Kiểm định giả thuyết thống kê và ứng dụng vào kiểm tra hàng hóa

Kieåm ñònh giaû thuyeát thoáng keâ theo phöông phaùp Bayes Trang 24 CHÖÔNG II KIEÅM ÑÒNH GIAÛ THUYEÁT THOÁNG KEÂ THEO PHÖÔNG PHAÙP BAYES 2.1 Kieåm ñònh giaû thuyeát 2.1.1 Kieåm ñònh giaû thuyeát truyeàn thoáng Haàu heát nhöõng baøi toaùn trong kieåm ñònh giaû thuyeát xuaát hieän thì tuaân theo hình thöùc chung. Coù moät tham soá chöa bieát ,θ θ ∈Θ , vaø chuùng ta phaûi kieåm ñònh xem 0θ ∈Θ hay 1θ ∈Θ trong ñoù 0 1 0 1,Θ ∪Θ = Θ Θ ∩Θ =∅ Thöôøng thì chuùng ta coù theå thöïc hieän quan traéc 1 2, ,..., Nx x x cuûa haøm maät ñoä p(x⎢θ) phuï thuoäc tham soá θ. Noù bieåu dieãn taäp hôïp taát caû nhöõng quan traéc ( )1 2, ,..., Nx x x x= bôûiX . Trong ngoân ngöõ thoáng keâ truyeàn thoáng, ta qui öôùc : 0 0:H θ ∈Θ : giaû thuyeát khoâng. vaø 1 1:H θ ∈Θ : ñoái thuyeát. Neáu baùc boû 0H khi 0H ñuùng thì ta goïi laø sai laàm loaïi I. Neáu khoâng baùc boû 0H khi 0H sai thì ta goïi laø sai laàm loaïi II. Moät kieåm ñònh ñöôïc quyeát ñònh bôûi mieàn baùc boû R, trong ñoù { }0/R x x H= ∈ Thoáng keâ truyeàn thoáng cho raèng söï quyeát ñònh giöõa nhöõng kieåm ñònh neân döïa Kieåm ñònh giaû thuyeát thoáng keâ theo phöông phaùp Bayes Trang 25 treân xaùc suaát maéc sai laàm loaïi I ñoù laø : ( )/p R θ vôùi 0θ ∈Θ . vaø xaùc suaát maéc sai laàm loaïi II laø : ( )1 /p R θ− vôùi 1θ ∈Θ . Xaùc suaát maéc sai laàm loaïi I nhoû thì xaùc suaát maéc sai laàm loaïi II seõ lôùn hôn vaø ngöôïc laïi. Vì vaäy, thoáng keâ truyeàn thoáng ñeà nghò choïn taäp R, trong ñoù bieåu dieãn moät soá yù nghóa söï caân baèng toái öu giöõa hai loaïi sai laàm, thöôøng thì R ñöôïc choïn ñeå xaùc suaát xaûy ra sai laàm loaïi II laø nhoû ñeán möùc coù theå ñöôïc. Vôùi ñieàu kieän xaùc suaát maéc sai laàm loaïi I phaûi luoân nhoû hôn hoaëc baèng moät soá giaù trò α coá ñònh cho tröôùc nhö laø côõ maãu cuûa kieåm ñònh. Theo thuyeát naøy ñöôïc thöïc hieän treân qui moâ lôùn nhôø coâng cuûa Neyman - Pearson, noù ñöôïc tìm thaáy haàu heát nhöõng cuoán saùch thoáng keâ vaø ñöôïc döïa treân hình thöùc ñaày ñuû nhaát cuûa Lemann(1986). 2.1.2 Vaán ñeà cuûa phöông phaùp truyeàn thoáng Nhöõng ñieåm khaùc seõ ñöôïc thöïc hieän sau söï so saùnh giöõa phöông phaùp truyeàn thoáng vaø phöông phaùp Bayes, moät soá ñieàu ñaùng chuù yù laø taïi luùc tiếp cận ban ñaàu trong phöông phaùp truyeàn thoáng chuùng ta xem xeùt xaùc suaát (nhöõng giaù trò khaùc nhau cuûa θ) cuûa taäp R ở ñoù vectô x cuûa quan traéc coù theå thuoäc hoaëc khoâng thuoäc taäp R. Keát quaû laø ta khoâng chæ ñeà caäp vôùi vectô ñôn cuûa nhöõng quan traéc chuùng ta ñaõ laøm maø coøn vôùi nhöõng vectô khaùc chuùng ta coù theå laøm nhöng ñaõ khoâng thöïc hieän. Do ñoù, phöông phaùp truyeàn thoáng, neáu chuùng ta giaû söû ~ (0,1)x N vaø ta muoán kieåm ñònh giaû thuyeát 0 : 0H θ = hay ñoái thuyeát 1 : 0H θ > laø ñuùng, roài chuùng ta baùc boû 0H treân cô sôû moät quan traéc ñôn x = 3 bôûi vì xaùc suaát bieán ngaãu nhieân Kieåm ñònh giaû thuyeát thoáng keâ theo phöông phaùp Bayes Trang 26 chuaån taéc (0,1)N laø 3 hoaëc lôùn hôn laø 0,001350. Qua ñoù ñöông nhieân chuùng ta khoâng thöïc hieän moät quan traéc lôùn hôn 3. Theo caùch naøy cuûa phöông phaùp truyeàn thoáng Jeffreys nhaän xeùt raèng: “ Söû duïng caùi bao haøm P, vaäy thì giaû thuyeát ñoù coù theå ñuùng cuõng coù theå bò baùc boû, bôûi vì noù khoâng döï ñoaùn ñöôïc keát quaû quan traéc khoâng xaõy ra.” Tuy nhieân, caàn löu yù trong tröôøng hôïp giaû ñònh cuûa nhöõng quan traéc bieán ñôn vò coù phaân phoái chuaån, caáu taïo cuûa maãu phuï thuoäc vaøo giaû ñònh toaøn boä caùc phaân phoái cuûa moïi quan traéc coù theå xaûy ra. 2.1.3 Phöông phaùp Bayes Phöông phaùp Bayes laø moät trong nhieàu caùch deã hieåu. Chuùng ta caàn laøm nhöõng tính toaùn xaùc suaát haäu nghieäm : ( ) ( )0 0 1 1/ , /p P x p P xθ θ= ∈Θ = ∈Θ Vaø quyeát ñònh giöõa 0H vaø 1H moät caùch phuø hôïp. (chuùng ta caàn chuù yù 0 1 1p p+ = khi 0 1Θ = Θ ∪Θ vaø 0 1Θ ∩Θ =∅ ). Khoâng nhöõng xaùc suaát haäu nghieäm cuûa giaû thuyeát laø muïc tieâu toát nhaát cuûa chuùng ta maø chuùng ta coøn caàn xaùc suaát tieân nghieäm. ( ) ( )0 0 1 1,P Pπ θ π θ= ∈Θ = ∈Θ chuù yù raèng 0 1 1π π+ = khi vaø chæ khi 0 1 1p p+ = . Xaùc suaát tieân nghieäm thì raát höõu duïng trong vieäc quan saùt tæ leä cuûa 0H vôùi 1H , ñoù laø: 0 1π π vaø phaàn cheânh leäch treân 0H ñoái vôùi 1H laø : Kieåm ñònh giaû thuyeát thoáng keâ theo phöông phaùp Bayes Trang 27 0 1p p Theo nhö quan saùt, neáu sự cheânh leäch tieân nghiệm tieán tôùi 1 thì ta nhaän ñöôïc 0H caøng lôùn hôn hay nhoû hôn tieân nghieäm 1H , trong khi, neáu tæ soá laø lôùn ta nhaän 0H moät caùch töông ñoái hôïp leõ vaø khi tæ soá laø nhoû thì nhaän 0H moät caùch töông ñoái khoâng hôïp leõ. AÙp duïng töông töï ñoái vôùi söï cheânh leäch haäu nghieäm. Tæ soá treân thaät söï höõu ích ñeå ñònh nghóa heä soá Bayes B cuûa 0H ñoái vôùi 1H laø: ( ) ( )0 1 0 10 1 1 0 / / p p pB p π π π π= = Taàm quan troïng cuûa heä soá Bayes laø coù theå laøm saùng toû ñöôïc möùc cheânh leäch cuûa 0H ñoái vôùi 