Khóa luận tốt nghiệp ĐHSP Toán Huế giúp học sinh vượt qua những sai lầm trong lập luận toán học - phần hình học

MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cám ơn Mục lục Mở đầu Danh mục các từ viết tắt Chương 1 : CƠ SỞ LÝ LUẬN 1. Lý thuyết việc học 5 2. Nguyên nhân gây nên khó khăn cho học sinh khi học toán 6 2.1. Nguyên nhân về môn Toán 6 2.2. Nguyên nhân về phía người học 9 2.3. Nguyên nhân về phía giáo viên và phương pháp dạy của giáo viên 10 3. Một số nguyên tắc cho việc dạy và học nhằm giúp HS vượt qua khó khăn trong học Toán 10 3.1. Học sinh học bằng cách kiến tạo tri thức 10 3.2. Học sinh học bằng hành động gắn liền trong các hoạt động học 12 3.3. Học sinh học để làm tốt chỉ nhữngng gì các em thực hành 13 3.4. Giáo viên không nên đánh giá thấp những khó khăn mà HS có thể gặp trong quá trình tìm hiểu các khái niệm cơ bản của Toán học 13 3.5. Giáo viên nên thường xuyên đề cao việc tìm hiểu xem HS của mình hiểu các khái niệm cơ bản tốt như thế nào 14 3.6. Việc học của HS sẽ được cải tiến nếu HS đương đầu với những sai lầm của mình 15 3.7. Máy tính nên được dùng để giúp HS trực quan và khám phá Toán học, không nên chỉ dừng lại ở việc cung cấp các thuật toán để dự đoán kết quả 15 3.8. Học sinh sẽ học tốt hơn nếu các em nhận được sự hoà hợp và sự phản hồi hữu ích đối với những thể hiện của mình 15 3.9. Học sinh sẽ học hiệu quả những điều mà các em biết sẽ được đánh giá 16 3.10. Việc sử dụng các phương pháp dạy học được đề xuất không chắc chắn rằng tất cả HS sẽ học tài liệu 16 4. Vai trò của việc chuẩn đoán những khó khăn và đưa ra những sai lầm của học sinh trong lập luậnToán 16 Chương 2. GIÚP HỌC SINH VƯỢT QUA NHỮNG SAI LẦM TRONG LẬP LUẬN TOÁN HỌC : PHẦN HÌNH HỌC 1. Chủ đề 1 : Sai lầm của HS trong vẽ hình 26 1. Sai lầm của HS khi không đánh giá đầy đủ các giả thiết 26 2. Sai lầm của HS khi vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian 32 3. Sai lầm của HS khi xác định góc 34 4. Sai lầm của học sinh khi xác định khoảng cách 41 2. Chủ đề 2 : Sai lầm của học sinh khi vận dụng các định lý 48 1. Phát biểu định lí không chính xác, thiếu điều kiện 48 2. Sử dụng định lí về sự tương quan giữa đường thẳng trong mặt phẳng mở rộng trong không gian 52 3. Chủ đề 3 : Sai lầm của HS khi giải toán 54 1. Chỉ giải toán trong một trường hợp đặc biệt 55 2. Không chú ý đến điều kiện tồn tại bài toán 56 4. Một số phân tích SGKTĐ 11 hình học liên quan đến đề tài 58 Chương 3 : THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 1. Mục đích và ý nghĩa thực nghiệm 61 1. Mục đích 61 2. Ý nghĩa 61 2. Quá trình thực nghiệm 61 1. Phương pháp thực nghiệm 61 2. Nội dung thực nghiệm 62 3. Thu thập dữ liệu 62 4. Phân tích dữ liệu 62 3. Kết quả của phiếu thăm dò 63 1. Phiếu thăm dò đối với giáo viên 64 2. Phiếu thăm dò đối với học sinh 66 4. Kết luận sư phạm 67 KẾT LUẬN 69 Tài liệu tham khảo 70 DANH M ỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT HS  : Học sinh GV : Giáo viên CNTT : Công nghệ thông tin GSP : The Geometer‘s Sketchpad THPT : Trung học phổ thông HHKG : Hình học không gian SGK : Sách giáo khoa SGKT Đ : Sách giáo khoa thí điểm MỞ ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Để dạy tốt và học tốt môn toán ta cần phải hiểu về toán như thế nào? Có người nói nôm na là: Toán học là một khoa học, nó khác với các ngành khoa học thực nghiệm như vật lý, hoá, sinh... ở chổ không có vật chất cụ thể để sờ mó. Toán học là khoa học của những kí hiệu trừu tượng. Bản thân các kí hiệu không mang ý nghĩ gì cả, nếu có chăng cũng chỉ ở trong đầu người tiếp nhận nó. Thực tế là phần lớn học sinh không hiểu được nguồn gốc và ý nghĩa của những kí hiệu toán học đó một cách đúng đắn, bản chất để áp dụng vào thực tiễn. Theo quan điểm đổi mới phương pháp dạy học môn Toán hiện nay ở các trường trung học phổ thông là: phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của HS, tự kiến tạo kiến thức cho mình, chống lại thói quen học tập thụ động. Trong tiết học thầy giáo đóng vai trò quan trọng giúp đỡ HS kiến tạo kiến thức chính xác, vì đôi lúc kiến thức HS kiến tạo được chỉ đúng trong một trường hợp. HS cần phải kiến tạo cách hiểu riêng của mình đối với mọi khái niệm Toán học. Nhưng thực trạng dạy và học Toán hiện nay ở một số trường THPT là HS không hiểu được bản chất của khái niệm, định lý... và gặp không ít khó khăn và có xu thế yếu dần về môn Toán. Chẳng hạn học sinh có thể học thuộc lòng các định