Luận án Các bất đẳng thức Lojasiewicz: Sự tồn tại và tính toán các số mũ

định như sau: VC(g) ∩ {z = 0} = {[x : y : 0] ∈ CP2 : gd(x, y) = 0}, trong đó gd(x, y) là thành phần thuần nhất bậc d của đa thức g. Vì g có dạng monic nên tất cả các điểm thuộc VC(g)∩ {z = 0} đều chứa trong bản đồ {x = 1} của đa tạp CP2. Vì vậy, VC(g) ∩ {z = 0} = {[1 : ci : 0] ∈ CP2, i = 1, . . . , m}, với {ci, i = 1, . . . , m} là các nghiệm của đa thức gd(1, y) = 0. Gọi {yi1(z), . . . , yik(i)(z)}, i = 1, . . . , m là tập tất cả các khai triển Newton- Puiseux của mầm gˆ(1, y, z) tại điểm (0, ci). Chú ý rằng, các chuỗi yi1, ...,yik(i), i = 1, . . . , m có thể được tính tường minh bởi thuật toán Newton (xem, chẳng hạn, [7, Mục 8.3] hoặc [85, Chương 4]). Ta có m ∑ i=1 k(i) = d (tính cả bội) và khi đó y(x) = xyij (1 x ) , i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , k(i), là các khai triển Newton-Puiseux tại vô hạn của đường cong VC(g). Ví dụ 3.4.2. Xét g(x, y) = 2y3 + x2y− 2y− x. Khi đó, thuần nhất hoá, ta được: ĝ(x, y, z) = 2y3 + x2y− 2yz2 − xz2. VC(g) ∩ {z = 0} = {[x : y : 0] ∈ CP2 : 2y3 + x2y = 0} 63 = {[1 : y : 0] ∈ CP2 : 2y3 + y = 0} = {A1 = [1 : 0 : 0]; A2 = [1 : −i √ 2 2 : 0]; A3 = [1 : i √ 2 2 : 0]}. Ta sẽ tính các nghiệm Newton-Puiseux tại vô hạn của g(x, y) = 0, tương ứng với điểm A1, các điểm khác tương tự. Xét g˜(z, y) = ĝ(1, y, z) = 2y3 + y− 2yz2 − z2. Ta tính các khai triển Newton-Puiseux của đường cong g˜(z, y) = 0 trong lân cận của (0, 0). Theo thuật toán Newton (xem, chẳng hạn, [7, Mục 8.3, trang 377]), từ đầu tiên của y¯(z) là z2. Để tính từ tiếp theo của y¯(z), đặt y¯(z) = z2(1+ ϕ). Ta có 0 = g˜(z, y¯(z)) = g˜(z, z2(1+ ϕ)) hay 2z6(1+ ϕ)3+ z2(1+ ϕ)− 2z4(1+ ϕ)− z2 = 0. Lặp lại thuật toán Newton, ta có ϕ = 2z2(1+ ψ) và: z2[1+ 2z2(1+ ψ)]3 + ψ− 2z2 − 2z2ψ = 0. Vì vậy, ψ = z2 + . . . Điều này kéo theo y(z) = z2 + 2z4 + 2z6 + . . . . Do đó, y(x) = xy( 1 x ) = 1 x + 2 x3 + 2 x5 + . . . là một khai triển Newton-Puiseux tại vô hạn của g(x, y) = 0. Chú ý rằng ∂ ∂ψ [z2[1+ 2z2(1+ ψ)]3 + ψ− 2z2 − 2z2ψ](0, 0) = 1 nên từ Định lý hàm ẩn, ψ là một hàm giải tích thực. Vì vậy, y(x) là một nghiệm Newton-Puiseux thực tại vô hạn của g(x, y) = 0. c. Quy trình tính toán tập Λ+( f ) Giả sử đa thức f có dạng monic theo y và có bậc d. Ta sẽ sử dụng công thức thứ hai của Λ+( f ) để tính toán tập này. Lưu ý rằng trường hợp 2 biến thì Λ+( f ) 6= ∅ theo Hệ quả 3.2.8. Với c là một điểm bất kỳ thuộcR, từ định nghĩa của các tập F1+ và F 2 + và Bổ đề 3.4.1 ta có: (ic) c ∈ F1+ nếu và chỉ nếu một trong hai điều kiện sau được thoả mãn: Hoặc ∃ y˜(x) ∈ RP+( ∂ f∂y ) sao cho f (x, y˜(x)) ≥ c, limx→+∞ f (x, y˜(x)) = c với min y∈RP+( f−c) v(y˜− y) ≥ 0, 64 hoặc ∃ y˜(x) ∈ RP−( ∂ f∂y ) sao cho f (−x, y˜(x)) ≥ c, limx→+∞ f (−x, y˜(x)) = c với min y∈RP−( f−c) v(y˜− y) ≥ 0; (iic) c ∈ F2+ nếu và chỉ nếu một trong hai điều kiện sau được thoả mãn: Hoặc ∃ y˜(x) ∈ RP+( ∂ f∂y ) sao cho f (x, y˜(x)) ≥ c, limx→+∞ f (x, y˜(x)) 6= ∞ với min y∈RP+( f−c) v(y˜− y) > 0, hoặc ∃ y˜(x) ∈ RP−( ∂ f∂y ) sao cho f (−x, y˜(x)) ≥ c, limx→+∞ f (−x, y˜(x)) 6= ∞ với min y∈RP−( f−c) v(y˜− y) > 0. Từ điều kiện (ic), ta có: F1+ = { c ∈ R : ∃y˜(x) ∈ RP+ ( ∂ f ∂y ) , f (x, y˜(x)) ≥ c, lim x→+∞ f (x, y˜(x)) = c, miny∈RP+( f−c) v(y˜− y) ≥ 0 } ⋃{ c ∈ R : ∃y˜(x) ∈ RP− ( ∂ f ∂y ) , f (−x, y˜(x)) ≥ c, lim x→+∞ f (−x, y˜(x)) = c, miny∈RP−( f−c) v(y˜− y) ≥ 0 } . Vì vậy, từ công thức thứ hai củaΛ+( f ) (Hệ quả 3.1.9), để tínhΛ+( f ) thì ta chuyển về tính h+. Đặt P( f ) := {c ∈ R|∃y˜(x) ∈ RP+(∂ f ∂y ) : lim x→+∞ f (x, y˜(x)) = c}⋃{c ∈ R|∃y˜(x) ∈ RP−(∂ f ∂y ) : lim x→+∞ f (−x, y˜(x)) = c}. Giả sử P( f ) = {a1, a2, . . . , as} trong đó a1 < a2 < · · · < as. Từ định nghĩa của tập F2+ và công thức của Λ+( f ) trong Hệ quả 3.1.9, ta có h+ ∈ P( f ) ∪ {−∞}. Nhận xét 3.4.3. Các tính toán đối với hai phía trục Oy đều thực hiện riêng theo hai phía, phía bên phải đối với f (x, y) và phía bên trái đối với f (−x, y). Điều này thể hiện trong các Bổ đề 3.4.1, các điều kiện (ic), (iic) và các tập F1+, P( f ). 65 Để tính h+, ta thực hiện các bước lặp sau: 1. Kiểm tra h+ = as hay không: • Nếu (iic) là đúng với c = as thì h+ = as và tính toán hoàn thành. • Nếu (iic) không đúng với c = as thì ta lấy một giá trị bất kỳ b ∈ (as−1, as). Có hai khả năng sau: Trước hết, nếu (iic) đúng với c = b thì b ∈ F2+ và h+ ∈ [b, as]. Do h+ ∈ P( f ) ∪ {−∞} và [b, as] ∩ P( f ) = {as}, ta có, h+ = as và tính toán hoàn thành; Nếu (iic) không đúng với c = b thì h+ ≤ as−1 và chúng ta chuyển sang bước tiếp theo. 2. Lặp lại bước 1 với as được thay bằng as−1: Nếu h+ = as−1 thì tính toán hoàn thành. Ngược lại, ta tiếp tục lặp lại bước 1 với as được thay bằng as−2. Theo quy trình này thì hoặc ta tìm được ai0 , i0 ∈ {1, . . . , s} sao cho h+ = ai0 hoặc ta chỉ ra h+ < a1. Trong trường hợp sau thì h+ = −∞. 3.4.2 Ví dụ Đầu tiên, ta sẽminh hoạ quy trình tính toán tậpΛ+( f ) quamột ví dụ trong [36, Ví dụ 6.1]. Ví dụ 3.4.4. Cho f (x, y) = (y2 − 1)2 + (xy− 1)2. Ta tính tập Λ+( f ). • Tính khai triển Newton-Puiseux tại vô hạn của ∂ f∂y . Ta có ∂ f ∂y (x, y) = 4y3 + 2x2y− 4y− 2x = 2(2y3 + x2y− 2y− x). Xét g(x, y) = 4y3 + 2x2y− 4y− 2x. Bằng phần mềmMAPLE, sử dụng lệnh "puiseux" của gói lệnh "algcurves" để khai triển Newton-Puiseux tại vô hạn của g(x, y) = 0, với lệnh: > PE := convert(puiseux(g, x = infinity, y, 7, t), list); 66 Kết quả của MAPLE:[[ x = 1 t , y = 1 t (( − 1+ 13 RootOf ( 2 _Z2 + 1 ) 4 ) t6 +(−1+ 1/4 RootOf ( 2 _Z2 + 1 ) )t4 + ( −RootOf ( 2 _Z2 + 1 ) − 1/2 ) t2 + RootOf ( 2 _Z2 + 1 ))] , [ x = 1 t , y = 2 t6 + 2 t4 + t2 t ]] MAPLE cho ra nghiệm Newton-Puiseux thực tại vô hạn là:[ x = 1 t , y = 2 t6 + 2 t4 + t2 t ] . Vì vậy ta có, RP+ ( ∂ f ∂y ) = { y˜(x) = 1 x + 2 x3 + 2 x5 + . . . } , RP− ( ∂ f ∂y ) = { y˜′(x) = −1 x − 2 x3 − 2 x5 + . . . } . • Tính P( f ). Sử dụng MAPLE với lệnh: > series(algsubs(x = 1/t, algsubs(PE[2, 2], f)), t = 0, 5); Kết quả của MAPLE: 1− 2t2 − 3t4 +O(t8). Từ đó ta có f (x, y˜(x)) ≤ 1 và lim x→+∞ f (x, y˜(x)) = 1, tương tự, f (−x, y˜′(x)) ≤ 1 và lim x→+∞ f (−x, y˜ ′(x)) = 1. Do đó ta được P( f ) = {1}. • Tính h+. Ta kiểm tra h+ = 1 hay không: Từ f (x, y˜(x)) ≤ 1, ta có 1 /∈ F2+. Ta cũng có thể