1H khi döõ lieäu ñaõ ñöôïc cho tröôùc. Noù laø trò giaù ñöôïc bieåu dieãn bôûi ( ) ( )0 1 0 1/ /p p B π π= vaø 1 01p p= − . Chuùng ta coù theå tìm xaùc suaát haäu nghieäm 0p cuûa 0H töø xaùc suaát tieân nghieäm vaø töø heä soá Bayes: ( ) ( ){ }0 1 10 1 0 1 1 1 1 / 1 1 / p B Bπ π π π− −= = −⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Phaàn bieåu dieãn ôû treân ñöôïc laøm saùng toû khi giaû thuyeát laø ñôn, thì luùc ñoù: { }0 0θΘ = vaø { }1 1θΘ = ñoái vôùi moät vaøi 0θ vaø 1θ .Vì theá khi ( )0 0 0p p xπ θ∝ vaø ( )1 1 1p p xπ θ∝ sao cho: ( ) ( )0 001 1 1 , p xp p p x π θ π θ= vaø töø ñoù heä soá Bayes laø: ( ) ( )01 . p x B p x θ θ= Theo nhö ñoù thì B laø tæ soá hôïp lyù cuûa 0H ñoái vôùi 1H ñieàu ñoù ñaõ ñöôïc raát nhieàu nhaø thoáng keâ trình baøy (Bayes laø moät trong soá ñoù) laø söï cheânh leäch cuûa 0H ñoái Kieåm ñònh giaû thuyeát thoáng keâ theo phöông phaùp Bayes Trang 28 vôùi 1H khi döõ lieäu ñöôïc cho tröôùc. Tuy nhieän, söï theå hieän ñoù khoâng hoaøn toaøn laø ñôn khi 0H vaø 1H laø hoãn taïp, nghóa laø chöùa nhieàu hôn moät phaàn töû. Trong tröôøng hôïp ñoù ñeå thuaän tieän ta coù theå vieát döôùi daïng: 0 0 0( ) ( ) / ,pρ θ θ π θ= ∈Θ vaø 1 1 1( ) ( ) / ,pρ θ θ π θ= ∈Θ trong ñoù ( )p θ laø maät ñoä tieân nghieäm cuûa θ , vì vaäy ( )0p θ laø giôùi haïn cuûa ( )p θ trong 0Θ ñaõ ñöôïc chuaån hoùa cho moät maät ñoä xaùc suaát treân 0Θ , vaø töông töï cho ( )1p θ . Ta coù: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 ( / ) / / / , p P x p x d p p x d p x d θ θ θ θ θ θ θ θ θ π θ ρ θ θ ∈Θ ∈Θ ∈Θ = ∈Θ = ∝ = ∫ ∫ ∫ Haèng soá cuûa tính tæ leä phuï thuoäc duy nhaát vaøo x. Moät caùch töông töï ( ) ( ) 1 1 0 1/p p x d θ π θ ρ θ θ ∈Θ = ∫ Vaø töø ñaây heä soá Bayes laø: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 0 1 0 1 1 / / / / p x d p p B p x d θ θ θ ρ θ θ π π θ ρ θ θ ∈Θ ∈Θ = = ∫ ∫ laø tæ soá cuûa “ troïng löôïng” ( bôûi 0ρ vaø 1ρ ) haøm hôïp lyù cuûa 0Θ vaø 1Θ . Bôûi vì bieåu thöùc cuûa heä soá Bayes bao goàm 0ρ vaø 1ρ toát laø haøm hôïp lyù ( )/p x θ cuûa chính baûn thaân noù, heä soá Bayes khoâng theå ñöôïc xem nhö laø moät ñoä ño coù giaù töông ñoái cho bôûi caùc giaû thuyeát töø döõ lieäu. Tuy nhieân, thænh thoaûng B seõ bò Kieåm ñònh giaû thuyeát thoáng keâ theo phöông phaùp Bayes Trang 29 aûnh höôûng nhoû trong giôùi haïn hôïp lyù bôûi vieäc choïn 0ρ vaø 1ρ , vaø luùc ñoù coù theå xem B nhö laø moät ñoä ño cuûa giaù töông ñoái cho nhöõng giaû thuyeát cung caáp töø döõ lieäu. Khi ñoù, heä soá Bayes laø hôïp lyù khaùch quan vaø (ví duï) coù theå ñöôïc bao goàm caû trong baùo caùo khoa hoïc do ñoù nhöõng ngöôøi söû duïng döõ lieäu khaùc nhau coù theå xaùc ñònh phaàn cheânh leäch haäu nghieäm caù nhaân cuûa hoï baèng caùch môû roäng phaàn cheânh leäch tieân nghieäm caù nhaân cuûa hoï bôûi heä soá. Heä soá Bayes ñöôïc ñeà caäp bôûi vaøi taùc giaû nghieân cöùu veà heä soá, nhö Jeffreys(1961) bieåu dieãn noù laø K, nhöng khoâng cho noù laø moät teân goïi. Moät soá taùc giaû, Peirce(1878) vaø Good(1950,1983) haàu nhö ñeà caäp heä soá Bayes ôû daïng logarit nhö laø“baèng chöùng cuûa troïng löôïng”. Dó nhieân, quan ñieåm laáy logarit ñaõ ñöôïc laøm nhieàu thí nghieäm veà hai giaû thuyeát ñôn, khi ñoái heä soá nhaân Bayes vaø chöùng cöù cuûa troïng löôïng ñaõ ñöôïc theâm vaøo. 2.1.4 Thí duï Theo nhö Watkins, lyù thuyeát ñieän töø yeáu tieân ñoaùn söï toàn taïi cuûa moät haït môùi, haït W, coù khoái löôïng m laø 82.4 ± 1.1 GeV. Keát quaû thí nghieäm chæ ra raèng toàn taïi moät haït vaø coù khoái löôïng laø 82.1 ± 1.7 GeV. Neáu chuùng ta laáy khoái löôïng laø moät tieân nghieäm chuaån vaø haøm hôïp lyù vaø giaû söû raèng giaù trò sau daáu ± nhaän bieát cheânh leäch tieâu chuaån, vaø neáu chuùng ta ñöôïc chuaån bò keå caû lyù thuyeát vaø thí nghieäm , ta coù theå keát luaän raèng khoái löôïng haäu nghieäm laø 1 1( , )N θ φ trong ñoù ( ) ( ) 12 2 2 1 2 2 1 1.1 1.7 0.853 0.92 , 0.853 82.4 /1.1 82.1/1.7 82.3 φ θ −− −= + = = = + = Vì moät vaøi lyù do, vieäc bieát ñöôïc khoái löôïng naøy coù nhoû hôn 83.0 GeV hay khoâng raát quan troïng.Vôùi haøm phaân phối tieân nghiệm laø N(82.4 , 1.12), Xaùc suaát tieân nghieäm 0π cuûa giaû thuyeát naøy ñöôïc cho bôûi Kieåm ñònh giaû thuyeát thoáng keâ theo phöông phaùp Bayes Trang 30 ( ) ( ) ( )0 83.0 83.0 82.4 /1.1 0.55P mπ = ≤ = Φ − = Φ trong ñoù Φ laø haøm phaân phoái cuûa söï phaân phoái chuaån taéc. Töø baûng phaân phoái chuaån ta coù 0 0.7088π ≅ do ñoù söï cheânh leäch tieân nghieäm laø: ( )0 0/ 1 2.43π π− ≅ Töông töï , xaùc suaát haäu nghieäm cuûa giaû thuyeát vôùi 83.0m ≤ laø: ( ) ( )0 83.0 82.3 / 0.92 0.76 0.7764p = Φ − = Φ = vaø do ñoù söï cheânh leäch haäu nghieäm laø ( )0 0/ 1 3.47p p− ≅ Do ñoù heä soá Bayes laø: ( ) ( )0 1 0 10 1 1 0 / 3.47 1.43 / 2.43 p p pB p π π π π= = = = Trong tröôøng hôïp naøy cuoäc thöû nghieäm khoâng coù nhieàu bieán ñoåi veà giaû thuyeát so vôùi trong thaûo luaän vaø ñieàu naøy mieâu taû bôûi traïng thaùi B tieán tôùi 1. Chuù thích: Moät quan ñieåm veà kieåm ñònh giaû thuyeát ñaùng giaù ñöôïc