Khóa luận Giải phương trình Schrödinger dừng bằng phương pháp thời gian ảo

i BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ ---------------- LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SCHRÖDINGER DỪNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP THỜI GIAN ẢO GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Ty SVTH: Lê Thị Thanh Thủy Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 i Lời cảm ơn Để hoàn thành luận văn này cũng như khóa học, tôi đã nhận đươc sự quan tâm động viên, giúp đỡ từ gia đình, thầy cô, bạn bè và mọi người xung quanh. Thông qua luận văn này, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất cả mọi người. Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn TS. Nguyễn Ngọc Ty. Thầy đã nhiệt tình hướng dẫn, động viên khích lệ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô, anh chị trong tổ Vật lý lý thuyết đã giúp đỡ và tạo điều kiện để tôi hoàn thành tốt luận văn. Tôi xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều kiện cho tôi trong những năm tháng học đại học. Tôi xin cảm ơn thầy cô trong khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã truyền đạt cho tôi những kiến thức và kỹ năng quý báu để tôi vững tin trong nghề nghiệp của mình. Xin cảm ơn ! TP. Hồ Chí Minh, ngày 01 tháng 04 năm 2013 Lê Thị Thanh Thủy i Mục lục Lời cảm ơn .................................................................................................. 2 Mục lục ........................................................................................................ 3 Danh mục các hình vẽ, đồ thị .................................................................... 4 Danh mục các bảng số liệu ........................................................................ 5 Lời mở đầu .................................................................................................. 1 Chương I: Giới thiệu về phương trình Schrödinger .............................. 3 1.1. Phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian .................................................. 3 1.2. Phương trình Schrödinger dừng ......................................................................... 5 Chương II: Giới thiệu phương pháp thời gian ảo ................................... 7 2.1. Trạng thái cơ bản ................................................................................................ 7 2.2. Trạng thái kích thích .......................................................................................... 9 Chương III: Kết quả nghiệm số phương trình Schrödinger bằng phương pháp thời gian ảo trong một số trường hợp ............................ 12 3.1. Dao động tử điều hòa ....................................................................................... 12 3.2. Hạt chuyển động dưới tác dụng của thế Morse ................................................ 15 3.3. Dao động tử phi điều hòa bậc ba ...................................................................... 20 3.4. Dao động tử phi điều hòa bậc bốn .................................................................... 24 Kết luận ..................................................................................................... 28 Tài liệu tham khảo .................................................................................... 31 i Danh mục các hình vẽ, đồ thị Hình 1: Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1887-1961) là nhà vật lý người Áo ........................................................................................................................................4 Hình 2: Khảo sát sự hội tụ của năng lượng khi τ → ∞ ứng với các hàm ban đầu khác nhau. Đường liền nét ứng với hàm sinx, đường đứt nét màu đỏ ứng với hàm hằng số và đường đứt nét màu đen ứng với hàm xe ......................................................................16 Hình 3: Năng lượng của dao động tử điều hòa trong hai trường hợp (a) 1ω = và (b) 2ω = . Đường liền nét là kết quả nghiệm chính xác và chấm tròn là nghiệm giải bằng phương pháp thời gian ảo. ................................................................................................18 Hình 4: So sánh kết quả năng lượng của hạt dao động trong thế Morse. Đường liền nét là kết quả nghiệm chính xác, ô vuông là kết quả công trình [7], chấm tròn là kết quả của tác giả bằng phương pháp thời gian ảo........................................................................23 Hình 5: Kết quả năng lượng của dao động tử phi điều hòa bậc ba ứng với (a) λ = 0.001, (b) λ = 0.002, (c) λ = 0.01 và (d) λ = 0.02. Dấu chấm tròn là kết quả giải bằng phương pháp thời gian ảo và đường liền nét là kết quả giải bằng phương pháp nhiễu loạn.....................................................................................................................................28 Hình 6: Kết quả năng lượng của dao động tử phi điều hòa bậc 4 ứng với (a) 0.01λ = , (b) 0.02λ = và (c) 0.05λ = . Đường liền nét là kết quả của phương pháp toán tử, đường đứt nét là kết quả của phương pháp nhiễu loạn, chấm tròn là kết quả của phương pháp thời gian ảo.........................................................................................................................31 ii Danh mục các bảng số liệu Bảng 1: Các mức năng lượng nE theo chỉ số trạng thái n bằng phương pháp thời gian ảo trong trường hợp 1ω = và 2ω = ...........................................................................17 Bảng 2: Kết quả các mức năng lượng theo chỉ số lượng tử n bằng nghiệm chính xác, phương pháp thời gian ảo của tác giả và công trình [7].....................................................22 Bảng 3: Các mức năng lượng nE theo n bằng phương pháp thời gian ảo và nhiễu loạn ứng với 0.001λ = và 