điển Xác suất theo định nghĩa thống kê Trình tự này là hợp lí bởi vì nó tuân theo lịch sử hình thành khái niệm xác suất. SGK đã sử dụng thuật ngữ “khả năng” trong lúc đặt vấn đề đi đến khái niệm xác suất như sau: “Trong cuộc sống hàng ngày, khi nói về biến cố ta thường nói biến cố này có khả năng xảy ra hơn biến cố kia. Toán học đã định lượng hóa các khả năng này bằng cách gán cho mỗi biến cố một con số không âm, nhỏ hơn hay bằng 1 gọi là xác suất (phần chắc) của biến cố đó. Xác suất của biến cố A được ký hiệu là P(A). Nó đo lường khả năng khách quan sự xuất hiện của biến cố A. Biến cố chắc chắc (biến cố luôn luôn xảy ra khi thực hiện phép thử T) có xác suất bằng 1. Biến cố không thể (biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử T) có xác suất bằng 0”. (SGK, tr.81) Ở đây, xác suất có nghĩa là “khả năng xảy ra”, nó có dạng “một con số không âm nhỏ hơn hay bằng 1”. Điều này cũng trùng với nội dung tiên đề thứ nhất trong định nghĩa tiên đề của Kolmogorov. (tham khảo Vũ Như Thư Hương, 2005, tr.33). a) Định nghĩa cổ điển của xác suất Sau đó, SGK đưa ra ví dụ 4 (đã lược bỏ bảng liệt kê các kết quả của phép thử): “Giả sử T là phép thử “Gieo hai con súc sắc”. Kết quả của T là cặp số (x,y), trong đo x và y tương ứng là kết quả của việc gieo con súc sắc thứ nhất thứ nhất và thứ hai… Xét biến cố A: “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc là 7” Tập con A của  mô tả A gồm 6 phần tử là: A = Khi đó tỉ số được gọi là xác suất của A” (SGK, tr.81-82) Trong ví dụ này, SGK đã đưa ra bảng liệt kê tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử, và đã phân tích các điều kiện về không gian mẫu hữu hạn và các kết quả đồng khả năng xuất hiện: “Phép thử T có 36 kết quả có thể. Nếu con súc sắc được chế tạo cân đối thì các mặt của con súc sắc đều có cùng khả năng xuất hiện. Ta nói 36 kết quả của T là đồng khả năng” Xác suất của biến cố A trong ví dụ là tỉ số .(chính là tỉ số của số kết quả thuận lợi cho biến cố A với tất cả các kết quả xảy ra). Sau ví dụ dẫn dắt trên, SGK đưa ra định nghĩa “định nghĩa cổ điển của xác suất” như sau: “Giả sử phép thử T có không gian mẫu  hữu hạn và các kết quả của T là đồng khả năng. Nếu A là một biến cố liên quan tới phép thử T và A là tập hợp các kết quả mô tả A thì xác suất của A là một số, kí hiệu là P(A), được xác định bởi công thức: , trong đó và lần lượt là số phần tử của tập A và ”. Sau đó, SGK có đưa ra hai ví dụ củng cố có kèm theo lời giải. Nhưng có một điều đáng lưu ý là, mặc dù định nghĩa có nêu rõ điều kiện sử dụng nhưng trong lời giải của những ví dụ này SGK hoàn toàn không có bước kiểm tra các điều kiện đó. Hơn nữa, trong SGK cũng không nói đến việc khi nào có thể giả thiết các kết quả đồng khả năng. Điều này theo nghiên cứu của Vũ Như Thư Hương (trong luận văn thạc sỹ, 2005, tr.35), sách giáo viên có viết: “Thông thường đó là khi mà ta không có một lý do nào để xem kết quả này có khả năng xảy ra nhiều hơn kết quả kia. Chẳng hạn như: khi gieo con súc sắc chế tạo một cách cân đối thì các mặt có khả năng xuất hiện là như nhau; khi ta gieo đồng tiền cân đối thì khả