chỉ ra 1 6∈ F2+ nhờ điều kiện (iic). Thật vậy, ta tính nghiệm Newton-Puiseux tại vô hạn của f (x, y)− 1 = 0 bằng lệnh: 67 > PG := convert(puiseux(f-1, x = infinity, y, 4, t), list); MAPLE cho ta các nghiệm thực: [ x = 1 t , y = 2 t4 + t3RootOf ( _Z2 − 2 ) + t2 t ] . Vì vậy, RP+( f − 1) = { y1(x) = 1 x + √ 2 x2 + 2 x3 + . . . ; y2(x) = 1 x − √ 2 x2 + 2 x3 + . . . } . Từ đây suy ra y˜(x)− y1(x) = − √ 2 x2 + 2 x3 + . . . ; y˜(x)− y2(x) = √ 2 x2 + 2 x3 + . . . . Vì vậy, min y∈RP+( f−1) v(y˜− y) < 0. Lặp lại các lập luận trên cho nghiệm y˜′(x) của RP− ( ∂ f ∂y ) và RP−( f − 1) ta cũng có min y∈RP−( f−1) v(y˜′ − y) < 0. Do đó (iic) không thoả mãn nên 1 /∈ F2+. Chú ý rằng inf f = 0 và f−1(0) = {(1, 1), (−1,−1)}. Lấy 0 ≤ t < 1, ta có thể kiểm tra t ∈ F2+ nhanh chóng. Thật vậy, không khó để thấy rằng f−1(t) là compact nếu t ∈ [0, 1). Ngoài ra, f−1(t) là không-compact nếu t ≥ 1. Vì vậy, h+ = 1. • Tính F1+. Do min y∈RP+( f−1) v(y˜− y) < 0 cùng với min y∈RP−( f−1) v(y˜′ − y) < 0 ta thấy rằng (ic) không thoả mãn. Từ đó suy ra 1 /∈ F1+. 68 Vậy F2+ = [0, 1), h+ = 1, F 1 + = ∅ và vì vậy Λ+( f ) = [1,+∞). Do đó, với bất kỳ t ∈ [0,+∞), ta có thể phân loại được tất cả các kiểu ổn định của cận sai số Ho¨lder toàn cục của [ f ≤ t]: • Nếu t ∈ (1,+∞) thì t là y-ổn định; • Nếu t = 1 thì t là y-ổn định phải; • Nếu t ∈ (0, 1) thì t là n-ổn định. Ví dụ 3.4.5. Xét f (x, y) = (y + 1)[y2 + (xy− 1)2]. Ta có F2+ = ∅, inf f = −∞, F1+ = {0}, vì vậy h+ = −∞ và Λ+( f ) = R \ {0}. Do đó, nếu t 6= 0 thì t là y-ổn định, t = 0 là y-cô lập. Có thể xét f như một đa thức n biến, chẳng hạn f (x1, x2, . . . , xn) = (x2 + 1)[x22 + (x1x2 − 1)2]. Ví dụ 3.4.6. Xét f (x, y) = x2[y2 + (xy− 1)2]. Ta có inf f = 0, F2+ = {0}, F1+ = {0}, vì vậy h+ = 0 và Λ+( f ) = (0,+∞). Do đó, t = 0 là n-ổn định trái và t là y-ổn định với mọi t 6= 0. Có thể xét f như một đa thức n biến, chẳng hạn f (x1, x2, . . . , xn) = x21[x 4 2 + (x1x2 − 1)2]. 3.5 Bất đẳng thức Łojasiewicz toàn cục cho hàm đa thức n biến thực Trong mục này chúng tôi khảo sát sự tồn tại của bất đẳng thức Łojasiewicz toàn cục theo từng thớ f−1(t). Từ công thức của Λ( f ), chúng tôi quan sát các giá trị 69 biên của tập hợp này. Từ đó, chúng tôi đưa ra một số ví dụ thể hiện mối liên hệ giữa các giá trị này và các giá trị rẽ nhánh tại vô hạn. 3.5.1 Tập các giá trị mà thớ tại đó thoảmãn bất đẳng thức Łojasiewicz toàn cục Định nghĩa 3.5.1. Cho hàm đa thức f : Rn → R và t ∈ R sao cho f−1(t) 6= ∅. Ta nói rằng tập f−1(t) thoả mãn bất đẳng thức Łojasiewicz toàn cục nếu ∃c, α, β > 0 sao cho | f (x)− t|α+ | f (x)− t|β ≥ c dist(x, f−1(t)), ∀x ∈ Rn. (3.20) Ta xét các tập sau: Λ−( f ) := {t ∈ R|[ f ≥ t] có cận sai số Ho¨lder toàn cục} và Λ( f ) := {t ∈ R| f−1(t) thoả mãn (3.20)}. Trong mục này, ta sẽ thiết lập công thức cho tập Λ( f ). Ta đặt: F1− := {t ∈ R : ∃{xk} ⊂ Rn, {xk} là dãy loại một của [ f ≥ t]}, F2− := {t ∈ R : ∃{xk} ⊂ Rn, {xk} là dãy loại hai của [ f ≥ t]}, F1 := F1+ ∪ F1−. Định nghĩa 3.5.2. Đặt h− = inf{t ∈ R : t ∈ F 2−} nếu F2− 6= ∅, sup f nếu F2− = ∅. Ta gọi h− là ngưỡng của bất đẳng thức Łojasiewicz phía dưới của f . Tương tự như Định lý 3.1.4, ta có Mệnh đề 3.5.3. Cho f là một đa thức n biến thực. Khi đó: Λ−( f ) =  (−∞, h−) \ F1− nếu F2− 6= ∅ và h− ∈ F2−, (−∞, h−] \ F1− nếu F2− 6= ∅, h− = +∞ và h− /∈ F2−, (−∞, sup f ] \ F1− nếu F2− = ∅, sup f < +∞ và f đạt supremum, (−∞, sup f ) \ F1− nếu F2− = ∅, sup f < +∞ và f không đạt supremum, R \ F1− nếu F2− = ∅ và sup f = +∞. 70 Chứng minh của mệnh đề trên tương tự như Định lý 3.1.4, trong đó, ta chỉ cần xét tập [ f ≥ t] thay vì [ f ≤ t]. Định lý 3.5.4 (Công thức của Λ( f )). Cho f là đa thức n biến thực. Khi đó ta có: (i) Λ( f ) = Λ+( f ) ∩Λ−( f ); (ii) Nếu h+, h− ∈ R, thìΛ( f ) = Ih \ F1 trong đó Ih là một trong các khoảng [h+, h−], (h+, h−), [h+, h−) và (h+, h−]; (iii) Λ( f ) là một tập con nửa đại số của R. Chứng minh. Xét t ∈ R, nếu f−1(t) thoả mãn bất đẳng thức (3.20) tức là t ∈ Λ( f ) thì tồn tại c, α, β > 0 sao cho | f (x)− t|α + | f (x)− t|β ≥ c dist(x, f−1(t)) ≥ c dist(x, [ f ≤ t]), ∀x ∈ Rn, vậy t ∈ Λ+( f ). Tương tự t ∈ Λ−( f ), do đó t ∈ Λ+( f ) ∩ Λ−( f ). Ngược lại, lấy dãy loại 1 và loại 2 của f−1(t) (xem [16]) thì đó cũng là dãy loại 1 và 2 của [ f ≤ t] hoặc [ f ≥ t]. Vì vậy nếu t /∈ Λ( f ) thì t /∈ Λ+( f ) ∩Λ−( f ). Từ đó ta suy ra khẳng định (i). Khẳng định (ii) được suy ra từ khẳng định (i) và cấu trúc của Λ+( f ),Λ−( f ) theo các Định lý 3.1.4 và Mệnh đề 3.5.3. Khẳng định (iii) là hệ quả của (i) và cấu trúc nửa đại số của Λ+( f ) và Λ−( f ). Định nghĩa 3.5.5. Ta gọi các giá trị h+, h− (nếu chúng hữu hạn) và các giá trị t0 ∈ ∂F1 (biên của tập F1) là các giá trị Łojasiewicz, ký hiệu là L∗( f ). Ta có hệ quả sau trong trường hợp tập Fedoryuk hữu hạn. Hệ quả 3.5.6. Giả sử #K˜∞( f ) là tập hữu hạn và khác rỗng. Nếu h+, h− 6= ∞, thì h+, h− ∈ K˜∞( f ). Hơn nữa, nếu h+ < h−, thì Λ( f ) 6= ∅. Chứng minh. Từ Mệnh đề 3.2.5 và giả thiết, ta có h+ ∈ K˜∞( f ), tương tự, ta có h− ∈ K˜∞( f ). Từ công thức của Λ+( f ),Λ−( f ) và từ Định lý 3.5.4 (mục (ii)), nếu h+, h− 6= ∞ thì ta có Λ( f ) = Ih \ F1. Do đó nếu h+ < h− và K˜∞( f ) hữu hạn thì Λ( f ) 6= ∅ vì F1 là tập hữu hạn. 71 Nhận xét 3.5.7. (i) F1+, F 1− là các tập con nửa đại số củaR nên F1 cũng là tập con nửa đại số của R. Do đó ∂F1 là một tập hữu hạn. Ngoài ra F1 ⊂ K˜∞( f ), do đó trong trường hợp 2 biến thì F1 là tập hữu hạn. Hơn nữa L∗( f ) ⊂ K˜∞( f ). (ii) Giả thiết h+ < h− trong Hệ quả 3.5.6 là cần thiết, xem Ví dụ 3.5.11. (iii) Ta có thể liệt kê được tất cả các kiểu ổn định của bất đẳng thức Łojasiewicz toàn cục của f−1(t) khi nhiễu t. Công việc này tương tự như trong Mục 3.3. 