0.01λ = cho dao động tử phi điều hòa bậc ba.........................28 Bảng 4: Kết quả mức năng lượng nE tính bằng các phương pháp thời gian ảo, toán tử và nhiễu loạn ( 0.01λ = )...............................................................................................31 1 Lời mở đầu Phương trình Schrödinger là phương trình động lực học cơ bản quan trọng trong cơ học lượng tử phi tương đối tính. Phương trình này có vai trò tương tự như phương trình định luật II Newton trong cơ học cổ điển. Đây là phương trình vi phân đạo hàm riêng bậc một theo thời gian và bậc hai theo tọa độ, giúp chúng ta khảo sát sự biến đổi trạng thái của hệ theo thời gian. Trong trường hợp hệ không tương tác với trường ngoài biến thiên theo thời gian, ta có phương trình Schrödinger dừng có nghiệm là hàm sóng mô tả trạng thái của hệ đang xét và trị riêng của phương trình là năng lượng của hệ đang xét. Từ hàm sóng và năng lượng sau khi giải phương trình Schrödinger, cho phép tính toán các đặc tính mong muốn từ đó có thể tìm ra những tính chất mới và hình dung một cách tổng quan hơn về phổ năng lượng của bài toán. Chính vì vậy, việc giải phương trình Schrödinger là vấn đề cơ bản trong cơ học lượng tử. Hơn nữa, trong các bài toán tương tác giữa hệ và trường ngoài phụ thuộc thời gian, việc giải phương trình Schrödinger dừng khi hệ chưa chịu tác dụng của trường thế cũng rất quan trọng. Nó được xem như điều kiện đầu, có vai trò quyết định để xem xét hệ ở những thời điểm trong quá trình tương tác. Do đó, việc giải chính xác phương trình Schrödinger dừng có ý nghĩa vật lý quan trọng. Tuy nhiên, việc giải nghiệm giải tích một cách chính xác phương trình Schrödinger dừng chỉ thực hiện được trong một số ít trường hợp như hạt chuyển động trong hố thế sâu vô hạn, dao động tử điều hòa, nguyên tử hydro... Chính vì vậy, để nghiên cứu các bài toán phức tạp hơn chúng ta phải sử dụng các phương pháp gần đúng. Các phương pháp kinh điển hay được sử dụng là phương pháp nhiễu loạn và phương pháp biến phân. Nhưng điều đáng nói ở đây, phương pháp nhiễu loạn chỉ giải quyết tốt khi phần thế năng nhiễu loạn là rất nhỏ so với năng lượng của hệ khi chưa có nhiễu loạn. Khi phần thế năng nhiễu loạn không còn nhỏ nữa thì nghiệm tìm được không còn hội tụ nữa. Còn đối với phương pháp biến phân, việc đoán hàm sóng ban đầu không phải dễ dàng và khó áp dụng cho các trạng thái kích thích. Với tốc độ phát triển công nghệ máy tính hiện nay, việc xây dựng những phương pháp giải số nghiệm của phương trình Schrödinger dừng rất được quan tâm và phát triển. Các nhà khoa học đã cho ra đời nhiều phương pháp giải số hiệu quả và đáng tin cậy. Chẳng hạn như phương pháp Runge – Kutta, phương pháp Crank – Nicolson.... Trong đó, phương pháp thời gian ảo cũng là một trong những phương pháp giải số hiệu quả cao. Mấu 2 chốt của phương pháp này là thay đại lượng it bằng đại lượng τ (thời gian ảo). Việc giải số phương trình vi phân bậc nhất theo thời gian được chúng tôi tiến hành lập trình kết hợp với phương pháp tách toán tử [6]. Trong luận văn, tác giả sử dụng chương trình được xây dựng trên ngôn ngữ lập trình Fotran 90 do TS. Nguyễn Ngọc Ty thuộc nhóm trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh viết. Bố cục luận văn bao gồm 3 chương chính. Chương I, sơ lược về phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian và phương trình Schrödinger dừng để có cái nhìn tổng quan hơn. Sau đó, chương II trực tiếp liên quan đến đề tài luận văn là phương pháp thời gian ảo giải số phương trình Schrödinger dừng. Trong phần này, tác giả sẽ đi từ việc tìm hàm sóng ở trạng thái cơ bản, sau đó tìm hàm sóng ở các trạng thái cao hơn bằng cách loại bỏ hàm sóng ở trạng thái thấp hơn nó để tạo nên không gian Hilbert mới mà trạng thái cần tìm là trạng thái cơ bản. Từ đó có thể đi tìm lần lượt hàm sóng của các trạng thái kích thích cao hơn. Kết quả đạt được của luận văn là nghiệm số chính xác trong một số trường hợp: dao động tử điều hòa, hạt chuyển động dưới tác dụng của thế Morse, dao động tử phi điều hòa bậc ba và bậc bốn. Kết quả được trình bày cụ thể trong chương III. Đem so sánh kết quả thu được với các kết quả của các phương pháp khác tin cậy như nghiệm chính xác, phương pháp nhiễu loạn, phương pháp toán tử. Từ đó thấy được tính đúng đắn và hiệu quả của phương pháp này. Ngoài ra, tác giả còn so sánh kết quả thu được với kết quả của công trình [7] để khẳng định thêm sự hiệu quả của phương pháp này. Các kết quả thu được bằng phương pháp thời gian ảo trong bài toán dao động tử điều hòa và phi điều hòa được công bố trên tạp chí khoa học trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh [3]. 3 Chương I: Giới thiệu về phương trình Schrödinger Trong chương này, tác giả sẽ trình bày tổng quan về phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian và tính chất chung về nghiệm của nó. Đây là phương trình cơ bản của cơ học lượng tử phi tương đối tính, có vai trò tương tự như phương trình của định luật II Newton trong cơ học cổ điển. Sau đó, tác giả xét trường hợp hạt chuyển động trong trường thế không phụ thuộc vào thời gian. Trong trường hợp này, hamiltonian bằng tổng động năng và thế năng không phụ thuộc vào thời gian nên năng lượng của hạt được bảo toàn. 1.1. Phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1887-1961) là nhà vật lý người Áo. Năm 1933, ông được nhận giải thưởng Nobel nhờ phát minh ra phương trình Schrödinger. Năm 1926, E. Schrödinger đưa ra phương trình cơ bản của cơ học lượng tử phi tương đối tính: phương trình Schrödinger. Cũng giống như những phương trình cơ bản của vật lý, phương trình Schrödinger được đưa ra như một tiên đề: Sự biến đổi trạng thái của hệ lượng tử theo thời gian được mô tả bởi phương trình ( , ) ˆΨ( , ),ti H t t r r∂Ψ = ∂    (1.1) trong