năng lật mặt sấp và mặt ngửa là như nhau; khi ta chọn ngẫu nhiên một người trong một nhóm người một cách vô tư, không thiên vị thì khả năng được chọn của mỗi người là như nhau; khi ta chia một cỗ bài tú lơ khơ thì cỗ bài phải tráo thật kỹ thì kết quả mới đồng khả năng.” Vậy là, qua một số ví dụ, sách giáo viên đã nêu lên cách nhận biết xem một phép thử kết quả đồng khả năng hay không. Nhưng cũng theo Thư Hương (luận văn thạc sỹ, 2005, tr.36) thì sách giáo viên cũng không nói gì về việc giáo viên phải yêu cầu học sinh kiểm tra các điều kiện của định nghĩa cổ điển. Với cách trình bày như trên, SGK đã đưa định nghĩa cổ điển của xác suất vào theo tiến trình đối tượngcông cụ và bằng con đường qui nạp. Định nghĩa thống kê của xác suất: SGK đưa ra định nghĩa như sau: “Xét phép thử T và biến cố A liên quan đến phép thử đó. Ta tiến hành lặp đi lặp lại N lần phép thử T và thống kê xem biến cố A xuất hiện bao nhiêu lần. Số lần xuất hiện biến cố A được gọi là tần số của A trong N lần thực hiện phép thử T. Tỉ số giữa tần số của A với số N được gọi là tần suất của A trong N lần thực hiện phép thử T. Người ta chứng minh được rằng khi số lần thử N càng lớn thì tần suất của A càng gần với một số cố định, số đó được gọi là xác suất của A theo nghĩa thống kê (số này cũng chính là P(A) trong định nghĩa cổ điển của xác suất)”. Ngay sau định nghĩa, SGK có nêu lên mối quan hệ giữa tần suất và xác suất: “Như vậy, tần suất được xem như giá trị gần đúng của xác suất. Trong khoa học thực nghiệm, người ta thường lấy tần suất làm xác suất. Vì vậy tần suất còn được gọi là xác suất thực nghiệm”. Để minh hoạ cho định nghĩa thống kê của xác suất, sách giáo khoa có đưa ra ví dụ sau: “Ví dụ 7: Nếu ta gieo một đồng xu cân đối thì xác suất xuất hiện mặt ngửa là 0,5. Buýp-phông (Buffon), nhà toán học ngườ Pháp thế kỉ XVIII, đã thí nghiệm việc gieo đồng xu nhiều lần và thu được kết quả sau: Số lần gieoTần số xuất hiện mặt ngửaTần suất xuất hiện mặt ngửa404020480,50701200060190,501624000120120,5005Đây lại là vídụ liên quan đến thực nghiệm mà không gian mẫu hữu hạn và các biến cố cũng đồng khả năng xuất hiện. Ví dụ này cho thấy rõ rằng khi số phép thử càng lớn thì tần suất càng gần với với xác suất (điều này được kiểm chứng bởi xác suất trong trường hợp này tính được theo định nghĩa cổ điển là 0,5). Nhưng nó lại không cho học sinh thấy được sự cần thiết của việc sử dụng định nghĩa thống kê của xác suất. Do đó học sinh chưa biết cách sử dụng định nghĩa thống kê vào giải quyết các vấn đề của thực tế. Sau ví dụ 7 SGK có đưa ra hai hoạt động H3 và H4 Trong đó: H3 là hoạt động củng cố định nghĩa thống kê của xác suất nhưng chỉ là tính tần suất dựa trên các số liệu đã cho chứ không phải là một hoạt động thực nghiệm. Hoạt động H4 là hoạt động duy nhất liên quan đến thống kê: “gieo con súc sắc 100 lần. Ghi lại kết quả của việc gieo này và tính tần suất xuất hiện các mặt 1, 2, 3, 4, 5, 6 chấm”. Số chấm xuất hiệnTần sốTần suất123456 Rất tiếc là hoạt động này chỉ dừng lại ở mức độ cho học sinh lặp lại một phép thử nhiều lần và tính tần số tần suất xuất hiện, mà chưa