Khóa luận Vành phân thức hữu tỷ và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ HẢI HÀ VÀNH PHÂN THỨC HỮU TỶ VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP THÁI NGUYÊN – NĂM 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ HẢI HÀ VÀNH PHÂN THỨC HỮU TỶ VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Giảng viên hướng dẫn: T.S TRẦN NGUYÊN AN THÁI NGUYÊN – NĂM 2014 Mục lục Mở đầu 1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 2 1.1. Xây dựng vành K[X] 2 1.2. Hàm đa thức 6 1.3. Số học trong K[X] 7 1.4. Không điểm của đa thức 10 1.5. Đa thức với hệ số phức và thực. 12 Chương 2. Phân thức hữu tỷ 16 2.1. Xây dựng trường các phân thức hữu tỷ 16 2.2. Phân tích thành phân thức đơn giản 22 2.3. Thực hành phép phân tích thành phân thức đơn giản (PTĐG) 28 2.4. Công thức nội suy Lagrange 38 Chương 3. Một số bài toán liên quan 42 3.1. Chứng minh đẳng thức với vành phân thức hữu tỷ 42 3.2. Một số lớp phương trình, hệ phương trình với hàm phân thức hữu tỷ 45 3.3. Phương trình hàm trong lớp hàm phân thức hữu tỷ 53 Kết luận 58 Tài liệu tham khảo 59 Mở đầu Phân thức hữu tỷ là một trong những khái niệm cơ bản của chương trình Toán ở bậc học phổ thông. Đặc biệt, ở các trường THPT chuyên và các lớp chuyên toán có rất nhiều dạng toán liên quan đến hàm phân thức. Hơn nữa phân thức hữu tỷ còn xuất hiện ở cả bậc Đại học trong Đại Số, Giải Tích, Hình Học, Tổ Hợp. Để phục vụ cho việc dạy học sau này cũng như làm tiền đề để nghiên cứu sâu về phân thức hữu tỷ. Tôi đã chọn nghiên cứu đề tài: “ Vành phân thức hữu tỷ và ứng dụng”. Luận văn được chia ra làm ba chương. Chương 1: Là kiến thức chuẩn bị về vành đa thức bao gồm cách xây dựng vành đa thức K[X], hàm đa thức, số học trong vành K[X], không điểm của đa thức và đa thức với hệ số phức và thực, đặc biệt chương này giới thiệu một cách chứng minh của Định lý cơ bản Đại số (Định lý d’Alambert); giới thiệu thuật toán chia theo lũy thừa tăng. Chương 2: Trình bày về phân thức hữu tỷ. Cách xây dựng trường các phân thức hữu tỷ, cách phân tích thành các phân thức đơn giản cũng như cách thực hành phép phân tích đơn giản, Định lý Lagrange và ứng dụng trong phân tích phân thức hữu tỷ Chương 3: Chương này bao gồm các bài toán trên phân thức hữu tỷ và một số phương trinh và phương trình hàm trên hàm phân thức hữu tỷ. Để hoàn thành luân văn này, trước nhất em xin chân thành cảm ơn tới T.S Trần Nguyên An đã dành thời gian hướng dẫn chỉ bảo tận tình giúp đỡ trong suốt quá trình làm luận văn này. Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô đã đọc, kiểm tra, đánh giá và cho những ý kiến quý báu để luận văn được đầy đủ và phong phú hơn. Thái Nguyên, tháng 04 năm 2014 Lê Hải Hà Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong toàn bộ luận văn ta giả sử là một trường. 1.1. Xây dựng vành đa thức 1.1.1. Định nghĩa. (i). Với mọi dãy thuộc , ta gọi tập hợp các n thuộc sao cho là giá của . (ii). Đa thức (một ẩn và lấy hệ tử trong ) là dãy bất kỳ thuộc có giá hữu hạn. (iii). Tập hợp các đa thức một ẩn và lấy hệ tử trong kí hiệu là . Như thế, và với mọi dãy thuộc : Các phần tử của cũng được gọi là đa thức hình thức. Ta kí hiệu 0 là dãy hằng không thuộc (xác định bởi: ), được gọi là đa thức không. Đa thức hằng là các đa thức thuộc sao cho: Đơn thức là đa thức thuộc bất kỳ sao cho tồn tại thỏa mãn: Nhận xét: (i). Theo 1.1.1, hai đa thức , bằng nhau khi và chỉ khi: (ii). vì dãy hằng (1) (xác định bởi: ) thuộc , không thuộc . Định nghĩa. Cho (i). Nếu , số tự nhiên n lớn nhất sao cho gọi là bậc của P, và kí hiệu là . Phần tử được gọi là hệ tử của hạng tử có bậc cao nhất (hoặc hệ tử cao nhất) của P. Ta nói rằng P là chuẩn tắc khi và chỉ khi và =1. Ta kí hiệu (ii). Nếu , định giá của P, kí hiệu là , là