Luận án Các tính chất vận chuyển của điện tử trong giếng lượng tử InP/In1-XGaxAs/InP

hiệu ứng chắn (được khảo sát chi tiết trong phần 2.3), ta viết lại (2.13) như sau:     2 2* 2 23 2 2 2 0 1 2 2 4 k tr U qm q dq k k qq        (2.14) Sử dụng  2 2 */ 2E k m , ta viết (2.14) thu gọn lại như sau:     2 2 2 2 2 2 0 1 1 2 4 k tr U q q dq E k qq        (2.15) Chúng ta có thể tính ra công thức cho thời gian hồi phục một hạt bằng cách sử dụng công thức (2.6) và tính toán tương tự như tính toán cho thời gian hồi phục vận chuyển, ta có:     2 2 2 2 2 2 0 1 1 2 2 4 k s U q k dq E k qq       (2.16) 13 2.2. Quy tắc Matthiessen Khí điện tử hai chiều chịu tác động đồng thời của nhiều nguồn tán xạ như: tạp chất ion hóa ( pha tạp nền (B), pha tạp xa (R)), độ nhám bề mặt (S), mất trật tự hợp kim (A). Thế tán xạ tổng cộng tác dụng lên điện tử khi đó có dạng:          qUqUqUqUqU ASRB  (2.17) Giả sử rằng các cơ chế tán xạ là độc lập với nhau. Hàm tự tương quan tổng cộng có dạng:            22222 qUqUqUqUqU ASRB (2.18) Thời gian hồi phục tổng cộng được xác định theo quy tắc Matthiessen. ASRBtot  11111  (2.19) Quy tắc Matthiessen dựa trên sự tuyến tính nằm trong gần đúng yếu cho tán xạ. Khi gần đúng này không còn đúng thì quy tắc Matthiessen cũng vậy. 2.3. Hiệu ứng chắn và hàm điện môi 2.3.1. Hiệu ứng chắn Một tập hợp các điện tích nếu phân bố đều trong toàn không gian thì không tạo ra được trường thế, bởi vì thế tĩnh điện ở mỗi điểm là như nhau. Để hệ này sinh ra trường thì phải có một nguồn kích thích nào đó. Khi có mặt nguồn ngoài (trường chính) nào đó và do tương tác Coulomb (hút hoặc đẩy) thì các điện tử cảm ứng trong hệ sẽ phân bố lại (phân bố theo khuynh hướng không đều nên hệ bị phân cực) và tạo thành một lớp màn chắn xung quanh nguồn ngoài, do đó làm giảm cường độ ảnh hưởng và bán kính tác dụng (bán kính chắn) của các trường ngoài. Khi các điện tử tham gia vào hiệu ứng chắn mà vẫn không di chuyển (định xứ tại chỗ), sự phân bố lại ở các điện tử này là do sự định hướng lại các lưỡng cực 14 điện tại chỗ. Hiệu ứng chắn này được gọi là hiệu ứng chắn tĩnh, ảnh hưởng của nó là làm giảm cường độ trường chính (trường ngoài) nhưng không làm thay đổi bán kính tác dụng. Người ta mô tả chắn tĩnh bằng hằng số điện môi L và giá trị của nó được đo bằng thực nghiệm. Ngược lại, khi các phần tử tham gia vào hiệu ứng chắn là các điện tích di động. Dưới tác dụng của một nguồn nào đó (điện tích thử, donor, acceptor,...) các điện tích di động phân bố lại làm hệ bị phân cực tạo ra một trường phụ có xu hướng chống lại nguyên nhân sinh ra nó (trường chính) theo định luật Lenz và đồng thời trường phụ này lại làm yếu nguồn ban đầu. Điều kiện để có hiệu ứng chắn động là: (i) Các điện tích di động, sự di động của các điện tử này phụ thuộc vào trạng thái và loại tương tác (hút hoặc đẩy) của hạt chắn tham gia. (ii) Các điện tích di động phải tương tác với nhau: tương tác Coulomb, tương tác trao đổi. Độ cơ động của các điện tích di động sẽ quyết định tính chắn động. Nghĩa là điện tử dễ di chuyển dẫn đến điện tử dễ phân bố lại, hệ điện tử dễ bị phân cực, tính chắn tăng. Tính chắn trong hệ ba chiều mạnh hơn trong hệ hai chiều vì tính cơ động của các điện tích di động trong hệ ba chiều cao hơn. Tính chắn trong hệ hai chiều phụ thuộc vào cấu trúc giếng lượng tử chứa các khí điện tử hai chiều. Ngoài ra tính chắn còn phụ thuộc vào nguyên lý loại trừ Pauli: hiệu ứng trao đổi làm hạn chế điện tử khó di chuyển, dẫn đến tính chắn giảm. Tóm lại, tất cả các tương tác làm thay đổi phân bố của khí điện tử đều bị chắn động. 15 2.3.2. Hàm điện môi Hệ khí điện tử hai chiều dưới tác dụng của nguồn ngoài sẽ phân bố lại không đều nên hệ bị phân cực tạo ra một trường phụ ngược với trường chính. Kết quả là làm giảm cường độ cũng như bán kính tác dụng của các thế tán xạ. Khi ấy khí điện tử hai chiều sẽ không còn chịu tác dụng của thế  U q ban đầu nữa, mà thay vào đó là một thế bị chắn  scrU q .         scr U q U q U q q    (2.20) với  q là hàm điện môi định lượng cho hiệu ứng chắn phụ thuộc vào độ cơ động của hạt tham gia vào hiệu ứng chắn, các loại tương tác mà hạt tham gia chắn bị ảnh hưởng. Xét trường hợp chắn đơn vùng con, chỉ có một loại chuyển dời cho điện tử (trên cùng một mức năng lượng) làm xung lượng hai chiều thay đổi và tham gia dịch chuyển trong mặt phẳng  xy . Trong gần đúng pha ngẫu nhiên (RPA) biểu thức hàm điện môi có dạng sau [4]:        01 1q V q G q q       (2.21) trong đó  0 q là hàm phân cực tĩnh của khí điện tử hai chiều, có dạng như sau [6]     2* 0 2 2 1 1 2F F g m k q q k q                   (2.22) trong đó  G q là số hạng hiệu chỉnh trường cục bộ (LFC) để tính đến tương tác tương quan - trao đổi giữa các điện tử với nhau. Hàm  G q trong LFC được tính toán chi tiết trong bài báo của A. Gold [8, 9] (xem mục 2.4) và các kết quả này sẽ 16 được chúng tôi sửa dụng trong các tính toán của mình. Nếu chỉ xét đến tương tác trao đổi ta có biểu thức của hàm  G q theo gần đúng Hubbard [10]: 2 2 1 ( )H s v F q G q g g q k   (2.23) với sg và vg là thừa số suy biến spin và suy biến valley. Đối với hệ không phân cực 2sg  và đối với hệ phân cực hoàn toàn 1sg  .  