đó Hˆ là hamiltonian của hệ, ( , )r tΨ  là hàm sóng mô tả trạng thái của hạt. Trong trường hợp tổng quát, khi trường lực tác dụng vào hệ phụ thuộc vào thời gian nhưng không phụ thuộc vào vận tốc hạt thì hamiltonian có dạng 2 ˆ ( , ), 2 H V t m r= − ∆ +   (1.2) Hình 1: Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1887-1961) là nhà vật lý người Áo. 4 với  là hằng số Planck thu gọn m : khối lượng của hạt ( , )V r t : thế năng tương tác của hạt. Sau đây là lập luận để dẫn đến phương trình Schrödinger : Ta xét một hạt chuyển động tự do. Theo giả thuyết sóng của de Broglie, chuyển động này liên kết với một sóng phẳng với tần số ω và vectơ sóng k  bởi hàm số phức ( )( ) ,( , ) i Et pri t krr t Ae Aeω − −− −Ψ = =      (1.3) với A là biên độ sóng. Từ đây ta dễ dàng chứng minh được 2 ( , )( , ) , 2 tt i m t rr ∂Ψ− ∆Ψ = ∂     (1.4) 2 2m − ∆  là toán tử động năng của hạt chuyển động có khối lượng m . Đối với hạt chuyển động trong thế năng ( )V r  không phụ thuộc vào vận tốc của hạt thì năng lượng của nó gồm động năng và thế năng. Nên công thức trên được viết lại tổng quát ( , )ˆ ( , ) ,tH t i t rr ∂ΨΨ = ∂    (1.5) với 2 ˆ ( , ). 2 H V t m r= − ∆ +   (1.6) Nghiệm của phương trình (1.1) có một số tính chất chung quan trọng: − Phương trình (1.1) là phương trình tuyến tính nên nghiệm của nó thỏa mãn nguyên lý chồng chất trạng thái. 5 − Phương trình (1.1) là phương trình vi phân bậc nhất theo thời gian và bậc hai theo tọa độ có thừa số ảo ở bên trái nên nghiệm của nó tuần hoàn theo thời gian. − Vì phương trình Schrödinger là phương trình vi phân bậc nhất theo thời gian nên nếu biết hàm sóng tại thời điểm t = 0 thì cũng có thể tìm được hàm sóng của hạt tại mọi điểm sau đó. Như vậy phương trình Schrödinger phản ánh nguyên lý nhân quả. 1.2. Phương trình Schrödinger dừng Nếu hạt chuyển động trong trường lực không thay đổi theo thời gian thì hamiltonian của hệ cũng không phụ thuộc vào thời gian. Lúc này ta có thể tách biến phương trình Schrödinger ở (1.1), hàm sóng được viết dưới dạng ( , ) ( ). ( )t f tr rψΨ =   , (1.7) với hàm ( )rψ  chỉ phụ thuộc vào tọa độ không gian còn ( )f t chỉ phụ thuộc vào thời gian. Khi đó, (1.1) được viết lại ( ). ( ) ˆ ( ). ( ),f ti H f t t r rψ ψ∂ = ∂    ˆ( ) ( ) ( ) ( ) i f t H f t t r r ψ ψ ∂ ⇔ = ∂    = hằng số = E . (1.8) Từ đó thu được hai phương trình ( ) ( ),f ti Ef t t ∂ = ∂  (1.9) và ˆ ( ) ( ).H Er rψ ψ=   (1.10) Phương trình (1.9) có nghiệm ( ) n i E t f t Ae − =  . Phương trình (1.9) là phương trình trị riêng của toán tử Hˆ . Với nE và nψ là trị riêng và hàm riêng của phương trình (1.10) (giả sử năng lượng của hạt là gián đoạn) thì phương trình (1.1) có nghiệm viết dưới dạng 6 ( , ) . .n i E t n nr t eψ − Ψ =   (1.11) (1.10) gọi là phương trình Schrödinger dừng và các trạng thái nψ ở (1.12) là các trạng thái dừng. Vậy, khi hạt chuyển động trong trường lực không thay đổi theo thời gian thì việc giải phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian quy về giải phương trình Schrödinger dừng. Nghiệm của phương trình phụ thuộc vào dạng cụ thể của thế năng ( )V r  nhưng chúng có một số điểm chung là hàm riêng nψ hữu hạn, đơn trị và liên tục. Nghiệm tổng quát của (1.1) lúc này được viết dưới dạng ( , ) ( , ) ,n i E t n n n nr t C r t C eψ − Ψ = Ψ =∑ ∑    (1.12) trong đó nC là những hệ số không phụ thuộc vào thời gian. Như đã nói, khi trường lực tác dụng lên hệ không thay đổi theo thời gian thì giải phương trình (1.1) trở thành giải phương trình (1.10). Việc giải phương trình này là một trong những bài toán cơ bản của cơ học lượng tử. Bằng cách giải chính xác, ta chỉ giải được trong một số trường hợp đơn giản như hạt chuyển động trong hố thế, rào thế, dao động tử điều hòa .... Có nhiều phương pháp giải gần đúng phương trình (1.10), trong đó phương pháp nhiễu loạn được xem là một phương pháp kinh điển. Tuy nhiên, phương pháp này cho nghiệm hội tụ tốt khi phần nhiễu loạn ( , )V tr  được xem là nhỏ. Vậy nên, khi ( , )V tr  không nhỏ nữa thì phương pháp này không còn hiệu quả. Một phương pháp gần đúng khác là phương pháp biến phân, tuy nhiên cũng gặp khó khăn với việc chọn hàm sóng thử ban đầu. Với yêu cầu cần phải giải chính xác nghiệm phương trình Schrödinger dừng, ngày nay, người ta quan tâm đến việc giải nghiệm bằng số chính xác của phương trình (1.10). Các nhà khoa học đã phát triển nhiều phương pháp giải số như phương pháp Runge – Kutta, phương pháp Crank – Nicolson ... Phương pháp thời gian ảo cũng là một trong những phương pháp giải số nghiệm của phương trình Schrödinger dừng (1.10) và sẽ được tác giả trình bày cụ thể hơn trong chương sau. 7 Chương II: Giới thiệu phương pháp thời gian ảo Chương này, chúng tôi sẽ giới thiệu một phương pháp giải số nghiệm chính xác phương trình Schrödinger dừng: phương pháp thời gian ảo. Phương pháp này được hai nhà khoa học Israel R. Kosloff và H. Tal-Ezer phát triển từ năm 1986 để giải phương trình Schrödinger dừng. Đây là một trong những phương pháp giải nghiệm số chính xác phương trình Schrödinger dừng và được sử dụng một cách rộng rãi [2], [3], [7]. Phần đầu của chương là lý thuyết để tìm hàm sóng ở trạng thái cơ bản và sau đó là cách tìm hàm sóng ở trạng thái kích thích có mức năng lượng cao hơn. 2.1. Trạng thái cơ bản Giả sử ta cần giải phương trình Schrödinger dừng, có phổ năng lượng gián đoạn được viết bởi ˆ ( ) ( ).n n nH r E rψ ψ=   (2.1) Chúng ta sẽ giải phương trình (2.1) với điểm xuất phát là (1.1). Phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian (1.1), khi chuyển sang hệ đơn vị nguyên tử, (các kết quả của chương sau cũng được giải trong hệ đơn vị nguyên tử), được viết lại thành ( , ) ˆ ( , ),r ti H r t t ∂Ψ = Ψ ∂   (2.2) ⇔ ( , ) ˆ ( , )r t iH r t t ∂Ψ = − Ψ ∂   ⇔ ( , ) ˆ ( , ) d r t iHdt r t Ψ = − Ψ   ⇔ ˆ ( , ) ( ,0).iHtr t e r−Ψ = Ψ  (2.3) Trong phương pháp này, ta không tính trực tiếp với biến thời gian thực t mà chuyển biến thời gian thực t này qua đại lượng thời gian ảo τ bằng cách ta đặt itτ = . Đây là một điều rất quan trọng của phương pháp thời gian ảo. Khi đó, (2.3) được viết lại ˆ( , ) ( ,0).Hr e rττ −Ψ = Ψ  (2.4) 8 Vì hệ hàm riêng ( )n rψ  là hệ đầy đủ nên ta khai triển ( ,0)rΨ  theo tổ hợp tuyến tính của hệ này ( ,0) ( ),n nr C rψΨ = ∑  (2.5) trong đó ( )n rψ  là hàm sóng ứng với các trạng thái dừng của hệ. Thay (2.5) vào (2.4), ta được ˆ ˆ( ) ( ) ( ).