số tự nhiên n bé nhất sao cho . Ta quy ước Nhận xét: Định nghĩa. Cho (i). Ta nói rằng là chẵn khi và chỉ khi: (ii). Ta nói rằng là lẻ khi và chỉ khi: 1.1.2. Mệnh đề (Phép cộng). (i). Cho , Khi đó xác định phép cộng trên K[X]. (ii). Ta có, với P, Q bất kì thuộc : (iii). (,+) là một nhóm Abel. 1.1.3. Mệnh đề (Phép nhân). (i). Cho , Kí hiệu là dãy xác định bởi: Khi đó , xác định phép nhân trên K[X]. (ii). Ta có: Ta quy ước ở đây rằng: (iii). (,+,) là một miền nguyên. (iv). Các phần tử nghịch đảo của vành là các dãy với 1.1.4. Mệnh đề (Luật ngoài). (i). Cho Ta kí hiệu , và ta có: (ii). Ta có: (iii). , được trang bị các luật +, (ngoài), (trong) là một - đại số kết hợp, giao hoán, có đơn vị. (iv). Ánh xạ là đơn cấu các - đại số. Mệnh đề trên cho phép “đồng nhất” một phần tử thuộc K với một đa thức thuộc , tức là “nhúng” vào . Ta kí hiệu là ẩn. Ta sẽ kí hiệu , và với , . Đặc biệt: . Một phép quy nạp đơn giản chứng tỏ răng: trong đó 1 ở vị trí thứ n (số 0 đầu tiên ở vị trí thứ 0). Cho sao cho , ta có: Bây giờ ta bỏ kí hiệu đối với một đa thức, và thay vào đó là kí hiệu (trong đó ), hoặc , hoặc (để tránh chỉ rõ bậc của đa thức). Đối với và , phần tử của K được gọi là hệ tử của trong P, và đơn thức là hạng tử bậc n của P. (v). Họ vô hạn , tức là là một cơ sở - kgv , gọi là cơ sở chính tắc của . Với cố định, tập hợp rõ ràng là một - không gian vector con của , thường được kí hiệu . Họ hữu hạn là một cơ sở của , gọi cơ sở chính tắc của . Vậy ta có: . (vi). Cho là một bộ phận của , là một học những đa thức thuộc \{0} sao cho: Thế thì độc lập trong - kgv . 1.1.5. Định nghĩa (Phép hợp đa thức). Cho và . Ta định nghĩa đa thức hợp (hoặc ) là: ==. Như vậy, ta được bằng cách thế vào chỗ trong . 1.1.6. Định nghĩa (Phép đạo hàm). Với mọi , đa thức đạo hàm của , và kí hiệu là , là đa thức được định nghĩa bởi: Ta kí hiệu , và với bất kỳ thuộc , . Với những kí hiệu trên, nếu thì . 1.2. Hàm đa thức 1.2.1. Định nghĩa. Với mọi . Ta kí hiệu hàm này gọi là hàm đa thức liên kết với . 1.2.2. Mệnh đề. Với mọi và : . . 1.2.3. Mệnh đề. Ánh xạ là đơn ánh khi và chỉ khi vô hạn. Nhận xét: Vậy khi là vô hạn, ta có thể đồng nhất với , tức là kí hiệu thay . 1.2.4. Định lí (Định lí Taylor đối với đa thức). Cho thỏa mãn . Ta có: 1.3. Số học trong 1.3.1. Định nghĩa (Tính chia hết). Cho . Ta nói rằng chia hết (trong ) và kí hiệu , nếu tồn tại sao cho . Thay cho chia hết , ta cũng nói: là một ước của , hoặc là một bội của . Nhận xét: Nếu kí hiệu , với mọi thì ta có với mọi , 1.3.2. Mệnh đề. 1.3.3. Định lý - Định nghĩa (Phép chia Euclide). Cho . Tồn tại một cặp duy nhất sao cho: Đa thức (tương ứng: ) gọi là thương (tương ứng: dư) của phép chia Euclide cho . 1.3.4. Mệnh đề. 1.3.5. Mệnh đề - Định nghĩa (Phép chia theo lũy thừa tăng). Cho sao cho (tức là ). Tồn tại một cặp duy nhất (Q, R) thuộc sao cho và . Đa thức Q (tương ứng R) gọi là thương (tương ứng dư) của phép chia A cho B tho lũy thừa tăng đến cấp n Chứng minh (i). Sự tồn tại. Quy nạp theo n Trường hợp n = 0 Ta kí hiệu là các hạng tử hằng tương ứng của A, B (tức là ), . Hạng tử hằng của A – BQ là không, vậy tồn tại sao cho A – BQ = XR.Vậy và . Giả sử và giả sử tồn tại sao cho và . Theo sự khảo sát trường hợp n = 0, áp dụng cho R thay vì A, tồn tại sao cho và . Đặt ta suy ra (ii). Tính duy nhất Giả sử thích hợp. Suy ra , do đó bằng cách chuyển sang các định giá . Nếu , thì , mâu thuẫn. Vậy nên . Ví dụ Thực hiện phép chia cho (trong ) theo lũy thừa tăng đến cấp 2. Suy ra thương và dư 1.3.5. Định nghĩa (UCLN, BCNN). Cho Tập hợp tất cả các bậc của đa thức thuộc sao cho: là một bộ phận khác rỗng của (vì: ), bị chặn trên bởi . Vậy tồn tại duy nhất một đa thức chuẩn tắc , khác không, là ước chung của , và có bậc cao nhất trong các ước chung của . Tương tự tồn tại duy nhất một đa thức chuẩn tắc , khác không, là bội chung của và có bậc thấp nhất trong các bội chung của . 