V q là ảnh Fourier của các tương tác điện tử – điện tử. Nếu mặt phẳng mà các điện tử chuyển động nằm trong chân không thì   22 /V q e q . Trong hệ thực tương tác Coulomb giữa một cặp điện tử nằm ở hai điểm  ,r z và  ,r z  được cho bởi:         2 1/2 2 2 2 , , 2 L iq r r q z z q L e V r r z z r r z z e e e q                     (2.24) Thế năng hiệu dụng sẽ có dạng sau:     22 1 C L e V q F q q    (2.25) Thừa số cấu trúc chắn  CF q phụ thuộc vào tương tác giữa hai điện tử dọc theo phương z , được xác định qua biểu thức sau:       2 2 q z z CF q dz z dz z e            (2.26) Thay hàm sóng (1.10) vào (2.26) ta thu được kết quả sau (xem phụ lục B):   2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 1 8 32 1 3 4 4 aq C e F q aq a q aq a q a q              (2.27) 17 Xét trường hợp   0G q  ,   1CF q  , và   * 0 2 g m q     , chúng ta thu được hiệu ứng chắn Thomas – Fermi cho khí điện tử hai chiều   1 TF q q q    (2.28) với * 2 2 2 TF L g m e q   tham số chắn. Như vậy, hàm điện môi tĩnh cho khí điện tử hai chiều đồng nhất với phổ năng lượng 2 2 *2 k k E m  và vectơ sóng Fermi Fk :   2 1 , 2 2 1 1 1 , 2 TF F TF F F q q k q q q k q k q q                       (2.29) Hình 2.2 vẽ cho  q phụ thuộc vào  / 2 Fq k ứng với những giá trị khác nhau của  / 2TF Fq k . 0 1 2 3 0 50 100 150 200 ( q) q/2k F 10.15 7.18 4.54 3.21 q TF /2k F Hình 2.2. Hàm điện môi ứng với các giá trị khác nhau của  / 2TF Fq k . 18 Hàm điện môi đặc trưng cho sự chắn. Khi 2 Fq k , chúng ta thấy hàm điện môi không phụ thuộc vào hạt tải. Điều đó có nghĩa là các hạt tải mật độ rất thấp cũng chắn như các hạt tải mật độ cao hơn. May mắn là khi Fk tiến tới không, mật độ hạt tải cũng tiến tới không và hiệu ứng chắn chỉ tác động tới các giá trị rất nhỏ của q mà thôi. Khi 2 Fq k , hiệu ứng chắn giảm rất nhanh khi q tăng. Nếu xét trường hợp có nhiệt độ, hàm điện môi lúc này được tính qua phương trình:        1 1q V q G q q,T      (2.30) với  q,T là hàm phân cực hai chiều ở nhiệt độ hữu hạn (và vectơ sóng hữu hạn) và được cho bởi      q,T q,T q,T     trong đó,  q,T  là hàm phân cực ứng với các trạng thái phân cực spin lên và xuống. Maldague (1978) chứng tỏ là hàm phân cực tĩnh ở nhiệt độ hữu hạn có thể được tính từ hàm phân cực ở nhiệt độ không       0 04 4 / / / q, q,T d c               2 osh (2.31) trong đó,    0 0Fq,E q    là hàm phân cực tĩnh của hệ không tương tác ở nhiệt độ không, được cho bởi:     2 0 21 1 2FF F k q N q k q                  (2.32) với 22 v F g m N   là mật độ trạng thái ở mức năng lượng Fermi và 1 2 4 / F v n k g           là vectơ sóng Fermi hai chiều ứng với hạt tải có spin lên và xuống. Ñộ suy biến spin thì bị tách ra bởi từ trường B song song với mặt phẳng chứa hạt tải. Trong trường 19 hợp không phaân cực khi không có từ trường ngoài, ta có F F Fk k k   . Ta cũng cần lưu ý là tích phân trong công thức (2.31) lấy theo biến câm / và nó không liên quan gì đến năng lượng Fermi thực tế FE  của hệ. 0 1 2 3 4 5 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.05 0.1 0.2  (q ,T )/N F0 q/k F 0 B = 0 B = 2B S T/T F (a) 0 1 2 3 4 5 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.0 0.05 0.1 0.2  (q ,T )/N F0 q/k F 0 T/T F(b) B = B S Hình 2.3. Hàm phân cực cho hệ InP/In1-xGaxAs/InP trong các từ trường ngang khác nhau (a) cho 0B  và 2 sB B , và (b) cho sB B . Ở đây 0 22 /F vFN N g m   là mật độ trạng thái của hệ không phân cực và 02F Fk k  . 20 Trên hình 2.3a, chúng tôi trình bày các kết quả tính được cho hàm phân cực    0 0 22 F vF Fq,T / N N N g m /    cho từ trường 0B  và 2 sB B . Tại 0B  (khi hệ không phân cực và n n  ) khi tăng nhiệt độ, hàm chắn giảm tại 02 Fq k  0 2 vFk n / g làm điện trở suất tăng lên. Hầu như sự phụ thuộc nhiệt độ của điện trở suất trong vùng nhiệt độ thấp đều do sự giảm hiệu ứng chắn tại 02 Fq k gây ra. Khi 2 sB B (khi hệ phân cực hoàn toàn và n n  và 0T  ), chúng ta có được trạng thái chắn tương tự tại 2 F q k   4 vFk n / g  , nó giảm bốn lần so với trường hợp tương tự tại 0B  trong cùng vùng nhiệt độ. Vì vậy chúng ta trông chờ sự phụ thuộc nhiệt độ  T ở 0B  thì mạnh hơn gấp bốn lần ở 2 sB B . Trong hình 2.3b, chúng tôi trình bày hàm phân cực tại sB B . Khi nhiệt độ tăng lên, hàm chắn giảm ở 2 F q k  , nhưng do sự lấp đầy các mức năng lượng của hạt tải thiểu số, ta có thể thấy rằng hàm phân cực tăng gần 2 F q k   04 vF Fk n / g k   . Như vậy là do sự tăng của hàm phân cực gần 2 Fqk  và sự tăng mật độ hạt tải của spin thiểu số và sự giảm hiệu ứng chắn gần 2 F q k  bởi sự truyền nhiệt làm cho suất điện động phụ thuộc yếu vào nhiệt độ quanh từ trường sB ~ B . 2.4. Hiệu chỉnh trƣờng cục bộ Xét mô hình khí điện tử hai chiều, hệ điện tử được xác định bởi một thông số là mật độ điện tử hai chiều n liên hệ với tham số không thứ nguyên rs bởi hệ thức 22 1 Bs ar n   , 2 2* L Ba m e   là bán kính Bohr hiệu dụng và  4F s vk n g g là số sóng Fermi. Chúng ta sử dụng số sóng không thứ nguyên x với 0x q q ,  2 30 /s v s Bq g g r a . Gần đúng pha ngẫu nhiên RPA là lý thuyết tốt nhất để miêu tả 21 hàm điện môi của khí điện tử tương tác trong vùng mật độ cao  1sr . Hiệu chỉnh trường cục bộ là một hiệu chỉnh của RPA có xét đến tương tác tương quan – trao đổi. LFC quan trọng trong trường hợp số sóng lớn (khoảng cách lớn) hay mật độ thấp. Một lý thuyết tự hợp cho LFC đã được đưa ra bởi Singwi, Tosi, Land và Sjolander (STLS) có dạng [7]:                2 3 0 2 2 4 ( ) 1 1 1 x STLS s x G x r dy y y x S y x dy y x x y y x x y S y                           (2.33) trong đó  y và  y được gọi là tích phân elliptic đầy đủ loại I và loại II,  S y là thừa số cấu trúc tĩnh. Từ (2.33) chúng ta có dạng tiệm cận cho giá trị của x là:     21 22 ( 1) ( 1) s s G x xB r G x B r   (2.34) các hệ số  21 sB r và  22 sB r được cho bởi:         2 3 21 0 2 3 22 0 1 2 1 s s s s B r r dy S y B r r dy y S y             (2.35) Dựa vào gần đúng