lý nhưng không biết áp dụng như thế nào vào giải toán... Đặc biệt là phần HHKG trong SGK thí điểm 11, là phần học khó, trừu tượng đối với HS hiện nay. Và do đó HS không tránh khỏi những khó khăn và sai lầm trong quá trình giải toán. Thiết nghĩ trên con đường tìm hiểu thiết kế các phương pháp dạy học, nhằm phát triển môi trường học tập, nâng cao chất lượng học Toán thì, trước hết GV cần chú ý đến những khó khăn và chỉ ra những sai lầm của HS trong quá trình dạy học Toán. Với những lý do trên nên tôi chọn đề tài “Giúp học sinh THPT vượt qua những sai lầm trong lập luận Toán học”. II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Đề tài hướng tới nghiên cứu: Những sai lầm của HS khi vẽ hình; Những sai lầm của HS khi ứng dụng các định lý; Những sai lầm của HS giải quyết vấn đề( giải toán). Trên cơ sở đề xuất một số biện pháp để khắc phục một phần nào trong thiết kế bài giảng phù hợp hy vọng tạo một môi trường toán học nhằm thúc đẩy sự hiểu biết của các em, giúp các em vượt qua những sai lầm trong lập luận toán. III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Chuẩn đoán những sai lầm của HS và giúp HS vượt qua những sai lầm đó. IV. CÂU HỎI NGHIÊN CỨU - Tìm ra những sai lầm của HS đối với việc vẽ hình, vận dụng các định lý để giải quyết các vấn đề toán học... Sau đó dùng lí luận phân tích những thông tin này giúp HS vượt qua sai lầm đó. - Mỗi sai lầm đều được minh hoạ bằng những bài tập cụ thể, qua đó phân tích rõ các nguyên nhân. - Và làm sáng tỏ các câu hỏi nghiên cứu lí luận sau: Chuẩn đoán những khó khăn và sai lầm của HS khi giải toán có tác dụng như thế nào đối với việc thiết kế các bài giảng của giáo viên? Việc HS đạt kết quả ra sao khi tiến hành chuẩn đoán những khó khăn và sai lầm của HS trong học toán? Khả năng tư duy của HS được cải thiện như thế nào khi HS đối diện và thấy được những sai lầm của mình? Việc xây dựng môi trường toán học tích cực trên máy tính có tác dụng khắc phục những khó khăn trong học toán để tránh những sai lầm khi học toán đối với HS như thế nào? V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp nghiên cứu lí luận: - Nghiên cứu nội dung SGK; - Phân tích những khó khăn, những sai lầm của HS. Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: - Nghiên cứu hoạt động trong học toán; - Thực hành giảng dạy; - Điều tra, phỏng vấn, thu thập ý kiến. VI. CẤU TRÚC KHOÁ LUẬN Mở đầu Chương 1: Cơ sở lí luận Lý thuyết về việc học Nguyên nhân gây nên khó khăn cho học sinh khi học toán Một số nguyên tắc cho việc dạy và học nhằm giúp HS vượt qua khó khăn trong học toán. Vai trò của việc chuẩn đoán những khó khăn và đưa ra những sai lầm của HS trong lập luận toán. Chương 2: Giúp học sinh vượt qua những sai lầm trong lập luận toán học: Phần hình học Những sai lầm của HS trong vẽ hình Những sai lầm của HS khi vận dụng các định lý Một số sai lầm khác của HS trong giải toán. Phân tích một số nét đổi mới trong SGKTĐ 11 Hình học có liên quan đến đề tài. Chương 3: Thực nghiệm sư phạm Mục đích và ý nghĩa thực nghiệm Quá trình thực nghiệm Thu thập dữ liệu, phân tích và lý giải các dữ liệu của thực nghiệm Kết luận sư phạm Kết luận CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN 1. LÝ THUYẾT VỀ VIỆC HỌC Trước khi xem xét về nghiên cứu liên quan đến việc học toán của học sinh, một việc quan trọng là cần phải quan tâm đến việc học sinh học như thế nào. Trong lớp học, việc học của học sinh phức tạp hơn việc đơn thuần chỉ là nhớ lại những gì các em đã đọc hay đã nói và có nhiều giáo viên đã nhận thấy rằng học sinh không nhất thiết phải học với việc có mặt của giáo viên để giải thích cho các em cách giải một bài toán là như thế nào. Thật vậy, sẽ là rất vô ích nếu chúng ta tìm được một bài toán thật hay, giải thích một cách rõ ràng, cặn kẽ tất cả các bước để giải và sau đó nhận ra rằng hầu như không có học sinh nào hiểu được nó. Trang bị những lý thuyết về việc học đã giúp cho nhiều giáo viên trong cách tiếp cận về việc dạy. Cùng với việc mô tả cách học sinh học hay tư duy như thế nào, những lý thuyết về việc học đóng vai trò nền tảng cho những lý thuyết về việc dạy, trong đó đưa ra những kết luận rằng việc dạy nên tiến hành như thế nào (Romber và Carpenter, 1986). Như vậy, những gì xảy ra trong một lớp học cụ thể có thể được xem như là một sự tác động qua lại giữa những mục đích của giáo viên về những gì học sinh nên học; những hình ảnh về đặc điểm và năng lực của học sinh; lý