1.3.6. Định lý (UCLN, BCNN). Ký hiệu: Với , ta kí hiệu: 1.3.7. Định lý Bezout. Cho , . Để nguyên tố cùng nhau trong toàn thể, điều kiện cần và đủ là tồn tại sao cho 1.3.8. Định lý Gauss. 1.4. Không điểm của đa thức 1.4.1. Định nghĩa. Cho . Ta nói rằng là một không điểm (hoặc một nghiệm ) của khi và chỉ khi . 1.4.2. Mệnh đề. Cho từng đôi khác nhau. Nếu là các không điểm của thì . 1.4.3. Hệ quả. (i). Cho . Nếu và nếu có ít nhất không điểm từng đôi khác nhau, thì . (ii). Nếu một đa thức thuộc triệt tiêu tại một số vô hạn các phần tử thuộc , thì . 1.4.4. Định nghĩa. Cho ,.Ta nói rằng là một không điểm cấp bội không thấp hơn của khi và chỉ khi: . Ta nói rằng là một không điểm cấp bội đúng bằng của khi và chỉ khi: và . Nếu (tương ứng: 2, tương ứng: 3), ta nói là không điểm đơn (tương ứng: kép, tương ứng: bội ba). 1.4.5. Mệnh đề - Định nghĩa. Cho , . Nếu là không điểm của , thì tồn tại duy nhất sao cho là không điểm cấp bội đúng bằng của , và ta nói rằng là cấp bội của không điểm trong (hoặc của) . 1.4.6. Mệnh đề. Cho từng đôi khác nhau. Thế thì ta có: 1.4.7. Định nghĩa (Đa thức tách). Một đa thức của được gọi là đa thức tách (hay: tách được) trên khi và chỉ khi tồn tại sao cho: . Ở đây không nhất thiết khác nhau từng đôi. 1.4.8. Định nghĩa (Hàm đối xứng cơ bản). Cho . Các biểu thức sau: gọi là các hàm cơ bản của . 1.4.9. Mệnh đề (Hệ thức giữa hệ tử và không điểm). Cho sao cho và . Giả thiết tách được trên và ký hiệu là các không điểm của (không nhất thiết từng đôi khác nhau), sao cho: . Thế thì ta có: . trong đó chỉ các hàm đối xứng cơ bản của . 1.5. Đa thức với hệ số phức và thực Do trường là vô hạn, nên ta đồng nhất đa thức thuộc và hàm đa thức . Tương tự do trường vô hạn nên ta cũng đồng nhất và hàm đa thức . 1.5.1. Định lí (Định lí d’Alembert). Mọi đa thức khác hằng thuộc có ít nhất một không điểm trong . Ta nói rằng trường là đóng đại số. Chứng minh: Ta chứng minh bằng phản chứng: Giả sử tồn tại , khác hằng và không có một không điểm nào trong . Ta ký hiệu , , và (i). Vì , ta có: . Đặc biệt tồn tại , sao cho: . Mặt khác, liên tục trên tập compact , nên bị chặn và đạt các biên trên tập compact này, vậy tồn tại sao cho: . Vì hơn nữa: . nên ta kết luận: . (ii). Theo công thức Taylor đối với đa thức ta có: . Ta sẽ chứng minh rằng có thể chọn sao cho . Tức là , điều này sẽ cho ta một mâu thuẫn. Vì , nên tồn tại sao cho: . Nói khác đi, là số nguyên bé nhất 1 sao cho . Vậy ta có: . Theo sự khảo sát của các căn bậc trong , tồn tại sao cho: . Vậy ta có (với ): . Vậy tồn tại >0 sao cho: . điều này mâu thuẫn với định nghĩa . 1.5.2. Hệ quả. (i). Mọi đa thức khác hằng trong đều tách được trên . (ii). Các đa thức bất khả quy thuộc là các đa thức bậc 1. 1.5.3. Mệnh đề (Đa thức với hệ số thực). (i). Cho . Ta có: . (ii). Cho ,,. Để cho là không điểm cấp bội không thấp hơn (tương ứng: đúng bằng ) của , cần và đủ là là không điểm cấp bội không thấp hơn (tướng ứng: đúng bằng ) của . (iii). Các đa thức bất khả quy của là: Các đa thức bậc nhất hoặc các đa thức bội hai biệt thức <0. Chương 2 Phân thức hữu tỷ 2.1. Xây dựng trường các phân thức hữu tỷ Ta ký hiệu = x (\{0}) và xét quan hệ xác định trong bởi . Quan hệ là một quan hệ tượng đương trong . Thật vậy , tính phản xạ và tương đối xứng là hiển nhiên , còn về tính bắc cầu thì với mọi thuộc ,vì và là vành nguyên. Tập thương được ký hiệu là và các phần tử của nó được gọi là các phân thức hữu tỷ một ẩn và lấy hệ tử trong . Với , ta ký hiệu là lớp modun của . Như thế với mọi thuộc ta có 2.1.1. Phép cộng trọng K(X). Ta định nghĩa một luật trong , ký hiệu + , trong bởi (ta có , vì và ). Luật + này tương thích với (C.1.1) tức là: Thật vậy nếu thì từ đây . Vậy Tức là Vậy ta có thể định nghĩa một luật cộng , vẫn ký hiệu là + , trong bởi . 