STLS, A.Gold đưa ra gần đúng mở rộng cho thừa số cấu trúc tĩnh và hiệu chỉnh trường cục bộ trong hệ hai chiều có dạng [8, 9]:     1 2 2 2 0 1 ( ) 1 1/ GA p S q S q S q        (2.36) trong đó  0S q là thừa số cấu trúc tĩnh của khí điện tử tự do,  pS q là thừa số cấu trúc tĩnh của plasmons 22             1 2 2 2 0 2 2 arcsin 2 1 4 2 , 2 1, 2 4 1 F F F F F p q k q q k k q k S q q k q S q mnV q G q                 (2.37) và       2/3 2 22 21 22 23 1.402 ( ) 2.644 GA s s s s x G x r C r x C r xC r    (2.38) Từ (2.38) chúng ta có dạng tiệm cận cho giá trị của x là:     2/3 21 2/3 22 0.862 ( 1) 1.402 ( 1) s s s s G x x r C r G x r C r   (2.39) Kết hợp (2.34) và (2.39), (2.33) và (2.38), ba hệ số  21 sC r ,  22 sC r và  23 sC r được xác định bởi các phương trình phi tuyến     21 0 1 1.1596 1 GA s dy S y C r      (2.40a)     22 0 1 1.4263 1 GA s dy y S y C r      (2.40b)                      1 1 1 1 2 22 0 21 1 22 1 23 2 1 1 1 2 1 1 0,9082 1 2.644 0,9082 1 1 x GA s s s x GA x dy y y x S y C r x C r x C r x dy y x x y y x x y S y                     (2.40c) với 1 02 Fx k q . Các phương trình (2.36), (2.38) và (2.40) là các phương trình tự hợp, để tìm ( )GAS q , ( )GAG x và  2 , 1,2,3i sC r i  ta phải giải bằng phương pháp lặp. Một vài kết quả cho  2i sC r nhận được trong bảng 2.1 với 2sg  và bảng 2.2 với 23 1sg  [9]. Khi giá trị của sr lớn thì sự khác biệt giữa  2i sC r ứng với 2sg  và 1sg  là rất nhỏ nên hiệu ứng tương quan xem như bỏ qua. Bảng 2.1. Tham số  2 , 1,2,3i sC r i  của hiệu chỉnh trường cục bộ cho hệ hai chiều và điện tử không phân cực ( 2sg  ). sr  21 sC r  22 sC r  23 sC r 0.01 0.04 0.1 0.4 1 2 4 6 8 10 15 20 40 100 0.308 0.481 0.634 0.915 1.126 1.312 1.545 1.714 1.851 1.969 2.214 2.414 3.005 4.108 0.128 0.311 0.536 1.093 1.671 2.373 3.563 4.634 5.627 6.561 8.697 10.627 17.160 31.95 0.0202 0.0675 0.1218 0.1548 0.2363 0.7621 2.644 5.137 7.976 11.027 19.169 27.677 62.64 167.63 24 Bảng 2.2. Tham số  2 , 1,2,3i sC r i  của hiệu chỉnh trường cục bộ cho hệ hai chiều và điện tử phân cực ( 1sg  ). sr  21 sC r  22 sC r  23 sC r 0.01 0.04 0.1 0.4 1 2 4 6 8 10 15 20 40 100 0.219 0.346 0.467 0.726 0.960 1.180 1.451 1.640 1.791 1.919 2.176 2.379 2.955 3.954 0.065 0.163 0.299 0.740 1.343 2.131 3.444 4.590 5.631 6.595 8.767 10.70 17.17 31.71 0.008 0.030 0.075 0.298 0.799 1.859 4.600 7.787 11.166 14.623 23.307 31.87 64.51 153.63 25 Chƣơng 3 CÁC CƠ CHẾ TÁN XẠ VÀ ĐỘ LINH ĐỘNG 3.1. Tán xạ trên các tạp chất ion hóa Trong phần này ta đề cập đến cơ chế tán xạ trên các tạp chất ion hóa trong mô hình giếng lượng tử vuông sâu vô hạn. Ta biết rằng trong quá trình nuôi tinh thể, môi trường bị nhiễm bẩn làm xuất hiện các tâm tạp chất phân bố ngẫu nhiên trong mẫu, và những tâm tạp chất này đóng vai trò là nguồn tán xạ lên khí điện tử hai chiều. Đối với tán xạ trên các ion tạp chất, điểm khác chủ yếu với trường hợp ba chiều ở sự phân bố khác nhau trong không gian của các tâm tán xạ. Thế tán xạ của một tạp chất có điện tích e lên một điện tử trong hệ hai chiều.       2 1 2 2 2 1 , 2 i i L i i q z z iq r r qL e U r z r r z z e e e            (3.1) Khai triển Fourier nên ta có:   2 1 2 , i q z z L e U q z e q      (3.2) Xét tán xạ nội vùng con, thế tán xạ của tạp chất trong không gian xung lượng.           * 2 2 , 2 iq z z L U q dz z U q z z e dz z e q              (3.3) 26 3.1.1. Pha tạp xa Tạp chất ôû xa (pha tạp có chủ ý): để hệ dẫn điện ta phải pha tạp nhằm cung cấp điện tử cho hệ, phần tạp chất cách khí điện tử một khoảng spacer. Giả sử rằng, mật độ của lớp chất cho (donor) hai chiều in được gắn trong hệ tại iz so với biên của giếng lượng tử hình 1.1. Từ (3.3), ta suy ra thế ngẫu nhiên  1U q theo số sóng q như sau [1]:     2 2 2 2 1 2 1 ,i R i L e U q n F q z q        (3.4) trong đó RF được gọi là thừa số cấu trúc cho lớp tạp chất hai chiều tại mặt phẳng z = zi.     2 , i q z z R iF q z dz z e       (3.5) Thay hàm sóng từ (1.10) vào (3.5), chúng ta tính được (xem phụ lục B):           2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 , 0 2 8 1 1 1 , 1 sin , 0 4 2 2 2 1 1 , 2 i ii i qz aq i q a zqz i R i i q z a aq i e e z za q F q z e e z a aq a q a e e z a                                (3.6) 3.1.2. Pha tạp nền đồng nhất Tạp chất nền (pha tạp không chủ ý: thành phần còn dư): do quá trình nuôi tinh thể môi trường bị nhiễm bẩn. Chúng ta đã tính tán xạ pha tạp xa ở phần (3.1.1), và tán xạ này giới hạn độ linh động của electron trong khí điện tử hai chiều tại nhiệt độ thấp nếu lớp spacer mỏng. Tuy nhiên, trong tinh thể có tồn tại mật độ “thấp” của các tạp chất ion hóa 27 nền, và tán xạ này chiếm ưu thế nếu lớp spacer dày được phát triển làm giảm hiệu ứng của các tạp chất xa. Giả sử rằng, mật độ các tạp chất nền không đổi là BN , thì chúng ta có thể chia nó ra thành những lớp mỏng, sử dụng (3.3) cho mỗi lớp, và lấy tích phân theo iz . Hàm tự tương quan cho tán xạ gây bởi các điện tích ngẫu nhiên trên toàn mẫu có dạng [1]:     2 2 2 2 2 1 B B L e U q N a F q q        (3.7) với     21 ,B i iF q dz F q z a     (3.8) Thay (3.6) vào (3.8), chúng ta tính được (xem phụ lục B):       2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 4 2 2 2 1 4 4 1 6 1 1 4 2 8 12 3 8 4 aq aq B aq F q e e aq a q aq a q eaq a q a q                                     (3.9) 3.2. Tán xạ trên bề mặt Tạp chất bề mặt: hệ có cấu trúc lớp, tồn tại các trạng thái bề mặt giữa các lớp, các tạp chất ion hoá di chuyển đến bề mặt này. Cơ cấu tán xạ thứ hai mà chúng ta khảo sát là tán xạ bề mặt gồ ghề theo ý