thuyết về việc học sinh học như thế nào và những giả định cho việc học sinh nên được dạy như thế nào. Gần đây, có một lý thuyết về việc học được đa số các quốc gia có nền giáo dục phát triển chấp nhận, đó là “Lý thuyết kiến tạo”. Lý thuyết này mô tả việc học như là việc mỗi người tích cực kiến tạo tri thức cho chính mình (Von Glasersfeld, 1987). Ngày nay, lý thuyết kiến tạo đã trở thành một lý thuyết định hướng cho nhiều nghiên cứu và cải cách trong toán học cũng như khoa học giáo dục. Các nhà kiến tạo xem học sinh mang đến lớp những ý tưởng riêng, những kinh nghiệm và cả những niềm tin, điều này ảnh hưởng đến việc các em hiểu và học kiến thức mới như thế nào. Trong lớp học, hơn cả việc “tiếp nhận” những thông tin từ giáo viên hay từ tài liệu, học sinh phải xây dựng lại những thông tin mới để cho “khớp” với cấu trúc nhận thức riêng của mình. Với cách này, học sinh phải kiến tạo tri thức một cách tích cực và độc lập hơn là việc sao chép kiến thức đã được “cung cấp” hay “chuyển tải” đến mình. Theo quan điểm lý thuyết kiến tạo về việc học, lý thuyết về việc dạy tập trung vào phát triển sự hiểu của học sinh hơn là sự phát triển kỷ năng được ghi nhớ một cách máy móc và xem việc dạy như là một con đường nhằm tạo ra những cơ hội cho học sinh tích cực kiến tạo tri thức hơn là truyền thụ những kiến thức sẵn có đến cho các em. Những lý thuyết về việc học và việc dạy sẽ tác động đến những mục đích cụ thể của giáo viên về những gì học sinh của mình nên học. 2. NGUYÊN NHÂN GÂY NÊN KHÓ KHĂN CHO HỌC SINH KHI HỌC TOÁN Trong thực tế, có một bộ phận học sinh học toán dễ dàng, nhưng với nhiều học sinh môn Toán lại là một môn học khó. Trước khi tiến hành chuẩn đoán và điều trị những khó khăn của học sinh, cần thiết phải tìm hiểu các nguyên nhân dẫn đến khó khăn đó. Theo Alaine Taurisson [1], trong số các nguyên nhân, có nguyên nhân ở chính môn Toán, những nguyên nhân ở người học và nguyên nhân ở người dạy. 2.1. Nguyên nhân về môn Toán Taurisson cho rằng, để làm chủ được toán học, người học cần phải thiết lập được mối quan hệ giữa 3 yếu tố: đối tượng toán học, ngôn ngữ toán học và các thể hiện cụ thể đối tượng toán học. Như vậy, muốn hiểu rõ được đối tượng toán học, học sinh cần phải sử dụng được hệ thống ngôn ngữ toán học liên quan đến đối tượng đó; nắm vững các thể hiện cụ thể đối tượng toán học để làm cơ sở cho việc hiểu bản chất của đối tượng toán học. Toán học trở thành một môn học tinh tế bởi tính phong phú, đa dạng của ngôn ngữ toán học và các thể hiện cụ thể của đối tượng toán học. Tuy nhiên, càng tinh tế bao nhiêu thì càng gây khó khăn cho học sinh khi học toán bấy nhiêu. Quan niệm về 3 yếu tố cấu thành môn Toán được xem xét như sau: Các đối tượng toán học là đối tượng tinh thần, là những tư tưởng được hình thành, tồn tại trong đầu óc con người. Các khái niệm vectơ, tính chất của vectơ là những đối tượng toán học. Và khái niệm vectơ được đưa ra vào những năm trước 2000 vô cùng trừu tượng, vectơ được xem như đã có và thỏa mãn các tính chất. HS chỉ việc công nhận và học thuộc để vận dụng giải quyết bài tập mà không hình dung được nó như thế nào. Những hình ảnh, mô hình của các đối tượng toán học có thể là những sự vật tồn tại thực sự, nhưng chính bản thân các đối tượng toán học chỉ tồn tại trong đầu óc con người. Với một đối tượng học tập như vậy, việc tổ chức quá trình hình thành các khái niệm toán học tất yếu sẽ gặp không ít khó khăn. Ngôn ngữ toán học là những hình thức diễn tả các đối tượng toán học, mối quan hệ giữa các đối tượng đó, hoặc diễn đạt các algorit (là một chuỗi các quy tắc cần áp dụng, các bước phải tiến hành theo một thứ tự xác định để đưa lại một kết quả đúng). Ngôn ngữ toán học bao gồm: - Ngôn ngữ lời nói như là lời nói thông thường mang nội dung toán học, chẳng hạn: “Hàm số f liên tục tại điểm x bằng 2”, nhưng cũng có những lời nói là sự phát âm của những công thức, ký hiệu toán học, chẳng hạn: “giới hạn của dãy số un” là cách phát âm của ký hiệu “”. - Ngôn ngữ viết là những câu viết ra các lời nói thông thường hoặc ký hiệu, công thức; các dòng biến đổi một biểu thức đại số, biến đổi phương trình tương đương, những dòng lập luận chứng minh một bài toán hình học chỉ dùng toàn ký hiệu. Ngôn ngữ viết của toán học dưới hình thức các ký hiệu, công thức rất tiện lợi cho việc diễn tả gọn gàng, đơn giản và chính xác các nội dung toán học. Trong ngôn ngữ toán học, các số đóng vai trò quan trọng. - Mối