3.5.2 Một số ví dụ Cho f : Rn → R là một hàm đa thức. Từ một kết quả của R. Thom [83], tồn tại một tập hữu hạn A ⊂ R sao cho f : Rn \ f−1(A)→ R \ A là một phân thớ tầm thường địa phương lớp C∞. Đặt B( f ) là tập con nhỏ nhất trong số các tập A như trên và gọi là tập các giá trị rẽ nhánh của f . Định nghĩa 3.5.8. Một giá trị t0 ∈ R được gọi là giá trị chính quy tại vô hạn của f nếu tồn tại δ, R > 0 sao cho f : f−1(Dδ) \ {‖x‖ ≤ R} → Dδ là một phân thớ tầm thường địa phương lớp C∞, trong đó Dδ = (t0 − δ, t0 + δ). Nếu t0 không phải là một giá trị chính quy tại vô hạn thì t0 được gọi là một giá trị rẽ nhánh tại vô hạn hay còn gọi là giá trị tới hạn ứng với kỳ dị tại vô hạn của f . Ký hiệu B∞( f ) là tập các giá trị rẽ nhánh tại vô hạn của f . Ta có B( f ) = B0( f )∪ B∞( f ) trong đó B0( f ) là tập các giá trị tới hạn theo nghĩa thông thường. Hơn nữa, B∞( f ) ⊂ K˜∞( f ) (xem [52, trang 634]). Định nghĩa 3.5.9. ( [16, Định nghĩa 5.2]) Ta nói rằng f có một thành phần liên thông biến mất tại vô hạn khi t tiến đến t0 nếu với mọi δ > 0 và với mọi R > 0, tồn tại t ∈ (t0 − δ, t0 + δ) sao cho thớ f−1(t) có một thành phần liên thông Wt thoả mãn Wt ∩BR = ∅, trong đó BR là hình cầu tâm O bán kính R. 72 Trong [16, Định lý 5.4], các tác giả đã chứng tỏ rằng trong trường hợp 2 biến, nếu t0 ∈ F1, thì f−1(t0 + e) hoặc f−1(t0− e) có ít nhất một thành phần liên thông biến mất tại vô hạn khi e tiến đến 0. Chú ý rằng, chiều ngược lại là không đúng (chẳng hạn, xem Ví dụ 3.5.13). Mối liên hệ giữa các giá trị Łojasiewicz với các giá trị rẽ nhánh tại vô hạn được thể hiện qua các ví dụ dưới đây. a. Ví dụ về đa thức có bất kỳ thớ nào cũng thoả mãn bất đẳng thức Łojasiewicz toàn cục Định lý C trong [32] suy ra rằng nếu f là một đa thức đủ tổng quát, thì tập K˜∞( f ) = ∅ và [ f ≤ t] có cận sai số Ho¨lder toàn cục với mọi t ∈ [inf f ,+∞) và [ f ≤ t] 6= ∅. Từ đó, ta có Λ+( f ) = (inf f ,+∞) hoặc [inf f ,+∞), tương tự Λ−( f ) = (−∞, sup f ) hoặc (−∞, sup f ]. Chú ý rằng trong trường hợp này thì F1 = ∅ và F2+ = F 2− = ∅. Ta minh hoạ bằng ví dụ đơn giản sau đây. Ví dụ 3.5.10. Xét đa thức f (x1, x2, . . . , xn) = xk1 + x2 + x3 + · · ·+ xn−1 + xn với k ≥ 1. Đa thức này là thuận tiện và không suy biến theo Kouchnirenko [32] nên là đa thức đủ tổng quát (tập các đa thức không suy biến và thuận tiện là một tập mở Zariski và trù mật trong tập các đa thức với đa diện Newton cho trước không suy biến tại vô hạn, đủ tổng quát là theo nghĩa mở và trù mật này). Ngoài ra ∇ f (x) = (kxk−11 , 1, . . . , 1) nên ‖∇ f (x)‖ = √ k2x2k−21 + n− 1. Do đó, với ‖x‖ ≥ 1, tồn tại δ > 0 sao cho ‖∇ f (x)‖ ≥ δ. Từ đó suy ra K˜∞( f ) = ∅. Áp dụng Hệ quả 3.2.6 và Định lý 3.5.4, ta có Λ( f ) = R. Tất nhiên trong trường hợp này thì B∞( f ) = ∅ và L∗( f ) = ∅. b. Ví dụ về đa thức 2 biến không tồn tại thớ nào có bất đẳng thức Łojasiewicz toàn cục Ví dụ 3.5.11. Xét đa thức f (x, y) = (x + 1)[y2 + (xy− 1)2]. 73 Hình 3.1: Λ( f ) = ∅ Ta có Λ+( f ) 6= ∅,Λ−( f ) 6= ∅ nhưng Λ( f ) = ∅. Nguyên nhân là vì h+ = h− = 0 ∈ F1. Ta có 0 là một giá trị rẽ nhánh tại vô hạn, hơn nữa, L∗( f ) = {0} ⊂ B∞( f ). Cụ thể hơn, f−1(e) và f−1(−e) đều có thành phần liên thông biến mất tại vô hạn khi e→ 0 (xem Hình 3.1). c. Ví dụ về đa thức chỉ cómột thớ duy nhất thoảmãn bất đẳng thức Łojasiewicz toàn cục Ví dụ 3.5.12. Xét đa thức Broughton [8]: f (x, y) = y2x− y. Ta có Λ( f ) = {0} vì h+ = h− = 0 ∈ Λ( f ) và do đó 0 là y-cô lập. Như vậy chỉ có duy nhất thớ f−1(0) có bất đẳng thức Łojasiewicz toàn cục. Đa thức này có 0 là giá trị rẽ nhánh tại vô hạn, cụ thể là thớ f−1(−e) thay đổi số thành phần liên thông so với thớ f−1(0) tại vô hạn (xem Hình 3.2). Ở đây L∗( f ) = {0} và B∞( f ) = {0} nên L∗( f ) = B∞( f ). 74 Hình 3.2: Λ( f ) chỉ có một giá trị d. Ví dụ về tập các giá trị Łojasiewicz là tập con thực sự của tập các giá trị rẽ nhánh tại vô hạn Ví dụ 3.5.13. Cho f (x, y) = xy[y2 + (xy− 1)2]. Trong ví dụ này, ta có Λ( f ) = R, Hình 3.3: f−1( 4 27 + e) có thay đổi số thành phần liên thông tại vô hạn khi e→ 0 do đó L∗( f ) = ∅. Mặt khác B∞( f ) = { 0, 4 27 } . Hơn nữa, f−1( 4 27 + e) có thay đổi số thành phần liên thông tại vô hạn khi e → 0 (xem Hình 3.3) và thớ f−1(e) 75 Hình 3.4: f−1(e) có thành phần liên thông biến mất tại vô hạn khi e→ 0 có thành phần liên thông biến mất tại vô hạn khi e → 0 (xem Hình 3.4). Trong trường hợp này F1 = ∅. Nhận xét 3.5.14. Từ những ví dụ trên, ta thấy rằng tập Łojasiewicz L∗( f ) là một tập con của tập các giá trị rẽ nhánh tại vô hạn B∞( f ). Một câu hỏi đặt ra là, phải chăng với mọi đa thức n biến thực thì L∗( f ) ⊆ B∞( f )? 76 Chương 4 CẬN SAI SỐ HO¨LDER TOÀN CỤC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC ŁOJASIEWIZ GRADIENT TRONG CÁC CẤU TRÚC O-TỐI TIỂU Một trong những vấn đề được quan tâm trong nghiên cứu hình học cấu trúc o-tối tiểu là khảo sát sự tồn tại của cận sai số Ho¨lder toàn cục và bất đẳng thức Łojasiewicz cho hàm định nghĩa được trong các cấu trúc o-tối tiểu khác nhau. Các hàm định nghĩa được trong cấu trúc o-tối tiểu là lớp hàm rộng hơn lớp hàm đa thức nhưng bảo toàn nhiều tính chất hình học của lớp hàm đa thức (xemMục 1.2). Theo chúng tôi biết, các kết quả đầu tiên về cận sai số Ho¨lder toàn cục cho hàm đa thức nằm trong các công trình [38, 64, 66]. Trong đó, Hoffman thiết lập kết quả cho hàm tuyến tính, Luo-Sturm [66] thiết lập cận sai số Ho¨lder toàn cục trong trường hợp đa thức bậc 2 bất kỳ, G. Li [57] đã chứng minh kết quả cho đa thức lồi. Sau đó, Hà Huy Vui [32] đã đưa ra tiêu chuẩn cho sự tồn tại của cận sai số Ho¨lder toàn cục cho hàm đa thức bất kỳ, không cần dùng điều kiện Slater hay tính lồi và Đinh Sĩ Tiệp, Hà Huy Vui và Phạm Tiến Sơn [18] đã đặc trưng cận sai số Ho¨lder toàn cục cho lớp hàm nửa đại số. Điều đó dẫn chúng tôi đến bài toán sau: Đặc trưng sự tồn tại của cận sai số Ho¨lder toàn cục cho lớp hàm định nghĩa được trong các cấu trúc o-tối tiểu. Trong trường hợp thực, theo chúng tôi được biết, những công trình đầu tiên thiết lập các bất đẳng thức Łojasiewicz cho các hàm định nghĩa được trong các cấu trúc o-tối tiểu là của Tạ Lê Lợi [59] và Kurdyka [51]. Bất đẳng thức Łojasiewicz gradient là công cụ được sử dụng trong nhiều bài 77 toán, chẳng hạn như các bài toán phương trình tiến hoá (xem [41]), hội tụ nghiệm và thuật toán (xem [6, 22]). Vì vậy việc đặc trưng bất đẳng thức này là một bài toán đáng lưu ý. Năm 2010, các tác giả trong [6] đã có những nghiên cứu về đặc trưng và ứng dụng của bất đẳng thức này trong trường hợp hàm dưới giải tích, không trơn. Tuy nhiên, những nghiên cứu trên chỉ phát biểu cho trường hợp địa phương. Với bất đẳng thức gradient (1.2), trường hợp U trong bất đẳng thức này là lân cận không