tưởng của Prange và Nee. Độ gồ ghề tại biên của giếng thế lượng tử được đặc trưng bởi chiều cao  và chiều dài  của các thăng giáng tựa như Gauss. Chúng tôi giả thiết rằng độ gồ ghề tại 0z  và z a có thể được đặc trưng bởi cùng các thông số và không có giao thoa giữa hai mặt phân cách. Vì vậy, thế ngẫu nhiên được diễn đạt như sau [1]: 28     2 2 2 4 * 2 2 /4 3 2 4 2 qF z F m U q e a m k a                      (3.10) 3.3. Tán xạ do mất trật tự hợp kim Giả sử có bán dẫn GaAs pha In, các nguyên tử In chiếm một cách hỗn loại tại các nút mạng nên sự phân bố của chúng là không đồng nhất. Người ta thấy rằng trong cấu trúc dị thể InP/InGaAs tán xạ do mất trật tự hợp kim đóng vai trò quan trọng và thế tán xạ có dạng [1]:     3 2 2 4 3 (1 ) 4 2 A U q x x V a               (3.11) với V là thăng giáng của thế hợp kim và A là kích thước ô hợp kim. 3.4. Độ linh động của khí điện tử hai chiều Trong phần này chúng tôi trình bày độ linh động của khí điện tử hai chiều bằng phương trình vận chuyển Boltzmann trong gần đúng thời gian hồi phục. Khi sử dụng phương pháp gần đúng thời gian hồi phục, thì phương trình vận chuyển Boltzmann được viết như sau [13]: 01 . . rk f ff F f v f t          (3.12) Tính đồng nhất trong không gian dẫn đến 0r f  và trạng thái ổn định dẫn đến 0 f t    . Do đó, chúng ta nhận được 01 . k f f F f      (3.13) Khi trường ngoài được áp vào theo hướng x yếu, và sự thay đổi của hàm phân bố do trường ngoài gây ra là nhỏ so với giá trị cân bằng nhiệt 0f . Hàm phân bố được viết như sau: 29  0 1 1 0,f f f f f  (3.14) Khi đó (3.13) giản ước thành 1 x x f f F k      (3.15) Năng lượng của điện tử là một hàm của vectơ sóng có dạng 2 2 *2 k m   cho một điện tử với khối lượng hiệu dụng đẳng hướng *m , và dẫn tới hệ thức *x xk m v . Do đó, chúng ta nhận được 1 x x x x f f f F v F k                (3.16) Khi chúng ta sử dụng hệ thức 0 1f f f  và 0 1f f trong phương trình (3.16), thì chúng ta có thể tính gần đúng nó như sau: 0 1 x x f f v F      (3.17) Khi điện trường xE áp vào theo hướng x , thì x xF eE  ; và chúng ta nhận được hệ thức sau:     0|| 0 || x x f f k f k eE v      (3.18) Do đó, mật độ dòng theo hướng x có dạng như sau:         2 || ||2 2 2 2 20 0 || || ||2 2 2 2 2 2 x x x x x J e v f k d k e E fe v f k d k v d k                (3.19) 30 ở đây thừa số 2 là do sự suy biến spin. Vì  0xv f k là một hàm lẻ theo xk . Tích phân theo xdk lấy từ  đến  , nên số hạng đầu tiên trong (3.19) bằng không, và chỉ còn lại số hạng thứ hai 2 2 20 ||22 x x x e E f J v d k       (3.20) Mật độ màng mỏng của khí điện tử hai chiều:   2 0 ||2 2 2 n f d k    (3.21) Do đó, (3.20) được viết lại như sau: 2 20 || 2 0 2 0 || 0 x x x df v d k d J e nE f d k         (3.22) Năng lượng toàn phần của khí điện tử hai chiều trong vùng con thứ i với khối lượng hiệu dụng đẳng hướng của các điện tử là *m trong mặt phẳng  ,x yk k : 2 2 * 2 || ||* 1 2 2 i ik m v m       (3.23) với *|| ||k m v . Khi trung bình bình phương của 2 xv là 2 xv , thì chúng ta có 2 2 x yv v , và    2 2 2 2|| * 1 1 1 2 2 x x y iv v v v m       (3.24) Thay hệ thức (3.24) vào (3.22) và thay tổng theo ||k thành tích phân theo năng lượng  , thì ta nhận được hệ thức sau: 31       0 2 * 0 i i i x x df d de nE J m f d                  (3.25) Đặt i     , và thay   thành  thì phương trình (3.25) được viết lại như sau:     0 2 0 * 0 0 i x x i df d de nE J m f d                 (3.26) Bây giờ, ta xác định mật độ dòng qua 2 * x x e nE J m  (3.27) với         0 0 0 0 0 0 0 0 i i i i df df d d d d df f d d d                                  (3.28) chứng tỏ  là trung bình thời gian hồi phục theo hàm phân bố. (a) Bán dẫn suy biến. 0f là hàm phân bố Fermi – Dirac, có dạng sau:    0 / 1 1F B k T f e       (3.29) thì (3.28) được giản ước có dạng như sau: 32         0 0 0 0 0 0 1 1 i i i i f f d f f d                             (3.30) (b) Bán dẫn không suy biến. 0f là hàm phân bố Maxwell – Boltzmann, có dạng sau: 0 exp exp exp F F B B B f A k T k T k T                        (3.31) và giá trị trung bình thời gian hồi phục là: 0 0 0 0 f d f d           (3.32) Khi chúng ta xác định vận tốc trung bình của điện tử xv có điện trường được đặt theo hướng x thì xv cũng được tính theo  . Vận tốc trung bình thường được xem như vận tốc drift. Bởi vì điện tử đóng góp cho dòng qua chuyển động drift dọc theo hướng của điện trường chịu các va chạm. Thời gian trung bình giữa các sự kiện tán xạ (các va chạm) hay tốc độ tán xạ (tốc độ va chạm) được dẫn ra qua giá trị trung bình của thời gian hồi phục  . Sử dụng mật độ điện tử n , mật độ dòng được viết như sau:  x xJ n e v  (3.33) Từ (3.27) và (3.33), vận tốc drift có dạng: 0*x x x e v E E m      (3.34) 33 với 0 là vận tốc điện tử trung bình (vận tốc drift) dưới tác dụng một điện trường đơn vị và đưa ra sự đo lường độ linh động; và nó được gọi là độ linh động điện tử. Độ linh động này thường được xem như độ linh động drift để phân biệt với độ linh động Hall. Từ (3.34), biểu thức độ linh động 0 của khí điện tử hai chiều được tính theo thời gian hồi phục trung bình  : 0 * e m    (3.35) với  được xác định bởi các quá trình tán xạ khác nhau. Tán xạ toàn phần  được tính theo quy tắc Matthiessen. Khi chúng ta xác định độ dẫn điện 0 qua 0x xJ E (3.36) thì biểu thức của độ dẫn điện được đưa ra như sau: 2 0 0* ne ne m     (3.37) 3.5. Hiện tƣợng chuyển pha giữa kim loại và chất cách điện Ở mật độ hạt tải thấp chúng ta xét hiệu ứng đa va chạm và ta có hiện tượng chuyển pha giữa kim loại và chất cách điện tại mật độ tới hạn nMIT. Khi n > nMIT độ linh động có dạng [11, 12] là  A 10 (3.38) với 1A . Tham số A mô tả hiện tượng chuyển pha giữa kim loại và chất cách điện và được cho bởi:          0 2 2 2 2 )( )( 4 1 q q qU dqq n A  (3.39) 34 Hiện tượng chuyển pha tại nMIT xảy ra khi 1A . Khi n < nMIT thì 0 . 