( , ) nEn n n n n nH HC r C r C e rr e e ττ τψ ψ ψτ −− −= =Ψ = ∑ ∑ ∑    (2.6) Nếu τ thực và khi τ → ∞ thì ( , )r τΨ  tiến đến giá trị 0 ( )rψ  . Thật vậy, ta có ˆ ˆ( ) ( ) ( ).( , ) nn n n n n nEH HC r C r C rr e e e ττ τψ ψ ψτ −− −= =Ψ = ∑ ∑ ∑    (2.7) Lúc này, ta cần chuẩn hóa lại hàm sóng (2.7) bằng cách đưa vào (2.7) một hằng số C. Theo điều kiện chuẩn hóa ( , ) | ( , ) 1r rτ τ=  ta có: 22 2| | 1nEnC C e τ− =∑ ⇔ 22 1 . | | nEn C C e τ− = ∑ (2.8) Khi đó (2.6) trở thành 22 ( ) ( , ) | | n n E n n E n C e r r C e τ τ ψ τ − − Ψ = ∑ ∑   ⇔ 0 0 0 0 1 2 22 2 0 1 ( ) ( ) ( , ) . | | | | n n E E n n n E E n n C e r C e r r C e C e τ τ τ τ ψ ψ τ − − = − − = + Ψ = + ∑ ∑    (2.9) Chia tử và mẫu phương trình trên cho 00 EC e τ− ta có 9 0 0 ( ) 0 1 0 2 2( ) 2 1 0 ( , ) , | |1 | | n n E En n n E En n C e Cr C e C τ τ ψ ψ τ − − = − − = + Ψ = + ∑ ∑  (2.10) với 0E là năng lượng của hệ ở trạng thái cơ bản. 0E là năng lượng nhỏ nhất mà hệ có thể có do đó 0 1 2 3 ....E E E E< < < < hay 0nE E≥ , nên khi τ → ∞ thì 0( ) 0nE Ee τ− − → hay 0( , )r τ ψΨ →  . Như vậy, thay vì giải phương trình Schrödinger dừng (2.1), chúng ta sẽ giải phương trình phụ thuộc thời gian τ ảo (2.4) ( lúc này không còn là phương trình Schrödinger) với hàm sóng ban đầu ( ,0)rΨ  bất kỳ và khi τ → ∞ thì hàm sóng thu được sẽ là hàm sóng ứng với trạng thái cơ bản của (2.1). Tuy nhiên, trong thực tế của quá trình tính toán thì ta không thể cho τ → ∞ được mà chỉ cho τ tiến đến một giá trị nào đó đủ lớn. Điều kiện τ đủ lớn được thể hiện khi năng lượng chênh lệch giữa hai bước nhảy thời gian đủ nhỏ với mức độ sai số cho trước ε . Điều kiện này thể hiện qua biểu thức (2.11) ( ) ( ) ,E d Eτ τ τ ε+ − ≤ (2.11) với dτ là bước nhảy thời gian giữa hai lần tính năng lượng. Tiếp theo, ta cần đi tìm hàm sóng của những trạng thái ở mức kích thích. 2.2. Trạng thái kích thích Hàm sóng ở trạng thái kích thích đầu tiên (n = 1) được tìm bằng cách loại bỏ trạng thái ở mức cơ bản trong không gian Hilbert cũ. Ta có thể xem trạng thái kích thích thứ nhất này là trạng thái cơ bản trong không gian Hilbert mới này. Sau đó việc tìm hàm sóng ở trạng thái cơ bản trong không gian Hilbert mới được thực hiện tương tự như trong phần trên. Vì vậy chúng ta có thể xây dựng một chương trình để giải số phương trình này thuận tiện hơn. Nếu đặt 0 0 0P ψ ψ= thì hàm sóng ở trạng thái kích thích thứ nhất sẽ là ˆ 1 0( ) ( ) (0), HI P e ττ −Ψ = − Ψ (2.12) với hàm sóng (0)Ψ là một hàm sóng ban đầu mà ta có thể chọn tùy ý. 10 Thật vậy, từ (2.6) ta có thể viết lại (2.12) như sau 1 0 0 0 1 ( ) (1 ) n nE En n n n n n C e C eτ ττ ψ ψ ψ ψ− − = = Ψ = − =∑ ∑ ⇔ 1 1 1 1 2 ( ) .nEE n n n C e C e τττ ψ ψ−− = Ψ = + ∑ (2.13) Chuẩn hóa lại hàm sóng bằng cách thêm vào đó hằng số C. Ta có 22 1 1.nEn n C C e τ− = =∑ (2.14) Khi đó 2 1 1 nE n n C C e τ− = = ∑ và (2.13) được viết lại thành 11 1 1 ( ) 11 1 22 1 1 2 2 222 2( )1 22 2 1 ( ) . | |1 | | nn n n E EEE n nn n nn EE E Enn n n C eC e C e C CC e C e e C τττ ττ τ ψ ψψ ψ τ − −−− == −− − − = = ++ Ψ = = + + ∑∑ ∑ ∑ (2.15) Khi τ → ∞ thì 1 1( )τ ψΨ → , như vậy ta tìm được hàm sóng trạng thái kích thích thứ nhất. Một cách tương tự, để tìm trạng thái kích thích thứ hai ta trừ hàm sóng của trạng thái ở mức thấp hơn ( trạng thái thứ 0 và trạng thái thứ 1) ˆ 2 0 1( ) ( ) (0). HI P P e ττ −Ψ = − − Ψ (2.16) Cứ tiếp tục các bước tương tự như trên để tìm được trạng thái ở các mức năng lượng cao hơn. Một cách tổng quát, hàm sóng ở trạng thái kích thích thứ n được tính bằng ˆ 0 1 1( ) ( ... ) (0) H n nI P P P e ττ −−Ψ = − − − − Ψ 1 ˆ 0 ( ) (0). n H n n I P e τ − − = = − Ψ∑ (2.17) Không gian Hilbert mới trong trạng thái thứ n bất kỳ này đã trừ đi các trạng thái thứ 0 đến thứ (n-1) trước đó. 11 Như vậy, theo lý thuyết ta có thể tìm được hàm sóng và năng lượng ở một trạng thái bất kỳ nào đó. Để kiểm chứng tính tính tin cậy của phương pháp này, chúng tôi sẽ khảo sát một số trường hợp cụ thể và so sánh kết quả thu được với một số phương pháp khác, kết quả sẽ được trình bày cụ thể ở chương III. 12 Chương III: Kết quả nghiệm số phương trình Schrödinger bằng phương pháp thời gian ảo trong một số trường hợp Chương này, tác giả áp dụng phương pháp thời gian ảo đã giới thiệu ở chương II trong các trường hợp dao động tử điều hòa, hạt chuyển động dưới tác dụng của thế Morse, dao động tử phi điều hòa bậc ba và bậc bốn trong không gian một chiều. Kết quả của phương pháp này được so sánh với các kết quả giải bằng các phương pháp đáng tin cậy khác là phương pháp nhiễu loạn và phương pháp toán tử. Từ đó có thể thấy được sự hiệu quả, chính xác của phương pháp thời gian ảo trong việc tìm nghiệm của phương trình Schrödinger dừng. Kết quả được giải trong hệ đơn vị nguyên tử 1em e= = = . 3.1. Dao động tử điều hòa Trong phần này, tác giả sẽ khảo sát sự hội tụ của năng lượng cơ bản E0 theo thời gian bằng những hàm ban đầu khác nhau. Sau đó, so sánh kết quả năng lượng giải bằng phương pháp thời gian ảo với nghiệm chính xác. Trong phần này chúng tôi xét hạt có 1m = . 3.1.1. Nghiệm chính xác Ta xét bài toán dao động điều hòa, một bài toán có thể giải chính xác được trình bày trong hầu hết các giáo trình cơ lượng tử [1], [4], [5]. Phương trình Schrödinger của dao động tử điều hòa có dạng 2 2 2 1 . 