tiến xa hơn để tiếp cận khái niệm xác suất theo con đường thực nghiệm. (tham khảo Vũ Như Thư Hương, 2005, tr.39). SGK đã đưa định nghĩa thống kê của xác suất vào theo tiến trình đối tượng  công cụ và bằng con đường suy diễn. Tóm lại, từ phân tích trên cho thấy: SGK chỉ đặt trọng tâm vào việc vận dụng kiến thức của đại số tổ hợp để tính xác suất theo định nghĩa cổ điển. Việc trình bày định nghĩa thống kê của xác suất đã không được chú trọng đúng mức. Khái niệm xác suất không được học sinh tiếp cận qua con đường thực nghiệm mà SGK “chỉ giới thiệu định nghĩa thống kê của xác suất, xem kết quả của xác suất thực nghiệm qua thống kê như một chứng minh thực tế có tính thuyết phục cho giá trị xác suất tìm được theo định nghĩa cổ điển” (trích Vũ Như Thư Hương, 2005, tr.39) SGK có thể hiện được mối quan hệ giữa xác suất và tần suất “tần suất được xem là giá trị gần đúng của xác suất”, nhưng mối quan hệ giữa thống kê và xác suất dường như không được thiết lập trong lý thuyết. Phần bài tập Trong phần này em sẽ tìm hiểu những kiểu nhiệm vụ cơ bản trong những bài toán về xác suất trong SGK và các định nghĩa khái niệm xác suất có sử dụng vào giải quyết các vấn đề đó hay không? Các bài tập về xác suất trong SGK có các kiểu nhiệm vụ sau: Mô tả không gian mẫu Liệt kê các kết quả thuận lợi cho một biến cố Tính xác suất của một biến cố (kiểu nhiệm vụ này chiếm hầu hết lượng bài tập trong chương xác suất) Trong nhiệm vụ này có các dạng: Tính xác suất của biến cố A Tính xác suất của biến cố A, với A là hợp hoặc giao của các biến cố. Tính xác suất có điều kiện Hầu hết các bài tập yêu cầu tính xác suất đều được nêu ra trong những tình huống có không gian mẫu hữu hạn, các kết quả đồng khả năng xuất hiện. Chỉ có 3 bài được nêu trong tình huống các kết quả không đồng khả năng xảy ra nhưng việc tính xác suất của các biến cố chỉ cần sử dụng các công thức tính xác suất là giải quyết được (bài 26, 27 tr. 92; bài 36 tr.97) Tóm lại, mặc dù là trong lý thuyết có trình bày hai định nghĩa nhưng trong phần bài tập không có bài tập nào sử dụng định nghĩa thống kê của xác suất để giải. Phần lớn các bài tập đều sử dụng định nghĩa cổ điển để tính xác suất. Như vậy, một lần nữa có thể khẳng định là việc giới thiệu định nghĩa thống kê không được chú trọng, ít nhiều còn mang tính hình thức. Thiết kế tình huống dạy học định nghĩa thống kê của xác suất Dựa trên những phân tích trên, em thiết kế tình huống dạy học định nghĩa thống kê của xác suất. Mục đích Tạo điều kiện cho học sinh tiếp cận định nghĩa thống kê của xác suất bằng con đường thực nghiệm để học sinh thấy được mối quan hệ giữa thống kê và xác suất. Phân biệt được sự khác nhau giữa xác suất và tần suất. Cho học sinh thấy được sự cần thiết phải sự dụng định nghĩa thống kê của xác suất. Học sinh biết được một số ứng dụng của định nghĩa thống kê của xác suất trong thực tế. Các bước tiến hành Tình huống 1: Hai bạn A và B chơi trò gieo đồng xu 500 và đoán số lần xuất hiện mặt 500. Bạn A nói rằng: “Do xác suất của biến cố xuất hiện mặt 500 là ½ nên nếu gieo 100 lần thì xuất hiện 50 lần.” Theo các em, liệu có