tieán haønh laø chuùng ñöôïc duøng truyeàn thoáng nhö moät phöông phaùp kieåm ñònh giöõa hai haønh ñoäng cuoái ( tuy nhieân) trong thöïc haønh thöïc teá ñöôïc söû duïng thoâng thöôøng hôn nhieàu ñeå ñöa ra keát quaû cuûa moät maãu ñeå ñaït tôùi baát kyø quyeát ñònh cuoái cuøng hay taïm hoaõn cho tôùi khi coù nhieàu luaän cöù thích hôïp hôn. 2.2 Kieåm ñònh giaû thuyeát moät chieàu 2.2.1 Ñònh nghóa Moät daïng tình huoáng kieåm ñònh giaû thuyeát ñöôïc moâ taû trong muïc tröôùc ñöôïc goïi laø moät chieàu neáu taäp hôïp Θ cuûa caùc giaù trò coù theå cuûa tham soá θ laø taäp hôïp caùc soá thöïc hay laø moät taäp con cuûa Θ vaø Kieåm ñònh giaû thuyeát thoáng keâ theo phöông phaùp Bayes Trang 31 0 1 0 0 1 1, ,θ θ θ θ< ∀ ∈Θ ∈Θ hay 0 1 0 0 1 1, ,θ θ θ θ> ∀ ∈Θ ∈Θ Theo quan ñieåm cuûa Bayes, khoâng coù gì ñaëc bieät ôû tình huoáng naøy. Ñieåm tuyeät vôøi chính laø ôû ñoù, ñaây laø moät trong vaøi tình huoáng maø trong ñoù vôùi keát quaû truyeàn thoáng vaø ñaëc bieät söû duïng caùc P- giaù trò, ta coù quan ñieåm cuûa Bayes ñöôïc chöùng minh laø ñuùng. 2.2.2 P - giaù trò: Ñaây laø moät trong nhöõng nôi söû duïng kyù hieäu ‘daáu ngaõ’ ñeå nhaán maïnh soá löôïng naøo laø ngaãu nhieân. Neáu ( )~ ,x N θ φ% trong ñoù φ ñaõ bieát vaø tham khaûo tieân nghieäm ( ) 1p θ ∝ ñöôïc söû duïng, khi ñoù phaân phoái haäu nghieäm cuûa θ cho bôûi x x=% la ( ),N θ φ ø. Baây giôø ta xeùt tình huoáng kieåm ñònh 0 0:H θ θ≤ vôùi ñoái thuyeát 1 0:H θ θ> . Sau ñoù neáu ta quan saùt vôùi x x=% ta coù xaùc suaát haäu nghieäm : ( ) ( )( ) 0 0 0 / . p P x x x θ θ θ φ = ≤ = = Φ − % % Baây giôø P_ giaù trò truyeàn thoáng (ñoâi khi ñöôïc goïi laø möùc yù nghóa chính xaùc) ngöôïc laïi 0H ñöôïc ñònh nghóa nhö laø xaùc suaát xaûy ra, vôùi 0θ θ= , khi quan saùt moät˜ x% ‘cöïc tieåu’ laø döõ lieäu x thöïc teá vaø do ñoù: ( ) ( )( ) ( )( ) 0 0 0 0 giá tri 1 / / P P x x x x p θ θ θ φ θ φ − = ≥ = = −Φ − = Φ − = % Ví duï, neáu ta quan saùt moät giaù trò x vôùi ñoä leäch tieâu chuaån 1.5 phía treân 0θ sau ñoù Bayes duøng tham khaûo tieân nghieäm ñeå keát luaän xaùc suaát haäu nghieäm cuûa giaû Kieåm ñònh giaû thuyeát thoáng keâ theo phöông phaùp Bayes Trang 32 thuyeát khoâng laø ( )1.5 0.0668Φ − = , trong khi moät nhaø thoáng keâ truyeàn thoáng ñaõ ñöa ra P_ giaù trò 0.0668. Dó nhieân p1 = 1- p0 = 1 – P_ giaù trò, vì theá söï cheânh leäch haäu nghieäm laø : = = − 0 0 1 0 _ giaù trò 1 _ giaù trò p p P p 1- p P Trong moät tröôøng hôïp nhö theá, söï phaân phoái tieân nghieäm coù theå ñöôïc noùi bao haøm söï cheânh leäch tieân cuûa 1 (nhöng caån troïng!- ñieàu naøy dieãn ra khi / 1∞ ∞ = ), do ñoù ta coù heä soá Bayes laø: = =− − 0 0 _ giaù trò 1 1 _ giaù trò p PB p P gôïi yù raèng p0 = P_ giaù trò = ( ) ( ) 11/ 1 1B B B −−+ = + ( )1 1/ 1p B= + Maët khaùc, caùc xaùc suaát maéc sai laàm loaïi I vaø loaïi II trong truyeàn thoáng khoâng coù heä soá töông quan gaàn vôùi nhöõng xaùc suaát cuûa giaû thuyeát, vaø vôùi khuynh höôùng môû roäng phaïm vi cuûa nhaø thoáng keâ truyeàn thoáng ñeå ñaùnh giaù P_ giaù trò hôn laø nhöõng xaùc suaát sai laàm loaïi I vaø loaïi II thì ñöôïc laáy töï do, maëc duø phaân tích ñaày ñuû theo Bayes thì toát hôn. Moät phaàn söï giaûi thích caùch söû duïng truyeàn thoáng veà nhöõng xaùc suaát cuûa sai laàm loaïi I (ñoâi khi ñöôïc goïi laø möùc yù nghóa) ñöôïc neâu ra sau ñaây. Moät keát quaû ñöôïc xem laø möùc yù nghóa α neáu vaø chæ neáu P_ giaù trò nhoû hôn hoaëc baèng α , do ñoù khi vaø chæ khi xaùc suaát haäu nghieäm : ( )0 0p P x xθ θ α= ≤ = ≤% % hoaëc töông ñöông ( )1 0 1p P x xθ θ α= ≤ = ≥ −% % Kieåm ñònh giaû thuyeát thoáng keâ theo phöông phaùp Bayes Trang 33 2.3 Phöông phaùp Lindley 2.3.1 Söï thoûa hieäp vôùi thoáng keâ truyeàn thoáng Phöông phaùp sau ñaây xuaát hieän laàn ñaàu tieân vaø ñöôïc ñeà xuaát bôûi Lindley, töø ñoù ñöôïc uûng hoä bôûi moät vaøi taùc giaû ví duï nhö Zellner. Giaû ñònh phöông phaùp naøy laø thoâng duïng trong thoáng keâ truyeàn thoáng, do ñoù ta mong raèng coù theå kieåm tra moät giaû thuyeát trò khoâng 0 0:H θ θ= vôùi ñoái thuyeát 1 0:H θ θ≠ Giaû ñònh xa hôn raèng kieán thöùc tieân nghieäm laø mô hoà hoaëc daøi doøng, vì theá khoâng coù lyù do naøo ñeå tin raèng 0θ θ= hôn laø 1θ θ= , trong ñoù 1θ laø giaù trò baát kyø trong mieàn laân caän cuûa 0θ . Thuû tuïc ñöôïc ñeà xuaát phuï thuoäc vaøo vieäc tìm söï phaân phoái haäu nghieäm cuûa θ söû duïng söï tham khaûo tieân nghieäm. Ñeå höôùng daãn kieåm tra möùc yù nghóa α , gôïi yù raèng ta tìm 100(1 – α )%HDR töø söï phaân phoái haäu nghieäm vaø baùc boû 0 0:H θ θ= neáu vaø chæ neáu 0θ naèm ngoaøi HDR naøy. 2.3.2 Ví duï Vôùi döõ lieäu töø troïng löôïng töû cung cuûa chuoät maø ta ñaõ gaëp trong muïc 2.8 , trang 51 ( xem[1]) treân HDRs ñoái vôùi bieán chuaån ta ñaõ tìm ñöôïc söï phaân phoái haäu nghieäm cuûa bieán θ seõ laø 20 2~ 664χφ − Vì theá khoaûng töông quan vôùi 95% HDR cho 2log χ laø (19,67). Do ñoù döïa treân nhöõng döõ lieäu cô baûn treân, ta neân baùc boû giaû thuyeát khoâng 0 : 16H Φ = ôû möùc 5% nhöng ta khoâng neân loaïi boû giaû