2 2 d x E dx ψ ψ   − + =    (3.1) Kết quả chính xác của bài toán này ( 1ω = ) là các mức năng lượng gián đoạn với năng lượng nhỏ nhất là 1 2 1 , 2n E n= + (3.2) và hàm sóng 2 2( ) ( ), x n n nx A e H xψ − = (3.3) 13 với ( )nH x là đa thức Hermite, 1 41 1 2 ! n n A nπ  =     là hệ số chuẩn hóa. 3.1.2. Nghiệm số với phương pháp thời gian ảo ( ,0)rΨ  ở (2.5), (0)Ψ ở (2.12), (2.16) và (2.17) là những hàm tùy ý cho trước gọi là hàm ban đầu.Trước hết, khảo sát mức năng lượng cơ bản E0 hội tụ theo thời gian bằng các hàm ban đầu ( ,0)rΨ  là hàm hằng số, hàm xe , hàm sinx. Trong phần này, tác giả chạy với các thông số khối lượng dao động tử m = 1 (a.u), số bước nhảy NxMax = 1024, trạng thái thứ n lớn nhất Nmax = 30, Xmin = -20(a.u); Xmax = 20(a.u); bước nhảy thời gian 0.01( . )d a uτ = ; độ sai số năng lượng ε = 1510 ( . )a u− . Kết quả thể hiện như hình 2 cho trường hợp dao động tử điều hòa. 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0 1 2 3 4 5 Na êng lö ôïn g ( a.u ) Thôøi gian aûo τ haèng soá = 1 haøm ex haøm sinx Hình 2: Khảo sát sự hội tụ của năng lượng khi τ → ∞ ứng với các hàm ban đầu khác nhau. Đường liền nét ứng với hàm sinx, đường đứt nét màu đỏ ứng với hàm hằng số và đường đứt nét màu đen ứng với hàm xe . Như hình trên, hàm hằng cho kết quả hội tụ năng lượng E theo thời gian τ nhanh hơn so với hai hàm còn lại. Hàm xe có tốc độ hội tụ chậm hơn. Tuy nhiên sau một khoảng thời gian thì chúng đều cho các mức năng lượng hội tụ tại một giá trị E xác định. Kết quả thu 14 được với 0.01τ∆ = , độ chính xác là 11 chữ số sau dấu phẩy thì hàm hằng hội tụ khi τ = 5,85 ứng với 585 bước chạy, hàm sinx hội tụ khi τ = 27,11 tương ứng với 2711 bước chạy, trong khi đó hàm xe hội tụ khi τ = 13,64 ứng với 1364 bước chạy. Tác giả cũng thực hiện với những hàm cosx, tanx... và cũng thu được kết quả năng lượng hội tụ tương tự như trên. Bảng 1 dưới đây là nghiệm thu được chạy bằng phương pháp thời gian ảo trong 2 trường hợp 1ω = và 2ω = . Bảng 1: Các mức năng lượng nE theo chỉ số trạng thái n bằng phương pháp thời gian ảo trong trường hợp 1ω = và 2ω = . n nE ( 1ω = ) nE ( 2ω = ) 0 0.49999999 0.99999999 1 1.49999997 2.99999996 2 2.49999998 4.99999998 3 3.49999998 7.00000000 4 4.49999996 8.99999992 5 5.49999995 10.99999980 6 6.49999996 12.99999986 7 7.49999993 14.99999997 8 8.49999994 16.99999989 9 9.49999994 18.99999982 10 10.49999992 20.99999986 11 11.49999989 22.99999988 12 12.49999979 24.99999993 13 13.49999973 26.99999994 14 14.49999979 28.99999998 15 15.49999989 30.99999999 16 16.49999988 32.99999980 17 17.49999982 34.99999965 18 18.49999986 36.99999969 19 19.49999989 38.99999964 20 20.49999991 40.99999967 Hình 3 sẽ minh họa cho ta thấy được kết quả nghiệm số bằng phương pháp thời gian ảo ứng với 1ω = và 2ω = . 15 0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30 35 Na êng lö ôïn g ( a.u ) Chæ soá traïng thaùi thöù n phöông phaùp thôøi gian aûo nghieäm chính xaùc ω = 1 (a) 0 5 10 15 20 25 30 0 10 20 30 40 50 60 Na êng lö ôïn g ( a.u ) Chæ soá traïng thaùi thöù n phöông phaùp thôøi gian aûo nghieäm chính xaùc ω = 2 (b) Hình 3: Năng lượng của dao động tử điều hòa trong hai trường hợp (a) 1ω = và (b) 2ω = . Đường liền nét là kết quả nghiệm chính xác và chấm tròn là nghiệm giải bằng phương pháp thời gian ảo. Dựa vào số liệu ở bảng 1, ta thấy năng lượng nE là hàm tuyến tính theo chỉ số trạng thái n. Hơn nữa, so sánh với nghiệm giải tích chính xác 1 2 nω  +    thì mức năng lượng nE ở hai phương pháp là giống nhau với mức độ chính xác hơn 5 chữ số sau dấu phẩy. Độ chính xác này còn có thể được nâng lên. Ta đã áp dụng phương pháp thời gian ảo trong bài toán dao động tử điều hòa có nghiệm giải tích chính xác và thu được kết quả tốt. Phần tiếp theo, ta áp dụng phương pháp cho bài toán hạt chuyển động dưới tác dụng của thế Morse. 3.2. Hạt chuyển động dưới tác dụng của thế Morse Trong mục này, tác giả áp dụng phương pháp thời gian ảo vào bài toán hạt chuyển động dưới tác dụng của thế Morse. Đây là bài toán có nghiệm giải tích chính xác. Dựa vào đó có thể so sánh kết quả bằng phương pháp thời gian ảo và nghiệm chính xác. Hơn nữa, tác giả còn so sánh với kết quả nghiệm số của công trình [7] để thấy hiệu quả của phương pháp này. 3.2.1. Nghiệm chính xác Dạng thế Morse là dạng thế thay thế cho dao động của các phân tử hai nguyên tử khá tốt [8]. Thế Morse cho phân tử hai nguyên tử có dạng 16 2( ) ( 1) ,xoU x U e α−= − (3.3) trong đó oU và α là những hằng số. Phương trình Schrödinger cho hạt có dạng { } 2 2 2 2 ( 2 1) 0. x x o d E U e e dx α α− −Ψ + − − + Ψ = (3.4) Đặt xy e α−= ; 2 2 2 oUβ α = ; 02 2( )E U ε α − = , ta có 2 2 2 2 2( ). d d dy y dx dy dy αΨ Ψ Ψ= + (3.5) Khi đó phương trình (3.4) trở thành 2 2 2 2 2 ( 2 ) 0 d dy y y y dy dy β εΨ Ψ+ − − Ψ + Ψ = ⇔ 2 2 2 2 1 2(1 ) 0.d d dy y dy y y εβΨ Ψ+ − − Ψ + Ψ = (3.6) Khi x → −∞ thì y → ∞ phương trình có dạng tiệm cận : 2 2 2 0 d dy β∞ ∞ Ψ − Ψ = có nghiệm .ye β−∞Ψ = Khi x → ∞ thì 0y → và 0 0Ψ = . Nghiệm có dạng 0 kyΨ = . Đặt 0 kyΨ = vào phương trình (3.6) ta có { }2 2 2( 1) 2 0.ky k k y yε β β− + − + = (3.7) Khi 0y → thì 2 0k ε+ = hay k ε= ± − . Vậy xo y e ε εα± − ± −Ψ = = khi x → ∞ . Khi ε > 0 thì 0E U> và iε ε− = là hàm sóng hữu hạn và phổ năng lượng E liên tục. 17 Khi ε . 0E U− có giá trị âm và xo e λα±Ψ = . Nghiệm 0xo e λαΨ = → khi x → ∞ (loại). Ta chỉ lấy nghiệm x ko e yλα−Ψ = = . Nghiệm tổng quát của ( )yΨ được tìm dưới dạng: ( ) ( ).y ky e y F yβ−Ψ = (3.8) Thay (3.8) vào phương trình (3.6) ta có : 2 2 1(1 2 2 ) 2 ( ) 0. 2 d F dFy y F dy dy λ β β β λ+ + − + − − = Tìm ( )F y dưới dạng chuỗi 0 ( ) kk k F y a y ∞ = = ∑ . Đặt biểu thức của ( )F y vào phương trình vi phân của nó 1 1 2 1 1 0 1( 1) (1 2 ) 2 2 ( ) 0. 