compact thì bất đẳng thức có thể không còn đúng nữa (xem Ví dụ 4.2.1). Từ đây, phát sinh bài toán sau: Tìm điều kiện cần và đủ để tồn tại bất đẳng thức Łojasiewicz gradient cho lớp hàm định nghĩa được trong trường hợp lân cận U là không compact hay toàn cục. Mục đích của chương này nhằm: • Mở rộng một số kết quả về cận sai số Ho¨lder toàn cục của Hà Huy Vui trong [32] từ lớp hàm đa thức lên lớp hàm định nghĩa được trong cấu trúc o-tối tiểu (các Mệnh đề 4.1.1, 4.1.3 và các Định lý 4.1.5, 4.1.8). Trong đó, có ví dụ ở nhận xét 4.1.4 chỉ ra sự khác biệt trong kết quả về cận sai số giữa trường hợp hàm đa thức và hàm định nghĩa được. • Đưa ra tiêu chuẩn tồn tại bất đẳng thức gradient cạnh thớ cho hàm định nghĩa được, liên tục (Định lý 4.2.2). Bài toán thứ hai chúng tôi chỉ đạt được kết quả về bất đẳng thức gradient trong trường hợp cạnh thớ chứ chưa phải trường hợp toàn cục. Do đó kết quả ở bài toán này còn rất hạn chế. Chương này được chúng tôi trình bày theo bài báo đầu tiên trong danh mục công trình. 4.1 Cận sai số Ho¨lder toàn cục cho hàm định nghĩa được Trong các mục từ đây trở về sau, tập S luôn được giả sử là tập dưới mức tương ứng với t = 0, cụ thể là S := {x ∈ Rn | f (x) ≤ 0}, 78 trong đó f : Rn → R là một hàm định nghĩa được trong một cấu trúc o-tối tiểu. Ký hiệu [a]+ := max{a, 0}. 4.1.1 Các bất đẳng thức kiểu Łojasiewicz gần tập và xa tập Mục đích chính của phần này là mở rộng một số kết quả, cụ thể là các Định lý 2.1 và 2.2 trong [32] cho các hàm định nghĩa được, liên tục. Trong trường hợp này, khó khăn chính của các mở rộng này là ta không có Bổ đề 1.2.12 trong các cấu trúc o-tối thiểu tổng quát. Bởi vậy, chúng tôi sử dụng Định lý 1.2.9 để chứng minh các kết quả này. Mệnh đề sau đây là một mở rộng của Định lý 2.1 trong [32]: Mệnh đề 4.1.1 (Bất đẳng thức "gần tập"). Cho f : Rn → R là một hàm định nghĩa được, liên tục. Giả sử rằng S 6= ∅. Khi đó hai khẳng định sau là tương đương: (i) Với dãy bất kỳ xk ∈ Rn \ S, xk → ∞, thỏa mãn f (xk)→ 0 thì dist(xk, S)→ 0; (ii) Tồn tại δ > 0 và một hàm µ : [0, δ] → R định nghĩa được, liên tục và đơn điệu tăng ngặt trên [0, δ) với µ(0) = 0 sao cho µ([ f (x)]+) ≥ dist(x, S), ∀x ∈ f−1((−∞, δ]) (4.1) Chứng minh. (ii) ⇒ (i) : Giả sử xk 6∈ S, xk → ∞ và f (xk) → 0. Ta có [ f (xk)]+ = f (xk). Từ tính liên tục của hàm µ tại 0, ta được µ( f (xk)) → 0. Chú ý rằng 0 < f (xk) < δ nếu k 1. Khi đó, bất đẳng thức (4.1) kéo theo dist(xk, S)→ 0. (i) ⇒ (ii) : Không mất tổng quát, giả sử rằng S 6= Rn. Khi đó tồn tại t0 > 0 sao cho f−1(t0) 6= ∅. Vì f là hàm liên tục, nên f−1(t) 6= ∅ với mọi 0 ≤ t 1. Đặt µ(t) := sup x∈ f−1(t) dist(x, S), t ≥ 0. Ta sẽ chứng tỏ rằng tồn tại δ > 0 đủ bé sao cho µ(t) có những tính chất cần thiết. Rõ ràng ta có µ(0) = 0. 79 Ta chứng minh rằng tồn tại δ > 0 sao cho µ(t) < +∞ với mọi t ∈ [0, δ). Giả sử ngược lại rằng tồn tại một dãy tk > 0, tk → 0, sao cho µ(tk) = ∞ với mọi k. Khi đó, tồn tại dãy xk ∈ f−1(tk) sao cho dist(xk, S) → +∞ khi k → ∞. Vì vậy f (xk)→ 0 và xk → ∞. Đây là một mâu thuẫn. Từ Mệnh đề 1.2.6 và 1.2.7 cùng Định lý 1.2.4, ta có µ(t) là định nghĩa được trên khoảng [0, δ]. Sử dụng Định lý 1.2.9 và giảm δ nếu cần, ta có hàm µ là liên tục và đơn điệu chặt trên (0, δ]. Ta sẽ chứng minh rằng µ liên tục tại 0. Giả sử µ không liên tục tại 0. Khi đó, tồn tại một dãy số tk → 0 sao cho µ(tk) = sup x∈ f−1(tk) dist(x, S)9 0. Vì vậy, tồn tại một dãy xk ∈ f−1(tk) sao cho tk = f (xk) → 0 và dist(xk, S) 9 0. Mặt khác, xk → ∞. Thật vậy, nếu có x ∈ Rn sao cho xk → x thì từ tính liên tục của f , ta có f (xk) → f (x), suy ra f (x) = 0. Điều này nghĩa là dist(xk, S) → 0, mâu thuẫn. Bởi vậy ta có xk → ∞, f (xk) → 0 và dist(xk, S) 9 0. Điều này mâu thuẫn với (i). Do đó hàm µ là liên tục và đơn điệu trên [0, δ]. Vì µ(0) = 0 và µ(t) > 0 với mọi t ∈ (0, δ] nên nếu δ đủ bé thì µ(t) là hàm tăng ngặt trên [0, δ]. Với 0 < t ≤ δ, với mọi x ∈ f−1(t), ta có µ(t) = sup a∈ f−1(t) dist(a, S) ≥ dist(x, S). Vì vậy, µ([ f (x)]+) ≥ dist(x, S) với mọi x ∈ f−1((−∞, δ]). Nhận xét 4.1.2. Điều kiện µ là liên tục tại 0 và µ(0) = 0 trong (ii) là cần thiết. Chẳng hạn, xét hàm f : R → R, x 7→ x 1+ x2 . Dễ thấy f là hàm nửa đại số vì đồ thị của f là tập nửa đại số {(x, y) ∈ R2|(1+ x2)y = x}, ngoài ra f là hàm khả vi. Ta có S = (−∞, 0]. Khi đó, ta chọn µ(t) := sup x 1+x2 =t dist(x, S) = 1+ √ 1− 4t2 2 với 0 < t < 1 2 . 80 Hàm này là nửa đại số, liên tục trên khoảng ( 0, 1 2 ) và lim t→0+ µ(t) = 1. Mặt khác, lấy dãy xk = k > 0 thì ta có xk → +∞, f (xk)→ 0 và dist(xk, S)→ +∞, vì vậy (i) không thoả mãn. Mệnh đề sau đây là một mở rộng của Định lý 2.2 trong [32]. Mệnh đề 4.1.3 (Bất đẳng thức "xa tập"). Giả sử rằng mọi dãy xk ∈ Rn \ S, thoả mãn xk → ∞, dist(xk, S) → ∞ thì ta có f (xk) → ∞. Khi đó, tồn tại r > 0 và một hàm µ : [r,+∞) → R định nghĩa được, đơn điệu tăng và liên tục trên khoảng [r,+∞) sao cho lim t→+∞ µ(t) = +∞ và µ([ f (x)]+) ≥ dist(x, S), với mọi x ∈ f−1([r,+∞)). (4.2) Chứng minh. Xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Hàm f bị chặn trên, tức là r′ := supx∈Rn f (x) < +∞. Từ giả thiết, ta suy ra tồn tại M > 0 sao cho dist(x, S) ≤ M với mọi x ∈ Rn. Lấy bất kỳ r ∈ (0, r′). Với mọi x ∈ f−1([r, r′)), f (x) ≥ r = r M M ≥ r M dist(x, S), Khi đó hàm µ(t) := M r t với t ≥ r thỏa mãn các tính chất ta yêu cầu. Trường hợp 2: Hàm f không bị chặn trên. Từ tính chất liên tục của f và S 6= ∅, ta có f−1(t) 6= ∅ với mọi t ≥ 0. Đặt µ(t) = sup x∈ f−1(t) dist(x, S). Ta sẽ chứng minh rằng tồn tại r  1 sao cho µ(t) < ∞ với mọi t ≥ r. Giả sử ngược lại rằng µ(t) = ∞ với t  1. Khi đó tồn tại một dãy xk ∈ f−1(t) sao cho dist(xk, S) → ∞ và xk → ∞. Điều này mâu thuẫn với giả thiết. Bởi vậy, µ(t) < +∞ với mọi t ∈ [r,+∞). Từ đây suy ra µ là hàm định nghĩa được, xác định trên [r,+∞). Sử dụng Định lý 1.2.9 và tăng r nếu cần, ta suy ra µ liên tục và đơn điệu trên [r,+∞). Đặt M := sup t∈[r,+∞) µ(t). 