quan hệ giữa ngôn ngữ nói và ngôn ngữ viết trong toán học không đơn giản như trong một số môn khoa học khác. Một câu văn được viết ra và đọc nó lên là giống nhau, nhưng trong toán học thì hầu như là không phải như vậy, viết như thế này “” nhưng đọc lại khác “hàm số f(x) liên tục tại ” hoặc khi viết “a > b” nhưng phải đọc là “a lớn hơn b”. Điều này buộc học sinh phải nắm vững đồng thời cả hai thứ ngôn ngữ nói và viết. Đây cũng là một khó khăn trong việc học toán của các em. Các thể hiện cụ thể đối tượng toán học là cách diễn tả một cách cụ thể, trực quan một số mặt của các đối tượng toán học. Chúng được hình thành bằng ngôn ngữ toán học, những hình vẽ, sơ đồ... Chẳng hạn, xét đối tượng toán học là vectơ, nó tồn tại trong đầu óc con người chứ không phải là những cái có thật. Vectơ được biểu diễn, mô phỏng bằng hình vẽ A B. Song bản chất của vectơ là gì vẫn tồn tại trong đầu óc con người. Các thể hiện toán học có thể là một hình thức ngôn ngữ (hiểu theo nghĩa là hình thức mang thông tin) nhưng có thể không phải là ngôn ngữ toán học. Trong các thể hiện cụ thể, đối tượng toán học có thể có sự tham gia của ngôn ngữ toán học. Thể hiện toán học cũng có thể là vật thật, những sự kiện thực tế. Các thể hiện cụ thể đối tượng toán học dùng làm chỗ dựa để phản ánh từ cái cụ thể đến tư tưởng toán học (từ trực quan đến trừu tượng) và có thể được dùng phản ánh những tư tưởng toán học vào cái cụ thể (cụ thể hóa), là chỗ dựa của các tư tưởng toán học, nhờ đó ta có thể suy nghĩ để giải các bài toán thuận lợi hơn. Tuy nhiên, đây cũng là một nguyên nhân gây khó khăn cho học sinh bởi như chúng ta đã biết có những tư tưởng toán học được nảy sinh do sự trừu tượng hóa những cái trừu tượng đã đạt được trước đó. Chẳng hạn, các tiên đề trình bày trong phần HHKG, mỗi tiên đề được tổng quát từ những khái niệm trừu tượng. Bởi vậy, các tiên đề đó được đưa ra mang tính chất thừa nhận và không chứng minh nên HS học vẫn mang tính chất học vẹt và áp đặt. Đồ thị hàm số thể hiện được tính chất của hàm số. Nếu cho một hàm số thì HS có thể vẽ được đồ thị của hàm số nhưng từ đồ thị hàm số thì rất ít HS có thể nhận biết được tính chất của hàm số đó. 2.2. Nguyên nhân về phía người học Taurisson cũng cho rằng hoạt động trí óc của mỗi người khác nhau không chỉ ở chỗ nhanh hơn hay chậm hơn, mà còn do các thói quen làm việc trí óc khác nhau (thói quen gợi lại, thói quen logic, thói quen tưởng tượng, sáng tạo...). Đề cập đến sự “gợi lại”, có một số vấn đề đáng quan tâm như sau: Khi quan sát một đối tượng nào đó (nghe, nhìn...), người ta có thể gợi lại trong đầu những hình ảnh, âm thanh đã thu nhận được. Những hình ảnh, âm thanh ghi lại được trong đầu là những hình ảnh tinh thần. Sự gợi lại những thông tin đó có thể trung thành với những hình thức đã thu nhận, nhưng cũng có thể biến đổi thành những hình thức khác, tùy theo thói quen của từng người. Ta gọi những hình ảnh tinh thần tồn tại trong đầu óc của mỗi chủ thể đó là ngôn ngữ bên trong. Trong quá trình học tập, người học chỉ dùng hai loại ngôn ngữ bên trong chủ yếu là “ảnh” nhìn thấy và “ảnh” âm thanh hoặc lời nói. Theo quan niệm này thì những học sinh khá, giỏi thường sử dụng thành thạo cả hai thứ ngôn ngữ bên trong, còn những học sinh bình thường thì chỉ có ưu thế một trong hai thứ ngôn ngữ đó. Tùy theo trình độ điêu luyện của ngôn ngữ bên trong, vốn kiến thức cũ, kinh nghiệm của các em, sự phản ánh các yếu tố bên ngoài vào bên trong đầu của mỗi người là khác nhau, đòi hỏi những khoảng thời gian khác nhau. Ví dụ, một học sinh có thói quen gợi lại bằng âm thanh hay lời nói, khi quan sát một hình vẽ, một ký hiệu, cần có thời gian diễn dịch chúng thành lời nói để nắm được ý nghĩa. Còn học sinh có thói quen gợi lại những hình ảnh nhìn thấy trong đầu, có thể hiểu nghĩa của những công thức, ký hiệu dễ dàng hơn nhưng khi trình bày lại cho người khác hiểu bằng ngôn ngữ thông thường cũng cần có thời gian. Đặc điểm tâm lý đó của học sinh cũng gây không ít khó khăn cho các em trong học toán. Nếu giáo viên không hiểu được điều đó và không có những phương pháp dạy học phù hợp thì không những không giúp học sinh vượt qua được những khó khăn mà có thể sẽ làm cho các em càng khó khăn hơn trong học toán. Đến đây, có lẽ không thể không thừa nhận trách nhiệm của người giáo viên đối với những khó khăn mà học sinh của mình gặp phải trong học toán. 2.3. Nguyên nhân về phía giáo viên và phương pháp dạy học