2 k k k k k k k k k k k k k k a y ka y ka y a yλ β β β λ ∞ ∞ ∞ ∞ − − = = = = − + + − + − − =∑ ∑ ∑ ∑ (3.9) Trong hai tổng đầu của công thức trên ta thay k = k+1 ta có [ ] 1 0 1( 1) (1 2 )( 1) 2 ( ) 0. 2 k k k k y k k k a aλ β β λ ∞ + =  + + + + + − − =    ∑ (3.10) Từ đây ta tìm được hệ thức 1 12 ( ) 2 . ( 1)( 1 2 )k k k a a k k β λ β π+ + + − = + + + (3.11) Để hàm sóng hữu hạn thì k phải dừng ở một giá trị maxk = n nào đó. Khi đó 0na ≠ và 1 2 ... 0n na a+ += = = . Từ điều kiện này ta có 1 0 2 n λ β+ + − = hay 1( ). 2 nλ β= − + Vì k là số nguyên không âm nên maxk cũng là số nguyên không âm. Mặt khác 02 /Uβ α= và 2 02 2( )E U λ ε α − − = − = nên ta xác định năng lượng của hạt 18 2 0 0 0 11 ( ) 22n E U n U U α  = − − + +     n = 0, 1, 2, 3... . (3.12) Số lượng tử n được xác định bằng điều kiện 1( ) 2 nλ β= − + > 0. Hàm sóng của hạt có dạng 0 ( ) , n y k k n k k y e y n a yβ− = Ψ = ∑ (3.13) với xy e α−= ; 0 2( )n n E U λ α − − = ; 0 2U β α = và 1 12 ( ) 2 . ( 1)( 1 2 )k k k a a k k β λ β π+ + + − = + + + 3.2.2. Nghiệm số với phương pháp thời gian ảo Với dạng thế Morse trên, tác giả luận văn tiến hành giải phương trình Schrödinger bằng phương pháp thời gian ảo với các giá trị 0U = 0.0224 a.u và α = 0.9374 a.u và m = 119406 a.u. Các thông số trên tương ứng với dao động Morse của phân tử 2I và việc sử dụng các thông số trên thuận tiện trong việc so sánh với kết quả của công trình [7]. Bảng sau so sánh kết quả cho bài toán bằng phương pháp giải chính xác và phương pháp giải số thời gian ảo mà tác giả thu được và so sánh với kết quả của công trình [7]. Bảng 2: Kết quả các mức năng lượng theo chỉ số lượng tử n bằng nghiệm chính xác, phương pháp thời gian ảo của tác giả và công trình [7]. nE n Nghiệm chính xác Phương pháp thời gian ảo Công trình số [7] 0 2.86171978E-04 2.86175428E-04 2.86171965E-04 1 8.52996623E-04 8.52997828E-04 8.52996584E-04 2 1.41246218E-03 1.41246345E-03 1.41246212E-03 3 1.96456866E-03 1.96456932E-03 1.96456859E-03 4 2.50931606E-03 2.50932018E-03 2.50933160E-03 5 3.04670436E-03 3.04670474E-03 3.04670433E-03 6 3.57673359E-03 3.57673381E-03 3.57633860E-03 7 4.09940373E-03 4.09940546E-03 4.09940453E-03 8 4.61471479E-03 4.61471674E-03 4.61471630E-03 9 5.12266677E-03 5.12266786E-03 5.12266900E-03 19 10 5.62325966E-03 5.62326060E-03 5.62326165E-03 11 6.11649346E-03 6.11649560E-03 6.11649552E-03 12 6.60236819E-03 6.60236986E-03 6.60240552E-03 13 7.08088382E-03 7.08088491E-03 7.08115816E-03 14 7.55204038E-03 7.55204194E-03 7.56506615E-03 15 8.01583785E-03 8.01583906E-03 8.01610601E-03 16 8.47227624E-03 8.47227666E-03 8.47349285E-03 17 8.92135554E-03 8.92135682E-03 8.92396957E-03 18 9.36307576E-03 9.36307603E-03 9.36339800E-03 19 9.79743690E-03 9.79743768E-03 9.79788993E-03 20 1.02244389E-02 1.02244397E-02 1.02246639E-02 21 1.06440819E-02 1.06440836E-02 1.06473747E-02 22 1.10563658E-02 1.10563667E-02 1.10576020E-02 23 1.14612906E-02 1.14612924E-02 1.14613477E-02 24 1.18588563E-02 1.18588572E-02 1.18593311E-02 25 1.22490629E-02 1.22490638E-02 26 1.26319105E-02 1.26319117E-02 27 1.30073989E-02 1.30073991E-02 28 1.33755283E-02 1.33755290E-02 29 1.37362986E-02 1.37363001E-02 30 1.40897098E-02 1.40897111E-02 Kết quả cho thấy phương pháp thời gian ảo cho nghiệm số của phương trình Schrödinger dừng là chính xác 6 chữ số sau dấu phẩy so với nghiệm chính xác. Hình 4 cho thấy một cách trực quan hơn kết quả so sánh từ bảng 1. 0 5 10 15 20 25 30 0.000 0.003 0.006 0.009 0.012 0.015 Na êng lö ôïn g( a.u .) Chæ soá traïng thaùi thöù n nghieäm chính xaùc coâng trình [7] phöông phaùp thôøi gian aûo 20 Hình 4: So sánh kết quả năng lượng của hạt dao động trong thế Morse. Đường liền nét là kết quả nghiệm chính xác, ô vuông là kết quả công trình [7], chấm tròn là kết quả của tác giả bằng phương pháp thời gian ảo. Như vậy, kết quả trên cho thấy nghiệm số mức năng lượng của phương trình Schrödinger dừng bằng phương pháp thời gian ảo cho kết quả giống với nghiệm chính xác. Ta tiếp tục áp dụng phương pháp này vào những bài toán dao động tử phi điều hòa bậc ba và bậc bốn ở phần tiếp theo. 3.3. Dao động tử phi điều hòa bậc ba Ở phần này, bài toán dao động tử phi điều hòa bậc ba được tìm các mức năng lượng bằng phương pháp thời gian ảo. Kết quả nghiệm số bằng phương pháp này được đem so sánh với nghiệm gần đúng của phương pháp nhiễu loạn. 3.3.1. Nghiệm với phương pháp nhiễu loạn Dao động tử phi điều hòa bậc ba có dạng thế năng 2 31( ) 2 U x x xλ= + . (3.14) Ta có hamiltonian 0ˆ ˆ ˆ,H H V= + trong đó 0Hˆ là hamiltonian của dao động tử điều hòa 2 0 2 2 1 1ˆ 2 2 dH x dx = − + . (3.15) Nghiệm của bài toán không nhiễu loạn 0 (0) (0) (0)ˆ ( ) ( )n n nH x E xΨ = Ψ (3.16) giải được chính xác với các mức dao động (0) 1 , 2n E n= + (3.17) và hàm sóng 21 (0) 2( ) ( ) x n n nx N e H x − Ψ = . (3.18) 21 Vì λ bé nên ta xem 3xλ là phần nhiễu loạn và phần không nhiễu loạn ứng với dao động tử điều hòa. Mức năng lượng thứ n của hệ nhiễu loạn với độ chính xác đến cấp hai được tính bằng: (0) (0) (0) nm mn n n nn m n n m V VE E V E E≠ = + + −∑ . (3.19) Mỗi mức năng lượng là một trạng thái, hệ không suy biến. Các phần tử của ma trận nhiễu loạn Vˆ là 0 0ˆ mn m nV V dx= Ψ Ψ∫ = 0 3 0 3( ) ,m n mnx ddx xλ λΨ Ψ =∫ (3.20) với 3( )mnx là thành phần ma trận của 3x . Mức năng lượng thứ n của hệ nhiễu loạn với độ chính xác đến cấp hai được viết lại 3 3 (0) 3 2 (0) (0) ( ) ( )( ) ' nm mnn n nn n m x xE E x E E λ λ= + + −∑ . (3.21) Ta tính được các thành phần 3( )nmx như sau: 3 2 ln .( ) ( )nm nl nl lk km nl lk km l l k l k x x x x x x x x x= = =∑ ∑ ∑ ∑∑ (3.22) Ta đã biết : , 1 2n n nx − = và , 1 1. 