81 Ta có 2 trường hợp con: Trường hợp 2.1: M = +∞. Ta có lim t→+∞ µ(t) = +∞. Vì vậy, hàm µ là đơn điệu tăng ngặt trên [r,+∞). Hơn nữa µ([ f (x)]+) = µ( f (x)) ≥ dist(x, S) với mọi x ∈ f−1([r,+∞)). Trường hợp 2.2: M < +∞.Dễ thấy vớimọi x sao cho f (x) ≥ r, ta có dist(x, S) ≤ M, vì vậy f (x) ≥ r = r M M ≥ r M dist(x, S). Khi đó, hàm µ(t) := Mt r với t ≥ r, có các tính chất thỏa mãn mệnh đề. Nhận xét 4.1.4. Điều ngược lại của mệnh đề trên là không đúng. Thật vậy, xét f : R → R, x 7→ x√ 1+ x2 . Hàm f là khả vi nửa đại số vì đồ thị của f là tập {(x, y) ∈ R2|(1+ x2)y2 = x2} ∩ {xy > 0}. Ta có S = (−∞, 0]. Chọn 0 < r < 1 và đặt µ(t) :=  sup x√ 1+x2 =t dist(x, S) = t√ 1− t2 trên [r, 1) +∞ trên [1,+∞). Hàm này là định nghĩa được, đơn điệu tăng và liên tục. Mặt khác, lấy xk = k, ta có xk → +∞, dist(xk, S) = k→ +∞ và f (xk)→ 1. 4.1.2 Tiêu chuẩn tồn tại cận sai số Ho¨lder toàn cục Định lý sau đâymở rộng Định lý A của Hà Huy Vui trong [32] (xemĐịnh lý 3.1.2) cho hàm định nghĩa được, liên tục trong cấu trúc o-tối tiểu bất kỳ. Định lý 4.1.5. Cho f : Rn → R là một hàm định nghĩa được, liên tục. Giả sử rằng S 6= ∅ và [ f (x)]+ := max{ f (x), 0}. Khi đó, hai khẳng định sau là tương đương (i) Với mọi dãy xk ∈ Rn \ S, xk → ∞: (i1) nếu f (xk)→ 0 thì dist(xk, S)→ 0; (i2) nếu dist(xk, S)→ +∞ thì f (xk)→ +∞. 82 (ii) Tồn tại một hàm µ : [0,+∞) → R định nghĩa được, đơn điệu tăng ngặt và liên tục với µ(0) = 0, lim t→+∞ µ(t) = +∞ sao cho µ([ f (x)]+) ≥ dist(x, S), với mọi x ∈ Rn. Chứng minh. Dễ thấy (ii)⇒ (i). Ta chứng minh (i)⇒ (ii). Thật vậy, từ Mệnh đề 4.1.1, tồn tại hàm định nghĩa được, liên tục và đơn điệu tăng ngặt µ1 trên [0, δ] với 0 < δ 1, µ1(0) = 0 sao cho dist(x, S) ≤ µ1([ f (x)]+) với mọi x ∈ f−1((−∞, δ]). TừMệnh đề 4.1.3, tồn tại hàm định nghĩa được, liên tục và đơn điệu tăng ngặt µ2 trên [r,+∞) với r  1 và lim t→+∞ µ2(t) = +∞ sao cho dist(x, S) ≤ µ2([ f (x)]+) với mọi x ∈ f−1([r,+∞)). Vì lim t→+∞ µ2(t) = +∞ nên ta có thể chọn r đủ lớn sao cho µ2(r) > µ1(δ). Ta định nghĩa hàm µ3 : [δ, r]→ R xác định bởi công thức sau: µ3(t) := ( b− a r− δ ) t− δ r− δ(b− a) + a với a := µ1(δ), b := µ2(r). (4.3) Vì a < b nên µ3(t) là hàm định nghĩa được, tăng ngặt, liên tục trên [δ, r] và thoả mãn µ3(δ) = µ1(δ), µ3(r) = µ2(r). Kết hợp ba hàm số µ1, µ2, µ3, ta nhận được hàm số µ4(t) =  µ1(t) ∀t ∈ [0, δ] µ3(t) ∀t ∈ [δ, r] µ2(t) ∀t ∈ [r,+∞) là hàm định nghĩa được, tăng ngặt và liên tục trên [0,+∞), thoả mãn µ4(0) = 0, lim t→+∞ µ4(t) = +∞. Từ (i2) ta có dist(x, S) là hàm bị chặn với mọi x ∈ f−1([δ, r]). Đặt M := sup x∈ f−1([δ,r]) dist(x, S), 83 khi đó dist(x, S) ≤ M với mọi x ∈ f−1([δ, r]). Do đó, µ3([ f (x)]+) ≥ µ3(δ) = µ1(δ) = µ1(δ)MM ≥ µ1(δ) M dist(x, S) với mọi x ∈ f−1([δ, r]). Hơn nữa, với c = min{1, µ1(δ)M }, ta có µ4([ f (x)]+) ≥ c dist(x, S), với mọi x ∈ Rn. Khi đó, hàm µ(t) := 1cµ4(t) thoả mãn (ii). Nhận xét 4.1.6. Những điều kiện dãy để đặc trưng cho sự tồn tại của bất đẳng thức Łojasiewicz toàn cục và cận sai số Ho¨lder toàn cục đã được đề cập trong công trình [16] và [32] cho các hàm đa thức. Kết quả trên đây của chúng tôi thiết lập cận sai số Ho¨lder toàn cục của hàm định nghĩa được và liên tục. Hơn nữa, Tạ Lê Lợi [61, Mệnh đề 4] đã xét bất đẳng thức Łojasiewicz dạng tổng quát (1.1) cho hai hàm f , g định nghĩa được bất kỳ và cũng dùng điều kiện dãy để đặc trưng. 4.1.3 Mối liên hệ giữa điều kiện Palais-Smale với sự tồn tại của cận sai số Ho¨lder toàn cục Điều kiện Palais-Smale kéo theo sự tồn tại của một cận sai số, thông thường được chứng minh bằng cách sử dụng Nguyên lý Biến phân Ekeland, đã được biết đến nhiều trong các kết quả trước đây về các hàm liên tục trong không gian mê tric (chẳng hạn, xem [3, 10, 43]). Trong mục này, chúng tôi chứng minh một kết quả kiểu này cho các hàm định nghĩa được. Định nghĩa 4.1.7. Cho f : Rn → R là một hàm liên tục và một số thực a, ta nói rằng f thỏa mãn điều kiện Palais-Smale tại mức t, nếu mọi dãy {xk} ⊂ Rn thỏa mãn f (xk)→ t và m f (xk)→ 0 khi k→ ∞ đều có một dãy con hội tụ. Định lý sau đây mở rộng Định lý B của Hà Huy Vui trong [32] cho hàm định nghĩa được, liên tục. Trong đó, chúng tôi sử dụng dưới vi phân thay vì gradient. Định lý 4.1.8. Cho f : Rn → R là một hàm định nghĩa được, liên tục. Giả sử S = {x ∈ Rn| f (x) ≤ 0} 6= ∅. 84 Nếu f thỏa mãn điều kiện Palais-Smale tại mỗi mức t ≥ 0, thì tồn tại một hàm µ : [0,+∞)→ R định nghĩa được, tăng ngặt và liên tục sao cho µ(0) = 0, lim t→+∞ µ(t) = +∞, hơn nữa µ([ f (x)]+) ≥ dist(x, S), với mọi x ∈ Rn. Chứng minh. Từ Định lý 4.1.5, ta chỉ cần chứng tỏ rằng nếu f thỏa mãn điều kiện Palais-Smale tại mỗi t ≥ 0, thì không tồn tại dãy loại một và loại hai của S. Bằng phản chứng, giả sử rằng tồn tại dãy xk → ∞, xk ∈ Rn \ S, sao cho f (xk) → 0 và dist(xk, S) ≥ δ > 0. Tương tự như trong chứng minh của Mệnh đề 3.2.3 (hay Định lý B trong [32]), sử dụng Bổ đề 1.3.6, ta tìm được một dãy {yk} sao cho dist(xk, yk)→ 0,B(yk, δ2) ⊂ Rn \ S với X = {x ∈ Rn| f (x) ≥ 0} và 1 ‖h‖( f (y k + h)− f (yk)) ≥ −√ek với h ∈ Rn, 0 < ‖h‖ < δ 2 và ek = f (xk). Từ đó suy ra 1 ‖h‖( f (y k)− f (yk + h)) ≤ √ek, tức là 1 ‖h‖ [ f (y k)− f (yk + h)]+ ≤ √ek. Do đó, từ định nghĩa về độ dốc mạnh, ta có 0 ≤ |∇ f |(yk) = lim sup h→0,h 6=0 [ f (yk)− f (yk + h)]+ ‖h‖ ≤ √ ek. Vì vậy 0 ≤ m f (yk) ≤ |∇ f |(yk) ≤ √ ek. Cho k → ∞, ta được m f (yk) → 0. Từ đó, tồn tại một dãy con của {yk}, ta có thể giả sử dãy con đó chính là {yk}, thoả mãn yk ∈ Rn \ S, yk → ∞,m f (yk)→ 0 và f (yk)→ 0. Điều này nghĩa là hàm f không thoả mãn điều kiện Palais-Smale tại t = 0, dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết. Vậy không tồn tại dãy loại một của tập S. 85 Bây giờ, ta giả sử tồn tại một dãy xk ∈ Rn \ S với xk → ∞ thoả mãn dist(xk, S)→ ∞ và f (xk)9 ∞. Không mất tổng quát, giả sử rằng f (xk) → t0 ∈ [0,+∞). Tiếp tục sử dụng lập luận tương tự như trong chứng minh Mệnh đề 3.2.4 (cũng như trong [32, Định lý B]), ta có dãy yk → ∞ sao cho 0 0 đủ nhỏ sao cho 1 ‖h‖( f (y k + h)− f (yk)) ≥ −ek · λk với h ∈ Rn, 0 < ‖h‖ < δ 2 , ek = f (xk) và λk = 2 dist(xk, S) . Điều này kéo theo 1 ‖h‖ [ f (y k)− f (yk + h)]+ ≤ ekλk. Từ định nghĩa về độ dốc mạnh, ta có 0 ≤ m f (yk) ≤ |∇ f |(yk) ≤ ekλk = 2ekdist(xk, S) . Cho k→ ∞ ta thấy rằng ek = f (xk)→ t0 và dist(xk, S)→ ∞. Vì vậy m f (yk)→ 0. Từ đây và từ 0 < f (yk) ≤ f (xk), thay {yk} bằng một dãy con nếu cần, ta có thể giả sử f (yk)→ t1 với 0 ≤ t1 ≤ t0. Điều này nghĩa là hàm f không thoả mãn điều kiện Palais-Smale tại t1, dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết. Từ đó ta có điều phải chứng minh. 4.2 Bất đẳng thức Łojasiewicz gradient cạnh thớ Chú ý rằng bất đẳng thức Łojasiewicz gradient (1.2) không còn đúng khi lân cận U là không compact. Chẳng hạn, xét ví dụ sau đây: Ví dụ 4.2.1. Xét f (x, y) = (xy + x + y)2 + x2, f (0, 0) = 0. 