của giáo viên Chúng ta dạy toán cứ như là các kí hiệu có ý nghĩa rõ ràng và cố hữu; Chúng ta thường không quan tâm đến mức độ chín chắn về nhận thức của người học. Những gì rõ ràng với thầy cô giáo thì có thể xa lạ đối với học sinh; Chúng ta thường bỏ qua tầm quan trọng về nhu cầu của HS trong việc dự kiến cách hiểu của riêng mình; Chúng ta xem kiến thức toán học như là những sự kiện được truyền thụ có hệ thống và chặt chẽ cho HS, giúp HS rèn luyện các kỹ năng giải toán; Chúng ta quan niệm rằng một ít HS giỏi toán còn những HS khác thì không, khi đó trách nhiệm của nhà giáo là chỉ ra mức độ học toán của từng HS và chọn đúng vấn đề để giao cho các em tự thể hiện, nhằm nâng cao khả năng tư duy của chính người học. MỘT SỐ NGUYÊN TẮC CHO VIỆC DẠY VÀ HỌC NHẰM GIÚP HS VƯỢT QUA KHÓ KHĂN TRONG HỌC TOÁN Dựa trên những nghiên cứu về việc dạy và học theo quan điểm lý thuyết kiến tạo, có thể đúc kết một vài nguyên tắc chung cho việc dạy và học như sau: 3.1. Học sinh học bằng cách kiến tạo tri thức Nhiều nghiên cứu cả trong giáo dục và tâm lý đã đưa đến giả thuyết rằng học sinh học bằng cách xây dựng kiến thức cho mình mà không phải tiếp thu thông tin một cách thụ động (Resnick, 1987; Von Glaserfeld, 1987). Bất kể là người thầy giáo hay một cuốn sách nào đó cung cấp cho các em một lượng thông tin rõ ràng, rành mạch như thế nào đi nữa thì học sinh sẽ chỉ hiểu những tài liệu học tập đó sau khi các em đã kiến tạo cho riêng mình ý nghĩa về những gì đang học. Ở Hội nghị quốc tế lần thứ 60 về Giáo dục Toán tổ chức tại Budapest năm 1988, Steen (1989) đã đề xuất “... Giáo viên thường hành động như thể tâm trí của mỗi học sinh là một tấm bảng trắng hay một cái đĩa mềm còn trống mà kết quả trên đó là giáo viên có thể ghi bất cứ thông tin gì họ muốn. Nghiên cứu về khoa học nhận thức nhìn nhận theo một cách khác rằng mỗi học sinh mang đến trường học một tập hợp rất phong phú về những kinh nghiệm toán học đã có, những kinh nghiệm này tạo ra một cấu trúc trí tuệ riêng mà trong đó mỗi học sinh sẽ tạo ra những mô hình mới bắt nguồn từ những kinh nghiệm mới. Việc học diễn ra không phải trong hoạt động của sự nhớ lại mà trong sự phát triển dần dần của cấu trúc trí tuệ duy nhất trong mỗi cá nhân. Nói cách khác, học sinh học bằng cách điều chỉnh, sửa đổi “chương trình” của tâm trí mình chứ không phải bằng cách lưu trữ dữ liệu mới vào “bộ nhớ” của tâm trí mình.” Như vậy, theo quan điểm của lý thuyết kiến tạo, mỗi người giáo viên cần phải nhận thức được rằng học sinh đến lớp không phải như một chiếc “bảng trắng”, một cái “đĩa trống” hay một cái “hộp rỗng” đang đợi để được làm đầy, thay vào đó, học sinh đến lớp để được tiếp cận những hoạt động học cùng với tri thức mang ý nghĩa đã có từ trước. Khi học một vài điều mới, học sinh sẽ hiểu ý nghĩa thông tin mới dựa trên kiến thức có trước của mình, kiến tạo cách hiểu riêng cho mình bằng cách liên kết thông tin mới với những gì các em đã tin. Học sinh có xu hướng chấp nhận những tư tưởng mới (tri thức mới) chỉ khi những tri thức cũ của các em không còn hoạt động hoặc tỏ ra là không còn hiệu quả cho những mục đích mà các em cho là quan trọng. Các nhà giáo dục Toán theo quan điểm kiến tạo khẳng định rằng bằng cách xây dựng trên những kiến thức đã kiến tạo được, học sinh có thể nắm bắt tốt hơn các khái niệm và có thể đi từ nhận biết sự vật sang hiểu nó. Kiến thức được kiến tạo khuyến khích tư duy phê phán, nó cho phép học sinh tích hợp được khái niệm theo nhiều cách khác nhau. Khi đó, học sinh có thể trình bày khái niệm, kiểm chứng, bảo vệ và phê phán về khái niệm được xây dựng. 3.2. Học sinh học bằng hành động gắn liền trong các hoạt động học Học sinh sẽ học tốt hơn nếu các em cảm thấy bận rộn và được thúc đẩy để nỗ lực với việc học của bản thân mình. Theo cách đó thì học sinh dường như sẽ học tốt hơn nếu các em được làm việc hợp tác trong các nhóm nhỏ để giải quyết các vấn đề và có cơ hội được tranh luận về sự tiếp cận vấn đề giữa các tư tưởng và phương thức đối lập (National Research Council, 1989). Những hoạt động theo nhóm nhỏ có thể liên quan đến các nhóm gồm 3 hoặc 4 học sinh cùng nhau làm việc để giải quyết các vấn đề. Tổ chức những hoạt động theo nhóm nhằm tạo cơ hội cho học sinh trình bày những ý kiến của mình bằng cả nói và viết, giúp các em trở nên quan tâm chú ý hơn trong việc học của mình. Thông qua thảo luận, tranh luận trong tập thể, ý kiến của mỗi cá nhân được bộc lộ, khẳng