2.1.2. Phép nhân trong K(X). Tương tự như ở 2.1.1 ta chứng minh rằng ta có thể định nghĩa một luật nhân trong K(X) , ký hiệu (hoặc bằng cách không viết dấu nào cả ) như sau . 2.1.2.1. Định lý – Định nghĩa. là một, gọi là trường các phân thức hữu tỷ một ẩn và lấy hệ tử trong . Chứng minh: Ta có thể chứng minh dễ dàng các tính chất sau : (i). Kết hợp , giao hoán có (ký hiệu 0) là phẩn tử trung hòa , và mọi phẩn tử thuộc đều có một phần tử đối là , ký hiệu là - . (ii). Kết hơp, giao hoán , phân phối đối với +, có (ký hiệu 1 ) là phần tử trung hòa , và với mọi phần tử thuộc –{0} , ta có A 0 và có một phần tử nghịch đảo , đó là . 2.1.3. Luật ngoài trong K(X). Tương tự như ở 2.1.1 ta chứng minh rằng ta có thể định nghĩa một luật ngoài trong (lấy hệ tử trong ), được ký hiểu bằng cách không viết dấu nào cả 2.1.3.1. Mệnh đề. là một đại số kết hợp , giáo hoán , có đơn vị. Chứng minh: Ta có thể chứng minh dễ dàng các tính chất sau ( trong đó một số đã thu được ở 2.1.2): (i). là một nhóm Abel. (ii). là một K – không gian vector. (iii). (iv). K[X] có tính kết hợp, giao hoán, có phần tử đơn vị 1. 2.1.4. Nhúng K[X] vào K(X). Ánh xạ là một đồng cấu đơn cấu đại số , tức là : Vậy ta có thể đồng nhất một đa thức với phân thức hữu tỷ . Như thế được xem như là một đại số con có đơn vị của , đặc biệt là một vành con của , và là một không gian vector con của – không gian vector K(X) 2.1.5. Bậc của một phân thức hữu tỷ. Với mọi thuộc sao cho ta có : Điều này cho phép ta định nghĩa bậc của một phân thức hữu tỷ bởi: . Ta chú ý rằng ánh xạ deg: {} thác triển ánh xạ: deg: vì : . Ta có thể chứng minh các công thức sau , với và (i). (ii). (iii). 2.1.6. Dạng bất khả quy của một phân thức hữu tỷ khác không. Đại diện bất khả quy của một phân thức hữu tỷ khác không thuộc là cặp bất kỳ thuộc sao cho: và . Ta chứng minh được : (i). Mọi phân thức hữu tỷ khác không có ít nhất một đại diện bất khả quy (ii). Cho và là một đại diện bất khả quy của ; mọi đại diện của đều có dạng . (iii). Cho và là một đại diện bất khả quy của ; các đại diện bất khả quy của là . 2.1.7. Định nghĩa (Không điểm và cực điểm của phân thức hữu tỷ). Cho, là một đại diện bất khả quy của . Các không điểm của được gọi là không điểm của Nếu là một không điểm của F, cấp bội của như là không điểm của gọi là cấp bội của không điểm của . Các không điểm của được gọi là cực điểm của . Nếu là một cực điểm của cấp bội của như là không điểm của gọi là cấp bội của không điểm của . Ví dụ: Với , dạng bất khả quy của F là , các không điểm của là -1( đơn) , 0 (kép) , và chỉ có một cực điểm : 2(đơn). 2.1.8. Định nghĩa (Đạo hàm một phân thức hữu tỷ). Cho sao cho . Ta định nghĩa phân thức hữu tỷ đạo hàm của , ký hiệu bởi . Định nghĩa này hợp lệ vì nếu là hai phần tử của sao cho . Thì do đó . Vậy : Ánh xạ thác triển ánh xạ vì: . Ta có thể chứng minh dễ dàng các công thức sau , với mọi thuộc và mọi thuộc Có thể xảy ra là như trong các ví dụ sau: Tuy nhiên ta có thể chú ý rằng: . Ta định nghĩa bằng quy nạp các đạo hàm kế tiếp của một phân thức hữu tỷ : Ta có thể chứng minh các công thức sau: (i). (ii). (công thức Leibniz) 2.1.8.1. Mệnh đề. Cho tách được, với Ta có . Chứng minh: Suy ra từ bằng cách chia cho P. 2.1.9. Định nghĩa (Hàm hữu tỷ). Cho , là một đại diện bất khả quy của F Hàm từ vào , ký hiệu , được xác định bởi với mọi thuộc sao cho 0, được gọi là hàm hữu tỷ liên kết với . Định nghĩa này hợp lệ, vì các đại diện bất khả quy của F là (xem 2.1.6). Với các ký hiệu trên , tập xác định của là bớt đi các cực điểm của . Ví dụ: Xét Biểu diễn F dưới dạng bất khả quy , vậy Mọi hàm từ vào sao cho tồn tại một phân thức hữu tỷ của mà được gọi là hàm hữu tỷ (trong ) Ví dụ: là một hàm hữu tỷ , đó là hàm hữu tỷ liên kết với phân thức hữu tỷ . 