86 Xét dãy xk = ( k− k2 1+ k2 , k− 1 ) , cho k→ +∞ thì ‖xk‖ → +∞, ∇ f (xk) = ( 0, 2(k2 − 1) (1+ k2)2 ) → 0 và f (xk) = (k− 1) 2 1+ k2 → 1 6= 0. Do đó, bất đẳng thức (1.2) không đúng với U = R2. Đặt K˜∞( f ) := {t ∈ R| ∃{xk} : ‖xk‖ → ∞,m f (xk)→ 0, f (xk)→ t}. Đây là tập các giá trị Fedoryuk ta đã định nghĩa ở Chương 3 trong trường hợp f là hàm đa thức. Ta đưa ra tiêu chuẩn sau đây cho sự tồn tại của bất đẳng thức Łojasiewicz gradient cho độ dốc không trơn trên f−1(De) \ BR, trong đó De = (−e, e) với e > 0 đủ bé và BR là hình cầu tâm 0 bán kính R với R đủ lớn. Định lý 4.2.2. Cho f : Rn → R là một hàm định nghĩa được, liên tục và giả sử rằng với mọi e > 0 đủ bé thì K˜∞( f ) ∩De = {0}. Khi đó hai khẳng định sau là tương đương: (i) Tồn tại δ > 0 sao cho với bất kỳ dãy {xk} ⊂ f−1(Dδ) thoả mãn điều kiện: nếu ‖xk‖ → ∞ và m f (xk)→ 0, thì f (xk)→ 0; (ii) Tồn tại R, δ > 0 và một hàm ϕ : [0, δ) → R+ định nghĩa được, đơn điệu tăng ngặt và liên tục sao cho ϕ(0) = 0 và m f (x) ≥ ϕ(| f (x)|), với mọi x ∈ f−1(Dδ) \BR. (4.4) Chứng minh. (i)⇒ (ii) : Cố định e ở giả thiết của định lý. Đặt ϕ(t) := inf x∈{z:| f (z)|=t}\Br m f (x), với t ∈ [0, e) và r > 0 đủ lớn. Dễ thấy rằng từ Mệnh đề 1.2.7 và Nhận xét 1.3.5, ta có ϕ là một hàm định nghĩa được. Ta phải chứng minh rằng tồn tại δ1 đủ bé và 0 0 với mọi t ∈ (0, δ1). Thật vậy, từ giả thiết K˜∞( f ) ∩ De = {0} suy ra (−e, e) không chứa giá trị nào ngoài 0 thuộc K˜∞( f ). Giả sử rằng với bất kỳ δ′ > 0, tồn tại một giá trị t ∈ (0, δ′) 87 sao cho ϕ(t) = 0, khi đó tồn tại dãy xk ∈ {x : | f (x)| = t} \Br với t ∈ (0, e) thoả mãn ‖xk‖ → ∞ sao cho m f (xk) → 0. Bởi vậy, từ (i) ta suy ra f (xk) → 0 trong khi từ lý luận trên thì f (xk) = t 6= 0, điều này là mâu thuẫn. Mặt khác, từ công thức của ϕ(t), áp dụng Định lý 1.2.9, tồn tại 0 < δ2  1 sao cho ϕ(t) là liên tục và đơn điệu trên (0, δ2). Ta có ϕ(0) = 0 và ϕ(t) > 0 với mọi t ∈ (0, δ1) nên ϕ là hàm liên tục, đơn điệu tăng ngặt trên (0, δ) (trong đó δ = min{δ1, δ2}). Từ định nghĩa của ϕ, tồn tại R > 0 (R > r) sao cho m f (x) ≥ ϕ(t) với mọi x ∈ {z : | f (z)| = t} \BR và t ∈ (0, δ), điều này nghĩa là m f (x) ≥ ϕ(| f (x)|) với mọi x ∈ f−1(Dδ) \BR. (ii) ⇒ (i) : Giả sử ta có (ii), nghĩa là tồn tại R, δ > 0 và ϕ : [0, δ) → R+ định nghĩa được, đơn điệu tăng ngặt, liên tục sao cho ϕ(0) = 0 và thoả mãn bất đẳng thức (4.4). Lấy một dãy bất kỳ {xk} ⊂ f−1(Dδ) \BR sao cho ‖xk‖ → ∞ và m f (xk)→ 0. Khi đó, với k đủ lớn, ta có m f (xk) ≥ ϕ(| f (xk)|) và do đó ϕ(| f (xk)|) → 0. Từ đó ta có f (xk) → 0 vì ϕ là một hàm liên tục, tăng ngặt trên [0, δ) và ϕ(0) = 0. Nhận xét 4.2.3. 1. Trong trường hợp hàm định nghĩa được thì tập K˜∞( f ) có thể là tập vô hạn, ngay cả trong trường hợp 2 biến. Thật vậy, xét hàm nửa đại số sau: f (x, y) = x 1+ y2 . Với bất kỳ t ∈ R, xét dãy xk = (t(1+ k2), k). Dễ thấy rằng ‖xk‖ → ∞, ‖∇ f (xk)‖ = √( 1 1+ k2 )2 + ( 2tk 1+ k2 )2 → 0, f (xk) = t. Do đó, K˜∞( f ) = R. 88 2. Trong Định lý 4.2.2, nếu f là một hàm đa thức thì ϕ(t) là một hàm nửa đại số một biến. Khi đó, từ Bổ đề 1.2.12, tồn tại a > 0 và u > 0 sao cho ϕ(t) = atu + o(tu) với 0 < t 1. Điều này kéo theo ϕ(t) ≥ a 2 tu với mọi t ∈ (0, e) và với e đủ bé. Từ đó ta có ‖∇ f (x)‖ ≥ ϕ(t) ≥ a 2 tu, với mọi x ∈ f−1(t). Do đó, ta được bất đẳng thức Łojasiewicz gradient trên f−1(Dδ) \BR. 3. Kết quả trên đây cũng được thiết lập bởi Tạ Lê Lợi với cách tiếp cận khác (xem [61, Mệnh đề 10]). Cụ thể, tác giả đã thiết lập bất đẳng thức gradient trong trường hợp cạnh thớ, không nhất thiết tại vô hạn. 89 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Các kết quả chính của luận án bao gồm: 1. Chứngminh thương cực và số mũ Łojasiewicz gradient là các bất biến tô pô của các kỳ dị đường cong phẳng trong trường hợp kỳ dị phức, không nhất thiết là thu gọn. Đưa ra ước lượng hiệu quả các số mũ Łojasiewicz trong trường hợp đa thức 2 biến. 2. Khảo sát sự tồn tại và phân loại tất cả các kiểu ổn định của các cận sai số Ho¨lder toàn cục. Chỉ ra mối liên hệ giữa cận sai số cũng như bất đẳng thức Łojasiewicz toàn cục với các giá trị Fedoryuk đặc biệt. Thiết lập quy trình tính toán cụ thể cho trường hợp hàm đa thức 2 biến thực. Chỉ ra một số ví dụ như: Đa thức có tập Fedoryuk là vô hạn và tập các giá trị có cận sai số Ho¨lder là bằng rỗng, đa thức 2 biến không có giá trị nào có thớ tương ứng thoả mãn bất đẳng thức Łojasiewicz toàn cục. 3. Đưa ra đặc trưng cho cận sai số Ho¨lder toàn cục của các hàm liên tục, định nghĩa được và mối liên hệ giữa điều kiện Palais-Smale và cận sai số của hàm liên tục, định nghĩa được. Thiết lập một tiêu chuẩn cho sự tồn tại của bất đẳng thức gradient cạnh thớ cho hàm định nghĩa được. Có thể phát triển các kết quả của luận án như sau: • Nghiên cứu về bất đẳng thức Łojasiewicz toàn cục trong trường hợp nhiều biến và xem các giá trị Łojasiewicz có phải là các giá trị rẽ nhánh tại vô hạn hay không. 90 DANHMỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 1. Phi-Dũng Hoàng, Lojasiewicz-type inequalities and global error bounds for non- smooth definable functions in o-minimal structures, Bulletin of the Australian Mathematical Society, Vol. 93, no.1 (2016), 99–112. 2. Hong-Duc Nguyen, Tiến-Sơn Phạm and Phi-Dũng Hoàng, Topological in- variants of plane curve singularities: Polar quotients and Lojasiewicz gradient exponents, International Journal of Mathematics, Vol. 30, issue 14 (2019), 1950073, 19 pp. 3. Huy-VuiHà and Phi-DũngHoàng, Special Fedoryuk values and global Ho¨lderian error bounds for polynomial functions, submitted. 