thuyeát khoâng 0 : 20H Φ = ôû möùc yù nghóa ñoù. 2.3.3 Thaûo luaän Thuû tuïc naøy chæ thích hôïp khi thoâng tin tieân nghieäm laø mô hoà hoaëc daøi Kieåm ñònh giaû thuyeát thoáng keâ theo phöông phaùp Bayes Trang 34 doøng, vaø ngay caû khi noù khoâng phaûi laø caùch toát nhaát trong vieäc toùm taét nieàm tin haäu nghieäm; roõ raøng möùc ñoä quan troïng chính laø bieåu thöùc khoâng ñaày ñuû cuûa nhöõng nieàm tin ñoù. Ñoái vôùi nhieàu baøi toaùn, keå caû baøi toaùn ñaõ ñöôïc xem xeùt ôû ví duï treân, toâi cho raèng phöông phaùp naøy ñöôïc xem laø vaán ñeà quan taâm chính mang tính chaát lòch söû trong ñoù noù ñöa ra phöông caùch ñeå ñaït ñöôïc nhöõng keát quaû coù lieân quan ñeán chuùng trong thoáng keâ truyeàn thoáng vaø do ñoù ñaõ giuùp caùc nhaø thoáng keâ thoâi nuoâi döôõng nhöõng phöông caùch naøy nhaèm höôùng ñeán caùch tieáp caän cuûa Bayes nhö laø phöông caùch coù theå ñaït ñöôïc nhöõng keát quaû gioáng nhöõng keát quaû trong tröôøng hôïp ñaëc bieät, cuõng nhö coù ñöôïc nhöõng keát luaän ñaëc bieät rieâng. Tuy nhieân, noù cuõng coù theå coù nhöõng caùch söû duïng trong nhöõng tröôøng hôïp maø ôû ñoù coù moät vaøi tham soá chöa bieát vaø haäu nghieäm ñaày ñuû thì khoù ñeå moâ taû hay naém baét ñöôïc. Do ñoù, khi xem xeùt pheùp phaân tích cuûa bieán ôû muïc 6.5 vaø 6.6 (xem [1]), ta neân söû duïng möùc ñoä quan troïng nhö ñöôïc moâ taû troïng muïc naøy nhaèm ñöa ra moät soá yù kieán veà taàm aûnh höôûng cuûa caùch giaûi quyeát. 2.4 Giaûthuyeát trò khoâng vôùi thoâng tin tieân nghieäm 2.4.1 Khi naøo thì giaû thuyeát trò khoâng laø hôïp lyù? Nhö ñaõ ñeà caäp trong muïc vöøa roài, thaät bình thöôøng khi thöïc hieän kieåm ñònh moät giaû thuyeát trò khoâng trong thoáng keâ truyeàn thoáng giaû thuyeát khoâng 0 0:H θ θ= vôùi ñoái thuyeát 1 0:H θ θ≠ Xeùt tröôøng hôïp caùch tieáp caän theo thang ñaày ñuû cuûa Bayes (so vôùi caùch thoûa hieäp ñaõ ñöôïc moâ taû trong muïc vöøa roài) coù theå ñaùp öùng nhöõng keát luaän maø coù söï khaùc bieät cô baûn so vôùi caùc caâu traû lôøi trong thoáng keâ truyeàn thoáng. Tröôùc khi coù ñöôïc caùc caâu traû lôøi, moät vaøi lôøi bình luaän cô baûn veà toaøn boä baøi toaùn laø hôïp leä. Ñaàu tieân, caùc kieåm ñònh cuûa caùc giaû thuyeát trò khoâng thöôøng ñöôïc thöïc hieän trong hoaøn caûnh khoâng thích ñaùng. Noù haàu nhö khoâng bao giôø xem xeùt Kieåm ñònh giaû thuyeát thoáng keâ theo phöông phaùp Bayes Trang 35 tröôøng hôïp giaû thuyeát 0θ θ= coù chính xaùc, moät ñieåm maø caùc nhaø thoáng keâ truyeàn thoáng hoaøn toaøn chaáp nhaän. Hôïp lyù hôn laø nhöõng giaû thuyeát khoâng ( )0 0 0 0: ,H θ θ ε θ ε∈Θ = − + trong ñoù vôùi 0ε > ta choïn 0θ∀ ∈Θ coù theå ñöôïc xem xeùt ‘khoâng theå phaân bieät ñöôïc‘ töø 0θ . Moät ví duï maø trong ñoù ñieàu naøy coù theå xaûy ra laø baïn seõ phaûi coá gaéng phaân tích hoaù hoïc baèng caùch quan saùt moät vaøi khía caïnh, moâ taû baèng thoâng soá θ, söï phaûn öùng cuûa noù vôùi chaát hoaù hoïc ñaõ bieát. Neáu ta muoán kieåm tra chaát hoùa hoïc chöa bieát ñoù coù phaûi laø hôïp chaát ñaëc tröng hay khoâng, moät phaûn öùng vôùi cöôøng ñoä θ0 ñaõ bieát roõ ñoä chính xaùc ε, ñieàu ñoù seõ hôïp lyù ñeå kieåm tra ( )0 0 0 0: ,H θ θ ε θ ε∈Θ = − + vôùi ñoái thuyeát 1 0:H θ ∉Θ Moät ví duï trong ñoù ε coù theå tieán tôùi 0 laø moät kieåm ñònh veà ESP (giaùc quan thöù 6) vôùi 0θ ñaïi dieän cho giaû thuyeát khoâng coù ESP ( Lyù do duy nhaát taïi sao ε coù xaùc suaát khoâng laø 0 ôû ñaây laø moät thí nghieäm thieát keá cho xaùc suaát ESP coù theå seõ khoâng daãn ñeán xaùc ñònh 0θ hoaøn toaøn). Tuy nhieân, cuõng coù nhieàu caùch quyeát ñònh vaàn ñeà daãn ñeán moät giaû thuyeát khoâng cuûa daïng treân vôùi moät ε lôùn, nhöng nhöõng vaán ñeà nhö theá hieám khi ñöôïc xaáp xæ toát bôûi vieäc kieåm tra giaû thuyeát trò khoâng. Caâu hoûi ñaët ra laø, neáu coù moät giaû thuyeát khoâng thöïc söï laø: 0 0 0 0: ( , )H θ θ ε θ ε∈Θ = − + thì khi naøo ta coù theå xaáp xæ noù bôûi 0 0:H θ θ= ? Töø goùc nhìn cuûa phöông phaùp Bayes ñieàu naøy coù theå chaáp nhaän ñöôïc neáu vaø chæ neáu xaùc suaát haäu nghieäm laø daøy ñaëc. Nhöng ñeå coù xaùc suaát nhö vaäy thì haøm hôïp lí phaûi ñöôïc xaáp xæ nhö moät haøm haèng treân 0Θ . Nhöng ñaây laø moät ñieàu kieän raát maïnh , vaø haøm hôïp lí khoâng haún thoûa ñieàu ñoù . 2.4.2 Tröôøng hôïp haøm hôïp lí gaàn nhö laø haøm haèng Giaû söû caùc bieán ngaãu nhieân 1 2, ,..., nx x x laø ñoäc laäp vôùi nhau theo phaân phoái Kieåm ñònh giaû thuyeát thoáng keâ theo phöông phaùp Bayes Trang 36 chuaån ( , )N θ φ vôùi φ ñaõ bieát. Nhö chuùng ta ñaõ bieát ôû muïc 2.3”moät soá quan saùt chuaån vôùi tieân nghieäm chuaån “, raèng haøm hôïp lí tæ leä vôùi haøm maät ñoä cuûa phaân phoái chuaån ( , / )N x nφ ñoái vôùi tham soá θ . Cho neân treân khoaûng 0 0 0 0: ( , )H θ θ ε θ ε∈Θ = − + haøm hôïp lí naøy thay ñoåi theo heä soá: 1 22 0 01 22 0 1(2 / ) exp[ { ( )} / ( / )] 22 exp ( ) 1(2 / ) exp[ { ( )} / ( / )] 2 n x n n x n x n πφ θ ε φ ε θφπφ θ ε φ − − − − + ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠− − − Tieáp ñeán ta xaùc ñònh z laø thoáng keâ coù daïng : 0| | / xz n θ φ −= ñöôïc söû duïng ôû möùc yù nghóa theo caùch kieåm ñònh truyeàn thoáng vaø: / k z n ε φ≥ thì haøm hôïp lí thay ñoåi treân 0Θ döïa treân heä soá maø lôùn nhaát laø exp(2k).Suy ra vôùi ε ñuû nhoû seõ toàn taïi moät giôùi haïn treân söï thay ñoåi cuûa haøm hôïp lí. Ví duï nhö, laáy ε = 0.0025 vaø 0.0025 / k z nφ= Thì haøm hôïp lí thay ñoåi nhieàu nhaát laø exp(2k) treân 0Θ . Cuï theå hôn, neáu z=2, Φ =1,vaø n =25, thì k trôû thaønh k = 0.0025×5×2 = 0.025. vaø exp(2k) =1.05=1/0.95. Toùm laïi, neáu taát caû giaù trò cheânh leäch ± 0.0025 so vôùi 0θ ñeàu ñöôïc coi nhö 0θ , khi ñoù ta coù theå ñaûm baûo moät laàn nöõa laø haøm hôïp lí khoâng thay ñoåi nhieàu hôn 5% treân daõy nhöõng giaù trò gioáng nhau, vaø neáu khoaûng chia caøng ñöôïc laøm nhoû Kieåm ñònh giaû thuyeát thoáng keâ theo phöông phaùp Bayes Trang 37 thì haøm hôïp lí gaàn nhö laø haèng soá. Chuù yù raèng giôùi haïn phuï thuoäc vaøo 0| |x θ− cuõng nhö laø phuï thuoäc vaøo / nφ . 2.4.3 Phöông phaùp Bayes cho giaû thuyeát trò khoâng Baây giôø chuùng ta phaùt trieån moät lyù thuyeát cho vieäc kieåm ñònh giaû thuyeát laáy moät trò khoâng, lyù thuyeát maø sau ñoù coù theå ñöôïc so saùnh vôùi lyù thuyeát kieåm ñònh truyeàn thoáng. Neáu coù söï hoaøi nghi veà söï töông thích giöõa giaû thuyeát trò khoâng vôùi giaû thuyeát khoâng 0 0 0 0: ( , )H θ θ ε θ ε∈Θ = − + thöïc söï thì ta coù theå kieåm ñònh baèng caùch söû duïng tröïc tieáp phöông phaùp Bayes toång quaùt ñeå kieåm ñònh giaû thuyeát trò khoâng, roài sau ñoù so saùnh keát quaû kieåm ñònh .(Ñieàu naøy thöôøng deã hôn laø vieäc kieåm tra söï baát bieán cuûa haøm hôïp lí) Chuùng ta khoâng theå söû duïng haøm maät ñoä tieân nghieäm lieân tuïc ñeå kieåm ñònh giaû thuyeát laáy moät trò khoâng Ho: oθ θ= bôûi vì caàn phaûi ñöa ra moät xaùc suaát tieân nghieäm cuûa 0 cho giaû thuyeát naøy vaø sau ñoù laø moät xaùc suaát haäu nghieäm cuûa 0. Moät caùch hôïp lyù ñeå xuaát phaùt laø cho oθ θ= moät xaùc suaát tieân nghieäm 0π > 0 vaø ñònh haøm maät ñoä xaùc suaát laø 1 1( )pπ θ khi 0θ θ≠ , vôùi 1 01π π= − vaø 1( )p θ coù tích phaân duy nhaát. Neáu ta nghó giaû thuyeát 0θ θ= laø moät xaáp xæ cuûa giaû thuyeát 0 0( , )θ θ ε θ ε∈ − + thì 0π thaät söï laø xaùc suaát tieân nghieäm ñoái vôùi toaøn boä khoaûng 0 0( , )θ θ ε θ ε∈ − + . Baïn coù theå thu ñöôïc haøm maät ñoä döï ñoaùn p(x) vôùi vectô x=( 1 2, ,..., nx x x ) cuûa söï quan traéc coù daïng : 0 0 1 1( ) ( | ) ( ) ( | ) .p x p x p x dπ θ π ρ θ θ θ= + ∫ Ñaët 1( ) ( ) ( | )p x p x dρ θ θ θ= ∫ Coù theå ñöôïc goïi laø haøm phaân phoái cuûa giaû thieát cho caùc tröôøng hôïp coøn laïi. Ta Kieåm ñònh giaû thuyeát thoáng keâ theo phöông phaùp Bayes Trang 38 thaáy raèng: 0 0 1 1( ) ( | ) ( )p x p x p xπ θ π= + Tieáp theo caùc xaùc suaát haäu nghieäm seõ laø: 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 ( | ) ( | ) ( | ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( ) p x p xp p x p x p x p x p xp p x p x p x π θ π θ π θ π π π π θ π = =+ = =+ Vaø do ñoù heä soá Bayes seõ laø: 0 1 0 0 1 1 ( / ) ( | ) ( / ) ( ) p p p xB p x θ π π= = Taát nhieân cuõng coù theå tìm caùc xaùc suaát haäu nghieäm 0p vaø 1p töø caùc phaàn cuûa coâng thöùc Bayes B vaø xaùc suaát tieân nghieäm 0π nhö ñònh nghóa ôû muïc 2.1 khi pheùp kieåm ñònh giaû thuyeát toång quaùt ñaõ ñöôïc ñeà caäp. 2.4.4 Thoáng keâ ñaày ñuû Ñoâi khi, ta coù thoâng keâ ñaày ñuû ( )t t x= vôùi x cho bôûi θ , do ñoù ( ) ( ) ( )p x p t p x tθ θ= Khi aáy, ( )p x t khoâng laø haøm cuûa θ . Trong tröôøng hôïp roõ hôn ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 ( )p x p t p x t d p t d p x t p t p x t ρ θ θ θ ρ θ θ θ = = = ∫ ∫ Do ñoù, ta coù theå löôïc boû nhaân töû chung ( )p x t vaø thu ñöôïc keát quaû sau: 0 p t p t p p t p t p t 0 0 0 0 0 0 1 π ( / θ ) π ( / θ )=π ( / θ ) + π ( ) ( )= 1 Kieåm ñònh giaû thuyeát thoáng keâ theo phöông phaùp Bayes Trang 39 1 1π π π θ π= =+ 1 1 1 1 0 1 1 ( ) ( ) ( / ) ( ) ( ) p t p t p p t p t p t Vaø heä soá Bayes laø: θ π π= = 0 1 0 0 1 1 ( / ) ( / ) / ) ( ) p p p t B p t Toùm laïi: x coù theå ñöôïc thay theá bôûi t trong coâng thöùc cuûa p0, p1 vaø heä soá Bayer B. Nhieàu yù trong phaàn naøy trôû neân roõ raøng hôn khi baïn xem ñeán phaàn tieáp theo, tröôøng hôïp rieâng cuûa phaân phoái chuaån taéc. 2.5 Xaùc ñònh phaân giaû thuyeát cho phaân phoái chuaån 2.5.1 Tính toaùn heä soá Bayes Cho ( )1 2, ,..., nx x x x= laø 1 vectô caùc bieán ngaãu nhieân ñoäc laäp coù haøm phaân phoái chuaån ( , )N θ φ , vôùi φ laø giaù trò ñaõ bieát. Bôûi vì phaàn nhaän xeùt ôû cuoái phaàn tröôùc, ta coù theå laøm vieäc treân toaøn boä caùc soá haïng cuûa thoáng keâ ñaày ñuû. θ φ~ N( , / )x n Ta phaûi laøm moät vaøi giaû ñònh veà haøm maät ñoä p1(θ) cuûa θ döôùi moät giaû thieát khaùc vaø roõ raøng laø moät trong nhöõng ñieàu töï nhieân nhaát laø phaûi xem haøm maät ñoä coù phaân phoái chuaån ( )μ ψN , . Moät caùch nghieâm khaéc neân quan taâm haøm maät ñoä cuûa giaù trò θ hôn laø θ0, nhöng khi tính xaùc