2.2. Phân tích thành phân thức đơn giản Muc này phân tích một phân thức hữu tỷ thành phân thức đơn giản. Từ đó ta có thể tính các nguyên hàm của phân thức hữu tỷ hay phân tích thành chuỗi nguyên của phân thức hữu tỷ. 2.2.1. Bổ đề. Chosao cho . Tồn tại một cặp duy nhất thuộc sao cho: và . Hơn nữa nếu thì . Đa thức được gọi là phần nguyên của , phân thức hữu tỳ đôi khi được gọi là phần phân thức của . Chứng minh: (i). Sự tồn tại. Theo phép chia Euclide cho , tồn tại sao cho: và từ đó thu được kết quả cần chứng minh. Hơn nữa, theo thuật toán Euclide nếu thì . (ii). Tính duy nhất Giả sử có thỏa mãn .Thế thì vậy: . Do đó và . Ví dụ: Với ,, nhờ phép chia Euclide cho ta được . 2.2.2. Bổ đề. Cho sao cho nguyên tố cùng nhau từng đôi. Khi đó tồn tại sao cho . Chứng minh : Quy nạp theo n Tính chất là tầm thường với . Trường hợp Theo định lý Bezout ,vì =1 nên tồn tại sao cho Vậy ta có: . Giả sử tính chất đúng với một n thuộc và giả sử nguyên tố cùng nhau từng đôi. Lúc đó ta có: . Theo khảo sát trường hợp tồn tại sao cho: . Theo giả thiết quy nạp, tồn tại sao cho: . Cuối cùng ta được: . Bây giờ ta sẽ kết hợp các Bổ đề 2.2.1 và Bổ đề 2.2.2 để thu được kết quả sau đây 2.2.3. Bổ đề. Cho sao cho nguyên tố cùng nhau từng đôi. Tồn tại duy nhất sao cho: Chứng minh (i). Sự tồn tại. Theo Bổ đề 2.2.2 tồn tại sao cho: Rồi theo Bổ đề 2.2.1 , tồn tại sao cho: Ký hiệu , ta được kết quả mong muốn. (ii). Tính duy nhất. Quy nạp theo n Trường hợp đã được chứng minh trong Bổ đề 2.2.1. Trường hợp . Giả sử thỏa mãn Vậy ta có nên . Vì , định lý Gauss chứng tỏ rằng . Nhưng mặt khác . Ta suy ra tức là . Tương tự ta có và cuối cùng . Giả thiết tính chất đúng với . Giả sử thỏa mãn: Ký hiệu Ta có Từ sự khảo sát trường hợp ta suy ra: . Như vậy : Do đó theo giả thiết quy nạp . (iii). Với các ký hiệu của bổ đề Nên theo bổ đề 2.2.1, là phần nguyên của . 2.2.4. Bổ đề. Cho sao cho . Tồn tại duy nhất sao cho: Hơn nữa, là phần nguyên của . Chứng minh: (i). Sự tồn tại. Quy nạp theo n Trường hợp đã được chứng minh trong Bổ đề 2.2.1. Giả sử tính chất đúng với một , vậy tồn tại , sao cho: Theo Bổ đề 2.2.1 , tồn tại sao cho: và . Vậy ta có: (ii). Tính duy nhất. Quy nạp theo n Trường hợp đã được chứng minh trong Bổ đề 2.2.1. Giả thiết sao cho : Nhân với ta được: Theo Bổ đề 2.2.1 , ta suy ra rồi áp dụng giả thiết quy nạp : . (iii). Với các ký hiệu của Bổ đề nên theo Bổ đề 2.1.1, là phần nguyên của 2.2.5. Định nghĩa. Các phân thức đơn giản của là: Các đơn thức của . Các phần tử của có dạng trong đó : , là bất khả quy. Các phần tử đơn giản có dạng trong đó được gọi là phân thức đơn giản Loại 1. Từ các bổ đề trên , ta suy ra định lý sau: 2.2.6. Định lý (Sự tồn tại và tính duy nhất của phép phân tích một phân thức hữu tỷ thành phân thức đơn giản). Cho trong đó , K[X]\{0} bất khả quy và nguyên tố cùng nhau từng đôi một, , . Khi đó tồn tại một họ duy nhất các đa thức K[X] . sao cho Công thức trên được gọi là phân tích thành phân thức đơn giản ( Viết tắt PTĐG) của phân thức hữu tỷ . 2.3. Thực hành phép phân tích thành phân thức đơn giản (PTĐG) 2.3.1. Trường hợp cực điểm đơn. Cho là một không điểm của S. Giả sử rằng a là một không điểm đơn của S. Thế thì tồn tại sao cho và PTĐG của chứa hạng tử , trong đó ta tìm cách tính . Theo Bổ đề 2.2.2, tồn tại sao cho . Vậy ta có từ đây, thay X bởi :. Vậy 2.3.1.1. Mệnh đề. Cho (A,S), a là một không điểm đơn của S. Hệ tử của hạng tử trong PTĐG của F là . Nói khác đi , ta được bằng cách nhân hai vế của đẳng thức với , rồi thay bởi . Ví dụ: PTĐG của trong . Phần nguyên bằng 0 , vậy PTĐG có dạng . Theo Mệnh