chắc là bạn A chiến thắng trong trò chơi này không? Để biết bạn A có thắng hay không, tiến hành thực nghiệm “gieo đồng xu 500” 100 lần. Cho học sinh chia thành các nhóm, mỗi nhóm hai người, tiến hành gieo đồng xu 500, mỗi học sinh gieo 100 lần, người còn lại trong nhóm sẽ đếm số lần xuất hiện mặt 500, tính tần suất tương ứng và ghi vào phiếu số 1(do giáo viên chuẩn bị). Giáo viên tổng hợp kết quả lại điền vào bảng 1 Tích lũy số lần gieo, cộng các tần số xuất hiện mặt 500 (trong bảng 1) rồi điền vào bảng 2 Học sinhTần số xuất hiện mặt 500 (ni)Tần suất xuất hiện mặt 500 Ký hiệu (fi)123………45……Số lần gieo (N)Tần số xuất hiện mặt 500Tần suất xuất hiện mặt 500100200 +300 + + ……4600…Bảng 1 Bảng 2 Học sinh trả lời câu hỏi: Bạn A có thắng không? Vì sao?  Câu trả lời mong đợi: Bạn A không thắng. Vì em gieo 100 lần chỉ có… (kết quả do học sinh đưa ra) lần xuất hiện mặt 500. Giáo viên đặt câu hỏi: Vậy theo các em, khi nào bạn A có cơ hội thắng? Giáo viên gợi ý: Các em có nhận xét gì về sự thay đổi của tần suất xuất hiện mặt 500 khi số lần gieo càng lớn?  Câu trả lời mong đợi: khi số lần gieo càng lớn tần suất càng gần xác suất của biến cố xuất hiện mặt 500 (xác suất này được tính bằng định nghĩa cổ điển) Giáo viên: Yêu cầu học sinh vẽ đồ thị tần suất trong bảng 2 ứng với số lần gieo để thấy rõ nhận xét trên. Giáo viên nêu lại câu hỏi: Vậy khi nào bạn A có cơ hội thắng? Vì sao?  Câu trả lời mong đợi: khi số lần gieo đủ lớn. Vì khi đó tần suất rất gần xác suất là ½ nên số lần xuất hiện mặt 500 gần bằng nửa số lần gieo. Từ đó giáo viên kết luận: khi số phép thử càng lớn thì tần suất càng tiến gần đến một giá trị và khi đó người ta lấy giá trị này làm giá trị gần đúng cho xác suất. Tần suất không phải là xác suất Tình huống 2: Dán 2 đồng tiền xu 500 và 5000 lại với nhau tạo thành đồng tiền ghép có hai mặt là mặt 500 và mặt 5000. Bạn A nói rằng: “khi tung ngẫu nhiên đồng tiền này thì xác suất để xuất hiện mặt 500 là ½”. Em có đồng ý với bạn A không? Tại sao? Giáo viên hỏi: Có mấy cách để tính xác suất xuất hiện mặt 500 khi tung ngẫu nhiên đồng tiền ghép này?  Câu trả lời mong đợi: Chỉ có cách tính bằng định nghĩa thống kê. Vì đồng tiền ghép này không đồng chất (kích thước, trọng lượng,… của đồng xu 500 và 5000 khác nhau) định nghĩa cổ điển không sử dụng được. Giáo viên: Vậy tiến hành thực nghiệm với các bước tương tự tình huống trên ghi kết quả vào bảng 2’. Khi đó lấy giá trị f46000 làm giá trị gần đúng thay cho xác suất. Hoạt động ở nhà: Giáo viên yêu cầu học sinh tìm hiểu xem định nghĩa thống kê được sử dụng trong những trường hợp nào trong thực tế. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Luận văn thạc sỹ Khái niệm xác suất trong dạy học toán ở THPT, Vũ Như Thư Hương, 2005 [2] Cơ sở lý thuyết xác suất, Nguyễn Viết Phú, Nguyễn Duy Tiến [3] Lý thuyết xác suất và thống kê toán học, PGS. TS Nguyễn Quang Báu [4] Lý thuyết xác suất và thống kê, Đinh Văn Gắng. [5] Giáo trình lý thuyết xác suất và thống kê toán học, Trần Tuấn Điệp, Lý Hoàng Tú. [6] Đại số và giải tích 11 (Sách giáo khoa thí điểm Ban KHTN), Đoàn Quỳnh (chủ biên)