35 Chƣơng 4 KẾT QUẢ VÀ KẾT LUẬN 4.1. Kết quả số cho độ linh động và điện trở suất Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày lại kết quả tính số cho độ linh động, điện trở của khí điện tử hai chiều trong giếng lượng tử InP/In1-xGaxAs/InP của [1] và mở rộng thêm cho gần đúng STLS và khi hệ có đồng thời cơ chế tán xạ tạp chất ion hóa và mất trật tự hợp kim ở nhiệt độ hữu hạn và đặt trong từ trường song song bất kỳ. Theo kết quả của [1] chỉ ra rằng đối với bề dày lớp 100 o a   và mật độ hạt tải 12 210n cm thì cơ chế tán xạ lên bề mặt nhám cho đóng góp nhỏ vào độ linh động và có thể bỏ qua. Nên trong đề tài này chúng tôi xét các điều kiện nồng độ hạt tải, nồng độ tạp chất và bề dày lớp sao cho cơ chế tán xạ tạp chất ion hóa và mất trật tự hợp kim là các cơ chế tán xạ chủ yếu. Chúng tôi nghiên cứu sự phụ thuộc của độ linh động, điện trở vào mật độ hạt tải, bề dày lớp, từ trường và nhiệt độ. Các thông số đã sử dụng: khối lượng hiệu dụng của điện tử trong InP theo phương nuôi có giá trị mz = 0.041me và theo mặt phẳng m * = 0.041me , hằng số điện môi 13.3L  , hệ số suy biến valley gv = 1, tỷ lệ hợp chất x = 0.47, thế thăng giáng hợp kim δV = 0.6eV. Trên hình 4.1 chúng tôi vẽ độ linh động ở nhiệt độ T = 0 do các cơ chế tán xạ: tạp chất ion hóa pha tạp nền ( B ), tạp chất ion hóa pha tạp xa ( R ), mất trật tự hợp kim ( A ) và tổng ba cơ chế ( A+B+R ) theo mật độ hạt tải đối với bề rộng giếng thế a = 150 o  cho từ trường B = 0 và B = Bs cho ba trường hợp G(q) = 0 ( đường nhạt), G(q) = GH(q) ( đường đậm) và G(q) = GGA(q) ( đường đậm nhiều). Ta thấy rằng từ trường ảnh hưởng mạnh lên cơ chế tán xạ hợp kim, cơ chế này và tổng ba cơ chế tán xạ ( A+B+R ) đóng vai trò chủ đạo ở vùng mật độ hạt tải cao. Chú ý rằng ảnh hưởng của từ trường bắt nguồn từ hiệu ứng chắn trong công thức cho thời 36 10 10 10 11 10 12 0 1 2 3 4 5  0 (B s) / 0 (B = 0 ) n(cm -2 ) N B = 10 16 cm -3 n i = 10 11 cm -2 , z i = -a/2 V = 0.6 eV, x = 0.47 B R A A+B+R gian vận chuyển vì khi hệ bị phân cực spin thì hàm điện môi sẽ thay đổi. Ta cũng thấy ở vùng mật độ hạt tải cao sự khác biệt giữa các gần đúng khác nhau là nhỏ nhưng ở vùng mật hạt tải thấp sự khác biệt rất lớn. Ở vùng mật độ hạt tải thấp gần đúng STLS ảnh hưởng mạnh tới độ linh động so với gần đúng Hubbard và gần đúng RPA. Điều này cũng được thể hiện đối với các đồ thị của điện trở trên hình 4.2. Hình 4.1. Độ linh động ở nhiệt độ T = 0, (a) B = 0 và (b) B = Bs do các cơ chế tán xạ theo mật độ hạt tải đối với bề rộng giếng thế a = 150 o  cho cho ba trường hợp G(q) = 0 ( đường nhạt), G(q) = GH(q) ( đường đậm) và G(q) = GGA(q) ( đường đậm nhiều). Hình 4.2. Tỷ lệ điện trở ( ) / ( 0)sB B   ở nhiệt độ T = 0 do các cơ chế tán xạ theo mật độ hạt tải đối với bề rộng giếng thế a = 150 o  cho cho ba trường hợp G(q) = 0 ( đường nhạt), G(q) = GH(q) ( đường đậm) và G(q) = GGA(q) ( đường đậm nhiều). 10 10 10 11 10 12 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 N B = 10 16 cm -3 , z i = -a/2 V = 0.6 eV, x = 0.47 n i = 10 11 cm -2 , B= 0 n( cm -2 )   (c m 2 /V s) B R A A+B+R (a) 10 10 10 11 10 12 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7   (c m 2 /V s) n( cm -2 ) B R A A+B+R (b) N B = 10 16 cm -3 , z i = -a/2 V = 0.6 eV, x = 0.47 n i = 10 11 cm -2 , B = B S 37 Trên hình 4.3 chúng tôi vẽ đồ thị điện trở ( )B ở nhiệt độ T = 0 do các cơ chế tán xạ B, R, A và tổng ba cơ chế A+B+R theo từ trường đối với bề rộng giếng thế a = 150 o  cho hai trường hợp n = 5.10 10 cm -2 và n = 5.1011 cm-2 ( đường đậm) ứng với G(q) = 0. Ta thấy rằng điện trở tăng mạnh ở vùng từ trường tiến tới từ trường tới hạn. Khi từ trường lớn hơn từ trường tới hạn thì điện trở không thay đổi. Điều này là dễ hiểu vì ở nhiệt độ T = 0 điện trở chỉ phụ thuộc hàm điện môi mà hàm này sẽ không đổi khi B > Bs . 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 N B = 10 16 cm -3 n i = 10 11 cm -2 , z i = -a/2 V = 0.6 eV, x = 0.47     B/B S B R A A+B+R Hình 4.3. Điện trở ở nhiệt độ T = 0 do các cơ chế tán xạ theo từ trường đối với bề rộng giếng thế a = 150 o  cho hai trường n = 5.1010 cm-2 và n = 5.1011 cm-2 (đường đậm) ứng với G(q) = 0. Sự phụ thuộc của điện trở ở nhiệt độ T = 0 do các cơ chế tán xạ B, R, A và tổng ba cơ chế A+B+R theo bề rộng giếng thế cho hai trường hợp B = 0 và B = Bs được vẽ trên hình 4.4. Ta thấy rằng đối với cơ chế B điện trở phụ thuộc ít vào bề dày lớp còn đối với hai cơ chế R , A và tổng ba cơ chế tán xạ A+B+R thì điện trở giảm khi bề dày lớp tăng. 38 Hình 4.4. Điện trở ở nhiệt độ T = 0, (a) B = 0 và (b) B = Bs do các cơ chế tán xạ theo bề rộng giếng thế cho hai trường G(q) = GH(q) và G(q) = GGA(q) ( đường đậm). Hình 4.5. Điện trở do các cơ chế tán xạ theo nhiệt độ T, (a) B = 0 và (b) B = Bs đối với bề rộng giếng thế a = 150 o  , cho hai trường G(q) = GH(q) và G(q) = GGA(q) ( đường đậm). Trên hình 4.5 chúng tôi vẽ sự phụ thuộc của điện trở do các cơ chế tán xạ B, R, A và tổng ba cơ chế tán xạ A+B+R theo nhiệt độ T đối với bề rộng giếng thế a = 150 o  . Ta thấy rằng đối với cơ chế tán xạ A điện trở không thay đổi nhiều theo nhiệt độ. 0,2 0,4 0,6 0,8 0 400 800 1200 1600 2000 2400 2800 3200 N B = 10 16 cm -3 , z i = -a/2 n = 10 11 cm -2 , n i = 10 11 cm -2 