2n n nx + + = Hay 1, 1, 1 2 2mn n m n m n nx δ δ+ − + = Ta có: 3 1, 1, 1, 1, 1, 1, , 1 1 1( ) ( )( )( ) 2 2 2 2 2 2nm l n l n k l k l m k m kl k l l k k m mx δ δ δ δ δ δ+ − + − + − + + + = + + +∑ ⇒ 3 3 33, 1, 1, 3, ( 1)( 2) 9 9 ( 1)( 2)( 3)( ) ( 1) 8 8 8 8nm n m n m n m n m n n n n n nx n nδ δ δ δ− − + + − − + + + = + + + + Do đó 22 (2) 2 3 3( 1)( 2) 1 9 9 ( 1)( 2)( 3) 1( 1) ( 1) 8 3 8 8 8 3n n n n n n nE n nλ − − + + + = + + + − +  −  ⇔ (2) 2 215 11( ) 4 30n E n nλ= − + + với n = 0, 1, 2..... (3.23) Vậy 2 21 15 11( ) ( ) 2 4 30n E n n nλ= + − + + . (3.24) Điều kiện áp dụng 3 3/2 (0) (0) ( ) 1.mn n m Vmn x n E E λ λ≤ ≈ << − . (3.25) Từ đó suy ra 2/31( ) .n λ << (3.26) Ứng với n = 30 thì điều kiện áp dụng phương pháp nhiễu loạn khi 0.006λ  . 3.3.2. Nghiệm số với phương pháp thời gian ảo Thông số ban đầu cho dao động tử phi điều hòa bậc ba là khối lượng m = 1(a.u); NxMax = 1024; Nmax = 30; Xmin = -20(a.u); Xmax = 20(a.u); 0.01dτ = (a.u) ; 1510ε −= (a.u). Ta thu được kết quả nghiệm số bằng phương pháp thời gian ảo và nghiệm bằng phương pháp nhiễu loạn như bảng 3. Bảng 3: Các mức năng lượng nE theo n bằng phương pháp thời gian ảo và nhiễu loạn ứng với 0.001λ = và 0.01λ = cho dao động tử phi điều hòa bậc ba. nE n Phương pháp thời gian ảo ( 0.001λ = ) Phương pháp nhiễu loạn ( 0.001λ = ) Phương pháp thời gian ảo ( 0.01λ = ) Phương pháp nhiễu loạn ( 0.01λ = ) 0 0.49999862 0.49999862 0.49986235 0.49986250 1 1.49999110 1.49999112 1.49911071 1.49911250 2 2.49997610 2.49997612 2.49760510 2.49761250 3 3.49995360 3.49995362 3.49534281 3.49536250 4 4.49992358 4.49992362 4.49232110 4.49236250 5 5.49988607 5.49988612 5.48853729 5.48861250 6 6.49984107 6.49984112 6.48398859 6.48411250 7 7.49978854 7.49978862 7.47867223 7.47886250 23 8 8.49972854 8.49972862 8.47258543 8.47286250 9 9.49966103 9.49966112 9.46572531 9.46611250 10 10.49958599 10.49958612 10.45808905 10.45861250 11 11.49950345 11.49950362 11.44967375 11.45036250 12 12.49941333 12.49941362 12.44047650 12.44136250 13 13.49931575 13.49931612 13.43049445 13.43161250 14 14.49921078 14.49921112 14.41972465 14.42111250 15 15.49909836 15.49909862 15.40816411 15.40986250 16 16.49897830 16.49897862 16.39580976 16.39786250 17 17.49885071 17.49885112 17.38265860 17.38511250 18 18.49871571 18.49871612 18.36870756 18.37161250 19 19.49857319 19.49857362 19.35395361 19.35736250 20 20.49842316 20.49842362 20.33839357 20.34236250 21 21.49826562 21.49826612 21.32202430 21.32661250 22 22.49810055 22.49810112 22.30484265 22.31011250 23 23.49792796 23.49792862 23.28684542 23.29286250 24 24.49774784 24.49774862 24.26802941 24.27486250 25 25.49756023 25.49756112 25.24839133 25.25611250 26 26.49736512 26.49736612 26.22792795 26.23661250 27 27.49716255 27.49716362 27.20663593 27.21636250 28 28.49695251 28.49695362 28.18451211 28.19536250 29 29.49673495 29.49673612 29.16155384 29.17361250 30 30.49650977 30.49651112 30.13776061 30.15111250 24 0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30 Na êng lö ôïn g ( a.u ) chæ soá traïng thaùi thöù n phöông phaùp thôøi gian aûo phöông phaùp nhieãu loaïn λ = 0.001 (a) 0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30 Na êng lö ôïn g ( a.u ) chæ soá traïng thaùi thöù n phöông phaùp thôøi gian aûo phöông phaùp nhieãu loaïn λ= 0.002 (b) 0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30 Na êng lö ôïn g ( a.u ) Chæ soá traïng thaùi thöù n phöông phaùp thôøi gian aûo phöông phaùp nhieãu loaïn λ = 0.01 (c) 0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30 Na êng lö ôïn g ( a.u ) Chæ soá traïng thaùi thöù n phöông phaùp thôøi gian aûo phöông phaùp nhieãu loaïn (d) λ = 0.02 Hình 5: Kết quả năng lượng của dao động tử phi điều hòa bậc ba ứng với (a) λ = 0.001, (b) λ = 0.002, (c) λ = 0.01 và (d) λ = 0.02. Dấu chấm tròn là kết quả giải bằng phương pháp thời gian ảo và đường liền nét là kết quả giải bằng phương pháp nhiễu loạn. Các kết quả hình 5 cho ta thấy kết quả năng lượng của dao động tử phi điều hòa bậc 3 là trùng nhau 5 chữ số sau dấu phẩy ứng với mức trạng thái thấp ( n < 15) và nhiễu loạn nhỏ ( λ = 0.001, λ = 0.002, λ = 0.01). Khi λ = 0.02 và n > 15 thì kết quả của hai phương pháp có sự khác biệt. Vì phương pháp so sánh trong bài toán này là phương pháp nhiễu loạn – một phương pháp gần đúng, nên ta cần phải so sánh nó với một phương pháp chính xác hơn nữa. Tác giả sẽ thực hiện sự so sánh đó trong trường hợp dao động tử phi điều hòa bậc bốn để chứng minh rằng phương pháp thời gian ảo là một phương pháp đáng tin cậy. 3.4. Dao động tử phi điều hòa bậc bốn Với chương trình đã xây dựng, tác giả sẽ giải bài toán dao động tử phi điều hòa bậc bốn. Sau đó, dựa vào kết quả giải được đem so sánh với hai phương pháp nhiễu loạn và phương pháp toán tử. Kết quả cho thấy phương pháp thời gian ảo là hiệu quả và cho kết quả chính xác. 25 3.4.1. Nghiệm với phương pháp nhiễu loạn Trong phần này ta xét bài toán dao động phi điều hòa bậc bốn có dạng hamiltonian như sau: 2 2 4 2 1 1ˆ . 2 2 dH x x dx λ= − + + (3.27 ) Ta giải bài toán này theo phương pháp nhiễu loạn bằng cách chia Hˆ thành hai phần ˆ ˆ ˆ oH H V= + . Trong đó, 2 2 0 2 1 1ˆ 2 2 dH x dx = − + là toán tử của dao động tử điều hòa có nghiệm giải tích chính xác như công thức (3.2) và (3.3). Phần 4Vˆ xλ= được xem như toán tử nhiễu loạn. Theo công thức tính các mức năng lượng của dao động tử phi điều hòa (3.20) với 4 2( ) 3 (2 2 1),nn nnW x n nλ λ= = + + (3.28) và 4 4, 2, 2 , 2, 4, 1( ) [ ( 1)( 2)( 3) 2(2 1) ( 1) 4 3(2 2 1) 2(2 3) ( 1)( 2) ( 1)( 2)( 3)( 4) ]. nm nm n m n m n m n m n m W x n n n n n n n n n n n n n n n n λ δ δ δ δ δ − − + + = = − − − + − − + + + + + + + + + + + + (3.29) Vậy năng lượng của hệ bổ chính tới bậc hai là 2 2 3 21 3 1 17 59 21( ) (2 3 ). (3.30) 2 2 2 8 17 1 .................. . 7 .nE n n n n n nλ λ= + + + + − + + + Để áp dụng lý thuyết nhiễu loạn cho bài toán này thì phải thỏa điều kiện (0) (0) nm n mV E E− , lúc này được viết lại thành 2 2(2 1) . 