suaát thì phaûi laáy tích phaân cuûa haøm maät ñoä θ0. Caùc ñieåm seõ ñeàu khoâng coù söï khaùc bieät, noù hoaøn toaøn chaáp nhaän ñöôïc khi laáy μ θ= 0 , coù leõ vì vaäy nhöõng giaù trò gaàn θ0 ñeàu gioáng nhau hôn laø nhöõng giaù trò khaùc vaø giaû ñònh naøy seõ phuø hôïp nhöõng gì chuùng ta laøm beân döôùi. Löu yù raèng ñoä leäch chuaån ψ cuûa haøm maät ñoä θ theo giaû thieát khaùc cho raèng lôùn hôn ñaùng keå ñoä roäng 2ε cuûa khoaûng giaù trò θ, xem nhö ‘khoâng theå phaân bieät’ töø θ0. Kieåm ñònh giaû thuyeát thoáng keâ theo phöông phaùp Bayes Trang 40 Deã daøng tính ñöôïc haøm phaân phoá ( )1p x cuûa x theo giaù trò khaùc, cuï theå laø: ( ) ( ) ( )1 1 ,p x p x dρ θ θ θ= ∫ Baèng caùch vieát ( )x x θ θ= − + Nhö laø trong phaàn 2.2 ( xem [1]) “tieân nghieäm chuaån vaø haøm hôïp lyù”. Bôûi vì, töøng thaønh phaàn ñoäc laäp, ( )~ 0, /x N nθ φ− vaø ( )0~ ,Nθ θ ψ , haøm maät ñoä duy nhaát cuûa x laø ( )0 , /N nθ ψ φ+ . Daãn ñeán heä soá Bayes laø ( ) ( ) { } ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) { } ( ) { } 0 1 1 2 2 0 1 22 0 1 2 112 0 12 / exp / / 2 12 / exp / / 2 11 / exp 1 / . 2 p x B p x n x n n x n n x n n θ πφ θ φ π ψ φ θ ψ φ ψ φ θ φ φ ψ − − −− = ⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎣ ⎦= ⎡ ⎤+ − − +⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ ⎤= + − − +⎢ ⎥⎣ ⎦ Ñaët 0 / /z x nθ φ= − Ñeå cho caùc nhaø thoáng keâ duøng kieåm ñònh truyeàn thoáng vôùi möùc yù nghóa. Vôùi vieäc ñònh nghóa { } { }1 122 11 / exp 1 / 2 B n z nψ φ φ ψ −⎡ ⎤= + − +⎢ ⎥⎣ ⎦ Xaùc suaát haäu nghieäm 0p coù theå ñöôïc xaùc ñònh döïa vaøo xaùc suaát tieân nghieäm 0π vaø heä soá Bayes B baèng coâng thöùc sau: ( ) ( ){ }0 1 11 0 0 0 1 1 1 / 1 1 / p B Bπ π π π− −= =⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ baét nguoàn töø phaàn 2.1 khi ta kieåm ñònh giaû thieát Kieåm ñònh giaû thuyeát thoáng keâ theo phöông phaùp Bayes Trang 41 2.5.2 Ví dụ bằng số Cho π ψ φ= =0 1 , ,2 giaù trò = =1.96, 15z n Tính ñöôïc heä soá Bayes Β −⎧ ⎫= + − + =⎨ ⎬⎩ ⎭ 11 22 1 1{1 15} exp[ (1,96) 1 ] 0,66 2 15 Vaø do ñoù xaùc suaát haäu nghieäm 11 0 1 0.66 0.4p −−⎡ ⎤= + =⎣ ⎦ Keát quaû naøy hoaøn toaøn khaùc vôùi caùc keát luaän cuûa caùc nhaø thoáng keâ truyeàn thoáng tieán haønh cuøng moät döõ lieäu. Theo yù kieán cuûa moät soá ngöôøi, do z coù phaân phoái maãu laø N(0,1), 1.96z = hoaëc lôùn hôn xaûy ra vôùi xaùc suaát chæ 5% (nghóa laø, P_ giaù trò cuûa z = 1,96 laø 0,05), vaø ta baùc boû giaû thuyeát khoâng θ = θ0 ôû möùc yù nghóa 5%. Vôùi nhöõng giaû ñònh veà nieàm tin tieân nghieäm, ngöôïc laïi, daãn ñeán xaùc suaát haäu nghieäm cuûa 40% giaû thuyeát khoâng laø ñuùng. Moät ví duï xa hôn tieáp theo (cf, Benrer, 1985, phaàn 2.3, xem [1]): P_Giaù trò (2 – ñaàu) z\n 1 5 10 50 100 1000 0.1 0.05 0.01 0.001 1.645 1.960 2.576 3.291 0.418 0.351 0.212 0.086 0.442 0.331 0.134 0.026 0.492 0.367 0.140 0.024 0.655 0.521 0.216 0.035 0.725 0.600 0.273 0.045 0.891 0.823 0.535 0.124 Kieåm ñònh giaû thuyeát thoáng keâ theo phöông phaùp Bayes Trang 42 Keát quaû cuûa caùc nhaø phaân tích truyeàn thoáng vaø phaân tích Bayes ngaøy caøng khaùc nhau khi côõ maãu n → ∞. Coá ñònh z , deã thaáy raèng B gaàn ñuùng φ≈ − 1 22 1( / ) exp[ ] 2 B n z vaø do ñoù B → ∞. Thoâng thöôøng 1- p0 coù daïng 1/ n . Do ñoù p0 → 1. Vì vaäy, vôùi vieäc ñònh roõ tieân nghieäm, daãn ñeán keát quaû z = 1.96, keát quaû maø caùc nhaø thoáng keâ truyeàn thoáng quan taâm vôùi vieäc baùc boû giaû thieát khoâng vôùi möùc yù nghóa 5% baát chaáp giaù trò n, coù theå keát quaû xaùc suaát haäu nghieäm 0p lôùn moät caùch tuøy yù cuûa giaû thieát khoâng. Maëc duø vaäy, nhöõng ngöôøi söû duïng coâng ngheä thoáng keâ ñaàu tieân thöôøng coù aán töôïng neáu moät vaøi döõ lieäu ôû möùc yù nghóa 5% thì trong moät vaøi nghóa veà giaû thuyeát khoâng coù xaùc suaát sau coù khaû naêng xaõy ra ôû möùc gaàn 5%. Moät thí duï cuï theå veà baøi toaùn vôùi côõ maãu lôùn xaûy ra vôùi döõ lieäu suùc saéc, ñöôïc ñöa ra bôûi Fisher. Ñieàu ñoù coù nghóa laø khi 12 hoät xí ngaàu ñöôïc thaû 26306 laàn, kyø voïng vaø phöông sai cuûa soá nuùt suùc saéc nhieàu hôn 4 laàn 40524 vaø 26893 laàn, thöû so saùnh vôùi kyø voïng lyù thuyeát laø 112 4 3 × = cho raèng suùc saéc caân baèng. Xaáp xæ phaân phoái nhò thöùc bôûi phaân phoá chuaån tính ñöôïc thoáng keâ z laø: = − =(40524 4) / 26983126306 5,17z P_ Giaù trò hai-ñaàu töông öùng xaáp xæ ( )2 /z zφ khi φ laø haøm maät ñoä cuûa phaân phoái chuaån, tuy nhieân moät nhaø phaân tích Bayes (giaû ñònh ψ = φ vaø θ = 1 2 nhö thoâng thöôøng) phuï thuoäc vaøo heä soá Bayes − −= + − + = 1 2 1 12 1(1 26306) exp[ (5,17) {1 (26306) } ] 0,00025 2 B Vaø daãn ñeán xaùc suaát haäu nghieäm cuûa moät trong 4000 hoät suùc saéc caân baèng. Ñieàu naøy thì nhoû, duø theá naøo thì keát luaän ñoù cuõng khoâng gaây ngaïc nhieân nhö nhöõng gì Kieåm ñònh giaû thuyeát thoáng keâ theo phöông phaùp Bayes Trang 43 caùc nhaø phaân tích truyeàn thoáng daãn daét. 2.5.3 Nghòch lyù cuûa Lindley Ñaây laø keâát quaû ñoâi khi ñöôïc bieát nhö laø nghòch lyù cuûa Lindley (cf. Lindley, 1957; Bartlett, 1957; Shafer, 1982) hay nghòch lyù cuûa Jeffrey, bôûi vì trong baûn chaát thì ñöôïc bieát laø Jeffrey, maëc duø oâng khoâng ñeà caäp noù nhö laø moät nghòch lyù. Moät nghieân cöùu höõu ích cuûa Berger vaø Delempady (1987). Noù khoâng lieân quan ñeán nhöõng gì ñöôïc ghi bôûi ngöôøi duøng thoáng keâ. Lindley ñöa ra moät ñieåm nhaán raèng kinh nghieäm laøm vieäc thöôøng than vaûn vôùi côõ maãu lôùn, khoaûng 5000, hay baét gaëp trong cuoäc khaûo saùt döõ lieäu, thöôøng söû duïng thoáng keâ t vaø möùc yù nghóa 5% ñeå chæ ra raèng giaù trò tham soá khaùc 0 vaø nhieàu yù kieán cho raèng vôùi côõ maãu lôùn vaø möùc yù nghóa 5% khoâng ñuùng khi söû duïng thoáng keâ t, nhöng nhieàu saùch khoa hoïc ñeàu khoâng thaät söï duøng söï duøng côõ maãu lôùn bôûi vì phöông phaùp coù theå laøm voâ hieäu hoùa hoaëc ngöôøi quan saùt coù theå ñaõ veà höu, xem trong saùch Wilson hoaëc Baird. Töø khi coù nhieàu keát quaû khaùc nhau ñöôïc tìm thaáy bôûi nhieàu nhaø thoáng keâ, ñieàu quan troïng laø kieåm tra xem noù khoâng phuï thuoäc hoaøn toaøn vaøo phaân phoái tieân nghieäm töï nhieân naøo ñoù. Giaû ñònh raèng xaùc suaát tieân nghieäm π0 cuûa giaû thuyeát khoâng laø 1/2 vaø ñieàu giaû ñònh naøy coù veõ ‘töï nhieân’ vaø coù theå xem noù laø “khaùch quan”, trong tröôøng hôïp coù söï thay ñoåi ít giaù trò π0 seõ khoâng laøm khaùc nhieàu ñònh löôïng cuûa keát quaû. Ta laïi giaû ñònh haøm maät ñoä tieân nghieäm θ0 döôùi moät giaû thuyeát khaùc laø phaân phoái chuaån vôùi kyø voïng θ0 vaø phöông sai ψ. Thaät ra söï löïa choïn p1(θ) khoâng laøm khaùc bieät lôùn neâu θ− 0| |x khoâng lôùn. Lindley (1957) ñöa ra p1(θ) coù phaân phoái ñeàu Kieåm ñònh giaû thuyeát thoáng keâ theo phöông phaùp Bayes Trang 44 θ ψ θ ψ− +0 01 1U( , )2 2 Neáu xem θ0 coù phaân phoái Cauchy thì: ψθ ψ θ θ= π + −1 20 1( ) ( ) p Maëc duø lyù luaän cuûa Jeffreys thì khoâng quaù maïnh vaø döôøng nhö khoâng coù tính thuyeát phuïc. Xem xeùt coâng vieäc cuûa hoï cho thaáy trong nhöõng soá haïng chung hoï ñaït ñöôïc keát luaän töông töï ñoái vôùi nhöõng vaán ñeà phaùt sinh ôû treân. Coù moät thang tham soá ψ trong phaân phoái p1(θ) ñaõ ñöôïc giaûi quyeát ( ñieàu naøy ñuùng khi haøm phaân phoái naøy laø phaân phoái chuaån, ñeàu hoaëc Cauchy). Maëc duø seõ laø hôïp lyù raèng ψ seõ tæ leä vôùi φ, döôøng nhö khoâng coù lyù leõ thuyeát phuïc cho vieäc choïn tham soá naøy, ñeà coù baát kyø giaù trò cuï theå naøo, ( maëc duø Jeffreys ñaõ coá gaêng ñöa ra lyù leõ coù lyù ñoái vôùi daïng Cauchy toång quaùt) . OÂng döôøng nhö khoâng coù caên cöù cho vieäc choïn ψ , khaùc vôùi lôøi noùi raèng noù tæ leä vôùi φ, nhöng deã daøng nhaän thaáy kψ φ= . Taïi B vaø p0 thì gioáng nhö ψ φ= , neáu n ñöôïc nhaân leân bôûi heä soá k. Löu yù raèng neáu ψ→ ∞ daãn ñeán p1(θ) coù phaân phoái ñoàng nhaát tuyeán tính, n → ∞ daãn ñeán B → ∞ , p0 → 1. 2.5.4 Giôùi haïn khoâng phuï thuoäc vaøo phaân phoái tieân nghieäm Thaät ra giôùi haïn cuûa B khoâng phuï thuoäc vaøo nhöõng giaû ñònh veà p1(θ). Ta bieát raèng: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ˆ p x p x d p x ρ θ θ θ θ = ≤ ∫ Kieåm ñònh giaû thuyeát thoáng keâ theo phöông phaùp Bayes Trang 45 Trong ñoù θˆ laø öôùc löôïng hôïp lyù cöïc ñaïi cuûa θ , nghóa laø: ( ) ( )ˆ sup .p x p xθθ θ= Trong tröôøng hôïp treân, x coù phaân phoái chuaån vôùi kyø voïng θ vaø do ñoù $θ = x , vì vaäy: ( ) ( ) ( ) 121 2 /p x p x x nπφ −≤ = . Do ñoù heä soá Bayes thoûa maõn ( ) ( ) { } ( ) ( ) { } φ φ φ − − ⎡ ⎤π − −θ⎢ ⎥θ ⎣ ⎦= ≥ π 1 2 2 0 0 1 21 12 / exp x / // 2 2 / n np x B p x n Do ñoù ta ñaët : θ φ= − 0 /z x n , ta thaáy raèng: ⎛ ⎞≥ −⎜ ⎟⎝ ⎠ 21exp 2 B z Daãn ñeán giôùi haïn beân döôùi töông öùng cuûa p0. Moät vaøi giaù trò maãu (giaû ñònh raèngπ =0 12 ) nhö sau: P_ Giaù trò (2-ñaàu) z Giôùi haïn cuûa B Giôùi haïn cuûa p0 0,1 1,645 0,258 0,205 0,05 1,960 0,146 0,128 0,01 2,576 0,036 0,035 0,001 3,291 0,004 0,004 Benger khaúng ñònh raèng neáu π =0 12 vaø z = 1,68 thì p0 ≥ (P_ giaù trò) x (1,25z). Kieåm ñònh giaû thuyeát thoáng keâ theo phöông phaùp Bayes Trang 46 Xem ví duï sau, neáu z = 1,96 thì heä soá Bayes B ≥ 0,146 vaø do ñoù xaùc suaát haäu nghieäm cuûa giaû thuyeát khoâng ≥ 0,128. Khoâng gioáng nhö nhöõng keát quaû nhaän ñöôïc töø giaû ñònh tröôùc ñoù laø moät daïng chính xaùc ( )ρ θ1 , giôùi haïn khoâng phuï thuoäc côõ maãu nhöng keát luaän thì khoâng phuø hôïp vôùi keát quaû truyeàn thoáng vôùi möùc yù nghóa 5%. 2.5.5 Tröôøng hôïp khoâng bieát phöông sai Trong tröôøng hôïp φ laø khoâng bieát, töông töï nhö keát luaän treân, maëc duø coù moät vaøi söï raéc roái. Seõ khoâng coù gì laø raéc roái neáu phaàn coøn laïi cuûa baøi naøy boû ñi phaàn ñoïc tröôùc (hoaëc thaäm chí laø phaàn ñoïc thöù hai). Thöù nhaát ta caàn xaùc ñònh haøm maät ñoä ( )0p x θ . Neáu φ chöa bieát, vaäy thì theo phaàn 2.12 ( xem [1]) veà “kyø voïng vaø phöông sai chuaån ñeàu chöa bieát”. ( ) ( ){ }2/2 00 , exp /np x S n xθ φ φ θ φ− ⎡ ⎤∝ + −⎣ ⎦ Vôùi ( )= −∑ 2iS x x . Söû duïng tham khaûo tieân nghieäm ( )φ φ∝1/p vôùi φ , deã daøng laáy tích phaân theo φ vaø trôû thaønh. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } { } ( ) 0 0 0 2/2 0 1 /22 , , 1exp / 2 1 / n p x p x d p p x d S n x d t ν θ φ θ φ φ θ φ φ φ θ φ φ ν − − + = = ⎡ ⎤∝ − + −⎢ ⎥⎣ ⎦ ∝ + ∫ ∫ ∫ Vôùi ν = n – 1 vaø θ −= / xt s n = ν2 /s S Baây giôø ñieàu caàn thieát laø xaùc ñònh haøm maät ñoä p1(x) döôùi moät giaû thuyeát khaùc. Kieåm ñònh giaû thuyeát thoáng keâ theo phöông phaùp Bayes Trang 47 Ñeå laøm ñöôïc ñoù, tröôùc tieân ( ) ( ){ }2/2 01, exp /2np x S n xθ φ φ θ φ− ⎡ ⎤∝ − + −⎢ ⎥⎣ ⎦ Giaû ñònh tieân nghieäm ( )θ θ ψ 0N , , ta coù theå laáy tích phaân theo θ : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2/2 2 0 0 21 22 0/2 02 2 0 , , 1 1exp / 2 / /1exp 2 / 1/ / /1 1exp 2 / 1/ n n p x p x d p p x d S n x d nxS nx n nxn n φ θ φ φ θ θ φ φ φ ψ θ θ θ φ φφ φ ψ φ θ ψθφ ψ φ φ ψ φ ψ φ θ ψθφ ψ φ ψ −− −− = = ⎡ ⎤⎧ ⎫⎛ ⎞∝ − + − + −⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎧ ⎫⎛ ⎞+⎪ ⎪⎢ ⎥∝ − + + −⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟+⎢ ⎥⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎛ ⎞+⎛ ⎞× − + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ dθ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦∫ Keát hôïp soá haïng cuûa tæ leä thöùc thaønh ( ) 12/ 1/n φ ψ −+ vaø trôû thaønh ( ) 121 /nψ φ −+ ,vôùi moät vaøi vaän duïng: ( ) ( )( ) ( ) ( ) 222 200 0 2 0 / / / 1/ / 1/ / 1/ 1 1 / nx nnx x n n n x n φ θ ψ φ ψθ θφ ψ φ ψ φ ψ θ ψ φ φ ++ − = −+ + −= + Do ñoù trôû thaønh: ( ) ( ) 1 2 2 0/2 1 11 exp / . 2 1 / n n xnp x S n θψφ φ φφ ψ φ − − ⎡ ⎤⎛ ⎞−⎛ ⎞ ⎢ ⎥∝ + − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ Ñieàu caàn thieát laø phaûi laøm moät vaøi giaû ñònh veà moái quan heä giöõa φ ϕvaø . Neáu giaû ñònh raèng: ψ φ= k Vaø söû duïng tham khaûo tieân nghieäm ( )φ φ∝1/p , do ñoù söï phaân phoái tieân ñoaùn döôùi moät giaû thieát khaùc trôû thaønh: Kieåm ñònh giaû thuyeát thoáng keâ theo phöông phaùp Bayes Trang 48 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 21 1 /2 1 02 1 /221 2 , , 11 exp / 2 1 / 11 1 1 p x p x d p p x d n x nk S n tnk nk ν ν φ φ φ φ φ θφ φψ φ ν − − + − − + − = = ⎡ ⎤⎛ ⎞−⎢ ⎥∝ + − +⎜ ⎟⎜ ⎟+⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎧ ⎫∝ + +⎨ ⎬+⎩ ⎭ ∫ ∫ ∫ vôùi t laø thoáng keâ trong tröôøng hôïp giaû thuyeát khoâng. Do ñoù heä soá Bayes laø: { } ( ) ( ) ( ){ } ( ) ν ν ν ν − + − +− − + + + + 1 /22 1 1 /2122 1 / 1 1 1 / t nk t nk vaø do ñoù xaùc ñònh ñöôïc p0 vaø p1 Khi n → ∞ thì giôùi haïn haøm soá muõ chæ ra heä soá Bayes laø ñöôøng tieäm caän. ( ) ( ) ( ) ( )− − ⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎣ ⎦ = + − +⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎣ ⎦+ − +⎢ ⎥⎣ ⎦ 2 1 22 1 122 1exp 2 11 exp / 1 211 exp 1 2 t nk t nk nk nk t nk Khi ≅t z thì töông töï trong tröôøng hôïp phöông sai ñaõ bieát. 2.6. Trieát lyù Doogian 2.6.1 Moâ taû phöông phaùp Good ñaõ tieán haønh daøn xeáp giöõa caùch tieáp caän Bayes vaø khoâng tieáp caän Bayes nhaèm tieán ñeán kieåm ñònh giaû thuyeát. Kyõ thuaät cuûa Doogian coù theå toùm taét nhö sau: Phöông phaùp Bayes / khoâng Bayer ñeàu phaûi tuaân theo kó thuaät toång hôïp söï vaät vaø söï vieäc trong thoáng keâ. i. Ta duøng trieát lyù hieän ñaïi Bayes / Laplace (bao goàm caùc kó thuaät ñöôïc moâ taû trong 2.4 veà giaû thuyeát trò khoâng vôùi thoâng tin tieân nghieäm) ñeå tính heä soá F Kieåm ñònh giaû thuyeát thoáng keâ theo phöông phaùp Bayes Trang 49 (chính laø 1/B ñöôïc duøng kyù hieäu laø F) trong phi giaû thuyeát khoâng. Ñaëc bieät ñoái vôùi hai tröôøng hôïp phaân bieät cuûa nhöõng giaû thuyeát thoáng keâ, heä soá thuaän lôïi laø baèng tyû soá hôïp lyù (ñöôïc trình baøy trong phaàn 2.1 khi kieåm ñònh giaû thuyeát ñaàu tieân ñöôïc xem xeùt), nhöng khoâng mang tính toång quaùt. Lyù thuyeát hieän ñaïi Bayes /trieát lyù Laplace thöôøng ñöôïc söû duïng vôùi baát ñaúng thöùc giöõa caùc xaùc suaát, nhöng ñeå xaùc ñònh ta giaû ñònh raèng phaân phoái ban ñaàu laø chính xaùc, nhöng khoâng nhaát thieát laø phaân phoái ñeàu. ii. Chuùng ta duøng F nhö thoáng keâ vaø coá gaéng tìm ñöôïc phaân phoái cuûa F treân giaû thuyeát khoâng vaø tính toaùn mieàn cuûa F, P. iii. Cuoái cuøng, ta xem F naèm trong khoaûng (1/30P , 3/10P) ñoù laø (0,6 ,0.67). Neáu khoâng naèm trong khoaûng naøy thì chuùng ta neân xem xeùt laïi (chuù yù laø F laø heä soá nghòch cuûa H). Ñieàu naøy dó nhieân khoâng theå khoâng thuïc hieän, ví du,ï phaàn tröôùc ta xaùc ñònh ñöôïc: { } ( )ψ φ φ ψ −= = + − +1 122 11/ 1 / exp[ 1 / ]2F B n z n Do ñoù B laø haøm ñôn ñieäu cuûa z2, vaø do ñoù xaùc suaát B ≥ b töông öùng (2 ñaàu) P_ giaù trò töông öùng vôùi giaù trò z, deã daøng nhaän thaáy z coù phaân phoái chuaån taéc. 2.6.2 Ví duï baèng soá Cho π0 = 1 vaø haøm maät ñoä döôùi moät giaû thuyeát khaùc laø ψ φ= vaø ( )θ φ0N , z = 1,96 vaø n = 15 P_ Giaù trò laø P = 0,05 vaø heä soá Bayes laø B = 0,66 = 1/15 Phöông phaùp Good ta kieåm ñònh F = 1.5 trong khoaûng (1/30P, 3/10P) töông öùng (0.6 , 0.67). Do ñoù, trong tröôøng hôïp naøy ta khoâng caàn phaûi nghó laïi ‘xem xeùt laïi’.