V = 0.6 eV, x = 0.47, B = 0     T/T F B R A A+B+R (a) 0,2 0,4 0,6 0,8 0 400 800 1200 1600 2000 2400 2800 3200     T/T F N B = 10 16 cm -3 , z i = -a/2 n = 10 11 cm -2 , n i = 10 11 cm -2 V = 0.6 eV, x = 0.47, B = B S B R A A+B+R (b) 100 120 140 160 180 200 0 1000 2000 3000 4000 5000 a (Å)     N B = 10 16 cm -3 , B = 0 n i = 10 11 cm -2 , z i = -a/2 V = 0.6 eV, x = 0.47 B R A A+B+R (a) 100 120 140 160 180 200 0 1000 2000 3000 4000 N B = 10 16 cm -3 , B = B S n i = 10 11 cm -2 , z i = -a/2 V = 0.6 eV, x = 0.47     a (Å) B R A A+B+R (b) 39 Sự phụ thuộc của điện trở do các cơ chế tán xạ B, R, A và tổng ba cơ chế tán xạ A+B+R theo nhiệt độ T đối với bề rộng giếng thế a = 150 o  với B = 0 và B = Bs cho hai trường hợp n = 1010 cm-2 được vẽ trên hình 4.6 và n = 1011 cm-2 được vẽ trên hình 4.7. Chúng ta thấy rằng điện trở hầu như không thay đổi theo nhiệt độ ở vùng nhiệt độ cao nhưng phụ thuộc nhiều vào mật độ hạt tải. Hình 4.6. Điện trở do các cơ chế tán xạ theo nhiệt độ T, (a) n = 1010 cm-2 và (b) n = 1011 cm -2 đối với bề rộng giếng thế a = 150 o  ứng với B = 0 cho hai trường G(q) = GH(q) và G(q) = GGA(q) ( đường đậm). 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 10 3 10 4 10 5 10 6     T(K) N B = 10 16 cm -3 , z i = -a/2 n = 10 10 cm -2 , n i = 10 11 cm -2 V = 0.6 eV, x = 0.47, B = 0 B R A A+B+R (a) 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 10 2 10 3 10 4 N B = 10 16 cm -3 , z i = -a/2 n = 10 11 cm -2 , n i = 10 11 cm -2 V = 0.6 eV, x = 0.47, B = 0 T(K)     B R B A+B+R (b) 40 Hình 4.7. Điện trở do các cơ chế tán xạ theo nhiệt độ T, (a) n = 1010 cm-2 và (b) n = 1011 cm -2 đối với bề rộng giếng thế a = 150 o  ứng với B = Bs cho hai trường G(q) = GH(q) và G(q) = GGA(q) ( đường đậm). 4.2. Kết quả số cho hiện tƣợng chuyển pha giữa kim loại và chất cách điện Trên hình 4.8 chúng tôi sử dụng công thức (3.38) tính cho độ linh động ứng với gần đúng STLS. Đối với B = 0 ta thấy hiện tượng chuyển pha giữa kim loại và chất cách điện xảy ra tại 10 2 10 23.17 10 3.1 10MITn cm và cm     đối với hai cơ chế tán xạ B, R còn tổng ba cơ chế tán xạ A+B+R thì 10 24.42 10MITn cm   . Còn với B = Bs ta thấy hiện tượng chuyển pha giữa kim loại và chất cách điện xảy ra tại 10 2 10 23.09 10 3.03 10MITn cm và cm     đối với hai cơ chế tán xạ B, R còn tổng ba cơ chế tán xạ A+B+R thì 10 24.17 10MITn cm   . Đối với cơ chế tán xạ A không tham gia vào hiện tượng chuyển pha giữa kim loại và chất cách điện. Vậy ta có 12   ss gMIT g MIT nn . 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 10 3 10 4 10 5 10 6     T(K) B R A A+B+R N B = 10 16 cm -3 , z i = -a/2 n = 10 10 cm -2 , n i = 10 11 cm -2 V = 0.6 eV, x = 0.47, B = B S (a) 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 10 2 10 3     T(K) N B = 10 16 cm -3 , z i = -a/2 n = 10 11 cm -2 , n i = 10 11 cm -2 V = 0.6 eV, x = 0.47, B = B S B R A A+B+R (b) 41 10 10 10 11 10 12 0,0 5,0x10 4 1,0x10 5 1,5x10 5 2,0x10 5 2,5x10 5 3,0x10 5  (c m 2 /V s) n( cm -2 ) B R A A+B+R N B = 10 16 cm -3 n i = 10 11 cm -2 , z i = -a/2 V = 0.6 eV, x = 0.47 Hinh 4.8. Độ linh động  ở nhiệt độ T = 0 do các cơ chế tán xạ theo mật độ hạt tải đối với bề rộng giếng thế a = 150 o  cho hai trường hợp từ trường B = 0 và B = Bs ( đường đậm ). Trên hình 4.9 chúng tôi tính toán thời gian hồi phục vận chuyển của hệ khí điện tử hai chiều không phân cực (B = 0) và hệ phân cực (B = Bs ) theo mật độ hạt tải có tính đến MSE, cho các cơ chế tán xạ B, R, A và tổng ba cơ chế A+B+R. Tại vùng mật độ cao thì thời gian vận chuyển của hệ phân cực lớn hơn thời gian hồi phục vận chuyển của hệ không phân cực đối với các cơ chế tán xạ B, R và A+B+R, còn cơ chế tán xạ A thì ngược lại. Chúng tôi cũng tính toán thời gian hồi phục một hạt theo mật độ hạt tải ở hình 4.10, ta thấy tỉ số (0) (0)( ) / ( 0)s s sB B B   hầu như không thay đổi khi mật độ hạt tải tăng. Ta nhận xét rằng đối với các cơ chế tán xạ B, R và tổng ba cơ chế A+B+R ở mật độ hạt đủ lớn thì (0) 1t s  . Trở lại phần 2.1, ta sẽ thấy rằng điều này là do đối với thời gian hồi phục tổng cộng ( hay còn gọi là thời gian vận chuyển), chỉ những tán xạ có góc tán xạ lớn mới đóng góp đáng kể, trong khi đó đối với thời gian hồi phục một hạt, tất cả góc tán xạ đều có đóng góp như nhau. 42 4,0x10 10 8,0x10 10 1,2x10 11 1,6x10 11 2,0x10 11 10 -1 10 0 10 1 N B = 10 16 cm -3 n i = 10 11 cm -2 , z i = -a/2 V = 0.6 eV, x = 0.47 n (cm -2 )  t ( p s) B R A A+B+R Hình 4.9. Thời gian thời gian hồi phục vận chuyển của hệ khí điện tử có tính đến MSE ở nhiệt độ T = 0 do các cơ chế tán xạ theo mật độ hạt tải đối với bề rộng giếng thế a = 150 o  cho hai trường hợp từ trường B = 0 và B = Bs ( đường đậm ). 4,0x10 10 8,0x10 10 1,2x10 11 1,6x10 11 2,0x10 11 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 10 1 N B = 10 16 cm -3 n i = 10 11 cm -2 , z i = -a/2 V = 0.6 eV, x = 0.47 n ( cm -2 ) ( 0 ) s ( p s ) B R A A+B+R Hình 4.10. Thời gian hồi phục một hạt ở nhiệt độ T = 0 do các cơ chế tán xạ theo mật độ hạt tải đối với bề rộng giếng thế a = 150 o  cho hai trường hợp từ trường B = 0 và B = Bs ( đường đậm ). 