91 Các kết quả trong luận án đã được báo cáo tại • Seminar phòng Hình học và Tô pô, Viện Toán học. • Seminar tại Viện nghiên cứu cao cấp về Toán VIASM. • Seminar tại bộ môn Giải tích của Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội. • Hội nghị nghiên cứu sinh của Viện Toán học: 11/2015, 11/2016, 11/2017, 11/2018, 11/2019, 11/2020. • Hội nghị ĐAHITÔ tháng 10/2016 tại Buôn Ma Thuột và tháng 10/2021 tại Thái Nguyên. • Hội nghị Quantum Information Theory and related topics, ĐHRitsumeikan, Shiga-Nhật Bản, 8/2016 và Đà Nẵng 8/2017. • Hội nghị Toán học Toàn Quốc tại Nha Trang, 8/2018. • Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học, Ba Vì, 4/2015 và 4/2019. • Hội nghị "Singularity theory and its applications", Đà Lạt, 11/2020. 92 Tài liệu tham khảo [1] V. I. Arnold, S. M. Gusein-Zade, A. N. Varchenko, Singularities of differentiable maps, Vol. I and II, Monographs in Mathematics, 83. Birkha¨user Boston, Inc., Boston, MA, 1988. [2] D. Azé and J. Corvellec, On the sensitivity analysis of Hoffman constants for systems of linear inequalities, SIAM J. Optim., 12 (2002), 913-927. [3] D. Azé, A survey on error bounds for lower semicontinuous functions, Proceed- ings of 2003 MODE-SMAI Conference of ESAIM Proceedings, EDP Sci., Les Ulis, vol. 13, (2003), 1–17. [4] J. Bochnak, J. -J. Risler, Sur les exposants de Łojasiewicz, Comment. Math. Helv., 87(4) (1975), 493–507. [5] J. Bochnak, M. Coste, M. F. Roy, Real algebraic geometry, Springer, 1998. [6] J. Bolte, A. Daniilidis, O. Ley and L. Mazet, Characterizations of Łojasiewicz Inequalities: Subgradient flows, talweg, convexity, Transactions of the A. M. S., vol. 362, n. 6, (2010), pp. 3319–3363. [7] E. Brieskorn, H. Kno˝rrer, Plane algebraic curves, Birkha˝user Verlag, Basel, 1986. [8] S. A. Broughton, Milnor numbers and the topology of polynomial hypersurfaces, Invent. Math. 92 (1988), no. 2, 217–241. [9] T. B. Colding;W. P. Minicozzi II,Uniqueness of blowups and Łojasiewicz inequal- ities, Ann. of Math. (2) 182 (2015), no. 1, 221–285. 93 [10] J. N. Corvellec, V. V. Montreanu, Nonlinear error bounds for lower semi- continuous functions on metric spaces, Math. Progam., Ser. A, vol. 114 (2008), 2, 291–319. [11] M. Coste, An Introduction to O-minimal Geometry, Instituti Editoriali e poligrafici internazionali, Universita di Pisa, Pisa, 1999. [12] M. Coste, M. de la Puente, Atypical values at infinity of a polynomial function on the real plane: an erratum, and an algorithmic criterion, J. Pure Appl. Algebra, 162 (2001), 23–35. [13] D. D’Acunto, K. Kurdyka, Explicit bounds for the Łojasiewicz exponent in the gradient inequality for polynomials, Ann. Polon. Math., 87 (2005), 51–61. [14] J. W. Daniel, On perturbations in systems of linear inequalities, SIAM J. Numer. Anal., 10 (1973), pp. 299–307. [15] S. Deng, Perturbation analysis of a condition number for convex inequality systems and global error bounds for analytic systems, Math. Program., vol. 83 (1998), 263– 276. [16] S. T. Dinh, H. V. Ha, N. T. Thao, Łojasiewicz inequality for polynomial functions on non-compact domains, Int. J. of Math., 23 (2012), no.4, 1250033, 28 pp. [17] S. T. Dinh, K. Kurdyka, O. Le Gal, Łojasiewicz inequality on non-compact do- mains and singularities at infinity, Int. J. of Math., 24 (2013), no. 10, 1350079, 8 pp. [18] S. T. Dinh, H. V. Ha, T. S. Pham, Ho¨lder-Type Global Error Bounds for Non- degenerate Polynomial Systems, ActaMathematica Vietnamica, 42 (2017), 563— 585. [19] A. Durfee, Five definitions of critical points at infinity, Singularities, The Brieskorn Anniversary Volume, Progress in Math. 162, Birkhauser Verlag, (1998), 345–360. 94 [20] L. van den Dries and C. Miller, Geometric categories and o-minimal structures, Duke Math. J., 84 (1996), 497–540. [21] L. van den Dries, Tame Topology and O-minimal structures, Cambridge Univer- sity Press, 1998. [22] D. Drusvyatskiy, A. S. Lewis, Error Bounds, Quadratic Growth, and Linear Con- vergence of Proximal Methods, Math. Ope. Res., vol. 43 (2018), No. 3, 919–948. [23] I. Ekeland, On the Variational Principle, J. Math. Anal. Appl., 47 (1974), 324– 353. [24] L. Grafakos, Classical Fourier Analysis, Spinger, 2008. [25] G.-M. Greuel, C. Lossen, E. Shustin, Introduction to singularities and deforma- tions, Math. Monographs, Springer-Verlag, 2006. [26] J. Gwozdziewicz, The Łojasiewicz exponent of an analytic function at an isolated zero, Comment. Math. Helv. Vol. 74(3) (1999), 364–375. [27] J. Gwozdziewicz, A. Lenarcik, A. Ploski, Polar invariants of plane curve sin- gularities: intersection theoretical approach, Demonstratio Mathematica, 43(2) (2010), 303–323. [28] H. V. Ha and D. T. Le, Sur la topologie des polynomes complexes, Acta Math. Vietnam. 9 (1984) 21–32. [29] H. V. Ha, Nombres de Łojasiewicz et singularitiés à l’infini des polynômes de deux variables complexes, C. R. Acad. Sci. Paris, Séries I Math. 311 (1990), 429–432. [30] H. V. Ha, H. D. Nguyen On the Łojasiewicz exponent near the fibre of polynomial mappings, Ann. Polon. Math. 94 (2008), 43–52. [31] H. V. Ha, H. D. Nguyen, Lojasiewicz inequality at infinity for polynomial in two real variables, Math. Z., 266 (2010), 243–264. 95 [32] H. V. Ha, Global Ho¨lderian error bound for non-degenerate polynomials, SIAM J. Optim., 23 (2013), No. 2, 917–933. [33] H. V. Ha, Computation of the Łojasiewicz exponent for a germ of a smooth function in two variables, Studia Math., 240 (2018), no. 2, 161–176. [34] H. V. Ha, V. D. Dang, On the global Lojasiewicz inequality for polynomial func- tions , Ann. Polon. Math. 112 (2019), 21–47. [35] H. V. Ha, T. S. Pham, Genericity in polynomial optimization, World Scientific Publishing, 2017. [36] H. V. Ha, N. T. Thao,Newton polygon and distribution of integer points in sublevel sets, Math. Z., 395 (2020), no 3-4, 1067–1093. [37] A. Haraux, Positively homogeneous functions and the Łojasiewicz gradient in- equality, Ann. Polon. Math., 87 (2005), 165–174. [38] A. J. Hoffman, On approximate solutions of linear inequalities, Journal of Re- search of the National Bureau of Standards, 49 (1952), 263–265. [39] L. Ho¨rmander, On the division of distributions by polynomials, Ark. Mat. 3 N. 53 (1958), 555–568. [40] L. Ho¨rmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators, Vol. II, Springer-Verlag, 1990. [41] S. Z. Huang, Gradient inequalities. With applications to asymptotic behavior and stability of gradient-like systems, Mathematical Surveys and Monographs, 126. American Mathematical Society, Providence, RI, 2006. viii+184 pp. [42] A. Ioffe, An invitation to tame optimization, SIAM J. Optim., 19 (2009), No.4, 1894–1917. [43] A. Ioffe, Metric regularity and subdifferential calculus, Uspehi Mat. Nauk, 55 (2000), pp. 103–162 (in Russian), English translation: Russian Math. Surveys, 55 (2000), pp. 501–558. 