định hay bác bỏ, qua đó trình độ của mỗi học sinh sẽ được nâng lên. Các nghiên cứu đã chỉ ra rằng học hợp tác theo nhóm nhỏ góp phần nâng cao kết quả học tập của mỗi học sinh. Học sinh nhận ra được sức mạnh đoàn kết trong giải quyết các vấn đề. Ý tưởng là động viên học sinh “cùng bơi hoặc cùng chìm” với nhau hơn là sản xuất ra những “kẻ thắng người thua” như trong môi trường học tập có tính ganh đua một cách truyền thống. Mục đích của học hợp tác theo nhóm nhỏ: Thúc đẩy sự giao tiếp và tăng thêm mối liên hệ giữa các học sinh với nhau; Củng cố việc học bằng cách trình bày nó cho những người khác biết; Thu hút các thỏa thuận khôn ngoan để giải quyết các vấn đề. Theo quan điểm này, những bài học được xây dựng dựa trên các hoạt động và có dùng các nhóm nhỏ dường như có thể giúp học sinh vượt qua được các nhầm lẫn khái niệm và thúc đẩy các em học các khái niệm hơn. 3.3. Học sinh “học để làm” tốt chỉ những gì các em thực hành Thực hành được xem là các hoạt động thao tác bằng tay, những hoạt động có dùng các nhóm nhỏ hợp tác hay làm việc trên máy vi tính. Các nghiên cứu chỉ ra rằng học sinh cũng học tốt hơn nếu các em có kinh nghiệm vận dụng các ý tưởng vào trong những tình huống mới. Nếu các em chỉ thực hành để tìm ra các câu trả lời cho những bài toán rõ ràng và quen thuộc thì điều đó hoàn toàn các em có thể học được. Tuy vậy, học sinh không thể học để có tư duy phê phán, phân tích thông tin, trao đổi các ý tưởng, xây dựng các lập luận, giải quyết các tình huống mới trừ khi các em được cho phép và bị thôi thúc làm những việc đó nhiều lần trong những điều kiện khác nhau. Chỉ lặp lại và ôn tập các công việc sẽ không chắc rằng có thể cải tiến được những kỹ năng hay làm cho việc hiểu vấn đề được sâu hơn (American Association for the Advancement of Science, 1989). 3.4. Giáo viên không nên đánh giá quá thấp về những khó khăn mà học sinh có thể gặp phải trong quá trình tìm hiểu các khái niệm cơ bản của Toán học Trong việc dạy học Toán cũng như việc dạy học các môn khoa học khác ở trường phổ thông, điều quan trọng bậc nhất là hình thành một cách vững chắc cho học sinh một hệ thống khái niệm. Đó là cơ sở cho toàn bộ kiến thức toán học của học sinh, là tiền đề quan trọng để xây dựng cho các em khả năng vận dụng các kiến thức đã học. Quá trình hình thành các khái niệm có tác dụng lớn đến việc phát triển trí tuệ, đồng thời cũng góp phần giáo dục thế giới quan cho học sinh (qua việc nhận thức đúng đắn quá trình phát sinh, phát triển của các khái niệm toán học) (Hoàng Chúng, 1997). Như chúng ta đã biết, Toán học là kết quả của sự trừu tượng hóa diễn ra trên những bình diện khác nhau. Có những khái niệm toán học là kết quả của sự trừu tượng hóa những đối tượng vật chất cụ thể, nhưng cũng có nhiều khái niệm nảy sinh do sự trừu tượng hóa những cái trừu tượng đã đạt được trước đó. Điều này gây ra nhiều khó khăn cho học sinh trong việc hình dung và hiểu các khái niệm một cách trực giác. 3.5. Giáo viên nên thường xuyên đề cao việc tìm hiểu xem học sinh của mình hiểu các khái niệm cơ bản tốt như thế nào? Một vài nghiên cứu cho thấy mặc dù học sinh có thể trả lời chính xác một số câu hỏi trong các bài kiểm tra, các bài trắc nghiệm, có thể thiết lập được các phép toán một cách chính xác nhưng các em vẫn còn nhầm lẫn về các ý tưởng và khái niệm cơ bản cũng như học sinh có thể hiểu nhưng không có khả năng chuyển sự hiểu biết đó của mình vào những bài toán mang nhiều nội dung thực tế hơn. 3.6. Việc học của học sinh sẽ được cải tiến nếu các em nhận thức được và đương đầu với những lỗi khái niệm của mình Các nhà kiến tạo cho rằng học sinh học toán tốt nhất khi các em được đặt trong một môi trường xã hội tích cực mà ở đó các em có khả năng kiến tạo cách hiểu biết về toán theo cách riêng của mình. Với ý nghĩa này, thách thức đặt ra trong việc dạy học toán là tạo ra được những hoạt động thực nghiệm thu hút được học sinh tham gia và động viên, khuyến khích các em giải thích, đánh giá, trao đổi và áp dụng các mô hình toán học cần thiết nhằm làm cho những kinh nghiệm này có ý nghĩa. Có lẽ học sinh sẽ học tốt hơn khi các hoạt động được xây dựng nhằm giúp các em đánh giá, xác minh sự khác biệt giữa những niềm tin của mỗi cá nhân đối với tri thức và những kết quả thực nghiệm có thật. Nếu như ban đầu học sinh được yêu cầu hãy phỏng đoán hoặc dự báo về một nội dung hay vấn đề nào đó thì các em có thể sẽ rất quan tâm đến những kết quả thực