43 4.3. Kết luận Tóm lại, trong luận văn này chúng tôi trình bày lại kết quả của [1] ứng với gần đúng RPA, gần đúng Hubbard và mở rộng thêm cho gần đúng STLS và khi hệ có đồng thời cơ chế tán xạ tạp chất ion hóa và mất trật tự hợp kim để khảo sát độ linh động và điện trở của khí điện tử hai chiều trong giếng lượng tử InP/In1- xGaxAs/InP do các cơ chế tán xạ tạp chất ion hóa và mất trật tự hợp kim. Chúng tôi nghiên cứu sự phụ thuộc của độ linh động và điện trở vào mật độ hạt tải, bề dày lớp, nhiệt độ và từ trường song song. Chúng tôi thấy rằng hiệu chỉnh trường cục bộ trong gần đúng STLS mô tả độ linh động và điện trở của khí điện tử hai chiều ở vùng mật độ hạt tải thấp ảnh hưởng mạnh tới độ linh động và điện trở so với gần đúng RPA và gần đúng Hubbard. Kết quả tính toán của chúng tôi cũng xác định được mật độ tới hạn xảy ra hiện tượng chuyển pha giữa kim loại và chất cách điện ứng với trường hợp đa va chạm. Chúng tôi hy vọng các kết quả của chúng tôi kết hợp với các kết quả thực nghiệm sẽ cho phép xác định các cơ chế tán xạ chủ yếu hạn chế độ linh động và mật độ tới hạn xảy ra hiện tượng chuyển pha giữa kim loại và chất cách điện của các hạt tải trong các linh kiện sử dụng cấu trúc lớp InP/In1-xGaxAs/InP. Tuy nhiên, chúng tôi vẫn chưa tính được độ linh động và điện trở suất của khí điện tử hai chiều khi có sự tham gia đồng thời của nhiệt độ và từ trường khác không. Cũng như thế, chúng tôi vẫn chưa chắc chắn về sự đúng đắn khi tính toán cho độ linh động có tính đến MSE ở nhiệt độ khác không. Mặc khác, còn một cơ chế quan trọng khác cũng cần được xét đến khi nhiệt độ khác không, đó là tán xạ với phonon. Khi nhiệt độ tăng dần thì tương tác điện tử- phonon cũng tăng dần và ở nhiệt độ phòng thì cơ chế tán xạ với phonon hoàn toàn chiếm ưu thế so với các cơ chế còn lại. 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Quốc Khánh (2010), Quá Trình Vận Chuyển Trong Hệ Hai Chiều, Đề tài KHCN Cấp Đại Học Quốc Gia, Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên TP. Hồ Chí Minh. [2] Nguyễn Hữu Nhã (2006), Độ dẫn điện trong hệ hai chiều, Luận văn Thạc sĩ Vật lý, Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên TP. Hồ Chí Minh. [3] A. Gold, V. T. Dolgopolov (1986), “Temperature dependence of the conductivity for the two-dimensional electron gas: Analytical results for low temperatures ”, Phys. Rev. B 33, pp. 1076-1084. [4] A. Gold (1987), “Electronic transport properties of a two-dimensional electron gas in a silicon quantum-well structure at low temperature ”Phys. Rev. B 35, pp. 723-733. [5] A. Gold (1988), “Scattering time and single-particle relaxation time in a disordered two-dimensional electron gas”, Phys. Rev. B 38, pp. 10798-10811. [6] A. Gold (1990), “Temperature dependence of mobility in AlxGa1-xAs/GaAs heterostructures for impurity scattering ”, Phys. Rev. B 41, pp. 8537-8540. [7] A. Gold (1992), “Local-field correction of the charged Bose condensate for two and three dimensions”, Z. Phys. B 89, pp. 1-10. [8] A. Gold (1993), “Corelation in Fermi liquids: Analytical results for the local- field corection in two and three dimensions”, Phys. Rev. B 48, pp. 11622- 11637. [9] A. Gold (1997), “The local-field correction for the interacting gas: many-body effects for unpolarized and polarized electrons”, Z.Phys, B 103, pp. 491-500. [10] A. Gold, R. Marty (2007), “Transport properties of the two-dimensional electron gas in AlP quantum wells at zero temperature”, Phys. Rev. B 76, 165309. [11] A. Gold (2010), “Mobility and metal–insulator transition of the two- dimensional electron gas in SiGe/Si/SiGe quantum wells”, Journal of applied 45 physics, 108, 063710. [12] A. Gold (2011), “Metal–insulator transition in Si/SiGe heterostructures: mobility, spin polarization and Dingle temperature”, Semicond. Sci. Technol, (26), 045017. [13] Chihiro Hamaguchi (2010), Basic Semiconductor Physics, Springer. [14] John H. Davies (1998), The Physics Of low-Dimensional Semiconductors. An Introduction, Cambridge. [15] S. Das Sarma, E. H. Hwang (2005), “Low-density spin-polarized transport in two-dimensional semiconductor structures: Temperature-dependent magnetoresistance of Si MOSFETs in an in-plane applied magnetic field”, Phys. Rev, B 72, 205303. [16] T. Ando, A.B. Fowler, F. Stern (1982), “Electronic properties of two- dimensional systems”, Rev. Mod. Phys, 54, 437. 46 Phụ lục A MẬT ĐỘ HẠT TẢI VÀ HÓA THẾ HAI CHIỀU PHỤ THUỘC NHIỆT ĐỘ VÀ TỪ TRƢỜNG NGOÀI Trước tiên, chúng ta dẫn ra công thức hóa thế phụ thuộc mật độ trong hệ hai chiều. Ta có:        * 2 2 0 0 . , , 1 exp - D F g m dE n g E f E E T dE E T               (A.1) trong đó 1/ Bk T  . Để tính toán đơn giản hơn, ta có thể biến đổi  exp - -x E     và nhận được :   * * 2 2 0 1 ln 1 1 e g m g mdx n e x            (A.2) Ta có biểu thức cho hóa thế phụ thuộc vào mật độ như sau:  2 */1 ln 1 n g m e         (A.3) hoặc  0 1 ln 1 exp FE        (A.4) trong đó 2 0 *F n E g m   . 47 Sau đây, chúng ta sẽ trình bày cách tính hóa thế và nồng độ hạt tải trong từ trường ở một nhiệt độ xác định cho hệ hai chiều. Điều kiện cho hóa thế  và  phụ thuộc vào mật độ hạt tải n và n lần lượt cho electron ứng với spin lên và spin xuống là:    n n     (A.5) Mặt khác, năng lượng của hệ khí điện tử ứng với spin lên và xuống chỉ khác nhau ở năng lượng dịch chuyển bởi từ trường. Vì vậy, ta có thể biểu diễn hóa thế  thông qua hóa thế của khí Fermi tự do:         2 2 B B g n n B g n n B                 (A.6) hoặc     2 2 B g n n B     (A.7) Trong hệ hai chiều có từ trường ở một nhiệt độ xác định, ta có thể biểu diễn hóa thế tương tự như khi không có từ trường:     1 ln 1 exp F n E          (A.8) Nếu ta biểu diễn lại các biến dưới dạng các biến không thứ nguyên thì hệ phương trình mà ta có sẽ đơn giản hơn: , , F s n T B n t x n T B      , trong đó 2 ,F Fs F B B E E B T g k   . Ta sẽ có phương trình đơn giản hơn:     2 1 F F n n x E E n n             (A.9) 48 