6 3 3 n n n λ + + +  3.4.2. Nghiệm số với phương pháp thời gian ảo 26 Bằng các thông số m = 1(a.u); NxMax = 1024; Nmax = 30; Xmin = -20(a.u); Xmax = 20(a.u); 0.01dτ = (a.u) ; 1510ε −= (a.u), tác giả thu được kết quả ứng với λ = 0.01 như bảng 2 và minh họa qua hình 6. Bảng 4: Kết quả mức năng lượng nE tính bằng các phương pháp thời gian ảo, toán tử và nhiễu loạn ( 0.01λ = ). nE n Phương pháp thời gian ảo Phương pháp toán tử Phương pháp nhiễu loạn 0 0.50725620 0.50725620 0.50723750 1 1.53564825 1.53564827 1.53543750 2 2.59084577 2.59084579 2.58981250 3 3.67109492 3.67109493 3.66781250 4 4.77491307 4.77491311 4.76688750 5 5.90102662 5.90102666 5.88448750 6 7.04832683 7.04832686 7.01806250 7 8.21583773 8.21583779 8.16506250 8 9.40269222 9.40269228 9.32293750 9 10.60811346 10.60811354 10.48913750 10 11.83140065 11.83140077 11.66111250 11 13.07191770 13.07191781 12.83631250 12 14.32908379 14.32908398 14.01218750 13 15.60236645 15.60236670 15.18618750 14 16.89127508 16.89127526 16.35576250 15 18.19535567 18.19535575 17.51836250 16 19.51418682 19.51418685 18.67143750 17 20.84737614 20.84737608 19.81243750 18 22.19455705 22.19455696 20.93881250 19 23.55538612 23.55538609 22.04801250 20 24.92954088 24.92954090 23.13748750 21 26.31671783 26.31671791 24.20468750 22 27.71663062 27.71663068 25.24706250 23 29.12900843 29.12900858 26.26206250 24 30.55359496 30.55359511 27.24713750 25 31.99014690 31.99014708 28.19973750 26 33.43843308 33.43843324 29.11731250 27 34.89823343 34.89823355 29.99731250 28 36.36933818 36.36933832 30.83718750 29 37.85154716 37.85154740 31.63438750 30 39.34466916 39.34466937 32.38636250 27 0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Na êng lö ôïn g ( a.u ) Chæ soá traïng thaùi thöù n phöông phaùp thôøi gian aûo phöông phaùp toaùn töû phöông phaùp nhieãu loaïn λ = 0.01 (a) 0 5 10 15 20 25 30 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Na êng lö ôïn g ( a.u ) Chæ soá traïng thaùi thöù n phöông phaùp thôøi gian aûo phöông phaùp toaùn töû phöông phaùp nhieãu loaïn λ = 0.02 (b) 0 4 8 12 16 20 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Na êng lö ôïn g ( a.u ) Chæ soá traïng thaùi thöù n phöông phaùp thôøi gian aûo phöông phaùp toaùn töû phöông phaùp nhieãu loaïn λ = 0.05 (c) Hình 6: Kết quả năng lượng của dao động tử phi điều hòa bậc 4 ứng với (a) 0.01λ = , (b) 0.02λ = và (c) 0.05λ = . Đường liền nét là kết quả của phương pháp toán tử, đường đứt nét là kết quả của phương pháp nhiễu loạn, chấm tròn là kết quả của phương pháp thời gian ảo. Kết quả cho thấy nghiệm phương trình Schrödinger dừng cho dao động tử phi điều hòa bậc bốn bằng phương pháp toán tử, thời gian ảo và phương pháp nhiễu loạn là trùng nhau khi chỉ số trạng thái n nhỏ. Khi ở mức kích thích cao (n lớn) thì phương pháp nhiễu loạn cho nghiệm không trùng với hai phương pháp còn lại. Hơn nữa, khi λ tăng, kết quả của hai phương pháp toán tử và thời gian ảo vẫn còn giống nhau, trong khi đó kết quả bằng nhiễu loạn lại cho nghiệm sai khác. Ta có thể lý giải như sau khi λ và n tăng, thành phần 4xλ không thể xem là nhỏ nữa, nên nghiệm của phương pháp nhiễu loạn không còn hội tụ và phương pháp này không còn áp dụng được nữa. Sự phù hợp nghiệm của hai phương pháp toán tử và phương pháp thời gian ảo chứng tỏ rằng phương pháp thời gian ảo là hiệu quả và cho nghiệm số chính xác. 28 Kết luận Với đề tài “ Giải phương trình Schrödinger dừng bằng phương pháp thời gian ảo”, luận văn đã giải quyết được mục tiêu đã đề ra với những kết quả cụ thể như sau: - Giới thiệu khái quát về phương pháp thời gian ảo giải số phương trình Schrödinger dừng. - Khảo sát phương pháp thời gian ảo trong một số trường hợp đã biết nghiệm chính xác là dao động tử điều hòa và bài toán hạt chuyển động dưới tác dụng của thế Morse. Kết quả cho thấy nghiệm số của phương pháp thời gian ảo cho kết quả trùng với nghiệm chính xác hơn 5 chữ số sau dấy phẩy. - Áp dụng phương pháp thời gian ảo vào các bài toán dao động tử phi điều hòa bậc ba và bậc bốn. So sánh các kết quả đó với kết quả từ những phương pháp khác đáng tin cậy cho kết quả là giống nhau, từ đó ta nhận định phương pháp thời gian ảo là cho nghiệm số chính xác và hiệu quả cao. 29 Hướng phát triển đề tài Luận văn có thể tiếp tục phát triển theo các hướng sau: − Nghiên cứu và phát triển phương pháp thời gian ảo cho không gian 2 chiều, 3 chiều. − Tiếp tục sử dụng phương pháp thời gian ảo cho các trường hợp hạt chuyển động trong các dạng thế khác. 30 Danh mục công trình của tác giả 1. Đỗ Thị Thu Hà, Lê Thị Thanh Thủy, Trần Lan Phương, Nguyễn Ngọc Ty (2013), “Phương pháp thời gian ảo giải số phương trình Schrodinger dừng”, tạp chí khoa học trường ĐH Sư phạm TP.HCM, số 43, tr 32-36. 31 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1]. Hoàng Dũng (1999), Nhập môn cơ học lượng tử, tập 1, NXB giáo dục. [2]. Hoàng Văn Hưng (2013), Phương pháp số ab initio tính toán phát xạ sóng điều hòa bậc cao, luận văn thạc sỹ, trường đại học Khoa học tự nhiên thành phố Hồ Chí Minh. [3]. Đỗ Thị Thu Hà, Lê Thị Thanh Thủy, Trần Lan Phương, Nguyễn Ngọc Ty (2013), “Phương pháp thời gian ảo giải số phương trình Schrodinger dừng”, tạp chí khoa học trường ĐH Sư phạm TP.HCM, số 43, tr 32-36. [4]. Đặng Quang Khang (1996), Cơ học lượng tử, NXB khoa học và kỹ thuật, Hà Nội. [5]. Nguyễn Khắc Nhạp (2002), Cơ học lượng tử, tập 1, tái bản lần 2, Đại học Sư phạm TP.HCM. Tiếng Anh [6]. Grossmann F. (2008), Theoretical Femtosecond Physics Atoms and Molecules in Strong Laser Fields, Springer - Verlag Berlin Heidelberg, pp. 52-55. [7]. Kosloff R. (1986), “A direct relaxation method for calculating eigenfunctions and eigenvalues of the Schrödinger equation on a grid”, Chemical Physics Letters, 127, pp. 223- 230. Trang web [8].