nghiệm. Khi bằng chứng thực nghiệm đã rõ ràng là mâu thuẫn với những dự đoán của các em, chúng ta nên giúp đỡ các em xác minh sự khác biệt này. Quả thật, chính trong quá trình học sinh bị thôi thúc thu thập những kết quả thực nghiệm và so sánh những dự đoán của mình với các kết quả đó, các em sẽ có khả năng xác nhận bằng chứng về những lỗi khái niệm của mình. 3.7. Máy tính nên được dùng để giúp học sinh trực quan và khám phá Toán học, không nên chỉ dừng lại ở việc cung cấp các thuật toán để dự đoán kết quả Dạy học với sự hỗ trợ của máy tính dường như giúp học sinh nắm vững hơn các khái niệm Toán học, bằng cách cung cấp những cách khác nhau để biểu diễn cùng một đối tượng hay cho phép học sinh thao tác các khía cạnh khác nhau của một biểu diễn cụ thể khi khám phá đối tượng. Các phần mềm dạy học có thể giúp học sinh hiểu những khái niệm trừu tượng. Ví dụ: Khi thiết kế bài soạn elip, ta có thể sử dụng phần mềm động để HS tự hình thành được khái niệm. Và có thể minh họa các bài toán quỹ tích. 3.8. Học sinh học tốt hơn nếu các em nhận được sự hòa hợp và sự phản hồi hữu ích đối với những thể hiện của mình Việc học sẽ được cải thiện nếu học sinh có cơ hội được trình bày các ý tưởng của mình và thu được thông tin phản hồi về những ý tưởng đó. Sự phản hồi nên được phân tích và đưa ra ở thời điểm học sinh thực sự quan tâm đến nó. Cần có thời gian cho các em phân tích thông tin phản hồi đã nhận được, điều chỉnh và cố gắng làm lại lần nữa nếu chưa phù hợp (American Association for the Advancement of Science, 1989). Với khẳng định như vậy thì việc đánh giá khả năng toán học của học sinh có lẽ được dùng với mục đích nhằm cung cấp những phản hồi đến học sinh khi giải quyết vấn đề toán học trong suốt quá trình học mà không nên chỉ nhằm đưa ra một nhận định cuối cùng khi kết thúc học kỳ hay năm học. Hơn nữa, việc đánh giá nên nắm bắt được khả năng đưa ra một lập luận, khả năng trao đổi các lời giải và vận dụng kiến thức của học sinh. Sự đa dạng của các phương pháp đánh giá nên được dùng để nắm bắt phạm vi bao quát nhất về việc học của học sinh. Giáo viên nên thành thạo trong việc phát triển và lựa chọn các phương pháp đánh giá thích hợp, liên kết được với việc dạy và nên có được những kỹ năng trong việc trao đổi với học sinh các kết quả đánh giá (Webb & Romberg, 1992). Những kỹ thuật đánh giá được thiết kế tốt sẽ giúp giáo viên hiểu đúng hơn và cải tiến được việc học của học sinh mình. 3.9. Học sinh học hiệu quả những điều các em biết sẽ được đánh giá Mọi học sinh đều biết rằng các em sẽ được đánh giá khi đang còn trên ghế nhà trường. Trong bất kỳ một lớp học toán nào, một số học sinh luôn muốn hỏi “Liệu kiến thức này có xuất hiện trong đề kiểm tra không?”. Như vậy, một lý do khác để đánh giá vượt xa hơn những gì được dùng của các bài kiểm tra truyền thống là học sinh sẽ chỉ tự mình vận dụng, thích ứng với những kỹ năng và các hoạt động mà các em biết sẽ được đánh giá. Nếu học sinh biết các em sẽ được đánh giá dựa vào khả năng nhận xét, phê phán, khả năng trao đổi thông tin của mình hay khả năng làm việc hợp tác trong nhóm với một chủ đề, khi đó các em sẽ sẵn sàng hơn, nhiệt tình đầu tư cho việc cải tiến những kỹ năng được yêu cầu bởi các hoạt động này. 3.10. Việc sử dụng các phương pháp dạy học được đề xuất không chắc chắn rằng tất cả học sinh sẽ học tài liệu Không có phương pháp nào là hoàn hảo và sẽ có thể tác động thích hợp đối với tất cả học sinh. Một vài nghiên cứu Giáo dục Toán đã chỉ ra rằng những nhầm lẫn khái niệm của học sinh thường là nhanh chóng thích nghi và khá bền vững, kiên cố, các em rất chậm để thay đổi được, ngay cả khi học sinh đó đã được đối mặt với một sự thật rõ ràng rằng niềm tin của mình là không đúng. Và điều này mới chỉ là một phần của vấn đề. Mặt khác, chúng ta không thể biết chắc là các em đã đủ tập trung, chú ý để nỗ lực với việc học các ý tưởng mới. 4. VAI TRÒ CỦA VIỆC CHUẨN ĐOÁN NHỮNG KHÓ KHĂN VÀ ĐƯA RA NHỮNG SAI LẦM CỦA HỌC SINH TRONG LẬP LUẬN TOÁN Trong lịch sử phát triển của tri thức yếu tố có vai trò quan trọng là những lời ngụy biện toán học (còn gọi là những nghịch lý). Chúng là những giải thích tỉ mỉ, chứng minh rõ ràng và sớm đưa đến những khái niệm và kết luận không logic. Điều này sớm được quan tâm và nghiên cứu, hệ thống hoá và giáo dục học của việc sang chế những chứng minh sai. Và công nhận vai trò sư phạm của những bài toán chứa sai lầm trong quá trình phát triển tư duy