đề 2.3.1.1 Vậy , mà ta có thể kiểm tra lại dễ dàng bằng cách quy đồng về mẫu số chung. Trong một số trường hợp, với các ký hiệu của Mệnh đề 2.1.1 việc tính có thể cho những kết quả xem ra phức tạp hoặc không thể sử dụng được . Nhận xét, vì nên khi đạo hàm hai vế ta được: từ đây . Vậy ta đã chứng minh Mệnh đề sau : 2.3.1.2. Mệnh đề. Cho , là một không điểm đơn của . Hệ tử của hạng tử trong PTĐG của là . Ví dụ: Với tìm PTĐG của trong . Ta có phân tích nguyên tố của (trong ) là : trong đó: . Các không điểm của đều toàn đơn . vậy PTĐG của có dạng: trong đó , . Theo mệnh đề 2.3.1.2 với mọi k thuộc . . Do đó PTĐG: . Ở đây nếu áp dụng mệnh đề 2.2.1 sẽ được . Kết quả này đúng , nhưng thoáng nhìn thì thấy là không sử dụng được. 2.3.2. Trường hợp cực điểm bội 2.3.2.1. Trường hợp cực điểm 0 Ta hãy quan tâm đến một phân thức hữu tỷ trong đó , . Theo định lý về phép phân tích thành phân thức đơn giản, tồn tại , sao cho: Vậy ta có Theo định lý về phép chia theo lũy thừa tăng, là thương của phép chia cho theo lũy thừa tăng đến cấp (và là dư của phép chia ) Ví dụ: Lập PTĐG của trong . PTĐG của có dạng , trong đó là phần nguyên của F và . Ta tính xem như thương cùa phép chia Euclide cho ta được . Ta tính bằng cách nhân và thay thế : Ta tính bằng phép chia 1+cho theo lũy thừa tăng đến cấp 2: Ta được =,. Ta có thể chú y rằng trong phép chia này, không có các hạng tử có bậc tham gia vào . Vậy trong thực hành ta có thể sử dụng một phép chia “chặt cụt”. Cuối cùng: 2.3.2.2. Trường hợp cực điểm khác 0 Nếu là một không điểm bội của , để được các hệ tử tương ứng với cực điểm trong PTĐG của , ta sẽ được thực hiện một “phép đổi ẩn” và ta sẽ quy về trường hợp trên (đối với ẩn ). Ví dụ: PTĐG của trong . Rõ ràng rằng phần nguyên bằng không . PTĐG của có dạng: Trong đó đều là những số thực phải tính. Tính Đổi ẩn ( vậy) , rồi chia theo lũy thừa tăng đều đến cấp cho . Ta được Tính Đổi ẩn (vậy). rồi chia theo lũy thừa tăng đến cấp cho . Ta được . Cuối cùng 2.3.2.3. Nhận xét về tính chẵn lẻ Khi sử dụng tính duy nhất của PTĐG của một phân thức hữu tỷ , ta thấy rằng nếu phân thức hữu tỷ chẵn (tương ứng: lẻ) và nếu phân thức đơn giản có mặt trong PTĐG của thì phân thức đơn giản (tương ứng ) cũng có mặt trong PTĐG của . Ví dụ: PTĐG của trong . Dạng của PTĐG của là: Trong đó đều là các số thực phải tìm Thay bởi : Vì chẵn, tính duy nhất của PTĐG của chứng tỏ rằng . Tính : Đổi ẩn (vậy). rồi chia cho theo lũy thừa tăng đến cấp 2. Ta được . Cuối cùng : . Chú ý: Ngoài các cách tính trên, ta có thể quy theo mẫu số rồi giải hệ phương trình để tìm các , . 2.3.2.4. Trường hợp Cho chuẩn tắc sao cho . Theo định lý d’Alambert tách được trên , vậy tồn tại , từng đôi khác nhau, sao cho: . PTĐG cùa có dạng: . Trong đó là phần nguyên của và các là những số phức. Trong thực hành để tính các ta sẽ sử dụng: Phương pháp nhân và thay thế, hoặc công thức sử dụng đạo hàm khi Một phép đổi ẩn tiếp theo là một phép chia theo lũy thừa tăng khi . 2.3.2.5. Trường hợp R(X). Giả sử chuẩn tắc sao deg(S). Phân tích nguyên tố của có dạng: , trong đó : , , từng đôi khác nhau, từng cặp khác nhau, , . Vậy PTĐG của có dạng: , trong đó E là phần nguyên của F, và các là những số thực. Các phần tử đơn giản được gọi là các phân thức đơn giản loại 1. Các phần tử đơn giản được gọi là các phân thức đơn giản Loại 2 Một trường hợp riêng Giả sử có dạng = trong đo , T là một tam thức bất khả quy, . PTĐG của có dạng: . Trong đó là phần nguyên của và là những đa thức thuộc đều có bậc ≤ 1. Ta có thể tính bằng những phép chia Euclide liên tiếp . Thật vậy tồn tại các đa thứ thuộc sao cho: Và khi đó ta có từ đó do tính duy nhất của PTĐG của : . Ví dụ: PTĐG của trong . Ta kết luận : Trong trường hợp tổng quát, ta sẽ kết hợp các phương pháp đã nói trên đây. Nhưng viêc tính một PTĐG trong có thể dài ,khi mẫu chứa nhiêu tam thức bất khả quy có lũy thừa cao. Việc chuyển qua số phức thường dẫn đến những phép tính phức tạp 2.4. Công thức nội suy Lagrange. 