96 [44] Z. Jelonek, On bifurcation points of a complex polynomial, Proc. Amer. Math. Soc., Vol. 131, no. 5 (2002), 1361–1367. [45] J. M. Johnson, J. Kollár, How small can a polynomial be near infinity?, Amer. Math. Monthly, 118 (1) (2011), 22–40. [46] A. Jourani, Hoffman’s error bound, local controllability, and sensitivity analysis, SIAM J. Control Optim. 38 (3) (2000), 947–970. [47] J. Kollár, An effective Łojasiewicz inequality for real polynomials, Period. Math. Hungar., 38 (3) (1999), 213–221. [48] A. Kruger, H. V. Ngai, M. Théra, Stability of error bounds for convex constraint systems in Banach spaces, SIAM J. Optim., 20 (2010), No. 6, 3280—3296. [49] T. C. Kuo, Computation of Łojasiewicz exponent of f (x, y), Comment. Math. Helv., 49 (1974), 201–213. [50] T. C. Kuo, A. Parusin´ski, Newton polygon relative to an arc, Real and Complex Singularities (São Carlos, 1998), Chapman & Hall Res. Notes Math., 412 (2000), 76–93. [51] K. Kurdyka, On gradients of functions definable in o-minimal structures, Ann. Inst. Fourier, 48 (1998), 769–783. [52] Kurdyka, K., Michalska, M., Spodzieja, S. Bifurcation values and stability of algebras of bounded polynomials, Adv. Geom. 14(4) (2014), 631–646. [53] K. Kurdyka, T. Mostowski, A. Parusin´ski, Proof of the gradient conjecture of R. Thom, Ann. of Math. (2) 152 (2000), no. 3, 763–792. [54] K. Kurdyka, P. Orro, S. Simon, Semialgebraic Sard theorem for generalized critical values, J. Diff. Geom. 56 (2000), 67–92. [55] K. Kurdyka, S. Spodzieja, Separation of real algebraic sets and the Łojasiewicz exponent, Proc. Amer. Math. Soc., 142(9) (2014), 3089–3102. 97 [56] A. S. Lewis, J. S. Pang, Error bounds for convex inequality systems, Generalized Convexity, Generalized Monotonicity, J. P. Crouzeix, J. E. Martinez-Legaz and M.Volle (eds) (1998), 75–110. [57] G. Li, On the asymptotic well behaved functions and global error bound for convex polynomials, SIAM J. Optim., 20 (2010), No.4, 1923–1943. [58] G. Li, C. Tang, Z. X. Wei, Error bound results for generalized D-gap functions of nonsmooth variational inequality problems, J. Comp. Appl. Math. 233 (2010), no. 11, 2795-2806. [59] T. L. Loi, Lojasiewicz Inequalities for Sets Definable in the Structure Rexp, Ann. Inst. Fourier, 45 (1995), 951–957. [60] T. L. Loi, Lecture 1: o-minimal structures, The Japanese-Australian Workshop on Real and Complex Singularities—JARCS III, 19–30, Proc. Centre Math. Appl. Austral. Nat. Univ., 43, Austral. Nat. Univ., Canberra, 2010. [61] T. L. Loi, Łojasiewicz inequalities in o-minimal structures, Manuscripta Math. 150 (2016), no. 1-2, 59–72. [62] S. Łojasiewicz, Sur le problème de la division, Studia Math. 18 (1959), 87–136. [63] S. Łojasiewicz, Ensembles semi-analytiques, Publ. Math. I.H.E.S., Bures-sur- Yvette, France, 1965. [64] X. D. Luo, Z. Q. Luo, Extensions of Hoffman’s Error bound to polynomial systems, SIAM J. Optim., 4 (1994), 383–392. [65] Z. Q. Luo, P. Tseng, Perturbation Analysis of a Condition Number for Linear Sys- tems, SIAM J. Matrix Anal. App., 15 (1994), 636–660. [66] Z. Q. Luo, J.F. Sturm, Error bound for quadratic systems, in High Perfomance Op- timization, H. Frenk, K. Roos,T. Terlaky, and Zhang, eds., Kluwer, Dordrecht, The Netherlands, (2000), 383–404. 98 [67] Z. Q. Luo, New error bounds and their applications to convergence analysis of iter- ative algorithms, Math. Progam. Ser. B, 88 (2000), no. 2, 341–355. [68] J. W. Milnor, Singular points of complex hypersurfaces, Annals of Mathematics Studies vol. 61, Princeton Univ. Press, USA, 1968. [69] H. V. Ngai, A. Kruger, M. Théra, Stability of error bounds for semi-infinite convex constraint systems, SIAM J. Optim., 20 (2010), No. 4, 2080–2096. [70] J. S. Pang, Error bounds in Mathematical Programming, Math. Program., Ser.B, 79 (1997), 299–332. [71] A. Parusinski, On the bifurcation set of a complex polynomial with isolated singu- larities at infinity, Compositio Mathematica, 97 (1995), 369–384. [72] A. Parusinski, A note on singularities at infinity of complex polynomials, Banach Center Publication, 39 (1997), 131–141. [73] A. Parusinski, A criterion for topological equivalence of two variable complex ana- lytic function germs, Proc. JapanAcad. Ser. AMath. Sci., 84 (8) (2008), 147–150. [74] T. S. Pham, An explicit bound for the Łojasiewicz exponent of real polynomials, Kodai Math. J., 35(2) (2012), 311–319. [75] A. Ploski, Polar quotients and singularities at infinity of polynomials in two com- plex variables, Ann. Polon. Math., 78(1) (2002), 49–58. [76] J.-J. Risler and D. Trotman, Bi-Lipschitz invariance of the multiplicity, Bull. Lon- don. Math. Soc., 29(2) (1997), 200–204. [77] S. Robinson, Regularity and stability of convex multivalued functions, Math. Oper. Res., 1 (1975), no. 2, 130–143. [78] R. T. Rockafellar, and R. Wets, Variational Analysis,GrundlehrenMath. Wiss., 317, Springer, New York, 1998. 99 [79] D. T. Lê, Topological use of polar curves, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics vol. 29, AMS Providence, RI (1975), 507–512. [80] B. Teissier, Introduction to equisingularity problems, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics vol. 29, AMS Providence, RI (1975), 593–632. [81] B. Teissier, Variétés polaires. I. Invariants polaires des singularités d’hypersurfaces, Invent. Math. 40(3) (1977), 267–292. [82] L. V. Thành, Affine polar quotients of algebraic plane curve, Acta Math. Vietnam. 17(2) (1992), 95–102. [83] R. Thom, Ensembles et morphismes stratifies, Bull. Amer. Math. Soc., 75 (1969), 249–312. [84] M. Tibar, Polynomials and Vanishing Cycles, Cambridge Tracts inMathematics, 170., Cambridge University Press, 2007. [85] R. J. Walker, Algebraic curves, Princeton University Press, 1950. 100