của HS. Cho HS làm việc với những sai lầm đang được cố gắng để đưa phương pháp dạy chủ yếu trong nhà trường. Qua thực nghiệm, nó chứng tỏ rằng rất có ích cho việc phát triển tư duy logic của việc HS đưa ra những lời ngụy biện. Sau đây là một số sai lầm mà ta thường gặp trong giải toán Đại số - Giải tích Sai lầm thường gặp chủ yếu trong học phần này là quá trình biến đổi tương đương và vận dụng các quy tắc, định lý... Ví dụ 1: Giải phương trình sau: (1) Sai lầm thường gặp: pt (1) (2) 3x = 9 (3) 3. Phân tích sai lầm: Ta thấy x = -1 cũng là nghiệm của phương trình Vậy tại sao ta lại thiếu nghiệm x = -1. Do ta biến đổi sai ở đâu? Từ (2) sang (3) ta đã chia hai vế một lượng mà chưa khẳng định đại lượng đó đã khác 0 hay chưa. Đây là sai lầm mà HS thường hay gặp phải trong quá trình biến đổi. Chú ý: Ví dụ 2: Giải phương trình: (1). Sai lầm thường gặp: pt(1) +5 = (x - 1)2 5 = x2 – 2x + 1 3x – 4 = 0 Phân tích sai lầm: Khi thay x = -1 vào phương trình đã cho ta có: không thoả mãn. Tại sao như vậy? Từ phương trình (1) ta biến đổi tương đương bằng cách bình phương hai vế, khi chưa xác định được hai vế đã thỏa mãn điều kiện: không âm và chưa tìm tập xác định của phương trình. Ta phải giải như sau: 4 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 4. Chú ý: Chỉ được bình phương hai vế của phương trình, bất phương trình khi xác định được hai vế của phương trình và bất phương trình không âm. Ví dụ 3: Tính Sai lầm thường gặp ở phần tích phân trong SGK 12 thường là do hiểu không đúng các khái niệm và vận dụng sai các định lí, quy tắc. Sai lầm thường gặp: Ta có Phân tích sai lầm: Lời giải trên đã vận dụng công thức nhưng không chú ý đến dx và biểu thức dưới dấu tích phân. Ở đây ta phải đặt Khi đó ta có: Hình học phẳng Sai lầm thường gặp ở phần này là vẽ hình không chính xác và vận dụng các định lí một cách khó khăn để giải quyết bài toán. Ví dụ 2: Từ một điểm nằm ngoài đường thẳng có thể kẻ được hai đường thảng vuông góc đến đường thẳng đó. Sai lầm thường gặp - Lấy và trên các cạnh AB, BC kẻ hai nữa đường tròn (1) và (2) với đường kính lần lượt AB và BC. - Gọi D, E lần lượt là giao điểm của đường tròn (1), (2) với cạnh AC. - Khi đó: ; ( vì góc bị chắn bởi đường kính). - Vậy từ B kẻ được hai đường thẳng vuông góc đến AC. Phân tích sai lầm: Để tìm hiểu nguyên nhân nào mà bài toán đi đến một kết luận nghịch lí như vậy, ta vào file MD.gsp. Trước hết ta có một hình vẽ như HS, cho đỉnh A chuyển động đến các điểm đặc biệt, kích vào nút ; nút và nút . Sau đó so sánh với hình vẽ đúng để tìm ra nguyên nhân sai lầm: Vẽ hình không chính xác. Gọi F là giao điểm của hai đường tròn. Khi đó nối AF, BF, CF. Ta dễ dàng có: , do đó AF, BF nằm trên AC. Do đó đường thẳng AC giao với hai nữa đường tròn (1), (2) tại một điểm duy nhất. Và từ B kẻ được đường thẳng duy nhất vuông góc với AC. Ví dụ 2: Một góc vuông bằng một góc tù. Sai lầm thường gặp Cho tứ giác ABCD với: và BC = DA. Từ điểm giữa cạnh AB và CD dựng đường thẳng vuông góc với các cạnh đó và giao nhau tại O. Nối O với tất cả các đỉnh của tứ giác ABCD. - Ta có các cặp tam giác vuông bằng nhau: Hình a Ta suy ra: OA = OB; OC = OD; (1) Mặt khác: DA = BC; OA = OB; OC = OD suy ra: (2) Tư (1) và (2) ta có :. Vậy một góc vuông bằng một góc nhọn. Phân tích sai lầm: Trong chứng minh trên các giả thiết đã không được xét hết. Ngoài trường hợp được xét trên, ta còn các trường hợp sau: điểm O nằm trong tứ giác ABCD; điểm O nằm trên đường thẳng DC, là điểm giữa của đoạn thẳng. Tuy nhiên, những trường hợp đó cũng chỉ đưa đến một kết luận là một góc vuông bằng một góc tù. Để làm rõ hơn về sự hiểu lầm nay, ta nên chú ý đến trường hợp đã xét. Và ta chia nó ra làm hai trường hợp: - Trường hợp với hình vẽ (a); - Trường hợp với hình vẽ (b). Trường hợp thứ nhất đưa đến sự vô lý, cái đã làm ta tin tưởng là sự thật. Trường hợp thứ hai không đưa đến một sự vô lý, đó là: ; 3600 Và đây là kết quả duy nhất cho tất cả các giả thiết. Sự vô lý được đưa đến là do vẽ hình không chính xác. Hình b Kết luận: Trên đây là những sai lầm phổ biến, đặc trưng mà học sinh thường gặp. Và nguyên nhân chủ yếu là vận dụng các định lí, mệnh đề không đúng, thiếu điều kiện hoặc là vẽ hình sai trong khi học hình học. Làm thế nào để cải tiến phương pháp dạy học để giúp học sinh vượt qua những sai lầm này và nâng cao chất lượng dạy học. Và những điểm nói trên là cơ sở để GV và HS góp phần giúp việc dạy và học toán hiệu quả .