2.4.1. Định nghĩa Cho và số thực cho trước thì được xác định như sau: Hay: . Chứng minh: Xét = thì và có nghiệm. Ta có = nên . Do đó ta có công thức Lagrange. 2.4.2. Kết quả. Một đa thức bậc hoàn toàn xác định khi biết giá trị với . 2.4.3. Định lí. Cho . Với số thực phân biệt bất kì. Đặt: . Thì: . Kết quả: . Trong đó và . Đây là công thức phân tích thành phân tử đơn của các phân thức bậc thực sự (bậc của tử bé hơn bậc của mẫu). 2.4.4. Một số ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Phân tích thành phân tử đơn giản bằng công thức Lagrange. Giải: Ta đã biết công thức Lagrange: . Nếu đặt: thì , do đó . Đó là công thức xác định đa thức và có giá trị là tại giá trị của đối số . Áp dụng kết quả trên: Ví dụ 2: Chứng minh rằng Giải . Ta cần chứng minh Ap dụng công thức nội suy Lagrange . ta thu được điều phải chứng minh. Ví dụ 3: Với số nguyên dương n và số thực , ta luôn có: (i) (ii) Giải : Từ việc tách các phân thức ( theo công thức nội suy Lagrange): Và Ta suy ra kết quả cần chứng minh. Chương 3 Một số bài toán liên quan 3.1. Chứng minh đẳng thức với vành phân thức hữu tỷ. Trong mục này, ta đồng nhất đa thức với hàm đa thức; phân thức với hàm phân thức và dung chung các kí hiệu f(x), g(x),… để chỉ đa thức; , … để chỉ các phân thức. 3.1.1. Ví dụ. Chứng minh rằng: Giải. Với phân thức ta có: . Lặp lại sau n lần ta thu được: 3.1.2. Ví dụ. Giả sử cho bộ số dương . Khi đó (i). (ii). Với hàm phân thức và coi ta luôn có đồng nhất thức: Giải: (i). Dễ dàng kiểm tra đồng nhất thức Như vậy ta luôn có các hệ thức dưới đây: Cộng các vế theo cột dọc ,ta thu được đồng nhất thức cần chứng minh. (ii). Tương tự, nhân các vế theo cột dọc, ta được điều phải chứng minh. 3.1.3. Ví dụ. Với mọi đa thức có , ta luôn có: Trong đó Từ đó suy ra các đẳng thức Và Giải. Ta có Cho , ta có Khi đó ta có Do đó Khi chọn và , ta có Dễ dàng biến đổi được Vậy nên Và 3.1.4. Ví dụ. Với mọi đa thức có , ta luôn có Trong đó Từ đây suy ra Giải .Ta có Cho , ta nhận được Khi đó Do vậy Chọn ta thu được Cho , ta nhận được Từ đây suy ra 3.2. Một số lớp phương trình, hệ phương trình với hàm phân thức hữu tỷ 3.2.1. Ví dụ. Giả sử các số đôi một khác nhau và với mọi . Hãy giải hệ phương trình sau: Giải. Giả sử là nghiệm của hệ phương trình đã cho xét hàm số=với đa thức p(x) bậc n Vì nên Do đó Từ hệ thức Ta suy ra Ta nhận được các nghiệm ứng với ứng với ứng với … ứng với . Và hệ đã được giải xong . 3.2.2. Ví dụ. Giả sử khi đó (i). (ii). (iii). Giải. (i). Từ các giải ở trên ta suy ra đồng nhất thức sau đây Với , ta có . Hay ta nhận được công thức . (Chú ý rằng công thức này cũng đúng cho cả trường hợp các có thể bằng nhau) (ii). Công thức đúng cho mọi nên khi lấy, ta thu được (iii). Khi lấy ứng với mọi i , ta có 3.2.3. Ví dụ. Giả sử , khi đó (i). . (ii). Giải. Xuất phát từ đẳng thức Ta suy ra (i) khi thay và x bởi , còn (ii) được suy ra từ (i) 3.2.4. Ví dụ. Giả sử các số thực thỏa mãn hệ phương trình sau Chứng minh rằng Giải. Xét Là đa thức bậc n của x bởi vìvới r = 1, 2, …, n nên Cho , ta được Như vậy Từ đây suy ra Với , ta thu được Do vậy 3.2.5. Ví dụ. Với ba số a, b, c phân biệt và giả sử các số x ,y ,z thỏa mãn hệ phương trình Chứng minh rằng Giải. Xét với đa thức với bậc 3. Vì nên và như vậy Với ta được 3.2.6. Ví dụ. Giả sử là nghiệm của phương trình với . Hãy tính các giá trị và Giải. Vì nên Từ đây ta suy ra Ta lại có Vậy nên Với có 3.2.7. Ví dụ. Giả sử là nghiệm của phương trình với Tính T = Giải. Vì nên và Suy ra 3.2.8. Ví dụ. Chứng minh rằng phương trình Có ba