trong đó    ln 1 exp 2 / F n t n t E        . Giải hệ phương trình (A.9), ta tìm được các công thức sau cho nồng độ hạt tải và hóa thế ứng với spin lên và xuống:     2 2 2 /2 / 2 /1 1 4 ln 2 2 1 x tx t x te e et n n n              (A.10)           2 2 2 /2 / 2 /1 1 4 ln 1 2 2 x tx t x t F F F e e en t E n n x E E                                (A.11) Trong giới hạn khi nhiệt độ bằng không ta có:   1 1 2 n x   (A.12) và khi không có từ trường ngoài ta có: 0.5n n   (A.13) 49 Phụ lục B CÁC THỪA SỐ CẤU TRÚC Trước tiên, chúng tôi tính tích phân sau: 2 1 2sin x qx x x I e dx a         (B.1) Kết quả tích phân (B.1) có dạng sau:  2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 21 2 sin 2 4 2 22 sin qx qx qx qx x xa q I e e e c q a q a aq a x x e c a aq a                              os os (B.2) Thừa số cấu trúc  CF q trong tƣơng tác điện tử-điện tử       2 2 2 2 0 0 2 0 2 2 sin sin 2 sin q z z C a a q z z a F q dz z dz z e z z dz dz e a a a a z dz I a a                                                     (B.3)    2 2 0 1 2 2 sin sin 2 z a q z z q z z z qz qz z z I dz e dz e a a a e I e I a                               (B.4) Để tính 1I trong (B.4) ta áp dụng (B.2) và thay 2 1; 0x z x  :   2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 sin 1 2 4 qz qza q z zI e e c q a q a aq a                        os (B.5) 50 Để tính 2I trong (B.4) ta áp dụng (B.2) và thay 2 1; ;x a x z q q    :   2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 sin 2 4 qa qz qa qza q z zI e e e e c q a q a aq a                         os (B.6) Thay (B.5) và (B.6) vào (B.4), ta có:   2 2 2 2 2 2 2 2 8 1 1 1 1 sin 4 2 2 2 q a zqz a q zI e e aq a q a                  (B.7) Thay (B.7) vào (B.3):   2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 2 4 2 0 0 2 2 2 3 4 5 62 2 2 2 2 8 1 1 sin sin 4 2 1 sin sin 2 2 2 8 1 1 1 4 2 2 2 a a qz C a a qa qz qa z z F q dz dze a aq a q a a z a q z e dze dz a a a q I I e I I a aq a q                                                          (B.8) 3 1 2 I a (B.9) Để tính 4I trong (B.8) ta áp dụng (B.2) và thay 2 1; 0;x a x q q    :     2 2 4 2 2 2 1 1 1 2 4 qa qaa qI e e q a q           (B.10) Để tính 5I trong (B.8) ta áp dụng (B.2) và thay 2 1; 0x a x  :     2 2 5 2 2 2 1 1 1 2 4 qa qaa qI e e q a q          (B.11) 6 3 8 I a (B.12) Thay (B.9) đến (B.12) vào (B.8),  CF q được viết lại như sau: 51   2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 1 8 32 1 3 4 4 aq C e F q aq a q aq a q a q              Thừa số cấu trúc  ,R iF q z trong pha tạp xa     2 2 0 2 , sini i a q z z q z z R i z F q z dz z e dz e a a                      (B.13) Xét trường hợp 0iz  :   2 0 2 0 2 , sin 2 2 sin 2 i i i a q z z R i a qz qz qz z F q z dz e a a z e dz e a a a e I a                       (B.14) Để tính I trong (B.14), ta áp dụng (B.2) và thay 2 1; 0;x a x q q    :       2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 4 1 4 1 2 4 qa qa qa a q I e e q a q e q a q                    (B.15) Thay (B.15) vào (B.14) ta thu được:     1 , 1 2 iqz aq R iF q z e e   (B.16) Xét trường hợp 0 iz a  :      2 2 0 1 2 2 , sin sin 2 i i i i i i z a q z z q z z R i z qz qz z z F q z dz e dz e a a a e I e I a                             (B.17) 52 Để tính 1I trong (B.17), ta áp dụng (B.2) và thay 2 1; 0ix z x  :   2 2 1 2 2 2 2 21 2 1 sin 1 2 4 i iqz qz i i z za q I e e c q a q a aq a                       os (B.18) Để tính 2I trong (B.17), ta áp dụng (B.2) và thay 2 1; ;ix a x z q q    :   2 2 2 2 2 2 2 21 2 sin 2 4 i iqz qzqa qa i i z za q I e e e e c q a q a aq a                       os (B.19) Thay (B.18) và (B.19) vào (B.17):     2 2 2 2 1 1 , 1 sin 2 2 2 ii q a zqz i R i za q F q z e e a              (B.20) Xét trường hợp iz a :    2 0 2 0 2 , sin 2 sin 2 i i i a q z z R i a qz qz qz z F q z dz e a a z e dz e a a e I a                       (B.21) Để tính I trong (B.21), ta áp dụng (B.2) và thay 2 1; 0x a x  :      2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 4 1 4 1 2 4 qa qa qa a q I e e q a q e q a q               (B.22) Thay (B.22) vào (B.21) ta thu được:       1 , 1 2 iq z a aq R iF q z e e     (B.23) 53 Từ (B.16), (B.20) và (B.23) thừa số cấu trúc  ,R iF q z được viết lại như sau:           2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 , 0 2 8 1 1 1 , 1 sin , 0 4 2 2 2 1 1 , 2 i ii i qz aq i q a zqz i R i i q z a aq i e e z za q F q z e e z a aq a q a e e z a                                Thừa số cấu trúc  BF q trong pha tạp nền đồng nhất             2 0 2 2 2 0 1 2 3 1 , 1 , 0 ,0 , B i i a i i i i i i a F q dz F q z a dz F q z dz F q z a dz F q z a a I I I                           (B.24)   2 202 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 8 1 1 1 4 2 1 4 1 4 iqzaq i aq I e dz e a aq a q e aq a q aq                                (B.25)           2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 22 2 2 2 1 8 1 1 1 1 sin 4 2 2 2 1 4 4 1 3 8 1 1 4 8 2 2 2 2 1 4 ii a q a zqz i i aq aq aq aq za q I dz e e a aq a q a a q e e aq a q aq a q a q aq a q e e aq a q                                                                (B.26)   2 202 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 8 1 1 1 4 2 1 4 1 4 iqzaq i aq I e dz e a aq a q e aq a q aq                                   (B.27) 54 Thay (B.25), (B.26) và (B.27) vào (B.24), ta có:       2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 4 2 2 2 1 4 4 1 6 1 1 4 2 8 12 3 8 4 aq aq B aq F q e e aq a q aq a q eaq a q a q                                    