nghiệm thực phân biệt Giải. Xét tổng các phân thức Đặt Vì và nên có ba nghiệm thực phân biệt. Do vậy f(x) = 0 có ba nghiệm thực phân biệt. 3.2.9. Ví dụ. Giả sử là đa thức bậc có n nghiệm thực phân biệt . Khi đó đa thức g(x) bậc , ta luôn có (i). với mọi , k=1,2,….n Từ đó hãy tính tổng và tổng (ii). Tính tổng S= với . Giải. (i). Theo định lý Lagrange , ta có Với mọi và đa thức có bậc Chọn =, từ , suy ra Với , có tổng (ii). Từ , suy ra Do đó 3.2.10. Ví dụ. Phân tích (trên ) thành tổng các phân thức đơn giản . Từ đó hãy tính tổng dưới đây Giải. Ta có Từ đây suy ra Cho , ta nhận được 3.2.11. Ví dụ. Cho ba số thực phân biêt Khi đó có , với Giải. Nếu định thức thì các dòng của ma trận là phụ thuộc tuyến tính . Khi đó có không đồng thời bằng 0 sao cho Xét hàm với đa thức có bậc 2. Vì nên với i =1, 2, 3. Vậy hay khi . Nếu tồn tại thì khi ta có . Khi đó . Do đó , khi x đủ gần có quá lớn , mẫu thuẫn với . Điều này chỉ xảy ra , hay điều giả sử là sai. Vậy 3.3. Phương trình hàm trong lớp hàm phân thức hữu tỷ. Trong mục này ta xét một số bài toán về phương trình hàm liên quan đến hàm phân thức hữu tỷ 3.3.1. Bài toán. Chứng minh rằng không tồn tại hai đa thức thực thỏa mãn điều kiện Giải. Giả sử tồn tại sao cho . Ta có thể coi Khi đó .Vì là bất khả quy nên hay . Vậy và như thế mẫu thuẫn với việc chọn 3.3.2. Bài toán. Tìm các hàm số thỏa mãn điều kiện (1.2) Giải. Đặt , thì Đặt = t, Khi đó (1.2) trở thành (1.3) Đặt thì . Khi đó (1.4) Công vế với vế của (1.3) và (1.4) , ta thu được Suy ra , hay . Thử lại , ta thấy hàm số thỏa mãn điều kiện bài ra . 3.3.3. Bài toán. Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn các điều kiện . (1.5) , (1.6) Trong đó lần , hãy tính . Giải. Đặt . Khi đó , ta có ,. Từ (1.5) cho ta . Trong (1.6) thế thì (2010) = hay . Mặt khác, f liên tục trên nên =. Do đó . Suy ra là đơn ánh trên Hơn nữa , liên tục trên nên f đơn điệu giảm trên . Giả sử sao cho . Sử dụng tính đơn điệu giảm của ta có hay (1.7) Suy ra . Do đó (1.8) Từ (1.7) và (1.8) ta thu được , hay .Điều này mẫu thuẫn với giả thiết Vậy Hiển nhiên ,2008 D nên = 3.3.4. Bài toán. Đặt , tìm tất cả các hàm só thỏa mãn các điều kiện (1.9) tăng trên (-1;0) và (0, ) (1.10) Giải. Nếu tồn tại sao cho thì ta có Thật vậy , trong điều kiện (1.9) cho , ta được . Suy ra vì . Đặt suy ra . Ta xét ba trường hợp - Nếu thì - Nếu thì Vì thì , (vì tăng trên . Suy ra 1>1 ( Điều nay vô lý ) - Nếu thì , hay suy ra ( vì tăng trên . Do vậy ( vô lý )) Vậy nếu thì . Trong (1.9) cho , ta được Suy ra , hay Thử lại ta thầy thỏa mãn các điều kiện bài ra. 3.3.5. Bài toán. Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn điều kiện (1.11) Giải. Đặt , thay bởi ta có hay Thay bởi ta được , suy ra (1.12) Viết lại điều kiện bài ra dưới dạng Theo công thức (1.12) ta được Dễ dàng kiểm tra hàm số này thỏa mã các điều kiện bài ra. Vậy hàm số cần tìm là với a là hằng số dương Kết luận Luận văn đã đạt một số kết quả sau: Xây dựng vành đa thức K[X] Xây dựng trường các phân thức hữu tỷ và hệ thống hóa một số kiến thức cơ bản về phân thức hữu tỷ. Phân tích phân thức hữu tỷ thánh phân thức đơn giản và thực hành phân tích phân thức hữu tỷ trong đó có phương pháp đặc biệt sử dụng công thức nội suy Lagrange để phân tích phân thức hữu tỷ. Đưa ra một lớp các bài toán liên quan đến phân thức hữu tỷ, chứng minh đẳng thức, phương trình, hệ phương trình, phương trình hàm. Tài liệu tham khảo [1] Jean – Marie Monier, Đại Số 1 – Giáo trình và 600 bài tập có lời giải, NXB Giáo Dục, 1999. [2] Nguyễn Văn Mậu, Đa thức đại số và phân thức hữu tỷ, NXB Giáo Dục, 2004. [3] Nguyễn Văn Mậu, Các bài toán nội suy và áp dụng, NXB Giáo Dục, 2008. [4] Tạp chí toán học và tuổi trẻ, Tuyển tập 5 năm, NXB Giáo Dục, 2003. [5] Tài liệu từ Internet.